AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA W KRAKOWIE

WYDZIAŁ FIZYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ

JERZY CACHEL

ZADANIA

Z PRĘDKOŚCIĄ

KRAKÓW 2011

2

Zadanie 1

Rowerzyści podczas wycieczki rejestrowali swoją szybkość. Oblicz szybkości średnie kaŜdego rowerzysty jeŜeli: a) rowerzysta A przez pierwszą godzinę jechał z prędkością 30km/h, a podczas drugiej na skutek zmęczenia jechał z prędkością 10km/h, b) rowerzysta B pierwsze 20km jechał z prędkością 30km/h, a kolejne 20km z prędkością 10km/h, c) rowerzysta C godzinę jechał z prędkością 30km/h, a następnie 20km z prędkością 10km/h.

a) km/h 10 km/h, 30 h, 1 h, 1 :dane 2121 ==== vvtt

h

km 20

h 2

km 10km 30

21

21. =

+=++

=tt

ssvśr

b) km/h 10 km/h, 30 km, 20 km, 20 :dane 2121 ==== vvss

h

km 15

h 3

8km 40

h

km 10

km 20

h

km 30

km 20km 20km 20

2

2

1

1

21

21

21. ==

+

+=+

+=

++

=

v

s

v

sss

tt

ssvśr

c) km/h 10 km/h, 30 km, 20 h, 1 :dane 2121 ==== vvst

h

km

3

216

h 3

km 50

h

km 10

km 20h 1

km 20km 30

2

21

21

21

21. ==

+

+=+

+=

++

=

v

st

ss

tt

ssvśr

Zadanie 2

Motocyklista odbył drogę z Myślenic do Krakowa ze średnią prędkością 1v , a z powrotem

z Krakowa do Myślenic z przeciętną prędkością 2v . Obliczyć średnią prędkość jazdy

motocyklisty na trasie Myślenice-Kraków-Myślenice.

1

1 t

sv =

22 t

sv =

21

21

2121

21

211

222

vv

vv

vvv

s

v

ss

tt

sv

+=

+=

+=

+=

Średnia prędkość jazdy v jest średnią harmoniczną obu prędkości 21,vv .

3

Zadanie 3

Połowę pewnej drogi samochód jechał z prędkością 60km/h, drugą połowę z prędkością

średnią 90km/h. Z jaką prędkością przejechał całą drogę?

dane: h

km 90 ,

h

km 60 21 == vv

1

1 t

sv =

22 t

sv =

h

km 72

h

km 150

h

km 90

h

km 6022

11222

21

21

2121

21

=⋅⋅

=+

=+

=+

=+

=vv

vv

vvv

s

v

ss

tt

sv

Zadanie 4

Koń biegnący kłusem osiąga prędkość 5 m/s, a cwałem 8 m/s. Koń biegł kłusem przez

4 minuty, a następnie 2 minuty cwałował. Z jaką średnią prędkością biegł koń przez

te 6 minut?

Wprowadźmy dane: s

m 8 ,

s

m 5 21 == vv

s 120 ,s 240 21 == tt

Wtedy dostajemy:

s

m 6

s

m

3

18

s 360

m 1208m 2405

21

2211

21

21. ==

⋅+⋅=++

=++

=tt

tvtv

tt

ssvśr

Zadanie 5

Rajdowiec miał do przejechania trzy odcinki specjalne, kaŜdy tej samej długości. Odcinki te

pokonał odpowiednio z prędkościami .,, 321 vvv Jaka była średnia prędkość rajdowca na całej

trasie?

Niech s oznacza długość odcinka specjalnego, a )3,2,1( == iv

st

ii - czasem przejazdu

i –tego odcinka specjalnego.

4

Wtedy

321321

321. 111

333

vvvv

s

v

s

v

ss

ttt

svśr

++=

++=

++=

Zadanie 6

Statek przepłynął 40km z prądem rzeki w 2 godziny a 35km pod prąd w 2,5 godziny.

Oblicz prędkość statku względem wody i prędkość prądu rzeki.

v – prędkość statku u – prędkość prądu rzeki

h 5,2 h, 2

km 35 km, 40 :dane

21

21

====

tt

ss

=−

=+

2

2

1

1

t

suv

t

suv

h

km 3

h

km 17

h 2

km 40

h

km 17

h 2,5h 22

km 35h 2h 2,5km 40

2

2

1

1

21

2121

2

2

1

1

=−=−=

=⋅⋅

⋅+⋅=+=

+=

vt

su

tt

sttsv

t

s

t

sv

Odp. km/h 3

km/h 17

==

u

v

Zadanie 7

Odległość między dwoma przystaniami na rzece wynosi 80km. Statek przepływa tę drogę

w obie strony w ciągu 8 godzin i 20 minut. Obliczyć prędkość statku w wodzie stojącej, jeŜeli

woda w rzece płynie z prędkością 4km/h.

km/h 4 h, 3

18 km, 80 :Dane === wvtd

Niech sv oznacza szukaną prędkość.

Wtedy ws vv + – oznacza prędkość statku z prądem

ws vv − – oznacza prędkość statku pod prąd

tvvd

vv

d

wsws

=−

++

5

( )

( )

2025

654240

25

42254240

3

25

62594003

480

3

253

1008080

2

22

44

02

)()(

22

22

222

22

22

=⋅+=+=

=+⋅+

=

++=

+=

+=∆

=−−

−=++−

t

tvddv

vtd

tvdvtv

vvtvvdvvd

ws

w

wss

wswsws

m

Odp. Szukana prędkość wynosi 20 km/h.

