Embed Size (px)
Citation preview
Примеры решения задач.
1. С каким ускорением летит самолет, если на него действуют четыре силы: по вертикали – сила тяжести 200 кН и подъемная сила 210 кН; по горизонтали – сила тяги двигателя 20 кН и сила лобового сопротивления воздуха 10 кН (рис. 2.1 а)? Как направлено ускорение?
Дано: кН, кН, кН, кН.Найти: , .
Результирующая вертикальных сил равна.
Результирующая горизонтальных сил равна.
Результирующая всех сил равна диагонали квадрата, построенного на сторонах и (рис. 2.1 б).
По II закону Ньютона
.
Направление ускорения совпадает с направлением результирующей силы
, .
Ответ: , направлено ускорение под углом к горизонту.
2. Шахтная клеть в покое весит 2500 Н. С каким ускорением опускается клеть, если ее вес уменьшается до 2000 Н?
Дано: , .
Рис. 2.1 а) Рис. 2.1 б)
Найти: a.На клеть действуют сила тяжести и сила
натяжения каната (рис. 2.2). Предположим, что ускорение направлено вниз.Вес – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда клеть в покое, модули веса и силы тяжести равны: .Когда клеть движется, модули веса и силы натяжения равны: .Запишем II закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось :
или ,откуда
, .
Следовательно,
.
Ответ: .
3. С какой силой давит на дно шахтной клети груз массой 100 кг, если клеть движется с ускорением 0,245 ? Клеть движется вверх, ускорение направлено 1) вверх; 2) вниз. Ускорение свободного падения принять равным 9,8 .
Дано: , , .Найти: - для ускоренного движения; - для замедленного
движения.На груз, лежащий на полу шахты, действуют две силы: - сила тяжести
и - сила нормальной реакции опоры. 1) Рассмотрим ускоренное движение клети вверх (рис.2.3). Направим ось вертикально вверх и запишем второй закон Ньютона в проекциях на эту ось:
.Опора (дно клети) и груз взаимодействуют, поэтому - сила давления груза на дно клети по третьему закону Ньютона равна по модулю - силе реакции опоры, а по направлению эти силы
противоположны и приложены к разным телам. ; .Итак, . Вычислим : .
Рис.2.3
Рис. 2.2
Рис. 2.3
2) Рассмотрим замедленное движение вверх (рис. 2.4). Направим ось y вертикально вниз и запишем второй закон Ньютона в
проекциях на эту ось:.
Третий закон Ньютона выполняется и в этом случае.
.Вычислим :
.
Ответ: 1004H, .
4. Брусок массой 400 г движется горизонтально под действием силы 1,4 H. Коэффициент трения 0,20. В некоторой точке скорость бруска 4,0 м/с. Какой будет его скорость на расстоянии 3,0 м от этой точки?
Дано: г, , 0, , .Найти: .
На брусок действует 4 силы: сила тяги - , тяжести -
, трения - и реакция опоры - (рис. 2.5).
Запишем II закон Ньютона в проекциях на ось :
(1)
Проектируя векторы сил и ускорения на ось , получим:
.Найдем силу трения: .Из уравнения (1) найдем ускорение
.
Движение бруска равноускоренное: ,откуда
Рис. 2.4
Рис. 2.5
;
.
Ответ: .
5. Груз массой 100 кг равномерно перемещают по горизонтальной поверхности, прилагая силу под углом к горизонту. Найти значение этой силы в двух случаях: когда груз тянут и когда его толкают. Коэффициент трения равен 0,030. В каком случае можно прикладывать меньшую силу?
Дано: , , .Найти: , .
1) Груз тянут (см. рис. 2.6). В этом случае сила направлена вверх от горизонтали. При равномерном движении тела результирующая всех сил равна нулю и результирующие всех проекций сил на оси и равны нулю.
.Т. к. , а ,
. Тогда .
Решая уравнение, находим : ;
; .
2) Груз толкают (см. рис. 2.7). В этом случае сила направлена вниз от горизонтали.
; ; (1);
.Подставим силу трения в выражение (1):
; ;
; .
Ответ: , . Когда груз тянут, прикладывают меньшую силу.
6. Груз массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.
Дано: , , , .Найти: .
