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Redes - PERT y CPM 1
Universidad Nacional de La PampaFacultad de Ciencias Económicas y Jurídicas18 - Métodos Cuantitativos para la Administración
REDES - CPM - PERT 02
BibliografíaAnderson, Sweeney y Williams; Introducción a los
modelos cuantitativos para Administración. GrupoEditorial Iberoamérica. (*)
HILLIER, F. y LIEBERMAN, G.; Introducción a la Investigaciónde Operaciones; McGraw Hill (**)
WINSTON, Wayne; Investigación de Operaciones; Grupo Edit.Iberoamérica. (**)
Mathur y Solow; Investigación de Operaciones - Elarte de la toma de decisiones. Ed. Prentice Hall (***)
(*) Cubre todo el capítulo. Accesible.
(**) Alternativas para todo el capítulo. Enfoques más complejos.
(***) Sólo PERT y CPM
REDES - CPM - PERT 02
Glosario
Nodo (o vértice): puntos dentro de la red.
Arco (ligadura, arista o rama): línea que une nodos.
Arco dirigido: el flujo a través de él se admite en una sola dirección(se cita mencionando “nodo desde-nodo hasta”)
Arco no dirigido: permite el flujo en ambas direcciones.
Red dirigida: la que sólo tiene arcos dirigidos.
Red no dirigida: todos sus arcos son no dirigidos.
Trayectoria (ruta o camino) entre dos nodos: sucesión de arcosdistintos que los conectan.
Trayectoria dirigida de i a j: sucesión de arcos en que es factible elflujo entre i y j.
Trayectoria no dirigida entre dos nodos: sucesión de arcos en que elflujo es factible en cualquiera de los sentidos.
Ciclo: trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.
Nodos conectados: existe al menos una trayectoria no dirigida entreellos.
Árbol: red conexa sin ciclos
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Redes - PERT y CPM 2
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REDES - CPM - PERT 02
Organización
Normativos
ModelosMatemáticos
Ciertos Aleatorios
Teoría deredes
REDES - CPM - PERT 02
Ruta más corta
El algoritmo que se desarrolla acá sólo sirve para valores nonegativos en los arcos.
Se rotulan los nodos según lo especificado por el Algoritmo deDijkstra:
[Distancia Acum,Nodo Precedente]
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Redes - PERT y CPM 3
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REDES - CPM - PERT 02
Ruta más corta
T
I
C
B
D
5
9
4
7
E
31
5
4
A
2
7
1
2
[2,I]
[0,I]
[9,I]
[4,A]
[7,B]
[8,B]
[13,D]
REDES - CPM - PERT 02
Ruta más corta
T
I
C
B
D
5
9
4
7
E
31
5
4
A
2
7
1
2
[2,I]
[0,I]
[9,I]
[4,A]
[7,B]
[8,B]
[13,D]
Mínimo Recorrido Total:
Mínimo recorrido hasta E:
T - D - B - A - I = 13 Km
E - B - A - I = 7 Km
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Redes - PERT y CPM 4
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REDES - CPM - PERT 02
Árbol de extensión mínima
Es un algoritmo de los denominados codiciosos, ambiciosos ogolosos.
Principalmente es útil para diseño de redes, más que paraanálisis.
REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
5
4
4
7
E
31
5
4
A
2
7
1
2
1
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Redes - PERT y CPM 5
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REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
5
4
4
7
E
31
5
4
A
2
7
1
22
2
13
15
Longitud total: 2 + 2 + 1 + 3 + 1 + 5 = 14 Km
REDES - CPM - PERT 02
Problema de flujo máximo
Se trata de pasar de I a T con la máxima cantidad posible deelementos (vehículos, mensajes, líquidos, carga, etc.).