Zadanie 8

Łódź musi płynąć 60km w dół rzeki, a następnie 10km w górę rzeki. Prędkość prądu rzeki

wynosi 5km/h. Jaka powinna być prędkość własna łodzi, aby cała podróŜ nie trwała dłuŜej

niŜ 10 godzin?

h 10 ,h

km 5 ,

h

km 10 ,

h

km 60 :Dane 21 ==== tvss r

JeŜeli przez v oznaczymy prędkość łodzi to otrzymujemy równania

( )

( )r

r

rr

vv

sttvvs

vv

sttvvs

−=⇒−=

+=⇒+=

2222

1111

gdzie 21,tt to odpowiednio czasy podróŜy w dół i w górę rzeki.

Mamy zatem nierówność

rr vv

s

vv

sttt

−+

+=+≥ 2121

7

07

125

257

105

10

5

60

2

2

≥≥−

≤−−

≤−

++

v

vv

v

vvv

Skorzystaliśmy z faktu, Ŝe 5>v - inaczej statek nie popłynąłby w górę rzeki.

Odp. Co najmniej 7 km/h.

6

Zadanie 9

Po okręgu o długości 80m poruszają się 2 punkty ze stałą prędkością. JeŜeli kierunki ruchów

są zgodne, to punkt pierwszy wyprzedza punkt drugi co 5 sekund. JeŜeli zaś kierunki ruchów

są przeciwne, to punkty mijają się co 2 sekundy. Obliczyć prędkości tych punktów.

s 2 s, 5 m, 80 :dane 21 === tts

Oznaczmy przez v i u szukane prędkości.

Wtedy

=+=−

sutvt

sutvt

22

11

=+

=−

2

1

t

suv

t

suv

( ) ( )

s

m 12

s

m 28

s 2

m 80

s

m 28

s 2 s 52

s 2s 5 m 80

2

2

2

21

21

21

=−=−=

=⋅⋅+=

+=

+=

vt

su

tt

ttsv

t

s

t

sv

Odp. Szukane prędkości wynoszą 28 m/s i 12 m/s.

Zadanie 10

Po okręgu o długości 800m poruszają się dwa ciała. Pierwsze wykonuje pełny obrót

o 5 sekund szybciej niŜ drugie. Gdyby te ciała poruszały się w tym samym kierunku,

to spotkałyby się co 10 sekund. Oblicz prędkość kaŜdego ciała.

21,vv - szukane prędkości ciał

21,tt - czas pełnego obrotu danych ciał

10 s, 5 m, 800 :dane 12 =+== ttts

stvtv =− 21

512 += tt 1

1 t

sv =

22 t

sv =

15 22

21

=−−

=⋅−⋅

t

t

t

t

st

st

t

st

7

( ) ( )

s

m 80

s 10

m 800

s

m 160

s 5

m 800

s 5 )s( 102

20255

2025

055

55

22

11

12

22

2

2222

======

==++=

+=∆=−−

−=−−⋅

t

sv

t

sv

tt

t

t

ttt

tttttt

Zadanie 11

Prędkość własna pewnego samolotu wynosi v. Samolot ten leciał z miasta A do miasta B

z wiatrem wiejącym z prędkością u (u

8

Zgodnie z warunkami zadania mamy:

1t

suv =+ i

2t

suv =−

Stąd ( )

202

21

12

21

s

tt

tts

t

s

t

su =

−=−= ,

Zatem 40=u

s jest liczbą dni, którą płynie woda Wisły z Krakowa do Warszawy.

Zadanie 13

Motocyklista drogę z miasta A do miasta B pokonał ze średnią prędkością 84 km/h.

Pokonanie drogi powrotnej zajęło mu o godzinę dłuŜej, a średnia prędkość wyniosła 56 km/h.

Oblicz odległość między miastami A i B.

h 1 ,h

km 56 ,

h

km 84 :Dane 021 === tvv ,

JeŜeli przez t oznaczymy czas przejazdu motocyklisty z miasta A do miasta B,

a przez s szukaną odległość między miastami A i B, to mamy układ równań

( )

=+=

sttv

stv

02

1

( )

km 168h 2h

km 84

h

km 56

h

km 84

h 1h

km 56

h

km 84

21

0211

21

02

021

=⋅=−

⋅⋅=

−==

−=

+=

vv

tvvtvs

vv

tvt

ttvtv

Odp. Odległość między miastami wynosi 168 km.

Zadanie 14

Marek poŜyczył od taty samochód, którym wyruszył z domu na spotkanie ze swoją

dziewczyną. Przed wyjazdem obliczył, Ŝe jadąc ze średnią prędkością 60 km/h przybędzie na

spotkanie dokładnie o umówionej godzinie. Po przejechaniu z zaplanowaną prędkością 60%

drogi zepsuł się samochód. Naprawa samochodu zajęła mu 16 minut. Teraz, aby zdąŜyć na

spotkanie, musiałby jechać z prędkością 120 km/h. Oblicz odległość od domu Marka

do miejsca spotkania z ukochaną.

