Xuctu.com de Cuong on Thi Vao Lop 10 Mon Toan 2014

7/22/2019 Xuctu.com de Cuong on Thi Vao Lop 10 Mon Toan 2014

1/36

Ti liu n thi vo lp 10 Mn tonBin son: Nguyn Ngc Hng THCS Hong Xun Hn

Phn Itng hp kin thc c bn

I. Cc php bin i v cn thc1. Hng ng thc ng nh

2 2 2

a b a 2ab b

2 2 2

a b a 2ab b 2 2a b a b a b

3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b

3 3 2 2 3a b a 3a b 3ab b 3 3 2 2a b a b a ab b

3 3 2 2a b a b a ab b 2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca

2. Mt s ph p bin i cn thc bc hai- u kin cn thc c ngha A c ngha khi A 0- Cc cng thc bin i cn thc.

2A A AB A. B (A 0;B 0)

A A

(A 0;B 0)B B

2A B A B (B 0)

2A B A B (A 0;B 0) 2A B A B (A 0;B 0)

A 1

AB (AB 0;B 0)B B

A A B

(B 0)BB

22

C C( A B)(A 0;A B )

A BA B

C C( A B)(A 0;B 0;A B)

A BA B

3. Cc dng bi tp c bnDng 1: Tnh gi tr biu thc

Phng php: Bc 1: Trc cn thc mu (nu c)Bc 2: Qui ng mu thc (nu c)Bc 3: a mt biu thc ra ngoi du cnBc 4: Rt gn biu thcBc 5: Tnh s tr (nu cn tham s)

Dng 2: Rt gn biu thcPhng php: Bc 1: Tm iu kin xc nh ca biu thc

Bc 2: Trc cn thc mu nu c (nu c)Bc 3: Qui ng mu thc (nu c)Bc 4: a mt biu thc ra ngoi du cnBc 5: Rt gn biu thc

Dng 3: Chng minh ng thcPhng php: Bc 1: Tm iu kin xc nh ca biu thc

Bc 2: Bin i v tri v v phi hoc v phi v v tri. Cng c khi chng ta phi bini c hai v cng v biu thc trung gian

II. Ph-ng trnh bc hai1. nh ngha: Phng trnh bc hai l phng trnh c dng 2ax bx c 0 (a 0)2. Cng thc nghim : Ta c 2b 4ac .- Nu < 0 th phng trnh v nghim.

- Nu = 0 th phng trnh c nghim kp 1,2 bx 2a

- Nu > 0 th phng trnh c hai nghim phn bit 1b

x2a

; 2

bx

2a


2/36

S-u tm v bin son: Nguyn Ngc Hng THCS Hong Xun Hn 2

3. H thc Viet: Nu phng trnh c nghim x1; x2th S = 1 2 bx x a

; P = 1 2c

x .xa

Gi s x1; x2l hai nghim ca phng trnh2ax bx c 0 (a 0). Ta c th s dng nh l Viet tnh

cc biu thc ca x1, x2theo a, b, c

S1= 2

22 21 2 1 2 1 2 2

b 2acx x x x 2x x

a

S2= 3

33 31 2 1 2 1 2 1 2 3

3abc bx x x x 3x x x x

a

S3= 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2

b 4acx x x x x x 4x x

a

4. ng dng h thc Vieta) Nhm nghim: Cho phng trnh 2ax bx c 0 (a 0).

- Nu a + b + c = 0 x1= 1; 2c

xa

- Nu a - b + c = 0 x1= -1; 2c

xa

b) Tm hai s khi bit tng v tch: Cho hai s x, y bit x + y = S; x.y = P th x, y l hai nghim ca phng trnh bc

hai X2- SX + P = 0c) Phn tch thnh nhn t: Nu phng trnh 2ax bx c 0 (a 0) c hai nghim x1; x2 th

2 1 2ax bx c a x x x x

d) Xc nh du cc nghim s: Cho phng trnh 2ax bx c 0 (a 0).

- Nuc

0a

th phng trnh c hai nghim tri du

- Nu0

c0

a

th phng trnh c hai nghim cng du

- Nu

0

c0

ab

0a

th phng trnh c hai nghim dng. Nu

0

c0

ab

0a

th phng trnh c hai nghim m

5. Cc dng ton c bn :Dng 1: Tm iu kin phng trnh bc hai c nghim

Phng php: iu kin phng trnh bc hai c nghim l 2b 4ac 0 hocc

0

a

Trong trng hp cn chng minh c t nht mt trong hai phng trnh 2ax bx c 0 ; 2a'x b'x c ' 0 cnghim ngi ta thng lm theo mt trong hai cch sau:

Cch 1: Chng minh 1 2 0 Cch 2: 1 2. 0 Dng 2: Tm hai s khi bit tng v tch

Phng php: Bc 1: Cho hai s x, y bit x + y = S; x.y = P th x, y l hai nghim ca phng trnh bc haiX2- SX + P = 0

Bc 2: Gii phng trnh X2- SX + P = 0Bc 3: Kt lun

Dng 3: Biu thc i xng hai nghimPhng php: Bc 1: Tm iu kin phng trnh c nghim

Bc 2: Tnh S = 1 2b

x xa

; P = 1 2

cx .x

a , theo m

Bc 3: Biu din h thc bi theo S, P vi ch rng 2 2 21 2x x S 2P ;


3/36


3 3 21 2x x S S 3P ;1 2

1 1 Sx x P

;2

2 2 21 2

1 1 S 2Px x P

Dng 4: H thc gia hai nghim khng ph thuc vo tham s mPhng php: Bc 1: Tm iu kin phng trnh c nghim

Bc 2: Tnh S = 1 2b

x xa

; P = 1 2

cx .x

a , theo m

Bc 3: Kh m lp h thc gia S v P, t suy ra h thc gia hai nghim khng phthuc tham s m

Dng 5: iu kin hai nghim lin h vi nhau bi mt h thc cho trcPhng php: Bc 1: Tm iu kin phng trnh c nghim

Bc 2: Tnh S = 1 2b

x xa

; P = 1 2

cx .x

a , theo m

Bc 3: Gii phng trnh vi n s m, so snh iu kinBc 4: Kt lun

III. H ph-ng trnh1. H ph-n g trnh bc nht hai n s:Cch 1: S dng phng php cng i s:

- Nhn cc v ca hai phng trnh vi s thch hp (nu cn) sao cho cc h s ca mt n no tronghai phng trnh ca h bng nhau hoc i nhau

- S dng quy tc cng i s thc hin phng trnh mi, trong c mt phng trnh m h s camt trong hai n bng 0 (tc l phng trnh mt n s)

- Gii phng trnh mt n va thu c ri suy ra nghim ca h phng trnh choCch 2: S dng phng php th

- Dng quy tc th bin i h phng trnh cho c h phng trnh mi, trong c mt phngtrnh mt n

- Gii phng trnh mt n va c, ri suy ra nghim ca h cho2. H ph-ng trnh i xnga) H i xng loi I: Nu ta thay i vai tr ca x, y th tng phng trnh khng thay i

Phng php: a v h phng trnh theo hai bin mi l: S = x + y v P = xy vi iu kin S2

4Pb) H i xng loi II: Nu ta thay i vai tr ca x, y th phng trnh ny chuyn thnh phng trnh kiaPhng php: Tr hai phng trnh vi nhau nhn dc phng trnh mi c dng tch s. Ch nu h

phng trnh c nghim (x0; x0) (tc l x = y). Nu h phng trnh c nghim (x, y) th phng trnh cng c nghim(y, x)

IV. Ph-ng trnh quy v ph-ng trnh bc nht (bc hai)1. Phng trnh cha n mu s:

Phng php: Bc 1: t iu kin phng trnh c nghaBc 2: Qui ng mu s a v phng trnh bc nht (bc hai)Bc 3: Gii phng trnh bc nht (bc hai) trn

Bc 4: So snh vi iu kin v kt lun nghim2. Phng trnh cha du tr tuyt i:Phng php: Bc 1: t iu kin phng trnh c ngha

Bc 2: Kh du gi tr tuyt i, bin i a v phng trnh bc nht (bc hai)Bc 3: Gii phng trnh bc nht (bc hai) trnBc 4: So snh vi iu kin v kt lun nghim

3. Phng trnh trng phng: 4 2ax bx c 0 (a 0)Phng php: Bc 1: t x2= t 0

Bc 2: Bin i a v phng trnh bc hai n tBc 3: Gii phng trnh bc hai trnBc 4: So snh vi iu kin v kt lun nghim

4. Phng trnh c dng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e vi a + d = b + c

Phng php: Bc 1: t t = x2+ (a + d)x + k = x2+ (b + c)x + k vi k = 1

ad bc2

Bc 2: Bin i a v phng trnh bc hai n tBc 3: Gii phng trnh bc hai trn


4/36


Bc 4: So snh vi iu kin v tm nghim x5. Phng trnh hi quia) Dng 1: Phng trnh c dng 4 3 2ax bx cx bx a 0 (a 0)

Phng php: Bc 1: Chia hai v ca phng trnh cho x20

Bc 2: t1

t xx

vi iu kin t 2 v a v phng trnh bc hai n t

Bc 3: Gii phng trnh bc hai trnBc 4: So snh vi iu kin v tm nghim x

b) Dng 2: Phng trnh c dng4 3 2

ax bx cx bx a 0 (a 0)Phng php: Bc 1: Chia hai v ca phng trnh cho x20

Bc 2: t1

t xx

v a v phng trnh bc hai n t

Bc 3: Gii phng trnh bc hai trnBc 4: So snh vi iu kin v tm nghim x

6. Phng trnh c dng 4 3 2ax bx cx dx e 0 vi2

e da b

; e 0

Phng php: Bc 1: t2 2

2 2d d d dt x t x x 2

bx bx b bx

2

2 2d dx t 2

bx b

Bc 2: a v phng trnh bc hai n tBc 3: Gii phng trnh bc hai trnBc 4: So snh vi iu kin v kt lun nghim

7. Phng trnh c dng 4 4

x a x b c

Phng php: Bc 1: t t =a b a b a b

x x a t ;x b t2 2 2

Bc 2: a v phng trnh trng phng n tBc 3: Gii phng trnh trng phng trnBc 4: So snh vi iu kin v kt lun nghim

V. Hm s1. Hm s bc nht y = ax + b (a 0)- Hm s bc nht l hm s c cho bi cng thc y = ax + b trong a 0- Hm s bc nht xc vi mi gi tr x R v c tnh cht ng bin khi a > 0; nghch bin khi a < 0- th ca hm s bc nht l mt ng thng. Ct trc tung ti im B(0; b). Ct trc honh ti im

bA ;0

a

(trong a gi l h s gc, b gi l tung gc)

- Cc ng thng c cng h s gc a th to vi trc Ox cc gc bng nhau. Nu gi l gc hp bigia ng thng v tia Ox th a = tg

- Nu ng thng (d): y = ax + b (a 0) v ng thng (d): y = ax + b (a 0) th:

(d) ct (d) a a (d) song song (d) a a'

b b'

(d) trng (d) a a'

b b '

(d) (d) a.a = -1

2. Hm s y = ax2(a 0)- Hm s c tnh cht: Nu a > 0 th hm s nghch bin khi x < 0 v ng bin khi x > 0. Nu a < 0 th hm

s ng bin khi x < 0 v nghch bin khi x > 0- th hm s l mt Parabol vi nh l gc to v nhn trc Oy lm trc i xng

+ Nu a > 0 th th nm pha trn trc honh, O l im thp nht ca th+ Nu a < 0 th th nm pha di trc honh, O l im cao nht ca th3. Cc dng tonDng 1: Xc nh hm s bc nht (phng trnh ng thng)

Phng php: Da vo cc im sau: Nu im A(x0; y0) thuc th hm s y = ax + b th ax0+ b = y0Cc kt qu nu phn l thuyt trn


5/36


Dng 2: Xc nh hm s y = ax2(a 0)Phng php: Da vo im sau: Nu im A(x0; y0) thuc th hm s y = ax

2th ax02= y0

Dng 3: Tm giao im ca hai thPhng php: Lp phng trnh honh giao im

Gii phng trnh, t tm ra to cc giao imDng 4: Tng giao gia ng thng v Parabol

Phng php: Cho ng thng c phng trnh y = ax + b (a 0) v Parabol y = Ax2(A 0). Xt phngtrnh honh giao im Ax2= ax + b (1). Ta c s giao im ca hai th ph thuc vo s nghim ca phngtrnh ny

- ng thng ct Parabol khi v ch khi phng trnh (1) c nghim- ng thng khng ct Parabol khi v ch khi phng trnh (1) v nghim- ng thng tip xc Parabol khi v ch khi phng trnh (1) c nghim kp

VI. Gii bi ton bng cch lp ph-ng trnh, h ph-ng trnh1. Ph-ng php chung- Chn n s v xc nh iu kin ca n s (n v tnh). n s thng l i lng cha bit trong bi

ton. Vic chn mt n s hay hai n s tu thuc vo s i lng cha bit trong bi ton- Biu din mi tng quan gia i lng bit v i lng cha bit- Lp phng trnh (hay h phng trnh)- Gii phng trnh (hay h phng trnh)- Nhn nh kt qu v tr li2. Cc dng ton

Dng 1: Cc bi ton v chuyn ng- Da vo quan h ca ba i lng S: qung ng; t: thi gian; v: vn tc ca vt chuyn ng u trong

cng thc S = v.t- Da vo nguyn l cng vn tc: V d khi gii bi ton chuyn ng thuyn trn sng ta c: v1= v0+ v3; v2

= v0 v3 trong v1 l vn tc thuyn i xui dng, v2 l vn tc thuyn i ngc dng, v0 l vn tc ring cathuyn, v3l vn tc dng chyDng 2: Cc bi ton v nng sut lao ng

Da vo quan h ba i lng: N: nng sut lao ng (khi lng cng vic hon thnh trong mt n v

thi gian); t: thi gian hon thnh mt cng vic; s: lng cng vic lm th N = st

Dng 3: Cc bi ton v lm chung lm ring, vi nc chy chung chy ring ...Da vo kt qu sau

- Nu x gi (hoc ngy) lm xong cng vic th mi gi (hoc ngy) lm c1x

cng vic

- Nu trong 1 gi: i tng A lm c1x

cng vic, i tng B lm c1y

cng vic th lng cng

vic m c hai lm c trong 1 gi l1x

+1y

cng vic

- Nu mi gi lm c1x

cng vic th a gi lm cax

cng vic

Dng 4: Cc bi ton sp xp, chia u sn phm (hng ha ...)Nh dng 2: Chng hn vi ba i lng: N: s lng hng ho phn phi cho mi xe; t: l s xe ch hng;

s: tng s lng hng ho trong kho th N =st

Dng 5: Cc bi ton tm sDa vo mi lin h gia cc hng trong mt sCh : ab 10a b ; abc 100a 10b c

Dng 6: Cc bi ton lin quan n t s %Ch cc kt qu sau: m% ca A ngha l

m.A

100

S A bng m% s B ngha lA mB 100

haym

A .B100


6/36


S A sau khi tng ln m% th c s mi c gi tr l A +m

.A100

Dng 7: Cc bi ton c ni dung hnh hcCh n cc h thc lng trong tam gic, cc cng thc tnh chu vi, din tch ... ca cc hnh ...

