Wstęp do Analizy Matematycznej z elementami Logiki i Teorii

Wstęp do Analizy Matematycznej z elementami Logiki i Teorii MnogościNotatki do wykładów dla studentów kierunku Matematyka Komputerowa

Marian MrozekUniwersytet Jagielloński

3 października 2014

2

Spis treści

1 Wprowadzenie do analizy matematycznej 131.1 Rozwój pojęcia liczby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Ułamki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.3 Liczby ujemne, całkowite i wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.4 Liczby niewymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.5 Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.6 Liczby urojone i zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.7 Liczby w komputerze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Ciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1 Przybliżanie pierwiastka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Ciągi przybliżeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Obliczanie granic ciągu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.5 Liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Pole koła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Liczba π poprzez szereg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.3 Szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.1 Koncepcja funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2 Miejsca zerowe funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 Wykres funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.4 Geometryczne konstrukcje funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.5 Rozwijanie funkcji w szereg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Pola figur i całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1 Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.2 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Styczna do krzywej i granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.1 Styczna do krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.2 Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.3 Funkcje ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.4 Obliczanie granic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.1 Lokalne maksima i minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.2 Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.3 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4 SPIS TREŚCI

I Elementy logiki i teorii mnogości 39

2 Matematyka zbiorów skończonych 412.1 Zbiory skończone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Operacje mnogościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.2 Zawieranie się i równość zbiorów. Podzbiory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.3 Uzupełnienie zbioru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.4 Elementarne własności operacji mnogościowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2 Iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.1 Para . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.2 Iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.1 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.2 Własności relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.3 Iloczyn kartezjański n zbiorów i relacje n-argumentowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Relacje równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.1 Relacja równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5.1 Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5.2 Injekcje, surjekcje, i bijekcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Elementy logiki matematycznej 573.1 Program Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 Struktury matematyczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2 Alfabet, słowo i języki formalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.3 Spójniki logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.4 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.5 Termy i predykaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Język rachunku predykatów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.1 Interpretacje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Rachunek zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4 Tautologie rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Konsekwencja i dowód formalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6 Teorie aksjomatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.7 Formalizm w praktyce matematycznej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.8 Schematy dowodowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Elementy teorii mnogości 734.1 Formalizm teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.1 Podstawowe definicje i oznaczenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2 Formuły zbiorotwórcze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3 Aksjomaty teorii mnogości. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.1 Elementarne własności operacji mnogościowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.1 Para . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4.2 Iloczyn kartezjański . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.1 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.2 Własności relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

SPIS TREŚCI 5

4.5.3 Złożenie relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.4 Charakterystyka własności relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.6 Relacje równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6.1 Relacja równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.7 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7.1 Relacje jednolistne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7.2 Funkcje częściowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7.3 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7.4 (*)Zawieranie się funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7.5 Sklejenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7.6 (*)Zestawienie i iloczyn kartezjański funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7.7 Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.7.8 Złożenie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.7.9 Injekcje, surjekcje, i bijekcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.7.10 Iloczyn kartezjański n zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.7.11 Sumy i iloczyny indeksowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.8 Równoliczność zbiorów. Twierdzenie Cantora i Cantora-Bernsteina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Liczby naturalne. Indukcja i rekurencja. 935.1 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.1 Aksjomatyka liczb naturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.2 Konstrukcja von Neumanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.2 Ciągi i rekurencja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3 Ciągi i podciągi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3.1 Definicja ciągu i podciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3.2 Ciąg przybliżeń pierwiastka jeszcze raz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3.3 Monotoniczność ciągu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4 Rekurencyjne definiowanie ciągu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.1 Pierwiastek poprzez ciąg rekurencyjny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.4.2 (*)Arytmetyka liczb natualnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5 Zbiory skończone i przeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.6 Rozszerzona zasada indukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.7 Silnia i symbol Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6 Struktury porządkowe 1036.1 Relacje porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1.1 Częściowy i liniowy porządek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.1.2 Majoranty i minoranty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2 Przestrzenie ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.1 Kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2.2 Przedziały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.3 Własność L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.4 Przestrzenie ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.3 Funkcje monotoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3.1 Funkcje rosnące i malejące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4 Liczby kardynalne i porządkowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.1 Liczby kardynalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.2 Aksjomat wyboru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.3 Liczby porządkowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 SPIS TREŚCI

7 Struktury algebraiczne. 1097.1 Liczby całkowite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.1.1 Działania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1.2 Grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1.3 Zbiór liczb całkowitych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.4 Sumy i iloczyny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2 Liczby wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2.1 Ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2.2 Funkcja potęgowa i wielomian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.3 Zbiór liczb wymiernych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.4 Wzory skróconego mnożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.3 Ciało liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3.1 Ciała uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3.2 Zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3.3 (*)Konstrukcja Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

II Granice 117

8 Liczby rzeczywiste i liczby zespolone 1198.1 Ciało liczb rzeczywistych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.1.1 Podzbiory R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.2 Liczby reprezentowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1208.3 Funkcja potęgowa w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3.1 Nierówność Bernoullego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.4 Wartość bezwzględna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5 Twierdzenie o istnieniu pierwiastka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.5.1 Własność Archimedesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.5.2 Gęstość zbioru w zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.5.3 Pierwiastki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.6 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.6.1 R uzupełniony o −∞ i +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.6.2 Kresy funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.7 Ciało liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.7.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.7.2 Ciało C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.7.3 Zespolona funkcja kwadratowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.7.4 Liczby zespolone o module jeden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.7.5 Odległość w R i C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.8 Granice ciągów w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.8.1 Eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.8.2 Granice pozorne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.8.3 Definicja Cauchy’ego granicy ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.8.4 Granica ciągu, a struktura ciała w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.8.5 Granica ciągu, a struktura porządkowa w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.9 Przykłady i zastosowania granic ciągów w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.9.1 Granice kilku ważnych ciągów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.9.2 Procent składany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.9.3 Liczba e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

SPIS TREŚCI 7

8.9.4 Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9 Topologia przestrzeni metrycznych 1519.1 Przestrzenie metryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.1.1 Przestrzeń metryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.1.2 Przykłady metryk w Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.1.3 Metryka indukowana i podprzestrzenie przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.1.4 Kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.1.5 Zbiory ograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.2 Średnica zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.2.1 Średnica zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.3 Zbiory otwarte i domknięte, wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.3.1 Wnętrze i domknięcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.3.2 Własności wnętrza i domknięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.4 Otoczenia, punkty skupienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.4.1 Rodzina otoczeń punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.4.2 Punkty skupienia zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.5 Metryki równoważne, iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.5.1 Równoważność metryk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.5.2 Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.6 (*)Topologia przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.6.1 Fundamentalne własności zbiorów otwartych i domkniętych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.7 (**)Bazy otoczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.7.1 Baza otoczeń punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.7.2 Własność Hausdorffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.7.3 Metryka w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9.8 (**)Przeliczalne bazy otoczeń punktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.9 (*)Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.9.1 Warunek Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1619.9.2 Przestrzenie zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

10 Granica funkcji 16310.1 Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.1.1 Eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.1.2 Definicja granicy funkcji w przestrzeniach metrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.1.3 Jednoznaczność granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.1.4 Granica złożenia funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.2 (**)Przypadki szczególne definicji granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16610.2.1 Kryterium na granicę w bazach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2.2 Granica ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2.3 Granica funkcji w przestrzeni metrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2.4 Granica nieskończona w R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.2.5 Granica w nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.3 Granice jednostronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.4 Punkty graniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.4.1 Ciągowa charakterystyka granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.4.2 Zbiór punktów granicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.4.3 Ciągowa charakterystyka granicy ciągu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

10.5 Granica dolna i górna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8 SPIS TREŚCI

10.5.1 Granica dolna i górna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.5.2 Własności granicy dolnej i górnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.6 Granica, a struktura algebraiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.6.1 Sumy, różnica, iloczyn i iloraz funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.6.2 Granica sumy, różnicy i iloczynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.6.3 Granica ilorazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10.7 Granica, a struktura porządkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.7.1 Zachowywanie nierówności w granicy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.7.2 Twierdzenie o trzech funkcjach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.7.3 Granica funkcji monotonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.8 Granice w produkcie kartezjańskim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11 Ciągłość funkcji 17711.1 Koncepcja ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.1.1 Definicja ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.1.2 Kryteria ciągłości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.1.3 Ciągłość złożenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.1.4 Ciągłość operacji arytmetycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.1.5 Twierdzenie o lokalnym zachowywaniu znaku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.1.6 (*)Nieciągłości funkcji f : R→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.1.7 Ciągłość bijekcji monotonicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

11.2 Ciągłość, a zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.2.1 Zwartość podprzestrzeni Rd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.2.2 (*)Intuicja zwartości i ogólna definicja zwartości. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18111.2.3 Przestrzenie zwarte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311.2.4 Obraz zbioru zwartego przez odwzorowanie ciągłe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311.2.5 Funkcja ciągła na przedziale zwartym osiąga swoje kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18411.2.6 Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.3 Jednostajna ciągłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18511.3.1 Funkcje Lipschitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.4 Ciągłość, a spójność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.4.1 Spójne podzbiory R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.4.2 (*)Przestrzenie spójne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.4.3 Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18711.4.4 Własność Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

12 Szeregi 18912.1 Eksperymenty numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.1.1 Przybliżanie liczby π polami wielokątów wpisanych w koło. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.1.2 Warunek konieczny zbieżności szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.1.3 Rozbieżność do nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

12.2 Własności podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.2.1 Pojęcie szeregu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.2.2 Szereg geometryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

12.3 Kryteria zbieżności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.3.1 Szereg

∑∞n=1

1np . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12.3.2 Kryterium Leibniza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.3.3 Kryterium Cauchy’ego i kryterium d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.3.4 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

SPIS TREŚCI 9

12.4 Operacje na szeregach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.4.1 Suma i iloczyn szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.4.2 (**)Permutacja szeregu i zbieżność bezwarunkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19912.4.3 (**)Twierdzenie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.4.4 Szeregi w programie Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13 Funkcje wykładnicza, logarytmiczna i trygonometryczne 20113.1 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

13.1.1 Zespolona funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20113.1.2 Funkcja wykładnicza ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.1.3 Logarytm naturalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.1.4 Funkcja wykładnicza ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

13.2 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.2.1 Nawijanie prostej na okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.2.2 Funkcje sin i cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.2.3 Liczba π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.2.4 Okresowość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.2.5 Wzory trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

III Rachunek różniczkowy i całkowy 211

14 Przestrzenie wektorowe 21314.1 Definicja przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

14.1.1 Przestrzeń wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21314.2 Przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

14.2.1 Iloczyn skalarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21414.2.2 Nierówność Cauchy-Schwartza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.3 Przestrzenie wektorowe unormowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21514.3.1 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21614.3.2 Norma euklidesowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21614.3.3 Przestrzenie Hilberta i Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

15 Pochodne i różniczki. 21915.1 Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

15.1.1 Definicja pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21915.1.2 Pochodna funkcji stałej i identycznościowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22015.1.3 Pochodna lewo- i prawostronna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22115.1.4 Ciągłość funkcji różniczkowalnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

15.2 Różniczka funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22315.2.1 Aproksymacja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22315.2.2 Relacja "o małe" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22515.2.3 Płaskość w zerze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22615.2.4 Różniczkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

15.3 Różniczkowanie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22815.4 Różniczkowanie funkcji złożonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23015.5 Różniczkowanie funkcji wykładniczej i funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23215.6 Nieciągłości pochodnej i funkcje klasy C1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23415.7 Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23515.8 Ekstrema lokalne, a różniczkowalność. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

10 SPIS TREŚCI

15.8.1 Maksima i minima lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23815.8.2 Twierdzenie Rolle’a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

15.9 Twierdzenie o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23815.9.1 Uogólnione twierdzenie o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23815.9.2 Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23915.9.3 Twierdzenie o przyrostach skończonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

15.10Zastosowania twierdzenia o wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24015.10.1Pochodna, a monotoniczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24015.10.2Twierdzenie o wartościach pośrednich dla pochodnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24115.10.3Reguła de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

15.11Różniczkowanie funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24415.11.1Wzór na pochodną funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24415.11.2Pochodna funkcji logarytmicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24515.11.3Funkcje kołowe (odwrotne do trygonometrycznych) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24515.11.4Pochodna funkcji potęgowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

15.12Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24615.12.1n-ta pochodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24615.12.2Wielomian Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24815.12.3n-płaskość w zerze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

15.13Wzory Taylora i szereg Taylora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25015.13.1Wzór Taylora z resztą Peano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25015.13.2Wzór Taylora z resztą Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25115.13.3Punkty przegięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25315.13.4Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

16 Całka oznaczona 25716.1 Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.1.1 Pole obszaru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25716.1.2 Przedziały w R i ich podziały. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25716.1.3 Całkowalność w sensie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25916.1.4 Epsilonowe kryterium całkowalności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.2 Własności całki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26216.2.1 Monotoniczność całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26216.2.2 Przestrzeń wektorowa funkcji całkowalnych w sensie Riemanna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26216.2.3 Miarowe kryterium całkowalności. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.2.4 Całkowalność złożenia i iloczynu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.2.5 Całka Riemanna na podprzedziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.2.6 Całka oznaczona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26416.2.7 Twierdzenie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona 26917.1 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

17.1.1 Pochodna całki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26917.1.2 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27017.1.3 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

17.2 Podstawowe techniki całkowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27117.2.1 Własności całki nieoznaczonej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27117.2.2 Całkowanie przez części . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27217.2.3 Całkowanie przez podstawienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

SPIS TREŚCI 11

17.2.4 Twierdzenia o wartości średniej dla całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27517.3 Całkowanie funkcji wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27617.4 Zastosowania geometryczne całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

17.4.1 Długość krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27717.4.2 Bryła obrotowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27817.4.3 Obętość bryły obrotowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27917.4.4 Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

18 Ciągi i szeregi funkcyjne 28118.1 Zbieżność punktowa i jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

18.1.1 Zbieżność punktowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28118.1.2 Zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28218.1.3 Kryterium Cauchy’ego zbieżności jednostajnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

18.2 Zbieżność jednostajna, a ciągłość, różniczka i całka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28518.2.1 Granica, a zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28518.2.2 Całkowanie i różniczkowanie, a zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

18.3 Aproksymacja funkcji ciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28618.4 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

18.4.1 Twierdzenie o szeregu Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28718.4.2 Funkcje analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

18.5 Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28918.5.1 Wielomiany trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28918.5.2 Zespolony iloczyn skalarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29018.5.3 Przestrzeń wektorowa z zespolonym iloczynem skalarnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29118.5.4 Układ ortonormalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29218.5.5 Szereg Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29318.5.6 Rzut ortonormalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29618.5.7 Jądro Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29718.5.8 Zbieżność punktowa szeregu Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

12 SPIS TREŚCI

WstępNiniejsze notatki do kursów Elementy Logiki i Teorii Mnogości oraz Analiza Matematyczna I przeznaczonego dla studen-

tów kierunku Matematyka Komputerowa stanowią roboczą wersję i w trakcie kursu mogą podlegać aktualizacji. Punktemwyjścia tych notatek jest rękopis moich materiałów do wykładu z analizy matematycznej prowadzonego w latach 1984-1990dla studentów informatyki UJ. W owym czasie był to bardzo obszerny kurs obejmujący 240h wykładów i 240h ćwiczeń.Wykładało i studiowało się wtedy zupełnie inaczej, bo wykładowca miał do dyspozycji tylko tablicę i kredę, a studenci toco zdołali w trakcie wykładu zanotować.

Dziś możliwości są zupełnie inne, stąd i te notatki są inne, choć w dużym stopniu wykorzystują jeszcze mój dawnyrękopis. Już wtedy starałem się o to, by część odnosząca się do intuicji była obszerna i równocześnie wyraźnie oddzielonaod części formalnej. Wydaje się, że takie podejście jest szczególnie ważne dla studentów specjalności Matematyka Kompu-terowa, dlatego planuję je kontynuować również w ramach obecnego wykładu. Część materiału poświęcona intuicjom macharakter całkowicie nieformalny. Dla wyraźnego odróżnienia od części formalnej jest złożona brązową, pochyloną czcionką.W szczególności cały pierwszy rozdział jest nieformalny. Nieformalne mówienie o matematyce rodzi często więcej pytań niżdaje odpowiedzi. Ale takie właśnie jest jej zadanie: sprowokować do myślenia. Dociekliwy czytelnik, który czyta najpierwnieformalny tekst matematyczny wyrabia sobie pewne idee, które wymagają dopracowania. W moim przekonaniu takie po-dejście powoduje, że studiowanie tekstu formalnego, który to dopracowanie dostarcza, staje się w efekcie bardziej naturalne iznacznie łatwiejsze. Najważniejsze pytania jakie rodzi tekst nieformalny zostały w tekście wyróżnione poprzez umieszczeniew ramce o różowym tle. Pytań jest oczywiście dużo więcej niż tych, które w tekście zostały jawnie postawione.

Różne kolory tła tekstu oznaczają: blado pomarańczowy - twierdzenia, blado zielony - definicje, różowy - problemy,blado niebieski (C++) i blado fioletowy (Mathematica) - listingi programów komputerowych, żółłty - ćwiczenia tablicowe,niebieski - ćwiczenia kokmputerowe.

W notatkach odręcznych

• znak i oznacza początek dowodu indukcyjnego,

• znak s oznacza początek dowodu nie wprost,

• znak x oznacza sprzeczność,

• znak p oznacza początek dowodu przez przypadki,

• znak oznacza koniec fragmentu dowodu,

• znak oznacza koniec dowodu,

• wytłuszczony wykrzyknik zastępuje słowo "niech",

• dwie pionowe kreski po lewej stronie tekstu oznaczają materiał nieformalny.

Aspekty obliczeniowe analizy matematycznej, ilustrowane programami komputerowymi w języku C++ oraz instrukcjamiprogramu Mathematica złożone są czcionką w kolorze niebieskim.

Znajomość rozdziałów, podrozdziałów i dowodów oznaczonych (*) obowiązuje jedynie studentów mierzących w ocenębdb. Rozdziały i podrozdziały oznaczone (**) są nieobowiązkowe.

Życzę wszystkim uczestnikom kursu udanego studiowania matematyki komputerowej na Wydziale Matematyki i Infor-matyki UJ.

Rozdział 1

Wprowadzenie do analizy matematycznej

Nim zabierzemy sie do studiowania analizy matematycznej w szczegółach, warto sobie zadac pytanie czym analiza matematyczna sie zajmuje. Nie da sie na niedac dobrej odpowiedzi bez przyjrzenia sie jak koncepcje, które ukształtowały współczesna analize matematyczna stopniowo kształtowały sie na przestrzeniachdziejów. Niniejszy rozdział wprowadzajacy stanowi krótki przeglad podstawowych problemów analizy matematycznej oraz ich umiejscowienia w historii matematyki.

1.1 Rozwój pojęcia liczby

1.1.1 Liczby naturalneUmiejetnosc posługiwania sie liczbami rozwijała sie u człowieka stopniowo. Pierwotny zbiór liczebników ograniczał sie do trzech: jeden, dwa i wiele. Wraz zrozwojem ludzkiej cywilizacji pojawiła sie koniecznosc dokładnego rozeznania w liczebnosci oddziału wojowników, stada bydła, czy zestawu strzał. Tak zrodziła sieumiejetnosc porównywania licznosci zbiorów, która doprowadziła do pojawienia sie abstrakcyjnego pojecia liczby naturalnej. Zapewne niedługo potem człowieknauczył sie te liczby dodawac, odejmowac i mnozyc. Operacje te wymagały opanowania stosownych algorytmów postepowania, a ich efektywnosc silnie zalezałaod stosowanego sposobu zapisu liczb. Uzywany przez nas dzis dziesiatkowy system pozycyjny wywodzi sie z Indii, gdzie pojawił sie około VIII w. To tam tez po razpiewrwszy zaakceptowano zero jako pełnoprawna liczbe, przydatna w rachunkach.

1.1.2 UłamkiPojawienie sie ułamków wiaze sie z rozwojem handlu, który wymagał doskonalenia umiejetnosci mierzenia. Do mierzenia uzywano miary. Na przykład w przypadkupłynów i materiałów sypkich mogła to byc gliniana amfora o ustalonej objetosci. Poczatkowo zaniedbywano powstajace przy odmierzaniu czesci ułamkowe, alegdy z biegiem czasu rosła potrzeba dokładnosci, wprowadzano miary pomocnicze bedace czescia wyjsciowej miary, na przykład połowa, jedna trzecia czy jednaczwarta. Co charakterystyczne, były to tzw. ułamki proste, czyli ułamki o liczniku jeden. Gdy handel zaczał przekraczac granice pojedynczych plemion pojawiła siekoniecznosc wprowadzania przelicznika dla róznych systemów miar obowiazujacych w róznych rejonach. To zapewne przyczyniło sie do powstania abstrakcyjnejpostaci ułamka.

1.1.3 Liczby ujemne, całkowite i wymierneDwie liczby naturalne i dwa ułamki mozna zawsze do siebie dodac i w wyniku powstaje inna liczba naturalna lub inny ułamek. Jednakze od liczby a nie mozna odjacliczby b gdy b a bez rozszerzenia zbioru liczb o liczby ujemne i zero. Jak wiemy z kazda liczba a powiazac mozna liczbe do niej przeciwna, oznaczana−a,tak ze ich suma daje zero. Zbiór liczb naturalnych rozszerzony o zero i liczby przeciwne do liczb naturalnych nazywamy zbiorem liczb całkowitych, a analogicznierozszerzony zbiór ułamków nazywamy zbiorem liczb wymiernych. Zwyczajowo stosujemy oznaczenia N dla liczb naturalnych, Z dla liczb całkowitych oraz Q dlaliczb wymiernych. Natomiast zbiór liczb wymiernych dodatnich, czyli po prostu zbiór klasycznych ułamków oznaczamy Q+.

Liczby ujemne w pewnym stopniu były znane juz w starozytnych Chinach i Indiach, gdzie interpretowane były w kategoriach długu. Jednak nie były specjalniedoceniane i na codzien radzono sobie bez nich. Matematyka europejska zaakceptowała liczby ujemne dopiero w XVII w, ale nawet dzis w zyciu codziennym

13

14 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

Rysunek 1.1: Pitagoras z Samos, VI w. przed Chrystusem. Źródło: Wikipedia

Rysunek 1.2: c2 = (a+ b)2 − 4ab2 = a2 + b2

jestesmy w stanie radzic sobie bez liczb ujemnych. Najwiekszy pozytek z liczb ujemnych jest przy ujednolicaniu algorytmów, gdyz dzieki nim nie musimy rozwazacróznych przypadków, by zagwarantowac, ze wszystkie rozwazane w trakcie pracy algorytmu liczby sa dodatnie.

1.1.4 Liczby niewymierneOdkrycie, ze ułamki nie wystarczaja do mierzenia dowolnych wielkosci przypisuje sie szkole pitagorejskiej, wywodzacej sie od zyjacego w VI w. przed Chrystusemw Grecji Pitagorasa z Samos (rys.1.1). Pitagorejczycy swiecie wierzyli, ze ułamki wystarczaja do zmierzenia dowolnych długosci. Dlatego dokonane przez nichodkrycie było dla nich ciosem, tym wiekszym, ze było konsekwnecja słynnego twierdzenia udowodnionego przez Pitagorasa (rys.1.2).

Twierdzenie 1.1.1 (Pitagoras z Samos) W trójkacie prostokatnym suma kwadratów przyprostokatnych jest równa kwadratowi przeciwprostokatnej.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, ze przekatna kwadratu o boku długosci jeden jest liczba, która podniesiona do kwadratu wynosi dwa, czyli tak zwanympierwiastkiem z dwóch (rys. 1.3). Pitagorejczycy pierwsi zauwazyli, ze zaden ułamek podniesiony do kwadratu nie moze dac liczby dwa. Było to szokujace

1.1. ROZWÓJ POJĘCIA LICZBY 15

Rysunek 1.3: Przekątna kwadratu to√

2. Ale ile to jest√

2?

spostrzezenie, z którym niełatwo było sie pogodzic. Tak pojawiły sie liczby niewymierne, a wraz nimi problem ich przyblizania ułamkami.

Cwiczenie 1.1.2 • Rozkładajac na czynniki pierwsze licznik i mianownik ułamka spróbuj uzasadnic, dlaczego√

2 nie moze byc ułamkiem.

• Czy podobne rozumowanie moze byc przeprowadzone dla 3√

2? dla innych pierwiastków?

Problem 1.1.3 Czy wiemy czym naprawde jest liczba√

2? Czy ona rzeczywiscie ma sens? Jakich liczb jeszcze brakuje wsród ułamków, by wszystkiedługosci dało sie wymierzyc? W jaki sposób je zdefiniowac?

1.1.5 Liczby rzeczywistePrecyzyjna definicja liczby niewymiernej jest skomplikowana. Stwierdzenie, ze liczby niewymierne, to wszystkie liczby, które nie sa wymierne jest dobra definicjatylko wtedy gdy wiemy co oznacza zwrot "wszystkie liczby". Intuicyjnie chodzi nam o taki zbiór liczb, który pozwala mierzyc długosci tak odcinków jak i krzywych.Zbiór takich liczb został precyzyjnie zdefiniowany dopiero w XIX wieku. Okresla sie go mianem zbioru liczb rzeczywistych i oznacza symbolem R. Natomiast zbiórliczb rzeczywistych dodatnich oznacza sie symbolem R+.

1.1.6 Liczby urojone i zespoloneOkreslenie liczby rzeczywiste zrodziło sie w kontrascie do tzw. liczb urojonych. Liczba urojona to liczba, której kwadrat jest liczba ujemna. Kwadrat liczby rzeczy-wistej nie moze byc ujemny, tak wiec liczb urojona nie jest liczba rzeczywista. Sensownosc takich liczb długo budziła watpliwosci, co wyjasnia ich nazwe.

Liczby zespolone, bedace sumami liczb rzeczywistych i urojonych, maja wiele cech podobnych do liczb rzeczywistych, a takze wiele zalet, których liczbyrzeczywiste nie maja. Dzieki temu pozwalaja rozwiazywac pewne problemy "na skróty". Jednym z pierwszych pozytków z liczb zespolonych było podanie w XVIwieku algorytmów wyznaczania miejsc zerowych równania trzeciego i czwartego stopnia.

1.1.7 Liczby w komputerzeRachunki liczbowe na papierze wykonywane sa zazwyczaj na ułamkach zwykłych, a czesciej na ułamkach dziesietnych.

Wraz ze zbudowaniem w połowie XX w. pierwszych komputerów stworzono tez koncepcje przechowywania i przetwarzania liczb w komputerze. Było tokonieczne, bo wszystko co przetwarza współczesny komputer na poziomie procesora sprowadza sie do wykonywania obliczen na liczbach. Typowy uzytkownik


komputera oglada filmy, słucha muzyki, przeglada strony internetowe albo po prostu gra na komputerze i nie uswiadamia sobie, ze wszystko to sprowadza sie doprzetwarzania liczb. Zazwyczaj sa to liczby całkowite, ale wiele pozamatematycznych zastosowan wymaga tez obliczen na liczbach wymiernych.

Komputer jest oczywiscie równie niezastapiony jesli naszym celem jest przeprowadzenie mniej lub bardziej skomplikowanych obliczen matematycznych, inzy-nierskich badz naukowych. Jesli obliczenia sa bardzo specjalistyczne, jest ich szczególnie duzo, a nam zalezy na efektywnosci, piszemy własny lub zamawiamystosowny program w kompilowanym jezyku wysokiego poziomu. Jesli obliczenia sa typowe, a ich ilosc jest umiarkowana, siegamy po specjalistyczne oprogramo-wanie takie jak Mathematica, Maple, Matlab czy Scilab.

W ramach niniejszego kursu aspekty numeryczne analizy matematycznej demonstrowac bedziemy programami napisanymi dla srodowiska Mathematica, atakze programami napisanymi w jezyku C++.

Mathematica to bogaty pakiet oprogramowania bardzo ułatwiajacy wszelkie obliczenia matematyczne. Umozliwia on tak prosta prace interaktywna jak i pisaniewłasnego oprogramowania. Na przykład, aby pomnozyc przez siebie liczby 123 i 456 wystarczy napisac

123∗456

i przycisnac rówcznoczesnie klawisze ’Shift’ i ’Enter’. Przycisniecie ’Shift’ wraz ’Enter’ jest sygnałem, ze oczekujemy przeprowadzenia obliczen. Natychmiastotrzymujemy wynik

56088

W programie Mathematica operacje arytmetyczne dodawania, odejmowania, mnozenia, dzielenia i potegowania oznaczamy odpowiednio znakami +,-,*,/,^.Tak wiec piszac

3 ^ 4

otrzymujemy81

W podobny sposób przeprowadzamy obliczenia na ułamkach dziesietnych. Na przykład

3 . 1 4 + 2 . 7 2

daje wynik 5.86. Trzeba jedynie pamietac, ze zgodnie z anglosaskim zwyczajem uzywamy kropki dziesietnej, a nie przecinka. Obliczenia na liczbach dziesietnychzwiazane sa niestety z błedami zaokraglen. Na przykład

1 . 0 / 3 . 0

daje 0.333333 co jest wynikiem przyblizonym. Błedu zaokraglen mozna uniknac przeprowadzajac obliczenia na liczbach wymiernych. Jesli napiszemy

1 / 3

Mathematica zwróci ułamek13 ,

a piszac

7 / 3 + 3 / 1 1

otrzymamy jako wynik ułamek8633 .

co , w przeciwienstwie do obliczen na liczbach dziesietnych, jest wynikiem dokładnym. Jesli potrzebujemy jednak przyblizenia dziesietnego, zawsze mozemy jeotrzymac. Piszac

N [ 1 / 2 3 ]

otrzymujemy przyblizenie ułamka 123

0.0434783.

1.2. CIĄGI 17

1.2 Ciągi

1.2.1 Przybliżanie pierwiastka

Choc wsród ułamków brak jest takiego, który podniesiony do kwadratu daje liczbe dwa, to rozwazajac wszystkie ułamki o mianownikum znajdziemy taki, postaciim , ze (

i

m

)2< 2 <

(i+ 1m

)2.

Dla danegom licznik taki jest dokładnie jeden. Sam pierwiastek z dwóch, czymkolwiek jest, lezy gdzies pomiedzy im , a i+1

m , zatem im jest przyblizeniem

√2 z

dokładnoscia co najmniej 1m . Na przykład, dlam = 5 mamy

(75

)2= 49

25 < 2 < 6425 =

(85

)2

zatem 75 jest przyblizeniem

√2 z dokładnoscia wieksza niz 1

5 . Aby dostac lepsza dokładnosc wystarczy wziac odpowiednio duzy mianownikm.

1.2.2 Ciągi przybliżeń

W praktyce wygodnie ograniczyc sie do mianowników postaci m = 10n. Niestety reczne poszukiwanie stosownego licznika jest bardzo zmudne, a dla duzychn praktycznie niewykonalne. Potrzebujemy algorytmu, który dla zadanego mianownika 10n pozwoli nam wyznaczyc stosowny licznik in oraz komputera, którysprawnie wykona obliczenia w tym algorytmie. Łatwo zauwazyc, ze

in = max { i | i ∗ i < 2 ∗ 100n }.

Sugeruje to algorytm, który przy zadanym n sprawdza nierównosc i ∗ i < 2 ∗ 100n dla kolejnych liczb naturalnych i i zwraca in jako ostatnie i, dla któregonierównosc ta zachodzi. Wtedy xn := in

10n jest przyblizeniem√

2, które, jak łatwo sprawdzic, spełnia

|xn −√

2| ¬ 110n .

Kolejne liczby xn tworza tzw. ciag liczbowy, w tym przypadku tzw. ciag przyblizen. Ciag przyblizen, to ciag skonstruowany w celu przyblizania pewnej liczbyniewymiernej liczbami wymiernymi. Ciagi przyblizen to nie jedyne ciagi rozwazane w matematyce, choc ich rola praktyczna jest bardzo istotna. Badanie ciagów tojeden z głównych obiektów zainteresowan analizy matematycznej.

Wprowadzmy w programie Mathematica rozdzielony srednikami ciag instrukcji

n = 3 ; i = 1 ; While [ i ^ 2 < 2∗1 0 0 ^ n , i = i + 1 ] ; { ( i − 1 ) / 1 0 ^ n , i / 1 0 ^ n }

Pojawiaja sie tu zmienne i oraz n. Instrukcja While to instrukcja petli. Jak długo spełniony jest warunek i^2 < 2*100^n wykonywana jest instrukcjai = i + 1. Poniewaz przed wykonaniem instrukcji While ustawilismy zmienna n na 3, a i na 1, petle wykonujemy dla kolejnych wartosci i = 1, 2, . . . azzajdzie nierównosc i^2 2000000. Mathematica wyprowadza jako wynik ostatnie obliczone wyrazenie, którym jest para ułamków {(i-1)/10^n,i/10^n}.W rozwazanym przypadku otrzymamy

{707500 ,

283200}.

jako oszacowanie od dołu i od góry√

2 z dokładnoscia do 11000 .

Podstawiajac w powyzszym listingu za n kolejne liczby naturalne i wykonujac obliczenia otrzymamy przyblizenia√

2 od dołu i od góry o coraz lepszej


dokładnosci: {1410 ,

1510

}{

141100 ,

142100

}{

14141000 ,

14151000

}{

1414210000 ,

1414310000

}{

141421100000 ,

141421100000

}{

14142131000000 ,

14142131000000

}· · ·

Obliczenia te, przynajmniej teoretycznie, mozemy kontynuowac w nieskonczonosc. Otrzymujemy w ten sposób ciag przyblizen od dołu i ciagu przyblizen odgóry liczby

√2.

W tym miejscu trzeba zrobic uwage na temat stosowanej w programie Mathematica notacji. Mathematica uzywa nawiasów wasiastych {, } do oznaczania list.Zwyczajowo w matematyce nawiasów wasiastych uzywa sie do oznaczania zbiorów. Róznica ta ma znaczenie, bo przy wypisywaniu elementów listy kolejnosc jestistotna, a przy wypisywaniu elementów zbioru nie jest. Innymi słowy, dwie listy, które róznia sie tylko kolejnoscia elementów sa rózne, a dwa zbiory, które róznia sietylko kolejnoscia w jakiej wymieniono ich elementy sa traktowane jako identyczne. Korzystajac z programu Mathematica musimu o tej róznicy pamietac.

Zaproponowana tu metoda liczenia pierwiastka nalezy do najprostszych, ale oczywiscie jest daleka od doskonałosci. Mathematica radzi sobie doskonalenie tylko z liczeniem pierwiastków, ale równiez innych funkcji elementarnych, w szczególnosci funkcji trygonometrycznych i funkcji logarytmicznej. Trzeba jednakpamietac, ze jesli jako argument podamy liczbe dokładna, na przykład naturalna lub ułamek, a wynik nie jest liczba naturalna badz ułamkiem, aby zachowacdokładnosc Mathematica nie przeprowadzi obliczen. Na przykład piszac

Sqrt [ 2 ]

otrzymamy jako wynik√

2. Ale piszac

Sqrt [ 2 . ]

otrzymamy 1.41421.Do zagadnienia obliczania pierwiastka bedziemy jeszcze wracac w dalszych rozdziałach.Oczywiscie ciagi nie musza byc zadawane w tak skomplikowany sposób jak nasz ciag przyblizen. Najprosciej zadac ciag podajac wzór na jego n-ty wyraz.

Na przykład ciag dany wzorem

xn = 1n

(1.1)

to tak zwany ciag harmoniczny.

Problem 1.2.1 Czy ciag harmoniczny przybliza jakas liczbe? Jesli tak to jaka?

Gdy ciag okreslony jest wzorem, na przykład wzorem (1.1), wystarczy napisac

Table [ 1 / n , { n , 1 . , 1 0 . } ]

a otrzymamy przyblizenia poczatkowych wyrazów tego ciagu

{1., 0.5, 0.333333, 0.25, 0.2, 0.166667, 0.142857, 0.125, 0.111111, 0.1}

1.2. CIĄGI 19

Rysunek 1.4: Wykres początkowych wyrazów ciągu 1 + (−1)n

n .

Mozna tez łatwo uzyskac wizualizacje (wykres) ciagu. Na przykład wykres poczatkowych wyrazów ciagu danego wzorem

un = 1 + (−1)n

n

uzyskamy piszac

D i s c r e t e P l o t [ 1 + ( −1)^ n / n , { n , 1 , 5 0 } ]

Uzyskamy w ten sposób wykres przedstawiony na rys. 1.4.

1.2.3 GraniceObrazowo mówimy, ze ciag ten osiaga liczbe

√2 w granicy, albo krócej, ze zmierza do

√2. Własnie w tym celu go skonstruowalismy. Ale czy mozemy miec

pewnosc, ze nasz ciag dla duzych wartosci n nie zmieni zdania i na przykład zamiast zmierzac do√

2 zacznie uciekac do nieskonczonosci? Jestesmy w staniepoliczyc tylko skonczona ilosc wyrazów tego ciagu. Zawsze zostanie nieskonczenie wiele wyrazów, których nie policzylismy. Czy mozemy miec pewnosc, ze naszciag przyblizen nigdy nas nie zawiedzie?

Problem 1.2.2 Co to znaczy, ze ciag osiaga jakas liczbe w granicy (zmierza do granicy)? Jakie ciagi maja granice? Czy, kiedy i jak granice daje siepoliczyc?

Odpowiedz na te pytania to jedno z fundamantalnych zadan analizy matematycznej. Pojeciem granicy w takim badz innym sensie posługiwano sie juz odczasów starozytnych, jednak az do wieku XIX matematycy nie umieli sobie poradzic z postawieniem precyzyjnej definicji. Dopiero czeski matematyk BernardBolzano (rys.1.5) oraz niezaleznie francuski matematyk, Augustin-Louis Cauchy (rys.1.5) pierwsi postawili precyzyjna definicje. Poniewaz prace Bolzano długopozostawały mało znane, przyjeło sie mówic o definicji Cauchy’ego.

Według definicji Cauchy’ego ciag liczb xn jest zbiezny do granicy g jezeli dla kazdego ε > 0 istnieje taka liczba naturalna N , ze dla wszystkich liczbnaturalnych n N zachodzi nierównosc

|xn − g| < ε.


Rysunek 1.5: Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) i Bernard Bolzano (1781 - 1844) Źródło: Wikipedia

Piszemy wtedy

limn→∞

xn = g.

Cwiczenie komputerowe 1.2.3 Dla kazdego z ponizszych ciagów postaw hipoteze, czy ma on granice. Jesli uwazasz, ze ma granice, spróbujodgadnac jaka. Wczesniej przeprowadz eksperymenty wykorzystujac instrukcje Table w Mathematica.

1. nn+1

2. 1 + (−1)n

3. 1 + (−1)n

n

4. (*) cosnπ

5. (*) sinn

6. (*) sinnn

1.2.4 Obliczanie granic ciągu.

W praktyce niewiele granic liczy sie wprost z definicji, choc najprostsze granice własnie tak sie wyznacza. Znajac juz granice jakichs ciagów liczymy granice innychciagów korzystajac z róznych twierdzen. Do najwazniejszych naleza

Twierdzenie 1.2.4 Jesli ciagi an, bn sa zbiezne odpowiednio do a i b to ich suma, róznia, iloczyn oraz iloraz sa zbiezne odpowiednio do a + b,a− b, ab, ab , przy czym w przypadku ilorazu trzeba dodatkowo załozyc, ze b 6= 0.

1.2. CIĄGI 21

Rysunek 1.6: Archimedes z Syrakuz (ok. 287–212 pne.) (medal Fieldsa). Źródło: Wikipedia

Twierdzenie 1.2.5 Jesli ciagi an, bn, cn spełniaja nierównosc

an ¬ bn ¬ cn

i ciagi an oraz cn sa zbiezne i to do tej samej granicy, to ciag bn tez jest zbiezny i tez do tej granicy.

Cwiczenie 1.2.6 • Posługujac sie definicja granicy oblicz granice ciagów 1n , 1√

n, 1

2n oraz ciagu, którego wszystkie wyrazy sa stale równe stałejwielkosci a.

• (*) Oblicz granice ciagów 2−3n+5n2

n2 , 11+√n

.

1.2.5 Liczba πWsród waznych problemów rozwazanych juz w starozytnosci było wyznaczanie obwodu i pola koła o zadanym promieniu. Kluczowy w tych obliczeniach jestobwód koła o srednicy jeden, zwyczajowo oznaczany grecka litera π. Koło o innej srednicy ma proporcjonalnie wiekszy badz mniejszy obwód, w szególnosci kołoo promieniu r, a wiec srednicy 2r ma obwód 2πr.

Liczba π, podobnie jak√

2, jest liczba niewymierna, ale o tym starozytni nie wiedzieli. Udowodniono to dopiero w XVIII w. Co wiecej, w wieku XIX udowod-niono, ze π jest liczba transcendentna, to znaczy, ze nie jest pierwiastkiem zadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Oznacza to w szczególnosci, zenawet jesli zbiór ułamków rozszerzymy o wszystkie mozliwe pierwiastki, to nadal nie wystarczy on do mierzenia wszelkich długosci.

W starozytnosci przyjmowano rózne liczby pomiedzy 3 i 3.16 jako przyblizenie liczby π bez przywiazywania szczególnej wagi do popełnianego błedu. Dopierogrecki matematyk Archimedes (rys. 1.6) zaproponował algorytmiczna metode wyznaczania π, która przez ponad 1000 lat dostarczała coraz lepszych przyblizen.Jest to metoda geometryczna, oparta o wpisywanie w okrag i opisywanie na okregu wielokatów (rys.1.7). Posługujac sie 96-katem Archimedes oszacował, ze223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429), co daje dobre przyblizenie π do dwóch miejsc po przecinku. Co ciekawe, w 1596 roku, ciagle w oparciu ometode metode Archimedesa, holenderski matematyk Ludolph van Ceulen policzył π z dokładnoscia do 35 cyfr.

Oznaczmy przez an bok 2n-kata foremnego wpisanego w okrag o srednicy jeden. W oparciu o twierdzenie Pitagorasa mozna pokazac, ze

a2 =√

22 , an+1 = 1

2

√2−

√4− 4a2

n. (1.2)

Zatem obwód tego 2n-kata wynosiAn := 2nan.Mozna sie spodziewac, ze ciag An powinien zmierzac do liczby π, bo tyle wynosi obwód koła o srednicy jeden. W rozdziale 8.8.1 przyjrzymy sie blizej

zachowaniu ciagu (1.2).


Rysunek 1.7: Przybliżanie obwodu i pola koła wielokątami

Cwiczenie 1.2.7 • (*) Opierajac sie na swojej wiedzy z geometrii spróbuj uzasadnic wzór (1.2).

• (*) Uzasadnij stwierdzenie, ze bok 2n-kata foremnego opisanego na okregu o srednicy jeden wyraza sie wzorem

bn := an√1− a2

n

.

W programie Mathematica liczbe π zapisuje sie jako Pi.

1.3 Szeregi

1.3.1 Pole kołaArchimedesowi zawdzieczamy równiez sposób liczenia pola koła. Zastosował on tu równiez metode wielokatów. Najpierw zauwazył, ze pole n-kata foremnegowpisanego w okrag mozna policzyc sumujac pola n trójkatów równoramiennych. Maja one wszystkie jednakowa podstawe xn i jednakowa wyskosc hn, zatempole wielokata wynosi Pn := nxnhn

2 co równe jest Lnhn

2 , gdzie Ln := nxn jest obwodem wielokata. Przy n zmierzajacym do nieskonczonosci wysokoscihn zmierzaja do promienia r koła, a obwody Ln zmierzaja do obwodu koła, o którym wiemy juz, ze wynosi 2πr. Zatem pola Pn zmierzaja do 2πrr

2 skadwnosimy, ze pole koła o promieniu r to

P := πr2. (1.3)

1.3.2 Liczba π poprzez szereg.Powrócmy do obliczania liczby π. Widzielismy, ze metoda oparta o przyblizanie obwodu koła daje niezbyt zadowalajacy wynik. Czesto jednak, jesli jeden algorytmzastapimy innym, to mozemy uzyskac lepsze wyniki przy zastosowaniu tej samej arytmetyki komputerowej. Wiemy, ze liczba π jest nie tylko obwodem koła osrednicy jeden, ale równiez polem koła o promieniu jeden.

Zastepujac pole tego koła polami wpisanych w nie 2n-katów foremnych równiez otrzymamy ciag przyblizen liczby π. Oznaczmy przez Pn pole 2n-kataforemnego wpisanego w koło. Dla n = 1 rozwazamy 2 − kt jako zdegenerowana, pozbawiona pola figure redukujaca sie do srednicy koła, zatem P1 = 0.

1.3. SZEREGI 23

Rysunek 1.8: Kolejne dodatki do pola koła.

Zauwazmy, ze 2n+1-kat powstaje z 2n-kata poprzez dorysowanie figury złozonej z 2n trójkatów równoramiennych wpisanych w koło o podstawach lezacych nabokach 2n-kata (patrz rys. 1.8). NiechAn oznacza pole tej figury. Zatem Zatem

Pn+1 = Pn +An,

czyliAn+1 jest poprawka, która dodana do pola 2n-kata daje pole 2n+1-kata. Stad

Pn = A1 +A2 +A3 +A4 + . . .+An−1,

a pole koła PK otrzymamy sumujac wszystkie poprawki:

PK = A1 +A2 +A3 +A4 + . . . .

Wartosci Ai mozna wyliczyc. Aby wykorzystac wzory z podrozdziału 1.2.5, zamiast koła o promieniu jeden rozwazymy ponownie koło o srednicy jeden, awiec o promieniu 1/2. Zatem ze wzoru (1.3) jego pole to π

4 . Zatem jako przyblizenie π interesuje nas ciag sn := 4Pn. Niech Tn oznacza pole trójkatarównoramiennego o podstawie równej bokowi 2n-kata, a ramionach równych bokowi 2n+1-kata. Mamy

An = 2nTn

Mozna policzyc, ze Tn = an(1−√

1−a2n)

4 , gdzie an, jak poprzednio, oznacza bok 2n-kata foremnego wpisanego w koło o srednicy jeden. Zatem

Pn+1 = Pn + 2nan(1−

√1− a2

n)4

orazsn+1 = sn + 2nan(1−

√1− a2

n). (1.4)

1.3.3 SzeregiWarto zwrócic uwage, ze ciag sn jest specyficzny. Jegom-ty wyraz moze zostac zapisany w postaci

sm =m∑n=1

cn, (1.5)

gdzie

cn =

0 dla n = 1,

2 dla n = 2,

2nan(1−√

1− a2n) dla n > 2.


Ciag takiego typu nazywamy szeregiem o wyrazach cn.Zazwyczaj (choc bardzo niescisle) uzywamy zapisu

∞∑n=1

cn

na oznaczenie szeregu o wyrazach cn, a sm dane wzorem (1.5) nazywamym-ta suma czesciowa szeregu.Mówimy, ze szereg jest zbiezny, jezeli ciag sn jest zbiezny. W takim przypadku granice ciagu sn nazywamy suma szeregu i oznaczamy tym samym symbolem

co sam szereg.Szeregi odgrywaja wazna role w wielu zastosowaniach, dlatego badaniu ich zbieznosci poswieca sie w analizie matematycznej szczególna uwage. Szczególnie

wazne sa narzedzia, które pozwalaja okreslic, czy szereg jest zbiezny, czy nie. Jesli nie wiemy czy szereg jest zbiezny, to nie mozemy z pozytkiem wykorzystywacw obliczeniach numerycznych.

1.4 Funkcje

1.4.1 Koncepcja funkcji

Koncepcja funkcji, jedna z fundamentalnych idei współczesnej matematyki, jako samodzielny obiekt badan pojawiła sie w drugiej połowie XVII w. W tym pierwotnymujeciu funkcja była rozumiana jako wartosc, tzw. zmienna zalezna, która mozna obliczyc rachunkiem algebraicznym badz poprzez konstrukcje geometryczne woparciu o inna wartosc, tzw. zmienna niezalezna oraz pewne stałe. Jako przykład pierwszej kategorii moze tu posłuzyc funkcja kwadratowa

x 7→ x2,

funkcja wyznaczajaca pole koła o promieniu r

r 7→ πr2,

czy ogólnie wielomian

x 7→ a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n.

1.4.2 Miejsca zerowe funkcji

Wsród waznych zagadnien praktycznych jakie pojawiaja sie w kontekscie funkcji jest pytanie czy i dla jakich wartosci zmiennej niezaleznej, albo inaczej argumentu,funkcja przyjmuje wartosc zero. Argument taki nazywa sie miejscem zerowym funkcji.

Jedna z prostych metod poszukiwania miejsca zerowego funkcji jest tzw. metoda bisekcji. Wymaga ona dysponowania dwoma argumentami a < b, w którychfunkcja przyjmuje wartosci o znakach przeciwnych. Konstruujemy wtedy rekurencyjnie dwa ciagi

x1 := a

y1 := b

xn+1 :={xn if f(xn)f(xn+yn

2 ) < 0xn+yn

2 otherwise.

yn+1 :={yn if f(yn)f(xn+yn

2 ) < 0xn+yn

2 otherwise.

W wielu przypadkach, choc niestety nie zawsze, ciagi te daza do wspólnej granicy bedacej miejscem zerowym funkcji f .

1.4. FUNKCJE 25

Rysunek 1.9: Wykres wielomianu Q(x) := −16 + 16x2 − 4x3 − 3x4 + x5.

Cwiczenie komputerowe 1.4.1 (*) Zaimplementuj metode bisekcji w jezyku Mathematica. Przetestuj ja dla funkcji

(1) x 7→ x2 − 3 dla a = 1 i b = 3

(2) x 7→ x+cos xsin x − 1 dla a = −1 i b = 1.

Postaw hipotezy na temat zbieznosci ciagów xn i yn. Jesli uznasz, ze sa one zbiezne do wspólnej granicy, zastanów sie, czy jest ona poszukiwanymmiejscem zerowym, a jesli nie jest, to co jest tego przyczyna.

1.4.3 Wykres funkcji

Jesli zadawala nas zgrubne przyblizenie miejsc zerowych funkcji, wystarczy narysowac wykres funkcji. Z wykresu, obok miejsc zerowych mozemy tez odczytactzw. ekstrema, czyli najwieksze i jakie najmniejsze wartosci osiaga funkcja w zadanym zbiorze. Rys. 1.9 przedstawia wykres wielomianu Q(x) := −16 +16x2 − 4x3 − 3x4 + x5, z którego na przykład odczytac mozemy, ze wartoscia najmniejsza w przedziale [−1, 1] jest −16. Analizowanie funkcji poprzeznarysowanie wykresu wystarcza jednak tylko do pobieznego zapoznania sie z funkcja. Jak zobaczymy, analiza matematyczna dostarcza znacznie lepsze metodydo analizowania własnosci funkcji.

Wykresy funkcji jednej zmiennej bardzo łatwo uzyskac przy pomocy programu Mathematica. Na przykład wykres wielomianu Q(x) := −16 + 16x2 −4x3 − 3x4 + x5 na rys. 1.9 uzyskano instrukcja

Plot [ −16+16 x ^2−4 x ^3−3 x ^ 4 + x ^ 5 , { x , − 2 . 5 , 3 . 5 } ]

1.4.4 Geometryczne konstrukcje funkcji

Funkcje pierwotnie definiowane poprzez konstrukcje geometryczne, to przede wszystkim funkcje trygonometryczne, na przykład

x 7→ sin x.


Rysunek 1.10: Geometryczna definicja funkcji sin i cos: w wycinku koła o promieniu 1 i długości łuku x wartość sin x definiujesię jako długość odcinka spuszczonego z końca łuku prostopadle do ramienia wycinka koła ze znakiem plus, gdy koniec łukujest ponad ramieniem, a znakiem minus, gdy koniec łuku jest poniżej ramienia.

Rysunek 1.11: Wykres funkcji sin.

Konstrukcje geometryczna sin x i cosx pokazano na rys. 1.10. W konstrukcji tej |x| jest interpretowane jako długosc łuku wycinka koła o promieniu jeden, aznak x rozstrzyga o wzajemnym połozeniu poczatku i konca łuku. Przyjete jest, ze znak plus oznacza iz poczatek łuku wystepuje przed koncem łuku przy ruchuprzeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Wykres funkcji sin przedstawiono na rys. 1.11.

W wielu zastosowaniach bardziej od funkcji sin i cos przydaje sie funkcja tangens

tg : x 7→ sin xcosx

oraz funkcja cotangensctg : x 7→ cosx

sin x .

Poniewaz dzielenie przez zero nie ma sensu, funkcja tangens nie ma okreslonej wartosci dla argumentów x, dla których funkcja cos przyjmuje wartosc zero, afunkcja cotangens dla argumentów, dla których funkcja sinus sie zeruje. Wykres funkcji tg przedstawiono na rys. 1.12.

W programie Mathematica zwyczajowo nazwy funkcji rozpoczyna sie od duzej litery. Sin, Cos, Tan, Cot to nazwy funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens.Wykres funkcji sinus na rys. 1.11 uzyskano instrukcja

Plot [ Sin [ x ] , { x , −2 Pi , 2 Pi } ]

1.4. FUNKCJE 27

Rysunek 1.12: Wykres funkcji tg.

Mozemy tez definiowac własne funkcje, na przykład

f [ x_ ] : = x ^ 2

definiuje funkcje, która zmiennej x przypisuje wartosc x2. Teraz piszac

f [ 3 ]

otrzymamy wartosc 9.Co ciekawe, mozemy tez definiowac funkcje, które w róznych przypadkach zdefiniowane sa róznymi wzorami. Na przykład

g [ x_ ] : = I f [ x ^ 2 > 1 , x ^ 2 , −1]

definiuje funkcje, która przy zastosowaniu tradycyjnej matematycznej notacji zapisalibysmy wzorem

x 7→

{x2 gdy x2 > 1,

−1 w przeciwnym razie.

Instrukcja If jezyka Mathematica to tak zwana instrukcja warunkowa. Ma ona trzy argumenty. Zwraca drugi, gdy pierwszy ewaluuje sie do prawdy. W przeciwnymrazie zwraca argument trzeci.

1.4.5 Rozwijanie funkcji w szeregJednym z wazniejszych osiagniec analizy matematycznej było odkrycie, ze funkcje trygonometryczne nie musza byc obliczane metoda geometryczna, ale mogabyc wyznaczone przez przyblizanie wartosci szeregu. Na przykład

sin x = x− x3

1 · 2 · 3 + x5

1 · 2 · 3 · 4 · 5 − . . . =∞∑n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)! ,

gdziem! = 1·2·3 · · ·n, czytanem silnia, to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 dom. Wzór ten oraz podobne wzory dla innych funkcji trygonometrycznychodkrył w wieku XIV hinduski matematyk Madhavan of Sangamagramam.

Dzisiejsza definicja funkcji jest nieporównanie szersza od pierwotnej koncepcji i obejmuje ciagi jako szczególny przypadek. W stosowanej dzisiaj definicji niewnikamy w jaki sposób (algebraiczny, geometryczny czy jakikolwiek inny) okreslono jak zmiennej niezaleznej przypisano zmienna zalezna, traktujac ja po prostujako skads dana. Taka jest na przykład funkcja Dirichleta

x 7→

{1 x ∈ Q0 x 6∈ Q,

w której definicji nie interesujemy sie jak w praktyce sprawdzic, czy liczba jest wymierna czy nie jest.


Rysunek 1.13: Pole soczewkowatej figury jest różnicą pól pod wykresami funkcji.

1.5 Pola figur i całkowanie

1.5.1 Całka oznaczonaWidzielismy, ze koncepcja granicy jest pomocna przy obliczaniu pola koła. W podobny sposób mozemy postepowac z innymi figurami. Problem mozna sprowadzicdo liczenia pola pod wykresem funkcji. Rozwazmy na przykład figure o soczewkowatym kształcie przedstawiona na rys. 1.13.

Jak łatwo zauwazyc pole tej figury jest róznica pól pod wykresami funkcji

y = −x2 + 2x,y = x2.

Pole pod wykresem funkcji f na przedziale [a, b] okreslane jest mianem całki oznaczonej. Do policzenia całki oznaczonej z funkcji f na przedziale [a, b]tez mozemy zastosowac technike przejscia granicznego. W tym celu dzielimy przedział [a, b] punktami a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b na npodprzedziałów, niekoniecznie równych, i nad kazdym z nich budujemy prostokat o wysokosci równej wartosci funkcji f w prawym koncu przedziału. Oznaczajacprzez ∆xi := xi − xi−1 długosc i-tego przedziału (i-ta róznice) i sumujac pola prostokatów otrzymujemy przyblizenie pola pod wykresem równe:

f(x1)∆x1 + f(x2)∆x2 + . . . f(xn)∆xn =n∑i=1

f(xi)∆Xi. (1.6)

Biorac coraz wiecej punktów i coraz krótsze przedziały, w granicy otrzymujemy poszukiwane pole. Oznaczamy je dosc tajemniczym symbolem∫ b

a

f(x)dx,

w którym znak sumy przekształcił sie w wydłuzona litere ’S’, a róznica ∆xi w "nieskonczonie mała róznice", czyli rózniczke, oznaczona symbolem dx.

1.5. POLA FIGUR I CAŁKOWANIE 29

Rysunek 1.14: Pole pod wykresem ćwiartki okręgu.

Przykładowy efekt takiego postepowania dla funkcji

y =√

1− x2

na przedziale [0, 1] przy n = 5 przedstawiono na rys. 1.14.Podobnie jak poprzednio naturalne jest oczekiwanie, ze takie postepowanie w granicy da poszukiwane pole pod wykresem funkcji.Ten sposób liczenia pól stosowano juz w starozytnosci, choc zrozumienie przyczyn jego poprawnosci bardzo długo pozostawało mgliste. Proces przejscia

granicznego opisywano jako zastapienie skonczonego podziału podziałem na nieskonczona ilosc przedziałów o nieskonczenie małej lecz dodatniej długosci dx.Ta tajemnicza liczba dx dawała po przemnozeniu przez wartosc funkcji na tym przedziale kolejna nieskonczenie mała lecz dodatnia wartosc f(x)dx. Dopierowysumowanie nieskonczonej ilosci tych nieskonczenie małych wartosci dawało poszukiwane pole. Opis ten oczywiscie wyjasnia zapis i nazwe całki (całkowitasuma, powstała przez wysumowanie wszystkich nieskonczenie małych f(x)dx), ale w zadnym przypadku nie moze byc uznany za definicje całki oznaczonej.

Dopiero niemiecki matematyk, Georg Friedrich Bernhard Riemann (rys. 1.15) podał jako pierwszy precyzyjna definicje całki oznaczonej oraz warunki, kiedy tadefinicja ma sens. Dzis wyrazenie (1.6) okresla sie mianem sumy Riemanna.

1.5.2 Całka nieoznaczona

Zakładajac, ze całka oznaczona z funkcji f jest dobrze zdefiniowana (do czego potrzebujemy sum Riemanna i granicy), mozemy zdefiniowac funkcje

F (u) :=∫ u

0f(x)dx,

dla której zachodzi wzór

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).


Rysunek 1.15: Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866. Źródło: Wikipedia

Funkcja F spełniajaca powyzszy wzór nosi nazwe całki nieoznaczonej funkcji f . Oznaczamy ja (nieprecyzyjnie) symbolem∫f(x)dx

Jesli potrafilibysmy znalezc analityczny sposób na znalezienie całki nieoznaczonej w oparciu o funkcje f , liczenie pól znacznie ułatwiłoby sie. Zyjacy naprzełomie X i XI w. naukowiec arabski znany w Europie jako Alhacen potrafił pokazac (oczywiscie w ówczesnym jezyku matematyki), ze jesli f jest wielomianemstopnia drugiego

f(x) := a0 + a1x+ a2x2,

to jego całka nieoznaczona jest

F (x) := a0x+ a1x2

2 + a2x3

3 .

Alhacen potrafił tez podac wzór na całke nieoznaczona dla wielomianów stopnia trzeciego i czwartego. Wykorzystujac ten wzór, mozemy bardzo szybkopoliczyc pole naszej soczewki z rys.1.13, bo przyjmujac wygodne oznaczenie

[F (u)]ba := F (b)− F (u)

otrzymujemy

∫ 1

0x2dx =

[x3

3

]1

0= 1

3∫ 1

0(−x2 + 2x)dx =

[−x

3

3 + 2x2

2

]1

0= 2

3 .

Płyna z tego dwa wazne wnioski. Po pierwsze, granica skomplikowanego ciagu wcale nie musi byc trudna w wyliczeniu liczba niewymierna. Po drugie iwazniejsze, pojecie granicy moze byc pomocne nie tylko w obliczeniach liczb niewymiernych. Nie mniej, a moze nawet wiecej, przydaje sie ono do definiowanianowych pojec, trudnych do zdefiniowania inaczej.

1.6. STYCZNA DO KRZYWEJ I GRANICA FUNKCJI 31

Rysunek 1.16: Styczna do okręgu

1.6 Styczna do krzywej i granica funkcji

1.6.1 Styczna do krzywejProblem wyznaczenia stycznej do krzywej w zadanym punkcie to tez jeden z problemów rozwiazywanych juz w starozytnosci przy wykorzystaniu przejscia gra-nicznego. W uproszczeniu, styczna do krzywej w danym punkcie krzywej, to prosta przechodzaca przez zadany punkt, która w jego poblizu nie przecina krzywej wzadnym innym punkcie. Rys. 1.16 przedstawia styczna do łuku okregu.

Styczna mozna wyznaczac geometrycznie, przykładajac do krzywej linijke, ale nie jest to metoda dokładna. Lepiej jest wyliczyc kat jaki styczna tworzy z prostapozioma, albo tak zwany współczynnik nachylenia prostej, czyli tangens tego kata.

Jesli krzywa zadana jest funkcja f , to współczynnik nachylenia stycznej w punkcie wykresu o współrzednych (x0, f(x0)) mozna przyblizyc, analizujacsieczna poprowadzona z punktu (x0, f(x0)). Jest to prosta, która przecina krzywa w punkcie (x0, f(x0)) oraz dodatkowo w punkcie (x1, f(x1)), gdziex1 = x0 + h jest bliskie x0.

Rysujac stosowny trójkat prostokatny (rys. 1.17), łatwo zauwazyc, ze tangens kata, jaki sieczna tworzy z osia x wynosi

f(x1)− f(x0)x1 − x0

= f(x0 + h)− f(x0)h

.

Zmierzajac z h do zera zblizamy sieczna do stycznej, a wiec w granicy dostac powinnismy współczynnik nachylenia stycznej. I rzeczywiscie dostajemy, jeslitylko funkcja jest odpowiednio porzadna.

Nalezy zwrócic uwage, ze mamy tu do czynienia z innego typu granica niz rozwazane do tej pory, bo nie rozwazamy ciagu, lecz funkcje

h 7→ f(x0 + h)− f(x0)h

(1.7)

zmiennej h (x0 traktujemy jako parametr). Jak definiuje sie granice ciagu juz mniej wiecej wiemy. A jak sie to robi w przypadku granicy funkcji?

1.6.2 Granica funkcjiChociaz pojeciem granicy funkcji operowano co najmniej od XVII w., to pierwsza precyzyjna definicje postawił czeski matematyk Bernard Bolzano dopiero w 1817roku, a uzywana współczesnie definicje podał niemiecki matematyk Karol Weierstrass (rys. 1.18).


Rysunek 1.17: Styczna i sieczna do krzywej.

Rysunek 1.18: Karol Weierstrass (1815-1897). Źródło: Wikipedia

1.6. STYCZNA DO KRZYWEJ I GRANICA FUNKCJI 33

Według Weierstrassa funkcja f ma w punkcie x0 granice g jezeli dla kazdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, ze dla wszystkich x 6= x0

|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− g| < ε.

Piszemy wtedylimx→x0

f(x) = g.

1.6.3 Funkcje ciągłeWarto sobie od razu powiedziec, ze w przeciwienstwie do ciagów, typowa funkcja, z jaka spotykamy sie na co dzien, jesli jest okreslona w punkcie x0, to ma wnim granice równa swojej wartosci w x0. Moze to robic wrazenie, ze teoria granicy funkcji jest mniej uzyteczna od granicy ciagu. Ale własnie ten fakt, któregobez pojecia granicy funkcji nie da sie zaobserwowac, jest interesujacy sam w sobie. Funkcje o tej własnosci okreslamy mianem ciagłych. Obrazowo mówimy, zefunkcja ciagła to taka funkcja, której wykres mozna narysowac bez odrywania ołówka od papieru. Nie jest to do konca prawda, bo dotyczy jedynie funkcji, którychdziedzina jest odcinkiem domknietym.

1.6.4 Obliczanie granic.Granica funkcji moze byc liczona w punkcie x0, w którym funkcja jest nieokreslona, ale jest okreslona dla wartosci róznych od x0. Wtedy ciagłosc funkcji wpunktach róznych od x0 nie wystarcza, by wyznaczyc granice. Mimo to czesto mozna ja łatwo policzyc. Na przykład funkcja

f : x→ 2x+ x2

x

jest nieokreslona w zerze, ale okreslona dla wartosci wiekszych i mniejszych od zera. Dla wartosci tych jest ona równa funkcji

x→ 2 + x,

która jest ciagła i okreslona w zerze, a zatem ma w zerze granice dwa. Zatem

limx→0

f(x) = 2.

Przykład ten moze wydawac sie sztuczny, ale docenimy jego wartosc, gdy uswiadomimy sobie, ze dokładnie taka granica pojawia sie przy obliczaniu współczynnikakierunkowego stycznej do wykresu funkcji x 7→ x2 w punkcie 1, bo zgodnie ze wzorem (1.7) jest to funkcja

h 7→ (x0 + h)2 − x20

h= 2h+ h2

h,

czyli funkcja f . Oczywiscie nie wszystkie granice funkcji daja sie tak łatwo policzyc. I tu, jak w przypadku ciagów, korzystamy z róznych twierdzen. W szczególnoscidla funkcji mozna udowodnic odpowiedniki twierdzenia o trzech ciagach oraz o granicy sumy, róznicy, iloczynu i ilorazu.

Problem 1.6.1 Jak uogólnic pojecie granicy, tak by granica ciagu i funkcji wpadały "do jednego worka" i odpowiednie twierdzenia obejmowały tak ciagijak i funkcje? Jak dołaczyc do takiej definicji przypadek ciagu lub funkcji zmierzajacej do nieskonczonosci?

Oczywiscie granica funkcji nie musi istniec. Jest tak na przykład w przypadku funkcji

x 7→ sin 1x,

która jest okreslona i ciagła dla wszystkich x z wyjatkiem zera, ale w zerze nie ma granicy.Z kolei funkcja

x 7→ sin xx

,

która tez jest okreslona i ciagła dla wszystkich x z wyjatkiem zera, w zerze ma granice wynoszaca jeden, ale nie jest oczywiste jak to pokazac. Jednak z z wykresu(rys. 1.20) widac, ze nalezy sie tego spodziewac.


Rysunek 1.19: Wykres funkcji x 7→ sin 1x . Granica tej funkcji w zerze nie istnieje

Rysunek 1.20: Wykres funkcji x 7→ sin xx . Granica tej funkcji w zerze wynosi jeden.

1.7. POCHODNA FUNKCJI 35

Rysunek 1.21: Wybrane styczne do wykresu funkcji. Na czerwono zaznaczono styczne w miejscach gdzie wykres się wznosi,na zielono gdzie opada, a na żółto miejsca gdzie styczna jest pozioma.

1.7 Pochodna funkcji

1.7.1 Lokalne maksima i minimaWspółczynnik nachylenia stycznej do wykresu funkcji niesie w sobie informacje o samej funkcji. Tam gdzie ten współczynnik jest dodatni funkcja (umownie) rosnie,a gdzie jest ujemny maleje. Zerowa wartosc współczynnika nachylenia oznacza, ze styczna jest pozioma. Moze to swiadczyc o lokalnej górce (lokalne maksimum)lub lokalnym dołku (lokalne minimum). Pozioma styczna moze tez wystapic w miejcu, chwilowo przestaje rosnac badz malec.

1.7.2 Pochodna funkcjiDlatego dla danej funkcji f interesujace jest poszukiwanie miejsc zerowych nowej funkcji, która punktowi x przypisuje współczynnik nachylenia stycznej dowykresu funkcji f w punkcie x. Funkcja taka nazywana jest pochodna funkcji f i oznaczana f ′. Wiemy, ze współczynnik kierunkowy stycznej obliczamy jakogranice przy h→ 0 wyrazenia

f(x+ h)− f(x)h

zwanego ilorazem róznicowym. Zatem

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)h

(1.8)

oczywiscie przy załozeniu, ze ta granica istnieje. Wprowadzajac oznaczenia na róznice

∆x := (x+ h)− x = h

∆y := f(x+ h)− f(x)

mozemy iloraz róznicowy napisac w postaci∆y∆x,


co wyjasnia jego nazwe. Uzywajac nieprecyzyjnego jezyka nieskonczenie małych mozna powiedziec, ze pochodna funkcji otrzymujemy zastepujac w ilorazie róz-nicowym róznice ∆y i ∆x nieskonczenie małymi róznicami oznaczanymi dy i dx i zwanymi rózniczkami. Wyjasnia to uzywana do dzis nazwe teorii pochodnych:rachunek rózniczkowy. Sama koncepcja rózniczki doczekała sie precyzyjnej definicji i choc odbiega ona od pierwotnej idei, pozwala zapis

f ′(x) = dy

dx

uczynic precyzyjnym.Jesli potrafimy ze wzoru na funkcje f wyprowadzic wzór na funkcje f ′ oraz potrafimy znalezc miejsca zerowe funkcji f ′, to potrafimy wskazac miejsca

podejrzane o wystepowanie lokalnych minimów i lub maksimów. Okazuje sie, ze choc w definicji pochodnej wystepuje granica, to w wielu przypadkach jest togranica, która mozemy policzyc czysto analitycznie bez koniecznosci stosowania przyblizen. Na przykład dla funkcji x 7→ f(x) := x2 − 4x+ 5 mamy

f ′(x) = limh→0

(x+ h)2 − 4(x+ h) + 5− (x2 − 4x+ 5)h

= limh→0

(2x+ h− 4) = 2x− 4,

bo funkcja x 7→ 2x− 4 jest ciagła. Widac, ze f ′(2) = 0, zatem funkcja f , jesli ma gdzies minimu lokalne to w punkcie 2.

1.7.3 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowegoPerski matematyk Sharaf al-Din al-Tusi juz z koncem XII w. potrafił pokazac, ze (uzywajac współczesnego jezyka) pochodna wielomianu trzeciego stopnia

Q(x) := b0 + b1x+ b2x2 + b3x

3

jestQ′(x) = b1 + 2b2x+ 3b3x2.

Przypomnijmy, ze około 200 lat wczesniej, Alhacen policzył, ze całka nieoznaczona

f(x) := a0 + a1x+ a2x2,

jest

F (x) =∫f(x)dx = a0x+ a1x

2

2 + a2x3

3 .

Podstawiajac

b1 = a0

2b2 = a1

3b3 = a2

mozemy zaobserwowac, ze jest zwiazek miedzy miedzy liczeniem pochodnej i całkowaniem:∫Q′(x)dx = b1x+ b2x

2 + b3x3 = Q(x)− b0(∫

f(x)dx)′

= F ′(x) = f(x).

Zatem juz w XII w. były podstawy do odkrycia tego zwiazku, ale udało sie to dopiero 500 lat pózniej. Pod koniec XVII w. Anglik Isaac Newton oraz NiemiecGottfried Leibniz (rys. 1.22) pokazali nastepujace twierdzenie


Rysunek 1.22: Isaac Newton (1643 - 1727) i Gottfried Leibniz (1646 - 1716). Źródło: Wikipedia

Twierdzenie 1.7.1 Jesli f jest pochodna funkcji F , to F jest całka nieoznaczona funkcji f . Jesli F jest całka nieoznaczona funkcji f , to pochodnafunkcji F jest f .

Twierdzenie to jest dzisiaj okreslane mianem podstawowego twierdzenia rachunku rózniczkowego i całkowego. Do czasu odkrycia tego twierdzenia teoriepochodnej i całki rozwijane były niezaleznie, przy czym w liczeniu pochodnych notowano wieksze postepy niz w liczeniu całek. Odkrycie Newtona i Leibnizapokazało, ze w istocie jest jedna teoria, a kazdy wzór na pochodna jest równoczesnie wzorem na całke. Umozliwiło to liczenie wielu nowych całek, dało impuls dointensywnego rozwoju rachunku rózniczkowego i całkowego i przyczyniło sie do szybkiego rozwoju nauk technicznych.


Część I

Elementy logiki i teorii mnogości

39

Rozdział 2

Matematyka zbiorów skończonych

Osobom postronnym czesto sie wydaje, ze badania matematyczne nie maja zwiazku z otaczajaca nas rzeczywistoscia. Jest to konsekwencja wysoce sformalizo-wanegeo jezyka, którym współczesnie posługuje sie matematyka. Za tym formalizmem kryje sie jednak bardzo bogaty swiat matematycznych intuicji, bezposrednioinspirowany nie tylko konkretnymi problemami nauki i techniki, ale przede wszystkim doswiadczeniem i wyobrazeniami z codziennego zycia. Matematycy rozwijajaswoja intuicje wymyslajac i analizujac liczne przykłady. W przykładach tych poszukuja powtarzajacych sie prawidłowosci. Jesli taka prawidłowosc uda sie wykryci nie udaje sie znalezc przykładu, w którym prawidłowosc nie zachodzi, formułuje sie hipoteze, ze prawidłowosc taka zachodzi zawsze. Hipoteza nie musi byc iczesto nie jest w pełni prawidłowym opisem rzeczywistosci, choc przynajmniej zdzbło prawdy czesto w niej twki.

W odróznieniu od wielu innych nauk, matematycy odrzucaja intuicje i eksperyment jako metode rozstrzygajaca co jest prawda. Hipoteze trzeba uzasadnicpoprzez wyprowadzenie jej droga logicznego rozumowania z uznawanych za oczywiste faktów. Rozumowanie takie nazywa sie dowodem, a hipoteze, dla którejudało sie podac dowód, twierdzeniem. W tym miejscu pojawia sie sformalizowany jezyk. Przeprowadzenie matematycznego dowodu wymaga bowiem stosownejteorii. W teorii takiej ustala sie najpierw podstawowe pojecia, czyli tak zwane pojecia pierwotne teorii oraz fakty uznawane za oczywiste, nazywane aksjomatamiteorii. Wszystkie inne pojecia teorii definiowane sa w oparciu o pojecia pierwotne, a twierdzenia dowodzone sa w oparciu o przyjete aksjomaty. Wysoki stopiensformalizowania jezyka matematycznego dowodu ma uniemozliwic, a przynajmniej utrudnic, swiadome lub nieswiadome przemycenie do dowodu fałszywegoargumentu.

Logiczne rozumowanie jako metoda dochodzenia do prawdy towarzyszy ludzkosci co najmniej od starozytnosci. W cywilizacji zachodniej podwaliny logikistworzył w IV stuleciu p.n.e. grecki filozof Arystoteles (ryc. 2.2). W kolejnym stuleciu grecki matematyk Euklides, (ryc. 2.2) w słynnym dziele zatytułowanymElementy, po raz pierwszy przedstawił sformalizowana teorie matematyczna opisujaca geometrie. Jako pojecia pierwotne przyjał punkt i prosta. Sformułowałtez 10 aksjomatów. Nastepnie z aksjomatów tych wyprowadził wiekszosc znanych ówczesnie twierdzen geometrii, w szczególnosci twierdzenie Pitagorasa.

Jako przykład matematycznej hipotezy posłuzyc nam moze słynna hipoteza Goldbacha z 1742 roku: kazda parzysta liczbe naturalna wieksza od dwóch moznaprzedstawic jako sume dwóch liczb pierwszych. Widzimy, ze rzeczywiscie: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, 20 = 3 + 17, ... . Do dzis nie udało sie znalezc ani dowodu tej hipotezy, ani kontrprzykładu, a wiec wiekszej od dwóch parzystejliczby naturalnej, dla której rozkład na sume dwóch liczb pierwszych nie istnieje. Dzieki komputerom udało sie natomiast przeprowadzic eksperymenty, którepotwierdzaja, ze wsród liczb naturalnych nie wiekszych niz 4×1018 nie ma kontrprzykładu. Teoria, w której ewentualny dowód hipotezy Goldbacha mozna byłobyprzeprowadzic, obejmuje liczby naturalne i operacje ich dodawania jako pojecia pierwotne oraz kilka faktów zbierajacych podstawowe własnosci liczb naturalnych,na przykład przemiennosc dodawania, jako aksjomaty.

