X-PRE-II Bim

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE

Profesor: Daniel Torres 2011

1

23

4

b

a

ba

1234


Productos Notables I…………………………………………2

Productos Notables II …………………………………………5

División Algebraica I …………………………………………7

División Algebraica II …………………………………………15

División Algebraica III ………………………………………21

Teoremadel Resto…………….………………………………28

Factorización…………….……………………………………3 4

M .C .M yM .C .D…………….………………………………… 40

Radicación…………….…………………………………………44

Racionalización…………….…………………………………49

Observa la figura y halla el área total:Es un cuadrado de lado (a + b), pero luego hacemos 2 cortes imaginarios tal que se forman figuras geométricas, 2 cuadrados (lados = a y lados = b), y 2 rectángulos tenemos:

Área total = (a + b)2 ..... ()Ahora sumemos partes:Cuadrado : a2

Cuadrado : b2

Rectángulo : ab


Para el Señor: _________________

Por haber ocupado el 1er puesto en dibujar el cuadrado más grande.Ganando con una diferencia entre las áreas de: ____________________

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRERectángulo : ab

a2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab + b2 que también es el área total; entonces igualando: (a + b)2

a2 + 2ab + b2

Lo que no sabían los niños era que OMED tenía un diploma para el ganador.



Ayuda a OMED a calcular la diferencia de áreas.

¡VAMOS TÚ PUEDES!

Área del cuadrado de Trilcito: 82 = 64

Área del cuadrado de Jorgito: 72 = 49

Restando: 82 – 72 = 64 – 49 = 15

Entonces: GANADOR: TRILCITO

pero imagínate que tú no sepas cuánto es 82 y 72 y los estés restando. ¿Qué haces?

OMED: Yo te digo; usa ...

a2 – b2 = (a + b) (a - b)

compruébalo: 82 – 72 = (8 + 7)(8 - 7) = 15

Ya ves; y solo sumaste, restaste y multiplicaste.

¡QUE FÁCIL!

Resolver usando los productos notables:

1) (8 + 2)2 =

2) (a + b)2 =

3) (3 + 5)2 =

4) (x + 3y)2 =

5) (2a + 3y)2 =

6) (5 - 3)2 =

7) (5a – 3b)2 =

8) 92 - 32 =

9) 72 - 22 =

10) 62 - 132=

Diga Ud. si es verdadero ó falso:

11) 52 – 32 = 17(V) (F)

12)82 – 22 = 60 (V) (F)

13)42 – 12 = 15 (V) (F)

14)32 – 32 = 1 (V) (F)

15)252 – 242 = 49 (V) (F)



Resolver usando los productos notables:

1) (3 + 2)2 =

2) (1 + 7)2 =

3) (x - y)2 =

4) (5 + 8)2 =

5) (x2 + 2y)2 =

6) (x – 2y)2 =

7) (2y - 1)2 =

8) (13 - 3)2 =

9) (x - 2)2 =

10)

(a+b)2−(a−b)2

4 ab = E, ¿cuánto vale E?

a) 2a b) 3b c) abd) 1 e) 4ab

11)

(a+b)2+(a−b )2

4( a2+b2 ) = E, ¿cuánto vale E?

a) 2 b) 1/2 c) a2 + b2

d) a – b e) a + b

12) Demostrar que : (a + b)2 – (a - b)2 = 4ab

13) Demostrar que : (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 +

b2)

14) (x – 3y)2 = x2 – 6xy + 3y2 (V) (F)

15) (2y + 3)2 = 4y2 + 12y + 9 (V) (F)

Estaba una vez Trilcito caminando por la calle y encuentra 2 amiguitos que debatían quien hacía

más rápido un problema: uno le decía al otro yo te voy a ganar; no, yo te ganó.

El problema era: (x + 3) (x - 2) = ??

Los 2 empataron: ambos resolvieron el problema en 10 minutos. Pero Trilcito dijo : yo lo hago en 10

segundos. 10 segundo después...

Listo muchachos acabe. Pero Trilcito como lo hiciste, fácil: primero pones la x2, segundo sumas las

segundas componentes y lo multiplicas por x; o sea (3 - 2)x, tercero para acabar pones la

multiplicación de estos dos componentes; o sea (3) (-2); y listo.

Lo que Trilcito hizo fue: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

(px + a) (px + b) = p2x2 + (a + b)px + ab

Se le conoce: multiplicación de binomios con término común.



I. Resolver usando el producto notable :

1. (a + b) (a + c)

2. (x + 2) (x + 4)

3. (y - 1) (y - 2)

4. (x + 2) (x + y)

5. (x - 5) (x + 2)

6. (2y + 3) (2y - 1)

7. (y3 - c) (y3 + d)

8. (2x2 + 1) (2x2 + 2)9. (6y + a) (6y - b)

10. (3x2 - 2) (3x2 - 1)

II. Indicar si es verdadero ó falso :

11. (x - 2) (x + 3) = x2 – x – 6 (V) (F)

12. (y + 1) (y - 2) = y2 – y + 2 (V) (F)

13. (2y + 3) (2y - 1) = 4y2 + 4y – 3 (V) (F)

14. (3x3 - 1) (3x3 + 2) = 9x6 + 3x3 – 2 (V) (F)

15. (2y2 + a) (2y2 - b) = 4y4 + 2y2(a - b) + ab

(V) (F)

I. Desarrollar los siguientes problemas :

1. (x + 3) (x - 3) =

2. (x + 4) (x - 8) =

3. (3x2 – 2) (3x2 + 2) =

4. (x - 2) (x + 3) =

5. (yx - 2) (yx + 4) =

II. Diga Ud. si es verdadero o falso :

6. (x - y) (x + y) = x2 + y2 (V) (F)

7. (2x - 3) (2x + 4) = 4x2 + x + 12 (V) (F)

8. (yx - 1) (yx + 3) = y2x2 + 2yx – 3 (V) (F)

9. (3x2 + y) (3x2 - y) = 9x4 – y2 (V) (F)

10. (√ 5y - 2) (√ 5 y + 5) = 5y + 3√ 5y – 10 (V) (F)


D d

r q


Es una operación que consiste en hallar una expresión denominada cociente dada otras dos denominadas dividendo y divisor.

En el esquema: Donde:D : Dividendod : Divisorq : Cocienter : Resto o Residuo

Siempre se cumple:

D = dq + r

Llamada identidad fundamental de la división.

Ejemplo:

25 7 Dividendo = 25 59 9 D = 59

21 3 Divisor = 7 54 6 d = 9

4 Cociente = 3 5 q = 6

Resto = 4 r = 5

Según la identidad fundamental de la división: Luego: 59 = 9 . 6 + 5

25 = 7 . 3 + 4

AHORA TU! 17 3 D = 31 5 D =

d = d =

q = q =

r = r =

Luego ¿qué se cumple? Luego:

17 = 31 =


A la Identidad Fundamental de la división también se

le conoce como Algoritmo de

Euclides quien fue un matemático griego que vivió hace más

de ¡2 mil años!

Con números¡Es fácil!Pero con


RecordemosLEY DE SIGNOS(+)(+)

=(+)( – )(+)

=(– )

( – )( – )

=(+)(+)( – )

=(– )

Ejemplos:246=4 −28

4=−7 20

2=10 −27

9=−3

−35−7

=5 16−2

=−8 −64−8

=8 49−7

=−7


Ten presente:La división de

signos iguales da (+).

La división de

En la Región de


1. DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS: Para dividir monomios: la parte constante se divide de acuerdo a la Ley de Signos y la parte variable según la Ley de Exponentes.

Ejemplos:

35 x8

5x3=7 x8−3=7 x5 −48 x7

8 x4=−6x7−4=−6 x3

−24 x10

−6 x7=4 x10−7=4 x3 36 x12

−4 x8=−9 x12−8=−9x 4

63 x5 y8

9 x2 y3=7 x5−2 y8−3=7 x3 y5 −60 x8 y10

12 x4 y7=−5x8−4 y10−7=−5 x4 y3

−56 x10 y12

−8 x7 y5=7x10−7 y12−5=7 x3 y7 55 x13 y3

−5 x5 y2=−11 x13−5 y3−2=−11 x8 y1=−11 x8 y

2. DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO :

Para este caso debemos utilizar la propiedad distributiva:Profesor: Daniel Torres 2011

En la Región de

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa+b+c

m= am+ bm+ cm

Ejemplos:

2+8+42

=22+ 82+ 42

3+9+123

=33+ 93+123

12−246

=126−246

15−25+355

=155−255+355

4 x5+8x 4+12 x10

2 x3= 4 x

5

2x3+ 8 x

4

2x3+12x

10

2x3=2 x2+4 x+6 x7

35 x8−14 x10+49 x13

7 x5=35 x

8

7 x5−14 x

10

7 x5+49 x

13

7 x5=5 x3−2 x5+7 x8

27 x12−36 x5−54 x7−9x8

9 x3=27 x

12

9x3−36 x

5

9 x3−54 x

7

9 x3−9 x

8

9 x3=3 x9−4 x2−6 x4−x5

24 x8−8 x5

−2x4=24 x

8

−2x4− 8 x5

−2x4=−12 x4−(−4 x )=−12 x4+4 x

24 x8 y7+16 x10 y13

8 x3 y=24 x

8 y7

8 x3 y+16x

10 y13

8 x3 y=3 x5 y6+2x7 y12

AHORA TU!

