webs.um.eswebs.um.es/apall/archivos/medida/medida1998-99.pdf · Indice general´ 1. Integral anterior a Lebesgue 3 1.1. La integral de Riemann . . . .

U N I V E R S I D A DD E M U R C I A

Departamento de MatematicasAntonio J. Pallares Ruiz

Medida e Integracion

Notas de clase para el curso 1998-1999

Horario (primer cuatrimestre): Clases:De Lunes a Jueves de 09 a 10hTutorıas: Lunes, Martes y Mircoles de 10 a 11h; y Jueves de 16 a 19h.

Indice general

1. Integral anterior a Lebesgue 31.1. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. La integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Medidas 182.1. Algebras y !-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Medidas exteriores. Construccion de medidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4. Medidas de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. La Integral de Lebesgue 373.1. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2. Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Integrales de funciones positivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.2. Funciones Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.3. La integral y los conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Paso al lımite bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1. La integral de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2. Integrales dependientes de un parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4. Cambio de variable para medidas imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5. Relacion con la integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6. Convergencia en medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7. El Teorema de Diferenciacion de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Producto de Medidas. Teorema de Fubini 704.1. Medida producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2. Integracion reiterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3. Medida en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5. Cambio de Variable en Rn. 795.1. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2. Cambio de variable para difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3. Algunos cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6. Espacios de Lebesgue. Espacios Lp 906.1. Desigualdades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2. Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2.1. Comparacion entre espacios Lp.Espacios de sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.2.2. Duales de los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2.3. Version integral de la desigualdad de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.3. Convolucion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.1. Producto de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.2. Aproximaciones de la identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1

INDICE GENERAL 2

7. Diferenciacion de medidas 1057.1. Teorema de Radon-Nikodym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.1. Medidas signadas y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.1.2. Continuidad Absoluta. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.2. Diferenciacion de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.1. Funciones de variacion acotada. Diferenciacion de funciones monotonas. . . . . . . . . . . 115

7.3. Mas sobre los duales de los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8. Espacios de funciones continuas 1238.1. Representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.2. El Dual de CO(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Capıtulo 1

La Teorıa de la Integral anterior aLebesgue

Vamos a comenzar el curso con este capıtulo en el que presentamos algunas de las razones que dieron lugar ala extension del concepto de integral y a la formalizacion de la nocion de medida. Tambien vamos a recordar lasIntegrales de Riemann y Riemann-Stieltjes como punto de partida en la construccion de la Integral de Lebesgue enlos siguientes capıtulos.

En este capıtulo solo consideraremos funciones reales definidas en intervalos de la recta real, o en toda la recta.

Razones para el desarrollo de la integral.Nos podemos referir a la definicion de integral dada por Cauchy a principios del siglo XIX como la primera de-

finicion de integral que satisface los actuales estandares de rigor. Cauchy definio la integral de una funcion continuaf en un intervalo [a, b] como un lımite de sumas

n!

i=1

f(ti)(ti ! ti!1)

donde a = t0 < t1 < · · · < tn = b y max(ti ! ti!1) " 0. Con esta definicion se podıan medir longitudes, areas yvolumenes, y tambien se conocıa la relacion con el calculo diferencial dada por la formula

" b

af(x) dx = F (b)! F (a)

donde F es una primitiva de f .El estudio de las series trigonometricas (series de Fourier),

!an cosnx + bn sen nx

donde los coeficientes se expresan en terminos de su suma f por las formulas

an =1"

" 2!

0f(x) cosnxdx bn =

1"

" 2!

0f(x) sen nxdx,

motivo a Riemann y a otros matematicos a extender la definicion de integral a una clase mas amplia de funcionesdado que ya existıan ejemplos de algunas funciones discontinuas desarrollables como sumas de series trigonometri-cas.

El metodo para definir la integral de una funcion f sobre un intervalo [a, b] definido por Riemann consistıa enhacer un lımite sobre las sumas de Riemann:

n!

i=1

f(#i)(ti ! ti!1)

donde, a diferencia de la integral definida por Cauchy, se consideran valores de la funcion f(# i) eligiendo de formaarbitraria cualquier punto #i # [ti!1, ti].

3

CAPITULO 1. INTEGRAL ANTERIOR A LEBESGUE 4

Mas adelante, Darboux introdujo una forma equivalente de definir la integral haciendo aproximaciones pordefecto y por exceso de este lımite con sumas inferiores y superiores.

Pero a finales de ese siglo XIX el uso de la integral de Riemann fue revelando una serie de fenomenos contrariosa la efectividad esperada:

La relacion entre primitiva e integral no subsiste sin restricciones.

La formula tradicional de integracion reiterada carece de sentido en algunos casos.

Ejemplo 1 Sea

f(x, y) =

#$%

$&

1 si x es irracional1 si x es racional e y es irracional1! 1

q si x = pq es racional irreducible e y es racional

La funcion f es integrable en el cuadrado [0, 1]$ [0, 1] con integral" 1

0

" 1

0f(x, y) dx dy = 1.

Para cada x irracional' 10 f(x, y) dy = 1, pero si x es racional la funcion y " f(x, y) no es integrable

Riemann en el intervalo [0, 1]. As ı, en principio no tiene sentido la formula" 1

0

" 1

0f(x, y) dx dy =

" 1

0

(" 1

0f(x, y) dy

)dx.

No hay buenos resultados de convergencia bajo el signo integral para sucesiones de sucesiones y series defunciones (salvo para la convergencia uniforme).

Ejemplo 2 Sea fn(x) la funcion cuya grafica esta dada por la figura 1.1.

0 11/n

2n

Figura 1.1:

Esta sucesion converge puntualmente hacia la funci on nula, mientras que sus integrales permanecen cons-tantes " 1

0fn(x) dx = 1.

En 1901 Henri Lebesgue extendio la integral a una familia mas amplia de funciones proporcionando buenosteoremas de convergencia y eliminando las patologıas descritas. El punto de partida de Lebesgue fue la nocion demedida desarrollada por Borel junto con la idea de considerar los conjuntos de medida nula. La idea de conjunto demedida pequena aparece en los intentos de caracterizacion de las funciones integrables en relacion con la continuidaddados por Riemann que probo la siguiente condicion suficiente:

Sea f una funcion definida en [a, b] con la propiedad de que para cualquier n umero positivo $ > 0 el sub-conjunto de puntos de [a, b] donde la oscilacion de f es mayor que $, se puede recubrir con una uni on finita deintervalos cuyas longitudes suman una cantidad arbitrariamente peque na. Entonces f es integrable en [a, b].

En los siguientes capıtulos vamos a estudiar la integral de Lebesgue y de forma mas general vamos a introducir-nos en la Teorıa de la Medida e Integracion. Vamos a seguir “el metodo conjuntista” describiendo cada uno de losobjetos que forman parte de esta teorıa: las familias de conjuntos a medir y las medidas, y las familias de funcionesa integrar y la integral.


1.1. La integral de RiemannEn esta seccion vamos a recordar las definiciones de Darboux y Riemann de la integral, tambien recordaremos la

definicion de conjunto de medida nula en R y la caracterizacion de Lebesgue de las funciones integrables Riemann,Finalizaremos construyendo el conjunto de Cantor y algunas funciones asociadas a este conjunto que muestranalgunas de las patologıas indicadas en la seccion anterior.

Definicion 1 Dado un intervalo [a, b], se llama particion del intervalo a cualquier subconjunto finito y ordenadoa = t0 < t1 < · · · < tn = b.