Swiezo sformułowana hipoteze nadzwyczaj rzadko udaje sie od razu udowodnic. Co wiecej, jesli hipoteza jest błedna, dowód nie jest mozliwy. Trudnosci wskonstruowaniu dowodu czesto daja podpowiedz jak znalezc tak zwany kontrprzykład, a wiec przykład, dla którego hipoteza nie zachodzi. To z kolei pozwalazmodyfikowac hipoteze i ponownie podjac próbe dowodu. Ten proces oscylacji pomiedzy próbami dowodu, budowaniem kontrpzykładu i modyfikowaniem hipotezyniejednokrotnie trzeba wiele razy powtórzyc nim osiagnie sie sukces, czyli udowodnione twierdzenie. Własnie dlatego uprawianie matematyki wspiera sie na dwóchjednakowo waznych podporach: intuicji i formalizmie.

Niestety, gdy studiujemy matematyke, najczesciej mamy do czynienia wyłacznie z twierdzeniami i gotowymi juz formalnymi dowodami. Czesto brakuje czasuna przyjrzenie sie duzej liczbie przykładów. A dopiero przeanalizowanie licznych przykładów pozwala na wyrobienie sobie intuicji niezbednych do rzeczywistegozrozumienia konkretnego twierdzenia. Analizowanie przykładów jest jednak zajeciem zmudnym. Na szczescie mamy dzisiaj komputery i programy, które bardzoułatwiaja konstruowanie i analizowanie przykładów.

Jedna z metod dowodzenia jest przeanalizowanie wszystkich mozliwych przypadków. Jest to jednak mozliwe tylko wtedy, gdy przypadków jest skonczona

41

42 ROZDZIAŁ 2. MATEMATYKA ZBIORÓW SKOŃCZONYCH

Rysunek 2.1: Dawid Hilbert, 1862-1943 oraz Kurt Gödel, 1906-1978. Źródło: Wikipedia

Rysunek 2.2: Arystoteles, IV w. p.n.e., rzymska kopia greckiego popiersia oraz Euklides, IV-III w. p.n.e., przedstawiony naposągu w Muzeum Historii Naturalnej w Oksfordzie. Źródło: Wikipedia

ilosc. Do pewnego stopnia dzieje sie tak w tak zwanej matematyce dyskretnej, a wiec zajmujacej sie wyłacznie zbiorami zawierajacymi skonczona ilosc elementów.Jednak nawet w tym przypadku czesto chcemy udowodnic, ze cos zachodzi dla kazdego zbioru skonczonego, a zbiorów skonczonych jest juz nieskonczenie wiele.

Niewymiernosc liczby√

2 uswiadomiła matematykom, ze maja przed soba dwie drogi: albo pogodzic sie z faktem, ze przekatna kwadratu o boku długoscijeden sama długosci nie posiada, albo zaakceptowac stosowanie w rozumowaniach obiektów nieskonczonych. W przypadku liczby

√2 jest to niekonczony ciag

przyblizen√

2 liczbami wymiernymi.Rozwazania na temat nieskonczonych obiektów przez całe tysiaclecia sprawiały matematykom duzo trudnosci. W szczególnosci w odniesieniu do ciagów

przyblizen uzywano pojec "nieskonczenie mały" lub "nieskonczenie wielki" choc widac było, ze pojecia te sa problematyczne: dało sie z nich wywiesc tak wnioskipozadane jak i nonsensowne.

W XIX wieku, wraz ze wzrostem precyzji w fromułowaniu idei rachunku rózniczkowego i całkowego i pojawiajacymi sie coraz czesciej sprzecznosciamizwiazanymi z nieodpowiednim posługiwaniem sie nieskonczonoscia, zaczeła narastac potrzeba usystematyzowania metod badawczych matematyki. W 1920 rokuniemiecki matematyk Dawid Hilbert (rys. 2.1) zaproponował swój program bardzo formalnego podejscia do matematyki. Jest on dzis znany pod nazwa programHilberta. Hilbert zuwazył, ze choc analiza matematyczna wymaga operowania nieskonczonoscia, to jezyk, w którym mówi sie o matematyce jest skonczony, boskłada sie ze skonczonej ilosci słów.

Hilbert postulował, ze wszystkie twierdzenia matematyki nalezy wyprowadzic droga formalnego dowodu z dobrze dobranego zestawu aksjomatów, czylimozliwie oczywistych stwierdzen przyjmowanych bez dowodu. Nie był to pomysł nowy: jak wspomnielismy, takie podejscie do geometrii zaproponował Euklides.Zasługa Hilberta była obserwacja, ze takie podejscie moze rozwiazac problemy z nieskonczonoscia. Kazde twierdzenie daje sie zapisac jako skonczony ciag słów,

2.1. ZBIORY SKOŃCZONE 43

a kazdy dowód jest skonczonym ciagiem formuł, równiez zbudowanych ze skonczonej ilosci słów. Zatem poprawnosc dowodu mozna sprawdzic droga skonczonejinspekcji i to równiez w przypadku gdy samo twierdzenie dotyczy zbiorów nieskonczonych.

Matematycznym ujeciem formalnego opisu teorii matematycznej, w tym dowodów, zajmuje sie logika matematyczna oraz tzw. metamatematyka. Zazwyczajjezyk metamatematyki nie jest juz tak sformalizowany jak jezyk formalny, który metamatematyka opisuje. Ale, zgodnie z obserwacja Hilberta, metamatematykabada obiekty skonczone (formuły jezyka formalnego), wiec sam jezyk metamatematyki nie musi byc do konca sformalizowany.

By jednak podejscie takie było przekonujace wypada najpierw udowodnic, ze zestaw przyjetych bez dowodu aksjomatów nie jest sprzeczny sam w sobie.Hilbert goraco wierzył, ze jego program da sie zrealizowac. Jednak juz 11 lat pózniej austriacki matematyk Kurt Gödel (rys. 2.1) pokazał, ze nie istnieje niesprzecznyukład aksjomatów, z którego dałoby sie wyprowadzic wszystkie twierdzenia dotyczace liczb naturalnych. Innymi słowy, jesli teoria obejmujaca arytmetyke liczbnaturalnych jest niesprzeczna (wywiedziona z niesprzecznego zestawu aksjomatów) to jest niezupełna (sa w niej zdania p, dla których nie ma dowodu ani dla p,ani dla nieprawda, ze p).

Pomimo twierdzenia Gödla jak i trudnosci w realizacji postulatu sprawdzenia niesprzecznosci program Hilberta szybko przyjał sie i pozostaje do dzis po-wszechnie przyjeta metoda uprawiania matematyki.

2.1 Zbiory skończoneZaczniemy od przedstawienia teorii zbiorów skonczonych, przy okazji nieformalnie przygladajac sie niektórym zbiorom nieskonczonym. Teoria zbiorów skonczonychw swoich elementach nie rózni sie wiele od teorii zbiorów nieskonczonych, nie wymaga jednak takiej ostroznosci jak postepowanie ze zbiorami nieskonczonymi.Formalna teorie zbiorów nieskonczonych przedstawimy w rozdziale 4.

Zbiór skończony definiujemy wymieniając jego elementy, na przykład:

{ a, b, c }

oznacza zbiór, którego elementami są trzy litery: a, b, c. W niniejszym rozdziale, to jest w rozdziale 2, mówiąc zbiór mamyna myśli zbiór skończony, chyba, że wyraźnie zaznaczymy inaczej.

Zbiory oznaczamy zazwyczaj dużymi literami. Pisząc

Z := { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }

definiujemy zbiór składający się z liczb 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i 19 i nadajemy mu nazwę Z. Fakt, że liczba 5 jest elementemzbioru Z zapisujemy jako 5 ∈ Z. Jeśli coś nie jest elementem zbioru, używamy znaku 6∈, na przykład 15 6∈ Z. Zbiór Zmożemy też opisać słownie: zbiór liczb pierwszych mniejszych od 20, symbolicznie

Z = {x | x jest liczbą pierwszą i x < 20 }.

Przypomnijmy, że liczba pierwsza to liczba naturalna większa od jeden, która dzieli się bez reszty tylko przez siebie i przezliczbę jeden. Nie jest nią więc ani 9, ani 15, bo liczby te dzielą się przez 3. Nie jest nią też żadna liczba parzysta większa od2.

Zaznaczmy, że przy definiowaniu zbioru kolejność w jakiej wymieniamy elementy nie ma znaczenia. Tak więc na przy-kład zapisy { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }, { 2, 3, 17, 19, 5, 7, 11, 13 } czy { 19, 17, 13, 11, 7, 5, 3, 2 } definiują ten sam zbiór. Równieżkilkakrotne wymienienie elementu nie wpływa na zawartość zbioru. Tak więc zapisy

{1, 2, 2, 3, 3, 3} oraz {1, 2, 3}

oznaczają ten sam zbiór.Zbiór nieskonczony czasami tez próbujemy definiowac poprzez wypisanie jego elementów:

{ 2, 4, 6, 8, 12, 14 . . . },

jednak nie jestesmy w stanie wypisac ich wszystkich, wiec wypisujemy tylko czesc, zakładajac, ze czytelnik sam, w razie potrzeby ustali na zasadzie analogiico jeszcze do tego zbioru nalezy. W rozwazanym przykładzie mozna sie domyslec, ze chodzi nam o zbiór liczb naturalnych parzystych. Ustalenie na zasadzieanalogii co jest elementem zbioru w istocie oznacza okreslenie własnosci czy formuły, która rozstrzyga co do naszego zbioru nalezy, a co nie nalezy. Jest to jedyny


Rysunek 2.3: Zbiór {x | x = (x1, x2) i x21 + x2

2 <= 1 } zwizualizowany w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

formalnie poprawny sposób definiowania zbiorów nieskonczonych. Jednak, jak zobaczymy pózniej, problemy ze zbiorami nieskonczonymi biora sie stad, ze niekazda własnosc definiuje zbiór.

Jako przykład zbioru nieskonczonego zadanego poprzez własnosc rozwazmy

x jest para liczb (x1, x2) takich, ze x21 + x2

2 <= 1.

Zaleta takiego przykładu jest, ze zwiazany z ta formuła zbiór

{x | x = (x1, x2) i x21 + x2

2 <= 1 }

łatwo zwizualizowac rysunkiem na płaszczyznie (rys. 2.3).

Warto sobie uswiadomic, ze wizualizacja, w szczególnosci wizualizacja komputerowa zbioru nieskonczonego jest sama w sobie zbiorem skonczonym. Wynikato stad, ze obraz komputerowy jest zbudowany ze skonczonej liczby pikseli. Wrazenie, ze punktów jest nieskonczenie wiele wynika z niedoskonałosci naszegooka. Tak wiec kazda wizualizacja jest tylko pewnym przyblizeniem idei jaka jest zbiór nieskonczony.

Jak zobaczymy, czasami wygodnie jest też posłużyć się zbiorem pozbawionym jakichkolwiek elementów. Zbiór takiokreślamy mianem zbiór pusty i oznaczany ∅. Czasami stosujemy też oznaczenie {}.

Zbiór {a} ma dokładnie jeden element, mianowicie a. Zbiór taki określamy mianem singleton. Podobnie definiujemydubleton {a, b} jako zbiór złożony z dwóch elementów a, b. W zasadzie definicję tę stosujemy tylko wtedy gdy a 6= b, gdyżdla a = b zbiór {a, b} pokrywa się z singletonem {a}.

2.1.1 Operacje mnogościowe

Na zbiorach można wykonywać kilka podstawowych operacji, które mają pewne, choć ograniczone, podobieństwo do operacjiarytmetycznych na liczbach.


Rysunek 2.4: Wierszami od lewego górnego rogu: zbiory A i B, zbiór A ∪B, zbiór A ∩B i zbiór AB.

Definicja 2.1.1 Niech A,B będą zbiorami. Definiujemy ich sumę oraz iloczyn, różnicę i różnicę symetryczną odpo-wiednio jako

A ∪B := {x | x ∈ A lub x ∈ B },A ∩B := {x | x ∈ A i x ∈ B },A \B := {x | x ∈ A i x 6∈ B },AB := (A \B) ∪ (B \A).

Sumę zbiorów określamy też mianem unia zbiorów, a iloczym zbiorów mianem przecięcie zbiorów.

Rozwazmy zbiory na płaszczyznie

A = { (x1, x2) | (x1 + 0.5)2 + x22 <= 1 } B = { (x1, x2) | (x1 − 0.5)2 + x2

2 <= 1 }.

Łatwo sprawdzamy, ze

A ∪B = { (x1, x2) | (x1 + 0.5)2 + x22 <= 1 lub (x1 − 0.5)2 + x2

2 <= 1 },A ∩B = { (x1, x2) | (x1 + 0.5)2 + x2

2 <= 1 i (x1 − 0.5)2 + x22 <= 1 },

AB = { (x1, x2) |((x1 + 0.5)2 + x2

2 <= 1 i (x1 − 0.5)2 + x22 > 1

)lub((x1 + 0.5)2 + x2

2 > 11 i (x1 − 0.5)2 + x22 <= 1

)}.

Wizualizacje tych zbiorów na płaszczyznie przedstawiono na rys. 2.4).Mówimy, że A,B są rozłączne jeżeli A ∩B = ∅.


2.1.2 Zawieranie się i równość zbiorów. Podzbiory.

Definicja 2.1.2 Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B lub inaczej, że A jest podzbiorem B jeśli każdy elementzbioru A jest też elementem zbioru B. Piszemy wtedy A ⊂ B. Jeśli ⊂ B i B ⊂ A, to mówimy, że zbiory A i B sąrówne i piszemy A = B. Mówimy, że A jest podzbiorem właściwym B jeśli A ⊂ B i nie jest prawdą, że A = B.

Definicja 2.1.3 Zbiór podzbiorów zbioru A definiujemy jako zbiór postaci

P(A) := {U | U ⊂ A }.

Na przykład dla zbioru A = {a, b, c} mamy

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }.

2.1.3 Uzupełnienie zbioru.Gdy mówimy o jakiejs matematycznej rzeczywistosci, wygodnie jest rozwazac zbiór wszystkich obiektów tej rzeczywistosci. Gdy uprawiamy arytmetyke, wygodniejest mówic o zbiorze wszystkich liczb, na przykład wszystkich liczb całkowitych lub wszystkich liczb rzeczywistych. W geometrii płaszczyzny wygodnie jest mówico zbiorze wszystkich punktów płaszczyzny, w polityce miedzynarodowej o zbiorze wszystkich panstw, w biologii o zbiorze wsztstkich gatunków. W odniesieniudo takiego zbioru wszystkich obiektów rozwazanej rzeczywistosci matematycy uzywaja okreslenia przestrzen. Od strony formalnej przestrzen jest synonimemsłowa zbiór, jednak okreslenie przestrzen niesie w sobie dodatkowa nieformalna informacje, ze zbiór ten zawiera w sobie wszelkie inne zbiory obiektów, które wrozwazanej rzeczywistosci moga nas interesowac.

Warto od razu zaznaczyc, ze interesujace przestrzenie matematyczne na ogół sa nieskonczone. Tym niemniej z pojeciem przestrzeni dobrze jest sie oswoicjuz teraz.

Definicja 2.1.4 Jeśli A ⊂ X to zbiór X \A nazywamy uzupełnieniem A do X i oznaczamy CXA. Gdy X jest ustalonyi znany z kontekstu, to uzupełnienie A do X oznaczamy po prostu CA lub \A.

Pojecie uzpełnienia jest szczególnie wygodnie w odniesieniu do przestrzeni. Na przykład jesli X to przestrzen wszystkich panstw, a E oznacza panstwaeuropejskie, to \E oznacza panstwa, które nie leza w Europie.

Rysunki 2.3 oraz 2.4 uzyskano przy pomocy pakietu oprogramowania PSets napisanego w języku Mathematica. Pakiet tenpozwala na definiowanie zbiorów na płaszczyźnie zadanych formami zdaniowymi zbudowanymi z nierówności algebraicznych.Aby móc korzystać z pakietu, trzeba go najpierw wczytać instrukcją

<< PSets .m

Teraz wprowadzając

sA = PSet [ { x , y } , ( x + 0 .5 )^2 + y^2 <= 1 ] ;sB = PSet [ { x , y } , ( x − 0 .5 )^2 + y^2 <= 1 ] ;Print [ sA \ [Union ] sB ] ;Print [ sA \ [ Intersection ] sB ] ;Print [ sA \ [ Backs lash ] sB ] ;Print [ sA \ [ Cir lceMinus ] sB ] ;


obliczymy sumę, iloczyn, różnicę i różnicę symetryczną zbiorów

A : = { (x, y) | (x+ 0.5)2 + y2 ¬ 1 }B : = { (x, y) | (x− 0.5)2 + y2 ¬ 1 }.

Możemy też sprawdzić, czy konkretny punkt, na przykład (1, 0) należy do zbioru, na przykład A, pisząc{1 ,0} \ [ Element ] sA

Użycie operatorów \back[Subset], \back[Superset] i \back[equal] pozwala na sprawdzanie zawierania się i równościzbiorów. Warto wiedzieć, że różnego rodzaju operatory, w tym operatory mnogościowe w Mathematica można wprowa-dzać używając skrótów klawiaturowych. Wybrane skróty przedstawiono w tabeli poniżej. W tabeli tej znakiem :oznaczonoprzyciśnięcie klawisza Esc w lewym górnym rogu klawiatury.

operator skrót forma graficzna\[Union] :un: ∪

\[Intersection] :inter: ∩\[Backslash] :\: \\[CirlceMinus] :c-: \[Subset] :sub: ⊂\[Superset] :sup: ⊃\[Equal] :==: =\[Element] :el: ∈\[SmallCirlce] :sc: ◦\[CenterDot] :.: ·\[CircleDot] :c.: �\[CirclePlus] :c+: ⊕\[Cross] :cross: ×\[Times] :*: ×

PiszącSetPlot [ ( sA \ [Union ] sB ) , {−2, 2} , {−2, 2} ]

otrzymamy rysunek zbioru A ∪B w domyślnych kolorach. PiszącSetPlot [ ( sA \ [ Backs lash ] sB ) , {−2, 2} , {−2, 2} , I n t e r i o r S t y l e −> Green ,

BoundaryStyle −> {RGBColor [ 0 , 0 . 5 , . 0 ] , Thick } ]

uzyskamy rysunek zbioru A \B w kolorze i stylu dobranym przez nas. PiszącSetPlot [ ( sA \ [ Cir lceMinus ] sB ) , {−2, 2} , {−2, 2} , Grid−>True ]

uzyskamy rysunek zbioru AB z naniesioną siatką poziomych i pionowych linii o współrzędnych całkowitych. Rysunek takipozwala w szczególności szybko policzyć ilość zawartych w zbiorze tzw. punktów kratowych, tj. punktów o obu współrzędnychcałkowitych.

Ćwiczenie komputerowe 2.1.5 Wykorzystując pakiet PSets oblicz i narysuj zbiory A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B,B \ A i AB dla różnych, zaproponowanych przez Ciebie podzbiorów płaszczyzny. Eksperymentując, ustal znacznieparametrów instrukcji SetPlot. Zastanów się, czy otrzymane rysunki można zawsze uznać za w pełni poprawne.

Czasami warto kilka zbiorów umieścić razem na jednym wykresie (rysunku). Piszącpa = SetPlot [ sA , {−2, 2} , {−2, 2} ,

I n t e r i o r S t y l e −> {Red, Opacity [ 0 . 6 ] } ,BoundaryStyle −> {Red, Thick } ] ;


pb = SetPlot [ sB , {−2, 2} , {−2, 2} ,I n t e r i o r S t y l e −> {Blue , Opacity [ 0 . 6 ] } ,BoundaryStyle −> {Blue , Thick } ] ;

Show [ pa , pb ]

uzyskamy oba zbiory A i B na jednym wykresie, tak jak to przedstawiono w lewym gónym rogu rys. 2.4.

Ćwiczenie komputerowe 2.1.6 Wykorzystaj instrukcję Show, by zilustrować: rozłączność zbiorów, zawieranie sięzbiorów jak również brak rozłączności i brak zawierania się.

Możemy również eksperymentować z pakietem FSets, który implementuje operacje mnogościowe na zbiorach skończo-nych. Na przykład pisząc

sA=FSet [ a , b , c ]sB=FSet [ b , c , d ]sC=sA \ [Union ] sB

obliczymy, że sumą mnogościową zbiorów a, b, c i b, c, d jest a, b, c, d.

2.1.4 Elementarne własności operacji mnogościowych

Uwaga 2.1.7 Niech A,B,C będą zbiorami. Operacje mnogościowe mają następujące własności.

Jeśli A ⊂ B, B ⊂ C, to A ⊂ C,A \A = ∅, A \∅ = A, A ∪A = A, A ∩A = A,

A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A,A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy A ∪B = B,

A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy A ∩B = A,

A ⊂ A ∪B, B ⊂ A ∪B, A ∩B ⊂ A, A ∩B ⊂ B,A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C,

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C),A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

Uwaga 2.1.8 Niech A,B ⊂ X będą zbiorami w przestrzeni X. Uzupełnienie do przestrzeni X ma następujące wła-sności.

A \B = A ∩ (\B),\(\A) = A, \(A ∪B) = (\A) ∩ (\B),

\(A ∩B) = (\A) ∪ (\B),A ⊂ B wtedy i tylko wtedy gdy \A ⊃ \B.

Ćwiczenie komputerowe 2.1.9 Wykorzystaj pakiet FSets, by zilustrować wybrane elementarne własności operacjimnogościowych.

2.2. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI 49

2.2 Iloczyn kartezjański

2.2.1 ParaWsród kluczowych pojec analizy matematycznej jest pojecie ciagu i funkcji. Funkcje najprosciej zdefiniowac jak pewien zbiór par. Pierwszy element pary toargument, a drugi to wartosc funkcji dla tego argumentu. Zatem jesli chcemy definicje funkcji podac na gruncie teorii mnogosci, musimy zdefiniowac pare elementówa i b, zwyczajowo oznaczana (a, b). W pojeciu pary istotne jest, by było wiadomo, który element pary jest pierwszy, a który drugi. Tak wiec roli pary nie mozepełnic dubleton, bo w dubletonie kolejnosc nie ma znaczenia. Mamy bowiem {a, b} = {b, a}. Nie jest oczywiste jak postawic definicje pary na gruncie teoriimnogosci. Nie mozemy zdefiniowac pary jako dwuelementowego ciagu, gdyz ciag jest szczególnym przypadkiem funkcji, a na gruncie teorii mnogosci funkcjedefiniuje sie jako pewien zbiór par (x, y) o stosownych własnosciach.

Formalną definicję pary na gruncie teorii mnogości podamy w rozdziale 4.4.1. Na razie wystarczy nam intiucyjne pojęciepary jako zbioru dwuelementowego (dubletonu) {a, b}, w którym dodatkowo ustalono, że a jest pierwszy, a b jest drugi. Paręelementów a, b zapisywać będziemy (a, b).

Kluczową własnością pary, której nie ma dubleton, jest

Uwaga 2.2.1(a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy gdy a = c i b = d.

Tak więc para (5, 11) nie jest równa parze (11, 5) chociaż, zgodnie z umową dotyczącą zbiorów, mamy {5, 11} = {11, 5}.

2.2.2 Iloczyn kartezjańskiZbiór wszystkich mozliwych par (x, y), gdzie x ∈ X , a y ∈ Y tworzy tzw. iloczyn kartezjanski zbiorówX i Y . Nazwa wywodzi sie od francuskiego matematykaKartezjusza (René Descartes, rys. 2.5), który jako pierwszy zaproponował algebraiczne podejscie do geometrii poprzez potraktowanie płaszczyzny jako zbioru parliczb.

Definicja 2.2.2 Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X × Y := { (x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }.

Iloczyn kartezjański X ×X oznaczamy krótko X2.W pakiecie FSets iloczyn kartezjański zbiorów skończonych obliczamy instrukcją

sC=sA \ [ Cross ] sB

Ćwiczenie komputerowe 2.2.3 Wykorzystaj pakiet FSets, by zilustrować wyliczenie iloczynu kratezjańskiego wy-branych przez siebie zbiorów skończonych.

2.3 RelacjePojecie relacji znane jest nam dobrze z jezyka codziennego. Mówi sie na przykład, ze dwie osoby pozostaja w relacji pokrewienstwa. Albo, ze dwa panstwapozostaja w dobrych relacjach. Relacja oznacza pewien zwiazek pomiedzy dwoma elementami. Z abstrakcyjnego punktu widzenia relacja pomiedzy elementamizbiorówX i Y to w pewien sposób wyrózniony podzbiór iloczynu kartezjanskiegoX × Y . Wyróznienie moze nastapic poprzez podanie warunku wymaganego,by elementy były w relacji, ale w przypadku zbiorów skonczonych czesto ograniczamy sie do wypisania par tworzacych relacje bez merytorycznego wnikania coelementy w te pary połaczyło.

Pojecie relacji jest punktem wyjscia do szeregu podstawowych pojec współczesnej matematyki: w szczególnosc relacji równowaznosci oraz relacji czesciowegoi liniowego porzadku. Jak zobaczymy, funkcje tez traktowane sa dzis przez matematyków jako szczególny przypadek relacji.


Rysunek 2.5: Kartezjusz, 1596-1650

2.3.1 Relacje

Definicja 2.3.1 Relacją w zbiorach X i Y nazywamy dowolny podzbiór R ⊂ X × Y .

Gdy X = Y , mówimy krótko o relacji w X. Tradycyjnie piszemy xRy zamiast (x, y) ∈ R. Zbiór pusty i X × X toodpowiednio relacja pusta i relacja pełna w X. Relacją identycznościową w X jest

∆X := idX := { (x, x) | x ∈ X }.

Zazwyczaj wyrazajac w jezyku naturalnym fakt, iz jakies dwa obiekty pozostaja w pewnej relacji, uzywamy rzeczowników odnoszac sie do obiektów, a czasow-nika odnoszac sie do relacji. Na przykład zdanie "Ala lubi Tomka" opisuje relacje pomiedzy obiektami (osobami) ’Ala’ i ’Tomek’ (rzeczowniki) wyrazona przy pomocyczasownika ’lubic’. Czasownik, szczególnie czasownik ’byc’, czesto wystepuje z przymiotnikiem lub przysłówkiem, tak jak w bardziej matematycznym przykładzie’Liczba 5 jest wieksza niz liczba 3’.

Zdanie ’Japonia zaatakowała USA’ opisuje relacje pomiedzy obiektami (panstwami) ’Japonia’ i ’USA’ wyrazona przy pomocy czasownika ’zaatakowac’. Jesliw zdaniu tym rzeczowniki ’Japonia’, ’Niemcy’ zastapimy zmiennymi x, y, otrzymamy zwrot ’x zaatakował y’, okreslany mianem formy zdaniowej. Forma zdaniowanie jest zdaniem, bo nie mozna ocenic, czy wyraza prawde czy fałsz. Mozna to zrobic, gdy za zmienne podstawimy konkretne obiekty. W ujeciu formalnym towłasnie forma zdaniowa słuzy do okreslenia relacji, a sama relacja jest zbiorem par tych obiektów, które podstawione do formy zdaniowej daja zdanie prawdziwe.

Rozważmy relację w zbiorze X := { 1, 2, 3, 4 } daną wzorem

R := { (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2) }. (2.1)

Relacje te mozna zobrazowac rysujac jej wykres oraz graf (rys. 2.6). Wykres relacji rysujemy podobnie jak wykres funkcji, zaznaczajac w układzie współ-rzednych te punkty, których współrzedne odpowiadaja parom pozostajacym w relacji. Rysowanie wykresu relacji jest mozliwe tylko wtedy gdy zbiory X i Y sapodzbiorami prostej lub w jakis sposób daja sie utozsamic z pewnymi podzbiorami prostej. Same zbioryX i Y nie musza byc skonczone.

Narysowanie grafu relacji jest mozliwe tylko wtedy gdy zbiór X (oba zbiory X i Y gdy relacja jest w zbiorach X i Y ) sa skonczone. Kazdy z elementówzbioruX (lub zbiorówX i Y ) zaznaczamy jako punkt na płaszczyznie. Punkty łaczymy strzałka, gdy odpowiadajace im elementy pozostaja w relacji.

2.3. RELACJE 51

Rysunek 2.6: Wykres i graf relacji R w X

Pakiet Relations w języku Mathematica pozwala na rysowanie wykresów i grafów relacji w zbiorze skończonym X. Naprzykład instrukcja

R = Relat ion [{1,2,3,4},{1−>1,1−>2,1−>4,2−>3,3−>1,4−>2}]

tworzy relację w zbiorze X := { 1, 2, 3, 4 } daną wzorem (2.1). Rysunek wykresu tej relacji uzyskamy piszącRChart [ re ]

Natomiast graf uzyskamy piszącRGraph [ re ]

Aby sprawdzić, czy dana para (a, b) jest w relacji R wystarczy napisaća \ [ CenterDot ] R \ [ CenterDot ] b

Rozważmy relację w X := { a, b, c } i Y := { p, q, r, s } daną wzorem

R := { (a, p), (b, p), (b, q), (c, s) }.

Relacje te mozna zobrazowac rysujac jej graf (rys. 2.7).W przypadku relacji w zbiorach X i Y gdy X 6= Y rysowanie grafu jest bardziej skomplikowane, bo nie można się zdać

na automatyczne rozlokowanie wierzchołków. Rysunek 2.7 uzykano następującym ciągiem instrukcjisx = 0 ; sy = 7 ;g1 = GraphPlot [ { a −> p , b −> p , b −> q , c −> s , r −> r } ,

VertexCoordinateRules −> {a −> {sx , 1} , b −> { sx + 1 , 0} ,c −> {sx , −1}, p −> { sy + 1 , 2} , q −> {sy , 1} ,r −> { sy + 1 , 0} , s −> {sy , −1}},VertexLabel ing −> True , DirectedEdges −> True ,S e l fLoopSty l e −> False , PlotRange −> {{−2, 12} , {−4, 4 } } ] ;

g2 = RegionPlot [ x^2 + y^2 <= 3 , {x , −2, 12} , {y , −4, 4} ,PlotRange −> {{−2, 12} , {−4, 4}} , AspectRatio −> Automatic ,PlotStyle −> { Opacity [ 0 . 0 5 ] , Darker [ Green ] } ] ;

g3 = RegionPlot [ ( x − 7)^2 + y^2 <= 8 , {x , −2, 12} , {y , −4, 4} ,


Rysunek 2.7: Graf relacji R w X i Y

PlotRange −> {{−2, 12} , {−4, 4}} , AspectRatio −> Automatic ,PlotStyle −> { Opacity [ 0 . 0 5 ] , Blue } ] ;

g4 = Graphics [ {Text [ S ty l e [ "X" , Darker [ Green ] , Bold , 2 4 ] , {−1, −2.5}] ,Text [ S ty l e [ "Y" , Blue , Bold , 2 4 ] , { sy + 2 . 5 , −2.5}]} ,PlotRange −> {{−2, 12} , {−4, 4 } } ] ;

u = Show [ g1 , g2 , g3 , g4 ]

2.3.2 Własności relacjiNiech R ⊂ X ×X będzie relacją w X.

Definicja 2.3.2 Wyróżniamy następujące własności relacji R.

• Relacja R jest zwrotna jeśli dla każdego x ∈ X zachodzi xR x.

• Relacja R jest symetryczna jeśli dla dowolnych x, y ∈ X relacja xR y implikuje relację yR x.

• Relacja R jest antysymetryczna jeśli dla dowolnych x, y ∈ X zachodzenie tak relacji xR y jak i relacji yR x jestmożliwe tylko gdy x = y.

• Relacja R jest przechodnia jeśli dla dowolnych x, y, z ∈ X zachodzenie relacji xR y i yR z implikuje zachodzenierelacji xR z.

• Relacja R jest spójna jeśli dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi przynajmniej jedna z relacji xR y, yR x.

Pakiet Relations umożliwia proste sprawdzanie, czy dana relacja ma powyższe własności. Wprowadzając

I s R e f l e x i v e [ re ]IsSymmetric [ r e ]IsAntisymmetr ic [ r e ]I s T r a n s i t i v e [ re ]I sTota l [ r e ]

2.4. RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI 53

dowiadujemy się, że relacja zadana wzorem (2.1) jest antysymetryczna, ale pozostałych rozważanych własności nie posiada.

Ćwiczenie komputerowe 2.3.3 Dla każdej z powyższych pięciu własności podaj przykład relacji w zbiorze pię-cioelementowym, która ma dokładnie tę i, o ile to możliwe, żadną inną z powyższych własności. Przykład zilustrujrysunkiem wykresu i grafu opracowanym w programie Mathematica. Zastanów się, które z powyższych własności łatwosprawdzić oglądając wykres, a które oglądając graf.

2.3.3 Iloczyn kartezjański n zbiorów i relacje n-argumentowe.

Pojęcie pary można uogólnić do pojęcia n-tki (trójki, czwórki, ...) elementów. Formalną definicję n-tki podamy w rozdzia-le 4.7.10. Na razie przyjmiemy, że n-tka elementów to zbiór n-elementowy {a1, a2, . . . an}, w którym ustalono kolejnośćelementów. Taką n-tkę zapisujemy (a1, a2, . . . an), w którym element pierwszy umieszczamy na pierwszej pozycji, drugi nadrugiej itd. Z trzech elementów 1, 2, 3 możemy zatem utworzyć jeden zbiór trzyelementowy, choć zapisać możemy go na sześćróżnych sposobów.

{1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1}.

Natomiast każda z sześciu trójek

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

jest inna.

Definicja 2.3.4 Definiujemy iloczyn kartezjański zbiorów X1, X2, . . . Xn jako

X1 ×X2 × · · · ×Xn :={ (x1, x2, . . . , xn) | gdzie xi ∈ Xi dla i = 1, 2, . . . , n }.

W przypadku gdy wszystkie zbiory Xi są tym samym zbiorem X mówimy o n-tej potędze kartezjańskiej zbioru X iużywamy skrótu Xn. Wygodnie jest rozszerzyć tę konwencję na n = 1 i przyjąć, że X1 := X.

Relacją n-argumentową w zbiorach X1, X2, . . . Xn nazywamy dowolny podzbiór zbioru X1 ×X2 × · · · ×Xn.Podobnie jak relacja dwuargumentowa wyraza zwiazek pomiedzy dwoma elementami, relacja n-argumentowa wyraza zwiazek pomiedzy n-elementami.

Gdy w jezyku naturalnym chcemy wyrazic relacje wieloargumentowa, na przykład trójelementowa, wspomagamy sie najczesciej okolicznikami. Na przykład formazdaniowa ’w zaatakował x w sojuszu z y’ zadaje relacje trójargumentowa, w której trzeci argument został dodany przy wykorzystaniu okolicznika ’e sojuszu zw’.

Konsekwencja przyjecia umowy, ze X1 = X , jest dopuszczenie relacji jednoargumentowych. W konsekwencji kazdy podzbiór X stanowi pewna relacjejednoargumentowa. Relacje jednoargumentowe okreslaja własnosci obiektów. W jezyku naturalnym wyrazane sa przy pomocy czasownika ’byc’ z przymiotnikiem.Na przykład forma zdaniowa ’x jest zielonooki okresla własnosc posiadania zielonych oczu.

2.4 Relacje równoważnościRelacja równowaznosci dokonuje utozsamienia obiektów pod pewnym wzgledem przy zachowaniu róznic pod innym wzgledem. Relacja równowaznosci jest naprzykład bycie tej samej narodowosci. Dwie osoby tej samej narodowosci moga sie róznic pod wieloma wzgledami, ale pod wzgledem narodowosci sa identyczne.

W matematyce relacje równowaznosci słuza jako narzedzie do definiowania nowych pojec. Posłuzymy sie nimi by z liczb naturalnych skonstruowac liczbycałkowite, z liczb całkowitych liczby wymierne, a z liczb wymiernych liczby rzeczywiste.


2.4.1 Relacja równoważności

Definicja 2.4.1 Relację w zbiorze X, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamy relacją równoważno-ści.Dla x ∈ X klasę

[x]R := { y ∈ X | xRy }nazywamy klasą równoważności elementu x.

W rozdziale ... udowodnimy następujące ważne twierdzenie opisujące podstawowe własności klas równoważności.

Twierdzenie 2.4.2 Niech R będzie relacją równoważności w X. Jeśli x, y ∈ X oraz xRy, to [x]R = [y]R. Innymi słowy,klasy równoważności równoważnych elementów są identyczne. Ponadto dla dowolnych x, y ∈ X albo [x]R = [y]R, albo[x]R ∩ [y]R = ∅, to znaczy klasy równoważności dwóch elementów są albo równe, albo rozłączne.

Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie czy relacja jest relacją równoważności. Na przykład piszącrR = Relat ion [ { a , b , c } , {a −> a , b −> b , c −> c , a −> b , b −> a } ]I sEqu iva l ence [ rR ]

otrzymamy odpowiedź True.

2.5 FunkcjePojecie funkcji w matematyce przeszło znaczna ewolucje. Pierwtonie pojecie funkcji wiazano ze wzorem, który pewnej zmiennej liczbowej przypisywał nowawartosc wyliczana ze wzoru. Na przykład, najprostsza funkcja kwadratowa przypisuje liczbie x wartosc x2. Z czasem wymóg algebraicznego wzoru rozluzniono,wymagajac jedynie podania jakiegokolwiek, nie koniecznie wyrazajacego sie wzorem, sposobu przypisania argumentowi wartosci funkcji. Na przykład liczbienaturalnej n mozna przypisac najwieksza liczbe naturalna k, taka, ze 2k dzieli liczbe n bez reszty. Nie ma wzoru na takie k, ale mozna podac algorytm,który takie k nam wyznaczy. Mianowicie dzielimy nasza liczbe przez 2. Jesli wynik jest liczba naturalna, ponownie dzielimy przez 2. Proces ten powtarzamyaz do momentu, gdy dzielenie bez reszty nie jest juz mozliwe, równoczesnie zliczajac dzielenia bez reszty. Otrzymana liczba dzielen bez reszty jest szukanymnajwiekszym k.

W obu tych podejsciach mozemy utworzyc pary łaczac argumenty ze zbioru X w pare z odpowiadajacymi im wartosciami ze zbioru Y . Na funkcje mozemywiec patrzec jako na zbiór par, a wiec relacje w zbiorachX , Y .

W pewnym momencie matematycy uznali, ze za funkcje mozna uznac zbiór par nawet wtedy gdy nie widac zadnego wzoru, czy algorytmu pozwalajacegoprzypisac argumentowi x ∈ X wartosc y ∈ Y . Ma to w szczególnosci sens w przypadku zbiorów skonczonych, bo aby zadac relacje, wystarczy wypisacwszystkie pary, które w relacji pozostaja.

Trzeba jednak wyraznie podkreslic, ze nie kazda relacja moze byc uznana za funkcje. Aby tak sie stało potrzebujemy dwóch własnosci. Pierwsza z nich tojednolistnosc.

Definicja 2.5.1 Niech R ⊂ X × Y będzie relacją. Mówimy, że R jest funkcją jeżeli dla każdego x ∈ X istniejedokładnie jeden y ∈ Y taki, że xR y.

Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie czy relacja jest funkcją. Na przykład piszącrR = Relat ion [ { a , b , c } , {a−>c , b −> b , c −> a } ]I sFunct ion [ rR ]

otrzymamy odpowiedź True.Na zbiór funkcji z X do Y stosujemy oznaczenie

Y X := { f | f : X → Y - funkcja z X do Y }

2.5. FUNKCJE 55

Przykład 2.5.2 1. Niech c ∈ Y . Wtedy { (x, c) | x ∈ X } jest funkcją z X do Y . Nazywamy ją funkcją stałą.

2. Relacja identycznościowa ∆X jest funkcją ∆X : X → X.

3. Relacja pełna w przestrzeni X nie jest funkcją z wyjątkiem przypadku gdy X jest pusty lub jest singletonem.

2.5.1 Obrazy i przeciwobrazyNiech f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . Obrazem zbioru A nazywamy

f(A) := { f(x) | x ∈ A }.

Przeciwobrazem zbioru B nazywamyf−1(B) := {x ∈ X | f(x) ∈ B }.

Uwaga 2.5.3 Niech f : X → Y , a A,A1, A2 ⊂ X i B,B1, B2 ⊂ Y będą zbiorami. Wtedy

Jeśli A1 ⊂ A2, to f(A1) ⊂ f(A2),Jeśli B1 ⊂ B2, to f(A1)f−1(B1) ⊂ f−1(B2),

f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2),f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2),

f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2),f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2),

f(f−1(B)) = B ∩ im f,

f−1(f(A)) ⊃ A.

2.5.2 Injekcje, surjekcje, i bijekcje.Funkcję f : X → Y nazywamy injekcją, jeżeli dla dowolnych x1, x2 ∈ X równość f(x1) = f(x2) implikuje równość x1 = x2.Funkcję f nazywamy surjekcją, jeżeli dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie, że y = f(x). Funkcję f nazywamy bijekcjąjeśli jest injekcją i surjekcją.

Twierdzenie 2.5.4 Niech f : X → Y będzie funkcją. Relacja odwrotna f−1 jest jednolistna wtedy i tylko wtedy gdy fjest injekcją. Relacja odwrotna f−1 jest funkcją wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją.

Relację odwrotną do bijekcji nazywamy funkcją odwrotną.Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie injektywności, surjektywności i bijektywności funkcji przy pomocy metod

IsInjective, IsSurjective i IsBijective.


Rozdział 3

Elementy logiki matematycznej

3.1 Program HilbertaPrzyjrzyjmy sie blizej programowi Hilberta. Chcemy stworzyc jezyk formalny bedacy opisem pewnej matematycznej rzeczywistosci. Zastanówmy sie najpierw comoze składac sie na taka rzeczywistosc? Najlepiej zaczac od takich obiektów matematycznych, z którymi jestesmy juz oswojeni, na przykład od liczb całkowitych.Obiektom przypisujemy pewne własnosci. Na przykład mozemy stwierdzic, ze pewna liczba całkowita z jest parzysta. Albo zauwazyc, ze liczba x jest mniejszaod liczby y. Własnosc moze dotyczyc jednego (jak w przypadku parzystosci), dwóch (jak w przypadku mniejszosci) lub trzech i wiecej obiektów. Wiemy juz, zetaka własnosc dotyczaca n obiektów okreslamy mianem n-argumentowej relacji. Oprócz analizowania własnosci obiektów, wykonujemy tez pewne konstrukcjeobiektów. Na przykład dysponujac liczba x mozemy wziac liczbe do niej przeciwna−x. Dysponujac liczbami x i y mozemy obliczyc sume x+ y czy iloczyn xy.Taka konstrukcja moze wymagac dostarczenia jednego (jak w przypadku liczby przeciwnej), dwóch (jak w przypadku sumy czy iloczynu), badz trzech lub wiecejobiektów. Konstrukcje nowego obiektu w oparciu o dane n obiektów okreslamy mianem n-argumentowej funkcji. Oprócz rozwazania relacji i funkcji zazwyczajpotrzebujemy tez pewne wyróznione obiekty o specjalnych własnosciach, na przykład liczbe 0 i liczbe 1.

W jezyku formalnym, który ma nasza rzeczywistosc opisywac, musimy zaplanowac symbole, które beda kodowac relacje, funkcje i wyróznione obiekty. Chcemy,by tych symboli było mozliwie mało, dlatego w kodowaniu ograniczamy sie do pewnego niezbednego minimum tak by wszystko inne co jest nam potrzebne dałosie zdefiniowac przy uzyciu wybranego mozliwie małego zestawu. Na przykład odejmowanie dwóch liczb całkowitych nie jest nam potrzebne, bo x − y moznazdefiniowac jako dodawanie x + (−y), czyli dodanie x i liczby przeciwnej do y. Podobnie, trzyargumentowe dodawanie x + y + z zdefiniowac mozna jakodwukrotne dwuargumentowe dodawanie (x+ y) + z. Wygodnie jest tez dopuscic funkcje zeroargumentowe, co pozwala zrezygnowac z wyróznionych obiektów,bo funkcja zeroargumentowa, ze wzgledu na brak argumentów, zwraca zawsze ten sam wynik, który mozna utozsamic z wyróznionym obiektem.

Te wyróznione funkcje i relacje traktujemy jako pojecia pierwotne teorii, która bedziemy opisywac w jezyku formalnym. W szczególnosci mówimy o pierwotnychfunkcjach i pierwotnych relacjach. W odniesieniu do pierwotnych funkcji czesto uzywamy zamiennie okreslenia operacja z jedna drobna, zwyczajowa róznicajezykowa: operacje wykonujemy na obiektach, a funkcje wyliczamy dla obiektów.

3.1.1 Struktury matematyczne.Formalny jezyk sam w sobie nie niesie zadnych tresci. Jest to jedynie zbiór poprawnie skonstruowanych napisów i nic wiecej. Aby te napisy miały jakas tresc,trzeba nadac znaczenie zmiennym, symbolom funkcyjnym i symbolom relacyjnym. W tym celu musimy im przypisac jakies obiekty, funkcje i relacje z pewnejmatematycznej rzeczywistosci, tak zwanej struktury matematycznej.

Przez strukturę matematyczną lub krótko strukturę rozumiemy zestaw, na który składają się:

• pewien typ interesujących nas obiektów, zwany dziedziną struktury, gwarantujący istnienie przynajmniej jednegoobiektu,

• pewien skończony zbiór relacji pomiędzy obiektami,

• pewien skończony zbiór operacji, które na obiektach można wykonywać,

• pewien skończony zbiór wyróżnionych obiektów dziedziny.

57

58 ROZDZIAŁ 3. ELEMENTY LOGIKI MATEMATYCZNEJ

3.1.2 Alfabet, słowo i języki formalne.Zastanówmy sie z kolei jak powinien wygladac jezyk formalny. Ma on słuzyc formułowaniu stwierdzen o pewnej strukturze matematycznej. Stwierdzenia powinnyprzyjac forme napisu bedacego ciagiem symboli z pewnego ustalonego alfabetu. Warto zaznaczyc, ze choc uzywamy okreslenia alfabet, to czesto cały ciag litertraktujemy jako oddzielny symbol. Powszechnie stosowanym przykładem sa symbole funkcji trygonometrycznych: sin, cos, tg. Ta konwencja bierze sie stad,ze matematykom ( a tym bardziej informatykom) zbiór liter jezyka codziennego absolutnie nie wystarcza jako zbiór symboli. Stad stosowanie róznych rodzajówznaków, liter opartych o rózne czcionki

a, b, c, ..., A,B,C, ...,

A,B,C, ...,A,B, C, ...,α, β, γ, ...,Γ,∆,Λ...,

czy róznego rodzaju modyfikatorów jak daszki x, y, z . . . czy ptaszki x, y, z . . ..Niech Σ będzie skończonym zbiorem symboli, zwanym alfabetem.

Definicja 3.1.1 • Słowem nad Σ nazywamy dowolny skończony ciąg symboli.

• Zbiór słów nad alfabetem Σ oznaczamy Σ∗.

• Językiem L nad Σ nazywamy pewien podzbiór zbioru słów Σ∗.

Słowa należące do L nazywamy słowami dopuszczalnymi języka L, albo krótko formułami języka L.Oczywiscie, tylko niektóre z wszystkich mozliwych napisów maja jakis sens. Dlatego, definiujac konkretny jezyk musimy podac jakies reguły, które pozwola

rozstrzygnac co jest, a co nie jest sensownym napisem, a wiec tzw. formuła jezyka. Nim sie tym zajmiemy, przyjrzyjmy sie najpierw blizej co powinno sie składacna alfabet jezyka formalnego. Przede wszystkim potrzebujemy odpowiednio bogatego zestawu nazw do oznaczania dowolnych obiektów dziedziny, tak zwanychzmiennych. Zazwyczaj uzywamy do tego koncowych liter alfabetu x, y, z choc czesto potrzebujemy znacznie wiecej zmiennych, stosowane sa wiec tez innekonwencje, na przykład dodawanie indeksów x1, x2, x3 . . ., Natomiast przyda sie nam bardzo szeroki zbiór zmiennych opartych o rózne czcionki:

Potrzebujemy tez oddzielnych symboli dla wyróznionych obiektów dziedziny, dla zestawu przyjetych operacji i dla zestawu przyjetych relacji. Ponadto potrzebu-jemy nawiasów i przecinka do zapisywania argumentów operacji i relacji. Taki zestaw symboli pozwala nam juz na zapisanie pewnych prostych faktów dotyczacychstruktury, która jezyk ma opisywac.

Dla przykładu rozwazmy jeszcze raz strukture, na która składaja sie: liczb całkowite jako dziedzina, wyróznione liczby zero i jeden, dwuargumentowe relacjerównosci i wiekszosci oraz dwuargumentowe operacje dodawania i mnozenia. Rozwazmy jezyk, w którym wyrózniona liczba zero oznaczana jest symbolem Z ,liczba jeden symbolem ’J’, operacja dodawania symbolem D, operacja mnozenia symbolem M , relacja silnej wiekszosci symbolem W , a relacja równoscisymbolemR. Oto prosty fakt zapisany w tym jezyku

W (J, Z),

który łatwo rozszyfrujemy jako stwierdzenie, ze jeden jest wieksze niz zero. Uzywajac zwyczajowych symboli zapisujemy to jako 1 > 0. Nieco trudniej rozszyfrowacformułe

R(D(D(J, J), D(J, J)),M(D(J, J), D(J, J))),

która przy uzyciu bardziej tradycyjnych oznaczen zapisac mozna jako ((1 + 1) + (1 + 1)) = ((1 + 1) ∗ (1 + 1)), a po wprowadzeniu skrótu 2 na 1 + 1 ipominieciu zbednych nawiasów jako 2 + 2 = 2 ∗ 2.

Widac, ze zapisy w jezyku formalnym sa dla człowieka dosc trudne do rozszyfrowania ze wzgledu na ich złozonosc nawet dla bardzo prostych faktów. Byuniknac tej złozonosci przyjmuje sie szereg konwencji, których uczymy sie juz od szkoły podstawowej. Taka konwencja jest na przykład zapisywanie operacjii relacji dwuargumentowych przez wstawienie znaku operacji czy relacji pomiedzy argumenty, co pozwala pominac nawiasy. Tak wiec piszemy 0 + 1 zamiast+(0, 1) oraz 1 > 0 zamiast> (1, 0).

Inna konwencja jest przypisanie priorytetów symbolom funkcyjnym i relacyjnym, co tez pozwala uniknac pisania wielu nawiasów. Na przykład przyjmujemy, zemnozenie ma wiekszy priorytet od dodawania co pozwala rozszyfrowac zapis 1 + 1 ∗ 1 jako 1 + (1 ∗ 1), a nie jako (1 + 1) ∗ 1. Zazwyczaj przyjmujemy, zewszystkie symbole funkcyjne maja wyzszy priorytet niz relacyjne.

Wreszcie, aby uproscic zapis formuły, dla czesto powtarzajacych sie fragmentów wprowadzamy skrótowe oznacznia, na przykład 2 dla 1 + 1. Podkreslmy, zeoznaczenia takie nie sa czescia alfabetu jezyka, a jedynie słuza ułatwieniu czytania skomplikowanych formuł. Jesli chcemy zobaczyc formułe jezyka w jej czystejformie, musimy konsekwentnie z niej wyrugowac wszystkie skróty.

3.1. PROGRAM HILBERTA 59

W dalszym ciagu bedziemy czesto uzywac raz przyjetych konwencji i skrótów bez uprzedzenia, zakładajac, ze czytelnik je zna i jest w stanie, w razie potrzeby,przekształcic zapis tak, by konwencji sie pozbyc.

Warto sobie uświadomić, że stworzenie koncepcji języka formalnego stworzyło grunt, bez którego nie powstałby współcze-sny komputer. Języki formalne, w takim czy innym ujęciu, stanowią podstawę programowania komputerów. W szczególnościjęzyk pakietu Mathematica jest językiem formalnym. Na szczęście, poprzez stworzenie szeregu konwencji i skrótów jest onprzyjazny użytkownikowi. Warto jednak czasem zapytać jak wygląda formuła w języku Mathematica ogołocona z konwencjii skrótów. Pisząc

FullForm [ x + y∗z < w]

otrzymujemy odpowiedź

Less [ Plus [ x , Times [ y , z ] ] ,w]

która przestawia zapis fomuły x+ y ∗ z < w pozbawiony konwencji i skrótów. W szczególności w, x, y, z są zmiennymi, Plusi Times symbolami funkcyjnymi, a Less jest symbolem relacyjnym.

3.1.3 Spójniki logiczneWrócmy do naszej analizy alfabetu jezyka. Ograniczylismy zestaw zakodowanych w symbolach jezyka własnosci (relacji) do niezbednego minimum. Aby móc wjezyku wyrazac takie własnosci jak x jest wieksze lub równe od y potrzebujemy złozyc napisy x > y i x = y w jedna całosc przy uzyciu spójnika logicznego’lub’. W tym celu spójnik ’lub’ musimy dodac do alfabetu. Spójnik ten zwyczajowo kodujemy znakiem ∨. Dodanie tego spójnika do alfabetu pozwala na utworzenienapisu x > y ∨ x = y. Dla wygody wprowadzamy skrót przyjmujac, ze x y oznacza własnie x > 0 ∨ x = 0.

W rozwazanym przykładzie, ze wzgledu na minimalistyczne podejscie do zestawu pojec, wsród relacji pierwotnych uwzglednilismy tylko relacje > i =, alejuz nie <. Zauwazmy jednak, ze własnosc ’x jest mniejsze niz y’ jest równowazna stwierdzeniu: ’niepawda, ze zachodzi alternatywa x jest wieksze od y lub xjest równe y. Tak wiec, aby móc zdefiniowac własnosc mniejszosci potrzebujemy jeszcze spójnika logicznego ’nieprawda, ze’. Zwyczajowo kodujemy go znakiem¬. Dodanie go do alfabetu umozliwia utworzenie napisu ¬x y, co mozna przyjac jako definicje skrótu x < y. Zwyczajowo przyjmujemy, ze spójnik ¬ manajwyzszy priorytet ze wszystkich spójników logicznych.

Spójniki logiczne ∨ oraz ¬ nie sa jedynymi jakie sie przydaja. Aby zapisac własnosc x > 0 i x < 2 potrzebujemy spójnika logicznego ’i’, zapisywanego ∧.Nie musimy go dodawac do alfabetu, bo mozemy przyjac, ze dla formuł ϕ oraz ψ zapis ϕ ∧ ψ jest skrótem od zapisu ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ). Innym czesto uzywanymspójnikem logicznym jest ’implikuje’, zapisywany jako ’⇒’. W jezyku potocznym pojawia sie on w wielu róznych wariantach: ’ϕ implikujeψ’, ’jesliϕ, toψ’, ’ψ, chybaze nieϕ’, przy załozeniuϕ zachodziψ. Choc w pierwszej chwili wydaje sie to zaskakujace, spójnik ’⇒’ daje sie wyrazic poprzez spójniki ’∨’ oraz ’¬’. Dokładniej,zapis ϕ⇒ ψ oznacza tyle samo, co ¬ϕ ∨ ψ, tak wiec spójnik ’⇒’ równiez traktujemy jako skrót. Ze spójnikiem tym wiaze sie troche nieporozumien: bywamylnie traktowany jako stwierdzajacy mozliwosc wywnioskowania ψ z ϕ. Jezyk formalny nie słuzy jednak do stwierdzen na temat mozliwosci przeprowadzaniawnioskowania. Stwierdzenie ’Jesli na narty pojechałem w Dolomity, to słoneczna pogoda była zagwarantowana’ nie oznacza, ze słoneczna pogoda w Dolomitachjest jakas konsekwencja tego, ze ktos sie tam wybrał na narty. Jest tylko obserwacja współistnienia pewnych faktów. Współistnienia wynikajacego z tego, zesłoneczna pogoda zima w Dolomitach jest czesto i nie trzeba duzo szczescia, by na taka trafic.

Mamy tez spójnik ’jest równowazne’, zapisywany jako⇔. Zapis ϕ ⇔ ψ oznacza tyle samo, co (ϕ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ ϕ). W jezyku potocznym jestformułowany równiez zwrotem ’zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy’.

3.1.4 KwantyfikatoryRozwazane do tej pory przykłady formuł opisuja własnosci wyróznionych elementów dziedziny struktury matematycznej. Dla takich formuł mozna sprawdzic czyzapisuja prawde, czy fałsz. O takich formułach mówimy, ze sa zdaniami.

Uzywajac zmiennych, mozemy konstruowac formuły opisujace własnosci blizej nieokreslonych elementów dziedziny. Formuły, w których wystepuja zmiennenazywamy formami zdaniowymi, bo staja sie zdaniami dopiero po podstawieniu za zmienne konkretnych elementów dziedziny. Na przykład formuła x > y jestprawdziwa, gdy za x podstawimy 1, a za y podstawimy 0. Natomiast podstawiajac 0 za x, a 1 za y otrzymujemy fałsz.

Jest jeszcze inny sposób przekształcenia formy zdaniowej w zdanie. Rozwazmy na przykład forme x ∗ x 0 w dziedzinie liczb całkowitych. Podstawiajacw tej formie dowolna liczbe całkowita dostajemy zdanie prawdziwe. Mozemy te obserwacje wyrazic zdaniem: Dla kazdego x zachodzi x ∗ x 0. Wyrazenie ’dlakazdego’ nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, albo inaczej uniwersalnym. Zapisujemy go przy pomocy symbolu ∀. Jest to odwrócona litera ’A’ od angielskiegosłowa ’all’. Nasz przykład zapisujemy zatem symbolicznie jako ∀x x ∗ x 0.


Ogólnie, rozwazmy forme zdaniowa ϕ, w której wystepuje zmienna x, co zapisujemy ϕ(x). Stwierdzajac, ze dla kazdego x zachodzi ϕ(x) otrzymujemyzdanie, które zapisujemy przy pomocy kwantyfikatora ogólnego jako ∀x ϕ(x). Jest ono prawdziwe jesli rzeczywiscie po podstawieniu za zmienna x dowolnegoelementu z dziedziny otrzymujemy zdanie prawdziwe. Jesli istnieje choc jeden element a z dziedziny, dla którego zdanie ϕ(a) jest fałszywe, to zdanie ∀x ϕ(x)jest fałszywe.

Na przykład zdanie ∀x x > 0 jest fałszywe, bo podstawiajac za x liczbe całkowita−1 otrzymujemy zdanie fałszywe. Natomiast zdanie ∀x x ∗ x 0, jakjuz zauwazylismy, jest prawdziwe. Nalezy tu podkreslic, ze niestety nie jestesmy w stanie jego prawdziwosci sprawdzic podstawiajac za x po kolei wszystkie liczbycałkowite, bo jest ich nieskonczenie wiele. Wierzymy, ze tak jest, bo dzieje sie tak dla dowolnie duzego zbioru liczb całkowitych jaki jestesmy w stanie sprawdzic.Jestesmy tez w stanie udowodnic ten fakt. I własnie po to jest nam potrzebny jezyk formalny.

Mamy jeszcze drugi kwantyfikator. Aby sie z nim zaznajomic rozwazmy własnosc parzystosci liczb całkowitych. Liczba x jest parzysta jesli x = 2y dlapewnej innej liczby całkowitej y. To samo inaczej: liczba x jest parzysta, jezeli istnieje y takie, ze x = 2y. Zwrot ’istnieje’ okreslamy mianem kwantyfikatoraszegółowego, albo egzystencjalnego. Oznaczamy go symbolem ’∃’. Jest to odwrócona litera ’E’ od angielskiego słowa ’exists’. Zatem własnosc parzystosci liczbyx mozna zapisac w jezyku formalnym jako ∃y x = 2y.

Ogólnie, z formy zdaniowejϕ(x) mozemy utworzyc zdanie przy uzyciu kwantyfikatora szczegółowego, stwierdzajac, ze istnieje x dla którego zachodziϕ(x),co zapisujemy jako ∃x ϕ(x). Jest ono prawdziwe jesli da sie znalezc element a dziedziny taki, ze ϕ(a) jest zdaniem prawdziwym. Jesli takiego elementu niema, zdanie ∃x ϕ(x) jest fałszywe.

Na przykład zdanie ∃x x > 0 jest prawdziwe, bo 1 > 0. Natomiast zdanie ∃x x ∗ x + 1 = 0 jest fałszywe. Oczywiscie fałszywe dla struktury, któregodziedzina jest zbiór liczb całkowitych, bo w zbiorze liczb zespolonych jest ono akurat prawdziwe. Pamietac zatem nalezy, ze prawdziwosc lub fałszywosc zdania wjezyku formalnym zalezy od struktury, do którego zdania jezyka odnosimy.

Zauwazmy, ze zaprzeczenie stwierdzenia ∀x ϕ(x) mozemy wyrazic przy pomocy spójnika ∃, bo jesli nie jest prawda, ze dla kazdego x zachodzi ϕ(x),to istnieje x taki, ze nie zachodzi ϕ(x). Zatem stwierdzenie ¬∀x ϕ(x) jest równowazne stwierdzeniu ∃x ¬ϕ(x). Podobnie zauwazamy, ze stwierdzenie¬∃x ϕ(x) jest równowazne stwierdzeniu ∀x ¬ϕ(x). Stad wnosimy, ze ∃x ϕ(x) jest równowazne stwierdzeniu ¬∀x ¬ϕ(x). Oznacza to, ze kwantyfikatorszczegółowy ∃ mozna traktowac jako skrót wyrazenia ¬∀x ¬ϕ(x).

3.1.5 Termy i predykaty

Jak wiemy z gramatyki, wsród czesci mowy wyrózniamy w szczególnosci rzeczowniki, czasowniki i przymiotniki. Rzeczowniki słuza do nazywania obiektów.Przymiotniki pozwalaja okreslac własnosci obiektów. Czasowniki okreslaja zaleznosci pomiedzy obiektami. Zauwazylismy juz w rozdziale ..., ze przymiotniki iczasowniki mozemy wrzucic do jednego worka jako czesci mowy wyrazajace relacje n argumentowe (jednoargumentowe dla przymiotników, wieloargumentowedla czasowników).

W jezyku logiki odpowiednikiem rzeczownika jest okreslenie term, a odpowiednikiem przymiotnika i czasownika jest okreslenie predykat. W pewnym uprosz-czeniu, termy to nazwy obiektów, którymi sie zajmujemy, badz zmienne, pod które mozemy obiekty podstawiac. Natomiast predykaty słuza do wyrazania własnoscitermów i relacji zachodzacych pomiedzy termami.

3.2 Język rachunku predykatów.

Formalizacja matematyki odbywa się przy użyciu tzw. języka rachunku predykatów. Alfabet języka rachunku predykatówjest sumą rozłączną A = L ∪ V ∪ F ∪ R ∪ I, gdzie L to zbiór spójników logicznych, V to zbiór zmiennych, F to zbiórsymboli funkcyjnych, R to zbiór symboli relacyjnych, a I zbiór symboli interpunkcyjnych. Przyjmujemy, że zbiór symbolilogicznych L obejmuje dokładnie trzy symbole: ¬, ∨ i ∀, a zbiór symboli interpunkcyjnych obejmuje parę nawiasów (, )oraz przecinek. Ponadto zakładamy, że z każdym symbolem funkcyjnym i każdym relacyjnym związana jest liczba naturalnalub zero, zwana argumentowością symbolu. Zbiór symboli funkcyjnych o argumentowości k oznaczać będziemy Fk, a zbiórsymboli relacyjnych o argumentowości k oznaczać będziemy Rk.

Aby zdefiniować formuły języka rachunku predykatów, czyli jego słowa dopuszczalne, zdefiniujemy najpierw termy,odpowiadające w językach naturalnych rzeczownikom.

3.2. JĘZYK RACHUNKU PREDYKATÓW. 61

Definicja 3.2.1 Termy języka określone są przez następujące dwie reguły:

t1) Termem języka jest każda nazwa będąca zmienną.

t2) Ponadto, jeśli t1, t2, . . . tk są termami języka, a f jest symbolem operacji k-argumentowej, to f(t1, t2, . . . tk) jestrównież termem języka. Przypadek ten obejmuje w szczególności wyróżnione elementy, które utożsamiamy zfunkcjami zero-argumetnowymi.

Definicja 3.2.2 Formuły języka predykatów określone są przez następujące dwie reguły:

p1) Jeśli t1, t2, . . . tk dla k n są termami, a r jest symbolem relacji k-argumentowej, to r(t1, t2, . . . tk) jest formułą.Formułę taką nazywamy formułą atomową.

p2) Jeśli ϕ i ψ są formułami, to ¬(ϕ), (ϕ ∨ ψ) oraz ∀xϕ również są formułami.

Potrzebne jest nam jeszcze pojęcie zmiennej wolnej w formule. Określają to następujące cztery reguły:

Definicja 3.2.3 w1) Zmienna jest zmienną wolną w formule atomowej f(t1, t2, . . . tk) jeśli występuje ona wśródtermów t1, t2, . . . tn.

w2) Zmienna jest zmienną wolną w formule postaci ¬(ϕ) jeśli jest ona zmienną wolną w formule ϕ.

w3) Zmienna jest zmienną wolną w formule postaci (ϕ ∨ ψ) jeśli jest ona zmienną wolną przynajmniej w jednej zformuł ϕ, ψ.

w4) Zmienna jest zmienną wolną w formule postaci ∀x(ϕ) jeśli jest ona zmienną wolną w formule ϕ i nie jest tozmienna występująca bezpośrednio po znaku kwantyfikatora.

Aby zaznaczyć, że x jest zmienną wolną w formule ϕ, piszemy ϕ(x). Zbiór argumentów formuły to zbiór utworzony zewszystkich zmiennych wolnych tej formuły. Mówimy, że zmienna x jest zmienną związaną w formule jeśli nie jest to zmiennawolna w tej formule. Na przykład w formule

∀x ∃y y > x+ z

zmienne x i y są związane, a zmienna z jest wolna. Formułę pozbawioną zmiennych wolnych nazywamy zdaniem. Formułę,która nie jest zdaniem nazywamy jest formą zdaniową. Formę zdaniową o niezwiązanych zmiennych x1, x2, . . . xn zapisujemyczęsto w postaci ϕ(x1, x2, . . . xn).

Stosujemy również symbole ∧, ⇒, ⇔, ∃, ale traktujemy jako skróty:

ϕ ∧ ψ := ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ),ϕ⇒ ψ := ¬ϕ ∨ ψ,ϕ⇔ ψ := (ϕ⇒ ψ) ∧ (ψ⇒ ϕ),∃xϕ(x) := ¬∀x¬ϕ(x).

3.2.1 Interpretacje.


Definicja 3.2.4 • Interpretacją języka L w strukturze matematycznej A nazwiemy przypisanie λ, które z każdązmienną x wiąże pewien obiekt λ[x] w dziedzinie struktury A, z każdym k-argumentowym symbolem funkcyj-nym f pewną k-argumentową funkcję λ[f ] w dziedzinie struktury A, a z każdym k-argumentowym symbolemrelacyjnym r pewną k-argumentową relację λ[r] w dziedzinie struktury A.

• Powiemy, że interpretacja κ jest zgodna z λ, jeśli κ i λ przypisują to samo wszystkim symbolom funkcyjnym irelacyjnym.

• Powiemy, że interpretacja κ pokrywa się z λ poza x, jeśli κ jest zgodna z λ i przypisuje to samo wszystkimzmiennym z wyjątkiem, co najwyżej, zmiennej x.

Przykładem moze byc struktura składajaca sie ze zbioru liczb całkowitych jako dziedziny, liczb zero i jeden jako wyróznionych elementów dziedziny, dwu-argumentowych operacji dodawania i mnozenia dwóch liczb całkowitych i jednoargumentowej operacji brania liczby przeciwnej do danej oraz dwuargumentowejoperacji silnej mniejszosci liczb. Do jej opisania wystarczy jezyk, w którym F0 = {0, 1}, F1 = {−}, F2 = {+, ∗}, R2 = {<}, a interpretacja przypisujetym symbolom ich tradycyjne znaczenia, a zmiennym jakies liczby ze zbioru liczb całkowitych.

Zauwazmy, ze taki sam jezyk wystarczy do opisania struktury obejmujacej liczby naturalne z zerem, liczby wymierne, czy liczby rzeczywiste. Jak zobaczymy,róznica tkwi nie w samym jezyku, ale w interpretacji. Na przykład formuła

∀x 0 < x ∨ x < 0 ⇒ ∃y x ∗ y = 1

jest spełniona przy interpretacji w zbiorze liczb wymiernych, ale nie w zbiorze liczb całkowitych. Doprecyzujemy teraz co dokładnie oznacza, ze formuła jestspełniona w pewnej interpretacji.

Interpretację rozszerzamy na termy, przyjmując, że

λ[f(t1, t2, . . . , tk)] := λ[f ](λ[t1], λ[t2], . . . , λ[tk])].

Dla każdego k-argumentowego symbolu relacyjnego r i zestawu termów t1, t2, . . . , tk możemy postawić pytanie, czy wdziedzinie struktury A zachodzi relacja λ[r](λ[t1], λ[t2], . . . , λ[tk]). Możliwe odpowiedzi są tylko dwie: albo relacja ta zachodzi,albo nie zachodzi. Wygodnie jest to kodować w zbiorze wartości logicznych B := {0, 1} poprzez rozszerzenie interpretacji λna formuły atomowe według wzoru.

λ[r(t1, t2, . . . , tk)] :={

1 gdy λ[r](λ[t1], λ[t2], . . . , λ[tk])] zachodzi,0 gdy λ[r](λ[t1], λ[t2], . . . , λ[tk])] nie zachodzi.

Zróbmy jeszcze jeden krok dalej i rozszerzmy interpretację λ na dowolne formuły przyjmując:

λ[¬ϕ] := 1− λ[ϕ],λ[ϕ ∨ ψ] := max(λ[ϕ], λ[ψ]),

λ[∀xϕ] :={

1 gdy κ[ϕ] = 1 dla dowolnej interpretacji κ pokrywającej się z λ poza x,0 w przeciwnym razie.

Liczbę λ[ϕ] określać będziemy wartością logiczną formuły ϕ przy interpretacji λ.

Definicja 3.2.5 Będziemy mówili, że formuła ϕ przy interpretacji λ jest spełniona, jeśli λ[ϕ] = 1. W przeciwnymrazie będziemy mówili, że formuła nie jest spełniona.

Zatem zgodnie z przyjętym przez nas rozszerzeniem, formuła ¬ϕ jest spełniona przy interpretacji λ wtedy i tylkowtedy, gdy formuła ϕ nie jest spełniona. Podobnie, formuła ϕ ∨ ψ jest spełniona przy interpretacji λ wtedy i tylko wtedy,

3.2. JĘZYK RACHUNKU PREDYKATÓW. 63

gdy przynajmniej jedna z formuł ϕ, ψ jest spełniona. Z kolei formuła ∀xϕ jest spełniona przy interpretacji λ wtedy itylko wtedy, gdy formuła ϕ jest spełniona dla każdej interpretacji, która zmiennej x przypisuje dowolny obiekt z dziedzinystruktury A, a pozostałym zmiennym i wszytkim symbolom relacyjnym i funkcyjnym to samo co interpretacja λ. Obserwacjete pokazują, że przyjęta przez nas interpretacja formuł nadaje symbolom ¬, ∨, ∀ znaczenie zgodne odpowiednio ze zwrotami"nieprawda, że", "albo", "dla każdego" z języka potocznego.

Metatwierdzenie 3.2.6 Wartość logiczną formuł ¬ϕ, ϕ ∨ ψ, ϕ ∧ ψ, ϕ ⇒ ψ, ϕ ⇔ ψ przy interpretacji λ możnawyznaczyć w oparciu o wartości logiczne formuł ϕ i ψ przy interpretacji λ zgodnie z tabelą

ϕ 0 1 0 1ψ 0 0 1 1¬ϕ 1 0ϕ ∨ ψ 0 1 1 1ϕ ∧ ψ 0 0 0 1ϕ⇒ ψ 1 0 1 1ϕ⇔ ψ 1 0 0 1

(3.1)

Dowód: Dwa pierwsze wiersze powyższej tabeli otrzymujemy natychmiast podstawiając zera i jedynki do wzorów ... .Pozostałe wiersze otrzymujemy prostym rachunkiem w podobny sposób. �

Łatwo zauwazyc, ze przy pewnych interpretacjach ta sama formuła raz jest spełniona, a raz nie jest. Na przykład, rozwazmy formułe

∀x x+ 1 > y.

Wystepuje w niej dokładnie jedna zmienna wolna, mianowicie y. Rozwazmy interpretacje w strukturze liczb naturalnych {1, 2, 3, . . .} z relacja wiekszosci w roli> oraz operacja dodawania w roli +, która zmiennej y przypisuje liczbe 5. Nie jest prawda, ze formuła x+1 > 5 jest spełniona dla dowolnej liczby naturalnej x,bo na przykład nie jest spełniona przy przypisaniu zmiennej x liczby 3. Jednak formuła ta jest spełniona przy przypisaniu zmiennej y liczby 1. Rzeczywiscie, dladowolnej liczby naturalnej x zachodzi x+ 1 > 1. Łatwo sprawdzic, ze jest to jedyna liczba naturalna, która przypisana do y spełnia nasza formułe w dziedzinieliczb naturalnych. Natomiast przy interpretacji w strukturze liczb całkowitych nie znajdziemy zadnego przypisania zmiennej y liczby całkowitej, dla którego formuła∀x x+ 1 > y byłaby spełniona.

Definicja 3.2.7 • Formułę ϕ nazywamy semantycznie prawdziwą w interpretacji λ, jeśli jest spełniona przy każdejinterpretacji κ zgodnej z λ.

• Formułę ϕ nazywamy semantycznie fałszywą w interpretacji λ, jeśli formuła ¬ϕ jest semantycznie prawdziwa winterpretacji λ.

Zauważmy, że formuła, która nie jest semantycznie prawdziwa w interpretacji λ nie musi być logicznie fałszywa w tejinterpretacji. Na przykład nie jest semantycznie prawdziwa formuła

x > 5

dla interpretacji λ przypisującej symbolowi > relację większości w dziedzinie liczb naturalnych, bo nie jest ona spełnionaprzy interpretacji κ zgodnej z λ, przypisującej zmiennej x liczbę 3. Zaprzeczenie tej formuły przy interpretacji λ też nie jestsemantycznie prawdziwe, bo nie jest spełnione przy interpretacji przypisującej zmiennej x liczbę 8.

Jeśli formuła jest zdaniem, to przy zadanej interpretacji musi być albo semantycznie prawdziwa, albo semantyczniefałszywa. Jest tak, bo w zdaniu nie ma zmiennych wolnych, a więc przypisanie obiektów zmiennym nie wpływa na spełnialnośćzdania. Zatem każde zdanie przy zadanej interpretacji jest semantycznie rozstrzygalne przy tej interpretacji.

Definicja 3.2.8 Formułę nazywamy tautologią rachunku predykatów, jeśli jest semantycznie prawdziwa przy wszyst-kich interpretacjach. Mówimy też wtedy, że formuła jest logicznie prawdziwa.


Natomiast, jeśli formuła ¬ϕ jest logicznie prawdziwa, to formułę ϕ nazywamy logicznie fałszywą. Podobnie jak w przy-padku semantycznej prawdziwości, formuła, która nie jest logicznie prawdziwa nie musi być logicznie fałszywa. Może bowiembyć przy pewnych interpretacjach, a przy innych być fałszywa. W przeciwieństwie do semantycznej prawdziwości/fałszywościdotyczny to również zdań. Na przykład zdanie

∀x x 1

nie jest ani logicznie prawdziwe, ani logicznie fałszywe, bo jest semantycznie prawdziwe przy interpretacji jako relacja’większe lub równe’ w dziedzinie liczba naturalnych, ale nie jest semantycznie prawdziwe przy interpretacji jako relacja’większe lub równe’ w dziedzinie liczb całkowitych.

Tautologie rachunku predykatów są podstawą wszelkich matematycznych rozumowań. Niestety, nie ma automatycznejmetody rozstrzygania co jest, a co nie jest tautologią rachunku predykatów. Każda tautologia rachunku predykatów wymagapodania oddzielnie dla niej opracowanego uzasadnienia. Można to robić na poziomie metajęzyka, podając metadowód,odwołujący się do pojęcia interpretacji. Przykłady takich metadowodów podamy w rozdziale .... . Można to też robić napoziomie samego języka, podając dowody formalne, o czym porozmawiamy w rozdziale .... .

Jest jednak pewna szczególna rodzina formuł, dla której jest możliwe automatyczne rozstrzygnięcie, czy formuła jesttautologią. Zajmiemy się nimi najpierw.

3.3 Rachunek zdańNiech ϕ będzie zdaniem języka L. Mówimy, że zdanie to jest złożone, jeśli ma postać ¬ψ lub ψ ∨ χ (ewentualnie ψ ∧ χ,ψ⇒χ, ψ⇔χ, jeśli spójników tych nie traktujemy jako skróty). Łatwo zauważyć, że wtedy ψ i χ też są zdaniami. Zdania ψ,χ nazywamy składnikami podstawowymi zdania ϕ. Składnik zdania φ definiujemy poprzez następujące dwie reguły: składnikpodstawowy jest składnikiem oraz składnik składnika jest składnikiem. Zdanie, które nie jest zdaniem złożonym nazywamyzdaniem prostym. Składnik zdania ϕ, który jest zdaniem prostym nazywamy składnikiem prostym zdania φ.