27+93

= + =


Sabías


16+4+84

= + + =

12+6−246

= + – =

14 x12+21x10−28 x15

7 x8= + – =

18 x9−27 x10−54 x11

9x9=

−20 x15 y10+30x3 y7−40 x8 y7

10 x4 y3=

−35 x5 y10 z20−56 x7 y7 z14

−7 x2 y4 z10=

64 x8 y8+32 x9 y9

−8 x4 y5=

1) Al dividir: 12x3y entre 4xy

Se obtiene: mxnHallar:

n√m+1


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5

2) Luego de dividir: -36x3y2z4 entre 3x2yz3

Se obtiene: mxnypzq

Calcular:

mn+ p+q

a) 12 b) -4 c) 3

d) -2 e) 1

3) Si:

12 xn y3

mx4 y p=4 xy 2

Calcular: m + n – p

a) 6 b) 7 c) 9

d) 3 e) 1

4) Luego de dividir: 16x3 + 8x2 entre 2x

Calcular la suma de coeficientes del cociente.

a) 4 b) 8 c) 2

d) 12 e) 24

5) Calcular el cociente en:

32 x8 y5+16 x7 y12

8 x4 y2

Dar por respuesta GR(x) + GR(y) de este

cociente.

a) 12 b) 7 c) 3

d) 14 e) 6

6) Si de:

15 x8 y7−12x10 y5

3x3 y3 se obtiene un

cociente. Calcular el grado.

a) 7 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

7) Simplificar:

M=15 x3 y5

5 xy 4−20 x

7 y2

10 x5 y

a) x2y b) 3x2y c) -2x2y

d) –x2y e) xy2

8) Reducir:

8 x6 y9

4 x2 y7+ 6 x8 y7

−3 x4 y5−12x

4 y3

3 x3 y+32x

8 y12

8 x7 y10

a) x4y2 b) 0 c) xy2

d) 2x3y2 e) 1

9) Simplificar:

M=

25 x5 y7

5 x3 y3−12 x

n y10

6 x5 y6

28 x4 y3

7 x3 y+−x5 y8

x 4 y6

a) 1 b) 3x2y4 c)

3xy2

d) xy2 e) xy

10) Reducir:

G=20 x5+15x7

5x3+24 x

7+16 x9

−8x5

a) x2 + y4 b) x2 + x4 c) x2

d) x4 e) 0

11) Simplificar:

32 x5 y3−64 x7 y9

8 x3 y2+72x

10 y10−36 x8 y4

9 x6 y3

a) x2y + x4y7 b) 0 c) 4x2y

d) x4y7 e) –x2y

12) Reducir:

M=

16 x7+32 x9+8 x4

4 x3

20 x11+40 x13+10x8

5 x7

a) x4 + x6 + x b) 1 c) 3x4

d) 4x4 e) 8x6

13) Reducir:

M=27 x5 y6

9 x2 y4

Si: x3y2 = 3


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 3 b) 1 c) 27

d) 9 e) 15

14) Hallar el valor de:

N=36x5

9 x3+28 x

7

7 x3+64 x

8

16 x5

Si: x2 + x4 + x3 = 1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15) Calcular el valor de:

L=50 x5+55 x7

5 x3

Si: x2 = 2 y x4 = 4

a) 50 b) 44 c) 14

d) 64 e) 94

TAREA DOMICILIARIA

1) Luego de dividir: 20x5y3 entre 5x2y

Se obtiene: mxnyp

Calcular:

m+ pn

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 6

2) En la división de: 48x7y10z12 entre 12x3y5z8

Se obtiene: axbyczd

Hallar:

(b+d )ca

a) 5 b) 10 c) 16

d) 4 e) 8

3) Si:

ax8 yc

9 xb y5=9x5 y 4

Calcular:

a−cb

a) 24 b) 72 c) 26

d) 14 e) 28

4) En la división:

24 x5+36x7

4 x2 calcular la suma

de coeficientes del cociente.

a) 6 b) 9 c) 3

d) 15 e) 8

5) En la división:

49 x16 y13−42 x15 y21

7 x14 y9

Luego de obtener el cociente.

Calcular: GR(x) – GR(y)

a) 2 b) -10 c) 10

d) 12 e) 14

6) Al dividir:

64 x13 y10+48 x9 y14

8 x8 y3 se obtiene un

polinomio homogéneo. Calcular el grado de

homogeneidad.

a) 5 b) 7 c) 2

d) 8 e) 12

7) Simplificar:

M=42x5 y8

6 x2 y+72 x

10 y12

12 x7 y5

a) 13x3y7 b) 7x3y7 c)

6x3y7

d) 1 e) 0

8) Simplificar:

−14 x15 y20

7 x10 y17+28x

25 y18

14 x20 y15

a) 3x5y3 b) 0 c) -2x5y3

d) 1 e) 2

9) Reducir:

G=

75 x15 y17

5 x8 y13

39 x25 y37

13 x18 y33

a) 3 b) 1 c) 2

d) 15 e) 5



10) Simplificar:

N=−35 x14+42 x10

7 x7+40x

19−48 x15

8x12

a) 1 b) 0 c) 2

d) x7 + x3 e) x7 – x3

11) Reducir:

M=45x12 y4−54 x10 y7

9 x10 y 4−36 x

8 y7−96 x6 y10

12x6 y7

a) 5x2 – 6y3 b) 2x2 + 2y3 c) -3x2 + 8y3

d) 1 e) 0

12) Reducir:

N=

35 x7−63 x10

7 x 4

40x15−72 x18

8 x12

a) 1 b) 5x3 – 9x6 c) 2

d) x3 e) x6

13) Simplificar:

J=28x19 y27 z20

7 x12 y24 y11

Si: x7y3z9 = 2

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 1


R=39x42 y37 z27

3 x25 y14 z19

Si: x17y23z8 = 4

a) 52 b) 4 c) 1

d) 13 e) 2

15) Calcular el valor de:

P=28 x9−24 x10+32 x5

4 x3

Si: 7x6 + 8x2 = 6x7

a) x3 b) 2 c) x2

d) 1 e) 0

comparemosEjemplo:

39 8 (D) Dividendo = 25

32 4 (d) Divisor = 7

7 (q) Cociente = 3

(r) Resto = 4

Luego se cumple:39 = 3 . 4 + 7

D = d q r

Ejemplo:De la división de polinomios:

x2 + 5x + 7 x + 2 D(x) = x2 + 5x + 7

x + 3 d(x) = x + 21 q(x) = x + 3

r(x) = 1


Observa que:39 > 8 y 7 < 8

Luego siempre se cumple que:

D d y r < dCompruébalo con

Al igual que con los números naturales, con los polinomios debe cumplirse:

D d y r < dGrado

del Grado

del

Grado del

Grado del

<

Sabías que

Coeficientes del Dividendo

Con signo cambiado + +

Coeficientes delCociente

Coeficientes del Resto

observa

3 3 8 11

-2Con signo cambiado

Número de espacios igual al Grado del Divisor

3 3 8 11

-2

1=

Dividimos:3 3 8 11

-2

1

Sumamos:

6

+

3 3 8 11

-2

1x

Multiplicamos:

-2=

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREPuedes comprobar mediante multiplicación que:

x2 + 5x + 7 = (x + 2)(x + 3) + 1

1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS MÉTODO DE HORNERPara poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados

descendentemente y si faltase algún término se completará con ceros.

Ejemplo:

Dividir: 8x + 3x2 + 11 entre 2 + x

Ordenemos los polinomios dividendo y divisor

D(x) = 3x2 + 8x + 11 d(x) = 3x + 2

Luego: Coeficientes del Dividendo: 3, 8, 11Coeficientes del Divisor: 3, 2

Ubicamos estos coeficientes en el siguiente esquema:

De esta manera:

Y procedemos del siguiente modo:


En el ejemplo anterior ¿cómo

se halló el cociente y el

resto?

Horner invento

su método

Las operaciones que se realizan se repiten primero se

divide luego se multiplica después

sumamos para nuevamente dividir

3 3 8 11

-2

1

Sumamos:

2

+

-2 -4

7

3 3 8 11

-2

1x

Multiplicamos:

-2=

-4

2

3 3 8 11

-2

1

Dividimos:

=

2

3 3 8 11

-2

1 2

-4

7

-2

Coef. delCociente

Coef. delResto

2 4 4 -3

-1signo cambiado

2 espacios porque el grado del divisor es 2.

1

3

2 4 4 -3

-1

1

3

2x

2 4 4 -3

-1

1

3

2

-2 6

+

2

2 4 4 -3

-1

1

3

2x

x

-2 6

Multiplicamos:

2 4 4 -3

-1

1

3

2

-2 6

1

-1 3==

x

x

Sumamos:

2 4 4 -3

-1

1

3

2

-2 6

+

1

-1 3

+

2 4

2 4 4 -3

-1

1

3

2

-2 6

1=

2 4 4 -3

-1

1

3

2

-2 6

+

1

-1 3

+

2 4

+

x


Recuerda:Luego el esquema resulta:

q(x) = 1 . x + 2 = x + 2R(x) = 7

Dividir: 4x3 + 4x2 + 1 – 3x entre x + 2x2 - 3

Ordenemos:

D(x) = 4x3 + 4x2 – 3x + 1 Ubicamos los coeficientes

d(x) = 2x2 + x – 3 en el esquema:

Procedemos:

Resumiendo:

Q(x) = 2x + 1R(x) = 2x + 4


Luego la línea punteada solo se

suma.Además el

cociente y resto que se obtienen

Dividim Multiplicam Sumam

Si el resto de una división no es nulo (R(x) 0) entonces la

división se

Dividim

1 14 -3 -3

3

4

-4

1

3

+

0

0

+

0 0

+

x

5

-4

1

+

0

3 -4

¡Ahora tu!