9

Niech s oznacza szukaną odległość a t – planowany czas przejazdu.

Z obliczeń Marka wynika, Ŝe s=60t.

Z treści zadania wynika ponadto

30015

4

100

120

4,0

60

16

60

6,0

sst

sst

++=

++=

Z porównania t otrzymujemy

8030015

4

10060=

++=

s

sss

Odp. Szukana odległość wynosi 80 km.

Zadanie 15

W biegu narciarskim na 30 km róŜnica czasów między zwycięzcą i ostatnim zawodnikiem

była równa 20 minut. Po biegu obliczono, Ŝe średnia prędkość zwycięzcy była o 3 km/h

większa od prędkości ostatniego biegacza. Oblicz prędkość zwycięzcy.

JeŜeli oznaczymy średnią prędkość zwycięzcy przez v, to ostatni zawodnik biegł

z prędkością v-3. Zatem całą trasę przebiegli odpowiednio w czasie v

30 oraz

3

30

−v

godzin. Dostajemy zatem równanie:

3

1

3

3030 −−

=vv

( ) ( )

182

333

33

02703

390390

2

2

=+=

=∆

=−−−−=−

v

vv

vvvv

Czyli h

km 18=v .

Zadanie 16

W biegu motocyklowym zawodnik, który zwycięŜył, przejechał trasę z prędkością o 20 km/h

większą niŜ drugi zawodnik i o 25 km/h większą od trzeciego zawodnika. Zawodnicy

wystartowali jednocześnie. Na mecie drugi zawodnik był o 18 minut później niŜ zwycięzca

i o 6 minut wcześniej niŜ trzeci zawodnik.

10

Oblicz: a) długość trasy rajdu,

b) prędkość jazdy kaŜdego zawodnika,

c) czasy przejazdu tych zawodników.

a) Niech v będzie prędkością najwolniejszego zawodnika, s długością trasy,

t czasem w jakim najwolniejszy zawodnik pokonał całą trasę.

Wtedy 25,5, ++ vvv - prędkości zawodników,

24,6, −− ttt - czasy (w minutach) zawodników,

4,0,1,0, −− ttt - czasy (w godzinach) zawodników.

Dostajemy zatem układ równań:

( )( )( )( )

=−+=−+

=

stv

stv

svt

4,025

1,05

Skąd mamy

=−−+=−−+

=

svtvt

svtvt

svt

104,025

5,01,05

h 6,1

0104,025

05,01,05

=

=−−=−−

t

vt

vt

km/h 75=v

km 120=s

b) Z poprzedniego podpunktu dostajemy prędkości: 75 km/h, 80 km/h, 100 km/h.

c) Czasy wynoszą 1,6 h, 1,5 h, 1,2 h.

Zadanie 17

Trasa rowerowa wokół jeziora ma długość 15 km. Dwóch rowerzystów wyrusza z tego

samego miejsca i okrąŜa jezioro poruszając się w tym samym kierunku. Średnia prędkość

drugiego z nich jest większa od średniej prędkości pierwszego o 5 km/h. Oblicz po jakim

czasie dojdzie do ponownego spotkania rowerzystów.

Oznaczmy przez v prędkość pierwszego rowerzysty. JeŜeli rowerzyści spotkają

się po czasie t, to pierwszy rowerzysta przejedzie w tym czasie vt, a drugi

(v+5)t kilometrów. Skoro to ma być moment spotkania, to druga z tych liczb

musi być większa od pierwszej o długość toru. Daje to nam równanie:

( )

3

155

=+=+

t

vttv

Odp. Po 3 godzinach dojdzie do ponownego spotkania.

11

Zadanie 18

Po torze wodnym o długości 10 km pływają w kółko dwie łodzie motorowe, przy czym druga

z nich płynie z prędkością o 5 km/h większą od prędkości pierwszej łodzi. Łodzie te

wystartowały z tego samego punktu i ponownie spotkały się, gdy pierwsza z łodzi wykonała

pełne 3 okrąŜenia toru. Oblicz prędkości obu łodzi.

Czas jaki upływa między kolejnymi spotkaniami łodzi to dokładnie czas,

w którym druga łódź przepłynie o 10km więcej od pierwszej łodzi.

JeŜeli oznaczymy przez v prędkość pierwszej łodzi to dostajemy układ równań

( )

=+=

405

30

tv

vt

152

30

2

40530

405

==

==+=+

v

t

t

tvt

Odp. Prędkości obu łodzi wynoszą 15 km/h i 20 km/h.

Zadanie 19

Pomiędzy miastami A i B kursuje autobus. Droga między tymi miastami prowadzi przez

wzgórze. Autobus jadąc pod górę rozwija prędkość 25 km/h, a z góry 50 km/h. PodróŜ z A

do B trwa 3,5 h, a z B do A 4 h. Jaka jest odległość z miasta A do miasta B?

h 4 h, 5,3 ,h

km 50 ,

h

km 25 :Dane 2121 ==== ttvv

Oznaczmy przez x długość drogi od A do szczytu, a przez y od szczytu wzgórza

do B. Wtedy dostajemy układ równań:

=+

=+

221

121

tv

x

v

y

tv

y

v

x

⇒

=+=+

21212

21121

vvtxvyv

vvtyvxv ⇒

2

1211

v

yvvvtx

−=

( )75

4

35,3825

2

1

4

11

255,3504

50

25

12

2

1

1122

2

1

2

21

2

211212

21222

212

112

=−⋅=−

⋅−⋅⋅=

−

−⋅=

−

−=

=−+

v

v

vtvt

v

v

v

vv

vtvvty

vvtyv

vvtyv

12

( )

5050

755,35025

50

752550255,3 =−⋅=⋅−⋅⋅=x

50,75 == xy

Odp. Szukana odległość wynosi 125 km.

