zanemarena_kondukcija

Naini izmjene topline - provoenje 3

Napomena: Ovo podruje se predaje ve vie godina u okviru Termodinamike II. Kako to nije napisano u prethodnom izdanju udbenika, a uvrteno je u novo izdanje, stavljam to na web stranicu nae Katedre. Brojevi uz jednadbe se odnose na redoslijed jednadbi iz novoga izdanja udbenika. Dodao sam i jedan numeriki primjer rjeavanja takvih problema.

Prof. dr. sc. Antun Galovi

3 Provoenje topline kroz krutinu zanemarivog toplinskog otpora

Ovim se pasusom eli pokazati nain iznalaenja oblika funkcije vremenske temperaturne distribucije, koja je u opem obliku naznaena jednadbom (I - 5)

( ) = f t4 (I - 5)

Zapis u gornjoj jednadbi govori da se radi o sluajevima nestacionarnog temperaturnog polja, s tim da temperatura ne ovisi o poziciji toke u promatranoj krutini. To znai da su tada temperaturni gradijenti zyx /,/,/ priblino jednaki nuli, a temperatura krutine samo je funkcija vremenske varijable t. Takvi se sluajevi javljaju u praksi tijekom zagrijavanja ili ohlaivanja krutine, kada su toplinski otpori provoenju topline u krutini zanemarivi prema otporu prijelaza topline s njezinih rubnih ploha prema okoliu. Potpuno zanemarivanje konduktivnog otpora krutine postoji u teorijskom sluaju beskonano velike vrijednosti koeficijenta vodljivosti topline krutine. No, kako u stvarnosti dotina pretpostavka ne postoji, to znai da zbog velike, ali ipak konane vrijednosti koeficijenta vodljivosti topline krutine, unutar krutine postoje temperaturni gradijenti tijekom njezinog ohlaivanja odnosno zagrijavanja. Brojna istraivanja pokazuju da se praktiki mogu zanemariti temperaturni gradijenti u krutini, ako je ispunjen sljedei uvjet

( ) 1,0


lr

r

r0

3

2

434 3

= =

(r = polumjer kugle)

lr L

r lr

0

2

2 2= =

(r = polumjer cijevi)

la

a

a0

3

26 6= = (a = stranica kocke)

Jednadbu (I - 168) moe se napisati i u obliku

1Bi0l

= , (I - 169)

i koji pokazuje da Biotov broj predstavlja odnos otpora provoenja topline i prijelaza topline. Glede graninih vrijednosti Biotova broja dva su vana sluaja: 1. Sluaj kada Bi . Tada je prema gornjoj jednadbi zanemariv otpor prijelaza

topline s vanjskih ploha krutine prema otporu provoenja topline kroz krutinu. Tada nema temperaturnog pada u graninom sloju pa je temperatura vanjske plohe jednaka temperaturi okolinog fluida, slika I - 30.

2. Sluaj kada .0Bi Za taj sluaj, prema gornjoj jednadbi, proizlazi da je otpor provoenja topline zanemariv u odnosu na otpor prijelazu topline, te u tom sluaju nema temperaturnog pada po prostoru krutine, slika I - 30.

Slika I - 30. Temperaturna distribucija u stijenci za dvije granine vrijednosti Biotova broja

Za daljnja razmatranja dakako mora biti udovoljeno 2. sluaju Biotova broja, odnosno praktinoj njegovoj vrijednosti danoj nejednadbom (I - 167).

=( )t =( , )x t

, , c , , cx x

=( )t1 =( , )x t1

= p =p

=( )ti =( , )x ti

OO

Bi 0

Bi

= p

= (t1)

= (ti)

Bi 0 = (t)

= (x, t1) = (x, ti)

Bi = (x, t)

, , c0

= p

, , c0

x x


Neka je zadana krutina volumena V , povrine vanjske plohe sA , konstantnog specifinog toplinskog kapaciteta c , gustoe i konstantnog koeficijenta vodljivosti topline okruena fluidom konstantne temperature

. Takoer je poznat sveukupni

koeficijent prijelaza topline , te neka je toplinski tok usmjeren prema okolinom fluidu, slika I - 31.

