Young Calculus

7/30/2019 Young Calculus

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N o t e s o n a l g e b r a s , r e p r e s e n t a t i o n s a n d Y o u n g c a l c u l u s

L e t G b e a L i e g r o u p ( i . e . , a c o n t i n u o u s g r o u p w h o s e e l e m e n t s c a n b e p a r a m e t r i z e d i n

t e r m s o f r e a l p a r a m e t e r s , f o r w h i c h t h e g r o u p m a n i f o l d i s d i e r e n t i a b l e ) . T h e g e n e r a t o r s

o f G a r e d e n o t e d b y ta , a n d c a n b e d e n e d b y l o o k i n g a t e l e m e n t s q G, w h i c h a r e i n n i t e s i m a l l y c l o s e t o t h e i d e n t i t y e l e m e n t :

q = 1 + ia

xata + O(x2)

w h e r e t h e s u m m a t i o n i n d e x r a n g e s f r o m 1

t o t h e d i m e n s i o n o f t h e g r o u p , a n d t h e xa ' s a r e

i n n i t e s i m a l l y s m a l l p a r a m e t e r s .

T h e g e n e r a t o r s

taf o r m a b a s i s f o r a v e c t o r s p a c e ( c a l l e d t h e a l g e b r a o f g e n e r a t o r s o f

G ,

a n d u s u a l l y d e n o t e d a s g ) , i n w h i c h i t i s p o s s i b l e t o d e n e a n i n t e r n a l p r o d u c t o p e r a t i o n

d e n o t e d a s

[ , ]( L i e b r a c k e t ) , w h i c h i s l i n e a r i n e a c h o f i t s t w o a r g u m e n t s , a n d s a t i s e s

t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

1 . t h e L i e b r a c k e t i s a l t e r n a t i n g i n g : u, v g : [u, u] = 0. D u e t o t h e b i l i n e a r i t y , t h i s c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o a n t i s y m m e t r y :

u, v g : [u, v] = [v, u]

2 . J a c o b i i d e n t i t y : u,v,w g : [[u, v], w] + [[w, u], v] + [[v, w], u] = 0

I n a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r o u p G i n t e r m s o f s q u a r e m a t r i c e s o f s i z e N N ( i n w h i c h , o b v i o u s l y , a l s o t h e e l e m e n t s o f

ga r e s q u a r e m a t r i c e s o f t h e s a m e s i z e ) , t h e L i e b r a c k e t c a n

b e e x p r e s s e d a s t h e c o m m u t a t o r o f t w o m a t r i c e s :

[A, B] = AB BA ( 1 )

S i n c e t h e L i e p r o d u c t i s c l o s e d i n t h e a l g e b r a , a n d s i n c e t h e ta ' s a r e a b a s i s f o r t h e

a l g e b r a i t s e l f , L i e p r o d u c t s o f d i e r e n t g e n e r a t o r s c a n b e e x p r e s s e d a s l i n e a r c o m b i n a t i o n s

o f t h e ta ' s t h e m s e l v e s , n a m e l y :

[ta, tb] = ic

Cabctc ( 2 )

w h e r e t h e Cabc a r e c a l l e d t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s o f t h e a l g e b r a ; o w i n g t o t h e p r o p e r t i e s

o f t h e L i e b r a c k e t , t h e y s a t i s f y c e r t a i n c o n d i t i o n s ( f o r e x a m p l e , t h e a n t i s y m m e t r y o f t h e

L i e b r a c k e t i m p l i e s t h a t Cabc = Cbac ) .

A s a n e x a m p l e , i f w e c o n s i d e r t h e SU(2)

g r o u p i n i t s f u n d a m e n t a l ( d e n i n g ) r e p r e s e n -

t a t i o n i n t e r m s o f

2 2u n i t a r y c o m p l e x m a t r i c e s w i t h u n i t d e t e r m i n a n t , i t t u r n s o u t t h a t

t h e g e n e r a t o r s c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e t h r e e P a u l i m a t r i c e s a ( a {1, 2, 3}) a s :

ta =1

2a

1


2/6

w i t h :

1 =

0 11 0

, 2 =

0 ii 0

, 3 =

1 00 1

W i t h t h i s d e n i t i o n o f t h e

ta ' s , i t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t :

[ta, tb] = i3

c=1

abctc ( 3 )