Zdanie proste albo ma postać r(t1, t2, . . . , tk), gdzie r jest symbolem relacyjnym k-argumentowym, a t1, t2, . . . , tk sątermami pozbawionymi zmiennych, albo ma postać ∀x ψ(x) (ewentualnie ∃x ψ(x), jeśli kwantyfikator ∃ nie jest traktowanyjako skrót).

W zdaniu złożonym kwantyfikatory, symbole relacyjne i termy, w szczególności zmienne, schowane są w jego składnikachprostych. Ze wzorów ... wynika, że wartość logiczną zdania ϕ przy zadanej interpretacji λ można obliczyć, jeśli znane sąwartości logiczne jego składników prostych przy tej interpretacji. Obserwacja ta prowadzi do następującej koncepcji rachunkuzdań.

Definicja 3.3.1 Formułę nazywamy formułą rachunku zdań, jeśli nie ma w niej zmiennych, ani symboli funkcyjnych.

Łatwo zauważyć, że wtedy nie ma w niej również symboli kwantyfikatorów, a jedynymi symbolami relacyjnymi są symbolerelacyjne zeroargumentowe.

Definicja 3.3.2 Język rachunku zdań to przypadek szczególny języka rachunku predykatów, który obejmuje wyłącznieformuły rachunku zdań.

Przede wszystkim zauważmy, że formuła rachunku zdań zawsze jest zdaniem, a jego składniki proste są symbolamirelacyjnymi zeroargumentowymi. W przpadku formuły rachunku zdań jej składniki proste określać będziemy też mianemzmiennych zdaniowych, bo ich interpretacja pozostaje bez związku z interpretacją zwykłych zmiennych.

Tautologią rachunku zdań lub krótko tautologią nazywamy formułę rachunku zdań, która jest tautologią.Stwierdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią może być wykonane automatycznym rachunkiem. Przyj-

mijmy, że formuła ϕ rachunku zdań ma k składników prostych (zmiennych zdaniowych). Każda z tych zmiennych zdaniowychmoże przyjąć jedną z dwóch wartości logicznych. Łącznie mamy zatem 2k możliwych konfiguracji wartości tych zmiennych.Jak zauważyliśmy, wartość logiczna formuły rachunku zdań może być wyliczona z wartości logicznej jej składników prostych.

3.4. TAUTOLOGIE RACHUNKU PREDYKATÓW 65

Prawo tożsamości: α⇔ α

Prawa przemienności: α ∨ β⇔ β ∨ αα ∧ β⇔ β ∧ α

(α⇔ β)⇔ (β⇔ α)

Prawa łączności: (α ∨ β) ∨ γ⇔ α ∨ (β ∨ γ)(α ∧ β) ∧ γ⇔ α ∧ (β ∧ γ)

Prawa rozdzielności: (α ∨ β) ∧ γ⇔ (α ∧ γ) ∨ (β ∧ γ)(α ∧ β) ∨ γ⇔ (α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ)

Prawa idempotentności: α ∨ α⇔ αα ∧ α⇔ α

Prawo wyłączonego środka: α ∨ ¬αPrawo podwójnej negacji: ¬¬α⇔ α

Prawa De Morgana: ¬(α ∨ β)⇔¬α ∧ ¬β¬(α ∧ β)⇔¬α ∨ ¬β

Prawo kontrapozycji: α⇒ β⇔¬β⇒¬αPrawo sylogizmu: (α⇒ β) ∧ (β⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)

Prawa pochłaniania: α ∧ (α ∨ β)⇔ αα ∨ (α ∧ β)⇔ α

Prawo odrywania: α ∧ (α⇒ β)⇒ β

Tabela 3.1: Wybrane tautologie rachunku zdań

Wystarczy zatem wyliczyć tę wartość dla wszystkich 2k możliwych konfiguracji. Jeśli w każdym przypadku otrzymamy war-tość 1, to formuła ϕ jest tautologią rachunku zdań.

W ten sposób łatwo można udowodnić następujące twierdzenie:

Metatwierdzenie 3.3.3 Formy rachunku zdań w tabeli 3.1 są tautologiami.

Tautologie rachunku zdan sa nieocenione w rozumowaniach. Mozna sie do nich odwołac zawsze, bez wzgledu na to jakie konkretnie zdania podstawimy zazmienne zdaniowe.

Łatwo sprawdzić, że podstawiając w formule rachunku zdań za zmienne zdaniowe formuły języka predykatów dostajemyformułę języka predykatów. Mamy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3.4 Niech ϕ będzie tautologią rachunku zdań. Niech α1, α2, . . . , αk będą wszystkimi, parami różnymizmiennymi zdaniowymi tej tautologii. Dobierając do każdego αi pewną formułę rachunku predykatów ψi i podstawiającwszędzie w formule ϕ formułę ψi za zmienną αi otrzymujemy tautologię rachunku predykatów.

Dowód: Niech ϕ′ będzie formułą otrzymaną z ϕ po podstawieniach i niech λ będzie ustaloną interpretacją. Niech λ′oznacza interpretację, która zmiennej zdaniowej αi przypisuje wartość λ[ψi]. Łatwo sprawdzić, że λ[ϕ′] = λ′[ϕ]. Ale λ′[ϕ] = 1,ϕ jest tautologią. Zatem λ[ϕ′] = 1 dla dowolnej interpretacji λ, co dowodzi, że również ϕ′ jest tautologią. �

3.4 Tautologie rachunku predykatówJak już wspomnieliśmy, w przypadku formuły rachunku predykatów nie ma mechanicznego sposobu sprawdzenia, czy jestona tautologią. Przyjrzymy się teraz kilku najważniejszym tautologiom rachunku predykatów i podamy dla wybranychdowody na poziomie metajęzyka.


Metatwierdzenie 3.4.1 Niech ϕ(x) będzie formułą, w której zmienna x jest wolna, a zmienna y nie występuje. Niechϕ(y) oznacza formułę otrzymaną z ϕ przez podstawienie zmiennej y za zmienną x wszędzie tam gdzie x występuje jakozmienna wolna. Następujące formuły są tautologiami rachunku predykatów.

∀xϕ(x) ⇔ ∀y ϕ(y), (3.2)∃xϕ(x) ⇔ ∃y ϕ(y), (3.3)∀xϕ(x) ⇒ ϕ(y). (3.4)

Dowód: ... �

Metatwierdzenie 3.4.2 Niech ϕ będzie formułą o zmiennej wolnej x. Następujące formuły są tautologiami rachunkupredykatów.

∀xϕ(x) ⇔ ∃xϕ(x),¬∀xϕ(x) ⇔ ∃x¬ϕ(x),¬∃xϕ(x) ⇔ ∀x¬ϕ(x).

Metatwierdzenie 3.4.3 Niech ϕ,ψ będą formułami o zmiennej wolnej x. Następujące formuły są tautologiami ra-chunku predykatów.

∀xϕ(x) ∧ ψ(x) ⇔ ∀xϕ(x) ∧ ∀xψ(x),∃xϕ(x) ∨ ψ(x) ⇔ ∃xϕ(x) ∨ ∃xψ(x),

∀xϕ(x) ∨ ∀xψ(x) ⇒ ∀xϕ(x) ∨ ψ(x),∃xϕ(x) ∧ ψ(x) ⇒ ∃xϕ(x) ∧ ∃xψ(x).

Ponadto, w ostatnich dwóch formułach symbolu implikacji nie można zastąpić symbolem równoważności.

Metatwierdzenie 3.4.4 Niech ϕ będzie formułą o zmiennych wolnych x i y. Następujące formuły są tautologiamirachunku predykatów.

∀x∀y ϕ(x, y) ⇔ ∀y ∀xϕ(x, y),∃x∃y ϕ(x, y) ⇔ ∃y ∃xϕ(x, y),∃x∀y ϕ(x, y) ⇒ ∀y ∃xϕ(x, y).

Ponadto, w ostatniej formule symbolu implikacji nie można zastąpić symbolem równoważności.

Metatwierdzenie 3.4.5 Niech ϕ będzie formułą o zmiennej wolnej x, a ψ formułą, w której x nie występuje. Nastę-pujące formuły są tautologiami rachunku predykatów.

∀x (ϕ(x) ∧ ψ) ⇔ (∀xϕ(x)) ∧ ψ,∃x (ϕ(x) ∨ ψ) ⇔ (∃xϕ(x)) ∨ ψ,∀x (ϕ(x) ∨ ψ) ⇔ (∀xϕ(x)) ∨ ψ,∃x (ϕ(x) ∧ ψ) ⇔ (∃xϕ(x)) ∧ ψ.

3.5. KONSEKWENCJA I DOWÓD FORMALNY 67

3.5 Konsekwencja i dowód formalnyNiech Φ będzie pewnym skończonym zbiorem formuł języka L. Mówimy, że formuła ψ jest konsekwencją semantycznązbioru Φ jeśli dla każdej interpretacji λ jeśli λ[φ] = 1 dla wszystkich φ ∈ Φ, to również λ[ψ] = 1. Fakt, że formuła ψ jestkonsekwencją semantyczną zbioru Φ zapisujemy jako Φ |= ψ.

Konsekwencji semantycznej nie jesteśmy w stanie sprawdzić w praktyce, bo wymaga to przeanalizowania nieskończonejliczby interpretacji. Dlatego interesuje nas alternatywny, skończony sposób weryfikowania zachodzenia konsekwencji. W tymcelu zdefiniujemy konsekwencję syntaktyczną.

Niech ϕ, ψ będą dowolnymi formułami. Przyjmujemy następujące dwie reguły dowodzenia:

Reguła odrywania: Formuła ψ wynika z formuł ϕ i ϕ⇒ ψ.

Reguła uogólniania: Formuła ∀x ϕ wynika z formuły ϕ poprzez generalizację względem zmiennej x

Wynikanie na mocy reguł dowodzenia określamy też mianem bezpośredniej konsekwencji.

Definicja 3.5.1 Dedukcją lub wywodem ψ z Φ nazywamy ciąg formuł ψ1, ψ2, . . . ψn taki, że ψn = ψ oraz każda formułaψk dla k = 1, 2, . . . n spełnia jeden z poniższych trzech warunków:

1) ψk ∈ Φ,

2) istnieją i, j < k takie, że ψk wynika z formuł ψi, ψj na mocy reguły odrywania,

3) istnieje i < k takie, że ψk wynika z formuły ψi na mocy reguły uogólniania poprzez generalizację względemzmiennej, która nie jest zmienną wolną w żadnej formule należącej do Φ.

Ustalmy pewien zbiór formuł A, który nazywać będziemy zbiorem aksjomatów. Dedukcją lub wywodem ψ z Φ w oparciuo aksjomaty z A nazywamy wywód ψ z Φ ∪A. W tym kontekście elementy Φ nazywamy przesłankami wywodu.

Warto wyjasnic, czemu przesłanki odrózniamy od aksjomatów. Od aksjomatów oczekujemy, by były semantycznie prawdziwe w pewnej interpretacji. Od prze-słanek tego nie oczekujemy. Jak zobaczymy, przesłanki stanowia wygodnie narzedzie pomocnicze w rozumowaniach, ale w ostatecznym rozrachunku interesujanas wywosy nie wykorzystujace przesłanek.

Jeśli istnieje dedukcja ψ z ϕ w oparciu o aksjomaty z A to mówimy, że ψ jest syntaktyczną konsekwencją Φ i piszemyΦ `A ψ lub krótko Φ ` ψ gdy zbiór aksjomatów A jest znany z kontekstu.

W dalszym ciągu zakładamy, że zbiór aksjomatów A obejmuje wszystkie formuły podpadające pod następujące schematy,w których ϕ,ψ, χ są formułami języka L:

(A1) ϕ ∨ ϕ⇒ ϕ,

(A2) ϕ⇒ ϕ ∨ ψ,

(A3) ϕ ∨ ψ⇒ ψ ∨ ϕ,

(A4) (ϕ⇒ ψ)⇒ (χ ∨ ϕ⇒ χ ∨ ψ),

(A5) (∀x ϕ(x))⇒ ϕ(y),

(A6) ∀x (ϕ⇒ ψ)⇒ (ϕ⇒∀x ψ(x)),

przy czym zakładamy, że w (A8) x nie jest zmienną wolną w ϕ.


Definicja 3.5.2 • Jeśli ψ ma dedukcję z samych aksjomatów, to znaczy ∅ ` ψ to piszemy krótko `ψ i mówimy,że ψ jest twierdzeniem teorii opartej o aksjomaty ze zbioru A.

• Jeśli A obejmuje wyłącznie formuły ze schematów (A1) − (A6) to mówimy, że ψ jest twierdzeniem rachunkupredykatów.

Metatwierdzenie 3.5.3 (o dedukcji). Syntaktyczna konsekwencja Φ ` ϕ⇒ ψ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy Φ ∪{ϕ} ` ψ.

Zbiór formuł Φ nazywamy sprzecznym, jeżeli dla pewnej formuły χ jest Φ ` χ ∧ ¬χ.Jak pokazuje poniższe metatwierdzenie, ze sprzecznego zbioru formuł można wydedukować dowolną formułę.

Metatwierdzenie 3.5.4 (o sprzeczności) Jeśli Φ jest sprzeczny, to dla dowolnej formuły χ jest Φ ` χ.

Tym niemniej pojęcie sprzecznego zbioru formuł jest użyteczne w dowodzeniu.

Metatwierdzenie 3.5.5 (o dedukcji nie wprost). Syntaktyczna konsekwencja Φ ` ψ zachodzi wtedy i tylko wtedy gdyΦ ∪ {¬ψ} jest sprzeczny.

Metatwierdzenie 3.5.6 ( o dedukcji koniunkcji) Jeśli Φ ` ψ1 i Φ ` ψ2 to Φ ` ψ1 ∧ ψ2

Dowód: Zdanie ψ1∧ψ2⇔¬(ψ1⇒¬ψ2) jest tautologią wystarczy więc pokazać, że Φ`¬(ψ1⇒¬ψ2). Na mocy twierdzeniao dedukcji nie wprost wystarczy pokazać, że Φ′ := Φ ∪ {ψ1⇒¬ψ2} jest sprzeczny. Z założenia wiemy, że ψ1 oraz ψ2 mająwywód z Φ. Wypisujemy te wywody jeden po drugim i na końcu dopisujemy

ψ1⇒¬ψ2,¬ψ2,

co pokazuje, że Φ′ ` ¬ψ2. Oczywiście Φ′ ` ψ2. Zatem Φ′ jest sprzeczny. �

Metatwierdzenie 3.5.7 ( o dedukcji przez przypadki) Jeśli Φ ∪ {ϕ} ` ψ i Φ ∪ {¬ϕ} ` ψ to Φ ` ψ.

Dowód: Na mocy twierdzenia o dedukcji Φ ` ϕ⇒ ψ oraz Φ ` ¬ϕ⇒ ψ. Na mocy twierdzenia o dedukcji koniunkcjiΦ ` ϕ⇒ ψ ∧ ¬ϕ⇒ ψ. Wykorzystując tautologię

(ϕ⇒ ψ ∧ ¬ϕ⇒ ψ)⇒ ψ

otrzymujemy Φ⇒ ψ. �Następujące ważne metatwierdzenie, pochodzące od K. Gödela, pozostawimy bez dowodu.

Metatwierdzenie 3.5.8 (o pełności rachunku predykatów, K. Gödel, 1930) Dla dowolnego zbioru formuł Φ i for-muły ψ formuła ψ jest semantyczną konsekwencją Φ wtedy i tylko wtedy gdy ψ jest syntaktyczną konsekwencją Φ.W szczególności formuła jest twierdzdeniem rachunku predykatów wtedy i tylko wtedy gdy jest tautologią rachunkupredykatów.

3.6. TEORIE AKSJOMATYCZNE 69

Rysunek 3.1: Giuseppe Peano, 1858-1932. Źródło: Wikipedia

Metatwierdzenie 3.5.9 ( o nazywaniu istniejących obiektów ) Niech ϕ(u) i ψ(u) będą formułami o zmiennej wolneju Jeśli ϕ(u) ` ψ(u) i `∃uϕ(u) to `∃uϕ(u) ∧ ψ(u).

Dowód: Na mocy twierdzenia o dedukcji mamy `ϕ(u)⇒ ψ(u). Ponieważ zbiór przesłanek jest pusty, więc w oparciuo regułę uogólniania mamy też `∀uϕ(u) ⇒ ψ(u) co jest równoważne `∀u¬ϕ(u) ∨ ψ(u). Dowodząc nie wprost formułę∃uϕ(u)∧ψ(u), mamy ∀u¬ϕ(u)∨¬ψ(u). Zatem ∀u (¬ϕ(u)∨¬ψ(u))∧(¬ϕ(u)∨ψ(u)). Wykorzystując rozdzielność koniunkcjiwzględem alternatywy otrzymujemy ∀u¬ϕ(u) ∧ ¬ϕ(u) ∨ ¬ϕ(u) ∧ ψ(u) ∨ ¬ψ(u) ∧ ¬ϕ(u) ∨ ¬ψ(u) ∧ ψ(u)). Stąd wnosimy, że∀u¬ϕ(u), czyli z praw de Morgana ¬∃uϕ(u) co przeczy przyjętemu założeniu. �

3.6 Teorie aksjomatyczneWiele matematycznych rozważań można sformalizować w oparciu o rachunek predykatów wzbogacony o dodatkowe, poza-logiczne aksjomaty, charakterystyczne dla rozważanej teorii.

Przykład 3.6.1 Jako pierwszy przykład rozważmy teorię identyczności, która sama w sobie nie jest bardzo ciekawa,ale jest potrzebna praktycznie w każdej innej teorii, choć akurat, jak zobaczymy, w teorii mnogości identycznośćnie musi być pojęciem pierwotnym, ale można ją zdefiniować. Do opisania teorii identyczności przyjmuje się jedenwyróżniony symbol relacyjny =∈ R2 natomiast dopuszcza się dowolne inne symbole relacyjne i dowolne symbolefunkcyjne. Przyjmuje się następujące aksjomaty

I1) ∀x x = x,

I2) ∀x∀x x = y ⇒ y = x,

I3) ∀x∀x∀z x = y ∧ y = z ⇒ x = z.

I4) dla każdego symbolu funcyjnego f ∈ Fn i dla każdego i = 1, 2, . . . n

ti = t′i⇒ f(t1, . . . , ti−1, ti, ti+1, . . . , tn) = f(t1, . . . , ti−1, t′i, ti+1, . . . , tn)

I5) dla każdego symbolu relacyjnego r ∈ Fn różnego od symbolu równości i dla każdego i = 1, 2, . . . n

ti = t′i⇒ (r(t1, . . . , ti−1, ti, ti+1, . . . , tn)⇔ r(t1, . . . , ti−1, t′i, ti+1, . . . , tn)) .


Przykład 3.6.2 Jako drugi przykład podajmy formalizację liczb naturalnych z zerem, pochodzącą od włoskiegomatematyka Giuseppe Peano (rys. 3.1). Do jej opisania wystarcza język z jednym symbolem relacyjnym =∈ R2,z jednym symbolem funkcyjnym zeroargumentowym 0 ∈ F0 interpretowanym jako liczba zero i jednym symbolemjednooargumentowym ′ ∈ F1 interpretowanym jako operacja wzięcia kolejnej liczby naturalnej. Peano wykazał, żearytmetykę liczb naturalnych można opisać w takim języku, przyjmując, obok aksjomatów teorii identyczności dlasymbolu = zestaw aksjomatów

• ∀n ¬(n′ = 0),

• ∀n∀m n′ = m′ ⇒ n = m,

• dla każdej formuły ϕ zachodzi(ϕ(0) ∧ ∀nϕ(n)⇒ ϕ(n′)) ⇒ ∀nϕ(n)

Na podstawie tych aksjomatów w szczególności można zdefiniować operacje dodawania, mnożenia i porównywanialiczb naturalnych i udowodnić ich własności.

Dowodem formuły w teorii aksjomatycznej jest jej dedukcja ze zbioru aksjomatów. Formułę posiadającą dowód nazywasię twierdzeniem tej teorii. Teorię nazywa się niesprzeczną, jeżeli jej zbiór aksjomatów jest niesprzeczny. Teorię nazywa sięzupełną, jeśli dla każdego zdania tej teorii albo ono albo jego zaprzeczenie jest twierdzeniem tej teorii.

Program Hilberta zakładał, że po sformalizowaniu kluczowych teorii matematycznych uda się przeprowadzić dowodyich niesprzeczności i zupełności w oparciu o samą analizę metamatematyczną formalnego języka te teorie opisującego. Sądwie metody dowodzenia niesprzeczności: metamatematyczna, poprzez czysto formalną analizę języka opisującego teorię,której niesprzeczność chcemy udowodnić oraz semantyczna, w której konstruujemy model dla teorii, której niesprzecznośćdowodzimy na gruncie innej, prostszej teorii, której niesprzeczność zakładamy. Ten drugi sposób jest relatywny: niesprzecz-ność jakiejś teorii, możliwie najprostszej, musimy założyć. W 1930 roku Kurt Gödel pokazał, że metamatematyczny dowódniesprzeczności teorii matematycznej dostatecznie bogatej, by zawierać arytmetykę liczb naturalnych może być przeprowa-dzony jedynie na gruncie teorii bogatszej od tej, której niesprzeczność chcemy udowodnić. Jest to jeszcze gorsze od dowodurelatywnego.

Co więcej, Gödel pokazał też, że każda sformalizowana teoria matematyczna dostatecznie bogata by zawierać arytmetykęliczb naturalnych, jeśli jest niesprzeczna, to jest niezupełna. Te dwa twierdzenia Gödla spowodowały, że plan Hilbertaokazał się nie do zrealizowania w skali o jakiej Hilbert marzył. Tym niemniej, formalizacja teorii matematycznych zostałaprzez matematyków zaakceptowana jako najlepszy sposób unikania paradoksów. Co więcej, dowodzenie niesprzecznościmatematycznych teorii poprzez konstrukcje modelu w teorii prostszej sprawiło, że dziś praktycznie cała matematyka zostałaosadzona na gruncie teorii mnogości, jako tej najbardziej elementarnej teorii matematycznej.

3.7 Formalizm w praktyce matematycznej.Jedynie dowód formalny daje nam pewność, że formuła, którą udowodniliśmy rzeczywiście jest twierdzeniem. Z drugiej stronydowód formalny, nawet jeśli zawiera komentarz wyjaśniający co z czego wynika, jest na ogół długi, męczący w czytaniui najczęściej nie pozwala zrozumieć jak został wymyślony, a w konsekwencji nie sprzyja budowaniu intuicji związanychz dowodzonym twierdzeniem. Matematyk wprawny w konstruowaniu dowodów często woli wymyślić dowód własny niżzrozumieć czyjś dowód zapisany czysto formalnie.

Dlatego zazwyczaj dowody w literaturze matematycznej są swego rodzaju kompromisem pomiędzy formalizmem i czy-telnością. To, którędy przebiega kompromis zależy od przygotowania czytelnika, do którego adresowany jest tekst. Typowyzapis dowodu jest raczej mniej lub bardziej szczegółowym szkicem, jak uzyskać dowód formalny. Szkic jednak powinien byćna tyle precyzyjny, by czytelnik w oparciu o swoje doświadczenie mógł bez problemu uzupełnić brakujące szczegóły.

Jak wspominaliśmy, matematycy stosują mnóstwo sztuczek, by mieć do dyspozycji bardzo dużo różnych symboli, a wkonsewkencji dużo różnych zmiennych. Choć teoretycznie może być on dowolnie duży (na przykład można dodać dowolniedużo ptaszków), w praktyce i tak jest on zbyt mały, by uniknąć kolizji. Dlatego wygodnie jest operować pojęciem zakresu

3.8. SCHEMATY DOWODOWE. 71

występowania zmiennej. Przyjmujemy, że zakresem występowania zmiennej związanej jest najmniejsza podformuła formuły,której związanie dotyczy. W przypadku zmiennej wolnej zakres jej występowania będziemy rozpoczynać zwrotem "Niechx będzie takie, że ..." lub x := ... czytane "Zdefiniujmy x jako ..." lub jakimś zwrotem o tym samym znaczeniu. Zakreswystępowania takiej nazwy obejmuje wszsytkie formuły od użycia tego zwrotu aż do ponownego użycia tego zwrotu, któreto rozpoczyna nowy zakres. Teoretycznie, wymieniając zmienne w różnych zakresach na nowe tak by nie było powtórzeń,możemy się pozbyć powtarzających się zmiennych o różnych znaczeniach.

Aby uniknąć powtarzania ciągle tych samych formuł, wprowadza się do tekstu matematycznego definicje. Od stronyformalnej definicje to tylko skróty. Do definiowania używać będziemy symbolu :⇔ lub⇔ :, w którym po stronie dwukropkaumieszczać będziemy to co definiujemy, a po stronie drugiej to jak definiujemy. Od strony praktycznej dobrze dobranedefinicje są nieocenione, bo sprzyjają budowaniu stosownych intuicji.

W następnych rozdziałach przedstawimy w miarę formalnie zarys teorii mnogości. Oczywiście podstawowym celem będziedowodzenie twierdzeń. Będzie ich dużo więc wygodnie jest nieco rozszerzyć terminologię dotyczącą twierdznenia. Jeśli dowódtwierdzenia jest stosunkowo prosty to samo twierdzenie określa się mianem uwaga. Klasyczne słowo twierdzenie matematcyrezerwują dla szczególnie ważnych twierdzeń. Twierdzenia, których rola jest głównie pomocnicza określa się mianem lematu.Twierdzenia wynikające bezpośrednio z wcześniej udowodnionego innego twierdzenia określa się mianem wniosku.

3.8 Schematy dowodowe.Jak już wspomnieliśmy, w codziennej praktyce matematycznej wypisywanie kompletnych formalnych dowodów jest niewy-konalne. Najczęściej zamiast kompletnych dowodów podajemy mniej lub bardziej dokładne szkice dowodów, opierając sięo różnego rodzaju schematy dowodowe. Schemat dowodowy to pewien sposób rozumowania, o którym wiadomo, że możezostać zastąpiony formalnym dowodem. Ponadto schemat dowodowy zazwyczaj zawiera komentarze, które czytelnikowi ma-ją ułatwić ustalenie na jakiej podstawie konkretna formuła ma prawo znaleźć się w dowodzie. Co więcej, formuły często wczęści lub całości zastępujemy ich słownymi opisami, bo ułatwia czytanie.

Do najważniejszych schematów należy zaliczyć

Dowód wprost. Ten schemat oznacza, że szkicujemy bezpośredni dowód, a więc podajemy kolejne, choć zazwyczajnie wszystkie, formuły jakie znajdują się w dowodzie formalnym.

Dowód implikacji. Jeśli formuła ma postać ϕ⇒ψ to na mocy metatwierdzenia 3.5.3 wystarczy podać wywód formułyψ z przesłanki ϕ.

Dowód przez przypadki. Jeśli podamy wywód formuły θ z przesłanki ϕ oraz wywód z formuły γ z przesłanki ψ iudowodnimy ϕ ∨ ψ, to wiemy z metatwierdzenia 3.5.7, że formuła θ posiada dowód.

Dowód formuły ∀x ∈ Aϕ(x). Aby udowodnić taką formułę wystarczy podać wywód formuły ϕ(x) z przesłanki x ∈ Ai zastosować regułę generalizacji.


Rozdział 4

Elementy teorii mnogości

4.1 Formalizm teorii mnogościJedna z metod sprawdzania niesprzecznosci aksjomatów teorii jest pokazanie, ze aksjomaty te sa twierdzeniami innej teorii, której niesprzecznosc juz udowodnio-no, albo przynajmniej teorii, w której niesprzecznosc aksjomatów budzi mniej watpliwosci.

W pierwszym dwudziestoleciu XX wieku teoria zbiorów, w jezyku polskim najczesciej okreslana mianem teoria mnogosci, stała sie fundamentem głównegonurtu współczesnej matematyki, jako najbardziej elementarna teoria, w której weryfikowac mozna aksjomaty bardziej zaawansowanych teorii.

Twórca teorii mnogosci był niemiecki matematyk Georg Cantor (rys. 4.1).Formalizacja teorii mnogości opiera się na języku predykatów. Nie są potrzebne symbole funkcyjne i jest tylko jeden

symbol relacyjny: ∈ - symbol przynależności do zbioru. Tak więc formuła

x ∈ y

będzie przez nas intepretowana jako stwierdzenie, że x jest elementem zbioru y. Przyjmujemy też od razu skrót

x 6∈ y :⇔ ¬x ∈ y.

Aby nie mnożyć pojęć, wygodnie jest przyjąć, że wszystkie zmienne oznaczają zbiory. W szczególności, jeśli x ∈ y to nietylko y jest zbiorem, ale również x jest zbiorem. Takie podejście jest nieco zaskakujące, ale studiując teorię mnogości szybkosię z nim oswajamy, uświadamiając sobie, że jest wygodne, bo nie mnoży pojęć, a nie ma w nim nic niebezpiecznego.

4.1.1 Podstawowe definicje i oznaczenia.Na początek w formalnych formułach będziemy używać wyłącznie małych liter z końca alfabetu: t, u, v, w, x, y, z dla oznacze-nia zbiorów, dla podkreślenia, że chodzi o zmienne języka formalnego. Na codzień jest to jednak niewygodne, więc niebawemtrochę rozluźnimy tę konwencję.

Definicja 4.1.1 Mówimy, że zbiór x zawiera się w zbiorze y i piszemy x ⊂ y jeżeli

∀t t ∈ x⇒ t ∈ y.

Uwaga 4.1.2 Mamy∀xx ⊂ x.

73

74 ROZDZIAŁ 4. ELEMENTY TEORII MNOGOŚCI

Rysunek 4.1: Georg Cantor, 1845-1918. Źródło: Wikipedia

Dowód: Oto kolejne formuły dowodu formalnego:1. ¬w ∈ x ∨ w ∈ x podstawienie do tautologii wyłączonego środka2. w ∈ x⇒ w ∈ x rozpisanie przy pomocy znaku implikacji3. ∀ww ∈ x⇒ w ∈ x na podstawie reguły generalizacji4. x ⊂ x wykorzystanie definicji zawierania się zbiorów5. ∀xx ⊂ x ponownie na podstawie reguły generalizacji.

�

Uwaga 4.1.3 Mamy∀x∀y ∀z (x ⊂ y ∧ y ⊂ z ⇒ x ⊂ z).

Dowód: Pokażemy najpierw, że{x ⊂ y ∧ y ⊂ z, w ∈ x} ` w ∈ z.

Dowód formalny tego wnioskowania wygląda następująco:1. x ⊂ y ∧ y ⊂ z przesłanka2. w ∈ x przesłanka3. x ⊂ y ∧ y ⊂ z⇒ x ⊂ y podstawienie do tautologii ϕ ∧ ψ⇒ ϕ4. x ⊂ y z 1 i 3 na podstawie reguły odrywania5. ∀t t ∈ x⇒ t ∈ y rozpisanie 4 z definicji6. w ∈ x⇒ w ∈ y na podstawie tautologii (3.4)7. w ∈ y z 2 i 6 na podstawie reguły odrywania8. x ⊂ y ∧ y ⊂ z⇒ y ⊂ z podstawienie do tautologii ϕ ∧ ψ⇒ ψ9. y ⊂ z z 1 i 8 na podstawie reguły odrywania10. ∀t t ∈ y⇒ t ∈ z rozpisanie 9 z definicji11. w ∈ y⇒ w ∈ z na podstawie tautologii (3.4)12. w ∈ z z 7 i 11 na podstawie reguły odrywaniaNa podstawie metatwierdzenia 3.5.3 wnosimy, że

{x ⊂ y ∧ y ⊂ z} ` w ∈ x⇒ w ∈ z.

Ponownie z metatwierdzenia 3.5.3 dostajemy

`(x ⊂ y ∧ y ⊂ z)⇒ (w ∈ x⇒ w ∈ z),

4.1. FORMALIZM TEORII MNOGOŚCI 75

czyli, że formuła(x ⊂ y ∧ y ⊂ z)⇒ (w ∈ x⇒ w ∈ z)

posiada dowód. Na podstawie reguły generalizacji na końcu tego dowodu możemy dopisać formułę

∀w (x ⊂ y ∧ y ⊂ z)⇒ (w ∈ x⇒ w ∈ z).

Rozpisując pierwszą implikację z definicji mamy

∀w ¬(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ∨ (w ∈ x⇒ w ∈ z).

Wykorzystując przemienność alternatywy oraz tautologię 3.5 mamy

¬(x ⊂ y ∧ y ⊂ z) ∨ ∀w (w ∈ x⇒ w ∈ z)

co można ponownie zapisać przy pomocy implikacji jako

(x ⊂ y ∧ y ⊂ z)⇒∀w (w ∈ x⇒ w ∈ z),

a stosując definicję zawierania się zbiorów jako

(x ⊂ y ∧ y ⊂ z)⇒ x ⊂ z.

Stusując teraz trzykrotnie regułę generalizacji otrzymujemy tezę. �W dalszym ciągu trochę rozluźnimy konwencję oznaczania zbiorów i uczynimy ją nieco bardziej intuicyjną. Nowa konwen-

cja będzie następująca. O zbiorach, które jedynie formalnie są zbiorami, ale "nie zaglądamy im do środka", tzn. nie interesująnas ich elementy, ale wyłącznie one same w roli elementów innych zbiorów, mówić będziemy ’obiekty’ lub ’elementy’. Dlatakich zbiorów używać będziemy liter małych podobnie jak do tej pory, choć niekoniecznie z końca alfabetu. Słowo ’zbiór’rezerwujemy dla "zwykłych" zbiorów, a więc takich, których elementom nie zaglądamy do środka. Na oznaczenie takich zbio-rów używać będziemy drukowanych dużych liter A, B, ... X, Y , Z. W przypadku zbiorów, których elementy są zbiorami wtym znaczniu, że zaglądamy im do środka, a więc interesują nas ich elementy, używać będziemy określenia ’rodzina zbiorów’.Rodziny zbiorów oznaczać będziemy dużymi literami pisanymi A, B, ... X , Y, Z. Oczywiście mogą się pojawić i pojawiąsię rodziny zbiorów rzędu drugiego, a więc rodziny, których elementy same w sobie są rodzinami, rodziny rzędu trzeciego,których elementy są rodzinami rzędu drugiego itd. W takich przypadkach nasz system oznaczeń będzie nieco odbiegać odprzyjętej konwencji, ale nie powinno to prowadzić do nieporozumień. Podkreślmy, że ten system oznaczeń ma jedynie nacelu ułatwienie czytania formalnego tekstu, bo dla samej treści to, jakie stosujemy oznacznia nie ma zupełnie znaczenia.

Definicja 4.1.4 Mówimy, że zbiory X i Y są identyczne lub równe jeżeli

X ⊂ Y ∧ Y ⊂ Y.

Piszemy wtedy X = Y . Mówimy, że zbiory X i Y są różne i piszemy X 6= Y jeżeli ¬X = Y .

Zauważmy, że

Uwaga 4.1.5X = Y ⇔ (∀z z ∈ X ⇔ z ∈ Y )

�


Uwaga 4.1.6 Identyczność zbiorów ma następujące trzy własności

∀x x = x, (4.1)∀x∀y x = y ⇒ y = x, (4.2)

∀x∀y∀z x = y ∧ y = z ⇒ x = z. (4.3)

Dowód: ... �Wygodnie jest jeszcze wprowadzić dwa synonimy zwrotu ’zawiera się’.

Definicja 4.1.7 Mówimy, że X jest podzbiorem zbioru Y jeżeli X ⊂ Y . Mówimy, że X jest podzbiorem właściwymzbioru Y i piszemy X ( Y , jeżeli X ⊂ Y i X 6= Y . Mówimy, że X jest nadzbiorem zbioru Y i piszemy X ⊃ Y jeżeliY ⊂ X. Mówimy, że X jest nadzbiorem właściwym zbioru Y i piszemy X ) Y , jeżeli X ⊃ Y i X 6= Y .

Często udaje się pokazać nie tylko istnienie obiektu x o własności ϕ(x), ale również fakt, że obiekt ten jest dokładnie jedenw znaczeniu, że jeśli ϕ(x1) i ϕ(x2) to x1 = x2. Wygodnie jest wprowadzić skrót na oznaczenie takiej sytuacji. Przyjmujemywięc następujące oznaczenie

∃!x ϕ(x) :⇔ ∃x ϕ(x) ∧ (∀y∀z ϕ(y) ∧ ϕ(z)⇒ y = z),

a znak ∃! czytamy ’istnieje dokładnie jeden’.Wygodnie jest też wprowadzić oznaczenie na przypadek gdy kwantyfikator odnosimy tylko do elementów pewnego zbioru

X.

∀x∈X ϕ(x) :⇔ ∀x x ∈ X ⇒ ϕ(x)∃x∈X ϕ(x) :⇔ ∃x x ∈ X ∧ ϕ(x)

4.2 Formuły zbiorotwórcze.Rozważmy formułę ϕ(x) o dokładnie jednej zmiennej wolnej x. Naturalne jest pytanie, czy istnieje zbiór X, którego elemen-tami są dokładnie takie x, dla których formuła ϕ(x) jest spełniona. Formalnie, jest to pytanie czy formuła

∃X ∀x x ∈ X ⇔ ϕ(x) (4.4)

jest spełniona. Powiemy, że formuła ϕ jest zbiorotwórcza, jeżeli formuła (4.4) jest spełniona. Na wczesnym etapie tworzeniateorii mnogości bezkrytycznie przyjmowano, że każda formuła jest zbiorotwórcza. Jednak w 1901 roku brytyjski filozofBertrand Russel (ryc. 4.2 zauważył, że może to prowadzić do sprzeczności. Dokładniej, Russel zauważył, że formuła

ϕ(x) := x 6∈ x

nie może być zbiorotwórcza. Rzeczywiście, załóżmy, że istnieje zbiór X takich zbiorów x, że x 6∈ x. Mamy dwa możliweprzypadki: albo X jest swoim elementem, albo nie jest. Jeśli X ∈ X, to na mocy definicji X mamy X 6∈ X. Jeśli X 6∈ Xto znów na mocy definicji X mamy X ∈ X. Otrzymujemy więc sprzeczność, zwaną paradoksem Russela. Sprzecznościzwiązanych z paradoksem Russela udało się uniknąć poprzez aksjomatyzację teorii mnogości, w której jedynie dla wybranychformuł na mocy aksjomatu przyjmuje się, że są zbiorotwórcze.

Uwaga 4.2.1 Jeśli ϕ jest zbiorotwórcza, to zbiór X w formule (4.4) jest wyznaczony jednoznacznie. Formalnie:

∃!X ∀x x ∈ X ⇔ ϕ(x)

4.2. FORMUŁY ZBIOROTWÓRCZE. 77

Rysunek 4.2: Bertrand Russell, 1872-1970. Źródło: Wikipedia

Dowód: Rozpisując oznaczenie ∃! stwierdzamy, że musimy pokazać koniunkcję dwóch formuł

∃X ∀x x ∈ X ⇔ ϕ(x)

oraz∀X1∀X2 (∀x x ∈ X1⇔ ϕ(x)) ∧ (∀x x ∈ X2⇔ ϕ(x)) ⇒ X1 = X2.

Pierwsza wynika z założenia, że formuła ϕ jest zbiorotwórcza. Aby pokazać drugi, przyjmijmy, że zbiory X1 i X2 są takie,że ∀x x ∈ X1⇔ ϕ(x) i ∀x x ∈ X2⇔ ϕ(x). Wtedy ∀x x ∈ X1⇔ x ∈ X2 i z uwagi 4.1.5 dostajemy, że X1 = X2. �

Zbiór X, którego istnienie postuluje formuła (4.4) oznaczamy

{x | ϕ(x) }. (4.5)

Podkreślmy, że w oznaczeniu tym zmienną x należy traktować jak zmienną związaną, bo zastąpienie jej inną zmienną dajeciągle ten sam zbiór.

Oznaczenie (4.5) zwane jest wyrażeniem klasowym. Nazwa ta bierze się stąd, że oznaczenie (4.5) bywa stosowane równieżwtedy, gdy formuła ϕ nie jest zbiorotwórcza. Mówi się wtedy, że definiuje ono klasę. Pozwala to zastąpić zwrot ’formula ϕjest zbiorotwórcza’ równoważnym mu zwrotem ’klasa

{x | ϕ(x) }

jest zbiorem’.Pojęcie klasy też może być sformalizowane, my jednak nie będziemy tego robić ograniczając się jedynie do przyjęcia

zasady, że wprowadzając oznaczenieF := {x | ϕ(x) }

w przypadku klasy, która nie jest zbiorem, ograniczymy się jedynie do zapisów x ∈ F, które są równoważne formalnemuzapisowi ϕ(x).

W szczególności używać będziemy oznaczenia

V := {x | x = x }

na tak zwaną klasą pełną. Jak zobaczymy, klasa ta też nie jest zbiorem. Natomiast zapis x ∈ V oznacza po prostu tyle, że xjest zbiorem.

Pojęcie zbiorotwórczości można rozważać dla formuły o wielu zmiennych wolnych. Dokładniej, jeśli zmiennymi wolnymiw formule ϕ są: wyróżniona zmienna x oraz pozostałe zmienne x1, x2, . . . xk, to mówimy, że ϕ jest zbiorotwórcza względemx jeśli spełniona jest formuła

∀x1∀x2 · · · ∀xk∃X ∀x x ∈ X ⇔ ϕ(x, x1, x2, . . . xk).


Rysunek 4.3: Ernst Zermelo, 1871-1953 i Abraham Fraenkel, 1891-1965. Źródło: Wikipedia

4.3 Aksjomaty teorii mnogości.Zbiór aksjomatów teorii mnogości, na którym się oprzemy, zaproponował matematyk niemiecki Ernst Zermelo w roku 1908.W kształtowanie się aksjomatów teorii mnogości istotny wkład miał też izraelski matematyk Abraham Fraenkel (rys. 4.3). Wrozdziale tym zaprezentujemy jeden z wariantów wywodzącej się od tych matematyków aksjomatyki teorii mnogości zwanejaksjomatyką Zermelo-Fraenkla.

ZF1. Aksjomat jednoznaczności.

∀x∀y x = y ⇒ (∀A x ∈ A ⇔ y ∈ A).

Aksjomat jednoznaczności mówi, że jeśli dwa zbiory są identyczne, to jeden z nich może być elementem jakieś rodzinywtedy i tylko wtedy gdy również drugi z nich jest elementem tej rodziny.

ZF2. Aksjomat zbioru pustego. Klasa {x | x 6= x } jest zbiorem. Formalnie

∃E ∀x x ∈ E⇔ x 6= x.

Zbiór, którego istnienie postuluje aksjomat zbioru pustego oznaczamy ∅ i nazywamy zbiorem pustym. Nazwa tę uzasadnianastępująca uwaga.

Uwaga 4.3.1∀x x 6∈ ∅.

Dowód: Ustalmy dowolne x. Ze wzoru (4.1) wnosimy, że x = x. Zatem x 6∈ ∅. Generalizując względem x otrzymujemytezę. �

Powiemy, że formuła ϕ(x, y) o zmiennych wolnych x i y ma własność jednoznaczności względem y, jeżeli

∀x∃z∀y ϕ(x, y)⇔ y = z.

Nasz kolejny aksjomat, to w rzeczywistości schemat, który dostarcza po jednym aksjomacie dla każdej formuły ϕ(x, y) zwłasnością jednoznaczności względem y.

4.3. AKSJOMATY TEORII MNOGOŚCI. 79

ZF3. Schemat aksjomatów zastępowania. Dla każdej formuły ϕ o zmien-nych wolnych x, y i własności jednoznaczności względem Y i dla każdego zbioruA klasa

{ y | ∀x∈A ϕ(x, y) }

jest zbiorem. Formalnie:

(∀x∃z∀y ϕ(x, y)⇔ y = z) ⇒ ∀A∃B∀y (y ∈ B⇔∀x∈A ϕ(x, y)).

Schemat aksjomatów zastępowania mówi, że dla każdej rozważanej formuły i dla każdego zbioru A można utworzyć zbiórB obejmujący dokładnie te elementy y, dla których istnieje element x ∈ A taki, że zachodzi ϕ(x, y).

Ważną konsekwencją tego schematu aksjomatów jest następujące metatwierdzenie będące schematem twierdzeń po jed-nym dla każdej formuły ϕ.

Metatwierdzenie 4.3.2 (o specyfikowaniu podzbiorów) Niech ϕ(y) będzie formułą o zmiennej wolnej y. Dladowolnego zbioru X klasa

{ y | y ∈ X ∧ ϕ(y) }

jest zbiorem. Formalnie:∀X ∃Y ∀y y ∈ Y ⇔ y ∈ X ∧ ϕ(y).

Dowód: Rozważmy najpierw przypadek, gdy nie istnieje x ∈ X taki, że ϕ(x). Wtedy y ∈ X ∧ ϕ(y)⇔ y ∈ ∅, zatemposzukiwany zbiór Y istnieje, bo jest nim zbiór pusty. Natomiast jeśli istnieje x0 ∈ X taki, że ϕ(x0), to definiujemy formułęψ o zmiennych wolnych x i y następująco:

ψ(x, y) := (ϕ(x) ∧ x = y) ∨ (¬ϕ(x) ∧ x = x0).

Założenia aksjomatu zastępowania dla tej formuły są ewidentnie spełnione. Na mocy tego aksjomatu zbiorowi X odpowiadazbiór, którego elementami są dokładnie takie y, że y ∈ X oraz ϕ(y). �

Na mocy tego metatwierdzenia, nawet jeśli klasa {x | ϕ(x) } nie jest zbiorem, to analogiczna klasa, ale ograniczona dopewnego zbioru daje już zbiór. Na podstawie tego metatwierdzenia dla danego zbioru X możemy wprowadzić oznaczenie

{x ∈ X | ϕ(x) } := {x | x ∈ X ∧ ϕ(x) },

które zawsze definiuje zbiór. Podkreślmy jednak, że w oznaczeniu tym zakładamy, że X jest zbiorem. Jest to powszechanmetoda definiowania zbiorów w matematyce. Wymaga jednak dysponowania zbiorem X, do którego zawężamy nasze zain-teresowanie formułą ϕ.

Zauważmy, że w szczególności z metatwierdzenia o specyfikowaniu podzbiorów wynika, że klasa pełna V nie może byćzbiorem. Gdyby bowiem była zbiorem, to klasa

{x ∈ V | x 6∈ x }

byłaby zbiorem, a wiemy, że nie jest.

ZF4. Aksjomat zbioru podzbiorów. Jeśli X jest zbiorem, to klasa

{A | A ⊂ X }

jest zbiorem. Formalnie

∀X ∃A∀A A ∈ A⇔A ⊂ X.


Aksjomat zbioru podzbiorów mówi, że dla każdego zbioru można utworzyć zbiór wszystkich jego podzbiorów. Oznaczamygo P(X) lub 2X .

Zauważmy, że P(∅) ma dokładnie jeden element, mianowicie ∅ ∈ P(∅). Natomiast P(P(∅)) ma dokładnie dwa elementy:∅,P(∅) ∈ P(P(∅)).

Twierdzenie 4.3.3 (o istnieniu singletona i dubletona) Dla dowolnych zbiorów a, b klasa

{x | x = a ∨ x = b }

jest zbiorem. Formalnie:∀a ∀b∃X ∀x x ∈ X ⇔ x = a ∨ x = b.

Dowód: Rozważmy formułęϕ(x, y) := (x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x = P(∅) ∧ y = b).

Założenia aksjomatu zastępowania dla tej formuły są ewidentnie spełnione. Rozważmy zbiór A := P(P(∅)). Na mocyaksjomatu zastępowania odpowiada mu zbiór, którego elementami są dokładnie a oraz b. �

Twierdzenie 4.3.3 mówi, że dla dowolnych zbiorów a i b istnieje zbiór, którego elementami są dokładnie a oraz b. Oznacza-my go {a, b}. Gdy a 6= b nazywamy go dubletonem elementów a, b. W przeciwnym razie nazywamy go singletonem elementua.

ZF5. Aksjomat unii. Dla dowolnej rodziny zbiorów A klasa

{x | ∃A∈A x ∈ A }

jest zbiorem. Formalnie

∀A∃U ∀a a ∈ U ⇔∃A∈A a ∈ A.

Aksjomat unii mówi, że jeśli A jest rodziną zbiorów, to można utworzyć zbiór U , którego elementami są wszystkie elementyzbiorów w rodzinie A i tylko te elementy. Nazywamy go unią lub sumą rodziny A i oznaczamy

⋃A. W szczególności, jeśli

A i B są zbiorami, to przyjmujemy oznaczenieA ∪B :=

⋃{A,B},

a zbiór A ∪B nazywamy sumą lub unią zbiorów A i B.Rozważmy teraz wyrażenie klasowe ⋂

A := {x | ∀A∈A x ∈ A }.

Metatwierdzenie 4.3.4 Jeśli rodzina A jest niepusta, to⋂A jest zbiorem. Natomiast

⋂∅ jest klasą pełną V, a więc

nie jest zbiorem.

Dowód: Jeśli A0 ∈ A, to x ∈⋂A implikuje x ∈ A0, więc⋂

A := {x ∈ A0 | ∀A∈A x ∈ A },

a zatem⋂A jest zbiorem na mocy metatwierdzenia o specyfikowaniu zbiorów. Jeśli A = ∅ to implikacja A ∈ A ⇒ x ∈ A

zachodzi dla dowolnego x, bo poprzednik jest fałszywy. Zatem⋂∅ jest klasą pełną. �Dla niepustej rodziny A zbiór

⋂A

nazywamy przecięciem lub iloczynem rodziny zbiorów A.

4.3. AKSJOMATY TEORII MNOGOŚCI. 81

Dla dwóch zbiorów A i B przyjmujemy oznaczenie

A ∩B :=⋂{A,B},

a zbiór A∩B nazywamy iloczynem lub przecięciem zbiorów A i B. Definiujemy też różnicę i różnicę symetryczną zbiorów Ai B odpowiednio jako

A \B := {x ∈ A | x 6∈ B },AB := (A \B) ∪ (B \A).

Mówimy, że A,B są rozłączne jeżeli A ∩B = ∅.Przyjęte do tej pory aksjomaty ani nie wykluczają, ale też nie gwarantują istnienia zbiorów nieskończonych. Jeśli jednak

chcemy skonstruować na gruncie teorii mnogości liczby naturalne, musimy przyjąć jakiś aksjomat, który zagwarantujeistnienie choć jednego zbioru nieskończonego. Jak zobaczymy, konstrukcja zbioru liczb naturalnych opiera się na operacjinastępnika zbioru A zdefiniowanej następująco;

S(A) := A ∪ {A}.Mamy

S(∅) = {∅}S(S(∅)) = {∅, {∅}}

S(S(S(∅))) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}S(S(S(S(∅)))) = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

...

Każdy kolejny zbiór jest nadzbiorem właściwym zbioru poprzedniego, więc w szczególności zbiory te są różne. Jest ichnieskończenie wiele. W aksjomacie nieskończoności postulujemy, że istnieje zbiór, który te wszystkie zbiory zawiera.

ZF6. Aksjomat nieskończoności. Istnieje rodzina zbiorów A taka, że ∅ ∈ Aoraz dla każdego zbioru A ∈ A jego następnik S(A) ∈ A. Formalnie:

∃A ∅ ∈ X ∧ ∀A∈A∃B∈A∀x x ∈ B⇔ x ∈ A ∨ x = A.

4.3.1 Elementarne własności operacji mnogościowychWzięcie sumy, iloczynu, różnicy czy różnicy symetrycznej dwóch zbiorów określamy ogólnie mianem operacji mnogościowej.

Uwaga 4.3.5 Niech A,B,C będą zbiorami. Operacje mnogościowe mają następujące własności.

A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C,A \A = ∅, A \∅ = A, A ∪A = A, A ∩A = A,

A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A,A ⊂ B ⇔ A ∪B = B ⇔ A ∩B = A,

A ⊂ A ∪B, B ⊂ A ∪B, A ∩B ⊂ A, A ∩B ⊂ B,A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C,

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C),A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)


Rysunek 4.4: Kazimierz Kuratowski, 1896-1980

Definicja 4.3.6 Jeśli A ⊂ X to zbiór X \A nazywamy uzupełnieniem A do X i oznaczamy CXA. Gdy X jest ustalonyi znany z kontekstu, to często nazywamy go przestrzeną a uzupełnienie A do X oznaczamy po prostu CA lub \A.

Uwaga 4.3.7 Niech A,B ⊂ X będą zbiorami w przestrzeni X. Uzupełnienie do przestrzeni X ma następujące wła-sności.

A \B = A ∩ (\B),\(\A) = A, \(A ∪B) = (\A) ∩ (\B),

\(A ∩B) = (\A) ∪ (\B),A ⊂ B ⇔ \A ⊃ \B.

4.4 Iloczyn kartezjański4.4.1 ParaParą elementów a i b nazywamy zbiór {{a, b}, {b}} oznaczany krótko (a, b).

Powyzsza, powszechnie dzis uzywana definicje pary podał w 1921 roku polski matematyk Kazimierz Kuratowski (rys. 4.4). Wczesniejsze, bardziej skompliko-wane definicje sie nie przyjeły.

Kluczową własnością pary, której nie ma dubleton, jest

Uwaga 4.4.1(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.

4.4. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI 83

W ponizszym dowodzie trzykrotnie zastosowano schemat dowodowy zwany dowodem przez przypadki. W dowodzie przez przypadki zamiast jednego dowoduprzedstawiamy dwa lub wiecej dowodów, kazdy z pewnym dodatkowym nieudowodnionym załozeniem. Dowód jest kompletny, jesli dodatkowo potrafimy udowodnic,ze przynajmniej jedno z tych dodatkowych załozen musi byc prawdziwe. Ten ostatni fakt czesto sprawdzic jest bardzo łatwo, bo rozwazane przypadki wzajemniesie dopełniaja: na przykład jeden przypadek to x > 0, a drugi x ¬ 0. Zaleta takiego podejscia jest mozliwosc odmiennego poprowadzenia dowodu w kazdym zprzypadków.

Dowód: Choć własność wydaje się oczywista, to jednak jej w miarę formalny dowód jest pracochłonny. Aby udowodnić,że

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.

wystarczy podać oddzielnie dowód implikacji

(a, b) = (c, d) ⇒ a = c ∧ b = d

oraz implikacjia = c ∧ b = d ⇒ (a, b) = (c, d).

Podamy dowód pierwszej z tych implikacji. Dowód drugiej jest znacznie łatwiejszy i zostawiamy go jako ćwiczenie.Załóżmy zatem, że (a, b) = (c, d), co zgodnie z naszą definicją pary oznacza, że {{a, b}, {b}} = {{c, d}, {d}}. Ponieważ

{b} jest elementem zbioru {{a, b}, {b}}, więc jest on też elementem zbioru = {{c, d}, {d}}. Zatem albo {b} = {{c, d}} albo{b} = {d}. Dalszą część dowodu możemy zatem poprowadzić przez przypadki.

Załóżmy najpierw, że {b} = {{c, d}}. Ponieważ tak c jak i d należą do dubletona {{c, d}}, a dubleton {{c, d}} jest w tymprzypadku równy singletonowi {b}, więc c i d należą do singletona {b}. Zgodnie z definicją singletona jest to możliwe tylkowtedy gdy c = b i d = b. Zatem również c = d co oznacza w szczególności, że dubleton {c, d} pokrywa się z singletonem {d},a w konsekwencji mamy

(c, d) = {{c, d}, {d}} = {{d}, {d}} = {{d}}.

Zatem {{a, b}, {b}} = {{d}}. Ponieważ {a, b} należy do lewej strony tej równości, więc należy też do prawej strony. Stąd{a, b} = {d}. To oznacza, że d = a i d = b. Pokazaliśmy zatem, że a = b = c = d, więc w szczególności a = c i b = d. Kończyto dowód w przypadku gdy {b} = {{c, d}}.

By rozważyć drugi przypadek przyjmijmy, że {b} = {d}. Wtedy b = d i pozostaje pokazać, że a = c. Z b = d wynika, że(a, b) = (c, b). Ponieważ {a, b} ∈ (a, b), więc również {a, b} ∈ (c, b). Mamy zatem do rozpatrzenia dwa podprzypadki: albo{a, b} = {c, b} albo {a, b} = {b}. W pierwszym podprzypadku dostajemy a = c lub a = b. Podpodprzypadek a = c niewymaga już dalszego rozumowania, bo chcieliśmy właśnie pokazać, że a = c. Natomiast jeśli a = b, to {a} = {c, b}, skądrównież wynika, że a = c.

Pozostaje jeszcze rozważyć podprzypadek {a, b} = {b}. Wtedy a = b, skąd (a, b) = {{a}}. Zatem {c, d} ∈ {{a}}, skąda = c = d. Tak więc w tym podprzypadku znów dostajemy, że wszsytkie cztery elementy są równe, skąd w szczególnościa = c i b = d. �

4.4.2 Iloczyn kartezjańskiZauważmy, że jeśli X i Y są zbiorami, x ∈ X, y ∈ Y , to

(x, y) = {{x, y}, {y}} ∈ P(P(X ∪ Y )).

Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X × Y := {u ∈ P(P(X ∪ Y )) | ∃x∈X∃y∈Y u = (x, y) }.

Iloczyn kartezjański X ×X oznaczamy krótko X2.


Twierdzenie 4.4.2 Iloczyn kartezjański ma następujące własności.

(i) Jeśli A 6= ∅ 6= B, toA×B ⊂ X × Y ⇔ A ⊂ X i B ⊂ Y,

(ii) Dla dowolnych zbiorów A1, A2, B mamy

(A1 ×B) ∪ (A2 ×B) = (A1 ∪A2)×B,(A1 ×B) ∩ (A2 ×B) = (A1 ∩A2)×B,

(iii) Dla dowolnych zbiorów A,B,C,D mamy

(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).

4.5 Relacje4.5.1 RelacjeRelacją w zbiorach X i Y nazywamy dowolny podzbiór R ⊂ X × Y . Gdy X = Y , mówimy krótko o relacji w X. Trady-cyjnie piszemy xRy zamiast (x, y) ∈ R. Zbiór pusty i X × X to odpowiednio relacja pusta i relacja pełna w X. Relacjąidentycznościową w X jest

∆X := idX := { (x, x) | x ∈ X }.

4.5.2 Własności relacjiNiech R ⊂ X ×X będzie relacją w X. Podane już w rozdziale ... własności relacji definiujemy przy użyciu następującychwzorów formalnych.

R zwrotna :⇔ ∀x ∈ X xR x,

R symetryczna :⇔ ∀x, y ∈ X xR y ⇒ yR x,

R antysymetryczna :⇔ ∀x, y ∈ X xR y ∧ yR x ⇒ x = y,

R przechodnia :⇔ ∀x, y, z ∈ X xR y ∧ yR z ⇒ xR z,

R spójna :⇔ ∀x, y ∈ X xR y ∨ yR x.

4.5.3 Złożenie relacji

Definicja 4.5.1 Dla relacji R w X × Y i relacji S w Y × Z definiujemy obłożenie relacji R przez relację S zwanerównież podstawieniem relacji R w relacji S jako

S ◦R := { (x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y xRy i ySz }.

Definiujemy również relację odwrotną do relacji R jako

R−1 := { (y, x) ∈ Y ×X | xRy }.

4.6. RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI 85

Twierdzenie 4.5.2 Niech Q będzie relacją w W ×X, R relacją w X × Y , a S relacją w Y × Z. Wtedy

(S ◦R) ◦Q = S ◦ (R ◦Q),(S ◦R)−1 = R−1 ◦ S−1, (R−1)−1 = R,

∆−1X = ∆X .

4.5.4 Charakterystyka własności relacjiNastępujące twierdzenie opisuje własności relacji w języku zbiorów.

Twierdzenie 4.5.3 Niech R ⊂ X ×X będzie relacją. Wtedy:

R zwrotna ⇔ ∆X ⊂ R,R symetryczna ⇔ R−1 = R,

R anysymetryczna ⇔ R ∩R−1 ⊂ ∆X ,

R przechodnia ⇔ R ◦R ⊂ R,R spójna ⇔ R ∪R−1 = X ×X.

4.6 Relacje równoważności4.6.1 Relacja równoważności

Definicja 4.6.1 Relację w klasie X, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia nazywamy relacją równoważności.

Dla x ∈ X zbiór[x]R := { y ∈ X | xRy }

nazywamy klasą równoważności elementu x.

Twierdzenie 4.6.2 Niech R będzie relacją równoważności w X. Jeśli x, y ∈ X oraz xRy, to [x]R = [y]R. Innymi słowy,klasy równoważności równoważnych elementów są identyczne. Ponadto dla dowolnych x, y ∈ X albo [x]R = [y]R, albo[x]R ∩ [y]R = ∅, to znaczy klasy równoważności dwóch elementów są albo równe, albo rozłączne.

4.7 Funkcje4.7.1 Relacje jednolistne

Definicja 4.7.1 Niech R ⊂ X × Y będzie relacją. Mówimy, że R jest jednolistna jeżeli

(x, y) ∈ R ∧ (x, y′) ∈ R ⇒ y = y′.


Rysunek 4.5: Graf relacji niejednolistnej i jednolistnej

Rysunek 4.6: Wykres relacji niejednolistnej i jednolistnej

4.7. FUNKCJE 87

Przykładowy graf relacji niejednolistnej (po lewej) i jednolistnej (po prawej) przedstawiono na rys. 4.5. Wykresy tych relacji (niejednolistnej po lewej, jednolistnejpo prawej) przedstawiono na rys. 4.6.

Relacja jednolistna nie moze byc jeszcze uznana za funkcje, bo własnosc jednolistnosci nie gwarantuje, ze kazdy element x ∈ X pozostaje w relacji z jakimselementem y ∈ Y . Jednak nim zajmiemy sie definicja funkcji zauwazmy najpierw, ze czasami mamy do czynienia z sytuacja, w której pewnym argumentom niechcemy badz nie potrafimy w rozsadny sposób przypisac wartosci. Mówimy wtedy o funkcjach czesciowych.

4.7.2 Funkcje częściowe

Definicja 4.7.2 Mówimy, że trójka (X, f, Y ) jest funkcją częściową z X do Y jeżeli f jest relacją jednolistną w X×Y .Tradycyjnie piszemy f : X−→◦ Y na oznaczenie funkcji częściowej z X do Y . Jeśli para (x, y) jest elementem funkcjiczęściowej f z X do Y , to element y jest wyznaczony jednoznacznie przez element x. Oznaczamy go f(x) := y inazywamy wartością funkcji częściowej f w x. Dziedzinę funkcji częściowej f definiujemy jako

dom f := {x ∈ X | ∃y ∈ Y (x, y) ∈ f }.

Obraz funkcji częściowej f definiujemy jako

im f := { y ∈ Y | ∃x ∈ X (x, y) ∈ f }.

Uwaga 4.7.3 Dwie funkcje częściowe (X1, f1, Y1) i (X2, f2, Y2) są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy X1 = X2 if1 = f2 i Y1 = Y2.

Pakiet Relations.m umożliwia sprawdzenie czy relacja jest funkcją częściową. Na przykład piszącrR = Relat ion [ { a , b , c } , {b −> b , c −> c , b −> a } ]I s P a r t i a l F u n c t i o n [ rR ]

otrzymamy odpowiedź False.

4.7.3 FunkcjeAby funkcja czesciowa f była funkcja musimy jeszcze dodac warunek, ze dla kazdego x ∈ X istnieje y ∈ Y taki, ze (x, y) ∈ f . Wykorzystujac pojeciedziedziny, mozemy ten wymóg sformułowac nastepujaco:

Definicja 4.7.4 Jeżeli dla funkcji częściowej (X, f, Y ) spełniony jest warunek dom f = X, to piszemy

f : X → Y

i mówimy, że (X, f, Y ) jest funkcją z X do Y lub odwzorowaniem z X do Y lub przekształceniem X w Y . Często, odstrony formalnej niepoprawnie, mówimy, że to f jest funkcją, rozumiejąc, że jest jasne o jakie X i Y chodzi.

Na zbiór funkcji z X do Y stosujemy oznaczenie

Y X := { f | f : X → Y - funkcja z X do Y }

Przykład 4.7.5 1. Niech c ∈ Y . Wtedy { (x, c) | x ∈ X } jest funkcją z X do Y . Nazywamy ją funkcją stałą.

2. Relacja identycznościowa ∆X jest funkcją ∆X : X → X.

3. Relacja pełna w przestrzeni X nie jest funkcją z wyjątkiem przypadku gdy X jest pusty lub jest singletonem.


Rysunek 4.7: Zawieranie funkcji

4.7.4 (*)Zawieranie się funkcji

Uwaga 4.7.6 Niech f, g : X−→◦ Y . Wtedy warunek f ⊂ g jest równoważny koniunkcji warunków

dom f ⊂ dom g i ∀x ∈ dom f f(x) = g(x).

Przykład zawierania się funkcji przedstawiono na rys. 4.7

Definicja 4.7.7 Niech f, g będą fukcjami częściowymi z X do Y . Mówimy, że f jest zawężeniem g lub g jest rozsze-rzeniem f jeżeli f ⊂ g.

Niech f : X → Y , A ⊂ X. Zawężeniem funkcji f do A nazywamy funkcję

f|A := f ∩A× Y.

4.7.5 Sklejenie funkcji

Uwaga 4.7.8 Niech f, g będą fukcjami częściowymi z X do Y . Suma f ∪ g jest funkcją częsciową z X do Y wtedy itylko wtedy gdy

∀x ∈ dom f ∩ dom g f(x) = g(x).

Definicja 4.7.9 Jeśli f, g : X−→◦ Y są funkcjami częściowymi z X do Y i f ∪g jest funkcją to nazywamy ją sklejeniemfunkcji f i g.

Przykładowe sklejenie funkcji przedstawiono na rys. 4.8

4.7. FUNKCJE 89

Rysunek 4.8: Sklejenie funkcji

4.7.6 (*)Zestawienie i iloczyn kartezjański funkcji

Definicja 4.7.10 Niech f : X → Y i g : X → Z. Zestawieniem funkcji f i g nazywamy funkcję

(f, g) : X 3 x 7→ (f(x), g(x)) ∈ X × Y.

Definicja 4.7.11 Niech f : X1 → Y1, a g : X2 → Y2. Iloczynem kartezjańskim funkcji f i g nazywamy funkcję

f × g : X1 ×X2 3 (x1, x2)→ (f(x1), g(x2)) ∈ Y1 × Y2.

Oznaczenie na zestawienie i iloczyn kartezjański funkcji koliduje z parą funkcji i iloczynem kartezjańskim funkcjipotraktowanych jako zbiory. Jednak w tym drugim znaczeniu oznaczeń tych praktycznie się nie używa, więc ryzyko błędnejinterpretacji jest minimalne.

4.7.7 Obrazy i przeciwobrazyNiech f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . Obrazem zbioru A nazywamy

f(A) := { y ∈ Y | ∃x∈A y = f(x) }.

Przeciwobrazem zbioru B nazywamyf−1(B) := {x ∈ X | f(x) ∈ B }.

Uwaga 4.7.12 Niech f : X → Y , a A,A1, A2 ⊂ X i B,B1, B2 ⊂ Y będą zbiorami. Wtedy

A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2),B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2),f(A1 ∪A2) = f(A1) ∪ f(A2),

f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2),f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2),

f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2),f(f−1(B)) = B ∩ im f,

f−1(f(A)) ⊃ A.


4.7.8 Złożenie funkcji

Twierdzenie 4.7.13 Niech f : X−→◦ Y , g : Y−→◦ Z będą funkcjami częściowymi. Wtedy g ◦ f jest funkcją częściową zX do Z,

dom g ◦ f = f−1(dom g),

oraz dla x ∈ dom g ◦ fg ◦ f(x) = g(f(x)).

Co więcej, jeśli f i g są funkcjami, to g ◦ f jest funkcją.

4.7.9 Injekcje, surjekcje, i bijekcje.Relacja odwrotna do relacji jednolistnej nie musi być jednolistna. Zatem relacja odwrotna do funkcji częściowej nie musi byćfunkcją częściową.

Funkcję f : X → Y nazywamy injekcją, jeżeli dla dowolnych x1, x2 ∈ X

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

Funkcję f nazywamy surjekcją, jeżeli dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X takie, że y = f(x). Funkcję f nazywamy bijekcjąjeśli jest injekcją i surjekcją.

Twierdzenie 4.7.14 Niech f : X → Y będzie funkcją. Relacja odwrotna f−1 jest jednolistna wtedy i tylko wtedy gdyf jest injekcją. Relacja odwrotna f−1 jest funkcją wtedy i tylko wtedy gdy f jest bijekcją.

Relację odwrotną do bijekcji nazywamy funkcją odwrotną.

4.7.10 Iloczyn kartezjański n zbiorówIloczyn kartezjański nie jest łączny:

(X × Y )× Z 6= X × (Y × Z),

bo ((a, b), c) 6= (a, (b, c)). Jest jednak naturalna bijekcja

(X × Y )× Z 3 ((a, b), c) 7→ (a, (b, c)) ∈ X × (Y × Z),

która pozwala utożsamiać te zbiory. Pozwala to mówić o iloczynie kartezjańskim trzech (i analogicznie) więcej zbiorów bezpodawania nawiasów. Dla n-krotnego iloczynu kartezjańskiego zbioru X przez siebie stosujemy krótką notację Xn.

4.7.11 Sumy i iloczyny indeksowane

Definicja 4.7.15 Często zdarza się, że rodzina podzbiorów zbioruX zadana jest jako kodziedzina odwzorowania, t.zw.odwzorowania indeksującego A : J → P(X). Wtedy rodzinę tę zapisujemy często jako {Aj}j∈J oraz wprowadzamyoznaczenia na sumę i przecięcie tej rodziny⋃

j∈JAj :=

⋃{Aj | j ∈ J },

⋂j∈J

Aj :=⋂{Aj | j ∈ J }.

4.8. RÓWNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW. TWIERDZENIE CANTORA I CANTORA-BERNSTEINA. 91

Twierdzenie 4.7.16 Niech A : J → P(X) będzie odwzorowaniem indeksującym rodzinę podzbiorów X. Jeśli J =J1 ∪ J2, to ⋃

j∈JAj =

⋃j∈J1

Aj

∪ ⋃j∈J2

Aj

,⋂j∈J

Aj =

⋂j∈J1

Aj

∩ ⋂j∈J2

Aj

.

Ponadto

\

⋃j∈J

Aj

=⋂j∈J\Aj , \

⋂j∈J

Aj

=⋃j∈J\Aj .

Jeśli dodatkowo B : K → P(Y ) jest odwzorowaniem indeksującym rodzinę podzbiorów Y , to⋃j∈J

Aj

×( ⋃k∈K

Bk

)=

⋃(j,k)∈J×K

Aj ×Bk,⋃j∈J

Aj

∩( ⋃k∈K

Bk

)=

⋃(j,k)∈J×K

Aj ∩Bk,⋂j∈J

Aj

∪( ⋂k∈K

Bk

)=

⋂(j,k)∈J×K

Aj ∪Bk.

4.8 Równoliczność zbiorów. Twierdzenie Cantora i Cantora-Bernsteina.

Definicja 4.8.1 Zbiory X,Y nazywamy równolicznymi jeśli istnieje bijekcja f : X → Y .

Twierdzenie 4.8.2 Relacja równoliczności zbiorów jest relacją równoważności w klasie pełnej.

Twierdzenie 4.8.3 (Cantora) Żaden zbiór nie jest równoliczny ze zbiorem swoich podzbiorów.

Dowód: Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że dla pewnego zbioru X istnieje bijekcja f : X 7→ 2X . Rozważmy zbiór

Z := {x ∈ X | x 6∈ f(x) }.

Z definicji zbioru Z wynika, że Z ∈ 2X . Zatem, ponieważ f jest bijekcją, wnosimy, że istnieje z ∈ X takie, że f(z) = Z.Zachodzi jeden z dwóch przypadków: albo z ∈ Z, albo z 6∈ Z. W pierwszym przypadku wnosimy z definicji zbioru Z, żez 6∈ f(z) = Z, otrzymujemy więc sprzeczność. Podobnie, w przypadku drugim, mamy z 6∈ Z. Ale wtedy z ∈ f(z) = Z, coponownie daje sprzeczność. Tak więc w każdym z możliwych dwóch przypadków otrzymujemy sprzeczność, co dowodzi, żenasze przypuszczenie o istnieniu bijekcji było fałszywe. �

Twierdzenie 4.8.4 (Cantora-Bernsteina) Jeśli zbiór A jest równoliczny z podzbiorem zbioru B, a zbiór B jest rów-noliczny z podzbiorem zbioru A, to zbiory A i B są równoliczne.

Dowód: .... �


Rozdział 5

Liczby naturalne. Indukcja i rekurencja.

Naszym celem w tym i nastepnym rozdziale jest naszkicowanie konstrukcji zbiorów liczbowych na gruncie teorii mnogosci. Czasami, jak to zrobimy w przypad-ku zbioru liczb całkowitych, wymiernych, czy zespolonych wygodnie jest przeprowadzic bezposrednie konstrukcje. Robimy tak zazwyczaj wtedy, gdy jest jakasszczególnie naturalna, narzucajaca sie konstrukcja. Jesli mozliwych, istotnie róznych konstrukcji jest wiele, preferujemy podanie ogólnej definicji wraz ze stwier-dzeniem pokazujacym, ze stosowny zbiór da sie skonstruowac i to w jedyny, z dokładnoscia do pewnego utozsamienia, sposób. Tak postapimy w przypadku liczbnaturalnych i liczb rzeczywistych.

Ponadto w rozdziale tym zdefiniujemy pojecie działania, grupy oraz ciała. Pojecia te pozwalaja uogólnic koncepcje dodawania i mnozenia liczb i dowodzictwierdzenia modelowane na własnosciach liczb, a prawdziwe w znacznie szerszym zakresie. W przypadku takich ogólnych definicji czesto uzywamy pojeciaaksjomatyka. Nalezy jednak podkreslic, ze uzycie słowa aksjomatyka w odniesieniu do definicji nie oznacza, ze rozszerzamy zbiór aksjomatów. W matematycebudowanej w oparciu o terie mnogosci jedyne potrzebne aksjomaty to aksjomaty teorii mnogosci.

5.1 Liczby naturalne

5.1.1 Aksjomatyka liczb naturalnychNaturalne jest przyjac, ze pierwotny pasterz, który wiedział, ze ma stado owiec liczace n sztuk, był swiadom, ze moze tez miec stado o jedna sztuke wieksze. "Ojeden wiecej" to bardzo naturalne i bardzo elementarne pojecie w matematyce okreslane mianem nastepnika. Jest ono podstawa nastepujacej definicji okreslanejmianem aksjomatyki liczb naturanych.

Uzycie zwrotu aksjomatyka w odniesieniu do tej definicji słuzy jedynie podkresleniu, ze wszystkie twierdzenia, które wywiesc mozna z danej definicji stanowiawazna teorie, która moze byc rozwijana niezaleznie od teorii mnogosci.

Definicja 5.1.1 Struktura liczb naturalnych to trójka (N, 0, s) spełniająca warunki

(i) N jest zbiorem,

(ii) s : N → N jest injekcją,

(iii) 0 ∈ N \ s(N)

(iv) (zasada indukcji) dla dowolnego K ⊂ N jeśli

(iv.1) 0 ∈ K,(iv.2) n ∈ K ⇒ s(n) ∈ K

to K = N .

93

94 ROZDZIAŁ 5. LICZBY NATURALNE. INDUKCJA I REKURENCJA.

Rysunek 5.1: John von Neumann, 1903-1957, Źródło: Wikipedia

5.1.2 Konstrukcja von NeumannaPostawienie powyzszej definicji oczywiscie nie gwarantuje, ze cos co spełnia wymogi tej definicji rzeczywiscie istnieje i jest w jakims rozsadnym sensie dokładniejedno (nie chcielibysmy miec wielu istotnie róznych zbiorów liczb naturalnych). Dlatego potrzebna jest jakas konstrukcja zbioru liczb naturalnych na gruncie teoriimnogosci oraz uzasadnienie jednoznacznosci. Formalna konstrukcje zbioru liczb naturalnych na gruncie teorii mnogosci, a dokładniej w oparciu o aksjomatnieskonczonosci, podał amerykanski matematyk wegierskiego pochodzenia, John von Neumann (rys. 5.1).