Zadanie 20

Samochód wyrusza z punktu P w południe z prędkością 90 km/h. O której godzinie dogoni

rowerzystę, który wyruszył o siódmej rano i jedzie z prędkością 15 km/h?

Oznaczmy przez t czas spotkania. Rowerzysta do godziny 12.00 pokonał 75 km.

1 901575 =⇒=+ ttt

Samochód dogoni rowerzystę o godzinie 13.00

Zadanie ma interpretację geometryczną.

Niech ( ) ( )5901 −= tts , tts 15)(2 = . JeŜeli narysujemy wykresy funkcji 21,ss , czyli wykresy pokonywanej drogi

w zaleŜności od czasu, to miejsce i czas spotkania odpowiada punktowi wspólnemu

tych wykresów.

( ) 615590)()( 21 =⇔=−⇔= ttttsts

Zadanie 21

Pociąg osobowy mija obserwatora w ciągu 5 s, a obok peronu długości 300 m przejeŜdŜa

w ciągu 25 s.

a) Oblicz długość pociągu i jego prędkość.

b) Oblicz, jak długo pociąg będzie mijał pociąg towarowy długości 150 m jadący

równoległym torem w przeciwnym kierunku z prędkością 36 km/h?

a) Oznaczmy przez d – długość pociągu, a przez v jego prędkość.

m 300 s, 25 s, 5 :dane 21 === ltt

Wtedy

=+=

vtld

vtd

2

1

m 75s

m 15s 5

s

m 15

s 20

m 300

1221 =⋅===−

==+ dtt

lvvtlvt

13

b) m 150 :dane 1=l m/s 10s 3600m 1000

36km/h 361 =⋅==v

s 9

s

m 10

s

m 15

m 75m 150

1

1 =+

+=++

=vv

dlt

Zadanie 22

Z dwóch miejscowości jadą naprzeciw siebie dwa pociągi: jeden długości 100 m z prędkością

36 km/h, drugi długości 150 m z prędkością 54 km/h. Obliczyć czas mijania tych pociągów.

Wprowadźmy dane: h

km 54,

h

km 36 21 == vv

m 150,m 100 21 == ll

Wtedy otrzymujemy:

s 1090

s 3625

s 36

m 900m 250

s 3600

m 100090

m 250

h

km 90

m 150m 100

21

21 =⋅==⋅

=+=++

=vv

llt

Zadanie 23

Z miasta A wyrusza pociąg z prędkością 60 km/h, z miasta B wyrusza pociąg z prędkością

40 km/h. Odległość między miastami wynosi 12 km. Po jakim czasie i w jakiej odległości

od miast spotkają się te pociągi?

km 12 ,h

km 40 ,

h

km 60 :Dane 21 === svv

Niech t – oznacza czas spotkania

21,ss - przebyte drogi pociągów wyruszających odpowiednio z miast A i B

Wtedy dostajemy:

2

2

1

1

v

s

v

st ==

=+=

sss

svsv

21

2112

( )21222

2122

21

svsvsv

svssv

sss

=−=−

−=

14

km 2,7

km 8,4

h

km 100

km 12h

km 40

21

21

22

=−=

=⋅

=+

=

sss

vv

svs

h 25

3h

5

6,0

h

km 40

km 8,4

2

2 ====v

st

Zadanie 24

Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km.

Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niŜ jadący z miasta B

do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi.

Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

Sposób 1

Oznaczmy przez v – prędkość pierwszego pociągu,

t – czas w jakim przejechał on połowę drogi

Mamy zatem

270=vt

O drugim pociągu wiemy, Ŝe jechał z prędkością v+9 oraz Ŝe połowę drogi przejechał

w czasie t-1. Stąd

( )( ) 27019 =−+ tv Czyli 27099 =−−+ vtvt . PoniewaŜ 270=vt , to dostajemy

99099 −=⇒=−− tvvt

( )

4599 62

111

030

270992

=−==+=

=−−

=−

tvt

tt

tt

Pociągi jechały z prędkością: 45 km/h i 54 km/h.

Sposób 2

JeŜeli przez v oznaczymy prędkość pierwszego pociągu, to połowę drogi przebył on

w czasie v

270. Drugi pociąg dotarł do połowy drogi po czasie 1

9

270 ++v

.

15

Mamy więc równanie:

19

270270 ++

=vv

( ) ( )

452

999

99

024309

92709270

2

2

=+−=

=∆

==+++=+

v

vv

vvvv

Zadanie 25

Dwa pociągi: towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jadą naprzeciw siebie

po dwóch równoległych torach i spotykają się w punkcie S. Mijanie się pociągów trwa 20 s,

a czas przejazdu pociągu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu

przejazdu pociągu towarowego. Oblicz prędkości obu pociągów, zakładając, Ŝe poruszają się

ruchem jednostajnym.

s 25 s, 20 m, 210 m, 490 :Dane 21 =∆=== ttll

Oznaczmy przez 1v – prędkość pierwszego pociągu, 2v – prędkość drugiego

pociągu.