5 10 11 1

4

3

+

2

7

+

x

3 6 -8 0

8

2

+

-2

+

x

3 15 -3 0

0

5

-2

0 -10

0 2

x


Dividir:

x4−3 x+5 x2−3 x3+4x2−3 x+4

Q(x) = 1 . x2 + 0x + 1 ; R(x) 0

Q(x) = x2 + 1

Dividir:

10 x2+11 x+15 x−2

Q(x) =R(x) =

Dividir:

6 x2−8 x3 x+2

=6 x2−8 x+03x+2

Q(x) =R(x) =

Dividir:

15 x3+5−3x2

3 x2+2=15 x

3−3x2+0 x+53x2+0 x+2

Q(x) =R(x) =

Dividir:

8 x3−6 x2+5 x−12x2+1−x

Q(x) =R(x) =


Si el resto de una división es nulo (R(x) 0)

entonces la


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREI. Hallar el cociente en las siguientes

divisiones:

1)

x2+8 x+18x+3

a) x + 5 b) x + 1 c) xd) x – 2 e) x + 3

2)

x2+5 x−7x−2

a) x – 1 b) x + 3 c) x + 7d) x – 7 e) x - 3

3)

x3+3 x2+5 x+7x+1

a) x2 + 2x – 3 b) x2 - 2x – 3 c) x2 + 2x + 3d) x2 - 2x – 8 e) -x2 + 2x + 3

II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones:

4)

6 x2+x+43x−1

a) -1 b) 5 c) 3d) 6 e) 2

5)

10 x3−33 x+9 x2−225 x+2

a) 8 b) 1 c) -2d) 4 e) -8

6)

27 x3+9−12 x3x2+2x

a) 1 b) 2 c) 3d) -8 e) 9

7)

16 x4+7 x−25 x2+7−5 x2+4 x3

a) 7x b) 3 c) 7x + 7d) 7 e) 2x - 1

8)

44 x2+21x 4+3 x+143 x2+5

a) 5 b) 2x + 4 c) 3x - 1 d) x – 1 e) 2x – 2

9)

16 x5−2x−32 x2+13+18 x3

2 x3+3 x−4

a) 4x2 + 3 b) 1 c) 3x - 1d) 7x + 1 e) 7x

10)

35 x5+15 x3+7+16x2

5 x3+2

a) 3x – 1 b) 2x2 + 1 c) 4d) x2 + 3 e) 3x2 - 8

11) Indicar el término independiente del resto en la siguiente división:

6 x3−x2+2x+6−2x+3 x2−1

a) 1 b) 3 c) 4d) 7 e) 2

12) Indicar si la siguiente división es exacta o inexacta.

3x3+2x2+9 x+6x2+3

Si es inexacta indicar el resto.

a) Es exacta b) 1 c) 2xd) 3 e) 4x - 2

13) En la siguiente división:x5−2 x3+4 x2−5

x3+4Calcular la suma de coeficientes del cociente.

a) -1 b) 2 c) 0d) 3 e) 1

14) Dada la siguiente división exacta:2x4+x3−x−2 x2

2x+1Hallar el mayor coeficiente del cociente.

a) 3 b) 2 c) -1d) 1 e) -2

15) Hallar “b” si la siguiente división: x2+8 x+b

x+3es exacta:

a) 13 b) 12 c) 14d) 15 e) 2

TAREA DOMICILIARIA

I. En las siguientes divisiones hallar el cociente:

1)

x2+7 x+10x+4

a) x – 2 b) x + 3 c) x + 4d) x + 1 e) x

2)

x2−12 x+42x−5

a) 4x + 1 b) 2 c) x + 7d) x + 5 e) x – 7


Variable del Divisor Despejada

Coeficientes del Dividendo

El Coeficiente Principal del Divisor Resto

Siempre un Espacio

+

Coeficientes del Cociente


3)

x3+3 x2+3 x+2x+2

a) 2 b) 1 c) 0d) 3 e) 5

II. Hallar el residuo en las siguientes divisiones:

4)

9 x2−3 x+33 x−2

a) 3 b) 5 c) -3d) -5 e) 1

5)

8 x3−x+10 x2−34 x+3

a) 3 b) 7 c) 0d) 1 e) -1

6)

20 x3+11 x+27 x2

3 x+5 x2

a) 5x b) 4 c) 2xd) –x e) 0

7)

20 x4−12 x2+7−15x+25 x3

4 x2+5 x

a) 0 b) 1 c) 2xd) x + 1 e) 7

8)

9+x−26 x2+15 x4

−2+5 x2

a) x + 1 b) 0 c) x - 1d) x e) 2x + 1

9)

16 x5+27 x2−4 x3−72x3+3

a) 2x2 – 1 b) x2 – 2 c) 3x2 + 1d) 3x2 – 1 e) 0

10)

−14 x5+35 x2+x+2 x3−85−2 x3

a) x – 1 b) x + 2 c) x - 3d) x – 4 e) 0

11) En la siguiente división:

6 x3−x2+2x+6x+3 x2+1

Indicar el término independiente del resto.

a) 0 b) 7 c) 1d) 2 e) -1

12) Indicar si la siguiente división:

x4+x2−6x2+3

Es exacta o inexacta. Si es inexacta indicar el residuo.

a) Es exacta b) 5 c) 2d) -1 e) 1


x5−2 x4+x+5x4+1

Indicar la suma de coeficientes del cociente.

a) -1 b) 0 c) 2d) 1 e) 3


6 x4−3 x+2x3+62x3−1

Señalar el mayor coeficiente del cociente.

a) 1 b) 3 c) 2d) -1 e) -3

15) Hallar “b” en la siguiente división exacta:

x2+7 x+bx+3

a) 15 b) 3 c) 7d) 12 e) -7

1. MÉTODO DE RUFFINIEs un caso particular del Método de

Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer grado.

Ejemplos:De polinomios de primer grado:2x – 4 ; 7x + 5 ; x – 4 ; 3x + 5 ;

x + 1

2. ESQUEMA


12 5 3

4

1x

12

12 5 3

4

1x

12 5 3

4

1x

12

3

x

12 5 3

4

1x

12

3

8

2

5

3 2

4

Coef. del Cociente

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEjemplos:

Dividir:

12 x2+5 x+34 x−1

Paso 1 : Igualamos el divisor a cero.

4x – 1 = 0

Paso 2 : Despejamos la variable.

4x – 1 = 0

x=14

Paso 3 : Planteamos el esquema:

Luego:

Q(x) = 3x + 2

R(x) = 5


Observa que en este

ejemplo el divisor es:

Multiplicamo

En este ejemplo el

divisor es 2x + 1

Multiplicamos:

4 2 0

2

1x

2 7

4

-2

4 2 0

2

1x

2 7

4

4 2 0

2

1x

2 7

Multiplicamos:

4 2 0

2

1x

2 7

4

-2

0

0

x

Sumamos:

4 2 0

2

1x

2 7

4

-2

0

+Sumamos:

4 2 0

2

1x

2 7

4

-2

0

0

+

2

Sabías que4 2 0

2

1x

2 7

4

-2 0 -1

0 2 6

-3

-3

2 0 1 3 2

+ + + +

x


Dividir:

4 x4+2 x3+7 x+2x2

2 x+1=4 x

4+2x3+2x2+7x+02x+1

Paso 1 : Igualamos el divisor a cero.

2x + 1 = 0

Paso 2 : Despejamos la variable.

2x + 1 = 0

x=−12

Paso 3 : Planteamos el esquema:

Abreviando:


En 1799 Ruffini publicó el Libro “Teoría General de las Funciones” en el cual aparecen la regla que lleva su nombre. Con prioridad se han

encontrado documentos

8 -12 -14-1

8

16 8

4 7

14

0

x – 2 = 0

x = 2

1

8 4 7

+ +

10 -3 72x – 1 = 02x= 1

2

2

1x

Resto

Coef. del Cociente

Sabías que

21 5 83x – 1 = 03x= 1

3

3

1x

10 3 45x – 1 = 05x= 1

5

5

1x

-5

1

5


Dividir:

8 x3−12 x2−x−14x−2 Aquí divisor es:

x – 2 = 1 . x – 2

Coef. Principal = 1

Q(x) = 8x2 + 4x + 7

R(x) 0

Ahora tu

Dividir:

10 x2−3 x+72 x−1 Q(x) =

R(x) =

Dividir:

21 x2+5 x+83 x−1 Q(x) =

R(x) =

Dividir:

10 x3+3 x2+4 x−55 x−1 Q(x) =

R(x) =


En 1799 Ruffini publicó el Libro “Teoría General de las Funciones” en el cual aparecen la regla que lleva su nombre. Con prioridad se han

encontrado documentos

Desde 1814 Ruffini fue rector de la Universidad de

Módena (Itlaia), a la vez que trata a sus pacientes de una Epidemia de Tifus,

10 -13 -52x – 3 = 02x= 3

2

2

3x

7

-2

15

7 11 -6

x + 2 = 0x = -2

2


Dividir:

10 x3−13 x2−5 x+72 x−3 Q(x) =

R(x) =

Dividir:

7 x2+11 x−6x+2 Q(x) =

R(x) =

I. Efectuar las divisiones por el método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente.

1)