Dada una funcion f sobre un intervalo [a, b], se llama suma de Riemann de la funci on f asociada a la particiona = t0 < t1 < · · · < tn = b a cualquier suma de la forma

n!

i=1

f(#i)(ti ! ti!1)

eligiendo de forma arbitraria cualquier punto # i # [ti!1, ti].Si existe el lımite I de las sumas de Riemann de f cuando max(ti ! ti!1) " 0, se dice que f es integrable

Riemann en [a, b] y que su integral es I =' b

a f(x)dx.

Con esta definicion es sencillo establecer que el conjunto de las funciones integrables en [a, b] es un espaciovectorial y que la integral define una aplicacion lineal que conserva el orden.

La definicion equivalente dada por Darboux es la siguiente:

Definicion 2 Sea f es una funcion acotada y P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} es una particion de [a, b],denotamos

Mi = sup{f(x) : x # [ti!1, ti]} y mi = inf{f(x) : x # [ti!1, ti]}.

Se llaman sumas superiores y sumas inferiores de f con respecto a P a las sumas:

S(f, P ) =n!

i=1

Mi(ti ! ti!1) y s(f, P ) =n!

i=1

mi(ti ! ti!1)

respectivamente.Si P y P " son dos particiones de [a, b] y P % P " se cumple la siguiente cadena de desigualdades:

s(f, P ) & s(f, P ") & S(f, P ") & S(f, P ).

En general para dos particiones cualesquiera P y Q de [a, b] se verifica que

s(f, P ) & S(f, Q).

Teniendo en cuenta estas desigualdades, se definen la integral inferior y superior de f en [a, b], respectivamente,como " b

af(x) dx = sup{s(f, P ) : P particion de [a, b]} y

" b

af(x) dx = inf{S(f, P ) : P particion de [a, b]}

Se dice que f es integrable Riemann en [a, b], cuando las integrales superior e inferior coinciden, definiendo

" b

af(x) dx =

" b

af(x) dx =

" b

af(x) dx.

La condicion de Cauchy correspondiente a esta definicion es la siguiente: la funci on f es integrable en [a, b] si,y solo si, para cada % > 0 es posible encontrar una partici on P tal que

S(f, P )! s(f, P ) =!

(Mi !mi)(ti ! ti!1) < %.


Utilizando esta caracterizacion junto con la observacion

Mi !mi = sup{|f(x)! f(y)| : x, y # [ti ! ti!1]},

se prueba facilmente que las funciones monotonas y las funciones continuas son integrables en [a, b]. Tambien quedapatente que la integrabilidad de una funcion puede depender del “tamano” del conjunto formado por los puntos enlos que es discontinua.

Con esta definicion de integral se puede establecer el Teorema fundamental del Calculo que establece el que todafuncion continua tiene primitiva y que permite recuperar los valores de cualquier funcion integrable en los puntosde continuidad a partir de su integral indefinida. En particular, cualquier funcion derivable de clase C 1 se puederecuperar a partir de los valores de su derivada.

Conjuntos de medida nulaAcabamos de anunciar que la integrabilidad de una funcion puede depender del “tamano” del conjunto de sus

puntos de discontinuidad. Pero, ¿como podemos medir subconjuntos de la recta real?En lugar de intentar definir de forma global la medida de todos los subconjuntos, que, como veremos mas

adelante, es un problema de la axiomatica de la teorıa de conjuntos, se establece la forma de medir muchos de ellos:Se empieza asignando como medida de cada intervalo acotado [a, b] su longitud

&([a, b]) = &((a, b)) = b! a.

Despues observando que cada conjunto abierto A se puede poner como union numerable A =*

(an, bn) de inter-valos disjuntos dos a dos, se puede asignar como medida del abierto la suma de la serie de las longitudes de esosintervalos

&(A) =!

&((an, bn)) =!

(bn ! an).

Como cada conjunto cerrado y acotado C % (a, b) se puede describir como la diferencia de un intervalo abierto(a, b) y un conjunto abierto y acotado A = (a, b) \ C, se puede definir la medida del cerrado como la diferenciaentre la longitud del intervalo y la medida del abierto

&(C) = b! a! &(A).

Haciendo uniones numerables de conjuntos disjuntos dos a dos, a los que se les ha asignado medida, se definela medida de la union como la suma de las medidas de los conjuntos. Haciendo diferencias de conjuntos A ysubconjuntos B % A a los que se les ha asignado medida, se define la medida de la diferencia A \ B como ladiferencia de las medidas &(A\B) = &(A)!&(B). De esta formamediante un proceso de “induccion (transfinita)”Borel construyo una familia amplia de conjuntos “medibles” en la recta real. Lebesgue anadio a esta familia losconjuntos de “medida nula” que se definen como sigue:

Definicion 3 Se dice que un subconjunto N % R tiene medida nula cuando para cada n umero % > 0 es posibleencontrar una cantidad numerable de intervalos (an, bn) tales que

N %+#+

n=1

(an, bn)

+#!

n=1

bn ! an < %.

Denotaremos &(N) = 0.

Los subconjuntos finitos y los subconjuntos numerables deR constituyen los ejemplos mas simples de conjuntosde medida nula.

Todo subconjunto de un conjunto de medida nula tambien tiene medida nula. Y todo conjunto de medida nulatiene interior vacıo.

La union numerable de conjuntos de medida nula tambien tiene medida nula. En efecto: Sea N =*

Nk dondeNk son de medida nula y % > 0. Para cada k existe una cantidad numerable de intervalos (a (n,k), b(n,k)) tales que,

n(b(n,k) ! a(n,k)) < "2k y Nk %

*n(a(n,k), b(n,k)). Con esta notacion se tiene queN %

*(n,k)(a(n,k), b(n,k)) y,

(n,k)(b(n,k) ! a(n,k)) < %.


Al final de la seccion vamos a construir el compacto de Cantor, que es un subconjunto compacto no numerablecon medida nula, pero antes vamos a establecer la caracterizacion de las funciones integrables Riemann dada porLebesgue en el sentido de que son las funciones cuyas discontinuidades forman un subconjunto de medida nula.

Teorema 1 (Lebesgue) Sea f una funcion acotada definida sobre el intervalo [a, b]. La funci on f es integrableRiemann en [a, b] si, y solo si, el conjunto de puntos donde f no es continua es de medida nula.

Demostracion Vease pag.177-179 del libro de J.Ortega “Introduccion al Analisis Matematico”.

Ejemplo 3

1. La funcion f(t) =

-sen(1

t ) si t '= 00 si t = 0

es una funcion discontinua solamente en t = 0. Es integrable en

[!1, 1] y tiene primitiva (e.d. (F derivable con F "(t) = f(t) en todo t # [!1, 1])En efecto, basta considerar

F (t) =

-t2 cos(1

t )!' t0 2x cos( 1

x) dx si t '= 00 si t = 0

.

2. La funcion g(t) =

-sen(1

t ) si t '= 01 si t = 0

es una funcion discontinua solamente en t = 0. Es integrable en

[!1, 1], pero no tiene primitiva puesto que f ! g no puede ser la derivada de ninguna funci on al tomar sololos valores 0 y 1, y no cumplir la propiedad de los valores intermedios que tienen las funciones derivadas.