Рис.2.6
Рис. 2.7
Рис. 2.6
Рис. 2.7
На груз действуют 4 силы (рис.2.8): - сила тяги; - сила нормальной реакции опоры; - сила тяжести; - сила трения. Вектор ускорения направлен параллельно горизонтальной плоскости направо. Запишем второй закон Ньютона для тела в векторной форме:
.
Направим ось горизонтально, ось - вертикально и спроектируем векторы сил и ускорения на эти оси.Второй закон Ньютона в проекциях на выбранные направления запишется в виде:
(1) (2)
Найдем силу реакции опоры
Сила трения равна.
Из уравнения (1) найдем ускорение
.
Вычислим ускорение
.
Ответ: .
Рис. 2.8
7. Крыша дома наклонена под углом к горизонту. Удастся ли человеку пройти вверх по обледенелой крыше, если коэффициент трения равен 0,03?
Дано: , .Найти: Поднимется ли человек по обледенелой
крыше?На человека, идущего по крыше, действуют три
силы (рис. 2.9): сила тяжести -
, реакции опоры - и сила трения -
. Т. к. нога человека на
обледенелой крыше скользит вниз, сила трения направлена вверх.Найдем проекции силы тяжести на ось
- и ось - . Человек сможет подняться по крыше при условии:
.
В данном случае ; ; Следовательно, , , .
Ответ: человеку не удастся пройти вверх по обледенелой крыше.
8. Автомобиль массой 4 т движется в гору с ускорением . Найти силу тяги, если уклон (h/l = sin) равен 0,02 и коэффициент трения 0,04.
Дано: т, , , .Найти: .
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и (см. рис. 2.10):; .
Т. к. , получим
..
.Ответ: .
Рис. 2.9
9. Два груза с массами и связаны между собой нитью, перекинутой через блок, укрепленный в вершине двух плоскостей, на которых лежат грузы. Плоскости составляют с горизонтам углы и . Правый груз находится ниже левого на величину . Через время после начала движения оба груза оказались на одной высоте. Определить отношение масс грузов, если коэффициент трения между грузами и плоскостями равен .
Дано: , , , , , , .Найти: .
На каждый груз действуют по четыре силы (рис. 2.11). Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси
и для первого тела: ;
.Сила трения равна
.Подставив выражение для силы трения во второй закон Ньютона, получим:
. (1)Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и для второго тела:
; .
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Найдем силу трения второго тела о плоскость и подставим выражение для нее во второй закон Ньютона:
; . (2)
Силы натяжения нити по модулю равны в соответствии с третьим законом Ньютона. Чтобы исключить силы натяжения нитей сложим (1) и (2) уравнения: . (3)Тела движутся с одинаковым ускорением и за одно и то же время проходят
одинаковый путь . Поэтому ,
откуда найдем ускорение .
В уравнение (3) подставим выражение для ускорения и перенесем слагаемые с в левую сторону уравнения, а слагаемые с - в правую.
.
Найдем отношение масс грузов:
.
Это ответ.
10. На нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены грузы массами и . С каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения нити?
Дано: , .Найти: , T.Запишем второй закон Ньютона в проекциях на
вертикальную ось для каждого из двух тел (см. рис. 2.12).
; .Сложим оба уравнения
; .Получим
; .
Ответ: , .
11. Найти натяжение нити в устройстве, изображенном на рисунке 2.13. Массы тел соот-ветственно равны и . Блоки невесомые, нить нерастяжимая. Найти ускорение грузов.
Дано: , .Найти: , , .
Рис. 2.12
Тело поднимается. Подвижный блок с телом опускается. Тела движутся с различными ускорениями. Если первое тело поднимется на высоту
, второе опустится за это же время на высоту . Пройденные пути прямо пропорциональны ускорениям: . Поэтому . На каждое из движущихся тел действуют по две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. Силы изображены на рисунке 2.14 с учетом третьего закона Ньютона. Если по условиям задачи движется несколько связанных тел, второй закон Ньютона необходимо записывать для каждого тела.Закон в векторной форме для первого и второго тела:
; .В проекциях на ось получим: .Найдем , решая систему двух уравнений:
;
; ;
.
Вычислим силу натяжения нити: .
Найдем ускорение первого груза: .