VII. Cc bi ton hnh hc phng1. H thc l-ng trong tam gic vunga) Mt s h thc v cnh v ng cao trong tam gic vung

Cho tam gic ABC vung ti A, ng cao AH ta cb2= a. b c2= a. cb2+ c2= a2 h2= b. c

a. h = b. c2 2 2

1 1 1h b c

b) T s lng gic ca gc nhn- Cc t s lng gic ca gc nhn c nh ngha nh sau:

sin=cnh i

cnh huyn cos=

cnh kcnh huyn

tg=cnh i

cnh k

cotg=cnh k

cnh i

- Vi hai gc v ph nhau ta csin= cos cos= sintg= cotg cotg= tg

- Mt s gc c bit 0 01

sin30 cos602

0 02

sin45 cos452

0 0 3cos30 sin602

0 0tg45 cotg45 1

0 0 3tg30 cot g60

3

0 0cotg30 t g60 3

c) Mt s h thc v cnh v gc trong tam gic vungTrong mt tam gic vung, mi cnh gc vung bng cnh huyn nhn vi sin gc i hoc nhn vi csin

gc k. Mi cnh gc vung bng cnh gc vung kia nhn tang gc i hoc nhn vi ctang gc kd) Mt s cng thc tnh din tch tam gic

S =a.h2

(h l ng cao ng vi cnh a) S =a.b. sin C b.c.sin A c.a. sin B

2 2 2

S = p.r (p l na chu vi, r l bn knh ng trn ni tip tam gic)

S =a.b.c4R

(R l bn knh ng trn ngoi tip tam gic)

S = p p a p b p c (p l na chu vi ca tam gic)

2. -ng trn :a) S xc nh ng trn. Tnh cht i xng ca ng trn

- ng trn tm O bn knh R (vi R > 0) l hnh gm cc im cch u im O mt khong bng R- Tu theo OM = R; OM < R; OM > R m ta c im M nm trn, nm bn trong, nm bn ngoi ng trn- Qua ba im khng thng hng, bao gi cng v c mt v ch mt ng trn- ng trn c tm i xng, l tm ng trn. ng trn c v s trc i xng, l bt k ng

knh no ca nb) ng knh v dy cung ca ng trn. Lin h gia dy v khong cch t tm n dy

- Trong mt ng trn, dy ln nht l ng knh- ng knh vung gc vi mt dy th i qua trung im ca dy y- ng knh i qua trung im ca mt dy khng i qua tm th vung gc vi dy y- Trong mt ng trn: Hai dy bng nhau khi v ch khi chng cch u tm. Trong hai dy khng bng

nhau, dy ln hn khi v ch khi n gn tm hnc) V tr tng i ca ng thng v ng trn. Du hiu nhn bit tip tuyn ca ng trn

A

B CH

c b

a

c ' b '

h

cnh k

cnh

i


7/36


Cn c vo s im chung 0, 1, 2 ca ng thng v ng trn m ta nh ngha cc v tr: ng thngv ng trn khng giao nhau; tip xc nhau; ct nhau. ng vi mi v tr trn, khong cch d t tm ng trnn ng thng v bn knh R ca ng trn c cc lin h: d > R; d = R; d < R. Ta c cc nh l

- Nu mt ng thng l tip tuyn ca ng trn th n vung gc vi bn knh i qua tip im- Nu mt ng thng i qua mt im ca ng trn v vung gc vi bn knh i qua im th ng

thng y l mt tip tuyn ca ng trnd) Tnh cht ca hai tip tuyn ct nhau:

Nu hai tip tuyn ca mt ng trn ct nhau ti mt im th:- im cch u hai tip im

- Tia k t im i qua tm l tia phn gic ca gc to bi hai tip tuyn. Tia k t tm i qua im ltia phn gic ca gc to bi hai bn knh i qua cc tip ime) ng trn ni tip tam gic, ngoi tip tam gic, bng tip tam gic

- ng trn tip xc vi ba cnh ca mt tam gic gi l ng trn ni tip tam gic, cn tam gic gi lngoi tip ng trn. Tm ca ng trn ni tip tam gic l giao im ca cc ng phn gic cc gc trongtam gic

- ng trn i qua ba nh ca mt tam gic gi l ng trn ngoi tip tam gic, cn tam gic gi l nitip ng trn. Tm ca ng trn ngoi tip tam gic l giao im ca cc ng trung trc tam gic

- ng trn tip xc vi mt cnh ca mt tam gic v tip xc vi phn ko di ca hai cnh kia l ngtrn bng tip tam gic. Tm ca mi ng trn bng tip tam gic l giao im ca hai ng phn gic ca haigc ngoi tam gic hoc giao im ca tia phn gic ca mt gc trong v mt trong hai ng phn gic ca gcngoi khng k vi nf) V tr tng i ca hai ng trn

Cn c vo s im chung 0, 1, 2 ca hai ng trn m ta nh ngha cc v tr: Hai ng trn khng giaonhau, tip xc nhau, ct nhau

Do tnh cht i xng ca ng trn, nu hai ng trn ct nhau th giao im i xng vi nhau quang ni tm, nu hai ng trn tip xc nhau th giao im nm trn ng ni tmg) Gc vi ng trn:

+ Gc tm: Gc c nh trng vi tm ng trn c gi l gc tm. S o cung nh bng s o cagc tm chn cung . S o cung ln bng hiu gia 3600v s o cung nh. S o ca na ng trn bng1800.

+ Gc ni tip: Gc ni tip l gc c nh nm trn ng trn v hai cnh cha dy cung ca ng trn. Cung bn trong ca gc gi l cung b chn. Trong mt ng trn s o ca gc ni tip bng na s o cungb chn

+ Gc to bi gia tip tuyn v dy cung: Cho ng trn (O), A l tip im, xAy l tip tuyn ca (O) tiA, AB l mt dy cung. Gc to bi tia Ax (hoc tia Ay) vi dy AB c gi l gc to bi tip tuyn v dy cung.S o ca gc to bi tia tip tuyn v dy cung bng na s o cung b chn

+ Gc c nh bn trong ng trn: Mi gc c nh bn trong ng trn chn hai cung: mt cungnm bn trong gc v cung kia nm bn trong gc i nh ca cung . S o c nh bn trong ng trn bngna tng s o hai cung b chn

+ Gc c nh bn ngoi ng trn: S o gc c nh bn ngoi ng trn bng na hiu hai cung bchn

Ch : Trong mt ng trn- Cc gc ni tip bng nhau chn cc cung bng nhau- Cc gc ni tip cng chn mt cung th bng nhau- Cc gc ni tip chn cc cung bng nhau th bng nhau- Gc ni tip nh hn hoc bng 900c s o bng na s o ca gc tm cng chn mt cung.- Gc ni tip chn na ng trn l gc vung v ngc li gc vung ni tip th chn na ng trn.- Gc to bi tia tip tuyn v dy cung v gc ni tip cng chn mt cung th bng nhau.

h) di ng trn - di cung trn.- di ng trn bn knh R: C = 2R = d

- di cung trn n0bn knh R :Rn

l180

I) Din tch hnh trn - Din tch hnh qut trn- Din tch hnh trn: S = R2

- Din tch hnh qut trn bn knh R, cong n0:2R n lR

S360 2


8/36


3. Cc dng ton c bnDng 1: Chng minh hai gc bng nhau.Cch chng minh: - Chng minh hai gc cng bng gc th ba

- Chng minh hai gc bng vi hai gc bng nhau khc- Hai gc bng tng hoc hiu ca hai gc theo th t i mt bng nhau- Hai gc cng ph (hoc cng b) vi gc th ba- Hai gc cng nhn hoc cng t c cc cnh i mt song song hoc vung gc- Hai gc so le trong, so le ngoi hoc ng v- Hai gc v tr i nh

- Hai gc ca cng m tam gic cn hoc u- Hai gc tng ng ca hai tam gic bng nhau hoc ng dng- Hai gc ni tip cng chn mt cung hoc chn hai cung bng nhau.

Dng 2: Chng minh hai on thng bng nhauCch chng minh: - Chng minh hai on thng cng bng on th ba

- Hai cnh ca mt tam gic cn hoc tam gic u- Hai cnh tng ng ca hai tam gic bng nhau- Hai cnh i ca hnh bnh hnh (ch nht, hnh thoi, hnh vung)- Hai cnh bn ca hnh thang cn- Hai dy trng ng hai cung bng nhau trong mt ng trn hoc hai ng

bng nhau. Tnh cht 2 tip tuyn ct nhau

Dng 3: Chng minh hai ng thng song songCch chng minh: - Chng minh hai ng thng cng song song vi ng thng th ba

- Chng minh hai ng thng cng vung gc vi ng thng th ba- Chng minh chng cng to vi mt ct tuyn hai gc bng nhau: v tr so le

trong; v tr so le ngoi; v tr ng v.- L hai dy chn gia chng hai cung bng nhau trong mt ng trn- Chng l hai cnh i ca mt hnh bnh hnh, ch nht, hnh vung, ...

Dng 4: Chng minh hai ng thng vung gcCch chng minh: - Chng cng song song vi hai ng thng vung gc khc.

- Chng minh chng l chn ng cao trong mt tam gic.- ng knh i qua trung im ca dy v dy khng i qua tm.- Chng l phn gic ca hai gc k b nhau.- Tnh cht 2 ng cho hnh thoi, hnh vung

Dng 5: Chng minh ba im thng hng, ba ng thng ng quy.Cch chng minh: - Da vo tng hai gc k b c tng bng 1800

- Da vo hai gc i nh- Da vo hai ng thng i qua mt im cng song song vi ng thng khc- Da vo hai gc bng nhau c 1 cnh trng nhau- Chng minh chng l ba ng cao, ba trung tuyn, ba trung trc, ba phn gic

trong (hoc mt phn gic trong v phn gic ngoi ca hai gc kia)- Vn dng nh l o ca nh l Talet.

Dng 6: Chng minh hai tam gic bng nhau* Hai tam gic thng: - Trng hp gc - cnh - gc (g-c-g)- Trng hp cnh - gc - cnh (c-g-c)- Trng hp cnh - cnh - cnh (c-c-c)

* Hai tam gic vung: - C mt cnh v mt gc nhn bng nhau- C cnh huyn bng nhau v mt cnh gc vung bng nhau- Cnh gc vung i mt bng nhau

Dng 7: Chng minh hai tam gic ng dng* Hai tam gic thng: - C hai gc bng nhau i mt (g-g)

- C mt gc bng nhau xen gia hai cnh tng ng t l (c-g-c)- C ba cnh tng ng t l (c-c-c)

* Hai tam gic vung: - C mt gc nhn bng nhau- C hai cnh gc vung tng ng t l- C cnh huyn v mt cnh gc vung tng ng t l

Dng 8: Chng minh t gic ni tipCch chng minh: - T gic c tng hai gc i bng 1800


9/36


- T gic c gc ngoi ti mt nh bng gc trong ca nh i din- T gic c 4 nh cch u mt im.- T gic c hai nh k nhau cng nhn cnh cha hai nh cn li di mt gc .- Da vo phng tch ca ng trn

VIII. Cc bi ton hnh hc khng gian1. Hnh lng tr: Hnh lng tr l hnh a din c hai mt song song gi l y v cc cnh khng thuc hai y songsong vi nhau. Lng tr u l lng tr ng c y l a gic u

Sxq= p. l (p l chu vi thit din thng, l l di cnh bn)

Lng tr ng: Sxq= p. h (p l chu vi y, h l chiu cao)V = B. h (B l din tch y, h l chiu cao)

Hnh hp ch nht: Stp= 2(ab + bc + ca) (a, b, c l cc kch thc ca hnh hp ch nht)V = a. b. c

Cc ng cho hnh hp ch nht d = 2 2 2a b c Hnh lp phng: V = a3(a l cnh)2. Hnh chp : Hnh chp l hnh a din c mt mt l a gic, cc mt khc l tam gic c chung nh. Hnh chp

u l hnh chp c y l a gic u v cc mt bn bng nhau. Hnh chp ct l phn hnh chp nm gia yv thit din song song vi y. Hnh chp ct t hnh chp u gi l hnh chp ct u

Hnh chp u: Sxq=1

2. n .a. d (n l s cnh y; a l di cnh y; d l di trung on)

Stp= Sxq+ B (B l din tch y)

V =13

. B . h

Hnh chp ct u: Sxq= 1

n.a n.a' .d2

(n l s cnh y; a, a cnh y; d trung on chiu cao mt bn)

V = V1+ V2(V1th tch hnh chp ct; V2th tch hnh chp trn)

V = 1

.h B B' B.B'3

(B, B l din tch y, h l chiu cao)

3. Hnh tr: Hnh tr l hnh sinh ra bi hnh ch nht quay xung quanh mt cnh ca n- Din tch xung quanh: Sxq= 2. R. h (R l bn knh y; h l chiu cao)- Din tch ton phn: Stp= 2. R. h + 2. R

2- Th tch hnh tr: V = S. h = . R2. h (S l din tch y)4. Hnh nn : Hnh nn l hnh sinh ra bi tam gic vung quay xung quanh mt cnh gc vung ca n. Hnh nn ct

l phn hnh nn gia y v mt thit din vung gc vi trcHnh nn: - Din tch xung quanh: Sxq= . R. l (R l bn knh y; l l ng sinh)

- Din tch ton phn: Stp= . R. l + . R2

- Th tch: V = 21

.R .h3

(h l chiu cao)

Hnh nn ct: - Din tch xung quanh: Sxq= (R1+ R2). l (R1; R2l bn knh hai y; l l ng sinh)

- Din tch ton phn: Stp= (R1+ R2). l + (R12+ R22)

- Th tch: V = 2 21 2 1 21

.h.(R R R R )3

(h l chiu cao)

5. Hnh cu: - Din tch mt cu: S = 4. R2(R l bn knh)- Th tch hnh cu: V = 3

4.R

3

IX. t ng thc v bi ton tm cc tr1. nh ngha: a > b a b > 0 b a < 0 a b a b 0 b a 02. Mt s tnh cht :1/

A BA CB C

2/ A > B A + C > B + C

3/AC BC,C 0

A BAC BC,C 0

4/

A BA C B C

C D


10/36


5/A B 0

AC BDC D 0

6/ A > B > 0, n N*An> Bn

7/ n nA B 0,n N,n 2 A B 8/

1 1vi AB 0

A BA B1 1

vi AB 0A B

9/*n,m N

n m

n m

n m

A A ,A 1

A A ,0 A 1

10/2n 1 2n 1

2n 1 2n 1

a ba b

n N a b

3. Mt s T c bn:

2a b 4ab a a

a b a b a b a b

1 1 4a b a b

(vi a, b > 0)1 1 1 9a b c a b c

(vi a, b, c > 0)

2

1 2 n 1 2 n

1 1 1 n...