Mijając się, kaŜdy z pociągów pokonuje dystans równy sumie ich długości.

Dostajemy zatem równanie ( ) 2121 llvvt +=+ .

Czas przejazdu pierwszego pociągu przez punkt S to 1

1

v

l, a czas przejazdu

drugiego pociągu to 2

2

v

l. Daje nam to drugie równanie

tv

l

v

l∆+=

2

2

1

1 .

Podstawiając dane rozwiązujemy układ równań:

+=

=+

25210490

20

700

21

21

vv

vv

+==+

2112

21

54298

35

vvvv

vv

16

( ) ( )

1435 212

357 35

02947

355354298

35

2

22

2

2222

21

=−==+==∆

=−−

−+−=−=

yxy

vv

vvvv

vv

Odp. Prędkości pociągów wynoszą s

m 21,

s

m 14 .

Zadanie 26

Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeŜdŜają naprzeciw siebie dwaj

rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią

prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B

wyjeŜdŜa o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej

prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, Ŝe rowerzysta

jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 13

9 całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi

prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Punkt spotkania rowerzystów jest oddalony od miejscowości A o 12618213

9 =⋅

kilometrów. JeŜeli oznaczymy średnią prędkość rowerzysty jadącego z A do B

przez v, a czas w godzinach, po jakim spotkał się z drugim rowerzystą przez t,

to z danych zadania otrzymujemy układ równań:

( )( )

=−=−−=

5612618217

126

tv

vt

Przekształcając drugie równanie dostajemy

vt

vt

vtvt

=−=+−−

=+−−

777

5677126

5677

Podstawiając otrzymaną zaleŜność do równania pierwszego mamy

( )

149

126 3263

2

126

92

711 2

2

711

49 01811

126777

21

21

2

==>==

=+==−=

=∆=+−

=−

vv

tt

tt

tt

Odp. Prędkości rowerzystów wyniosły 14 km/h i 7 km/h.

17

Zadanie 27

Dwa samochody odbyły podróŜ z miejscowości A do odległej o 480 km miejscowości B.

Drugi z samochodów jechał ze średnią prędkością większą o 20 km/h od średniej prędkości

pierwszego samochodu, a czas przejazdu pierwszego samochodu był o 72 minuty dłuŜszy od

czasu przejazdu drugiego samochodu. Oblicz ile czasu zajęła podróŜ kaŜdemu z samochodów.

JeŜeli oznaczymy średnią prędkość pierwszego samochodu przez v, a jego czas

przejazdu przez t, to dostajemy układ równań

( )

=

−+

=

48060

7220

480

tv

vt

−=⇒=−−

=

=−−+

=

203

50 024

5

620

480

0245

620

480

tvvt

vt

vtvt

vt

6

3

10182

324

04823

5

480203

50

2

=+=

=∆

=−−

=

−

t

tt

tt

Odp. Czas podróŜy pierwszego samochodu wynosił 6 godzin a drugiego 4 godziny

i 48 minut.

Zadanie 28 Turysta Nowak wyrusza z miasta A do miasta B, w tym samym czasie turysta Kowalski

wyrusza z miasta B do miasta A i po pewnym czasie spotykają się. W momencie spotkania

turysta Nowak miał do miasta B jeszcze 40 minut marszu, zaś turystę Kowalskiego czekało

jeszcze 90 minut marszu do miasta A. Ile trwała podróŜ kaŜdego z turystów?

Niech sAB = , zaś t – oznacza czas w minutach, który upłynął od momentu

wyruszenia turystów do chwili ich spotkania.

18

Niech ponadto u i v oznaczają odpowiednio prędkości marszu turystów Nowaka

i Kowalskiego.

Wówczas svtut =+ (*)

Ponadto stv

stu

=+=+

)90(

)40(

Zatem 40+

=t

su

90+=

t

sv

Po podstawieniu wyznaczonych u i v do równania (*) otrzymujemy

st

t

st

t

s =⋅+

+⋅+ 9040

19040

=+

++ t

t

t

t

Po przekształceniach otrzymujemy równanie

36002 =t , czyli 60=t

Wobec powyŜszego marsz turysty Nowaka trwał 60+40=100 minut, zaś marsz turysty

Kowalskiego trwał 60+90=150 minut.

Zadanie 29 Karawana o długości 1 km jedzie przez pustynię z prędkością 4 km/h. Co jakiś czas od czoła

karawany do jej końca i z powrotem jedzie goniec z prędkością 6 km/h. Oblicz długość drogi

tam i z powrotem, którą pokonuje goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi.

Oznaczmy:

v – prędkość gońca

t – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie ku końcowi karawany

T – czas, w ciągu którego posłaniec jedzie od końca karawany ku jej przodowi

km 1 km/h, 4 km/h, 6 :Dane 1 === dvv

ZauwaŜmy, Ŝe jadąc ku końcowi karawany posłaniec przebywa drogę długości vt km,

o tv1 krótszą niŜ długość karawany.

h 10

1

11 =+

=⇒=+vv

dtdtvvt

ZauwaŜmy, Ŝe w drodze powrotnej posłaniec przebywa drogę długości vT km,

o Tv1 km dłuŜszą niŜ długość karawany.