3. La funcion h(t) =

-2t sen( 1

t2 )! 2t cos( 1

t2 ) si t '= 00 si t = 0

no esta acotada en [!1, 1] y en consecuencia no es

integrable Riemann, pero si que tiene primitiva. Basta observar que h(t) = H "(t) donde

H(t) =

-t2 sen( 1

t2 )) si t '= 00 si t = 0

4. La funcion j(t) =

-h(t) si t '= 01 si t = 0

es discontinua en un solo punto, pero ni es integrable, ni tiene primitiva

en [!1, 1].

El conjunto de Cantor

El conjunto de las sucesiones formadas por ceros y unos {0, 1}N con la topologıa producto (convergencia coor-denada a coordenada) es un compactometrizable no numerable. En general se llama compacto de Cantor a cualquiercopia isomorfa de {0, 1}N. A continuacion vamos a describir un subconjunto del intervalo [0, 1], que es un compactode Cantor (y por lo tanto no es numerable) y que tiene medida nula.

Vamos a proceder por induccion a aplicar el procedimiento de dividir un intervalo en tres intervalos de iguallongitud y quedarnos con los dos intervalos que estan en los extremos (vease la figura 1.2).

0 113

23

0 13

19

29

23 1

Figura 1.2:

De forma mas concreta:Sea C!1 = [0, 1], denotamosA0 = (1

3 , 23 ) y definimos C0 = C!1 \ A0.


Supuesto construido Ck!1 como union de los 2k intervalos compactos de longitud 13k descritos por los ındices

$ = (a1, a2, . . . , ak) # {0, 1}k como

I# = [g#, g# +13k

] donde g# =k!

j=1

2aj

3j.

Para cada $ # {0, 1}k definimos

J# = (g# +1

3k+1, g# +

23k+1

) % I#.

Denotamos porAk la union de los 2k intervalos abiertos J# de longitud 13k+1 . Y definimos porCk = Ck!1 \Ak.

Definimos C =.+#

k=0 Ck. C es un conjunto de medida nula pues para % > 0, existe k tal que 2k+1

3k+1 < %, yC % Ck que es union de 2k+1 intervalos de longitud 1

3k+1 .Por otra parte la aplicacion '{0, 1}N " C definida por

'((an)n$N) =+#!

n=1

2an

3n,

define un isomorfismo entre los dos compactos, y en consecuencia, C es un compacto de Cantor. Nos referiremos aC como “el conjunto de Cantor”.

Utilizando este conjunto vamos a describir un par de ejemplos significativos

Ejemplo 4 (Funcion singular de Cantor) Vamos a construir una funcion monotona creciente, continua y sobre-yectiva f : [0, 1] " [0, 1] que es constante en cada uno de los intervalos del complementario del conjunto de Cantor,y en consecuencia es derivable en esos intervalos con derivada f "(x) = 0.

Esta funcion f se define de forma recursiva haciendo copias de la funci on que tiene la grafica representada enla figura 1.3 en cada uno de los intervalos que definen el conjunto de Cantor.

Figura 1.3:

Las instrucciones para esta induccion con el programa Mathematica son:

f[x_,1]:= 3 x /2 /; 3 x < 1;f[x_,1]:= 0.5 /; 1 <= 3 x < 2;f[x_,1]:= 0.5 + (3 x - 2)/ 2 /; 2 <= 3x

f[x_,n_]:= 0.5 f[3 x,n-1] /; 1 > 3 x ;f[x_,n_]:= 0.5 + 0.5 f[3 x - 2 ,n-1] /; 2 < 3 x ;f[x_,n_]:= 0.5 /; 1 <= 3x <= 2

Table[Plot[f[x,n],{x,0,1},AspectRatio->1, AxesOrigin->{0,0},PlotRange->{{0,1},{0,1}}],{n,1,7}]


Figura 1.4: Funcion singular de Cantor

y la grafica de f se parece a la figura 1.4.Analıticamente, la definicion de f viene dada por

f(x) =

-,+#k=1

ak

2k si x =,+#

k=12ak

3k # C con(ak)k # {0, 1}N

sup{f(y) : y # C, y < x} si x # [0, 1] \ C

El adjetivo “singular” aplicado a f se refiere al hecho de que su derivada es nula en “casi todos”los puntosde [0, 1]. Este es un ejemplo de una funcion cuyos valores no se puede recuperar a partir de los de su derivada.

Ejemplo 5 Una funcion f integrable en [0, 1] y discontinua en todos los puntos del conjunto de Cantor que tieneprimitiva.

La funcion

((x) =

-x2 sen2( 1

x) si x & 12

(1! x)2 sen2( 11!x ) si x ) 1

2

es derivable en [0, 1] con derivada discontinua y nula en los extremos del intervalo.Si miramos al conjunto de Cantor como el complementario de una uni on numerable de intervalos abiertos

C = [0, 1] \ (an, bn) y consideramos la funcion F que se anula en C y que en cada uno de los intervalos (an, bn)es una copia de ( de la forma

F (x) =

-(x! an)2 sen2( an+bn

2(x!an) ) si an < x & an+bn2

(bn ! x)2 sen2( an+bn2(bn!x)) si an+bn

2 & x < bn,

se puede comprobar que F es derivable con f = F " acotada y discontinua solo en los puntos del conjunto deCantor C.

EjerciciosEjercicio 1 Pruebese que una condicion necesaria y suficiente para queH % R sea nulo es que exista una sucesi onde intervalos cerrados y acotados [an, bn] con

,#n=1(bn ! an) < +* tal que para cada x # H el conjunto

{n # N : x # [an, bn]} es infinito.

Ejercicio 2

1. Pruebese que el conjunto de los numeros reales cuya representacion decimal no contiene la cifra 2 es demedida nula.

2. Sea A el conjunto de los numeros reales x que se pueden representar en la forma x = n +,#

k=1ak22k donde

n es un numero entero y ak # {0, 1}. Pruebese queA es de medida nula y que existe otro conjunto de medidanula B tales que R = A + B.

Ejercicio 3 Utilizando una construccion parecida a la del conjunto de Cantor, construya un compacto de CantorC(t) % [0, 1] tal que &(C(t)) = t, cualquiera que sea el valor t # (0, 1).

Indicacion: Utilice la identidad 1! t =,+#

k=12k!1(1!t)

3k y suprima intervalos abiertos de longitud 1!t3k .


Ejercicio 4 Construya una sucesion de funciones integrables Riemann en [0, 1] que converja puntualmente haciala funcion no integrable Riemann f = )Q%[0,1].

Ejercicio 5 Utilizando el Teorema Fundamental del Calculo pruebense las siguientes afirmaciones

1. Si A % R es un conjunto cerrado existe una funci on creciente derivable f : R !" R tal que A = {x # R :f "(x) = 0}. Pruebese que si A no contiene ningun intervalo entonces f es estrictamente creciente.

2. Una condicion necesaria y suficiente para que F : (a, b) !" R sea convexa es que exista una funci oncreciente f : (a, b) !" R tal que F (y)! F (x) =

' yx f(t)dt para cada [x, y] % (a, b).

1.2. La integral de Riemann-StieltjesEn esta seccion vamos a realizar una visita a la Integral de Riemann-Stieltjes desarrollada por Stieltjes (1894).Nuestro interes en esta integral lo podemos centrar en dos puntos:

(i) En primer lugar porque, como veremos en los proximos capıtulos, la integral de Lebesgue asociada a una medidasirve para dar un tratamiento unificado tanto a la integral de Riemann como a la de Riemann-Stieltjes.(ii) Y, por otra parte, porque, como tambien veremos, la integral de Lebesgue de cualquier funcion con respecto auna medida, se puede interpretar como una integral de Riemann-Stieltjes con respecto a su funcion de distribucion,tal y como se hace en Teorıa de Probabilidad al evaluar la esperanza de una variable aleatoria con respecto a unamedida de probabilidad.