a a a a a ... a

(Vi a1, a2, , an> 0)

a b2

b a (vi ab > 0)

a) Bt ng thc CauChy: Dng tng qut: Gi s a1, a2, , anl cc s thc khng m, khi ta c:

Dng 1: 1 2 n n 1 2 na a ... a

a a ...an

Dng 2:

n

1 2 n1 2 n

a a ... aa a ...a

n

ng thc xy ra a1= a2= = an

H qu: * Nu a1+ a2+ ... + an= S (const) th n

1 2 n

SMax a a ...a

n

xy ra a1= a2= = an=Sn

* Nu a1a2...an= P (const) th n1 2 nMin a a ... a n P xy ra a1= a2= = an=n P

Bt ng thc CauChy suy rng: Cho n s dng a1, a2, , an (n 2) v n s dng 1, 2, nsao cho

1+ 2+ + n= 1 th: 1 1 11 1 1 1 1 2 2 n na .a ....a a a ... a Du bng xy ra a1= a2= = an

b) Bt ng thc: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS)Dng tng qut: Cho 2n s thc tu a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bnkhi :

22 2 2 2 2 2

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n na a ... a b b ... b a b a b ... a b

Du ng thc xy ra 1 2 n1 2 n

a a a...

b b b

H qu: * Nu a1x1+ a2x2+ ... + anxn= c (const) th

22 2 2

1 2 n 2 2 21 2 n

c

Min x x ... x a a ... a xy ra

1 2 n

1 2 n

x x x...

a a a

* Nu 2 2 2 21 2 nx x ... x c (const) th

2 2 21 1 2 2 n n 1 2 nMax a x a x ... a x c . a a ... a 1 2 n

1 2 n

x x x... 0

a a a

2 2 21 1 2 2 n n 1 2 nMin a x a x ... a x c . a a ... a 1 2 n

1 2 n

x x x... 0

a a a

Dng khc ca CBS: 22 2 2

1 2 n1 2 n

1 2 n 1 2 n

a a ... aa a a...b b b b b ... b


11/36


Phn IIMt s dng bi tp t luyn

Bi tp v biu thc

Bi 1: Cho biu thc :a 2 5

Pa 3 a a 6

1

2 a

a) Rt gn P b) Tm gi tr ca a P < 1

Bi 2: Cho biu thc: P =x x 3 x 2 x 2

1 :x 1 x 2 3 x x 5 x 6

a) Rt gn P b)Tm gi tr ca a P < 0

Bi 3: Cho biu thc: P =x 1 1 8 x 3 x 2

: 19x 13 x 1 3 x 1 3 x 1

a) Rt gn P b) Tm cc gi tr ca x P =65

Bi 4: Cho biu thc P =a 1 2 a

1 :a 1 a 1 a a a a 1

a) Rt gn P b) Tm gi tr ca a P < 1c) Tm gi tr ca P nu a 19 8 3

Bi 5: Cho biu thc: P =2 3 3a(1 a) 1 a 1 a

: a . a1 a 1 a 1 a

a) Rt gn P b) Xt du ca biu thc M = a.(P-12

)

Bi 6: Cho biu thc: P =x 1 2x x x 1 2x x

1 : 12x 1 2x 1 2x 1 2x 1

a) Rt gn P b) Tnh gi tr ca P khi x 1 . 3 2 22

Bi 7: Cho biu thc: P =2 x 1 x

: 1x 1x x x x 1 x 1

a) Rt gn P b) Tm x P 0

Bi 8: Cho biu thc: P =3

3

2a 1 a 1 a. a

a a 1 1 aa 1

a) Rt gn P b) Xt du ca biu thc P. 1 a

Bi 9: Cho biu thc P = x 2 x 1 x 11: .x 1x x 1 x x 1

a) Rt gn P b) So snh P vi 3

Bi 10: Cho biu thc : P =1 a a 1 a a

a . a1 a 1 a

a) Rt gn P b) Tm a P < 7 4 3

Bi 11: Cho biu thc: P =2 x x 3x 3 2 x 2

: 1x 9x 3 x 3 x 3

a) Rt gn P b) Tm x P < 12

c) Tm gi tr nh nht ca P


12/36


Bi 12: Cho biu thc: P =x 3 x 9 x x 3 x 2

1 :x 9 x x 6 2 x x 3

a) Rt gn P b) Tm gi tr ca x P < 1

Bi 13: Cho biu thc : P =15 x 11 3 x 2 2 x 3

x 2 x 3 1 x x 3

a) Rt gn P b) Tm cc gi tr ca x P=12

c) Chng minh P 23

Bi 14: Cho biu thc: P=2

2

2 x x m4x 4mx m x m

vi m > 0

a) Rt gn P b) Tnh x theo m P = 0.c) Xc nh cc gi tr ca m x tm c cu b tho mn iu kin x > 1

Bi 15: Cho biu thc P =2a a 2a a

1a a 1 a

a) Rt gn P b) Bit a > 1 Hy so snh P vi P

c) Tm a P = 2 d) Tm gi tr nh nht ca P

Bi 16: Cho biu thc P =a 1 ab a a 1 ab a

1 : 1ab 1 ab 1 ab 1 ab 1

a) Rt gn P b) Tnh gi tr ca P nu a = 2 3 v b =31

13

c) Tm gi tr nh nht ca P nu a b 4

Bi 17: Cho biu thc : P =a a 1 a a 1 1 a 1 a 1

aa a a a a a 1 a 1

a) Vi gi tr no ca a th P = 7 b) Vi gi tr no ca a th P > 6

Bi 18: Cho biu thc: P =

2

a 1 a 1 a 12 2 a a 1 a 1

a) Tm cc gi tr ca a P < 0 b) Tm cc gi tr ca a P = -2

Bi 19: Cho biu thc P =

2

a b 4 ab a b b a.

a b ab

a) Rt gn P b) Tnh gi tr ca P khi a = 2 3 v b = 3

Bi 20: Cho biu thc : P =

x 2 x 1 x 1

: 2x x 1 x x 1 1 x

a) Rt gn P b) Chng minh rng P > 0 x 1

Bi 21: Cho biu thc : P =2 x x 1 x 2

: 1x x 1 x 1 x x 1

a) Rt gn P b) Tnh P khi x= 325


3x1 2 121: :

4 x2 x 4 2 x 4 2 x

a) Rt gn P b) Tm gi tr ca x P = 20

Bi 23: Cho biu thc : P =

23 3 x y xyx yx y

:y xx y x y


13/36


a) Rt gn P b) Chng minh P 0

Bi 24: Cho biu thc P =1 3 ab 1 3 ab a b

. :a b a a b b a b a a b b a ab b

a) Rt gn P b) Tnh P khi a =16 v b = 4

Bi 25: Cho biu thc: P =2a a 1 2a a a a a a

1 .1 a 1 a a 2 a 1

a) Cho P=

6

1 6 tm gi tr ca a b) Chng minh rng P >

2

3

Bi 26: Cho biu thc: P =x 5 x 25 x x 3 x 5

1 :x 25 x 2 x 15 x 5 x 3

a) Rt gn P b) Vi gi tr no ca x th P < 1

Bi 27: Cho biu thc P = a 1 . a b3 a 3a 1

:a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b

a) Rt gn P b) Tm nhng gi tr nguyn ca a P c gi tr nguyn


1 1 a 1 a 2

:a 1 a a 2 a 1

a) Rt gn P b) Tm gi tr ca a P >16

Bi 29: Cho biu thc: P =3 3

3 3

x y x x y y1 1 2 1 1. :

x yx y x y x y xy

a) Rt gn P b) Cho x.y = 16. Xc nh x, y P c gi tr nh nht

Bi 30: Cho biu thc : P =3x 2x 1 x

.xy 2y x x 2 xy 2 y 1 x

a) Rt gn P b) Tm tt c cc s nguyn dng x y = 625 v P < 0,2

Bi 31 : Cho biu thc : Q =x 2 x 2 x 1

.x 1x 2 x 1 x

a) Tm x Q Q b) Tm s nguyn x Q c gi tr nguyn.

Bi 32 : Cho biu thc P =1 x

x 1 x x

a) Rt gn biu thc sau P. b) Tnh gi tr ca biu thc P khi x =1

2

Bi 33 : Cho biu thc : A = x x 1 x 1x 1 x 1

a) Rt gn biu thc b) Tnh gi tr ca biu thc A khi x =14

c) Tm x A < 0. d) Tm x A A

Bi 34 : Cho biu thc : A =1 1 3

1a 3 a 3 a

a) Rt gn biu thc sau A. b) Xc nh a biu thc A >1

2

.

Bi 35 : Cho biu thc: A =2

2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2010.

x 1 x 1 xx 1

.

a) Tm iu kin i vi x biu thc c ngha. b) Tm x Z A Z


14/36


Bi 36 : Cho biu thc: A = 2 x 2 x 1x x 1 x x 1

:x 1x x x x

.

a) Tm x A < 0. b) Tm x nguyn A c gi tr nguyn

Bi 37 : Cho biu thc: A =x 2 x 1 x 1

:2x x 1 x x 1 1 x

a) Rt gn biu thc A. b) Chng minh rng: 0 < A < 2

Bi 38 : Cho biu thc: P =a 3 a 1 4 a 4

4 aa 2 a 2

(a 0; a 4)

a) Rt gn P. b) Tnh gi tr ca P vi a = 9

Bi 39 : Cho biu thc: N =a a a a

1 1a 1 a 1

a) Rt gn biu thc N. b) Tm gi tr ca a N = -2010

Bi 40 : Cho biu thcx x 26 x 19 2 x x 3

Px 2 x 3 x 1 x 3

a) Rt gn P. b) Tnh gi tr ca P khi x 7 4 3

c) Vi gi tr no ca x th P t gi tr nh nht v tnh gi tr nh nht Bi 41 : Cho biu thc

2 x x 3x 3 2 x 2P : 1

x 9x 3 x 3 x 3

a) Tm x 1

P2

b) Tm gi tr nh nht ca P

Bi 42: Cho A=a 1 a 1 1

4 a . aa 1 a 1 a

vi x > 0 ,x 1

a) Rt gn A b) Tnh A vi a = 4 15 . 10 6 . 4 15

Bi 43: Cho A=x 3 x 9 x x 3 x 2

1 :x 9 x x 6 x 2 x 3

vi x 0 , x 9, x 4

a) Tm x A < 1. b) Tm x Z A Z

Bi 44: Cho A =15 x 11 3 x 2 2 x 3

x 2 x 3 1 x x 3

vi x 0 , x 1.

a) Rt gn A. b) Tm GTLN ca A.

c) Tm x A =12

d) CMR : A23

Bi 45: Cho A = x 2 x 1 1x x 1 x x 1 1 x

vi x 0 , x 1.

a) Rt gn A. b) Tm GTLN ca A

Bi 46: Cho A =1 3 2

x 1 x x 1 x x 1

vi x 0 , x 1.

a) Rt gn A. b) CMR : 0 A 1

Bi 47: Cho A =x 5 x 25 x x 3 x 5

1 :x 25 x 2 x 15 x 5 x 3

a) Rt gn A. b) Tm x Z A Z

Bi 48: Cho A = 2 a 9 a 3 2 a 1a 5 a 6 a 2 3 a

vi a 0 , a 9 , a 4.

a) Tm a A < 1 b) Tm x Z A Z


15/36


Bi 49: Cho A =x x 7 1 x 2 x 2 2 x

:x 4 x 4x 2 x 2 x 2

vi x > 0 , x 4.

a) Rt gn A. b) So snh A vi1A

Bi 50: Cho A =

23 3 x y xyx yx y

:y xx y x y

vi x 0 , y 0, x y

a) Rt gn A. b) CMR : A 0Bi 51 : Cho A =

x x 1 x x 1 1 x 1 x 1x .

x x x x x x 1 x 1

Vi x > 0 , x 1

a) Rt gn A. b) Tm x A = 6

Bi 52 : Cho A = x 4 3 x 2 x

:x 2 x x 2x x 2

vi x > 0 , x 4.

a) Rt gn A b) Tnh A vi x = 6 2 5

Bi 53 : Cho A=

1 1 1 1 1

:1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

vi x > 0 , x 1.

a) Rt gn A b) Tnh A vi x = 6 2 5

Bi 54 : Cho A =3

2x 1 1 x 4: 1

x 1 x x 1x 1

vi x 0 , x 1.

a) Rt gn A. b) Tm x nguyn A nguyn

Bi 55: Cho A=1 2 x 2 1 2

:x 1x 1 x x x x 1 x 1

vi x 0 , x 1.

a) Rt gn A. b) Tm x A t GTNN

Bi 56 : Cho A = 2 x x 3x 3 2 x 2: 1x 9x 3 x 3 x 3

vi x 0 , x 9

a) Rt gn A. b) Tm x A < -12

Bi 57 : Cho A =x 1 x 1 8 x x x 3 1

:x 1 x 1x 1 x 1 x 1

vi x 0 , x 1.

a) Tnh A vi x = 6 2 5 b) CMR : A 1

Bi 58 : Cho A =

1 1 x 1

:x x x 1 x 2 x 1

vi x > 0 , x 1.a) Rt gn A b) So snh A vi 1

Bi 59 : Cho A =x 1 1 8 x 3 x 2

: 19x 13 x 1 3 x 1 3 x 1

Vi1

x 0,x9

a) Tm x A =65

b) Tm x A < 1.

Bi 60 : Cho A =2x 2 x 2 x 2x 1

.x 1 2x 2 x 1

vi x 0 , x 1.

a) Rt gn A. b) CMR nu 0 < x < 1 th A > 0c) Tnh A khi x = 3 + 2 2 d) Tm GTLN ca A


16/36


Bi tp v ph-ng trnh bc hai

Bi 1: Cho phng trnh : 2

2m 2x 2 1 2 x m

a) Gii phng trnh khi m 2 1

b) Tm m phng trnh c nghim x 3 2 c) Tm m phng trnh c nghim dng duy nht

Bi 2: Cho phng trnh : 2m 4 x 2mx m 2 0 (x l n )

a) Tm m phng trnh c nghim x 2 .Tm nghim cn lib) Tm m phng trnh 2 c nghim phn bitc) Tnh 2 21 2x x theo m

Bi 3: Cho phng trnh : 2x 2 m 1 x m 4 0 (x l n )a) Tm m phng trnh 2 c nghim tri dub) Chng minh rng phng trnh lun c 2 nghim phn bit vi mi mc) Chng minh biu thc M = 1 2 2 1x 1 x x 1 x khng ph thuc vo m.

