Wielomiany - matematyka w liceum i technikum. Download ten

Wersja z dnia: 09.08.2010 http://matematyka.strefa.pl Wielomiany — strona 1 W opracowaniu znajdziesz: dzielenie wielomianu przez wielomian, rozkład wielomianu na czynniki liniowe, wielomian trzeciego stopnia, wielomian kwadratowy, postać ogólną, kanoniczną, działania na wielomianach, twierdzenie Bezout, wzory Viete’a, wyznaczanie pierwiastków oraz ich krotności, składanie wielomianów, obliczanie ich wartości i wiele innych rzeczy. Z opracowaniem tym matura z matematyki będzie łatwiejsza. Rozwiązywanie wielomianów to pestka. To jest darmowy e-book — liceum, technikum, szkoła średnia ponadgimnazjalna.

Wielomiany zmiennej rzeczywistej

Przedmowa

Niniejsze opracowanie jest poświęcone głównie wielomianom jednej zmiennej. Wielomiany wielu zmiennych będą pojawiać się tylko w formie ciekawostki. Omawianie wielomianów postaram się wykonać w taki sposób, by każdy uczeń szkoły ponadgimnazjalnej, niezależnie od podręcznika z jakiego korzysta, mógł znaleźć tu wszystko czego po-trzebuje.

Zważywszy na to, że wiele osób nie rozumie matematyki, opracowania tworzone przeze są napisane tak by każdy mógł zrozumieć o co w nich chodzi. Niestety taki styl pisania pociąga za sobą to, że wszelkiego rodzaju definicje są pisane „na chłopski rozum”, a nie językiem ściśle matematycznym. Jeśli ktoś chce znać definicje czy jakieś sformu-łowania zapisane profesjonalnym językiem matematycznym, polecam zajrzeć do encyklopedii matematycznej któ-regokolwiek wydawnictwa. Zwykła encyklopedia czasami zawiera błędy, a nawet sprzeczności.

Spis tematów

1. Pojęcie jednomianu i wielomianu. .................................................................................................................... 3

— postać ogólna wielomianu jednej zmiennej ............................................................................................... 4

— współczynniki wielomianu ......................................................................................................................... 5

— stopień jednomianu oraz wielomianu ....................................................................................................... 6

— oznaczanie wielomianu .............................................................................................................................. 8

— nazwy wielomianów ................................................................................................................................... 9

2. Obliczanie wartości wielomianu. .................................................................................................................... 13

3. Mnożenie wielomianów. ................................................................................................................................ 15

4. Dodawanie i odejmowanie wielomianów. ..................................................................................................... 17

5. Wielomian stopnia drugiego. .......................................................................................................................... 20

6. Rozkład wielomianu jednej zmiennej na czynniki. ......................................................................................... 24

— postać iloczynowa wielomianu ................................................................................................................ 24

— metody stosowane w celu rozłożenia wielomianu na czynniki ............................................................... 25

7. Dzielenie wielomianów. .................................................................................................................................. 29

— zestawienie metod wykorzystywanych przy dzieleniu wielomianów ..................................................... 30

— dzielenie wielomianów jednej zmiennej sposobem pisemnym .............................................................. 33

— dzielenie wielomianu przez dwumian za pomocą schematu Hornera .................................................... 34

— twierdzenie Bézout .................................................................................................................................. 37

8. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu. ........................................................................................................ 41

— równanie wielomianowe ......................................................................................................................... 41

— wyznaczanie wymiernych pierwiastków wielomianu .............................................................................. 44

— wzory Viète’a ........................................................................................................................................... 49


9. Krotność pierwiastków równań wielomianowych. ......................................................................................... 53

10. Wielomiany z parametrem. ............................................................................................................................ 58

11. Nierówności wielomianowe. .......................................................................................................................... 67

— metoda węża ............................................................................................................................................ 67

12. Składanie wielomianów jednej zmiennej. ...................................................................................................... 72

13. Funkcja wielomianowa — podstawowe informacje. ...................................................................................... 73


Temat: Pojęcie jednomianu i wielomianu.

Jednomian — wyrażenie w którym nie występuje dodawanie ani odejmowanie1 np.: 2��, 14, −5� a potęga każdej ze zmiennych jest liczbą naturalną (równa 0 lub równa 1 lub równa 2 lub 3, 4, 5, …)

Jednomian jednej zmiennej zapisujemy w postaci: �� w której � to liczba rzeczywista zwana współczynni-

kiem tego jednomianu, zaś � to liczba naturalna. � to zmienna. Jednomian może mieć zmienne oznaczone li-terkami np. � lub � oraz może mieć kilka zmiennych jednocześnie.

Przykładami jednomianów o jednej zmiennej są: 2��, 15��, −5��, �� , 17�� lub krócej: 17 bo �� = 1. Ich współ-

czynniki wyróżniono kolorem jasnoniebieskim.

Jednomianem nie jest 3��, bo −5 nie jest liczbą naturalną. Jednomianem nie jest także 5�√�, bo √3 nie jest liczbą

naturalną. Jednomianem nie jest również ułamek ��, bo można go zapisać w postaci

�� , a liczba −1 nie jest liczbą

naturalną.

Jeśli współczynnik jednomianu nie jest napisany, to znaczy, że wynosi on 1 lub −1 w zależności od znaku jaki stoi przed danym jednomianem. Przykładowo współczynnik jednomianu �� wynosi 1, bo przed zmienną � nie ma na-pisanego minusa, a w jednomianie: −�� współczynnik jest równy −1, bo przed zmienną � jest znak minus.

Jednomian którego współczynnik wynosi 0, nazywamy zerowym.

Każdy jednomian zerowy można zapisać jako samą liczbę 0 np. zamiast pisać 0�� można napisać: 0.

Ćwiczenie: Które z podanych wyrażeń są jednomianami? a) 17 b) −2�� c) 5�� d) 3�� e) �√� f) ��

[Odp. a) tak, b) tak, c) nie, d) tak, e) nie, f) nie.]

Ćwiczenie: Jakie współczynniki mają podane jednomiany? a) −5�� b) 3�� c) 17�� d) −�� [Odp. a) −5, b) 3, c) 17, d) −1.]

Jednomiany mogą mieć więcej niż jedną zmienną, ale ilość tych zmiennych musi być skończona (czyli dać się dokładnie policzyć). Przykładami jednomianów:

— o 2-ch zmiennych są wyrażenia: 7��, 12��, −4��

— o 3-ch zmiennych są wyrażenia: −5��, 3��, 3��

Jeśli jednomian ma więcej niż jedną zmienną, to nazywamy go jednomianem wielu zmiennych.

Jeśli zmienne: �, �, � zastąpisz oznaczeniami: ��, ��, �� to dzięki temu będziesz mogła zapisać w sposób symboliczny nawet jednomian mający milion zmiennych. Jeśli dodatkowo zamiast potęgi stojącej przy zmiennej �� napiszesz ��, zamiast potęgi stojącej przy �� napiszesz ��, zamiast potęgi stojącej przy �� napiszesz ��, itd., to otrzymasz, że jed-nomian mający dokładnie � zmiennych wyraża się wzorem:

�� … ��

Powyżej napisany wzór to tzw. postać ogólna jednomianu, która generuje każdy jednomian, nawet ten o 1 zmien-

nej (zamiast � należy napisać 1). Oczywiście wzór jest poprawny tylko dla � naturalnych.

1 Odejmowanie — działanie oznaczone znakiem minus stojącym między dwoma wyrażeniami np. między dwiema liczbami: 5 − 8 = −3.

W podanym przykładzie odejmowanie występuje tylko po lewej stronie równości. Po prawej jest tylko symbol odejmowania, a nie

odejmowanie jako działanie.


Przejdźmy teraz do tzw. wielomianów.

Wielomian — suma skończonej liczby jednomianów.

��

+ ��+ ��

��

Inne przykłady wielomianów:

a) 5�� + 14�� − 5�� + 7�� − �� − 2�� + �� − 12�� − 3� − 4�� + �� + 2�� − 5�� + �� + �� − 2� + 7

b) −3�� + 4�� + 0�� + 0� − 0�� + 2�� − 0�� − 5� + 0 lub krócej: −3�� + 4�� + 2�� − 5�

c) 2�� + 0�� + 0� + 0 lub krócej: 2��

d) 0�� + 0�� + 7� + 0 lub krócej: 7�

e) 0�� + 0�� + 0� + 0 lub krócej: 0

Ćwiczenie: Zapisz krócej wielomian: 6�� + 0� − �� + 2�� + 0�� + 0� + 0�� − 2�� + 5�� + 0� + 2. [Odp. 6�� − �� + 2�� − 2�� + 5�� + 2.]

Ćwiczenie: Zapisz wielomian: −2�� + 4�� − 3 w taki sposób, by mieć wszystkie potęgi przy podanej zmiennej. [Odp. −2�� + 0�� + 0� + 0�� + 4�� + 0� − 3.]

Spostrzeżenia:

— potęgi które są przy zmiennej zawsze można ułożyć malejąco lub rosnąco (w szkole średniej na ogół układa się

je malejąco, czyli tak jak pokazują to powyższe przykłady, zaś na studiach rosnąco)

— potęga zmiennej musi być liczbą naturalną tj. musi być równa 0 lub 1 lub 2 lub 3 lub 4 lub …

Wielomiany podobnie jak jednomiany mogą mieć więcej niż jedną zmienną np.: 2�� + 7�� − 3��, ale nie będę

się teraz nimi zajmować.

Postać ogólna wielomianu jednej zmiennej

Wróć się na chwilę do wielomianu:

5�� + 14�� − 5�� + 7�� − �� − 2�� + �� − 12�� − 3� − 4�� + �� + 2�� − 5�� + �� + �� − 2� + 7

i zauważ, że ma on ułożone potęgi malejąco oraz to, że nie brakuje żadnej. Dodatkowo zauważ, że drugi jednomian

od końca: 2� można zapisać tak: 2�� a jednomian ostatni: 7 można zapisać tak: 7��. Jeśli więc zamiast największej

potęgi (w tym przypadku zamiast liczby 17) napiszesz literkę � to zamiast potęgi 16 trzeba będzie napisać: � − 1, bo

liczba 16 jest o 1 mniejsza od 17. Dalej zamiast potęgi 15 trzeba będzie napisać: � − 2 bo 15 jest o 2 mniejsza od 17,

następnie zamiast 14 trzeba będzie napisać � − 3, bo liczba 14 jest o 3 mniejsza od liczby 17 itd. aż przy ostatnim

jednomianie napisana zostanie potęga 0:

5�� + 14�� − 5�� + 7�� − �� − 2��+ . . . +�� − 2�� + 7��

co daje:

5�� + 14�� − 5�� + 7�� − �� − 2��+ . . . +�� − 2�� + 7��


Oprócz tego jeśli zamiast liczby stojącej przy ostatnim jednomianie napiszesz ��, to zamiast liczby stojącej przy

przedostatnim jednomianie trzeba będzie napisać ��, zamiast następnej �� itd. aż liczbę stojącą przy pierwszym

jednomianie oznaczysz przez ��, czyli przez ��:

��

�� + �� + �� + �� + �� + ��+ . . . +�� + �� + ��

Jeśli zaś najpierw liczbę stojącą przy pierwszym jednomianie oznaczysz przez �� to liczby stojące przy kolejnych jed-

nomianach trzeba będzie oznaczyć: ��, ��, itd.:

�� + �� + �� + �� + �� + ��+ . . . +�� + �� + ��

��

co w skrócie dało wielomian:

�� + �� + ��+ . . . +��

a po uproszczeniu ostatniego jednomianu:

Powyższy zapis nazywamy postacią ogólną wielomianu, bo dzięki niemu dla dowolnej liczby naturalnej � możemy otrzymać każdy wielomian. Zobaczmy to na przykładach:

— dla � = 0 postać ogólna wielomianu wygląda tak: �� (wielomian staje się jednomianem, a dokładniej rzecz ujmując zmienia się w liczbę)

— dla � = 1 postać ogólna wielomianu wygląda tak: �� + �� (skojarz ze wzorem funkcji liniowej: � = �� + )

— dla � = 2 postać ogólna wielomianu wygląda tak: �� + �� + ��

— dla � = 3 postać ogólna wielomianu wygląda tak: �� + �� + �� + ��

Ćwiczenie: Napisz postać ogólną wielomianu dla � = 8. [Odp. �� + �� + �� + �� + �� + �� + �� + �� + ��.]

Współczynniki wielomianu

Współczynnik wielomianu — liczba która stoi w danym jednomianie przy odpowiedniej zmiennej.

Współczynniki wielomianu 6�� − 8�� + 2� + 9� + 21� to: 6, −8, 2, 9, 21.

Współczynnik wiodący — liczba w wielomianie jednej zmiennej stojąca przy zmiennej o najwyższej potędze. Jeśli wielomian ma więcej niż jedną zmienną, to za współczynnik wiodący uważa się tę liczbę, która stoi przy jednomianie o najwyższym stopniu, ale pod warunkiem, że rozpatrywany wielomian ma dokładnie jeden jednomian o najwyższym stopniu.

Przykłady [współczynniki wiodące wyróżniono kolorem czerwonym]:

7�� − 5� + 3�� − 4; −10�� − 20��; 3�� + 2��; [Brak współczynnika wiodącego, bo oba jednomia-

ny są stopnia 15.]

5�� + 14�� − 6�� + 2�; 16�� − 15�� − 1�� ; −4�� + 2��;


Uwaga. W niektórych źródłach matematycznych, współczynnik wiodący wielomianu jest nazywany współ-

czynnikiem najstarszym.

Uwaga. Jeśli współczynnik wiodący wielomianu jest równy 1, to wielomian taki zwie się unormowanym.

Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są zerami, to taki wielomian nazywamy zerowym. Wielomian zerowy, dla:

— dla � = 0 wygląda tak: 0

— dla � = 1 wygląda tak: 0� + 0

— dla � = 2 wygląda tak: 0�� + 0� + 0

— dla � = 3 wygląda tak: 0�� + 0�� + 0� + 0

Ćwiczenie: Napisz jak wygląda wielomian zerowy dla � = 5. [Odp. 0�� + 0� + 0�� + 0�� + 0� + 0.]

Stopień jednomianu oraz wielomianu

Każdy jednomian oraz wielomian różny od zerowego ma tzw. stopień.

Stopień jednomianu — suma potęg do których są podniesione wszystkie zmienne danego jednomianu.

Stopień jednomianu:

— 2�� wynosi 7 — 8�� wynosi 3, bo zmienna � jest podniesiona do potęgi 1, zaś � do potęgi 2 — 14 wynosi 0, bo jednomian ten można zapisać także jako 14�� — −25�� wynosi 10.

Uwaga. Jednomian zerowy nie ma stopnia.

Tak naprawdę stopień jednomianu zerowego wynosi −∞. Ponieważ −∞ nie jest liczbą, więc na ogół mówimy, że jednomian zerowy nie ma stopnia.

Ćwiczenie: Określ stopień jednomianów: a) 5��, b) −3�� , c) 0��, d) 3�� e) 5��. [Odp. a) 10, b) 6, c) −∞ d) 2, e) 9.]

Stopień wielomianu — najwyższy stopień jednomianu niezerowego z którego zbudowany jest dany wielomian.

Bardziej fachowo mówimy, że stopień wielomianu: �� + �� + ��+ . . . +�� to liczba �, ale pod wa-runkiem, że �� ≠ 0. Takie zdefiniowanie stopnia wielomianu jest oczywiście równoważne temu co zostało napisane wcześniej.


Przykładowo stopień wielomianu:

a) −3�� + 5� − 4 wynosi 2 bo to największa potęga napisanych jednomianów

b) 17�� + 14�� − 61�� wynosi 129 bo to największa potęga napisanych jednomianów

c) 5�� − 4�� + 5�� wynosi 16 bo to największa potęga, choć nie jest napisana jako pierwsza

d) 17� + 2�� − 43� wynosi 5, bo to największa potęga, choć jest napisana jako ostatnia

e) 0�� + 0�� + 4�� + 2 wynosi 6, bo potęgi przy jednomianach zerowych odrzucamy

Zadanie: Czy wyrażenie: −2�� − 5√� + 4 jest wielomianem?

Rozwiązanie:

Ponieważ 21

xx = , więc � nie jest podniesiony do potęgi naturalnej.

Odpowiedź. Podane wyrażenie nie jest wielomianem.

Ćwiczenie: Czy wyrażenie: 6�� − 11�� + 4 jest wielomianem? [Odp. Nie, bo −2 nie jest liczbą naturalną.]

Generalnie określanie stopnia wielomianu odbywa się w myśl zasady:

��. � + ��. � + ��. � ��. �

3��. + 14��. ��− 3��. � ��

��. �� 3��.

− 2��. �+ 5��. ��

��.

Ćwiczenie: Określ stopień wielomianu: a) −3�� + 2� b) 15�� − 12�� + 3� + 4. [Odp. a) 2, b) 17.]

Przypominam, że stopień wielomianu musi być liczbą naturalną, bo stopnie jednomianów tworzących dany wielo-mian muszą być liczbami naturalnymi. Innymi słowy stopień wielomianu może być równy 0 lub 1 lub 2 lub 3 lub … i żadne inne liczby nie są dopuszczalne.

Podobnie jak jednomian zerowy, tak i wielomian zerowy nie ma stopnia. Teoria matematyczna dopuszcza jednak stwierdzenie, że stopień wielomianu zerowego jest równy −∞.

Jeśli cały wielomian oznaczymy literką (najczęściej stosuje się dużą literę � lub � lub �), to jego stopień możemy zapisać symbolicznie: deg(�) lub deg�� lub deg�� w zależności od tego jaką literką oznaczyliśmy dany wielo-mian. Zatem jeśli wielomian oznaczony powiedzmy literką � będzie mieć stopień np. 8, to symbolicznie zostanie to zapisane tak:

deg�� = 8

Tak na marginesie dodam, że „deg” to skrót od angielskiego słowa „degree” oznaczającego „stopień”.

Ćwiczenie: Zapisz symbolicznie, że stopień wielomianu �(�, �, �) jest równy 11. [Odp. deg�� = 11.]

Ćwiczenie: Określ stopień wielomianu �� = 5� − 3�� + 2 i zapisz go symbolicznie. [Odp. deg�� = 9.]

Ćwiczenie: Określ stopień wielomianu ��, �� = 5� � − 3�� − 1 i zapisz go symbolicznie. [Odp. deg�� = 11.]


Oznaczanie wielomianu

Wiesz już, że wielomiany możesz oznaczać dużymi literami i że do tego celu najczęściej używa się litery � by wywo-ływała skojarzenia ze słowem „wielomian” oraz liter � i � by nie myliły się one np. z oznaczeniami zbiorów liczbo-wych. Teraz dowiesz się, że dodatkowo można dopisać nawias zwykły a w nim wymienić wszystkie zmienne jakie zawiera dany wielomian. Przykładowo zamiast pisać: �� + 3� możesz napisać:

� = �� + 3�

lub jeszcze bardziej precyzyjnie:

�� = �� + 3�

Jeśli wielomian zawiera więcej niż jedną zmienną np.: 15�� + 4�� − 6�� to symbolicznie możesz go zapisać tak:

��, �� = 15�� + 4�� − 6��

lub bardziej szczegółowo:

��, �� = 15�� + 4�� − 6��

Literki w nawiasie pokazują jakie zmienne ma dany wielomian. Jest to zapis o tyle wygodny, że jeśli widzimy:

�� = �� + 3��

to od razu wiemy, że literkę � należy potraktować w myślach tak, jakby to była liczba, nie zmienna. Innymi słowy powyższy wielomian możesz równie dobrze zapisać w postaci równoważnej:

�� = �� + �3��

w której literka � występuje jako tzw. parametr. Oczywiście do oznaczania parametrów najczęściej stosuje się literki: �, , �, � ale literka � też może być o ile nie jest napisana w nawiasie.

Ćwiczenie: Ile zmiennych ma wielomian: ��, �� = 7�� + 13�� − 5��. [Odp. 2 zmienne: � i �. Literka � jest parametrem, bo nie

jest uwidoczniona w nawiasie.]

Ćwiczenie: Ile zmiennych ma wielomian: ��, �� = 7�� + 13�� − 5��. [Odp. 2 zmienne: � i � bo ten wielomian można zapisać

w sposób równoważny: ��,�� = 7�� + 13�� − 5��. O ilości zmiennych decyduje ilość literek w nawiasie.]

Ćwiczenie: Ile zmiennych ma wielomian: �� = 7�� + 13�� − 5��. [Odp. 1 zmienną: �. Literki: � oraz � są parametrami, bo nie

są uwidocznione w nawiasie.]

Rozstrzyganie o tym które literki wielomianu są jego zmiennymi, a które parametrami (liczbami zapisanymi za po-mocą literek) może mieć wpływ na określanie stopnia wielomianu. Zobacz. Jeśli masz wielomian

��, �� = 7�� + 13�� − 5��


to jego stopień wynosi 100 a nie jak mogło by się wydawać 258. Przy określaniu stopnia wielomianu patrzymy wy-łącznie na potęgi które stoją przy zmiennych. W podanym wielomianie � nie jest zmienną, więc przy określaniu stopnia bierzemy pod uwagę tylko potęgę 100 oraz 4 i zawsze wybieramy największą z nich. Zatem:

deg�� = 100

Dokładniej rzecz ujmując stopnie poszczególnych jednomianów w podanym wielomianie przedstawiają się tak:

��, �� = 7��ń��

+ 13��ń�

− 5�� !"�

��ń�

��ń#��

"��$%��, �, �&#��

Rozpatrzmy inny wielomian: ��, �� = 2�� + 3�� − �� i spróbujmy określić jego stopień:

��, �� = 2��.#��+ 3��.#��

− ��.# ��.#��

"��$%��, ��, &#��

Ćwiczenie: Określ stopień wielomianu: ��, �� = 15�� + 2�� − 3��. [Odp. deg�� = 500. Zauważ, że � nie jest

zmienną. Należało patrzeć tylko na potęgi przy zmiennej � oraz �.]

Uczniowie szkół średnich często nie widzą różnicy między słowem „wielomian” a sformułowaniem „funkcja wielo-mianowa”. Różnicę tę dobrze widać na poniższym przykładzie:

�� = ��'()�*+,-�

+ �'()�*+,-�+ ��'()�*+,-� ��

.,(/*+,-� ��01��2'- .,(/*+,-�*.-

Jak widać wielomian od funkcji wielomianowej różni się tym, że nie zawiera znaku równości. Wielomian to po prostu wyrażenie matematyczne będące sumą jednomianów i nic poza tym. By móc mówić dokładniej o wielomianie tzn. wyliczać jego wartość np. dla � = 5 lub robić z nim inne rzeczy (zostaną one omówione w kolejnych tematach tego opracowania), należy przekształcić go w funkcję wielomianową tzn. dopisać znak równości oraz �(�).