( w h e r e 123 = 231 = 312 = 1, w h i l e 132 = 321 = 213 = 1 , a n d abc = 0 i f a t l e a s t t w o

i n d i c e s a r e e q u a l ) w h e r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s o f su(2) a p p e a r : Cabc = abc .N o t e t h a t , w i t h t h e c o n v e n t i o n s i n t r o d u c e d a b o v e , t h e

ta ' s o f a g e n e r i c su(N) a l g e b r a c a n b e r e p r e s e n t e d a s H e r m i t e a n t r a c e l e s s m a t r i c e s . T h e f a c t t h a t t h e t r a c e o f t h e ta ' s

v a n i s h e s i s r e l a t e d t o t h e r e q u i r e m e n t t h a t w e a r e d e a l i n g w i t h a s p e c i a l u n i t a r y g r o u p , i . e .

t h a t t h e d e t e r m i n a n t o f t h e g r o u p e l e m e n t s i s 1

.

T h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s a r e a t t h e v e r y c o r e o f t h e g e o m e t r i c s t r u c t u r e o f a n a l g e -

b r a : e s s e n t i a l l y , d e n i n g a n a l g e b r a m e a n s d e n i n g i t s s t r u c t u r e c o n s t a n t s . I n p a r t i c u l a r ,

t h i s i m p l i e s t h a t a n a l g e b r a c a n b e r e a l i z e d u s i n g d i e r e n t m a t r i c e s o f d i e r e n t s i z e s : t h e

r e l a t i o n s d e n e d b y e q . ( 2 ) c o u l d b e , f o r e x a m p l e , s a t i s e d b y a s e t o f m a t r i c e s o f s i z e

N1 N1 , o r b y a d i e r e n t s e t o f m a t r i c e s o f s i z e N2 N2 . T h i s c o r r e s p o n d s t o d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e a l g e b r a .

B y c o n s t r u c t i n g d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s o f a n a l g e b r a , i t i s a l s o p o s s i b l e t o o b t a i n t h e

c o r r e s p o n d i n g r e p r e s e n t a t i o n s o f t h e g r o u p , o f t h e s a m e s i z e : f o r g r o u p e l e m e n t s i n n i t e s i -

m a l l y c l o s e t o t h e i d e n t i t y e l e m e n t , t h e g r o u p a n d a l g e b r a e l e m e n t s a r e r e l a t e d b y e q . ( 1 ) ,

w h i c h , f o r a g e n e r i c e l e m e n t q

o f t h e g r o u p , g e n e r a l i z e s t o t h e e x p o n e n t i a l m a p :

q = exp

ia

xata

=

+n=0

1n!

ia

xatan

I f t h e g r o u p e l e m e n t s a r e r e p r e s e n t e d a s ( r e a l o r c o m p l e x ) m a t r i c e s o f s i z e N N, t h e y c a n b e c o n s i d e r e d a s l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s a c t i n g o n a

N- c o m p o n e n t ( r e a l o r c o m p l e x )

v e c t o r s p a c e .

M a n y p r o b l e m s i n p h y s i c s h a v e t o d o w i t h t h e p r o p e r t i e s o f a s y s t e m , w h i c h i s m a d e o f

s e v e r a l , s i m p l e r , o b j e c t s . I f e a c h c o m p o n e n t o f t h e s y s t e m h a s w e l l - d e n e d t r a n s f o r m a t i o n

p r o p e r t i e s w i t h r e s p e c t t o a c e r t a i n g r o u p o f t r a n s f o r m a t i o n s ( m e a n i n g , f o r e x a m p l e , t h a t

i t t r a n s f o r m s a c c o r d i n g t o a p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a t i o n o f t h e g r o u p ) , i t i s o f t e n u s e f u l t o

w o r k o u t w h i c h a r e t h e t r a n s f o r m a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m a s a w h o l e . O n e e x a m p l e

c o u l d b e t h e c o m p u t a t i o n o f t h e t o t a l s p i n o f a q u a n t u m s y s t e m o f t w o n o n - r e l a t i v i s t i c ,

i n d i s t i n g u i s h a b l e p a r t i c l e s : i f o n e o f t h e c o n s t i t u e n t s t r a n s f o r m s a s a n N- c o m p o n e n t r e a l o r

c o m p l e x v e c t o r u n d e r t h e g i v e n g r o u p o f t r a n s f o r m a t i o n s , a n d t h e o t h e r t r a n s f o r m s a s a n

