WHY TEACH MATHEMATICS?

Paul Ernest

University of Exeter, United Kingdom

Why teach mathematics? What are the purposes, goals, justifications and reasons for teaching mathematics? How can current mathematical teaching plans and practices be justified? What might be the rationale for reformed, future or possible approaches for mathematics teaching? What should be the reason for teaching mathematics, if it is to be taught at all? These questions begin to indicate the scope of what Niss (1996) has termed the ‘justification problem’ for mathematics teaching.

Before discussing the aims of teaching mathematics there are three theses that I wish to assert as having an important bearing on this discussion. These concern, first of all, the lack of uniqueness and multiplicity of school mathematics; second, the current overestimation of the utility of academic mathematics; third, the socially and societally embedded nature of the aims of teaching and learning of mathematics. Acknowledging these claims means that the discursive space to be occupied differs from that in many traditional discussions of the aims of mathematics education.

The multiplicity of school mathematicsFirst of all I want to argue that school mathematics is neither uniquely defined nor value-free and culture-free. School mathematics is not the same as academic or research mathematics, but a recontextualised selection from the parent discipline, which itself is a multiplicity (Davis and Hersh 1980). Some of the content of school mathematics has no place in the discipline proper but is drawn from the history and popular practices of mathematics, such as the study of percentages (Ernest 1986). Which parts are selected and what values and purposes underpin that selection and the way it is structured must materially determine the nature of school mathematics. Further changes are brought about by choices about how school mathematics should be sequenced, taught and assessed. Thus the nature of school mathematics is to a greater or lesser extent open, and consequently the justification problem must accommodate this diversity. So the justification problem should address not only the rationale for the teaching and learning of mathematics, but also for the selection of what mathematics should be taught and how, as these questions are inseparable from the problem.

The utility of academic mathematics is overestimatedSecond, I wish to argue that the utility of academic and school mathematics in the modern world is greatly overestimated, and the utilitarian argument provides a poor justification for the universal teaching of the subject throughout the years of compulsory schooling. Thus although it is widely assumed that academic mathematics drives the social applications of mathematics in such areas as education, government, commerce and industry, this is an inversion of history. Five thousand years ago in ancient Mesopotamia it was the rulers’ need

for scribes to tax and regulate commerce that led to the setting up of scribal schools in which mathematical methods and problems were systematised. This led to the founding of the academic discipline of mathematics.

the creation of mathematics in Sumer was specifically a product of that school institution which was able to create knowledge, to create the tools whereby to formulate and transmit knowledge, and to systematize knowledge. (Høyrup 1987: 45)

Since this origin, pure mathematics has emerged and has sometimes been internally driven, either within this tradition (such as scribal problem posing and solving in Mesopotamia and Ancient Egypt) or outside of it (such as the Ancient Greeks’ separation of pure geometry explored by philosophers from practical ‘logistic’). Nevertheless, practical mathematics has maintained a continuous and a vitally important life outside of the academy, in the worlds of government, administration and commerce. Even today the highly mathematical studies of accountancy, actuarial studies, management science and information technology applications are mostly undertaken within professional or commercial institutions outside of the academy and with little immediate input from academic mathematics.

However the received view is that academic mathematics drives its more commercial, practical or popular ‘applications’. This ignores the fact that a two way formative dialectical relationship exists between mathematics as practised within and without the academy. For example, overweight and underweight bales of goods are understood to have given rise to the plus and minus signs in medieval Italy. However it was the acceptance of negative roots to equations in renaissance Italy that finally forced the recognition of the negative integers as numbers. 

The mathematization of modern society and modern life has been growing exponentially, so that by now virtually the whole range of human activities and institutions are conceptualised and regulated numerically, including sport, popular media, health, education, government, politics, business, commercial production, and science. Many aspects of modern society are regulated by deeply embedded complex numerical and algebraic systems, such as supermarket checkout tills with automated bill production, stock control; tax systems; welfare benefit systems; industrial, agricultural and educational subsidy systems; voting systems; stock market systems. These automated systems carry out complex tasks of information capture, policy implementation and resource allocation. Niss (1983) named this the ‘formatting power’ of mathematics and Skovsmose (1994) terms the systems involved, which are embedded in social practices, the ‘realised abstractions’. The point is that complex mathematics is used to regulate many aspects of our lives; our finances, banking and bank accounts, with very little human scrutiny and intervention, once the systems are in place.

Furthermore, individuals’ conceptualisations of their lives and the world about them is through a highly quantified framework. The requirement for efficient workers and employees to regulate material production profitably necessitated the structuring and control of space and time (Taylor 1911) and for workers’ self-identities to be constructed and constituted through this structured space-time-economics frame (Foucault 1976). We understand our lives through the conceptual meshes of the clock, calendar, working timetables, travel planning and timetables, finances and currencies, insurance, pensions, tax, measurements of weight, length, area and volume, graphical and geometric representations, etc. This positions individuals as regulated subjects and workers in an information controlling society/state, as consumers in post-modern consumerist society, and as beings in a quantified universe.

In the era of late- or post-modernism a new mathematics-related ontology or ‘root metaphor’ (Pepper 1948), has become dominant in the perceptions of the public and powerful in society. In particular, my claim is that the accountant’s balance-sheet and the world of finance has come to be seen as representing the ultimate reality. Although elements of such a social critique are well anticipated in Critical Theory (e.g., Marcuse 1964, Young 1979), this perspective has not so often been turned around and used to critique mathematics itself.

My claim is that the overt role of academic mathematics – that which we recognise as mathematics per se – in this state of affairs is overplayed. It is management science, information technology applications, accountancy, actuarial studies and economics that are the source for and inform this massive mathematization on the social scale.

This has important consequences for the justification problem, for it means that although there is undoubtedly an information revolution taking place, increased mathematical knowledge is not needed by most of the population to cope with their new roles as regulated subjects, workers and consumers. More mathematics skills beyond the basic are not needed among the general populace in industrialised societies to ‘cope’ with these changes, if to ‘cope’ means, as here, to serve rather than to critically master, which is discussed below. Thus national success in international studies of mathematical achievement is not the creator of economic success, unless having compliant subjects and consumers is what is needed. There is of course a need for a small elite who control the information systems and mechanisms, and a group of specialist technicians to service or programme them. These need to be present in all industrialised societies. But this group represent a tiny minority within society and their very special needs should not determine the goals of mathematics education for all. In addition, if this analysis is correct, it is not academic mathematics which is so very useful and needed for the information revolution. It is instead a collection of technical mathematised subjects and practices which are largely institutionalised and taught – or acquired in practice – outside of the academy.

In summary, my claim is that higher mathematical knowledge and competence, i.e., beyond the level of numeracy achieved at primary or elementary school, is not needed by the majority of the populace to ensure the economic success of modern industrialised society. Although other justifications for school mathematics can be given, and indeed will be given below, the traditional utilitarian argument is no longer valid. Most of the public do not need advanced mathematical understanding for economic reasons, and the minority who do apply mathematics acquire much of their useful knowledge in institutions outside of academia or schooling. This has been termed the ‘relevance paradox’, because of the “simultaneous objective relevance and subjective irrelevance of mathematics” in society (Niss 1994: 371). Society is ever increasingly mathematised, but this operates at a level invisible to most of its members.    