Nazwy wielomianów

Wielomiany mają swoje nazwy. Na ogół są one uzależnione od ilości jednomianów z których jest on zbudowany. I tak wielomian składający się z dokładnie:

— dwóch jednomianów nazywa się dwumianem

— trzech jednomianów nazywa się trójmianem — czterech jednomianów nazywa się czteromianem — pięciu jednomianów nazywa się pięciomianem — …

Uwaga. We wszystkich powyższych wielomianach, jednomiany muszą mieć różne stopnie i nie mogą mieć współ-czynnika równego 0.


Zobaczmy to na przykładach:

— �� = 3�� + 5�� − 7�� + 2� To jest trójmian a nie czteromian, bo 2 jednomiany są stopnia 8.

— �� = 7�� + 0�� − 5�� To jest dwumian, bo jednomianu zerowego nie bierze się pod uwagę

Ćwiczenie: Jak nazywa się ten wielomian: �� = 3� + 2�� − 3�� − 10 [Odp. Czteromian, bo składa się z 4-ch jednomianów.]

Ćwiczenie: Jak nazywa się ten wielomian: �� = 3� + 0�� − 5�� − 10 [Odp. Trójmian, bo ma 3 jednomiany niezerowe.]

Ćwiczenie: Jak nazywa się ten wielomian: �� = 3�� + 0�� − 5�� − 10 [Odp. Dwumian, bo ma 2 jednomiany niezerowe różnych

stopni.]

Szczególne znaczenie w matematyce ma wielomian zwany trójmianem kwadratowym. Jak sama nazwa wskazuje składa się on z 3-ch niezerowych jednomianów o różnych stopniach (dlatego trójmian) i dodatkowo ma on stopień 2 (dlatego kwadratowy). Przykładem trójmianu kwadratowego jest wielomian:

6�� − 3� + 4

lub ogólniej rzecz ujmując: �� + � + � Istnieją również wielomiany, których nazwa nie pochodzi od ilości jednomianów. Są to:

— wielomian zerowy

Jego wszystkie współczynniki są zerami: 0�� + 0�� + 0� + 0 i zawsze można go zapisać krócej jako samo 0 tzn. w postaci:

0�� + 0�� + 0� + 0 = 0

Wniosek 1: Liczba 0 to jednomian zerowy i jednocześnie wielomian zerowy.

— wielomian całkowity

Wszystkie jego współczynniki są liczbami całkowitymi. Przykładem takiego wielomianu jest:

−5�� − 3�� + 8� − 4

— wielomian unormowany

Jego współczynnik wiodący jest równy 1 (chodzi o liczbę przy zmiennej o najwyższej potędze). Przykładem takiego wielomianu jest: �� − 3�� + 8� − 4

— wielomian stały

Wszystkie współczynniki oprócz wyrazu wolnego są zerami. Wyraz wolny jest liczbą różną od zera. Przykła-dem wielomianu stałego jest:

15

czyli sama liczba. Zauważ, że powyższą liczbę można zapisać także w postaci:

0�� + 0�� + 0� + 15


Niektóre wielomiany przyjmują swoją nazwę dopiero wtedy, gdy porówna się je z innymi wielomianami. Przykłada-mi takich wielomianów są:

— wielomiany podobne

Przynajmniej 2 wielomiany różniące się co najwyżej współczynnikami. Przykładem takich wielomianów są:

5�� + 7�� − 5� + 4

−2�� − 3�� − 2� + 6

W szczególnym przypadku oba wielomiany mogą mieć identyczne współczynniki przy odpowiednich zmien-nych np.:

5�� + 7�� − 5� + 4

5�� + 7�� − 5� + 4

i wówczas powiemy bardziej precyzyjnie że są to: wielomiany równe.

W szczególnym przypadku oba wielomiany mogą mieć przeciwne współczynniki przy odpowiednich zmien-nych np.:

5�� + 7�� − 5� + 4

−5�� − 7�� + 5� − 4

i wówczas powiemy bardziej precyzyjnie że są to: wielomiany przeciwne.

Wielomiany:

5�� + 7�� − 5� + 4

8�� − 13

też są do siebie podobne, bo drugi wielomian można zapisać tak: 8�� + 0�� − 0� − 13.

Wniosek: Wielomiany są podobne, jeśli są tego samego stopnia.

— wielomiany przeciwne

Są to dwa wielomiany różniące się tylko znakami przy odpowiednich współczynnikach (ich współczynniki są względem siebie liczbami przeciwnymi). Przykładem takich wielomianów są:

5�� + 7�� − 5� + 4

−5�� − 7�� + 5� − 4

Jeśli jeden z wielomianów oznaczymy �(�) to wielomian do niego przeciwny możemy oznaczyć –�(�).

— wielomiany równe

Przynajmniej 2 idealnie takie same wielomiany. Zawsze mają one ten sam stopień i dokładnie te same współczynniki przy odpowiednich zmiennych. Przykładem takich wielomianów są:

5�� + 7�� − 5� + 4

5�� + 7�� − 5� + 4

Wielomiany:

3� + 7�� − 33�� + 7� − 3

nie są równe, bo nie mają tych samych stopni. Wielomiany:


3� + 7�� − 33� + 7� − 3

także nie są równe (choć mają ten sam stopień), bo po ich dokładnym rozpisaniu otrzymujemy wielomiany:

3� + 0�� + 0�� + 7�� + 0� − 3

3� + 0�� + 0�� + 0�� + 7� − 3

które nie mają tych samych współczynników przy odpowiednich zmiennych.

Wniosek: Wielomiany są równe, jeśli są tego samego stopnia i dodatkowo przy odpowiednich zmiennych mają te same współczynniki.

Zobacz teraz w jaki sposób rozwiązuje się niektóre zadania dotyczące wielomianów.


Temat: Obliczanie wartości wielomianu.

Wartość wielomianu — liczba uzyskana ze wstawienia zamiast wszystkich zmiennych wielomianu odgórnie ustalonych liczb.

Przypuśćmy, że mamy dany wielomian dwóch zmiennych:

��, �� = �� − �� − �.

Jeśli chcemy obliczyć jego wartość dla � = −2 i � = 4, to napiszemy, krótko: „Oblicz �(−2, 4)”. Kolejność liczb w nawiasie jest ważna. Pierwsza liczba odpowiada pierwszej wymienionej zmiennej, a druga drugiej. Obliczmy więc:

��−2, 4� ��3��ść ��6

��7�� #�� 7#�

!�� 8�"�� !��

= �−2��

��

− �−2��

∙ 4�7

��9��

− �−2��

��9�= −8 + 32 + 2 = 26�

��3��ść��6

�� #�� 7#�

��4, −2� ��3��ść ��6

��7�� #� � 7#��

!�� 8�"�� !��

= 4�� −4 ∙ �−2��

− 4 = 64 − 16 − 4 = 44��3��ść

��6�� #� � 7#��

Uwaga. Przy obliczaniu wartości wielomianów należy bardzo zwracać uwagę na kolejność wykonywania działań.

Rozpatrzmy teraz wielomian jednej zmiennej, np.:

�� = −�� − �� − � + 5

i obliczmy:

��0� = − 0�� − 0�� − 0 + 5 = 5

��1� = − 1�� − 1�� − 1 + 5 = −1 − 1 − 1 + 5 = 2

��−1� = − �−1��

− �−1��

−�−1��9�+ 5 = 1 − 1�� + 1 + 5 = 6

��−2� = − �−2��

− �−2��

−�−2��9�+ 5 = 8 − 4 + 2 + 5 = 11

Ćwiczenie: Dany jest wielomian: �� = −2� + 3. Oblicz: a) �(0), b) �(1) c) �(−1) d) �(−5)

[Odp. 3; 1; 5; 13.]

Ćwiczenie: Dany jest wielomian: �� = −2�� + 3. Oblicz: a) �(0), b) �(1) c) �(5) d) �(−5)

[Odp. 3; 1; −247; 258.]

Ćwiczenie: Dany jest wielomian: �� = −2�� − �. Oblicz: a) �(0), b) �(1) c) �(−1) d) �(−5)

[Odp. 0; −3; 3; 255.]


Zadanie: Dany jest wielomian �� = �� − 2√3 + 1�� − 2�. Oblicz ��√3 − 1�.

Rozwiązanie:

��√3 − 1� ��

= �√3 − 1 − 2√3 + 1� ��√�

� ��:�√�;:�√�;<===>===?

�

:�√�;<=====>=====?

�√�

−2�√3 − 1� ��√�9�

= −3√3 − 2√3 ��√�

+ 2 = −5√3 + 2 = 2 − 5√3

Ćwiczenie: Dany jest wielomian: �� = −�� − √7��. Oblicz �(√7 + 2). [Odp. −4.]

Ćwiczenie: Dany jest wielomian: �� = −4�� + 3��. Oblicz �(√5 + 2). [Odp. −40√5 − 120.]

Ćwiczenie: Dany jest wielomian: �� = 4�� − √2��. Oblicz �(√3). [Odp. 20 − 8√6.]


Temat: Mnożenie wielomianów.

Mnożenie dwóch wielomianów polega na wymnożeniu każdego jednomianu pierwszego wielomianu przez każdy jednomian drugiego wielomianu.

Przykład mnożenia dwóch wielomianów:

�� − �� + � − � = �� + �� − � − � − � + �.

Jeśli po pomnożeniu jednomianów pojawią się wyrazy podobne2, to można je ze sobą dodać. Należy pamiętać jed-nak o tym, by zawsze uwzględniać znaki jakie przed nimi stoją.

Przykład:

�2� + 3��3� − 4� + 7� = 6�� − 8�� +!"#$ �� + 9� −!%#$ �� + 21� = 6�� − 8�� +%#$ �� + 9� + 21�.

Równoważny sposób mnożenia dwóch wielomianów przedstawia poniższa tabelka.

3� −4� 7

2� 6�� −8�� !"#$

3 9� −!%#$ 21�

Uwaga. Sposób tabelkowy jest o tyle lepszy, że w razie nagłego przerwania obliczania, można bez trudu odnaleźć

miejsce w którym się skończyło i kontynuować obliczenia. Poza tym od razu widać wszystkie wyrazy po-dobne, a przy wielomianach składających się na przykład z 20 jednomianów daje mniejsze prawdopodo-bieństwo pomylenia się w obliczeniach.

Uwaga. Mnożąc dwa wielomiany o stopniach & i � otrzymujemy nowy wielomian o stopniu & + �.

Uwaga. Mnożenie wielomianów jest przemienne. Oznacza to, że �(�) ∙ �(�) = �(�) ∙ �(�).

Zadanie: Przedstaw wyrażenie: '−� ��(� w postaci jednomianu ��.

Wykorzystajmy wzór: �� = �� ∙ �. Widzimy więc, że � = −�; = ��; � = 3.

Rozwiązanie:

'−� ��(� = '−

�(� ∙ �� = −

�� ∙ ��.

Wniosek: � = −�

��, � = 12.

Odpowiedź do tego zadania nie jest potrzebna, bo w treści zadania nie było pytania.

Ćwiczenie: Przedstaw wyrażenie: �� ∙ �� −

� � w postaci jednomianu ��.

Zadanie: Ile wynosi suma współczynników wielomianu �� = �7�� − 6�� − 5� + 4��?

Zauważmy, że wymnażając 2010 razy przez siebie to co jest w nawiasie dostaniemy jakiś bardzo długi wie-lomian. Jego długość nie ma jednak żadnego znaczenia. W treści zadania jest tylko pytanie o sumę współ-

2 Wyrazy podobne to przynajmniej 2 jednomiany o tych samych zmiennych i tych samych potęgach przy odpowiednich zmiennych. Przy-

kładowo wyrazami podobnymi są: 4�� i 13��. Wyrazami podobnymi nie są: 4�� i 4��.


czynników, a nie o postać jaką otrzymamy wymnażając zawartość nawiasu 2010 razy przez siebie. Ozna-cza to, że z zawartości nawiasu możemy wykreślić wszystkie zmienne wraz z potęgami do których są pod-niesione. Gdy tak zrobimy, okaże się, że pozostaną tylko liczby które są w nawiasie oraz potęga która jest za tym nawiasem.

Rozwiązanie:

�7 − 6 − 5 + 4�� = 0�� = 0.

Odpowiedź: Suma współczynników wielomianu �(�) wynosi 0.

Ćwiczenie: Ile wynosi suma współczynników wielomianu �� = �5�� − 4�� + 3�� − 2�� − ��?


Temat: Dodawanie i odejmowanie wielomianów.

Dodawanie wielomianów odbywa się poprzez dodawanie do siebie wyrazów podobnych.

Przykład dodawania wielomianów:

�� = )�� − 7� − 5 �(�) = *�� + 0� + 13 --------------------------------------- �� + �� = +�� − 7� + 8 Wielomiany można do siebie dodawać także w postaci jednowierszowej:

�� + �� = �3�� − 7� − 5� + �6�� + 13� = 9�� − 7� + 8,

ale trzeba wówczas stosować podkreślenia wyrazów podobnych i łatwiej się pomylić w obliczeniach. Zaprezentowa-ne na początku tego tematu dodawanie w słupkach (na wzór dodawania pisemnego) jest bezpieczniejsze i bardziej przejrzyste.

Uwaga. Dodawanie wielomianów jest przemienne, czyli �� + �� = �� + ��. Uwaga. Dodając dwa wielomiany o stopniach m i n otrzymujemy nowy wielomian o stopniu nie większym niż

max(m, n).

Ćwiczenie: Dodaj do siebie podane wielomiany.

a) �� = 5�� − 7�, �� = −5�� + 3� [Odp. −4�.]

b) �� = −3� + 2�� − �, �� = −3�� + 2�� − � + 5 [Odp. −3�� + 2� − 3�� + 2�� − 2� + 5.]

Odejmowanie wielomianów jest analogiczne do dodawania, ale nie jest przemienne. Jest zatem ważne czy od wie-lomianu �� odejmujemy wielomian �(�), czy od �(�) odejmujemy �(�).

Przykład odejmowania wielomianów:

�� = )�� − 7� − 5 �(�) = *�� + 0� + 13 --------------------------------------- �� − �� = −)�� − 7� − 18

�� = *�� + 0� + 13 �� = )�� − 7� − 5 --------------------------------------- �� − �� = )�� + 7� + 18

Jeśli pokusimy się o wykonanie odejmowania wielomianów w postaci jednowierszowej, to musimy pamiętać, aby cały drugi wielomian wziąć w nawias, a opuszczając nawias zmienić znaki na przeciwne. Przykład:

�� − �� = )�� − 7� − 5 − �*�� + 13� = )�� − 7� − 5 − *�� − 13 = −)�� − 7� − 18.

�� − �� = *�� + 13 − �)�� − 7� − 5� = *�� + 13 − )�� + 7� + 5 = )�� + 7� + 18.

Przypomnijmy sobie teraz co to jest łączność dodawania (z klasy drugiej szkoły podstawowej).

Jeśli dodajemy do siebie dokładnie 3 liczby np.: 5 + 7 + 2, to łączność dodawania orzeka o tym, że:

�5 + 7� + 2 ��

= 5 + (7 + 2) ��

.


Jak widać z powyższego przykładu, kolejność liczb po obu stronach znaku równości jest taka sama — tylko nawiasy grupują inne liczby. Wynik z lewej strony tego równania jest oczywiście taki sam jak po stronie prawej.

W przypadku wielomianów również zachodzi łączność dodawania. Jedyna różnica polega na tym, że zamiast liczb (jak wyżej) mamy wielomiany np. �(�), �(�), ,(�). Zatem łączność dodawania dla wielomianów wygląda następu-jąco:

�� + �� + ,�� = �� + �� + ,(�)� Przy mnożeniu wielomianów jest analogicznie:

�� ∙ �� ∙ ,�� = �� ∙ �� ∙ ,(�)� Przejdźmy teraz do rozdzielności mnożenia względem dodawania, zarówno prawo- jak i lewostronnej. Nie ma w tym nic trudnego, gdyż to tylko inna nazwa mnożenia wielomianu przez jednomian i odwrotnie. Zobaczmy to najpierw na przykładzie rodem z gimnazjum.

�3� + 4�� ∙ 5� = 15�� + 20��

5� ∙ �3� + 4�� = 15�� + 20��

Dla wielomianów mamy analogicznie:

�� + �� ∙ ,�� = �� ∙ ,�� + �(�) ∙ ,(�)

,�� ∙ �� + �� = �� ∙ ,�� + �(�) ∙ ,(�)

Uwaga. Suma dwóch wielomianów przeciwnych jest równa 0.

��+�−�(�)� ��@(�)

= 0

Ponieważ 0 to skrócony zapis wielomianu zerowego, więc równie dobrze możemy powiedzieć, że dodając dwa wie-lomiany przeciwne, zawsze dostaniemy wielomian zerowy.

Ćwiczenie: Odejmij wielomian �� od wielomianu �(�).

a) �� = 5�� − 7�, �� = −5�� + 3� [Odp. 10�� − 10�.]

b) �� = −3� + 2�� − �, �� = −3�� + 2�� − � + 5 [Odp. −3�� + 2� + 3�� − 2�� − 5.]

Zadanie: Niech � oznacza wielomian 4�� + 2�� + 1, � — wielomian −2� − 3, zaś � — wielomian 2�� − 5. Upo-rządkuj wielomian: 2G – 3H – 4WG.

Rozwiązanie:

2� = 2�−2� − 3� = −4� − 6

3� = 3�2�� − 5� = 6�� − 15

4�� = 4 �4�� + 2�� + 1��−2� − 3� ��<===>===?

� ��

= −32�� − 64�� − 24�� − 8� − 12

2� − 3� − 4�� = −4� − 6−�6�� − 15��

−(−32�� − 64� − 24�� − 8� − 12)��

= 32�� + 64� + 18�� + 4� + 21.


Ćwiczenie: Niech � oznacza wielomian 5�� − 2�� − 7, � — wielomian −2� + 4, zaś � — wielomian �� − 1.

Uporządkuj wielomian: 2GW – 3GH – 4HW.


Temat: Wielomian stopnia drugiego.

Każdy wielomian stopnia drugiego możemy zapisać w postaci ogólnej �� = �� + � + �. We wzorze tym � to tzw. współczynnik wiodący wielomianu, czyli liczba stojąca przy zmiennej o najwyższej potędze. Współczynnik � to tzw. wyraz wolny. Współczynnik nie ma swojej nazwy.

Ponieważ wielomian ten jest stopnia drugiego i składa się z 3-ch jednomianów, więc jest nazywany także trójmia-

nem kwadratowym. Pierwiastki tego wielomianu można zawsze znaleźć wyliczając tzw. wyróżnik, choć nie zawsze jest to sposób najszybszy.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego oznaczamy za pomocą dużej greckiej litery: ∆ [wymawiaj: delta]. Deltę wylicza-my zawsze ze wzoru:

∆ = � − 4��

Ponieważ wielomian �(�) jest stopnia drugiego, więc może on mieć maksymalnie dwa różne pierwiastki. Aby roz-poznać to, ile różnych pierwiastków ma dany wielomian stopnia drugiego, należy sprawdzić jaką wartość przyjmuje (powyżej wspomniana) delta.

Jeśli:

-� ≠ 0∆ < 0

. /0 1� = 0 = 0� ≠ 0

. to dany wielomian nie ma pierwiastków

-� ≠ 0∆ = 0

. /0 -� = 0 ≠ 0. to dany wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek

-� ≠ 0∆ > 0

. to dany wielomian ma dokładnie dwa różne pierwiastki.

1� = 0 = 0� = 0

. to dany wielomian staje się wielomianem zerowym i ma nieskończenie wiele pierwiastków.

Jeśli wielomian stopnia drugiego ma dwa różne pierwiastki (∆ > 0), to dają się one wyliczyć ze wzorów:

�� =�A�√∆

�- �� =�A9√∆

�-

Zauważmy, że jeśli delta będzie równa 0, to √∆ także będzie równy 0. Oznacza to, że gdy ∆ = 0, to oba powyższe pierwiastki są sobie równe. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z jednym pierwiastkiem ��. Zatem:

�� =−2�

Powyższy pierwiastek �� nazywamy dwukrotnym, bo wyszedł z nałożenia się na siebie pierwiastka �� z pierwiast-kiem ��.

Znając współczynniki wielomianu stopnia drugiego, możemy zapisać go w sposób równoważny:

�� = � 2� +

2�3� −∆

4�

Powyższy zapis wielomianu stopnia drugiego nazywamy postacią kanoniczną. Jeśli � > 0, to wielomian stopnia dru-

giego przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu � = −A�- i wartość ta jest dokładnie równa −

∆

�-. Jeśli � < 0, to

wielomian stopnia drugiego przyjmuje największą wartość dla argumentu � = −A�- i wartość ta jest dokładnie rów-

na −∆

�-.


Wniosek: Dla wielomianów stopnia drugiego, zawsze �'−A�-( = −

∆

�-.

Zadanie: Dla jakiego argumentu wielomian �� = 5√3�� − 4√7� + √11 przyjmuje wartość najmniejszą? Ile wynosi wartość najmniejsza tego wielomianu?

Rozwiązanie:

�� = 5√3�-

�� −4√7 ��A

� +√11 ��2

� = 5√3; = −4√7; � = √11; ∆ = �−4√7�� − 4 ∙ 5√3 ∙ √11 = 112 − 20√33.

−A�- = −

��√��√� =

�√�√� =

�√�√� ∙

√�√� =

�√�� ≈ 0,61.

−∆

�- = −��√��

��√� = −��√��

��√� ∙√�√� = −

��√��√ �� = −

��√��√�� = −

�:��√��√��;�� =.

= −��√��√��

� =�√��√�

� ≈ 0,08.

Odpowiedź: Wielomian �(�) przyjmuje wartość najmniejszą dla � =�√�� i wartość ta wynosi

�√��√�� .

Znając pierwiastki wielomianu stopnia drugiego, możemy zapisać dany wielomian w jeszcze innej postaci niż powyż-sza:

�� = �� − ��(� − ��)

Taki sposób zapisywania wielomianu stopnia drugiego zwany jest postacią iloczynową.