19

h 2

1

11 =−

=⇒=−vv

dTdTvvT

Obliczamy czas, w ciągu którego posłaniec pokonuje drogę tam i z powrotem:

)h( 5

3

2

1

10

1 =+=+ Tt min 36h 5

3 =

Obliczamy długość pokonywanej przez posłańca drogi:

( ) km 6,3h

km 6h

5

3 =⋅=⋅+= vTts

Zadanie 30 Kolumna wojska ma długość 80 m i porusza się względem szosy z prędkością 7,2 km/h.

Dowódca z końca kolumny wysyła gońca do czoła kolumny z meldunkiem. Goniec wraca

po czasie 30 s. Jaka była prędkość gońca względem szosy?

Wprowadźmy oznaczenia:

s

m 2

s

m

36

72

s 3600

m 10002,7

h

km 2,71 ==

⋅==v m 80=d s 30=t

v - szukana prędkość gońca względem szosy

Wtedy:

11 vv

d

vv

dt

++

−=

Czyli:

( ) ( ) ( )

h

km 6,21

h 1000

km 36006

h 3600

1km 001,06

s

m 6

630

1000080

44

02

21

22

21

22

21

2

21

221

=⋅=⋅=

=+=++

=

+=∆

=−−

−=−++

t

vtddv

vtd

tvdvtv

vvtvvdvvd

Odp. Prędkość gońca wynosiła 21,6 km/h.

Zadanie 31

Po zelektryfikowaniu linii kolejowej prędkość pociągów osobowych zwiększyła się

o 10 km/h, a czas jazdy na trasie o długości 200 km zmniejszył się o 1 h.

W ciągu ilu godzin pociąg przebiega trasę 200 km po zelektryfikowaniu linii?

20

Niech

v – prędkość pociągu przed zelektryfikowaniem

t – czas przejazdu 200km przed zelektryfikowaniem

Wtedy

( )( )

=−+=⋅

200110

200

tv

tv

Zatem

( )

52

91 81

020

02001010

010200

10

200110200

200

2

2

=+==∆

=−−

=−−

=−−

=−

+

=

t

tt

tt

tt

tt

tv

Zadanie 32 (Egzamin maturalny z matematyki, 2011) Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc kaŜdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu kaŜdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

I sposób rozwiązania Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y – liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę.

( )( )

=−+=

112123

112

yx

xy

( )

284

112

42

113

121

0283

11212112

3

112

2

==

=+−=

=∆=−+

=

−+

=

y

x

xx

xx

xy

( )

428

112

282

4412

44

044812

112123112

112

2

2

==

=+=

=∆

=−−

=−

+

=

x

y

yy

yy

yx

Odp.: Turysta przechodził dziennie 28 km.

21

II sposób rozwiązania

Niech x oznacza liczbę dni wędrówki, y – liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę. Liczbę kilometrów przebytych kaŜdego dnia przez turystę opisujemy równaniem

x

y112=

Turysta moŜe przeznaczyć na wędrówkę o 3 dni więcej, idąc kaŜdego dnia o 12 km mniej, wówczas zapisujemy równanie:

123

112112 ++

=xx

Przekształcamy to równanie do postaci 02832 =−+ xx .

Zadanie 33 (Egzamin maturalny z matematyki, 2007) Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

km 210 h, 2

1 km/h, 10 :Dane 00 === stv

Sposób 1

Wprowadźmy oznaczenia: v – średnia prędkość samochodu,

v

s– czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością v,

0vv

s

+– czas, w którym samochód przebył drogę ze średnią prędkością 0vv + .

Warunki zadania zapisujemy za pomocą równania:

0tvv

s

v

s =+

− , czyli

2

1

10

210210 =+

−vv

które po przekształceniu przyjmuje postać:

04200102 =−+ vv

Rozwiązaniem równania są liczby: 70,60 21 −== vv .

Odrzucamy rozwiązanie ujemne, które jest niezgodne z warunkami zadania. Odpowiedź: Samochód jechał ze średnią prędkością 60 km/h.

22

Sposób 2

( )( )

=−+=

sttvv

svt

00

( )

=

−+

=

2102

110

210

tv

vt

JeŜeli v

t210= , to

( )

60655

65

0210052

1

0420010

2102

121010

2

2

2

=+−==∆

=−+

=−+

=

−+

v

vv

vv

vv

Zadanie 34 (Egzamin próbny maturalny z matematyki, 2010) Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niŜ samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość kaŜdego samochodu do chwili spotkania. I sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B i niech t oznacza czas od chwili wyjazdu tego samochodu do chwili spotkania. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta A: 174 km. Zapisujemy układ równań

( )( )

=−−=⋅

174117

300

tv

tv

Przekształcając drugie równanie uwzględniając warunek 300=⋅ tv otrzymujemy: tv 17143−= Otrzymaną wartość v podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy: 030014317 2 =+− tt Rozwiązaniami tego równania są liczby:

17

74

17

751 ==t 42 =t

Stąd 75,68 21 == vv .

Odpowiedź: pierwsze rozwiązanie: km/h 68,km/h 51 == BA vv

23

drugie rozwiązanie: km/h 75km/h, 58 == BA vv gdzie Av oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta A, a Bv oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta B.

