Trigonometría con circulo unitario

Yailyn Renteria Brisa LópezAneliz AlondraAndrea Anaya

Circunferencia

• Algunas definiciones.

• En el conjunto de todos los puntos de un plano que esta a una distancia fija de un centro.

• Es le borde del circulo con medida• C = 2 r

Círculo

• Algunas definiciones.

• Figura plana comprendidas por una sola línea, llamada circunferencia.

• Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma

Partes del circulo

• CIRCURFERENCIA• CENTRO• RADIO (r); Distancia desde el cetro hasta un punto en la

circunferencia • DIAMETRO (d); Distancia que empieza en un punto de la

circunferencia pasa por el centro y termina en el otro lado. Es el doble del radio.

d = 2r

Centro

RadioDiá

met

roCircunferencia

• TANGENTE:Línea que solo toca la circunferencia. CUERDA:Una línea que va de un punto de la circunferencia a otro.ARCO:una parte de una circunferencia

Partes del círculo

Tangen

te

Trozos de un circulo

• SECTOR:• Espacios comprendido entre

dos rayos y el arco entre ellos. Tiene forma de un pedazo de pizza.

• SEGMENTO:• El espacio comprendido entre

una cuerda y el arco que comparte sus puntos.

SECTORES COMUNES DEL CIRCULO

Circulo unitario•Circulo de radio 1 con el centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares (cartesianas).

ANGULOS

• La unión de dos segmentos o rayos llamados lados, con un punto de interacción llamado vértice.

Tipos de ángulos Angulo agudo: Son aquellos que tienen una medida

mayor de 0° pero menor de 90° Angulo recto: Son aquellos que tienen la medida

exactamente de 90°• Anulo obtusos: son aquellos que tienen una medida

mayor de 90° y menor de 180°• Angulo llano o plano: Son aquellos que tienen una medida

exactamente de 180°

Los ángulos nos permiten• Precisar la posición de objetos• Describir:• procesos dinámicos rotaciones patrones cíclicos entre otros• trayectorias de objetos en movimiento • orientación entre dos o mas rectas

Funciones trigonométricas de ángulos especiales

Los triángulos y ángulos especiales que aparecen tanto en las matemáticas se relacionan entres so y con las distintas trigonométricas

¿Cómo se hace?

• 1.-Conoce lo que es un circulo unitario. El círculo unitario es un círculo, centrado al origen, con un radio de 1. Recuerda que en las cónicas la ecuación es x 2+y2=1. Este círculo se puede utilizar para encontrar ciertos radios “especiales” trigonométricos, así como ayudar en la representación gráfica. También hay una línea de número real envuelta alrededor del círculo que sirve como valor de entrada en la evaluación de funciones trigonométricas

• 2.-Conoce las 6 relaciones trigonométricas. Aprende lo siguiente:senθ=opuesto/hipotenusa

• cosθ=adyacente/hipotenusa• tanθ=opuesto/adyacente• cscθ=1/sen• secθ=1/cos• cotθ=1/tan

• 3.-Conoce lo que es un radián. Un radián es otra forma de medir un ángulo. Un radián es el ángulo que se necesita para que la longitud del arco cerrado sea igual a la longitud del radio. Ten en cuenta que no importa el tamaño ni la orientación del círculo. También es necesario conocer el número de radianes en un círculo completo (360 grados). Recuerda que la circunferencia de un círculo se da por 2πr, así que hay 2π medidas de radio en una circunferencia. Ya que un radián por definición es el ángulo donde la longitud del radio es igual a la del arco, hay 2π radianes en un círculo completo.

• 4.- Aprende a convertir de radianes a grados y viceversa. Hay 2π radianes en un círculo completo o 360 grados. Así que:2π radianes = 360 grados

• radián=(360/2π) grados• radián=(180/π) grados• y• 360 grados=2π radianes• grado=(2π/360) radián• grado=(π/180) radián

• 5.- Conoce los ángulos “especiales”. Los ángulos especiales en los radianes son π/6, π/3, π/4, π/2, π y los múltiples de todos (por ejemplo: 5π/6).