Найдем ускорение второго груза:
.
Ответ: , , .
12. На рисунке 2.15 и . Нить, связывающая тела и , выдерживает нагрузку не более . Разорвется ли эта нить,
Рис. 2.13
Рис. 2.14
Рис. 2.15
Рис. 2.14
если масса груза ? Разорвется ли нить, если грузы и поменять местами?
Дано: , , , Найти: , .Изобразим силы, действующие на грузы , , (рис. 2.16). Запишем
второй закон Ньютона для 1-го и 2-го тела в проекциях на горизонтальную ось, для 3-го тела в проекциях на вертикальную ось.
; ;.
Сложим три уравнения и найдем a:
;
.
Подставив это выражение в первое уравнение, получим
;
.
- нить не разорвется.
Если поменять местами 1-ое и 2-ое тела, то , а ускорение то же самое. Следовательно,
; .
- нить разорвется.Ответ: в первом случае нить не разорвется, во втором случае – разорвется.
13. Трактор массой 10 т проходит по мосту со скоростью 10 м/с. Какова сила давления трактора на середину моста, если мост; 1) плоский; 2) выпуклый с радиусом кривизны 200 м; 3) вогнутый с таким же радиусом кривизны.
Дано: т, , R = 200 м.Найти: 1) (мост плоский); 2) (выпуклый); 3) (вогнутый).
Рис. 2.16
Рис. 2.16
1). На трактор действуют 4 силы: тяжести , реакции опоры , силы тяги и трения (рис. 2.17). Скорость трактора постоянна по
модулю, а при движении по плоскому мосту не изменяет своего направления. Согласно первому закону Ньютона силы компенсируются
, .По третьему закону Ньютона сила реакции моста
равна по модулю силе давления автомобиля на мост. А их направления противоположны.
.
2). При движении по выпуклому мосту (рис. 2.18) скорость трактора изменяется по направлению, т.е. трактор имеет центростремительное ускорение.Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось :
; .
Используя третий закон Ньютона, найдем
,
.
3). Для вогнутого моста (рис. 2.19)
;
.
Ответ: , , .
Рис. 2.18
Рис. 2.18
Рис. 2.19
Рис. 2.17
Рис. 2.18
Рис. 2.19
14. Чему равна сила давления автомобиля на выпуклый мост в 26 м от его середины, если масса автомобиля с грузом 5 т, скорость 54 км/ч, а радиус кривизны моста 50 м?
Дано: , , , .Найти: .На автомобиль, движущийся по выпуклому мосту (рис.2.20), действуют
сила тяжести и сила реакции опоры . Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось, направленную по радиусу к центру:
mgcos N = maц (1)Центростремительное ускорение определится по формуле
.
Угол между радиусом окружности и силой тяжести равен центральному углу, который опирается на дугу длиной . Центральный угол найдем по формуле
.
Переведем радианы в градусы: . По третьему
закону Ньютона модули силы реакции моста и силы давления автомобиля на мост равны:
.Поэтому из уравнения (1) найдем , подставив в него выражения для и .
.
Вычислим силу давления автомобиля на мост:.
Ответ: .
15. Вычислить первую космическую скорость для Марса ( ).
Дано: .Найти: .
Сила, действующая на искусственный спутник (рис. 2.21), определяется
по закону всемирного тяготения: .
По II закону Ньютона , (1)где - центростремительное ускорение.
Следовательно, , (2)
Найдем массу Марса и подставим в (2):
; ;
Рис. 2.20
Рис. 2.21
Рис. 2.20
;
.Ответ: 3,5 км/с.
16. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты . Определить период обращения планеты вокруг собственной оси.
Дано: ; . Найти: - период обращения планеты.
Вес – это сила, с которой тело действует на опору или подвес. По третьему закону Ньютона на тело действует сила реакции опоры, по модулю равная весу и направленная противоположно. Кроме силы реакции опоры на тело действует сила притяжения тела к планете (рис.2.22).Запишем второй закон Ньютона для тела находящегося на экваторе:
. (1)
Так как через полюс проходит ось вращения планеты, тело, находящееся на полюсе, не вращается. Следовательно,
. (2)Из уравнений (1) и (2) найдем силы реакции опоры:
;
(3) . (4)Разделим уравнение (3) на уравнение (4):
.
