Upload
vandat
View
233
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
P I O T R D U D Z I Ń S K I
ZADANIA Z M A T E M A T Y K I D L A STUDENTÓW KIERUNKÓW
E K O N O M I C Z N Y C H
G D Y N I A 2003
Piotr Dudziński, Z a d a n i a z m a t e m a t y k i d l a s tudentów kie r u n k ó w e k o n o m i c z n y c h , Gdynia 2003, s. 84, bibliografia 5 poz. Skrypt zawiera rozwiązania przykładowych zadań z analizy mate
matycznej i algebry liniowej. Do każdego rozdziału są dołączone zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania oraz przykła
dy testów wielokrotnego wyboru dotyczących danego tematu i przykładowe kolokwia (także w formie testów wyboru). Na końcu
książki są zamieszczone odpowiedzi do wszystkich zadań.
Opracowanie komputerowe: dr PiotrDudziński
Recenzent: prof. dr hab. Andrzej Borysowicz
Druk: Drukarnia Wydawnictwa Diecezji Pelplińskiej „Bernardinum" w Pelplinie
ISBN 83-918369-0-8
SPIS TREŚCI
Wstęp 5
Granice ciągów, granice funkcji, ciągłość 7
Rachunek różniczkowy 19
Rachunek całkowy 37
Algebra liniowa 42
Odpowiedzi 65
Bibliografia 83
WSTĘP
Niniejszy skrypt jest adresowany do studentów pierwszego roku studiów
w Wyższej Szkole Administracji i Biznesu w Gdyni i oparty jest na wykładzie
z matematyki jaki tam jest prowadzony. Materiał jaki jest omawiany pozwala
jednak na korzystanie z książki także przez studentów kierunków ekonomicz
nych innych uczelni.
Opanowanie przez studentów przedmiotu jakim jest matematyka wymaga
pracy zarówno w trakcie zajęć w szkole, jak i samodzielnego rozwiązywania
zadań w domu. Prezentowana książka jest pomyślana jako pomoc zarówno
w jednym, jak i w drugim. Każdy rozdział zawiera na początku szczegółowe
rozwiązania szeregu typowych zadań z danego zakresu partii materiału, co
pozwala na samodzielną ich analizę. Do każdego rozdziału jest dołączona
duża ilość zadań przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania. Na końcu
książki są zamieszczone odpowiedzi do wszystkich zadań. Każdy rozdział
kończy się przykładami testów wielokrotnego wyboru dotyczących danego
tematu. Ponadto dołączone zostały propozycje przykładowych kolokwiów
(także w formie testów).
Rozdział 1
G R A N I C E CIĄGÓW, G R A N I C E F U N K C J I , CIĄGŁOŚĆ
Zadanie 1. Obliczyć granice ciągów:
6 n 3 - 4n 2 + 3n - 7
Z A D A N I A
Przykładowy test
Odpowiedzi
1. A) nie, B) tak, C) nie,
2. A) nie, B) tak, C) tak,
3. A) tak, B) tak, C) tak,
4. A) tak, B) nie, C) nie,
5. A) tak, B) nie, C) tak,
6. A) nie, B) tak, C) tak,
7. A) nie, B) nie, C) tak,
8. A) nie, B) tak, C) tak.
Rozdział 2
R A C H U N E K RÓŻNICZKOWY
3) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji / w punkcie X Q , gdy
Przykładowy test
Odpowiedzi
1. A) nie, B) tak, C) tak,
2. A) tak, B) nie, C) tak,
3. A) tak, B) nie, C) tak,
4. A) tak, B) nie, C) nie,
5. A) tak, B) nie, C) tak,
6. A) tak, B) tak, C) nie,
7. A) nie, B) tak, C) tak,
8. A) tak, B) nie, C) nie.
Przykładowe kolokwium 1
B) maleje w przedziale (2,4),
C) osiąga w punkcie x = 4 maksimum lokalne.