The aims of teaching mathematics are socially and societally embeddedThirdly I want to claim that the aims of mathematics teaching cannot be meaningfully considered in isolation from their social context. Aims are expressions of intent, and intentions belong to groups or individuals. Educational aims are thus the expression of the values, interests, and even the ideologies of certain individuals or groups. Furthermore the

interests and ideologies of some such groups are in conflict. Elsewhere, building on Raymond Williams’ (1961) seminal analysis, I distinguish five interest groups in the history of educational and social thought in Britain and show that each has distinct aims for mathematics education and different views of the nature of mathematics (Ernest 1991). These groups and their aims are summarised in Table I.

Table I: Five interest groups and their aims for mathematics teaching

INTEREST GROUP

SOCIAL LOCATION MATHEMATICAL AIMS

1. Industrial Trainers

Radical 'New Right' conservative politicians and petty bourgeois

Acquiring basic mathematical skills and numeracy and social training in obedience (authoritarian, basic skills centred)

2. Technological Pragmatists

meritocratic industry-centred industrialists, managers, etc., New Labour

Learning basic skills and learning to solve practical problems with mathematics and information technology (industry and work centred)

3. Old Humanist Mathematicians

conservative mathematicians preserving rigour of proof and purity of mathematics

Understanding and capability in advanced mathematics, with some appreciation of mathematics (pure mathematics centred)

4. Progressive Educators

Professionals, liberal educators, welfare state supporters

Gaining confidence, creativity and self expression through maths (child-centred progressivist)

5. Public Educators

Democratic socialists and radical reformers concerned with social justice and inequality

Empowerment of learners as critical and mathematically literate citizens in society (empowerment and social justice concerns)

These different social groups were engaged in a contest over the National Curriculum in mathematics, since the late 1980s (Brown 1996). In brief, the first three more reactionary groups managed to win a place for their aims in the curriculum. The fourth group (progressive educators) reconciled themselves with the inclusion of a personal knowledge-application dimension, namely the processes of ‘Using and Applying mathematics’, constituting one of the National Curriculum attainment targets. However instead of representing progressive self-realisation aims through mathematics this component embodies utilitarian aims: the practical skills of being able to apply mathematics to solve work-related problems with mathematics. Despite this concession over the nature of the process element included in the curriculum, the scope of the element has been reduced over successive revisions and is currently being totally eliminated.

The Public Educators’ aim, concerning the development of critical citizenship and empowerment for social change and equality through mathematics, has played no part in the National Curriculum (and is absent from most other curriculum developments too). Thus although progressives see mathematics within the context of the individual’s experience, the notion that the individual is socially located in an unjust world in which citizens must play an active role in critiquing and righting wrongs plays no part.

The outcome of the historical contests and processes is that the National Curriculum may be said to serve three main purposes. First of all, much of the National Curriculum in mathematics is devoted to communicating numeracy and basic mathematical skills and knowledge across the range of mathematical topics comprising number, algebra, shape and space (geometry and measures), and handling data (incorporating information technology mathematics, probability and statistics).

Second, for advanced or high attaining students the understanding and use of these areas of mathematics at higher levels is included as a goal. Thus there is an initiation into a set of academic symbolic practices of mathematics for the few (e.g. General Certificate of Education advanced level studies for 16-18 year olds).

Third, there is (or rather was, as it is soon to be radically reduced) a practical, process strand running through the National Curriculum mathematics which is intended to develop the utilitarian skills of using and applying mathematics to ‘real world’ problems.

Each of these three outcomes is to a greater or lesser extent utilitarian, because they develop general or specialist mathematics skills and capabilities, which are either decontextualised – equipping the learner with useful tools – or which are applied to practical problems. The slant of this outcome comes as a surprise to no-one, because the whole thrust of the National Curriculum is recognised to be directed towards scientific and technological competence and capability. New Labour education policy has maintained this thrust.

Capability versus AppreciationIn technology education, curriculum theorists distinguish between developing technological capability, on the one hand, and appreciation or awareness, on the other (Jeffery 1988). In brief, technology capability consists of the knowledge and skills that are involved in planning and making artefacts and systems. Technology appreciation and awareness comprises the higher-level skills, knowledge and judgement necessary to evaluate the significance, import and value of technological artefacts and systems within their social, scientific, technological, environmental, economic and moral contexts.

An analogous distinction can be applied to mathematics which suggests the following question. Is school mathematics all about capability, i.e. 'doing', or could there be an appreciation element that was overlooked in the National Curriculum? There is a well-known view that ‘mathematics is not a spectator sport’, that is, it is about solving problems, performing algorithms and procedures, computing solutions, and so on. Except in the popular domain, or in the fields of social science or humanities which comment on mathematics as opposed to doing mathematics, nobody reads mathematics books, they work through them. Furthermore the language of both school and research mathematics are full of imperatives, ordering the reader to do something, rather than follow a narrative (Rotman 1993, Ernest 1998). Thus the capability dimension of mathematics, and of school mathematics in particular, is dominant and perhaps universal.

Of course if mathematics is to be given a major role in the curriculum, as it almost invariably is, some large capability element is necessary, for unquestionably knowledge of mathematics as a language and an instrument does require being able work and apply it. Furthermore, a minimal mathematical capability is essential, a sine qua non, for the development of

mathematical appreciation. But is capability enough on its own? Has any published curriculum addressed anything other, such as appreciation? Would the development of mathematical appreciation be a worthwhile and justifiable goal for school mathematics? If so, what is mathematical appreciation and how could appreciation be addressed?

The first issue that needs to be addressed is what the ‘appreciation of mathematics’ means. In my view, a provisional analysis of what the appreciation of mathematics understood broadly, might mean, involves the following elements of awareness:

1.      Having a qualitative understanding some of the big ideas of mathematics such as infinity, symmetry, structure, recursion, proof, chaos, randomness, etc.;

2.      Being able to understand the main branches and concepts of mathematics and having a sense of their interconnections, interdependencies, and the overall unity of mathematics;

3.      Understanding that there are multiple views of the nature of mathematics and that there is controversy over its philosophical foundations;

4.      Being aware of how and the extent to which mathematical thinking permeates everyday and shopfloor life and current affairs, even if it is not called mathematics;

5.      Critically understanding the uses of mathematics in society: to identify, interpret, evaluate and critique the mathematics embedded in social and political systems and claims, from advertisements to government and interest-group pronouncements;

6.      Being aware of the historical development of mathematics, the social contexts of the origins of mathematical concepts, symbolism, theories and problems;

7.      Having a sense of mathematics as a central element of culture, art and life, present and past, which permeates and underpins science, technology and all aspects of human culture.

In short, the appreciation of mathematics involves understanding and having an awareness of its nature and value, as well as understanding and being able to critique its social uses. The breadth of knowledge and understanding involved is potentially immense, but many learners leave school without ever having been exposed to, or thought about, several of these seven areas of appreciation. 