Zadanie: Odczytaj współczynniki wielomianu �� = 5√3�� − 4√7� + √11.

Rozwiązanie:

�� = 2√7�-

�� −√3�A

� + 2√13 ��2

� = 2√7; = −√3; � = 2√13.

Zadanie: Odczytaj współczynniki wielomianu �� = −�� + 3� − 17.

Rozwiązanie: � = −1; = 3; � = −17.

Zadanie: Oblicz wyróżnik trójmianu kwadratowego: 5�� − � + 3.

Rozwiązanie: � = 5; = −1; � = 3; ∆ = (−1)� − 4 ∙ 5 ∙ 3 = 1 − 60 = −59.


Zadanie: Oblicz wyróżnik wielomianu: �� = −4�� + 7.

Rozwiązanie:

�� = −4�� + 0� + 7

� = −4; = 0; � = 7; ∆ = 0� − 4 ∙ (−4) ∙ 7 = 112.

Zadanie: Oblicz wyróżnik wielomianu: �� = −�� − 2�.

Rozwiązanie:

�� = −1�� − 2� + 0

� = −1; = −2; � = 0; ∆ = (−2)� − 4 ∙ �−1� ∙ 0 = 4 + 0 = 4.

Ćwiczenie: Jaką wartość ma wyróżnik trójmianu kwadratowego: 3�� − 5� + 2?

Ćwiczenie: Jaką wartość ma wyróżnik trójmianu kwadratowego: −�� − 2� + 3?

Ćwiczenie: Jaką wartość ma wyróżnik trójmianu kwadratowego: √5�� − 2√3� − 4√2?

Ćwiczenie: Jaką wartość ma wyróżnik wielomianu �� = 4�� + 5�?

Ćwiczenie: Jaką wartość ma wyróżnik wielomianu: �� = �� + 2?

Zadanie: Czy wielomian �� = −3�� + 4� − 5 ma dokładnie dwa różne pierwiastki?

Rozwiązanie: � ≠ 0; ∆ = 4� − 4 ∙ �−3� ∙ �−5� = 16 − 60 = −44 ⟹ ∆ < 0.

Odpowiedź: Wielomian �(�) nie ma dwóch różnych pierwiastków, bo jego wyróżnik jest mniejszy od 0.

Zadanie: Zapisz wielomian �� = −3�� + 4� − 5 w postaci kanonicznej.

Rozwiązanie: � = −3; = 4; � = −5; ∆ = 4� − 4 ∙ �−3� ∙ �−5� = 16 − 60 = −44.

�� = −3 2� +4

−63� −

−44

−12

�� = −3 2� −2

33� −

11

3

Zadanie: Zapisz wielomian �� = −3�� + 4� − 5 w postaci iloczynowej.

Rozwiązanie: � = −3; = 4; � = −5; ∆ = 4� − 4 ∙ �−3� ∙ �−5� = 16 − 60 = −44.

Ponieważ ∆ < 0, więc tego wielomianu nie da się zapisać w postaci iloczynowej.


Zadanie: Zapisz wielomian �� = −3�� + 2� + 5 w postaci iloczynowej.

Rozwiązanie: � = −3; = 2; � = 5; ∆ = 2� − 4 ∙ �−3� ∙ 5 = 4 + 60 = 64.

�� =�A�√∆

�- �� =�A9√∆

�-

�� =��√��∙(��)

=�� =

�� =

�; �� =

��9√��∙(��)

=��9�� =

�� = −1

�� = �� − ��(� − ��)

�� = −3 '� −�( �� − �−1��.

�� = −3 '� −�( �� + 1�.

Zadanie: Zapisz wielomian �� = 4�� + 3� − 2 w postaci iloczynowej.

Rozwiązanie: � = 4; = 3; � = −2; ∆ = 3� − 4 ∙ 4 ∙ (−2) = 9 + 32 = 41.

�� =�A�√∆

�- �� =�A9√∆

�-

�� =��√��

� ≈ −1,18; �� =��9√��

� ≈ 0,43

�� = �� − ��(� − ��)

�� = 4 '� −��√��

� ( '� −��9√��

� (.

�� = 4 '� +�9√��

� ( '� +��√��

� (.

Zadanie: Zapisz wielomian �� = −3�� + 6� − 2 w postaci iloczynowej.

Rozwiązanie: � = −3; = 6; � = −2; ∆ = 6� − 4 ∙ �−3� ∙ �−2� = 36 − 24 = 12.

�� =�A�√∆

�- �� =�A9√∆

�-

�� =��√��

�� =��√�

�� =��(�9√�)

�� =�9√�� ; �� =

��9√�� =

��9�√�� =

��(��√�)

�� =��√��

�� = �� − ��(� − ��)

�� = −3 '� −�9√�� ( '� −

��√�� (.


Temat: Rozkład wielomianu jednej zmiennej na czynniki.

Na początek przypomnę z klasy drugiej szkoły podstawowej, cze czynniki to liczby które się przez siebie mnoży. Ilo-

czyn to wynik z mnożenia, a iloraz to wynik z dzielenia.

Dzielnik liczby — liczba w dzieleniu stojąca za dwukropkiem, która sprawia, że otrzymujemy iloraz i resztę równą 0.

Jeśli reszta z dzielenia nie wyjdzie 0, to liczba stojąca za dwukropkiem nie jest dzielnikiem liczby stojącej przed dwukropkiem.

Przykład:

12 ∶ 6 = 2 4 0 — liczba 6 jest dzielnikiem liczby 12

12 ∶ 7 = 1 4 5 — liczba 7 nie jest dzielnikiem liczby 12.

Liczba złożona — liczba różna od zera, która ma przynajmniej 3 różne dzielniki dodatnie.

Najmniejszą dodatnią liczbą złożoną jest liczba 4, gdyż jej dzielniki to: 1, 2, 4.

Liczby złożone mogą być mniejsze od 0.

Liczba pierwsza — liczba dodatnia, która ma dokładnie 2 różne dzielniki dodatnie.

Najmniejszą liczbą pierwszą jest liczba 2, a jej dzielniki to: 1, 2.

Uwaga. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze ani złożone.

Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki będące liczbami pierwszymi. Rozkład taki jest jednoznaczny.

Przykład: 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5, 3150 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7.

Wielomiany także można rozkładać na czynniki i to w sposób jednoznaczny. Generalnie chodzi o to, że niektóre wie-lomiany dają się zapisać w postaci „coś tam razy coś tam”:

�� = �… �52B7��,�C,(D.EB7

∙ �… �52B7��,�)D1F,

.

Powyższy przykład przedstawia rozkład wielomianu �(�) na dwa czynniki. W rzeczywistości czynników tych może być więcej, ale ich liczba musi być skończona.

Postać iloczynowa wielomianu

Przykład:

�� + 3�� + 2� = ��2B7��,�C,(D.EB7

∙ �� + 1��2B7��,�)D1F,

∙ �� + 2��2B7��,�GDB(2, ��

C*EG-ć ,/*2B7�*.-)-�(F* .,(/*+,-�1

Wymnażając wszystko co jest po prawej stronie powyższego równania, dostaniemy dokładnie to, co jest po

lewej stronie tego równania. Postać iloczynowa wielomianu, to po prostu inny zapis danego wielomianu.


Każdy czynnik jaki uzyskujemy przy rozkładzie wielomianu, jest także wielomianem (lub jego szczególnym przypad-kiem — jednomianem). Widać to na powyższym przykładzie — czynnik pierwszy jest jednomianem, zaś pozostałe czynniki są wielomianami. Wszystkie czynniki w powyższym przykładzie są wielomianami stopnia pierwszego.

Twierdzenie:

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

Przykład: �� − �� + � − 1 ��.,(/*+,-�EG*C�,- �

= �� − 1� ��.,(/*+.

EG.�

�� + 1� ��.,(/*+.

EG.�

Zauważmy, że drugi czynnik powyższego wielomianu nie da się rozłożyć na czynniki, gdyż Δ < 0.

Twierdzenie:

Każdy wielomian stopnia co najmniej 3, rozkłada się na czynniki liniowe (wielomiany stopnia pierwszego) albo kwadratowe (wielomiany stopnia drugiego) nierozkładalne z wyróżnikiem ujemnym.

Wyróżnik ujemy wielomianu kwadratowego, potocznie nazywamy deltą i oznaczamy Δ. Jeśli Δ < 0, to wielo-mian kwadratowy jest nierozkładalny na czynniki.

Przykład wielomianu o którym mowa w powyższym twierdzeniu, został podany jako przykład przy poprzednim twierdzeniu.

Wielomian można rozkładać na czynniki stosując różne metody, a wynik końcowy i tak zawsze będzie taki sam —rozkład wielomianu na czynniki jest jednoznaczny.

Metody stosowane w celu rozłożenia wielomianu na czynniki

— wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias

5�� + 8�� .,(/*+,-�D*B�ł-)-/�7

= ��5�� + 8� 5�� + 5� ��(�9�)

+ 6�� + 6�� (�9�)

= �5� + 6�� %9��&

�� + 1� = ��5 + 6��(� + 1)

Nie zawsze istnieje wspólny czynnik dla jednomianów tworzących wielomian rozkładalny.

Przykład:

5�� − 4 — wielomian rozkładalny na czynniki, ale nie poprzez wyciąganie wspólnego czynnika.

Wniosek: Jeśli nie można wyciągnąć wspólnego czynnika poza nawias, to wielomian może być rozkładalny za pomocą innej metody.

— zastosowanie odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia

5�� − 4 = �√5 − 2��√5 + 2�

�� − 6� + 9 = �� − 3�� = �� − 3�� − 3�

�� + 4�� + 4 = �� + 2�� = �� + 2�� + 2�


�� − 4�� + 4 = �� − 2�� = �� − 2� ��:��√�;:�9√�;

�� − 2� ��:��√�;:�9√�;

= �� − √2�� − √2�� + √2�� + √2�

— wyliczenie delty (wyróżnika trójmianu kwadratowego) i miejsc zerowych, jeśli wielomian jest stopnia drugiego

Jeśli wielomian ma postać: �� + � + �, to:

Δ = � − 4��, �� =�A�√H

�- , �� =�A9√H

�-

a postać iloczynowa tego wielomianu jest równa:

�� − �� − ��. Należy jednak pamiętać o tym, że jeśli �� lub �� wyjdzie ujemny, to znaki w powyższych nawiasach należy zmienić na przeciwne.

Przypuśćmy, że mamy dany wielomian stopnia drugiego, nierozkładalny na czynniki żadną z powyższych me-tod. Wówczas z konieczności musimy wyliczyć

4�� − 4� − 24 = 4 �� − � − 6��H#�;��#��; ��#�

= 4�� + 2�(� − 3)

— grupowanie wyrazów podobnych, a następnie zastosowanie przynajmniej jednej z powyższych metod rozkła-du

5�� + 5� + 6�� + 6�� = 6�� + 11�� + 5� = � �6�� + 11� + 5� ��%�9�&I�9�J

��∆#�; ��#��; ��#��= 6�� + 1� 2� +

5

63

Zauważmy, że ten sam wielomian był rozkładany także pierwszą metodą rozkładu wielomianów na czynniki i wynik wyszedł pozornie inny. Przyjrzyjmy się jednak temu, że po wymnożeniu liczby 6 otrzymanej przed pierwszym nawiasem przez ostatni czynnik, dostaniemy wynik dokładnie taki sam jak w pierwszej metodzie rozkładu. Zatem:

5�� + 5� + 6�� + 6�� = �� + 1��6� + 5�

Zobaczmy teraz inny przykład:

�� + 1�� %�9�&�%�9�&

�� + 2��%�9�&�%�9�&�%�9�&

− �� + 1�� + 2�� %�9�&�∙%�9�&

��%�9�&�%�9�&�∙%�9�&

= �� + 1�� + 2�� + 1� − �� + 2�� =

��

= −�� + 1�� + 1�� + 2�(� + 2)

— rozpisywanie jednomianu np. 3x na sumę przynajmniej dwóch innych jednomianów np. na x + 2x, a następnie zastosowanie przynajmniej jednej z powyższych metod rozkładu

6�� + 11�� 9��

+ 5� = 6�� + 1� + 5�� + 1� = �6�� + 5�� %��9&

�� + 1� = ��6� + 5�(� + 1)

Spostrzeżenie: Jeden ze współczynników (w powyższym przykładzie współczynnik środkowy) jest sumą dwóch pozostałych współczynników.

— szukanie przynajmniej jednego całkowitego pierwiastka danego wielomianu np. za pomocą schematu Hornera (strona 34), a następnie zastosowanie znanych już metod rozkładu lub poniższych wzorów:

(�� − 1) = (� − 1)(�� + � + 1) (x2 – 1) = (x – 1)(x + 1)

(x5 – 1) = (x – 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) (x4 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)


(x7 – 1) = (x – 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) (x8 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

(x6 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 – x + 1)(x2 + x + 1) (x16 – 1) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1)

(x2 – y2) = (x – y)(x + y) (x3 – y3) = (x – y)(x2 + xy + y2)

(x4 – y4) = (x – y)(x + y) (x2 + y2) (x5 – y5) = (x – y)(x4 + x3y + x2

y2 + xy

3 + y4)

Zadanie: Rozłóż wielomian �� = �� − 1 na czynniki nierozkładalne.

W zadaniu tym będziemy musieli kilkukrotnie posłużyć się wzorem skróconego mnożenia: �� − �� = �� − ��(� + �). Na początek zauważ-

my, że �� = �� oraz, że 1 = 1�. Mamy zatem, że � = ��, zaś � = 1.

Rozwiązanie:

�� = � − 1��

= �� − 1��

�� + 1��

�� ó�� ż.

= �� − 1��(��)( �)

�� + 1��

�� ó�� ż.

�� + 1� = �� − 1�� + 1��

�� ó�� ż.

�� + 1�� + 1�

Ćwiczenie: Rozłóż podane wielomiany na czynniki nierozkładalne.

a) 7�� + 4�� = [Podpowiedź. Wyciągnij największy wspólny czynnik przed nawias.] b) 2�� − 3�� + 1 = [Podpowiedź. −3�� = −�� − 2��. ] c) �� + 10� + 25 = [Podpowiedź. Wykorzystaj odpowiedni wzór skróconego mnożenia.] d) �� − 6� + 8 = [Podpowiedź. Wylicz deltę.] e) −21�� + 7� − 3� + 1 = [Podpowiedź. Zauważ, że dzieląc drugi współczynnik przez pierwszy dostaniesz współczynnik trzeci.

Z pierwszych dwóch jednomianów wyciągnij największy wspólny czynnik, a następnie ponownie wy-

ciągnij największy wspólny czynnik.]

Ćwiczenie: Podaj przykłady dwóch wielomianów stopnia czwartego, których:

a) suma jest jednomianem stopnia trzeciego [Podpowiedź. Po dodaniu wielomianów współczynniki przy � muszą się zredukować.] b) iloczyn jest dwumianem. [Podpowiedź. Po wymnożeniu wielomianów muszą zniknąć dokładnie dwa jednomiany.]

Ćwiczenie: Rozłóż wielomian �� = −12� + 6�� − 2� + 1 na czynniki nierozkładalne, oraz uzasadnij, że dla

każdej liczby � < 0 wielomian ten przyjmie wartość dodatnią. [Podpowiedź. Jaką wartość (dodatnią czy ujemną) przyjmuje

liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej?]

Nauczmy się jeszcze odczytywać współczynnik wiodący wielomianu z postaci iloczynowej. Przypuśćmy, że wielomian �� = −2�3� − 3��4�� − 2�(5�� − 1). Zauważmy, że przed tymi nawiasami stoi liczba −2, oraz to, że wymna-żając współczynniki wiodące wielomianów które są w nawiasach, z uwzględnieniem potęg które są za danym nawia-sem, przez liczbę która była przed nawiasami, dostaniemy liczbę −120 tj. współczynnik wiodący wielomianu �(�).

Wniosek: Jeśli wielomian �(�) zapisany jest w postaci iloczynowej, to jego współczynnik wiodący obliczamy mno-żąc liczbę stojącą przed (lub za) wszystkimi nawiasami, przez współczynniki wiodące wielomianów które są w nawiasach, podniesione do tej potęgi która jest za danym nawiasem.


Zadanie: Ile wynosi współczynnik wiodący wielomianu �� = 4�3� − 4��(2� − 10)�?

Rozwiązanie:

Liczba stojąca przed nawiasami: 4

Współczynnik wiodący wielomianu z pierwszego nawiasu: 9

Współczynnik wiodący wielomianu z drugiego nawiasu: 8

Iloczyn powyższych liczb: 4 ∙ 9 ∙ 8 = 288.

Odpowiedź: Współczynnik wiodący wielomianu �(�) jest równy 288.

Zadanie: Ile wynosi współczynnik wiodący wielomianu �� = −�4 − 3��(5 + 2�)�?

Rozwiązanie:

Liczba stojąca przed nawiasami: −1

Współczynnik wiodący wielomianu z pierwszego nawiasu: −27

Współczynnik wiodący wielomianu z drugiego nawiasu: 16

Iloczyn powyższych liczb: −1 ∙ (−27) ∙ 16 = 432.

Odpowiedź: Współczynnik wiodący wielomianu �(�) jest równy 432.


Temat: Dzielenie wielomianów.

Dzielenie wielomianów jest analogiczne do dzielenia dwóch liczb przez siebie. W szkole podstawowej dzielenie dwóch liczb wykonywało się na dwa różne sposoby:

1) pisemnie

2) poprzez poprawne skracanie liczby w liczniku ułamka z liczbą w jego mianowniku

W przypadku dzielenia wielomianów jest podobnie. Można je dzielić pisemnie (strona 33) lub poprzez przekształce-nie licznika i mianownika do odpowiedniej postaci iloczynowej by później było możliwe skrócenie wielomianu w liczniku z identycznym (równym) wielomianem w mianowniku.

Podobnie jak przy dzieleniu liczb nie wolno było wykonywać dzielenia przez 0, tak i tu nie wolno wykonywać dziele-nia przez wielomian zerowy. Ponieważ każda liczba to szczególny przypadek wielomianu, więc wszystkie działania które są prawdziwe dla wielomianów są także prawdziwe i dla liczb. W szkolnictwie jednak najpierw poznaje się działania na liczbach, a dopiero później na wielomianach.

W klasie 2-giej szkoły podstawowej, gdy było wykonywane dzielenie np. liczby 11 przez liczbę 4, pisaliśmy:

11 ∶ 4 = 2 4 3

a gdy były już znane ułamki zwykłe, powyższa równość zapisywana była tak:

11 ∶ 4 = 2 + 3

4

W przypadku dzielenia wielomianów jest identycznie. Zamiast liczby 11 mamy wielomian �, zamiast liczby 4 mamy wielomian �, a zamiast liczby 2 wielomian �. Resztę z dzielenia wielomianów najczęściej oznaczamy dużą literą 6, więc zamiast powyższej liczby 3 mamy 6. Innymi słowy dla wielomianów mamy, że:

� ∶ � = � + 6�

Uwaga. Wynikiem dzielenia dwóch wielomianów nie zawsze jest wielomian.

Wynik dzielenia dwóch wielomianów jest wielomianem, gdy � jest wielomianem (wszystkie potęgi zmien-

nych są liczbami naturalnymi) i KL jest wielomianem. Na ogół

KL nie jest wielomianem. Jeśli jednak 6 = 0 lub � jest wielomianem stałym (liczbą) różnym od wielomianu zerowego, to wówczas zachodzi szczególny

przypadek, który sprawia, że KL jest wielomianem i � +

KL też jest wielomianem.

Jeśli 6 = 0 to wielomiany � oraz � nazywamy dzielnikami wielomianu � gdyż zachodzi równość: � ⋅ � = �. Ge-neralnie rzecz ujmując wielomian � jest podzielny przez wielomian � wtedy i tylko wtedy gdy istnieje taki wielo-mian � , że:

� ⋅ � = �

Wróćmy się na chwilę do równości: 11 ∶ 4 = 2 4 3. Aby wykonać jej sprawdzenie, należy napisać: 11 = 2 ⋅ 4 + 3. Dokładnie tak samo jest i przy wielomianach:

Twierdzenie o dzieleniu wielomianów z resztą:

Dla każdego wielomianu � i niezerowego wielomianu � istnieją takie wielomiany � i 6, że: � = � ⋅ � + 6


Zestawienie metod wykorzystywanych przy dzieleniu dwóch wielomianów

— zmienianie kolejności jednomianów z których zbudowany jest dany wielomian

4� + 3�� + 20�� + 15�� = 3�� + 15�� %��9&

+ 4� + 20�� %��9&

=. ..

— wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias

3�� + 15�� %��9&

+ 4� + 20�� %��9&

= �3�� + 4�� %�9�&

�� + 5� = � ∙ � ∙ �3 + �� ∙ �� + 5�

— stosowanie wzorów skróconego mnożenia

�� − � = �� − �� + �

�� − �� = �� − 2� + �

�� + �� = �� + 2� + �

�� − �� = �� − 3�� + 3�� − �

�� + �� = �� + 3�� + 3�� + �

— dopisywanie w liczniku np. wyrażeń typu +� − � dających w sumie 0, by umożliwić później skrócenie otrzy-manego wielomianu z wielomianem w mianowniku

Dzielenie wielomianów można wykonywać na różne sposoby. Przypuśćmy, że trzeba podzielić wielomian

�� = �� − �� + �� − ��

przez wielomian

�(�) = � + ��.

Zauważmy, że w wielomianie �(�) można poprzestawiać jego jednomiany w następujący sposób:

�� = �� + �� %�97�&

−�� − �� 7%7�9�&

= �� + �� − � �� + ��:�97�;

= �� + �� − �� + �� = �� − �� + ��

Ponieważ chcemy obliczyć iloraz, @(�)

L(�) więc:

�(�)�(�)=

�� − �� + �� + �� = �� − �

Aby rozwiązać to zadanie wystarczyło umieć sprytnie poprzestawiać jednomiany w wielomianie �(�), zastosować wyciąganie wspólnego czynnika poza nawias i dokonać odpowiedniego skrócenia.

Zadanie to, można było także rozwiązać w całkowicie inny sposób. Skoro mamy do czynienia z dzieleniem, więc można było pisemnie podzielić wielomian �(�) przez �(�) — sposób wykonywania takiego dzielenia omówiony zostanie w innym temacie.


Zadanie: Podziel wielomian �(�) = �� + 1 przez wielomian �(�) = � + 1 nie wykonując dzielenia pisemnego.