Uwaga. MoŜemy otrzymać inne równania kwadratowe z jedną niewiadomą:

,017410917 2 =+− AA tt lub 029581092 =+− AA vv lub 05100143

2 =+− BB vv

II sposób rozwiązania Niech Av oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,

zaś Bv oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta B oraz niech t oznacza czas od chwili wyjazdu samochodu z miasta B do chwili spotkania samochodów. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta A:

174 km.

Zapisujemy równania: 1

174

−=

tvA t

vB300=

wówczas otrzymujemy równanie tt

30017

1

174 =+−

.

Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 030014317 2 =+− tt .

III sposób rozwiązania Niech Av oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta A,

zaś Bv oznacza średnią prędkość samochodu.

Wiedząc, Ŝe pierwszy samochód wyruszył o godzinę później niŜ drugi

samochód otrzymujemy równanie:

BA vv

3001

174 =+

Czyli ABAB vvvv 300174 =+ . (*)

Wiemy takŜe, Ŝe 17−= BA vv , co po podstawieniu do równania (*) daje

( ) ( )

752

7143 68

2

7143

49

05100143

17300171742

=+=∨=−=

=∆=+−

−=−+

BB

BB

BBBB

vv

vv

vvvv

51=Av lub 58=Av

24

Zadanie 35

Zwiększywszy prędkość pociągu o 10 km/h zyskuje się 40 minut na trasie. Jeśli jednak

prędkość zostanie zmniejszona o 10 km/h, traci się 1 godzinę. Jaka jest długość trasy?

Niech

v – prędkość pociągu, s – długość trasy

Wtedy

=−−

=+

−

110

3

2

10

v

s

v

sv

s

v

s

Stąd

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

200605015

1

50

255

101510010

151010

10

110

30

2

10

1030

2

1030

2

103

210

2

=⋅⋅=

==

−=+−+

=+−−+

=+−−

+

+=

+=−+

s

v

v

vvvv

vv

vvv

vv

v

vv

vvs

vvsvvs

Odp. Długość trasy wynosi 200 km.

Zadanie 36 (Egzamin maturalny z fizyki, 2008) Rowerzysta pokonuje drogę o długości 4 km w trzech etapach, o których informacje

przedstawiono w tabeli. Przez d oznaczono całą długość drogi przebytej przez rowerzystę.

Przebyta droga Wartość prędkości średniej

w kolejnych etapach w m/s

etap I 0,25d 10

etap II 0,50d 5

etap III 0,25d 10

Oblicz całkowity czas jazdy rowerzysty.

25

Niech 321 tttt ++=

Z danych z tabeli dostajemy m 1000,m 2000,m 1000 321 === sss

Zatem

st 100

s

m 10

m 10001 == s 400

s

m 5

m 20002 ==t s 100

s

m 10

m 10003 ==t

s 600s 100s 400s 100 =++=t

Zadanie 37 (Egzamin maturalny z fizyki, 2005) Po rzece, której nurt ma prędkość 1 m/s, płynie pod prąd motorówka. Wartość prędkości motorówki względem wody wynosi 3 m/s. Oblicz, ile sekund będzie trwał rejs motorówką między przystaniami odległymi od siebie o 2000 m.

Wyznaczamy wartość v prędkości motorówki względem brzegu

s

m 2

s

m 1

s

m 3 =−=v

Obliczamy czas ruchu motorówki

s 1000==v

st

Zadanie 38 (Egzamin maturalny z fizyki, 2009) Samochód porusza się po prostoliniowym odcinku autostrady. Drogę przebytą przez

samochód opisuje równanie: 25,115 tts += (w układzie SI z pominięciem jednostek).

Ile wynoszą wartości prędkości początkowej i przyspieszenia tego samochodu?

2

2

0

attvs +=

Odp. s

m 150 =v 2s

m 3=a

Zadanie 39 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Dwaj rowerzyści poruszając się w kierunkach wzajemnie prostopadłych oddalają się od siebie z prędkością względną o wartości 5 m/s. Wartość prędkości jednego z nich jest równa 4 m/s. Ile wynosi zatem wartość prędkości drugiego rowerzysty?

Odp. s

m 3

26

Zadanie 40 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Samochód rusza z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem

o wartości 3 2s

m i porusza się po prostoliniowym, poziomym odcinku autostrady. Oblicz

wartość prędkości średniej samochodu po pierwszych czterech sekundach ruchu.

2

2ats

t

sv

=

= ⇒

s

m 6

2

s 4s

m 3

22

22

=⋅

=== att

atv

Zadanie 41 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Lokomotywa manewrowa pchnęła wagon o masie 40 ton nadając mu początkową prędkość o wartości 5 m/s. Wagon poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym zatrzymał się po upływie 20 s. Oblicz wartość siły hamującej wagon.