My purpose in contrasting capability and appreciation in mathematics is to draw attention to the neglect of the latter, both in theory and practice. To be a mathematically-literate citizen, able to critique the social uses of mathematics, which is the aim of the public educator position summarised above, would go part way towards realising mathematical appreciation, if it were implemented. However there would still be a further element lacking, even if this were to be achieved. This is the development of an appreciation of mathematics as an element of culture, and of the inner culture and nature of mathematics itself. Despite the love for mathematics felt by most mathematics teachers, educators and mathematicians, the fostering of mathematical appreciation, in this sense, as an aim of mathematical teaching, is not promoted. It might therefore be said that mathematics professionals both undervalue their subject and underestimate the ability of their students to appreciate it.

ConclusionTo summarise, four main aims for school mathematics have been discussed above.

1.  To reproduce mathematical skill and knowledge based capability

The typical traditional reproductive mathematics curriculum has focused exclusively on this first aim, comprising a narrow reading of mathematical capability. At the highest level, not always realised, the learner learns to answer questions posed by the teacher or text. As is argued elsewhere (Ernest 1991) this serves not only to reproduce mathematical knowledge and skills in the learner, but to reproduce the social order and social injustice as well.

2.  To develop creative capabilities in mathematics

The progressive mathematics teaching movement has added a second aim, to allow the learner to be creative and express herself in mathematics, via problem solving, investigational work, using a variety of representations, and so on. This allows the learner to pose mathematical questions, puzzles and problems, as well as to solve them. This notion adds the idea of creative personal development and the skills of mathematical questioning as a goal of schooling, but remains trapped in an individualistic ideology that fails to acknowledge the social and societal contexts of schooling, and thus tacitly endorses the social status quo.

3.  To develop empowering mathematical capabilities and a critical appreciation of the social applications and uses of mathematics

Critical mathematics education adds in a third aim, the empowerment of the learner through the development of critical mathematical literacy capabilities and the critical appreciation of the mathematics embedded in social and political contexts. Thus the empowered learner will not only be able to pose and solve mathematical questions, but also be able to address important questions relating to the broad range of social uses (and abuses) of mathematics. This is a radical perspective and set of aims concerned with both the political and social empowerment of the learner and with the promotion of social justice, and which is realised in mainstream school education almost nowhere. However, the focus in the appreciation element developed in this perspective is on the external social contexts of mathematics. Admittedly these may include the history of mathematics and its past and present cultural contexts, but these do not represent any full treatment of mathematical appreciation.

4.  To develop an inner appreciation of mathematics: its big ideas and nature

This fourth aim adds in further dimension of mathematical appreciation, namely the inner appreciation of mathematics, including the big ideas and nature of mathematics. The appreciation of mathematics as making a unique contribution to human culture with special concepts and a powerful aesthetic of its own, is an aim for school mathematics often neglected by mathematicians and users of mathematics alike. It is common for persons like these to emphasise capability at the expense of appreciation, and external applications at the expense of its inner nature and values. One mistake that may be made in this connection is the assumption that an inner appreciation of mathematics cannot be developed without capability. Thus, according to this assumption, the student cannot appreciate infinity, proof, catastrophe theory and chaos, for example, unless they have developed capability in these

high level mathematical topics, which is out of the question at school. The fourth aim questions this assumption and suggests that an inner appreciation of mathematics is not only possible but desirable to some degree for all students at school.

The justification problem in mathematics education is problematic, partly because any so-called solution can only be a partial set of arguments concerning the role of mathematics teaching and learning for a certain clientele (the learners), in certain countries, during a certain time-frame, satisfying the supporters of one or more viewpoints. Thus part of the problem is its shifting and relative nature. Another part of the problem is that mathematics is simultaneously undervalued and overvalued in modern western society. It is overvalued because first of all, its perceived utility is misunderstood to mean that all persons need maximal knowledge and skills in mathematics to function economically. However the mathematics underpinning the functioning of modern society is largely embedded and invisible. Secondly, mathematical attainment is mistakenly identified with intelligence and mental power and used to grade and select persons for various forms of work, including professional occupations as well as in terms of suitability for higher education. Because of this role, mathematics serves as a ‘critical filter’ and has been implicated in denying equal opportunities to many (Sells 1973).

Mathematics also is undervalued because most justifications in support of its continued central role in education are based on extrinsic arguments framed in terms of utility and instrumentality. As an intrinsically valuable area of human culture mathematics it is rich in intellectually challenging and exciting concepts including infinity, chaos, chance, etc. It is an imaginary realm and domain of knowledge with its own aesthetics and beauty. Mathematics also has a central part to play in philosophy, art, science, technology, information technology and the social sciences. Appreciation of this is surely part of every learner’s entitlement, while they are studying mathematics.

The mention of student entitlements raises an as yet unaddressed question. Should mathematics be taught throughout the years of compulsory schooling and should the same curriculum be followed by all?  Requiring learners to study mathematics throughout the years from age 5 to 16 years is less easy to justify if mathematics is not as useful as is often assumed. Furthermore, if it is an unhappy learning experience for almost half of the population as research suggests, should not learners themselves be given some say in the matter, perhaps after have acquired basic mathematical competency?   Should not the changing personal preferences, career interests and vocational development plans that emerge in students during adolescence be accommodated, by a differentiated mathematics curriculum or by allowing students to opt out altogether? If education is to contribute to the development of autonomous and mature citizens, able to fully participate in modern society, then it should allow elements of choice and self-determination. However, in the space available here I can only raise these crucial issues, rather than treating them thoroughly.

Finally, let me add a remark on the gap between the domain of discourse on aims and the practical domain in which the impact of educational practices is experienced. However noble, high-flown, or otherwise intentioned the aims of mathematics teaching may be, they need to be evaluated in the light of their impact on individuals and society. Any consideration of the mathematics curriculum requires that three levels must be considered (Robitaille and Garden 1989). These are the levels of first the intentional or planned curriculum, second that of the implemented or enacted curriculum, and third that of the learned curriculum including learner outcomes and gains (including affective responses). The extent to which goals of

mathematics education are implemented and realised in classroom practice is a major determinant of the nature of the mathematics teaching in classrooms. Teaching is an intentional activity and ideally there should be a strong relation between the expressed aims and the realised practices of mathematics education. Where this link fails to obtain there is an area of disequilibrium and inconsistency which creates stresses for teachers and students. Of course this can be reactionary in a site where traditional conceptions and practices subvert well justified curriculum plans. However it can also be a site of resistance where aims locally deemed unworthy or unpopular are subverted. This, once again, raises the issue of which group’s values and views are dominant in determining the aims of teaching mathematics, and who gains and who loses.

ReferencesBrown, M. (1996) The context of the research - the evolution of the National Curriculum for

mathematics. In D. C. Johnson and A. Millett (Eds.) Implementing the Mathematics National Curriculum: Policy, Politics and Practice. London: Paul Chapman Publishing Ltd., pp.1 - 28.