Stieltjes consideraba en la recta “distribuciones” dadas por una funcion real ' haciendo corresponder a cadaintervalo (a, b] la masa

&$((a, b]) = '(b)! '(a).

Para que esta medida de masas sea positiva es necesario que ' sea creciente y si ademas se quiere que &$ secomporte bien al hacer uniones crecientes (resp. intersecciones decrecientes) de intervalos sera necesario que ' seacontinua por la derecha.

Definicion 4 Si f y ' son dos funciones acotadas definidas en el intervalo [a, b] y P = {a = t 0 < t1 < · · · < tn =b} es una particion del intervalo, se llama suma de Riemann-Stieltjes de f con respecto a ' asociada a la partici onP , a cualquier suma de la forma

R(f,', P ) =n!

i=1

f(#i)('(ti)! '(ti!1)),

donde #i # [ti!1, ti] son puntos cualesquiera de los subintervalos definidos por la partici on.Si existe el lımite de estas sumas R(f,', P ) cuando |P | = sup{(ti ! ti1) : i = 1, 2, . . . , n} " 0, es decir,

si existe I tal que +% > 0 existe un * > 0 verificando |I ! R(f,')| < % si |P | < *; se dice que f es integrableen el sentido de Riemann-Stieltjes con respecto a ' en el intervalo [a, b]. Adem as, se dice que I es la integral deRiemann-Stieltjes de f con respecto a ' en [a, b], y se denota

I =" b

af(x) d'(x) =

" b

af d'.

Observese que si '(x) = x es la identidad, entonces la integral' b

a f d' es exactamente la integral de Riemannque acabamos de repasar en la seccion anterior.

La condicion de Cauchy correspondiente a la existencia del lımite que define la integral de Riemann-Stieltjes esla siguiente

Proposicion 2 Para que f sea integrable Riemann-Stieltjes con respecto a ' en [a, b] es condici on necesaria ysuficiente el que para cualquier % > 0 exista * > 0 tal que

|R(f,', P )!R(f,', Q)| < %

para cualquier par de particiones P y Q de [a, b] tales que |P | < * y |Q| < *.


Demostracion. Como de costumbre la condicion necesaria se obtiene de la definicion hecha de lımite y de ladesigualdad triangular:

|R(f,', P )!R(f,', Q)| &

/////R(f,', P )!" b

af d'

/////+

/////

" b

af d'!R(f,', Q)

///// .

Para la condicion suficiente, se elige una sucesion de particiones Pk de [a, b] tal que |Pk|" 0, entonces la sucesionde sumas R(f,', Pk) es de Cauchy en R y por consiguiente es convergente hacia un numero I , y se comprueba queI =' b

a f d' haciendo un nuevo uso de la desigualdad triangular

|R(f,', P )! I| & |R(f,', P )!R(f,', Pk)| + |R(f,', Pk)! I|.

Al igual que para la integral de Riemann, la continuidad uniforme de las funciones continuas definidas en inter-valos compactos asegura la existencia de las integrales de Riemann-Stieltjes con respecto a funciones monotonas.

Proposicion 3 Sea f una funcion continua en [a, b] y ' una funcion monotona creciente definida en [a, b] entoncesf es integrable Riemann-Stieltjes con respecto a ' en [a, b].

Demostracion. Si '(b) ! '(a) = 0 entonces ' sera constante y no habra nada que probar pues' b

a f d' = 0.Supongamos que '(b)! '(a) > 0.

Por la continuidad uniforme de f , dado % > 0 existira * > 0 tal que |f(t) ! f(s)| < "$(b)!$(a) si |t ! s| < *.

Sean P = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} y Q = {a = y0 < y1 < · · · < ym = b} dos particiones con |P | < %2 y

|Q| < %2 , escribimos P

*Q = {a = t0 < t1 < · · · < tp = b}. Las sumas de Riemann-Stieltjes asociadas a P y Q

se pueden reescribir con respecto a P*

Q en la forma:

R(f,', P ) =n!

i=1

f()i)('(xi)! '(xi!1)) =p!

j=1

f()&j )('(tj)! '(tj!1))

R(f,', Q) =m!

k=1

f(+i)('(yk)! '(yk!1)) =p!

j=1

f(+&j )('(tj)! '(tj!1)),

donde )&j = )i si [tj!1, tj] % [xi!1, xi] y +&j = +k si [tj!1, tj ] % [yk!1, yk].

Con esta notacion sucede siempre que |)&j ! tj | < %

2 y +&j ! tj | < %

2 y en consecuencia |)&j ! +&j | < *. Ahora la

continuidad uniforme nos proporciona la condicion de Cauchy

|R(f,', P )!R(f,', Q)| &p!

j=1

|f()&j )! f(+&j )|('(tj)! '(tj!1))

<p!

j=1

%

'(b)! '(a)('(tj)! '(tj!1))

=%

'(b)! '(a)

p!

j=1

('(tj)! '(tj!1))

=%

'(b)! '(a)('(b)! '(a)) = %

En el caso particular de que' es ademas una funcion de clase C 1 en [a, b] entonces la formula de los incrementosfinitos nos permite afirmar que

Corolario 3.1 Si f es una funcion continua en [a, b] y ' es una funcion creciente de clase C1 en [a, b] entonces secumple la formula " b

af(x) d'(x) =

" b

af(x)'"(x) dx.

(La formula anterior viene a explicar la notacion utilizada para la integral de Riemann-Stieltjes)


Proposicion 4 Si f es una funcion integrable Riemann-Stieltjes con respecto a la funci on creciente ' en el intervalo[a, b], entonces f y ' no tienen puntos de discontinuidad comunes en el intervalo [a, b].

Demostracion. Supongamos que f y ' son discontinuas en el punto x. Vamos a ver que falla la condicion deCauchy.

Como ' es creciente y discontinua en x existe K > 0 tal que '(,) ! '($) > K para cada $ & x & , con$ < ,. Como f es discontinua en x existe % > 0 tal que si $ < x < , entonces es posible encontrar +#,& # ($,,)tal que |f(x)! f(+#,&)| > "

K .Si P = {a = t0 < t1 < · · · < tn} es cualquier particion de [a, b] y tj!1 < x < tj , eligiendo )i = )&

i = ti sii '= j, )j = x y )&

j = +tj!1,tj , tenemos dos sumas de Riemann-Stieltjes que contradicen la condicion de Cauchy:

|!

f()i)('(ti)! '(ti!1))!!

f()&i )('(ti)! '(ti!1))| =

= |f(x)! f(+tj!1,tj )|('(ti)! '(ti!1)) >%

KK = %.

La proposicion que sigue contiene una lista de propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes cuyas pruebasson una sencilla aplicacion de la definicion de integral como lımite de sumas, que dejaremos como ejercicio.

Proposicion 5

1. Si existe la integral' b

a f d' y c # R es una constante, entonces tambien existen las integrales' b

a cf ' y' b

a f dc', y se tiene la igualdad" b

acf d' =

" b

af dc' = c

" b

af d'.