2x2−x+62x+1

a) x + 1 b) x – 1 c) x - 2d) x + 3 e) 2x + 1

2)

3x2−7 x−53 x−1

a) x – 2 b) x + 3 c) 2x - 1d) 2x + 1 e) x + 7

3)

10 x2+11 x−15x−2

a) 2x – 3 b) 3x – 2 c) 3x + 2d) 2x + 3 e) 2x + 5

4)

4 x2−9 x−9x−3

a) 4x – 3 b) 4x + 3 c) 3x + 4d) 3x – 4 e) -4x + 4

5)

7 x2+19x−6x+3

a) -7x – 2 b) 2x + 7 c) -7x + 2d) 2x – 7 e) 7x – 2

II. Efectuar las divisiones por el método de Ruffini

6)

x3−x2+x−5x−1

Indicar la suma de coeficientes del cociente.

a) 0 b) 4 c) -2d) 3 e) 2

7)

2x4+3 x+2x3−5x+1

Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente.

a) 2 b) 3 c) 1d) -2 e) 4

8)

15 x5−10 x+12−6 x 4

5 x−2Indicar el término independiente del cociente.

a) 5 b) -2 c) -4d) -3 e) 1

9)

12 x5+24 x+8 x4+182+3 x

Señalar el menor coeficiente del cociente.

a) 8 b) 4 c) 3d) -4 e) -1

10) En la siguiente división:x2+3 x+b

x+2Se obtiene por resto: 3Hallar: b




a) 7 b) -5 c) 3d) 5 e) -3

11) En la división:

6 x2−4 x+9 x−m3x−2 el resto es

-4Hallar: m

a) 0 b) 3 c) -10d) 1 e) -1

12) La siguiente división:

14 x2−29 x+b7x+3 es exacta.

Hallar: “b”

a) 7 b) -35 c) -15d) 14 e) -7


6 x4−2 x3+b+15 x3 x−1 es

exacta.Hallar: “b”

a) -5 b) 5 c) 3d) -3 e) -4


10 x3−2x2+bx+25 x−1 tiene

residuo 3. Hallar la suma de coeficientes del cociente.

a) 3 b) 2 c) 1d) 0 e) 4


3x 4+bx 3−4 x+11x−1 tiene

resto 7. Hallar: “b”

a) 2 b) -3 c) -5d) 7 e) -7

TAREA DOMICILIARIA

I. Efectuar las siguientes divisiones por el Método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente:

1)

2x2+x+12 x−1

a) 4x b) 3x – 1 c) 2x + 1d) x – 1 e) x + 1

2)

5x2−9 x+15 x+1

a) x – 2 b) x + 1 c) x - 3d) x + 4 e) 3x + 2

3)

15 x2−17 x+33 x−4

a) x + 3 b) 3x – 5 c) 5x + 1d) x – 5 e) 5x - 1

4)

5x2−25 x+ x+3x−5

a) 3x – 5 b) x + 5 c) x - 5d) 5x + 1 e) 5x – 1

5)

4 x2+11 x−1x+2

a) 4x + 3 b) 4x – 3 c) 3x - 4d) 3x + 4 e) -3x - 4

II. Efectuar las siguientes divisiones por el Método Ruffini:

6)

x3−x2+5 x+5x−1

Dar la suma de coeficientes del cociente.

a) 0 b) -1 c) 7d) 6 e) 5

7)

3x 4+3 x3−2x+5x+1

Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente.

a) -2 b) 3 c) -4d) 5 e) 1

8)

8 x5+12x−6 x4−84 x−3

Indicar el término independiente del cociente.

a) 3 b) 4 c) -5d) -7 e) 8

9)

15 x5−5 x+6 x4−72+5x

Indicar el menor coeficiente del cociente.

a) 3 b) -1 c) -2d) 4 e) -7

10) Hallar “b” en la siguiente división: x2+7 x+bx+5

Si el resto que se obtiene es 4.

a) 15 b) 1 c) 7d) 10 e) 14

11) Hallar “b” en la siguiente división:20 x2−8x−15 x+b4 x−3

Si el resto es 7.



a) 14 b) 13 c) 15d) 10 e) 11


15 x2+4 x+b3 x+2 es exacta

Hallar: “b”

a) -2 b) -7 c) -6d) -5 e) -4


10 x4−8 x−5 x3+b2x−1 es exacta.

Hallar: “b”

a) -4 b) -5 c) -2d) -6 e) -7


12 x3+bx−3 x2+124 x−1 tiene residuo 7.

Hallar la suma de coeficientes del cociente.

a) 8 b) 5 c) 4d) -3 e) -2


5x 4+bx 3+2 x+7x−1 tiene resto 9.

Hallar: “b”

a) 4 b) -3 c) 8d) -2 e) -5

Páginas web de consulta: http://asesor-mat-fis.blogspot.com/ http://es.scribd.com/asesor_mat_fis8834 http://www.sectormatematica.cl/ http://www.matebrunca.com/ http://www.20enmate.com/


http://www.matebrunca.com/

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Recuerda

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRETeorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa.

Para aplicar este teorema es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado.

ProcedimientoEjemplo: Hallar el resto en la siguiente división:

2x2+x+4x−1

Paso 1 : El divisor se iguala a cero:x – 1 = 0

Paso 2 : Se despeja la variable:x – 1 = 0 x = 1

Paso 3 : El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo:

Como: D(x) = 2x2 + x + 4

Resto = D(1) = 2(1)2 + (1) + 4

Resto = 2 . 1 + 1 + 4Resto = R(x) = 7

Ejemplo: Hallar el resto en la siguiente división:

3x2+8 x+7x+1

Paso 1 : El divisor se iguala a cero:x + 1 = 0

Paso 2 : Se despeja la variable:x + 1 = 0 x = -1

Paso 3 : Reemplazamos en el dividendo:

Como: D(x) = 3x2 + 8x + 7

Resto = D(-1) = 3(-1)2 + 8(-1) + 7

R(x) = D(-1) = 3 . 1 – 8 + 7Resto = R(x) = 2

Ejemplo: Hallar el resto en la siguiente división:

2x3−4 x2+3 x+4x−2

Paso 1 : x - 2 = 0

Paso 2 : x - 2 = 0 x = 2

Paso 3 : R(x) = D(2) = 2(2)3 – 4(2)2 + 3(2) + 4

R(x) = 2 . 8 – 4 . 4 + 6 + 4Resto = R(x) = 10


Puedes comprobar

dividiendo por el Método de Horner o de Ruffini cada

uno de los

Para aplicar el Teorema del Resto no es

necesario que el polinomio

Curiosidades

¡Ahora tu!

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEjemplo: Halla el residuo en:

13 x+6 x2−52 x−1

Paso 1 : 2x - 1 = 0

Paso 2 : 2x - 1 = 0 x =

12

Paso 3 : R(x) = D(

12 ) = 13(

12 ) + 6(

12 )2 - 5

R(x) =

132+6 ( 1

4)−5

R(x) =

132+ 64−5

R(x) = 8 – 5 = 3

Ejemplo: Halla el residuo en:

3x2+ x+73 x−2

Paso 1 : 3x - 2 = 0

Paso 2 : x=23

Paso 3 : R(x) = 3( 23)2+ 23+7

R(x) = 3( 49)+23+7

R(x) =

43+ 23+7

R(x) = 9



I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las divisiones hallar el residuo:

1)

x2+x+5x−1

a) 5 b) -1 c) 7d) 4 e) 5


El Libro III del “Discurso del

Método”; Descartes propuso el Teorema del Resto y es por

esta razón que



2)

x2−x+1x−2

a) -4 b) -1 c) 5d) 2 e) 3

3)

2x3+3x−2x2+2x−1

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 9

4)

x2+3 x+11x+1

a) 9 b) 8 c) -1d) 11 e) 3

5)

x2−2 x−4x+2

a) 4 b) 5 c) 6d) -5 e) -6

6)

3x 4+3 x3+x+8x+1

a) -1 b) -3 c) 7d) 1 e) 3

7)

2x2+x2x−1

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0

8)

3x2+2x3 x−1

a) 0 b) -1 c) 3d) 4 e) 1

16) Hallar “b” en la siguiente división:

2x2−x+bx−1

Si el resto que se obtiene es 7.

a) 5 b) 7 c) 6d) 4 e) 1


3x2+bx−3x−2 tiene resto 5

Hallar: “b”

a) -2 b) -1 c) -4d) -5 e) -7

18) Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

bx3+2x2+4+ xx+1

Si el resto es 3.

a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 4

19) Hallar el valor de “b” si el resto de la

siguiente división:

x2+23x−b es 27.

a) 4 b) 2 c) 5d) 3 e) 1

20) Hallar el resto en la siguiente división:

4 x5−8 x4+3 x+1x−2

a) 3 b) 2 c) 7d) 0 e) 1

21) Calcular el resto de:

( x−1 )2004+(2x−1 )2003+x−1x−1

a) 1 b) 2 c) 0d) 2003 e) -1


x4+x2

x2−1

a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

TAREA DOMICILIARIA

I. Utilizando el Teorema del Resto, en cada una de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo:

1)

x2+2x+2x−1

a) 4 b) 5 c) 3d) -1 e) 2



2)

x2+3 x−2x−2

a) -2 b) 8 c) -8d) 2 e) 0

3)