M- c o m p o n e n t v e c t o r , t h e n t h e c o m p o u n d s y s t e m o f t h e t w o p a r t i c l e s c o u l d b e r e p r e s e n t e d

a s a v e c t o r w i t h N M c o m p o n e n t s , g i v e n b y t h e p r o d u c t s o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e t w o

o r i g i n a l v e c t o r s . T h e a c t i o n o f a t r a n s f o r m a t i o n i n t h e g r o u p o n s u c h a v e c t o r c a n t h e n b e

2


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d e s c r i b e d v i a t h e t e n s o r p r o d u c t o f t h e t w o m a t r i c e s t h a t d e s c r i b e t h e t r a n s f o r m a t i o n s

o f t h e t w o o r i g i n a l v e c t o r s , w h i c h i s a (N M) (N M) m a t r i x w i t h t h e s t r u c t u r e :

A B =

a11 . . . a1N. . . . . . . . .

aN1 . . . aNN

b11 . . . b1M. . . . . . . . .

bM1 . . . bMM

=

a11B a12B . . . a1NB

. . . . . . . . . . . .

aN1B aN2B . . . aNNB

=

a11b11 a11b12 . . . a11b1M a12b11 . . . a1Nb1Ma11b21 a11b22 . . . a11b2M a12b21 . . . a1Nb2M

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aN1bM1 aN1bM2 . . . aN1bMM aN2bM1 . . . aNNbMM

( N o t e t h a t i n g e n e r a l t h e t e n s o r p r o d u c t o f t w o m a t r i c e s i s n o t c o m m u t a t i v e : AB = BA,

b u t t h e t w o r e s u l t i n g m a t r i c e s c a n b e m a p p e d i n t o e a c h o t h e r b y a p e r m u t a t i o n o f r o w s

a n d c o l u m n s . )

I fA

i s a m a t r i x o f s i z e N N, a n d B i s o f s i z e M M, i t i s e a s y t o p r o v e t h a t :

tr(A B) = (trA) (trB), a n d

det(A B) = (det A)M

(det B)N

.

A d i e r e n t o p e r a t i o n o n m a t r i c e s i s t h e t e n s o r s u m , w h i c h c a n b e u s e d t o d e s c r i b e

t h e c a s e o f t w o t r a n s f o r m a t i o n s a c t i n g s e p a r a t e l y o n t w o i n d e p e n d e n t v e c t o r s : i n t h i s c a s e ,

t h e r e s u l t i s a m a t r i x o f s i z e (N + M) (N + M) :

A B =

A 00 B

=

a11 . . . a1N 0 . . . 0a21 . . . a2N 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .

aN1 . . . aNN 0 . . . 00 . . . 0 b11 . . . b1M0 . . . 0 b21 . . . b2M

. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 bM1 . . . bMM

( S i m i l a r l y t o w h a t h a p p e n s f o r t h e t e n s o r p r o d u c t o f t w o m a t r i c e s , a l s o t h e t e n s o r s u m

o f t w o m a t r i c e s i s n o t c o m m u t a t i v e : A B = B A, b u t , a g a i n , t h e t w o r e s u l t i n g m a t r i c e s c a n b e m a p p e d i n t o e a c h o t h e r b y a p e r m u t a t i o n o f r o w s a n d c o l u m n s . )

I t i s o b v i o u s t h a t : tr(A B) = trA + trB , a n d det(A B) = (det A) (det B) .

T h e o p e r a t i o n s a b o v e a r e u s e f u l i n t h e c o m p o s i t i o n o f d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s . I n p a r -

t i c u l a r , i t i s i n t e r e s t i n g t o l o o k a t t h e t e n s o r p r o d u c t s o f d i e r e n t i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s

( w h i c h , r o u g h l y s p e a k i n g , a r e t h o s e t h a t c a n n o t b e w r i t t e n i n t e r m s o f m a t r i c e s i n a b l o c k -

t r i a n g u l a r o r b l o c k - d i a g o n a l f o r m ) , a n d t o d e c o m p o s e t h e m i n t h e s u m o f o t h e r i r r e d u c i b l e

r e p r e s e n t a t i o n s . T o d o t h i s , i t i s u s e f u l t o u s e t h e r u l e s o f Y o u n g c a l c u l u s , w h i c h w e d e s c r i b e

b e l o w . F o r s i m p l i c i t y , w e o n l y d i s c u s s t h e c a s e s r e l e v a n t f o r t h e a l g e b r a s o f g e n e r a t o r s o f

u n i t a r y o r s p e c i a l u n i t a r y g r o u p s , u(N) a n d su(N) r e s p e c t i v e l y .