2. Si existen las integrales' b

a f d' e' b

a g d', entonces tambien existe la integral' b

a (f + g) d' y se cumple" b

a(f + g) d' =

" b

af d'+

" b

ag d'.


a f d' e' b

a g d', f(t) ) g(t) para todo t # [a, b] y ' es monotona creciente,entonces se cumple " b

af d' )

" b

ag d'.


a f d' e' b

a f d-, entonces tambien existe la integral' b

a f d('+ -) y se cumple" b

af d('+ -) =

" b

af d'+

" b

af d-.

La propiedad de aditividad del intervalo de integracion solo se verifica en una direccion:

Proposicion 6 Si existe la integral de Riemann-Stieltjes' b

a f d' y a < c < b, entonces tambien existen las integra-les de Riemann-Stieltjes

' ca f d' e

' bc f d', y se cumple" b

af d' =

" c

af d'+

" b

cf d'.

Demostracion. Para probar la existencia de las integrales basta con recurrir a la condicion de Cauchy.Dado % > 0 existe un * > 0 tal que

|R(f,', P )!R(f,', Q)| < %

para cualquier par de particiones P y Q de [a, b] con |P | < * y |Q| < *.


Si P1 yQ1 son dos particiones de [a, c] con |P1| < * y |Q1| < *, y elegimos P & cualquier particion de [b, c] con|P &| < *, las particiones de [a, b] definidas por P "

1 = P1*

P & y Q"1 = Q1

*P & cumplen |P "

1| < * y |Q"1| < * y

consecuentemente

|R(f,', P1([a, c]))!R(f,', Q1([a, c]))| = |R(f,', P "1)!R(f,', Q"

1)| < %.

Con esto tenemos probada la existencia de' c

a f d'. La prueba de la existencia de la integral' b

c f d' es analoga.Por ultimo, la igualdad " b

af d' =

" c

af d'+

" b

cf d'

se obtiene al pasar al lımite en las sumas de Riemann-Stieltjes asociadas a particiones que contengan al puntointermedio c.

El recıproco de esta afirmacion no es cierto

Ejemplo 6 Consideremos las funciones definidas en [!1, 1] por

f(x) =

-0 si ! 1 & x < 01 si 0 & x & 1

y '(x) =

-0 si ! 1 & x & 01 si 0 < x & 1

.

f no es integrable en el sentido de Riemann-Stieltjes con respecto a ' porque tienen un punto de discontinuidad encomun. Pero si que existen las integrales

' 0!1 f d' = 0 y

' 10 f d' = 1.

La formula de sumacion de Abel proporciona la formula de integracion por partes que aparece en la siguienteproposicion:

Proposicion 7 (Integracion por partes) Si existe la integral de Riemann-Stieltjes' b

a f d', entonces tambien existela integral

' ba ' df , y se cumple

" b

a' df = (f(b)'(b)! f(a)'(a))!

" b

af d'.

Demostracion. La formula de sumacion de Abel relaciona las sumas de Riemann-Stieltjes de ' con respecto a f ,con sumas de f con respecto a '.

Sea P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} una particion de [a, b] y sean #i # [ti!1, ti] (i = 1, . . . , n) eleccionesde puntos intermedios en los intervalos de la particion P . Consideremos la particion definida por estos puntos

Q = {a = #0 & #1 & #2 & · · · & #n & #n+1 = b},

y consideremos la eleccion de puntos intermedios dada por:x1 = t0 = a # [#0, #1], xi = ti!1 # [#i!1, #i] si (i = 1, . . . , n), yxn+1 = tn = b # [#n, #n+1].Entonces se tiene la igualdad

R(', f, P ) =n!

i=1

'(#i)(f(ti)! f(ti!1))

=n!

i=1

f(ti)'(#i)!n!

i=1

f(ti!1)'(#i)

= f(b)'(b) +n!1!

i=1

f(ti)'(#i)! f(a)'(#1)!n!

i=2

f(ti!1)'(#i)

= (f(b)'(b)! f(a)'(a)) ! f(a)('(#1)! '(a))

!n!

i=2

f(xi)'(#i) +n!

i=2

f(xi)'(#i!1)

= (f(b)'(b)! f(a)'(a)) !n!

i=1

f(xi)('(#i)! '(#i!1))

= (f(b)'(b)! f(a)'(a)) !R(f,', Q)

Tomando lımites en esta ultima expresion cuando |Q| & 2|P |" 0 se concluye la prueba.


Integral de Darboux-Stieltjes.

Al igual que para la integral de Riemann, parece natural el intentar obtener aproximaciones por exceso y pordefecto de la integral de Riemann-Stieltjes en el caso de que la funcion de distribucion ' sea monotona creciente en[a, b]. En efecto:

Dada una funcion f acotada en [a, b], y P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b} es una particion de [a, b], se denota

Mi = sup{f(x) : x # [ti!1, ti]} y mi = inf{f(x) : x # [ti!1, ti]},

y se llaman sumas superiores y sumas inferiores de Riemann-Stieltjes de f con respecto a ' en P a las sumas:

S(f,', P ) =n!

i=1

Mi('(ti)! '(ti!1)), y

s(f,', P ) =n!

i=1

mi('(ti)! '(ti!1))

respectivamente.Como ' es creciente, para cualquier suma de Riemann-Stieltjes asociada a P se cumple:

s(f,', P ) & R(f,', P ) & S(f,', P ). (1.1)

Si P y P " son dos particiones de [a, b] y P % P " se cumple la siguiente cadena de desigualdades:

s(f,', P ) & s(f,', P ") & S(f,', P ") & S(f,', P ).

En general para dos particiones cualesquiera P y Q de [a, b] se verifica que

s(f,', P ) & S(f,', Q).

Definicion 5 Teniendo en cuenta estas desigualdades, se definen la integral inferior y superior de Darboux-Stieltjesde f con respecto a ' en [a, b], respectivamente, como

" b

af(x) d'(x) = sup{s(f,', P ) : P particion de [a, b]} y

" b

af(x) d'(x) = inf{S(f,', P ) : P particion de [a, b]}.

Se dice que f es integrable con respecto a ' en [a, b] en el sentido de Darboux-Stieltjes, cuando las integralessuperior e inferior coinciden, definiendo

(D ! S)" b

af(x) d'(x) =

" b

af(x) d'(x) =

" b

af(x) d'(x).

Ahora lo natural es preguntarse si esta definicion es equivalente a la definicion de Riemann-Stieltjes.La respuesta es negativa, bastara con volver sobre el ejemplo 6 donde f no es integrable Riemann-Stieltjes con

respecto a ' pero si que lo es en sentido Darboux-Stieltjes puesto que para cualquier particion P de [!1, 1] quecontenga al 0 se cumple

(D ! S)" 1

!1f d' = s(f,', P ) = S(f,', P ) = 1.

Sin embargo, se pueden establecer las siguientes respuestas positivas

Teorema 8 Si f es una funcion integrable con respecto a ' en [a, b] en el sentido de Riemann-Stieltjes, entoncestambien lo es en el sentido de Darboux-Stieltjes y se cumplen

" b

af d' = (D ! S)

" b

af d'.


Demostracion. Para la prueba bastara con observar la existencia de los lımites" b

af d' = lım

|P |'0s(f,', P ) = lım

|P |'0R(f,', P ),

" b

af d' = lım

|P |'0S(f,', P ) = lım

|P |'0R(f,', P );

El ejemplo utilizado para distinguir las dos definiciones de integral esta basado en el hecho de que f y ' tienenun punto de discontinuidad en comun. En general si f y ' no tienen puntos de discontinuidad en comun las dosnociones de integral coinciden. Por simplificar la prueba vamos a probar esta coincidencia en el caso particular deque la funcion ' es continua, dejando la prueba del caso citado propuesta en el ejercicio 11

Teorema 9 Sean f : [a, b] " R una funcion acotada y ' : [a, b] " R una funcion continua, monotona y creciente.Entonces existen los lımites lım

|P |'0s(f,', P ) y lım

|P |'0S(f,', P ), ademas se cumple

" b

af d' = lım

|P |'0s(f,', P ),

" b

af d' = lım

|P |'0S(f,', P ).