Bi 4: Tm m phng trnha) 0122 mxx c hai nghim dng phn bit

b) 24x 2x m 1 0 c hai nghim m phn bitc) 2 2m 1 x 2 m 1 x 2m 1 0 c hai nghim tri du

Bi 5: Cho phng trnh : 2 2x a 1 x a a 2 0 a) Chng minh rng phng trnh trn c 2 nghim trI du vi mi ab) Gi hai nghim ca phng trnh l x1v x2.Tm gi tr ca a

2 21 2x x t gi tr nh nht

Bi 6: Cho b v c l hai s tho mn h thc:1 1 1b c 2

. Chng minh rng t nht mt trong hai phng trnh sau

phi c nghim x2+ bx + c = 0 v x2+ cx + b = 0Bi 7: Vi gi tr no ca m th hai phng trnh sau c t nht mt nghim s chung:

2x2 (3m + 2)x + 12 = 0 v 4x2 (9m 2)x + 36 = 0Bi 8: Cho phng trnh : 2 22x 2mx m 2 0

a) Tm cc gi tr ca m phng trnh c hai nghim dng phn bitb) Gi s phng trnh c hai nghim khng m, tm nghim dng ln nht ca phng trnh

Bi 9: Cho phng trnh bc hai tham s m : 2x 4x m 1 0 a) Tm iu kin ca m phng trnh c nghimb) Tm m sao cho phng trnh c hai nghim x1v x2tho mn iu kin

2 21 2x x = 10

Bi 10: Cho phng trnh 2x 2 m 1 x 2m 5 0 a) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim vi mi m

b) Tm m phng trnh c hai nghim cung du . Khi hai nghim mang du g ?Bi 11: Cho phng trnh 2x 2 m 1 x 2m 10 0 (vi m l tham s )a) Gii v bin lun v s nghim ca phng trnhb) Trong trng hp phng trnh c hai nghim phn bit l x1; x2hy tm mt h thc lin h gia x1; x2m

khng ph thuc vo mc) Tm gi tr ca m 2 21 2 1 210x x x x t gi tr nh nht

Bi 12: Cho phng trnh 2m 1 x 2mx m 1 0 vi m l tham sa) CMR phng trnh lun c hai nghim phn bit m 1 b) Xc nh gi tr ca m d phng trnh c tch hai nghim bng 5, t hy tnh tng hai nghim ca

phng trnhc) Tm mt h thc lin h gia hai nghim khng ph thuc vo m

d) Tm m phng trnh c nghim x1; x2tho mn h thc: 1 22 1

x x 50

x x 2

Bi 13: Cho phng trnh: 2x mx m 1 0 (m l tham s)


17/36


a) Chng t rng phnh trnh c nghim x1; x2vi mi m; tnh nghim kp ( nu c) ca phng trnh v gitr ca m tng ng

b) t 2 21 2 1 2A x x 6x x . Chng minh2A m 8m 8 .

c) Tm m A = 8 v tm gi tr nh nht ca A v gi tr ca m tng ng.d) Tm m sao cho phng trnh c nghim ny bng hai ln nghim kia

Bi 14: Gi s phng trnh 2a.x bx c 0 c 2 nghim phn bit x1; x2. tn n

n 1 2S x x (n nguyn dng)

a) Chng minh: n 2 n 1 na.S bS cS 0

b) p dng Tnh gi tr ca : A=

5 5

1 5 1 52 2

Bi 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1

a) CMR phng trnh f(x) = 0c nghim vi mi mb) t x = t + 2 .Tnh f(x)theo t, t tm iu kin i vi m phng trnh f(x) = 0c 2 nghim ln hn 2

Bi 16: Cho phng trnh: 2 2x 2 m 1 x m 4m 5 0 a) Xc nh gi tr ca m phng trnh c nghimb) Xc nh gi tr ca m phng trnh c hai nghim phn bit u dngc) Xc nh gi tr ca m phng trnh c hai nghim c gi tr tuyt i bng nhau v tri du nhaud) Gi x1; x2l hai nghim nu c ca phng trnh . Tnh

2 21 2x x theo m

Bi 17: Cho phng trnh 2x 4x 3 8 0 c hai nghim l x1; x2. Khng gii phng trnh, hy tnh gi tr ca

biu thc :2 21 1 2 2

3 31 2 1 2

6x 10x x 6xM

5x x 5x x

Bi 18: Cho phng trnh 2x 2 m 2 x m 1 0

a) Gii phng trnh khi m =12

b) Tm cc gi tr ca m phng trnh c hai nghim tri duc) Gi x1; x2l hai nghim ca phng trnh. Tm m :

21 2 2 1x (1 2x ) x (1 2x ) m

Bi 19: Cho phng trnh2

x mx n 3 0 (1) (n , m l tham s)a) Cho n = 0 . CMR phng trnh lun c nghim vi mi m

b) Tm m v n hai nghim x1; x2ca phng trnh (1) tho mn h :1 22 21 2

x x 1

x x 7

Bi 20: Cho phng trnh: 2x 2 k 2 x 2k 5 0 ( k l tham s)a) CMR phng trnh c hai nghim phn bit vi mi gi tr ca kb) Gi x1; x2l hai nghim ca phng trnh . Tm gi tr ca k sao cho

2 21 2x x 18

Bi 21: Cho phng trnh 22m 1 x 4mx 4 0 (1)a) Gii phng trnh (1) khi m = 1

b) Gii phng trnh (1) khi m bt kc) Tm gi tr ca m phng trnh (1) c mt nghim bng mBi 22: Cho phng trnh: 2 2x 2m 3 x m 3m 0

a) CMR phng trnh lun c hai nghim phn bit vi mi mb) Xc nh m phng trnh c hai nghim x1, x2tho mn 1 21 x x 6

Bi 23: Cho phng trnh 2x 2mx 2m 1 0 a) Chng t rng phng trnh c nghim x1; x2vi mi m.b) t A = 2 21 2 1 22(x x ) 5x x . CMR A =

28m 18m 9 . Tm m sao cho A = 27c) Tm m sao cho phng trnh c nghim nay bng hai nghim kia

Bi 24: Gii v bin lun phng trnh : x2 2(m + 1) + 2m + 10 = 0Bi 25: Gii v bin lun phng trnh: (m - 3) x2 2mx + m 6 = 0Bi 26: Gii cc phng trnh sau bng cch nhm nhanh nht

a) 2x2+ 2007x 2009 = 0 b) 17x2+ 221x + 204 = 0

c) x2+ ( 3 5 )x - 15 = 0 d) x2(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0


18/36


Bi 27: Gii cc phng trnh sau bng cnh nhm nhanh nht (m l tham s)a) x2+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 b) (m 3)x2 (m + 1)x 2m + 2 = 0

Bi 28: Gi x1, x2l cc nghm ca phng trnh : x2 3x 7 = 0

a) Tnh: A = x12+ x2

2 B = 1 2x x

C=1 2

1 1x 1 x 1

D = (3x1+ x2)(3x2+ x1)

b) Lp phng trnh bc 2 c cc nghim l1

1x 1

v2

1x 1

Bi 29: Cho phng trnh: x2 ( k 1)x - k2+ k 2 = 0 (1) (k l tham s)a) Chng minh phng trnh (1 ) lun c hai nghim phn bit vi mi gi tr ca kb) Tm nhng gi tr ca k phng trnh (1) c 2 nghim phn bit tri duc) Gi x1, x2l nghm ca phng trnh (1) .Tm k : x1

3+ x23> 0

Bi 30: Cho phng trnh: x2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m l tham s)a) Gii phng trnh (1) vi m = -5b) Chng minh rng phng trnh (1) lun c hai nghim x1, x2phn bit vi mi mc) Tm m 1 2x x t gi tr nh nht (x1, x2 l ha1 nghim ca phng trnh (1) ni trong phn b)

Bi 31: Cho phng trnh (m + 2) x2+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m l tham s)

a) Gii phng trnh khi m = -92

b) Chng minh rng phng trnh cho c nghim vi mi mc) Tm tt c cc gi tr ca m sao cho phng trnh c hai nghim phn bit v nghim ny gp ba ln

nghim kia.Bi 32: Cho phng trnh : mx2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) vi m l tham s .

a) Bin lun theo m s c nghim ca phng trnh (1)b) Tm m (1) c 2 nghim tri du.c) Tm m (1) c mt nghim bng 3. Tm nghim th hai.

Bi 33: Cho phng trnh : x2+ 2kx + 2 5k = 0 (1) vi k l tham sa) Tm k phng trnh (1) c nghim kp

b) Tm k phng trnh (1) c 2 nghim x1, x2tho mn iu kin : x12

+ x22

= 10Bi 34: Cho phng trnh : x2 6x + 1 = 0, gi x1v x2l hai nghim ca phng trnh. Khng gii phng trnh, hy

tnh: a) x12+ x2

2 b) 1 1 2 2x x x x

c)

2 21 2 1 x 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x x x x x

x x 1 x x 1

.

Bi 35: Cho phng trnh bc hai: x2 2(m + 1)x + m2+ 3m + 2 = 0a) Tm cc gi tr ca m phng trnh lun c hai nghim phn bit.b) Tm gi tr ca m tho mn x1

2+ x22= 12 (trong x1, x2l hai nghim ca phng trnh).

Bi 36: Cho phng trnh: x2 2mx + 2m 5 = 0.

a) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim phn bit vi mi m.b) Tm iu kin ca m phng trnh c hai nghim tri du.c) Gi hai nghim ca phng trnh l x1v x2, tm cc gi tr ca m : x1

2(1 x22) + x2

2(1 x12) = -8.

Bi 37: Cho phng trnh: x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.a) Gii phng trnh vi m = 0.b) Gi hai nghim ca phng trnh l x1v x2. Tm cc gi tr ca m tho mn 5x1+ x2= 4.

Bi 38: Cho phng trnh: x2+ 4x + 1 = 0 (1)a) Gii phng trnh (1).b) Gi x1, x2l hai nghim ca phng trnh (1). Tnh B = x1

3+ x23.

Bi 39: Cho phng trnh : x2- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m l tham s).a) Xc nh m phng trnh c mt nghim l bng 2. Tm nghim cn li.

b) Xc nh m phng trnh c hai nghim x1, x2tho mn x13

+ x23

0.Bi 40: Cho phng trnh: (m 1)x2+ 2mx + m 2 = 0 (*)a) Gii phng trnh khi m = 1.b) Tm m phng trnh (*) c 2 nghim phn bit.

Bi 41: Cho phng trnh (2m - 1)x2- 2mx + 1 = 0. Xc nh m phng trnh trn c nghim thuc khong (-1, 0)


19/36


Bi 42: Vi gi tr no ca m th hai phng trnh sau c nghim chung. Tm nghim chung :a) 2x2+ (3m + 1)x 9 = 0 v 6x2+ (7m 1)x 19 = 0.b) 2x2+ mx 1 = 0 v mx2 x + 2 = 0.c) x2 mx + 2m + 1 = 0 v mx2 (2m + 1)x 1 = 0.

Bi 43: Xt cc phng trnh sau: ax2+ bx + c = 0 (1) v cx2+ bx + a = 0 (2)Tm h thc gia a, b, c l iu kin cn v hai phng trnh trn c mt nghim chung duy nht.

Bi 44: Cho hai phng trnh: x2 2mx + 4m = 0 (1) v x2 mx + 10m = 0 (2)Tm cc gi tr ca tham s m phng trnh (2) c mt nghim bng hai ln mt nghim ca phng trnh (1)

Bi 45: Cho hai phng trnh: x2+ x + a = 0 v x2+ ax + 1 = 0

a) Tm cc gi tr ca a cho hai phng trnh trn c t nht mt nghim chung.b) Vi nhng gi tr no ca a th hai phng trnh trn tng ng.Bi 46: Cho hai phng trnh: x2+ mx + 2 = 0 (1) v x2+ 2x + m = 0 (2)

a) nh m hai phng trnh c t nht mt nghim chung.b) nh m hai phng trnh tng ng.c) Xc nh m phng trnh (x2+ mx + 2)(x2+ 2x + m) = 0 c 4 nghim phn bit

Bi 47: Cho cc phng trnh: x2 5x + k = 0 (1) v x2 7x + 2k = 0 (2)Xc nh k mt trong cc nghim ca phng trnh (2) ln gp 2 ln mt trong cc nghim ca phng

trnh (1).

Bi tp v hm s bc nht

Bi 1: a) Vit phng trnh ng thng i qua hai im (1 ; 2) v (-1 ; -4).b) Tm to giao im ca ng thng trn vi trc tung v trc honh

Bi 2 Cho hm s y = (m 2)x + m + 3.a) Tm iu kin ca m hm s lun nghch bin.b) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh bng 3.c) Tm m th ca hm s trn v cc th ca cc hm s y = -x + 2 ; y = 2x 1 ng quy

Bi 3: Cho hm s y = (m 1)x + m + 3.a) Tm gi tr ca m th ca hm s song song vi th hm s y = -2x + 1.b) Tm gi tr ca m th ca hm s i qua im (1; -4).c) Tm im c nh m th ca hm s lun i qua vi mi m

Bi 4 : Cho hai im A(1 ; 1), B(2 ; -1).a) Vit phng trnh ng thng AB.b) Tm cc gi tr ca m ng thng y = (m2 3m)x + m2 2m + 2 song song vi ng thng AB ng

thi i qua im C(0 ; 2).Bi 5: Cho hm s y = (2m 1)x + m 3.

a) Tm m th ca hm s i qua im (2; 5)b) Chng minh rng th ca hm s lun i qua mt im c nh vi mi m. Tm im c nh y.

c) Tm m th ca hm s ct trc honh ti im c honh x = 2 1

Bi 6 : Tm gi tr ca k cc ng thng sau : y =

6 x

4

; y =

4x 5

3

v y = kx + k + 1 ct nhau ti mt im.Bi 7 : Gi s ng thng (d) c phng trnh y = ax + b. Xc nh a, b (d) i qua hai im A(1; 3) v B(-3; -1).Bi 8 : Cho hm s : y = x + m (D). Tm cc gi tr ca m ng thng (D) :

a) i qua im A(1; 2010).b) Song song vi ng thng x y + 3 = 0.