La capacidad máxima de una ruta está dada por la mínimaentre todas las ramas. (Símil cadena)
ixji
jxij
Capacidad residual para elflujo inverso desde j a i
Capacidad residualpara el flujo desde i a j
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Redes - PERT y CPM 6
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REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
7
4
4
3
E
52
94
A
8
61
2 0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Problema de flujo máximo
REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
7
4
4
3
E
52
94
A
8
61
2 0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Problema de flujo máximo1
Sobre I - B - E - T, la trayectoria tiene una capacidad máximade aumento de Pj =
Se resta 5 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 5 atodas las xji
5
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Redes - PERT y CPM 7
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REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
2
4
4
3
E
02
94
A
8
11
2 0
00
0
5
0
0
5
0
0
0
5
Problema de flujo máximo2
Sobre I - B - D - T, la trayectoria tiene una capacidad máximade aumento de Pj = 2 Min {2, 4, 9} = 2
Se resta 2 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 2 atodas las xji
5
5
REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
0
4
4
3
E
02
72
A
8
11
2 0
00
0
7
0
0
5
2
0
2
5
Problema de flujo máximo3
Sobre I - C - E - D - T, la trayectoria tiene una capacidadmáxima de aumento de Pj = 1 Min {4, 4, 1, 7} = 1
Se resta 1 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 1 atodas las xji
7
7
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Redes - PERT y CPM 8
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REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
0
3
3
3
E
02
62
A
8
10
2 0
00
1
7
0
1
5
2
1
3
5
Problema de flujo máximo4
Sobre I - A - B - C - E - T, la trayectoria tiene una capacidadmáxima de aumento de Pj = 1 Min {8, 2, 2, 3, 1} = 1
Se resta 1 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 1 atodas las xji
8
8
REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
0
3
2
3
E
01
62
A
7
00
1 0
11
1
7
1
2
5
2
1
3
6
Problema de flujo máximo5
Sobre I - A - D - T, la trayectoria tiene una capacidad máximade aumento de Pj = 3 Min {7, 3, 6} = 3
Se resta 3 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 3 atodas las xji
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Redes - PERT y CPM 9
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REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
0
3
2
0
E
01
32
A
4
00
1 3
14
1
7
1
2
5
2
1
6
6
Problema de flujo máximo6
Sobre I - A - B - D - T, la trayectoria tiene una capacidadmáxima de aumento de Pj = 1 Min {4, 1, 2, 3} = 1
Se resta 1 de todas las capacidades xij de la ruta y se suma 1 atodas las xji
12
12
REDES - CPM - PERT 02
Sobre I-C-B-D-T, latrayectoria tieneuna capacidadmáxima deaumento de Pj=1.
Min {3, 1, 1, 2} = 1
T
I
C
B
D
0
3
2
0
E
01
21
A
3
00
0 3
25
1
7
1
2
5
3
1
7
6
Problema de flujo máximo7
Se resta 1 de todas las capacidades xij
de la ruta y se suma 1 a todas las xji
13
13
1
(FLUJO FICTICIO)
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Redes - PERT y CPM 10
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REDES - CPM - PERT 02
T
I
C
B
D
0
2
2
0
E
02
10
A
3
00
0 3
25
2
7
0
2
5
4
1
8
6
Problema de flujo máximo8
Máxima capacidad del sistema es la sumatoria de las sucesivasPj = 5 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 = 14
14
14
REDES - CPM - PERT 02
Administración de Proyectos
PROYECTO:Emprendimiento temporal con la finalidad de obtener un
producto o servicio único.
(Definición Project Management Institute - PMI)
ELEMENTOS DE UN PROYECTO:* Actividades.* Recursos.* Limitaciones.
Las actividades exigen coordinación a la vez que determinanplazos parciales para la ejecución individual y plazos totalespara la efectivización de un proyecto en conjunto.
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REDES - CPM - PERT 02
GESTION (Administración) DE PROYECTOS
(Definición Project Management Institute - PMI)
Aplicación de conocimientos, habilidades, herramientas ytécnicas a proyectos para satisfacer requerimientos yexpectativas de los distintos interesados y afectados(stakeholders).