• Conoce y memorízate las identidades trigonométricas que dan las 6 funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Para obtenerlos, debes mirar el círculo unitario. Recuerda que hay una línea de número real envuelto alrededor del círculo unitario. El punto de la línea de número se refiere al número de radianes en el ángulo formado. Por ejemplo, el punto en π/2 en la línea de número real corresponde al punto del círculo en el cual el radio forma un ángulo de π/2 con el radio horizontal positivo. tanθ=y/x

• csc =1/y• sec =1/x• cot =x/y

• 7.-Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas para los ángulos en los ejes. Para ángulos que son múltiplos de π/2 como 0, π/2, π, 3π/2, 2π, etc. Encontrar las funciones trigonométricas es tan fácil como imaginar el ángulo de los ejes. Si el lado terminal está a lo largo del eje-x, el seno será 0 y el coseno será 1 o -1 dependiendo de la dirección en que el rayo apunta. De manera similar, si el lado terminal está a lo largo del eje-y, el seno será 1 o -1 y el coseno será 0.

• 8.- Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas del ángulo π/6. Empieza dibujando el ángulo π/6 en un círculo unitario. Ya sabes cómo encontrar la longitud de los lados para los triángulos (30-60-90 y 45-45-90) dando un lado y π/6=30 grados, este triángulo es uno de esos casos especiales. Así que si te acuerdas, el lado corto es 1/2 hipotenusa, así que la coordenada-y 1/2 y el lado largo es √3 veces el lado o (√3)/2, así que la coordenada-x es (√3)/2. Las coordenadas de ese punto ((√3)/2,1/2). Ahora usa esas identidades en el paso previo para encontrar que:senπ/6=1/2

• cosπ/6=(√3)/2• tanπ/6=1/(√3)• csc π/6=2• secπ/6=2/(√3)• cotπ/6=√3

• 9.- Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas del ángulo π/3. El ángulo π/3 tiene un punto en la circunferencia donde la coordenada-x es igual a la coordenada-y en el π/6 y la coordenada-y es la misma que la coordenada-x. Así que, el punto es (1/2, √3/2), por lo tanto, lo siguiente quedará así:senπ/3=(√3)/2

• cos π/3=1/2• tanπ/3=√3• cscπ/3=2/(√3)• sec π/3=2• cotπ/3=1/(√3)

• 10.- Encuentra y memoriza las 6 funciones trigonométricas del ángulo π/4. Los radios de un 45-45-90 son una hipotenusa de √2 y lados de 1, así que en el círculo unitario, las dimensiones y las funciones trigonométricas son:senπ/4=1/(√2)

• cosπ/4=1/(√2)• tan π/4=1• cscπ/4=√2• secπ/4=√2• cot π/4=1

• 11.- Conoce qué ángulo de referencia usar. A estas alturas, ya conoces los valores trigonométricos de tres ángulos especiales de referencias, todos estos del Cuadrante I. Si tienes que encontrar una función de un ángulo especial mayor o menor, primero averigua que ángulo de referencia está en la misma “familia” de ángulos. Por ejemplo, la familia de π/3 consiste de 2π/3, 4π/3 y 5π/3. Una buena regla para encontrarlo es reducir la fracción lo más que puedas y luego ver al número.Si es 3, entonces está en la familia de π/3.

• Si es 6, entonces está en la familia de π/6.• Si es 2, entonces está en la familia de π/2.• Si está solo como π o 0, entonces está en la familia de

π.• Si es un 4, entonces está en la familia de π/4.

• 12.- Ahora aprende si el valor es positivo o negativo. Todos los ángulos en la misma familia tienen los mismos números trigonométricos que los ángulos de referencia, pero dos son positivos y dos son negativos.Si el ángulo está en el Cuadrante I, todos los valores trigonométricos son positivos.

• Si el ángulo está en el Cuadrante II, todos los valores trigonométricos son negativos excepto sen y csc.

• Si el ángulo está en el Cuadrante III, todos los valores trigonométricos son negativos excepto tan y cot.

• Si el ángulo está en el Cuadrante IV, todos los valores trigonométricos son negativos excepto cos y sec.

EXTRA• El truco para encontrar los valores trigonométricos de cualquier

ángulo es encontrar las coordinadas del punto. La hipotenusa siempre es 1, ya que es el radio del círculo y como cualquier número dividido entre 1 es el mismo y el lado adyacente siempre es igual a la coordenada-x, se deduce que el valor del coseno es la coordenada-x del punto. La tangente es un poco más difícil. La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El problema es que no hay un denominador constante como en los ejemplos previos, así que hay que ser un poco más creativos. Recuerda que el lado opuesto es igual a la coordenada-y y el lado adyacente es igual a la coordenada-x, así que al sustituir, deberás procurar que la tangente sea igual a y/x. Usando esto, podrás encontrar las funciones trigonométricas inversas, tomando el recíproco de estas fórmulas. En resumen, las siguientes son las identidades:senθ=y

• cosθ=x