Bi 9: Cho hm s y = (m - 2)x + n (d)Tm gi tr ca m v n th (d) ca hm s :

a) i qua hai im A(-1;2) v B(3;-4)

b) Ct trc tung ti im ctung bng 1- 2 v ct trc honh ti im c honh bng 2+ 2 .c) Ct ng thng -2y + x 3 = 0

d) Song song vi ng thng 3x + 2y = 1Bi 10: Cho hm s : 2y 2x (P)a) V th (P)b) Tm trn th cc im cch u hai trc to c) Xt s giao im ca (P) vi ng thng (d) y mx 1 theo m


20/36


d) Vit phng trnh ng thng (d') i qua im M(0; -2) v tip xc vi (P)Bi 11 : Cho (P) 2y x v ng thng (d) y 2x m

1) Xc nh m hai ng :a) Tip xc nhau . Tm to tip imb) Ct nhau ti hai im phn bit A v B , mt im c honh x= -1. Tm honh im cn liTm to A v B

2) Trong trng hp tng qut, gi s (d) ct (P) ti hai im phn bit M v N. m to trung im I caon MN theo m v tm qu tch ca im I khi m thay i.Bi 12: Cho ng thng (d) 2(m 1)x (m 2)y 2

a) Tm m ng thng (d) ct (P) 2y x ti hai im phn bit A v Bb) Tm to trung im I ca on AB theo mc) Tm m (d) cch gc to mt khong Maxd) Tm im c nh m (d) i qua khi m thay i

Bi 13: Cho (P) 2y x a) Tm tp hp cc im M sao cho t c th k c hai ng thng vung gc vi nhau v tip xcvi (P)

b) Tm trn (P) cc im sao cho khong cch ti gc to bng 2

Bi 14: Cho ng thng (d)3

y x 3

4

a) V (d). Tnh din tch tam gic c to thnh gia (d) v hai trc to b) Tnh khong cch t gc O n (d)

Bi 15: Cho hm s y x 1 (d)

a) Nhn xt dng ca th. V th (d)b) Dng th , bin lun s nghim ca phng trnh x 1 m

Bi 16: Vi gi tr no ca m th hai ng thng : (d) y (m 1)x 2 (d') y 3x 1 a) Song song vi nhau b) Ct nhau c) Vung gc vi nhau

Bi 17: Tm gi tr ca a ba ng thng : (d1): y = 2x 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 ng quy ti mt im trongmt phng to

Bi 18: CMR khi m thay i th (d) 2x + (m - 1)y = 1 lun i qua mt im c nh

Bi 20: Cho (P) 21

y x2

v ng thng (d) y=ax + b .Xc nh a v b ng thng (d) I qua im A(-1; 0) v

tip xc vi (P).Bi 21: Cho hm s y x 1 x 2

a) V th hn s trnb) Dng th cu a bin lun theo m s nghim ca phng trnh x 1 x 2 m

Bi 22: Cho (P) 2y x v ng thng (d) y = 2x + ma) V (P) b) Tm m (P) tip xc (d)

Bi 23: Cho (P)2xy

4 v (d) y = x + m

a) V (P) b) Xc nh m (P) v (d) ct nhau ti hai im phn bit A v Bc) Xc nh ng thng (d') song song vi ng thng (d) v ct (P) ti im c tung bng -4d) Xc nh phng trnh ng thng (d'') vung gc vi (d') v i qua giao im ca (d') v (P)

Bi 24: Cho hm s 2y x (P) v hm s y = x + m (d)a) Tm m sao cho (P) v (d) ct nhau ti hai im phn bit A v Bb) Xc nh phng trnh ng thng (d') vung gc vi (d) v tip xc vi (P)c) Thit lp cng thc tnh khong cch gia hai im bt k. p dng. Tm m sao cho khong cch gia hai

im A v B bng 3 2

Bi 25: Cho im A(-2; 2) v ng thng ( 1d ) y = -2(x + 1)a) Tm a hm s 2y a.x (P) i qua Ab) Xc nh phng trnh ng thng (d2) i qua A v vung gc vi (d1)


21/36


c) Gi A v B l giao im ca (P) v (d2) ; C l giao im ca (d1) vi trc tung. Tm to ca B v C. Tnhdin tch tam gic ABC

Bi 26: Cho (P) 21

y x4

v ng thng (d) qua hai im A v B trn (P) c honh lm lt l -2 v 4

a) Kho st s bin thin v v th (P) ca hm s trnb) Vit phng trnh ng thng (d)c) Tm im M trn cung AB ca (P) tng ng honh x 2;4 sao cho tam gic MAB c din tch ln

nht.Bi 27: Cho (P)

2

xy4

v im M (1; -2)

a) Vit phng trnh ng thng (d) i qua M v c h s gc l mb) CMR (d) lun ct (P) ti hai im phn bit A v B khi m thay ic) Gi

BA xx ; ln lt l honh ca A v B .Xc nh m 22

BABA xxxx t gi tr nh nht

d) Gi A' v B' ln lt l hnh chiu ca A v B trn trc honh v S l din tch t gic AA'B'B.

*Tnh S theo m; *Xc nh m S= 2 24(8 m m m 2)

Bi 28: Cho hm s 2y x (P)a) V (P)b) Gi A,B l hai im thuc (P) c honh ln lt l -1 v 2. Vit phng trnh ng thng ABc) Vit phng trnh ng thng (d) song song vi AB v tip xc vi (P)

Bi 29: Trong h to xOy cho Parabol (P) 21

y x4

v ng thng (d) y mx 2m 1

a) Tm m sao cho (P) v (d) tip xc nhau.Tm to tip imb) Chng t rng (d) lun i qua mt im c nh

Bi 30: Cho (P) 21

y x4

v im I(0; -2) .Gi (d) l ng thng qua I v c h s gc m.

a) V (P) . CMR (d) lun ct (P) ti hai im phn bit A v B m R b) Tm gi tr ca m on AB ngn nht

Bi 31: Cho (P)

2xy 4 v ng thng (d) i qua im I( 3 ;12 ) c h s gc l m

a) Tm m sao cho (d) tip xc (P)b) Tm m sao cho (d) v (P) c hai im chung phn bit

Bi 32: Cho (P)2x

y4

v ng thng (d)x

y 22

a) Tm to giao im ca (P) v (d)b) Tm to ca im thuc (P) sao cho ti ng tip tuyn ca (P) song song vi (d)

Bi 33: Cho (P) 2y x a) Gi A v B l hai im thuc (P) c honh ln lt l -1 v 2. Vit phng trnh ng thng AB

b) Vit phng trnh ng thng (d) song song vi AB v tip xc vi (P)Bi 34: Cho (P) 2y 2x . Trn (P) ly im A c honh x=1 v im B c honh x=2 . Xc nh cc gi tr cam v n ng thng (d) y=mx+n tip xc vi (P) v song song vi AB

Bi 35: Xc nh gi tr ca m hai ng thng c phng trnh 1

2

(d )x y m

(d )mx y 1

ct nhau ti mt im trn (P)

2y 2x

Ph-ng trnh bt ph-ng trnh bc nht mt nH ph-ng trnh bc nht 2 n

Bi 1: Gii cc phng trnh sau y:

a)x x

2x - 1 x 2

b)3

3

2x - 1x + x +1

= 2

Bi 2: Gii v bin lun phng trnh theo m: (m 2)x + m2 4 = 0Bi 3: Tm m Z phng trnh sau y c nghim nguyn: (2m 3)x + 2m2+ m - 2 = 0.


22/36


Bi 3: Tm nghim nguyn dng ca phng trnh: 7x + 4y = 23.Bi 4: Gii h phng trnh:

a)2x 3y 5

3x 4y 2

b)

x 4y 6

4x 3y 5

c)

2x y 3

5 y 4x

d)x y 1

x y 5

e)

2x 4 0

4x 2y 3

f)

2 52

x x y

3 11,7

x x y

Bi 5: Cho h phng trnh :mx y 2

x my 1

a) Gii h phng trnh theo tham s m.b) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm cc gi tr ca m x + y = -1.c) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo m

Bi 6: Cho h phng trnh:x 2y 3 m

2x y 3(m 2)

a) Gii h phng trnh khi thay m = -1.b) Gi nghim ca h phng trnh l (x, y). Tm m x2+ y2t gi tr nh nht

Bi 7: Cho h phng trnh: (a 1)x y ax (a 1)y 2

c nghim duy nht l (x; y).

a) Tm ng thc lin h gia x v y khng ph thuc vo a.b) Tm cc gi tr ca a tho mn 6x2 17y = 5.

c) Tm cc gi tr nguyn ca a biu thcx 5yx y

nhn gi tr nguyn.

Bi 8: Cho h phng trnh:x ay 1

(1)ax y 2

a) Gii h (1) khi a = 2.

b) Vi gi tr no ca a th h c nghim duy nht.Bi 9: Xc nh cc h s m v n, bit rng h phng trnh

mx y n

nx my 1

c nghim l 1; 3 .

Bi 10: Cho h phng trnh a 1 x y 4

ax y 2a

(a l tham s).

a) Gii h khi a = 1.b) Chng minh rng vi mi a h lun c nghim duy nht (x ; y) tho mn x + y 2.

Bi 11: Cho h phng trnh :x - (m 3)y 0

(m - 2)x 4y m - 1

(m l tham s).

a) Gii h khi m = -1.b) Gii v bin lun phng trnh theo m.

Bi 12: Cho h phng trnh:x - m y 0

mx 4y m 1

(m l tham s).

a) Gii h khi m = -1.b) Tm gi tr nguyn ca m h c hai nghim nguyn.c) Xc nh mi h c nghim x > 0, y > 0.

Bi 13: Tm m h phng trnh

m 1 x y m 1

x m 1 y 2

C nghim duy nht tho mn iu kin x + y nh nht

Bi 14: Gii h phnh trnh v minh ho bmg th

a)x 1 y

2y 5 x

b)

x y 2

x y1

4 4

c)y 1 x 1

y 3x 12


23/36


Bi 15: Cho h phng trnh :2x by 4

bx ay 5

a) Gii h phng trnh khi a b

b) Xc nh a v b h phng trnh trn c nghim (x; y) = (1; -2)

Bi 16: Gii v bin lun h phng trnh theo tham s m:mx y 2m

4x my 6 m

Bi 17: Vi gi tr no ca a th h phng trnh :x ay 1

ax y 2

a) C mt nghim duy nht b) V nghim

Bi 18: Gii h phng trnh sau:2 2x xy y 19

x xy y 1

Bi 19*: Tm m sao cho h phng trnh sau c nghim:

2

x 1 y 2 1

x y m x y 1 x y 0

Bi 20: GiI h phng trnh:2 2

2 2

2x xy 3y 13

x 4xy 2y 6

Bi 21*: Cho a v b tho mn h phng trnh3 2

2 2 2

a 2b 4b 3 0

a a b 2b 0

.Tnh 2 2a b

Bi 21: Cho h phng trnh(a 1)x y 3

a.x y a

a) Gii h phng rnh khi a= - 2 b) Xc nh gi tr ca a h c nghim duy nht tho mn iu kin x + y > 0

Gii ton bng cch lp ph-ng trnh, h ph-ng trnh

1. Ton chuyn ngBi 1: Hai tnh A v B cch nhau 180 km. Cng mt lc, mt t i t A n B v mt xe my i t B v A. Hai xegp nhau ti th trn C. T C n B t i ht 2 gi , cn t C v A xe my i ht 4 gi 30 pht. Tnh vn tc ca mixe bit rng trn ng AB hai xe u chy vi vn tc khng iBi 2: Mt ca n xui dng t bn A n bn B ri li ngc dng t bn B v bn A mt tt c 4 gi. Tnh vn tcca ca n khi nc yn lng, bit rng qung sng AB di 30 km v vn tc dng nc l 4 km/h.Bi 3: Mt ca n xui t bn A n bn B vi vn tc 30 km/h, sau li ngc t B tr v A. Thi gian xui t hnthi gian i ngc 1 gi 20 pht. Tnh khong cch gia hai bn A v B bit rng vn tc dng nc l 5 km/hBi 4: Mt ngi chuyn ng u trn mt qung ng gm mt on ng bng v mt on ng dc. Vntc trn on ng bng v trn on ng dc tng ng l 40 km/h v 20 km/h. Bit rng on ng dcngn hn on ng bng l 110km v thi gian ngi i c qung ng l 3 gi 30 pht. Tnh chiu diqung ng ngi i.Bi 5: Mt xe ti v mt xe con cng khi hnh t A n B. Xe tI i vi vn tc 30 km/h, xe con i vi vn tc 45

km/h. Sau khi i c34

qung ng AB, xe con tng vn tc thm 5 km/h trn qung ng cn li. Tnh qung

ng AB bit rng xe con n B sm hn xe ti 2gi 20 pht.Bi 6: Mt ngi i xe p t A n B cch nhau 33 km vi mt vn tc xc nh. Khi t B v A ngi i bng conng khc di hn trc 29 km nhng vi vn tc ln hn vn tc lc i 3 km/h. Tnh vn tc lc i, bit rng thi

gian v nhiu hn thi gian i l 1 gi 30 pht.Bi 7: Hai ca n cng khi hnh t hai bn A, B cch nhau 85 Km i ngc chiu nhau. Sau 1h40 th gp nhau.Tnh vn tc ring ca mi ca n, bit rng vn tc ca n i xui ln hn vn tc ca n i ngc 9Km/h v vn tcdng nc l 3 Km/h.


24/36


Bi 8: Hai a im A,B cch nhau 56 Km. Lc 6h45pht mt ngi i xe p t A vi vn tc 10 Km/h. Sau 2 gimt ngi i xe p t B n A vi vn tc 14 Km/h. Hi n my gi h gp nhau v ch gp nhau cch A baonhiu Km ?Bi 9: Mt ngi i xe p t A n B vi vn tc 15 km/h. Sau mt thi gian, mt ngi i xe my cng xutpht t A vi vn tc 30 km/h v nu khng c g thay i th s ui kp ngi i xe my ti B. Nhng sau khi ic na qung ng AB, ngi i xe p gim bt vn tc 3 km/h nn hai ngi gp nhau ti C cch B 10 km.Tnh qung ng ABBi 10: Mt ngi i xe my t A n B vi vn tc trung bnh l 30 km/h. Khi n B ngi ngh 20 pht ri quaytr v A vi vn tc trung bnh l 24 km/h. Tnh qung ng AB bit rng thi gian c i ln v l 5 gi 50 pht.

Bi 11: Mt ca n xui t bn A n bn B vi vn tc trung bnh 30 Km/h, sau ngc t B v A. Thi gian i xuit hn thi gian i ngc l 40 pht. Tnh khong cch gia hai bn A v B bit rng vn tc dng nc l 3 Km/h vvn tc ring ca ca n l khng i .Bi 12: Mt t d nh i t tnh A n tnh B vi vvn tc trung bnh l 40 km/h . Lc u t i vi vn tc , khicn 60 km na th c mt na qung ng AB, ngi li xe tng vn tc thm 10 km/h trn qung ng cn li.Do t n tnh B sm hn 1 gi so vi d nh. Tnh qung ng AB.Bi 13: Hai ca n khi hnh cng mt lc v chy t bn A n bn B. Ca n I chy vi vn tc 20 km/h, ca n IIchy vi vn tc 24 km/h. Trn ng i ca n II dng li 40 pht, sau tip tc chy. Tnh chiu di qung ngsng AB bit rng hai ca n n B cng mt lc .Bi 14: Mt ngi i xe p t A n B cch nhau 50 km. Sau 1 gi 30 pht, mt ngi i xe my cng i t A vn B sm hn 1 gi. Tnh vn tc ca mi xe, bit rng vn tc ca xe my gp 2,5 ln vn tc xe p.