En particular, si f es integrable con respecto a' en el intervalo [a, b] en el sentido de Darboux-Stieltjes, entoncesf tambien es integrable con respecto a ' en el sentido de Riemann-Stieltjes y

" b

af d' = (D ! S)

" b

af d'.

Demostracion. Vamos a probar la convergencia de las sumas superiores. Para las sumas inferiores se pueden consi-derar los mismos argumentos.

SeaI = inf{S(f,', P ) : P es una particion de [a, b]}

Dado % > 0 buscamos * > 0 tal que

I & S(f,', P ) < I + % si |P | < *.

Por la definicion de I , fijamos una particion

P1 = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}

tal queI & S(f,', P1) < I +

%

2.

Por la continuidad uniforme de ', fijamos * > 0 tal que

1. * < mın{(xi ! xi!1) : i = 1, . . . , n}

2. |'(x) ! '(y)| < "4(n+1)M

para |x! y| < *. DondeM = sup{f(x) : x # [a, b]}.

Sea P = {a = t0 < t1 < · · · < tm = b} una particion arbitraria con |P | < *.Vamos a clasificar los intervalos [tj!1, tj ] en dos grupos disjuntos diciendo que:

j es de tipo I si existe un unico i tal que xi # [tj!1, tj ]. Por la forma de elegir * podemos asegurar que existenexactamente n + 1 ındices de este tipo.

j es de tipo II si no existe ningun i tal que xi # [tj!1, tj].


Sea P = P*

P1. Los subintervalos de esta particion seran de la forma [t j!1, xi] y [xi, tj ] si j es del tipo I; y[tj!1, tj ] si j es del tipo II .

Las sumas superiores correspondientes a P y a P se pueden expresar como sigue:

S(f,', P ) =!

j de tipo II

supt$[tj!1,tj ]

{f(t)}('(tj)! '(tj!1))

+!

j de tipo I

( supt$[tj!1,tj ]

{f(t)}('(xi)! '(tj!1)) + supt$[tj!1,tj ]

{f(t)}('(tj)! '(xi)))

S(f,', P ) =!

j de tipo II

supt$[tj!1,tj ]

{f(t)}('(tj)! '(tj!1))

+!

j de tipo I

( supt$[tj!1,xi]

{f(t)}('(xi)! '(tj!1)) + supt$[xi,tj ]

{f(t)}('(tj)! '(xi)))

Haciendo la diferencia de las dos expresiones se tiene la siguiente acotacion

S(f,', P )! S(f,', P ) =!

j de tipo I

(( supt$[tj!1,tj]

{f(t)}! supt$[tj!1,xi]

{f(t)})('(xi)! '(tj!1)

+ ( supt$[tj!1,tj ]

{f(t)}! supt$[xi,tj ]

{f(t)})('(tj)! '(xi)))

&!

j de tipo I

(M%

4(n + 1)M+ M

%

4(n + 1)M)

= (n + 1)(2M%

4(n + 1)M) =

%

2

Por la monotonıa de las sumas superiores se tiene que

S(f,', P ) & S(f,', P ) y S(f,', P ) & S(f,', P1).

Reuniendo todas las desigualdades se tiene

I & S(f,', P ) & S(f,', P ) +%

2& S(f,', P1) +

%

2< I +

%

2+%

2= I + %,

y esta es la desigualdad que buscabamos.

Podrıamos finalizar el capıtulo preguntandonos por la existencia de una caracterizacion de la integrabilidadRiemann-Stieltjes analoga a la dada por Lebesgue para la integral de Riemann. La respuesta a esta pregunta esafirmativa. Para darla formalmente necesitamos identificar cada distribucion de masa ' con una “medida” µ $. Estolo haremos en los proximos capıtulos, aunque podemos adelantar la equivalencia entre la existencia del la integral' b

a f d' y que el conjunto de puntos de discontinuidad de f tenga medida µ $-nula (lo que implica el que no contienepuntos de discontinuidad de ').

Ejercicios:Ejercicio 6 Sea ' : [a, b] " R una funcion creciente que solo toma una cantidad finita de valores, entonces existeuna particion {t0 = a < t1 < · · · < tm = b} de forma que ' es constante en cada intervalo abierto (t i!1, ti)(tambien se dice que ' es una funcion de salto).

Denotamos'(x+) = inf{'(y) : y > x}, y'(x!) = sup{'(z) : z < x},

a los lımites por la derecha y por la izquierda de '; y definimos d0 = '(a+)! '(a), di = '(ti+)! '(ti!) parai = 1, . . . , m! 1, y dm = '(b)! '(b!).

Probar que f es integrable con respecto a ' en [a, b] si, y solo si, f es continua en los puntos ti, (i = 1, . . . , m)y en ese caso " b

af d' =

m!

i=0

f(ti)di.

En este caso la masa distribuida por ' esta concentrada en una cantidad finita de puntos.


Ejercicio 7 Suponiendo que ' es una funci on creciente en [a, b] y que f es una funcion positiva integrable conrespecto a ' en [a, b], definimos .(x) =

' xa f d'. Pruebese que para cualquier funcion continua g definida en [a, b]

se cumple' b

a g d. =' b

a g.f d'.

Ejercicio 8 Sea f : [a, b] " R una funcion continua y ' : [a, b] " R una funcion monotona creciente. Pruebeseque existe un punto intermedio # # [a, b] tal que

" b

af d' = f(#)('(b)! '(a)).

Ejercicio 9 Sea ' una funcion creciente y continua en [a, b], con '(a) = c y '(b) = d, y f una funci on continuaen [c, d]. Pruebese que " d

cf(y) dy =

" b

af('(x)) d'(x).

Pongase un ejemplo en el que la igualdad anterior sea falsa con ' s olo continua por la derecha en [a, b].

Ejercicio 10 Sean ' una funcion creciente y acotada definida en R, y f una funci on continua y acotada en R.Pruebese la existencia de la integral

' +#!# fd'.

Ejercicio 11 Pruebese que el teorema 9 sigue siendo cierto si se reemplaza la hipotesis ' continua, por la hipotesisde que f y ' no tienen puntos de discontinuidad en com un.

Indicacion: Utilizar que bien f o bien ' son continuas en cada punto de la particion P 1, en lugar de considerarla continuidad uniforme de ' para determinar *.

Capıtulo 2

Construccion de Medidas. La Medida deLebesgue

Vamos a introducirnos el la teorıa de la medida a partir de los objetos mas esenciales que en ella intervienen.Empezaremos describiendo las familias de subconjuntos de un espacio base “algebras y !-algebras” sobre los queposteriormente vamos a definir las “medidas”. Analizaremos el metodo de Caratheodory de construccion de “medi-das” y terminaremos el capıtulo estudiando las medidas de Lebesgue y de Lebesgue-Stieltjes.

