Wir haben gemogelt !

Plenum Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium 2010Plenum Mathe 12 Johannes-Kepler-Gymnasium 2010

1

Wir haben gemogelt !

...98

12

2819

56

798

1

27

1)( 12152932 xxxxxf


2

Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der

Funktion im Intervall von [0; b] ?

Wir wissen:

Funktionsterm

Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b]

²x ³x

3

³b

4

4b

x

2

²b

Wir vermuten:

4x

5

5b

5x

6

6b

nx

1

1

n

bn


3

Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit f = xn im Intervall [0; b] beträgt:

Wir „leiten auf“ !

1

1

n

bn


4

Wir betrachten jetzt zusammengesetzte Funktionen: Summen von

Potenzfunktionenxxf )( ²)( xxg ²)()( xxxgxf

Stelle x f(x) g(x)

f(x)+g(x)

0 0 0 0

1 1 1 2

2 2 4 6

3 3 9 12

4 4 16 20

5 5 25 30

x x x² x + x²


5


Potenzfunktionenxxf )( ²)( xxg ²)()( xxxgxf

Stelle x f(x) g(x)

f(x)+g(x)

0 0 0 0

1 1 1 2

2 2 4 6

3 3 9 12

4 4 16 20

5 5 25 30

x x x² x + x²

b Fläche unter Gf auf [0;b]

Fläche unter Gg auf [0;b]

Fläche unter

Gf+g auf [0;b]

0 0 0 0

1 0,5 0,33 0,83

2 2 2,67 4,67

3 4,5 9 13,5

4 8 21,33 29,33

5 12,5 41,67 54,17


6


Potenzfunktionen²)( xxf ³)( xxg ³²)()( xxxgxf

Stelle x f(x) g(x)

f(x)+g(x)

0 0 0 0

1 1 1 2

2 4 8 12

3 9 27 36

4 16 64 80

5 25 125 150

x x² x³ x² + x³


7


Potenzfunktionen

Stelle x f(x) g(x)

f(x)+g(x)

0 0 0 0

1 1 1 2

2 4 8 12

3 9 16 25

4 16 32 48

5 25 64 91

x x² x³ x² + x³



Fläche unter

Gf+g auf [0;b]

0 0 0 0

1 0,33 0,25 0,58

2 2,67 4 6,67

3 9 20,25 29,25

4 21,33 64 85,33

5 41,67 156,25 197,92

²)( xxf ³)( xxg ³²)()( xxxgxf


8

Beobachtung zur Beobachtung zur Summe von PotenzfunktionenSumme von Potenzfunktionen

Wenn man zwei Potenzfunktionen

addiert, addieren sich die Flächeninhalte

zwischen den Graphen und der x-Achse.


9

Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion

xxf )( xxg 3)(

Stelle x f(x) g(x)

0 0 0

1 1 3

2 2 6

3 3 9

4 4 12

5 5 15

x x 3x


10

Wir betrachten jetztFaktoren vor einer Potenzfunktion

xxf )( xxg 3)(

Stelle x f(x) g(x)

0 0 0

1 1 3

2 2 6

3 3 9

4 4 12

5 5 15

x x 3x



0 0 0

1 0,5 1,5

2 2 6

3 4,5 13,5

4 8 24

5 12,5 37,5


11

Beobachtung zum Beobachtung zum Faktor bei PotenzfunktionenFaktor bei Potenzfunktionen

Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor

multipliziert.


12

Aufgabe:Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit

im Intervall [0; 6] .

3028²9³)( xxxxf


13

Null? - Oups!

Was ist hier passiert?


14

Exact: 41.48Integral: 41.48

x

y

Das IntegralMan versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte .

Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober-halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen.

+A1

+A3

-A2 -A4

b

a

AAAAdxxf )4()3()2()1()(


15

Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet!Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb derx-Achse verläuft.


16

PotenzfunktionEs gilt:

b

a

n dxx

a

nb

n dxxdxx00

11

11

n

a

n

b nn

a b


17

Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen,

3028²9³)( xxxxf

5,4975,2475,24)()(6

3

3

0

dxxfdxxf

so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.


18

Drei Fragen/Aufgaben:

1. Was versteht man unter einem Integral?

2. Formuliere eine „Summen- und Faktorregel“ für die Intergralrechnung.

3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?


19

Hausaufgabe:

AB: S. 185 Nr. 6 a - d

Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt.

(Tipp: GTR)

Documents

Wir haben gemogelt !