Implica balancear demandas de tiempo, costos y calidad (la“Triple Limitación”).
Objetivo:
Facilitar el cumplimiento en término de los proyectos,respetando en la medida de lo posible los costospresupuestados, mediante el uso eficiente de los recursoshumanos y materiales involucrados, y satisfaciendolimitaciones internas (calidad y cantidad de recursosdisponibles) y externas (inspecciones, aprobaciones, fechas deentrega, demoras en entrega de materias primas, etc.)
REDES - CPM - PERT 02
Procesos en una Fasedel Proyecto
Fuente: PMBOK
Inicio Planificación
Control Ejecución
Cierre
PLANIFICACIÓN
* Definición de Actividades
* Secuencia de Actividades
* Estimación Duración de Actividades
Inicio
Planificación
Control
Cierre
Ejecución
Nivel deactividad
tiempo
* Planeamiento de Recursos
* Desarrollo del Programa (Fechas)
* Costos: Estimación y presupuesto
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Redes - PERT y CPM 12
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REDES - CPM - PERT 02
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Administración de Proyectos
1. Minimizar el tiempo total de duración del proyecto.
2. Definición de políticas en cuanto a su duración total y a la de
sus etapas intermedias.
3. Minimizar el costo total del proyecto.
4. Conocer requerimientos financieros y de todo tipo de
recursos. Definir políticas de utilización de recursos.
5. Seguridad de la efectiva realización del proyecto en tiempo
prefijado.
6. Disminuir tiempos muertos en equipo y capacidad ociosa del
personal.
7. Coordinar grupos de subcontratistas.
8. Coordinar departamentos.
REDES - CPM - PERT 02
MétodosCPM: Critical Path MethodPERT: Program Evaluation and Review TechniqueROY (o de precedencia). De origen francés, similar al CPM.
Difiere en representación de actividades yacontecimientos.
PEP: desarrollado por la Fuerza Aérea de EEUULEES: creado por IBMRAMPS: Método de distribución de recursos y programación de
proyectos múltiples.PERT-LOB: Combina planeamiento y programación por teoría
de redes c/control por línea de balance p/producciónen serie o avance de obra.
MAP: Método de asignación de mano de obra. Uso simultáneocon PERT y CPM.
ALGORITMO DE BURGUESS: Se usa para nivelar recursosconjuntamente con PERT y CPM.
ALGORITMO DE BROOKS: ídem anterior. Casos de recursoslimitados.
ALGORITMO DE FORD-FULKERSON: Se usa para PERT-Costo.
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Redes - PERT y CPM 13
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REDES - CPM - PERT 02
A diferencia de métodos tradicionales como Gantt, permitenvisualizar gráficamente las relaciones existentes entre lasactividades del proyecto.
Actuación por excepción.
Facilitan la coordinación entre los grupos de trabajoinvolucrados.
Durante seguimiento y control, permiten conocer grados deavance real con respecto a lo planeado y evolución de costosreales contra planeados.
Ante retrasos durante la ejecución permiten identificarclaramente actividades a reprogramar y visualizar efectos deésta sobre los costos, tiempos y/o calidad del producto.
Si se consideran aspectos probabilísticos (PERT TIEMPO)permiten estimar probabilidades sobre la duración delproyecto hasta su concreción.
NUEVAS TECNICASVentajas
REDES - CPM - PERT 02
Suministran a la dirección información valiosa sin decidir ni dirigir porsí mismas, a saber:
* Fecha estimada de fin de proyecto. Detalle de actividadescondicionantes
* Primeras y últimas fechas de comienzo y fin de actividades delproyecto.
* Márgenes de holgura de las actividades no críticas.* Diagramas de carga y asignación de recursos.* Costos asociados a cada actividad (directos) y al proyecto
(indirectos).
Conocer esta información permite a la dirección:* Concentrar atención en tareas que lo exigen sin descuidar las
restantes.* Facilitar seguimiento y control por sector responsable.* Verificar asignación de recursos humanos y materiales al proyecto.