Davis, P. J. and Hersh, R. (1980) The Mathematical Experience, Boston: Birkhauser.Ernest, P. (1986) Social and Political Values, Mathematics Teaching, No. 116, 16-18.Ernest, P. (1991) The Philosophy of Mathematics Education. London: The Falmer Press.Ernest, P. (1998) Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics. Albany: New York:

SUNY Press. Foucault, M. (1976) Discipline and Punish, Harmondsworth, PenguinHøyrup, J. (1987) Influences of Institutionalized Mathematics Teaching on the Development

and Organisation of Mathematical Thought in the Pre-Modern Period. Bielefeld. In Fauvel, J. and Gray, J., Eds, The History of Mathematics: A Reader. London: Macmillan, 1987, 43-45.

Jeffery, J. (1988) Technology Across the Curriculum: A Discussion Paper. Unpublished paper, Exeter: University of Exeter School of Education.

Marcuse, H. (1964) One Dimensional Man. London: Routledge and Kegan Paul.Niss, M. (1983) Mathematics Education for the ‘Automatical Society’. In Schaper, R. Ed.

(1983) Hochschuldidaktik der Mathematik (Proceedings of a conference held at Kassel 4-6 October 1983). Alsbach-Bergstrasse, Germany: Leuchtturm-Verlag, 43-61.

Niss, M. (1994) Mathematics in Society. In Biehler, R., Scholz, R. W., Straesser, R., Winkelmann, B. Eds. (1994) The Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Dordrecht: Kluwer, 367-378.

Niss, M. (1996) Goals of Mathematics Teaching. In Bishop, A. J. Ed. The International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic, Volume 1, 11-47.

Pepper, S. C. (1948) World Hypotheses: A Study in Evidence. Berkeley, California: University of California Press.

Robitaille, D. F. and Garden, R. A. Eds (1989) The IEA Study of Mathematics II: Contexts and Outcomes of School Mathematics, Oxford: Pergamon.

Rotman, B. (1993) Ad Infinitum The Ghost in Turing's Machine: Taking God Out of Mathematics and Putting the Body Back in. Stanford California: Stanford University Press.

Sells, L. (1973) High school mathematics as the critical filter in the job market. Proceedings of the Conference on Minority Graduate Education, Berkeley: University of California, 37-49.

Skovsmose, O. (1994) Towards a Philosophy of Critical Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer.Taylor, F. W. (1911) The Principles of Scientific Management, London and New York.   Williams, R. (1961) The Long Revolution. London: Penguin Books.Young, R. M. (1979) Why are figures so significant? The role and the critique of

quantification. In Irvine, J.; Miles, I.; Evans, J. Eds. (1979) Demystifying Social Statistics. London: Pluto Press, 63-74.

 

 © P Ernest 2000 This chapter is published in “Why Learn Maths?”, edited by John White and Steve Bramall,

London: London University Institute of Education, 2000. 

MENGAPA MENGAJAR MATEMATIKA? Paul Ernest University of Exeter, Inggris Mengapa mengajar matematika? Apa tujuan, tujuan, justifikasi dan alasan untuk mengajar matematika? Bagaimana rencana pengajaran matematika dan praktik saat ini dibenarkan? Apa yang mungkin menjadi alasan untuk reformasi, pendekatan masa depan atau mungkin untuk mengajar matematika? Apa yang harus menjadi alasan untuk matematika mengajar, jika itu harus diajarkan pada semua? Pertanyaan-pertanyaan ini mulai menunjukkan ruang lingkup apa Niss (1996) telah diistilahkan sebagai 'masalah pembenaran' untuk mengajar matematika. Sebelum membahas tujuan pengajaran matematika ada tiga tesis yang saya ingin menegaskan sebagai memiliki bantalan penting pada diskusi ini. Keprihatinan ini, pertama-tama, kurangnya keunikan dan keragaman matematika sekolah; kedua, terlalu tinggi saat ini kegunaan matematika akademik; ketiga, sosial dan societally tertanam sifat tujuan pengajaran dan pembelajaran matematika. Mengakui klaim ini berarti bahwa ruang diskursif untuk ditempati berbeda dari yang dalam diskusi banyak tradisional tujuan pendidikan matematika. Banyaknya matematika sekolah Pertama-tama saya ingin berpendapat bahwa matematika sekolah adalah tidak unik didefinisikan atau bebas nilai dan budaya-bebas. matematika Sekolah tidak sama dengan matematika akademis atau penelitian, tetapi pilihan recontextualised dari disiplin orang tua, yang sendiri adalah multiplisitas (Davis dan Hersh 1980). Beberapa isi dari matematika sekolah tidak memiliki tempat dalam disiplin yang tepat tetapi diambil dari sejarah dan praktek populer matematika, seperti studi tentang persentase (Ernest 1986). Bagian mana yang dipilih dan apa nilai-nilai dan tujuan mendukung bahwa seleksi dan cara itu terstruktur material harus menentukan sifat matematika sekolah. perubahan lebih lanjut dibawa oleh pilihan tentang bagaimana matematika sekolah harus