A) |TAK| | NIE | B) |TAK| | NIE
Odpowiedzi
1. A) nie, B) tak, C) tak,
2. A) tak, B) nie, C) tak,
3. A) tak, B) tak, C) nie,
4. A) tak, B) tak, C) nie,
5. A) tak, B) nie, C) nie.
Przykładowe kolokwium 2
Przykładowe kolokwium 3
Przykładowe kolokwium 4
A) T A K N I E B) J A K 1 NIE
Odpowiedzi
1. A) tak, B) nie, C) nie,
2. A) tak, B) nie, C) tak,
3. A) tak, B) tak, C) nie,
4. A) tak, B) nie, C) tak,
5. A) tak, B) nie, C) tak.
36
Rozdział 3
Zadanie 2. Obliczyć całki oznaczone:
Rozdział 4
wierszach. Są to: zamiana wierszy, pomnożenie wiersza przez liczbę różną
od zera, oraz dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę.
Każda z tych operacji prowadzi do układu równoważnego z wyjściowym, tzn.
posiadającego ten sam zbiór rozwiązań. W niniejszym przykładzie dokonu
jemy następujących przekształceń:
Z ostatniego równania wynika, że z = 3. Po podstawieniu tego wyniku do
drugiego równania otrzymujemy y — — 1. Wstawiamy obie liczby do pier
wszego równania, skąd wynika, że x — 2. Ostatecznie rozwiązaniem układu X - 2
równań jest \ y — — 1 . z = 3
Powyższy układ rozwiązujemy parametryzując tę niewiadomą, której nie ma
na głównej przekątnej, w tym przypadku jest to zmienna z. Przyjmujemy
z = t, gdzie t e R i przenosimy parametr t w każdym równaniu na stronę
wyrazów wolnych. Układ równań przyjmuje następującą postać:
= 1 + t
= 3 - 2 *
2 Z ostatniego równania otrzymujemy y = 1 — -t. Wstawiamy uzyskaną
5 wartość do pierwszego równania i po przekształceniach otrzymujemy x = —t.
Z A D A N I A
5) Rozwiązać równania macierzowe:
6) Rozwiązać układy równań liniowych stosując metodę eliminacji Gaussa.
Przykładowy test 1
4) Układ równań
Przykładowy test 2
Przykładowy test 3
A) nie ma rozwiązań?
B) ma rozwiązanie takie, że x + 2y + z — t = 0,
C) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
A) ITAK] | NIE B) [TAK] 1 NIE C) [TAK| | NIE
Odpowiedzi
1. A) tak, B) nie, C) tak,
2. A) tak, B) nie, C) nie,
3. A) tak, B) tak, C) tak,
4. A) tak, B) nie, C) nie.
Przykładowy test 4
A) nie ma rozwiązań,
B) ma rozwiązanie takie, że x + 2y + z = 0,
C) ma nieskończenie wiele rozwiązań.
A) T A K NIE B) |TAK| | NIE C) [TAK] | NIE
Odpowiedzi
1. A) tak, B) tak, C) nie,
2. A) nie, B) tak, C) nie,
3. A) tak, B) tak, C) tak,
4. A) tak, B) nie, C) nie.
O D P O W I E D Z I
Rozdział 2.
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
- 1 1 3 - 2
7 - 4
- 5 3 1 2 0 2 1
i u
2 11
i 11
3 11
1 1 - 2
O - 2 - 3
O - 1 - 2
2 - 1 2
1 - 1 - 1
- 1 1 2
(5.1) X =
(5.2) X =
(5.3) X =
(5.4) X =
(5.5) X =
(5.6) X =
1 2
1 - 1
6 1
8 2
2 - 6
0 2
1 4 - 1
O 2 1
10 - 6
- 3 4 25
5 8
3 5
78
B I B L I O G R A F I A
1. W.Krysicki , L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, P W N ,
Warszawa. 1993.
2. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych,
Wyd. Akad. Ekon., Poznań, 2000.
3. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych,
ćwiczenia, Wyd . Akad. Ekon., Poznań, 1999.
4. M. Sadowski, T. Spanily. Matematyka w zadaniach dla studentów
kierunków ekonomicznych, Wyd . Uniw. Gda., Gdańsk, 1999.
5. T. Spanily, Elementy matematyki dla ekonomistów, Wyższa Szkoła A d
ministracji i Biznesu, Gdynia, 1996.