Role nastepnika pełni w niej funkcja S wykorzystywana w aksjomacie nieskonczonosci. Nie mozemy skorzystac z operacji dodania jedynki, bo na tym etapieformalizacji nie mamy jeszcze formalnie zdefiniowanego dodawania liczb. Dodawanie zdefiniujemy dopiero w oparciu o pojecie nastepnika.

Twierdzenie 5.1.2 Trójka spełniająca warunki definicji 5.1.1 istnieje.

Dowód: Przypomnijmy, że następnikiem zbioru a nazywamy zbiór S(a) := a∪{a}. Powiemy, że zbiór A jest induktywny,jeśli spełnia dwa warunki

∅ ∈ Aa ∈ A ⇒ S(a) ∈ A.

Łatwo sprawdzić, że przecięcie dowolnej rodziny zbiorów induktywnych, w szczególności dwóch zbiorów induktywnych, teżjest zbiorem induktywnym. Na mocy aksjomatu nieskończoności przynajmniej jeden zbiór induktywny istnieje. Ustalmy jedentaki zbiór i oznaczmy go L. To mógłby być nasz zbiór liczb naturalnych, ale może być w nim coś więcej, dlatego musimy siętych ewentualnych, niepotrzebnych elementów pozbyć. Niech L oznacza rodzinę wszystkich induktywnych podzbiorów L iniech N :=

⋂L. Łatwo sprawdzamy, że zbiór N też jest induktywny.

Co więcej, jeśli K jest zbiorem induktywnym, to K ∩L jest zbiorem induktywnym zawartym w L. Stąd N ⊂ K ∩L ⊂ K,zatem N zawiera się w dowolnym innym zbiorze induktywnym. Zatem N jest najmniejszym zbiorem induktywnym w sensierelacji inkluzji.

Przyjmujemy oznaczenia:

0 := ∅,s(n) := S(n) dla n ∈ N.

5.1. LICZBY NATURALNE 95

Sprawdzimy, że trójka (N, 0, s) spełnia warunki definicji 5.1.1. Wiemy już, że N jest zbiorem, więc własność (i) zachodzi.Oczywiście 0 = ∅ ∈ N , a ponieważ n ∈ s(n), więc dla dowolnego n ∈ N mamy s(n) 6= ∅ = 0. co pokazuje własność (iii).Własność (iv) definicji 5.1.1 stwierdza, że każdy induktywny podzbiór N jest równy N . Zatem wynika ona natychmiast znaszej wcześniejszej obserwacji, że N zawiera się w każdym zbiorze induktywnym. Aby udowodnić własność (ii) pokażemynajpierw, że

∀n ∈ N∀m ∈ N m ∈ n ⇒ m ⊂ n. (5.1)Niech

N ′ := {n ∈ N | ∀m ∈ N m ∈ n ⇒ m ⊂ n }.Wystarczy pokazać, że N ′ jest induktywny. Zauważmy, że implikacja

m ∈ ∅ ⇒ m ⊂ ∅

jest pusto spełniona. Zatem 0 = ∅ ∈ N ′, co oznacza, że zbiór N ′ spełnia warunek (iv.1). Aby pokazać (iv.2) załóżmy, żen ∈ N ′. Aby pokazać, że s(n) ∈ N ′ weźmy m ∈ s(n). Ponieważ założyliśmy, że n ∈ N ′, więc z definicji zbioru n′ wnosimy,że w szczególności dla naszego m zachodzi implikacja

m ∈ n ⇒ m ⊂ n. (5.2)

Z definicji s(n) i przesłanki m ∈ s(n) wnosimy, że albo m ∈ n albo m = n. W pierwszym przypadku z implikacji (5.2)wnosimy, że m ⊂ n. W drugim przypadku ta inkluzja jest oczywista. Zatem dla dowolnego n ∈ N pokazaliśmy implikację

m ∈ s(n) ⇒ m ⊂ s(n),

co dowodzi, że s(n) ∈ N ′. Zatem z przesłanki n ∈ N ′ wynika, że s(n) ∈ N ′. Dowodzi to, że N ′ spełnia również warunek (iv.2),czyli jest induktywny. Zatem z pokazanej już własności (iv) wnosimy, że N ′ = N , a to dowodzi prawdziwości formuły (5.1).

Możemy teraz pokazać własność (ii). Załóżmy, że dla pewnych n,m ∈ N mamy s(n) = s(m). Wtedy w szczególnościn ∈ s(n) = s(m), zatem albo n ∈ m albo n = m. Zatem z (5.1) w pierwszym przypadku, a w sposób oczywisty w drugimprzypadku, dostajemy n ⊂ m. Zamieniając m i n rolami dostajemy dowód, że m ⊂ n. Zatem m = n, czyli s jest iniekcją. �

Warto się przyjrzeć jak wygląda kilka początkowych liczb naturalnych według von Neumanna. I tak, mamy

0 := ∅,1 := s(0) = {∅},2 := s(1) = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}},3 := s(2) = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}},

· · · .

Konstrukcja von Neumanna nie jest jedyna mozliwa. Na przykład mozna przyjac

0 := ∅,1 := {∅},2 := {{∅}},3 := {{{∅}}},

· · · .

W tym momencie widac pozytek z postawienia formalnej definicji (aksjomatyki) zbioru liczb naturalnych. Pozwala ona na codzien nie myslec o skomplikowanejkonstrukcji liczb naturalnych i badac ich własnosci jedynie poprzez odnoszenie sie do własnosci podanych w definicji.

Szczególna role pełni własnosc 5.1.1(iv). Jest ona podstawa schematu dowodowego zwanego dowodem przez indukcje. Schemat ten mówi, ze aby udowodniciz pewna własnosc przysługuje wszystkim liczbom naturalnym, wystarczy pokazac, ze przysługuje ona liczbie 0 oraz udowodnic implikacje, ze jesli przysługujeliczbie naturalnej n to przysługuje liczbie nastepnej S(n).

Tradycyjnie zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N i stosujemy notację n∗ := S(n) dopóki nie zdefiniujemy formalniedodawania liczb naturalnych oraz liczby jeden.


5.2 Ciągi i rekurencja.Jestesmy wreszcie gotowi podac formalna definicje ciagu. Do tego potrzebowalismy definicji funkcji oraz definicji zbioru liczb naturalnych. Ciag to po prostu funkcjaze zbioru liczb naturalnych do dowolnego innego zbioru.

5.3 Ciągi i podciągi5.3.1 Definicja ciągu i podciągu

Definicja 5.3.1 Ciągiem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie a : N→ X.

Dla ciągu a obok notacji funkcyjnej a(n) dla wartości a w n stosujemy też tradycyjną notację ciągową an := a(n). O anmówimy często, że jest n-tym wyrazem ciągu a lub krótko wyrazem ciągu a.

Definicja 5.3.2 Niech X będzie zbiorem, c : N→ X ciągiem o wartościach w X, a k : N→ N ciągiem silnie rosnącym.Wtedy ciąg będący złożeniem c ◦ k nazywamy podciągiem ciągu c. Jego n-tym wyrazem jest (c ◦ k)(n). Tradycyjnieoznaczamy go ckn

.

Rozwazmy ciagi

a : N 3 n→ 11 + n

∈ Q,

k : N ∈ n→ 2n ∈ N.

Poczatkowe wyrazów ciagu a to

1, 12 ,

13 ,

14 , . . .

Poczatkowe wyrazy ciagu k to0, 2, 4, 6, . . .

Ciag k jest rosnacym ciagiem o wartosciach w N. Zatem mozemy rozwazac złozenie b := a ◦ k : N→ Q. Złozenie to jest ciagiem

b : N 3 n→ a(k(n)) = akn = 11 + 2n ∈ Q.

Kilka poczatkowych wyrazów ciagu b to

1, 11 + 2× 1 = 1

3 ,1

1 + 2× 2 = 15 ,

11 + 2× 3 = 1

7 , . . . .

Widac wiec, ze ciag b jest zbudowany z wybranych wyrazów ciagu a, przy czym wyboru dokonujemy przy pomocy ciagu k. Wyjasnia to nazwe podciag.

5.3.2 Ciąg przybliżeń pierwiastka jeszcze raz.Ciąg instrukcji, który wykorzystywaliśmy do liczenia przybliżeń pierwiastka wygodnie zapakować w postaci programu, zktórego można korzystać wielokrotnie. Program ten przedstawiono na listingu 5.1. Wystarczy teraz napisać

SqrtTwo [ 3 ]

i otrzymamy{707

500 ,283200}.

5.3. CIĄGI I PODCIĄGI 97� �(∗ Definiujemy funkc j ę o nazwie SqrtTwoBf o b l i c z a j ą c ą p i e r w i a s t e k z dwóch

z jednym argumentem okreś la jącym żądaną dokładność ∗)SqrtTwoBf [n_] := (∗ Znak po dkr e ś l e n i a po n informuje , że n j e s t argumentem ∗)

Module [ { i } , (∗ Moduł może zawierać zmienne l o k a l n e .Ich l i s t ę umieszczamy na początku ∗)

i = 1 ; (∗ I n i c j a l i z u j e m y zmienną i war tośc ią jeden ∗)While [ (∗ Początek p ę t l i ∗)

i ^2 < 2∗100^n , (∗ Pęt l ę wykonujemy jak długo spe łn iony j e s t warunek ∗)i = i + 1 (∗ Jedyna i n s t r u k c j a wewnątrz na s z e j p ę t l i ∗)

] ; (∗ Koniec p ę t l i ∗)(∗ Ostatn ie o b l i c z o n e wyrażenie to wartość zwracana przez funkc j ę ∗)(∗ Je s t nim para ułamków szacu jących p i e r w i a s t e k od dołu i góry ∗){( i − 1)/10^n , i /10^n}

] (∗ Koniec modułu d e f i n i u j ą c e g o funkc j ę ∗)� �Listing 5.1: Obliczania pierwiastka metodą brutalnej siły zademonstrowane w języku Mathematica. Tekst zamknięty wparach dwuznaków (* i *) oznacza komentarz.

� �(∗ Funkcja o b l i c z a j ą c a p i e r w i a s t e k z l i c z b y a>0 z dokładnośc ią do d c y f r ∗)SqrtBfPlus [ a_ , d_] :=

Module [ { i , n} , (∗ Zmienne l o k a l n e : l i c z n i k i mianownik ∗)i = 1 ; n = 1 ;While [ True , (∗ Główną p ę t l ę przerwiemy i n s t r u k c j ą Break p o n i ż e j ∗)

(∗ Wewnętrzna p ę t l a dob iera wartość l i c z n i k a do aktualnego mianownika ∗)While [ ( i + 1)∗ ( i + 1) < a∗n∗n , i = i + 1 ] ;(∗ Po o s i ą g n i ę c i u żądanej dokładnośc i wychodzimy z p ę t l i ∗)I f [ n >= 10^d , Break [ ] ] ;(∗ Rozszerzamy r e p r e z e n t a c j ę ułamka przed kolejnym prze j ś c i em p ę t l i ∗)i = i ∗10 ;n = n ∗10 ;

] ;{ i /n , ( i + 1)/n}

]� �Listing 5.2: Usprawnione podejście do obliczania pierwiastka przedstawione w programie Mathematica.

Ćwiczenie komputerowe 5.3.3 Adaptuj nasz program SqrtTwoBf do SqrtBf tak by liczył pierwiastek z dowolnejliczby naturalnej.

Ćwiczenie komputerowe 5.3.4 Sprawdź doświadczalnie jak rośnie czas obliczeń naszego algorytmu SqrtTwo przyzwiększaniu dokładności. Warto wiedzieć, że obliczenie wyrażenia, którego wykonanie w programie Mathematica trwazbyt długo zawsze można przerwać wybierając w menu Evaluation opcję Abort evaluation.

Jak widać nasz algorytm liczenia pierwiastka jest daleki od doskonałości. Znacznie ulepszoną wersję przedstawiono nalistingu 5.2 Jak zobaczymy niebawem są jeszcze lepsze algorytmy. Warto jednak uświadomić sobie, że, choć tego nie jesteśmyw stanie zaobserwować przy obliczaniu pojedynczego pierwiastka, jedną z przyczyn, dla których obliczenia przy dużejdokładnosci są dość wolne jest przekroczenie pojemności maszynowego typu int i konieczność programowego symulowaniawiększej pojemności. Między innymi z tego powodu w tradycyjnych obliczeniach numerycznych zamiast dokładnych – ale naogół bardzo wolnych – obliczeń na liczbach całkowitych lub ułamkach preferuje się znacznie szybsze, ale obarczone pewnymbłędem, obliczenia na maszynowych liczbach zmiennopozycyjnych takich jak double, o których opowiemy w rozdziale 8.2.


Ćwiczenie komputerowe 5.3.5 Adaptuj program z listingu 5.1 lub listingu 5.2 tak by wyznaczał ciąg przybliżeńdodatniego pierwiastka równania

x2 + x = 3.

Listing 5.2 prezentuje nieco udoskonaloną wersję liczenia pierwiastka metodą brutalnej siły. Zastosowano tu pętlę wpętli, by przy obliczeniach dla zwiększonej dokładności niepotrzebnie nie powtarzać tego co już jest wiadome na podstawieobliczeń wcześniejszych.

Ćwiczenie komputerowe 5.3.6 Zmodyfikuj program z listingu 5.2 tak, by liczył 3√a dla zadanej liczby a. Przetestuj

go dla liczb, dla których znasz prawidłową odpowiedź.

5.3.3 Monotoniczność ciągu.

Twierdzenie 5.3.7 Niech X będzie przestrzenią uporządkowaną. Ciąg a : N → X jest słabo rosnący wtedy i tylkowtedy gdy

∀n ∈ N an ¬ an+1.

Jest on silnie rosnący wtedy i tylko wtedy gdy

∀n ∈ N an < an+1.

Analogicznie można scharakteryzować ciągi słabo i silnie malejące.

5.4 Rekurencyjne definiowanie ciągu.Zobaczymy w rozdziale 5.4.1, ze dla a > 1 funkcja

f : R+ 3 x 7→ a+ x2

2x ∈ R+

ma te sympatyczna własnosc, iz jesli x jest przyblizeniem√a, to f(x) jest jeszcze lepszym przyblizeniem

√a. Zaczynajac od liczby jeden mozemy zatem

wyprodukowac ciag coraz lepszych przyblizen√a

1, f(1), f(f(1)), f(f(f(1))), . . . .

Cecha tego ciagu jest to, ze aby wyliczyc wyraz n-ty musimy juz miec policzony wyraz (n − 1)-szy. Podanie ogólnego wzoru na n-ty wyraz jest jednak trudneo ile w ogóle mozliwe. Moze sie zatem pojawic watpliwosc. Jesli nie potrafimy podac wzoru na 4N4-ty wyraz, to czy rzeczywiscie mozemy mówic o dobrzezdefiniowanym ciagu? Ponizsze twierdzenie o rekurencyjnym definiowaniu ciagu upewnia nas, ze takie postepowanie prowadzi do dobrze zdefiniowanego ciagu.

Twierdzenie 5.4.1 (o rekurencyjnym definiowaniu ciągu) Niech f : X → X będzie funkcją i niech c ∈ X. Wtedyistnieje dokładnie jeden ciąg a : N→ X taki, że

a0 = c,

∀n ∈ N an∗ = f(an).

5.4. REKURENCYJNE DEFINIOWANIE CIĄGU. 99� �(∗ Szybkie o b l i c z a n i e p i e rw ia s tka z l i c z b y a z dok ladnosc ia do e p s i l o n ∗)SqrtQuick [ a_ , d_] := Module [ { x , eps } ,

eps = 10^(−d ) ; (∗ żądana dokładność ∗)x = 1 ; (∗ wartość początkowa c iągu rekurencyjnego ∗)While [Abs [ x∗x − a ]/2 > eps , (∗ j e ś l i n i e o s i ą g n i ę t o żądanej dokładnośc i ∗)

x = ( x∗x + a )/(2∗ x ) ; (∗ nowa wartość c iągu rekurencyjnego ∗)Print [N[ { x − ( x∗x − a )/2 , x } , d + 1 ] ] (∗ wydruk kontro lny ∗)] ;

{x − ( x∗x − a )/2 , x} (∗ końcowy wynik ∗)]� �

Listing 5.3: Szybkie wyznaczenie ciągu przybliżeń pierwiastka w języku Mathematica.

Powyzsze twierdzenie dowodzi sie przy pomocy zasady indukcji. Twierdzenie to pozwala definiowac ciagi bez wypisywania jawnego wzoru na n-ty wyraz.Wystarczy podac wyraz poczatkowy oraz recepte jak z wyrazu n-tego dostac wyraz (n+ 1). Mówimy wtedy o rekurencyjnym definiowaniu ciagu.

Twierdzenie 5.4.2 Trójka spełniająca warunki definicji 5.1.1 istnieje dokładnie jedna w tym sensie, że jeśli(N1, 01, S1) i (N2, 02, S2) są dwiema takimi strukturami, to istnieje bijekcja f : N1 → N2 taka, że f(01) = (02)oraz dla każdego n ∈ N1 zachodzi f(S1(n)) = S2(f(n)).

Dowód: .... �

5.4.1 Pierwiastek poprzez ciąg rekurencyjny.Jako ilustracje pozytków z ciagu zdefiniowanego rekurencyjnie rozwazymy nastepujaca, bardzo szybka metode liczenia pierwiastka z liczby a. Uzywamy w tymcelu ciagu zadanego rekurencyjnie wzorami

x0 := 1

xn := a+ x2n

2xn

Mozna pokazac, ze ciag ten jest zbiezny do√a, i to bardzo szybko.

Program liczacy pierwiastek ta metoda napisany w jezyku Mathematica przedstawiono na listingu 5.3.

Problem 5.4.3 Jak ocenic predkosc zbieznosci? Jak skonstruowac ciag, który bedzie mozliwie szybko zbiezny do poszukiwanej liczby?

Odpowiedzi na pytania tego typu daje analiza numeryczna oraz teoria aproksymacji.Rekurencyjne definiowanie ciagów dostepne jest równiez w jezykach programowania. Mówi sie tam o rekurencyjnym wywoływaniu funkcji, ale chodzi o funkcje

z argumentem bedacym liczba naturalna, a wiec w terminologii przyjetej w matematyce o ciag. W jezyku Mathematica definicje rekurencyjna podaje sie jako parewzorów. Na ogół bardzo upraszcza to pisanie programu, choc czesto odbija sie to na jego efektywnosci. Na przykład wersja rekurencyjna szybkiego liczeniapierwiastka z listingu 5.3 to

Q u i c k S q r t [ a_ , 0 ] = 1 ;Q u i c k S q r t [ a_ , n_ ] : = Module [ { x } , x = Q u i c k S q r t [ a , n − 1 ] ; ( x ^ 2 + a ) / ( 2 ∗ x ) ] ;

Piszac

Q u i c k S q r t [ 2 . , 4 ]

otrzymujemy przyblizenie√

2 z dokładnoscia do 5 miejsc po przecinku. W rozwiazaniu tym jest jednak pewnym problemem jak dobrac wyraz ciagu by uzyskaczadana dokładnosc.

Definicje rekurencyjna QuickSqrt mozna zapisac jeszcze krócej, bez uzycia modułu:


Q u i c k S q r t [ a_ , 0 ] = 1 ;Q u i c k S q r t [ a_ , n_ ] : = ( Q u i c k S q r t [ a , n − 1 ] ^ 2 + a ) / ( 2 ∗ Q u i c k S q r t [ a , n − 1 ] ) ;

Cwiczenie komputerowe 5.4.4 Sprawdz czy i jak to rozwiazanie działa. Zastanów sie ile razy wywoływana jest funkcja QuickSqrt by obliczycczwarty wyraz ciagu przyblizajacego

√2. Wyciagnij wnioski.

5.4.2 (*)Arytmetyka liczb natualnychJestesmy teraz gotowi podac formalne definicje dodawania i mnozenia liczb naturalnych. Sa to definicje rekurencyjne. Wykorzystujemy w nich aksjomatyczniedana funkcje nastepnika. Przypomnijmy, ze nastepnik liczby n oznaczamy n∗.

Operacje dodawania liczb naturalnych definiujemy rekurencyjnie:

m+ 0 := m (5.3)m+ n∗ := (m+ n)∗ (5.4)

Liczbę jeden, oznaczaną 1, definiujemy jako następnik zera. Tak więc 1 := 0∗. Podstawiając zero w miejsce n we wzorze 5.4i wykorzystując 5.3 ortzymujemy

m+ 0∗ = (m+ 0)∗ = m∗.

Zatem definiując liczbę jeden jako następnik zera, to jest przyjmując 1 := 0∗ otrzymujemy

m+ 1 = m∗,

co pozwala nam zapisywać następnik n w tradycyjnej formie n+ 1.Również rekurencyjnie definiujemy iloczyn:

m · 0 := 0m · n∗ := m · n+m

Zwyczajowo znak mnożenia w iloczynie pomijamy, jeśli nie prowadzi to do nieporozumień.Możemy teraz podać formalną definicję nierówności.

Definicja 5.4.5 Mówimy, że m jest nie większe (mniejsze lub równe) od n i piszemy m ¬ n jeżeli

∃k ∈ N m+ k = n.

Mówimy, że m jest mniejsze niż n jeżeli m ¬ n i m 6= n.

Podobnie definiujemy podzielność.

Definicja 5.4.6 Mówimy, że m dzieli n i piszemy m|n jeżeli

∃k ∈ N m · k = n.

Można indukcyjnie pokazać, że w obu powyższych przypadkach jeśli k istnieje to jest jedyne. Nazywamy je odpowiednioróżnicą (dla nierówności) oraz ilorazem (dla podzielności) i oznaczamy odpowiednio n−m i n

m .Dla p ∈ N ędziemy stosować oznaczenia

Np := {n ∈ N | n p },Ip : = {n ∈ N | 1 ¬ n ¬ p }.

Zauważmy, że w szczególności N0 = N oraz I0 = ∅.

5.5. ZBIORY SKOŃCZONE I PRZELICZALNE 101

5.5 Zbiory skończone i przeliczalne

Definicja 5.5.1 Mówimy, że zbiór X jest skończony, jeśli istnieje liczba naturalna n ∈ N taka, że zbiór X jestrównoliczny ze zbiorem In. Wtedy liczbę n nazywamy mocą zbioru X i piszemy cardX = n. Mówimy, że zbiór X jestprzeliczalny, jeżeli X jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Definicja 5.5.2 Ciągiem skończonym w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie a : Ip → X.

5.6 Rozszerzona zasada indukcjiCzasami wzór czy twierdzenie, które chcemy dowiesc przy pomocy zasady indukcji nie ma sensu dla liczby zero, czy kilku poczatkowych liczb naturalnych. Innymisłowy odnosi sie do zbioru Np = {p, p+ 1, p+ 2, . . .}. Co wiecej, przy dowodzeniu wzglednej prawdziwosci twierdzenia dla n w drugim kroku indukcyjnymwygodnie jest skorzystac z załozenia indukcyjnego nie tylko dla n − 1, ale dla wszystkich k < n. Poprawnosc takiego postepowania uzasadnia nastepujacarozszerzona zasada indukcji.

Twierdzenie 5.6.1 (Rozszerzona zasada indukcji) Niech p ∈ N oraz Z ⊂ N. Jeżeli zachodzą warunki

(i) p ∈ Z,

(ii) Np ∩ In ⊂ Z ⇒ n+ 1 ∈ Z

to Z = Np.

Mamy też rozszerzone twierdzenie o rekurencyjnym definiowaniu ciągu.

Twierdzenie 5.6.2 (rozszerzone o rekurencyjnym definiowaniu ciągu) Niech f : X → X będzie funkcją, niech c ∈ Xi p ∈ N. Wtedy istnieje dokładnie jeden ciąg a : Np → X taki, że

ap = c,

∀n ∈ Np an+1 = f(an).

5.7 Silnia i symbol NewtonaJednym z klasycznych pytan matematyki zbiorów skonczonych jest pytanie na ile sposobów elementy zbioru n-elementowego X mozna ustawic w ciag. Kazdetakie ustawienie to bijekcja z In do X . Pytamy wiec ile jest mozliwych takich bijekcji. Okazuje sie, ze jest ich n!. Dokładniej, mozna pokazac nastepujacetwierdzenie.

Dla n ∈ N definiujemy rekurencyjnie

n! :={

1 n = 0,n(n− 1)! n > 0.

Wyrażenie n! czytamy "n silnia".Wyrazenie n! pojawia sie w kontekscie klasycznego pytania na ile sposobów elementy zbioru n-elementowego X mozna ustawic w ciag. Kazde takie

ustawienie to bijekcja z In doX . Pytamy wiec ile jest mozliwych takich bijekcji. Okazuje sie, ze jest ich n!. Dokładniej, mozna pokazac nastepujace twierdzenie.


Twierdzenie 5.7.1 Niech X będzie zbiorem skończonym i niech n := cardX. Wtedy

card { f : In → X | f jest bijekcją } = n!

Dla n, k ∈ N definiujemy tzw. symbol Newtona wzorem(n

k

):= n!

k!(n− k)! .

Symbol Newtona ma również teoriomnogościową interpretację. Mamy bowiem następujące twierdzenie

Twierdzenie 5.7.2 Niech X będzie zbiorem skończonym o mocy n. Wtedy

card {A ⊂ X | cardA = k } =(n

k

).

Z twierdzenia tego wynika w szczególności, że symbol Newtona jest zawsze liczbą naturalną, tzn. że k!(n− k)! dzieli n!.W programie Mathematica silnię obliczamy stosując tradycyjną notację. Pisząc

50!

otrzymujemy30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

Natomiast symbol Newtona obliczymy używając funkcji Binomial. Pisząc

Binomial[5, 2]

otrzymujemy(5

2), czyli 10.

Rozdział 6

Struktury porządkowe

6.1 Relacje porządku6.1.1 Częściowy i liniowy porządek

Definicja 6.1.1 Relację R w X nazywamy częściowym porządkiem lub krótko porządkiem jeżeli R jest relacją zwrot-ną, antysymetryczną i przechodnią, a liniowym porządkiem jeżeli dodatkowo R jest spójna. Parę (X,R) nazywamyprzestrzenią częściowo uporządkowaną lub krótko przestrzenią uporządkowaną jeżeli R jest częściowym porządkiem wX, a przestrzenią liniowo uporządkowaną jeżeli R jest porządkiem liniowym.

Klasę przestrzeni częściowo uporządkowanych oznaczać będziemy Ord, a liniowo uporząkowanych LOrd. Jeśli R jestczęściowym porządkiem zwyczajowo będziemy pisać ¬ w miejsce R, a w miejsce R−1. Ponadto mówić będziemy, że x jestmniejsze od y i pisać x < y jeżeli

x ¬ y i x 6= y.

Analogicznie mówić będziemy, że x jest większe od y i pisać x > y jeżeli

x y i x 6= y.

W rozdziale 7.1.3 podamy formalna definicje porzadku linowego w zbiorze liczb całkowitych Z (wzór (7.4)), a w rozdziale 7.2.3 porzadku liniowego w zbiorzeliczb wymiernych Q (wzór (7.5)). W obu przypadkach beda to porzadki zgodne z codzienna intuicja zwiazana z porównywaniem liczb.

Uwaga 6.1.2 Jeśli R jest porządkiem w X, a Y ⊂ X, to RY := R∩(Y ×Y ) jest porządkiem w Y . Jeśli R jest liniowy,to RY jest liniowy.

Porządek RY nazywamy porządkiem indukowanym, a (Y,RY ) nazywamy podprzestrzenią przestrzeni uporządkowanej(X,R).

Porzadek w Z ⊂ Q jest przykładem porzadku indukowanego z Q.

Ćwiczenie 6.1.3 Udowodnić uwagę 6.1.2

Aby zwiekszyc przejrzystosc rysunku, rysujac graf czesciowego badz liniowego porzadku pomijamy krawedzie, które sa konsekwencja własnosci przechod-niosci i własnosci zwrotnosci. Tak otrzymany graf czesciowego porzaku nazywamy grafem zredukowanym. Jest on bardziej przejrzysty, bo zawiera mniej krawedzi,które w wyobrazni łatwo uzupełnic wykorzystujac własnosc zwrotnosci i przechodniosci,

Rys. 6.1 przedstawia graf zredukowany przestrzeni liniowo uporzadkowanej (po lewej) oraz graf zredukowany przestrzeni czesciowo uporzadkowanej (poprawej).

103

104 ROZDZIAŁ 6. STRUKTURY PORZĄDKOWE

Rysunek 6.1: Graf liniowego i częściowego porządku

Rysunek 6.2: Przetrzeń częściowo uporządkowana i jej podzbiór A

6.1.2 Majoranty i minoranty

Definicja 6.1.4 Niech (X,¬) będzie przestrzenią częściowo uporządkowaną i niech A będzie podzbiorem X. Mówimy,że x ∈ X jest majorantą zbioru A jeżeli a ¬ x dla każdego elementu a ∈ A. Jeżeli x ∈ A i x jest majorantą A, tox nazywamyelementem największym w A. Z kolei mówimy, że x jest elementem maksymalnym w A jeżeli x ∈ Aoraz w A nie istnieje element y większy od x. Analogicznie, odwracając kierunek nierówności, definiujemy minorantę,element najmniejszy i element minimalny. Jeśli w podzbiorze A przestrzeni częściowo uporządkowanej istnieje elementnajwiększy (najmniejszy) to oznaczamy go maxA, (minA).

Rys. 6.2 przedstawia przestrzen czesciowo uporzadkowana X oraz jej podzbiór A. W zbiorze A sa dwa elementy maksymalne e oraz f , ale nie ma w nimelementu najwiekszego. Nie ma tez majorant. Natomiast elementem najmniejszym zbioruA jest d. Jest to tez jedyny element minimalny tego zbioru. MinorantamizbioruA sa elementy a, b, c, d.

6.2. PRZESTRZENIE CIĄGŁE 105

Twierdzenie 6.1.5 Niech (X,¬) będzie przestrzenią częściowo uporządkowaną i niech A będzie podzbiorem X.

(i) Tak element największy jak i najmniejszy w zbiorze A istnieje co najwyżej jeden.

(ii) Podzbiór skończony niepusty A przestrzeni częściowo uporząkowanej posiada co najmniej jeden element mini-malny i co najmniej jeden element maksymalny w A.

(iii) Element maksymalny (minimalny) zbioru liniowo uporządkowanego jest jego elementem największym (najmniej-szym).

(iv) Podzbiór skończony niepusty przestrzeni liniowo uporządkowanej posiada element największy i element najmniej-szy.

Dowód: Aby pokazać własnośc (i) przyjmijmy najpierw, że z1 i z2 są elementami największymi w zbiorze A. Z definicjielementu największego wiemy, że z1 jest majorantą A, zatem

∀x ∈ A x ¬ z1. (6.1)

Ponieważ z2 też jest największy, więc również∀x ∈ A x ¬ z2. (6.2)

Z definicji elementu największego wiemym że z1, z2 ∈ A. Podstawiając z2 za x w (6.1) dostajemy z2 ¬ z1. Podobnie z (6.2)dostajemy z1 ¬ z2. Wobec własności antysymetrii relacji porządku dostajemy z1 = z2. Zatem element największy jest conajwyżej jeden. Podobnie pokazujemy, że element najmniejszy jest co najwyżej jeden.

Własność (ii) pokażemy nie wprost. Przypuśćmy, że w A nie ma elementu maksymalnego. Zatem dla każdego x ∈ Aznajdziemy x∗ ∈ A taki, że x∗ > x. Ponieważ A 6= ∅, możemy wybrać element a ∈ A. Rozważmy elementy

a < a∗ < a∗∗ < · · ·

Ponieważ zbiór A jest skończony, więc w tym ciągu nierówności muszą znaleźć się dwa wyrazy równe. Ale równe być nie mogą,bo nierówności są silne. Sprzeczność ta dowodzi, że przypuszcznie iż w A nie ma elementu maksymalnego było fałszywe.Podobnie dowodzimy, że w A musi być element minimalny.

Aby pokazać własność (iii) przypuśćmy, że a jest maksymalny w liniowo uporządkowanym zbiorze A i równocześnienie jest on największy. Zatem istnieje b ∈ A taki, że nie jest prawdą iż b ¬ a. Ponieważ A jest liniowo uporządkowany, zwłasności spójności wynika, że b > a. Ale to przeczy maksymalności a. Zatem a jest największy Podobnie pokazujemy, żeelement minimalny zbioru liniowo uporządkowanego jest jego elementem najmniejszym.

Aby zakończyć dowód wystarczy zauważyć, że własność (iv) wynika natychmiast z własności (ii) i ( iii). �

6.2 Przestrzenie ciągłeWiemy, ze zbiór liczb wymiernych Q jest dziurawy. Brakuje w nim wielu liczb potrzebnych do mierzenia długosci: na przykład długosci przekatnej kwadratu lubobwodu okregu. Potrzebujemy "zakleic" te dziury. W tym rozdziale podamy formalna definicje przestrzeni liniowo uporzadkowanej bez dziur, tzw. przestrzeni ciagłej.Zbiór Q nie jest przestrzenia ciagła. W rozdziale 7.3.3 skonstruujemy z liczb wymiernych zbiór liczb rzeczywistych R i pokazemy, ze w przeciwienstwie do Q jeston przestrzenia ciagła.

6.2.1 KresyNiech X będzie przestrzenią częściowo uporządkowaną i niech A ⊂ X.

Definicja 6.2.1 Mówimy, że zbiór A jest ograniczony od góry (od dołu) jeżeli posiada majorantę (minorantę).


Definicja 6.2.2 Mówimy, że x jest kresem górnym (supremum) zbioru A i piszemy

x = supA,

jeżeli A jest ograniczony od góry, a x jest jego najmniejszą majorantą.

Definicja 6.2.3 Mówimy, że x jest kresem dolnym (infimum) zbioru A i piszemy

x = inf A,

jeżeli A jest ograniczony od dołu, a x jest jego największą minorantą.

Ćwiczenie 6.2.4 • Podaj przykład ilustrujący, że w zbiorze skończonym częściowo uporządkowanym X może byćpodzbiór A, którego kres dolny (górny) nie istnieje, albo istnieje, ale do A nie należy

• Pokaż, że jeśli X jest skończony, liniowo uporządkowany, to dla dowolnego A ⊂ X kres dolny (górny) istnieje izawsze należy do A.

Zobaczymy, ze w zbiorach nieskonczonych liniowo uporzadkowanych moga byc podzbiory ograniczone, których kresy nie istnieja, badz istnieja, ale dopodzbioru nie naleza.

6.2.2 Przedziały

Definicja 6.2.5 Niech X będzie przestrzenią częściowo uporządkowaną i niech a, b ∈ X. Przedział otwarty, lewostron-nie otwarty, prawostronnie otwarty oraz przedział domknięty o końcach a, b definiujemy odpowiednio wzorami

(a, b) := {x ∈ X | a < x i x < b },(a, b] := {x ∈ X | a < x i x ¬ b },[a, b) := {x ∈ X | a ¬ x i x < b },[a, b] := {x ∈ X | a ¬ x i x ¬ b }.

Podobnie definiujemy lewy półprzedział otwarty, prawy półprzedział otwarty, lewy półprzedział domknięty, prawy pół-przedział domknięty o końcu a odpowiednio wzorami wzorami

(−∞, a) := {x ∈ X | x < a },(a,∞) := {x ∈ X | a < x },

(−∞, a] := {x ∈ X | x ¬ a },[a,∞) := {x ∈ X | a ¬ x }.

Należy zwrócić uwagę, że oznaczenie (a, b) na przedział otwarty jest nieodróżnialne od oznaczenia na parę (a, b). Jednakz kontekstu zawsze można będzie ustalić, o którą interpretację chodzi.

6.2. PRZESTRZENIE CIĄGŁE 107

6.2.3 Własność L

Mówimy, że niepusty podzbiór A przestrzeni liniowo uporządkowanej X ma własność (L) jeżeli A jest ograniczony od góryoraz

x ∈ A i y ¬ x ⇒ y ∈ A.

Analogicznie mówimy, że A ma własność (R) jeżeli A jest ograniczony od dołu oraz

x ∈ A i y x ⇒ y ∈ A.

Uwaga 6.2.6 Każdy lewy półprzedział ma własność (L), a każdy prawy półprzedział ma własność (R). Niepusty,właściwy podzbiór A przestrzeni liniowo uporządkowanej X ma własność (L) wtedy i tylko wtedy gdy X \ A mawłasność (R).

Pojawia sie naturalne pytanie czy w jakiejs przestrzeni liniowo uprzadkowanej moga istniec zbiory, które maja własnosc (L) lub (R), a nie sa przedziałami.Odpowiedz jest twierdzaca. Zbiór

A := { q ∈ Q | q ¬ 0 albo q2 < 2 }

ma własnosc (L), ale nie jest przedziałem, bo ewentualnym koncem tego przedziału musiałby byc√

2, a wiemy juz, ze w zbiorze liczb wymiernych takiej liczbynie ma. Zbiór ten jest równoczesnie przykładem zbioru ograniczonego od góry, który nie ma (w Q) kresu górnego. Ma on jednak kres górny, do tego zbioru nienalezacy, jesliA potraktujemy jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Kresem tym jest w takim przypadku

√2.

6.2.4 Przestrzenie ciągłe

Definicja 6.2.7 Mówimy, że przestrzeń liniowo uporządkowana X jest przestrzenią ciągłą jeżeli dla każdego niepu-stego, właściwego podzbioru A tej przestrzeni, który ma własność (L) istnieje a ∈ X takie, że

A = (−∞, a) lub A = (−∞, a]

co jest równoważne założeniu, że dla każdego niepustego, właściwego podzbioru A tej przestrzeni, który ma własność(R) istnieje a ∈ X takie, że

A = (a,∞) lub A = [a,∞).

Od zbioru liczb rzeczywistych, jakkolwiek go zdefiniujemy, oczekujemy, zeby był przestrzenia liniowo uporzadkowana ciagła.

Twierdzenie 6.2.8 Następujące trzy warunki są parami równoważne.

(i) X jest przestrzenią ciągłą.

(ii) Każdy niepusty, ograniczony od góry podzbiór X posiada kres górny.

(iii) Każdy niepusty, ograniczony od dołu podzbiór X posiada kres dolny.


6.3 Funkcje monotoniczne6.3.1 Funkcje rosnące i malejące

Definicja 6.3.1 Niech X i Y będą przestrzeniami uporządkowanymi, a f : X → Y niech będzie funkcją. Mówimy, żef jest słabo rosnąca, jeżeli

∀x1, x2 ∈ X x1 < x2 ⇒ f(x1) ¬ f(x2),

a silnie rosnąca, jeżeli∀x1, x2 ∈ X x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Podobnie, mówimy, że f jest słabo malejąca, jeżeli

∀x1, x2 ∈ X x1 < x2 ⇒ f(x1) f(x2),

a silnie malejąca, jeżeli∀x1, x2 ∈ X x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Twierdzenie 6.3.2 Niech X będzie przestrzenią liniowo uporząkowaną i niech f : X → X będzie odwracalna. Wtedyjeśli f jest rosnąca (malejąca) to f−1 jest rosnąca (malejąca).

6.4 Liczby kardynalne i porządkowe.6.4.1 Liczby kardynalne.........................

6.4.2 Aksjomat wyboru.........................

6.4.3 Liczby porządkowe.........................

Rozdział 7

Struktury algebraiczne.

7.1 Liczby całkowite.

7.1.1 DziałaniaW rozdziale 8 podamy formalna definicje zbioru liczb rzeczywistych. Najpierw jednak przyjrzymy sie oddzielnie tzw. strukturom algebraicznym formalizujacymoperacje dodawania i mnozenia.

Dodawanie i mnozenie liczb to operacje arytmetyczne znane nam dobrze ze szkoły. Z formalnego punktu widzenia operacje te to funkcje, które parom liczbrzeczywistych przyporzadkowuja odpowiednio ich sume lub iloczyn.

Działaniem dwuargumentowym w zbiorze X lub krótko działaniem nazywamy dowolne odwzorowanie d : X ×X → X.W przypadku działania dwuargumentowego zazwyczaj stosujemy tzw. notację infixową, w której symbol działania stawiamypomiędzy argumentami

x d y := d(x, y).

Mówimy o działaniach zamiast po prostu o funkcjach dwuargumentowych, bo w przypadku działan zazwyczaj oczekujemy spełnienia pewnych specjalnychwłasnosci, modelowanych na własnosciach dodawania i mnozenia liczb.

Definicja 7.1.1 Działanie d : X ×X → X nazywamy łącznym jeżeli

∀x, y, z ∈ X (x d y) d z = x d (y d z),

a przemiennym jeżeli∀x, y ∈ X x d y = y d x.

Element e ∈ X nazywamy elementem neutralnym dla działania d, jeżeli

∀x ∈ X e d x = x d e = x.

Jeśli d : X ×X → X ma element neutralny e to dla x ∈ X mówimy, że x′ jest jego elementem odwrotnym, jeżeli

x d x′ = x′ d x = e.

Uwaga 7.1.2 Jeśli działanie d : X ×X → X ma element neutralny, to jest on dokładnie jeden. Jeśli działanie d jestłączne i ma element neutralny, to element odwrotny do danego elementu może być co najwyżej jeden.

109

110 ROZDZIAŁ 7. STRUKTURY ALGEBRAICZNE.

Dowód: Aby pokazać, że element neutralny jest dokładnie jeden należy pokazać, że jeśli dwa elementy spełniają wymogielementu neutralnego, to są one sobie równe. Załóżmy zatem, że e oraz f są elementami neutralnymi dla działania d. Mamyzatem

∀x ∈ X e d x = x d e = x (7.1)oraz

∀x ∈ X f d x = x d f = x. (7.2)Ponieważ równości w (7.1) zachodzą dla każdego x, więc w szczególności dla x = f mamy

e d f = f.

Podobnie, po podstawieniu x = e, z równości (7.2) dostajemy

e d f = e.

Zatem e = f . Dowód drugiej części uwagi jest podobny i zostawiamy go jako ćwiczenie. �Tak dodawanie jak i mnozenie liczb mozemy traktowac jako działania, jesli odpowiednio dobierzemy zbiór liczb, na przykład sa to działania w zbiorze liczb

naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, rzeczywistych dodatnich oraz w zbiorze ułamków (liczb wymiernych dodatnich). Mnozenie jest tez działaniemw zbiorze ułamków własciwych, czyli liczb wymiernych dodatnich i mniejszych niz jeden. Jednak dodawania nie mozna juz traktowac jako działania w tym zbiorze,bo suma dwóch ułamków własciwych moze nie byc ułamkiem własciwym, np. 2

3 + 23 = 4

3 .Tak dodawanie jak i mnozenie liczb sa łaczne oraz przemienne. Elementem neutralnym dla dodawania liczb jest zero, a dla mnozenia jest jeden. W przypadku

mnozenia elementem odwrotnym do x jest 1x , oczywiscie o ile 1

x ma sens i jest elementem zbioru, w którym mnozenie rozwazamy jako działanie. Zero nigdynie posiada elementu odwrotnego wzgledem mnozenia. Dla pozostałych liczb istnienie elementu odwrotnego wzgledem mnozenia zalezy od zbioru, w którymmnozenie rozwazamy jako działanie. Na przykład liczba 2 posiada element odwrotny wzgledem mnozenia w zbiorze liczb wymiernych, ale go nie posiada wzbiorze liczb całkowitych.

W przypadku dodawania zwyczajowo zamiast o elemencie odwrotnym mówimy o elemecie przeciwnym. Dla liczby x jest nim −x, oczywiscie o ile −xjest elementem zbioru, w którym dodawanie rozwazamy jako działanie. Elementy przeciwne istnieja dla dodawania rozwazanego jako działanie w zbiorze liczbrzeczywistych, wymiernych, całkowitych.

Przykład 7.1.3 W zbiorze skończonym działanie można zadać przy pomocy tabelki. Na przykład poniższa tabelka

a b ca b a cb a b cc b c a

(7.3)

zadaje działanie w zbiorze trzyelementowym { a, b, c }. Wartość x d y jest elementem znajdującym się w przecięciuwiersza oznaczonego x i kolumny oznaczonej y.

Pakiet Operations umożliwia definiowanie działań w zbiorach skończonych i sprawdzanie, czy działanie ma rozważanewłasności. Instrukcja Operations ma dwa argumenty. Pierwszy to lista elementów zbioru, w którym określono działanie.Drugi argument to tabelka zadająca działanie, zapisana jako lista wierszy. Wprowadzając

op = Operation [ { a , b , c } ,{{b , a , c } ,{ a , b , c } ,{b , c , a }} ]

definiujemy działanie zadane w tabelce (7.3). Z kolei wprowadzającI s A s s o c i a t i v e [ op ]HasNeutral [ op ]HasInverses [ op ]

dowiadujemy się, że działanie to ma element neutralny, ale nie jest łączne i, przynajmniej dla pewnych elementów, nie maono elementów odwrotnych.

7.1. LICZBY CAŁKOWITE. 111

Rysunek 7.1: Évariste Galois, 1811-1832, Źródło: Wikipedia

Ćwiczenie 7.1.4 (i) Ustal, które elementy w działaniu rozważanym w przykładzie 7.1.3 nie posiadają elementówodwrotnych.

(ii) W tabelce (7.3) wystarzczy zamienić miejscami dwa elementy, by otrzymać działanie, które jest łączne, maelement neutralny i wszystkie elementy odwrotne. Ustal jaka to zamiana.

7.1.2 GrupyWsród wielu róznych działan szczególna role pełnia działania łaczne posiadajace element neutralny oraz elementy odwrotne. Na przykład dodawanie w zbiorzeliczb całkowitych oraz mnozenie w zbiorze liczb wymiernych dodatnich sa takimi działaniami. Okazuje sie, ze jest bardzo wiele działan o takich własnosciach,okreslonych w bardzo róznych zbiorach, w szczególnosci w zbiorach skonczonych. Dlatego warto wyróznic takie działania wprowadzajac pojecie grupy. Jednym zpierwszych, którzy pokazali wage tego pojecia był francuski matematyk Évariste Galois (rys. 7.1). Posłuzył sie on pojeciem grupy w celu okreslenia kiedy daje siewyrazic miejsca zerowe wielomianu przy uzyciu czterech operacji arytmetycznych i pierwiastkowania.

Definicja 7.1.5 Trójkę (G, d, e) nazywamy grupą jeżeli d : G × G → G jest działaniem spełniającym następującewarunki

G1) d jest łączne,

G2) e jest elementem neutralnym dla d,

G3) każdy element w G posiada element odwrotny.

W przypadku gdy spełniona jest jedynie własność G1) trójkę (G, d, e) nazywamy półgrupą. Jeśli spełnione są tylkowłasności G1) i G2), półgrupę nazywamy półgrupą z jedynką lub monoidem. Grupę (półgrupę) nazywamy przemiennąalbo abelową, jeżeli działanie d jest przemienne.

Przykładem grupy przemiennej jest (Z,+, 0) oraz (R, ·, 1). Grupa przemienna jest tez (R+, ·, 1), natomiast nie jest grupa (N,+, 0), bo dodawanie nieposiada w tym zbiorze elementu przeciwnego(odwrotnego). Z kolei (N,+, 0) jest przykładem półgrupy.


Ćwiczenie 7.1.6 (*)Niech X będzie ustalonym zbiorem. Pokazać, że zbiór bijekcji X w X ze składaniem odwzorowańjako działaniem jest grupą.

Jeśli rozważamy ustaloną grupę lub półgrupę tradycyjnie działanie d oznaczamy ’·’, element neutralny oznaczamy 1, aelement odwrotny do x oznaczmy x−1. W praktyce ’·’ często w ogóle pomijamy. Ponadto dla n ∈ N stosujemy oznaczenia

xn :=n-krotnie︷︸︸︷

x · x · · · · · xx−n :=

(x−1)n .

Ten system notacji określamy mianem notacji multyplikatywnej.W przypadku grupy lub półgrupy przemiennej tradycyjnie działanie d oznaczamy ’+’, a element neutralny oznaczamy 0.

W przypadku tym zamiast o elemencie odwrotnym do x mówimy o elemencie przeciwnym do x i oznaczamy go −x. Ponadtodla n ∈ N stosujemy oznaczenia

nx :=n-krotnie︷︸︸︷

x+ x+ · · ·+ x

(−n)x := n(−x).

Ten system notacji określamy mianem notacji addytywnej.Choć formalnie grupa jest trójką składającą się, ze zbioru, działania i elementu zbioru, w praktyce często o samym

zbiorze mówimy, że jest grupą, zdając się na domyślność czytelnika co jest brane jako działanie, a co jako element neutralny.

7.1.3 Zbiór liczb całkowitychWiemy, ze aby odejmowac bez ograniczen liczby naturalne, potrzebujemy rozszerzyc zbiór liczb naturalnych o liczby ujemne. Na przykład, zeby wykonac odejmo-wanie 3− 5 potrzebujemy liczby−2. Jak formalnie zdefiniowac liczbe−2 na gruncie tego co juz mamy, to jest liczb naturalnych? Mozna na przykład przyjac, zeliczba−2 to para (3, 5). Przy takiej definicji nie wychodzimy poza pojecia, które juz mamy zdefiniowane. Pojawia sie jednak problem. Liczba−2 to równiez wynikodejmowania 7−9. Zatem pary (3, 5) i (7, 9) trzeba jakos utozsamic. Nie mozemy postawic warunku 3−5 = 7−9, bo jeszcze nie zdefiniowalismy odejmo-wania gdy wynik jest ujemny. Ale warunek 3− 5 = 7− 9, po przeniesieniu 5 i 7 na druga strone równosci, daje warunek równowazny 3 + 9 = 7 + 5, któryoperuje jedynie dodawaniem liczb naturalnych, a to juz mamy zdefiniowane. Sugeruje to, by pare (m,n) utozsamic z para (m′, n′) gdym+ n′ = m′ + n iprowadzi do nastepujacej formalnej konstrukcji.

Zbiór liczb całkowitych definiujemy jako zbiór klas równoważności

Z := { [(m,n)]R | (m,n) ∈ N2 }

względem relacjiR := { ((m,n), (m′, n′)) ∈ N2 × N2 | m+ n′ = m′ + n }.

Dla n ∈ N wprowadzamy oznaczenie −n := [(0, n)]R oraz utożsamiamy klasę [n, 0]R z liczbą n, co pozwala traktować Zjako rozszerzenie N.

Ćwiczenie 7.1.7 (*)Rozszerzyć operację dodawania z N na Z tak by w Z uzyskać strukturę grupy przemiennej.Rozszerzyć operację mnożenia z N \ {0} na Z \ {0} tak by w Z \ {0} uzyskać strukturę półgrupy przemiennej.

Dla m,n ∈ Z definiujemym ¬ n :⇔ n−m ∈ N. (7.4)

Łatwo sprawdzić, że definicja ta rozszerza definicję 5.4.5 nierówności w N. Przedziałem w Z o końcach m,n ∈ Z nazywamyzbiór

[m,n]Z := {x ∈ Z | m ¬ x ¬ n }.Łatwo zauważyć, że zbiór ten jest niepusty wtedy i tylko wtedy gdy m ¬ n.

7.2. LICZBY WYMIERNE 113

7.1.4 Sumy i iloczynyNiech G będzie półgrupą (w notacji addytywnej lub multyplikatywnej), m,n elementami Z, a

x : [m,n]Z → G

ciągiem. W przypadku notacji addytywnej definiujemy rekurencyjnie sumę elementów ciągu x wzorem

n∑i=m

xi :={

0 m > n(∑n−1i=m xi

)+ xn w przeciwnym razie .

Analogicznie dla notacji multyplikatywnej definiujemy rekurencyjnie iloczyn elementów ciągu x wzorem

n∏i=m

xi :={

1 m > n(∏n−1i=m xi

)· xn w przeciwnym razie .

Często stosujemy też mniej formalną, ale bardziej intuicyjną notację kropkową:

xm + xm+1 + . . .+ xn :=n∑

i=mxi

xm · xm+1 · . . . · xn := Πni=m xi.

Dla n ∈ N w przypadku n-krotnie wykonanego działania na elemencie x stosujemy oznaczenie

xn :={

1 n = 0,x · xn−1 n > 0

w przypadku notacji multyplikatywnej oraz oznaczenie

nx :={

0 n = 0,x+ (n− 1)x n > 0

w przypadku notacji addytywnej.

7.2 Liczby wymierneMamy juz formalnie zdefiniowane liczby naturalne i całkowite. Po drodze wprowadzilismy pojecie grupy. Widzielismy, ze choc liczby całkowite z dodawaniem tworzagrupe, to sa równiez grupy, które niewiele maja wspólnego z liczbami całkowitymi. Naszym nastepnym celem sa liczby wymierne. Liczby wymierne z dodawaniemtez tworza grupe, a z mnozeniem tworza grupe gdy pominiemy zero. Ponadto, operacje dodawania i mnozenia liczb wymiernych sa ze soba powiazane: n-krotnedodadnie do siebie liczby a to to samo co pomnozenie liczby a przez n, czego konsekwencja jest rozdzielczosc mnozenia wzgledem dodawania (a+ b) · c =a · c+ b · c. Powstaje pytanie, czy sformalizowanie tej koncepcji prowadzi juz jednoznacznie do aksjomatyki liczb wymiernych, tak jak to przedstawilismy dla liczbnaturalnych?

7.2.1 Ciała

Definicja 7.2.1 Piątkę (F,+, ·, 0, 1) gdzie 0 6= 1 nazywamy ciałem jeżeli (F,+, 0) oraz (F \ {0}, ·, 1) są grupamiprzemiennymi, a ponadto zachodzi tzw. prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

∀x, y, z ∈ F (x+ y) · z = x · z + y · z.


Okazuje sie, ze sa ciała istotnie rózne od ciała liczb wymiernych. Jak zobaczymy mamy ciało liczb rzeczywistych, ciało liczb zespolonych, ale co ciekawe,podobnie jak w przypadku grup, sa tez ciała skonczone.

Ćwiczenie 7.2.2 Pokazać, że zbiór {0, 1} z działaniami + i ∗ danymi tabelami

+ 0 10 0 11 1 0

* 0 10 0 01 0 1

jest ciałem. Ciało to zwyczajowo oznaczamy Z2.

7.2.2 Funkcja potęgowa i wielomianNiech (F,+, ·, 0, 1) będzie ciałem. Dla n ∈ N definiujemy funkcję potęgową

·n : F 3 x 7→ xn ∈ F,

a dla a0, a1, . . . an ∈ F definiujemy wielomian A o współczynnikach a0, a1, . . . an

Qa0,a1,...an : F 3 x 7→ a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n ∈ F.

Największe n takie, że an 6= 0 nazywamy stopniem wielomianu Q.

7.2.3 Zbiór liczb wymiernychKonstrukcja zbioru liczb wymiernych ze zbioru liczb całkowitych bardzo przypomina konstrukcje liczb całkowitych z liczb naturalnych. Aby zapewnic sobie mozliwoscdzieleniam/n rozwazamy pary (p, q) liczb całkowitych oraz relacje utozsamiajaca pary (p, q)] i (p′, q′) gdy pq′ = qp′.

Zbiór liczb wymiernych definiujemy jako zbiór klas równoważności

Q := { [(p, q)]S | (p, q) ∈ Z× N1 }

względem relacjiS := { ((p, q), (p′, q′)) ∈ (Z× N1)× (Z× N1) | pq′ = qp′ }.

Dla liczb wymiernych [(p, q)]S , [(p′, q′)]S definiujemy relację nierówności

[(p, q)]S ¬ [(p′, q′)]S :⇔ pq′ ¬ qp′. (7.5)

Łatwo sprawdzić, że definicja ta nie zależy od wyboru reprezentantów i rozszerza definicję nierówności zadaną wzorem (7.4)dla liczb całkowitych.

Ćwiczenie 7.2.3 (*)Rozszerzyć operacje dodawania i mnożenia z Z na Q tak by w Q uzyskać strukturę ciała.

7.2.4 Wzory skróconego mnożeniaNiniejsze wzory obowiązujące w każdym ciele będą nam wielokrotnie pomocne. Ich indukcyjny dowód pomijamy.

Twierdzenie 7.2.4 Niech (F,+, ·, 0, 1) będzie ciałem, a, b ∈ F oraz n ∈ N1. Wtedy

bn − an = (b− a)n−1∑i=0

an−i−1bi, (7.6)

(a+ b)n =n∑i=0

(n

i

)aibn−i. (7.7)

7.3. CIAŁO LICZB RZECZYWISTYCH 115

7.3 Ciało liczb rzeczywistychBardzo uzyteczna własnoscia dodawania liczb jest zachowywanie nierównosci przy operacjach arytmetycznych. Jesli x ¬ y to x+ z ¬ y + z. Z mnozeniemjest podobnie. Nierównosc x ¬ y implikuje xz ¬ yz, ale pod dodatkowym warunkiem, ze z > 0. Jesli z < 0, to nie wszystko jest stracone: nierównosc sienie zachowuje, ale pojawia sie nierównosc przeciwna: xz yz. Przypadek z = 0 jest specyficzny: przemnozenie przez zero powoduje, ze po obu stronachpojawia sie zero. Te uzyteczne własnosci sa konsekwencja faktu, ze definicja porzadku w zbiorach liczbowych posługuje sie operacja dodawania, a mnozenie jestpowiazane z dodawaniem własnoscia rozdzielnosci. Jednak jesli mamy jakies ciało, a w nim jakis porzadek, to nie mamy gwarancji, ze nierównosci sie zachowujaprzy wykonywaniu operacji dodawania lub mnozenia w ciele. Dlatego warto wyróznic te ciała wyposazone w relacje porzadkujaca, dla których zachowywanienierównosci ma miejsce.

7.3.1 Ciała uporządkowane

Definicja 7.3.1 Szóstkę (F,+, ·, 0, 1,¬) nazywamy ciałem uporządkowanym, jeżeli (F,+, ·, 0, 1) jest ciałem, (F,¬)jest przestrzenią liniowo uporządkowaną oraz

(i) ∀x, y, z ∈ F x ¬ y ⇒ x+ z ¬ y + z,

(ii) ∀x, y ∈ F x > 0, y > 0 ⇒ xy > 0.

Wprowadzamy oznaczeniaQ+ := { q ∈ Q | q > 0 }, Q− := { q ∈ Q | q < 0 }.

Ćwiczenie 7.3.2 Pokazać, że zbiór liczb wymiernych Q wraz z określonymi wcześniej działaniami dodawania i mno-żenia oraz relacją porządku jest ciałem uporządkowanym.

Ćwiczenie 7.3.3 Pokazać, że ciało z ćw. 7.2.2 z porządkiem {0 ¬ 0, 0 ¬ 1, 1 ¬ 1} nie jest ciałem uporządkowanym.

7.3.2 Zbiór liczb rzeczywistychJakkolwiek zdefiniujemy zbiór liczb rzeczywistych, oczekujemy by miał on strukture ciała uporzadkowanego. Wiemy, ze ciało liczb wymiernych z naturalnymporzadkiem jest ciałem uporzadkowanym. Pamietamy tez, ze od zbioru liczb rzeczywistych oczekujemy by, w przeciwienstwie do zbioru liczb wymiernych, byłprzestrzenia uporzadkowana ciagła. Powstaje pytanie, czy nie zadamy za duzo, to znaczy czy koncepcja ciała uporzadkowanego ciagłego nie jest sprzeczna samaw sobie, a jesli nie jest, to czy moga byc ciała uporzakowane istotnie rózne od liczb rzeczywistych. Odpowiedz zgodna z naszymi oczekiwaniami daje nastepujacetwierdzenie.

Twierdzenie 7.3.4 Istnieje ciało uporządkowane ciągłe. Jeśli F1 i F2 są dwoma takimi ciałami, to istnieje silnierosnąca bijekcja f : F1 → F2 taka, że

∀x, y ∈ F1 f(x+ y) = f(x) + f(y) oraz f(x · y) = f(x) · f(y).

Bijekcja f w powyzszym twierdzeniu daje sposób utozsamienia dwóch formalnie róznych ciał uporzadkowanych. Mozna wiec powiedziec, ze z dokładnosciado utozsamienia poprzez bijekcje f istnieje dokładnie jedno ciało uporzadkowane ciagłe. Jest nim intuicyjnie rozwazany od rozdziału wstepnego zbiór liczbrzeczywistych z naturalnymi działaniami dodawania i mnozenia oraz naturalnym porzadkiem.

Definicja 7.3.5 Ciałem liczb rzeczywistych nazywamy ciało uporządkowane ciągłe. Ciało to oznaczamy R.


7.3.3 (*)Konstrukcja Cauchy’egoDowód tw. 7.3.4 nie jest prosty. Ograniczymy się jedynie do podania szkicu konstrukcji liczb rzeczywistych pochodzącej odCauchy’ego.

Pierwsze konstrukcje ciała liczb rzeczywistych podali Cauchy, Dedekind i Weierstrass. Konstrukcja Cauchy’ego opierasię na pojęciu ciągu Cauchy’ego.

Definicja 7.3.6 Ciąg x : N→ Q nazywamy ciągiem Cauchy’ego jeżeli

∀ε ∈ Q+ ∃N ∈ N ∀m,n ∈ N m,n N ⇒ |xm − xn| < ε.

Dla ciągów x, y : N→ Q definiujemy sumę x+ y i iloczyn x · y wzorami

x+ y : N 3 n 7→ xn + yn ∈ Q,x · y : N 3 n 7→ xn · yn ∈ Q

oraz nierównośćx ¬ y :⇔ ∀ε ∈ Q+ ∃N ∈ N ∀n ∈ N n N ⇒ xn − ε ¬ yn.

W zbiorze ciągów Cauchy’ego wprowadzamy relację równoważności

x ∼ y :⇔ ∀ε ∈ Q+ ∃N ∈ N ∀n ∈ N n N ⇒ |xn − yn| < ε.

Zbór liczb rzeczywistych według Cauchy’ego definiujemy jako

R := { [x]∼ | x : N→ Q ciąg Cauchy’ego. }

Liczbę wymierną q ∈ Q utożsamiamy z klasą równoważności ciągu stale równego q.

Część II

Granice

117

Rozdział 8

Liczby rzeczywiste i liczby zespolone

8.1 Ciało liczb rzeczywistych.

W części pierwszej, na gruncie teorii mnogości naszkicowaliśmy jak konstruuje się liczby rzeczywiste i dowodzi ich własności.Rozpoczynając czytanie bezpośrednio od części drugiej możemy się oprzeć na następujących definicjach.

Definicja 8.1.1 Ciało liczbowe F to zbiór liczb z dwuargumentowymi działaniami + (dodawanie), · (mnożenie) iwyróżnionymi liczbami 0 (zero) i 1 (jeden) taki, że

• dla dowolnego x ∈ F

x+ 0 = x

x · 1 = x

• dla dowolnego x ∈ F istnieje x′ ∈ F , zwyczajowo oznaczane −x, takie że

x+ x′ = 0

• dla dowolnego x ∈ F \ {0} istnieje x′′ ∈ F , zwyczajowo oznaczane 1x , takie że

x · x′′ = 1

• dla dowolnych x, y ∈ F

x+ y = y + x

x · y = y · x

• dla dowolnych x, y, z ∈ F

(x+ y) + z = x+ (y + z)(x · y) · z = x · (y · z)

(x+ y) · z = x · z + y · z

119

120 ROZDZIAŁ 8. LICZBY RZECZYWISTE I LICZBY ZESPOLONE

Definicja 8.1.2 Ciało liczbowe uporządkowane to ciało liczbowe F dodatkowo z dwuargumentową relacją > (większe)takie, że

• dla dowolnych x, y ∈ F

x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x · y > 0

• dla dowolnych x, y, z ∈ F

x > y ⇒ x+ z > y + z.

Piszemy x y jako skrót x > y ∨ x = y. Dla wygody wprowadzamy też oznaczenie x ¬ y dla y x oraz x < y dlay > x. Mówimy, że b ∈ F jest majorantą zbioru X ⊂ F jeśli dla każdego x ∈ X mamy x ¬ b. Mówimy, że zbiór X ⊂ F jestograniczony od góry, jeśli ma majorantę. Mówimy, że a ∈ F jest kresem górnym zbioru X i piszemy a = supX jeżeli a jestmajorantą zbioru X i zbiór ten nie posiada mniejszej majoranty.

Analogicznie definiujemy minorantę, zbiór ograniczony od dołu i kres dolny, który oznaczamy inf A.

Definicja 8.1.3 Ciało liczb rzeczywistych R to ciało liczbowe uporządkowane o tej własności, że każdy niepustyograniczony podzbiór x ⊂ R posiada kres górny.

8.1.1 Podzbiory RZbiór naturlanych N utożsamiamy ze zbiorem liczb postaci

{x ∈ R | x =n razy︷︸︸︷

1 + 1 + . . .+ 1 }.

Zbiór Z utożsamiamy ze zbiorem{x ∈ R | x ∈ N lub − x ∈ N }.

Zbiór Q utożsamiamy ze zbiorem{x ∈ R | ∃p ∈ Z∃q ∈ N1 x = p · q−1 }.

Wprowadzamy oznaczenia

R+ := {x ∈ R | x > 0 },R− := {x ∈ R | x < 0 },R∗ := {x ∈ R | x 0 }.

8.2 Liczby reprezentowalneW pamięci komputera możemy reprezentować jedynie pewien skończony podzbiór zbioru liczb. Używane są różne podzbiory.W przypadku liczb, na których operuje procesor są to pewne podzbiory zbioru liczb całkowitych oraz pewne podzbioryzbioru liczb wymiernych, najczęściej liczby całkowite typu int oraz wymierne typu double.

Do reprezentacji liczb typu int używa się zazwyczaj 32 cyfr dwójkowych, czyli inaczej bitów (rys.8.1). Sama liczbazapisana jest przy pomocy 31 bitów, a 32-gi bit używany jest do zapisania znaku. Pozwala to na zapisywanie liczb całkowitychz zakresu −2147483648 do +2147483647.

8.2. LICZBY REPREZENTOWALNE 121

Rysunek 8.1: 32-bitowe słowo (4 bajty) używane do reprezentacji liczb typu int.

Rysunek 8.2: 64-bitowe słowo (8 bajtów) używane do reprezentacji liczb typu double.

Liczby typu double przechowywane są zazwyczaj na 64 bitach, z czego jeden bit reprezentuje znak s, 11 bitów cechę N ,a pozostałe 52 mantysę m będącą ułamkiem o mianowniku 252 z przedziału [1, 2) (rys.8.2). Umożliwa to zapisywanie liczbw postaci

x = sm2N ,a także, przy pomocy specjalnego kodu, liczby zero. Wykorzystanie cechy i mantysy pozwala na przybliżanie liczb o bardzodużym zakresie, od bardzo małych, rzędu 10−323, do bardzo dużych, rzędu 10308, przy zachowaniu w miarę stałej dokładności,wynoszącej około 15 cyfr znaczących.

Większość języków programowania zadowala się takim systemem liczb reprezentowalnych jaki jest dostępny na poziomieprocesora. Tak jest na przykład w języku C++. Takie podejście jest wystarczające do większości zastosowań. Jeśli jednakz jakiegoś powodu zachodzi potrzeba stosowania większej dokładności w obliczeniach, zawsze można skorzystać z bibliotekiudostępniającej liczby reprezentowalne reprezentowane na dowolnej ilości bitów, ograniczonej nie wielkością słowa maszy-nowego ale jedynie całkowitą ilością wolnej pamięci. Jedyne co przy takim rozwiązaniu tracimy to czas obliczeń, który jestistotnie wolniejszy niż w przypadku obliczeń wykonywanych na pojedynczych słowach maszynowych.

Specjalizowane programy do matematyki obliczeniowej, takie jak Mathematica mają tego typu biblioteki wbudowane.Na przykład, aby pomnożyć przez siebie dwie liczby 25-cyfrowe wystarczy napisać

1234567890123456789012345∗1234567890123456789012345.

Natychmiast otrzymujemy wynik

1524157875323883675049533479957338669120562399025

Pisząc2^200

otrzymujemy1606938044258990275541962092341162602522202993782792835301376

Możliwa jest też zamiana ułamka na liczbę dziesiętną o dowolnie wysokiej dokładności. Na przykład piszącN[ 1/23 , 50 ]

otrzymujemy przybliżenie ułamka 123

0.043478260869565217391304347826086956521739130434783


z dokładnością do 50 cyfr.Tam gdzie liczy się prędkość obliczeń (na przykład, gdy musimy policzyć nie jeden pierwiastek, ale miliony pierwiastków

jako część innego zadania) zamiast języków interpretowanych, takich jak Mathematica, używamy języków kompilowanych.Współcześnie wszędzie tam, gdzie kluczowa jest szybkość obliczeń prym wiedzie język C++, choć na przykład fizycy preferująjeszcze szybszy, ale nieco już sędziwy język Fortran. Najszybszy kod można uzyskać stosując bezpośrednio język maszynowy,ale pisanie w nim programów jest wyjątkowo żmudne.

Listingi 8.1 i 8.2 prezentują nasz algorytm liczenia pierwiastka metodą brutalnej siły napisany w języku C++. Działaon z dokładnością do 10−4. Większej dokładności w oparciu o użyty w nim standardowy typ całkowitoliczbowy int nie dasię uzyskać, bo dla n >= 100000 wyrażnie p ∗ n ∗ n nie może być policzone poprawnie gdy reprezentowane jest jako typ int.

Odpowiednik programu z listingu 5.3 napisany w języku C++ przedstawono na listingu 8.3.

8.3 Funkcja potęgowa w R

Dla n ∈ N przyjmujemy oznaczenie xn :=n razy︷︸︸︷

x · x · · · · · x. Funkcję

R 3 x 7→ xn ∈ R

nazywamy funkcją potęgową.

Uwaga 8.3.1 Mamy następujące własności funkcji potęgowej w R

(i) ∀x ∈ R x2 0,

(ii) ∀x ∈ R x2 = 0 ⇔ x = 0,

(iii) ∀x, y, z ∈ R x > 0, y < z ⇒ xy < xz,

(iv) ∀x, y, z ∈ R x < 0, y < z ⇒ xy > xz,

(v) ∀x ∈ R x > 0 ⇒ x−1 > 0.

Dowód: ćwiczenie.

Twierdzenie 8.3.2 Funkcja potęgowa na zbiorze R∗ jest silnie rosnąca, tzn.

∀n ∈ N1∀x, y ∈ R∗ : 0 ¬ x < y ⇒ xn < yn

Dowód: Dowód poprowadzimy indukcyjnie względem n. Dla n = 1 teza pokrywa się z założeniem, więc implikacja jestoczywiście prawdziwa. Załóżmy zatem, że dla pewnego k ∈ N mamy

∀x, y ∈ R∗ x < y ⇒ xk < yk. (8.1)

Chcemy pokazać, że∀x, y ∈ R∗ x < y ⇒ xk+1 < yk+1. (8.2)

Rozważmy więc x, y ∈ R takie, że x < y. Z założenia indukcyjnego (8.1) wnosimy, że xk < yk. Stosując dwukrotnie własność(ii) ciała uporządkowanego dostajemy

xk+1 = xkx < ykx < yky = yk+1.

Zatem xk+1 < yk+1 co dowodzi, że implikacja (8.2) zachodzi. Zatem na mocy zasady indukcji twierdzenie zostało udowod-nione. �

8.3. FUNKCJA POTĘGOWA W R 123

� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ SqrtTwoBf . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Obl i c zan i e p r z y b l i ż e n i a p i e rw ia s tka z 2 ∗//∗ metodą b r u t a l n e j s i ł y ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/

/∗ Tu włączamy standardową b i b l i o t e k ę w e j ś c i a wyj ś c i a ∗/#include <iostream>/∗ I podpinamy tak zwaną standardową p r z e s t r z e ń nazw .

Bez tego nazwy t a k i e jak cout p o n i ż e j musiel ibyśmyp i s a ć jako std : : cout ∗/

using namespace std ;

/∗ Właściwy początek programu .Program główny w C++ ma zawsze nazwę main .Pomiędzy nawiasami ( i ) może być l i s t a ewentualnychargumentów ( danych wejściowych ) . W naszym przypadkuj e s t ona pusta . Słowo i n t przed main oznacza typzwracanej wartośc i , który musi tu być , a l e nasn i e i n t e r e s u j e . Sam program mie ś c i s i ę pomiędzynawiasami { i } ∗/

int main ( ){

/∗ Deklarujemy i i n i c j a l i z u j e m y trzy zmienne typu i n t ∗/int a=2,n=10000 , i=n ;

/∗ Jak długo spe łn iony j e s t warunek zwiększamy zmienną i .Taka konst rukc ja nazywana j e s t p ę t l ą whi l e .W t e j p ę t l i wykonywana j e s t ty lko jedna i n s t r u k c j a ,zw i ęk szen ia zmiennej i o jeden . Znak = nie p e ł n i tur o l i porównania ( wtedy dosta l ibyśmy sprzeczność 0=1)ty lko pr zyp i s an i a : zawartość i zastąp przez i+1 ∗/

while ( i ∗ i<=a∗n∗n) i=i +1;

/∗ Ostatnia dobra wartość zmiennej ibyła mnie j sza o jeden . Poprawiamy ∗/

i=i −1;

/∗ Wyprowadzamy zmienną i , t e k s t " / " , zmienną noraz znak nowej l i n i i na standardowe wy j ś c i e ∗/

cout << i << "/" << n << endl ;/∗ Koniec programu ∗/

}� �Listing 8.1: Obliczania pierwiastka metodą brutalnej siły w C++

124 ROZDZIAŁ 8. LICZBY RZECZYWISTE I LICZBY ZESPOLONE� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ SqrtBfPlus . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Usprawnienie programu SqrtTwoBf . cpp ∗//∗ Zamiast zaczynać dob i e r an i e war to ś c i zmiennej i ∗//∗ od 1 , zaczynamy od poprzedn i e j z n a l e z i o n e j ∗//∗ warto śc i ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/

#include <iostream>/∗ Włączenie dodatkowej b i b l i o t e k i z a w i e r a j ą c e j

m. in . s e t p r e c i s i o n wyjaśnione d a l e j ∗/#include <iomanip>using namespace std ;

/∗ Podprogram o b l i c z a j ą c y p i e r w i a s t e k z l i c z b y a .Przyjmuje on wartość jako argument typu double .Wartość zwracana j e s t t e ż typu double ∗/

double SqrtBfPlus ( double a ){/∗ Ustawiamy p r e c y z j ę na 14 c y f r ∗/double p=100000000000000.0;/∗ Deklarujemy dwie zmienne l o k a l n e typu zmiennopozycyjnego ∗/double n=1, i =1;/∗ Pęt l ę przerwiemy i n s t r u k c j ą break p o n i ż e j ∗/while ( true ){

/∗ Dopóki kwadrat z i /n n i e przekracza a zwiększamy i ∗/while ( i ∗ i<=a∗n∗n) i=i +1;/∗ Ostatn ie dobre i bylo mnie j sze o jeden ∗/i=i −1;/∗ i /n j e s t naszym kolejnym przyb l i ż en i em p i e rw ia s tka ∗/cout << i /n << endl ;/∗ Gdy osiągniemy żądaną precyz ję , przerywamy p ę t l ę ∗/i f (n>=p) break ;/∗ Zwiększamy n oraz i 10− k r o t n i e ∗/n=n ∗10 ;i=i ∗10 ;/∗ Koniec bloku . Zawracamy i podejmujemy próbę

ko l e jnego p r z e j ś c i a i n s t r u k c j i w bloku .Ponieważ n w każdym kolejnym p r z e j ś c i uj e s t 10− k r o t n i e większe , n i e będziemytego na s z c z ę ś c i e r o b i ć w nie skończoność . . . ∗/

}/∗ Zwracamy wynik ∗/return i /n ;/∗ Koniec podprogramu ∗/

}/∗ Program główny ∗/int main ( ){

/∗ Ustalamy dokładność wyprowadzanych wyników na 15 c y f r ∗/cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;

/∗ Deklarujemy jedną zmienną typu double ∗/double a ;/∗ Wyprowadzamy t e k s t na standardowe wy j ś c i e ∗/cout << "Podaj liczbe naturalna: " ;/∗ Wprowadzamy wartość zmiennej a z k lawiatury ∗/c in >> a ;/∗ Uruchamiamy podprogram ∗/cout << "Pierwiastek z " << a << " wynosi " << SqrtBfPlus ( a ) << "\n" ;/∗ Koniec programu ∗/

}� �Listing 8.2: Usprawnione podejście do obliczania pierwiastka w C++

8.3. FUNKCJA POTĘGOWA W R 125

� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ SqrtBfQuick . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Szybki sposób l i c z e n i a p i e rw ia s tka ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <iomanip>using namespace std ;

/∗ Podprogram o b l i c z a j ą c y wartość bezwzględną ∗/double abs ( double x ){

i f (x>=0) return x ;else return −x ;

}/∗ Podprogram o b l i c z a j ą c y p i e r w i a s t e k z l i c z b y a ∗/double SqrtBfQuick ( double a ){

double x=a ;/∗ Dopóki wartość bezwzględna różn i cy kwadratu przekracza 10

w potędze −15 zap i sane w p o s t a c i wykładnicze j jako 1e−15 ∗/while ( abs ( x∗x−a)>1e −15){

x=(x∗x+a )/(2∗ x ) ;cout << x << endl ;

}return x ;

}/∗ Początek głównego programu ∗/int main ( ){

cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;double a ;cout << "Podaj liczbe dodatnia: " ;c in >> a ;cout << "Pierwiastek z " << a << " wynosi " << SqrtBfQuick ( a ) << "\n" ;

}� �Listing 8.3: Szybkie wyznaczenie ciągu przybliżeń pierwiastka w C++.