Rozwiązanie:

@(�)

L(�)=

��9��9� =

��9��M�

9��9� =

�%�9�&�(��)

�9� =�(�9�)

�9� −��9� = � −

�9��NOP�

�9� = � − '�9��9� −�

�9�( = � − 1 +�

�9�.

Uwaga. Otrzymane rozwiązanie nie jest wielomianem, bo w ostatnim składniku � występuje w mianowniku. Opis rozwiązania:

— dopisałem w liczniku +� − �, aby później było możliwe wyciągnięcie � z pierwszego i drugiego jednomianu

— wyciągając � z pierwszego i drugiego jednomianu spowodowałem, że w nawiasie pojawił się wielomian do-kładnie taki sam jak w mianowniku

— rozpisałem otrzymany iloraz jako różnicę dwóch ułamków o tym samym mianowniku, bo umożliwi to skróce-nie wyrażenia � + 1 z wyrażeniem � + 1.

— rozpisałem � − 1 jako � + 1 − 2, aby w liczniku wystąpiło to samo wyrażenie co w mianowniku

— rozpisałem otrzymany iloraz jako różnicę dwóch ułamków o tym samym mianowniku, bo umożliwi to skróce-nie wyrażenia � + 1 z wyrażeniem � + 1. Ponieważ przed rozpisaniem ilorazu stał przed nim minus, więc to co rozpisałem na dwa ułamki musiałem wziąć w nawias.

— opuściłem nawias pamiętając o zmianie znaków na przeciwne, bo przed nawiasem był znak odejmowania.

Zadanie: Podziel wielomian �� = �� − 1 przez wielomian �(�) = � + 1 nie wykonując dzielenia pisemnego.

Rozwiązanie:

�(�)�(�)=

�� − 1� + 1=

�� − 1�� + 1��- C*)EG-.,(.B*D1 E�D. +�*ż(�,-

� + 1= � − 1

Opis rozwiązania:

— w liczniku zastosowałem wzór skróconego mnożenia: �� − � = (� − )(� + )

— dokonałem skrócenia wyrażenia � + 1 z wyrażeniem � + 1.

Uwaga. Ponieważ w liczniku między nawiasami nie występowało ani odejmowanie ani dodawanie, więc nie można rozpisywać tego ilorazu na dwa ułamki o tym samym mianowniku, jak to było w zadaniach wcześniejszych.

Uwaga. Znajomość najczęściej używanych wzorów skróconego mnożenia jest bardzo ważna. Zobaczmy praktyczne wykorzystanie dwóch najczęściej używanych wzorów skróconego mnożenia:

Zadanie: Co na płaszczyźnie przedstawia nierówność 4�� + 4�� − 16� + 12� + 25 ≤ 0?

Rozwiązanie:

— przestawiam jednomiany, w taki sposób, aby później móc w przejrzysty sposób dokonać wyciągnięcia wspólnego czynnika przed nawias:

4x2 – 16x + 4y

2 + 12y + 25 ≤ 0


— za drugim jednomianem dopisuję + 16 – 16, zaś za czwartym + 9 – 9, aby móc później wykorzystać wzór a) i b) skróconego mnożenia:

4x2 – 16x + 16 – 16 + 4y

2 + 12y + 9 – 9 + 25 ≤ 0

— z trzech pierwszych jednomianów oraz z piątego, szóstego i siódmego wyciągam liczbę 4 przed na-wias:

4(x2 – 4x + 4) – 16 + 4(y2 + 3y + 4

9) – 9 + 25 ≤ 0

— pierwszy nawias upraszczam za pomocą wzoru a), zaś drugi za pomocą wzoru b):

4(x – 2)2 – 16 + 4

2

2

3

+y – 9 + 25 ≤ 0

— zamieniam kolejność jednomianów pamiętając o tym, że należy to robić razem ze znakami jakie przed nimi stoją:

4(x – 2)2 + 4

2

2

3

+y + 43421

0

91625 −− ≤ 0

— upraszczam równanie do postaci:

4(x – 2)2 + 4

2

2

3

+y ≤ 0

— rozpoznaję, że jest to równanie koła o środku w punkcie

−2

3;2 i promieniu r = 0

— wnioskuję, że skoro koło ma promień 0, więc mamy do czynienia z punktem o współrzędnych

−2

3;2

Zadanie: Co na płaszczyźnie przedstawia równanie x2 + y2 = – 1?

Rozwiązanie:

Ponieważ x2 jest zawsze większy lub równy od zera, więc nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Ponieważ y2 jest zawsze większe lub równe od zera, więc nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Wniosek: Podane równanie nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych, więc przedstawia zbiór pusty.

Zadanie: Co na płaszczyźnie przedstawia nierówność x2 + y2 + 6x – 2y + 6 ≤ 0?

Rozwiązanie:

x2 + 6x + y2 – 2y + 6 ≤ 0 — przestawiłem kolejność jednomianów

(x2 + 6x) + (y2 – 2y) + 6 ≤ 0 — tylko dopisałem nawiasy

(x + 3)2 – 9 + (y – 1)2 – 1 + 6 ≤ 0 — wykorzystałem wzór a) i b) skróconego mnożenia i odjąłem nadmiar

(x + 3)2 + (y – 1)2 + 6 – 9 – 1 ≤ 0 — przestawiłem kolejność jednomianów

(x + 3)2 + (y – 1)2 – 4 ≤ 0 — zsumowałem jednomiany stopnia zerowego

(x + 3)2 + (y – 1)2 ≤ 4 — przeniosłem liczbę – 4 na drugą stronę równania zmieniając jej znak

S(–3; 1), r = 2 — odczytuję, że równanie przedstawia koło


Uwaga. Rozwiązaniem jest koło, a nie okrąg. W równaniu okręgu nie ma symbolu nierówności, a tu jest.

Zadanie: Doprowadź wielomian

+

− 3

23

2

33

33

xx

xx

do postaci: 011

1 ... axaxaxa nn

nn ++++ −

− .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: �� − �� + � = �� − � otrzymuję:

( ) 00003

103

3

133

333

333

323456466

433

2223

22

++++++−=+−=−=⋅⋅⋅−⋅⋅=−

xxxxxxxxx

xxx

xxx

x.

Dzielenie wielomianów jednej zmiennej sposobem pisemnym

W klasie trzeciej szkoły podstawowej na pewno było dzielenie pisemnie jednej liczby przez drugą. Teraz wiedząc już, że każda liczba poza zerem, to jednomian stopnia zerowego, możesz zauważyć, że było to nic innego jak dzielenie jednomianów stopnia zerowego. Skoro każdy jednomian jest wielomianem, więc dzielenie wielomianów stopnia ze-rowego uważam za nauczone. Zatem pozostaje już tylko rozszerzyć swoją wiedzę o sposób w jaki wykonuje się dzie-lenie wielomianów stopnia większego od 0.

W ramach przypomnienia jak dzieli się pisemnie dwie liczby oraz jak zapisuje się wynik w postaci liczby mieszanej spójrz poniżej. Przypuśćmy, że chcemy obliczyć wynik dzielenia liczby 123 przez liczbę 5.

Uwaga. Liczbę mieszaną 24�� można także przedstawić jako 24 +

�.

Spróbujmy zatem podzielić pisemnie wielomian �� = � − 3�� + 2� + 2 przez �(�) = �� + 1. Najpierw za-uważmy, że w wielomianie �(�) nie występują wszystkie potęgi oraz to, że nie są one ułożone malejąco. Aby się nie pomylić w dzieleniu które zaraz zaprezentuję, proponuję, aby uzupełnić wielomian �(�) o brakujące potęgi i ułożyć je w kolejności malejącej. Mamy więc, że �� = 2� − 3�� + 0�� + 0�� + � + 2.

Omówienie powyżej zaprezentowanego dzielenia pisemnego dwóch wielomianów:

– jednomian 2x5 dzielę przez pierwszy jednomian wielomianu �(�) i wynik zapisuję nad kreską


– otrzymany wynik, czyli 2x3 mnożę najpierw przez pierwszy jednomian wielomianu �(�), czyli przez x2 zmieniając

znak otrzymanego wyniku na przeciwny, a następnie przez drugi jednomian wielomianu �(�), czyli przez 1, rów-nież pamiętając o zmianie znaku w otrzymanym wyniku

– otrzymane wyniki podpisuję w taki sposób, aby zachować w kolumnie tę samą potęgę przy x

– robię kreskę podkreślającą pod otrzymanymi wynikami

– wykonuję dodawanie w kolumnach (tak jak przy zwykłym dzieleniu pisemnym)

– „ściągam w dół” najbliższy wolny jednomian wielomianu �(�), czyli w tym przypadku 0x2

– znowu dzielę pierwszy jednomian otrzymanego wyniku czyli −3�� przez pierwszy jednomian wielomianu �(�), czyli przez x2 i piszę otrzymany wynik tj. –3x

2 nad kreską główną

– mnożę otrzymany wynik tj. –3x2 najpierw przez x2 i zmieniam znak na przeciwny, później przez 1 i znowu zmie-

niam znak na przeciwny

– powtarzam powyższe kroki aż do momentu w którym nie będzie można „ściągnąć w dół” odpowiedniego jedno-mianu z wielomianu �(�).

Uwaga. Pisząc powyżej, że zmieniam znak na przeciwny, mam na myśli napisanie jednomianu przeciwnego. Istnieją w matematyce takie sytuacje, że jednomian przeciwny do jednomianu dodatniego jest jednomianem do-datnim. Mówienie wówczas o zmianie znaku na przeciwny nie jest poprawne.

Uwaga. W powyższym przykładzie dzielenia pisemnego wielomianów otrzymałem resztę z dzielenia równą

3x – 1. Oznacza to, że �(�) : �(�) = (2x3 – 3x

2 – 2x + 3) + 1

132 +

−x

x — jest to dokładna analogia do zwykłego

dzielenia pisemnego z resztą i zapisywania otrzymanego wyniku w postaci liczby mieszanej.

Ćwiczenie: Podziel pisemnie wielomian �� = �� + 1 przez jednomian ��. [Odp. x –1

+ x –3

. Uwaga. Otrzymany wynik to nie wielo-

mian, bo potęgi nie są liczbami naturalnymi.]

Ćwiczenie: Podziel pisemnie jednomian �� przez wielomian �� = �� + 1. [Odp. x i reszty – x.]

Dzielenie wielomianu przez dwumian za pomocą schematu Hornera

Schemat Hornera to metoda dzięki której można szybko poznać wynik dzielenia wielomianu �(�) przez dwumian �� − �� oraz resztę z tego dzielenia. W tej metodzie wielomian można dzielić wyłącznie przez dwumian �� − ��.

Jeśli zadanie będzie polegać na wykonaniu dzielenia przez dwumian �� + ��, to najpierw ten dwumian trzeba bę-dzie zapisać w postaci �� − (−�)�. Za iksem zawsze musi być znak odejmowania. W przeciwnym razie tą metodą nie da się wykonać dzielenia.

Poza możliwością wydzielenia danego wielomianu przez dwumian �� − ��, schemat Hornera umożliwia także wyli-czenie wartości kolejnych pochodnych:

�(�), �’(�), �”(�), …, �(�)(�),

gdzie � oznacza stopień wielomianu �(�).

Zadanie: Korzystając ze schematu Hornera, wykonaj dzielenie wielomianu �(�) = −12� + 7�� − 8 przez dwu-mian �(�) = 2 + �.

1. Ustalam stopnie wielomianów �(�) i �(�). 2. Stopień wielomianu �� jest równy 3, zaś wielomianu �(�) jest równy 1. 3. Gdyby stopień wielomianu �(�) był większy od 1, to wielomianu �(�) nie można byłoby dzielić przez �(�) tą metodą.


Rozwiązanie:

– rysuję tabelkę mającą zawsze o dwie kolumny więcej niż stopień pierwszego wielomianu tj. �(�):

– porządkuję pierwszy wielomian, tak, aby kolejne potęgi przy � były ułożone malejąco:

�� = 7�� + 0�� − 12� − 8

– w nagłówkach kolumn wpisuję kolejne współczynniki pierwszego wielomianu: 7, 0, −12, −8:

7 0 −12 −8

– porządkuję drugi wielomian tj. �(�) do takiej postaci, aby zawsze na pierwszym miejscu był �:

�� = � + 2

– zapisuję wielomian �(�) w postaci �� = � − (−%), dzięki czemu widzę, że do nagłówka wiersza trzeba będzie wpisać liczbę −%.

– w nagłówku wiersza wpisuję liczbę −%:

7 0 −12 −8

−%

– do pierwszej wolnej kratki spisuję liczbę która jest w nagłówku kolumny, tj. liczbę 7:

7 7 −12 −8

−% 7

– mnożę zawsze liczbę z nagłówka wiersza (wyróżniona jest kolorem jasnoniebieskim), przez ostatnio wpisaną liczbę do danego wiersza, a następnie dodaję liczbę znajdującą się bezpośrednio nad miejscem w którym będę wpisywać wynik. Wykonuję zatem działanie:

−2 ∙ 7 + 0 = −14

7 0 −12 −8

−% 7 −14

– powtarzam ostatni krok, czyli wykonuję działanie:

−2 ∙ �−14� + �−12� = 28 − 12 = 16

7 0 −12 −8

−% 7 −14 16

– znowu wykonuję ten sam „ruch”, tj. wykonuję działanie:

−2 ∙ 16 + �−8� = −32 − 8 = −40

7 0 −12 −8

−% 7 −14 16 −40


– ponieważ wielomian �� był stopnia trzeciego, więc otrzymany wynik będzie stopnia drugiego (zaw-sze o jeden niższy). Ponieważ wielomian �(�) był stopnia pierwszego, więc reszta z dzielenia wielo-mianu �(�) przez �(�) będzie stopnia zerowego (zawsze o jeden niżej niż stopień wielomianu �(�).

Zatem:

�(�)�(�)=

7�� + 0�� − 12� − 8� + 2= 7�� − 14� + 16 −

40� + 2

Uwaga. Rozszerzając powyższą tabelkę do postaci:

7 0 −12 −8

−% 7 – 14 16 – 40

−% 7

−% 7

−% 7

mogę wyliczać kolejne wartości pochodnych: �(−2)��, �’(−2)��?

, �”(−2)��??

, �’’’(−2)��???

. Wartości tych jednak nie otrzymuje się bezpośrednio z pól wyróżnionych kolorem. To co wyjdzie w ostatnim polu danego wier-sza trzeba będzie jeszcze przemnożyć przez:

– 0! dla pola wyróżnionego kolorem żółtym (ostatnie pole pierwszego wiersza)

– 1! dla pola wyróżnionego kolorem zielonym (ostatnie pole drugiego wiersza)

– 2! dla pola wyróżnionego kolorem niebieskim (ostatnie pole trzeciego wiersza)

– 3! dla pola wyróżnionego kolorem różowym (ostatnie pole czwartego wiersza)

Zauważmy, że gdyby w powyższym przykładzie wielomian �� był stopnia np. 7, to schemat Hornera miałby 8 wierszy (zawsze o 1 więcej niż stopień danego wielomianu) i wtedy ostatnie pole ostatniego wiersza mnożylibyśmy przez 7! by wyliczyć wartość siódmej pochodnej wielomianu �(−2).

Wniosek: Jeśli wielomian �(�) jest stopnia �, to wartość jego �-tej pochodnej dla dowolnej liczby jest równa � ∙ �!, gdzie �, to współczynnik wiodący tego wielomianu.

Siódmą pochodną wielomianu �(�) oznacza się następująco: �%�&(�).

Wróćmy do uzupełniania tabelki.

– w drugim wierszu wykonuję działanie:

−2 ∙ 7 + �−14� = −14 − 14 = −28

a następnie:

−2 ∙ �−28� + 16 = 56 + 16 = 72

7 0 −12 −8

−2 7 −14 16 −40

−2 7 −28 72

−2 7

−2 7

– w trzecim wierszu wykonuję działanie:

−2 ∙ 7 + �−28� = −14 − 28 = −42


7 0 −12 −8

– 2 7 −14 16 −40

– 2 7 −28 72

– 2 7 −42

– 2 7

– zestawiając wszystkie pochodne mam, że:

a) W(– 2) = 0! ּ◌ (– 40) = – 40

b) W’(– 2) = 1! ּ◌ 72 = 72

c) W”( – 2) = 2! ּ◌ (– 42) = 2 ּ◌ (– 42) = – 84

d) W”’( – 2) = 3! ּ◌ 7 = 6 ּ◌ 7 = 42.

Schemat Hornera można też wykorzystywać do szukania pierwiastków danego wielomianu. Liczba a (ta z nagłówka wiersza — w tym przypadku −2) jest pierwiastkiem wielomianu, jeśli w schemacie Hornera, w ostatniej kratce pierwszego wiersza pojawi się liczba 0. Ma to ścisły związek z twierdzeniem Bézout [wymawiaj: Bezu].

Ćwiczenie: Dany jest wielomian �� = −4�� + � − 16. Wykorzystując schemat Hornera:

a) sprawdź, czy liczba −2 jest pierwiastkiem wielomianu �(�)

b) zapisz wynik z dzielenia wielomianu �(�) przez dwumian (� + 5)

c) oblicz ile wynosi czwarta pochodna wielomianu �(�), dla � = 4

d) uzasadnij, że �-ta pochodna wielomianu �(�) o stopniu �, jest zawsze równa współczynnikowi wiodącemu i nie zależy od wartości �.

Twierdzenie Bézout

Pierwiastek wielomianu — liczba � która sprawia, że dzieląc dany wielomian �(�) przez dwumian �� − �� otrzymamy resztę równą 0.

Rozpatrzmy wielomian:

�� = 7�� + 0�� − 12� − 8

i sprawdźmy, czy jest on podzielny (dzieli się bez reszty) przez dwumian �� − 4�. Musimy zatem przyjąć, że � = 4. Gdyby w nawiasie był +, bo � byłoby równe −4. Ponieważ mamy podzielić wielomian �(�) przez �� − ��, więc najszybciej to zrobimy stosując schemat Hornera. Zatem:

7 0 −12 −8

4 7 28 100 392

Wniosek:

Ponieważ w ostatnim polu nie wyszło 0 (wyszło 392), więc liczba 4 nie jest pierwiastkiem wielomianu ��.

Sprawdźmy teraz, czy liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu �� = � − 243. Podobnie jak poprzednio zasto-sujmy schemat Hornera, ale najpierw rozpiszmy wielomian �(�) tak, by zawierał wszystkie potęgi:

�� = 1� + 0�� + 0�� + 0�� + 0� − 243


1 0 0 0 0 −243 ) 1 3 9 27 81 0

Wniosek:

Ponieważ w ostatnim polu wyszło 0, więc liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu ��. Innymi słowy, jeśli wyko-namy dzielenie pisemne wielomianu �(�) przez dwumian �� − 3�, to nie otrzymamy reszty z dzielenia.

Twierdzenie Bézout — wielomian �(�) jest podzielny przez dwumian �� − �� tylko wtedy, gdy � jest pierwiast-kiem wielomianu �(�).

Wnioski:

1. Aby zastosować to twierdzenie, musimy najpierw wiedzieć, że � jest pierwiastkiem wielomianu �(�). Jeśli tego nie wiemy, to twierdzenia Bézout stosować nie możemy.

2. Jeśli � jest pierwiastkiem wielomianu �(�), to reszta z dzielenia wielomianu �� przez dwumian �� − �� jest równa ��.

3. Jeśli �� = 0, to � jest pierwiastkiem wielomianu �(�). 4. Zawsze �� = 4, gdzie 4 oznacza resztę z dzielenia wielomianu �(�) przez dwumian �� − ��. 5. Reszta z dzielenia dwóch wielomianów jest zawsze wielomianem, który ma stopień o 1 mniejszy od wielo-

mianu przez który dzielimy.

To, że zawsze �� = 4 znajduje potwierdzenie w schemacie Hornera — ostatnie pole pierwszego wiersza.

Zadanie: Oblicz ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu �� = �� + 2�� − 4�� − 8� + 5 przez dwumian �� − 2� nie wykonując dzielenia pisemnego i nie stosując schematu Hornera.

Rozwiązanie: ��2� = 2� + 2 ∙ 2� − 4 ∙ 2� − 8 ∙ 2 + 5 = 16 + 16 − 16 − 16 + 5 = 5

Odpowiedź. Reszta z dzielenia wielomianu �� przez �� − 2� wynosi 5.

Zadanie: Oblicz ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu �� = �� + 2�� − 4�� − 8� + 5 przez dwumian �� + 2� nie wykonując dzielenia pisemnego i nie stosując schematu Hornera.

Rozwiązanie:

��−2� = �−2��+2 ∙ �−2��

−4 ∙ �−2��

−8 ∙ �−2��9��+ 5 = 16 − 16 − 16 + 16 + 5 = 5

Odpowiedź. Reszta z dzielenia wielomianu �� przez �� + 2� wynosi 5.

Ćwiczenie: Oblicz ile wynosi reszta z dzielenia wielomianu �� = �� + 2�� − 4�� − 8� + 5 przez dwumiany:

a) �� − 1� b) �� + 1� c) �� − 3� d) �� + 3�

nie wykonując dzielenia pisemnego i nie stosując schematu Hornera. [Odp. −4, 8, 80, 20.]

Zadanie: Liczba −17 jest pierwiastkiem wielomianu �(�). Przez jaki dwumian jest podzielny wielomian �(�)?

Rozwiązanie:

Na podstawie tw. Bézout wiemy, że wielomian �(�) jest podzielny (dzieli się bez reszty) przez �� + 17�.

Odpowiedź. Dwumianem tym jest �� + 17�.


Ćwiczenie: Liczba −8 jest pierwiastkiem wielomianu �(�). Przez jaki dwumian jest podzielny wielomian �(�)?

Zadanie: Wielomian �� = �� + 5 podzielono przez pewien dwumian i otrzymano resztę 21. Przez jaki dwumian podzielono wielomian �(�)?

Analiza zadania:

Szukamy dwumianu �� − ��, gdzie � —pierwiastek wielomianu �(�). Z tw. Bézout wiemy, że:

4 = �(�)

gdzie 4 — reszta z dzielenia wielomianu �(�) przez dwumian �� − ��.

Z treści zadania wiemy, że 4 = 21 , zaś �(�) umiemy obliczyć (zamiast niewiadomej należy zawsze na-

pisać to, co jest w nawiasie — w tym przypadku jest to �). Zatem �� = �� + 5 .