2.1. Algebras y !-algebrasEn lo que sigue ! sera un conjunto no vacıo y P(!) la familia de los subconjuntos de !.

Definicion 6 Un algebra de partes de! es una familia no vac ıaA % P(!) estable frente a complementos y unionesfinitas:

i) A # A, Ac # A;

ii) A, B # A, A -B # A;

Si A es un algebra de partes de ! se cumple que ! # A y . # A (como A '= . existe A # A y entonces! = A -Ac # A y . = !c # A).

Pasando al complementario en uniones se tiene que todo algebra es estable frente a intersecciones (A.

B =(Ac*

Bc)c), a diferencias (A \ B = A.

Bc) y a diferencias simetricas (A/B = (A \ B)*

(B \ A)).

Definicion 7 Una !-algebra de partes de ! es un algebra " % P(!) que es estable frente a uniones numerables:

iii) Si An # " para cada n # N y A :=*

n$N An entonces A # ";

Las !-algebras tambien son estables frente a intersecciones numerables, e.d. Si B n # " para cada n # N yB :=

.n$N Bn = (

*n$N Bc

n)c entonces B # ".

Cualquier algebra finita (con una cantidad finita de elementos) es !-algebra puesto que solo es posible definiruniones finitas de elementos distintos.

Para que un algebra A % P(!) sea !-algebra es suficiente requerir que la condicion iii) se cumpla solo parasucesiones crecientes (o decrecientes). En efecto: Si An # A para cada n # N y denotamos Un :=

*nk=1 Ak , los

conjuntos de la sucesion creciente Un pertenecen al algebraA, y

A :=+

n$NAn =

+

n$NBn,

por lo que si se cumple iii) para las sucesiones crecientes, entonces A # ", y tenemos que iii) tambien se cumplepara cualquier sucesion.

Definicion 8 Se llama espacio medible a un par (!, ") donde " es una !- algebra de partes de !.

18

CAPITULO 2. MEDIDAS 19

Ejemplo 7

a) {., !} es una !-algebra trivial; es la mınima !-algebra de partes de !.

b) P(!) es la maxima !-algebra de partes de !.

c) Si ! es infinito, (resp. infinito no numerable) la familia formada por los conjuntos E % ! tales que E o sucomplementario Ec es finito (resp. numerable) es un algebra (resp. !-algebra) distinta de P(!).

d) Cuando ! = R, la familia A formada por las uniones finitas de intervalos de la forma (!*, b), [a, +*),[a, b), con a, b # R, es un algebra de subconjuntos de R que no es !- algebra. CadaA # A se puede expresarcomo union finita y disjunta de intervalos del tipo antes indicado.

Proposicion 10 Si {"# : $ # A} es una coleccion no vacıa de !-algebras (resp. algebras) de partes de !, suinterseccion " =

.{"# : $ # A} es una !-algebra (resp. algebra)

Demostracion. Bastara con aplicar las correspondientes definiciones a cada (!)-algebra de la coleccion.

Definicion 9 Dada una familia D % P(!) se define la !-algebra generada (o engendrada) por D, denotada !(D),como la interseccion de todas las !-algebras que contienen aD (es la m ınima !-algebra que contiene aD). Analo-gamente se puede definir el algebra generada (o engendrada) por D, denotada a(D), como la intersecci on de todaslas algebras que contienen a D (es la m ınima algebra que contiene a D). Claramente a(D) % !(D).

Si D es una familia numerable, se dice que !(D) es una !- algebra numerablemente generada.

Ejemplo 8 (Conjuntos de Borel) Si T es un espacio topologico se denotaran por G,F ,K las familias formadaspor los subconjuntos de T que son, respectivamente, abiertos, cerrados y compactos. La !- algebra !(G) generadapor los abiertos (que coincide con la generada por los cerrados !(F)) se llama !- algebra de Borel de T , se denotaB(T ) y a sus elementos se les llama conjuntos de Borel.

La descripcion de los elementos de la !-algebra generada por una familia infinita de subconjuntos no es dema-siado sencilla. Vamos a hacer una aproximacion a B(R) en esta direccion.

Dada una familia H % P(!), sea denota por H' (resp H%) la familia formada por los subconjuntos de ! quese obtienen mediante union (resp. interseccion) de alguna subfamilia numerable deH. En forma iterada se obtienenfamilias cada vez mayores

H % H' % H'% % H'%' · · · H % H% % H%' % H%'% · · ·

que estan contenidas en la !-algebra !(H).Los subconjuntos del espacio topologico T que son F' y los conjuntos G% son clases especiales de conjuntos

de Borel. Cuando la topologıa de T es metrizable se cumple que F % G % y G % F' (si C # F y d es una metricaque proporciona la topologıa de T , entonces la interseccion de la sucesion de abiertos A n = {x : d(x, F ) < 1

n} esC =.

An). En este caso las cadenas crecientes

G % G% % G%' % G%'% · · ·

F % F' % F'% % F'%' · · ·

tienen la misma union pero, en general, no se puede asegurar que esta union sea precisamente B(T ). Cuando T = Rse sabe que las cadenas anteriores son estrictamente crecientes (por ejemplo, el teorema de la categorıa de Baireprueba que el conjunto de los numeros racionalesQ es un F ' % G%' que no es un G%) y que su union es distinta deB(R). Para obtener B(R) es preciso repetir la construccion haciendo una induccion “transfinita” con ındices en losordinales hasta el primer ordinal no numerable, etapa en la que se obtiene B(R).

Proposicion 11 La !-algebra de Borel B(R) esta engendrada por cada una de las siguientes familias

a) Los intervalos (a, b], (resp. [a, b), (a, b), [a, b] ) a, b # R;

a’) Los intervalos (a, b], (resp. [a, b), (a, b), [a, b] ) a, b # Q;

b) Las semirrectas (!*, b], (resp. (!*, b)), b # R;

c) Las semirrectas [a, +*), (resp. (a, +*)), a # R;


Demostracion. Bastara con recordar que cada subconjunto abierto es una union numerable disjunta de intervalosabiertos. Para a) y a’), observaremos que cada intervalo abierto se puede describir como una union numerable deintervalos cerrados (resp.semiabiertos por la izquierda o por la derecha) (a, b) =

*n$N[rn, sn] donde a < rn <

sn < b, rn " a y sn " b. Y para b) y c), basta con observar como cualquier intervalo semiabierto es diferencia dedos semirrectas.

Para estudiar los borelianos de Rn utilizaremos la notacion siguiente:Dados dos vectores a,b # Rn, escribiremos a < b (resp. a & b) para expresar que a i < bi, (resp. ai & bi)

para todo i # {1, 2 · · ·n}. Si a < b, denotaremos por [a,b) el intervalo semiabierto n-dimensional {x # R n :a & x < b}

Analogamente, se usaran las notaciones [a,b], (a,b), (a,b] para denotar los otros tipos de intervalos n-dimen-sionales determinados por a y b. Cuando b i ! ai = * > 0 para todo i # {1, 2 · · ·n} se dice que el correspondienteintervalo es un cubo n-dimensional de lado *.

Entre los cubos n-dimensionales desempenaran un papel especial los cubos diadicos:Diremos que [a,b) % Rn es un cubo diadico semiabierto de orden q # N si su lado es 2!q y para cada

i # {1, 2 · · ·n} se tiene que ai = mi2!q dondemi # Z. Es facil comprobar el par de propiedades siguientes:

1. Si q esta fijo, cada punto de Rn esta en un unico cubo diadico semiabierto de orden q.

2. Si q < p, Q y Q" son cubos diadicos semiabiertos de orden q y p respectivamente, y Q.

Q" '= ., entoncesQ" % Q.