E a c h r e p r e s e n t a t i o n i s d e n o t e d b y a Y o u n g d i a g r a m m a d e o f s q u a r e b o x e s , a r r a n g e d i n h o r i z o n t a l r o w s a n d v e r t i c a l c o l u m n s .

3


4/6

T h e l e n g t h s o f t h e h o r i z o n t a l r o w s o f a Y o u n g d i a g r a m a r e n o n - i n c r e a s i n g , f r o m t o p t o b o t t o m .

T h e m a x i m u m n u m b e r o f h o r i z o n t a l r o w s i n t h e Y o u n g d i a g r a m o f a r e p r e s e n t a t i o n o f u(N) i s N; f o r su(N) , t h e l e n g t h o f t h e N- t h r o w i s a l w a y s z e r o .

T h e b o x d i a g r a m s c a n a l s o b e r e p r e s e n t e d b y a s e q u e n c e o f N

n o n - i n c r e a s i n g i n t e g e r s

1 2 . . . N1 N, w i t h N = 0 f o r su(N), t h a t r e p r e s e n t t h e l e n g t h s o f s u b s e q u e n t r o w s :

[1, . . . , N] ( s o m e t i m e s t h e s h o r t e n e d n o t a t i o n [1, . . . , N1] i s u s e d f o r su(N)) .Y o u n g d i a g r a m s o f p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t i n g r e p r e s e n t a t i o n s i n c l u d e :

T h e Y o u n g d i a g r a m o f t h e f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n c o n s i s t s o f o n l y o n e b o x .

T h e Y o u n g d i a g r a m o f t h e t r i v i a l r e p r e s e n t a t i o n ( i n w h i c h e a c h g e n e r a t o r ta i s r e p - r e s e n t e d b y t h e n u m b e r

0, a n d e a c h e l e m e n t o f t h e g r o u p i s r e p r e s e n t e d b y

1) d o e s

n o t c o n t a i n a n y b o x : i t c a n d e n o t e d b y t h e s y m b o l .

G i v e n a n i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n r w h o s e r s t r o w h a s l e n g t h 1 , t h e Y o u n g d i - a g r a m o f t h e c o n j u g a t e r e p r e s e n t a t i o n r i s o b t a i n e d f r o m t h e r e c t a n g l e o f N r o w s

a n d1 c o l u m n s i n w h i c h t h e Y o u n g d i a g r a m o f r c a n b e i n s c r i b e d , b y r e m o v i n g t h e

b o x e s b e l o n g i n g t o t h e Y o u n g d i a g r a m o f r , a n d b y r o t a t i n g t h e d i a g r a m m a d e o f t h e

r e m a i n i n g b o x e s b y 180

d e g r e e s . F o r e x a m p l e , f o r su(3) , t h e c o n j u g a t e r e p r e s e n t a t i o n

o f i s , w h e r e a s f o r su(4)

i t i s .

I n p a r t i c u l a r , t h e Y o u n g d i a g r a m o f t h e a n t i - f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n i s g i v e n

b y a v e r t i c a l c o l u m n o f N 1 b o x e s .

I f t h e Y o u n g d i a g r a m o f t h e c o n j u g a t e r e p r e s e n t a t i o n i s e q u a l t o t h e o n e o f t h e i n i t i a l

r e p r e s e n t a t i o n , t h e n t h e l a t t e r i s s e l f - c o n j u g a t e ; i n p a r t i c u l a r , t h i s i m p l i e s t h a t t h e

t r a c e o f a l l g r o u p e l e m e n t s i n t h a t r e p r e s e n t a t i o n a r e r e a l .

T h e Y o u n g d i a g r a m o f t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n i s m a d e o f a v e r t i c a l c o l u m n o f N 1 b o x e s , t o g e t h e r w i t h a f u r t h e r b o x i n t h e r s t h o r i z o n t a l r o w ; t h e a d j o i n t r e p r e s e n t a t i o n i s a l w a y s s e l f - c o n j u g a t e .

