y = k x + b წრფივი ფუნქცია და გრაფიკის ზოგიერთი გარდაქმნა

თვისებები : განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞); არც ლუწია, არც კენტი; თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას

და გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.

• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

o x

y

4

y =4x

1

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

x y 0 0 1 4

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

x y 0 0 -2 1

o x

y

1

-2

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

y = -1/2 x

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

X Y0 -77/3 0

o x

y

-7

7/3

განვიხილოთ y = k |x|+b

• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში;

• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ.

ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.

განვიხილოთ y = 3|x| – 7 x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

o x

y

-7

7/3-7/3 xo

y

-7

7/3-7/3

განვიხილოთ y = | k x+ b |

პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა ნახევარსიბრტყეში.

განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|

1) y = 3x-7 2) y = | 3x – 7 |

xo

y

-7 7/3

o x

y

7/3

7

ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :

1) y = x – 3

x y 0 -3 3 0

2) y = - |x – 3|

o x

y

-3

3

o x

y

-3

3

3) y = 5 - | x – 3 |

5 - | x – 3 | = 0

x – 3 = 5 ან x – 3 = -5 x = 8 x = -2

4) y = | 5 - | x – 3 ||

o x

y

3 8

2

-2

5

o x

y

3 8

2

-2

5

ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞) ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)

გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან • თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.

y=5/x

y=k/x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

x

y

o

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

x

y

o

• x = 0 y = 5/-1 + 2 = -3 y = 0 5 x - 1 5 = -2x + 2 2x = -3 x = -3/2

+ 2 = 0

განვიხილოთ

• x - 1 ≠ 0 x ≠ 1

+ 25

x - 1

y =

x

y

1

2

o

x1

2

y

- 3

-3/2 o

განვიხილოთ y = k/|x| ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.

განვიხილოთ y = 5/|x| დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია იღებს სახეს y = 5/x

y = 5/|x|

x

y

o

x

y

o

2x-3 2(x-3/2) 2(x-3/2+1-1) 2 (x+1-5/2)

2 (x + 1)

x + 1 x + 1 x + 1 x + 1

2 ∙ 5/2 5 x + 1 x + 1 x + 1

=• y =

=

=

= =

= 2

• y =

2- 5

x + 1+

x = 0 y = -3y = 0 x = 3/2

x + 1 ≠ 0 x ≠ -1

2x – 3 განვიხილოთ y = x + 1

x

y

- 1

2

3/2

- 3

o

• განვიხილოთ

y =

2x - 3

x + 1

x

y

- 1

2

3/2

- 3

3

o

განვიხილოთ y

=

3x + |x|

x > 0 |x| = x , მაშინ

y = = =

k = 3/2 > 0

3

x + x

3

2x

3/2

x

1) x ≠ 0განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

განსაზღვრული არ არის

x – x 0

x < 0 |x|= - x

3 3 y = =

x

y

o

x – 1 - | x – 1|განვიხილოთ y = + 2 0,5 | x – 1 | x – 1 ≠ 0 x ≠ 1 x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

1) x – 1 > 0 | x – 1 | = x – 1 მაშინ, x > 1

x – 1 – x + 1y = + 2 = 0 + 2 = 2 0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

y

1

2

o

x < 1 |x – 1|= - (x – 1)

x – 1 + x - 1 2x – 2 2 ( x – 1) 2y = + 2 = + 2 = + 2 = - + 2 = -4 + 2 = -2 0,5(-(x – 1)) - 0,5(x – 1) -0,5 (x – 1) 0,5

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.

x

y

1

-2

o

გრაფიკის საბოლოო სახეა

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა

2-ში და გახდა მუდმივი

x

y

1

2

-2

o

განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 | ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

2) y = (x +4) ³

y=0 x + 4 = 0

x = -4 x=0 y=64

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞); ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი

სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის მიმართ.

ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

x

y

-4

64

o

x

y

o

3) y = (x+4)³ -1

1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე (0;0) გადადის წერტილში (-4;-1) (0;0) → (-4;-1)ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0 (x+4) ³– 1 = 0 (x+4) ³ = 1 x + 4 = 1 x = -3 4) y =|(x+4) ³– 1| წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

x

y

-463

-1

-3

x

y

1

-3-4

63

o

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C

განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ ) გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა

წვეროს კოორდინატები გამოითვლება

ფორმულით:

დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

კვადრატული ფუნქცია

o x

y

.c

Y0

X0

X1 X2

• a>0 D>0• yϵ[ y0 ; + ∞ )• X=x0 წრფე სიმეტრიის ღერძი• x ϵ [x0 ;+ ∞)• x ϵ (- ∞; x0]

o x

y.c

• a>0 D=0• y0 = 0• Y ϵ [0; + ∞)• X=X0 სიმეტრიის ღერძი

o x

yc

Y0

X0

• a>0 D<0• y ϵ [ y0 ; + ∞ )

o x

y

cY0

X0X1 X2

• a<0 D>0 • y ϵ (- ∞;

y0 ;]• xϵ ( -∞;

x0 ]• xϵ [x0 ;

+∞)

o x

y

c

X0

• a<0 D=0• y0 = 0• Yϵ (- ∞; 0]

o x

y

c

Y0

X0

• a<0 D<0• y ϵ ( -∞ ;y0 ]

• X= X0 წრფე სიმეტრიისღერძია კვადრატულიფუნქციისათვის

0 x

y

-5 -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

   1

 

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

 

 

9

   1

. 

 

 

კვადრატული სამწევრი იშლება:

 

 

x y

  

y

x-2

  5

ავაგოთ• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ

სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:

• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ ფუნქცია იღებს სახეს:

  D=25-24=1

o x

y

6

2 3

საბოლოო სახე იქნება:

o x

y

6

2 3

 

-3 -2

 

 

o x

y

-2

-3

1

o x

y

2

3

1

 

o x

y

4

5

1

 

xy ფუნქცია და მისი გრაფიკი

x0

y

;0

;0

y

x

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი

• გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება I მეოთხედში და აქვს სახე:

0x 0y

განვიხილოთ:განსაზღვრის არეა -x≥0 x≤0

xy

x

0

y

განვიხილოთ:

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედზე და

xy

)()( xyxxxy

x0

y

●განვიხილოთ:

5

05

5

x

x

xy

0x 5yმაშინ x

0

y

-5

√5

•

●განვიხილოთ: 25 xy

0x 25 y

0y

1

45

25

025

x

x

x

x

-2

-5

•x

0

y

25

-1

--------------------

¦¦

●განვიხილოთ: 42 xy

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

2

02

2

x

x

xy

x0

y

2

2) 2 xy

x0

y

2

3) 42 xy

18

162

42

042

x

x

x

x0y

x0

y

2

•18

4

4) 42 xy

----- ¦¦

---

x

0

4

2 18

y

¦¦¦

●

 

 

1.

x

y

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

1.

x

y

 

 

1.

x

y

1.

x

y

-1.

 

  

2

.x

y

-2

.   

 

x -1 0 1

y 1 1

2.

x

y

-2.

   

 

 

2

.x

y

-2

.   

 

-1 1