Bi 15: Mt ca n chy trn sng trong 7 gi, xui dng 108 km v ngc dng 63 km. Mt ln khc, ca n cngchy trong 7 gi, xui dng 81 km v ngc dng 84 km. Tnh vn tc dng nc chy v vn tc ring (thc) caca n.Bi 16: Mt tu thu chy trn mt khc sng di 80 km, c i v v mt 8 gi 20 pht. Tnh vn tc ca tu khinc yn lng, bit rng vn tc dng nc l 4 km/h.Bi 17: Mt chic thuyn khi hnh t bn sng A. Sau 5 gi 20 pht mt chic ca n chy t bn sng A uitheo v gp chic thuyn ti mt im cch bn A 20 km. Hi vn tc ca thuyn, bit rng ca n chy nhanh hnthuyn 12 km/h.Bi 18: Mt t chuyn ng u vi vn tc nh i ht qung ng di 120 km trong mt thi gian nh.

i c mt na qung ng xe ngh 3 pht nn n ni ng gi, xe phi tng vn tc thm 2 km/h trn naqung ng cn li. Tnh thi gian xe ln bnh trn ng.Bi 19: Mt t d nh i t A n B cch nhau 120 km trong mt thi gian quy nh. Sau khi i c 1 gi t bchn ng bi xe ho 10 pht. Do , n B ng hn, xe phi tng vn tc thm 6 km/h. Tnh vn tc lc uca t.Bi 20: Mt ngi i xe p t A n B trong mt thi gian nh. Khi cn cch B 30 km, ngi nhn thy rngs n B chm na gi nu gi nguyn vn tc ang i, nhng nu tng vn tc thm 5 km/h th s ti ch sm hnna gi.Tnh vn tc ca xe p tren qung ng i lc u.Bi 21: Hai t khi hnh cng mt lc i t A n B cch nhau 300 km. t th nht mi gi chy nhanh hn tth hai 10 km nn n B sm hn t th hai 1 gi. Tnh vn tc mi xe t .

Bi 22: Mt t d nh i t A n B vi vn tc 50 km/h. Sau khi i c23

qung ng vi vn tc , v ng

kh i nn ngi li xe phi gim vn tc mi gi 10 km trn qung ng cn li. Do t n B chm 30 phtso vi d nh. Tnh qung ng ABBi 23: Mt t d nh i t A n B trong mt thi gian nht nh. Nu xe chy vi vn tc 35 km/h th n chmmt 2 gi . Nu xe chy vi vn tc 50 km/h th n sm hn 1 gi . Tnh qung ng AB v thi gian d nh i lcu .Bi 24: Qung ng AB di 180 km. Cng mt lc hai t khi hnh t A n B. Do vn tc ca t th nht hnvn tc ca t th hai l 15 km/h nn t th nht n sm hn t th hai 2h. Tnh vn tc ca mi t?Bi 25: Khong cch gia hai thnh ph A v B l 180 km. Mt t i t A n B, ngh 90 pht B ri tr li t B vA. Thi gian t lc i n lc tr v l 10 gi. Bit vn tc lc v km vn tc lc i l 5 km/h. Tnh vn tc lc i ca t.Bi 25: Mt ca n xui dng t bn sng A n bn sng B cch nhau 24 km, cng lc cng t A mt b na tri

vi vn tc dng nc 4 km/h. Khi n B ca n quay li ngay v gp b na tri ti mt a im C cch A l 8 km.Tnh vn tc thc ca ca n.Bi 26: Khong cch gia hai tnh A v B l 108 km. Hai t cng khi hnh mt lc i t A n B, mi gi xe thnht chy nhanh hn xe th hai 6 km nn n B trc xe th hai 12 pht. Tnh vn tc mi xe


25/36


Bi 27: Hai a im A, B cch nhau 56km. Lc 6h45' mt ngi i t A vi vn tc 10km/h. Sau 2h, mt ngi i xep t B ti A vi vn tc 14km/h . Hi n my gi th h gp nhau, ch gp nhau cch A bao nhiu kmBi 28: Mt ca n xui t A n B vi vn tc 30km/h, sau ngc t B tr v A. Thi gian i xui t hn thi giani ngc l 40'. Tnh khong cch gia A v B. Bit vn tc ca n khng i, vn tc dng nc l 3km/h.Bi 29: Mt ngi i xe p t A n B cch nhau 50km. Sau 1h30' mt ngi i xe my cng t A v n B smhn mt gi. Tnh vn tc ca mi xe, bit rng vn tc xe my gp 2,5 ln xe p

2. Ton nng sutBi 1: Hai i cng nhn cng lm mt cng vic th lm xong trong 4 gi. Nu mi i lm mt mnh lm xong

cng vic y, th i th nht cn thi gian t hn so vi i th hai l 6 gi. Hi mi i lm mt mnh xong cng vicy trong bao lu?Bi 2: Mt x nghip ng giy d nh hon thnh k hoch trong 26 ngy. Nhng do ci tin k thut nn mi ngy vt mc 6000 i giy do chng nhng hon thnh k hoch nh trong 24 ngy m cn vt mc 104000 i giy. Tnh s i giy phi lm theo k hoch.Bi 3: Mt c s nh c d nh trung bnh mi tun nh bt c 20 tn c, nhng vt mc c 6 tn mitun nn chng nhng hon thnh k hoch sm 1 tun m cn vt mc k hoch 10 tn. Tnh mc k hoch nhBi 4: Mt i xe cn chuyn ch 36 tn hng. Trc khi lm vic i xe c b sung thm 3 xe na nn mi xech t hn 1 tn so vi d nh. Hi i xe lc u c bao nhiu xe ? Bit rng s hng ch trn tt c cc xe c khilng bng nhau.

Bi 5: Hai t sn xut cng nhn chung mt mc khon. Nu lm chung trong 4 gi t 1 v 6 gi ca t 2 th hon

thnh c23

mc khon. Nu mi t lm ring th t ny s lm xong mc khon th mi t phi lm trong bao

lu ?Bi 6: Hai t cng nhn lm chung trong 12 gi s hon thnh xong cng vic nh. H lm chung vi nhau trong4 gi th t th nht c iu i lm vic khc, t th hai lm nt cng vic cn li trong 10 gi. Hi t th hai lmmt mnh th sau bao lu s hon thnh cng vic.Bi 7: Hai ngi th cng lm mt cng vic trong 16 gi th xong . Nu ngi th nht lm 3 gi v ngi th hailm 6 gi th h lm c 25% cngvic . Hi mi ngi lm cng vic trong my gi th xong .Bi 8: Theo k hoch, mt t cng nhn phi sn xut 360 sn phm. n khi lm vic, do phi iu 3 cng nhn i

lm vic khc nn mi cng nhn cn li phi lm nhiu hn d nh 4 sn phm. Hi lc u t c bao nhiu cngnhn ? Bit rng nng sut lao ng ca mi cng nhn l nh nhau.Bi 9: Hai ngi th cng lm mt cng vic trong 16 gi th xong. Nu ngi th nht lm 3 gi v ngi th 2 lm6 gi th h lm c 25% cng vic. Hi mi ngi lm mt mnh cng vic trong my gii th xong ?.Bi 10: Thng th nht hai t sn xut c 800 sn phm. Sang thng th hai t 1 vt 15%.t 2 vt 20%. Do cui thng c hai t xn xut oc 945 sn phm. Tnh xem trong thng th nht mi t sn xut c bao nhiusn phmBi 11: Trong thng ging hai t sn xut c 720 chi tit my. Trong thng hai, t I vt mc 15%, t II vt mc12% nn sn xut c 819 chi tit my. Tnh xem trong thng ging mi t sn xut c bao nhiu chi tit my ?Bi 12: Nm ngoi tng s dn ca hai tnh A v B l 4 triu ngi. Dn s tnh A nm nay tng 1,2%, cn tnh Btng 1,1%. Tng s dn ca c hai tnh nm nay l 4 045 000 ngi. Tnh s dn ca mi tnh nm ngoi v nm

nay ?

3. Ton th tchBi 1: Hai vi nc cng chy vo mt ci b khng cha nc lm y b trong 5 gi 50 pht. Nu chy ringth vi th hai chy y b nhanh hn vi th nht l 4 gi. Hi nu chy ring th mi vi chy trong bao lu s yb ?Bi 2: Hai vi nc cng chy vo mt ci b khng c nc v chy y b mt 1 gi 48 pht. Nu chy ring, vith nht chy y b nhanh hn vi th hai trong 1 gi 30 pht. Hi nu chy ring th mi vi s chy y b trongbao lu ?Bi 3: Mt my bm mun bm y nc vo mt b cha trong mt thi gian quy nh th mi gi phi bm c

10 m3

. Sau khi bm c13 th tch b cha, my bm hot ng vi cng sut ln hn, mi gi bm c 15 m

3

.Do vy so vi quy nh, b cha c bm y trc 48 pht. Tnh th tch b cha.


26/36


Bi 4: Nu hai vi nc cng chy vo mt ci b cha khng c nc th sau 1 gi 30 pht s y b. Nu m vi

th nht trong 15 pht ri kho li v m vi th hai chy tip trong 20 pht th s c15

b. Hi mi vi chy

ring th sau bao lu s y b ?Bi 5: Hai vi nc cng chy vo mt ci b cha khng c nc th sau 2 gi 55 pht s y b. Nu chy ringth vi th nht chy y b nhanh hn vi th hai 2 gi. Hi nu chy ring th mi vi chy y b trong bao lu ?Bi 6: Hai vi nc cng chy vo b th sau 4 gi 48 pht th y. Nu chy cng mt thi gian nh nhau th lng

nc ca vi II bng2

3

lng nc ca vi I chy c. Hi mi vi chy ring th sau bao lu y b

Bi 7: Nu m c hai vi nc chy vo mt b cn th sau 2 gi 55pht b y b. Nu m ring tng vi th vi thnht lm y b nhanh hn vi th hai l hai gi. Hi nu m ring tng vi th mi vi chy bao lu y b ?

4. Mt s dng khcBi 1: Trong mt bui lao ng trng cy, mt t gm 13 hc sinh (c nam v n) trng c tt c 80 cy. Bitrng s cy cc bn nam trng c v s cy cc bn n trng c l bng nhau ; mi bn nam trng c nhiuhn mi bn n 3 cy. Tnh s hc sinh nam v s hc sinh n ca t.Bi 2: Mt hnh ch nht c din tch 300m2. Nu gim chiu rng 3m, tng chiu di thm 5m th ta c hnh chnht mi c din tch bng din tch hnh ch nht ban u. Tnh chu vi ca hnh ch nht ban u.Bi 3: Ba chic bnh c th tch tng cng 120 lt. Nu y nc vo bnh th nht ri em rt vo hai bnh kia th

hoc bnh th 3 y nc, bnh th 2 ch c 12

th tch ca n, hoc bnh th 2 y nc th bnh th 3 ch c

13

th tch ca n. Tm th tch ca mi bnh

Bi 4: Mt phng hp c 360 gh ngi c xp thnh tng hng v s gh mi hng bng nhau. Nu s hngtng thm 1 v s gh mi hng tng thm 1 th trong phng c 400 gh. Hi c bao nhiu hng, mi hng c baonhiu gh ?Bi 5: Hai vt chuyn ng trn mt ng trn c ng knh 20m, xut pht cng mt lc t cng mt im. Nuchng chuyn ng ngc chiu nhau th c 2 giy li gp nhau. Nu chng chuyn ng cng chiu nhau th csau 10 giy li gp nhau. Tnh vn tc ca mi vt.

Bi 6: Mt khi lp t chc i tham quan bng t. Mi xe ch 22 hc sinh th cn tha 1 hc sinh. Nu bt i 1 tth c th xp u cc hc sinh trn cc t cn li. Hi lc u c bao nhiu t, bao nhiu hc sinh. Mi xe chkhng qu 32 hc sinh.Bi 7: Mt nh my d nh sn xut chi tit my trong thi gian nh v d nh s sn xut 300 chi tit mytrong mt ngy. Nhng thc t mi ngy lm thm c 100 chi tit, nn sn xut thm c tt c l 600 chitit v hon thnh k hoch trc 1 ngy. Tnh s chi tit my d nh sn xut.Bi 8: Mt i xe cn chuyn ch 120 tn hng. Hm lm vic c 2 xe phi iu i ni khc nn mi xe phi chthm 16 tn. Hi i c bao nhiu xe ?Bi 9: Hai t hc sinh trng c mt s cy trong sn trng. Nu ly 5 cy ca t 2 chuyn cho t mt th s cytrng c ca c hai t s bng nhau. Nu ly 10 cy ca t mt chuyn cho t hai th s cy trng c ca t hais gp i s cy ca t mt. Hi mi t trng c bao nhiu cy ?

Bi 10: Hai hp tc x bn cho nh nc 860 tn thc. Tnh s thc m mi hp tc x bn cho nh nc.Bit rng 3 ln s thc hp tc x th nht bn cho nh nc nhiu hn hai ln s thc hp tc x th hai bn l280 tnBi 11: ch mt s bao hng bng t, ngi ta nhn thy nu mi xe ch 22 bao th cn tha mt bao. Nu bti mt t th c th phn phi u cc bao hng cho cc t cn li. Hi lc u c bao nhiu t v tt c c baonhiu bao hng. Bit rng mi t ch ch c khng qu 32 bao hng (gi thit mi bao hng c khi lng nhnhau)Bi 12: Mi ngi dn tt c tem ca mnh vo mt quyn v. Nu dn 20 tem trn mt t th quyn v khng dn ht s tem. Cn nu mi t dn 23 tem th t nht mt t trong quyn v cn b b trng. Nu gi s cng trnquyn v m trn mt t dn 21 tem th tng s tem dn trn quyn v vi s tem thc c ca ngi l 500tem. Hi quyn v c bao nhiu t v s tem ngi c ?

Bi 13: Tm mt s gm ba ch s sao cho khi ta ly ch s hng n v t v bn tri ca mt s gm hai ch scn li, ta c mt c ba ch s ln hn s ban u 765 n v.Bi 14: Mt trm con tru n mt trm b c. Tru ng mi con n nm b, tru nm mi con n ba b, tru gi 3con n mt b. Tm s tru mi loi ?


27/36


Bi 15: Tm mt s c 2 ch s bit rng nu em s chia cho tng cc ch s ca n th c thng l 4 v dl 3. Cn nu em s chia cho tch cc ch s ca n th c thng l 3 v d l 5.Bi 16: Hai i c thi u vi nhau. Mi u th ca i ny phi u mt vn vi mi u th ca i kia. Bit rngtng s vn c u bng bnh phng s u th ca i th nht cng vi s u th ca i th hai. Hi mii c bao nhiu u th ?Bi 17: Hai i bng bn ca hai trng A, B thi u giao hu chun b tranh gii ton tnh. Bit rng mi u thca i trng A phi ln lt gp cc i th ca trng B mt ln v s trn u gp 2 ln tng s u th ca 2i. Tm s u th ca mi trng.Bi 18: Trong mt cuc gp mt hc sinh gii c 35 bn hc sinh gii vn v ton tham d. Cc hc sinh gii vn

tnh s ngi quen ca mnh l cc bn hc sinh gii ton v nhn thy rng : bn th nht quen 6 bn; Bn th 2quen 7 bn; Bn th 3 quen 8 bn ; ... v c th bn cui cng quen tt c cc bn hc sinh gii ton. Tnh s hcsinh gii vn, gii ton. Bit rng khng c hc sinh no va gii vn va gii ton.Bi 19: Trong mt bui lin hoan, mt lp khch mi 15 khch n d. V lp c 40 hc sinh nn phi k thmmt dy gh na v mi dy gh phi ngi thm mt na th mi ch ngi. Bit rng mi dy gh u c sngi ngi nh nhau v ngi khng qu nm ngi. Hi lp hc lc u c bao nhiu dy ghBi 20: Mt on gm 50 hc sinh qua sng cng mt lc bng 2 loi thuyn : Loi th nht, mi thuyn ch c 5em v loi th 2 ch c 7 em mi thuyn. Hi s thuyn mi loi ?Bi 21: Tm mt s N gm 2 ch s, bit rng tng cc bnh phng hai ch s bng s cng thm tch hai chs. Nu thm 36 vo s th c mt s c hai ch s m cc ch s vit th t ngc li.Bi 22: Mt khu vn hnh ch nht c chu vi l 280 m. Ngi ta lm li i xung quanh vn (thuc t trong vn)

rng 2 m. Tnh kch thc ca vn, bit rng t cn li trong vn trng trt l 4256 m2.Bi 23: Cho mt hnh ch nht. Nu tng chiu di ln 10 m, tng chiu rng ln 5 m th din tch tng 500 m2. Nugim chiu di 15 m v gim chiu rng 9 m th din tch gim 600 m2. Tnh chiu di, chiu rng ban u.Bi 24: Cho mt tam gic vung. Nu tng cc cnh gc vung ln 2 cm v 3 cm th din tch tam gic tng 50 cm2.Nu gim c hai cnh i 2 cm th din tch s gim i 32 cm2. Tnh hai cnh gc vung.