G i v e n a n o n - e m p t y Y o u n g d i a g r a m , t h e s i z e o f t h e c o r r e s p o n d i n g r e p r e s e n t a t i o n ( i . e . ,

t h e d i m e n s i o n o f t h e v e c t o r s p a c e o n w h i c h t h e r e p r e s e n t a t i o n a c t s ) i s g i v e n b y t h e n u m b e r

o f p o s s i b l e w a y s t o t t h e n u m b e r s f r o m 1

t o N i n e a c h o f t h e b o x e s o f t h e d i a g r a m , w i t h

t h e c o n s t r a i n t s t h a t :

I n e v e r y h o r i z o n t a l r o w , t h e s e q u e n c e o f n u m b e r s f r o m l e f t t o r i g h t m u s t b e n o n - d e c r e a s i n g .

I n e v e r y v e r t i c a l c o l u m n , t h e s e q u e n c e o f n u m b e r s f r o m t o p t o b o t t o m m u s t b e s t r i c t l y i n c r e a s i n g .

4


5/6

R o u g h l y s p e a k i n g , h i g h e r r e p r e s e n t a t i o n s a r e o b t a i n e d f r o m t h e i n d i c e s 1, . . . , N o f t h e

f u n d a m e n t a l o n e , e i t h e r b y s y m m e t r i z a t i o n ( o f i n d i c e s i n t h e s a m e h o r i z o n t a l r o w ) o r b y

a n t i s y m m e t r i z a t i o n ( o f i n d i c e s i n t h e s a m e v e r t i c a l c o l u m n ) . T h e t w o r u l e s l i s t e d a b o v e

e n f o r c e t h e s e p r o p e r t i e s a n d h e l p a v o i d i n g m u l t i p l e - c o u n t i n g s .

E q u i v a l e n t l y , t h e d i m e n s i o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n [1, 2, . . . , N] i s g i v e n b y :

N1i=1

Nj=i+1

li ljl0i l

0j

, w i t h : li = i + N i, l0i = N i

( w i t h N = 0 f o r su(N)) .

U s i n g t h e Y o u n g d i a g r a m s , i t i s p o s s i b l e t o d e c o m p o s e g e n e r i c t e n s o r p r o d u c t s o f d i f -

f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s i n t o a d i r e c t s u m o f i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s : t h i s i s c a l l e d t h e

Y o u n g c a l c u l u s . U s i n g t h e p r o p e r t i e s o f t h e t r a c e s o f A B a n d A B , t h e Y o u n g c a l c u l u s a l l o w s o n e t o c o m p u t e t h e c h a r a c t e r s o f g r o u p e l e m e n t s i n d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s .

T h e t e n s o r p r o d u c t s o f r e p r e s e n t a t i o n s t h a t a r e e a s i e s t t o s i m p l i f y a r e t h o s e f o r w h i c h

o n e o f t h e t w o f a c t o r s i s t h e f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n ( f o r c o n v e n i e n c e , i t i s e a s i e s t t o

h a v e t h e f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n a s t h e s e c o n d f a c t o r t h i s d o e s n o t c h a n g e t h e r e p -

r e s e n t a t i o n d e c o m p o s i t i o n o f t h e p r o d u c t ) . T h e y a r e d e c o m p o s e d i n t o a d i r e c t s u m o f n e w

r e p r e s e n t a t i o n s , w h i c h a r e o b t a i n e d b y a d d i n g t h e b o x o f t h e f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n i n

e a c h o f t h e r o w s o f t h e i n i t i a l d i a g r a m , w i t h t h e c o n s t r a i n t t h a t r e s u l t i n g d i a g r a m s s h o u l d

s t i l l h a v e r o w s o n n o n - i n c r e a s i n g l e n g t h . F o r su(N)

, i f i n t h i s p r o c e s s t h e r s t c o l u m n g e t s

c o m p l e t e l y l l e d , i t c a n b e d e l e t e d f r o m t h e c o r r e s p o n d i n g d i a g r a m .

