Upload
travis-gentry
View
61
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
SAYISAL YÖNTEMLER. SAYISAL YÖNTEMLER. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü. 5.HAFTA İÇERİĞİ. Sayısal İntegrasyon. SAYISAL YÖNTEMLER. Basit fonksiyonların ( polinom, üstel ve trigonometrik gibi sürekli fks.lar ) integrali analitik olarak hesaplanabilir. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL SAYISAL YÖNTEMLERYÖNTEMLER
SAYISAL YÖNTEMLER
5.HAFTA İÇERİĞİ5.HAFTA İÇERİĞİ
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
Sayısal İntegrasyon
Basit fonksiyonların (Basit fonksiyonların (polinom, üstel ve polinom, üstel ve
trigonometrik gibi sürekli fks.lartrigonometrik gibi sürekli fks.lar) integrali ) integrali
analitikanalitik olarak hesaplanabilir. olarak hesaplanabilir.
Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki
fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya
zor ya da imkansızdır. zor ya da imkansızdır.
Bu gibi durumlarda sayısal integralden Bu gibi durumlarda sayısal integralden
yararlanılır.yararlanılır.
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
Sayısal İntegrasyon
Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir
integralin değerinin yaklaşık olarak integralin değerinin yaklaşık olarak
bulunmasıdır.bulunmasıdır.
İntegralin sınırları olan İntegralin sınırları olan a a ve ve bb sayıları sayıları sabit sabit ve ve
fonksiyon bu aralıkta fonksiyon bu aralıkta sürekli sürekli ise integralin ise integralin
sonucu sonucu sabit bir sayıdırsabit bir sayıdır. .
xd)x(fIb
a
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
Bu integralin değeri Bu integralin değeri
x=ax=a ve ve x= bx= b doğrularıdoğruları ile ile
y=f(x)y=f(x) eğrisinin eğrisinin altında altında
kalan kalan alana alana eşittir.eşittir.
0
y
xa b
f(x)
Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n
parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması
yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani
integralin yaklaşık değeri hesaplanır.integralin yaklaşık değeri hesaplanır.
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
• Dikdörtgenler Yöntemi
• Yamuk (Trapez) Yöntemi
• Simpson Yöntemi
• Orta Nokta Yöntemi
• Gauss Yöntemi
Sayısal İntegrasyon Yöntemleri
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
yo= f(xf(xoo) ) ve yn= f(xf(xnn))
Dikdörtgenler Yöntemi
0
y
xb=xn
f(x)
h h h h
x1 x2 … x3 a=xo
yo y1 y2 y3 … yn
…
so s1 s2 … Sn-1
so= h·yyoo = = h· f(xf(xoo))
s1= h·yy11 = = h· f(xf(x11))
Sn-1= h·yyn-1n-1 = = h· f(xf(xn-1n-1))
.
.
.
n
xxh n 0
a ve b arasını n adet
çubuk ile böldüğümüzde oluşan dikdörtgenlerin alanının hesaplanması amaçlanır.
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLERÖRNEK ÖRNEK
8
12 2
2dx
x
xİntegralini n= 6 için
dikdörtgenler yöntemini kullanarak bulunuz.
I. Basamak
xn=8 ve xo=1 2x
2xf(x)
2
1666616
18xxh on ,
n
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
II. Basamak
k xk f(xk)
0 1 1
1 2,16666 0,6224
2 3,3333 0,4068
3 4,5 0,2928
4 5,6667 0,2247
5 6,833 0,1814
6 8 0,1515
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır. Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır.
Yamuk Yöntemi
1n
0iii fhI
fi =f(xi)
hi =i. dikdörtgenin genişliği
hi =xi+1 - xi
Eğer dikdörtgenin genişliği sabit ise
h=(b-a)/n
= (xn-xo)/n
0
y
xxo=a xn=b
f(x)
xi
h
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
İntegralini [a,b] aralığında n eşit parçaya ayıralım.
0
y
xb=xn
y=f(x)
h h h h
x1 x2 …a=xo
yo y1 y2 … … yn
…
s1s2 … … sn
xd)x(fIb
a
Her bölme noktasından dikler çıkılır bu dikler ile f(x) eğrisinin kesiştiği noktalar birer doğru ile birleştirilir. Bu durumda n adet yamuk elde edilir.
AB C D E
F
G
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
xoABx1 yamuğunun alanı
0
y
xb=xn
y=f(x)
h h h h
x1 x2 …a=xo
yo y1 y2 … … yn
…
s1s2 … … sn
AB C D E
F
G
S1=(1/2)·h·(yo+y1)
S2=(1/2)·h·(y1+y2)
…
Sn=(1/2)·h·(yn-1+yn)
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
S=(1/2)·h·(yo+y1)+…+(1/2)·h·(yn-1+yn)
Toplam Alan
S=S1+S2+…+Sn
S=(1/2)·h·(yo+2y1+2y2+…+2yn-1+yn)
S=h·((yo+yn)/2+y1+y2+…+yn-1)
1n
1ii
no y2
yyhS
yo=f(xo) yn=f(xn)
xo=a xn=b
n
x-xΔxh on alarak yeniden düzenlersek
1n
1ko
no x)kf(x2
)f(x)f(xΔxS olur
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLERÖrnek
İntegralini n=4 için yamuk yöntemi
kullanarak hesaplayınız
xdx
I
1
02 1
1
I. Adım : xo=0 ve xn=1 0.254
01
n
xxx on
II. Adım : k xk f(xk)
0 0 1
1 0,25 0,94187
2 0,50 0,8
3 0,75 0,64
4 1 0,5
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
III. Adım :
1n
1ko
no x)kf(x2
)f(x)f(xΔxS
7827940640809418702
501250S ,,,,
,,
Bu fks.için gerçek integral :
7853980
04
011
1 10
11
02
,
arctgarctg
|xtgxdx
I
0033155078539510
782794078539510
,,
,,I
SIt
Yıld
ız T
ekn
ik Ü
niv
ersi
tesi
M
akin
a M
üh
. B
ölü
mü
SAYISAL YÖNTEMLER
ÖDEV:ÖDEV:
integralinin değerini n=4 için yamuk
ve dikdörtgen yöntemleri ile çözünüz.
xdxsineI x
0
2