8.3.1 Nierówność BernoullegoPonizsza nierównosc przyda sie nam w dowodzie twierdzenia 8.9.2, o zbieznosci ciagu o wyrazach

(1 + 1

n

)n. Jej autorem jest słynny matematyk szwajcarski

Jacob Bernoulli(rys. 8.9).

Twierdzenie 8.3.3∀n ∈ N1∀x ∈ R : x > −1 ⇒ (1 + x)n 1 + nx

Dowód: (*) Dowód poprowadzimy indukcyjnie względem n. Dla n = 1 nierówność jest oczywista. Załóżmy, że zachodziona dla pewnego k ∈ N i wszystkich x > −1. Ustalmy y > −1. Na mocy założenia

(1 + y)k 1 + ky. (8.3)

Ponieważ y + 1 > 0, więc mnożąc nierówność (8.3) obustronnie przez y + 1 dostajemy

(1 + y)k+1 (1 + ky)(1 + y) = 1 + (k + 1)y + ky2 1 + (k + 1)y,

co dowodzi, że teza zachodzi dla n = k + 1 i kończy dowód indukcyjny. �

8.4 Wartość bezwzględna

Definicja 8.4.1 Dla x ∈ R definiujemy wartość bezwzględną x jako

|x| :={x gdy x 0,−x gdy x < 0.

Twierdzenie 8.4.2 Niech x, y, a ∈ R. Wtedy

|x| = | − x|, |x| 0, −|x| ¬ x ¬ |x|, (8.4)|x| = 0 ⇔ x = 0, (8.5)

|x| ¬ a ⇔ −a ¬ x ¬ a, |x| a ⇔ x ¬ −a lub x a, (8.6)||x| − |y|| ¬ |x± y| ¬ |x|+ |y|, (8.7)

|xy| = |x||y|,√x2 = |x|. (8.8)

Dowód: Własności (8.4), (8.5), (8.6) i (8.8) są oczywiste gdy rozważy się oddzielnie przypadki x 0 i x < 0. Abypokazać (8.7) najpierw udowodnimy, że dla dowolnych x, y ∈ R mamy

|x+ y| ¬ |x|+ |y|. (8.9)

Z własności (8.4) mamy−|x| ¬ x ¬ |x| i − |y| ¬ y ¬ |y|.

Z własności ciała uporządkowanego mamy zatem

−(|x|+ |y|) ¬ x+ y ¬ |x|+ |y|.

Zatem z (8.6) dostajemy (8.9). Ponieważ (8.9) zachodzi dla dowolnych x, y ∈ R, więc w szczególności możemy podstawić w(8.9) x− y za x. W efekcie dostajemy

|x| = |(x− y) + y| ¬ |x− y|+ |y|.

8.5. TWIERDZENIE O ISTNIENIU PIERWIASTKA. 127

Podobnie otrzymujemy|y| ¬ |y − x|+ |x|,

skąd wnosimy, że|x| − |y| ¬ |x− y| i |y| − |x| ¬ |y − x| = |x− y|.

Zatem z (8.6) dostajemy||x| − |y|| ¬ |x− y|,

a także||x| − |y|| = ||x| − | − y|| ¬ |x− (−y)| = |x+ y|,

co kończy dowód własności (8.7).

8.5 Twierdzenie o istnieniu pierwiastka.Naszym celem w tym rozdziale jest udowodnienie, ze w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich pierwiaski istnieja. W szczególnosci ostatecznie zamkniemy sprawesensownosci

√2. Nim jednak twierdzenie to udowodnimy potrzebujemy dwa pomocniczne twierdzenia: własnosc Archimedesa oraz gestosc Q w R.

8.5.1 Własność Archimedesa

Twierdzenie 8.5.1 Ciało liczb rzeczywistych ma własność Archimedesa, tzn.

∀a, b ∈ R+ ∃n ∈ N na > b.

Dowód: (*) Dowód poprowadzimy nie wprost. Załóżmy zatem, że istnieją liczby rzeczywiste dodatnie a, b takie, że dlakażdej liczby naturalnej n zachodzi na ¬ b. Oznacza to, że b jest majorantą zbioru

A := {x ∈ R | ∃n ∈ N x = na }.

Niech c := supA będzie jego kresem gónym. Ponieważ c− a < c, więc c− a nie jest majorantą zbioru A. Zatem znajdziemyn0 ∈ N takie, że n0a > c − a. Ale wtedy (n0 + 1)a > c, a w konsekwencji c nie jest majorantą A, a tym bardziej kresemgórnym zbioru A. Otrzymana sprzeczność dowodzi twierdzenia. �

Wniosek 8.5.2 Ciało liczb wymiernych ma wartość Archimedesa.

Dowód: ćwiczenie.

8.5.2 Gęstość zbioru w zbiorze

Definicja 8.5.3 Niech X będzie przestrzenią liniowo uporządkowaną, a A niech będzie podzbiorem X. Mówimy, żeA jest gęsty w X jeżeli

∀x, y ∈ X x < y ⇒ ∃z ∈ A x < z < y.

Gdy A = X, mówimy, że A jest gęsty w sobie.

Twierdzenie 8.5.4 Zbiór liczb wymiernych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych.


Dowód: Niech x, y ∈ R będą takie, że x < y. Możliwe są trzy przypadki

x < 0 < y lub 0 ¬ x < y lub x < y ¬ 0.

W pierwszym przypadku teza jest oczywista, bo zero jest liczbą wymierną. Rozważmy drugi przypadek. Niech a := y−x > 0.Z własności Archimedesa znajdziemy liczbę naturalną n taką, że na > 1. Wtedy 1

n < a. Również z własności Archimedesawniosimy, że zbiór

A := { k ∈ N | k 1n > x }

jest niepusty. Niech m := minA. Wtedy m− 1 6∈ A. W szczególności m−1n ¬ x oraz

m

n= m− 1

n+ 1n¬ x+ 1

n< x+ a = y.

Zatem x < mn < y, a ponieważ oczywiście m

n ∈ Q, teza w tym przypadku zachodzi. Pozostaje rozważyć trzeci przypadek.Wtedy 0 ¬ −y < −x, zatem z rozważonego już przypadku znajdziemy z ∈ Q takie, że −y < z < −x. Ale wtedy x < −z < yi oczywiście −z ∈ Q co kończy dowód twierdzenia. �

8.5.3 PierwiastkiTeraz możemy już udowodnić twierdzenie o istnieniu n-tego pierwiastka

Twierdzenie 8.5.5 (o istnieniu n-tego pierwiastka)

∀n ∈ N1∀x ∈ R∗∃!y ∈ R∗ : yn = x

Dowód: (*) Pokażemy najpierw, że pierwiastek istnieje co najwyżej jeden. Dla dowodu nie wprost, przyjmijmy, żeistnieją y1, y2 ∈ R∗ takie, że y1 6= y2 oraz yn1 = yn2 . Dla ustalenia uwagi możemy przyjąć, że y1 < y2 (dowód gdy y1 > y2 jestanalogiczny). Na mocy twierdzenia 8.3.2 mamy yn1 < yn2 co przeczy yn1 = yn2 i dowodzi jednoznaczności.

Dla dowodu istnienia zauważmy najpierw, że 0n = 0, zatem teza jest oczywista gdy x = 0. Możemy więc założyć, żex > 0. Rozważmy zbiór

E := {u ∈ R∗ | un < x }.

Oczekujemy, ze kres górny tego zbioru jest poszukiwanym pierwiastkiem. Musimy jednak najpierw pokazac, ze E jest zbiorem niepustym i ograniczonym odgóry.

Pokażemy, że E 6= ∅. Niech t := xx+1 . Mamy 0 < t < 1 oraz t < x. Mnożąc nierówności 0 < t < 1 obustronnie przez t > 0

dostajemy z własności ciała uporządkowanego dostajemy 0 < t2 < t. Ale t < 1, zatem 0 < t2 < 1. Rozumując indukcyjniestwierdzamy, że również 0 < tn−1 < 1. Mnożąc tę nierówność obustronnie przez t >) dostajemy tn < t. Zatem tn < x cooznacza, że t ∈ E. Tak więc E 6= ∅. Pokażemy z kolei, że 1 + x jest majorantą zbioru E. Gdyby tak nie było, znaleźlibyśmys ∈ E, takie, że s > 1 + x. Wtedy sn > s > x. Zatem s 6∈ E. Otrzymana sprzeczność pokazuje, że 1 + x rzeczywiście jestmajorantą zbioru E, zatem E jest ograniczony od góry. Zatem ma kres górny.

Połóżmy y := supE. Pokażemy, że rzeczywiście yn = x. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że yn 6= x. Mamy do rozważeniadwa przypadki: yn < x lub yn > x. Rozważmy najpierw przypadek yn < x.

Liczymy teraz, ze da sie skonstruowac y1 > y takie, ze yn1 < y, co przeczyłoby y = supE. Naturalne jest poszukiwac y1 w postaci y1 = y + h.Pytanie jak dobrac h? Mamy miec (y + h)n < x co jest równowazne

(y + h)n − yn < x− yn. (8.10)

Wiemy ze wzoru (7.6), ze(y + h)n − yn = h

((y + h)n−1 + (y + h)n−2y + · · · yn−1) < hn(y + h)n.

Zatem, dla h < 1 mamy(y + h)n − yn < hn(y + 1)n.

8.6. ROZSZERZONY ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH 129

Stad, by zagwarantowac (8.10), wystarczy zapewnic, zehn(y + 1)n < x− yn,

a w tym celu wystarczy wziac h < x−yn

n(y+1)n . Jestesmy teraz gotowi, by ze zrozumieniem wrócic do formalnego dowodu.Dobierzmy h ∈ Q takie, że

0 < h < min{1, x− yn

n(y + 1)n }.

Istnienie takiego h zapewnia nam gęstość Q w R (twierdzenie 8.5.4). Łatwo sprawdzamy, że wtedy

(y + h)n − yn < hn(y + 1)n < x− yn.

Zatem (y + h) < x, czyli y + h ∈ E. Ale y + h > y = supE, skąd y + h 6∈ E. Otrzymana sprzeczność wyklucza nierównośćyn < x.

Pozostaje pokazać, że nierówność yn > x też prowadzi do sprzeczności. Tym razem liczymy, ze uda sie skonstruowac y2 < y,równiez bedace majoranta zbioruE, co doprowadzi do sprzecznosci z faktem, ze y jako kres górny jest najmniejsza majoranta. Poszukujemy y2 w postaci y−k.Chcemy miec (y − k)n > x co jest równowazne postulatowi

yn − (y − k)n < yn − x

Rozpisujac podobnie jak poprzednio mamy

yn − (y − k)n = k(yn−1 + yn−2(y − k) + · · ·+ (y − k)n−1) < knyn−1.

Podpowiada to jak dobrac k.Dobierzmy k ∈ Q takie, że

0 < k <yn − xnyn−1 .

Łatwo sprawdzamy, że przy tak dobranym k mamy (y− k)n > x. Twierdzimy, że y− k jest majorantą zbioru E. Gdyby taknie było, znaleźlibyśmy v ∈ E takie, że v > y− k. Ale wtedy vn > (v− k)n > x, co przeczy v ∈ E. Zatem y− k rzeczywiściejest majorantą zbioru E. Ale y−k < y, skąd y nie jest najmniejszą majorantą E< zatem y 6= supE. Otrzymana sprzecznośćdowodzi, że yn = x. �

Nieujemną liczbę, której n-ta potęga jest równa liczbie x 0 nazywamy n-tym pierwiastkiem z x i oznaczamy n√x.

Twierdzenie 8.5.6∀n ∈ N1∀x, y ∈ R∗ : n

√xy = n

√x n√y

Dowód: ćwiczenie.W programie Mathematica pierwiastek kwadratowy z x zapisujemy jako Sqrt[x]. Nie ma natomiast podobnej notacji

dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa. Aby policzyć n√x piszemy x^(1/n). Notacja ta bierze sie stad, ze, jak wkrótce zobaczymy,

funkcje potegowa mozna rozszerzyc na wykładniki rzeczywiste i wtedy n√x = x

1n .

8.6 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych8.6.1 R uzupełniony o −∞ i +∞Aby brac kres górny lub dolny podzbioru R trzeba sprawdzac czy jest on ograniczony odpowiednio od góry lub dołu. Jest to niewygodnie, dlatego przydaje siezbiór liczb rzeczywistych rozszerzony o plus i minus nieskonczonosc. W takim rozszerzonym zbiorze kazdy podzbiór ma kres górny lub dolny. Jest nim zwykłaliczba gdy zbiór jest ograniczony, a plus lub minus nieskonczonosc jesli jest nieograniczony od góry lub nieograniczony od dołu.


Definicja 8.6.1 Definiujemy rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych jako

R := R ∪ {−∞,∞}.

Ponadto przyjmujemy, że dla każdego x ∈ R −∞ < x <∞.

Uwaga 8.6.2 Każdy niepusty podzbiór R posiada kresy.

Definicja 8.6.3 W R definiujemy następujące działania:

(i) Dla x ∈ R x+∞ :=∞, x−∞ := −∞, x∞ := x

−∞ := 0.

(ii) Dla x ∈ R+ x · ∞ :=∞, x · (−∞) := −∞.

(iii) Dla x ∈ R− x · ∞ := −∞, x · (−∞) :=∞.

(iv) Ponadto ∞ ·∞ := (−∞) · (−∞) :=∞, ∞ · (−∞) := (−∞) · ∞ := −∞.

(v) Oraz ∞+∞ :=∞, (−∞) + (−∞) := −∞.

Uwaga 8.6.4 Jeśli A ⊂ R jest zbiorem niepustym, to A jest ograniczony od góry (od dołu) wtedy i tylko wtedy gdysupA <∞ (inf A > −∞).

8.6.2 Kresy funkcji

Definicja 8.6.5 Niech X będzie zbiorem, A ⊂ X jego podzbiorem, a f : X → R funkcją. Definiujemy kres górnyfunkcji f na zbiorze A jako

supx∈A

f(x) := sup f(A) = sup { f(x) | x ∈ A }.

Definiujemy kres dolny funkcji f na zbiorze A jako

infx∈A

f(x) := inf f(A) = inf { f(x) | x ∈ A }.

Mówimy, że f jest ograniczona od góry (od dołu) na zbiorze A gdy f(A) jest ograniczony od góry (od dołu) co jestrównoważne warunkowi supx∈A f(x) <∞ (infx∈A f(x) > −∞).

8.6. ROZSZERZONY ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH 131

Twierdzenie 8.6.6 Mamy następujące własności kresów funkcji:

(i) Niech f : X → R będzie funkcją, a A ⊂ X. Wtedy

infx∈A

(−f(x)) = − supx∈A

f(x),

supx∈A

(−f(x)) = − infx∈A

f(x).

(ii) Niech fi : X → R dla i ∈ {1, 2} będą funkcjami, a A ⊂ Xi. Wtedy

supx∈A

(f1(x) + f2(x)) ¬ supx∈A

f1(x) + supx∈A

f2(x),

infx∈A

(f1(x) + f2(x)) infx∈A

f1(x) + infx∈A

f2(x).

Dowód: (*)Aby udowodnić własność (i) połóżmy a := supx∈A f(x) oraz b := infx∈A (−f(x)). Wystarczy pokazać, że−a ¬ b i −a b. Niech x ∈ A. Wtedy z definicji kresu górnego f(x) ¬ a. Zatem −a ¬ −f(x) dla wszystkich elementówx ∈ A. Zatem −a jest minorantą zbioru {−f(x) | x ∈ A }, skąd −a ¬ infx∈A (−f(x)) = b. Potrzebujemy jeszcze pokazać,że −a b. Ustalmy ponownie x ∈ A. Z definicji kresu dolnego mamy b ¬ −f(x), skąd f(x) ¬ −b. Zatem −b jest majorantązbioru { f(x) | x ∈ A }, co oznacza, że −b a, czyli −a b. Dowodzi to pierwszej równości własności (i). Drugą dowodzisię analogicznie.

Dla dowodu pierwszej nierówności własności (ii) połóżmy a1 := supx∈A f1(x), a2 := supx∈A f2(x) oraz ustalmy x ∈ A. Zdefinicji kresu górnego mamy

f1(x) ¬ a1 f2(x) ¬ a2.

Zatemf1(x) + f2(x) ¬ a1 + a2.

Ponieważ x ∈ A jest dowolnie ustalone, wnosimy, że a1 + a2 jest majorantą zbioru { f1(x) + f2(x) | x ∈ A }. Ponieważsupx∈A (f1(x) + f2(x)) jest najmniejszą majorantą tego zbioru, dostajemy

supx∈A

(f1(x) + f2(x)) ¬ a1 + a2,

co dowodzi pierwszej nierówności we własności (ii). Drugą nierówność dowodzi się analogicznie. �W podobny sposób dowodzi się następujących twierdzeń.

Twierdzenie 8.6.7 Niech f : X1 ×X2 → R będzie funkcją, a Ai ⊂ Xi dla i ∈ {1, 2}. Wtedy

sup(x1,x2)∈A1×A2

f(x1, x2) = supx1∈A1

(supx2∈A2

f(x1, x2)),

inf(x1,x2)∈A1×A2

f(x1, x2) = infx1∈A1

(inf

x2∈A2f(x1, x2)

).

Twierdzenie 8.6.8 Niech fi : Xi → R oraz Ai ⊂ Xi dla i ∈ {1, 2}. Jeśli infxi∈Ai fi(xi) > −∞ oraz supxi∈Aifi(xi) <

∞ to

sup(x1,x2)∈A1×A2

(f1(x1) + f2(x2)) = supx1∈A1

f1(x1) + supx2∈A2

f2(x2),

inf(x1,x2)∈A1×A2

(f1(x1) + f2(x2)) = infx1∈A1

f1(x1) + infx2∈A2

f2(x2).


Twierdzenie 8.6.9 Niech f : X → R będzie funkcją, A ⊂ X, a c ∈ R. Wtedy

supx∈A

(f(x) + c) = supx∈A

f(x) + c,

infx∈A

(f(x) + c) = infx∈A

f(x) + c.

8.7 Ciało liczb zespolonych8.7.1 Liczby zespoloneChcemy rozszerzyc ciało liczb rzeczywistych tak, by pozostało ciałem, ale była w nim liczba i o własnosci i2 = −1. Widac, ze jesli ma to byc ciało to musi w nimtez byc liczba a+ bi dla dowolnych rzeczywistych a, b. Jednak suma i iloczyn liczb tej postaci nie wymaga juz dalszego rozszerzania, bo

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i,(a+ bi)(c+ di) = ac+ adi+ bci+ bdi2 = (ac− bd) + (ad+ bc)i.

Niestety nie ma szans, by ciało to było uporzadkowane, bo wtedy albo i > 0, albo−i > 0, co na mocy własnosci ciała uporzadkowanego prowadzi do i2 > 0sprzecznego z i2 = −1.

Pozostaje jednak pytanie, czy sam pomysł liczby i jako elementu ciała rozszerzajacego ciało liczb rzeczywistych tez nie prowadzi do jakiejs sprzecznosci,której jeszcze nie widzimy. Aby przekonac sie, ze tak nie jest, trzeba zbudowac formalny model liczb zespolonych.

8.7.2 Ciało CW C := R2 wprowadzamy działania

(a, b) + (c, d) := (a+ c, b+ d),(a, b)(c, d) := (ac− bd, ad+ bc).

Twierdzenie 8.7.1 Zbiór C := R2 z tak określonymi działaniami oraz parami (0, 0) i (1, 0) jako elementami neutral-nymi odpowiednio dla dodawania i mnożenia jest ciałem.

Definicja 8.7.2 Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych.

Dla dowolnych a, b ∈ R mamy (a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0) oraz (a, 0)(b, 0) = (ab, 0), zatem parę (a, 0) możemy utożsamiaćz liczbą rzeczywistą a.

Zwyczajowo kładziemy i := (0, 1). Jest to tak zwana jednostka urojona. Łatwo sprawdzamy, że i2 = (−1, 0) = −1 oraz(a, b) = (a, 0) + (b, 0)i = a+ bi.

Dla liczby zespolonej z := a+ bi definiujemy jej moduł |z| :=√a2 + b2 oraz jej sprzężenie z := a− bi.

Dla liczby zespolonej z = a+bi liczby a, b ∈ R nazywamy odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną z i oznaczamyre z i im z.

W programie Mathematica jednostkę urojoną i oznaczamy I, a liczbę zespoloną a+ bi zapisujemy jako a + b I.Interpretacja geometryczna liczby zespolonej przedstawiona jest na rys. 8.3, interpretacja sumy na rys. 8.4, a interpretacja

iloczynu liczby zespolonej przez liczbę i na rys. 8.5.

8.7. CIAŁO LICZB ZESPOLONYCH 133

Rysunek 8.3: Interpretacja geometryczna liczby zespolonej z := a+ bi, jej modułu oraz sprzężenia.

Rysunek 8.4: Interpretacja geometryczna sumy liczb zespolonych.

Rysunek 8.5: Interpretacja geometryczna iloczynu liczby zespolonej przez liczbę i.


8.7.3 Zespolona funkcja kwadratowaWiemy ze szkoły, ze miejsca zerowe funkcji kwadratowej

x 7→ ax2 + bx+ c

zaleza od tzw. wyróznika ∆ := b2−4ac, w szczególnosci miejsc zerowych nie ma, gdy wyróznik jest ujemny. Sytuacja ulega zmianie, gdy w funkcji tej dopuscimyargument zespolony.

Twierdzenie 8.7.3 Rozważmy zespoloną funkcją kwadratową o współczynnikach rzeczywistych tj. funkcję

Q : C 3 z 7→ az2 + bz + c ∈ C,

gdzie a, b, c ∈ R są zadanymi współczynnikami rzeczywistymi. Niech ∆ := b2 − 4ac. Jeśli ∆ > 0, to Q ma dwarzeczywiste miejsca zerowe

z1,2 := −b±√

∆2a .

Gdy ∆ = 0 funkcja Q ma jeden pierwiatek rzeczywisty

z := −b2a .

Natomiast dla ∆ < 0 mamy dwa zespolone, wzajemnie sprzężone miejsca zerowe

z1,2 := −b± i√−∆

2a .

8.7.4 Liczby zespolone o module jeden.Półprosta poprowadzona z poczatku układu współrzednych pod katem ϕ do osiX przecina okrag jednostkowy

S1 := { z ∈ C | |z| = 1 }

(rys. 8.6) w punkcie o współrzednychzϕ(cosϕ, sinϕ) ∈ C.

Wykorzystujac tozsamosci trygonometryczne dla sumy katów mozna pokazac, ze

zϕ+ψ = cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)= (cosϕ cosψ − sinϕ sinψ) + i(sinϕ cosψ + cosϕ sinψ)= (cosϕ+ i sinϕ)(cosψ + i sinψ)= zϕzψ.

To przypomina fundamentalna własnosc funkcji wykładniczej. Matematyk szwajcarski Leonard Euler pokazał, ze rzeczywista funkcje wykładnicza moznarozszerzyc na argumenty zespolone

ez :=∞∑n=0

zn

n!

i przy takiej definicji dla x ∈ R zachodzi słynny wzór o nawijaniu prostej na okrag

8.8. GRANICE CIĄGÓW W R 135

Rysunek 8.6: Liczby zespolone o module jeden.

eix = cosx+ i sin x,

który jest wygodna podstawa tak formalnej definicji jak i własnosci funkcji trygonometrycznych. Aby pójsc ta droga potrzebujemy rozszerzyc pojecie granicyciagu i zbieznosci szeregu na liczby zespolone.

8.7.5 Odległość w R i C.Wystepujaca w definicji Cauchy’ego granicy ciagu wartosc bezwzgledna |a− b| dla a, b ∈ R moze byc interpretowana jako odległosc pomiedzy liczbami a i b.

Uogólniajac pojecie odległosci mozemy sie pokusic o uogólnienie pojecia granicy.Moduł liczby zespolonej pod wieloma względami przypomina wartość bezwzględną:

Twierdzenie 8.7.4 Moduł liczby zespolonej ma następujące własności

(i) ∀z ∈ C |z| = 0 ⇔ z = 0,

(ii) ∀z1, z2 ∈ C |z1z2| = |z1||z2|,

(iii) ∀z1, z2 ∈ C |z1 + z2| ¬ |z1|+ |z2|.

Dlatego |z1 − z2| mozna interpretowac jako odległosc pomiedzy liczbami zespolonymi z1 i z2.Zilustrowano to na rys. 8.7

8.8 Granice ciągów w RW rozdziale 1.2 przedstawilismy ciagi jako narzedzie do przyblizania liczb, które nie sa liczbami wymiernymi i analizowalismy prosty algorytm pozwalajacy przy-blizac liczbe

√2. Przedstawilismy tez idee granicy ciagu jako liczby, która ciag przybliza. Teraz przyjrzymy sie temu pojeciu dokładniej, ale zaczniemy od dwóch

dodatkowych eksperymentów numerycznych.

8.8.1 Eksperymenty numeryczneListing 8.4 prezentuje program w jezyku Mathematica obliczajacy wyrazy ciagu (1.2) rozwazanego w rozdziale 1.2.5 jako narzedzie do przyblizania liczby π. Jegoodpowiednik w jezyku C++ przedstawiono na listingu 8.5.


Rysunek 8.7: Odległość liczb zespolonych z1 i z2.

� �(∗ P r z y b l i ż a n i e l i c z b y p i obwodem wpisanych wielokątów ∗)PiByCircumference [d_] :=

Module [ { a , m, n , A} ,(∗ Zaczynamy od wpisanego kwadratu .

Jego bok a wynosi pół p i e r w i s t k a z dwóch .Do p o l i c z e n i a p i e rw ia s tka wykorzystujemy funkc j ę wbudowaną Sqrt ∗)

a = Sqrt [ 2 . ] / 2 ;m = 4 ; (∗ I l o ś c boków wie lokąta , na początek c z t e r y ∗)n = 1 ; (∗ Numer ko l e jnego wyrazu ciągu , na początek jeden ∗)Do[ (∗ Początek p ę t l i Do∗)

A=m∗a ; (∗ Obliczamy długość obwodu ∗)(∗ Domyślnie d la l i c z b maszynowych Mathematica wypisuje ty lko 6 c y f r .

NumberForm pozwala wydobyć w i ę c e j c y f r ∗)Print [ n , " " , NumberForm[A, 1 6 ] ] ; (∗ Wydruk kontro lny . ∗)n = n + 1 ; (∗ Kolejny wyraz c iągu ∗)m = m∗2 ; (∗ Kolejny wie lobok będz i e miał dwa razy w i ę c e j boków ∗)a = Sqrt [ 2 − Sqrt [ 4 − 4∗a∗a ] ] / 2 , (∗ o t a k i e j d ł u g o ś c i ∗){d} (∗ I l o ś ć powtórzeń p ę t l i Do ∗)

] ; (∗ Koniec p ę t l i Do∗)a∗m

]� �Listing 8.4: Wyznaczenie ciągu przybliżeń liczby π w języku Mathematica w oparciu o obwody wielokątów


� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ PiByCircumference . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Obl i c zan i e p r z y b l i ż e n i a l i c z b y p i poprzez obwody ∗//∗ wielokątów foremnych wpisanych w okrąg o ś r edn i cy jeden ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <iomanip>/∗ B i b l i o t e k a matematyczna , zawiera standardowe implementacje

wie lu matematycznych , f u n k c j i . My skorzystamy p o n i ż e jz f u n k c j i s q r t l i c z ą c e j p i e r w i a s t e k kwadratowy ∗/

#include <cmath>using namespace std ;

int main ( ){cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;cout << f i x e d << r i g h t ;/∗ Zaczynamy od wpisanego kwadratu , którego

bok a wynosi pół p i e rw ia s tka z 2 . Do p o l i c z e n i ap i e rw ia s tka wykorzystujemy b i b l i o t e c z n ypodprogram s q r t ∗/

double a=s q r t ( 2 . 0 ) / 2 ;

/∗ I l o ś c boków wie lokąta , na początek c z t e r y ∗/int m=4;/∗ Numer ko l e jnego wyrazu ciągu , i l o ś ć wyrazów do p o l i c z e n i a ∗/int n=1,nmax=40;

/∗ Dla wszystk ich n od 1 do nmax ∗/while (n<nmax){

/∗ Obliczamy długość obwodu ∗/double A=m∗a ;cout << " A[" << setw (2) << n << "] =" ;cout << setw (18) << A << endl ;/∗ Kolejny wie l okąt będz i e miał dwa razy w i ę c e j boków ∗/m=m∗2 ;/∗ A t y l e wyn ie s i e długość j ego boku ∗/a=s q r t (2− s q r t (4−4∗a∗a ) ) / 2 ;/∗ Kolejny wyraz c iągu ∗/n=n+1;

}}� �

Listing 8.5: Wyznaczenie ciągu przybliżeń liczby π w C++ w oparciu o obwody wielokątów


Uruchamiajac program w C++ z listingu 8.5 otrzymujemy nastepujacy ciag liczb (moga wystepowac drobne róznice dla róznych platform), z których pierwszychczternascie to:

A1 = 2.828427124746190A2 = 3.061467458920719A3 = 3.121445152258053A4 = 3.136548490545940A5 = 3.140331156954754A6 = 3.141277250932759A7 = 3.141513801144285A8 = 3.141572940367515A9 = 3.141587725275636A10 = 3.141591421514008A11 = 3.141592345563526A12 = 3.141592576625775A13 = 3.141592634298169A14 = 3.141592650272843

Do tego miejsca ciag ten zachowuje sie bardzo przyzwoicie, a jego kolejne wyrazy rosna. Jednak dalsze wyrazy pokazuja, ze nie do konca spełnia on naszeoczekiwania.

A15 = 3.141592648934190A16 = 3.141592684156058A17 = 3.141592607672169A18 = 3.141592910939673A19 = 3.141591696683685A20 = 3.141596553704820A21 = 3.141596553704820A22 = 3.141518840465548A23 = 3.141207968282266A24 = 3.142451272494134A25 = 3.142451272494134A26 = 3.162277660168380A27 = 3.162277660168380A28 = 2.828427124746190A29 = 0.000000000000000

Poczynajac od wyrazu A15 ciag przestaje byc rosnacy i zamiast przyblizac, zaczyna oddalac sie od π, a wyraz A29 wynosi wrecz zero! I w tym przypadkuprzyczyna ograniczen algorytmu jest skonczona arytmetyka komputera. Efekt obliczen z precyzja maszynowa w srodowisku Mathematica jest analogiczny.

Wartosc liczby π z dokładnoscia do 15-tu miejsc dziesietnych wynosi

π = 3.141592653589793 . . . .


Zatem przy zastosowaniu 64-bitowego typu double przedstawiona metoda pozwala policzyc π z dokładnoscia do około 8 cyfr znaczacych.Warto podkreslic, ze sama obserwacja numeryczna zachowania tego ciagu moze prowadzic do błednego wniosku iz ciag ten jest zbiezny do zera. Aby miec

praktyczny pozytek z ciagu jako narzedzia do przyblizania liczb, musimy umiec od strony teoretycznej przeanalizowac jego zachowanie.Mathematica radzi sobie łatwo z wyliczeniem π z duza dokładnoscia, ale wymaga to obliczen wysokiej precyzji, znacznie kosztowniejszych od obliczen z

precyzja maszynowa. Na przykład piszac

N [ Pi , 1 0 0 0 ]

otrzymujemy3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781\6406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231\7253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109\7566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664\8213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364\3678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919\5309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793\8183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702\7705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713\4275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892\3542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998\3729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850\3526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349\0428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927\876611195909216420199

jako przyblizenie liczby π z dokładnoscia do 1000 cyfr.

Cwiczenie komputerowe 8.8.1 Zmodyfikuj program z listingu 8.5 tak by przyblizał π wykorzystujac 2n-katy foremne opisane na okregu (patrzcw. 1.2.7). Wykorzystaj ten program do przesledzenia zachowania tego ciagu przyblizen.

8.8.2 Granice pozorneW poprzednim podrozdziale zaobserwowalismy, ze wyciaganie wniosków na temat granicy ciagu z samego numerycznego eksperymentu moze byc niebezpieczne.Okazuje sie, ze ciag moze robic wrazenie zbieznego, a mimo wszystko zbieznym nie byc. Rozwazmy ciag dany wzorem rekurencyjnym

x0 = 136.462554878752 (8.11)x1 = 5.39650717129623 (8.12)xn = 0.3x0 + 1− 1.4x2

1 (8.13)

Program w jezyku Mathematica wyznaczajacy wyrazy tego ciagu przedstawiony jest na listingu 8.6. Wersja w C++ jest na listingu 8.7.Przejrzenie pierwszych 15-tu wyrazów tego ciagu moze robic wrazenie, ze ciag ten jest zbiezny do granicy wynoszacej około 0.63135. Przejrzenie 50-ciu

wyrazów zaciera to pierwsze wrazenie. Jednakze, po doswiadczeniach z ciagiem przyblizajacym π mozemy byc skłonni podejrzewac, ze przyczyna niestabilnegozachowania dalszych wyrazów tego ciagu znów jest skonczona arytmetyka komputera. Okazuje sie jednak, ze obserwowana numerycznie zbieznosc tego ciagujest pozorna. Wykres pierwszych 100 wyrazów tego ciagu przedstawiono na rys. 8.8. Przykłady tego typu zaobserwowane zostały przez matematyków po razpierwszy dopiero w XX wieku. Rozwazany przez nas przykład wywodzi sie z tzw. odwzorowania Hénona.

8.8.3 Definicja Cauchy’ego granicy ciąguNiech x : N→ R będzie ciągiem liczb rzeczywistych.


� �(∗ Przykład z c iąg iem pozorn i e zbieżnym , zadanym r e k u r e n c y j n i e ∗)Henon [n_] := Module [ { a , b , x0 , x1 , x2 , k } ,

a = 1 . 4 ; b = 0 . 3 ; (∗ Pomocnicze parametry a i b ∗)k = 0 ; (∗ Liczn ik wyrazów c iągu ∗)(∗ Dwa początkowe wyrazy c iągu ∗)x0 = 136.462554878752 ;x1 = 5.39650717129623 ;Do[ k = k + 1 ;

(∗ Kolejny wyraz c iągu wyliczamy w oparc iu o dwa poprzednie ∗)x2 = b∗x0 + 1 − a∗x1∗x1 ;(∗ Nowe war to ś c i dwóch porzednich wyrazów ciągu ∗)x0 = x1 ;x1 = x2 ;Print [ { k , NumberForm[ x2 , 1 6 ] } ] ,{n}

] ;]� �

Listing 8.6: Przykład ciągu pozornie zbieżnego w języku Mathematica.

Rysunek 8.8: Wykres pierwszych 100 wyrazów ciągu danego wzorami (8.11)-(8.13)


� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Henon . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Przykład z zadanym r e k u r e n c y j n i e ciągiem , pozorn i e zbieżnym . ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <iomanip>using namespace std ;

int main ( ){cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;/∗ Dla w i ę k s z e j c z y t e l n o ś c i wyników narzucamy stałopozycyjny ,

wyrównywany w prawo z a p i s l i c z b ∗/cout << f i x e d << r i g h t ;

/∗ Pomocnicze parametry a i b ∗/double a =1.4 ,b=0.3 ;/∗ Dwa początkowe wyrazy c iągu ∗/double x0 =136.462554878752;double x1 =5.39650717129623;/∗ I l o ś ć wyrazów ciągu do p o l i c z e n i a ∗/int nmax=15;/∗ Inna forma p ę t l i . I n s t r u k c j e w bloku { . . . } wykonujemy dla war to ś c i n

od jeden do nmax zwięk s za jąc n za każdym razem o jeden ∗/for ( int n=1;n<=nmax ; n=n+1){

/∗ Kolejny wyraz c iągu wyliczamy w oparc iu o dwa poprzednie ∗/double x2=b∗x0+1−a∗x1∗x1 ;/∗ Wyprowadzamy wyniki na standardowe wy j ś c i e . setw (p) u s t a l a i l o ś ć pó l

d la wyprowadzanej k o l e j n e j zmiennej . Pozwala to na l e p s z eformatowanie wypisywanych danych ∗/

cout << "x[" << setw (2) << n << "]= " ;cout << setw (20) << x0 << endl ;/∗ Nowe war to ś c i dwóch porzednich wyrazów ciągu ∗/x0=x1 ;x1=x2 ;

}}� �

Listing 8.7: Przykład ciągu pozornie zbieżnego w C++.


Definicja 8.8.2 Mówimy, że ciąg x jest zbieżny do granicy g ∈ R jeżeli

∀ε > 0∃N ∈ N∀n > N |xn − g| < ε.

Piszemy wtedylimn→∞

xn = g.

Mówimy, że ciąg x jest zbieżny, jeżeli istnieje g ∈ R takie, że x jest zbieżny do g.

Twierdzenie 8.8.3 Niech p ∈ N1. Wtedylimn→∞

1np

= 0.

Dowód:Niech ε ∈ R+. Weźmy n ∈ N takie, że N > 1

p√εNiech n będzie większe od N . Wtedy n > 1

p√εi z monotoniczności funkcji

potęgowej np > 1ε i w konsekwencji 1

np < ε. Zatem dla n > N mamy

| 1np− 0| = 1

np< ε.

�Mówimy, że ciąg a : N→ R jest ograniczony, jeśli istnieje M ∈ R takie, że |an| ¬M dla wszystkich n ∈ N.

Twierdzenie 8.8.4 Ciąg zbieżny w R jest ograniczony.

Dowód:Niech a∗ := limn→∞ an. Dla ε = 1 znajdziemy N ∈ N takie, że dla n > N mamy |an − a∗| < 1. Zatem dla takich n jest

|an| = |an − a∗ + a∗| ¬ |an − a∗|+ |a∗| < 1 + |a∗|.

W zbiorze skończonym { |an| | n ∈ N i n ¬ N } jest element największy. Oznaczmy go M0 i weźmy

M := max(1 + |a∗|,M0).

Wtedy dla wszystkich n ∈ N mamy an ¬M . �

8.8.4 Granica ciągu, a struktura ciała w RNiech a, b : N → R będą ciągami liczb rzeczywistych. Niech � ∈ {+,−, · } będzie operatorem dodawania, odejmowania lubmnożenia w R. Definiujemy nowy ciąg

a � b : N 3 n 7→ an � bn ∈ R.

Twierdzenie 8.8.5 (i) Jeśli ciągi a, b są zbieżne to ciąg a � b jest zbieżny oraz

limn→∞

(an � bn) = limn→∞

an � limn→∞

bn.

(ii) Jeśli ciągi a, b są zbieżne i limn→∞ bn 6= 0 to ciąg a / b jest zbieżny oraz

limn→∞

anbn

= limn→∞ anlimn→∞ bn

.


Dowód:Niech limn→∞ an = a∗ i limn→∞ bn = b∗ Przedstawimy dowód dla przypadku gdy � jest iloczynem. Pozostałe dowody

są albo łatwiejsze (suma, różnica), albo wyglądają podobnie (iloraz).Naszym celem jest oszacowanie róznicy

|anbn − a∗b∗|dla duzych n, przy wykorzystaniu oszacowan na róznice |an − a∗| i |bn − b∗|, które mozemy uzyskac ze zbieznosci ciagów a i b. Sztuczka powszechniestosowana przy takich oszacowaniach jest dodanie i odjecie wyrazu pomocniczego i skorzystanie z własnosci wartosci bezwzglednej.

|anbn − a∗b∗| = |anbn − a∗bn + a∗bn − a∗b∗| = |(an − a∗)bn + a∗(bn − b∗)| ¬ |an − a∗||bn|+ |a∗||bn − b∗|

Aby suma dwóch ostatnich składników była mniejsza od ε wystarczy, by kazdy z nich był mniejszy od ε2 . Rozwiazujac nierównosc

|a∗||bn − b∗| <ε

2 ,

widzimy, ze wystarczy, by |bn − b∗| < ε2|a∗| , a to mamy zagwarantowane dla n > N1 dobranego dla ciagu b do stałej ε

2|a∗| . Wyjatkiem jest |a∗| = 0,bo wtedy nie mozna dzielic przez |a∗|, ale z tym nie ma problemu, bo przy |a∗| = 0 lewa strona nierównosci jest zero, wiec nierównosc jest spełniona dlawszystkich n.

Troche bardziej kłopotliwy jest przypadek nierównosci|an − a∗||bn| <

ε

2 ,

bo tu n wystepuje w dwóch miejscach. Jednak wiemy, ze ciag zbiezny jest ograniczony, wiec mozemy znalezc stałaM > 0 taka, ze |bn| < M dla wszystkichn. Zatem wystarczy, by

|an − a∗| <ε

2M ,

a to mamy zagwarantowane dla n > N2 dobranego dla ciagu a do stałej ε2M .

Aby uniknac oddzielnego rozwazania przypadku a∗ = 0 wystarczy zauwazyc, ze |a∗| < |a∗|+ 1, a |a∗|+ 1 6= 0, wiec mozna od razu dobracN1 tak,by |bn − b∗| < ε

2(|a∗|+1) .Weźmy ustalone ε > 0. Niech M będzie takie, że |bn| < M dla wszystkich n ∈ N. Niech N1 ∈ N oraz N2 ∈ N będą takie,

że

n > N1 ⇒ |bn − b∗| <ε

2(|a∗|+ 1) ,

n > N2 ⇒ |an − a∗| <ε

2M .

Niech N := max{N1, N2}. Ustalmy n > N . Wtedy

|anbn − a∗b∗| ¬ |an − a∗||bn|+ |a∗||bn − b∗| ¬ |an − a∗|M + (|a∗|+ 1)|bn − b∗| <ε

2MM + (|a∗|+ 1) ε

2(|a∗|+ 1) = ε,

co dowodzi, żelimn→∞

anbn = a∗b∗.

�

8.8.5 Granica ciągu, a struktura porządkowa w RNiech a, b, c : N→ R będą ciągami liczb rzeczywistych.

Twierdzenie 8.8.6 Jeśli istnieje N ∈ N takie że dla wszystkich n > N ciągi an, bn, cn spełniają nierówność

an ¬ bn ¬ cn

i ciągi an oraz cn są zbieżne do granicy g, to ciąg bn też jest zbieżny do granicy g.


Dowód:Ustalmy ε > 0. Ze zbieżności ciągów a i c do g wynika, że możemy dobrać stałą N > 0 tak, by dla n > N zachodziły

nierówności

|an − g| < ε,

|cn − g| < ε.

Oznacza to, że dla n ∈ N zachodzi

−ε < an − g < ε,

−ε < cn − g < ε.

Zatem mamy dla n > N

−ε < an − g ¬ bn − g ¬ cn − g < ε,

co oznacza, że dla takich n|bn − g| < ε

i dowodzi, żelimn→∞

bn = g.

�

Twierdzenie 8.8.7 Niech a : N→ R będzie ciągiem liczb rzeczywistych.

(i) Jeśli a jest ciągiem rosnącym i ograniczonym od góry, to ciąg ten jest zbieżny oraz

limn→∞

an = sup { an | n ∈ N }.

(ii) Jeśli a jest ciągiem malejącym i ograniczonym od dołu, to ciąg ten jest zbieżny oraz

limn→∞

an = inf { an | n ∈ N }.

Dowód:Udowodnimy własność (i). Drugą własność dowodzi się analogicznie. Oznaczmy

a∗ := sup { an | n ∈ N }.

Ustalmy ε > 0. Z definicji kresu górnego wynika, że a∗ − ε nie jest majorantą zbioru { an | n ∈ N }, zatem istnieje takieN ∈ N, że aN > a∗ − ε. Zatem dla n > N mamy

a∗ − ε < aN ¬ an ¬ a∗ < a∗ + ε,

czyli|an − a∗| < ε,

co dowodzi, że ciąg a jest zbieżny i jego granicą jest a∗.�

8.9. PRZYKŁADY I ZASTOSOWANIA GRANIC CIĄGÓW W R 145

8.9 Przykłady i zastosowania granic ciągów w R8.9.1 Granice kilku ważnych ciągów

Twierdzenie 8.9.1

p ∈ R+ ⇒ limn→∞

n√p = 1 (8.14)

limn→∞

n√n = 1 (8.15)

α ∈ Q, a > 1 ⇒ limn→∞

nα

an= 0 (8.16)

p ∈ R ⇒ limn→∞

pn =

1 p = 10 p ∈ (−1, 1)nie istn. w R p ¬ −1 lub p > 1.

(8.17)

Dowód:Dla pokazania własności (8.14) rozważmy najpierw przypadek p 1. Niech xn := n

√p− 1. Wtedy xn 0 oraz na mocy

nierówności Bernoulliego mamy1 + nxn ¬ (1 + xn)n = p.

Zatem dla wszystkich n ∈ N mamy0 ¬ xn ¬

p− 1n

.

Z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że ciąg limn→∞ xn = 0. Tak więc własność (8.14) dla p 1 otrzymujemy z twierdzeniao granicy sumy ciągów. Gdy p ∈ (0, 1) wystarczy zauważyć, że dla q := 1

p mamy z twierdzenia o granicy ilorazu ciągów

limn→∞

n√p = 1

limn→∞ n√q

= 11 = 1.

Aby udowodnić (8.15) oznaczmy xn := n√n−1. Wystarczy pokazać, że ciąg o wyrazach xn zmierza do zera. Z rozwinięcia

dwumianu Newtona mamyn = (1 + xn)n 1

2n(n− 1)x2n,

skąd wynika, że dla n 2 mamy

0 < xn ¬√

2n− 1 ¬

2√n,

a zatem limn→∞ xn = 0.Dla dowodu (8.16) oznaczmy b := a− 1 wybierzmy k ∈ N, takie że k > α+ 1. Mamy dla n > 2k

an = (1 + b)n >(n

k

)bk = n(n− 1) · · · (n− k + 1)

1 · 2 · · · k bk >(n2 )k

k! bk,

zatem0 < nα

(1 + b)n <2kk!bk

nα−k <2kk!bk

1n

i tezę znów dostajemy z twierdzenia o trzech ciągach.Własność (8.17) jest prostym wnioskiem z (8.16) dla p ∈ (0, 1). Dla p ∈ {0, 1} własność jest oczywista. Dla p ∈ (−1, 0)

wynika z nierówności−|p|n ¬ pn ¬ |p|n.


W pozostałym przypadku ciąg ma wartości dowolnie wielkie dla wykładników parzystych, jest więc nieograniczony, a więcnie może być zbieżny.

�Aby policzyć granicę ciągu a : N→ R w programie Mathematica należy użyć instrukcji

Limit[a[n], n -> Infinity, Assumptions -> Element[n, Integers]]

Na przykład pisząc

Limit[Sqrt[(1 + n)/(1 + 3 n)], n -> Infinity, Assumptions -> Element[n, Integers]]

otrzymujemy 1√3 . Często ten sam wynik otrzymamy używając krótszej instrukcji

Limit[a[n], n -> Infinity]

która służy do liczenia granicy funkcji. Granica funkcji jest szerszym pojęciem, ale w przypadku argumentu zmierzającegodo nieskończoności często daje ten sam wynik. Jednak nie jest to dokładnie to samo, bo na przykład w przypadku ciągu

limn→∞

cos 2πn = 1,

gdyż jest to ciąg stale równy jeden, ale granica funkcji

limx→∞

cos 2πx

nie istnieje. Mathematica dla instrukcji

Limit[Cos[2 Pi n], n -> Infinity, Assumptions -> Element[n, Integers]]

zwraca liczbę 1, natomiast instrukcja

Limit[Cos[2 Pi n], n -> Infinity]

zwraca

Interval[{-1, 1}]

co oznacza, że granica nie istnieje, a zbiór punktów granicznych, czyli granic wszystkich możliwych podciągów, to przedział[−1, 1]. Pojęciem zbioru punktów granicznych zajmiemy się w rozdziale 10.

8.9.2 Procent składanyMatematyk szwajcarski, Jakob Bernoulli (rys. 8.9) rozwazał problem procentu składanego, który przedstawic mozna skrótowo nastepujaco. Wpłacamy do banku1zł oprocentowane na 100%. Po roku odbieramy 1 + 1 = 2 zł. Jesli bank jest gotowy wypłacac proporcjonalne oprocentowanie za dowolnie krótki okres, to popół roku wypłacimy 1+ 1

2 = 1.5 zł. Wpłacajac te kwote na kolejne pół roku odbierzemy (1+ 12 )(1+ 1

2 ) = 2.25 zł. Zadajac sobie trud wpłat i wypłat n-krotniew ciagu roku na koniec roku wypłacimy kwote (

1 + 1n

)nzł.

Powstaje pytanie: czy mozemy zyskac w ten sposób dowolnie wiele, jesli n bedzie odpowiednio duze? Programy w jezyku Mathematica oraz w C++ realizujacestosowny eksperyment numeryczny przedstawiono na listingach 8.8 i 8.9.


� �(∗ Obl i c zan i e p r z y b l i ż e ń l i c z b y e według i d e i procentu składanego

( ang . compound i n t e r e s t ) ∗)CompoundInterest [d_] := Module [ { n} ,

n = 1 ;Do[

Print [ "e[" , n , "]= " , NumberForm [ ( 1 . + 1 ./ n)^n , 1 6 ] ] ;n = n + 1 ,{d}

] ;]� �

Listing 8.8: Eksperyment numeryczny z procentem składanym w języku Mathematica

� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ CompoundInterest . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Obl i c zan i e p r z y b l i ż e ń l i c z b y e według i d e i procentu ∗//∗ składanego ( ang . compound i n t e r e s t ) ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std ;

int main ( ){

cout << f i x e d << r i g h t ;cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;

// Policzymy 1000 wyrazów c iąguint nmax=1000;for ( int n=1;n<=nmax ; n=n+1){

// Czynnik , który t rzeba przemnożyć n razy przez s i e b i e// Piszemy 1 .0/ n , a n i e 1/n , bo w arytmetyce// c a ł k o w i t o l i c z b o w e j 1/n daje zero .double x=1+1.0/n ;// W C++ brak wbudowanego potęgowania ,// więc l iczymy potęgę przy pomocy p ę t l idouble prod =1;for ( int i =1; i<=n ; i=i +1) prod=prod∗x ;cout << " s[" << setw (3) << n << "] =" << setw (18) << prod ;cout << endl ;

}}� �

Listing 8.9: Eksperyment numeryczny z procentem składanym w C++


8.9.3 Liczba e

Twierdzenie 8.9.2 Ciąg(1 + 1

n

)n jest rosnący i ograniczony, a więc ma skończoną granicę.

Dowód: Pokażemy najpierw, że ciąg ten jest rosnący. Podstawiając w nierówności Bernoullego (tw. 8.3.3) − 1n2 za x i

przekształcając uzyskaną nierówność otrzymujemy dla n > 1(1− 1

n2

)n 1− 1

n(1− 1

n

)n(1 + 1

n

)n 1− 1

n.

Z kolei dzieląc obustronnie przez 1− 1n , mnożąc przez

(nn−1

)n−1i przekształcając dostajemy

(1− 1

n

)n−1(1 + 1

n

)n 1(

1 + 1n

)n

(n

n− 1

)n−1

(1 + 1

n

)n

(1 + 1

n− 1

)n−1

do dowodzi, że rozważany ciąg jest rosnący.Aby pokazać, że jest on ograniczony, najpierw zauważmy, że podstawiając 1 za b oraz 1

2 za a we wzorze (7.6) otrzymujemy

1− 12n = 1

2

(1

2n−1 + 12n−2 + · · ·+ 1

). (8.18)

Zatem podstawiając we wzorze (7.7) 1 za a oraz 1n za b, przekształcając i na koniec wykorzystując (8.18) otrzymujemy(

1 + 1n

)n= 1 +

(n

1

)1n

+(n

2

)1n2 +

(n

3

)1n3 + · · ·+

(n

n

)1nn

= 1 + n

11n

+ n(n− 1)1 · 2

1n2 + n(n− 1)(n− 2)

1 · 2 · 31n3 + · · ·+ n(n− 1) · · · 1

1 · 2 · · ·n1nn

= 1 + 1 +1(1− 1

n )1 · 2 +

1(1− 1n )(1− 2

n )1 · 2 · 3 + · · ·+

1(1− 1n ) · · · (1− n−1

n )1 · 2 · · ·n

< 1 + 1 + 11 · 2 + 1

1 · 2 · 3 + · · ·+ 11 · 2 · · ·n

< 1 + 1 + 12 + 1

22 + · · ·+ 12n−1

= 1 + 2(

1− 12n

)< 1 + 2 = 3.

Zatem na mocy twierdzenia 8.8.7 ciąg(1 + 1

n

)n jest zbieżny. �Choc Bernoulli pierwszy zauwazył, ze ciag o wyrazach

(1 + 1

n

)njest zbiezny, jego granice nazywamy liczba Eulera i oznaczamy litera e, bo to Leonard

Euler (rys. 8.9), inny szwajcarski matematyk, pokazał jak wazna jest ona w matematyce. On pierwszy oznaczał ja litera e i tak pozostało do dzis.Liczba e w przyblizeniu wynosi

e = 2.71828182845904523536 . . .


Rysunek 8.9: Jacob Bernoulli (1654 - 1705) i Leonard Euler (1707 - 1783)

Co ciekawe, ciag(1 + 1

n

)nnadaje liczbie e wazna interpretacje, jednak zupełnie nie nadaje sie do obliczania jej przyblizen, bo jest bardzo wolno zbiezny. W

rozdziale 12 poznamy nieporównanie szybsza metode wyznaczania liczby e.W programie Mathematica liczba e jest oznaczana E.

8.9.4 Funkcja wykładniczaWpłacajac kwote 1zł na rachunek z oprocentowaniem nie 100%, tylko x (potraktowane jako liczba, 100%=1) po roku wypłacamy kwote

exp(x) := limn→∞

(1 + x

n

)nzł.

Jest to przykład funkcji ciagłej, której wzrost (lub spadek) jest proporcjonalny do jej wartosci.Mozna to zapisac w postaci równania rózniczkowego

f ′(x) = af(x).

Rozwiazaniem tego równania jest funkcja wykładnicza i jej wielokrotnosci. Bardzo wiele zjawisk w fizyce (np. rozpad pierwiastków promieniotwórczych, biologii(np. wzrost populacji przy nieograniczonych zasobach), ekonomii (np. piramidy finansowe) i innych dziedzinach opisywanych jest przy pomocy funkcji wykładniczej.

Mozna pokazac, ze funkcja wykładnicza spełnia wzór

f(x+ y) = f(x)f(y),

a stad, ze jest postaci

R 3 x 7→ ax ∈ R+.

W wyrazeniu tym a ∈ R+, a ax jest rozszerzeniem wyrazenia an dlan ∈ N na dowolny wykładnik rzeczywisty. W szczególnosci łatwo stad wywnioskowac,ze dla p

q ∈ Q+

apq = q√ap,


Rysunek 8.10: Wykres funkcji exp.

a0 = 1,

oraz dla r ∈ Q−

ar = 1a−r

.

Przyjmujac powyzsze wzory jako definicje, mozna zdefiniowac funkcje wykładnicza dla dowolnego x ∈ R wzorem

ax := sup { ar | r ∈ Q, r < x }

i pokazac, zeexp(x) = ex.

W programie Mathematica funkcja exp jest oznaczana Exp. Natomiast wyrazenie ax wystepujace w funkcji wykładniczej o podstawie a w programieMathematica zapisywane jest w postaci a^x.

Wykres funkcji wykładniczej przedstawiono na rys. 8.10Od strony obliczeniowej wygodniejszy jest jednak wzór

exp(x) =∞∑n=0

xn

n! ,

który nam posłuzy jako podstawa do formalnej definicji funkcji wykładniczej.

Rozdział 9

Topologia przestrzeni metrycznych

Jak widzielismy w poprzednim rozdziale jest potrzeba rozszerzenia pojecia granicy tak, by przynajmniej obejmowało ono granice ciagów liczb zespolonych.W rzeczywistosci, jak juz mówilismy, koncepcja granicy jest kluczowa dla całej analizy. Dlatego spróbujemy zastanowic sie co jest rzeczywiscie niezbedne dozdefiniowania granicy.

Intencja zwrotu |xn − g| < ε w definicji Cauchy’ego granicy ciagu jest stwierdzenie, ze xn lezy nie dalej niz ε od g. Widzielismy, ze równiez w przypadkuliczb zespolonych mozemy mierzyc odległosc miedzy u,w ∈ C rozwazajac funkcje, która parze liczb zespolonych przyporzadkowuje moduł ich róznicy.

C 3 (u,w) 7→ |u− w| ∈ R∗.

Ma ona własnosci analogiczne do funkcji, która parze liczb rzeczywistych przyporzadkowuje wartosc bezwzgledna ich róznicy. W tym rozdziale przedstawimy ideeodległosci, która uogólnia obie te funkcje. Jak zobaczymy pózniej jest to jednak tylko krok posredni do uzyskania ogólnego pojecia granicy.

9.1 Przestrzenie metryczne

9.1.1 Przestrzeń metryczna

Definicja 9.1.1 Odległością (metryką) w zbiorze X nazywamy odwzorowanie

ρ : X ×X → R∗

spełniające własności

(i) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,

(ii) ρ(x, y) = ρ(y, x),

(iii) ρ(x, z) ¬ ρ(x, y) + ρ(y, z).

Parę (X, ρ) nazywamy przestrzenią metryczną.

151

152 ROZDZIAŁ 9. TOPOLOGIA PRZESTRZENI METRYCZNYCH

Rysunek 9.1: Odległość punktów x, y ∈ R2 w metryce euklidesowej (zielony), Manhattan (niebieski) i maksimum (czerwony).

9.1.2 Przykłady metryk w Rn

Przestrzeń Rn to iloczyn kartezjański n kopii zbioru liczb rzeczywistych R. Element x ∈ Rn ma postać n-tki liczb: x =(x1, x2, . . . , xn), którą krótko zapisujemy x = (xi)i=1,n. Dla x = (xi)i=1,n, y = (yi)i=1,n ∈ Rn definiujemy

de(x, y) :=

√√√√ n∑i=1

(xi − yi)2,

dmax(x, y) := max { |xi − yi| | i = 1, 2, . . . n },

d1(x, y) :=n∑i=1|xi − yi|.

Jak łatwo zauważyć, pierwsza z tych definicji uogólnia na przypadek Rn metrykę zadaną w R poprzez wartość bezwzględnąoraz metrykę w C zadaną poprzez moduł.

Twierdzenie 9.1.2 (i) (Rn, de), (Rn, dmax) i (Rn, d1) są przestrzeniami metrycznymi.

(ii) de w R2 = C pokrywa się z modułem, a w R z wartością bezwzględną różnicy argumentów.

Metryka de to metryka euklidesowa, metrykę dmax określa się mianem metryka maksimum, a metrykę d1 mianem metrykaManhattan. Łatwo sprawdzić, że dla n = 1 wszystkie te trzy metryki są sobie równe, dane wzorem ρ(x, y) = |x − y| dlax, y ∈ R.

Przykład liczenia odległości w R2 w różnych metrykach przedstawiono na rys. 9.1.

9.1.3 Metryka indukowana i podprzestrzenie przestrzeni metrycznej

Twierdzenie 9.1.3 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną, a Y ⊂ X podzbiorem. Wtedy ρY := ρ|Y×Y jestmetryką w Y .

Dowód: ćwiczenie.

9.1. PRZESTRZENIE METRYCZNE 153

Rysunek 9.2: Kule w R2 w metryce euklidesowej (zielony), Manhattan (niebieski) i maksimum (czerwony). Odpowiedniesfery zaznaczono ciemniejszym kolorem.

Definicja 9.1.4 Metrykę ρY nazywamy metryką indukowaną z X w Y , a przestrzeń metryczną (Y, ρY ) nazywamypodprzestrzenią przestrzeni (X, ρ).

Zatem każdy podzbiór przestrzeni metrycznej jest przestrzenią metryczną. Pokazuje to, że przestrzenie metryczne mogąbyć bardzo różnorodne.

9.1.4 Kule

Definicja 9.1.5 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną, x punktem w X, a r liczbą rzeczywistą dodatnią. Przezkulę otwartą w X o środku w x i promieniu r rozumiemy zbiór

K(x, r) := { y ∈ X | ρ(y, x) < r }.

Podobnie definiujemy kulę domkniętą jako zbiór

K(x, r) := { y ∈ X | ρ(y, x) ¬ r },

a sferę jako zbiórS(x, r) := { y ∈ X | ρ(y, x) = r }.

Dla ustalonej przestrzeni metrycznej (X, ρ) oraz x ∈ X będziemy używać oznaczenia

Ball(x) := Ball(x,X) := Ball(x,X, ρ) := {K(x, r) | r ∈ R+ }.

na rodzinę kul otwartych o środku w x.Przykład kul domkniętych i sfer w R2 w różnych metrykach przedstawiono na rys. 9.2.Róznica miedzy kula domknieta, a otwarta jest analogiczna do róznicy miedzy przedziałem domknietym, a przedziałem otwartym. Na rysunku mozna ja

przedstawic tylko umownie, na przykład zaznaczajac sfere ograniczajaca kule otwarta linia cienka, a sfere ograniczajaca kule domknieta linia gruba (rys.9.3).Posługujac sie metryka, mozna pojecie granicy ciagu w przestrzeni metrycznej sformułowac tak


Rysunek 9.3: Umowne przedstawienie różnicy między kulą domknięta, sferą i kulą otwartą.

limn→∞

xn = g :⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N∀n ∈ N n N ⇒ ρ(xn, g) < ε,

a posługujac sie pojeciem kuli tak

limn→∞

xn = g :⇔ ∀K ∈ Ball(g)∃N ∈ N ∀n ∈ N n N ⇒ xn ∈ K.

Docelowo chcielibysmy je przeformułowac tak

limn→∞

xn = g :⇔ ∀V ∈ Nb(g)∃U ∈ Nb(∞)∀n ∈ N n ∈ U ⇒ xn ∈ V,

gdzie Nb(g) to pewna rodzina zbiorów "zadajaca coraz wieksze wymagania bliskosci" do g, a Nb(∞) to pewna rodzina zbiorów "zadajaca coraz wiekszewymagania bliskosci" do∞. W naszym przypadku ta pierwsza rodzina to rodzina kul o srodku w g, a ta druga to rodzina przedziałów [N,∞). Tego typu rodzinyto tzw. bazy otoczen. Sformalizujemy to pojecie pod koniec tego rozdziału.

9.1.5 Zbiory ograniczoneW dalszym ciągu przyjmujemy, że X jest przestrzenią metryczną z metryką ρ.

Definicja 9.1.6 Podzbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym jeśli istnieje kula K(x, r) o środku w x i promieniu r taka,że A ⊂ K(x, r).

Twierdzenie 9.1.7 Suma skończonej ilości zbiorów ograniczonych jest zbiorem ograniczonym.

9.2 Średnica zbiorów

9.2.1 Średnica zbioru

9.3. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE, WNĘTRZE, DOMKNIĘCIE I BRZEG ZBIORU 155

Rysunek 9.4: Poszukiwanie punktów brzegowych (na górze po lewej) zbioru A, brzeg zbioru A (na górze po prawej), do-mknięcie zbioru A jako przykład zbioru domkniętego (na dole po lewej) i otwarcie zbioru A jako przykład zbioru otwartego(na dole po prawej).

Definicja 9.2.1 Średnicę zbioru A ⊂ X definiujemy jako

ρ(A) := sup { ρ(x, y) | x, y ∈ A }

gdy A jest zbiorem niepustym, a jako zero w przeciwnym razie.

Zauważmy, że dla metryki euklidesowej de w R oraz x, y ∈ R takich, że x ¬ y średnica przedziału otwartego (x, y) orazdomkniętego [x, y] wynosi y − x.

Uwaga 9.2.2 Średnica zbioru ma następujące własności.

(i) Zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jego średnica jest skończona.

(ii) Średnica zbioru A wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A ma nie więcej niż jeden element.

(iii) Jeśli A ⊂ B, to ρ(A) ¬ ρ(B).

(iv) Jeśli A : N→ P(X) jest ciągiem zbiorów takich, że ρ(An) < 1n , to ρ(

⋂∞n=1An) = 0.

9.3 Zbiory otwarte i domknięte, wnętrze, domknięcie i brzeg zbioruPojecia zbioru otwartego i domknietego uogólniaja pojecia kuli otwartej i domknietej. Intuicyjnie zbiór otwarty to taki, który jest rozłaczny ze swoim brzegiem, azbiór domkniety to taki, który zawiera swój brzeg. Punkt x jest punktem brzegowym zbioruA jezeli kazda kulaK ∈ Ball(x) zawiera tak punkty nalezace doAjak i nie nalezace doA. Idee te przedstawiono na rys. 9.4.

Definicja 9.3.1 Niech A ⊂ X. Brzegiem zbioru A w X nazywamy zbiór

bdA := {x ∈ X | ∀K ∈ Ball(x) K ∩A 6= ∅ i K \A 6= ∅ }.

Mówimy, że A jest otwarty, jeżeli A ∩ bdA = ∅. Mówimy, że A jest domknięty, jeżeli bdA ⊂ A.


Twierdzenie 9.3.2 A jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy

∀x ∈ A∃K ∈ Ball(x) K ⊂ A.

A jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy

∀x 6∈ A∃K ∈ Ball(x) K ∩A = ∅.

9.3.1 Wnętrze i domknięcie

Definicja 9.3.3 Niech A ⊂ X. Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór

intA := A \ bdA

Domknięciem zbioru A nazywamy zbiórclA := A ∪ bdA

Twierdzenie 9.3.4 Niech A ⊂ X. Wtedy

intA = {x ∈ X | ∃K ∈ Ball(x) K ⊂ A. }

orazclA = {x ∈ X | ∀K ∈ Ball(x) K ∩A 6= ∅. }

Niech X ∈ Metr, x ∈ X, r > 0.

Twierdzenie 9.3.5 Kula otwarta K(x, r) jest zbiorem otwartym, a kula domknięta K(x, r) jest zbiorem domkniętym.

Rodzinę zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ρ) oznaczać będziemy Open(X, ρ), a zbiorów domkniętychClos(X, ρ). W notacji tej będziemy pomijać metrykę i pisać Open(X), Clos(X) gdy metryka będzie znana z kontekstu.

9.3.2 Własności wnętrza i domknięcia

Uwaga 9.3.6 Niech A ⊂ X. Wtedy

(i) intA ⊂ A ⊂ clA,

(ii) A jest otwarty wtedy i tylko wtedy gdy A = intA,

(iii) A jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy A = clA,

(iv) \ intA = cl(\A), \ clA = int(\A),

(v) bdA = clA ∩ cl(\A) jest zbiorem domkniętym.

9.4. OTOCZENIA, PUNKTY SKUPIENIA 157

Twierdzenie 9.3.7 Operacje wnętrza i domknięcia są monotoniczne względem relacji inkluzji, tzn. jeśli A ⊂ B ⊂ X,to intA ⊂ intB oraz clA ⊂ clB.

Twierdzenie 9.3.8 Niech A ⊂ X. Wnętrze A jest zbiorem otwartym. Jest to największy zbiór otwarty zawarty w A.Podobnie domknięcie A jest zbiorem domkniętym i jest to najmniejszy zbiór domknięty zawierający A.

Wniosek 9.3.9 Dla każdego A ⊂ X mamy

int(intA) = intA, cl(clA) = clA.

Twierdzenie 9.3.10 Dla dowolnych A,B ⊂ X mamy

int(A ∩B) = intA ∩ intB,int(A ∪B) ⊃ intA ∪ intB,cl(A ∩B) ⊂ clA ∩ clB,cl(A ∪B) = clA ∪ clB.

9.4 Otoczenia, punkty skupienia9.4.1 Rodzina otoczeń punktu

Definicja 9.4.1 Mówimy, że zbiór A jest otoczeniem punktu x ∈ X jeżeli x ∈ intA. Mówimy, że A jest otoczeniemotwartym punktu x jeżeli A jest otwarty i x ∈ A. Zbiór otoczeń punktu x oznaczamy Nb(x), a zbiór otoczeń otwartychpunktu x oznaczamy ONb(x).

9.4.2 Punkty skupienia zbioru

Definicja 9.4.2 Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioru A ⊂ X, jeżeli

∀V ∈ Nb(x)∃y ∈ X y 6= x i y ∈ V ∩A.

Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy A′.

Definicja 9.4.3 Mówimy, że x ∈ X jest punktem izolowanym zbioru A ⊂ X, jeżeli x ∈ A i x nie jest punktemskupienia zbioru A.

Dla zbioruA := { 1

n | n ∈ N1 } ∪ { nn+1 | n ∈ N1 }

jedynymi punktami skupienia są 0 i 1, z czego tylko 1 jest elementem A. Wszystkie pozostałe punkty zbioru A to jego punktyizolowane.


9.5 Metryki równoważne, iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych9.5.1 Równoważność metryk.

Definicja 9.5.1 Niech ρ1 i ρ2 będą metrykami w zbiorze X. Mówimy, że ρ1 i ρ2 są równoważne wtedy i tylko wtedy,gdy zachodzą następujące dwa warunki

Open(X, ρ1) = Open(X, ρ2).

Twierdzenie 9.5.2 Metryki ρ1, ρ2 na X są rówoważne wtedy i tylko wtedy gdy

∀x ∈ X ∀K1 ∈ Ball(x,X, ρ1)∃K2 ∈ Ball(x,X, ρ2) K2 ⊂ K1,

∀x ∈ X ∀K2 ∈ Ball(x,X, ρ2)∃K1 ∈ Ball(x,X, ρ1) K1 ⊂ K2.

Twierdzenie 9.5.3 Metryki euklidesowa, maksimum i Manhattan w Rd są wzajemnie równoważne.

9.5.2 Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych

Twierdzenie 9.5.4 Niech (Xi, ρi) dla i = 1, 2, . . . d będą przestrzeniami metrycznymi. Dla x := (x1, x2, . . . , xd) ∈X1 ×X2 × · · · ×Xd i y := (y1, y2, . . . , yd) ∈ X1 ×X2 × · · · ×Xd połóżmy

ρe(x, y) :=

√√√√ n∑i=1

ρi(xi, yi)2,

ρmax(x, y) := max { ρi(xi, yi) | i = 1, 2, . . . n },

ρ1(x, y) :=n∑i=1

ρi(xi, yi).

Wtedy ρe, ρmax i ρ1(x, y) są wzajemnie równoważnymi metrykami w X1 ×X2 × · · · ×Xd.

9.6 (*)Topologia przestrzeni metrycznej9.6.1 Fundamentalne własności zbiorów otwartych i domkniętych

Twierdzenie 9.6.1 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Wtedy

∅, X ∈ Open(X),U1, U2 ∈ Open(X) ⇒ U1 ∩ U2 ∈ Open(X),

{Uι}ι∈I ⊂ Open(X) ⇒⋃ι∈I

Uι ∈ Open(X).

9.7. (**)BAZY OTOCZEŃ 159

Twierdzenie 9.6.2 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Wtedy

∅, X ∈ Clos(X),U1, U2 ∈ Clos(X) ⇒ U1 ∪ U2 ∈ Clos(X),

{Uι}ι∈I ⊂ Clos(X) ⇒⋂ι∈I

Uι ∈ Clos(X).

Definicja 9.6.3 Rodzinę zbiorów otwartych przestrzeni metrycznej nazywamy topologią tej przestrzeni.

Widzimy, ze rózne metryki moga prowadzic do tej samej rodziny zbiorów otwartych, czyli topologii. I własnie topologia jest tym co nas w tym wykładzieinteresuje bardziej niz metryka. Topologie mozna studiowac bez metryki. Wtedy przyjmuje sie jako aksjomaty własnosci rodziny zbiorów otwartych zawarte w tezietwierdzenia 9.6.1. Przestrzen z zadana rodzina takich zbiorów nazywa sie przestrzenia topologiczna. Okazuje sie, ze istnieja przestrzenie topologiczne, którychtopologii nie da sie zadac przy pomocy metryki. Dziedzine matematyki, która zajmuje sie badaniem przestrzeni topologicznych tez okresla sie mianem topologia.

9.7 (**)Bazy otoczeń9.7.1 Baza otoczeń punktuNiech (X, ρ) będzie ustaloną przestrzenią metryczną.

Definicja 9.7.1 Mówimy, że rodzina B ⊂ X jest bazą otoczeń punktu x ∈ X jeżeli zachodzą następujące dwa warunki

(i) ∀B ∈ B x ∈ B,

(ii) ∀U ∈ Open(X) x ∈ U ⇒ ∃B ∈ BB ⊂ U .

Rodzinę rodzin zbiorów {Bx}x∈X nazywamy bazą otoczeń w X jeżeli dla każdego x ∈ X rodzina Bx jest bazą otoczeńpunktu x.

Dla x ∈ X zdefiniujmy

ONb(x) := {V ∈ Open(X) | x ∈ V },Nb(x) := {A ⊂ X | ∃V ∈ Open(X) x ∈ V ⊂ A },

Ball0(x) := {K(x, 1n ) | n ∈ N }.

Dla każdego x ∈ X mamyBall0(x) ⊂ Ball(x) ⊂ ONb(x) ⊂ Nb(x).

Twierdzenie 9.7.2 Rodziny rodzin zbiorów {Ball0(x)}x∈X , {Ball(x)}x∈X , {ONb(x)}x∈X , {Nb(x)}x∈X są bazami oto-czeń w X.

Bazy otoczeń są przydatne, bo wiele warunków wystarczy sprawdzać jedynie na bazach. W szczególności mamy następującetwierdzenie.


Rysunek 9.5: Rozdzielenie punktów kulami w przestrzeni metrycznej.

Twierdzenie 9.7.3 Niech {Bx}x∈X będzie bazą otoczeń w X. Wtedy

(i) Zbiór A jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x ∈ A istnieje B ∈ Bx takie, że B ⊂ A.

(ii) Zbiór A jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x 6∈ A istnieje B ∈ Bx takie, że B ∩A = ∅.

9.7.2 Własność Hausdorffa

Twierdzenie 9.7.4 Niech {Bx}x∈X będzie bazą otoczeń w X. Jeśli x1, x2 ∈ X i x1 6= x2, to istnieją B1 ∈ Bx1 orazB2 ∈ Bx2 takie, że B1 ∩B2 = ∅.

9.7.3 Metryka w R

Twierdzenie 9.7.5 Istnieje silnie rosnąca bijekcja f : R→ [−1, 1]. W szczególności jest taką funkcja zadana wzorem

f(x) :=

−1 x = −∞,x

1+|x| x ∈ R,1 x =∞.

Jeśli f : R→ [−1, 1] jest silnie rosnącą bijekcją, to funkcja ρf : R× R→ R∗ dana wzorem

ρf (x, y) := |f(x)− f(y)|

jest metryką w R. Co więcej, jeśli f1, f2 : R → [−1, 1] są dwoma silnie rosnącymi bijekcjami, to metryki ρf1 i ρf2 sąrównoważne.

W dalszym ciągu zbiór R traktować będziemy jako przestrzeń metryczną z metryką ρf .

Twierdzenie 9.7.6 Metryka indukowana z R w R jest równoważna metryce euklidesowej w R.

Zbiór N := N ∪ {∞} jest podzbiorem R, jest więc przestrzenią metryczną z metryką indukowaną z R. Łatwo sprawdzić,że w przestrzeni tej wszystkie punkty są izolowane, z wyjątkiem punktu ∞, który jest punktem skupienia zbioru N ⊂ N.

Ponieważ kule w metryce ρf nie mają prostego opisu, wygodnie jest posługiwać się następującym twierdzeniem.

9.8. (**)PRZELICZALNE BAZY OTOCZEŃ PUNKTU 161

Twierdzenie 9.7.7 Dla x ∈ R połóżmy

Bx :=

{ [−∞,−n) | n ∈ N } x = −∞,{ (x− 1

n , x+ 1n ) | n ∈ N } x ∈ R,

{ (n,∞] | n ∈ N } x =∞.

Wtedy {Bx}x∈R stanowi bazę otoczeń w R.

9.8 (**)Przeliczalne bazy otoczeń punktuRodzina Ball0(x) jest przeliczalna. Pozwala to w szczególności udowodnić następujące dwa twierdzenia.

Twierdzenie 9.8.1 Zbiór A ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu x : N → A jeśli x jestzbieżny do x0 ∈ X to x0 ∈ A.