Con ayuda de otras técnicas específicas (MAP, RAMPS) mejorar laasignación
* Efectuar las previsiones correspondientes para el suministro demateriales y planificar el flujo financiero del proyecto.
* Analizar diferentes alternativas duración-costo del proyecto.
NUEVAS TECNICAS - Ventajas
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Programación 1) Primaria: momento de ejecución de tareas(calendario) y asignación de recursos.
2) Definitiva: tiende a la asignación óptima,eliminando simultaneidad de empleo de unmismo recurso.
Etapas en el desarrollo de un proyecto
Planificación: duración y secuencia de trabajos
EjecuciónControlReprogramación
REDES - CPM - PERT 02
Reglas Básicas :
• Cada actividad sólo un arco - Entre dos nodos sólo un arco.
• Conocer y dibujar cada actividad que llega y sale de un nodo
• Un único acontecimiento inicial
• Un único acontecimiento final• Preguntarse: Actividades predecesoras inmediatas.
Actividades sucesoras inmediatas.Actividades simultáneas.
Reglas Suplementarias:
• Enumeración de los sucesos i < j (conveniente)
• Procurar avanzar de izquierda a derecha
• Describir la actividad sobre el arco que la representa
• Evitar actividades ficticias innecesarias
• Agrupar tareas que forman subredes
Para construir diagrama de flechas
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Redes - PERT y CPM 15
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REDES - CPM - PERT 02
Aspectos a tener en cuenta en la confección de la red
•Tareas ficticias (dummy)
1) Ambigüedades en la red
6
1L
PF2
32 F1
B
A
4
Un solonodo final
de proyecto
5K
C
B y P mismosnodos de
inicio y finde tarea
REDES - CPM - PERT 02
Aspectos a tener en cuenta en la confección de la red
•Tareas ficticias
2) Correcta representaciónde precedencias
6
1
LH
2 B
A4 5K
C
A requiere finalizar K y BC requiere finalizar
únicamente BCORRECTO
3
F1
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Redes - PERT y CPM 16
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REDES - CPM - PERT 02
6
1
G
2
E3
5B
2 3
D
4
53A
C F
1
3
F10
4
Determinación del camino crítico: (método del mayor recorrido)Desde 1 a 6, se puede hacer:
Fechasendías
A, F1, D, F: 10 días
A, F1, E, G,: 7 días
B, E, G: 8 días
B, D, F: 11 días
A, C, F: 8 días
Otras formas de cálculo:
Fechas tempranas y tardías
REDES - CPM - PERT 02
FECHA TEMPRANA DE SUCESOS (t):
t (1) = 0 (por convención)
t (2) = t (1) + D1-2 = 0 + 1 = 1
CAMINO CRITICO - Ejemplo de aplicación
t (4) = MAX DE: t (2) + D2-4 = 1 + 3 = 4
t (3) + D3-4 = 2 + 5 = 7 ----- Se toma 7
t (5) = t (3) + D3-5 = 2 + 3 = 5
t (6) = MAX DE: t (5) + D5-6 = 5 + 3 = 8
t (4) + D4-6 = 7 + 4 = 11 ----- Se toma 11
Duración programada del proyecto: 11 días
t (3) = MAX DE: t (2) + D2-3 = 1 + 0 = 1
t (1) + D1-3 = 0 + 2 = 2 ----- Se toma 2
A G
C
E5
B
F
2
1
3
3
D5F1
03
46
31
2 4
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Redes - PERT y CPM 17
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REDES - CPM - PERT 02
t’(5) = t’(6) - D5-6 = 11 - 3 = 8
t’(4) = t’(6) - D4-6 = 11 - 4 = 7
CAMINO CRITICO - Ejemplo de aplicación (cont.)