diurutkan, diajarkan dan dinilai. Jadi sifat matematika sekolah adalah untuk tingkat yang lebih besar atau lebih kecil terbuka, dan akibatnya masalah pembenaran harus mengakomodasi keberagaman ini. Jadi masalah pembenaran harus alamat tidak hanya alasan untuk mengajar dan belajar matematika, tetapi juga untuk pemilihan apa matematika harus diajarkan dan bagaimana, karena pertanyaan tidak dapat dipisahkan dari masalah. Kegunaan matematika akademik berlebihan Kedua, saya ingin berpendapat bahwa kegunaan matematika akademik dan sekolah di dunia modern sangat berlebihan, dan argumen utilitarian memberikan pembenaran yang buruk untuk pengajaran universal subjek sepanjang tahun wajib belajar. Dengan demikian meskipun secara luas dianggap bahwa matematika akademik mendorong aplikasi sosial matematika di berbagai bidang seperti pendidikan, perdagangan pemerintah, dan industri, ini merupakan inversi sejarah. Lima ribu tahun yang lalu di Mesopotamia kuno itu adalah kebutuhan penguasa 'untuk ahli-ahli Taurat untuk pajak dan mengatur perdagangan yang menyebabkan pembentukan sekolah juru tulis di mana metode matematika dan masalah yang sistematis. Hal ini menyebabkan berdirinya disiplin akademis matematika. penciptaan matematika di Sumeria secara khusus produk dari lembaga sekolah yang mampu menciptakan pengetahuan, untuk menciptakan alat dimana untuk merumuskan dan mengirimkan pengetahuan, dan sistematisasi pengetahuan. (Høyrup 1987: 45) Sejak asal ini, matematika murni telah muncul dan kadang-kadang secara internal didorong, baik dalam tradisi ini (yaitu masalah penulisan berpose dan memecahkan di Mesopotamia dan Mesir Kuno) atau di luar itu (seperti pemisahan orang-orang Yunani Kuno 'geometri murni dieksplorasi oleh filsuf dari praktis 'logistik'). Namun demikian, matematika praktis telah mempertahankan terus menerus dan kehidupan yang sangat penting di luar akademi, di dunia pemerintahan, administrasi dan perdagangan. Bahkan saat ini studi yang sangat matematika akuntansi, studi aktuaria, ilmu manajemen dan aplikasi teknologi informasi yang sebagian besar dilakukan dalam lembaga-lembaga profesional atau komersial luar akademi dan dengan segera masukan sedikit dari matematika akademik. Namun pandangan yang diterima adalah bahwa matematika akademik hard disk lebih komersial, 'aplikasi' praktis atau populer. Hal ini mengabaikan fakta bahwa dua arah hubungan dialektis formatif ada antara matematika seperti yang dipraktekkan dalam maupun di luar akademi. Sebagai contoh, bal kelebihan berat badan dan gizi kurang dipahami barang telah memunculkan tanda-tanda plus dan minus di Italia abad pertengahan. Namun itu adalah penerimaan akar negatif terhadap persamaan dalam kebangkitan kembali Italia yang akhirnya memaksa pengakuan dari bilangan bulat negatif sebagai angka. The mathematization kehidupan masyarakat dan modern modern telah berkembang pesat, sehingga sekarang hampir seluruh jajaran aktivitas manusia dan lembaga yang dikonseptualisasikan dan diatur secara numerik, termasuk olahraga, media populer, kesehatan, pendidikan, pemerintah, politik, bisnis, produksi komersial , dan ilmu pengetahuan. Banyak aspek masyarakat modern diatur dengan sangat tertanam sistem numerik dan aljabar kompleks, seperti untiik kasir supermarket dengan produksi tagihan otomatis, kontrol stok, sistem pajak; kesejahteraan sistem manfaat, industri, pertanian dan sistem subsidi pendidikan, sistem suara, sistem pasar saham . Sistem ini otomatis melaksanakan tugas-tugas kompleks menangkap informasi, implementasi kebijakan dan alokasi sumber daya. Niss (1983) bernama ini 'kekuatan format' dari matematika dan Skovsmose (1994) istilah sistem yang terlibat, yang tertanam dalam praktek-praktek sosial, yang 'menyadari abstraksi'. Intinya adalah bahwa matematika kompleks digunakan untuk mengatur berbagai aspek kehidupan

kita; keuangan kita, rekening bank dan bank, dengan pengawasan manusia sangat sedikit dan intervensi, setelah sistem berada di tempat. Selanjutnya, conceptualisations individu hidup mereka dan dunia tentang mereka adalah melalui suatu kerangka kerja yang sangat terukur. Persyaratan untuk pekerja yang efisien dan karyawan untuk mengatur produksi bahan menguntungkan mengharuskan penataan dan pengendalian ruang dan waktu (Taylor 1911) dan untuk diri pekerja-identitas yang akan dibangun dan dibentuk melalui kerangka ruang-waktu-ekonomi terstruktur (Foucault 1976) . Kami memahami kehidupan kita melalui jala-jala konseptual dari kalender, jam, jadwal kerja, rencana perjalanan dan jadwal, keuangan dan mata uang, asuransi, pensiun, pajak, pengukuran berat, panjang, luas dan volume, representasi grafis dan geometris, dll ini posisi individu sebagai subjek diatur dan pekerja dalam sebuah informasi pengendalian masyarakat / negara, sebagai konsumen masyarakat konsumtif post-modern, dan sebagai makhluk di alam semesta diukur. Pada era akhir-atau-modernisme pasca ontologi matematika yang berhubungan baru atau 'metafora root' (Pepper 1948), telah menjadi dominan dalam persepsi publik dan kuat dalam masyarakat. Secara khusus, klaim saya adalah bahwa keseimbangan akuntan-lembar dan dunia keuangan telah datang untuk dilihat sebagai mewakili realitas terakhir. Meskipun unsur-unsur seperti kritik sosial diantisipasi dengan baik dalam Teori Kritis (misalnya, Marcuse 1964, Young 1979), perspektif ini belum begitu sering berbalik dan digunakan untuk matematika kritik itu sendiri. klaim saya adalah bahwa peran terang-terangan matematika akademis - yang kita kenali sebagai matematika per se - dalam keadaan ini adalah overplayed. Ini adalah ilmu manajemen, aplikasi teknologi informasi, akuntansi, studi aktuaria dan ekonomi yang merupakan sumber dan menginformasikan ini mathematization besar-besaran pada skala sosial. Ini memiliki konsekuensi penting untuk masalah pembenaran, karena hal itu berarti bahwa meskipun ada diragukan lagi revolusi informasi yang terjadi, meningkatkan pengetahuan matematika tidak diperlukan oleh sebagian besar penduduk untuk mengatasi dengan peran baru mereka sebagai subyek diatur, pekerja dan konsumen. Lebih matematika keterampilan luar dasar tidak diperlukan di antara masyarakat umum dalam masyarakat industri untuk 'mengatasi' dengan perubahan ini, jika untuk 'mengatasi' berarti, seperti di sini, untuk melayani daripada kritis master, yang dibahas di bawah ini. Dengan demikian keberhasilan nasional dalam studi internasional prestasi matematika bukanlah pencipta keberhasilan ekonomi, kecuali memiliki subyek compliant dan konsumen adalah apa yang dibutuhkan. Ada tentu saja kebutuhan sekelompok kecil elite yang mengontrol sistem informasi dan mekanisme, dan sekelompok teknisi spesialis untuk layanan atau program mereka. Ini perlu hadir di semua masyarakat industri. Namun kelompok ini merupakan minoritas kecil dalam masyarakat dan kebutuhan mereka sangat istimewa tidak harus menentukan tujuan pendidikan matematika untuk semua. Selain itu, jika analisa ini benar, itu bukan matematika akademik yang sangat berguna dan diperlukan untuk revolusi informasi. Ini adalah bukan kumpulan mata pelajaran mathematised teknis dan praktek yang sebagian besar dilembagakan dan diajarkan - atau diperoleh dalam praktek - di luar akademi. Secara ringkas, klaim saya adalah bahwa pengetahuan matematika yang lebih tinggi dan kompetensi, yaitu, melampaui tingkat yang dicapai berhitung di sekolah dasar atau SD, tidak diperlukan oleh mayoritas rakyat untuk memastikan keberhasilan ekonomi masyarakat industri modern. Meskipun justifikasi lain untuk matematika sekolah dapat diberikan, dan memang akan diberikan di bawah ini, argumen utilitarian tradisional tidak lagi berlaku. Sebagian besar masyarakat tidak perlu pemahaman matematika lanjutan untuk alasan ekonomi, dan minoritas siapa yang menggunakan matematika memperoleh banyak pengetahuan yang berguna mereka dalam lembaga-lembaga di luar akademi