Rozwiązanie:

�� D

= �� + 5

21 = �� + 5 /−5

16 = �� = 4 lub � = −4

Odpowiedź. Wielomian �� = �� + 5 podzielono przez dwumian �� − 4� lub �� + 4�.

Sprawdzenie:

��4� = 4� + 5 = 16 + 5 = 21

��−4� = �−4�� + 5 = 16 + 5 = 21

Ćwiczenie: Wielomian �� = �� − 6� + 9 podzielono przez pewien dwumian i otrzymano resztę 16. Przez jaki dwumian podzielono wielomian �(�)? [Odp. �� + 1� lub ��− 7�.]


Zadanie: Reszta z dzielenia wielomianu �(�) przez dwumian � − 3 wynosi −45, a z dzielenia przez � + 1 wynosi −1. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu �(�) przez wielomian �� − 2� − 3.

W zadaniu tym nie możemy obliczać �(�) jak robiliśmy to wcześniej, bo nie znamy wielomianu ��. Ponieważ wielomian �(�) dzielimy przez wielomian

stopnia drugiego, więc reszta z tego dzielenia będzie wielomianem stopnia pierwszego (stopień reszty jest zawsze o jeden mniejszy od wielomianu przez który

dzielimy).

Dane z zadania: �� + — reszta z dzielenia wielomianu �(�) przez wielomian �� − 2� − 3 �� − 2� − 3 ��H#��

��#�; ��#��;

= �� − 3�(� + 1) — wielomian przez który dzielimy zapisany w postaci iloczynowej

��3� = −45 — wartość reszty z dzielenia �(�) przez �� − 3� ��−1� = −1 — wartość reszty z dzielenia �(�) przez �� + 1�

Rozwiązanie:

8 ��3� = � ∙ 3 + ��−1� = � ∙ �−1� + . 8−45 = 3� +

−1 = −� + /∙ (−1).

+-−45 = 3� +

1 = � − . −44 = 4� /: 4

−11 = �

Z równania drugiego:

−1 = −�−11� +

−1 = 11 +

−1 − 11 =

−12 =

Odpowiedź: Reszta z dzielenia wielomianu �(�) przez �� − 2� − 3 wynosi −11� − 12.

Ćwiczenie: Wykaż, że jeśli dwie różne liczby � i są pierwiastkami wielomianu �(�), to wielomian �(�) jest podzielny przez �� − �� − �.

Tak na zakończenie tego tematu pozwolę sobie na drobną uwagę:

Jeśli umiemy stosować poprawnie schemat Hornera, to o twierdzeniu Bézout można całkowicie zapomnieć.


Temat: Wyznaczanie pierwiastków wielomianów.

Pierwiastek równania o jednej zmiennej — liczba, która wstawiona w miejsce zmiennej sprawia, że lewa strona równania jest równa stronie prawej.

Pierwiastkiem równania: � + 7 = 5 jest � = −2.

Uwaga. Sformułowania pierwiastek równania nie należy mylić ze sformułowaniem pierwiastek z liczby.

Równanie wielomianowe — równanie które da się sprowadzić do postaci �� = 0, gdzie �(�) oznacza wielomian.

Równaniem wielomianowym jest np. � + 7 = 5, bo da się go przekształcić do po-staci: � + 2 ��

.,(/*+,-�= 0.

Przytoczone nieco wyżej równanie � + 7 = 5 ma dokładnie jeden pierwiastek. Jest nim � = −2. Nie mniej jednak istnieją takie typy równań które mają więcej niż jeden pierwiastek. Rozpatrzmy przykładowo równanie:

�� = 9

i sprawdźmy, że jest ono spełnione zarówno przez � = 3 jak i � = −3:

3� = 9 i �−3�� = 9

Dostaliśmy więc dwa różne rozwiązania. Przy znajdowaniu pierwiastków równania chodzi o to, by znaleźć taką liczbę która spełnia to równanie. Jeśli takich liczb jest kilka, to pomiędzy nimi trzeba napisać słowo „lub” lub jego symbol

zaczerpnięty z logiki matematycznej: ∨. Zatem w przypadku równania �� = 9 rozwiązaniem jest:

� = 3 lub � = −3

Znajdźmy teraz pierwiastki równania:

�� − �� − 2� = 0

Na początek zauważmy, że w każdym jednomianie powtarza się �, więc wyciągnijmy go przed nawias:

� �� − � − 2� ��∆# ; ��#��; ��#�

= 0

a następnie wyliczmy pierwiastki tego co jest w nawiasie stosując tzw. deltę. Mamy zatem, postać iloczynową:

9�� + 1�� − 2� = 0

z której wyraźnie już widać, że 9 = 0 lub � + 1 = 0 lub � − 2 = 0 — ze szkoły podstawowej wiadomo bowiem, że mnożenie czegokolwiek przez 0 daje zawsze 0. W rezultacie otrzymaliśmy, że pierwiastkiem równania

�� − �� − 2� = 0

jest:

� = 0 lub � = −1 lub � = 2 .

Zauważmy teraz, że rozwiązując równanie �� + 7 = 5� w którym � był podniesiony do potęgi 1-wszej, otrzymaliśmy 1 pierwiastek tego równania. Rozwiązując równanie �� = 9� w którym � był podniesiony do potęgi 2-giej, otrzyma-liśmy 2 pierwiastki. Rozwiązując zaś równanie �� − �� − 2� = 0� w którym � był podniesiony do potęgi 3-ciej,


otrzymaliśmy 3 pierwiastki. Można więc przypuszczać, że rozwiązując równanie 5�� + 20�� − 5� + 4 = 18 do-staniemy 149 pierwiastków. Tymczasem prawda jest nieco inna. Zobaczmy:

Równanie:

�� = −9

nie ma pierwiastków, bo podnosząc dowolną liczbę do potęgi drugiej zawsze otrzymam liczbę dodatnią lub 0. Brak pierwiastków tego równania można otrzymać także poprzez wykonanie odpowiednich rachunków:

�� + 9 = 0

�� + 0� + 9 = 0

Δ < 0, więc równanie to nie ma pierwiastków.

Rozpatrując zaś równanie:

�� − 5�� + 8� = 4

w którym � jest podniesiony do potęgi 3-ciej, dostaniemy 2 pierwiastki: � = 1, � = 2.

Wniosek:

Równanie wielomianowe �� = 0 ma maksymalnie tyle pierwiastków, ile wynosi stopień wielomianu �(�).

Zatem przytoczone wcześniej równanie wielomianowe: 5�� + 20�� − 5� + 4 = 18 nie musi mieć 149 pier-wiastków lecz maksymalnie 149 pierwiastków.

Zadanie: Ile różnych pierwiastków może mieć wielomian �� = �� + 5�� − 14?

Analiza zadania:

W zadaniu nie ma sformułowania ile ma lecz ile może mieć. Oznacza to, że nie trzeba wyliczać ile do-kładnie pierwiastków ma ten wielomian. Wystarczy oszacować ilość tych pierwiastków.

Rozwiązanie:

Ponieważ wielomian ten jest stopnia 7-dmego, więc ma maksymalnie 7 różnych pierwiastków.

Odpowiedź: Wielomian ten ma maksymalnie 7 różnych pierwiastków.

Ćwiczenie: Ile różnych pierwiastków może mieć wielomian �� = �� − 6�� + 9��? [Podpowiedź. Jakie stopnie mają jed-

nomiany które zawierają zmienną? Odp. 21.]

Zauważmy teraz, że w przypadku równania �� = 9 nie musieliśmy przenosić liczby 9 na lewą stronę równania by znaleźć jego pierwiastki. Nie mniej jednak, pozostawienie na stronie prawej równania samego 0 będzie konieczno-ścią. Zobaczmy przykładowo równanie również drugiego stopnia:

�� + 2� = 3

Jeśli nie doprowadzimy go do postaci �� = 0, to możemy spróbować rozwiązywać go tylko w następujący spo-sób:

�� + 2� = 3

i zgadywać, a nie obliczać jaką liczbą może być �. Jedną liczbę da się zgadnąć tj. � = 1, a co z następną? Co będzie gdy wyjdą ułamki lub pierwiastki? Też łatwo się będzie zgadywać?


Innym sposobem „dobrania” się do tego równania bez doprowadzania do postaci �� = 0 może być dopatrzenie się fragmentu wzoru skróconego mnożenia:

�� + 2� + 1 ��%�9�&�

− 1 = 3

�� + 1�� = 3 + 1

�� + 1�� = 4

Z tej postaci już lepiej widać, że zawartość nawiasu musi być równa 2, bo 2� = 4. Zatem jeden pierwiastek tego równania widać wyraźnie tj. � = 1. A co z drugim pierwiastkiem? A może jest tylko jeden pierwiastek? Zauważmy, że nie tylko liczba 2 podniesiona do kwadratu daje liczbę 4. Liczbą która podniesiona do kwadratu daje 4 jest także −2. Zatem zawartość nawiasu może równie dobrze być równa −2, o czym często się zapomina. Aby więc znaleźć drugi pierwiastek podanego równania, należy rozwiązać (można to zrobić w myślach) następujące równanie:

� + 1 = −2 � = −2 − 1 � = −3

Zapamiętaj! Szukanie pierwiastków równań bez sprowadzania równania do postaci �� = 0 może powodować, że nie znajdziemy tych pierwiastków w ogóle, lub znajdziemy tylko niektóre z nich.

Zobaczmy teraz jak wyglądałoby szukanie pierwiastków tego samego równania, gdybyśmy pokusili się o pozosta-wienie na jednej stronie samego 0:

�� + 2� = 3 �� + 2� − 3 = 0

∆= 2� −4 ∙ 1 ∙ �−3� ��9��

= 4 + 12 = 16; √∆ = 4

�� =�� =

�� = −3 ∨ �� =

��9�� =

�� = 1

Efekt końcowy jest taki, że doprowadzając równanie do postaci �� = 0 dość szybko dostaliśmy wszystkie pier-wiastki danego równania i nie musimy się już głowić czy coś opuściliśmy lub jak coś tam przekształcić by dostać „wy-godną” postać równania.

Od tej pory każde równanie w tym opracowaniu będziemy najpierw sprowadzać do postaci �� = 0, chyba, że już odgórnie będzie zapisane w tej postaci.

Postać równania: �� = 0 jest o tyle wygodna, że stosując poznane wcześniej metody rozkładu wielomianu na czynniki (strona 25) można dość łatwo znaleźć wszystkie pierwiastki. Zobaczmy

�� − �� − 2� = 0

� �� − � − 2� ��∆# ; ��#��; ��#�

= 0

Aby lewa strona powyższego równania była równa 0 wystarczy by � stojący przed nawiasem był równy 0. Ze szkoły podstawowej wiemy bowiem, że mnożąc liczbę 0 przez dowolną liczbę zawsze otrzymamy 0. Dwa pozostałe pier-wiastki tego równania wyliczyliśmy obliczając tzw. deltę, czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego. Jak widać bardzo

szybko znaleźliśmy, że pierwiastkiem tego równania jest liczba � = 0 lub � = −1 lub � = 2 .

Prześledźmy teraz rozwiązywanie równania: �� + 3� − �� − 3�� = 0.

�� + 3�� − � − 3� = 0 �� + 3� − 1�� + 3�� = 0


�� + 3�� − 1� = 0 � = 0 lub � = −3 lub � = 1

Ćwiczenie: Znajdź pierwiastki wielomianu �� = 4�� − 3� + 1. [Podpowiedź: Rozpisz −3� jako sumę dwóch jednomianów.]

Ćwiczenie: Nie wykorzystując wzorów skróconego mnożenia, znajdź rozwiązanie równania: �5 − �� = −8. [Pod-

powiedź. Jaką liczbę trzeba napisać zamiast całego nawiasu by równanie było prawdziwe? Odp. � = 7.]

Ćwiczenie: Dla jakich � ∈ ℕ, wszystkie pierwiastki równania �� − 125 = �� − 125� są liczbami całkowitymi? [Podpowiedź. �� ∙ �� = �. Z dwóch jednomianów wyciągnij � przed nawias. 125 = 5�. Odp. ! = 4.]

Ćwiczenie: Określ dla jakich liczb, nie można wyliczyć wartości wyrażenia: ��9�

��9��. [Podpowiedź. Mianownik

nie może być równy 0. Zgrupuj nieparzyste wyrazy w mianowniku i powyciągaj wspólne czynniki poza nawiasy.]

Na koniec wyjaśnijmy jeszcze, dlaczego szukając pierwiastków wielomianu �(�) rozwiązujemy zawsze równanie �� = 0. Przypomnijmy sobie, że liczbę � nazywamy pierwiastkiem wielomianu �(�) jeśli dzieląc wielomian �� przez dwumian �� − �� dostaniemy resztę równą 0 — na podstawie tw. Bézout reszta ta jest zawsze równa �(�). Zatem mając równanie:

�� = �:ś_;�&,

widzimy, że

�� = �:ś_;�&.

Wiedząc, że �� = 0, mamy:

0 = �:ś_;�&

czyli po zamianie strony prawej ze stroną lewą:

�:ś_;�& = 0

Innymi słowy, zauważyliśmy, że:

�� @(-)<>?

�

= �:ś_;�&

Wyznaczanie wymiernych pierwiastków wielomianu

Pierwiastek wymierny — liczba wymierna będąca pierwiastkiem danego wielomianu.

Liczba wymierna — liczba rzeczywista którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego -A , ( ≠ 0).

Rozpatrzmy wielomian stopnia drugiego:

�� = 16�� + 80� − 21.

[Pierwiastki tego wielomianu można wprawdzie szybko znaleźć wykorzystując tzw. deltę, ale niestety delta jest dobra tylko dla wielomianów stopnia drugiego. Metoda którą

zaraz omówię jest dobra dla każdego wielomianu. Niestety jest ona żmudna i pozwala tylko na znalezienie pierwiastków wymiernych danego wielomianu. Poszukiwanie ewen-

tualnych pierwiastków niewymiernych należy wykonywać w inny sposób.]

Zauważmy, że:

– liczba −21 jest wyrazem wolnym tego wielomianu

– liczba 16 jest współczynnikiem wiodącym, bo stoi przy zmiennej o najwyższej potędze.


Twierdzenie:

Wszystkie pierwiastki wielomianu całkowitego �� które są liczbami wymiernymi,

znajdują się wśród ułamków otrzymanych z podzielenia��< /�<�� =�4��0 =:/� >: przez dodatni ��< /�<� =?@ół��<�� =<:�ą� >:.

Bardziej fachowo powiemy, że wielomian całkowity �� ma pierwiastki w postaci CQ jeśli @ jest dzielnikiem wyrazu wolnego, zaś A dodatnim dzielnikiem współczynnika wiodącego.

Przypomnienie:

W ułamku zwykłym -A liczba jest dzielnikiem liczby �, jeśli dzieląc � przez otrzymamy resztę równą 0.

W rozpatrywanym wielomianie, dzielnikami wyrazu wolnego są liczby: −21, −7, −3, −1, 1, 3, 7, 21.

W rozpatrywanym wielomianie, dzielnikami dodatnimi współczynnika wiodącego są liczby: 1, 2, 4, 8, 16.

Ułamki zwykłe które w liczniku mają dzielnik wyrazu wolnego, a w mianowniku dodatni dzielnik współczynnika wio-dącego, to:

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

��,

oraz:

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

�� ,

��.

Aby się dowiedzieć które z powyższych ułamków są pierwiastkami danego wielomianu należy każdy z nich wstawić zamiast � do danego wielomianu i sprawdzić, czy po takim wstawieniu, otrzymamy liczbę 0. Zatem najpierw musimy

policzyć �(−�� ), czyli �(−21), potem �(−

�� ), następnie: �(−

�� ), …, �(

��). Zatem:

��−21� = 16 ∙ �−21��

��+80 ∙ �−21��

− 21 = 5355 [Dokładny wynik w tym przypadku nas nie interesuje. Chodzi tylko o to, by sprawdzić,

czy �(−21) jest równe 0. Jeśli od razu widać, że nie jest równe 0, to obliczenia można

przerwać i przejść do sprawdzania kolejnego ułamka.]

�'−�� ( = 16 ∙ '−

�� (� ��

��

��

+80 ∙ '−�� (��

− 21 ≠ 0.

�'−�� ( = 16 ∙ '−

�� (� ��

��

��

+80 ∙ '−�� (��

− 21 = 0 [Jeden pierwiastek będący liczbą wymierną został właśnie znaleziony, bo wynik wy-

szedł równy 0.]

…

�'��( = 16 ∙ '��(��

��

+80 ∙ '��(��9��

− 21 = 0 [Właśnie znaleźliśmy drugi z poszukiwanych pierwiastków wymiernych.]

Z wcześniejszych tematów wiemy, że jeśli wielomian jest stopnia 2-giego, to może mieć co najwyżej dwa pierwiastki będące liczbami rzeczywistymi. Oznacza to, że poszukiwanie kolejnych pierwiastków możemy już sobie darować, bo przecież każda liczba wymierna jest liczbą rzeczywistą i obie te liczby już znaleźliśmy.

Zatem pierwiastki wymierne wielomianu �� = 16�� + 80� − 21, to liczby � = −�� , � =

��.


Zadanie: Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu �� = 4�� + 3� − �� − 7�� + 9.

Rozwiązanie:

– liczba 9 jest jego wyrazem wolnym

– liczba 4 jest jego współczynnikiem wiodącym, bo stoi przy zmiennej o najwyższej potędze.

Dzielniki wyrazu wolnego to: −9, −3, −1, 1, 3, 9.

Dzielniki dodatnie współczynnika wiodącego to: 1, 2, 4.

Ułamki zwykłe które w liczniku mają dzielnik wyrazu wolnego, a w mianowniku dodatni dzielnik współczynnika wiodącego, to:

−9

1,−9

2,−9

4,−3

1,−3

2,−3

4,−1

1,−1

2,−1

4,9

1,9

2,9

4,3

1,3

2,3

4,1

1,1

2,1

4

Upraszczając je, otrzymujemy liczby:

−9, −9

2, −

9

4, −3, −

3

2, −

3

4, −1, −

1

2, −

1

4, 9,

9

2,9

4, 3,

3

2,3

4, 1,

1

2,1

4

Sprawdzam która z powyższych liczb jest pierwiastkiem danego wielomianu:

��−9� = 4 ∙ (−9)� ��

��+3 ∙ (−9) ��

� ��

��− (−9)� ��

��

��9�� −7 ∙ (−9)� ��

��

��+ 9 ≠ 0

�'− �( = … ≠ 0

�'− �( = … ≠ 0 ��−3� = … ≠ 0

… �'��( = … ≠ 0

Wniosek: Żadna z wymienionych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Odpowiedź: Dany wielomian nie ma pierwiastków będących liczbami wymiernymi.

Jeśli wyraz wolny wielomianu jest równy 0, to poszukiwanie pierwiastków powyżej zaprezentowaną metodą jest nieskuteczne. Chodzi bowiem o to, że 0 ma nieskończenie wiele dzielników. W takim przypadku poszukiwanie pier-wiastków wymiernych należy przeprowadzić inną metodą np. poprzez rozkład danego wielomianu na czynniki nie-rozkładalne.

Ćwiczenie: Uzasadnij dlaczego wielomiany �� = 7�� − 5� + 3, �� = 5�� − 9�� − 2 nie mają wspólnego pierwiastka wymiernego.

Ćwiczenie: Uzasadnij dlaczego wielomiany �� = 7�� − 5� + 3, �� = 5�� − 9�� − 2 nie mają wspólnego pierwiastka wymiernego.


Zadanie: Dany jest wielomian �� = �� + � + 2. Dla jakich wartości � ma on pierwiastki całkowite?

Rozwiązanie:

Ponieważ współczynnik wiodący tego wielomianu wynosi 1, więc pierwiastków całkowitych tego wielo-mianu należy szukać tylko pośród dzielników wyrazu wolnego tj. pośród liczb: 2, 1, −1, −2. Zatem:

��2� = 2� + 2 + 2 = 2� + 4 — dla każdej wartości �, ��2� > 0. Wniosek: Liczba 2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu niezależnie od tego ile bę-dzie wynosić �. ��1� = 1� + 1 + 2 = 4 — dla każdej wartości �, ��1� > 0. Wniosek: Liczba 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu niezależnie od tego ile bę-dzie wynosić �. ��−1� = �−1�� − 1 + 2 = �−1�� + 1 — dla � nieparzystych, ��−1� = 0. Wniosek: Liczba −1 jest pierwiastkiem tego wielomianu, ale tylko wtedy, gdy � bę-dzie liczbą nieparzystą. ��−2� = �−2�� − 2 + 2 = �−2�� — dla każdej wartości �, ��−2� ≠ 0. Wniosek: Liczba −2 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu niezależnie od tego ile będzie wynosić �.

Odpowiedź: Tylko dla � nieparzystych dany wielomian ma pierwiastki całkowite.

Twierdzenie:

Wielomian stopnia �o wszystkich współczynnikach rzeczywistych

ma � pierwiastków rzeczywistych

lub o parzystą liczbę mniej.

Wniosek: Wielomian �� = 4�� + 3� − �� − 7�� + 9 (rozpatrywany w powyższym zadaniu) ma albo 6 pier-wiastków rzeczywistych, albo dokładnie 4, albo dokładnie 2, albo 0, czyli nie ma ich wcale.

W dalszej części tego tematu posłużę się tzw. regułą znaków Kartezjusza na podstawie której wysnuję, że wielomian ten może mieć maksymalnie dwa rzeczy-

wiste pierwiastki dodatnie i maksymalnie dwa rzeczywiste pierwiastki ujemne, co w sumie daje maksymalnie 4 pierwiastki rzeczywiste. Dokładną liczbę róż-

nych pierwiastków powyższego wielomianu, można obliczyć wykorzystując twierdzenie Sturma.

Twierdzenie:

Wielomian stopnia nieparzystego

o wszystkich współczynnikach rzeczywistychma zawsze

przynajmniej jeden pierwiastek będący liczbą rzeczywistą.

Wniosek: Wielomian �� = 5�� + �� − 2�� + 7�� + 1 ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Ewaryst Galois (wymawiaj: Galua) wykazał, że dla wielomianów stopnia co najmniej 5-tego nie istnieje ogólna me-toda pozwalająca na znalezienie ich pierwiastków przy użyciu 4-rech podstawowych działań arytmetycznych i pier-wiastkowania.