Преобразуем полученное уравнение: ; . (5)Учтем закон всемирного тяготения: . Тело, находящееся на экваторе, вращается вместе с планетой со скоростью, которая равна длине окружности деленной на время одного оборота, т.е. период:
.Подставим и в уравнение (5):
.
Масса планеты равна . Тогда
Рис. 2.22
Рис. 2.22
Рис. 2.22
.
После сокращения величин найдем период обращения планеты:.
Вычислим период:
.
Ответ: .
17. Груз массой 0,5 кг описывает окружность в горизонтальной плоскости; при этом шнур длиной 50 см, на котором подвешен груз, описывает боковую поверхность конуса и образует с вертикалью угол . Определить угловую скорость вращения груза и центростремительную силу. Разорвется ли шнур при этом движении, если допустимая сила натяжения шнура 12 Н?
Дано: , , , .Найти: , . Разорвется ли шнур?
На вращающийся груз действуют 2 силы: сила тяжести и сила натяжения нити (рис. 2.23). Результирующая этих двух сил направлена по радиусу к центру окружности. По II закону Ньютона:
. (1)
Из треугольника сил следует
. (2)
Радиус окружности выразим через
длину шнура: .
Учитывая уравнения (1) и (2), найдем угловую скорость :
.
Вычислим : .
Найдем центростремительную силу: .Чтобы определить разорвется ли шнур, необходимо вычислить силу натяжения
нити . Из треугольника сил следует: .
Ответ: , , т.к. - шнур не разорвется.
18. Закругление железнодорожного пути расположено в горизонтальной плоскости. Какого радиуса должно быть закругление, рассчитанное на скорость
Рис. 2.23
Рис. 2.23
72 км/ч, если наружный рельс поднят над внутренним на 10,2 мм? Ширина колеи 1520 мм, .
Дано: , , , .
Найти: .На поезд действуют сила тяжести и сила реакции опоры (рис.2.24).
Результирующая этих сил направлена горизонтально по радиусу окружности к ее центру и сообщает поезду центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона:
(1)
Известно, что , а из рисунка видно, что . Угол мал, т.к. больше примерно в 150 раз. Поэтому h/l. Подставим полученные выражения в уравнение (1):
.
Откуда найдем радиус закругления : .
Вычислим :
.
Ответ: .
19. К кронштейну АВС (рис. 2.25) подвешен груз87 Н. Угол . Определить силы упругости в стержнях ВС и АС. Как будут изменяться эти силы с увеличением угла ?
Дано: , .Найти: , , , .Силу тяжести груза перенесем вдоль линии
действия силы в точку (рис. 2.26). Разложим ее на две составляющие силы: растягивает стержень , сжимает стержень . Найдем и .
; .
Рис. 2.24
Рис. 2.25
Рис. 2.24
Рис. 2.25
; .Силы упругости в стержнях по III закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению силам и . ; .Силы упругости в стержнях при увеличении угла будут
возрастать, т.к. уменьшается, а возрастает.
Ответ: , , , .20. Концы балки, длина которой 10 м и масса 10 т, лежат на двух опорах.
На расстоянии 2 м от левого конца на балке лежит груз массой 5 т. Определить силы реакции опор.
Дано: , т, , т.Найти: , .
На балку с грузом действуют 4 силы (рис. 2.27): сила тяжести балки , сила тяжести груза и силы реакции опор и . Точку опоры примем за центр вращения и запишем правило моментов относительно этой точки. Сила не создает вращающий момент относительно , т.к. плечо этой силы равно нулю. Силы и вращают балку по часовой стрелке, моменты этих сил возьмем со
знаком «плюс». Сила вращает балку вокруг против часовой стрелки и момент силы возьмем со знаком «минус».
.Найдем :
;
.
Сумма всех сил, действующих на тело, находящееся в состоянии равновесия, равна нулю.
;.
.Ответ: , .