atau sekolah. Ini telah disebut 'paradoks relevansi', karena dari "relevansi tujuan simultan dan tidak relevan subyektif matematika" dalam masyarakat (Niss 1994: 371). Masyarakat pernah semakin mathematised, tapi ini beroperasi pada tingkat tak terlihat untuk sebagian besar anggotanya. Tujuan pengajaran matematika secara sosial dan societally tertanam Ketiga saya ingin mengklaim bahwa tujuan pengajaran matematika tidak bisa bermakna dipertimbangkan dalam isolasi dari konteks sosial mereka. Tujuannya adalah ekspresi dari niat, dan niat milik kelompok atau individu. Pendidikan bertujuan demikian ekspresi dari nilai-nilai, kepentingan, dan bahkan ideologi individu tertentu atau kelompok. Selain kepentingan dan ideologi dari beberapa kelompok tersebut dalam konflik. Di tempat lain, membangun Raymond Williams (1961) analisis mani, saya membedakan lima kelompok kepentingan dalam sejarah pemikiran pendidikan dan sosial di Inggris dan menunjukkan bahwa masing-masing memiliki tujuan yang berbeda untuk pendidikan matematika dan pandangan yang berbeda dari sifat matematika (Ernest 1991) . Kelompok-kelompok ini dan tujuan mereka dirangkum dalam Tabel I. Tabel I: Lima kelompok kepentingan dan tujuan mereka untuk mengajar matematika KELOMPOK BUNGA LOKASI TUJUAN SOSIAL MATEMATIKA 1. Industri Trainers Radikal 'New Right' politisi konservatif dan borjuis kecil Memperoleh ketrampilan matematika dasar dan berhitung dan pelatihan sosial dalam kepatuhan (otoriter, keterampilan dasar berpusat) 2. Pragmatis teknologi industri berpusat industrialis meritokrasi, manajer, dll, Buruh Baru Belajar keterampilan dasar dan belajar untuk memecahkan masalah praktis dengan matematika dan teknologi informasi (industri dan kerja berpusat) 3. Old Humanis Matematikawan konservatif matematikawan melestarikan kekakuan pembuktian dan kemurnian Memahami matematika dan kemampuan dalam matematika lanjut, dengan beberapa penghargaan matematika (matematika murni berpusat) 4. Progresif Pendidik Profesional, pendidik liberal, kesejahteraan negara pendukung Memperoleh percaya diri, kreatifitas dan ekspresi diri melalui matematika (progresif berpusat pada anak) 5. Pendidik Umum Demokrat sosialis dan reformis radikal berhubungan dengan keadilan sosial dan ketidaksetaraan Pemberdayaan peserta didik sebagai warga kritis dan matematis melek huruf di masyarakat (pemberdayaan serta keadilan sosial) Kelompok-kelompok sosial yang berbeda terlibat dalam kontes atas Kurikulum Nasional dalam matematika, sejak akhir 1980-an (Brown 1996). Secara singkat, tiga lebih pertama kelompok reaksioner berhasil memenangkan tempat tujuan mereka dalam kurikulum. Kelompok keempat (pendidik progresif) berdamai diri dengan dimasukkannya dimensi pengetahuan-aplikasi personal, yaitu proses 'Menggunakan dan Menerapkan matematika', merupakan salah satu target pencapaian Kurikulum Nasional. Namun bukan merupakan tujuan progresif realisasi diri melalui matematika komponen ini bertujuan mewujudkan utilitarian: keterampilan praktis untuk dapat menerapkan matematika untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan pekerjaan dengan matematika. Meskipun ini konsesi atas sifat dari elemen proses yang termasuk dalam kurikulum, ruang lingkup elemen tersebut telah berkurang lebih dari revisi berturut-turut dan saat ini sedang benar-benar dihapuskan. Tujuannya Pendidik Publik, mengenai perkembangan kewarganegaraan kritis dan pemberdayaan untuk perubahan sosial dan kesetaraan melalui matematika, sudah tidak memainkan bagian dalam Kurikulum Nasional (dan tidak hadir dari sebagian besar perkembangan kurikulum lainnya juga). Jadi meskipun progresif melihat matematika dalam konteks pengalaman individu, gagasan bahwa individu secara sosial terletak di sebuah dunia yang tidak adil di mana warga negara harus

memainkan peran aktif dalam mengkritisi dan meluruskan kesalahan-kesalahan memainkan bagian no. Hasil dari kontes sejarah dan proses adalah bahwa kurikulum nasional dapat dikatakan untuk melayani tiga tujuan utama. Pertama-tama, sebagian besar Kurikulum Nasional dalam matematika dikhususkan untuk berkomunikasi berhitung dan ketrampilan matematika dasar dan pengetahuan di berbagai topik matematika yang terdiri dari angka, aljabar, bentuk dan ruang (geometri dan ukuran), dan penanganan data (menggabungkan matematika teknologi informasi , probabilitas dan statistik). Kedua, untuk siswa mencapai tingkat lanjut atau tinggi pemahaman dan penggunaan ini bidang matematika di tingkat yang lebih tinggi termasuk sebagai tujuan. Jadi ada inisiasi ke dalam seperangkat praktek simbolis akademik matematika untuk sedikit (misalnya General Certificate of Education lanjut studi tingkat untuk usia 16-18 tahun). Ketiga, ada (atau lebih tepatnya adalah, karena akan segera berkurang secara radikal) yang praktis, proses untai berjalan melalui matematika kurikulum nasional yang dimaksudkan untuk mengembangkan keterampilan utilitarian menggunakan dan menerapkan matematika masalah 'dunia nyata' untuk. Masing-masing tiga hasil adalah tingkat yang lebih besar atau lebih kecil utilitarian, karena mereka mengembangkan umum atau spesialis keterampilan matematika dan kemampuan, baik yang decontextualised - melengkapi peserta didik dengan alat yang berguna - atau yang diterapkan untuk masalah-masalah praktis. Kemiringan dari hasil ini datang sebagai kejutan bagi tidak ada, karena seluruh dorong Kurikulum Nasional diakui diarahkan kompetensi ilmiah dan teknologi dan kemampuan. Baru kebijakan pendidikan Buruh telah mempertahankan dorong ini. Kemampuan versus Apresiasi Dalam pendidikan teknologi, teori kurikulum membedakan antara mengembangkan kemampuan teknologi, di satu sisi, dan apresiasi atau kesadaran, di sisi lain (Jeffery 1988). Singkatnya, kemampuan teknologi terdiri dari pengetahuan dan keterampilan yang terlibat dalam perencanaan dan pembuatan artefak dan sistem. Teknologi apresiasi dan kesadaran terdiri dari tingkat-tinggi keterampilan, pengetahuan dan pertimbangan yang diperlukan untuk mengevaluasi makna, nilai impor dan artefak teknologi dan sistem dalam sosial mereka, ilmu pengetahuan, teknologi, lingkungan, konteks ekonomi dan moral. Sebuah perbedaan analog dapat diterapkan pada matematika yang menunjukkan pertanyaan berikut. matematika sekolah Apakah semua tentang kemampuan, yaitu 'melakukan', atau mungkin ada unsur apresiasi yang terabaikan dalam kurikulum nasional? Ada pandangan yang terkenal bahwa "matematika adalah bukan olahraga tontonan ', yaitu, ini adalah tentang memecahkan masalah, melakukan algoritma dan prosedur, solusi komputasi, dan sebagainya. Kecuali dalam domain yang populer, atau dalam bidang ilmu sosial atau humaniora yang komentar pada matematika sebagai lawan matematika melakukan, tidak ada yang membaca buku matematika, mereka bekerja melalui mereka. Selanjutnya bahasa dari kedua sekolah dan matematika penelitian penuh dengan keharusan, memerintahkan pembaca untuk melakukan sesuatu, daripada mengikuti sebuah narasi (Rotman 1993, Ernest 1998). Jadi dimensi kemampuan matematika, dan matematika sekolah khususnya, dominan dan mungkin universal. Tentu saja jika matematika harus diberikan peran utama dalam kurikulum, karena hampir selalu ada, beberapa unsur kemampuan yang besar diperlukan, untuk diragukan lagi pengetahuan tentang matematika sebagai bahasa dan instrumen tidak memerlukan kerja yang mampu dan menerapkannya. Selain itu, kemampuan matematika minimal sangat penting, suatu sine qua non, untuk pengembangan apresiasi matematika. Tapi apakah cukup kemampuan sendiri? Apakah setiap