Miejsca zerowe wielomianów stopnia co najmniej 5-tego, można znajdować jedynie za pomocą tzw. metod nume-

rycznych, które podają tylko przybliżoną wartość pierwiastka wielomianu. Nie dotyczy to jednak niektórych typów

wielomianów. Przykładowo wielomian �� − 19 = 0 ma pierwiastek rzeczywisty � = √19��

.

Profesjonalną wiedzę o pierwiastkach wielomianów można znaleźć w książce „Geometria zer wielomianów” autor-stwa Andrzeja Turowicza.


Reguła znaków Kartezjusza:

Wielomian jednej zmiennej, uporządkowany według malejących potęg zmiennej,

o wszystkich współczynnikach rzeczywistych,

ma tyle dodatnich pierwiastków rzeczywistych

ile jest w nim zmian znaku między niezerowymi współczynnikamilub o parzystą liczbę mniej.

Przykład: Wielomian �� = 4�� + 3�� − �� − 7�� − 9 najpierw porządkujemy wg malejących potęg przy zmiennej, tj. do postaci: �� = −�� −7�� + 3��

B+,-�- B�-�1+4�� − 9 ��

B+,-�- B�-�1, a następnie zliczamy ile razy nastąpiła

zmiana znaku z + na − i odwrotnie. Na podstawie reguły znaków Kartezjusza wnioskujemy, że dany wie-lomian ma 2 pierwiastki rzeczywiste lub 0 (o parzystą liczbę mniej).

Przykład: Wielomian �� = −�� − 7�� + 3�� − 4�� + 9 ma albo 3 pierwiastki rzeczywiste, albo dokładnie 1.

Aby sprawdzić ile pierwiastków ujemnych ma wielomian ��,

należy sprawdzić ile razy następuje zmiana znaku w wielomianie ��−��.

Przykład: Aby sprawdzić ile pierwiastków ujemnych ma wielomian �� = 4�� + 3� − �� − 7�� + 9 należy roz-patrzeć wielomian ��−�� = 4�−�� − 3�−�� − �−�� − 7�−�� + 9 = 4�� + 3� + �� − 7�� + 9. Widzimy zatem, że wielomian �(−�) dwukrotnie zmienia znak (raz z plusa na minus i raz z minusa na plus). Oznacza to, że wielomian wyjściowy tj. �(�) ma albo 2 pierwiastki rzeczywiste ujemne albo 0 (tj. o parzystą liczbę mniej).

Szukając pierwiastków wielomianu �� przy pomocy programów komputerowych, możemy ustalić, że wielomian ten nie ma ani jednego pierwiastka rzeczy-

wistego.

Jeśli współczynnik wiodący wielomianu lub jego wyraz wolny jest ułamkiem zwykłym

lub da się zapisać w postaci ułamka zwykłego,

to aby znaleźć pierwiastki wymierne takiego wielomianu,

należy każdy współczynnik tego wielomianu,

pomnożyć przez �najlepiej najmniejszy� wspólny mianownik

dla współczynnika wiodącego i wyrazu wolnego.

Przykład: Wielomian �� =�� + 4�� − 5�� +

��. Aby znaleźć jego pierwiastki wymierne, należy każdy jego wy-

raz pomnożyć przez 6, bo B��3, 2� = 6. Zatem szukając pierwiastków wymiernych wielomianu �� należy rozpatrywać jego postać:

�� = 4� + 24�� − 30�� + 3.

Uzasadnienie dlaczego mnożenie każdego wyrazu wielomianu przez tę samą liczbę nie wpływa na jego pierwiastki:

Jednym z kilku sposobów na wyliczenie pierwiastków wielomianu jest przyrównanie danego wielomianu do 0, czyli rozwiązanie równania:

0 =�� + 4�� − 5�� +

��.

Mnożąc obie jego strony przez najmniejszy wspólny mianownik tj. w tym przypadku przez 6 dostaniemy równanie równoważne poprzedniemu tj.:

0 = 4� + 24�� − 30�� + 3.


Podobnie by sytuacja wyglądała, gdybyśmy mieli wielomian �� = 2� − 10. Szukając pierwiastków ta-kiego wielomianu, można przyrównać ten wielomian do 0, czyli rozwiązać równanie:

0 = 2� − 10

10 = 2� � = 5

Gdybyśmy jednak pomnożyli wielomian �� = 2� − 10 przez np. 6 i przyrównali do 0 by wyliczyć jego pierwiastki, to otrzymalibyśmy:

0 = 12� − 60

60 = 12� � = 5

Jak widać wynik wyszedł taki sam.

Wniosek: Mnożenie każdego wyrazu danego wielomianu przez tę samą liczbę, nie wpływa na jego pier-wiastki.

Wzory Viète’a (wymawiaj: Wieta) wiążą pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Dzięki nim, możemy obli-czyć sumę wszystkich pierwiastków danego wielomianu oraz ich iloczyn, znając jego współczynniki. Niestety obli-czenia te znacznie się komplikują wraz ze wzrostem stopnia wielomianu.

W praktyce wzory Viète’a wykorzystuje się, by w pamięci odgadnąć pierwiastki danego wielomianu.

Przypuśćmy, że mamy wielomian stopnia drugiego: �� = �� + � + �. Z tematów wcześniejszych wiemy, że ma on maksymalnie 2 pierwiastki rzeczywiste ��, ��, zaś ze wzorów Viète’a dowiadujemy się, że:

�� + �� = −A- oraz �� ∙ �� =

2-

Rozpatrzmy wielomian drugiego stopnia: �� = �� − 5� + 6. Na podstawie powyższych wzorów, widzimy, że:

�� + �� = 5

�� ∙ �� = 6

Od razu w myślach odgadujemy, że �� = 2, zaś �� = 3, bo tylko te dwie liczby spełniają oba powyższe równania. Zobaczmy teraz wielomian:

�� = �� + 5� − 6.

Na podstawie dopiero co poznanych wzorów, widzimy, że:

�� + �� = −5

�� ∙ �� = −6

w wyniku czego odgadujemy w myślach, że �� = −6, zaś �� = 1. Niestety, nie zawsze znajdowanie pierwiastków z wykorzystaniem wzorów Viète’a idzie tak szybko. Zobaczmy wielomian o współczynniku wiodącym różnym od 1:

�� = 5�� + 3� − 7.

Ze wzorów Viète’a widzimy, że:

�� + �� = −3

5


�� ∙ �� = −7

5

No i mamy pewien problem, bo w myślach nie jesteśmy w stanie ustalić wartości jakie mogą przyjmować zmienne �� i ��. Jak więc widać, wzory Viète’a tylko w niektórych sytuacjach przyspieszają znajdowanie pierwiastków danego wielomianu. Aby znaleźć pierwiastki tego wielomianu należy wyliczyć deltę i w oparciu o nią poszukiwane oba pier-wiastki.

Wzory Viète’a dla wielomianu stopnia 3-ciego: �� = �� + �� + �� + � wyglądają następująco:

�� + �� + �� = −A- oraz �� ∙ �� ∙ �� =

)-

Ogólnie rzecz ujmując, jeśli wielomian jest stopnia �, w którym:

— � to współczynnik wiodący danego wielomianu,

— to współczynnik przy potędze � − 1

— � to współczynnik przy potędze � − 2

— � to wyraz wolny,

to wzory Viète’a przedstawiają się następująco:

�� + �� + �� + … + �� = �−1�� ∙A- oraz �� ∙ �� ∙ �� ∙ … ∙ �� =

)-

�� + �� + �� + … + �� + �� + … + ��+�� + … + �� =��

Zadanie: Uzasadnij dlaczego wielomian �� = 81�� − �� + 15�� − 3� + 1, jeśli ma pierwiastki wymierne, to wszystkie one należą do przedziału ⟨−1; 1⟩. Uzasadnienie:

Jeśli wielomian ma pierwiastki wymierne, to należy ich szukać wśród ułamków otrzymanych z podzielenia dzielnika wyrazu wolnego przez dodatni dzielnik współczynnika wiodącego. Skoro wyrazem wolnym jest liczba 1, to ma ona tylko dwa dzielniki: −1, 1. Dodatnie dzielniki współczynnika wiodącego to: 1, 81. Za-

tem jeśli wielomian �(�) ma pierwiastki wymierne, to należy ich szukać tylko pośród ułamków: �� ,

��,

��,

��, i jak widać wszystkie one należą do przedziału ⟨−1; 1⟩.

Zadanie: Podaj przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest 1 + √11.

Rozwiązanie:

Wzory Viète’a dla wielomianu stopnia drugiego, orzekają o tym ile jest równa suma oraz iloczyn obu pier-

wiastków wielomianu. Skoro jednym z pierwiastków jest �� = 1 + √11, to niech drugi będzie równy �� = 1 − √11. Wówczas: �� + �� A-

= 1 + √11 + 1 − √11 = 2

�� ∙ �� 2-

= �1 + √11��1 − √11� = 1 − 11 = −10

Mamy zatem, że:

−� = 2 �� = −10


Aby oba powyższe równania były spełnione, wystarczy przyjąć, że:

a) � = 1, = −2, � = −10

lub

b) � = −1, = 2, � = 10

lub

c) pomnożyć wszystkie współczynniki z podpunktów a) i b) przez dowolną liczbę wymierną różną od 0.

Odpowiedź: Przykładowy wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest

1 + √11 to �� = �� − 2� − 10.

Zadanie: Czy istnieje wielomian który nie ma pierwiastków wymiernych, a ma pierwiastki niewymierne?

Rozwiązanie:

Tak. Przykładem takiego wielomianu jest �� = �� − 2� − 10 lub �� = �� − 2.

Zadanie: Wykaż, że √2 jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie: √2 to jeden z pierwiastków wielomianu �� = �� − √2�� + √2� = �� − 2. Jak widać wielomian ten

ma wszystkie współczynniki całkowite, więc jego pierwiastków wymiernych należy szukać tylko pośród ułamków otrzymanych z podzielenia dzielnika wyrazu wolnego przez dodatni dzielnik współczynnika wio-dącego. Wyrazem wolnym tego wielomianu jest liczba −2 (dzielniki to: −2, −1, 1, 2), zaś wyrazem wol-nym jest liczba 1 (dzielniki dodatnie to: 1). Zatem wymiernych pierwiastków tego wielomianu należy szu-kać tylko pośród liczb: −2, −1, 1, 2.

Wniosek: √2 nie jest liczbą wymierną, bo nie znajduje się wśród liczb: −2, −1, 1, 2, a to oznacza, że jest on liczbą niewymierną.

Zadanie: Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu �� = �� − 6� + 4

Rozwiązanie:

Sprawdzam, czy podany wielomian ma choćby jeden pierwiastek wymierny. W tym celu znajduję dzielniki wyrazu wolnego tj. liczby: 4, 2, 1, −1, −2, −4 i obliczam wartość tego wielomianu dla tych liczb. Zatem:

��4� = 4� − 6 ∙ 4 + 4 = 64 − 24 + 4 = 40 + 4 = 44 ≠ 0

��2� = 2� − 6 ∙ 2 + 4 = 8 − 12 + 4 = −4 + 4 = 0

Ponieważ już znalazłem jeden pierwiastek tego wielomianu, więc dany wielomian mogę zapisać jako:

�� = �� − 2��… … … � Pozostaje już tylko ustalić co będzie w powyższym drugim nawiasie. Na pewno będzie to wielomian stop-nia drugiego, bo wielomian w pierwszym nawiasie jest stopnia 1-wszego, a wielomian �(�) jest stopnia 3-ciego. Aby znaleźć ten wielomian z drugiego nawiasu należy wykonać dzielenie pisemne wielomianu �(�) przez wielomian który jest w pierwszym nawiasie tj. przez � − 2. Czyniąc tak, otrzymuję, że wielo-mian z drugiego nawiasu to:

�� + 2� − 2


Aby znaleźć jego pierwiastki wystarczy już tylko wyliczyć deltę i z jej pomocą obliczyć pierwiastki wielo-mianu �� + 2� − 2. Zatem:

Δ = 12, �� = −√3 − 1, �� = √3 − 1.

Odpowiedź: Pierwiastki rzeczywiste wielomianu �(�) to: −2; −√3 − 1; √3 − 1.


Temat: Krotność pierwiastków równań wielomianowych.

Zacznijmy od rozłożenia wielomianu �� = �� − 5�� + 3�� + 9� na czynniki nierozkładalne w celu łatwego od-czytania pierwiastków tego wielomianu. Stosując metody przedstawione na stronie 25, otrzymuję, że postać iloczy-nowa tego wielomianu to:

�� = �� + 1�� − 3�� − 3�,

a jego pierwiastki to: � = 0, � = −1, � = 3, � = 3.

Pierwiastek który wyszedł tylko 1 raz nazywamy pierwiastkiem jednokrotnym; 2 razy — pierwiastkiem dwukrotnym; 3 razy — p. trzykrotnym itd.

Pierwiastek który wyszedł więcej niż 1 raz, nazywamy pierwiastkiem wielokrotnym.

Zauważmy, że powyższą postać iloczynową wielomianu �(�) mogliśmy zapisać krócej:

�� = �� + 1�� − 3��

a to, że � = 3 jest pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu mogliśmy odczytać patrząc na potęgę do której jest podniesiony ostatni czynnik.

Zadanie: Wielomian �� = �� + 7�� − 4��3� − 2��. Znajdź jego pierwiastki i określ ich krotność.

Rozwiązanie: � = 0 — pierwiastek 121-krotny

� = −7 — pierwiastek 23-krotny � = 4 — pierwiastek 14-krotny � =�� — pierwiastek 8-krotny

Ćwiczenie: Wielomian �� = �� + 5��2� + 1��. Znajdź jego pierwiastki i określ ich krotność. [Odp. � = −5 — p. 3-krotny; � = −

�

� — p. 7-krotny.]

Encyklopedyczne definicje pierwiastka k-krotnego są na ogół napisane dość niezrozumiale nawet jak na ucznia szko-ły ponadgimnazjalnej, a jak widać w krotnościach pierwiastków nic strasznego nie ma. Moim zdaniem, najbardziej zrozumiała definicja krotności pierwiastka jest następująca:

Krotność pierwiastka — największa liczba naturalna �, która sprawia, że wielomian �(�) podzielony przez

dwumian �� − �� daje resztę 0. � oznacza pierwiastek wielomianu �(�).

Generalnie chodzi o to, że w ujęciu definicji krotność pierwiastka należy sprawdzać następująco:

1. Najpierw wielomian �(�) dzielimy przez dwumian �� − ��. Jeśli reszta z tego dzielenia wyjdzie inna niż 0, to � nie jest pierwiastkiem tego wielomianu i na tym etapie kończymy obliczenia. Jeśli zaś otrzymamy z tego dzielenia resztę równą 0, to wnioskujemy, że � jest pierwiastkiem jednokrotnym.

2. Wykonujemy ponownie dzielenie wielomianu �(�), ale tym razem przez �� − ��. Oczywiście dzielenie ta-kie musimy wykonać sposobem pisemnym zamieniając wcześniej �� − �� na wyrażenie: �� − 2�� + ��. Je-śli reszta z takiego dzielenia nie wyjdzie równa 0, to pozostajemy przy wniosku z punktu poprzedniego, tj. że � jest pierwiastkiem jednokrotnym. Jeśli zaś reszta z dzielenia wyjdzie równa 0, to wnioskujemy, że � jest


pierwiastkiem dwukrotnym i znowu wykonujemy dzielenie �(�), ale tym razem przez �� − ��. I tak w koło Wojtek, aż dojdziemy do tego, że reszta z dzielenia nie wyjdzie 0.

3. Za krotność pierwiastka � uznajemy tę potęgę dwumianu �� − ��, która jako ostatnia dała nam resztę z dzie-lenia równą 0.

Jak widać, sprawdzanie krotności pierwiastka wielomianu bezpośrednio z definicji trwa bardzo długo — tym dłużej im większa jest jego krotność. Z tego właśnie powodu w praktyce krotności pierwiastka nie wylicza się z definicji. Stosuje się rozkład wielomianu na czynniki (dowolnymi metodami) i z otrzymanej w ten sposób postaci iloczynowej odczytuje się krotność pierwiastków — tak jak to było robione na początku tego tematu.

Rozłóżmy teraz wielomian �� = �� + 3� − �� − 3�� na czynniki nierozkładalne i z otrzymanej postaci iloczy-nowej odczytajmy jego pierwiastki wraz z ich krotnością. Rozwiążmy więc równanie �� = 0.

�� + 3� − �� − 3�� = 0 �� + 3�� − � − 3� = 0 �� + 3� − 1�� + 3�� = 0 �� + 3�� − 1� = 0

�� + 3� �� − 1� �� + � + 1��∆R� — "3�S ��3�. ��

= 0

� = 0 — pierwiastek dwukrotny

lub

� = −3 — pierwiastek jednokrotny

lub

� = 1 — pierwiastek jednokrotny

Wniosek 1: ��0� = ��−3� = ��1� = 0

Wniosek 2: Wielomian �� = �� + 3� − �� − 3�� podzielony przez dwumian �� − 0�� daje resztę 0.

Wniosek 3: Wielomian �� = �� + 3� − �� − 3�� podzielony przez dwumian �� + 3�� daje resztę 0.

Wniosek 4: Wielomian �� = �� + 3� − �� − 3�� podzielony przez dwumian �� − 1�� daje resztę 0.

Zadanie: Oceń które z wielomianów: �� = �� + 2, �� = �� − �� + 1, �� = 2�� + 3�� + �� + 8 nie mają pierwiastków rzeczywistych.

Rozwiązanie:

Ponieważ w pierwszym wielomianie zmienna � jest podniesiona do potęgi parzystej, więc dla każdej war-tości �, wartość jednomianu �� jest większa lub równa 0. Dodając do tej wartości wyraz wolny tego wie-lomianu tj. liczbę 2, sprawimy, że wartość wielomianu �(�) zawsze będzie większa lub równa 2. Ponie-waż wartość tego wielomianu nigdy nie jest równa 0, więc wielomian ten nie ma pierwiastków rzeczywi-stych.

Jeśli chodzi o drugi wielomian, to możemy go zapisać w postaci: �� = �� ∙ �� − �� + 1 i zamiast każde-

go �� przyjąć nową zmienną. Niech zatem �� = �. Wówczas ��√�� = � ∙ � − � + 1 = �� − � + 1, co da-

ło nam wielomian stopnia drugiego. Jak już wiemy, wielomian taki ma pierwiastki rzeczywiste tylko wtedy, gdy jego wyróżnik (tzw. delta) jest większa lub równa od 0. Wyliczając deltę widzę, że jest ona równa −3, a to oznacza, że wielomian �� − � + 1 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pociąga to za sobą, że także wielomian �� = �� − �� + 1 także nie ma pierwiastków rzeczywistych.


Z tego, że wielomian �(�) ma wszystkie zmienne podniesione do potęg parzystych, wynika, że najmniej-sza wartość tego wielomianu wynosi 8. Skoro wartość tego wielomianu nigdy nie jest równa 0, więc nie ma on pierwiastków rzeczywistych.

W niektórych sytuacjach potrzebna jest wiedza o tym, ile różnych pierwiastków ma dany wielomian ��, a nie ile one wynoszą lub jaką mają krotność.

Aby ustalić ile różnych pierwiastków ma wielomian �(�) należy najpierw znaleźć taki wielomian E(�), który ma te same pierwiastki co wielomian ��, ale wszystkie one są jednokrotne. Potem wystarczy już tylko zastosować twierdzenie Sturma.

Wielomianu E(�) nie należy szukać metodą na „chybił trafił”. Można go wyliczyć. W tym celu najpierw musimy obli-czyć pierwszą pochodną wielomianu �(�) czyli �T(�), a następnie znaleźć największy wspólny dzielnik wielomia-nów �(�) i �T(�), który oczywiście też jest wielomianem. Ten największy wspólny dzielnik dla wielomianów �(�) i �T(�) oznaczmy przez F(�). Dzieląc wielomian �� przez F(�) otrzymujemy poszukiwany wielomian E(�).

E�� =�(�)F(�)

Dzięki temu pozbyliśmy się krotności pierwiastków wielomianu �(�) bez ich obliczania.

O tym ile różnych pierwiastków rzeczywistych ma wielomian �(�) w zadanym przedziale liczbowym, można roz-strzygnąć na podstawie twierdzenia Sturma przeprowadzając obliczenia na nieco wyżej wspomnianym wielomianie E(�).

W twierdzeniu tym tworzymy nowe wielomiany, ale nie ot tak na widzi mi się, lecz ściśle wg pewnej reguły. Przypu-śćmy, że wielomian E(�) jest stopnia � i chcemy obliczyć ile ten wielomian E�� ma pierwiastków rzeczywistych. Tworzymy więc � + 1 nowych wielomianów, z których pierwszy oznaczamy przez G�(�), następny przez G�(�), ko-lejny przez G�(�) itd. aż skończymy na wielomianie G�(�), gdzie � to stopień wielomianu �(�). W myśl tw. Sturma:

G�� = E(�)

G�� = ET(�) [pierwsza pochodna wielomianu E(�)]

G�(�) to reszta z dzielenia wielomianu G�(�) przez wielomian G�(�)



…

G�(�) to reszta z dzielenia wielomianu G��(�) przez wielomian G��(�). [Wielomian G�(�) jest zawsze liczbą.]

Obieramy sobie teraz przedział liczbowy ��;>� w którym będziemy badać liczbę pierwiastków wielomianu �(�), i obliczamy jaką wartość przyjmuje każdy z wielomianów G(�), gdy zamiast � wstawimy liczbę �. Dostajemy więc � + 1 liczb:

{G��, G��, G��, … , G��}. Mając już te liczby, zliczamy ile razy nastąpiła w nich zmiana znaku z plusa na minus i z minusa na plus. Liczbę tych zmian oznaczamy przez H(�).

Znając już H(�), obliczamy jaką wartość przyjmuje każdy z wielomianów G(�), gdy zamiast � wstawimy liczbę >. Dostajemy więc � + 1 liczb:

{G��>�, G��>�, G��>�, … , G��>�}.


Mając już te liczby, zliczamy ile razy nastąpiła w nich zmiana znaku z plusa na minus i z minusa na plus. Liczbę tych zmian oznaczamy przez H(>).

Twierdzenie Sturma orzeka o tym, że

w przedziale ��;>�wielomian wyjściowy tj.��

ma dokładnie H�� − H(>) różnych pierwiastków rzeczywistych.