Twierdzenie 9.8.2 Punkt x0 ∈ X jest punktem skupienia zbioru A ⊂ X wtedy i tylko wtedy gdy istnieje ciąg a : N→A \ {x0} zbieżny do x0.

9.9 (*)Zupełność9.9.1 Warunek Cauchy’ego

Definicja 9.9.1 Niech (X, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że ciągX : N→ X spełnia warunek Cauchy’egojeżeli

∀ε > 0∃N ∈ N∀n,m N ρ(xn, xm) < ε.

Twierdzenie 9.9.2 Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego.

Dowód:

Twierdzenie 9.9.3 (*)Jeśli ciąg Cauchy’ego posiada podciąg zbieżny to jest zbieżny.

Dowód:


Twierdzenie 9.9.4 (*)Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony

Dowód:

Wniosek 9.9.5 Każdy ciąg Cauchy’ego w Rd jest zbieżny.

Dowód:

(*)

9.9.2 Przestrzenie zupełne

Definicja 9.9.6 Przestrzeń metryczną nazywamy zupełną, jeżeli każdy ciąg Cauchy’ego w tej przestrzeni jest zbieżny.

Wniosek 9.9.7 Rd jest przestrzenią zupełną.

Rozdział 10

Granica funkcji

10.1 Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych10.1.1 Eksperymenty numerycznePrzy obliczeniach numerycznych granicy limx→x0 f(x) nie mozemy rozwazyc wszystkich wartosci argumentu x, wiec w praktyce wybieramy ciag xn zmierza-jacy do x0 i obserwujemy zachowanie f(xn). Program w jezyku Mathematica obliczajacy przyblizenie granicy funkcji poprzez obliczanie wartosci funkcji w ciagupunktów przedstawiono na listingu 10.1. Analogiczny przykład w C++ w odniesieniu do granicy limx→0

sin xx i ciagu xn := 1

n przedstawiono w programie zlistingu 10.2.

Cwiczenie komputerowe 10.1.1 • Sprawdz działanie programu z listingu 10.1 dla funkcji x 7→ sin xx i dla ciagu xn := 1

np przy róznychwartosciach p.

• Sprawdz działanie programu z listingu 10.1 dla funkcji x 7→ sin 1x i dla róznych ciagów.

• W programie z listingu 10.2 zmien ciag xn na xn := 1np dla róznych wartosci p i zaobserwuj zachowanie sie programu.

• Zmodyfikuj program z listingu 10.2 zastepujac funkcje x 7→ sin xx funkcja x 7→ sin 1

x i zaobserwuj zachowanie sie programu dla róznych ciagów.

Eksperymenty numeryczne pokazuja, ze definicje granicy funkcji lepiej byłoby postawic uniezalezniajac sie od ciagów, bo zachowanie funkcji moze byc rózne,przy podstawieniu w miejsce argumentów róznych ciagów. Taka definicje rozwazalismy juz w rozdziale wstepnym.

10.1.2 Definicja granicy funkcji w przestrzeniach metrycznychNiech X,Y będą przestrzeniami metrycznymi odpowiednio z metrykami ρX i ρY . Niech A będzie podzbiorem X. Rozważmypunkt skupienia x0 zbioru A, punkt y0 ∈ Y oraz funkcję f : A→ Y .

Twierdzenie 10.1.2 Następujące warunki są równoważne:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ A \ {x0} ρX(x, x0) < δ ⇒ ρY (f(x), y0) < ε, (10.1)∀V ∈Nb(y0) ∃U ∈Nb(x0) ∀x ∈ U ∩A \ {x0} f(x) ∈ V. (10.2)

Dowód: Załóżmy, że warunek (10.1) zachodzi. Niech V będzie otoczeniem punktu y0. Z definicji otoczenia znajdziemykulę K(y0, r) w Y zawartą w V . Ponieważ r > 0, na mocy założenia (10.1) znajdziemy δ > 0 takie, że dla wszystkichx ∈ A \ {x0}

ρX(x, x0) < δ ⇒ ρY (f(x), y0) < r.

163

164 ROZDZIAŁ 10. GRANICA FUNKCJI� �(∗ P r z y b l i ż a n i e gran icy f u n k c j i f g ran i cą c iągu n war to ś c i f u n k c j i

w punktach c iągu x ∗)FunctionLimit [ f_ , x_, n_] :=

Module [ { k } ,k = 1 ;Do[

Print [ f [ x [ k ] ] ] ;k = k + 1 ,{n}

] ;]

(∗ Funkcja , k t ó r e j g ran i c ę w z e r z e l iczymy ∗)g [ x_ ] := Sin [ x ] / x ;

(∗ Ciąg o wyrazach zmierza jących do zera ∗)x [n_] := 1 ./ n

(∗ Test p r z y b l i ż a n i a war to ś c i f u n k c j i ∗)FunctionLimit [ g , x , 100 ]� �

Listing 10.1: Przybliżanie granicy funkcji w języku Mathematica

Zatem dla x ∈ A \ {x0} mamyx ∈ K(x0, δ) ⇒ y ∈ K(y0, r) ⊂ V.

Ponieważ K(x0, δ) jest otoczeniem x0, więc dobraliśmy do V otoczenie U , którego istnienie jest postulowane w (10.2).Dowodzi to, że warunek (10.1) implikuje warunek (10.2). Dowód implikacji przeciwnej jest podobny. Zostawiamy go jakoćwiczenie. �

Twierdzenie 10.1.2 pozwala postawić następującą ogólną definicję granicy w przestrzeniach metrycznych.

Definicja 10.1.3 Mówimy, że y0 ∈ Y jest granicą funkcji f w punkcie x0 i piszemy

limx→x0

f(x) = y0

jeżeli zachodzi którykolwiek z równoważnych warunków (10.1) i (10.2).

10.1.3 Jednoznaczność granicy

Twierdzenie 10.1.4 (o jednoznaczności granicy) Niech X,Y będą przestrzeniami metrycznymi, A ⊂ X, f : X → Yfunkcją, a x0 punktem skupienia A w X. Jeśli dla pewnych y1, y2 ∈ Y mamy

limx→x0

f(x) = y1 i limx→x0

f(x) = y2

to y1 = y2.

10.1. GRANICA FUNKCJI W PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH 165

� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ FunctionLimit . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ P r z y b l i ż a n i e gran icy f u n k c j i g ran i cą c iągu war to ś c i ∗//∗ f u n k c j i ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std ;

/∗ Funkcja , k t ó r e j g ran i c ę w z e r z e l iczymy ∗/double f ( double x ){

return s i n ( x )/ x ;}

/∗ Ciąg o wyrazach zmierza jących do zera ∗/double x ( int n){

return 1 .0/ n ;}

/∗ W programie głównym wypisujemy c i ąg war to ś c i f u n k c j iw zadanym ciągu punktów ∗/

int main ( ){cout << f i x e d << r i g h t ;cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;

for ( int n=1;n<=20;n=n+1){cout << "x[" << setw (2) << n << "] =" << setw (18) << x (n ) ;cout << " f(x[" << setw (2) << n << "]) =" ;cout << setw (18) << f ( x (n ) ) << endl ;

}}� �

Listing 10.2: Przybliżanie granicy funkcji w C++

166 ROZDZIAŁ 10. GRANICA FUNKCJI

Dowód: Dla dowodu nie wprost załóżmy, że y1 6= y2. Wtedy r := ρ(y1, y2) > 0. Z warunku (10.1) zastosowanego dla y1i y2 do ε := r

2 znajdziemy odpowiednio δ1 i δ2 takie, że dla x ∈ A \ {x0}

ρ(x, x0) < δ1 ⇒ ρ(f(x), y1) < ε (10.3)ρ(x, x0) < δ2 ⇒ ρ(f(x), y2) < ε. (10.4)

Niech δ := min(δ1, δ2). Ponieważ x0 jest punktem skupienia zbioru A w X, a K(x0, δ) jest otoczeniem x0 w X, więcznajdziemy punkt x∗ ∈ K(x0, δ) ∩A. Ponieważ w szczególności ρ(x∗, x0) < δ1 i ρ(x∗, x0) < δ2, więc na mocy (10.3) i (10.4)mamy ρ(f(x∗), y1) < ε i ρ(f(x∗), y2) < ε. Zatem z nierówności trójkąta

ρ(y1, y2) ¬ ρ(y1, f(x∗)) + ρ(f(x∗), y2) < ε+ ε = ρ(y1, y2).

Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy. �

10.1.4 Granica złożenia funkcji

Twierdzenie 10.1.5 (O granicy złożenia funkcji) Niech X,Y, Z będą przestrzeniami metrycznymi, x0 ∈ X ′, y0 ∈ Y ′,z0 ∈ Z. Jeśli f : X → Y i g : Y → Z są takie, że y0 6∈ im f oraz limx→x0 f(x) = y0 i limy→y0 g(y) = z0 tolimx→x0(g ◦ f)(x) = z0.

Dowód:

W programie Mathematica granicę limx→u f(x) dla funkcji f : R−→◦ R i u ∈ R liczymy przy pomocy instrukcji

Limit[f[x], x -> u]

Na przykład

Limit[1/(1 + x), x -> Infinity]

zwraca 0.

10.2 (**)Przypadki szczególne definicji granicyPrzypomnijmy, ze ciag x : N→ R ma granice x∗ wtedy i tylko wtedy gdy

∀ε > 0 ∃N ∈ N n > N ⇒ |xn − x∗| < ε.

Natomiast funkcja f : R→ R ma granice f∗ przy x zmierzajacym do x∗ wtedy i tylko wtedy gdy

∀ε > 0 ∃δ > 0 |x− x∗| < δ, x 6= x∗ ⇒ |f(x)− f∗| < ε.

Funkcja f moze tez miec granice nieskonczona. Mówimy, ze funkcja f : R→ R ma granice∞ przy x zmierzajacym do x∗ wtedy i tylko wtedy gdy

∀A > 0 ∃δ > 0 |x− x∗| < δ, x 6= x∗ ⇒ f(x) > A.

10.2. (**)PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DEFINICJI GRANICY 167

Powstaje naturalne pytanie, czy te trzy formalnie rózne definicje nie daja sie uogólnic do jednej definicji uniwersalnej. Podpowiedz jak to zrobic zawarta jest wnastepujacym przeformułowaniu powyzszych definicji.

limn→∞

xn = x∗ :⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ (N,∞] \ {∞} xn ∈ (x∗ − ε, x∗ + ε),

limx→x∗

f(x) = f∗ :⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ (x− δ, x+ δ) \ {x∗} f(x) ∈ (f∗ − ε, f∗ + ε),

limx→x∗

f(x) =∞ :⇔ ∀A > 0∃δ > 0 ∀x ∈ (x− δ, x+ δ) \ {x∗} f(x) ∈ (A,∞].

Widac, ze w kazdym przypadku pojawiaja sie otoczenia: albo postaci (x− r, x+ r) dla x ∈ R, albo postaci (r,∞] w przypadku punktu w nieskonczonosci.Tak wiec zastepujac te konkretne otoczenia w R ogólnymi otoczeniami w przestrzeni metrycznej dostajemy dosc ogólna definicje granicy.

10.2.1 Kryterium na granicę w bazachNiech B1 będzie bazą otoczeń x0, a B2 bazą otoczeń y0.

Twierdzenie 10.2.1 Waruneklimx→x0

f(x) = y0

jest równoważny warunkowi∀V ∈B2 ∃U ∈B1 ∀x ∈ U ∩A \ {x0} f(x) ∈ V.

10.2.2 Granica ciąguZobaczmy jak z naszego ogólnego kryterium na granicę w bazach można odzyskać naszą definicję granicy ciągu liczb. Jakoprzestrzeń X bierzemy N. Jako przestrzeń Y bierzemy R. Jako metrykę w R bierzemy metrykę euklidesową. Jako zbiór A,na którym jest określona funkcja f : A → Y bierzemy N. Funkcja określona na N to przecież ciąg, więc w miejsce f pisaćbędziemy bardziej tradycyjnie a, a jako argumentu zamiast x używać będziemy n. Jako punkt x0, w którym liczymy granicębierzemy ∞. Punkt ∞ jest rzeczywiście punktem skupienia zbioru A = N w przestrzeni X = N. Jako bazę otoczeń dlax0 =∞ bierzemy

B1 := {B(N) := (N,∞] | N ∈ N}.

Jako bazę otoczeń dla y0 bierzemy B2 := Ball(y0). Podstawiając to wszystko do naszej ogólnej definicji dostajemy

limn→∞

an = y0 :⇔ ∀K = K(y0, ε) ∈ Ball(y0) ∃B = B(N) ∈ B1 ∀n ∈ B ∩A \ {∞} an ∈ K

⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N |an − y0| < ε,

a więc dokładnie taki warunek jaki postawiliśmy jako definicję granicy ciągu.

10.2.3 Granica funkcji w przestrzeni metrycznejDefinicję Cauchy’ego granicy funkcji R w R odzyskujemy biorąc A = X = Y = R, jako metrykę biorąc metrykę euklidesowąw R, a jako bazy otoczeń B1 i B2 rodziny kul w x0 i y0. Dostajemy

limx→x0

f(x) = y0 :⇔ ∀K = K(y0, ε) ∈ Ball(y0) ∃B = K(x0, δ) ∈ Ball(x0) ∀x ∈ B ∩A \ {x0} f(x) ∈ K

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x 6= x0 |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− y0| < ε,


10.2.4 Granica nieskończona w RPrzypadek nieskończonej wartości granicy funkcji uzyskujemy biorąc Y = R, y0 = ∞, B1 = Ball(x0) i B2 = {(E,∞] | E ∈R+}. Dostajemy

limx→x0

f(x) =∞ :⇔ ∀B = (E,∞] ∈ B1 ∃K = K(x0, δ) ∈ Ball(x0) ∀x ∈ K ∩A \ {x0} f(x) ∈ B

⇔ ∀E > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ A \ {x0} ρ(x, x0) < δ ⇒ f(x) > E,

Podobnie wygląda przypadek granicy wynoszącej −∞. Za bazę otoczeń B2 bierzemy jedynie {[−∞,−E) | E ∈ R+}

10.2.5 Granica w nieskończonościPrzypadek granicy w nieskończoności dla funkcji f : X → R uzyskujemy biorąc X = R, A = R, x0 = ∞, B1 ={ (E,∞] | E ∈ R+ }, B2 = Ball(y0). Dostajemy

limx→∞

f(x) = y0 :⇔ ∀K = K(y0, ε) ∈ Ball(y0) ∃B = (E,∞] ∈ B1 ∀x ∈ B ∩A \ {∞} f(x) ∈ K

⇔ ∀ε > 0 ∃E > 0 ∀x ∈ R x > E ⇒ |f(x)− y0| < ε,

Podobnie wygląda przypadek granicy w −∞. Za bazę otoczeń B1 bierzemy jedynie {[−∞,−E) | E ∈ R+}

10.3 Granice jednostronneNiech Y będzie przestrzenią metryczną. Rozważmy f : R→ Y i punkt x0 ∈ R.

Definicja 10.3.1 Mówimy, że f ma w x0 granicę lewostronną równą y ∈ Y i piszemy

limx→x−0

f(x) = y,

jeżeli f|(−∞,x0] : (−∞, x0]→ Y ma w x0 granicę y. Analogicznie, mówimy, że f ma w x0 granicę prawostronną równąy ∈ Y i piszemy

limx→x+

0

f(x) = y,

jeżeli f|[x0,∞) : [x0,∞)→ Y ma w x0 granicę y.

Twierdzenie 10.3.2 Funkcja f ma w x0 granicę y ∈ Y wtedy i tylko wtedy gdy obie granice jednostronne istnieją isą sobie równe.

W programie Mathematica granicę jednostronną limx→u− f(x) liczymy przy pomocy instrukcji

Limit[f[x], x -> u, Direction -> 1]

a granicę jednostronną limx→u+ f(x) liczymy przy pomocy instrukcji

Limit[f[x], x -> u, Direction -> -1]

Na przykład

Limit[1/x, x -> 0, Direction -> 1]

zwraca −∞.

10.4. PUNKTY GRANICZNE 169

10.4 Punkty graniczne10.4.1 Ciągowa charakterystyka granicyUstalmy dwie przestrzenie metryczne X,Y oraz funkcję f : X → Y i punkt x0 ∈ X ′.

Twierdzenie 10.4.1 Następujące dwa warunki są sobie równoważne

(i) istnieje granicalimx→x0

f(x) = y0,

(ii) dla każdego ciągu x : N1 → X \ {x0} zachodzi

limn→∞

xn = x0 ⇒ limn→∞

f(xn) = y0.

Dowód:

10.4.2 Zbiór punktów granicznych

Definicja 10.4.2 Niech f : X → Y będzie funkcją odwzorowującą przestrzeń metryczną X w przestrzeń metrycznąY . Niech x0 ∈ X będzie punktem skupienia X w X. Definiujemy zbiór punktów granicznych funkcji f w x0 jako

Limx→x0

f(x) := { y ∈ Y | ∃a : N→ X limn→∞ an = x0 i limn→∞ f(an) = y }.

Twierdzenie 10.4.3 Zbiór Limx→x0 f(x) jest domknięty.

Dowód:


10.4.3 Ciągowa charakterystyka granicy ciągu

Twierdzenie 10.4.4 Niech a : N→ Y będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej Y , a y ∈ Y . Następujące warunki sąrównoważne.

(i) limn→∞an = y,

(ii) ∀k : N→ N limn→∞ kn =∞ ⇒ limn→∞(a ◦ k)(n) = y,

(iii) ∀k : N→ N k silnie rosnący ⇒ limn→∞(a ◦ k)(n) = y,

(iv) Dla każdego a′ podciągu a jest limn→∞ a′n = y.

Twierdzenie 10.4.5 Niech a : N→ Y będzie ciągiem w przestrzeni metrycznej Y . Wtedy

Limn→∞

an = { y ∈ Y | ∃kN→ N silnie rosnący i taki, że lim akn= y }.

10.5 Granica dolna i górna10.5.1 Granica dolna i górnaNiech X będzie przestrzenią metryczną, Y ⊂ R oraz f : X → Y . Załóżmy ponadto, że dla pewnego x0 ∈ X ′ zbiórLimx→x0 f(x) jest niepusty.

Definicja 10.5.1 W przypadku gdy Limx→x0 f(x) jest ograniczony od góry, granicę górną definiujemy wzorem

lim supx→x0

f(x) := sup Limx→x0

f(x).

Analogicznie, gdy Limx→x0 f(x) jest ograniczony od dołu, granicę dolną definiujemy wzorem

lim infx→x0

f(x) := inf Limx→x0

f(x).

Zobaczymy pózniej, ze w przypadku Y = R zbiór punktów granicznych jest zawsze niepusty, a poniewaz kazdy zbiór w R jest ograniczony tak od góry jaki od dołu, wiec granica górna i dolna sa w tym przypadku zawsze okreslone.

Twierdzenie 10.5.2 Niech f : X → R oraz x0 ∈ X ′. Wtedy a = limx→x0 f(x) jest równoważne równości

lim infx→x0

f(x) = lim supx→x0

f(x).

10.5. GRANICA DOLNA I GÓRNA 171

W przypadku gdy Y = R możemy podać przydatne kryterium na granicę górną i dolną, a także twierdzenie o zachowy-waniu nierówności przez te granice. W dowodach wykorzystujemy nieudowodniony jeszcze fakt, że każdy ciąg w R posiadapodciąg zbieżny. Fakt ten udowodnimy w rozdziale 11.

10.5.2 Własności granicy dolnej i górnej

Twierdzenie 10.5.3 Niech f : X → R oraz x0 ∈ X ′. Wtedy a = lim supx→x0 f(x) jest równoważne koniunkcjinastępujących dwóch warunków.

a ∈ Limx→x0

f(x),

∀b > a ∃V ∈ Nb(x0) x ∈ V ⇒ f(x) < b.

Dowód:

Twierdzenie 10.5.4 Niech f, g : X → R oraz x0 ∈ X ′. Jeśli istnieje V ∈ Nb(x0) takie, że dla każdego x ∈ V \ {x0}mamy f(x) ¬ g(x) to

lim infx→x0

f(x) ¬ lim infx→x0

g(x),

lim supx→x0

f(x) ¬ lim supx→x0

g(x).

Dowód:


10.6 Granica, a struktura algebraiczna10.6.1 Sumy, różnica, iloczyn i iloraz funkcjiNiech X będzie przestrzenią metryczną, a x0 punktem skupienia X. Niech Y będzie ciałem R lub ciałem C.

Załóżmy, że dane są funkcjef1, f2 : X → Y.

Niech � : Y × Y będzie działaniem w ciele Y . Definiujemy funkcję

f1 � f2 : X 3 x 7→ f1(x) � f2(x) ∈ Y.

Dla � ∈ {+,−, ·, / } nazywamy ją odpowiednio sumą, różnicą, iloczynem i ilorazem funkcji f1 i f2.

10.6.2 Granica sumy, różnicy i iloczynu

Twierdzenie 10.6.1 Załóżmy, że f1, f2 mają w x0 odpowiednio granice a1, a2 ∈ Y , tzn.

limx→x0

fi(x) = ai.

Wtedy istnieją granice sumy, różnicy i iloczynu funkcji f1, f2 w x0 i wynoszą odpowiednio

limx→x0

(f1(x) + f2(x)) = a1 + a2,

limx→x0

(f1(x)− f2(x)) = a1 − a2,

limx→x0

(f1(x)f2(x)) = a1a2.

Dowód:

10.6.3 Granica ilorazu

10.7. GRANICA, A STRUKTURA PORZĄDKOWA 173

Twierdzenie 10.6.2 Przy założeniach poprzedniego twierdzenia, jeśli ponadto a2 6= 0, to istnieje też granica ilorazui wynosi

limx→x0

f1(x)f2(x) = a1

a2.

Dowód:

Powyższe twierdzenia zachodzą też w przypadku Y = R, ale tylko wtedy, gdy odpowiednie działania mają sens.

10.7 Granica, a struktura porządkowa

10.7.1 Zachowywanie nierówności w granicy

Twierdzenie 10.7.1 Niech f, g : X → R, x ∈ X ′. Jeśli istnieje otoczenie V punktu x0 takie, że dla każdego x ∈X \ {x0} mamy f(x) ¬ g(x), to

limx→x0

f(x) ¬ limx→x0

g(x).

Dowód:

10.7.2 Twierdzenie o trzech funkcjach


Twierdzenie 10.7.2 Niech f, g, h : X → R, x ∈ X ′. Jeśli istnieje otoczenie V punktu x0 takie, że dla każdegox ∈ X \ {x0} mamy f(x) ¬ g(x) ¬ h(x) oraz istnieją granice

limx→x0

f(x), limx→x0

h(x)

i obie są równe pewnemu a ∈ R, to istnieje granica limx→x0 g(x) i też wynosi a.

Dowód:

10.7.3 Granica funkcji monotonicznej

Twierdzenie 10.7.3 Niech A ⊂ R i ω := supA. Jeśli ω jest punktem skupienia zbioru A, a f : A → R jest funkcjąrosnącą i ograniczoną od góry, to istnieje granica limx→ω f(x) i jest równa

sup { f(x) | x ∈ A, x < ω }.

Dowód:

10.8 Granice w produkcie kartezjańskim

Twierdzenie 10.8.1 Niech X oraz Y1, Y2, . . . Yn będą przestrzeniami metrycznymi, a f = (f1, f2, . . . fn) : X →Y1×Y2×· · ·×Yn niech będzie zestawieniem funkcji fi : X → Yi dla i = 1, 2, . . . , n. Niech x0 będzie punktem skupieniaprzestrzeni X oraz niech y := (y1, y2, . . . , yn) ∈ Y1 × Y2 × · · · × Yn. Wtedy

limx→x0

f(x) = y ⇔ limx→x0

fi(x) = yi dla i = 1, 2, . . . n.

10.8. GRANICE W PRODUKCIE KARTEZJAŃSKIM 175

Dowód: (**)Dowód przedstawimy dla przypadku n = 2.


Rozdział 11

Ciągłość funkcji

11.1 Koncepcja ciągłości11.1.1 Definicja ciągłościNiech f : X → Y będzie odwzorowaniem przestrzeni metrycznych.

Definicja 11.1.1 Mówimy, że f jest ciągła w punkcie x0 ∈ X jeżeli dla każdego otoczenia V ∈ Nb(f(x0)) istniejeotoczenie U ∈ Nb(x0) takie, że

x ∈ U ⇒ f(x) ∈ V.

Mówimy, że f jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie x ∈ X.

Twierdzenie 11.1.2 Funkcja f jest ciągła w x0 wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi jeden z następujących dwóch wa-runków

x0 6∈ X ′ lub x0 ∈ X ′ i limx→x0

f(x) = f(x0).

Dowód:

Twierdzenie 11.1.3 Niech B1 będzie bazą otoczeń x0, a B2 bazą otoczeń f(x0). Wtedy ciągłość f : X → Y w x0 jestrównoważna każdemu z trzech poniższych warunków

∀V ∈ B2 ∃U ∈ B1 f(U) ⊂ V,∀V ∈ B2 ∃U ∈ B1 U ⊂ f−1(V ),∀V ∈ B2 f−1(V ) ∈ Nb(x0).

177

178 ROZDZIAŁ 11. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

Dowód:

11.1.2 Kryteria ciągłości

Twierdzenie 11.1.4 Funkcja f : X → Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru otwartego V w Yzbiór f−1(V ) jest otwarty w X.

Dowód:

Twierdzenie 11.1.5 Funkcja f : X → Y jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru domkniętego K w Yzbiór f−1(K) jest domknięty w X.

11.1.3 Ciągłość złożenia

Twierdzenie 11.1.6 Niech X,Y, Z będą przestrzeniami metrycznymi, a f : X → Y i g : Y → Z odwzorowaniami.Jeśli f jest ciągłe w x0 ∈ X, a g jest ciągłe w f(x0), to g ◦ f jest ciągłe w x0. Zatem jeśli f i g są ciągłe, to g ◦ f jestciągłe.

Dowód: łatwe ćwiczenie.

11.1.4 Ciągłość operacji arytmetycznychNiech X będzie przestrzenią metryczną, a Y niech będzie ciałem liczb rzeczywistych lub ciałem liczb zespolonych.

Twierdzenie 11.1.7 Jeśli f, g : X → Y są ciągłe w x0 ∈ X to f + g, f − g, f · g są ciągłe w x0. Jeśli dodatkowog(x0) 6= 0, to f/g jest ciągłe w x0.


11.1.5 Twierdzenie o lokalnym zachowywaniu znaku

Twierdzenie 11.1.8 Niech f : X → R będzie funkcją ciągłą. Jeśli f(x0) > 0 dla pewnego x0 ∈ X, to istnieje Uotoczenie punktu x0 takie, że dla każdego x ∈ U mamy f(x) > 0.

11.1. KONCEPCJA CIĄGŁOŚCI 179

Dowód:

Twierdzenie 11.1.9 Niech X,Y będą przestrzeniami metrycznymi.

(i) Niech c ∈ Y . Funkcja stała cX : X 3 x 7→ c ∈ Y jest ciągła.

(ii) Niech X ⊂ Y . Inkluzja j : X 3 x 7→ x ∈ Y jest ciągła.

(iii) Identyczność idX : X 3 x 7→ x ∈ X jest ciągła.

(iv) Odwzorowania rzutowania

pX : X × Y 3 (x, y) 7→ x ∈ XqX : X × Y 3 (x, y) 7→ y ∈ Y

są ciągłe.

(v) Zawężenie f|A odwzorowania ciągłego f : X → Y do zbioru A ⊂ X jest ciągłe.


Twierdzenie 11.1.10 Niech P : C→ C będzie wielomianem. Wtedy P jest ciągłe.

Dowód: łatwe ćwiczenie.Niech P,Q : C→ C będą wielomianami. Funkcją wymierną jest funkcja

P

Q: C \Q−1(0) 3 x 7→ P (x)

Q(x) ∈ C.

Twierdzenie 11.1.11 Funkcja wymierna jest ciągła.


11.1.6 (*)Nieciągłości funkcji f : R→ RNiech f : (a, b)→ R i niech x0 ∈ (a, b).

Definicja 11.1.12 Mówimy, że f ma w x0 nieciągłość pierwszego rodzaju, jeżeli f nie jest ciągła w x0, ale istniejągranice jednostronne limx→x−0

f(x) i limx→x+0f(x). W przeciwnym razie mówimy, że f ma w x0 nieciągłość drugiego

rodzaju.

Twierdzenie 11.1.13 Funkcja f ma w x0 nieciągłość pierwszego rodzaju wtedy i tylko wtedy gdy limx→x−0f(x) 6=

limx→x+0f(x) lub limx→x−0

f(x) = limx→x+0f(x) 6= f(x0).


Twierdzenie 11.1.14 Jeśli f : (a, b) → R jest funkcją słabo rosnącą, to każdy jej punkt nieciągłości jest pierwszegorodzaju. Ponadto

∀x0 ∈ (a, b) limx→x−0

f(x) ¬ f(x0) ¬ limx→x+

0

f(x),

∀x1, x2, x3 ∈ (a, b) x1 < x2 < x3 ⇒ limx→x+

1

f(x) ¬ f(x2) ¬ limx→x−3

f(x).

Analogiczne własności ma funkcja słabo malejąca.

Dowód:

11.1.7 Ciągłość bijekcji monotonicznej

Twierdzenie 11.1.15 Niech (a, b) i (c, d) będą otwartymi przedziałami w R i niech f : (a, b) → (c, d) będzie bijekcjąrosnącą. Wtedy f jest ciągła.

Dowód:

11.2 Ciągłość, a zwartośćFunkcje ciągłe mają wiele pożytecznych własności. Jednakże wiele z tych własności wymaga, by zbiory na których funkcjesą określone miały pewne sprzyjające tym własnościom cechy. Do cech takich należą rozważane w tym rozdziale zwartość,spójność oraz zupełność.

11.2.1 Zwartość podprzestrzeni Rd.Przyczyny braku zbieżności mogą być różne. Ciąg

a : N1 3 n 7→1n

+ (−1)n → R

11.2. CIĄGŁOŚĆ, A ZWARTOŚĆ 181

Rysunek 11.1: Funkcja ciągła na zbiorze domkniętym i ograniczonym jest ograniczona

nie jest zbieżny, bo nie może się zdecydować czy zbiegać do 1 czy do −1. Inaczej: można z niego wybrać podciągi zbieżnedo dwóch różnych granic. Z kolei ciąg

a : N1 3 n 7→ 2n → R,

w ogóle nie posiada podciągu zbieżnego. Ale temu można zaradzić zmieniając przestrzeń R na R. Wtedy ten ciąg stajesię zbieżny do +∞. Można pokazać, że w R każdy ciąg posiada podciąg zbieżny. Przestrzenie topologiczne, które majątaką własność są z wielu powodów mile widziane. Do takich zaliczają się przestrzenie zwarte. Ponieważ ich ogólna definicjajest nieco skomplikowana, podamy ją oddzielnie w rozdz. 11.2.3. Jednak w następującym ważnym przypadku szczególnymdefinicja jest prosta.

Definicja 11.2.1 Niech X będzie podprzestrzenią przestrzeni metrycznej Rd z metryką euklidesową. Mówimy, żeprzestrzeń X jest zwarta jeśli X jako podzbiór Rd jestdomknięty i ograniczony.

Domkniete i ograniczone podzbiory w Rn maja tez inne przydatne własnosci. Rysunek 11.1 pokazuje, ze nalezy oczekiwac iz funkcja ciagła f na domknietymi ograniczonym podzbiorze Rn jest ograniczona.

Rysunek 11.2 z kolei pokazuje, ze załozenie iz zbiór jest ograniczony jest istotne.Co wiecej, sama domknietosc przedziału nie wystarcza. Przedział [0,∞), tez jest domkniety, ale funkcja

[0,∞) 3 x 7→ x2 ∈ R

jest nieograniczona. Zatem istotne jest, by rozwazac przedział domkniety i ograniczony. Rozwazania te sugeruja, ze prawdziwe powinno byc nastepujacetwierdzenie (formułujemy je dla najprostszego przypadku).

Twierdzenie 11.2.2 Niech f : [a, b]→ R bedzie funkcja ciagła. Wtedy f jest funkcja ograniczona.

11.2.2 (*)Intuicja zwartości i ogólna definicja zwartości.Potencjalny dowód tw. 11.2.2 mógłby przebiegac tak: Do y ∈ im f dobieram x ∈ [a, b] takie, ze f(x) = y oraz Vx ∈ ONb(x) takie, ze

u ∈ Vx ⇒ f(u) ∈ [y − 1, y + 1].


Rysunek 11.2: Funkcja ciągła na przedziale otwartym (a, b) nie musi być ograniczona

Mamy[a, b] ⊂

⋃{Vx | x ∈ [a, b] }.

Mówimy, ze rodzina zbiorów {Vx | x ∈ [a, b] } stanowi pokrycie otawrte przedziału [a, b]. Gdyby było mozliwe zastapienie tego pokrycia podpokryciem skon-czonym, to znaczy wybranie skonczonej ilosci punktów x1, x2, . . . xk ∈ [a, b], tak, by

[a, b] ⊂k⋃i=1

Vxi,

to otrzymalibysmy

f([a, b]) ⊂k⋃i=1

[f(xi)− 1, f(xi) + 1]

a stad f([a, b]) ⊂ [c, d], gdzie

c := min { f(xi)− 1 | i = 1, 2, . . . k } d := max { f(xi) + 1 | i = 1, 2, . . . k }

i dowód byłby zakonczony. Okazuje sie, ze jedynymi podzbiorami wRn, które maja własnosc istnienia podpokrycia skonczonego dla dowolnego pokrycia otwartegosa zbiory domkniete i ograniczone. Niestety nie jest to prawda w dowolnej przestrzeni metrycznej. Poniewaz pomysł polegajacy na wybraniu z nieskonczonegopokrycia zbioru pewnego podpokrycia skonczonego przydaje sie w wielu dowodach, dlatego warto wyróznic klase zbiorów majacych taka własnosc. Zbiory takienazywane sa zbiorami zwartymi.

Co wiecej, okazuje sie, ze zwartosc zbioru nie zalezy od topologii przestrzeni, w której zbiór jest zanurzony, a tylko od topologii indukowanej w zbiorze. Dlategomówimy tez o przestrzeniach zwartych.

Niech X będzie przestrzenią metryczną i A ⊂ X.

Definicja 11.2.3 Mówimy, że zbiór A jest zwarty jeżeli dla każdej rodziny C ⊂ Open(X) takiej, że A ⊂⋃C istnieje

skończona podrodzina C′ ⊂ C taka, że A ⊂⋃C′.

Definicja 11.2.4 Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zwarta, jeżeli X traktowane jako zbiór w przestrzeni Xjest zbiorem zwartym.

11.2. CIĄGŁOŚĆ, A ZWARTOŚĆ 183

Definicja 11.2.5 Klasę przestrzeni zwartych oznaczać będziemy Comp.

11.2.3 Przestrzenie zwarteNiech X będzie ustaloną przestrzenią metryczną. Poniższe twierdzenie pokazuje, że zwartość jest własnością zbioru zależnąjedynie od metryki indukowanej w tym zbiorze, a nie od metryki w całej przestrzeni.

Twierdzenie 11.2.6 Niech Y ⊂ X będzie podprzestrzenią X, a A ⊂ Y . Zbiór A jest zwarty w Y wtedy i tylko wtedygdy jest zwarty w X.

Twierdzenie 11.2.7 Każdy zwarty zbiór A ⊂ X jest domknięty.

Twierdzenie 11.2.8 Podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zbiorem zwartym.

Twierdzenie 11.2.9 Niech K ⊂ X będzie zbiorem zwartym, a E ⊂ K jego nieskończonym podzbiorem. Wtedy zbiórpunktów skupienia E′ 6= ∅.

Twierdzenie 11.2.10 Niech E ⊂ Rd. Następujące warunki są równoważne.

(i) E jest domknięty i ograniczony.

(ii) E jest zwarty.

(iii) Każdy nieskończony podzbiór zbioru E ma punkt skupienia należący do E.

Zatem ogólna definicja zwartości w przypadku podzbiorów Rd jest równoważna definicji, którą podaliśmy wcześniej.

Twierdzenie 11.2.11 Przestrzeń R jest zwarta.

11.2.4 Obraz zbioru zwartego przez odwzorowanie ciągłe.Ustalmy przestrzenie metryczne X,Y oraz funkcję f : X → Y .

Twierdzenie 11.2.12 Jeśli f jest ciągła, a A ⊂ X jest zwarty, to f(A) jest zwarty.

Dowód: (*)

�


Rysunek 11.3: Funkcja ciągła na przedziale zwartym osiąga swoje kresy

Wniosek 11.2.13 Zachodzą następujące własności.

(i) Jeśli f : X → Rd jest ciągła, a K ⊂ X jest zwarty, to f(K) jest domknięty i ograniczony.

(ii) Jeśli przestrzeń X jest zwarta, a f : X → Rd jest ciągła, to f jest ograniczona.

(iii) Jeśli f : [a, b]→ Rd jest ciągła, to jest ograniczona.

11.2.5 Funkcja ciągła na przedziale zwartym osiąga swoje kresy

Twierdzenie 11.2.14 Jeśli X jest przestrzenią zwartą, a f : X → R jest ciągła oraz m := inf f(X), M := sup f(X),to istnieją p, q ∈ X takie, że f(p) = m i f(q) = M .

Dowód:

11.2.6 Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej

Twierdzenie 11.2.15 Jeśli f : X → Y jest ciągłą bijekcją, a X jest zwarty, to f−1 jest ciągłe.

Dowód:

11.3. JEDNOSTAJNA CIĄGŁOŚĆ 185

11.3 Jednostajna ciągłość

Definicja 11.3.1 Funkcja f : X → Y jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy gdy

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ X ρX(x, y) < δ ⇒ ρY (f(x), f(y)) < ε.

Twierdzenie 11.3.2 Jeśli f : X → Y jest jednostajnie ciągła, to f jest ciągła.

Twierdzenie 11.3.3 Jeśli f : X → Y jest ciągła, a X jest przestrzenią zwartą, to f jest jednostajnie ciągła.

Dowód:

11.3.1 Funkcje Lipschitza

Definicja 11.3.4 f : X → Y jest funkcją Lipschitza jeżeli istnieje stała L > 0 taka, że

∀x1, x2 ∈ X ρY (f(x1), f(x2)) ¬ LρX(x1, x2).


Rysunek 11.4: Funkcja jednostajnie ciągła, która nie jest funkcją Lipschitza

Twierdzenie 11.3.5 Jeśli f : X → Y jest funkcją Lipschitza, to jest funkcją jednostajnie ciągłą.

11.4 Ciągłość, a spójność11.4.1 Spójne podzbiory R.Intuicja przestrzeni spójnej jest bardzo prosta. Jest to taka przestrzen, która nie rozpada sie na dwa lub wiecej kawałków. Formalna definicja jest jednak niecoskomplikowana. Dlatego najpierw podamy definicje spójnosci dla przestrzeni metrycznych bedacych podzbiorami R

Definicja 11.4.1 Niech X ⊂ R będzie podprzestrzenią. Mówimy, że X jest przestrzenią spójną jeżeli X jest prze-działem w R.

11.4.2 (*)Przestrzenie spójneNiech X będzie przestrzenią metryczną.

Definicja 11.4.2 Mówimy, że zbiór E ⊂ X jest niespójny, jeżeli istnieją rozłączne zbiory A,B ∈ Open(X) takie, żeA ∩ E 6= ∅ 6= B ∩ E oraz E ⊂ A ∪B. Jeśli takie zbiory nie istnieją, mówimy, że E jest spójny.

Twierdzenie 11.4.3 Niech E ⊂ R. E jest zbiorem spójnym, wtedy i tylko wtedy gdy

∀x, y, z ∈ E z ∈ (x, y) ⇒ z ∈ E.

11.4. CIĄGŁOŚĆ, A SPÓJNOŚĆ 187

Wniosek 11.4.4 Zbiory spójne w R to przedziały.

Zatem ogólna definicja spójności w przypadku podzbiorów R jest równoważna definicji, którą już podaliśmy.

11.4.3 Obraz zbioru spójnego przez odwzorowanie ciągłe.

Twierdzenie 11.4.5 Niech f : X → Y będzie odwzorowaniem ciągłym. Jeśli E ⊂ X jest spójny, to f(E) jest zbioremspójnym.

Dowód:

Wniosek 11.4.6 Jeśli a, b ∈ R, a < b i f : [a, b] → R jest odwzorowaniem ciągłym, to f([a, b]) jest przedziałemdomkniętym.

11.4.4 Własność Darboux.

Wniosek 11.4.7 (własność Darboux) Jeśli a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R jest odwzorowaniem ciągłym oraz f(a) <f(b) to dla każdego c ∈ [f(a), f(b)] istnieje ξ ∈ [a, b] takie, że f(ξ) = c.

Własność Darboux zobrazowano na rys. 11.5


Rysunek 11.5: Własność Darboux.

Rozdział 12

Szeregi

12.1 Eksperymenty numeryczne

12.1.1 Przybliżanie liczby π polami wielokątów wpisanych w koło.

W rozdziale 1.3.2 zaprezentowalismy metode przyblizania liczby π poprzez pola wielokatów wpisanych w koło i zauwazylismy, ze stosowny ciag (1.4) jestszeregiem. Przyjrzyjmy sie teraz zachowaniu tego szeregu od strony numerycznej Program wyznaczajacy wyrazy ciagu (1.4) w Mathematica jest przedstawionyna listingu 12.1, a w jezyku C++ na listingu 12.2

Uruchamiajac program łatwo sprawdzic, ze metoda oparta o pola przy zastosowaniu tego samego typu double daje znacznie dokładniejsze wyniki nizmetoda poprzednia, bo juz 26-ta suma czesciowa daje wartosc

s26 = 3.141592653589793,

która jest poprawnym przyblizeniem liczby π do ostatniej cyfry włacznie.

12.1.2 Warunek konieczny zbieżności szeregu

Twierdzenie 12.1.1 Jesli szereg∑∞n=1 cn jest zbiezny, to ciag cn zmierza do zera.

Nie jest to jednak warunek wystarczajacy, bo na przykład o szeregu

∞∑n=1

1n

zwanym szeregiem harmonicznym, mozna pokazac, ze nie jest zbiezny w sensie definicji Cauchy’ego.Pogrupujmy wyrazy szeregu harmonicznego w porcje kolejno po jeden, dwa, cztery itd.

∞∑n=1

1n

= 1 +(

12 + 1

3

)+(

14 + 1

5 + 16 + 1

7

)+ . . .

189

190 ROZDZIAŁ 12. SZEREGI� �(∗ Obl i c zan i e p r z y b l i ż e n i a l i c z b y p i poprzez pola wielokątów foremnych

wpisanych w okrąg o ś r edn i cy jeden ∗)PiByField [d_] :=

Module [ { s , m, n , a } ,n = 2 ;m = 4 ; (∗ I l o ś ć boków wie lokąta , na początek kwadrat ∗)a = Sqrt [ 2 . ] / 2 ; (∗ Bok ko le jnych wielokątów ∗)s = 2 ; (∗ c z t e r ok r o t ne po le ko l e jnego wie lokąta ∗)Do[

Print [ "s[" , n , "]=" , NumberForm[ s , 1 6 ] ] ;s = s + m∗a ∗(1 − Sqrt [ 1 − a∗a ] ) ;a = Sqrt [ 2 − Sqrt [ 4 − 4∗a∗a ] ] / 2 ;m = m∗2 ;n = n + 1 ,{d}

] ;s

]� �Listing 12.1: Wyznaczenie ciągu przybliżeń liczby π w języku Mathematica w oparciu o pola wielokątów

Tak wiec sumy kolejnych porcji to

T0 := 1

T1 := 12 + 1

3T2 := 1

4 + 15 + 1

6 + 17

T3 := 18 + 1

9 + 110 + 1

11 + 112 + 1

13 + 114 + 1

15. . . . . .

Tk :=2k+1−1∑n=2k

1n.

Na listingach 12.3 i 12.4 przedstawiono program odpowiednio w Mathematica i w C++, który liczy sumy kolejnych porcji Tk dla szeregu harmonicznego.Wynik działania programu sugeruje, ze sumy te sa wieksze od pewnej stałej c > 0, co w dalszym toku udowodnimy formalnie. Na razie zaobserwujmy, ze

konsekwencja tego faktu jest2m∑n=1

1n mc.

Zatem sumy czesciowe szeregu harmonicznego moga byc wieksze od dowolnie zadanej liczby.

12.1.3 Rozbieżność do nieskończonościMówimy, ze ciag xn jest rozbiezny do nieskonczonosci, jezeli zachodzi warunek

∀M > 0∃N > 0∀n ∈ N n > N ⇒ xn > M.

Mozemy wiec powiedziec, ze sumy czesciowe szeregu∑∞n=1

1n sa rozbiezne do nieskonczonosci.

12.1. EKSPERYMENTY NUMERYCZNE 191

� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ PiByField . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Obl i c zan i e p r z y b l i ż e n i a l i c z b y p i poprzez pola wielokątów foremnych ∗//∗ wpisanych w okrąg o promieniu jeden ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std ;

int main ( ){cout << f i x e d << r i g h t ;cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;int m=4; /∗ I l o ś ć boków wie lokąta , na początek kwadrat . ∗//∗ Bok ko le jnych wielokątów wpisanych w koło o ś r edn i cy jeden .

Na początek bok kwadratu ∗/double a=s q r t ( 2 . 0 ) / 2 ;/∗ Zmienna s zawiera c z t e r o k r o t ne po le ko l e jnego wie lokąta .

Zaczynamy od kwadratu , który ma po le 1/2 . ∗/double s =2;int nmax=30;for ( int n=2;n<nmax ; n=n+1){

cout << " s[" << setw (2) << n << "] =" << setw (18) << s ;cout << endl ;/∗ Czterokrotne po le ko l e jnego wie lokąta

przyra s ta o c z t e r o k r o t n e po le m trókątów równobocznych ∗/s=s+m∗a∗(1− s q r t (1−a∗a ) ) ;m=m∗2 ; /∗ Podwajamy i l o ś ć boków ∗/a=s q r t (2− s q r t (4−4∗a∗a ) ) / 2 ; /∗ I wyznaczamy ko l e jny bok ∗/

}}� �

Listing 12.2: Wyznaczenie ciągu przybliżeń liczby π w C++ w oparciu o pola wielokątów

192 ROZDZIAŁ 12. SZEREGI

� �(∗ Anal iza zachowania sze regu harmonicznego ∗)HarmonicSer ies [d_] := Module [ { s , n , k } ,

k = 0 ;Do[

s = 0 . ;n = 2^k ;(∗ Obliczamy sumę wyrazów sze regu od 2^k do 2^{k+1}−1 ∗)Do[

s = s + 1 ./ n ;n = n + 1 ,{2^k}

] ;Print [ "T[" , k , "]= " , NumberForm[ s , 1 6 ] ] ;k = k + 1 ,{d}] ;

]� �Listing 12.3: Obliczanie sumy

∑2k+1−1n=2k

1n w Mathematica

� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ HarmonicSer ies . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Anal iza zachowania sze regu harmonicznego ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std ;


double m=1; /∗ Będziemy sumować w porc jach po m dla m= 1 , 2 , 4 , . . . ∗/for ( int k=0;k<25;k=k+1){

double s =0;/∗ Obliczamy sumę wyrazów sze regu od m=2^k do 2m−1=2^{k+1}−1 ∗/for ( double n=m; n<m∗2;++n){

s=s+1/n ;}cout << "T[" << k << "]= " << s << endl ;m=m∗2 ; /∗ Kolejna porc ja będz i e dwa razy większa ∗/

}}� �

Listing 12.4: Obliczanie sumy∑2k+1−1n=2k

1n w C++

12.2. WŁASNOŚCI PODSTAWOWE 193

Co ciekawe, szereg∞∑n=1

(−1)n 1n

jest zbiezny.

Cwiczenie komputerowe 12.1.2 Adaptuj program z listingu 12.3 i/lub listingu 12.4 do przesledzenia zachowania szeregów

∞∑n=1

1√n

i∞∑n=1

1n2 .

Co sadzisz na temat ich zbieznosci?

12.2 Własności podstawowe12.2.1 Pojęcie szereguNiech X będzie albo ciałem R albo ciałem C.

Definicja 12.2.1 Dla k ∈ N parę ciągów x, s : Nk → X nazywamy szeregiem jeżeli

sn =n∑i=k

xi.

Element xn nazywamy n-tym wyrazem szeregu, a element sn nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Mówimy, żeszereg jest zbieżny, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny. Jeśli ciąg sum częściowych jest zbieżny, to jego granicęnazywamy sumą szeregu i oznaczamy

∞∑i=k

xi.

W praktyce symbolem∑∞i=k xi zazwyczaj oznaczamy nie tylko sumę szeregu, co jest sensowne tylko jeśli szereg jest

zbieżny, ale także sam szereg. To czy mamy na myśli szereg, czy jego sumę, rozstrzygamy na podstawie kontekstu.

Twierdzenie 12.2.2 Szereg∑∞i=k xi jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy

∀ε > 0∃N ∈ Nk∀m n N |m∑i=n

xi| < ε.

Dowód:Własność ta oznacza, że ciąg sum częściowych szeregu spełnia warunek Cauchy’ego. Zatem teza wynika z zupełności

przestrzeni R lub C.�

Wniosek 12.2.3 Jeśli szereg∑∞n=1 xn jest zbieżny, to limn→∞ xn = 0.

Definicja 12.2.4 Szereg∑∞i=k xi nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg

∑∞i=k |xi| jest zbieżny.


Twierdzenie 12.2.5 Jeśli szereg∑∞i=k xi jest bezwzględnie zbieżny to jest zbieżny oraz

|∞∑i=k

xi| ¬∞∑i=k|xi|.

Dowód:Ponieważ ciąg sum częściowych dla szeregu wartości bezwzględnych spełnia warunek Cauchy’ego, więc, jak łatwo spraw-

dzić, również ciąg sum częściowych wyjściowego szeregu spełnia ten warunek i teza wynika z zupełności R lub C.�

12.2.2 Szereg geometryczny

Definicja 12.2.6 Niech a, q ∈ C, a 6= 0. Szereg∑∞n=0 aq

n, nazywamy szeregiem geometrycznym.

Twierdzenie 12.2.7 Szereg geometryczny jest zbieżny gdy |q| < 1. W przeciwnym razie jest on rozbieżny.

Dowód: Wiemy, że

sn = a1− qn+1

1− q .

Zatem, jeśli |q| < 1, to

limn→∞

sn = a

1− q ,

czyli szereg jest zbieżny. Natomiast jeśli |q| 1, to ciąg aqn na pewno nie jest zbieżny do zera, więc nie jest spełnionywarunek konieczny zbieżności. �

Twierdzenie 12.2.8 (Kryterium porównawcze) Jeśli ciągi a, b : N → R mają wyrazy nieujemne i istnieje N ∈ Ntakie, że an ¬ bn dla n N , to:

• jeśli∑∞n=1 bn jest zbieżny, to

∑∞n=1 an jest zbieżny,

• jeśli∑∞n=1 an jest rozbieżny, to

∑∞n=1 bn jest rozbieżny.

Dowód:Jest to wniosek z zupełności przestrzeni R.

�

Wniosek 12.2.9 Niech∑∞n=k zn będzie szeregiem liczb zespolonych, a

∑∞n=k xn zbieżnym szeregiem liczb rzeczywi-

stych. Jeśli istnieje n ∈ N takie, że |zn| ¬ xn dla n N , to szereg∑∞n=k zn jest bezwzględnie zbieżny. �

12.3. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI 195

12.3 Kryteria zbieżności12.3.1 Szereg ∑∞

n=11

np .

Twierdzenie 12.3.1 Niech a : N → R będzie ciągiem o wyrazach nieujemnych. Szereg∑∞n=1 an jest zbieżny wtedy i

tylko wtedy gdy jego ciąg sum częściowych jest ograniczony.

Dowód:

Twierdzenie 12.3.2 Niech ciąg a : N1 → R+ będzie słabo malejący. Rozważmy ciąg

b : N0 3 n 7→ 2na2n ∈ R+.

Wtedy zbieżność szeregu∑∞n=1 an jest równoważna zbieżności szeregu

∑∞n=0 bn.

Dowód:

Wniosek 12.3.3 Szereg∑∞n=1

1np jest zbieżny dla p > 1, a rozbieżny dla p ¬ 1.

Dowód:


12.3.2 Kryterium Leibniza

Twierdzenie 12.3.4 (Leibniza o szeregu naprzemiennym) Niech a : N0 → R+ będzie ciągiem słabo malejącym izbieżnym do zera. Wtedy szereg

∑∞n=0(−1)nan jest zbieżny oraz dla dowolnego m ∈ N1

2m−1∑n=0

(−1)nan ¬∞∑n=0

(−1)nan ¬2m∑n=0

(−1)nan.

Dowód:

12.3.3 Kryterium Cauchy’ego i kryterium d’Alemberta

Badaniem zbieżności szeregów zajmowali się w szczególności matematycy francuscy: najpierw Jean le Rond d’Alembert(rys. 12.1), a następnie Augustin Louis Cauchy (rys. 1.5). Podali oni następujące kryteria zbieżności szeregów.

Twierdzenie 12.3.5 (Kryterium Cauchy’ego i d’Alemberta) Niech a : N→ C będzie ciągiem oraz

α := lim supn→∞

n√|an|, β := lim sup

n→∞

|an+1||an|

.

Wtedy:

• jeśli α < 1 to∑∞n=0 an jest zbieżny,

• jeśli β < 1 to∑∞n=0 an jest zbieżny,

• jeśli α > 1 to∑∞n=0 an jest rozbieżny,

• jeśli istnieje N ∈ N takie, że∣∣∣an+1an

∣∣∣ > 1 dla n N , to∑∞n=0 an jest rozbieżny.

Dowód:

12.3. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI 197

Rysunek 12.1: Jean le Rond d’Alembert, 1717-1783, Źródło: Wikipedia

12.3.4 Szeregi potęgowe

Definicja 12.3.6 Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci∑∞n=0 cnz

n, gdzie z ∈ C jest ustalonym parametrem,a ciąg c : N0 → C jest tzw. ciągiem współczynników szeregu potęgowego.


Twierdzenie 12.3.7 Niech∑∞n=0 cnz

n będzie szeregiem potęgowym, α := lim supn→∞ n√|cn|, a

R :=

1α gdy 0 < α <∞,0 gdy α =∞,∞ gdy α = 0.

Wtedy szereg∑∞n=0 cnz

n jest zbieżny dla |z| < R, a rozbieżny dla |z| > R. Kryterium nie rozstrzyga zbieżności gdy|z| = R.

Dowód:Jest to wniosek z kryterium Cauchy’ego dla szeregów.

�

12.4 Operacje na szeregach

12.4.1 Suma i iloczyn szeregów

Dowód:Stosujemy do sum częściowych tw. granicy sumy i iloczynu ciągów.

�

12.4. OPERACJE NA SZEREGACH 199

Dowód:

12.4.2 (**)Permutacja szeregu i zbieżność bezwarunkowa


12.4.3 (**)Twierdzenie Riemanna

12.4.4 Szeregi w programie MathematicaProgram Mathematica dość dobrze radzi sobie z liczeniem sum szeregów, a w przypadku braku zbieżności sygnalizuje tenfakt. Do policzenia sumy szeregu

∑∞i=p an używamy instrukcji

Sum[a[n],{n,p,Infinity}]

Na przykład

Sum[1/n!, {n, 2, Infinity}]

zwraca∑∞n=2

1n! = −2 + e. Oznacza to, że Mathematica, w miarę swoich umiejętności, stara się zwrócić wynik dokładny,

używając symbolicznych oznaczeń na stałe matematyczne.

Rozdział 13

Funkcje wykładnicza, logarytmiczna itrygonometryczne

13.1 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna13.1.1 Zespolona funkcja wykładniczaNastępujące twierdzenie pozwala przybliżać liczbę e za pomocą szeregów i to znacznie szybciej niż w przypadku ciągu,którym posłużyliśmy się przy jej definiowaniu

Twierdzenie 13.1.1∞∑n=0

1n! = e.

Dowód:

Łatwo sprawdzić za pomocą kryterium d’Alemberta, że dla dowolnego z ∈ C szereg∞∑n=0

zn

n!

jest zbieżny. Rozważać zatem możemy funkcję

E : C 3 z 7→ E(z) :=∞∑n=0

zn

n! ∈ C.

201

202 ROZDZIAŁ 13. FUNKCJE WYKŁADNICZA, LOGARYTMICZNA I TRYGONOMETRYCZNE

Twierdzenie 13.1.2 Funkcja E ma następujące własności:

(i) E(0) = 1 oraz E(1) = e,

(ii) dla dowolnych z1, z2 ∈ CE(z1 + z2) = E(z1)E(z2),

(iii) dla dowolnego z ∈ C mamy E(z) 6= 0 orazE(−z) = 1

E(z) ,

(iv) E jest funkcją ciągłą,

(v) dla dowolnego z ∈ CE(z) = ¯E(z).

Dowód:

Definicja 13.1.3 Funkcję E nazywamy zespoloną funkcją wykładniczą. Stosujemy dla niej również tradycyjną notację

ez := E(z) :=∞∑n=0

zn

n! ∈ C.

13.1.2 Funkcja wykładnicza ex

13.1. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA 203

Twierdzenie 13.1.4 Istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła f : R → R+ taka, że f(1) = e oraz dla dowolnychx, y ∈ R zachodzi f(x + y) = f(x)f(y). Jest ona zwana funkcją wykładniczą o podstawie e. Powszechnie stosowanąnotacją dla f(x) jest ex, a sama funkcja f jest oznaczana

exp : R 3 x 7→ ex ∈ R+.

Funkcja ta ma również następujące własności:

(i) dla dowolnych p ∈ Z oraz q ∈ N1e

pq = q√ep,

(ii) jest silnie rosnąca,

(iii) limx→∞ ex =∞, limx→−∞ ex = 0,

(iv) dla dowolnego n ∈ N mamy limx→∞ xne−x = 0.

Dowód:

13.1.3 Logarytm naturalnyFunkcja exp, jako bijekcja silnie rosnąca z R do R+, ma funkcję odwrotną, która jest bijekcją silnie rosnącą z R+ do R.

Definicja 13.1.5 Funkcję tę nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy

ln : R+ 3 x 7→ ln x ∈ R.

Z definicji tej wynika w szczególności, że dla dowlnych x ∈ R+ i y ∈ R równość y = ln x jest równoważna równościx = ey.


Twierdzenie 13.1.6 Funcja ln ma następujące własności:

(i) jest silnie rosnąca,

(ii) ln 1 = 0, ln e = 1,

(iii) dla dowolnych x, y ∈ R+, n ∈ N

ln(xy) = ln x+ ln y, ln xy

= ln x− ln y, ln xn = n ln x, ln n√x = ln x

n,

(iv) limx→∞ ln x =∞, limx→0 ln x = −∞,

(v) dla dowolnych p ∈ N, q ∈ Z+, x ∈ R+

epq ln x = q

√xp = x

pq .

Dowód:

W programie Mathematica logarytm naturalny oznaczany jest Log.

13.1.4 Funkcja wykładnicza ax

Przy pomocy logarytmu naturalnego możemy zdefiniować funkcję wykładniczą o dowolnej podstawie a ∈ R+.

Definicja 13.1.7 Funkcję wykładniczą o podstawie a ∈ R+ definiujemy wzorem

R 3 x 7→ ax := ex ln a ∈ R+.

13.2 Funkcje trygonometryczne

13.2.1 Nawijanie prostej na okrągZespolona funkcja wykładnicza pozwoli nam też podać formalną i czysto analityczną definicję funkcji trygonometrycznych.Zacznijmy od następującej uwagi:

Uwaga 13.2.1 FunkcjaR 3 x 7→ eix ∈ S1 (13.1)

jest dobrze określona i ciągła.

13.2. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 205

Rysunek 13.1: Wykres funkcji R 3 t 7→ eit ∈ S1.

Dowód:

Funkcję daną wzorem (13.1) określa się często mianem nawijania prostej na okrąg. Terminologię tę wyjaśnia rys. 13.1

13.2.2 Funkcje sin i cosMożemy teraz podać czysto analityczną definicję funkcji sin oraz cos. Analizując własności tych funkcji stopniowo przekonamysię, że pokrywają się one z funkcjami sin i cos zdefiniowanymi geometrycznie.

Definicja 13.2.2 Funkcje cos i sin definiujemy wzorami

cos : R 3 x 7→ re eix = eix + e−ix

2 ∈ [−1, 1]

sin : R 3 x 7→ im eix = eix − e−ix

2i ∈ [−1, 1].

206 ROZDZIAŁ 13. FUNKCJE WYKŁADNICZA, LOGARYTMICZNA I TRYGONOMETRYCZNE� �(∗ Obl i c zan i e f u n k c j i s i n u s za pomocą r o z w i n i ę c i a w s z e r e g ∗)S i n S e r i e s [ x_, d_] :=

Module [ { s , znak , s i l n i a , y , n} ,s = 0 ; znak = 1 ; s i l n i a = 1 ; y = x ; n = 0 ;Do[

s = s + znak∗y/ s i l n i a ;znak = −znak ;s i l n i a = s i l n i a ∗(2∗n + 2)∗ (2∗ n + 3 ) ;y = y∗x∗x ;n = n + 1 ,{d}

] ;s

]� �Listing 13.1: Wyznaczenie wartości funkcji sin w programie Mathematica w oparciu o rozwinięcie w szereg

Uwaga 13.2.3 Funkcje sin i cos są ciągłe. Ponadto dla każdego x ∈ R zachodzą wzory:

cosx =∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k)! sin x =∞∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!

eix = cosx+ i sin xcos2 x+ sin2 x = 1.

Dowód:

Program, który przybliża wartości funkcji sin w oparciu o szereg w uwadze 13.2.3 przedstawiono na listingach 13.1(Mathematica) i 13.2 (C++).


� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ S i n S e r i e s . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Obl i c zan i e f u n k c j i s i n u s za pomocą r o z w i n i ę c i a w s z e r e g ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std ;

int main ( ){

cout << f i x e d << r i g h t ;cout << s e t p r e c i s i o n ( 1 5 ) ;

double pi =3.141592653589793;double x=pi /6 ;double y=x ;

int nmax=10, znak=1, s i l n i a =1;double s =0;for ( int n=0;n<nmax ; n=n+1){

s=s+znak∗y/ s i l n i a ;cout << " s[" << setw (2) << n << "] =" << setw (18) << s ;cout << endl ;s i l n i a=s i l n i a ∗(2∗n+2)∗(2∗n+3);y=y∗x∗x ;znak=−znak ;

}}� �

Listing 13.2: Wyznaczenie wartości funkcji sin w C++ w oparciu o rozwinięcie w szereg


Ćwiczenie komputerowe 13.2.4 • Sprawdź zachowanie się programu z listingu 13.2 dla zmiennej x inicjalizo-wanej wartościami π4 ,

π3 ,

π2 , π, 2π. Co obserwujesz w zachowaniu się ciągu przybliżeń? Jakie rodzą się pytania?

• Adaptuj program z listingów 13.1 i 13.2 do liczenia wartości funkcji cos wykorzystując fakt, że

cosx = 1− x2

1 · 2 + x4

1 · 2 · 3 · 4 − . . . =∞∑n=0

(−1)n x2n

(2n)! .

Oceń poprawność i przydatność implementacji wykorzystując argument, w którym wartość funkcji cos jest Ciznana.

Lemat 13.2.5 Zachodzą następujące wzory

cos 0 = 1, sin 0 = 0,cos 2 < 0,

x ∈ (0, 2] ⇒ sin x > 0.

Dowód:

13.2.3 Liczba πDysponujemy teraz wystarczającą maszynerią, by podać analityczną, a nie geometryczną definicję liczby π.

Wniosek 13.2.6 Zbiór dodatnich miejsc zerowych funkcji cos jest domknięty i niepusty. W szczególności jego kresdolny jest dodatni i też jest miejscem zerowym funkcji cos.

Definicja 13.2.7 Liczbę π definiujemy jako podwojone najmniejsze dodatnie miejsce zerowe funkcji cos. Innymi słowy

π := 2 inf {x ∈ R+ | cosx = 0 }.

13.2.4 Okresowość

Definicja 13.2.8 Niech F oznacza ciało liczb rzeczywistych lub ciało liczb zespolonych. Mówimy, że funkcja f : F−→◦ Fjest okresowa wtedy i tylko wtedy gdy istnieje takie t ∈ F , że dla każdego x ∈ dom f mamy x + t ∈ dom f orazf(x + t) = f(x). Liczbę t nazywamy wtedy okresem funkcji f . Jeśli istnieje najmniejszy okres dodatni funkcji fnazywamy go okresem podstawowym funkcji f


Twierdzenie 13.2.9 Mamy następujące własności:

(i) funkcja exp : C→ C jest okresowa o okresie 2πi,

(ii) funkcje sin, cos : R→ [−1, 1] są okresowe o okresie 2π,

(iii) t ∈ (0, 2π) ⇒ eit 6= 1,

(iv) dla każdego z ∈ S1 istnieje dokładnie jedno t ∈ [0, 2π) takie, że eit = z.

Dowód:

Wniosek 13.2.10 Okresem podstawowym funkcji sin i cos jest 2π.

Dowód:

13.2.5 Wzory trygonometryczne

Twierdzenie 13.2.11 Dla dowolnych x, y ∈ R zachodzą wzory

sin(x+ y) = sin x cos y + cosx sin y,cos(x+ y) = cosx cos y − sin x sin y.


Dowód:

Twierdzenie 13.2.12 (wzór de Moivre’a) Dla dowolnego x ∈ R oraz n ∈ N zachodzi wzór

(cosx+ i sin x)n = cosnx+ i sinnx.

Dowód:

Część III

Rachunek różniczkowy i całkowy

211

Rozdział 14

Przestrzenie wektorowe

14.1 Definicja przestrzeni wektorowejZaproponowana przez Kartezjusza algebraizacja geometrii poprzez wprowadzenie układu współrzednych na płaszczyznie oraz geometryczna interpretacja liczbzespolonych zaowocowały wprowadzeniem w XIXw. koncepcji wektorów jako zaczepionych w poczatku układu n-wymiarowej przestrzeni zorientowanych od-cinków, które mozna dodawac podobnie jak dodaje sie liczby rzeczywiste i zespolone. Intuicyjne wyobrazenie geometryczne wektora mozliwe jest jedynie wprzestrzeni dwu- i trójwymiarowej, bo jedynie z takimi przestrzeniami maja do czynienia nasze zmysły. Od strony algebraicznej wektor to po prostu układ n liczbzwanych współrzednymi wektora. Dodawanie wektorów metoda geometryczna sprowadza sie do konstrukcji przekatnej rozpietego na wektorach równoległoboku.W przypadu płaszczyzny pokrywa sie to z geometryczna interpretacja sumy liczb zespolonych przedstawiona na rysunku 8.4. Wektory wraz z operacja dodawaniastanowia grupe. Poza wymiarem dwa wektory nie da sie jednak zdefiniowac mnozenia wektorów tak, by uzyskac strukture ciała. Mozliwe jest jednak mnozeniewektora przez liczbe, które sprowadza sie do stosownej zmiany jego długosci i, w przypadku mnozenia liczby ujemnej, symetrycznego odbicia wzgledem poczatkuukładu.

Powyzsze idee prowadza do koncepcji przestrzeni wektorowej nad zadanym ciałem.

14.1.1 Przestrzeń wektorowa

Definicja 14.1.1 Niech F będzie ciałem i niech 1 oznacza element neutralny względem mnożenia w ciele F . Prze-strzenią wektorową nad F nazywamy piątkę (X,F,+, ·, 0) taką, że (X,+, 0) jest grupą abelową, a

· : F ×X → X

jest działaniem (tzw. działaniem zewnętrznym) spełniającym dla dowolnych α, β ∈ F oraz x, y ∈ X warunki

(W1) (α+ β)x = αx+ βx,

(W2) α(x+ y) = αx+ αy,

(W3) α(βx) = (αβ)x,

(W4) 1.x = x.

Elementy ciała F określa się często mianem skalarów, a o działaniu zewnętrznym mówi się, że jest to mnożenie przezskalary. Klasę przestrzeni wektorowych nad ciałem F oznaczać będziemy Vect(F ).

213

214 ROZDZIAŁ 14. PRZESTRZENIE WEKTOROWE

Przykład 14.1.2 Klasycznym przykładem przestrzeni wektorowej jest Rn nad ciałem R. Elementami tej przestrzenisą n-tki (zwane również krotkami lub po prostu wektorami) postaci x = (x1, x2, . . . xn), gdzie xi ∈ R są liczbamirzeczywistymi. Sumę x = (x1, x2, . . . xn) i y = (y1, y2, . . . yn) definiuje się wzorem

x+ y := (x1 + y1, x2 + y2, . . . xn + yn),

a mnożenie wektora x przez skalar α ∈ R wzorem

αx := (αx1, αx2, . . . αxn).

Łatwo sprawdzić, że jest to rzeczywiście przestrzeń wektorowa. W podobny sposób konstruujemy przestrzeń wektorowąFn dla dowolnego ciała F , na przykład dla ciała liczb zespolonych.

Przykład 14.1.3 Niech A będzie dowolnym ustalonym zbiorem. Niech F (A,R) oznacza zbiór wszystkich funkcjif : A→ R. Dla f, g ∈ F (A,R) definiujemy sumę f + g jako funkcję

f + g : A 3 x 7→ f(x) + g(x) ∈ R,

a mnożenie funkcji f przez skalar α ∈ R jako funkcję

αf : A 3 x 7→ αf(x) ∈ R.

Łatwo sprawdzić, że jest to rzeczywiście przestrzeń wektorowa. Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to w podobnysposób konostruujemy przestrzeń funkcji ciągłych z X do R oznaczaną jako C(A,R)

Przykład z przestrzenią wektorową funkcji ograniczonych sygnalizuje, że pożytki ze stosowania tego pojęcia mogą wy-kraczać poza wektory na płaszczyźnie i ich uogólnienia na Rn. W istocie, można pokazać, że przestrzeń B(A) nie jestizomorficzna z przestrzenią Rn dla żadnego n.

14.2 Przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnymPoprzez interpretacje wektorów na płaszczyznie jako liczb zespolonych wiemy, ze mozna je nie tylko dodawac, ale i mnozyc z zachowaniem własnosci ciała.Uzyskanie struktury ciała dla wektorów w przestrzeni trówymiarowej i wyzszych wymiarach nie jest mozliwe. Natomiast bardzo pozyteczny jest iloczyn skalarny.Jest to odwzorowanie, które parze wektorów (v, w) przyporzadkowuje liczbe v · w bedaca iloczynem długosci wektora w przez długosc rzutu prostopadłegowektora v na prosta, w której zawiera sie wektor w, wzieta ze znakiem plus, jesli kat miedzy wektorami jest ostry i znakiem minus w przeciwnym razie. Łatwosprawdzic, ze tak zdefiniowany iloczyn skalarny jest przemienny i wyraza sie wzorem

v · w = |v||w| cosα

gdzie |v| i |w| oznaczaja długosci wektorów v iw, a α jest katem pomiedzy nimi. Ze wzoru tego wynikaja od razu najwazniejsze własnosci iloczynu skalarnego:wektory v iw sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy v · w = 0 oraz v · v = |v|2.

W praktyce wygodne jest przyjecie aksjomatycznej definicji iloczynu skalarnego.

14.2.1 Iloczyn skalarny

14.3. PRZESTRZENIE WEKTOROWE UNORMOWANE 215

Definicja 14.2.1 Niech X będzie przestrzenią wektorową nad R. Odwzorowanie ϕ : X×X → R nazywamy iloczynemskalarnym jeżeli dla wszystkich x, y, z ∈ X oraz α ∈ R spełnione są następujące warunki:

(IS1) ϕ(x+ y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z),

(IS2) ϕ(αx, y) = αϕ(x, y),

(IS1) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),

(IS1) ϕ(x, x) 0 i ϕ(x, x) = 0 ⇔ x = 0.

Iloczynem skalarnym w Rd jest odwzorowanie

(x1, x2, . . . , xd), (y1, y2, . . . , yd) 7→d∑i=1

xiyi.

Wzór na iloczyn skalarny w Rd jest podstawa definiowania ilocznu skalarnego w innych przestrzeniach. W szczególnosci w pewnych przestrzeniach ciagówiloczynem skalarnym jest

∑∞i=1 xiyi, a w pewnych przestrzeniach funkcyjnych iloczynem skalarnym jest

∫ baf(x)g(x)dx.

14.2.2 Nierówność Cauchy-Schwartza

Twierdzenie 14.2.2 (Nierówność Cauchy-Schwartza) Niech X będzie przestrzenią wektorową nad R z iloczynemskalarnym ϕ. Dla dowolnych x, y ∈ X mamy

|ϕ(x, y)| ¬√ϕ(x, x)

√ϕ(y, y).

Dowód: Rozważmy funkcjęµ : R 3 t 7→ ϕ(x+ ty, x+ ty) ∈ [0,∞).

Wykorzystując własności iloczynu skalarnego dostajemy dla dowolnego t ∈ [0,∞)

0 ¬ µ(t) = t2ϕ(x, x) + 2tϕ(x, y) + ϕ(y, y).

Zatem wyróżnik w tej nierówności kwadratowej musi być niedodatni, tj.

4ϕ(x, y)2 − 4ϕ(x, x)ϕ(y, y) ¬ 0

co dowodzi tezy. �

Wniosek 14.2.3 Dla (x1, x2, . . . , xd), (y1, y2, . . . , yd) ∈ Rd mamy

|d∑i=1

xiyi| ¬

√√√√ d∑i=1

x2i

√√√√ d∑i=1

y2i .

14.3 Przestrzenie wektorowe unormowaneW przestrzeniach wektorowych przydałoby się pojęcie odległości, tak byśmy mogli nadać jej strukturę przestrzeni metryczneji rozważać zbiory otwarte i domknięte oraz granice. Jeśli mamy do dyspozycji koncepcję długości wektora, to odległość dwóchwektorów można zdefiniować jako długość ich różnicy. Dlatego przydałaby się aksjomatyczna definicja długości wektora, któragwarantowałaby, że wydobyć z niej można odległość.


14.3.1 Norma

Definicja 14.3.1 Niech X będzie przestrzenią wektorową nad R. Odwzorowanie || · || : X → R∗ nazywamy normą wX jeżeli dla wszystkich x, y ∈ X oraz α ∈ R

(N1) ||x|| = 0 ⇔ x = 0,

(N2) ||αx|| = |α| ||x||,

(N3) ||x+ y|| ¬ ||x||+ ||y||.

Twierdzenie 14.3.2 Jeśli ϕ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej X, to

||x||ϕ :=√ϕ(x, x)

zadaje w tej przestrzeni normę.

Dowód: Własności (N1) i (N2) są oczywiste. Aby sprawdzić własność (N3) zauważmy, że

||x+ y||2ϕ = ϕ(x+ y, x+ y) = ϕ(x, x) + 2ϕ(x, y) + ϕ(y, y) ¬ ϕ(x, x) + 2√ϕ(x, y)

√ϕ(x, y) + ϕ(y, y) = (||x||ϕ + ||y||ϕ)2

�

14.3.2 Norma euklidesowa

Definicja 14.3.3 Normę w Rd pochodzącą od iloczynu skalarnego∑di=1 xiyi, tj. normę daną wzorem ||x|| :=√∑d

i=1 x2i nazywamy normą euklidesową.

W Rd zadać można również normy nie pochodzące od iloczynu skalarnego, na przykład normą jest ||x||1 :∑di=1 |xi|.

Definicja 14.3.4 Przestrzeń wektorową nad ciałem F z zadaną normą nazywamy przestrzenią wektorową unormo-waną. Klasę takich przestrzeni oznaczać będziemy NVect(F ).

14.3.3 Przestrzenie Hilberta i Banacha

Twierdzenie 14.3.5 Niech ||.|| będzie normą w przestrzeni wektorowej X. Wtedy wzór

ρ(x, y) := ||x− y||

określa w X metrykę.

�

14.3. PRZESTRZENIE WEKTOROWE UNORMOWANE 217

Rysunek 14.1: Stefan Banach, 1892 - 1945

Definicja 14.3.6 Przestrzeń wektorową z iloczynem skalarnym, zupełną nazywamy przestrzenią Hilberta. Przestrzeńwektorową unormowaną, zupełną nazywamy przestrzenią Banacha.

Pojecie przestrzeni Hilberta i przestrzeni Banacha pozwala metody opracowane dla przestrzeni Rn stosowac w przestrzeniach funkcyjnych. Sa to róznegorodzaju przestrzenie, w których role wektorów pełnia funkcje.


Rozdział 15

Pochodne i różniczki.