kurikulum diterbitkan ditujukan sesuatu yang lain, seperti penghargaan? Apakah pengembangan apresiasi matematika menjadi tujuan yang layak dan dibenarkan untuk matematika sekolah? Jika demikian, apa yang apresiasi matematika dan bagaimana bisa apresiasi diatasi? Masalah pertama yang perlu diperhatikan adalah 'penghargaan matematika' apa artinya. Dalam pandangan saya, analisis sementara dari apa yang apresiasi matematika dipahami secara luas, bisa berarti, melibatkan unsur-unsur berikut kesadaran: 1. Memiliki pemahaman kualitatif beberapa ide besar matematika seperti tak terhingga, simetri, struktur, rekursi, bukti, kekacauan, keacakan, dll; 2. Mampu memahami cabang utama dan konsep matematika dan memiliki rasa interkoneksi mereka, ketergantungan, dan kesatuan keseluruhan matematika; 3. Memahami bahwa ada beberapa tampilan dari sifat matematika dan bahwa ada kontroversi atas landasan filosofis; 4. Menyadari bagaimana dan sejauh mana pemikiran matematis menembus kehidupan sehari-hari dan shopfloor dan urusan saat ini, bahkan jika tidak disebut matematika; 5. Kritis pemahaman penggunaan matematika dalam masyarakat: untuk mengidentifikasi, menafsirkan, mengevaluasi dan kritik matematika tertanam dalam sistem sosial dan politik dan klaim, dari iklan untuk pernyataan pemerintah dan kepentingan kelompok; 6. Menyadari sejarah perkembangan matematika, konteks sosial dari asal-usul konsep-konsep matematika,, simbolisme teori dan masalah-masalah; 7. Memiliki rasa matematika sebagai elemen pusat budaya, seni dan kehidupan, kini dan masa lalu, yang menembus dan mendukung ilmu pengetahuan, teknologi dan semua aspek dari kebudayaan manusia. Singkatnya, apresiasi matematika melibatkan pemahaman dan memiliki kesadaran akan sifat dan nilai, serta pemahaman dan mampu menggunakan kritik sosialnya. Luasnya pengetahuan dan pemahaman terlibat adalah berpotensi besar, tapi banyak peserta didik meninggalkan sekolah tanpa pernah terkena, atau berpikir tentang, beberapa dari tujuh bidang penghargaan. Tujuan saya dalam kontras kemampuan dan apresiasi dalam matematika adalah untuk menarik perhatian untuk mengabaikan terakhir, baik dalam teori dan praktek. Untuk menjadi warga matematis-melek, bisa kritik sosial menggunakan matematika, yang merupakan tujuan dari posisi pendidik publik dirangkum di atas, akan pergi jalan bagian untuk mewujudkan apresiasi matematika, jika diterapkan. Namun masih akan ada elemen kurang lebih lanjut, bahkan jika ini akan dicapai. Ini adalah pengembangan apresiasi matematika sebagai unsur budaya, dan budaya dalam dan sifat matematika itu sendiri. Meskipun cinta matematika dirasakan oleh sebagian besar guru matematika, pendidik, dan matematikawan, pembinaan apresiasi matematika, dalam pengertian ini, sebagai tujuan pengajaran matematika, tidak dipromosikan. Karena itu dapat dikatakan bahwa matematika profesional kedua meremehkan subjek mereka dan meremehkan kemampuan siswa mereka untuk menghargainya. Kesimpulan Untuk meringkas, empat tujuan utama untuk matematika sekolah telah dibahas di atas. 1. Untuk mereproduksi keterampilan matematika dan kemampuan berbasis pengetahuan Para tradisional khas reproduksi kurikulum matematika telah difokuskan secara eksklusif pada ini bertujuan pertama, yang terdiri dari membaca sempit kemampuan matematika. Pada tingkat tertinggi, tidak selalu menyadari, pelajar belajar untuk menjawab pertanyaan yang diajukan oleh guru atau teks. Seperti dikatakan di tempat lain (Ernest 1991) ini berfungsi tidak hanya untuk mereproduksi pengetahuan dan keterampilan matematika dalam pelajar, tapi untuk mereproduksi