A G
C
E5
B
F
2
1
3
3
D5F1
03
46
31
2 4
FECHA TARDIA DE SUCESOS (t’):
t’(6) = t(6) = 11 (convención t(n) = t’(n))
t’(3) = MIN DE: t’(5) - D3-5 = 8 - 3 = 5
t’(4) - D3-4 = 7 - 5 = 2 ----- Se toma 2
t’(2) = MIN DE: t’(4) - D2-4 = 7 - 3 = 4
t’(3) - D2-3 = 2 - 0 = 2 ----- Se toma 2
t’(1) = MIN DE: t’(2) - D1-2 = 2 - 1 = 1
t’(3) - D1-3 = 2 - 2 = 0 ----- Se toma 0
Duración Mínima: 11 Días
REDES - CPM - PERT 02
SIMBOLOGIA
NodoNro
t
t’
t
t’
NodoNro
NodoNro
t’t
t’t
NodoNro
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Redes - PERT y CPM 18
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REDES - CPM - PERT 02
PRIMERAS Y ULTIMAS FECHAS DE INICIO Y FINALIZACION
t’t
i
t’t
jPFC PFF
Dij
UFC UFF
Más temprana de suceso “i”: Un suceso se verifica cuandofinalizan todas las actividades concurrentes a él.
PFC = t(i)
UFC = UFF - Dij
Más tardía de un suceso “j” es la última en la cual puedeverificarse el mismo sin atrasar el proyecto.
UFF = t’(j)
PFF = PFC + Dij
REDES - CPM - PERT 02
MARGENES
MARGENES DE SUCESO t’(s) - t(s) = H(s)
MARGENES DE ACTIVIDAD:
Margen Total: MTij = t’(j) - t(i) - Dij (Holgura de Actividad)
Margen Libre: MLij = t(j) - t(i) - Dij
Margen Independiente: MIij = t(j) - t’(i) - Dij Dij
Margen Dependiente: MDi = t’(j) - t’(i) - Dij
t(i) t’(i) t(j) t’(j)
MTij
MLij
MIij
MDi
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Redes - PERT y CPM 19
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REDES - CPM - PERT 02
TAREA RECURSO1-2 2 op/día1-3 3 op/día3-4 4 op/día3-5 2 op/día2-4 3 op/día4-6 2 op/día5-6 6 op/día
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tiempo
Actividades
DIAGRAMA CALENDARIO
2- 4
5-63-5 5
4 6
3-4 4-61-331
1-2
2
2-3
REDES - CPM - PERT 02
1-2 2
2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 23-5 2 2 25-6 6 6 6
TOTAL 5 6 9 9 6 10 10 8 2 2 2
DIAGRAMA DE CARGA DE RECURSOS EN FECHA TEMPRANA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tiempo
Actividades2- 4
5-63-55
4 63-4 4-61-3
31
1-22
2-3
Diagrama Tabular
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am - F
ac. Cs
. Ec
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Redes - PERT y CPM 20
Universidad Nacional de La PampaFacultad de Ciencias Económicas y Jurídicas18 - Métodos Cuantitativos para la Administración
REDES - CPM - PERT 02
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1-2 2
2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 23-5 2 2 25-6 6 6 6
TOTAL 5 6 9 9 6 10 10 8 2 2 2
Diagrama Gráfico de Barras
Area de trabajo efectivo
III
IIIIV
DIAGRAMA DE CARGA DE RECURSOS EN FECHA TEMPRANA
REDES - CPM - PERT 02
PROGRAMACION DEFINITIVA
Se hace en base a la programación primaria y a ladisponibilidad de recursos, tendiendo a asignaciones óptimaso, por lo menos, adecuadas de los mismos.
CONCLUIDA LA PROGRAMACION PRIMARIA:
* Verificar que no se hayan incluido márgenes de seguridad enla estimación de las duraciones de las tareas.
* Fijar margen de seguridad para el proyecto en conjunto.
* Verificar si las duraciones estimadas para tareas críticas o lasde margen pequeño son correctas.