Slika I - 31. Uz izvoenje jednadbe vremenske temperaturne promjene krutine zanemarivog konduktivnog toplinskog otpora

Za sustav omeen crtkanom linijom, slika I - 31, moe se zakon odranja energije (I. glavni stavak) izrei rijeima:

Toplina Q , koju u diferencijalu vremena td preda promatrano tijelo kroz vanjsku plohu povrine sA prema okolinom fluidu, uvjetuje diferencijalno smanjenje njegove unutranje energije

UQ d = (I - 170)

S druge strane prema jednadbi (I - 12), ,tQ d = a prema jednadbi (I - 44), je ( )( )

= tAs , pa se gornju jednadbu lako prevodi na oblik

( )( ) ttAU dd s = (I - 171)

Iz Termodinamike I je poznato da je diferencijal unutranje energije krutine jednak

ddd VcmcU == , (I - 172)

pa se uvrtavanjem iste u gornju jednadbu dobiva jednadba

( )( ) ttAVc dd s = (a)

koja nakon separiranja varijabli poprima oblik

,tVc

A dd s

=

(b)

V, , c

(t)

As


i kojoj je integralni oblik

( ) CtV

A+=

C

s

ln (c)

Integracijsku konstantu C odreuje se uvrtavanjem poetnog uvjeta

t = 0 p = , (I - 173)

u jednadbu (c)

( )plnC = (d)

Vraanjem (d) u (c) uz jednostavnu preinaku, dobiva se rjeenje trenutne temperaturne distribucije u bezdimenzijskom obliku

p

exp tT

=

, (I - 174)

u kojem veliina T

sAVcT

= , (I - 175)

oznauje vremensku konstantu. Ona predstavlja omjer izmeu toplinskog kapaciteta krutine i nametnutog konvektivnog otpora, a time i mjeru vremenske promjene temperature krutine. Vea njezina vrijednost znai i sporiju temperaturnu promjenu krutine i obratno, manja vrijednost vremenske konstante znai i bru temperaturnu promjenu krutine.

Jednadbu (I - 174) se moe napisati i u obliku

02

p 0

exp l atl

=

(I - 176)

odnosno

( )FoBiexpp

=

(I - 177)

Veliina Fo u gornjoj jednadbi predstavlja bezdimenzijski broj, kojeg nazivamo Fourierovim brojem, i on je jednak

20

Folat

= , (I - 178)


u kojem veliina

ca

= , (I - 179)

oznauje koeficijent temperaturne vodljivosti krutine.

Magnituda Fourierova broja je mjera stupnja zagrijavanja ili ohlaivanja krutine. Ako je npr. vrijednost a l02 malena, tada je potrebno proi due vrijeme pa da nastupi signifikantna temperaturna promjena krutine.

Izmijenjeni toplinski tok u vremenskom trenutku t rauna se prema jednadbi

( ) ( )( )

= tAt s (I - 180)

Uvrstivi razliku temperatura ( )( ) t

iz jednadbe (I -174) odnosno jednadbe (I - 177) u gornju jednadbu, ista se transformira na oblik

( ) ( ) ( ) ( )FoBiexpexp psps =

=

A

TtAt (I - 181)

U vremenu 0t , proizlazi iz gornje jednadbe, da je izmijenjeni toplinski tok jednak

( ) ( )

= ps0 At (I - 182)

Podijelivi meusobno gornje dvije jednadbe, dolazi se do bezdimenzijskog prikaza izmijenjenog toplinskog toka

( )( ) )FoBiexp(exp0 =

= T

t

t

t

(I - 183)

Ukupno izmijenjena toplina u vremenskom periodu od 0=t do vremena t dobije se na sljedei nain

( ) ( ) ( ) == t t

tTtAtttQ

0 0ps dexpd

( ) ( ) ( )( )FoBiexp1exp1 pp =

=

Vc

TtVc (I - 184)

Nakon beskonano dugog vremena trajanja izmjene topline, t , gornji izraz pokazuje da je izmijenjena toplina jednaka

( ) ( )

= pVctQ , (I - 185)


pa se izmijenjenu toplinu moe napisati i u bezdimenzijskom obliku

( )( ) ( )FoBiexp1exp1 =

=

Tt

tQtQ

(I - 186)

Ako se jednadbe (I - 177), (I - 183) i (I - 186) u kojemu se na apscisnu os nanosi bezdimenzijski broj Bi, a kao parametar bezdimenzijski broj Fo, dobiva se dijagram kojeg kvantitativno prikazuje slika I - 32.