15.1 Pochodna funkcji15.1.1 Definicja pochodnejW rozdziale wstepnym wprowadzilismy intuicyjna koncepcje pochodnej funkcji f : R→ R w punkcie x0 jako współczynnika kierunkowego nachylenia stycznejdo wykresu poprowadzonej w punkcie (x0, f(x0)). Współczynnik kierunkowy prostej w układzie współrzednych x i y to tangens kata jaki tworzy ta prosta z osiax. Łatwo jest policzyc ten współczynnik dla siecznej poprowadzonej przez punkty (x0, f(x0)) i (x1, f(x1)). Z rysunku 15.1 wnosimy, ze tangens ten to iloraz

f(x1)− f(x0)x1 − x0

,

zwany ilorazem róznicowym. Ustalajac x0 i przyblizajac x1 do x0 przyblizamy sieczna do stycznej w (x0, f(x0)). Mozna zatem oczekiwac, ze współczynnikkierunkowy siecznej zmierza do współczynnika kierunkowego stycznej. Niech h := x1 − x0 bedzie przyrostem zmiennej x wzgledem punktu x0. Ilorazróznicowy mozna wtedy zapisac jako

f(x0 + h)− f(x0)h

,

a współczynnik kierunkowy stycznej w (x0, f(x0)) jako

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

(15.1)

co prowadzi do definicji pochodnej funkcji f w punkcie x0.Choc powyzsza interpretacja dotyczy funkcji o wartosciach w zbiorze liczb rzeczywistych, granica (15.1) ma sens równiez wtedy, gdy funkcja f ma wartosci

w przestrzeni wektorowej Rm, zatem nasza formalna definicja bedzie nieco ogólniejsza.Niech f : (a, b) → Rm będzie funkcją określoną na przedziale otwartym (a, b) ⊂ R o wartościach w Rm. Ustalmy punkt

x0 ∈ (a, b)

Definicja 15.1.1 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 jeżeli w Rm istnieje granica

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

.

Granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f ′(x0). Jeśli f ma pochodną w każdym punkciex ∈ (a, b) to mówimy, że f jest różniczkowalna na przedziale (a, b) i definiujemy również funkcję

f ′ : (a, b) 3 x 7→ f ′(x) ∈ Rm,

którą nazywamy funkcją pochodną funkcji f .

219

220 ROZDZIAŁ 15. POCHODNE I RÓŻNICZKI.

Rysunek 15.1: Styczna i sieczna do krzywej.

Pochodzenie okreslenia "rózniczkowalna" wyjasnimy w rozdziale 15.2.4.

15.1.2 Pochodna funkcji stałej i identycznościowej.

Twierdzenie 15.1.2 (o pochodnej funkcji stałej) Funkcja stała

cR : (∞,∞) 3 x 7→ c ∈ R.

ma pochodną w każdym punkcie oraz(cR)′ = 0R

co czasami zapisujemy mniej formalnie, ale krócej jako

c′ = 0.

Dowód: Rzeczywiście, dla funkcji stałej iloraz różnicowy wynosi

cR(x+ h)− cR(x)h

= c− ch

= 0,

więc granica ilorazu różnicowego jako granica funkcji stale równej zero wynosi zero. Dowodzi to naszej tezy. �


Twierdzenie 15.1.3 (o pochodnej identyczności) Funkcja identycznościowa

idR : R 3 x 7→ x ∈ R.

ma pochodną w każdym punkcie oraz(idR)′ = 1R

co czasami zapisujemy mniej formalnie, ale krócej jako

x′ = 1.

Dowód: Dla funkcji identycznościowej iloraz różnicowy wynosi

idR(x+ h)− idR(x)h

= (x+ h)− xh

= h

h= 1,

więc granica ilorazu różnicowego jako granica funkcji stale równej jeden wynosi jeden. Dowodzi to naszej tezy. �

Przykład 15.1.4 Rozważmy funkcjęf : R 3 x 7→ |x| ∈ R.

Jeśli x jest dodatnie, to dla dostatecznie małych h również x+ h jest dodatnie, zatem wtedy |x| = x, |x+ h| = x+ hczyli w tym przypadku iloraz różnicowy wynosi

f(x+ h)− f(x)h

= |x+ h| − |x|h

= (x+ h)− xh

= h

h= 1.

Jeśli x jest ujemne, to dla dostatecznie małych h również x+ h jest ujemne, zatem wtedy |x| = −x, |x+ h| = −x− hczyli w tym przypadku iloraz różnicowy wynosi

f(x+ h)− f(x)h

= |x+ h| − |x|h

= (−x− h)− (−x)h

= −hh

= −1.

Dla x = 0 iloraz różnicowy może wynosić tak jeden jak i minus jeden, w zależności od znaku h, więc nie ma granicy.Podsumowując,

f ′(x) =

−1 gdy x < 0,nie istnieje gdy x = 0,1 gdy x > 0.

15.1.3 Pochodna lewo- i prawostronna.

Ostatni przykład podpowiada, że, podobnie jak w przypadku granicy, warto też rozważać pochodne lewo- i prawostronne.Niech f : [a, b]→ Rm będzie funkcją określoną na przedziale domkniętym [a, b].


Definicja 15.1.5 Niech x0 ∈ (a, b]. Mówimy, że f ma pochodną lewostronną w x0 jeśli w Rm istnieje granica lewo-stronna

limh→0−

f(x0 + h)− f(x0)h

. (15.2)

Granicę tę nazywamy pochodną lewostronną funkcji f w x0 i oznaczamy f ′−(x0). Podobnie, jeśli x0 ∈ [a, b) to mówimy,że f ma pochodną prawostronną w x0 jeśli w Rm istnieje granica prawostronna

limh→0+

f(x0 + h)− f(x0)h

. (15.3)

Granicę tę nazywamy pochodną prawostronną funkcji f w x0 i oznaczamy f ′+(x0).

Przykład 15.1.6 Funkcja f w przykładzie 15.1.4 ma w zerze pochodną lewostronną równą -1 oraz pochodną prawo-stronną równą 1.

Ćwiczenie 15.1.7 Pokaż, że funkcja f : (a, b) → Rm ma w punkcie x0 ∈ (a, b) pochodną wtedy i tylko wtedy gdyma w tym punkcie tak pochodną lewostronną jak i prawostronną i są one sobie równe.

W dalszym ciągu wygodnie będzie również rozważać różniczkowalność funkcji określonej na przedziale domkniętym.

Definicja 15.1.8 Mówimy, że funkcja f : [a, b] → Rm jest różniczkowalna jeśli ma pochodną w każdym punkcieprzedziału (a, b), pochodną prawostronną w a i pochodną lewostronną w b.

W przypadku funkcji różniczkowalnej f : [a, b] → Rm wygodnie jest mówić krótko o pochodnej f w a i w b rozumiejącprzez to odpowiednio pochodną prawostronną w a i lewostronną w b.

15.1.4 Ciągłość funkcji różniczkowalnejW dalszych rozdziałach podamy szereg twierdzeń gwarantujących istnienie pochodnej, co pozwoli nam konstruować znaczniebardziej zaawansowane przykłady. Na koniec tego rozdziału podajmy następujące twierdzenie określające warunek koniecznyistnienia pochodnej.

Twierdzenie 15.1.9 Jeśli funkcja f : (a, b)→ Rm ma w punkcie x0 ∈ (a, b) pochodną to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód: Aby pokazać ciągłość f w x0 ustalmy ε > 0. Na mocy definicji pochodnej istnieje granica

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

.

Z definicji granicy dla ε′ = 1 znajdziemy δ′ > 0 takie, że jeśli h ∈ (−δ′, δ′) to∣∣∣∣f(x0 + h)− f(x0)h

− f ′(x0)∣∣∣∣ < 1.

W szczególności ∣∣∣∣f(x0 + h)− f(x0)h

∣∣∣∣ ¬ ∣∣∣∣f(x0 + h)− f(x0)h

− f ′(x0)∣∣∣∣+ |f ′(x0)| < 1 + |f ′(x0)|. (15.4)

Weźmy δ := min(δ′, ε1+|f ′(x0)| ). Z (15.4) dla h ∈ (−δ, δ) mamy

|f(x0 + h)− f(x0)| < (1 + |f ′(x0)|)|h| ¬ ε

co pokazuje, że limh→0 f(x) = f(x0) i dowodzi, że f jest ciągła w x0. �

15.2. RÓŻNICZKA FUNKCJI 223

Rysunek 15.2: Aproksymacja liniowa funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) w lokalnym układzie współrzędnych (x, y).

Ćwiczenie 15.1.10 Uogólnić twierdzenie 15.1.9 na przypadek funkcji f : [a, b]→ Rm.

15.2 Różniczka funkcji15.2.1 Aproksymacja liniowaInterpretacja pochodnej jako współczynnika kierunkowego nachylenia stycznej w danym punkcie do wykresu nie jest jedyna uzyteczna intuicja w tym kontekscie.Pojecie pochodnej wiaze sie równiez z idea przyblizania funkcji funkcja liniowa.

Definicja 15.2.1 Funkcja liniowa R→ Rn jednej zmiennej to funkcja postaci

R 3 t 7→ tv ∈ Rn

dla ustalonego v ∈ Rn. Wektor v (liczbę w przypadku n = 1) nazywać będziemy współczynnikiem funkcji liniowejjednej zmiennej.

Funkcję taką oznaczać będziemy Lv, lub krótko L, jeśli współczynnik v jest nieistotny. Łatwo sprawdzić, że funkcjaliniowa jest ciągła i w zerze ma wartość zero.

Uwaga 15.2.2 Jeśli L : R→ Rm jest funkcją liniową, to L = Lv dla v = L(1). Innymi słowy wartość funkcji liniowejdla argumentu jeden jest równa jej współczynnikowi.

Funkcja liniowa daje sie bardzo prosto wyliczac, wiec jest dobrym kandydatem na przyblizanie (lokalne) innych funkcji. Idea jest nastepujaca. Wiemy, zepewna funkcja f ma w punkcie x0 wartosc y0 := f(x0). Interesuje nas wartosc funkcji f w punkcie x1 bliskm x0, czyli y1 := f(x1). Czy dysponujacprzyrostem zmiennej x, czyli róznica x1−x0, mozemy przy pomocy pewnej funkcji liniowej wyliczyc przyblizenie przyrostu zmiennej y, czyli róznice y1− y0 =f(x1) − f(x0)? Podkreslmy, ze chodzi nam o funkcje liniowa w układzie współrzednych przesunietym do punktu (x0, y0), a wiec w układzie (x, y), gdziex := x − x0, y := y − y0, zwanym lokalnym układem współrzednych wzgledem punktu (x0, y0). Zwrócmy uwage, ze punkt o współrzednych (x0, y0) wlokalnym układzie współrzednych ma współrzedne (0, 0). Nasze pytanie mozna wiec sformułowac nastepujaco (rys. 15.2):


Czy istnieje funkcja liniowa L w lokalnym układzie współrzednych (x, y), taka ze

y1 − y0 ≈ y = L(x) = L(x1 − x0)?

Zwrócmy uwage, ze to pytanie nalezy uscislic. Jesli przyblizenie rozumiec bedziemy jako wymóg, by w granicy, przy x→ x0, popełniony bład, czyli wyrazenie

y1 − y0 − L(x1 − x0) = f(x1)− f(x0)− L(x1 − x0)

zmierzało do zera, to wymóg ten spełni kazda funkcja liniowa, bo jako ciagła ma w zerze granice równa wartosci, czyli zero. Naturalne jest jednak oczekiwanie, zeim blizej znajdziemy sie x0, tym przyblizenie bedzie lepsze.

Miara jakosci przyblizenia jest bład wzgledem przyrostu x = x1 − x0 mierzony ilorazem

y1 − y0 − L(x1 − x0)x1 − x0

= f(x0 + x)− f(x0)− L(x)x

.

Chcemy, by ten bład zmierzał do zera przy x → 0. Niech L = Lv . Przy uzyciu bardziej tradycyjnego oznaczenia h w miejsce x, nasz wymóg mozna zapisacjako

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)− hvh

= 0,

co jak łatwo sprawdzic, sprowadza sie do zadania, by

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

= v.

Tak wiec, jesli stosowne przyblizenie liniowe istnieje, to współczynnik v jest pochodna funkcji w punkcie x0.Czasami wygodnie jest patrzec na problem sprowadzony do zera. Jak widzielismy wygodnie jest przesunac układ współrzednych tak, by interesujacy nas

punkt był w poczatku układu. Wygodnie jest tez sprowadzic definiowania pochodnej do definiowania pochodnej równej zero. Z naszych wczesniejszych rozwazanwynika, ze pochodna równa zero oznacza, ze przyblizajaca funkcja liniowa ma współczynnik v równy zero. Funkcja liniowa z R do R o współczynniku zero mawykres bedacy linia pozioma przechodzaca przez poczatek układu współrzednych. Z drugiej strony, jesli pochodna wynosi zero, to mamy

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

= 0.

Zwrócmy uwage, ze funkcja, której granice tu rozwazamy jestϕ : h 7→ f(x0 +h)−f(x0), gdzie x0 traktujemy jako parametr. Przy tych oznaczeniach mamy

limh→0

ϕ(h)h

= 0.

Z definicji granicy wiemy, ze wtedy dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, ze dla |h| < δ mamy∣∣∣∣ϕ(h)h

∣∣∣∣ < ε

lub równowaznie|ϕ(h)| < ε|h|.

Funkcje o tej własnosci nazywamy płaska w zerze. Pojecie to wyjasnia rysunek 15.3.Uzywajac jezyka funkcji płaskich w zerze mozemy powiedziec, ze f ′(x) = a wtedy i tylko wtedy gdy funkcja

h 7→ f(x+ h)− f(x)− ah

jest płaska w zerze. Jest tak, bo dla h = 0 mamyf(x+ 0)− f(x)− a · 0 = 0,

a, jak niebawem bedziemy w stanie policzyc formlnie, pochodna tej funkcji w zerze wynosi f ′(x)− a.


Rysunek 15.3: Funkcja płaska w zerze. Każdy ze stożków po zawężeniu do stosownego otocznia zera zawiera fragmentwykresu.

15.2.2 Relacja "o małe"Aby sformalizować opisane w poprzednim podrozdziale intuicje zaczniemy od podania definicji relacji "o małe", która przydasię nie tylko w podaniu formalnej definicji płaskości w zerze, ale również w następnych rozdziałach.

Rozważmy f : (a, b) → Rm i g : (a, b) → R. Załóżmy ponadto, że istnieje V otoczenie x0 takie, że g(x) 6= 0 dlax ∈ V \ {x0}. Stawiamy definicję ogólną, ale warto zaznaczyć, że na początku interesować nas będzie głównie przypadekszczególny gdy g jest funkcją identycznościową, t.j. gdy g(x) = x.

Definicja 15.2.3 Mówimy, że funkcja f jest o małe od funkcji g w otoczeniu punktu x0 i piszemy

f(x) = o(g(x)) przy x→ x0,

jeżeli∀ε > 0 ∃δ > 0 |x− x0| < δ ⇒ ||f(x)|| < ε|g(x)|.

Następującą uwagę można wywnioskować wprost z definicji granicy.

Uwaga 15.2.4 Relacja f(x) = o(g(x)) przy x→ x0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy

f(x0) = 0 i limx→x0

||f(x)|||g(x)| = 0.

�

Z uwagi tej łatwo wyprowadzić następujący wniosek

Wniosek 15.2.5 Relacja f(x) = o(g(x)) przy x→ x0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja ciągła ϕ : V →Rm taka, że ϕ(x0) = 0 oraz f(x) = ϕ(x)g(x) dla x ∈ V .

Dowód: Wystarczy przyjąć

ϕ(x) :={f(x)g(x) dla x 6= 0,0 dla x = 0.

�Z kolei z twierdzenia o granicy sumy i różnicy natychmiast dostajemy następujący wniosek.


Wniosek 15.2.6 Jeśli istnieje V otoczenie x0 takie, że g(x) 6= 0 dla x ∈ V \ {x0} oraz funkcje fi : R−→◦ R spełniająfi(x) = o(g(x)) przy x→ x0 to również (f1 + f2)(x) = o(g(x)) i (f1 − f2)(x) = o(g(x)) przy x→ x0 �

15.2.3 Płaskość w zerzePodamy teraz formalną definicję płaskości funkcji w zerze. Niech f : (a, b) → Rm będzie funkcją o wartościach w Rm,określoną na przedziale otwartym (a, b) ⊂ R takim, że 0 ∈ (a, b).

Definicja 15.2.7 Mówimy, że f jest płaska w zerze jeżeli f(x) = o(x) przy x→ 0.

Następująca uwaga wynika wprost z uwagi 15.2.4.

Uwaga 15.2.8 Funkcja f jest płaska w zerze wtedy i tylko wtedy gdy f(0) = 0 oraz

limx→0

f(x)x

= 0.

Jeśli f jest płaska w zerze, to funkcja ϕ : (a, b)→ Rm zdefiniowana wzorem

ϕ(x) :={f(x)x gdy x 6= 0,

0 dla x = 0.

jest ciągła w zerze oraz f(x) = xϕ(x). Łatwo sprawdzić, że również na odwrót, jeśli funkcja ϕ o takich własnościach istnieje,to f jest płaska w zerze. Mamy zatem następującą uwagę.

Uwaga 15.2.9 Funkcja f jest płaska w zerze wtedy i tylko wtedy gdy istnieje funkcja ϕ : (a, b)→ Rm ciągła w zerzetaka, że ϕ(0) = 0 oraz f(x) = xϕ(x) dla x ∈ (a, b).

15.2.4 RóżniczkowalnośćWrócmy teraz do idei przyblizania przyrostu funkcji funkcja liniowa. Wprowadzmy tradycyjne oznaczenia na przyrost wartosci argumentu i przyrost wartosci funkcji(róznice) w punkcie x0:

∆x := x− x0,

∆y := f(x)− f(x0).

Niech L = Lf ′(x0) bedzie funkcja liniowa przyblizajaca w loklanym układzie współrzednych przyrost funkcji f . Wtedy

∆y ≈ L(∆x) = f ′(x0)∆x, (15.5)

przy czym popełniony bład wzgledny jest tym mniejszy im mniejsze jest ∆x. Leibniz nie dysponował precyzyjnym aparatem i mówił, ze jesli ∆x jest nieskonczeniemałe, to przyblizona równosc (15.5) staje sie równoscia. Takie nieskonczenie małe róznice ∆x i ∆y nazywał rózniczkami (malusienkimi róznicami) i oznaczałdy i dx. Uzywajac jego jezyka napisalibysmy, ze rózniczki dx i dy spełniaja równanie

dy = f ′(x)dx. (15.6)

Problem w tym, ze rózniczki jako wielkosci nieskonczenie małe trudno jest precyzyjnie zdefiniowac. Pojecie rózniczki odczarował A. Cauchy, traktujac równanie(15.6) jako równanie odwzorowania liniowego przyblizajacego przyrost funkcji, a sama rózniczke definiujac jako to przyblizajace odwzorowanie liniowe. I tak dodzis rozumiemy rózniczke. Natomiast termin rózniczkowalnosc, ze wzgledu na bezposredni zwiazek pomiedzy rózniczka i pochodna, jest odnoszony zarówno doistnienia pochodnej jak i rózniczki, bo, jak zobaczymy, sa to fakty równowazne.


Jak poprzednio, niech f : (a, b)→ Rm będzie funkcją określoną na przedziale otwartym (a, b) ⊂ R o wartościach w Rm.Rozważmy przyrost funkcji f w punkcie x0 ∈ (a, b), t.j. funkcję ∆x0f : (a− x0, b− x0)→ Rm określoną wzorem

∆x0f(h) := f(x0 + h)− f(x0).

Definicja 15.2.10 Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 jeżeli istnieje funkcja liniowa L : R→ Rm taka,że funkcja ∆x0f − L, czyli różnica funkcji ∆x0f i funkcji L jest płaska w zerze. Odwzorowanie L nazywamy wtedyróżniczką funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy dx0f .

Aby powyższa definicja miała sens, musimy wiedzieć, że różniczka jest wyznaczona jednoznacznie. W istocie różniczkajest wyznaczona przez pochodną, jak pokazuje następujące rozumowanie. Jeśli L jest różniczką fukcji f w punkcie x0 to zpłaskości w zerze funkcji ∆x0f − L wnosimy, że

limh→0

∆x0f(h)− L(h)h

= 0.

Ponieważ L(h) = L(1)h, jest to równoważne warunkowi

limh→0

∆x0f(h)h

− L(1) = 0

oraz warunkowilimh→0

∆x0f(h)h

= L(1).

Ponieważ ∆x0f(h) = f(x0 + h) − f(x0), powyższa granica pokrywa się z granicą (15.1). Pokazaliśmy zatem następującąuwagę.

Uwaga 15.2.11 Funkcja liniowa L : R→ Rm jest różniczką funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy L(1) jestpochodną tej funkcji w punkcie x0. W szczególności f jest różniczkowalna w puncie x0 wtedy i tylko wtedy gdy f mapochodną w punkcie x0.

Tak więc, jeśli odwzorowanie liniowe L spełniające wymogi definicji 15.2.10 istnieje, to współczynnik L(1), a zatem i samoodwzorowanie L są wyznaczone jednoznacznie.

Z uwagi 15.2.11 wynika, ze stwierdzenia "f jest rózniczkowalna" i "f ma pochodna" moga byc uzywane zamiennie. Jednak pojecia rózniczki i pochodnej niesa tozsame, choc sa scisle powiazane: wartosc rózniczki dla argumentu jeden jest pochodna. Rózniczka jest odwzorowaniem liniowym, które przemnaza argumentprzez pochodna. Koncepcja rózniczki bazuje na aproksymacji liniowej funkcji w punkcie. Koncepcja pochodnej bazuje na stycznej do wykresu funkcji w punkcie.Zwiazek miedzy rózniczka, a pochodna mozna wiec tez wyrazic stwierdzajac, ze wykres aproksymacji liniowej funkcji f w zadanym punkcie jest prosta, którapokrywa sie ze styczna do wykresu funkcji f w tym punkcie.

Zauważmy, że jeśli funkcja jest płaska w zerze, to ma pochodną w zerze równą zero. Rzeczywiście, na mocy uwagi 15.2.8jeśli f jest płaska w zerze, to f(0) = 0 oraz limx→0

f(x)x = 0. Tę ostanią granicę można przepisać jako

0 = limx→0

f(x)x

= limh→0

f(0 + h)− f(0)h

co oznacza, że f ma w zerze pochodną zero. Łatwo zauważyć, że można przeprowadzić również odwrotne wnioskowanie.Prowadzi to do następującej uwagi.

Uwaga 15.2.12 Niech f : R−→◦ Rm będzie funkcją określoną w otoczeniu zera. Funkcja f jest płaska w zerze wtedy itylko wtedy gdy f(0) = 0 i f ′(0) = 0. �


15.3 Różniczkowanie sumy, różnicy, iloczynu i ilorazuNaturalne jest pytanie czy znając pochodną dwóch funkcji możemy wyznaczyć pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazutych funkcji. Jest tak w istocie, jak pokazują następujące twierdzenia.

Twierdzenie 15.3.1 (o pochodnej sumy i różnicy) Niech f, g : (a, b) → Rm będą różniczkowalne w punkciex0 ∈ (a, b). Wtedy funkcje f + g i f − g są różniczkowalne w x0 oraz

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) i (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0).

Dowód: Iloraz różnicowy dla sumy f + g to

(f + g)(x0 + h)− (f + g)(x0)h

= f(x0 + h)− f(x0)h

+ g(x0 + h)− g(x0)h

. (15.7)

Ponieważlimh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

= f ′(x0) i limh→0

g(x0 + h)− g(x0)h

= g′(x0),

więc z (15.7) wnosimy, że

limh→0

(f + g)(x0 + h)− (f + g)(x0)h

= f ′(x0) + g′(x0),

co dowodzi tezy dla sumy. Dla różnicy dowód jest analogiczny. �Twierdzenie o pochodnej iloczynu przedstawimy dla funkcji o wartościach w zbiorze liczb zespolonych C. Oczywiście

twierdzenie to obejmuje również przypadek funkcji o wartościach rzeczywistych, bo zbiór liczb rzeczywistych traktujemy jakopodzbiór zbioru liczb zespolonych. Jako ćwiczenie zostawimy przypadek, gdy jedna funkcja przyjmuje wartości skalarne, adruga wektorowe, a iloczyn funkcji jest rozumiany jako mnożenie skalara przez wektor oraz przypadek, gdy obie funkcje sąwektorowe, a iloczyn jest rozumiany jako iloczyn skalarny wektorów.

Twierdzenie 15.3.2 (o pochodnej iloczynu) Niech f, g : (a, b) → C będą różniczkowalne w punkcie x0 ∈ (a, b).Wtedy funkcja fg jest różniczkowalna w x0 oraz

(fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).

Dowód: Iloraz różnicowy dla iloczynu fg to

(fg)(x0 + h)− (fg)(x0)h

= f(x0 + h)g(x0 + h)− f(x0)g(x0)h

= f(x0 + h)g(x0 + h)− f(x0 + h)g(x0) + f(x0 + h)g(x0)− f(x0)g(x0)h

= f(x0 + h)g(x0 + h)− g(x0)h

+ f(x0 + h)− f(x0)h

g(x0)

Funkcja f jako różniczkowalna w x0 jest również ciągła w x0, więc

limh→0

(f(x0 + h)g(x0 + h)− g(x0)

h+ f(x0 + h)− f(x0)

hg(x0)

)= f(x0)g′(x0) + f ′(x0)g(x0).

Zatem z otrzymanego wyżej przedstawienia ilorazu różnicowego dla iloczynu również

(fg)′(x0) = limh→0

(fg)(x0 + h)− (fg)(x0)h

= f(x0)g′(x0) + f ′(x0)g(x0)

15.3. RÓŻNICZKOWANIE SUMY, RÓŻNICY, ILOCZYNU I ILORAZU 229

co dowodzi naszej tezy. �Z twierdzenia o pochodnej iloczynu i z faktu, że pochodna funkcji stałej wynosi zero dostajemy natychmiast następujący

wniosek.

Wniosek 15.3.3 Niech f : (a, b) → C będzie różniczkowalne w punkcie x0 ∈ (a, b) i niech c ∈ C będzie stałą. Wtedyfunkcja cf jest różniczkowalna w x0 oraz

(cf)′(x0) = cf ′(x0).

Z twierdzenia o pochodnej iloczynu wyprowadzimy też następujące twierdzenie

Twierdzenie 15.3.4 (o pochodnej funkcji potęgowej) Niech n ∈ N0 będzie ustaloną liczbą naturalną. Funkcjapotęgowa

R 3 x 7→ xn ∈ R

jest różniczkowalna. Jej pochodną jest funkcja

R 3 x 7→ nxn−1 ∈ R

co zapisujemy mniej formalnie, ale krócej jako(xn)′ = nxn−1.

Dowód: Dowód poprowadzimy indukcyjnie względem n. Dla n ∈ {0, 1} twierdzenie wynika natychmiast z twier-dzeń 15.1.2 i 15.1.3. Załóżmy, że n > 1 oraz że twierdzenie zachodzi dla k < n. Funkcja x 7→ xn jest wtedy iloczynemfunkcji identycznościowej oraz funkcji x 7→ xn−1. Z założenia indukcyjnego mamy ′xn−1)′ = (n − 1)xn−2, bo n − 1 < n.Zatem z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy

(xn)′ = (xxn−1)′ = x′xn−1 + x(n− 1)xn−2 = nxn−1


Ćwiczenie 15.3.5 Niech α : (a, b)→ R i f : (a, b)→ Rm będą różniczkowalne w x0 ∈ (a, b). Pokaż, że funkcja

αf : (a, b) 3 x 7→ α(x)f(x) ∈ Rm

jest różniczkowalna w x0 oraz(αf)′(x0) = α′(x0)f(x0) + α(x0)f ′(x0).

Wyprowadź stosowny wniosek gdy funkcja α lub funkcja f jest stała.

Ćwiczenie 15.3.6 Niech f, g : (a, b)→ Rm będą różniczkowalne w x0 ∈ (a, b). Pokaż, że funkcja

f · g : (a, b) 3 x 7→ f(x) · g(x) ∈ R

jest różniczkowalna w x0 oraz(f · g)′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0).

Wyprowadź stosowny wniosek gdy funkcja f lub funkcja g jest stała.


Twierdzenie 15.3.7 (o pochodnej ilorazu) Niech f, g : (a, b) → C będą różniczkowalne w x0 ∈ (a, b) i niechg(x0) 6= 0. Wtedy funkcja

x 7→ f(x)g(x)

jest dobrze określona w pewnym otoczeniu x0 i różniczkowalna w x0 oraz(f

g

)′(x0) = f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

(g(x0))2 .

Dowód: Zauważmy, że funkcja g jako różniczowalna w x0 jest ciągła w x0, skąd wnosimy, że własność g(x0) 6= 0 przenosisię na pewne otoczenie x0. Zatem iloraz funkcji f i g jest dobrze określony w pewnym otoczeniu punktu x0. Iloraz różnicowydla ilorazu funkcji f i g to(

fg

)(x0 + h)−

(fg

)(x0)

h=

f(x0+h)g(x0+h) −

f(x0)g(x0)

h

= f(x0 + h)g(x0)− f(x0)g(x0 + h)hg(x0)g(x0 + h)

= f(x0 + h)g(x0)− f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0)− f(x0)g(x0 + h)hg(x0)g(x0 + h)

= (f(x0 + h)− f(x0)) g(x0)− f(x0) (g(x0 + h)− g(x0))hg(x0)g(x0 + h)

=f(x0+h)−f(x0)

h g(x0)− f(x0) g(x0+h)−g(x0)h

g(x0)g(x0 + h)

Przechodząc w otrzymanej równości z h do granicy w zerze dostajemy tezę. �

Twierdzenie 15.3.8 (o pochodnej zestawienia) Niech fi : (a, b) → C będą funkcjami różniczkowalnymi w x0 ∈(a, b) dla i = 1, 2, . . .m. Wtedy zestawienie f := (f1, f2, . . . fm) : (a, b)→ Cm jest różniczkowalne w x0 oraz

f ′(x0) = (f ′1(x0), f ′2(x0), . . . , f ′m(x0))

Dowód: Teza wynika natychmiast z twierdzenia o granicy zestawienia funkcji (tw. 10.8.1), gdyż

f(x0 + h)− f(x0)h

=(fi(x0 + h)− fi(x0)

h

)mi=1

�

15.4 Różniczkowanie funkcji złożonejBardzo przydatna w liczeniu pochodnych jest informacja jak pochodna złożenia funkcji wyraża się poprzez pochodne funkcjiskładanych. Nim przedstawimy stosowne twierdzenie, zajmiemy się twierdzeniem pomocniczym, które przyda się nam późniejw dowodzie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia.

Zauwazmy, ze jesli f : R−→◦ Rm jest rózniczkowalna w x0 ∈ R, to funkcja h 7→ ∆x0f(h)h − f ′(x0) ma w zerze granice zero, choc sama w zerze

nie jest zdefiniowana, bo ułamek ∆x0f(h)h dla h = 0 nie ma sensu. Mozemy jednak rozszerzyc te funkcje do funkcji r : R−→◦ Rm, która z definicji w zerze

przyjmuje wartosc zero. Bedzie to funkcja ciagła i bedzie spełniac wzór

∆x0f(h)− hv = hr(h).

15.4. RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOŻONEJ 231

Okazuje sie, ze implikacja odwrotna równiez zachodzi, co prowadzi do nastepujacego twierdzenia.

Twierdzenie 15.4.1 Niech f : R−→◦ Rm będzie funkcją określoną w otoczeniu x0 ∈ R. Wtedy różniczkowalność f wx0 jest równoważna istnieniu funkcji r : R−→◦ Rm określonej i ciągłej w otoczeniu zera oraz wektora v ∈ Rm takich, że

r(0) = 0∆x0f(h)− hv = hr(h).

Dowód: Załóżmy najpierw, że f jest różniczkowalna w x0. Połóżmy v := f ′(x0) oraz zdefiniujmy funkcję r wzorem

r(h) :={

∆x0f(h)h − v gdy x 6= 0

0 w przeciwnym razie.

Oczywiście r jest określona w otoczeniu zera i spełnia wzór (15.8) Ponieważ f ′(x0) = v, więc

limh→0

∆x0f(h)h

− v = 0

co oznacza, że r jest również ciągła. Na odwrót, jeśli funkcja o postulowanych własnościach istnieje, to z jej ciągłości w zerzewynika, że istnieje granica

limh→0

∆x0f(h)h

,

a tym samym f jest różniczkowalna w x0.

Twierdzenie 15.4.2 (o pochodnej złożenia funkcji) Niech f : (a, b) → (c, d) będzie funkcją różniczkowalną wx0 ∈ (a, b), a g : (c, d)→ Rm funkcją różniczkowalną w f(x0). Wtedy złożenie g ◦ f jest różniczkowalne w x0 oraz

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0).

Dowód: Z założenia o różniczkowalności f w x0 i g w f(x0) oraz z twierdzenia 15.4.1 wnosimy, że istnieje V otoczeniezera oraz ciągłe, zerujące się w zerze funkcje ϕ,ψ : V → R takie, że dla h, k ∈ V

∆x0f(h) = f(x0 + h)− f(x0) = (f ′(x0) + ϕ(h))h (15.8)∆f(x0)g(k) = g(f(x0) + k)− g(f(x0)) = (g′(f(x0)) + ψ(k)) k. (15.9)

Ponieważ funkcja h 7→ (f ′(x0) + ϕ(h))h jest ciągła i zeruje się w zerze, więc istnieje W otoczenie zera takie, że dla h ∈ Wmamy

(f ′(x0) + ϕ(h))h ∈ V.Zatem wzór (15.9) zachodzi również dla k = (f ′(x0) + ϕ(h))h przy h ∈ V . Mamy zatem dla h ∈ V

g(f(x0) + (f ′(x0) + ϕ(h))h)− g(f(x0)) = (g′(f(x0)) + ψ(f ′(x0) + ϕ(h))h) (f ′(x0) + ϕ(h))h. (15.10)

Wykorzystując (15.8) oraz (15.10) otrzymujemy

∆x0(g ◦ f)(h) = g(f(x0 + h))− g(f(x0)) = g(f(x0) + (f ′(x0) + ϕ(h))h)− g(f(x0))= (g′(f(x0)) + ψ(f ′(x0) + ϕ(h))h) (f ′(x0) + ϕ(h))h.

Stąd∆x0(g ◦ f)(h)

h= (g′(f(x0)) + ψ(f ′(x0) + ϕ(h))h) (f ′(x0) + ϕ(h)) .

Ponieważ tak ψ jak i ϕ zmierzają do zera przy h zmierzającym do zera, prawa strona powyższej równości zmierza dog′(f(x0))f ′(x0). Zatem również lewa strona jest zbieżna do g′(f(x0))f ′(x0). Dowodzi to tezy, bo lewa strona to ilorazróżnicowy dla funkcji g ◦ f w x0. �


15.5 Różniczkowanie funkcji wykładniczej i funkcji trygonometrycznychW rozdziale tym podamy wzory na pochodna funkcji wykładniczej oraz funkcji trygonometrycznych. Wzory te uzyskamy badajac pochodna funkcji

R 3 t 7→ etz ∈ C (15.11)

dla ustalonej liczby zespolonej z ∈ C. Stosowny wzór podamy dla dowolnego zespolonego z, ale interesowac nas beda głównie przypadki gdy z jest liczbarzeczywista badz liczba urojona i.

Zauwazmy, ze iloraz róznicowy dla funkcji (15.11) ma postac

e(t+h)z − etz

h= etz

ehz − 1h

,

wiec interesowac nas bedzie granica limh→0ehz−1h .

Lemat 15.5.1 FunkcjaC \ {0} 3 u 7→ eu − 1

u∈ C

ma w zerze granicę równą jeden.

Dowód: Przypomnijmy, że zgodnie z definicją 13.1.3 mamy

eu =∞∑n=0

un

n! ,

skąd

eu − 1 =∞∑n=1

un

n! ,

bo u0

0! = 1. Zatem dla dowolnego u ∈ C \ {0} mamy∣∣∣∣eu − 1u− 1∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∑∞n=0

un

n! − 1u

− 1

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∑∞n=1

un

n!u

− 1

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑n=1

un−1

n! − 1

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∞∑n=2

un−1

n!

∣∣∣∣∣ ¬∞∑n=2

|u|n−1

n! = |u|∞∑n=2

|u|n−2

n!

Ponieważ interesuje nas tylko otoczenie zera, możemy założyć, że |u| < 1. Dla takich u dostajemy∣∣∣∣eu − 1u− 1∣∣∣∣ ¬ |u| ∞∑

n=2

1n! ¬ |u|e.

Tak więc dla |u| < 1 mamy

0 ¬∣∣∣∣eu − 1

u− 1∣∣∣∣ ¬ |u|e.

Ponieważ prawa strona tej nierówności zmierza do zera przy u zmiarzającym do zera, z twierdzenia o trzech funkcjachwnosimy, że

limu→0

∣∣∣∣eu − 1u− 1∣∣∣∣ = 0,


15.5. RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WYKŁADNICZEJ I FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH 233

Twierdzenie 15.5.2 FunkcjaR 3 t 7→ etz ∈ C

jest różniczkowalna, a jej pochodną jest funkcja

R 3 t 7→ zetz ∈ C

Dowód: Dla z = 0 rozważana funkcja jest stale równa jeden, zatem jest różniczkowalna, a jej pochodną jest funkcja stalerówna zero, co jest zgodne z tezą twierdzenia. Załóżmy zatem, że z 6= 0. Pochodną rozważanej funkcji w punkcie z jest

limh→0

e(t+h)z − ez

h= etz lim

h→0

ehz − 1h

= zetz limh→0

ehz − 1hz

= zetz,

bo z lematu 15.5.1 wiemy, że

limh→0

ehz − 1hz

= limu→0

eu − 1u

= 1.

�

Wniosek 15.5.3 (o różniczkowaniu rzeczywistej funkcji wykładniczej) Rzeczywista funkcja wykładnicza

R 3 x 7→ ex ∈ R+

jest różniczkowalna, a jej pochodną jest ona sama, co nieprecyzyjnie, ale zwięźle zapisujemy jako

(ex)′ = ex.

Dowód: Tezę dostajemy natychmiast z twierdzenia 15.5.2 po podstawieniu za z stałej jeden. �

Twierdzenie 15.5.4 (o różniczkowaniu funkcji trygonometrycznych) Funkcje trygonometryczne: sin, cos, tg,ctg są różniczkowalne w swojej dziedzinie i zachodzą wzory

(sin t)′ = cos t, (cos t)′ = − sin t, (tg t)′ = 1cos2 x

, (ctg t)′ = − 1sin2 x

.

Dowód: Z twierdzenia 15.5.2 dla z = i oraz dla z = −i mamy

(sin t)′ =(eit − e−it

2i

)′= 1

2i((eit)′ − (e−it)′

)= 1

2i(ieit + ie−it

)= eit + e−it

2 = cos t.

Podobnie

(cos t)′ =(eit + e−it

2

)′= 1

2((eit)′ + (e−it)′

)= 1

2(ieit − ie−it

)= −e

it − e−it

2i = − sin t.

Z twierdzenia o granicy ilorazu mamy

(tg t)′ =(

sin tcos t

)′= (sin t)′ cos t− sin t(cos t)′

cos2 t= cos t cos t− sin t(− sin t)

cos2 t= 1

cos2 t.

Podobnie(ctg t)′ =

(cos tsin t

)′= (cos t)′ sin t− cos t(sin t)′

sin2 t= − sin t sin t− cos t(cos t)

sin2 t= − 1

sin2 t.

�


15.6 Nieciągłości pochodnej i funkcje klasy C1.W przykładzie 15.1.4 pokazaliśmy, że funkcja x 7→ |x| nie posiada w zerze pochodnej. Oczywiście poza zerem jest różniczko-walna. Jej nieróżniczkowalność w zerze bierze się stąd, że pochodne lewostronna i prawostronna, choć istnieją, nie są sobierówne. Poniższy przykład pokazuje, że nawet pochodne jednostronne mogą w pewnym punkcie nie istnieć.

Przykład 15.6.1 Rozważmy funkcję

R 3 x 7→

{x sin 1

x gdy x 6= 0,0 dla x = 0.

Funkcja ta jest ciągła, a dla x 6= 0 różniczkowalna na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu iloczynu, funkcji złożoneji ilorazu. Dla x = 0 iloraz różnicowy ma postać

h sin 1h

h= sin 1

h.

Wiemy, że granica limh→0 sin 1h nie istnieje. Nie istnieją nawet stosowne granice jednostronne. Zatem rozważana funkcja

nie jest różniczowalna w zerze i nie posiada w zerze pochodnych jednostronnych.

Interesujące jest pytanie, czy jeśli funkcja jest różniczkowalna w każdym punkcie, to jej pochodna musi być funkcjąciągłą. Okazuje się, że niekoniecznie, jak pokazuje poniższy przykład.

Przykład 15.6.2 Rozważmy funkcję

R 3 x 7→

{x2 sin 1

x gdy x 6= 0,0 dla x = 0.

Funkcja ta jest ciągła, a dla x 6= 0 różniczkowalna na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu iloczynu, funkcji złożoneji ilorazu. Dla x = 0 iloraz różnicowy ma postać

h2 sin 1h

h= h sin 1

h.

Granica limh→0 h sin 1h istnieje i wynosi zero. Zatem również w zerze nasza funkcja jest różniczkowalna. Jej pochodną

jest funkcja

R 3 x 7→

{2x sin

( 1x

)− cos

( 1x

)gdy x 6= 0,

0 dla x = 0.

Pokażemy, że pochodna ta nie jest ciągła w zerze. Gdyby była ciągła w zerze, to dla każdego ciągu xn zbieżnego dozera ciąg wartości byłby zbieżny do pochodnej w zerze, czyli do zera. Ale ciąg xn = 1

2πn jest zbieżny do zera, a ciągwartości pochodnej w punktach tego ciągu wynosi stale −1, więc jest zbieżny do −1, a nie do zera.

Definicja 15.6.3 Funkcję f : (a, b) → Rm, która jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną nazywamy funkcją klasyC1. Zbiór takich funkcji oznaczamy C1((a, b),Rm).

Nazwa "klasaC1" wyjasni sie pózniej, gdy zdefiniujemy równiez funkcje klasyCn.W programie Mathematica pochodną funkcji f zmiennej x obliczamy używając instrukcji

D[f[x],x]

15.7. METODA NEWTONA 235

Na przykład pochodną funkcji

f(x) := 14 log

(x2 − 1x2 + 1

)obliczymy pisząc

D[(1/4) Log[(x^2 - 1)/(x^2 + 1)], x]

Jako wynik program Mathematica zwraca (x2 + 1

)( 2xx2+1 −

2x(x2−1)(x2+1)2

)4 (x2 − 1) .

Nie jest to czytelna postać pochodnej. Instrukcja Simplify pozwala uzyskać najbardziej zwartą postać wyrażenia. Jakoargumentu można użyć znaku %, który odnosi się do ostatniego wyrażenia obliczonego przez program Mathematica.

Simplify[%]

daje w wynikux

x4 − 1 .

15.7 Metoda NewtonaRozwiazywanie równan interesowało matematyków juz od starozytnosci. Pierwotnie stosowano głównie metody geometryczne, które pozwalały rozwiazywacrównania liniowe i wybrane równania wyzszych stopni, głównie kwadratowe. Po raz pierwszy podejscie algebraiczne w rozwiazywaniu równania kwadratowegozastosowano w VII wieku w Indiach. W XVIw. metode rozwiazywania równania trzeciego i czwartego stopnia znalezli włoscy matematycy Niccolo Fontana Tartagliai Lodovico Ferrari. Liczne próby ogólnego rowiazania równan wyzszych stopni spełzły na niczym, a na poczatku XIXw. norwerski matematyk Niels Henrik Abeludowodnił, ze nie da sie podac ogólnego algorytmu rozwiazania równania stopnia wiekszego niz cztery za pomoca skonczonej ilosci operacji arytmetycznych+,−, ∗, / oraz pierwiastkowania.

Pozostały zatem metody przyblizone. Wsród nich prym wiedzie wywodzaca sie z prac Izaaka Newtona i nazywana jego imieniem metoda iteracyjna wykorzy-stujaca przyblizanie funkcji styczna do wykresu.

Załózmy, ze chcemy rozwiazac równanie postacif(x) = 0,

gdzie f : [a, b]→ R jest funkcja rózniczkowalna. Rozwiazania takiego równania nazywane sa równiez miejscami zerowymi funkcji f .Załózmy, ze dany jest punkt x0 ∈ [a, b], a y = cx+ d jest równaniem prostej stycznej do wykresu f w punkcie x0.Wiemy, ze c, czyli współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy f ′(x0). Poniewaz punkt (x0, f(x0)) nalezy do stycznej, wiec f(x0) = f ′(x0)x0 +d,

skad wyliczamy d co pozwala przepisac nam równanie stycznej w postaci

y = f(x0) + f ′(x0) (x− x0) .

Przyjmujac y = 0 i rozwiazujac wzgledem x znajdujemy

x = x0 −f(x0)f ′(x0) .

Jest to przyblizenie miejsca zerowego funkcji f tym lepsze im blizej x0 było miejsca zerowego. Dlatego iterujac ten proces, to znaczy liczac wyrazy ciagudanego rekurencyjnie wzorem

xn+1 := xn −f(xn)f ′(xn)


� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ newton . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ Pie rw ia s t ek wielomianu ∗//∗ metodą Newtona ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>using namespace std ;/∗ Stopień wielomianu ∗/const int degree =2;/∗ Tabl ica współczynników wielomianu ∗/double c o e f [ degree +1] ;/∗ maksymalna l i c z b a i t e r a c j i ∗/int l i m i t =30;/∗ oczekiwana dokładność ∗/double e p s i l o n =0.001;/∗ Wyliczen ie war to ś c i wielomianu w x ∗/double f ( double x ){

double s=c o e f [ degree ] ;for ( int i=degree −1; i >=0; i −−) s=c o e f [ i ]+x∗ s ;return s ;

}/∗ Wyliczen ie pochodnej wielomianu w x ∗/double d e r f ( double x ){

double s=degree ∗ c o e f [ degree ] ;for ( int i=degree −1; i >=1; i −−) s=i ∗ c o e f [ i ]+x∗ s ;return s ;

}/∗ Program główny ∗/int main ( ){

/∗ Wczytujemy współczynnik i wielomianu ∗/for ( int i =0; i<degree+1;++ i ){

cout << "c[" << i << "]=" ; c in >> c o e f [ i ] ;}/∗ oraz wyjśc iowe p r z y b l i ż e n i e p i e rw ia s tka ∗/double x ;cout << "x0=" ; c in >> x ;/∗ Pęt la główna ∗/for ( int i =0; i<l i m i t ;++ i ){

double va l=f ( x ) ;cout << " x =" << x << "\n" ;cout << " f(x)=" << val << "\n" ;/∗ J e ś l i o s i ą g n i ę t o żądaną dokładność można przerwać p ę t l ę ∗/i f ( val<e p s i l o n && val>−e p s i l o n ) break ;/∗ Nowe p r z y b l i ż e n i e ∗/x=x−va l / d e r f ( x ) ;

}}� �

Listing 15.1: Wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu w C++.

15.7. METODA NEWTONA 237

Rysunek 15.4: Interpretacja geometryczna metody Newtona

mozemy sie spodziewac, ze bedzie on zbiezny do miejsca zerowego funkcji f w przedziale [a, b]. Nie zawsze tak jest, ale dzieje sie tak na tyle czesto,ze metoda Newtona jest do dzis bardzo powszechnie stosowanym narzedziem. Interpretacja geometryczna zwiazku xn i xn+1 z pochodna funkcji f jestprzedstawiona na rys. (15.4).

Program w C++ znajdujacy miejsca zerowe wielomianu przedstawiono na listingu 15.1.W programie Mathematica rozwiazanie równania metoda Newtona umozliwia insturkcja FindRoot. Poniewaz program Mathematica sam potrafi znalezc

pochodna, jedyne co musimy zrobic to zapisac równanie i podac wartosc, od której nalezy rozpoczac poszukiwanie pierwiastka. Na przykład piszac

FindRoot[Cos[x] == x^3, {x, 1}]

otrzymujemy jako rozwiazanie

{x -> 0.865474}

Program Mathematica przekształca równanie cosx = x3 do postaci f(x) = 0, gdzie

f(x) := cosx− x3,

znajduje pochodna f ′(x) = − sin x− 3x2 i nastepnie liczy wyrazy ciagu danego wzorem rekurencyjnym

x0 := 1

xn+1 := xn −cosxn − x3

n

− sin xn − 3x2n

az do osiagniecia przyblizenia granicy o domyslnie ustawionej dokładnosci.

Cwiczenie 15.7.1 Pokaz, ze zaprezentowana w rozdziale 5.4.1 metoda liczenia pierwiastka kwadratowego√a jest w istocie metoda Newtona zasto-

sowana do równaniax2 − a = 0.


15.8 Ekstrema lokalne, a różniczkowalność.15.8.1 Maksima i minima lokalnePochodna funkcji przydaje się przy poszukiwaniu lokalnych minimów i maksimów funkcji.

Definicja 15.8.1 Mówimy, że funkcja f : (a, b) → R ma w x0 ∈ (a, b) minimum lokalne jeżeli istnieje otoczenieU ⊂ (a, b) punktu x0 takie, że dla wszystkich x ∈ U zachodzi f(x) f(x0). Podobnie mówimy, że f ma w x0 ∈ (a, b)maksimum lokalne jeżeli istnieje otoczenie U ⊂ (a, b) punktu x0 takie, że dla wszystkich x ∈ U zachodzi f(x) ¬ f(x0).Mówimy, że f ma w x0 ∈ (a, b) ekstremum lokalne jeśli f ma w x0 minimum lokalne lub maksimum lokalne.

Twierdzenie 15.8.2 (o ekstremum lokalnym funkcji różniczkowalnej) Jeśli f : (a, b)→ R jest różniczkowalnaw x0 ∈ (a, b) i ma w x0 ekstremum lokalne, to f ′(x0) = 0.

Dowód: Załóżmy, że f ma w x0 maksimum lokalne. Zatem istnieje δ > 0 taka, że (x0−δ, x0+δ) ⊂ (a, b) oraz f(x) ¬ f(x0)dla x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). W szczególności dla h ∈ (−δ, δ) mamy f(x0 + h)− f(x0) ¬ 0. Zatem dla h ∈ (−δ, 0) jest

f(x0 + h)− f(x0)h

0,

skąd wnosimy, że pochodna lewostronna f w x0 jest nieujemna. Z drugiej strony dla h ∈ (0, δ) jest

f(x0 + h)− f(x0)h

¬ 0,

skąd wnosimy, że pochodna prawostronna f w x0 jest niedodatnia. Ale pochodna f w x0 istnieje, więc jest równa takpochodnej lewostronnej jak i prawostronnej. Zatem f ′(x0) = 0. �

15.8.2 Twierdzenie Rolle’a.Francuski matematyk Michel Rolle (1652-1719) uważany jest za autora pierwszego w miarę współczesnego dowodu nastę-pującego twierdzenia.

Twierdzenie 15.8.3 (Rolle’a) Załóżmy, że f : [a, b]→ R jest ciągła oraz, że jest różniczkowalna dla x ∈ (a, b). Jeślif(a) = f(b) to istnieje ξ ∈ (a, b) takie, że f ′(ξ) = 0.

Dowód: Funkcja f , jako funkcja ciągła na przedziale zwartym, osiąga wartość największą oraz najmniejszą. Jeśli takwartość największa jak i najmniejsza są osiągane na końcach przedziału [a, b], to założenie f(a) = f(b) implikuje, że f jeststała, a więc ma pochodną zero w każdym punkcie przedziału (a, b). Załóżmy zatem, że wartość największa lub wartośćnajmniejsza jest osiągnięta w pewnym punkcie ξ ∈ (a, b). Wtedy f ma w ξ ekstremum lokalne, zatem z twierdzenia oekstremum lokalnym funkcji różniczkowalnej wynika, że f ′(ξ) = 0. �

15.9 Twierdzenie o wartości średniej15.9.1 Uogólnione twierdzenie o wartości średniejW twierdzeniu Rolle’a sieczna do wykresu poprowadzona przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)) jest pozioma. Styczna do wykresu w punkcie osiagania ekstremumtez jest pozioma. Zatem mozna stwierdzic, ze istnieje punkt wewnatrz przedziału (a, b) taki, ze styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do siecznej

15.9. TWIERDZENIE O WARTOŚCI ŚREDNIEJ 239

Rysunek 15.5: Sieczna i równoległa do niej styczna.

przez punkty (a, f(a)) i (b, f(b)). Okazuje sie, ze to stwierdzenie jest prawdziwe równiez wtedy gdy f(a) 6= f(b). Fakt ten, znany jako twierdzenie o wartoscisredniej, ilustruje rysunek 15.5. W polskiej literaturze z twierdzeniem tym kojarzony jest francuski matematyk Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Udowodnimynajpierw jeszcze ogólniejsze twierdzenie, pochodzace od Augustina Cauchy’ego, z którego twierdzenie o wartosci sredniej wyprowadzimy jako wniosek.

Twierdzenie 15.9.1 (uogólnione o wartości średniej) Niech f, g : [a, b]→ R będą ciągłymi funkcjami, różniczko-walnymi w przedziale (a, b). Wtedy istnieje punkt ξ ∈ (a, b) taki, że

(f(b)− f(a)) g′(ξ) = (g(b)− g(a)) f ′(ξ).

Dowód: Rozważmy funkcję ϕ : [a, b] → R daną wzorem ϕ(x) := (f(b)− f(a)) g(x) − (g(b)− g(a)) f(x). Funkcja ta jestciągła na przedziale [a, b] i różniczkowalna na przedziale (a, b). Co więcej, prostym rachunkiem sprawdzamy, że

ϕ(a) = f(b)g(a)− f(a)g(b) = ϕ(b),

zatem stosując do ϕ twierdzenie Rolle’a znajdziemy punkt ξ ∈ (a, b) taki, że ϕ′(ξ) = 0. Ale ϕ′(ξ) = (f(b)− f(a)) g′(ξ) −(g(b)− g(a)) f ′(ξ). Zatem (f(b)− f(a)) g′(ξ)− (g(b)− g(a)) f ′(ξ) = 0, co dowodzi naszej tezy. �

15.9.2 Twierdzenie Lagrange’a o wartości średniejPrzyjmując w twierdzeniu 15.9.1 za funkcję g identyczność otrzymujemy jako wniosek następujące klasyczne twierdzenie owartości średniej.

Twierdzenie 15.9.2 (Lagrange’a o wartości średniej) Niech f : [a, b]→ R będzie funkcją ciągłą, różniczkowalnąw przedziale (a, b). Wtedy istnieje punkt ξ ∈ (a, b) taki, że

(f(b)− f(a)) = (b− a) f ′(ξ).

�


15.9.3 Twierdzenie o przyrostach skończonychTwierdzenia o wartości średniej nie dają się przenieść w dosłownej formie na przypadek funkcji o wartościach wektorowych,na przykład zespolonych, jak pokazuje następujący przykład.

Przykład 15.9.3 Rozważmy funkcjęf : [0, 1] 3 t 7→ e2tπi ∈ C.

Mamy f [0] = f [1] = 1, zatem gdyby twierdzenie o wartości średniej zachodziło, to istniałby punkt ξ ∈ (0, 1) taki, żef ′(ξ) = 0. Taki punkt jednak nie istnieje, bo z twierdzenia 15.5.2 wiemy, że pochodną jest f ′(t) = 2πie2tπi 6= 0.Mamy jednak pokrewne twierdzenie.

Twierdzenie 15.9.4 (o przyrostach skończonych) Niech f : [a, b]→ Rm będzie funkcją ciągłą, różniczkowalną na(a, b). Wtedy istnieje ξ ∈ (a, b) takie, że

||f(b)− f(a)|| ¬ ||f ′(ξ)||(b− a).

Dowód: Oznaczmy z := f(b)− f(a). Jeśli z = 0, teza jest oczywista. Zatem załóżmy, że z 6= 0 i rozważmy funkcję

ϕ : [a, b] 3 t 7→ z · f(t) ∈ R.

Funkcja ϕ jest funkcją o wartościach rzeczywistych, jest ciągła, a na podstawie ćwiczenia 15.3.6 wiemy też, że jest różnicz-kowalna i ϕ′(t) = z · f ′(t). Możemy więc do niej zastosować twierdzenie o wartości średniej. Zatem istnieje ξ ∈ (a, b) takie,że

ϕ(b)− ϕ(a) = ϕ′(ξ)(b− a) = (b− a)z · f ′(ξ).Z drugiej strony

ϕ(b)− ϕ(a) = z · (f(b)− f(a)) = z · z = ||z||2.Zatem z nierówności Schwartza dostajemy

||z||2 = (b− a)z · f ′(ξ) = |(b− a)z · f ′(ξ)| ¬ (b− a)||z||||f ′(ξ)||.

Dzieląc powyższą nierówność obustronnie przez ||z|| otrzymujemy tezę. �

15.10 Zastosowania twierdzenia o wartości średniej15.10.1 Pochodna, a monotonicznośćMonotoniczność funkcji różniczkowalnej znajduje odwzierciedlenie w znaku jej pochodnej. Dokładniej, mamy następującetwierdzenie.

Twierdzenie 15.10.1 Niech f : (a, b)→ R będzie funkcją różniczkowalną. Mają miejsce następujące równoważności

(i) f ′ 0 wtedy i tylko wtedy gdy f jest słabo rosnąca,

(ii) f ′ > 0 wtedy i tylko wtedy gdy f jest silnie rosnąca,

(iii) f ′ ¬ 0 wtedy i tylko wtedy gdy f jest słabo malejąca,

(iv) f ′ < 0 wtedy i tylko wtedy gdy f jest silnie malejąca.

Dowód: Załóżmy najpierw, że f ′ 0. Niech x1, x2 ∈ (a, b) oraz x1 < x2. Z twierdzenia o wartości średniej wiemy, żef(x2)−f(x1) = f ′(ξ)(x2−x1) dla pewnego ξ ∈ (x1, x2). Ale z założenia f ′(ξ) 0, skąd f(x2)−f(x1) 0, a to dowodzi, że fjest słabo rosnąca. Z kolei jeśli f jest słabo rosnąca, to iloraz różnicowy w każdym punkcie przedziału (a, b) jest nieujemny.Zatem i pochodna jest nieujemna, jako granica ilorazu różnicowego. To dowodzi równoważności (i). Dowód pozostałychrównoważności jest podobny, więc zostawiamy go jako ćwiczenie. �

15.10. ZASTOSOWANIA TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ 241

15.10.2 Twierdzenie o wartościach pośrednich dla pochodnejWidzieliśmy w przykładzie 15.6.2, że istnienie pochodnej w każdym punkcie dziedziny funkcji f nie gwarantuje ciągłościpochodnej. Tym niemniej, pochodna, nawet jeśli jest nieciągła, ma własność przyjmowania wartości pośrednich, podobniejak funkcja ciągła.

Twierdzenie 15.10.2 Niech f : (a, b)→ R będzie funkcją różniczkowalną. Niech c, d ∈ (a, b) będą takie, że c < d orazf ′(c) < f ′(d). Wtedy dla każdego λ ∈ (f ′(c), f ′(d)) istnieje ξ ∈ (c, d) takie, że f ′(ξ) = λ.

Dowód: Rozważmy funkcję g : (a, b) → R daną wzorem g(t) := f(t) − λt. Jest ona ciągła różniczkowalna oraz g′(c) =f ′(c) − λ < 0 i g′(d) = f ′(d) − λ > 0. Zatem g(c) > g(c + h1) dla pewnego h1 ∈ (0, d − c), bo w przeciwnym razie ilorazróżnicowy g(c+h)−g(c)

h >= 0 dla h > 0 co prowadzi do sprzeczności z g′(c) < 0. Podobnie stwierdzamy, że g(d) > g(d − h2)dla pewnego h2 ∈ (0, d − c). Wynika stąd, że maksium, które g na przedziale [c, d] musi osiągać na mocy tw. 11.2.14 , niemoże być osiągnięte na końcach tego przedziału lecz w pewnym punkcie ξ ∈ (c, d). Zatem jest to maksimum lokalne. Ztw. 15.8.2 g′(ξ) = f ′(ξ)− λ = 0, skąd f ′(ξ) = λ. �

Z udowodnionego twierdzenia wynika następujący ważny wniosek.

Wniosek 15.10.3 Niech f : (a, b)→ R będzie funkcją różniczkowalną. Jeśli f ′(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b), to f ′przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie lub wyłącznie wartości ujemne.

Ćwiczenie 15.10.4 Wywnioskuj z tw. 15.10.2, że jeśli f : (a, b) → R jest funkcją różniczkowalną, to f ′ nie posiadapunktów nieciągłości pierwszego rodzaju.

15.10.3 Reguła de l’HospitalaJesli f : R→ R zeruje sie w zerze, to

f(x)x

= f(x)− f(0)x− 0

moze byc traktowane jako przyblizenie f ′(0), oczywiscie przy załozeniu, ze pochodna ta istnieje. Zatem jesli mamy dwie takie funkcje, f, g : R → R i obiezeruja sie w zerze, to mamy

f(x)g(x) =

f(x)xg(x)x

Prawa strone tego wyrazenia mozna traktowac jako przyblizenie f ′(0)g′(0) . Lewa strona nie jest przyblizeniem f(0)

g(0) , bo jest to pozbawiony sensu ułamek o zerze

w liczniku i mianowniku. Jest to jednak przyblizenie granicy ułamków f(x)g(x) przy x zmierzajacym do zera o ile ta granica istnieje. Zatem, przy odpowiednich

załozeniach, mozemy sie spodziewac wzoru

limx→0

f(x)g(x) = f ′(0)

g′(0) .

Udowodnimy teraz nawet nieco ogólniejsze twierdzenie. Z twierdzeniem tym kojarzony jest francuski matematyk Guillaume de l’Hospital (rys. 15.6), który pierwszyje opublikował. Jednak sa argumenty za tym, ze autorem twierdzenia jest szwajcarski matematyk Johann Bernoulli (rys. 15.6), brat Jacoba Bernoullego (rys. 8.9).Okazuje sie ono bardzo pomocne przy wyznaczaniu granic ilorazów, do których nie mozemy zastosowac twierdzenia o granicy ilorazu. Przypomnijmy bowiem, zetwierdzenie o granicy ilorazu wymaga, by mianownik miał granice rózna od zera.


Rysunek 15.6: Guillaume de l’Hospital (1661 - 1704) i Johann Bernoulli (1667 - 1748) Źródło: Wikipedia

Twierdzenie 15.10.5 (reguła de l’Hospitala). Niech f, g : (a, b) → R będą różniczkowalne oraz g′(x) 6= 0 dlax ∈ (a, b). Załóżmy, że

limx→a

f(x) = 0 = limx→a

g(x) (15.12)

lublimx→a

g(x) ∈ {−∞,∞}. (15.13)

Jeśli istnieje granica

limx→a

f ′(x)g′(x) (15.14)

to istnieje granicalimx→a

f(x)g(x) (15.15)

i obie te granice są sobie równe.

Twierdzenie 15.10.5 wyprowadzimy z następującego lematu

Lemat 15.10.6 Przy założeniach twierdzenia 15.10.5 mamy nierówności

lim supx→a

f(x)g(x) ¬ lim sup

x→a

f ′(x)g′(x) (15.16)

orazlim infx→a

f(x)g(x) lim inf

x→a

f ′(x)g′(x) (15.17)

Dowód: (twierdzenia 15.10.5) Ponieważ granica dolna jest niewiększa od granicy górnej, z (15.16) i (15.17) mamy ciągnierówności

lim infx→a

f ′(x)g′(x) ¬ lim inf

x→a

f(x)g(x) ¬ lim sup

x→a

f(x)g(x) ¬ lim sup

x→a

f ′(x)g′(x) . (15.18)

W twierdzeniu 15.10.5 zakładamy istnienie granicy (15.14). Zatem stosowna granica dolna i granica górna są sobie równe.Zatem pierwsze i ostatnie wyrażenie w ciągu nierówności (15.18) są sobie równe. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy wszystkie

15.10. ZASTOSOWANIA TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ 243

wyrażenia są sobie równe. W szczególności drugie i trzecie wyrażenie są sobie równe. Wynika stąd istnienie granicy (15.15)i równość obu granic. �

Dowód: (lematu 15.10.6) Rozważmy dowód wzoru (15.16). Oznaczmy

A := lim supx→a

f ′(x)g′(x) .

Jeśli A =∞, to wzór (15.16) oczywiście zachodzi, załóżmy więc, że A <∞. Wystarczy pokazać, że

∀ q > A lim supx→a

f(x)g(x) ¬ q. (15.19)

Ustalmy zatem liczbę q > A. Z definicji granicy znajdziemy c ∈ (a, b) takie, że

∀x ∈ (a, c) f ′(x)g′(x) < q. (15.20)

Niech x, y ∈ (a, c) oraz x < y. Zwężenia f|[x,y] i g|[x,y] spełniają założenia uogólonionego twierdzenia o wartości średniej(tw. 15.9.1) zatem znajdziemy ξ ∈ (x, y) takie, że

(f(y)− f(x)) g′(ξ) = (g(y)− g(x)) f ′(ξ).

Wykorzystując założenie o niezerowaniu się pochodnej funkcji g przepisujemy powyższą równość w postaci

f(x)− f(y)g(x)− g(y) = f(y)− f(x)

g(y)− g(x) = f ′(ξ)g′(ξ) .

Zatem z (15.20) wnosimy, że dla x, y ∈ (a, c)

f(x)− f(y)g(x)− g(y) = f(y)− f(x)

g(y)− g(x) < q. (15.21)

Rozważmy przypadek założenia (15.12). Przechodząc ze zmienną y w (15.21) do granicy w a dostajemy

f(x)g(x) ¬ q

dla x ∈ (a, c), skąd natychmiast wynika (15.19).Przypadek (15.13) jest nieco bardziej zagmatwany. Dowód zaprezentujemy przy założeniu limx→a g(x) = ∞. Rozumo-

wanie dla limx→a g(x) = −∞ jest analogiczne. Zauważmy najpierw, że z limx→a g(x) = ∞ znajdziemy c′ ∈ (a, c) takie,że g(x) > 0 dla x < c′. Założenie o niezerowaniu się pochodnej funkcji g implikuje, że g jest funkcją monotoniczną, a wkonsekwencji, ze względu na założenie limx→a g(x) =∞, jest funkcją silnie malejącą. Zatem g(x)−g(y) > 0. Mnożąc (15.21)przez g(x)− g(y) i przenosząc f(y) na prawą stronę dostajemy

f(x) < f(y) + q (g(x)− g(y)) = qg(x) + f(y)− qg(y).

Dla x ∈ (a, c′) mamy g(x) > 0, więc dzieląc ostatnią nierówność przez g(x) dostajemy

f(x)g(x) < q + f(y)

g(x) − qg(y)g(x) .

Ze względu na założenie limx→a g(x) = ∞, dla zadanego ε > 0 i przy ustalonym y ∈ (a, c) znajdziemy c′′ ∈ (a, c′) takie, żedla x ∈ (a, c′′)

f(y)g(x) − q

g(y)g(x) < ε.


Zatem z ostatnich dwóch nierówności dla x ∈ (a, c′′) i dowolnego ε > 0 mamy

f(x)g(x) < q + ε.

Ze względu na dowolność ε > 0 dla x ∈ (a, c′′) mamy

f(x)g(x) ¬ q,

skąd wnosimy (15.19) również dla przypadku założenia (15.13).Dowód własności (15.17) jest podobny. Pozostawiamy go jako ćwiczenie. �Regułę de l’Hospitala zaprezentowaliśmy dla granicy w lewym końcu przedziału. Oczywiście analogiczna reguła obowią-

zuje również dla prawego końca przedziału, a tym samym dla granicy lewostronnej, prawostronnej i zwykłej granicy.

Przykład 15.10.7 Granica limx→0sin xx nie daje się policzyć z twierdzenia o granicy ilorazu, bo mianownik zmierza do

zera. Ponieważ jednak również licznik zmierza do zera oraz tak licznik jak i mianownik są różniczkowalne w otoczeniuzera, a mianownik ma pochodną stale równą jeden, więc możemy zastosować regułę de l’Hospitala. Dostajemy

limx→0

sin xx

= limx→0

(sin x)′

x′= limx→0

cosx1 = cos 0

1 = 1.

15.11 Różniczkowanie funkcji odwrotnej

15.11.1 Wzór na pochodną funkcji odwrotnej

Twierdzenie 15.11.1 Załóżmy, że f : (a, b)→ R jest funkcją różniczkowalną oraz f ′(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b).Wtedy f jest bijekcją przedziału (a, b) w pewien przedział (c, d). Co więcej, bijekcja odwrotna f−1 : (c, d)→ (a, b) jestróżniczkowalna oraz

(f−1)′(f(x)) = 1f ′(x) (15.22)

dla wszystkich x ∈ (a, b).

Dowód: Z wniosku 15.10.3 wnosimy, że f ′ jest wszędzie dodatnia lub wszędzie ujemna, zatem z tw. 15.10.1 funkcja jestsilnie rosnąca lub silnie malejąca. W szczególności jest zatem injekcją. Niech Γ := im f będzie obrazem przedziału (a, b) wfunkcji f . Ponieważ zbiory spójne w R pokrywają się z przedziałami (wn. 11.4.4), z tw. 11.4.5 wnosimy, że Γ jest równieżprzedziałem. Pokażemy, że przedział ten jest otwarty. Rzeczywiście, jeśli d jest lewym lub prawym końcem przedziału Γ id ∈ Γ, to d jest elementem największym lub najmniejszym w Γ. Równocześnie d = f(t) dla pewnego t ∈ (a, b). Wybierzmyt′, t′′ ∈ (a, b) takie, że t′ < t < t′′. Z monotoniczności f mamy f(t′) < d < f(t′′) lub f(t′) > d > f(t′′). Ponieważf(t′), f(t′′) ∈ Γ, wykluczone jest by d było elementem największym lub najmniejszym w Γ. Zatem Γ jest przedziałemotwartym. Przyjmijmy, że Γ = (c, d).

Ustalmy x ∈ (a, b) oraz połóżmy y := f(x). Wtedy x = f−1(y). Niech k będzie takie, że y + k ∈ (c, d). Połóżmyh := f−1(y + k)− f−1(y). Wtedy f−1(y + k) = f−1(y) + h = x+ x, zatem y + k = f(x+ h). Mamy

f−1(y + k)− f−1(y)k

= f−1(y + k)− f−1(y)(y + k)− y = h

f(x+ h)− f(x) = 1f(x+h)−f(x)

h

.

15.11. RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI ODWROTNEJ 245

Zauważmy, że jeśli k → 0 to również h→ 0. Zatem przechodząc w powyższej równości z k do granicy w zerze dostajemy

(f−1)′(y) = 1f ′(x)

co dowodzi różniczkowalności f−1 oraz równości (15.22). �

15.11.2 Pochodna funkcji logarytmicznejStosując twierdzenie 15.11.1 do funkcji wykładniczej dostajemy twierdzenie o różniczkowaniu funkcji logarytmicznej.

Twierdzenie 15.11.2 Funkcja ln : R+ → R jest funkcją różniczkowalną oraz

(ln x)′ = 1x. (15.23)

Dowód: Z wniosku 15.5.3 wiemy pochodną funkcji x → ex jest ona sama. Ponieważ funkcja wykładnicza nie przyjmu-je wartości zero, możemy do niej zastosować twierdzenie 15.11.1. Funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej jest funkcjalogarytmiczna x→ ln x, zatem funkcja ta jest różniczkowalna oraz

(ln x)′(ex) = 1(ex)′ = 1

ex.

Przyjmując y := ex dostajemy zatem(ln y)′ = 1

y

co pokrywa się ze wzorem (15.23), gdyż w obu wzorach występujące w nich zmienne są związane. �

15.11.3 Funkcje kołowe (odwrotne do trygonometrycznych)Funkcje sin, cos i tg nie są bijekcjami, więc nie mają funkcji odwrotnych. Jednak po zawężeniu do odpowiednio małegoprzedziału stają się bijekcjami. Zwyczajowo rozważamy zawężenia sin|[−π/2,π/2], cos|[0,π], tg|[−π/2,π/2]. Pochodne tych funkcjina wnętrzach tych przedziałów są niezerowe, zatem zawężęnia do wnętrz są odwracalne. Łatwo pokazać, że w konsekwencjiodwracalne są również zawężenia do przedziałów domkniętych.

Definicja 15.11.3 Funkcje odwrotne do funkcji sin|[−π/2,π/2], cos|[0,π], tg|[−π/2,π/2] oznaczamy odpowiednio arc sin,arc cos i arc tg. Nazywamy je funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi.

Jako prosty wniosek z tw. 15.11.1 dostajemy następujące twierdzenie

Twierdzenie 15.11.4 Funkcja arc sin : [−1, 1]→ [−π/2, π/2] jest różniczkowalna dla x ∈ (−1, 1) oraz

(arc sin x)′ = 1√1− x2

.

Funkcja arc cos : [−1, 1]→ [0, π] jest różniczkowalna dla x ∈ (−1, 1) oraz

(arc cosx)′ = − 1√1− x2

.

Funkcja arc tg : R→ (−π/2, π/2) jest różniczkowalna dla x ∈ R oraz

(arc tg x)′ = 11 + x2 .


Funkcje kołowe w programie Mathematica oznaczane są ArcSin, ArcCos, ArcTan.

15.11.4 Pochodna funkcji potęgowejWiemy już, że dla n ∈ N1 mamy (xn)′ = nxn−1. Wzór ten uogólnić można na przypadek funkcji x → xα dla dowolnegoα ∈ R.

Twierdzenie 15.11.5 Dla dowolnego α ∈ R funkcja potęgowa

R+ 3 x 7→ xα ∈ R+

jest różniczkowalna oraz(xα)′ = αxα−1.

Dowód: Ponieważ xα = eα ln x, więc funkcja x 7→ xα jest złożeniem funkcji x 7→ α ln x oraz funkcji u 7→ eu. Zatem ztwierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji mamy

(xα)′ = eα ln xα

x= xα

α

x= αxα−1.

�

15.12 Pochodne wyższych rzędów15.12.1 n-ta pochodnaJeśli pochodna f ′ funkcji f sama ma pochodną, to nazywamy ją drugą pochodną funkcji f i oznaczamy f ′′. Proces braniakolejnych pochodnych możemy kontynuować. Precyzyjniej, definicję różniczkowalności i pochodnej rozszerzamy rekurencyjniew następujący sposób.

Definicja 15.12.1 Mówimy, że funkcja f : (a, b)→ Rm jest 1-różniczkowalna jeśli jest różniczkowalna. Jej pochodnąf ′ nazywamy pierwszą pochodną i zapisujemy jako f (1). Mówimy, że funkcja f jest n-różniczkowalna jeśli jej (n−1)-szapochodna f (n−1) jest różniczkowalna. Pochodną f (n−1) nazywamy n-tą pochodną funkcji f i zapisujemy jako f (n).

Dla małych n zamiast f (n) piszemy czasem f ′′, f ′′′ itd. Dodatkowo wygodnie jest samą funkcję nazywać zerową pochodnąi zapisywać jako f (0) := f .

Definicja 15.12.2 Mówimy, że funkcja f : (a, b) → Rm jest klasy Cn jeżeli jest n-różniczkowalna we wszystkichpunktach przedziału (a, b) oraz f (n) jest ciągła. Zbiór takich funkcji oznaczamy Cn((a, b),Rm).

W programie Mathematica n-tą pochodną funkcji f zmiennej x obliczamy używając instrukcji

D[f[x],{x,n}]

Na przykład drugą pochodną funkcji

f(x) := 14 ln

(x2 − 1x2 + 1

)obliczymy pisząc

15.12. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 247

Rysunek 15.7: Wykres funkcji f (niebieski), prostej stycznej do wykresu f w punkcie x0 (fioletowy) i paraboli stycznej dowykresu w punkcie x0 (zielony).

D[(1/4) Log[(x^2 - 1)/(x^2 + 1)], {x,2}]

Jako wynik program Mathematica zwraca skomplikowane wyrażenie, ale po zastosowaniu do niego Simplify dostajemy

−3x4 − 1(x4 − 1)2 .

Aproksymacja liniowa poprzez rózniczke jest prosta, ale czesto nie jest wystarczajaco dokładna. Mozemy wtedy rozwazac aproksymacje krzywa drugiegostopnia (parabola) zadana wzorem y = a0 + a1h + a2h

2 gdzie h = x − x0 jest przyrostem zmiennej niezaleznej (rys. 15.7). Mozemy tez przyblizacwielomianem n-ego stopnia postaci

W (h) := a0 + a1h+ a2h2 + . . .+ anh

n.