Bi 25: Nu t s ca mt phn s c tng gp i v mu s thm 8 th gi tr ca phn s bng14

. Nu t s thm

7 v mu s tng gp 3 th gi tr phn s bng524

. Tm phn s .

Hnh hc phng

Bi 1: Cho ABC ( 0A 90 ), ng cao AH. ng trn ng knh AH ct cc cnh AB, AC ln lt ti E v F a) Chng minh t gic AEHF l hnh ch nht. b) Chng minh t gic EFCB ni tip.

c) ng thng qua A vung gc vi EF ct BC ti I. Chng minh I l trung im ca BC.

d) CMR: Nu SABC= 2. SAEHFth tam gic ABC vung cn.Bi 2: Cho tam gic ABC (AB > AC ) ni tip (O). V ng phn gic ca gc A ct (O) ti M. Ni OM ct BC ti I.

a) Chng minh BMC cn. b) BMA AMC v ABC ACB BMC c) ng cao AH v BP ca tam gic ABC ct nhau ti Q. Chng minh OI // AH.d) Trn AH ly im D sao cho AD = MO. T gic OMDA l hnh g ?e) Chng minh AM l phn gic ca gc OAH.

f) OM ko di ct (O) ti N. V OE vung gc vi NC. Chng minh1

OE MB2

.

g) Chng minh t gic OICE ni tip. Xc nh tm ca ng trn ngoi tip t gic OICE.

h) Chng minh cc t gic ABHP v QPCH ni tip.i) T C v tip tuyn ca (O) ct BM ko di ti K. Chng minh CM l phn gic ca gc BCK.k) So snh cc gc KMC v KCB vi gc A.l) T B v ng thng song song vi OM ct CM ti S. Chng minh tam gic BMS cn ti M.

m) Chng minh S EOI MOC ; CBC NCM ; ABF AON


28/36


n) T A k AF // BC, F thuc (O). Chng minh BF = CA.

Bi 3: Cho tam gic ABC c ba gc nhn. ng trn tm O ng knh BC ct AB, AC theo th t ti D, E. Gi I lgiao im ca BE v CD.

a) Chng minh AI vung gc vi BC. b) Chng minh IDE IAE

c) Chng minh : AE . EC = BE . EI. d) Cho BAC = 600. Chng minh DOE u.

Bi 4: Cho tam gic ABC nhn ni tip (O). ng cao AH ca tam gic ABC ct (O) ti D, AO ko di ct (O) ti E.

a) Chng minh t gic BDEC l hnh thang cn.b) Gi M l im chnh gia ca cung DE, OM ct BC ti I. Chng minh I l trung im ca BC.

c) Tnh bn knh ca (O) bit BC = 24 cm v IM = 8 cm.

Bi 5: Trn na ng trn tm O ng knh AB ly hai im M v N sao cho cc cung AM, MN, NB bng nhau.Gi P l giao im ca AM v BN, H l giao im ca AN vi BM. Chng minh rng

a) T gic AMNB l hnh thang cn. b) PH AB. T suy ra P, H, O thng hng.

c) ON l tip tuyn ca ng trn ng knh PH.

Bi 6: Cho (O, R) , dy cung AB < 2R. Gi M l im chnh gia ca cung nh AB. K hai dy MC, MD ln lt ct

AB ti E v F. Chng minh rnga) Tam gic MAE ng dng tam gic MCA v ME . MC = MF . MD.

b) T gic CEFD ni tip. c) Khi AB R 3 th tam gic OAM u.

Bi 7: Cho tam gic ABC vung cn ti A ( AB > AC ), ng cao AH. V ng trn tm I ng knh BH ct AB tiE, ng trn tm K ng knh CH ct AC ti F.

a) T gic AEHF l hnh g ? b) Chng minh t gic BEFC ni tip.

c) Chng minh AE . AB = AF . AC. d) Chmg minh EF l tip tuyn chung ca (O) v (I).

e) Gi Ax l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic ABC. Chng minh Ax // EF.

Bi 8: Cho tam gic ABC vung cn ti A. im D thuc AB. Qua B v ng thng vung gc vi CD ti H, ngthng BH ct CA ti E.

a) Chng minh t gic AHBC ni tip. b) Tnh gc AHE.

c) Chng minh tam gic EAH v EBC ng dng. e) Chng minh AD = AE.

f) Khi im D di chuyn trn cnh AB th im H di chuyn trn ng no ?

Bi 9: T gic ABCD ni tip ng trn ng knh AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gi E l giao im ca AB v CD, Fl giao im ca AD v BC. Chng minh rng:

a) EF AC b) DA . DF = DC . DE c) T gic BDFE ni tip.

Bi 10: Cho ng trn tm O ng knh BC, im A thuc (O). V bn knh OK // BA ( K v A nm cng pha ivi BC ). Tip tuyn vi ng trn (O) ti C ct OK ti I.

a) Chng minh IA l tip tuyn ca (O). b) Chng minh CK l tia phn gic ca gc ACI.

c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tnh OI, CI.

Bi 11: Cho on thng AB v O l trung im ca AB. V v cng pha vi AB cc tia Ax, By cng vung gc vi

AB. Cc im M, N theo th t di chuyn trn Ax v By sao cho MON = 900. Gi I l trung im ca MN. Chngminh rng :

a) AB l tip tuyn ca (I; IO). b) MO l tia phn gic ca gc AMN.

c) MN l tip tuyn ca ng trn ng knh AB.d) Khi cc im M, N di chuyn trn Ax, By th tch AM. BN khng di.

Bi 12: Cho (O;R) v (O; r)tip xc ngoi ti A. Gi BC l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trn ( B thuc (O);C thuc (O) ). Tip tuyn chung trong ca hai ng trn ti A ct BC ti M.


29/36


a) Chng minh A, B, C thuc ng trn tm M.

b) ng thng OO c v tr tng i g vi (M) ni trn?

c) Xc nh tm ng trn i qua ba im O, O , M.

d) Chng minh BC l tip tuyn ca ng trn i qua ba im O, O, M.

Bi 13: Cho (O) v (O) tip xcngoi ti A. ng thng ct (O) v (O) theo th t tu B v C ( khc A ). Gi DEl tip tuyn chung ngoi ca hai ng trn ( D thuc (O); E thuc (O)). M l giao im ca BD v CE. Chngminh rng:

a) Gc DME l gc vung. b) MA l tip tuyn chung ca hai ng trn.c) MD . MB = ME . MC.

Bi 14: Cho tam gic ABC c ba gc nhn ni tip (O), ng cao BD, CE , M l trung im ca BC.

a) Chng minh t gic BCDE ni tip. b) Chng minh ADE v ABC ng dng .

c) K tip tuyn Ax vi (O). Chng minh Ax // DE.

d) Chng minh rng nu BAC = 600th tam gic DME l tam gic u.

Bi 15: Cho (O) v im A nm bn ngoi (O). V cc tip tuyn AB v AC, ct tuyn ADE. Gi H l trung im caDE.

a) Chng minh t gic BHOC ni tip. b) Chng minh HA l tia phn gic ca gc BHA.

c) Gi I l giao im ca BC v DE. Chng minh: AB2= AI . AH.

d) BH ct (O) ti K . Chng minh AE // CK.

Bi 16: Cho (O), ng trn AB. V tip tuyn xBy. Gi C,D l hai im di ng trn hai na mt phng b AB inhau. Tia AC ct Bx ti M, tia AD ct By ti N.

a) Chng minh cc tam gic ACD v AMN ng dng b) T gic MNDC ni tip.

c) Chng minh AC. AM = AD. AN v tch ny khng i khi C, D di ng.

Bi 17: Xt na ng trn (O), ng knh AB. Trn na mt phng b AB cha na ng trn k tip tuyn Axv dy AC bt k. Tia phn gic ca gc CAx ct na ng trn ti D, cc tia AD v BC ct nhau ti E.

a) Chng minh tam gic ABE cn ti B.

b) Cc dy AC v BD ct nhau ti K. Chng minh EK AB.

c) Tia BD ct tia Ax ti F. Chng minh t gic AKEF l hnh thoi.

Bi 18: Cho na lc gic u ABCD ni tip trong na ng trn (O ; R). Hai tip tuyn ti B v D ct nhau ti T.

a) Chng minh rng OT // AB. b) Chng minh ba im O, C, T thng hng.

c) Tnh chu vi v din tch tam gic TBD theo R.

d) Tnh din tch hnh gii hn bi hai cnh TB, TD v cung BCD theo R.Bi 19: Hai ngtrn (O) v (O) c bn knh R v R ( R > R) tip xc ngoi nhau ti C. Gi AC v BC l hai ngknh i qua C ca (O) v (O). DE l dy cung ca (O) vung gc vi AB ti trung im ca M ca AB. Gi giao imth hai ca ng thng DC vi (O) l F.

a) T gic AEBD l hnh g ? b) Chng minh rng ba im B, E, F thng hng.

c) Chng minh t gic MDBF ni tip.

d) DB ct (O) ti G. Chng minh DF, EG, AB ng qui.

e) Chng minh1

MF DE

2

v MF l tip tuyn ca (O).

Bi 20: Cho ng trn tm O, ng knh AC. Trn on OC ly mt im B v v ng trn tm O ng knhBC. Gi M l trung im ca AB. T M k dy cung DE vung gc vi AB, DC ct (O) ti I.

a) T gic ADBE l hnh g ? Ti sao ? b) Chng minh BI // AD.


30/36


c) Chng minh ba im I, B, E thng hng v MD = MI.

d) Xc nh v gii thch v tr tng i ca ng thng MI vi (O).

Bi 21: T mt im A bn ngoi ng trn (O) v hai tip tuyn AB, AC v ct tuyn AMN ca ng trn .Gi I l trung im ca dy MN.

a) Chng minh 5 im A,B,I,O,C cng nm trn mt ng trn.

b) Nu AB = OB th t gic ABOC l hnh g ? Ti sao ? Tnh din tch hnh trn v di ng trn ngoitip t gic ABOC theo bn knh R ca (O).

Bi 22: Cho tam gic ABC ni tip (O). Tia phn gic ca gc A ct BC ti D, ct (O) ti E. Tip tuyn ca ngtrn ti A ct ng thng BC ti M.

a) Chng minh MA = MD.

b) Gi I l im i xng vi D qua M, gi F l giao im ca IA vi (O). Chng minh E, O, F thng hng.

Bi 23: Cho tam gic ABC vung ti A. Trn cnh AC ly im M, dng (O) ng knh MC. ng thng BM ct(O) ti D. ng thng AD ct ng trn (O) ti S.

a) Chng minh t gic ABCD ni tip v CA l tia phn gic ca gc SCB.

b) Gi E l giao im ca BC vi (O). Chng minh cc ng thng BA, EM, CD ng qui.

c) Chng minh DM l phn gic ca gc ADE.d) Chng minh M l tm ng trn ni tip tam gic ADE.

Bi 24: Cho tam gic ABC vung ti A.

a) Nu cch dng (O) qua A v tip xc vi BC ti B. Nu cch dng (O) qua tip xc vi BC ti C.

b) Hai ng trn (O) v (O) v tr tng i no ?

c) Gi M l trung im ca BC. Chng minh AM l tip tuyn chung ca (O) v (O).

d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tnh di BC v cc bn knh ca (O), (O).

Bi 25: Cho na ng trn (O) ng knh AB, bn knh OC vung gc vi AB. Gi M l mt im di ng trn

cung BC ( M B, M C). AM ct OC ti N.a) Chng minh rng tch AM. AN khng i.b) V CD AM . Chng minh cc t gic MNOB v AODC ni tip.c) Xc nh v tr ca im M trn cung BC tam gic COD cn ti D.

Bi 26: Cho tam gic ABC nhn ni tip (O), H l trc tm ca tam gic ABC, M l mt im trn cung BC khngcha im A.

a) Xc nh v tr ca M t gic BHCM l hnh bnh hnh.

b) Gi N v E ln lt l cc im i xng ca M qua AB v AC. Chng minh ba im N. H , E thng hng.

c) Xc nh v tr ca M NE c di ln nht.Bi 27: Cho (O, R) v (O, r) tip xc ngoi ti M ( R > r ). ng thng OO ct (O) ti C, ct (O) ti D. Tip tuynchung ngoi AB ( A (O),B (O ') ) ct ng thng OO ti H. Tip tuyn chung ca 2 ng trn M ct AB ti I.

a) Chng minh cc tam gic OIO v AMB l cc tam gic vung. Chng minh AB 2 R.r .

b) Tia AM ct (O) ti A, tia BM ct (O) ti B. Chng minh ba im A, O, B v A , O , B thng hng v CD2= BB2+ AA2.

c) Gi N v N ln lt l giao im ca AM vi OI v BM vi OI. Tnh di cc on thng MI, AB, OI, OI,OH, OH theo R v r.

Bi 28: Cho ng trn (O) ng knh AB, mt im C ( khc A, B ) nm trn ng trn. Tip tuyn Cx ca (O)ct tia AB ti I. Phn gic gc CIA ct OC ti O.

a) Chng minh (O, OC) va tip xc vi (O) va tip xc vi ng thng AB.b) Gi D, E theo th t l giao im th hai ca CA, CB vi (O). Chng minh D, O, E thng hng .c) Tm v tr ca C sao cho ng trn ngoi tip tam gic OCI tip xc vi AC.


31/36


Bi 29: Cho na ng trn ng knh AB = 2R. K tip tuyn Bx vi na ng trn. C v D l hai im di ngtrn na ng trn. Cc tia AC v AD ct Bx ln lt ti E v F ( F nm gia B v E ).

a) Chng minh ABF BDF b) Chng minh t gic CEFD ni tip.

c) Khi D v C di ng trn na ng trn, chng t rng AC. AE = AD . AF khng i

Bi 30: Cho (O). V hai dy AB v CD vung gc ti M bn trong (O). T A v mt ng thng vung gc vi BCti H, ct CD ti E. F l im i xng ca C qua AB. Tia AF ct tia BD ti K. Chng minh rng:

a) MAH MCB b) Tam gic ADE cn. c) T gic AHBK ni tip.