* Verificar que realmente no es posible concluir la totalidad deuna tarea crítica previo al inicio de la siguiente actividadcrítica.
* Observar si es factible acelerar operaciones, eliminarrestricciones innecesarias, etc. Si es necesario deberárevisarse la lógica de la red.
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Redes - PERT y CPM 21
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REDES - CPM - PERT 02
PROGRAMACION DEFINITIVA
Durante la planificación y la programación primaria no seconsideró la existencia de recursos limitados.
La programación definitiva consiste en aplicar alguno de losmétodos de asignación y programación de recursos de modoque:
* Se respete la lógica para la realización de las tareas y losmétodos de trabajo adoptados.
* No se sobrepasen los recursos disponibles.
* No se prolongue la duración del proyecto a menos que seaimposible su verificación con el nivel de recursos disponible.
REDES - CPM - PERT 02
PROGRAMACION DEFINITIVA
Los métodos de asignación y programación de recursos fueroncreados para obtener programas nivelados a costo mínimo.
La nivelación puede ser:
* VARIABLE: Cuando los requerimientos de un determinadorecurso varían a grandes saltos de unidad en unidad.
Desventajas. Puede resultar excesivamente costosoingresar y expulsar permanentemente a trabajadores delproyecto. Genera conflictos sociales.
* FIJA: cuando se establece una cantidad fija mínima de formaque el tiempo improductivo sea también mínimo.
Desventajas. De fijarse una cantidad inadecuada puedeque se requieran excesivas horas extras o que se tengacapacidad ociosa paga.
* COMBINADA: cuando se aplican ambos criterios anteriores.
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REDES - CPM - PERT 02
1-2 2
2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 2
3-5 2 2 2
5-6 6 6 6
TOTAL 5 6 7 7 6 6 6 8 8 8 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tiempo
Actividades2- 4
5-6
4 63-4 4-61-3
31
1-22
2-3
3-55
CARGA DE RECURSOS - Mejora de aprovechamiento de recursos
Desplaza fecha inicioy aprovecha 2 u. de holgura
REDES - CPM - PERT 02
1-2 2
2-4 3 3 31-3 3 33-4 4 4 4 4 44-6 2 2 2 2
3-5 2 2 2
5-6 6 6 6
TOTAL 5 6 7 7 6 6 6 8 8 8 2
9
876543210
IIIII
IArea de trabajo efectivo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
CARGA DE RECURSOS - Mejora de aprovechamiento de recursos
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PERT - COSTO
Problema Típico: cumplimiento estricto de una fecha definalización del proyecto.
Ejemplo: incorporar producto al mercadoen determinada temporada.
Si del cálculo del camino crítico surge que el proyecto seterminará después de la fecha esperada, se puede decidir:
* Postergar el proyecto hasta el año próximo.
* Cancelarlo.
* Acelerar todas las tareas que sea necesario, para cumplir lafecha y determinar si el costo incremental es menor que losbeneficios esperados por entrar en fecha con el producto.
Si a pesar de la aceleración no se pudiera entrar en fecha, sedebe abandonar el proyecto.
REDES - CPM - PERT 02
PERT - COSTO
Permite obtener diferentes alternativas duración-costo.
Rectade aproxim
ación
AB: segmento de ajuste lineal;forma práctica de calcular elincremento unitario (pendiente).
Ct
d(i,j)
AA: Todo acelerado; duración mínima
B: Costo normal; duración normal
D(i,j)
BCn
Costos asociados al proyecto:
DIRECTOS: directamente relacionados con la realización de latarea.
Costo de una tarea
Duración tarea
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PERT - COSTO
INDIRECTOS: gastos generales, interés del capitalinvertido, lucro cesante, multas, etc.