Chcąc ustalić ile różnych pierwiastków rzeczywistych ma dany wielomian ��, musimy tak dobrać liczby � i >, by � było liczbą mniejszą od najmniejszego pierwiastka wielomianu �(�), zaś > było liczbą większą od największego pierwiastka wielomianu �(�). Jednym ze sposobów ustalenia takich wartości � i > by między nimi zmieściły się wszystkie pierwiastki wielomianu �(�) jest przyjęcie, że:

� = −1 −|A||-|, zaś > = 1 +

|)||-|

gdzie: — współczynnik wielomianu �(�) stojący przy �� — współczynnik wiodący wielomianu �(�) � — wyraz wolny wielomianu �(�).

Drugi ze sposobów takiego dobrania liczb � i > by między nimi zmieściły się wszystkie pierwiastki wielomianu �(�) jest przyjęcie, że:

� = − max(1, I), zaś > = max(1, I)

gdzie: I — suma wszystkich współczynników wielomianu E(�)

max�1, I� — większa z dwóch liczb: 1 lub I.

Zadanie: W oparciu o twierdzenie Sturma, ustal, ile różnych pierwiastków rzeczywistych ma wielomian �� = ��.

Rozwiązanie:

�� = ��

�′�� = 2�

Poszukiwanie największego wspólnego dzielnika powyższych dwóch wielomianów:

poprzez wypisanie ich dzielników: za pomocą interpretacji algorytmu Euklidesa:

Dzielniki wielomianu �(�), to: −1, 1, �, ��.

Dzielniki wielomianu ��(�), to: −1, 1, −2, 2, �, 2�.

Z prawej strony kreski piszemy jakikolwiek wspólny dzielnik obu wielomianów, a następ-

nie każdy z tych wielomianów dzielimy przez napisany dzielnik. Czynność tę powtarzamy

tak długo, aż nie uda się znaleźć jakiegokolwiek wspólnego dzielnika dla nowootrzyma-

nych wielomianów.

W metodzie tej, największym wspólnym dzielnikiem jest to, co otrzymamy z pomnożenia

wszystkiego co wyszło z prawej strony pionowej kreski.

Niezależnie od wybranej metody, największy wspólny dzielnik wielomianów �(�) i ��(�), to: �.


Największy wspólny dzielnik dla wielomianów �(�) i �T�� oznaczmy przez F(�). Zatem:

F�� = �

E�� =��F��

E�� =�� = �

G�� = �

G�� = 1 [pierwsza pochodna wielomianu �(�), czyli G�′��] � = − max�1,1� ��

�= −1 > = max�1,1� = 1

G�� = G��−1� = −1 G��>� = G��1� = 1

G�� = G��−1� = 1 G��>� = G��1� = 1

H�� = 1, H�>� = 0, zatem H�� − H�>� = 1 − 0 = 1.

Odpowiedź: Wielomian �� = �� ma tylko 1 pierwiastek rzeczywisty. [Nie jest tu uwzględniona jego krotność.]

Dla wielomianów stopnia większego od 5, poszukiwanie pierwiastków metodami już omówionymi, na ogół nie jest skuteczne. Do ich znalezienia, a raczej oszacowania, należy się posłużyć jedną z poniższych metod:

– metoda biesekcji (połowienia)

– metoda siecznych

– metoda falsi (znajdowanie pierwiastków wielomianu tą metodą trwa dłużej, niż metodą siecznych)

– metoda stycznych (Newtona)

Ponieważ wiedza dotycząca powyższych metod znajdowania pierwiastków wielomianów wykracza poza zakres li-ceum, więc nie zostanie omówiona w tym opracowaniu.


Temat: Wielomiany z parametrem.

Wielomian z parametrem to taki wielomian, w którym nie znamy przynajmniej jednego współczynnika. Parametr to nic innego jak współczynnik wielomianu który trzeba wyznaczyć zgodnie z treścią zadania.

Rozpatrzmy wielomian �� = 2�� + �� + �� + 1 w którym ��1� = 12 oraz ��−1� = 0 i zastanówmy się jak wyliczyć jego współczynniki oznaczone literkami i �. Z treści zadania wiemy, że po wstawieniu zamiast zmiennej � liczby 1 (zawartość nawiasu) otrzymamy liczbę 12. Zatem:

2 ∙ 1� ��

+ ∙ 1� ��A

+ � ∙ 1�2

+ 1 = 12

2 + + � + 1 = 12

+ � + 3 = 12

+ � = 9

Z treści zadania wiemy również, że po wstawieniu zamiast zmiennej � liczby −1 (zawartość nawiasu) otrzymamy liczbę 0. Zatem:

2 ∙ �−1��

+ ∙ �−1�� A

+ � ∙ �−1� ��2

+ 1 = 0

−2 + − � + 1 = 0

− � − 1 = 0

− � = 1

Dostaliśmy więc dwa równania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi: i �. Aby wyliczyć te niewiadome wy-godnie będzie zastosować układ równań i rozwiązać go metodą przeciwnych współczynników.

+- + � = 9 − � = 1

. 2 = 10 = 5

Z równania pierwszego wyliczam, że:

5 + � = 9 � = 4

Otrzymaliśmy zatem, że szukany wielomian �(�) dany jest wzorem:

�� = 2�� + 5�� + 4� + 1

W przykładzie powyższym rozpatrywaliśmy dwa warunki: ��1� = 12 oraz, że ��−1� = 0. Czasami trafiają się za-dania w których pozornie występuje jeden warunek np.: ��1� = ��−1� = 5. Jest to jednak mylne, bo zapis taki oznacza dwa warunki: ��1� = 5 i ��−1� = 5.

Zadanie: Dany jest wielomian �� = �� + �� + �� + �. Wiedząc, że ��2� = ��−2� = 8 podaj jakie warto-ści mogą przyjmować współczynniki tego wielomianu.

Rozwiązanie: ��2� = 16� + 8 + 4� + � ��−2� = 16� − 8 + 4� + �


Ponieważ ��2� = ��−2�, więc:

16� + 8 + 4� + � = 16� − 8 + 4� + �

8 = −8

16 = 0

= 0

Ponieważ z obliczeń udało się uzyskać tylko wartość jaką przyjmuje , więc należy wnioskować, że pozo-stałe współczynniki tj. �, �, � mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Odpowiedź: = 0; �, �, � ∈ ℝ.

Ćwiczenie: Dany jest wielomian �� = �� + � + �� + �. Wiedząc, że ��1� + ��−1� = 19, wylicz

wartości jakie mogą przyjmować współczynniki wielomianu �(�).

Ćwiczenie: Dany jest wielomian �� = �� + �� + �. Wiedząc, że ��√2� = 4, ��−√2� = −12, ��0� = −10, wylicz wartości jakie mogą przyjmować współczynniki wielomianu �(�).

Zadanie: Dany jest wielomian �� = 7�� − �� + 1 o którym wiadomo że ma pierwiastek wymierny. Jaką liczbą całkowitą może być �?

Rozwiązanie:

Skoro ten wielomian ma pierwiastek wymierny, to należy go szukać wśród ułamków otrzymanych z po-dzielenia dzielnika wyrazu wolnego przez dodatni dzielnik współczynnika wiodącego (patrz strona 45). Za-

tem wymiernych pierwiastków tego wielomianu należy szukać tylko pośród liczb: −�� ,

�� , −1, 1. Aby

sprawdzić która z tych czterech liczb jest pierwiastkiem tego wielomianu wstawiamy ją zamiast � do da-nego wielomianu i sprawdzamy czy otrzymany wynik jest równy 0. Mamy więc:

�2−1

73 = 7 ∙ 2−

1

73� +

1

7� + 1 = −

1

49+

7�49

+49

49=

48 + 7�49

Aby liczba −�� była pierwiastkiem danego wielomianu, to �'−

��( musi być równe 0. Powyższy wynik jest

równy 0, gdy jego licznik jest równy 0. Zatem 48 + 7� = 0 ⇔ 7� = −48 /: 7 ⟺ � = −�� . Ponieważ

z treści zadania wiemy, że parametr � ma być liczbą całkowitą, więc to rozwiązanie odpada.

Sprawdźmy teraz kolejną liczbę podejrzaną o to, że może być pierwiastkiem wymiernym danego wielo-mianu.

�21

73 = 7 ∙ 21

73� −

1

7� + 1 =

1

49−

7�49

+49

49=

50 − 7�49

Podobnie jak wyżej: 50 − 7� = 0 ⇔ 7� = 50 /: 7 ⟺ � =�� . Ponieważ z treści zadania wiemy, że pa-

rametr � ma być liczbą całkowitą, więc to rozwiązanie odpada.


��−1� = 7 ∙ �−1�� + � + 1 = −7 + � + 1 = � − 6


Podobnie jak wyżej: � − 6 = 0 ⇔ � = 6 . Ponieważ z treści zadania wiemy, że parametr � ma być liczbą całkowitą, więc to rozwiązanie uznajemy za poprawne.


��1� = 7 ∙ 1� − � + 1 = 7 − � + 1 = 8 − �

Podobnie jak wyżej: 8 − � = 0 ⇔ � = 8 . Ponieważ z treści zadania wiemy, że parametr � ma być liczbą całkowitą, więc to rozwiązanie uznajemy za poprawne.

Odpowiedź: Wielomian �(�) ma pierwiastek wymierny jeśli � = 6 lub � = 8.

Zadanie: Wielomian �� = 7�� − 10�� + �� + � − 3 ma dwa pierwiastki wymierne takie same jak wielomian �� = 3�� + �� − �� − 4� + 7. Wyznacz współczynniki �, , �,� tych wielomianów.

Rozwiązanie:

Skoro wielomian �� ma pierwiastki wymierne, więc należy ich szukać pośród ułamków otrzymanych z podzielenia dzielnika wyrazu wolnego przez dodatni dzielnik współczynnika wiodącego. Zatem pier-wiastków wymiernych pierwszego wielomianu należy szukać tylko pośród liczb:

−3, −�� , −1, −

�� , 3,

�� , 1,

��.

Ponieważ wielomian G�� ma również pierwiastki wymierne, więc należy ich szukać pośród ułamków otrzymanych z podzielenia dzielnika wyrazu wolnego przez dodatni dzielnik współczynnika wiodącego. Za-tem pierwiastków wymiernych pierwszego wielomianu należy szukać tylko pośród liczb:

−7, −1, 1, 7, −�� , −

�� ,

�� ,

��.

Z treści zadania wiemy, że wielomiany te mają dwa wspólne pierwiastki wymierne, więc są nimi liczby: −1 i 1.

��−1� = 7 + 10 + � − − 3 = � − + 14

��1� = 7 − 10 + � + − 3 = � + − 6

Liczba −1 jest pierwiastkiem wielomianu �(�) jeśli ��−1� = 0. Zatem: � − + 14 = 0.

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu �� jeśli ��1� = 0. Zatem: � + − 6 = 0.

Rozwiązując układ równań:

-� − + 14 = 0� + − 6 = 0.

wyliczymy współczynniki � i . Zatem:

+-� − = −14� + = 6

. 2� = −8 /: 2

� = −4

Z drugiego równania:

−4 + − 6 = 0


− 10 = 0

= 10

Pozostaje już tylko obliczyć współczynniki � i �.

��−1� = 3 − � − � + 4 + 7 = 14 − � − �

��1� = 3 + � − � − 4 + 7 = 6 + � − �

Liczba −1 jest pierwiastkiem wielomianu �(�) jeśli ��−1� = 0. Zatem: 14 − � − � = 0.

Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu �� jeśli ��1� = 0. Zatem: 6 + � − � = 0.

Rozwiązując układ równań:

-14 − � − � = 06 + � − � = 0

. wyliczymy współczynniki � i �. Zatem:

+-−� − � = −14� − � = −6

. −2� = −20 /: �−2�

� = 10

Z drugiego równania:

6 + � − 10 = 0

� − 4 = 0

� = 4

Odpowiedź: Szukane współczynniki tych wielomianów to: � = −4, = 10, � = 4, � = 10.

Zadanie: Dla jakich wartości parametrów & i �, wielomian �� = 5�� + 4�� + &�� + �� + 1 jest podzielny przez dwumian �� − 1?

Rozwiązanie: �� − 1 = �� − 1�(� + 1)

Wnioski:

– wielomian �(�) jest podzielny przez dwumian � − 1

– wielomian �(�) jest podzielny przez dwumian � + 1

Skoro wielomian �(�) jest podzielny przez dwumian � − 1, więc liczba 1 jest jego pierwiastkiem.

Skoro wielomian �(�) jest podzielny przez dwumian � + 1, więc liczba −1 jest jego pierwiastkiem.

Zatem:

��1� ��

= 5 + 4 + & + � + 1 = 10 + & + �

��−1� ��

= 5 − 4 + & − � + 1 = 2 + & − �


-0 = 10 + & + �0 = 2 + & − � .

+-−10 = & + �

−2 = & − � . −12 = 2& /: 2

−6 = &

Z równania drugiego:

0 = 2 − 6 − � � = 2 − 6

� = −4

Odpowiedź: Dla & = −6 i dla � = −4 wielomian �(�) jest podzielny przez dwumian �� − 1.

Ćwiczenie: Dla jakich wartości parametrów & i �, wielomian �� = �� − 2&�� + 3&�� + � + � jest podzielny

przez trójmian �� − � − 1? [Podpowiedź: Znajdź pierwiastki trójmianu wyliczając np. deltę.]

Ćwiczenie: Ustal krotności pierwiastków wielomianu �� = �8�� + � + 2�� w zależności od wartości parame-

tru . [Podpowiedź. Wylicz deltę i oblicz dla jakich " jest ona równa 0 oraz większa od 0. Nim napiszesz odpowiedź, uwzględnij jeszcze to, że za nawia-

sem jest potęga druga.]

Ćwiczenie: Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu �� = �� + &�� − 7� + �. Znajdź trzeci pier-

wiastek tego wielomianu. [Podpowiedź: Skoro liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu �(�), więc wielomian �(�) jest podziel-

ny przez �� − 1��− 1� = �� − 1�� = �� − 2� + 1. Wykonaj zatem dzielenie pisemne wielomianu �(�) przez �� − 2� + 1 i przyrównaj otrzymaną resz-

tę do 0. Drugie równanie znajdziesz zauważając, że z treści zadania ��1� = 0.]

Ćwiczenie: Dla jakich parametrów � i liczba −1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu �� = 6�� + 8�� − 8�� + �� + . [Podpowiedź. Wielomian �(�) jest podzielny zarówno przez � + 1 jak i (� + 1)�, czyli przez

�� + 2� + 1. Utwórz dwa równania. Pierwsze z nich utwórz obliczając �(−1), zaś drugie obliczając pisemnie resztę z dzielenia �(�) przez �� + 2� + 1.]

Zadanie: Napisz przykładowy wzór wielomianu stopnia drugiego, którego wyraz wolny jest równy 3 i który ma do-kładnie jeden pierwiastek podwójny równy 5.

Jeśli wielomian �(�) stopnia drugiego ma współczynnik wiodący równy � oraz pierwiastek podwójny ��, to daje się on zapisać w postaci: �� = �� − ��. Z treści zadania wiemy, że �� = 5. Oznacza to, że poszukiwany wielomian przyjmuje postać:

�� = �� − 5��.

Dodatkowo z treści zadania wiemy, że wyraz wolny tego wielomianu jest równy 3. Ustalamy więc ile wy-nosi jego wyraz wolny wykonując powyższe potęgowanie. Zatem:

�� = �� − 10� + 25� = �� − 10�� + 25�J.7D-B.*/�7

.

Rozwiązanie:

25� = 3 /: 25

� =��.


Odpowiedź: Przykładowy wielomian spełniający warunki zadania to �� =�� − 5��.

Do powyższego zadania można też było podejść w inny, choć równoważny sposób. Skoro wiemy, że wielomian ten ma pierwiastek podwójny, więc da się on zapisać w postaci: �� = �� + ��, gdzie � jest wyrazem wolnym (wi-dać to po wykonaniu potęgowania), zaś � nie jest współczynnikiem wiodącym tego wielomianu, lecz jakąś liczbą, która po wykonaniu potęgowania które jest za nawiasem, da współczynnik wiodący. Innymi słowy, podchodząc do zadania w taki sposób, przez � rozumiemy pierwiastek stopnia drugiego z poszukiwanego współczynnika wiodącego.

Wracając do zadania, widzimy, że � = 3, czyli, że = √3 lub = −√3. Pozostaje już tylko ustalić jaką liczbą jest �. Z treści zadania wiemy, że pierwiastkiem tego wielomianu jest liczba 5, więc automatycznie dostajemy informację o tym, że ��5� = 0. Oznacza to, że:

��5� = 0 ⟺ �� ∙ 5 ± √3�� = 0 ⟺ 5� ± √3 = 0 ⟺ 5� = ∓√3 /: 5 ⟺ � = ∓√� .

Czyniąc tak dostaliśmy dwa wielomiany: '−√� � + √3(� oraz '√� � − √3(�, które również spełniają warunki zada-

nia. Zauważmy, że zapisując oba te wielomiany w postaci ogólnej, dostajemy, że współczynnik wiodący poszukiwa-

nego wielomianu to ��, co jest zgodne z wyliczeniami jakie poczyniliśmy rozwiązując wcześniej to samo zadanie inną

metodą.

Uwaga. Pisząc w tym opracowaniu, że dany wielomian nie ma pierwiastków, zawsze miałem na myśli pierwiastki rzeczywiste. W zbiorze liczb zespolonych każdy wielomian ma dokładnie tyle pierwiastków zespolonych ile wynosi jego stopień.

Ćwiczenie: Napisz przykładowy wzór wielomianu stopnia czwartego, którego wyraz wolny jest równy 3 i który ma

dokładnie jeden pierwiastek podwójny równy 5. [Podpowiedź. Zauważ, że wystarczy pomnożyć znaleziony wielomian z zadania

powyższego, przez dowolny trójmian kwadratowy o delcie ujemnej i wyrazie wolnym równym 1.]

Zadanie: Dla jakich wartości parametru �, wielomian �� + 3�� − 2 ma dwa pierwiastki jednakowych znaków?

Wiemy, że mamy wielomian stopnia drugiego który ma dwa pierwiastki jednakowych znaków, tj. 8�� > 0�� > 0. lub 8�� < 0�� < 0

.. Naszym zadaniem jest ustalić wszystkie liczby jakie można wstawić do danego wie-

lomianu zamiast �, by otrzymać dwa pierwiastki tych samych znaków. Zadanie to można rozwiązać na

dwa sposoby.

Sposób 1:

Wykorzystujemy zapis ułożony bezpośrednio z treści zadania:

#�� > 0�� > 0$ lub #�� < 0�� < 0

$ 1. Wyliczamy dla jakich %, pierwszy z pierwiastków jest większy od 0.

2. Wyliczamy dla jakich %, drugi z pierwiastków jest większy od 0.

3. Bierzemy część wspólną rozwiązania otrzymanego w punktach 1 i 2.

4. Wyliczamy dla jakich %, pierwszy z pierwiastków jest mniejszy od 0.

5. Wyliczamy dla jakich %, drugi z pierwiastków jest mniejszy od 0.

6. Bierzemy część wspólną rozwiązania otrzymanego w punktach 4 i 5.

7. Bierzemy sumę rozwiązań otrzymanych w punktach 3 i 6.

Sposób 2:

1. Zauważamy, że wielomian stopnia drugiego ma dwa pierwiastki tylko wtedy, gdy

jego współczynnik wiodący nie jest równy 0. [W tym zadaniu współczynnik wiodą-

cy danego wielomianu jest równy %.]

2. Zauważamy, że skoro mamy do czynienia w dwoma pierwiastkami, to delta musi

być większa od 0.

3. Zauważamy, że mnożąc dwa pierwiastki większe od 0, dostaniemy liczbę dodatnią.

4. Zauważamy, że mnożąc dwa pierwiastki mniejsze od 0, dostaniemy również liczbę

dodatnią.

5. Wysnuwamy wniosek, że w tym zadaniu, zawsze �� ∙ �� > 0.

6. Zapisujemy symbolicznie to, co zauważyliśmy w punktach: 1, 2, 5:

&% ≠ 0

∆> 0 �� ∙ �� > 0

$

i jako rozwiązanie bierzemy część wspólną wszystkich powyższych trzech nierówno-


ści. Zauważmy, że ostatnią nierówność wyliczamy bezpośrednio ze wzoru Viète’a

(strona 49) tj. dzieląc wyraz wolny danego wielomianu przez jego współczynnik wio-

dący.

Patrząc na powyższe schematy rozwiązywania zadania sposobem pierwszym i drugim, odnosimy wraże-

nie, że sposób drugi jest dłuższy. Tymczasem przystępując do obliczeń okaże się, że jest on dużo szybszy

od sposobu pierwszego. Rozwiążmy więc to zadanie sposobem drugim.

Rozwiązanie:

1� ≠ 0 ∆> 0 �� ∙ �� > 0

. ⟺ K� ≠ 0 �3�� − 4� ∙ �−2� > 0−2� > 0

. ⟺ 1� ≠ 0 9�� + 8� > 0� < 0

. ⟺ 1� ≠ 0 ��9� + 8� > 0� < 0

⟺.

⟺

LMMNMMO� ∈ �−∞; 0� ∪ �0; ∞� ��

�V�

� ∈ '−∞; −� ( ∪ �0; ∞� ��

�- C*)EG-.,( .7�D(E1C-D-A*/, * .B*DB( ��9�� ∈ �−∞; 0� ��

�R�

. ⟺ � ∈ '−∞; −� ( ��

2Bęść .ECó/�- *GDB7+-�72WCDB()B,-łó. /,2BA*.72W

.

Jeśli w myślach nie widać, jaki przedział jest częścią wspólną otrzymanych przedziałów liczbowych, należy

narysować sobie oś liczbową, zaznaczyć na niej wszystkie otrzymane przedziały liczbowe i odczytać poszu-

kiwany przedział liczbowy.

Odpowiedź: Wielomian �� + 3�� − 2 ma dwa pierwiastki tych samych znaków, tylko wtedy, gdy � ∈ �−∞; −��.

Uwagi do powyższego zadania:

– W trakcie obliczeń pojawiła się nierówność 9�� + 8� > 0 którą rozwiązaliśmy wyciągają wspólny czynnik przed

nawias. Gdybyśmy go jednak nie wyciągali przed nawias, a zdecydowali się policzyć deltę, to nie moglibyśmy jej

oznaczyć symbolem ∆, gdyż symbol ten został już użyty do policzenia delty dla wielomianu z treści zadania.