5x3−2 x−5 x2+2x−1

a) 3 b) 4 c) -1d) 0 e) 1

4)

x2+6 x+8x+1

a) 3 b) 5 c) -2d) 0 e) -1

5)

x2+x−1x−3

a) 2 b) 4 c) 5d) 3 e) -8

6)

8 x4+8x3+2x+2x+1

a) -4 b) 4 c) 0d) 1 e) -1

7)

2x2−3 x2x−1

a) -1 b) 2 c) 0d) -2 e) 1

8)

3x2+5x3 x−1

a) 2 b) -2 c) 0d) 3 e) -3

9) Hallar “b” en la siguiente división:

2x2−3 x+bx−2 si el resto es 3.

a) -3 b) 4 c) 0d) 2 e) 1


2x2+bx+4x−3 tiene resto

7.Hallar: “b”

a) 8 b) -2 c) 0

d) -5 e) 4

11) Hallar el valor de “b” en la siguiente división:

bx3−3 x+3x2+2x+1 si el resto es 5.

a) 0 b) 4 c) 3d) -1 e) -7

12) Hallar el valor de “b” si el resto de:

x2+15x−b

es 40.

a) 3 b) 4 c) 2d) 1 e) 5

13) Indicar el resto en la siguiente división:

2x7−4 x6+2 x+3x−2

a) -1 b) 7 c) 0d) 2 e) 5


(3 x−5 )2004+( x−1)2003−2x−2

a) 1 b) 4 c) 8d) -1 e) 0

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http://www.matebrunca.com/

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FACTORIZACIÓN


Es transformar un polinomio en el producto indicado de factores primos.

En la multiplicación algebraica se tiene.

(x + 3) (x2 – 3x + 9) x3 + 27

El problema que nos planteamos ahora es, dado el polinomio producto debemos hallar los factores que lo originan. Si conseguimos los factores habremos factorizado el polinomio.

Así:

x3 + 27 (x + 3)(x2 – 3x + 9)

Factor PrimoEs aquel polinomio que no admite

descomposición.Ejemplo:

x : 1 ; x

x + 1 : 1 ; x + 1

x – 2 : 1 ; x – 2

x + y : 1 ; x + y

x2 + 1 : 1 ; x2 + 1

Factor CompuestoEs aquel que resulta de la combinación de los

factores primos.x + 3x + 4(x + 3) (x + 4)

1

CONTEO DE FACTORES PRIMOS


Factor Produc

Por Regla Práctica, todo factor primo

tiene 2 factores o divisores la unidad y el

(x + 3)(x

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEl número de factores primos de un

polinomio (factorizado) se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen a la variable.

Ejemplo:

P(x) = 4(x - 2)2 (x + 3)2 (x + y)5

Tiene 3 factores primos.

Q(x) = 3x(x - 3)2 (x2 + 2)2 (x2 + y2)

Tiene 4 factores primos:2 lineales: x; x – 3

2 cuadráticos: x2 + 2; x2 + y2

F(x, y) = 5x3y2(x - 4)3(x2 – x + 1)5 (y - 3)4

Tiene 5 factores primos:4 lineales: x; y; (x - 4); (y - 3)

1 cuadrático: x2 – x + 1

CRITERIOS PARA FACTORIZARExisten diversos criterios para factorizar

polinomios entre ellos tenemos:

1. FACTOR COMÚN Y AGRUPACIÓNSe aplica en polinomios donde todos sus

términos tienen una o más variables y/o constantes comunes. En caso de no haber algún factor común, se agrupara convenientemente tratando de que aparezca algún factor común.

Ejemplo: Factorizar:

5x10y5 – 10x7y8 – 25x11y9

= 5x7y5(x3 – 2y3 – 5x4y4)

Factorizar:

(a + b + c)m2 + (a + b + c)n2 + (a + b

+ c)p2

= (a + b + c)(m2 + n2 + p2)

Factorizar:(2x – 3y + z)a + (3y – 2x - z)bCambiando de signo a los términos del segundo paréntesis:

(2x – 3y + z)a – (2x – 3y + z)bEncontramos factor común.

(2x – 3y + z) (a - b)

Factorizar:

a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2

Agrupando en forma conveniente.

a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)

Sacando el factor común:

(x2 + y2) (a2 + b2)

Factorizar:ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay

+ bz

Agrupando de 3 en 3.x(a + b + c) + y(b + c + a) + z(c + a +

b)Sacando el factor común:

(a + b + c) (x + y + z)

2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADESConsiste en aplicar los productos

notables en forma inversa.

a) Trinomio Cuadrado Perfecto

(x ± y)2 x2 ± 2xy + y2

Factorizar:

x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

x 3y 2(x) (3y) = 6xy

Factorizar:

4x2n – 12x4y4 + 9y2n = (2x4 – 3yn)2

2xn 3yn

2(2xn) (3yn) = 12x4yn

b) Diferencia de Cuadrados

(x + y) (x - y) = x2 – y2


x y

2(x)(y) =

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE Factorizar: x4 - 1

Solución:

Dando la forma de diferencia de

cuadrados.

(x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 - 1)

Podemos seguir descomponiendo.

x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x - 4)

Factorizar: (ax – 3b)2 – (bx – 3a)2

Por diferencia de cuadrados.

(ax – 3b + bx – 3a) (ax – 3b – bx + 3a)

Agrupando en forma conveniente.

(x(a + b) – 3(a + b)) (x(a - b) + 3(a - b))

Tomamos el factor común.

(a + b)(x - 3) . (a - b)(x + 3)

c) Suma y Diferencia de Cubos

(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3

(x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3

Factorizar: 64a6 – b6

Por diferencia de cuadrados.

(8a3 + b3) (8a3 – b3)

Ahora factorizamos por suma y diferencia de cubos.

(2a + b)(4a2 – 2ab + b2)(2a - b)(4a2 + 2ab + b2)

3. CRITERIO DEL ASPA SIMPLESe aplica para factorizar polinomios de la forma:

P(x) = Ax2n + Bx4 + C ó

P(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n

{m; n} ℕ

Ejemplo: Factorizar:

P(x) = x2 + 8x + 15

x 5 5x

x 3 3x

8x

Luego:

Se toman los factores en forma horizontal.

P(x) = (x + 5)(x + 3)

Factorizar:

P(x) = 10x2 - 13x – 3

Descomponiendo los extremos.

10x2 - 13x – 3

5x 1 2x

2x -3 -15x

-13x

Luego:

P(x) = (5x + 1) (2x - 3)



1) Factorizar:

F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy

El número de factores primos es:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2) Factorizar:

F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2

El factor primo de 2do grado es:

a) xy + 1 b) xy + y2 c) x2 + y2

d) x2 – y2 e) x2 + xy

3) Factorizar:

F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4

El número de factores primos binomios es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4) Factorizar e indicar un factor primo:

Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3

a) x + y b) x – y c) x + 2y

d) x – 2y e) x2 + y2

5) Factorizar:

P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c + bc

Indicar el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6) Factorizar:

P(a; b; c) = ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b2c + 3abc

Indicando un factor primo.

a) a2 + b2 + c2 b) a – b – c c) a + b + c

d) a3 + b3 + c3 e) a + b

7) Factorizar:

F(x) = (x2 + 2)2 – (2x - 1)2

El factor que más se repite es:

a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2

d) x – 2 e) x - 3

8) Factorizar:

F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – z2)2

Un factor primo es:

a) x + y b) x – y c) x + z

d) x2 + y e) y - z

9) Factorizar:

F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4

La suma de coeficientes del factor primo cuadrático es:

a) 1 b) 2 c) 3d) -2 e) -1

10) Factorizar:

F(x) = x3 + x2 – 9x - 9Indicando un factor primo.

a) x – 1 b) x – 2 c) x - 3d) x + 5 e) x + 7

11) Factorizar:

P(x, y) = x2 – y2 + 6y - 9Indicando el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) x + y + 2d) x + 2y – 1 e) 3x + y + 2

12) Factorizar:

(a3 + b3 + c3)3 – a3 – b3 – c3

Indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13) Factorizar:

F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4E indicar el término independiente de un factor primo.

a) 1 b) 2 c) 4d) -2 e) -3

14) Factorizar:

Q(x) = (x2 + 5)2 + 13x(x2 + 5) + 42x2



Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREIndique la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 5 b) 6 c) 2d) 4 e) Hay 2 respuestas

15) Factorizar:

G = x6 – 6x4 + 2x3 + 5x2 – 6x + 1E indicar el coeficiente del término lineal de un factor primo.

a) -1 b) -2 c) 1d) 2 e) 3

TAREA DOMICILIARIA

1) Factorizar:

P(x; y) x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2

e indicar un factor primo.

a) x + y b) x2 + y2 c) x + 1

d) xy + 1 e) y2 + 1

2) Indicar un factor primo al factorizar la suma de los factores primos de:

P(a; x) abx2 + aby2 + xya2 + xyb2

a) a + y b) b + x c) x + yd) a – b e) b – x

3) Factorizar:F(x) (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)e indicar la suma de sus factores primos.

a) 2x – 4 b) 3x – 5 c) 3x - 6d) 2x – 3 e) 3x - 4

4) Señale un factor primo de:

M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2

a) a + 2 b) b – 2 c) a + b - 4d) a + b + 2 e) a – b

5) Factorizar:

P(x; y) = y2 – x2 + 6x - 9

e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) y + x + 3d) x + y – 3 e) 3 – x + y

6) Factorizar:

P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2

Indicando la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 3 b) a + b + 1 c) 2d) a + b e) 1

7) Factorizar:

P(x) = x2 – (ac - b)x - abc

e indicar un factor primo.

a) x – ac b) x + b c) x + ad) x – b e) x - a

8) Factorizar:

F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy

e indicar el valor numérico de uno de sus factores primos para x = 3; y = 2.

a) 13 b) 16 c) 20d) 18 e) A D

9) Factorizar:

P(x) = 9x2 – 18x + 8

Q(x) = 12x2 + x - 6

e indicar la suma de sus factores primos no comunes.

a) 6x – 4 b) 7x + 1 c) 13x - 5d) 7x – 1 e) 6x + 1

10) Indicar un factor primo en:

F(a; b) = (a + b + 2)2 + 11a + 11b + 40

a) a + b + 5 b) a + b + 8 c) a + b + 9


MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREd) a + b – 7 e) a + b + 4

11) Indicar un factor primo de:

G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14

a) x + 1 b) x – 2 c) x - 7d) x – 4 e) x + 14

12) Factorizar:

P(x) = a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y

Indicando un término del factor primo cuadrático.

a) -2y b) x c) xy

d) –ax e) y2

13) ¿Cuántos factores primos resultan en?