Slika I - 32. Kvantitativni bezdimenzijski prikaz temperature, izmijenjenog toplinskog toka i izmijenjene topline u funkciji Biotova i Fourierova broja

Kako su iste desne strane jednadbi (I - 176) i (I - 183), to znai da lijeva ordinatna os na gornjoj slici istovremeno oznauje bezdimenzijsku temperaturnu funkciju i bezdimenzijsku funkciju izmijenjenog toplinskog toka.

Primjer:

U veliki spremnik s vodom temperature 90 C ubacimo kuglu od trgovakog bakra poetne temperature 10 C. Koeficijent prijelaza topline izmeu kugle i vode neka je 1300 W/(m2K). Potrebno je odrediti: a)- vrijeme zagrijavanja kuglice na temperaturu 55 C! b)- vremenski temperaturni gradijent kugle u trenutku uranjanja i u trenutku kada je kugla postigla temperaturu pod a)! c)- temperaturu kugle nakon 100 s zagrijavanja!

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

p

( )Qt

Qt

Fo = 20

Fo = 1

Fo = 5

Fo = 10

0,5

1

0

( )t

t

0

p

( )( )0t

t

( )( )tQ

tQ

Fo = 5

Fo = 10

Fo = 20

Fo = 1

1

0,90,8

0,70,6

0,50,4

0,30,2

0,10

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,11

0,5

0

Bi


Promjer kuglice odrediti prema kriteriju po kojem je dozvoljeno zanemarenje kondukcijskog otpora u kugli. Shodno dobivenim rezultatima pod a)-c) nacrtajte vremensku promjenu temperature kuglice i naznaite temperaturne gradijente koji se trae pod b)!

Rjeenje:

Iz toplinskih tablica, str. 22, mogu se oitati fizikalna svojstva trgovakog bakra:

= 8930 kg/m3; = 372 W/(m K): c = 383 J/(kg K) uzeto za isti bakar!

a)

Prema jednadbi (I - 167) granina vrijednost kriterija je

1,0Bi 0 == l

(a)

Prema pokazanom izvodu za kuglu je

30rl = (b)

pa iz a) i b) slijedi polumjer kugle

086,01300

3723,03,0=

==

r m (c)

Prema jednadbi (I - 175) i kugli kao uzetoj geometriji tijela slijedi vrijednost vremenske konstante

sAVcT

= = 97,69

13003383086,08300

3434

2

3

=

==

rcr

crs (d)

Iz jednadbe (I - 174) lako se odreuje veliinu

( ) 438,090109055

-expp

=

=

==

t

eTt T

t

odakle antilogaritmiranjem slijedi

-0,827ln0,438 ==Tt

,

pa je vrijeme zagrijavanja


s87,5797,69827,0827,0 === Tt

b)

Iz jednadbe (a) (prve jednadbe poslije jed. (I - 172)), zajedno sa (I - 175) lako se dolazi do vremenskog temperaturnog gradijenta

( )( ) ( )T

t

VctA

t

=

=

sdd

(e)

Uvrtavajui u (e) relevantne vrijednosti, slijede traeni temperaturni gradijenti:

K/s143,197,699010

dd

0

=

=

=tt

K/s5,097,699055

dd

87,57=

=

=tt

Vidi se da su temperaturni gradijenti pozitivni, to je i fizikalno opravdano, budui se kugla zagrijava! S druge strane vidi se da je vrijednost temperaturnog gradijenta u vremenu t = 0 vea od temperaturnog gradijenta u vremenu t = 57,87 s. To je takoer fizikalno opravdano, budui je u vremenu t = 0 i vea temperaturna razlika izmeu kugle i vode!

c)

Iz jednadbe (I - 174) i prethodno izraunatih vrijednosti dolazi se do vrijednosti temperature kugle u vremenu t = 100 s.

( ) ( )

+=

Tt

t -expp

( ) ( ) 84,7069,97100

-exp)901090s100 =

+= C.

Dijagram na donjoj slici prikazuje temperaturni tijek kugle, a izraunati temperaturni gradijenti na slici oznauju tangense kutova 1 i 2 tangenti povuenih na tu krivulju u vremenu t = 0 i t = 57,87 s. Vidi se da je 1 vei od 2, a to je u skladu s provedenom analizom pod b)!


0 100 200 300 400 50050 150 250 350 450

0

20

40

60

80

10

30

50

70

90

, C

t, s

(t)

1

2

1 > 2 !

t

- (t) 0

Documents

zanemarena_kondukcija