W tym przypadku należałoby posłużyć się symbolem np. ∆k lub ∆1.

Ćwiczenie: Dla jakich wartości parametru �, wielomian �� + 3�� − 2 ma dwa pierwiastki różnych znaków?

Ćwiczenie: Dla jakich wartości parametru �, wielomian �� + 3�� − 2 ma dokładnie jeden pierwiastek? [Podpo-

wiedź. Jaką liczbą nie może być współczynnik wiodący tego wielomianu? Ile musi wynosić delta? Jak zmieni się dany wielomian, jeśli jego współczynnik

wiodący będzie równy 0?]

Ćwiczenie: Dla jakich wartości parametru �, wielomian �� + 3�� − 2 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni? [Podpowiedź. Jaki związek ma pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli z poszukiwanym pierwiastkiem? Jak zmieni się dany wielomian, jeśli jego

współczynnik wiodący będzie równy 0?]

Ćwiczenie: Dla jakich wartości parametru �, wielomian �� + 3�� − 2 ma dokładnie jeden pierwiastek ujemny?

Ćwiczenie: Dla jakich wartości parametru �, wielomian �� + 3�� − 2 nie ma żadnego pierwiastka? [Podpowiedź: Jeśli

współczynnik wiodący tego wielomianu jest różny od 0, to jaka musi być delta? Jak zmieni się dany wielomian, jeśli jego współczynnik wiodący będzie

równy 0?]


Zadanie: Wykonaj dzielenie pisemne wielomianu 4&�� − 8�� + &� + 1 przez wielomian � −��.

4&�� + �2& − 8��%+��&�

+ �2& − 4��(+��)

4&�� − 8�� + &� + 1 : ��. − ��)

−4&�� + 2&��

= �−8 + 2&�� + &� −�−8 + 2&�� + �& − 4��

�2& − 4�� + 1 − �2& − 4�� + (& − 2)

= & − 1

�+��9+�9�

��

= 4&�� + �2& − 8�� + �2& − 4� ++��

�

.

Zadanie: Wykonaj dzielenie wielomianu 4&�� − 8�� + &� + 1 przez wielomian � −�� schematem Hornera.

Rozwiązanie:

4& −8 & 1

1

2 4&

2& − 8 ��(+��)

2& − 4 ��(+��)

& − 1

�+��9+�9�

��

= 4&�� + �2& − 8�� + �2& − 4� ++��

�

.

Zadanie: Określ ile musi wynosić � aby wielomian �� = �2� − 1�� − 3�(� − 1) był równy wielomianowi �� = �� − � + 1.

Aby porównać dwa wielomiany, należy znać wszystkie współczynniki każdego z tych wielomianów. Po-nieważ współczynniki wielomianu �(�) są już znane: �, −1, 1, pozostaje więc tylko pozbyć się nawiasów w pierwszym wielomianie. W tym celu posłużę się wzorem skróconego mnożenia3:

(� − )� = �� − 2� + �

Rozwiązanie:

�� = 4�� − 4� + 1 ��%��&�

−3�� + 3� ��%��&

= 1�� − � + 1.

Porównując wielomiany �(�) i �(�) w postaci beznawiasowej, mam, że:

�� = 1�� − � + 1 �� = �� − � + 1

Wniosek: � = 1.

Odpowiedź. Aby wielomiany �� i �(�) były równe, współczynnik � wielomianu �(�) musi być równy 1.

Udzielanie odpowiedzi do powyższego zadania jest zbędne, bo w treści zadania nie było zadanego pytania.

3 Zmienna � użyta w tym wzorze skróconego mnożenia, nie ma nic wspólnego ze współczynnikiem wielomianu �� oznaczonym taką

samą literką. Aby nie było nieporozumień, w takich wyjątkowych sytuacjach zaleca się zmienianie oznaczeń we wzorach, które mogą

prowadzić do błędnej interpretacji zastosowanego oznaczenia. Oznacza to, że w tym przypadku, wzór skróconego mnożenia powinien

być zapisany w następujący sposób: �� − �� = �� − 2�� + ��.


Ćwiczenie: Ustal, dla jakich wartości współczynników @, A, 4 wielomian �� = �� + @�� + A�� + 4� + 1 jest

równy wielomianowi �� = (�� − 2�)(�� + 2�) + 1. [Podpowiedź. W wielomianie '(�) pozbądź się nawiasów (wymnóż je),

dokonaj redukcji wyrazów podobnych i porównaj otrzymane współczynniki wielomianu '(�) w postaci beznawiasowej z odpowiednimi współczynnikami

wielomianu �(�). Odp.: ( = 0, ) = −4, * = 0.]


Temat: Nierówności wielomianowe.

W nierównościach wielomianowych chodzi o to, że musimy znaleźć wszystkie liczby które spełniają daną nierów-ność. Weźmy przykładowo wielomian �� = � + 3 i obliczmy dla jakich � przyjmuje on wartości większe od 7.

To co chcemy policzyć najpierw zapisujemy symbolicznie:

�� .-DG*ść.,(/*+.

> 7

Ponieważ z treści zadania wiemy, że �(�) jest równe � + 3, więc do powyższej nierówności zamiast �(�) piszemy � + 3. Mamy więc:

� + 3 > 7 � > 7 − 3 � > 4

Otrzymaliśmy więc, że dla � > 4 wielomian �� = � + 3 przyjmuje wartości większe od 7.

Spróbujmy teraz zrobić w zasadzie to samo, ale z wielomianem wyższego stopnia. Weźmy przykładowo wielomian stopnia 6-stego: �� = �� − 3�� − 3�� + 2�� − 5�� − 5�(� − 5) i spróbujmy obliczyć dla jakich � przyjmuje on wartości ujemne, czyli mniejsze od 0. Nie wymnażajmy jednak zawartości nawiasów przez siebie, bo tylko utrud-nimy sobie obliczenia. Postać iloczynowa, czyli ta w której jest już zapisany ten wielomian, jest bardzo wygodna do ustalania tego, kiedy wartość wielomianu jest większa lub mniejsza od 0. Mając postać iloczynową, wystarczy tylko rozwiązać równanie �� = 0 i posłużyć się tzw. „metodą węża”. Zatem:

�� = 0 ⟺ � = 3 ��C,(D.,-EG(�

C-DB7EG*�D*G�7

lub � = −2 ��C,(D.,-EG(�

�,(C-DB7EG*�D*G�7

lub � = 5 ��C,(D.,-EG(�

�,(C-DB7EG*�D*G�7

Metoda węża polega na tym, że najpierw rysujemy sobie oś liczbową bez zaznaczania odcinka jednostkowego i za-znaczamy na niej tylko wyliczone pierwiastki równania �� = 0. Oś tę nazywamy �, bo wielomian który rozpatru-jemy ma zmienną �.

Następnie ustalamy, czy współczynnik wiodący wielomianu �(�) jest mniejszy czy większy od 0. Jeśli jest on więk-szy od 0, to rysowanie węża rozpoczniemy nad osią liczbową, w przeciwnym razie pod osią. Węża zawsze rysujemy od strony prawej do lewej, ale rozwiązanie jakie nam wyjdzie, będziemy odczytywać normalnie tj. od strony lewej do prawej.

Mając już narysowaną oś liczbową z zaznaczonymi schematycznie pierwiastkami równania �� = 0 przystępuje-my do rysowania linii ciągłej (bez odrywania ręki) od strony prawej do lewej. Linię tę zaczynamy rysować w tym przypadku znad osi liczbowej, bo współczynnik wielomianu �� jest większy od 0, i ciągniemy ją do najbliższego pierwiastka równania �� = 0, czyli w tym przypadku do liczby 5.


Nie odrywając ręki przystępujemy do sprawdzenia tego, czy � = 5 jest pierwiastkiem parzysto- czy nieparzystokrot-nym danego wielomianu �(�). Jeśli stwierdzimy, że jest to pierwiastek nieparzystokrotny, to węża przeciągamy na drugą stronę osi. Jeśli pierwiastek ten jest parzystokrotny, to węża odbijamy od osi pozostawiając go po tej stronie osi po której był. W przypadku tego wielomianu �(�), jego pierwiastek � = 5 jest nieparzystokrotny, więc węża przeciągamy na drugą stronę osi i ciągniemy go do najbliższego pierwiastka równania �� = 0, czyli do liczby 3.

Jesteśmy teraz przy pierwiastku � = 3. Sprawdzamy więc, czy ten pierwiastek jest parzystokrotny czy nieparzysto-krotny i postępujemy zgodnie z tym, co zostało napisane wcześniej. Ponieważ jest on parzystokrotny, więc węża od-bijamy od osi i ciągniemy bez odrywania ręki do następnego wyliczonego pierwiastka.

Teraz stwierdzamy, że pierwiastek � = −2 jest nieparzystokrotny, więc węża przeciągamy na drugą stronę osi. Po-nieważ wielomian �(�) nie ma więcej pierwiastków, więc rysowanie węża kończymy w tym przypadku nad osią.

Pozostaje już tylko ustalić dla jakich � wielomian �� < 0, a dla jakich większy od 0. Robimy to odczytując dla ja-kich � narysowany wąż jest nad osią, a dla jakich � jest pod osią. Z poniższego rysunku widzimy, że:

�� > 0 ⟺ � ∈ �−∞; −2� ∪ �5; ∞� �� < 0 ⟺ � ∈ �−2; 3� ∪ (3; 5)

Aby odpowiedzieć na pytanie „Dla jakich �, wielomian �(�) przyjmuje wartości dodatnie (większe od 0), a dla ja-kich ujemne (mniejsze od 0)?”, zaleca się rozwiązać równanie �� = 0 i w oparciu o wyliczone pierwiastki tego równania, narysować poprawnie węża.

Równanie �� = 0 rozwiązuje się dość łatwo, jeśli najpierw wielomian �(�) zapiszemy w postaci iloczynowej, czyli gdy dokonamy jego rozkładu na czynniki nierozkładalne. Metody rozkładu wielomianu na czynniki nierozkła-dalne znajdują się na stronie 25.

W przypadku gdy wielomian �(�) jest stopnia drugiego, to równanie �� = 0 można szybko rozwiązać w oparciu o tzw. deltę, czyli bez zapisywania wielomianu �(�) w postaci iloczynowej.


Zadanie: Dla jakich �, wielomian �� = −3�� + 2� + 5 przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne?

Najpierw obliczamy kiedy �� = 0, a następnie rysujemy węża i odczytujemy dla jakich � jest on pod lub nad osią.

Rozwiązanie:

�� = 0 ⟺ −3�� + 2� + 5 ��∆#��, √∆#�

= 0 ⟺ 1�� =5

3 — pierwiastek nieparzystokrotny�� = −1 — pierwiastek nieparzystokrotny

.

Odpowiedź: �� > 0 ⟺ � ∈ '−1;�(. �� < 0 ⟺ � ∈ �−∞; −1� ∪ '� ; ∞(.

W przypadku gdy wielomian �(�) jest stopnia pierwszego, to ustalanie kiedy �� > 0, a kiedy �� < 0 można wykonać dokładnie w taki sposób, jaki został zaprezentowany na samym początku tego tematu, z tą tylko różnicą, że tam ustalaliśmy kiedy �� > 7. Zastosowanie metody węża jest również poprawne.

Zadanie: Dla jakich �, wielomian �� = −4� + 3 przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne?

Rozwiązanie:

�� = 0

−4� + 3 = 0

3 = 4� /: 4

3

4= �

�� > 0 ⟺ � ∈ '−∞;��(.

�� < 0 ⟺ � ∈ '�� ; ∞(.

�� > 0

−4� + 3 > 0

3 > 4� /: 4

3

4> �

� <3

4

�� > 0 ⟺ � <3

4

�� < 0

−4� + 3 < 0

3 < 4� /: 4

3

4< �

� >3

4

�� < 0 ⟺ � >3

4

Odpowiedź: �� > 0 ⟺ � <��, zaś �� < 0 ⟺ � >

��.

Jak widać, dla wielomianu stopnia pierwszego, metoda węża okazała się nieco wolniejsza w rozwiązywaniu tego ty-pu zadania, ale niewątpliwie dała również poprawny wynik.

Wniosek: Metoda węża jest poprawna dla każdego wielomianu, niezależnie od tego ile wynosi jego stopień.

Jeśli chcemy ustalić kiedy wielomian stopnia większego niż 1, jest większy lub mniejszy od wskazanej liczby, np. od 19, to należy tę liczbę (w tym przypadku 19) przenieść na drugą stronę nierówności i rozłożyć nowootrzymany wie-lomian na czynniki nierozkładalne, na podstawie których odczytamy pierwiastki tego nowego wielomianu.


Zadanie: Dla jakich �, wielomian �� = −4�� + � − 3 przyjmuje wartości mniejsze od −8?

Najpierw obliczamy dla jakich �, dany wielomian jest równy −8, a następnie na podstawie metody węża odczytujemy dla jakich � jest on większy lub mniejszy od 0.

Rozwiązanie:

�� = −8

−4�� + � − 3 = −8

−4�� + � − 3 + 8 = 0

−4�� + � + 5 ��∆#��, √∆#

= 0

1�� = −5

4 — pierwiastek nieparzystokrotny�� = −1 — pierwiastek nieparzystokrotny

.

Odpowiedź: �� < −8 ⟺ � ∈ '−∞; −�( ∪ �−1; ∞�.

Zadanie: Dla jakich �, wielomian �� = �3� + 1��2 + 5�� przyjmuje wartości ujemne?

Najpierw obliczamy dla jakich �, dany wielomian jest równy 0, a następnie na podstawie metody węża odczytujemy dla jakich � narysowany wąż jest pod osią.

Rozwiązanie:

Współczynnik wiodący wielomianu �� jest równy 15, więc jest on większy od 0. Ponieważ między na-wiasami jest mnożenie, wiec wielomian �� = 0 tylko wtedy, gdy zawartość pierwszego nawiasu jest równa 0 lub zawartość drugiego nawiasu jest równa 0. Zatem:

�� = 0 ⟺ 3� + 1 = 0 ��#��

lub 2 + 5� = 0 ��#��

⟺ 3� = −1 lub 5� = −2 ⟺ K�� = −1

3 — @.�< @.

�� = −2

5 — @. @�4�.

.

Odpowiedź: �� < 0 ⟺ � ∈ '−∞; −�( ∪ '−

� ; −

��(.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = 5� + 2.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = −6� + 1.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = −2�� + 5� − 1.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = 3�� − 2.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > −2 oraz �� < −2, jeśli wiesz, że �� = �� − 10.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = �� − 3�� − 3�(� + 2).


Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = �� − 4�� + 5��.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = �3 − ��2 − ��(1 − �).

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = �3� − 2��2� − 1��.

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = �5� − 3��3� − 5�(2� − 1,2).

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� > 0 oraz �� < 0, jeśli wiesz, że �� = �4 − 3��5� + 1�� .

Ćwiczenie: Rozwiąż nierówność: �� ≤ 0 jeśli wiesz, że �� = �4 − 2��3� + 1��.


Temat: Składanie wielomianów jednej zmiennej.

Składanie wielomianów polega na tym, że zamiast zmiennej jednego wielomianu piszemy cały drugi wielomian. In-nymi słowy jeśli mamy dwa wielomiany: �(�) i �(�), to złożeniem wielomianu �(�) z wielomianem �(�) jest no-wy wielomian: �(��). Gdybyśmy składali wielomian �(�) z wielomianem �(�), to otrzymalibyśmy wielomian �(��).

Zamiast pisać �� można również pisać �� ∘ �(�) lub �� ∘ ��(�).

Zamiast pisać �� można również pisać �� ∘ �(�) lub �� ∘ ��(�).

Uwaga: Jeśli �(�) ≠ �(�), to:

�� ∘ ��(�) ≠ �� ∘ ��(�)

Uwaga: Jeśli �� = �(�), to:

�� ∘ �� = �� ∘ ��(�)

Zadanie: Dane są dwa wielomiany: �� = 3� + 5 oraz �� = �� + 2. Jaką postać ma wielomian będący złoże-niem wielomianu �(�) z �(�) oraz �� z �(�)?

Rozwiązanie:

�� ∘ �� = �� = 3�� + 2� + 5 = 3�� + 6 + 5 = 3�� + 11. �� ∘ �� = �� = �3� + 5�� + 2 = 9�� + 30� + 25 + 2 = 9�� + 30 + 27.

Odpowiedź: �� ∘ �� = 3�� + 11, zaś �� ∘ �� = 9�� + 30 + 27.

Wniosek: Składanie wielomianów nie jest przemienne. Uwaga: W matematyce dopuszcza się złożenie danego wielomianu z samym sobą.

Jeśli wielomian �� = 4� − 1, to �� ∘ �� = �� = 4�4� − 1� − 1 = 16� − 4 − 1 = 16� − 5.

Ćwiczenie: Wykonaj złożenie wielomianu �(�) z samym sobą, wiedząc, że �� = 3��.

Ćwiczenie: Wykonaj złożenie wielomianu �(�) z samym sobą, wiedząc, że �� = 4�� + 1. [Podpowiedź. Posłuż się wzo-

rem skróconego mnożenia.]

Ćwiczenie: Wykonaj złożenie �� ∘ �� wiedząc, że �� = 2� − 3, zaś �� = 3�� + 1. [Podpowiedź. Posłuż się wzo-

rem skróconego mnożenia.]


Temat: Funkcja wielomianowa — podstawowe informacje.

Na początek zapoznajmy się z pojęciem funkcji.

Funkcja — przekształcenie4 wyrażające związek między dwiema lub więcej wielkościami.

Funkcję jednej zmiennej oznacza się zazwyczaj H(�), dwóch zmiennych H(�, �), trzech zmiennych H(�, �, �) itd. Lite-ry które znajdują się w nawiasie oznaczają zmienne tej funkcji. Funkcję dwóch lub więcej zmiennych nazywamy funkcją wielu zmiennych.

Funkcja określona wzorem H�� = 3� + 4� jest funkcją jednej zmiennej, a nie jak mogłoby się wydawać dwóch zmiennych — w nawiasie jest tylko �. Oznacza to, że literkę � należy w przypadku tej funkcji traktować w myślach tak, jakby to była liczba odgórnie dana (np. przez autora zadania).

Wniosek: Aby rozstrzygnąć ile zmiennych ma funkcja, nie wolno patrzeć na literki z prawej strony znaku równości.

W przypadku funkcji jednej zmiennej, zamiast oznaczenia H�� można stosować samą literkę �. Zatem zapisy:

H�� = 3� + 5, � = 3� + 5

są równoważne.

Funkcja wielomianowa — funkcja która po jednej ze stron znaku równości (najczęściej po prawej stronie) ma wie-lomian.

W przypadku funkcji wielomianowych, zamiast H(�) używa się zapisu �(�). Użycie zapisu H(�) do określenia wzoru funkcji wielomianowej, jest również poprawne.

�� = ��'()�*+,-�

+ �'()�*+,-�+ ��'()�*+,-� ��

.,(/*+,-� ��01��2'- .,(/*+,-�*.-

Dziedziną funkcji wielomianowej jest zawsze5 zbiór liczb rzeczywistych

6.

Wykresem funkcji wielomianowej jest zawsze krzywa, którą można narysować bez odrywania ręki — precyzyjniej mówimy, że funkcja wielomianowa jest ciągła w całej swojej dziedzinie. Zwróćmy jednak jeszcze uwagę na to, że wykres funkcji liniowej jest także wykresem funkcji wielomianowej, a to oznacza, że w ujęciu matematyki prosta to szczególny przypadek krzywej — fachowo mówimy, że prosta to zdegenerowana krzywa.

Miejsce zerowe funkcji wielomianowej — każda z liczb, którą do tej pory nazywaliśmy pierwiastkiem wielomianu. Innymi słowy jest to taki argument �, dla którego �� = 0.

Geometrycznie, miejsce zerowe funkcji wielomianowej, to pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu danej funkcji z poziomą osią układu współrzędnych. Jeśli takich punktów przecięć jest np. 5, to dana funkcja wielomiano-wa ma dokładnie 5 miejsc zerowych, a wielomian za pomocą którego jest określona jest co najmniej stopnia 5-tego.

4 Zamiast słowa przekształcenie można użyć słowa odwzorowanie.

5 Dziedziną funkcji wielomianowej może być nadzbiór zbioru liczb rzeczywistych, tj. zbiór liczb zespolonych, ale rozpatrywanie wielomianów o takiej dziedzinie, wykracza

poza program liceum. W związku z tym, w opracowaniu tym mówimy tylko o tych funkcjach wielomianowych, których dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. 6 Zbiór liczb rzeczywistych fachowo oznacza się symbolem ℜ lub ℝ, a nie R. Ponieważ na lekcjach matematyki do klasy maturalnej włącznie, mówi się tylko o zbiorach licz-

bowych, więc uznaje się symbol: R jako poprawny.


Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji wielomianowej o zmiennej �, należy rozwiązać równanie �� = 0.

Aby rozstrzygnąć dla jakich argumentów funkcja wielomianowa �(�) jest mniejsza lub większa od wskazanej liczby �, należy rozwiązać równanie �� − � = 0 i posłużyć się metodą węża (strona 67).

Aby rozstrzygnąć dla jakich argumentów funkcja wielomianowa �(�) jest rosnąca lub malejąca, należy rozwiązać równanie �T�� = 0 i także posłużyć się metodą węża (strona 67).

[Argumenty dla których dana funkcja rośnie lub maleje, nazywamy monotonicznością funkcji.]

Aby znaleźć ekstrema lokalne funkcji wielomianowej �(�), należy rozwiązać równanie �T�� = 0 i na podstawie węża odczytać, dla jakich argumentów następuje zmiana znaku z + na – oraz z – na +. Jeśli znajdziemy taki argument w którym �T�� zmienia znak z + na –, to dla tego argumentu funkcja wielomianowa �(�) ma maksimum lokalne. Jeśli znajdziemy taki argument w którym �T�� zmienia znak z – na +, to dla tego argumentu funkcja wielomianowa �(�) ma minimum lokalne.

Aby znaleźć pierwsze współrzędne punktów przegięcia, należy rozwiązać równanie �T′�� = 0 i na podstawie me-tody węża (strona 67) odczytać jaki znak ma �T′�� w zadanym przedziale liczbowym i dodatkowo skonfrontować go ze znakiem pierwszej pochodnej danego wielomianu dla tego argumentu.

Funkcje wielomianowe szczegółowo zostaną omówione w osobnym opracowaniu.

Documents

Wielomiany - matematyka w liceum i technikum. Download ten