P(x; y) = x9y – x3y7

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

14) Indicar el número de factores primos en:

P(x) = (3x2 – 4x)2 – 19(3x2 – 4x) + 60

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 8

15) Si un factor primo de:

H(x) = x4 – 13x2 + 36

Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2Hallar el valor de a – b

a) 2 b) 1 c) 4d) -2 e) 0

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

(M.C.D.)El máximo común divisor de dos o más

expresiones algebraicas es otra expresión

algebraica entera de mayor coeficiente numérico

y mayor grado que divide exactamente a cada

una de ellas.

Ejemplo: Divisores de 24

1 , 2 , 3 , 6 , 8 , 12 , 24

Divisores de 30

1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30

M.C.D. (24, 30) = 6

Para calcular el M.C.D. se factorizan estas

expresiones y el M.C.D. estará formado por los

factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo:

A = (x + 3)3(x - 2)2(x + 4)5

B = (x – 5)2(x + 3)2(x + 4)6

M.C.D.(A; B) = (x + 3)2 (x + 4)5

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

(M.C.M.)Profesor: Daniel Torres 2011

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREEl mínimo común múltiplo de dos o más

expresiones algebraicas es otra expresión

algebraica entera de menor coeficiente numérico

y de menor grado que es divisible exactamente

entre cada una de las expresiones dadas.

Ejemplo:

Múltiplos de 5

5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40

………

Múltiplos de 6

6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 ………

M.C.M. (5, 6) = 30

Para calcular el M.C.M. se factorizan estas

expresiones y el M.C.M. se formará con los factores

comunes y no comunes con su mayor exponente.

A = (x - 2)4 (x + 3)2 (x + 5)3

B = (x - 2)3 (x + 3)4

M.C.M. (A; B) = (x - 2)4 (x + 3)4 (x + 5)3

Propiedades

1. Si dos o más expresiones son primas entre si

su M.C.D. es la unidad y su M.C.M. el producto

de ellas.

Ejemplo:

A = 14 : 2 . 7

B = 15 : 3 . 5

M.C.M. (A, B) = 2 x 7 x 3 x 5

= A x B

M.C.M. (A; B) = A x B

A = 1, 2, 7, 14

B = 1, 3, 5, 15

M.C.D. (A; B) = 1

2. Dadas dos expresiones algebraicas A y B, su

M.C.D. por su M.C.M. es igual al producto

de A x B.

Ejemplo:

A = 2 : 2

B = 4 : 22

M.C.D.(A, B) = 2

M.C.M.(A, B) = 22

M.C.D.(A, B) x M.C.M.(A, B) = 2.4

M.C.D.(A, B) x M.C.M.(A, B) = A x B

1) Indicar el M.C.D. de:A = (x + 3)4 (x + 5)6

B = (x + 5)2 (x + 3)8

a) (x + 3)2 d) (x + 3)(x + 5)b) (x + 5)2 e) (x + 5)6(x + 3)8



Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREc) (x + 3)4(x + 5)2

2) Indicar el M.C.M. de:A = x3y4z6

B = x5y2z4

a) xyz b) x3y2z4 c) x5y4z6

d) x4y2z e) N.A.

3) Hallar el M.C.D de:A = x2 – y2

B = x2 – 2xy + y2

a) x2 b) y2 c) x + yd) x – y e) xy

4) Hallar el M.C.M. en:A = x2 – y2

B = x2 + 2xy + y2

a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) (x - y)2

d) (x + y)2 e) (x - y)(x + y)2

5) Si el M.C.D. de:

A = 6xm+1yn-2

B = 4xm+3yn-4

Es: px4y2

Calcular: m . n . p

a) 12 b) 36 c) 24d) 18 e) 46

6) Si el M.C.M. de:

A = 6xm-5yn+3

B = 4xm-1yn+1

Es: px4y4

Calcular: m . n . p

a) 60 b) 36 c) 24d) 18 e) 72

7) Siendo:

A(x) = x2 + 3x – 10

B(x) = x4 – 25x2

C(x) = x3 + 4x2 – 5xHallar el M.C.D. (A, B, C)

a) x – 2 b) x – 1 c) x + 5d) x e) x(x - 2)

8) Encontrar el M.C.D de los polinomios:I. x4 – 5x2 + 4II. x3 + x2 – 4x - 4III. x3 – 2x2 – x + 2

a) x2 – x – 1 d) x2 + x + 2b) x2 + x - 1 e) x - 1c) x2 – x - 2

9) Si el M.C.D. de los polinomios:

P(x) = x3 – 6x2 + 11x – mQ(x) = x3 + 2x2 – x – n es (x – 1)Calcular: “m + n”

a) -8 b) 8 c) 4d) 6 e) 2

10) El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su M.C.M. por su M.C.D. es 2x3(x+y)2, entonces uno de los polinomios es:

a) x2 + xy b) xy + y2 c) (x + y)2

d) (x + y) e) 2x + 2y

11) Se tiene “n” polinomios cuyo M. C. D. es x2 + 2x – 3 si uno de los polinomios es P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B entonces A + B es:

a) No se puede b) 33 c) -3d) 12 e) -6

12) El producto del M.C.M. por el M.C.D. de dos polinomios es x4 + 7x3 + 12x2, si uno de los polinomios es x3 + 3x2

entonces el otro polinomio será:

a) x + 2 b) x + 4 c) x2

+ 4xd) x2 + 3x e) N.A.

13) Sabiendo que P(x) y Q(x) son polinomios con coeficientes principales unitarios de tercer grado y cuyo M.C.D. es (x2 – n2) además con los datos:

R(0) = 2n3, Q(0) = 0; Q(3) = 120Calcular el valor de:

E=M .C .M .M .C .D .

a) x2 – 7x + 6 b) x2 + 14x c) x2 – 7xd) x2 + 7x e) x2 + 28x

14) El M.C.D. y el M.C.M. de dos polinomios son: (x2 + 3x + 2) y (x4 + 11x3 + 41x2 + 61x + 30) respectivamente. Si uno de los polinomios es x3 + 6x2 + 11x + 6. Hallar la suma de coeficientes del otro polinomio.

a) 8 b) 6 c) 12d) 24 e) 36

15) Hallar el M.C.D. de:A = 2x3 – 5x2 + 4x – 4B = 2x3 – 3x2 + 3x – 2 a) x – 2 d) (x - 1) (2x2 – x + 2)b) 2x2 – x + 2 e) x - 1


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREc) (x - 1) (x - 2)

TAREA DOMICILIARIA

1) Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(x; y; z) 6xy4zQ(x; y; z) 3x2y2

R(x; y; z) 15x3y3z5

a) 3xy b) 3x2y c) 30x3y4z5

d) 3xy2 e) 3xyz

2) Si el M.C.D. de los monomios:F(x; y; z) 12x5y5z2

G(x; y; z) 16x3y6z3

H(x; y; z) 20x4y7 es:kxmynzp, según ello calcular k + m + n + p

a) 13 b) 18 c) 21d) 10 e) 12

3) Hallar el M.C.M. de los monomios:P(x; y; z) 4x2y6z3

Q(x; y; z) 2x4y3zR(x; y; z) 6x3y4z2

a) 12x4y6z b) 12x4y6z3 c) 6x4y2z3

d) 2x2y3z e) 2x2y2z

4) Si el M.C.M. de los monomios:A(x; y; z) 8x4y2z3

B(x; y; z) 10x2y5

C(x; y; z) 15x3y3z2 es:

pxaybzc, según ello calcular:

pa+b+c

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

5) Hallar el M.C.M. de los monomios:A(x) x4 + x2 + 1B(x) x6 – 1C(x) x3 + 2x2 + 2x + 1E indicar su grado absoluto.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

6) Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(a; b) a4 + a2b2 + b4

Q(a; b) a6 – b6

R(a; b) a4 – a3b + ab3 – b4

E indicar la suma de sus coeficientes:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7) Hallar el M.C.M. de los polinomios:P(x) x3 – 6x2 + 5x + 12Q(x) x4 – 9x2

R(x) x3 – 4x2 + x + 6E indicar la suma de sus coeficientes.

a) 48 b) 36 c) -36d) -48 e) 0

8) Se tienen dos polinomios P(x) y Q(x) de cuarto y tercer grado respectivamente. Si al hallar su M.C.M. resulta de quinto grado, entonces su M.C.D. es de ……………………. Grado.

a) Primero b) Segundo c) Tercerd) Quinto e) No se sabe

9) Hallar el M.C.M. de los monomios:P(x; y; z) 4x2y6z3

Q(x; y; z) 2x4y3zR(x; y; z) 6x3y4z2

a) 12x4y6z b) 12x4y6z3 c) 6x4y2z3

d) 2x2y3z e) 2x2y2z

10) Si el M.C.M. de los monomios:A(x; y; z) 8x4y2z3

B(x; y; z) 10x2y5

C(x; y; z) 15x3y3z2 es:

pxaybzc, según ello calcular:

pa+b+c

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 6

11) Hallar el M.C.M. de los monomios:A(x) x4 + x2 + 1B(x) x6 – 1C(x) x3 + 2x2 + 2x + 1E indicar su grado absoluto.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

12) Hallar el M.C.D. de los polinomios:P(a; b) a4 + a2b2 + b4

Q(a; b) a6 – b6

R(a; b) a4 – a3b + ab3 – b4

E indicar la suma de sus coeficientes:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

13) Hallar el M.C.M. de los polinomios:P(x) x3 – 6x2 + 5x + 12Q(x) x4 – 9x2

R(x) x3 – 4x2 + x + 6E indicar la suma de sus coeficientes.