Róznicaf(x)−W [h) = f(x0 + h)−

(a0 + a1h+ a2h

2 + . . .+ anhn)

powinna byc o(hn), bo oczekujemy błedu, który szybciej zmierza do zera niz wielomian aproksymacyjny. Pokazemy, ze jesli funkcja r jest n-rózniczkowalna wzerze, to własnosc r(h) = o(hn) jest równowazna zerowaniu sie pochodnych r do n-tej włacznie, tzn. warunkowi

r(0) = r′(0) = r′′(0) = . . . = r(n)(0) = 0.

W odniesieniu do naszego problemu aproksymacyjnego oznacza to, ze funkcja

h 7→ f(x0 + h)−W (h)

powinna miec zerowe pochodne w zerze do n-tej włacznie co jest równowazne postulatowi by funkcje h 7→ f(x0 + h) i h 7→ W (h) miały te samepochodne do n-tej włacznie. Jak zobaczymy pochodne wielomianu jest stosunkowo łatwo policzyc: W (i)(0) = i!ai. Zatem tyle musza wynosic pochodnefunkcji h 7→ f(x0 + h) w zerze. Sa one równe pochodnym x 7→ f(x) w x0, zatem poszukiwana aproksymacja ma postac

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)1! h+ f ′′(x0)

2! h2 + . . .+ f (n)(x0)n! hn + r(h)

gdzie r(h) = o(hn). Otrzymany w ten sposób wielomian aproksymacyjny nazywany jest wielomianem Taylora funkcji f w x0, bo pochodzi od angielskiegomatematyka Brooka Taylora (rys. 15.8).


Rysunek 15.8: Brook Taylor, 1685-1731. Źródło: Wikipedia

Twierdzenie 15.12.3 Wielomian

W : R 3 x 7→ a0 + a1h+ a2h2 + . . .+ anh

n ∈ R. (15.24)

jest funkcją i-różniczkowalną dla wszystkich i ∈ N oraz

W (i)(0) = i!ai (15.25)

gdzie przyjmujemy ai = 0 dla i > n.

Dowód: Pokażemy indukcyjnie, że dla k ∈ N zachodzi ogólniejszy wzór

W (k)(x) =n∑i=k

i!(i− k)!aix

i−k. (15.26)

Rzeczywiście, dla k = 0 wzór (15.26) pokrywa się z definicją (15.24) wielomianiu W . Natomiast jeśli (15.26) zachodzi dlapewnego k, to biorąc pochodną obu stron dostajemy

W (k+1)(x) =(W (k)

)′(x) =

(k!ak +

n∑i=k+1

i!(i− k)!aix

i−k

)′= (k!ak)′ +

n∑i=k+1

i!(i− k)! (aix

i−k)′

=n∑

i=k+1

i!(i− k)! (i− k)aixi−k−1 =

n∑i=k+1

i!(i− (k + 1))!aix

i−(k+1).

Podstawiając we wzorze (15.26) za x zero dostajemy (15.25). �

15.12.2 Wielomian TayloraNiech f : (a, b)→ R będzie n-różniczkowalna w x0 ∈ (a, b).

15.12. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW 249

Definicja 15.12.4 Wielomianem Taylora funkcji f w punkcie x0 stopnia n nazywamy wielomian

Tnx0f : R 3 h 7→ f(x0) + f ′(x0)

1! h+ f ′′(x0)2! h2 + . . .+ f (n)(x0)

n! hn ∈ R.

Z twierdzenia 15.12.3 łatwo wyprowadzamy następujący wniosek.

Wniosek 15.12.5 Funkcja f i jej wielomian Taylora Tnx0f mają takie same pochodne do n-tej włącznie odpowiednio

w zerze i w x0, tzn. dla i = 0, 1, 2, . . . n zachodzi(Tnx0

f)(i) (0) = f (i)(x0).

�

15.12.3 n-płaskość w zerze.Uogólnieniem pojęcia płaskości w zerze jest n-płaskość w zerze.

Definicja 15.12.6 Mówimy, że funkcja r : R−→◦ R określona w otoczeniu zera jest n-płaska w zerze, jeżeli r(h) = o(hn)przy h→ 0.

Lemat 15.12.7 Jeśli W : R→ R jest wielomianem stopnia co najwyżej n oraz

limh→0

W (h)hn

= 0 (15.27)

to W = 0.

Dowód: Dowód poprowadzimy indukcyjnie względem n. Rozważmy najpierw przypadek n = 0. Wtedy W (h) = a0 jestwtedy funkcją stałą. Z (15.27) mamy

0 = W (h)h0 = lim

h→0a0 = a0,

skąd W = 0.Przyjmijmy z kolei, że lemat jest spełniony dla m < n i rozważmy wielomian

W : R 3 h 7→ a0 + a1h+ a2h2 + . . .+ anh

n ∈ R

spełniający (15.27). Mamy

a0 = limh→0

W (h) = limh→0

W (h)hn

hn = limh→0

W (h)hn

limh→0

hn = 0.

Zatem W (h) = a1h + a2h2 + . . . + anh

n = hW1(h), gdzie W1(h) := a1 + a2h + . . . + anhn−1. Ale W1 jest wielomianem

stopnia co najwyżej (n− 1) oraz

limh→0

W1(h)hn−1 = lim

h→0

hW1(h)hn

= limh→0

W (h)hn

= 0,

zatem z założenia inducyjnego W1 = 0, skąd W = 0. �


Rysunek 15.9: Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) i Giuseppe Peano (1858 - 1932). Źródło: Wikipedia

15.13 Wzory Taylora i szereg Taylora.15.13.1 Wzór Taylora z resztą Peano.Przedstawimy teraz dwa, powiązane ze sobą twierdzenia. Pierwsze uogólnia uwagę 15.2.12 na przypadek n-płaskości wzerze. Drugie precyzuje jak wielomian Talora funkcji n-różniczkowalnej przybliża samą funkcję. Pochodzą one od włoskiegomatematyka Giuseppe Peano (rys. 15.9).

Twierdzenie 15.13.1 (Peano o funkcji n-płaskiej) Niech r : R−→◦ R będzie funkcją n-różniczkowalną w zerze.Funkcja ta jest n-płaska w zerze wtedy i tylko wtedy gdy

r(i)(0) = 0 dla i = 0, 1, 2, . . . n. (15.28)

Twierdzenie 15.13.2 (wzór Taylora z resztą Peano) Niech f : (a, b)→ R będzie funkcją (n− 1)-różniczkowalnąna przedziale (a, b) oraz n-różniczkowalną w x0 ∈ (a, b). Wtedy istnieje dokładnie jeden wielomian W : R→ R stopniaco najwyżej n taki, że dla h ∈ (a− x0, b− x0)

f(x0 + h) = W (h) + r(h)

dla pewnej n-płaskiej w zerze funkcji r : R−→◦ R. Co więcej, wielomianem tym jest Tnx0f , czyli wielomian Taylora funkcji

f w x0 stopnia n. W szczególności h 7→ f(x0 + h)− Tnx0f(h) jest funkcją n-płaską w zerze.

Dowód: (twierdzenia 15.13.1 i twierdzenia 15.13.2) Najpierw pokażemy indukcyjnie, że warunek (15.28) implikujen-płaskość w zerze funkcji r. Dla n = 1 wynika to wprost z uwagi 15.2.12. Załóżmy, że implikacja zachodzi dla m < n orazwarunek (15.28) jest spełniony. Ponieważ r(0) = 0, z uwagi 15.2.4 wnosimy, że wystarczy pokazać, iż

limh→0

r(h)hn

= 0. (15.29)

Wtedy (r′)(i)(0) = 0 dla i = 0, 1, 2, . . . n − 1, a zatem z założenia indukcyjnego zastosowanego do funkcji r′ wnosimy, że

15.13. WZORY TAYLORA I SZEREG TAYLORA. 251

r′(h) = o(hn−1) przy h→ 0. Zatem również z uwagi 15.2.4 wynika, iż

limh→0

r′(h)hn−1 = 0,

a stąd, przy wykorzystaniu reguły de l’Hospitala

limh→0

r(h)hn

= limh→0

r′(h)nhn−1 = 1

nlimh→0

r′(h)hn−1 = 0,

co dowodzi (15.29).Rozważmy z kolei funkcję f spełniającą założenia twierdzenia 15.13.2. Niech r(h) := f(x0 + h) − Tnx0

f(h). Wtedyr(i)(0) = 0 dla i = 0, 1, 2, . . . n. Zatem na mocy już udowodnionej części twierdzenia 15.13.1 funkcja r jest n-płaska w zerze.Dowodzi to, że za postulowany w twierdzeniu 15.13.2 wielomian W można wziąć wielomian Taylora Tnx0

f . W szczególnościzatem taki wielomian W istnieje, choć nie możemy jeszcze twierdzić, że jest wyznaczony jednoznacznie.

Aby pokazać jednoznaczność załóżmy, że istnieją wielomiany W1 i W2 stopnia co najwyżej n oraz n-płaskie w zerzefunkcje r1 i r2 takie, że

f(x0 + h) = Wi(h) + ri(h) przy h→ 0.

W szczególnościW1(h) + r1(h) = W2(h) + r2(h).

Wielomian W (h) := W1(h)−W2(h) spełnia zatem W (h) = r2(h)− r1(h). Z wniosku 15.2.6 wynika, że W (h) = o(hn) przyh→ 0. W szczególności z uwagi 15.2.4 wnosimy, że

limh→0

W (h)hn

= 0,

a więc lemat 15.12.7 implikuje, że W = 0.Pozostaje jeszcze uzupełnić dowód twierdzenia 15.13.1. Niech r : R−→◦ R będzie funkcją n-różniczkowalną i n-płaską w

zerze. Z udowodnionej już części twierdzenia 15.13.2 wiemy, że h 7→ r(h) − Tn0 r(h) jest funkcją n-płaską w zerze. Zatemz wniosku 15.2.6 wnosimy, że wielomia Tn0 r = r − (r − Tn0 r) jest n-płaska w zerze. Z uwagi 15.2.4 oraz lematu 15.12.7wnosimy, że Tn0 r =, a stąd, że zachodzi (15.28).

�

15.13.2 Wzór Taylora z resztą Lagrange’aSzczególnie interesujacy jest przypadek, gdy funkcja f : (a, b)→ R jest n-rózniczkowalna dla kazdego n ∈ N. Wtedy mozemy zbudowac wielomian TayloraTnx0

f dowolnie wysokiego stopnia. Kolejne wielomiany Taylora tworza wiec sumy czesciowe szeregu

∞∑i=0

f (i)(x0)i! hi. (15.30)

Naturalne jest zatem pytanie czy i kiedy ten szereg jest zbiezny do f(x0 + h). W tym celu trzeba zbadac kiedy

rn(h) := f(x0 + h)−n∑i=0

f (i)(x0)i! hi = f(x0 + h)− Tnx0

f(h),

zwane n-ta reszta, zmierza do zera przy n zmierzajacym do nieskonczonosci. W pierwszej chwili moze sie wydawac, ze wzór Taylor z reszta Peano pozwoliodpowiedziec na to pytanie, bo ze wzoru tego wiemy, ze

rn(h) = f(x0 + h)− Tnx0f(h) = o(hn) przy h→ 0,


zatem na podstawie wniosku 15.2.5rn(h) = f(x0 + h)− Tnx0

f(h) = ϕ(h)hn (15.31)dla pewnej ciagłej i zerujacej sie w zerze funkcji ϕ. Poniewaz dla |h| < 1 wyrazenie hn zmierza do zera przy n zmierzajacym do nieskonczonosci, moze siewydawac, ze dowodzi to iz n-ta reszta rn(h) zmierza do zera. Problem w tym, ze funkcja ϕ we wzorze (15.31) zalezy od n, zatem wzór ten powinien byczapisany jako

rn(h) = f(x0 + h)− Tnx0f(h) = ϕn(h)hn.

Widac teraz, ze chociazhn zmierza do zera przyn dazacym do nieskonczonosci, to o granicy limn→∞ ϕn(h) nic nie potrafimy powiedziec i nasze rozumowaniesie rozsypuje. Aby je uratowac musimy cos wiecej wiedziec o reszcie rn(h).

Niech f : (c, d)→ R będzie funcją (n+ 1)-różniczkowalną. Ustalmy a, b ∈ (c, d) takie, że a < b.Zaczniemy od lematu, który uogólnia twierdzenie Rolle’a (tw. 15.8.3).

Lemat 15.13.3 Jeśli f jest n-płaska w a oraz f(b) = 0 to dla każdego i = 1, 2, . . . , n+ 1 istnieje ξi ∈ (a, b) takie, żef (i)(ξi) = 0.

Dowód: Z twierdzenia Peano o funkcji płaskiej wnosimy, że f (i)(a) = 0 dla i = 1, 2, . . . n. Dowód poprowadzimyindukcyjnie względem n. Dla n = 0 lemat wynika wprost z twierdzenia Rolle’a (tw. 15.8.3). Załóżmy zatem, że twierdzeniezachodzi dla m < n. Stosując je dla m = n otrzymujemy istnienie potrzebnych ξi dla i = 1, 2, . . . , n. W szczególnościf (n)(ξn) = 0. Ponieważ również f (n)(a) = 0, więc stosując twierdzenie Rolle’a do f (n) na przedziale [a, ξn] znajdziemyξn+1 ∈ (a, ξn) takie, że

(f (n))′ (ξn+1) = 0. Zatem f (n+1)(ξn+1) = 0. �

Uogólnimy teraz twierdzenie o wartości średniej.

Twierdzenie 15.13.4 Jeśli f jest n-płaska w a to istnieje ξ ∈ (a, b) takie, że

f(b) = f (n+1)(ξ)(n+ 1)! (b− a)n+1.

Dowód: Połóżmy M := f(b)(b−a)n+1 i rozważmy funkcję g : t 7→ f(t) −M(t − a)n+1. Prostym rachunkiem sprawdzamy,

że g(a) = g(b) = 0 oraz g(i)(a) = 0 dla i = 1, 2, . . . n. Zatem z twierdzenia Peano o funkcji płaskiej g spełnia założenialematu 15.13.3. Istnieje więc ξ ∈ (a, b) takie, że g(n+1)(ξ) = 0. Ale g(n+1)(t) = f (n+1)(t) − (n + 1)!M , więc f (n+1)(ξ) =(n+ 1)!M , skąd wynika teza. �

Jesteśmy teraz gotowi podać wzór Taylora ze zmodyfikowaną resztą, zwaną resztą Lagrange’a. Twierdzenie to pochodziod francuskiego matematyka włoskiego pochodzenia, J.L. Lagrange’a (rys. 15.9).

Twierdzenie 15.13.5 (wzór Taylora z resztą Lagrange’a) Niech f : (c, d) → R będzie funcją n + 1-różniczkowalną. Niech a, b ∈ (c, d) spełniają a < b. Wtedy istnieje ξ ∈ (a, b) takie, że

f(b) = Tna f(b− a) + f (n+1)(ξ)(n+ 1)! (b− a)n+1. (15.32)

Przyjmując oznaczenie h := b− a oraz rozpisując wielomian Taylora możemy też powyższą tezę zapisać jako

f(a+ h) = f(a) + f ′(a)1! h+ f ′′(a)

2! h2 + . . .+ f (n)(a)n! hn + f (n+1)(ξ)

(n+ 1)! hn+1.

Dowód: Rozważmy funkcję r : x 7→ f(x) − Tna f(x − a). Funkcja ta jest n-płaska w a, bo jej pochodne w a do n-tejwłącznie się zerują. Zatem z twierdzenia 15.13.4 istnieje ξ ∈ (a, b) takie, że

r(b) = r(n+1)(ξ)(n+ 1)! (b− a)n+1.


Ale r(n+1)(x) = f (n+1)(x), bo (n+ 1)-sza pochodna wielomianu stopnia co najwyżej n zeruje się, Zatem

f (n+1)(ξ)(n+ 1)! (b− a)n+1 = r(b) = f(b)− Tna f(b− a),

skąd wynika (15.32). �W programie Mathematica n-ty wielomian Taylora funkcji f w punkcie u wyliczony dla argumentu (x − u) uzyskamy

instrukcją

Series[f[x],{x,u,n}]

Na przykład pisząc

Series[Exp[x], {x, 0, 6}]

otrzymujemy

1 + x+ x2

2 + x3

6 + x4

24 + x5

120 + x6

720 +O [x]7

Wyrażenie O [x]7 jest tutaj niezbyt fortunnym, choć dającym się wytłumaczyć, sposobem zapisania reszty Lagrange’a.

15.13.3 Punkty przegięcia

Definicja 15.13.6 Mówimy, że funkcja f : (a, b) → R ma punkt przegięcia w x0 ∈ (a, b) jeżeli f jest różniczkowalnaw x0 oraz istnieje δ > 0 taka, że dla 0 < |h| < δ funkcja

h 7→ sgn [∆x0f(h)− f ′(x0)h] sgn h

jest stała, to znaczy stale równa jeden lub stale równa minus jeden.

Twierdzenie 15.13.7 Niech f : (a, b)→ R będzie klasy Cn oraz niech f (i)(x0) = 0 dla i = 1, 2, . . . n−1 i f (n)(x0) 6= 0.Jeśli n jest parzyste, to f ma w x0 maksimum lokalne gdy f (n)(x0) < 0 bądź minimum lokalne gdy f (n)(x0) > 0.Natomiast jeśli n jest nieparzyste, to f ma w x0 punkt przegięcia.

Dowód: Ponieważ f jest klasy Cn, więc f (n) jest funkcją ciągłą, zatem w pewnym otoczeniu punktu x0 ma stały znak.Wybierzmy δ > 0 tak, by sgn f (n)(x) było stałe dla 0 < |x − x0| < δ. Załóżmy, że 0 < |h| < δ. Ze wzoru Taylora z resztąLagrange’a dla pewnego θ ∈ (0, 1)

f(x0 + h)− f(x0) = f (n)(x0 + θh)n! hn,

skąd otrzymujemy tezę, ponieważ znak wyrażenia f (n)(x0 + θh) jest stały. �

15.13.4 Szereg TayloraDysponujemy teraz narzędziami do badania zbieżności szeregu (15.30). Zacznijmy od formalnej definicji.

Definicja 15.13.8 Mówimy, że funkcja f : (a, b)→ R jest klasy C∞ jeżeli jest klasy Cn dla każdego n ∈ N.


Definicja 15.13.9 Niech f : (a, b) → R będzie funkcją klasy C∞ i niech x0 ∈ (a, b). Szereg formalny (bez pytania ozbieżność)

∞∑i=0

f (i)(x0)i! hi

nazywamy szeregiem Taylora funkcji f w punkcie x0 dla argumentu h i oznaczamy Tx0f(h).

Przykład 15.13.10 Pochodną rzeczywistej funkcji wykładniczej exp : R 3 x → ex ∈ R jest ona sama. Zatemwszystkie jej pochodne są jej równe. W szczególności funkcja wykładnicza jest klasy C∞ oraz exp(n)(0) = exp(0) = 1.Zatem łatwo sprawdzamy, że szeregiem Taylora rzeczywistej funkcji wykładniczej w zerze jest

∞∑i=0

1i!h

i,

a więc ten sam szereg, który posłużył nam do zdefiniowania funkcji wykładniczej. O szeregu tym wiemy, że jest zbieżnydo exp(h).

Wzór Taylora z resztą Lagrange’a podpowiada nam jak zagwarantować zbieżność szeregu Taylora.

Twierdzenie 15.13.11 Niech f : (a, b) → R będzie klasy C∞ i niech x0 ∈ (a, b). Jeżeli istnieją stałe ε > 0 orazM > 0 takie, że dla wszystkich n ∈ N

|f (n)(x)| ¬M dla x ∈ (x0 − ε, x0 + ε),

to dla |h| < ε szereg Taylora Tx0f(h) jest zbieżny do f(x0 + h), co możemy też zapisać w postaci

f(x0 + h) =∞∑i=0

f (i)(x0)i! hi.

Dowód: Niech |h| < ε i niech sn := Tnx0f(h) oraz rn := f(a+h)− sn. Ze wzoru Taylora z resztą Lagrange’a (tw. 15.13.5)

dla pewnego ξ ∈ (a, b) mamy

|rn| =∣∣∣∣f (n+1)(ξ)

n! hn+1∣∣∣∣ ¬ M

n! |h|n+1.

Prawa strona powyższej nierówności zmierza do zera przy n dążącym do nieskończoności. Zatem limn→∞ rn = 0, skądlimn→∞ sn = f(a+ h). �

Nie w każdej sytuacji powyższe twierdzenie działa. Czasami, tak jak w poniższym przykładzie, musimy sobie radzić napiechotę.


Przykład 15.13.12 Skonstruujemy szereg Taylora funkcji ln w otoczeniu jedynki. Indukcyjnie sprawdzamy, że dlan 1

ln(n)(x) = (−1)n−1 (n− 1)!xn

.

Zatem ln(n)(1) = (−1)n(n− 1)!. Stąd

(T1 ln)(h) = ln 1 +∞∑i=1

(−1)i−1(i− 1)!i! hi =

∞∑i=1

(−1)i−1

ihi.

Ze wzoru Taylora z resztą Lagrange’a mamy dla |h| < 1 i pewnego ξ pomiędzy 1 i 1 + h∣∣∣∣∣ln(1 + h)−n∑i=1

(−1)i−1

ihi

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣ (−1)n

(n+ 1)(1 + ξ)n+1hn+1∣∣∣∣ ¬ 1

n+ 1|h|n+1

(1− |ξ|)n+1 ¬1

n+ 11

(1− |h|)n+1 .

Ponieważ prawa strona otrzymanej nierówności zmierza do zera przy n zmierzającym do nieskończoności otrzymujemy

limn→∞

∣∣∣∣∣ln(1 + h)−n∑i=1

(−1)i−1

ihi

∣∣∣∣∣ = 0

Zatem dla |h| < 1 szereg T1 ln(h) jest zbieżny oraz

ln(1 + h) = h

1 −h2

2 + h3

3 − . . . .


Rozdział 16

Całka oznaczona

16.1 Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

16.1.1 Pole obszaru.Gdy potrzebujemy pokryc pewien obszar (na przykład plac lub podłoge łazienki) kwadratowymi płytkami o boku jednostkowej długosci (na przykład 10cm), musimyumiec policzyc ile płytek do tego celu potrzebujemy. Zakładajac, ze obszar ma kształt prostokata o bokach długoscim,n ∈ N łatwo stwierdzamy, ze potrzebujemymn płytek. Jesli boki prostokata nie sa liczbami całkowitymi lub obszar ma kształt inny niz prostokatny, sprawa robi sie bardziej skommplikowana, bo bez cieciapłytek sobie nie poradzimy. Zawsze jednak mozemy zapytac ile maksymalnie płytek daje sie ułozyc w granicach obszaru tak, by nie zachodziły one na siebie, atakze ile minimalnie potrzeba płytek, by pokryc cały obszar (rys. 16.1). Te dwie liczby stanowia oszacowanie od dołu i od góry tego co intuicyjnie okreslamy jakopowierzchnie obszaru. Lepsze przyblizenia powierzchni dostaniemy posługujac sie płytkami o mniejszym boku. Kontynuujac proces szacowania powierzchniprzy uzyciu płytek o coraz krótszych bokach otrzymujemy dwa ciagi szacujace powierzchnie obszaru: jeden rosnacy i szacujacy powierzchnie od dołu, drugimalejacy i szacujacy powierzchnie od góry. Wiemy, ze takie ciagi, jako monotoniczne i ograniczone, maja granice. Intuicja podpowiada nam, ze oba te ciagi majate sama granice i jest nia pole powierzchni rozwazanego obszaru. Intuicja jest tu zawodna, bo mozna podac przykład zbiorów, dla których granice te sa rózne, cooznacza, ze intuicyjne pojecie powierzchni obszaru nie zawsze ma sens.

Do zagadnien zwiazanych z definicja pola powierzchni podzbioru R2 (ogólniej miary podzbioru Rd) jeszcze wrócimy, a na razie ograniczymy sie do szcze-gólnego przypadku obszaru postaci

{ (x, y) ∈ R2 | a ¬ x ¬ b, 0 ¬ y ¬ f(x) },

gdzie a < b sa liczbami rzeczywistymi, a f : [a, b] → R∗ jest pewna funkcja. Pole powierzchni takiego obszaru mozna oszacowac dzielac przedział [a, b]na mniejsze przedziały i sumujac pola prostokatów zbudowanych nad tymi przedziałami tak, by miesciły sie pod wykresem funkcji lub by pokrywały obszar.Otrzymujemy w ten sposób odpowiednio przyblizenie pola powierzchini od dołu lub od góry (rys. 16.2).

16.1.2 Przedziały w R i ich podziały.W niniejszym rozdziale rozważać będziemy przedziały zwarte w R, a więc przedziały postaci [a, b], gdzie a, b ∈ R i a < b.Zbiór takich przedziałów oznaczać będziemy Przedz(R). Liczby a oraz b nazywamy końcami przedziału [a, b]. Długościąprzedziału I = [a, b] ∈ Przedz(R) nazywamy liczbę b− a. Jest to liczba dodatnia, którą oznaczać będziemy len I.

Mówimy, że dwa przedziały I, J ∈ Przedz(R) są rozgraniczone jeżeli mają rozłączne wnętrza. Skończony zbiór przedziałówP ⊂ Przedz(R) nazywamy podziałem przedziału I ∈ Przedz(R), jeżeli dowolne dwa różne elementy P są rozgraniczone orazI =

⋃P. Średnicą podziału P nazywamy liczbę

δ(P) := max { lenP | P ∈ P }.

Zbiór wszystkich podziałów przedziału I oznaczać będziemy Podz(I).

257

258 ROZDZIAŁ 16. CAŁKA OZNACZONA

Rysunek 16.1: Przybliżanie pola figury poprzez zliczanie kwadratów wpisanych w figurę i pokrywających figurę w siecikwadratowej na płaszczyźnie.

Rysunek 16.2: Po lewej obszar pod wykresem funkcji. Po prawej aproksymacja pola powierzchni tego obszaru od dołu sumąpól prostokątów zawartych w obszarze oraz aproksymacja od góry sumą pól prostokątów pokrywających obszar.

16.1. CAŁKA RIEMANNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 259

Niech x : { 0, 1, 2, . . . n } → [a, b] będzie silnie rosnącym, skończonym ciągiem takim, że x0 = a i xn = b. Łatwo sprawdzić,że wtedy rodzina

Px := { [xi−1, xi] | i = 1, 2, . . . n }jest podziałem przedziału [a, b], zwanym podziałem zadanym ciągiem x.

Łatwo zauważyć, że każdy podział P ∈ Podz(I) przedziału I = [a, b] ∈ Przedz(R) jest zadany pewnym ciągiem x :{ 0, 1, 2, . . . n } → [a, b]. W istocie ciąg x zadający podział P otrzymamy biorąc zbiór końców przedziałów w P ustawiony wciąg rosnący. Ciąg ten nazywać będziemy ciągiem zadającym podział P i oznaczać xP .

Zatem podziały przedziału I = [a, b] ∈ Przedz(R) możemy utożsamiać ze skończonymi, silnie rosnącymi ciągami liczbrozpoczynającymi się od liczby a i kończącymi się na liczbie b.

Uwaga 16.1.1 Jeśli P jest podziałem przedziału I, to

len I =∑P∈P

lenP.

Definicja 16.1.2 Niech P1,P2 ∈ Podz(I) będą podziałami przedziału I ∈ Przedz(R). Mówimy, że podział P2 jestpodpodziałem podziału P1 i piszemy P2 @ P1 jeżeli dla każdego przedziału P2 ∈ P2 istnieje przedział P1 ∈ P1 taki,że P2 ⊂ P1.

Łatwo zaobserwować, że podział P2 ∈ Podz(I) jest podpodziałem podziału P1 ∈ Podz(I) wtedy i tylko wtedy gdy ciągzadający podział P1 jest podciągiem ciągu zadającego podział P2.

Uwaga 16.1.3 Niech P1,P2 będą dwoma dowolnymi podziałami przedziału I ∈ Przedz(R). Istnieje podział P3 prze-działu I taki, że P3 @ P1 i P3 @ P2.

Dowód: Jako podział P3 wystarczy wziąć podział zadany przez zbiór końców przedziałów w P1 ∪ P2 posortowany wciąg rosnący.

�

16.1.3 Całkowalność w sensie RiemannaNiech I = [a, b] ∈ Przedz(R) będzie ustalonym przedziałem, a f : [a, b]→ R niech będzie funkcją ograniczoną. Dla podzbioruP ⊂ [a, b] przyjmujemy oznaczenia

m(f, P ) := inf { f(x) | x ∈ P },M(f, P ) := sup { f(x) | x ∈ P }.

Zwróćmy uwagę, że ograniczoność funkcji f gwarantuje iż liczby m(f, P ) i M(f, P ) są dobrze określone.

Definicja 16.1.4 Niech P będzie podziałem przedziału [a, b]. Wyrażenia

L(f,P) :=∑P∈P

m(f, P ) lenP,

U(f,P) :=∑P∈P

M(f, P ) lenP

nazywamy odpowiednio dolną i górną sumą Darboux dla funkcji f i podziału P.


Łatwo zauważyć, że jeżeli x : { 0, 1, 2, . . . n } → [a, b] jest ciągiem zadającym podział P, to mamy

L(f,P) =n∑i=1

m(f, [xi−1, xi])(xi − xi−1),

U(f,P) =n∑i=1

M(f, [xi−1, xi])(xi − xi−1).

Jesli funkcja f ma wartosci nieujemne, to iloczyny m(f, [xi−1, xi])(xi − xi−1) i M(f, [xi−1, xi])(xi − xi−1) odpowiadaja polu prostokatów opodstawie [xi−1, xi] i wysokosci równej odpowiednio kresowi dolnemu i kresowi górnemu funkcji f na przedziale [xi−1, xi]. Zatem suma dolna Darboux isuma górna Darboux daja odpowiednio przyblizenie od dołu i od góry pola pod wykresem funkcji f .

Definicja 16.1.5 Wyrażenia

L(f) := sup {L(f,P) | P ∈ Podz([a, b]) },U(f) := inf {L(f,P) | P ∈ Podz([a, b]) }.

nazywamy odpowiednio całką dolną i całką górną funkcji f . Jeżeli L(f) = U(f), to funkcję f nazywamy całkowalnąw sensie Riemanna, a liczbę L(f) = U(f) nazywamy całką Riemanna funkcji f i oznaczamy

∫ baf . Zbiór funkcji

ograniczonych f : [a, b]→ R, które są całkowalne w sensie Riemanna oznaczamy Riem([a, b]).

Przykład 16.1.6 Najprostszym przykładem funkcji całkowalnej w sensie Riemanna jest funkcja stała c[a,b]. Rzeczy-wiście, dla dowolnego przedziału P ⊂ [a, b] mamy m(c[a,b], P ) = M(c[a,b], P ) = c, zatem dla dowolnego podziałuP ∈ Podz([a, b]) jest

L(c[a,b],P) = U(c[a,b],P) =∑P∈P

c lenP = c∑P∈P

lenP = c(b− a).

Zatem L(c[a,b]) = U(c[a,b]) = c(b− a) i w konsekwencji∫ b

a

c[a,b] = c(b− a).

Przykład 16.1.7 Rozważmy funkcję Dirichleta

fD : [0, 1] 3 x 7→{

0 x ∈ Q,1 x 6∈ Q.

Jeśli P ⊂ [0, 1] jest przedziałem o niepustym wnętrzu, to m(fD, P ) = 0 i M(fD, P ) = 1. Stąd dla dowolnego P ∈Podz([0, 1]) mamy L(fD,P) = 0 i U(fD,P) = 1. W konsekwencji L(fD) = 0 6= 1 = U(fD). Zatem funkcja Dirichletanie jest całkowalna w sensie Riemanna.

16.1.4 Epsilonowe kryterium całkowalności

16.1. CAŁKA RIEMANNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 261

Lemat 16.1.8 Jeśli P1,P2 ∈ Podz([a, b]) oraz P2 @ P1, to

L(f,P1) ¬ L(f,P2) i U(f,P2) ¬ U(f,P1).

Dowód: Niech P ∈ P1. Z uwagi 16.1.1 mamy

m(f, P ) lenP = m(f, P )∑

P ′⊂P, P ′∈P2

lenP ′ =∑

P ′⊂P, P ′∈P2

m(f, P ) lenP ′ ¬∑

P ′⊂P, P ′∈P2

m(f, P ′) lenP ′.

Sumując lewą i prawą stronę powyższych nierówności dla P ∈ P1 dostajemy

L(f,P1) ¬ L(f,P2).

Dowód nierówności dla sum górnych jest analogiczny. �Z lematu 16.1.8 i uwagi 16.1.3 dostajemy następujący wniosek

Wniosek 16.1.9 Dla dowolnych podziałów P1,P2 ∈ Podz([a, b]) mamy

L(f,P1) ¬ U(f,P2).

Z powyższgo wniosku dostajemy natychmiast następujący wniosek

Wniosek 16.1.10 Dla dowolnej funkcji ograniczonej f : [a, b]→ R mamy

L(f) ¬ U(f).

Jesteśmy teraz przygotowani, by pokazać następującą charakteryzację funkcji całkowalnych w sensie Riemanna.

Twierdzenie 16.1.11 Funkcja ograniczona f : [a, b]→ R jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy gdydla każdego ε > 0 istnieje podział P ∈ Podz([a, b]) przedziału [a, b] taki, że

U(f,P)− L(f,P) < ε. (16.1)

Dowód: Przyjmijmy najpierw, że f jest całkowalna w sensie Riemanna. Ustalmy ε > 0. Z definicji całki dolnej i górnejdo ε/2 znajdziemy podziały P1,P2 ∈ Podz([a, b]) takie, że

L(f,P1) > L(f)− ε

2 oraz U(f,P2) < U(f) + ε

2 .

Na mocy uwagi 16.1.3 możemy wybrać podział P3 ∈ Podz([a, b]) taki, że P3 @ P1 oraz P3 @ P2. Z lematu 16.1.8 oraz z(16.1.4) dostajemy

U(f,P3)− L(f,P3) ¬ U(f,P2)− L(f,P1) < U(f) + ε

2 − (L(f)− ε

2) = ε,

bo z założenia L(f) = U(f). Zatem podział P3 spełnia wymóg (16.1).Dla dowodu przeciwnej implikacji przyjmijmy nie wprost, że f nie jest całkowalna w sensie Riemanna. Wtedy L(f) 6=

U(f), zatem z wniosku 16.1.10 wynika, że L(f) < U(f). Z definicji sum dolnych i górnych wnosimy, że dla dowolnegoP ∈ Podz([a, b]) mamy

U(f,P)− L(f,P) U(f)− L(f).

W szczególności wynika stąd, że dla ε := U(f)−L(f)2 , które na mocy przyjętego założenia jest dodatnie, nie znajdziemy

podziału P spełniającego warunek (16.1). A to dowodzi, że implikacja przeciwna również zachodzi. �


16.2 Własności całki Riemanna16.2.1 Monotoniczność całki

Twierdzenie 16.2.1 Niech f, g : [a, b]→ R będą funkcjami ograniczonymi. Jeśli f ¬ g to

L(f) ¬ L(g) oraz U(f) ¬ U(g).

W szczególności, jeśli tak f jak i g są całkowalne w sensie Riemanna, to∫ b

a

f ¬∫ b

a

g.

16.2.2 Przestrzeń wektorowa funkcji całkowalnych w sensie Riemanna.

Twierdzenie 16.2.2 Jeśli f, g : [a, b] → R są całkowalne w sensie Riemanna to f + g oraz f − g są całkowalne wsensie Riemanna oraz ∫ b

a

(f + g) =∫ b

a

f +∫ b

a

g i∫ b

a

(f − g) =∫ b

a

f −∫ b

a

g.

Ponadto, dla dowolnego α ∈ R funkcja αf jest całkowalna w sensie Riemanna oraz∫ b

a

(αf) = α

∫ b

a

f.

Uwaga 16.2.3 Jeśli f : [a, b]→ R jest całkowalna w sensie Riemanna, to∣∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ ¬ (b− a) supx∈[a,b]

|f(x)|.

Twierdzenie 16.2.4 Przestrzeń Riem([a, b]) funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na przedziale zwartym [a, b] zdziałaniem dodawania funkcji oraz możenia funkcji przez liczbę jest przestrzenią wektorową. Ponadto, odwzorowanie

Riem([a, b]) 3 f 7→ ||f || := supx∈[a,b]

|f(x)| ∈ R∗

jest normą, która zadaje w Riem([a, b]) strukturę przestrzeni wektorowej unormowanej, a tym samym strukturę prze-strzeni metrycznej. Co więcej, odwzorowanie

Riem([a, b]) 3 f 7→∫ b

a

f ∈ R

jest odwzorowaniem liniowym oraz Lipschitzowskim ze stałą len[a, b], a więc w szczególności odwzorowaniem ciągłym.

16.2. WŁASNOŚCI CAŁKI RIEMANNA 263

16.2.3 Miarowe kryterium całkowalności.

Definicja 16.2.5 Miarą zewnętrzną podzbiorów R nazywamy funkcję

µ∗ : P(R) 3 E 7→ inf {∑A∈A lenA | A ⊂ Przedz(R) oraz E ⊂

⋃A}.

Mówimy, że zbiór E ⊂ R jest miary zero jeżeli µ∗(E) = 0.

Twierdzenie 16.2.6 Miara zewnętrzna ma następujące własności:

(i) µ∗(∅) = 0,

(ii) E ⊂ F ⇒ µ∗(E) ¬ µ∗(F ),

(iii) µ∗(⋃∞i=1Ei) ¬

∑∞i=1 µ

∗(Ei),

Przykład 16.2.7 Zbiorem miary zero jest każdy skończony zbiór punktów.

Wniosek 16.2.8 Suma co najwyżej przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero jest zbiorem miary zero.

Twierdzenie 16.2.9 Funkcja ograniczona f : [a, b] → R jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy gdyzbiór punktów, w których nie jest ciągła ma miarę zero. W szczególności, jeśli f jest ciągła, to jest całkowalna w sensieRiemanna.

16.2.4 Całkowalność złożenia i iloczynu

Twierdzenie 16.2.10 Całka Riemanna ma następujące własności:

(i) jeśli f ∈ Riem(I) jest całkowalna w sensie Riemanna, a ϕ : R→ R jest ciągła, to ϕ ◦ f ∈ Riem(I),

(ii) jeśli f, g ∈ Riem(I), to ich ich iloczyn f · g ∈ Riem(I),

(i) jeśli f ∈ Riem(I), to |f | ∈ Riem(I).

16.2.5 Całka Riemanna na podprzedziale

Definicja 16.2.11 Niech f : R−→◦ R będzie funkcją ograniczoną i niech [a, b] ⊂ dom f . Mówimy, że f jest całkowalnaw sensie Riemanna na przedziale [a, b], jeżeli zwężenie f|[a,b] jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna. W takimprzypadku całkę

∫ baf|[a,b] nazywamy całką Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] lub całką oznaczoną funkcji f od a

do b i oznaczamy ∫ b

a

f :=∫ b

a

f|[a,b].


Twierdzenie 16.2.12 Niech f : R−→◦ R będzie funkcją ograniczoną i niech [a, b] będzie przedziałem zwartym zawartymw dziedzinie funkcji f . Jeśli P jest podziałem przedziału [a, b] zadanym ciągiem x : { 0, 1, 2, . . . k } → [a, b], to f jestcałkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego i = 1, 2, . . . k funkcja f jestcałkowalna w sensie Riemanna na przedziale [xi−1, xi]. Co więcej, gdy którykolwiek z tych warunków zachodzi, to∫ b

a

f =k∑i=1

∫ xi

xi−1

f.

16.2.6 Całka oznaczona

Definicja 16.2.13 Niech f : R−→◦ R będzie funkcją ograniczoną całkowalną w sensie Riemanna na przedziale [a, b].Całkę Riemanna z f na przedziale [a, b] określa się też mianem całki oznaczonej z f na przedziale [a, b] i oznacza siębardziej tradycyjnym symbolem ∫ b

a

f(x)dx :=∫ b

a

f :=∫

[a,b]f.

Wniosek 16.2.14 Jeśli f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] oraz c ∈ (a, b), to f jest całkowalnaw sensnie Riemanna na przdziałach [a, c] i [c, b] oraz∫ b

a

f(x)dx =∫ c

a

f(x)dx+∫ b

c

f(x)dx.

W programie Mathematica całkę oznaczoną z funkcji f na przedziale [a, b] obliczamy używając instrukcji

Integrate[f[x], {x, a, b}]

W miarę swoich możliwości Mathematica stara się zwrócić dokładny wynik. Na przykład

Integrate[Sqrt[1 - x^2], {x, 0, 1}]

zwraca π4 .

16.2.7 Twierdzenie RiemannaNiech f : R−→◦ R będzie funkcją ograniczoną i niech [a, b] będzie przedziałem zwartym zawartym w dziedzinie funkcji f .Niech P będzie podziałem przedziału [a, b] zadanym ciągiem x : { 0, 1, 2, . . . k } → [a, b].

Definicja 16.2.15 Niech Ξ := { ξ1, ξ2, . . . ξk } ⊂ [a, b] będzie zbiorem punktów takich, że ξi ∈ [xi−1, xi] dla i =1, 2, . . . k. Parę (P,Ξ) nazywamy parą aproksymacyjną dla f na przedziale [a, b], a wyrażenie

S(f,P,Ξ) :=k∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1)

nazywamy sumą aproksymacyjną dla f na przedziale [a, b]. Ciąg par aproksymacyjnych (Pn,Ξn)∞n=1 nazywamy ciągiemnormalnym, jeżeli ciąg średnic podziałów Pn zmierza do zera.


Twierdzenie 16.2.16 (Riemanna). Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną. Funkcja ta jest całkowalna wsensie Riemanna wtedy i tylko wtedy gdy istnieje liczba g ∈ R taka, że dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 taka, że dlakażdej pary aproksymacyjnej (P,Ξ) dla f na przedziale [a, b] mamy

δ(P) < δ ⇒ |S(f,P,Ξ)− g| < ε.

Liczba g jest wyznaczona jednoznacznie i jest równa całce∫ baf .

Program, który liczy przybliżenie całki ∫ x

0f(t)dt

w oparciu o sumy Riemanna

sn :=n∑i=1

1nf( inx)

przedstawia listing 16.1. Podobny program w języku C++ przedstawia listing 16.2.Wyrazy ciągu sn powinny przybliżać pole ćwiartki koła, czyli

π

4 = 0.7853981633974483...,

natomiast 20-ty wyraz ciągu sn wyliczony przez program to

s20 = 0.785397208948704.

Widzimy więc, że z punktu widzenia liczenia liczby π ta technika jest gorsza niż zastosowana wcześniej technika szeregów.Jednak pożytki z niej leżą gdzie indziej.

Ćwiczenie komputerowe 16.2.17 Adaptuj program z listingu 16.2 do policzenia przybliżenia pola soczewkowatejfigury na rys. 1.13.


� �(∗ P r z y b l i ż a n i e c a ł k i oznaczone j z f u n k c j i f od 0 do x poprzez

pola m prostokątów pod wykresem ∗)RiemIntegra l [ f_ , x_, m_] :=

Module [ { s , k , y } ,s = 0 . ; k = 0 ;(∗ Sumujemy w zmiennej s war to ś c i f u n k c j i w punktach x∗k/m ∗)Do[

y = x∗k/m;s = s + f [ y ] ;k = k + 1 ,{m}

] ;(∗ Zwracamy sumę pomnożoną przez wspólną długość podstawy wynoszącą 1/m ∗)s /m

]

(∗ Wykres p o n i ż s z e j f u n k c j i nad przedz iałem [ 0 , 1 ] to ćwiartka okręgu ∗)arc [ x_ ] := Sqrt [ 1 − x ^ 2 ] ;

(∗ Przybliżymy po le pod ćwiartką okręgu danego funkc ją arc nad [ 0 , 1 ]Wykonamy 20 prób za każdym razem podwajając i l o ś ć przedz ia łów ∗)m = 1 ; d = 1 ;Do[

p = RiemIntegra l [ arc , 1 . , m] ;(∗ Wydruk kontro lny : całka powinna być b l i s k a p i /4 ∗)Print [ "s[" , d , "]=" , NumberForm[ p , 1 6 ] ] ;m = m∗2 ; d = d + 1 ,{20}

]� �Listing 16.1: Przybliżanie całki oznaczonej w języku Mathematica


� �/∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ RiemIntegra l . cpp ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗//∗ P r z y b l i ż a n i e c a ł k i oznaczone j poprzez pola prostokątów ∗//∗ pod wykresem ∗//∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/#include <iostream>#include <cmath>#include <iomanip>using namespace std ;

/∗ Wykres p o n i ż s z e j f u n k c j i nad przedz iałem [ 0 , 1 ] to ćwiartka okręgu ∗/double arc ( double x ){

return s q r t (1−x∗x ) ;}

/∗ P r z y b l i ż a n i e c a ł k i Riemanna f u n k c j i f od 0 do x sumą m prostokątówZapis double (∗ f ) ( double ) oznacza , że argumentem f j e s t funkc ja ∗/

double RiemIntegra l ( double (∗ f ) ( double ) , double x , int m){double s =0;/∗ Sumujemy w zmiennej s war to ś c i f u n k c j i w punktach x∗k/m ∗/for ( int k=0;k<m; k=k+1){

double y=x∗k/m;s=s+f ( y ) ;

}/∗ Zwracamy sumę pomnożoną przez wspólną długość podstawy wynoszącą 1/m ∗/return s=s /m;

}


int m=1;/∗ Przybliżymy po le pod ćwiartką okręgu danego funkc ją arc nad [ 0 , 1 ]

Wykonamy 20 prób za każdym razem podwajając i l o ś ć przedz ia łów ∗/for ( int d=1;d<=20;d=d+1){

double p=RiemIntegra l ( arc , 1 . ,m) ;/∗ Wydruk kontro lny : całka powinna być b l i s k a p i /4 ∗/cout << "s[" << setw (2) << d << "] =" << setw (18) << p ;cout << endl ;m=m∗2 ;

}}� �

Listing 16.2: Przybliżanie całki oznaczonej w C++


Rozdział 17

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Jak wspomnielismy w rozdziale wstepnym Newton i Leibniz odkryli, ze pojecie pochodnej i pojecie całki sa ze soba powiazane. Wziecie całki z pochodnej orazpochodnej z całki prowadza do wyjsciowej funkcji. W niniejszym rozdziale doprecyzujemy co to oznacza oraz zajmiemy sie pozytkami jakie z tego faktu płyna.

17.1 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego17.1.1 Pochodna całki

Twierdzenie 17.1.1 Niech f : [a, b]→ R będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Rozważmy funkcję

F : [a, b] 3 x 7→∫ x

a

f(t)dt.

Wtedy

(i) funkcja F jest funkcją Lipschitza,

(ii) jeśli f jest ciągła w punkcie x0 ∈ [a, b] to F jest różniczkowalna w x0 oraz F ′(x0) = f(x0).

Dowód: Aby pokazać własność (i) rozważmy x, y ∈ (a, b) spełniające x < y. Niech M := supx∈[a,b] f(x)|. Mamy∣∣∣∣∫ y

x

f

∣∣∣∣ ¬ ∫ y

x

|f | ¬M(y − x) = M |y − x|.

Zatem F rzeczywiście jest funkcją Lipschitza.Dla dowodu własności (ii) ustalmy ε > 0. Z ciągłości f w x0 znajdziemy δ > 0 takie, ze

|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0| < ε.

Zatem dla |h| < δ∣∣∣∣F (x0 + h)− F )x0)h

− f(x0)∣∣∣∣ = 1|h|

∣∣∣∣∣∫ x0+h

x0

f(t)dt−∫ x0+h

x0

f(x0)dt

∣∣∣∣∣ ¬ 1|h|

∫ x0+h

x0

|f(t)− f(x0)| ¬ 1|h|

∫ x0+h

x0

εdt =∣∣∣∣hεh∣∣∣∣ = ε,

co dowodzi, że F jest różniczkowalna w x0 oraz F ′(x0) = f(x0). �

269

270 ROZDZIAŁ 17. FUNKCJA PIERWOTNA I CAŁKA NIEOZNACZONA

17.1.2 Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona.

Definicja 17.1.2 Niech f : [a, b] → R. Mówimy, że F : [a, b] → R jest funkcją pierwotną funkcji f jeżeli F jestróżniczkowalna oraz F ′(x) = f(x) dla każdego x ∈ [a, b].

Z twierdzenia 17.1.1 łatwo wyprowadzamy następujacy wniosek.

Wniosek 17.1.3 Jeśli f : [a, b]→ R jest ciągła to funkcja

[a, b] 3 x 7→∫ x

a

f(t)dt ∈ R

jest funkcją pierwotna funkcji f .

Naturalne jest pytanie czy funkcja f moze mieć więcej niż jedną pierwotną. Dodając do pierwotnej funkcję stałą dostajemyinną pierwotną tej samej funkcji, bo pochodna funkcji stałej jest zero. Okazuje się, że więcej pierwotnych już nie ma jakwynika z następującego twierdzenia.

Twierdzenie 17.1.4 Jeśli F1 i F2 są pierwotnymi funkcji f , to różnica F1 − F2 jest funkcja stałą.

Dowód: Niech F := F1 − F2. Funkcja F jest różniczkowalna oraz F ′ = F ′1 − F ′2 = 0. Niech x, y ∈ [a, b] i x < y. Ztwierdzenia o wartości średniej wiemy, że istnieje ξ ∈ (x, y) takie, że

F (x)− F (y) = F ′(ξ)(x− y) = 0.

Zatem F (x) = F (y), a ponieważ x, y są dowolne, otrzymujemy tezę. �Wygodnie jest zebrać wszystkie pierwotne razem.

Definicja 17.1.5 Niech f : [a, b] → R będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Zbiór wszystkich pierwotnychfunkcji f nazywamy całką nieoznaczoną f i oznaczamy

∫f .

W szczególności zapis F ∈∫f oznacza, że F jest fukcją pierwotną f . Stosowany jest również tradycyjny, choć mało

precyzyjny zapisF (x) =

∫f(x)dx+ C,

który należy interpretować tak, że wybierając jakąś pierwotną z całki nieoznaczonej i dodając do niej stałą dostaniemy innąpierwotną.

17.1.3 Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowegoLeibniz i Newton odkryli, że znajomość pierwotnej pozwala wygodnie obliczać pole pod wykresem funkcji. Jest to niepo-równalnie łatwiejsze od liczenia sum aproksymacyjnych Riemanna. Natomiast maszynką dostarczające liczne (choć niestetynie wszystkie potrzebne) wzory na funkcje pierwotne są wszelkie wzory na pochodne.

Twierdzenie 17.1.6 (podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego) Niech f : [a, b] → Rbędzie całkowalna w sensie Riemanna. Jeśli F jest pierwotną funkcji f to

F (x) =∫ x

a

f(t)dt+ F (a). (17.1)

W szczególności ∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a). (17.2)

17.2. PODSTAWOWE TECHNIKI CAŁKOWANIA. 271

Dla wygody w dalszym ciągu stosować będziemy zapis F |ba := F (b)− F (a).Dowód: Pokażemy najpierw (17.2). Dla k ∈ N1 wybierzmy podział Pk przedziału [a, b] o średnicy nie większej niż 1

k ,zadanym ciągiem xk : {0, 1, . . . nk} → R. Z twierdzenia o wartości średniej zastosowanego do F mamy

F (b)− F (a) =n∑i=1

F ′(ξki )(xki − xki−1) (17.3)

dla pewnych punktów ξki ∈ (xki−1, xki ). Ponieważ F ′(xki ) = f(xki ), więc prawa strona równości (17.3) jest sumą aproksymacyj-

ną dla f na [a, b]. Zatem z twierdzenia Riemanna (tw. 16.2.16) prawa strona (17.3) zmierza do∫ baf przy k →∞, bo podziały

Pk dobraliśmy tak, by ich średnice zmierzały do zera. Ale na mocy równości (17.3) wszystkie te sumy aproksymacyjne sąrówne F (b)− F (a), zatem i granica jest równa F (b)− F (a) co dowodzi (17.2).

Aby pokazać (17.1) wystarczy zastosować pokazany już wzór (17.2) do zawężenia f|[a,x]. �

17.2 Podstawowe techniki całkowania.

17.2.1 Własności całki nieoznaczonej.

Podamy teraz kilka podstawowych wzorów dla całki nieoznaczonej. Pojawiające się w nich funkcje rozważać będziemy naprzedziale [a, b]. Symbolem Const oznaczać będziemy rodzinę funkcji stałych na przedziale [a, b].

Twierdzenie 17.2.1 (liniowość całki nieoznaczonej). Niech f, g : [a, b]→ R będą całkowalne w sensie Riemanna.Wtedy f + g jest całkowalna w sensie Riemanna oraz∫

(f + g) =∫f +

∫g. (17.4)

Ponadto αf jest całkowalna w sensie Riemanna dla dowolnego α ∈ R oraz∫(αf) = α

∫f. (17.5)

Zauważmy, że wzory (17.4) i (17.5) należy rozumieć jako równość zbiorów, ponieważ całka nieoznaczona jest zbiorem, adokładniej zbiorem funkcji pierwotnych.

Dowód: Całkowalność funkcji αf + βg i funkcji αf dostajemy wprost z twierdzenia 16.2.2. Zauważmy, że jeżeli F jestpierwotną f , a G jest pierwotną g, to F+G jest pierwotną f+g na podstawie twierdzenia o pochodnej sumy funkcji. Dowodzito zawieranie się strony prawej w lewej we wzorze (17.4). Aby pokazać inkluzję przeciwną załóżmy, że H jest elementemlewej strony równości (17.4). Wtedy H jest pierwotną funkcji f + g. Niech F będzie dowolnie ustaloną pierwotną funkcji f .Połóżmy G : H − F . Mamy G′ = H ′ − F ′ = (f + g) − f = g. Zatem G jest pierwotną funkcji g, a ponieważ H = F + G,więc H jest sumą pierwotnej funkcji f i pierwotnej funkcji g. Zatem H należy do prawej strony (17.4).

Dowód (17.5) jest podobny i zostawiamy go jako ćwiczenie. �

Następujące twierdzenia są natychmiastową konsekwencją stosownych wzorów dla pochodnych i definicji całki nieozna-czonej.


Twierdzenie 17.2.2 Zachodzą następujące wzory∫0[a,b]dx = Const,

∫1[a,b]dx = x+ Const,∫ 1

xdx = ln x+ Const,

∫xαdx = xα+1

α+ 1 + Const dla α 6= −1,∫exdx = ex + Const .

�

Twierdzenie 17.2.3 Zachodzą następujące wzory∫sin xdx = − cosx+ Const,

∫cosxdx = sin x+ Const,∫ 1

cos2 xdx = tg x+ Const,

∫ 1√1− x2

dx = arc sin x+ Const,∫ 11 + x2 dx = arc tg x+ Const .

�

17.2.2 Całkowanie przez częściWidzielismy, ze całkowanie sumy dwóch funkcji jest proste. Jest tak, bo pochodna sumy jest suma pochodnych i w efekcie równiez całka sumy jest suma całek.Niestety pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych, a w efekcie całka iloczynu nie jest iloczynem całek. Dlatego nie jest oczywiste jak liczyc całki iloczynudwóch funkcji. Jednak wzór na pochodna iloczynu jest w tym przypadku pomocny, chociaz nie bezposrednio i nie automatycznie. Całkujac wzór na pochodnailoczynu dostajemy ∫

(fg)′ =∫f ′g +

∫fg′.

Poniewaz fg jest pierwotna (fg)′, dostajemy

fg + Const =∫f ′g +

∫fg′.

Jesli jedna z dwóch całek po prawej stronie jest łatwiejsza do policzenia niz druga, to wzór ten mozemy potraktowac jako metode sprowadzajaca liczenie całki∫f ′g do liczenia całki

∫fg′. Jak zobaczymy, metoda ta moze byc uzyteczna. Okreslana jest mianem całkowania przez czesci.

Twierdzenie 17.2.4 Załóżmy, że f, g : [a, b]→ R są klasy C1. Wtedy∫f ′g = fg −

∫fg′ (17.6)

W szczególności mamy też wzór dla całek oznaczonych:∫ b

a

f ′(x)g(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b

a

f(x)g′(x)dx. (17.7)


Dowód: Niech F będzie elementem lewej strony wzoru (17.6). Wtedy F ′ = f ′g. Mamy

F = fg − (fg − F ).

Zatem aby pokazać, że F jest elementem prawej strony wzoru (17.6), wystarczy pokazać, że fg − F jest pierwotną funkcjifg′. Jest tak w istocie, bo

(fg − F )′ = (fg)′ − F ′ = f ′g + fg′ − f ′g = fg′.

Rozważmy teraz element prawej strony równości (17.6). Ma on postać fg−G, gdzie G jest pierwotną fg′. Musimy pokazać,że fg −G jest pierwotną f ′g. Rzeczywiście tak jest, bo

(fg −G)′ = f ′g + fg′ − fg′ = f ′g.

Aby pokazać (17.7) wybierzmy F pierwotną dla f ′g. Ze wzoru (17.6) wiemy, że F = fg −G, gdzie G jest pewną pierwotnąfg′. W szczególności

F (b) = f(b)g(b)−G(b)F (a) = f(a)g(a)−G(a).

Odejmując te równości stronami dostajemy

F (b)− F (a) = f(b)g(b)− f(a)g(a)− (G(b)−G(a)). (17.8)

W oparciu o przyjętą konwencję zapisywania różnic mamy

f(b)g(b)− f(a)g(a) = f(x)g(x)|ba.

Z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego (tw. 17.1.6) oraz z definicji F i G jako funkcji pierwotnychodpowiednio f ′g oraz fg′ otrzymujemy

F (b)− F (a) =∫ b

a

f ′(x)g(x)dx

G(b)−G(a) =∫ b

a

f(x)g′(x)dx.

Wstawiając otrzymane trzy równości do (17.8) otrzymujemy (17.7). �


Przykład 17.2.5 Metodę całkowania przez części zastosujemy do policzenia całki∫x sin xdx.

Musimy w tym celu przedstawić funkcję x 7→ x sin x jako iloczyn pewnej funkcji przez pochodną innej funkcji. Mamydwie możliwości:

x sin x = x(− cosx)′

lub

x sin x =(x2

2

)′sin x

i nie jest oczywiste, z której lepiej skorzystać. Pierwsza sprowadzi problem do policzenia całki∫(x)′(− cosx)dx,

a druga do całki ∫ (x2

2

)(sin x)′dx.

Z tych dwóch całek zdecydowanie łatwiejsza jest pierwsza, bo∫(x)′(− cosx)dx = −

∫cosxdx = − sin x+ Const .

Zatem wstawiając do wzoru (17.6) za f funkcję x 7→ − cosx, a za g funkcję identycznościową x 7→ x dostajemy∫x sin xdx =

∫(− cosx)′xdx = −x cosx−

∫(− cosx)x′dx = −x cosx+

∫cosxdx = −x cosx+ sin x+ Const .

17.2.3 Całkowanie przez podstawieniePodobnie jak w przypadku iloczynu nie jest oczywiste jak całkowac złozenie funkcji. Pochodna złozenia nie jest złozeniem pochodnych zatem i całka złozenia niejest złozeniem całek. Jednak całkujac wzór na pochodna złozenia dostajemy wzór dostarczajacy metode liczenia całek przydatna w przypadku złozen i zwanacałkowaniem przez podstawienie.

Twierdzenie 17.2.6 Załóżmy, że f : [a, b] → R jest funkcją ciągłą, a g : [α, β] → [a, b] jest klasy C1. Jeśli F jestpierwotną funkcji f to F ◦ g jest pierwotną funkcji (f ◦ g)g′. W konsekwencji∫

(f ◦ g)g′ =(∫

f

)◦ g. (17.9)

W szczególności ∫ β

α

f(g(t))g′(t)dt =∫ g(β)

g(α)f(x)dx. (17.10)

Dowód: Jeśli F jest pierwotną funkcji f to oczywiście F ◦ g jest pierwotną funkcji (f ◦ g)g′, zatem prawa stronazawiera się w lewej w (17.9). Aby pokazać, że lewa strona zawiera się w prawej przyjmijmy, że G jest pierwotną funkcji(f ◦ g)g′. Wybierzmy też pewną pierwotną F funkcji f . Wiemy już, że wtedy F ◦ g jest pierwotną (f ◦ g)g′, zatem na mocy


twierdzenia 17.1.4 istnieje stała C taka, że G = F ◦ g + C. Mamy

G = F ◦ g + C = F ◦ g + C ◦ g = (F + C) ◦ g = F ◦ g,

gdzie F = F + C jest inną pierwotną f . Zatem G jako podstawienie g w pierwotnej F funkcji f należy do prawej stronyrówności (17.9).

Pozostaje pokazać (17.10). Wiemy, że jeśli F jest pierwotną f to F ◦ g jest pierwotną (f ◦ g)g′. Zatem z podstawowegotwierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego (tw. 17.1.6) mamy∫ β

α

f(g(t))g′(t)dt = (F ◦ g)(α)− (F ◦ g)(β) = F (g(α))− F (g(β)) =∫ g(β)

g(α)f(x)dx.

�

Przykład 17.2.7 Policzymy całkę nieoznaczoną∫axdx. Mamy

∫axdx =

∫ex ln adx. Chcielibyśmy sprowadzić po-

liczenie całki∫ex ln adx do całki

∫eudu. Funkcja x 7→ ex ln a jest podstawieniem funkcji g : x 7→ x ln a w funkcji

f : u 7→ eu. Ponieważ pochodną g jest funkcja stała ln a, więc z twierdzenia 17.2.6 mamy∫axdx =

∫ex ln adx = 1

ln a

∫ex ln a ln adx = 1

ln a

(∫eudu

)◦ (x 7→ x ln a) =

1ln a (eu + Const) ◦ (x 7→ x ln a) = 1

ln aex ln a + Const = ax

ln a + Const .

17.2.4 Twierdzenia o wartości średniej dla całek

Twierdzenie 17.2.8 (o wartości średniej dla całek) Niech f : [a, b]→ R będzie funkcją klasy C1, a g : [a, b]→ Rfunkcją całkowalną w sensie Riemanna. Jeśli g ma stały znak na [a, b] to istnieje ξ ∈ [a, b] takie, że∫ b

a

fg = f(ξ)∫ b

a

g. (17.11)

Dowód: Rozważmy przypadek g 0. Połóżmy m := inf { f(x) | x ∈ [a, b] }, M := sup { f(x) | x ∈ [a, b] } i ustalmyx ∈ [a, b]. Wtedy m ¬ f(x) ¬M , a zatem również mg(x) ¬ f(x)g(x) ¬Mg(x). Całkując dostajemy

m

∫ b

a

g(t)dt ¬∫ b

a

f(t)g(t)dt ¬∫ b

a

Mg(t)dt.

Z otrzymanej nierówności wynika, że jeśli∫ bag = 0, to również

∫ bafg = 0 i w konsekwencji (17.11) zachodzi dla dowolnie

dobranego ξ. Pozostaje zatem rozważyć przypadek∫ bag 6= 0. Wtedy

m ¬∫ bafg∫ bag¬M.

Zatem z twierdzenia 11.2.14 i wniosku 11.4.7 znajdziemy ξ ∈ [a, b] takie, że

f(ξ) =∫ bafg∫ bag

co dowodzi (17.11) dla g 0. Rozumowanie dla g ¬ 0 jest analogiczne. �Przyjmując w twierdzeniu 17.2.8 za g funkcję stale równą jeden dostajemy następujący wniosek.


Wniosek 17.2.9 Jeśli f : [a, b]→ R jest klasy C1, to istnieje ξ ∈ [a, b] takie, że∫ b

a

f = f(ξ)(b− a).

W programie Mathematica całkę nieoznaczoną (a dokładniej jedną z funkcji pierwotnych) funkcji f obliczamy używającinstrukcji

Integrate[f[x], x]

Na przykład

Integrate[Sin[3 x]^7, x]

zwraca− 35

192 cos(3x) + 7192 cos(9x)− 7

960 cos(15x) + cos(21x)1344

17.3 Całkowanie funkcji wektorowychRozważmy funkcję f : [a, b] → Rm. Funkcję taką określać będziemy mianem krzywej. Wtedy f = (f1, f2, . . . , fm) gdziefi : [a, b]→ R dla i = 1, 2, . . . ,m.

Definicja 17.3.1 Mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna jeżeli funkcje fi są całkowalne w sensie Riemannadla wszystkich i = 1, 2, . . . ,m. W takim przypadku jako całkę Riemanna f przyjmujemy∫ b

a

f := (∫ b

a

f1,

∫ b

a

f2, . . . ,

∫ b

a

fm).

Twierdzenie 17.3.2 Niech f : [a, b]→ Rm będzie całkowalna w sensie Riemanna. Wtedy funkcja

||f || : [a, b] 3 x 7→ ||f(x)|| ∈ R

jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

||∫ b

a

f || ¬∫ b

a

||f ||.

Dowód: Niech f = (f1, f2, . . . fm). Z założenia funkcje fi są całkowalne w sensie Riemanna. Ponieważ funkcja

Rm 3 x 7→ ||x|| ∈ R

jest ciągła, zbiór punktów nieciągłości funkcji ||f || zawiera się w sumie mnogościowej zbiorów punktów nieciągłości funkcjifi. Na mocy twierdzenia 16.2.9 całkowalność funkcji fi implikuje, że zbiór punktów nieciągłości funkcji fi jest miary zero.Zatem również zbiór punktów nieciągłości funkcji ||f || jest miary zero, a więc z twierdzenia 16.2.9 wnosimy, że funkcja tajest całkowalna w sensie Riemanna.

Połóżmy vi :=∫ bafi i v = (v1, v2, . . . vn). Jeśli v = 0 to teza jest oczywista. Załóżmy zatem, że v 6= 0. Dla x ∈ [a, b] mamy

z nierówności Schwartza|v · f(x)| ¬ ||v|| ||f(x)||.

17.4. ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK 277

Funkcja

[a, b] 3 x 7→ v · f(x) =m∑i=1

vifi(x) ∈ R

jest całkowalna w sensie Riemanna. Zatem

||v||2 =m∑i=1

vivi =m∑i=1

vi

∫ b

a

fi =∫ b

a

v · f ¬∫ b

a

||v|| ||f(x)||dx = ||v||∫ b

a

||f(x)||dx.

Dzieląc otrzymaną nierówność obustronnie przez ||v|| otrzymujemy

||v|| ¬∫ b

a

||f(x)||dx.

Ponieważ v =∫ baf , dowodzi to tezy. �

17.4 Zastosowania geometryczne całek

17.4.1 Długość krzywejNiech γ : [a, b]→ Rm będzie krzywą i niech P będzie podziałem przedziału [a, b] zadanym ciągiem punktów (x0, x1, . . . xn).Liczba

Λ(γ,P) :=m∑i=1||γ(xi)− γ(xi−1)||

określa długość łamanej rozpiętej na punktach γ(xi).

Definicja 17.4.1 Mówimy, że krzywa γ jest prostowalna jeżeli istnieje kres górny

Λ(γ) := sup {Λ(γ,P) | P podział przedziału [a,b] }.

Mówimy wtedy, że liczba Λ(γ) jest długością krzywej γ.

Twierdzenie 17.4.2 Niech γ : [a, b]→ Rm będzie krzywą klasy C1. Wtedy γ jest prostowalna oraz

Λ(γ) =∫ b

a

||γ′(t)||dt. (17.12)

Dowód: Pokażemy najpierw, że w (17.12) lewa strona jest niewiększa od prawej. Niech P będzie podziałem przedziału[a, b] wyznaczonym przez punkty x0, x1, . . . xn. Wtedy

||γ(xi)− γ(xi−1)|| = ||∫ xi

xi−1

γ′(t)dt|| ¬∫ xi

xi−1

||γ′(t)dt||

dla i = 1, 2, . . . n. Sumując po i dostajemy

Λ(γ,P) ¬∫ b

a

||γ′(t)dt||,


a ponieważ P jest dowolnym podziałem [a, b] otrzymujemy

Λ(γ) ¬∫ b

a

||γ′(t)||dt.

Dla dowodu nierówności przeciwnej ustalmy ε > 0. Założyliśmy, że γ jest klasy C1, więc γ′ jest funkcją ciągłą. Jakofunkcja ciągła na zbiorze zwartym jest ona jednostajnie ciągła. Zatem znajdziemy δ > 0 takie, że dla s, t ∈ [a, b]

|s− t| < δ ⇒ ||γ′(s)− γ′(t)|| < ε′ := ε

2(b− a) . (17.13)

Niech P będzie podziałem przedziału [a, b] wyznaczonym przez punkty x0, x1, . . . xn o średnicy nie przekraczającej δ. Z(17.13) wnosimy, że dla t ∈ [xi−1, xi]

||γ′(t)|| ¬ ||γ′(t)− γ′(xi)||+ ||γ′(xi)|| ¬ ||γ′(xi)||+ ε′. (17.14)

Niech ∆xi := xi − xi−1. Z (17.14) mamy∫ xi

xi−1

||γ′(t)dt|| ¬∫ xi

xi−1

(||γ′(xi)||+ ε′) dt = ||γ′(xi)||∆xi + ε′∆xi = ||∫ xi

xi−1

γ′(xi)dt||+ ε′∆xi =

||∫ xi

xi−1

(γ′(t) + γ′(xi)− γ′(t)) dt||+ ε′∆xi ¬

||∫ xi

xi−1

γ′(t)dt||+ ||∫ xi

xi−1

(γ′(xi)− γ′(t)) dt||+ ε′∆xi ¬

||γ(xi)− γ(xi−1)||+ 2ε′∆xi.

Sumując po i dostajemy ∫ b

a

||γ′(t)||dt ¬ Λ(γ,P) + 2ε′(b− a) = Λ(γ,P) + ε ¬ Λ(γ) + ε.

Ponieważ otrzymana nierówność zachodzi dla każdego ε > 0, otrzymujemy∫ b

a

||γ′(t)||dt ¬ Λ(γ).

�

Przykład 17.4.3 Rozważmy krzywąγ : [0, 2π] 3 t 7→ eit ∈ R2.

Krzywa ta jest klasy C1 oraz γ′(t) = ieit. Zatem ||γ′(t)|| = 1. Stąd

Λ(γ) =∫ 2π

0||γ′(t)||dt =

∫ 2π

0dt = 2π − 0 = 2π.

17.4.2 Bryła obrotowaNiech f : [a, b]→ R+ będzie funkcją ciągłą. Rozważmy bryłę

V := { (x, y, z) ∈ R3 | a ¬ x ¬ b, y2 + z2 ¬ f(x)2 }

17.4. ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK 279

Nazywamy ją bryłą obrotową zadaną przez funkcję f .

Bryła ta powstaje poprzez obrót trapezu krzywoliniowego pod wykresem funkcji f wokół osi x.

17.4.3 Obętość bryły obrotowej

Twierdzenie 17.4.4 Objętość bryły obrotowej dana jest wzorem

π

∫ b

a

f(x)2dx.

17.4.4 Pole powierzchni bocznej bryły obrotowejPowierzchnią boczną bryły obrotowej jest zbiór

S := { (x, y, z) ∈ R3 | a ¬ x ¬ b, y2 + z2 = f(x)2 }


Twierdzenie 17.4.5 Jeśli funkcja f jest klasy C1, to pole powierzchni bocznej bryły obrotowej dane jest wzorem

2π∫ b

a

f(x)√

1 + f ′(x)2dx.

Rozdział 18

Ciągi i szeregi funkcyjne

18.1 Zbieżność punktowa i jednostajna

18.1.1 Zbieżność punktowa

Niech X będzie ustalonym zbiorem, a Y ustaloną przestrzenią metryczną. Rozważmy ciąg funkcji sn : X → Y .

Definicja 18.1.1 Mówimy, że ciąg sn jest zbieżny punktowo do funkcji s : X → Y , jeżeli dla każdego punktu x ∈ Xciąg sn(x) jest zbieżny do s(x).

Rozpisując warunek na zbieżność ciągu możemy zatem zbieżność punktową zapisać

∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n N ρ(sn(x), s(x)) < ε.

Przykład 18.1.2 Rozważmy ciąg funkcji

fn : [0, 1] 3 x 7→ xn ∈ [0, 1].

Łatwo policzyć, że ciąg ten jest zbieżny punktowo do funkcji f : [0, 1]→ [0, 1] danej wzorem

f(x) :={

0 gdy x ∈ [0, 1),1 gdy x = 1.

Choć funkcje fn są ciągłe, funkcja graniczna f nie jest ciągła. Widzimy zatem, że zbieżność punktowa funkcji ciągłychnie gwarantuje, że funkcja graniczna będzie ciągła.

281

282 ROZDZIAŁ 18. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE


fn : [0, 1] 3 x 7→ limm→∞

(cos(n!πx))2m ∈ [0, 1].

Łatwo policzyć, że dla każdego n funkcja fn przyjmuje wartość zero wszędzie poza skończoną ilością punktów, gdzieprzyjmuje wartość jeden. Zatem każda z funkcji fn jest całkowalna w sensie Riemanna. Ciąg fn jest zbieżny punktowodo funkcji f : [0, 1]→ [0, 1] danej wzorem

f(x) :={

0 gdy x 6∈ [0, 1] ∩Q,1 gdy x ∈ [0, 1] ∩Q.

Nie jest to funkcja całkowalna w sensie Riemanna, zatem zbieżność punktowa nie gwarantuje również zachowaniacałowalności w sensie Riemanna.


fn : R 3 x 7→ sinnx√n∈ R.

Łatwo sprawdzić, że ciąg ten jest punktowo zbieżny do funkcji stale równej zero. Wszystkie funkcje fn są różniczkowalne,a ich pochodne tworzą ciąg

f ′n : R 3 x 7→√n cosnx ∈ R.

Ciąg pochodnych nie jest ciągiem punktowo zbieżnym. Na przykład dla x = π dostajemy ciąg

n 7→ (−1)n√n,

który nie jest zbieżny. Zatem zbieżność punktowa funkcji nie gwarantuje zachowania ich różniczkowalności w granicy.

Przedstawione przykłady pokazują, że punktowa zbieżność ciągu funkcji nie gwarantuje naturalnych własności, które wwielu sytuacjach byłyby przydatne. Pojawia się pytanie, czy nie ma jakiegoś bardziej użytecznego pojęcia zbieżności ciągufunkcji. Jak zobaczymy odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. W tym celu potraktujemy funkcje jako punkty stosowniezdefiniowanej przestrzeni metrycznej.

18.1.2 Zbieżność jednostajna

Niech ρ, ρ′ będą dwoma metrykami w zbiorze Y .

Definicja 18.1.5 Mówimy, że metryki ρ i ρ′ są jednostajnie równoważne, jeżeli zachodzą następujące dwa symetrycznewarunki

∀ε > 0 ∃δ > 0 ρ(x, y) < δ ⇒ ρ′(x, y) < ε,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ρ′(x, y) < δ ⇒ ρ(x, y) < ε.

Definicja 18.1.6 Niech (Y, ρ) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że ρ jest metryką ograniczoną, jeżeli istniejestała M > 0 taka, że dla dowolnych x, y ∈ Y mamy ρ(x, y) < M .

Mamy następującą użyteczną własność:

18.1. ZBIEŻNOŚĆ PUNKTOWA I JEDNOSTAJNA 283

Lemat 18.1.7 « Dla dowolnej przestrzeni metrycznej (Y, ρ) istnieje metryka ograniczona ρ′ jednostajnie równoważna metry-

ce ρ. »


18.1.3 Kryterium Cauchy’ego zbieżności jednostajnej

18.2. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA, A CIĄGŁOŚĆ, RÓŻNICZKA I CAŁKA 285

18.2 Zbieżność jednostajna, a ciągłość, różniczka i całka

18.2.1 Granica, a zbieżność jednostajna


18.2.2 Całkowanie i różniczkowanie, a zbieżność jednostajna

18.3 Aproksymacja funkcji ciągłych

18.4 Szeregi potęgowe

18.4. SZEREGI POTĘGOWE 287

18.4.1 Twierdzenie o szeregu Taylora

18.4.2 Funkcje analityczne


18.5. SZEREGI FOURIERA 289

Rysunek 18.1: Joseph Fourier (1768-1830)

18.5 Szeregi Fouriera

18.5.1 Wielomiany trygonometryczne


18.5.2 Zespolony iloczyn skalarny


18.5.3 Przestrzeń wektorowa z zespolonym iloczynem skalarnym


18.5.4 Układ ortonormalny


18.5.5 Szereg Fouriera




18.5.6 Rzut ortonormalny


18.5.7 Jądro Dirichleta


18.5.8 Zbieżność punktowa szeregu Fouriera



Bibliografia

[1] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1969.

[2] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.

[3] W. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001.

[4] G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.

[5] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, War-szawa 1986.

[6] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.

301

Documents

Wstęp do Analizy Matematycznej z elementami Logiki i Teorii