21. Однородная балка массой 500 кг и длиной 5 м удерживается в горизонтальном положении опорами В и С. Опора В находится на расстоянии 2 м от точки С. В точке Е подвешен груз массой 250 кг. Расстояние АЕ равно 0,5 м (рис.2.28). Определить направление и величину реакций опор в точках В и С. Рис. 2.28
Рис. 2.26
Рис. 2.27
Дано: ; ; ; ; .Найти: , (величину и направление).На балку с грузом действуют силы тяжести балки , груза и силы
реакции опор , (рис. 2.29). Сила давления балки в опоре В направлена вертикально вниз, а сила реакции опоры направлена вертикально вверх по третьему закону Ньютона. Сила давления балки на опору С направлена вертикально вверх. В соответствии с III законом Ньютона сила реакции опоры
направлена вертикально вниз.Балка будет находиться в равновесии, если алгебраическая сумма
модулей моментов всех сил, действующих на балку, относительно любой оси вращения равна нулю.
Пусть горизонтальная ось вращения проходит через точку С перпендикулярно балке. Определим плечи сил относительно этой оси. Плечо силы , плечо силы , плечо силы , плечо силы 0. Сила
проходит через ось вращения С и не создает относительно этой оси вращающий момент. Сила вращает балку относительно оси С по часовой стрелке. Ее момент будем считать положительным. Силы и вращают балку против часовой стрелки. Их моменты считаем отрицательными. Запишем правило моментов:
.Откуда
.
Вычислим :
.
Силу реакции опоры можно найти двумя способами.1) Векторная сумма всех сил, действующих на балку с грузом, равна нулю, если балка находится в равновесии. Но алгебраическая сумма проекций всех сил на какую-либо ось также должна быть равна нулю. Т. к. в данной задаче все силы направлены вертикально, достаточно выбрать одну вертикальную ось, направленную, например, вверх. Тогда .Откуда .Вычислим :
.2) Ось вращения, горизонтальную, перпендикулярную балке, проведем через точку В. Запишем правило моментов относительно оси В:
.
Рис. 2.29
Рис. 2.28
Рис. 2.29
Сила не создает вращающий момент относительно оси В, т.к. проходит через ось вращения и плечо этой силы равно нулю.
Найдем : .
Вычислим :
.
Ответ: - направлена вверх, - направлена вниз.
22. Стержень длиной и массой нижним концом шарнирно соединен со стенкой. С вертикалью стержень образует постоянный угол благодаря горизонтально натянутой проволоке, которая соединена со стержнем на расстоянии от шарнира. Груз подвешен к верхней точке стержня. Найдите натяжение горизонтальной проволоки (рис. 2.30).
Дано: , , , , .Найти: .
Пусть ось вращения стержня проходит через точку горизонтально и перпендикулярно стержню (рис. 2.31). Нарисуем три силы, действующие на стержень с грузом: , , . Сила реакции опоры стержня о стенку проходит через ось вращения и не создает относительно этой оси вращающий момент. Плечи трех сил относительно точки :
, , . Запишем правило моментов относительно точки :
.Подставим в это уравнение выражения для плеч
.
Отсюда найдем силу натяжения :
.
Ответ: .
Рис. 2.30
Рис. 2.31
Рис. 2.31
23. Определить положение центра тяжести однородного диска радиуса , из которого вырезано отверстие радиуса . Центр выреза находится на расстоянии от центра диска.
Дано: , , .Найти: - расстояние от центра диска до центра тяжести фигуры с
вырезом.Пусть масса маленького диска,
который будет вырезан, - масса фигуры с вырезом. На рисунке 2.32 изобразим эти фигуры и их силы тяжести. Плечи этих сил относительно точки - и . По правилу моментов относительно центра большого диска
.Т. к. диск однородный, массы фигур можно найти как произведение плотности материала диска на объем фигур.
; .
Здесь - плотность материала диска, - площадь маленького диска, -
площадь большого диска с вырезом, - толщина диска.
Тогда . После сокращения получим: , .
Ответ: .
24. Однородный шар массой и радиусом висит, как показано на рисунке 2.33. Расстояние от точки крепления нити к стене до точки касания шара со стеной равно . Определить силу натяжения нити и силу реакции стены .
Дано: , , .Найти: , .
На шар действуют три силы: сила тяжести , сила реакции стены , сила натяжения нити . Из рисунка 2.34 следует, что
; ;
; ;
; ; .
Ответ: ; .
Рис. 2.32
Рис. 2.33
Рис. 2.32
Рис. 2.33
Рис. 2.34