RADICACIÓN

signo radicalíndice

raíz enésimaSub-radical


a) 48 b) 36 c) -36d) -48 e) 0

14) Se tienen dos polinomios P(x) y Q(x) de cuarto y tercer grado respectivamente. Si al

hallar su M.C.M. resulta de quinto grado, entonces su M.C.D. es de ……………………. Grado.

a) Primero b) Segundo c) Tercerd) Quinto e) No se sabe

Llamaremos radical simple a la expresión n√a ,

cumpliéndose que:

n√a=b ⇒ bn=a

Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par.

Elementos

n√a=b

RADICALES SEMEJANTES

Estos tienen la misma expresión sub-radical y el mismo índice.

Ejemplo:

2√5 x ; 3√5 x ; −5√5 x son semejantes.

RADICALES HOMOGÉNEOS

Estos se caracterizan por tener el mismo índice.

Ejemplo:

√5 ; 2√b ; √b son homogéneos, de índice 2.

3√4 ; 2 3√b ; 3√a son homogéneos, de índice 3.

HOMOGENIZACIÓN DE

RADICALESEs la operación que consiste en

transformar radicales con diferente índice, en radicales con igual índice. Para tal fin se aplican los teoremas de exponentes y radicales, asimismo se recomienda tener en cuenta las siguientes reglas.

1. Se halla el MCM de los índices de los radicales, que será el índice común.

2. Se divide el MCM encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente se multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

Ejemplo:

Dados: 3√x ;

4√ z3 ;5√w2 ; expresarlos

como homogéneos:En primer lugar se debe reconocer que el MCM de 3; 4 y 5 es 60. Luego trataremos que


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREtodos los índices de radical tengan el mismo valor 60:

3√x=60√ x20 (60÷3=20 )4√ z3=60√z455√w2=60√w24

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Simplificar un radical es transformarlo en otro equivalente utilizando los teoremas ya mencionados.

Ejemplo:

3√16a7 =

3√23 . 2a6 . a=

3√23 . a6 . 3√2a= 2a2 3√2a

INTRODUCCIÓN DE

EXPRESIONES

BAJO EL SIGNO RADICAL

Se eleva la expresión que está afuera del radical, a una potencia igual al índice del radical.Ejemplo:

2 x √ yz = √(2 x )2 yz = √4 x2 yz

x2 3√ y

x2 =

3√( x2 )3 . yx2 =

3√x4 y

REDUCCIÓN DE RADICALES

SEMEJANTES

Los radicales semejantes, se reducen como si fueran términos semejantes.

Ejemplo:

5√3−2√3+7√3=(5−2+7 )√3=10√3 3√2+4 √2−5 √2=(3+4−5 )√2=2√2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

DE RADICALES

Para efectuar estas operaciones los radicales deben ser homogéneos o en caso contrario, reducirlos a homogéneos.

m√a . m√b=m√ab

m√am√b

=m√ ab

TRANSFORMACIÓN DE

RADICALES

DOBLES A RADICALES

SIMPLES

RADICALES DE LA FORMA:RADICALES DE LA FORMA: √A±√B

Los radicales de la forma √A±√B donde A y B son números racionales positivos, se pueden

transformar a la forma √ x±√ y . Así toda la transformación consiste en hallar x e y en función de A y B, para lo cual se plantean las siguientes ecuaciones:

√A+√B=√ x + √ y………. (1)

√A−√B=√x − √ y………. (2)Sumando miembro por miembro (1) y (2) y

elevando al cuadrado después, podemos encontrar que:

√A+√B+√A−√B=2√x



⇒ 2A+2√ A2−B=4 x ⇒ x= A+√A2−B2

Procediendo de una manera análoga, al restar (1) y (2) y elevar al cuadrado después, se obtiene:

√A+√B−√A−√B=2√ y

⇒ 2A−2√ A2−B=4 y ⇒ y= A−√A2−B2

Nota.- Cuando la cantidad subradical A2 – B; es un cuadrado perfecto, dará una raíz exacta que

llamaremos C, de forma que √A2−B=C , con lo cual las expresiones para x e y en (1) y (2) quedarían de esta manera:

√A±B=√ A+C2

±√ A−C2

Ejemplo:

Para: √5+√24 , tenemos:

Reconociendo términos: A = 5 B = 24

Calculando C, tenemos:

C=√52−24 ⇒ C=1Finalmente se plantea:

√5+√24=√ 5+12 +√ 5−12∴ √5+√24=√3+√2

RADICALES DE LA FORMA:RADICALES DE LA FORMA: √A±2√B

Cuando un radical doble es de la forma √A±2√B , se pueden determinar dos números x e y que cumplan con las siguientes relaciones:

x + y = A ; x . y = B

Así se verificará que:

√( x+ y )+2√ xy=√ x+√ yó

√( x+ y )−2√xy=√x−√ yEjemplo:

Para: √11−2√30 , tenemos:De acuerdo con el criterio expuesto se debe buscar dos números que multiplicados sean igual a 30 y sumandos reproduzcan 11. Veamos:

√11−2√30=√(6+5 )−2√6⋅5

Finalmente la expresión transformada queda así:

√11−2√30=√6−√5

1) Reducir:

K=√98+√2−√50+√48−√32

a) √2 b) 2√2 c) √3d) √2+√3 e) 4 √2

2) El equivalente de:

N=√6−2√5−√11+2√30+1Es:

a) √6 b) √5 c) −√6d) −√5 e) 1

3) Mostrar el equivalente de:

3√m√m−√m3+n6 . 3√m√m+√m3+n6Sabiendo que: 2 001 < m < n < 2 002

a) n b) 3√n c) -m

d) n2 e) –n2

4) Si: 1 999 < m < n < 2 001

Reducir:

E=√n2+2mn+m2−√m2−2mn+n2

a) 2n b) -2n c) 2m

d) -2m e) m + n

5) Efectuar:

N=√3−√8+√11−√72


6 5


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 1/2 b) -2 c) 2

d) 1 e) 14

6) Efectuar:

A=√2+2√4+2√3

a) √2 b) √3 c) √3+1d) √3+2 e) 1

7) Si: x > 1, reducir:

Q=√ x+√x2−12

+ √ x−√ x2−12

a) √ x+12 b) √ x2−1 c)

√ x−1d) √ x2+1 e) √ x

8) Hallar: B – 8A en:

√12−2√35+√8+2√15=√A+√Ba) 84 b) 4 c) 94d) 49 e) 47


P=√1+√−2+2√12+√108

a) √2 b) √ 32 +√ 12 c) √3−√2

d) √3+√2 e) √ 52 +110) Un radical simple de:

√ 1x +√2−x2

Considerando: x2 < 2, es:

a) √2 b) √ x c) √ x2

d) √ 2x e) √ x−22

11) Descomponer a radicales simples:

T=√2+√3

a)

√32+ √22 b) √ 32 +√ 12 c) √2+1

d) √2−1 e)

√23+ √32

12) Descomponer en radicales simples:4√7+√48

a)

√32+ √22 b)

√83+ √62 c)

√62+ √65

d)

√62+ √22 e)

√23

+ √32

13) Si:

52<x<3

el equivalente de:

√2x−2√6 x−9+√2 x−1−2√4 x−6Es:

a) 2√2x−3−√3−√2 e) √3−√2b) 2√2x−3 d) 2−√3c) √3+√2

14) Si:

√a+4√b+2=√a−2+√2b{a; b} ℕ / a > b. Mostrar un radical simple

de:

√a+b+2√a+6b

a) √7 b) √5 c) √3d) √2 e) “a” o “d”

15) Proporcionar el valor de:

α . θγ si el

radical doble: √αx+θy+√( γθ+γ )xy

puede descomponerse en radicales

simples:

a) 1 b) 1/2 c) 1/4

d) 1/3 e) 1/6

TAREA DOMICILIARIA

1) Reducir:

L=√75−√27+√12−√48+√3

a) −√3 b) √3 c) 2√3d) 5√2 e) √3+2√2




E=√7+2√12+√7−2√12a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

3) Si: n ℕ / n 2 001, proporcionar el

equivalente de: n√√3+√2 . 2 n√5−2√6

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 8


√a2−2ab+b2−3√a3+3ab2−3ab2b−b3

Sabiendo que: 2 001 < a < b < 2 003

a) 0 b) b c) ad) 2a + 2b e) 2b – 2a

5) La expresión mostrada: √3−√3−√4−2√3Equivale a:

a) √3+1 b) √3+1 c) √3−2d) √3−1 e) √3+4

6) Efectuar: √4−√12+√7−√48

a) 0 b) 2√2 c) √2d) 1 e) -1

7) Sabiendo que: x2 = x + 1; x > 0

Reducir: √ x+√x−√ x−1

2

a) √2 b) √2x c)

√22

x

d) (√2+1) x e) 1

8) Hallar: a y b en la siguiente igualdad:

√3+√8+√12+8√2=3(√a+√b )a) a = 2; b = 1 d) a = 1; b = 5b) a = 3; b = 6 e) a = 0; b = 1c) a = 1; b = 2

9) Reducir:

E=√9+5√3−√3(√3+2)+√4+2√3

a) 2+√3 b) 1−√3 c) √3d) √2−√3 e) 1

10) Simplificar:

√2x+1−2√ x2−2x+1Si: x > 1

a) √2 b) √3 c) 4d) 1 e) 2

11) Hallar: B – A en:

√15−2√54+√8+2√12=√ A+√B

a) 18 b) 37 c) 83d) 61 e) 17


E=√2+2√2+. .. ..+2√2+2√2+2√4+2√3a) √3+1 b) √3−1 c) √3−2d) √3+2 e) √2−2

13) Al extraer la raíz cuadrada de:

x−1+√ x2−2x−3Se obtienen 2 radicales simples cuadráticas. Calcular el valor numérico de uno de ellos para x = 7.

a) √2 b) √3 c) √4d) √5 e) “a” o “c”

14)4√17+12√2 ; es equivalente a:

a) √2+√3 b) 3−√2 c) √3−√2d) 2√2−1 e) √2+1

15) Si se cumple:

√5 x−2+2√6 x2−7 x−3=√ax+b+√cx−aDe modo que: {a; b; c} ℕCalcular: “a + b + c”

a) 4 b) 5 c) 6


RACIONALIZACIÓN

Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREd) 7 e) 8

Es la operación mediante la cual, se transforma una expresión cuyo denominador es irracional, en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se multiplican ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante.

FACTOR RACIONALIZANTE

(F.R) Es la expresión irracional, que multiplicada

por el denominador irracional, lo convierte en una expresión racional.

DENOMINADORES

MONOMIOS

Si el denominador es de la forma m√bn , el

factor racionalizante es m√bm−n

. En estos casos el factor racionalizante es conocido también como el conjugado del denominador. Veamos el siguiente ejemplo:

am√bn

= am√bn

.m√bm−n

m√bm−n=a

m√bm−n

b

RACIONALIZACIÓN DE

DENOMINADORES BINOMIOS Cuando una fracción presenta un

denominador binomio, el factor racionalizante es en general un polinomio cuya forma dependerá del binomio original.

DENOMINADOR BINOMIO DE LADENOMINADOR BINOMIO DE LA

FORMA :FORMA : √a±√b

Denominador : √a+√b F.R.:

√a−√b

Denominador : √a−√b F.R.:

√a+√b

Basta multiplicar los dos términos por la cantidad conjugada del denominador.

Ejemplo:

a√b+√c

= a√b+√c

. √b−√c√b−√c

=a(√b−√c )

b−c

a√b−√c

= a√b−√c

. √b+√c√b+√c

=a (√b+√c )

b−c

DENOMINADOR BINOMIO DE LADENOMINADOR BINOMIO DE LA

FORMA:FORMA: 3√a ± 3√b

Cuando los denominadores son binomios cuyas raíces resultan ser de índice tres, los factores racionalizantes se obtienen así:

Denominador :3√a + 3√b F.R.:

3√a2−3√ab+3√b2

Denominador :3√a − 3√b F.R.:

3√a2+3√ab+3√b2

Ejemplo:

23√4+3√5

= 2

(3√4+3√5 ).(3√16−3√20+ 3√25)(3√16−3√20+ 3√25)

=2(3√16−3√20+3√25)

3√43+3√53=2(3√16−3√20+3√25 )

9


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREDENOMINADOR BINOMIO DE LADENOMINADOR BINOMIO DE LA

FORMA:FORMA: n√a±n√b

En general, para denominadores cuyos radicales

son de orden mayor que 3, se utilizarán criterios

de cocientes notables.

Denominador :n√x+n√ y

F.R.: n√xn−1−n√xn−2⋅y+. . .. ..+ n√ yn−1 ; n impar

Denominador :n√x+n√ y

F.R.: n√xn−1−n√xn−2⋅y+. . .. ..−n√ yn−1 ; n par

Denominador :n√x−n√ y

F.R.: n√xn−1+n√xn−2⋅y+. .. .. .+n√ yn−1 ; n

Ejemplo:

15√a−5√b

=5√a4+ 5√a3 b+5√a2b2+ 5√ab3+

5√b4a−b

1) Al racionalizar

3

√3 se obtiene una

expresión de la forma:

√ab . Calcular: “a

+ b”.

a) 2 b) 6 c) 3d) 4 e) 5

2) Al racionalizar

73√6 obtenemos una

expresión de la forma:

73√k2k

proporcionar el valor de “k”.

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

3) Racionalizar e indicar el denominador:

E= 47√648

a) 1 b) 3 c) 2d) 6 e) 10

4) Racionalizar:

4

√3+√2a) 4 (√3+√2) d) 1

b) 4 (√3−√2 ) e) √3−√2c) 2(√3+√2)

5) Reducir:

N= 72√2−1

−2√2+2

a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15

6) Reducir:

M= 1

√5+√3+ 1

√3−1− 2

√5−1

a) 0 b) √5 c) 2√5d) √3 e) √3+√2

7) Efectuar:

4

√8+4 √3+ 3

√7−2√10− 1

√11−2√30

a) 1 b) √5 c) 2

d) 0 e) √3

8) Indicar el denominador racional de:

12

√2+√3+√5



Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PREa) 11 b) 23º c) 5d) 3 e) 6


65−√6+√10−√15

a) 6 b) 1 c) 2d) 3 e) 9

10) Racionalizar:

M3√16−√8+ 3√4

Dar su denominador:

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

11) Racionalizar:

M3√9−3√4

Dar su denominador:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

12) Si la expresión:

√10 [ √√10+3+√√10−3√√10+1−√√10−1 ]Es equivalente a:

α √θ+θ √ α2

/ α ∧ θ ∈ N

Calcular el valor de “ . ”

a) 8 b) 6 c) 20d) 12 e) 16

13) Simplificar:

R= √1+x√1+x−√1−x

−√1−x2

2 x

a) 1 + x b)

1+ x2 x

c)

2x4+ x

d) 1 e) 0


A=2001

1+5√8−5√4

a) 240 b) 243 c) 245d) 244 e) 246

15) Proporcionar el denominador racional de:3√2001 . 3√2003 (3√2001+3√2003 )

3√2001+ 3√2003−3√4004

a) 1 b) 2002 c) 2003d) 200 e) 3

TAREA DOMICILIARIA

1) Simplificar:3√6 √24√72

a) 12√18 b)

6√9 c)

12√ 23d)

12√ 29 e)

6√ 232) Efectuar:

a) xy d) 0

b) x2y2 e) 1

c) 8√xy+7√xy

3) Efectuar:

E= 113 √2−√7

− 12√2−√7

a) 2√2 b) 5√2 c) −3√2d) √2 e) 0

4) Dividir 1 entre:

√27−√18+√32−√12

a) √3+√2 b) √5 c) √2+1d) √3−√2 e) No es posible

5) Efectuar:

E=√(a√ ab +2√ab+b√ ba )√aba) a b) ab c) a - b

d) a + b e)

ab

6) Dar el denominador racionalizado de:


Colegio Lobachevsky Álgebra-II Bimestre PRE1

√√5+√2−4√5

a) 2 b) 4 c) 1d) 7 e) 3

7) Simplificar:

E= 4√3 [ √3−1

√3− 1

√3− 1√3 ]

−1

a) √3 b) √3−1 c) √3+1d) 2√3 e) 3+√3

8) Racionalizar y simplificar:12

√2+√3+√5

a) 2√3+3√2−√30b) 3√2+2√3+√30c) 2√3−3√2+√30d) 2√2+√30−3e) 3√3+2√2−√30

9) Racionalizar:

F= 87+√15+√21+√35

Indicar el denominador:

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

10) Racionalizar:

M3√9−3√6+3√4

Dar su denominador:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.

11) Racionalizar:

M3√9−3√5

Dar su denominador:

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) N.A.

12) Indicar el denominador racionalizado de:

x

√3−6√2

a) 25 b) 27 c) 29d) 7 e) 14

13) Si después de racionalizar y simplificar:

x√ x− y √ y+ y√ x−x √ y√x2 y−√xy 2

Reemplazo “x” por “y” se obtiene:

a) -1 b) 1 c) 2d) 1/2 e) -2

14) Calcular el verdadero valor de:

E= x−2

√x−2+√ x−4√ xPara x = 2

a) 0 b) 1 c) 2√2

d) 24√2 e)

8√2

15) Efectuar:

E= √4−√15+√2−√3√13−√120+√5−√24

a) 1/2 b) 1 c) 3/2d) 2 e) 5/2



¡Fin del Bimestre!


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X-PRE-II Bim