Costoindirecto
Duración del proyecto
D2D1
Otros Gastos Generales,Multas, Primas
Gastos Generales,Alquileres
Lucrocesante
CostoIn
directo
Total
REDES - CPM - PERT 02
PERT - COSTO
COSTO TOTAL DEL PROYECTO:
T2T1
CostosTotales
Duración del proyecto
Costo Total
CostoDirecto
CostoIndirecto
A: Programaciónóptima costo-tiempo.
A
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PERT - COSTO
* Acelerar las tareas críticas que se pueda; y de éstas, las quetengan menor costo incremental.
* Determinar cuánto y cómo reducirán su duración, según:
ALTERNATIVAS COSTO-TIEMPO
Intuitivamente se observa que para las distintas alternativas ypara disminuir la duración total del proyecto se requiere:
1) Obtener combinaciones intermedias reduciendo de a unaunidad de tiempo hasta llegar a la duración mínima.
2) Reducir la duración todo el tiempo que sea posible o hastaque otro camino se convierta en crítico.
* Reiterar el procedimiento con otra/s tarea/s para llegar a lamínima duración del proyecto.
METODOS PARA ENCONTRAR COMBINACION OPTIMA COSTO-TIEMPO:
Rutina de Baltar; Método Simplex-Simétrico; Método Simplex-Paramétrico; Algoritmo de Ford-Fulkerson.
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PERT (Probabilístico)
PARA PERT, EMPIRICAMENTE, SE ADOPTO UN MODELOTIPO 1), aplicando BETA de EULER.
* Resulta conveniente en proyectos de primera ejecución.
* Existe natural incertidumbre en la estimación de lasduraciones.
* Por lo tanto, naturaleza aleatoria de tales duraciones.
* Para describir las duraciones aleatorias, se emplean modeloscomo:
1) Ley de distribución de probabilidades de duración de unatarea.
2) Medidas de variación: valor medio, desvío típico, rango,etc.
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PERT (Probabilístico)
* Frecuentemente resulta conveniente expresar la “ley dedistribución probabilística” mediante estadísticos que larepresenten.
* En GAUSS y POISSON su valor medio y desvío típicopermiten representarla totalmente.
En BETA de EULER tales valores no conducen a unaúnica distribución. Dependen de ciertos parámetros,que en PERT toman valores arbitrarios.
* De cualquier manera, la ley BETA cumple con losrequisitos de una ley de distribución de probabilidadesde duración:
Es UNIMODAL, CONTINUA y POSITIVA.
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ESTIMACION DE TIEMPOS EN PERT
PERT. Incierta duración de actividades
Distribuciones aplicables:a) al proyecto ............. Normalb) a las tareas ............. BETA de EULER (aproximación
más razonable para la distribución de probabilidad deduraciones de tareas). Criterio empírico.
Ejemplo de función Beta asimétrica a la izquierda
a m b
f(t)
t
t o t m t p
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Tiempo esperado: divide a laprobabilidad de realización en un 50%
6
tt4tE
pmo)t(
Permite:
Estimar probabilidades de cumplimiento de la duracióntotal del proyecto.
Posibilidad de aplicar simulación Monte Carlo.
ESTIMACION DE TIEMPOS EN PERT
2 p o
( )t
t t
6
2
Varianza de t(e)
REDES - CPM - PERT 02
PERT (Probabilístico)
ERRORES DERIVADOS DE LAS HIPOTESIS DEL METODO PERT
1) Cuál es el error cometido por suponer que la duración deuna actividad sigue una distribución BETA?
2) Suponiendo que realmente siga a BETA, cuál es el errorcometido por utilizar media y varianza calculadas con lasexpresiones aproximadas vistas antes siendo correctos lostres tiempos?
3) Suponiendo que realmente siga a BETA y que los valoresmedia y varianza son correctos, cuál es el error cometidopor aplicar valores de tiempos incorrectos?
EMPIRICAMENTE SE HA COMPROBADO que:
EN EL PEOR DE LOS CASOS los errores son tales que :
Te del proyecto no excede del 15%, y
Desvío de Te (del proyecto) oscila en un 6%.