N 10s 20s

m 5

kg 1040 43 =⋅⋅=∆∆=⇒

=

∆∆=

t

vmF

m

Fa

t

va

Zadanie 42 (Egzamin maturalny z fizyki, 2007) Gimnastyczka wyrzuciła pionowo w górę piłkę z prędkością o wartości 4 m/s. Piłka w momencie wyrzucania znajdowała się na wysokości 1 m licząc od podłogi. Oblicz wartość prędkości, z jaką piłka uderzy o podłogę. ZałóŜ, Ŝe na piłkę nie działa siła oporu.

ghvvghvv

mvmgh

mvEEE kpk

22

222

02

02

220

00

+=⇒+=

=+⇒=+

s

m 6m 1

s

m 102

s

m 16

22

2

=⋅⋅+=v

Zadanie 43 (Egzamin próbny maturalny z fizyki, 2006) Dwaj kolarze zbliŜali się do mety, jadąc jeden obok drugiego ruchem jednostajnym z prędkością 15 m/s. W odległości 100 m od mety jeden z nich przyspieszył i jadąc ruchem jednostajnie przyspieszonym po sześciu sekundach minął metę. W jakiej odległości od mety znajdował się wówczas drugi kolarz jadący do końca z niezmienną prędkością?

m 90s 6s

m 15 =⋅== vts

Odp. 10m

27

Zadanie 44 (Egzamin próbny maturalny z fizyki, 2006) Dwie rakiety poruszają się wzdłuŜ tej samej prostej naprzeciw siebie z prędkościami (względem pewnego inercjalnego układu odniesienia) o wartościach cv 3,01 = i cv 3,02 = . Względną prędkość rakiet moŜna obliczyć w sposób relatywistyczny, korzystając z równania

c

vvvv

v21

21'

1+

+= lub klasyczny.

a) Oblicz w sposób klasyczny i relatywistyczny wartość prędkości względnej obu rakiet.

b) Zapisz, jak zmieni się stosunek prędkości względnej obliczonej w sposób relatywistyczny do wartości prędkości obliczonej w sposób klasyczny, jeśli wartości prędkości rakiet zostaną zwiększone.

a) Obliczenie prędkości względnej klasycznie:

s

m 108,16,0 821 ⋅==+= cvvv

Obliczenie prędkości względnej relatywistycznie:

s

m 1052,155,0 8' ⋅=≈ cv

c) Stosunek wartości prędkości będzie malał.

28

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWI ĄZANIA

1. Samochód przejechał trasę długości 84 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą

o 12 km/h, to przejechałby te trasę w czasie o 21 minut krótszym.

Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

2. Pociąg o długości 120 m porusza się ruchem jednostajnym z prędkością 18 km/h. Jak długo

pociąg będzie się znajdował na moście, którego długość wynosi 480 m?

3. Z miasta A do miasta B jadą motocykliści ze stałymi prędkościami. Jeden z nich ma

prędkość o 8% większą od prędkości drugiego i czas przejazdu o 10 minut krótszy.

Obliczyć czas przejazdu z A do B kaŜdego z motocyklistów.

4. Ile czasu potrzebuje motocyklista jadący z prędkością 90 km/h na wyprzedzenie cięŜarówki

z przyczepą o łącznej długości 20 m, jadący z prędkością 84 km/h?

5. Prędkość samolotu lecącego z wiatrem wynosi 280 km/h. Gdy ten samolot leci pod wiatr,

to jego prędkość wynosi 250 km/h. Jaka jest prędkość własna samolotu, a jaka prędkość

wiatru?

6. Statek przepłynął z prądem rzeki, drogę z miasta A do miasta B w ciągu 8 godzin.

Z powrotem przepłynął tę drogę w ciągu 10 godzin. Ile godzin będzie płynęła do B piłka

rzucona do rzeki w mieście A?

7. Z miejscowości A wyjechał rowerzysta, a w ślad za nim, po upływie 1 godziny i 20 minut

motocyklista. Po jakim czasie od chwili wyjazdu rowerzysty nastąpi spotkanie, jeŜeli

prędkość rowerzysty wynosi 15 km/h, a motocyklisty 45 km/h?

8. Dwaj turyści idą sobie naprzeciw z dwóch miejscowości A i B odległych o 30 km. Jeśli

Pierwszy turysta wyruszy o 2 h wcześniej niŜ drugi, to spotkają się po upływie 2,5 h od

chwili wyruszenia drugiego turysty. Jeśli zaś drugi turysta wyruszy o 2 h wcześniej niŜ

pierwszy, to spotkają się po upływie 3 h od wyruszenia pierwszego turysty.

Jaka jest średnia prędkość kaŜdego turystów?

9. Piotr i Paweł ścigają się na 100 metrów. Piotr wygrywa o 10 metrów. Decydują się ścigać

Jeszcze raz, ale tym razem, aby wyrównać szanse, Piotr startuje 10 metrów przed linią

startu. ZałóŜmy, Ŝe obaj biegną z taką samą stałą prędkością, jak poprzednio. Kto wygra?

10. Oblicz wartość średniej prędkości motocyklisty na prostoliniowym odcinku drogi jeśli

pierwszą połowę odcinka drogi przebył z średnią prędkością o wartości 40 km/h, a drugą

połowę z prędkością o wartości 60 km/h.

11. Oblicz średnią szybkość pociągu, który połowę czasu podróŜy pomiędzy dwiema stacjami poruszał się z szybkością 80 km/h, a drugą połowę czasu z szybkością 60 km/h.

29

BIBLIOGRAFIA

1. Arkusze maturalne – www.cke.edu.pl

2. Matematyka 10/2009 Witold Bednarek: Zadania z prędkością.

3. Portal www.zadania.info