Bi 31. Cho on thng AB v C l mt im nm gia A v B. Ngi ta k trn cng mt na mt phng b AB haitia Ax v By vung gc vi AB. Trn tia Ax ly mt im I. Tia Cz vung gc vi tia CI ti C v ct By ti K. ngtrn ng knh IC ct IK ti P. Chng minh:

a) T gic CPKB ni tip. b) AI.BK = AC.CB. c) APB vung.d) Gi s A, B, I c nh. Hy xc nh v tr im C sao cho din tch hnh thang vung ABKI ln nht.

Bi 32: Cho (O) v mt im A nm ngoi (O). T A k hai tip tuyn AB, AC v ct tuyn AMN vi (O). (B, C, M, Ncng thuc (O); AM < AN). Gi E l trung im ca dy MN, I l giao im th hai ca ng thng CE vi (O).

a) Chng minh bn im A, O, E, C cng nm trn mt ng trn.

b) Chng minh AOC BIC c) Chng minh BI // MN.c) Xc nh v tr ct tuyn AMN din tch tam gic AIN ln nht.

Bi 33: Cho tam gic ABC vung A (AB < AC), ng cao AH. Trn on thng HC ly D sao cho HD = HB. VCE vung gc vi AD (E AD).

a) Chng minh t gic AHCE ni tip.b) Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ngoi tip t gic AHCE.c) Chng minh CH l tia phn gic ca gc ACE.d) Tnh din tch hnh gii hn bi cc on thng CA, CH v cung nh AH ca ng trn ni trn bit AC =

6cm; ACB = 30o.

Bi 34: Cho (O) c ng knh BC. Gi A l mt im thuc cung BC ( AB AC ). D l im thuc bn knh OC.ng vung gc vi BC ti D ct AC E, ct tia BA F.

a) Chng minh t gic ADCF ni tip.

b) Gi M l trung im ca EF. Chng minh: AME 2.ACB

c) Chng minh AM l tip tuyn ca (O).

d) Tnh din tch hnh gii hn bi cc on thng BC, BA v cung nh AC ca (O) bit BC = 8cm; ABC = 60oBi 35: Cho ng trn (O) ng knh AB = 2R, im M di chuyn trn na ng trn. Ngi ta v ng trntm E tip xc vi (O) ti M v tip xc vi AB ti N. ng trn ny ct MA, MB ln lt ti cc im th hai C, D.

a) Chng minh CD // AB.b) Chng minh MN l tia phn gic ca gc AMB v ng thng MN i qua mt im K c nh.c) Chng minh tch KM.KN c nh.d) Gi giao im ca cc tia CN, DN vi KB, KA ln lt l C', D'. Tm v tr ca M chu vi tam gic NC'D' t

gi tr nh nht c th c.

Bi 36: Cho mt ng trn ng knh AB, cc im C, D trn ng trn sao cho C, D khng nm trn cngmt na mt phng b AB ng thi AD > AC. Gi cc im chnh gia cc cung AC, AD ln lt l M, N. Giao imca MN vi AC, AD ln lt l H, I. Giao im ca MD vi CN l K.

a) Chng minh: NKD v MAK cn.b) Chng minh t gic MCKH ni tip c. Suy ra KH // AD.c) So snh cc gc CAK vi gc DAK.d) Tm mt h thc gia s o AC, s o AD l iu kin cn v AK // ND.

Bi 37: Cho (O1) v (O2) tip xc ngoi vi nhau ti im A v tip tuyn chung Ax. Mt ng thng d tip xc vi(O1), (O2) ln lt ti B, C v ct Ax ti im M. K cc ng knh BO1D, CO2E.

a) Chng minh M l trung im BC. b) Chng minh O1MO2vung.c) Chng minh B, A, E thng hng; C, A, D thng hng.

d) Gi I l trung im ca DE. Chng minh rng ng trn ngoi tip tam gic IO1O2tip xc vi d.Bi 38: Cho hai ng trn tm O v Oc R > Rtip xc ngoi ti C. K cc ng knh COA v COB. Qua trungim M ca AB, dng DE AB.

a) T gic ADBE l hnh g ? Ti sao ?b) Ni D vi C ct ng trn tm Oti F. CMR ba im B, F, E thng hng


32/36


c) Ni D vi B ct ng trn tm Oti G. CMR EC i qua Gd) *Xt v tr ca MF i vi ng trn tm O, v tr ca AE vi ng trn ngoi tip t gic MCFE

Bi 39: Cho na ng trn ng knh COD = 2R. Dng Cx, Dy vung gc vi CD. T im E bt k trn nang trn, dng tip tuyn vi ng trn, ct Cx ti P, ct Dy ti Q.

a) Chng minh POQ vung; POQ ng dng vi CED

b) Tnh tch CP.DQ theo R c) Khi PC=R2

. CMRPOQ 25CED 16

d) Tnh th tch ca hnh gii hn bi na ng trn tm O v hnh thang vung CPQD khi chng cngquay theo mt chiu v trn mt vng quanh CD

Bi 40: Cho ng trn tm O bn knh R c hai ng knh AOB, COD vung gc vi nhau. Ly im E bt k trnOA, ni CE ct ng trn ti F. Qua F dng tip tuyn Fx vi ng trn, qua E dng Ey vung gc vi OA. Gi I lgiao im ca Fx v Ey .

a) Chng minh I,F,E,O cng nm trn mt ng trn. b) T gic CEIO l hnh g ?c) Khi E chuyn ng trn AB th I chuyn ng trn ng no ?

Bi 41: Cho ng trn tm O v mt im A trn ng trn. Qua A dng tip tuyn Ax. Trn Ax ly mt im Qbt k, dng tip tuyn QB.

a) CMR t gic QBOA ni tip cb) Gi E l trung im ca QO , tm qu tch ca E khi Q chuyn ng trn Ax.c) H BK Ax, BK ct QO ti H. CMR t gic OBHA l hnh thoi v suy ra qu tch ca im H

Bi 42: Cho ABC c ba gc nhn ni tip ng trn tm O. Cc ng cao AD, BK ct nhau ti H, BK ko dict ng trong ti F. V ng knh BOE.a) T gic AFEC l hnh g ? Ti sao ?b) Gi I l trung im ca AC, chng minh H, I, E thng hng

c) Chng minh rng OI =BH2

v H; F i xng nhau qua AC

Bi 43: Cho (O,R) v (O,R ), (vi R > R ) tip xc trong ti A. ng ni tm ct ng trn Ov ng trn O tiB v C. Qua trung im P ca BC dng dy MN vung gc vi BC. Ni A vi M ct ng trn Oti E.

a) So snh AMO vi NMC b) Chng minh N, B, E thng hng v OP = R; OP = Rc) Xt v tr ca PE vi ng trn tm O

Bi 44: Cho ng trn tm O ng knh AB. Ly B lm tm v ng trn bn knh OB. ng trn ny ct ngtrn O ti C v Da) T gic ODBC l hnh g ? Ti sao ? b) Chng minh OC AD; OD ACc) CMR trc tm ca tam gic CDB nm trn ng trn tm B

Bi 45: Cho ng trn tm O v mt ng thng d ct ng trn ti hai im c nh A v B. T mt im Mbt k trn ng thng d nm ngoi on AB ngi ta k hai tip tuyn vi ng trn l MP v MQ ( P, Q l cctip im ).

a) Tnh cc gc ca MPQ bit rng gc gia hai tip tuyn MP v MQ l 45 0 .b) Gi I l trung im AB. Chng minh 5 im M, P, Q, O, I cng nm trn mt ng trn .c) Tm qu tch tm ng trn ngoi tip MPQ khi M chy trn d

Bi 46: Cho ABC ni tip ng trn tm O, tia phn gic trong ca gc A ct cnh BC ti E v ct ng trn ti

M. Chng minh:a) OM BCb) Dng tia phn gic ngoi Ax ca gc A. Chng minh Ax i qua mt im c nhc) Ko di Ax ct CB ko di ti F. Chng minh FB . EC = FC . EB

Bi 47: Cho ABC ( AB = AC, A < 900), mt cung trn BC nm trong ABC v tip xc vi AB, AC ti B v C.Trn cung BC ly im M ri h cc ng vung gc MI, MH, MK xung cc cnh tng ng BC, CA, AB. Gi P lgiao im ca MB, IK v Q l giao im ca MC, IH. Chng minh rng

a) Cc t gic BIMK, CIMH ni tip c b) Tia i ca tia MI l phn gic gc HMKc) T gic MPIQ ni tip c. Suy ra PQ BC

Bi 48: Cho ABC (AC > AB ; BAC > 900) I, K theo th t l cc trung im ca AB, AC. Cc ng trn ng

knh AB, AC ct nhau ti im th hai D; tia BA ct ng trn (K) ti im th hai E; tia CA ct ng trn (I) tiim th hai F. Chng minh

a) Ba im B, C, D thng hng b) T gic BFEC ni tip cc) Chng minh ba ng thng AD, BF, CE ng quy


33/36


Bi 49: Cho ng trn (O;R) v im A vi OA =R 2 , mt ng thng (d) quay quanh A ct (O) ti M, N; gi I ltrung im ca on MN .

a) Chng minh OI MN. Suy ra I di chuyn trn mt cung trn c nh vi hai im gii hn B, C thuc (O)b) Tnh theo R di AB, AC. Suy ra A, O, B, C l bn nh ca hnh vungc) Tnh din tch ca phn mt phng gii hn bi on AB, AC v cung nh BC ca (O)

Bi 50: Cho na ng trn ng knh AB = 2R, C l trung im ca cung AB. Trn cung AC ly im F bt k.Trn dy BF ly im E sao cho BE = AF.

a) AFC v BEC c quan h vi nhau nh th no ? Ti sao ?b) Chng minh FEC vung cnc) Gi D l giao im ca ng thng AC vi tip tuyn ti B ca na ng trn. CMR t gic BECD nitip c

Bi 51: Cho ng trn (O;R) v hai ng knh AB, CD vung gc vi nhau. E l mt im bt k trn cung nh BD(E B;E D ) EC ct AB M, EA ct CD N. Chng minh

a) AMC ng dng ANC. b) AM.CN = 2R2

c) Gi s AM = 3MB. Tnh t sCNND

Bi 52: Mt im M nm trn ng trn tm (O) ng knh AB. Gi H, I ln lt l hai im chnh gia cc cungAM, MB; gi Q l trung im ca dy MB, K l giao im ca AM, HI.

a) Tnh ln gc HKM

b) V IP AM ti P. Chng minh IP tip xc vi ng trn (O)c) Dng hnh bnh hnh APQR. Tm tp hp im R khi M di ng trn na ng trn (O) ng knh AB

Bi 53: Gi O l trung im cnh BC ca ABC u. V xOy = 600sao cho tia Ox, Oy ct cnh AB, AC ln lt tiM, N. Chng minh rng:

a) OBM ng dng NCO, t suy ra BC2 = 4 BM.CNb) MO, NO theo th t l tia phn gic cc gc BMN, MNC .c) ng thng MN lun tip xc vi mt ng trn c nh, khi gc xOy quay xung quanh O sao cho cc

tia Ox,Oy vn ct cc cnh AB, AC ca tam gic u ABCBi 54: Cho M l im bt k trn na ng trn tm (O) ng knh AB = 2R ( M A,B ). V cc tip tuyn Ax, By,

Mz ca na ng trn . ng Mz ct Ax, By ln lt ti N v P. ng thng AM ct By ti C v ng thngBM ct Ax ti D. Chng minh

a) T gic AOMN ni tip ng trn v NP = AN + BPb) N v P ln lt l trung im cc on thng AD v BCc) AD.BC = 4R2 d) Xc nh v tr M t gic ABCD c din tch nh nht

Bi 55: Cho t gic ABCD ni tip trong ng tm (O) v I l im chnh gia cung AB (cung AB khng cha C vD ). Dy ID, IC ct AB ln lt ti M v N.

a) CMR t gic DMNC ni tip trong ng trnb) IC v AD ct nhau ti E; ID v BC ct nhau ti F. Chng minh EF // AB

Bi 56: Cho ng trn tm (O) ng knh AC. Trn on OC ly im B ( B C ) v v ng trn tm (O) ngknh BC. Gi M l trung im ca on AB. Qua M k dy cung DE vung gc vi AB, DC ct ng trn (O ) ti I.

a) T gic ADBE l hnh g ? Ti sao ? b) Chng minh ba im I, B, E thng hngc) Chng minh MI l tip tuyn ca ng trn (O) v MI2= MB.MC

Bi 57: Cho ng trn tm (O) ng knh AB = 2R v mt im M di ng trn mt na ng trn. Ngi ta vmt ng trn tm (E) tip xc vi ng trn (O) ti M v tip xc vi ng knh AB ti N. ng trn ny ctMA, MB ln lt ti cc im th hai C, D. Chng minh

a) CD // AB b) KM.KN khng ic) MN l tia phn gic ca gc AMB v ng thng MN lun i qua mt im K c nh.

Bi 58: Cho mt ng trn ng knh AB, cc im C, D trn ng trn sao cho C, D khng nm trn cng mtna mt phng b AB ng thi AD > AC. Gi cc im chnh gia cc cung AC, AD ln lt l M, N; giao im caMN vi AC, AD ln lt l H, I; giao im ca MD vi CN l K

a) CMR: NKD; MAK cn b) CMR t gic MCKH ni tip c . Suy ra KH // ADc) So snh gc CAK vi gc DAKBi 59: Cho ba im A, B, C trn mt ng thng theo th t y v ng thng (d) vung gc vi AC ti A. Vng trn ng knh BC v trn ly im M bt k. Tia CM ct ng thng d ti D; tia AM ct ng trn tiim th hai N; tia DB ct ng trn ti im th hai P.

a) CMR t gic ABMD ni tip c b) CMR: CM.CD khng ph thuc v tr ca M


34/36


c) T gic APND l hnh g ? Ti sao ?Bi 60: Cho t gic ABCD ni tip trong mt ng trn v P l im chnh gia ca cung AB khng cha C v D.Hai dy PC v PD ln lt ct dy AB ti E v F. Cc dy AD v PC ko di ct nhau ti I; cc dy BC v PD kodi ct nhau ti K. CMR:

a) CID CKD b) T gic CDFE ni tip cc) IK // AB c) ng trn (AFD) tip xc vi PA ti A

Bi 61: Cho (O; R) trn c mt dy AB = R 2 c nh v mt im M di ng trn cung ln AB sao cho tam gicMAB c ba gc nhn. Gi H l trc tm ca tam gic MAB; P, Q ln lt l cc giao im th hai ca cc ng

thng AH, BH vi ng trn (O); S l giao im ca cc ng thng PB, QA.a) CMR: PQ l ng knh ca ng trn (O) b) T gic AMBS l hnh g ? Ti sao ?c) Chng minh di SH khng i

Bi 62: Cho ng trn (O; R) ng knh AB, k tip tuyn Ax v trn ly im P sao cho AP > R. K tip tuynPM (M l tip im ).

a)

Documents

Xuctu.com de Cuong on Thi Vao Lop 10 Mon Toan 2014