tatanan sosial dan ketidakadilan sosial. 2. Untuk mengembangkan kemampuan kreatif dalam matematika Gerakan mengajar matematika progresif telah menambahkan tujuan kedua, untuk memungkinkan pelajar untuk berkreasi dan mengekspresikan dirinya dalam matematika, melalui pemecahan masalah, pekerjaan yang diteliti, menggunakan berbagai representasi, dan sebagainya. Hal ini memungkinkan pelajar untuk mengajukan pertanyaan-pertanyaan matematika, teka-teki dan masalah, serta untuk memecahkan mereka. Gagasan ini menambahkan ide pengembangan pribadi kreatif dan keterampilan matematika pertanyaan sebagai tujuan pendidikan, tetapi tetap terjebak dalam sebuah ideologi yang individualistis yang gagal untuk mengakui konteks sosial dan sosial dari sekolah, dan dengan demikian secara diam-diam mendukung status sosial quo. 3. Untuk mengembangkan pemberdayaan kemampuan matematika dan apresiasi yang kritis terhadap aplikasi sosial dan menggunakan matematika Kritis pendidikan matematika menambahkan dalam tujuan ketiga, pemberdayaan pelajar melalui pengembangan kemampuan keaksaraan kritis matematis dan apresiasi kritis dari matematika tertanam dalam konteks sosial dan politik. Dengan demikian pelajar diberdayakan tidak hanya akan dapat mengajukan dan memecahkan pertanyaan matematika, tetapi juga bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan penting yang berkaitan dengan berbagai kegunaan sosial (dan penyalahgunaan) matematika. Ini adalah perspektif radikal dan serangkaian tujuan yang bersangkutan dengan baik pemberdayaan politik dan sosial dari peserta didik dan dengan promosi keadilan sosial, dan yang diwujudkan dalam pendidikan sekolah mainstream hampir mana-mana. Namun, fokus dalam elemen apresiasi dikembangkan dalam perspektif ini adalah pada konteks sosial eksternal matematika. Memang ini mungkin termasuk sejarah matematika dan konteks masa lalu dan saat ini budaya, tapi ini tidak mewakili perlakuan penuh penghargaan matematika. 4. Untuk mengembangkan apresiasi dalam matematika: ide-ide besar dan alam Keempat ini bertujuan menambahkan dalam dimensi lebih lanjut apresiasi matematika, yaitu penghargaan dalam matematika, termasuk ide-ide besar dan sifat matematika. Apresiasi matematika sebagai membuat kontribusi yang unik untuk kebudayaan manusia dengan konsep-konsep khusus dan estetika kuat sendiri, adalah bertujuan untuk matematika sekolah sering diabaikan oleh matematikawan dan pengguna matematika sama. Hal ini umum untuk orang-orang seperti ini untuk menekankan kemampuan dengan mengorbankan apresiasi, dan aplikasi eksternal dengan mengorbankan alam batin dan nilai-nilai. Satu kesalahan yang mungkin dibuat dalam hubungan ini adalah asumsi bahwa penghargaan dalam matematika tidak dapat dikembangkan tanpa kemampuan. Jadi, menurut asumsi ini, siswa tidak dapat menghargai tak terhingga, bukti, teori bencana dan kekacauan, misalnya, kecuali jika mereka telah mengembangkan kemampuan dalam tingkat tinggi topik matematika, yang keluar dari pertanyaan di sekolah. Pertanyaan Tujuan keempat asumsi ini dan menunjukkan bahwa apresiasi dalam matematika tidak hanya mungkin tetapi diinginkan untuk beberapa derajat untuk semua siswa di sekolah. Masalah justifikasi dalam pendidikan matematika yang bermasalah, sebagian karena solusi apa yang disebut hanya dapat satu set sebagian dari argumen tentang peran matematika mengajar dan belajar untuk klien tertentu (peserta didik), di negara tertentu, selama waktu tertentu- frame, memuaskan para pendukung dari satu atau lebih sudut pandang. Jadi bagian dari masalah sifat pergeseran dan relatif. Bagian lain dari masalah ini adalah bahwa matematika secara simultan undervalued dan overvalued dalam masyarakat Barat modern. Hal ini dinilai terlalu tinggi karena pertama-tama, utilitas yang dirasakan adalah disalahpahami berarti bahwa semua orang membutuhkan maksimal pengetahuan dan keterampilan dalam matematika untuk fungsi ekonomi.

Namun matematika mendasari berfungsinya masyarakat modern sebagian besar tertanam dan tak terlihat. Kedua, pencapaian matematika adalah salah diidentifikasi dengan kecerdasan dan kekuatan mental dan digunakan untuk orang-orang kelas dan pilih untuk berbagai bentuk pekerjaan, termasuk pekerjaan profesional serta dalam hal kesesuaian untuk pendidikan tinggi. Karena peran ini, matematika berfungsi sebagai 'kritis filter' dan telah terlibat dalam menyangkal kesempatan yang sama ke banyak (Menjual 1973). Matematika juga undervalued karena pembenaran yang sebagian besar dalam mendukung peran lanjutan sentral dalam pendidikan didasarkan pada argumen ekstrinsik dibingkai dalam hal utilitas dan perantaraan. Sebagai daerah yang secara intrinsik berharga dari matematika kebudayaan manusia itu adalah kaya akan konsep-konsep intelektual menantang dan menarik termasuk tak terhingga, kekacauan, kesempatan, dll Ini adalah dunia khayalan dan domain pengetahuan dengan estetika sendiri dan keindahan. Matematika juga memiliki bagian sentral untuk bermain dalam filsafat, seni, ilmu pengetahuan, teknologi, teknologi informasi dan ilmu-ilmu sosial. Apresiasi ini pasti bagian dari hak setiap pelajar, ketika mereka sedang belajar matematika. Penyebutan hak mahasiswa menimbulkan pertanyaan yang belum terselesaikan. Matematika harus diajarkan selama tahun-tahun sekolah wajib dan harus kurikulum yang sama akan diikuti oleh semua? Meminta peserta didik untuk belajar matematika sepanjang tahun dari usia 5 sampai 16 tahun adalah kurang mudah untuk membenarkan jika matematika tidak berguna seperti yang sering diasumsikan. Selanjutnya, jika itu adalah pengalaman belajar bahagia selama hampir setengah dari penduduk sebagai penelitian menunjukkan, tidak boleh peserta didik sendiri diberikan beberapa orang mengatakan dalam hal ini, mungkin setelah telah memperoleh kompetensi matematika dasar? Bukankah perubahan preferensi pribadi, kepentingan karir dan rencana pengembangan kejuruan yang muncul pada siswa selama masa remaja diakomodasi, dengan kurikulum matematika dibedakan atau dengan memungkinkan siswa untuk memilih keluar sama sekali? Jika pendidikan adalah untuk memberikan kontribusi bagi pengembangan warga otonom dan dewasa, mampu berpartisipasi penuh dalam masyarakat modern, maka harus memungkinkan unsur pilihan dan penentuan nasib sendiri. Namun, dalam ruang yang tersedia disini saya hanya bisa mengangkat isu-isu penting, daripada memperlakukan mereka secara menyeluruh. Akhirnya, izinkan saya menambahkan komentar pada kesenjangan antara domain wacana pada tujuan dan domain praktis di mana dampak dari praktek pendidikan yang dialami. Namun mulia, tinggi terbang, atau berniat tujuan pengajaran matematika mungkin, mereka perlu dievaluasi dalam terang dampaknya pada individu dan masyarakat. Pertimbangan dari kurikulum matematika mengharuskan tiga tingkatan harus dipertimbangkan (Robitaille dan Garden 1989). Ini adalah tingkat pertama kurikulum disengaja atau direncanakan, kedua bahwa dari diterapkan atau diberlakukan kurikulum, dan ketiga bahwa dari kurikulum yang dipelajari termasuk hasil pelajar dan keuntungan (termasuk tanggapan afektif). Sejauh mana tujuan pendidikan matematika dilaksanakan dan diwujudkan dalam praktek kelas adalah penentu utama dari sifat matematika mengajar di kelas. Mengajar adalah kegiatan yang disengaja dan idealnya harus ada hubungan yang kuat antara tujuan dinyatakan dan praktek menyadari pendidikan matematika. Mana link ini gagal untuk mendapatkan ada daerah disekuilibrium dan inkonsistensi yang menciptakan menekankan untuk guru dan siswa. Tentu saja ini dapat reaksioner dalam sebuah situs di mana konsepsi tradisional dan praktek menumbangkan rencana kurikulum juga dibenarkan. Namun dapat juga sebuah situs perlawanan where aims lokal dianggap tidak layak atau tidak populer ditumbangkan. Ini, sekali lagi, menimbulkan masalah yang nilai kelompok dan pandangan yang dominan dalam menentukan tujuan pengajaran matematika, dan siapa keuntungan dan yang kehilangan.