S o m e e x a m p l e s , f o r su(3)

:

=

=

=

N o t e t h a t f o r u(N 3) , o r f o r su(N 4) , t h e l a t t e r t w o p r o d u c t s y i e l d i n s t e a d :

=

=

W h e n n e i t h e r f a c t o r i s t h e f u n d a m e n t a l r e p r e s e n t a t i o n , t h e Y o u n g c a l c u l u s r u l e s g e t

c o n s i d e r a b l y m o r e c u m b e r s o m e ; a g a i n , i t i s e a s i e s t t o h a v e t h e r e p r e s e n t a t i o n w i t h t h e

s i m p l e s t ( s m a l l e s t ) Y o u n g d i a g r a m a s t h e s e c o n d f a c t o r . T h e n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e

r e p r e s e n t a t i o n s a p p e a r i n g i n t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h e p r o d u c t g o e s a s f o l l o w s :

1 . R e p l a c e t h e b o x e s a p p e a r i n g i n t h e Y o u n g d i a g r a m o f t h e s e c o n d f a c t o r b y l e t t e r s ,

w i t h t h e f o l l o w i n g r u l e s : a

' s i n t h e r s t r o w , b

' s i n t h e s e c o n d r o w , e t c .

2 . A t t a c h t h e a

' s t o t h e r i g h t e n d o f t h e r o w s o f t h e Y o u n g d i a g r a m a p p e a r i n g a s t h e

r s t f a c t o r i n a l l p o s s i b l e w a y s , b u t w i t h o u t p l a c i n g a n y t w o a ' s i n t h e s a m e c o l u m n .

5


6/6

3 . R e p e a t t h e p r e v i o u s s t e p f o r t h e b' s , t h e n t h e c' s , e t c .

4 . A t t h e e n d , f o r e a c h o f t h e p o s s i b l e d i a g r a m s o b t a i n e d , r e a d t h e s e q u e n c e o f l e t t e r s

f r o m r i g h t t o l e f t a n d f r o m t o p t o b o t t o m , a n d d i s c a r d t h o s e r e p r e s e n t a t i o n s w h i c h

v i o l a t e t h e f o l l o w i n g a d m i s s i b i l i t y r u l e : a t a n y p o i n t i n t h e s e q u e n c e , a t l e a s t a s m a n y

a' s h a v e o c c u r r e d a s

b' s , a t l e a s t a s m a n y

b' s h a v e o c c u r r e d a s

c' s , e t c . ( f o r e x a m p l e :

t h e s e q u e n c e s aab

a n daba

a r e a d m i s s i b l e , w h i l e baa

i s n o t ) .

5 . I n t h e d i a g r a m s t h a t s a t i s f y t h e a d m i s s i b i l i t y r u l e , r e p l a c e t h e a

' s ,b

' sc

' s , e t c . w i t h

b o x e s t o g e t t h e Y o u n g d i a g r a m s o f t h e d e c o m p o s i t i o n i n t o a d i r e c t s u m o f r e p r e s e n -

t a t i o n s ( f o r su(N)

, c a n c e l o u t p o s s i b l e c o l u m n s o f N

b o x e s , i f a n y ) .

A n e x a m p l e ( f o r su(N > 3) , o r f o r u(N > 2) ) i s t h e f o l l o w i n g :

=

N o t e t h a t , a c c o r d i n g t o t h e r u l e s a b o v e , f o r su(3) t h e s a m e p r o d u c t w o u l d y i e l d :

=

F i n a l l y , a s a c r o s s - c h e c k o f t h e r e p r e s e n t a t i o n c o m p o s i t i o n r u l e s , i t m a y b e u s e f u l t o

e v a l u a t e t h e s i z e o f t h e d i e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s : i n t e r p r e t i n g t h e r e p r e s e n t a t i o n c o m p o s i -

t i o n o p e r a t i o n s i n t e r m s o f t h e m a t r i x p r o d u c t a n d s u m s d i s c u s s e d a b o v e , t h e m a t r i x s i z e s

o n t h e l . h . s . a n d r . h . s . o f a n y d e c o m p o s i t i o n s h o u l d m a t c h . F o r e x a m p l e , i n e q . ( 4 ) f o r su(3)

w e h a v e :

8 8 = 27 + 10 + 10 + 8 + 8 + 1

N o t e , h o w e v e r , t h a t t h i s i s a n e c e s s a r y b u t n o t s u c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e c o r r e c t n e s s o f

t h e d e c o m p o s i t i o n .

6

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