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PERT (Probabilístico)
UNA VEZ CALCULADOS t(e) y CAMINO CRITICO ...
Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto en el plazo T(e)?
Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto una cantidad detiempo antes de T(e)?
Qué duración corresponde asignar al proyecto para tenerprobabilidad x% de cumplirla?
PARA RESPONDERLAS, SE DEBE RECURRIR AL TEOREMACENTRAL DEL LIMITE, ya que los tiempos de ejecución de lastareas son variables aleatorias, y en consecuencia también loes la duración total del proyecto.
REDES - CPM - PERT 02
2
n
2
3
2
2
2
1
2
i
n321i
n321i
...,,,
m,...m,m,mm
x,...x,x,xx
PERT (Probabilístico)
TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE - Enunciado
La variable X, suma de las aleatorias xi sigue, en el límite,
cuando n tiende a infinito, una Ley Normal (GAUSS)
reducida, de la forma:
X
)X(
MXN
donde 2
iXii m=MxX
Dado un conjunto de variables aleatorias independientes xi
con media mi y varianza 2
i
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PERT (Probabilístico)TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE - Aplicación
Valor medio y dispersión: de la ley Beta surgen te y .
Asimilando TCL y variables PERT se tiene: mi = tei y
i
i ei
Suma de las variables: la duración del proyecto será la
suma de las duraciones de las tareas críticas: Tit
Lo enunciado es válido cualquiera sea la distribución de
origen de las xi .
Variables independientes: son las duraciones reales de las
tareas (xi ).
Varianza: la varianza de la duración del proyecto será lasuma de las varianzas de las duraciones de las tareascríticas.
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PERT (Probabilístico)TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE - Aplicación
Tamaño mínimo de n: Se emplean dos criterios: n >= 50 o
n >= 30, siendo n el número de actividades que componen
el camino crítico.
2eieeieee tTTNT donde),(
Cuando el número de tareas del camino crítico essuficientemente grande, la duración del proyecto seguiráuna distribución aproximadamente Normal:
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b) Teorema de Tchebycheff: “Dada una variable aleatoria
X de la que se conocen su valor esperado Te y su
desvío , la probabilidad de que un valor particular
de la variable presente un desvío absoluto respecto a
la media que exceda K veces el desvío es igual a
una constante igual a la inversa de K2”2
)e.K>TeTi( K1<P
e
e
Cuando esto no se cumple hay dos alternativas:
a) T de Student en lugar de Normal de Gauss paraprobabilidades relacionadas con duración total delproyecto.
PERT (Probabilístico)TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE - Aplicación
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PERT * APLICACIÓN DE SIMULACION
Método de Montecarlo: muestreo artificial o simulado
Conocer distribución teórica o frecuencias relativas aplicablesa la variable analizada (tiempo de la tarea).
Obtener la distribución de probabilidades acumuladas.
Procedimiento resumido:
1. Elegir número aleatorio equiprobable (por ej., de 2 o 3dígitos).
2. Representarlo en el eje de la acumulativa (valor entre 0 y 1)
3. Obtener el valor de abscisa correspondiente, para lavariable estudiada.
4. Repetir el proceso según el tamaño de muestra establecido.
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Síntesis del proceso de simulación aplicado a una red.
a) Investigar distribución aplicable a cada tarea y obtener laacumulativa
b) Extraer números equiprobables para cada tarea y aplicar fórmulas
c) Obtener la duración del proyecto que corresponda al ensayo.Definir su camino crítico.
d) Repetir el proceso según el tamaño de muestra determinado(grado de confianza)
e) Finalizadas las muestras:
1. Probabilidad de que cada camino sea crítico.
2. Distribución que sigue la duración del proyecto.
3. Analizar probabilidad de cumplimiento del proyecto antes de unafecha
4. Grado de criticidad de cada tarea. (% de veces crítica)
5. Distribución seguida por la fecha de cada nodo (tempr. o tardía)
PERT * APLICACIÓN DE SIMULACION