Lema 2.1.1 Cada abiertoG % Rn se puede expresar como la union de una sucesion de cubos diadicos semiabiertosdisjuntos dos a dos

Demostracion Para cada x # G se considera el mayor cubo diadico semiabierto que contiene a x y que esta conte-nido en G haciendo la union de todos los cubos diadicos con esta propiedad. Ası se tiene una cantidad numerablede cubos disjuntos dos a dos cuya union es G.

Este Lema asegura que los abiertos de Rn (y por consiguiente, tambien los conjuntos de Borel) estan contenidosen cualquier !-algebra que contenga a los cubos diadicos semiabiertos. En concreto tenemos el siguiente resultado:

Proposicion 12 La !-algebra de Borel B(Rn) esta engendrada por cada una de las siguientes familias:

a) Los intervalos [a,b) (resp. (a,b], (a,b), [a,b]), a,b # Rn, a < b;

b) Los semiespacios {x : xi & t}, (resp. {x : xi ) t}) 1 & i & n, t # R;

c) Los semiespacios {x : xi < t}, (resp. {x : xi > t}) 1 & i & n, t # R;

d) Los cubos semiabiertos;

e) Los cubos diadicos semiabiertos;

EjerciciosEjercicio 12 Pruebese que el algebra de partes de! generada porH % P(!) esta formada por las uniones finitasde conjuntos de la forma Ae1

1 0 Ae22 0 Ae3

3 0 · · · 0 Aenn , donde ei # {1, c} y Ai # H, (1 & i & n), y por tanto es

numerable siH es numerable.

Ejercicio 13 Pruebese que si " = !(H) es la !-algebra generada por H % P(!) entonces para cada A # "existe una subfamilia numerableH0 % H tal que A # !(H0).

Ejercicio 14 Si (!, ") es un espacio medible se llaman atomos a las clases de equivalencia respecto a la relacion:/1 1 /2 2 )A(/1) = )A(/2) para todo A # ". Pruebese que si " esta generada por una familia numerableentonces los atomos pertenecen a "

Ejercicio 15 Descrıbanse las !-algebras contenidas en P(N).

Ejercicio 16 Pruebese que si " es una !-algebra infinita de generacion numerable entonces c & card(") & 2c (sepuede probar que card(") = c). Por tanto el cardinal de cualquier !- algebra infinita no es numerable.


Ejercicio 17 Pruebese que si la !-algebra " de partes de ! esta generada por E entonces {M 0 E : E # "} esuna !-algebra de partes de M % ! generada por {M 0 E : E # E}.

Sea T un espacio topologico yM % T con la topolog ıa inducida. Pruebese que B(M) = {M 0B : B # B(T )}y que si M # B(T ) entonces B(M) = {B # B(T ) : B % M}.

Ejercicio 18 Sea ! := {0, 1}N, !n := {0, 1}n y Pn : ! " !n la proyeccion canonica sobre las n primerascoordenadas. SiAn := {P!1

n (A) : A % !n} es el algebra de los subconjuntos de ! determinados por las n prime-ras coordenadas, se considera la familia de los conjuntos determinados mediante un n umero finito de coordenadasA :=

*n$N An.

a) Pruebese que A es un algebra;

b) Pruebese que el conjunto B := {/ # ! : lımn(1+(2···+(n

n = 12} pertenece a la !-algebra !(A) pero no

pertenece a A y por tantoA no es !-algebra;

c) Pruebese que si An es una sucesion decreciente en A formada por conjuntos no vac ıos entonces su intersec-cion no es vacıa.

Ejercicio 19 Para cada / # (0, 1] sea / =,#

n=1 dn(/)2!n, dn(/) # {0, 1} su desarrollo diadico, donde sesupone que {n # N : dn = 1 es infinito} (con lo que se asegura la unicidad del desarrollo, de modo que unpunto tal como 1/2 se representa por 0, 1, 1, 1, 1, · · · ). Sea N % [0, 1) el conjunto formado por los n umeros reales/ # [0, 1) tales que la sucesion de las frecuencias de aparicion de 1, fn(/) := n!1

,nk=1 dk(/), converge hacia

1/2 (estos numeros se llaman normales). Pruebese queN es un conjunto de Borel.

2.2. MedidasUna vez establecida la nocion de !-algebra de partes de un conjunto, vamos a formalizar la nocion de medida.

En lo que sigue denotaremos por [0, +*] a la semirrecta real positiva ampliada con el punto+*.

Definicion 10 Una funcion de conjunto µ : A" [0, +*], definida sobre un algebraA % P(!), se dice que es unamedida finitamente aditiva (brevemente medida f.a.) si µ(.) = 0 y para cada familia finita {A i : 1 & i & n} % A,formada por conjuntos disjuntos dos a dos, se cumple

,ni=1 µ(Ai) = µ(A) dondeA = -{Ai : 1 & i & n}.

Una funcion de conjunto µ : " " [0, +*], definida sobre una !- algebra " se dice que es unamedida numera-blemente aditiva si µ(.) = 0 y para cada familia numerable {An : n # N} % ", formada por conjuntos disjuntosdos a dos, se cumple

,n$N µ(An) = µ(-{An : n # N}). Si ademas, µ(!) = 1 se dice que µ es una probabilidad

(o una medida de probabilidad).

A las medidas numerablemente aditivas tambien se les llama medidas sigma-aditivas (!-aditivas).Notese que toda medida numerablemente aditiva es una medida f.a. pues cualquier union finita de conjuntos se

puede poner como una union de una sucesion de conjuntos cuyos terminos coinciden con el . a partir de un ındice.Puesto que el conceptomas utilizado sera el de medida numerablemente aditiva en lo sucesivo,medida sera sinonimode medida numerablemente aditiva.

Si en vez de suponer que µ toma valores en [0, +*] se supone que toma valores en R (resp. C ) resultanlas nociones de medida f.a. real (resp. compleja) y de medida numerablemente aditiva real (resp. compleja). Severa mas adelante que el estudio de las medidas reales o complejas se reduce al de las medidas reales positivas.Ası, esta seccion y las siguientes estan dedicada al estudio de las medidas positivas, no necesariamente con valoresfinitos, y a los metodos utilizados usualmente para obtenerlas.

Definicion 11 Se llama espacio de medida a una terna (!, ", µ) donde (!, ") es un espacio medible y µ : " !"[0, +*] una medida.

Dado un espacio de medida (!, ", µ) se dice que E # " es !-finito si E se puede expresar como la uni on deuna sucesion En # " tal que µ(En) < +* para todo n # N. Si ! es !-finito se dice que el espacio de medida(!, ", µ) es !-finito y tambien que la medida µ es !-finita.

Ejemplo 9

1. Sean ! un conjunto no vac ıo, " = P(!) y f : ! !" [0, +*] una funcion. Entonces la formula µ(E) =,x$E f(x) (¿ Como esta definida una suma arbitraria de una cantidad no-numerable de n umeros positivos?)

define una medida en ". Esta medida es !-finita si, y s olo si, {x : f(x) > 0} es numerable. En particular:


a) Si f(x) = 1 para todo x, µ es la medida del cardinal: µ(E) = card(E) si E # " es finito, y µ(E) =+* si E # " es infinito.

b) Si existe un punto / tal que f(/) = 1 y f(x) = 0 para x '= /, µ es la medida de Dirac en / (µ = *()):µ(E) = )E(/).

c) Si,#

n=1 $n < +* es una serie convergente de numeros reales no negativos entonces µ(A) :=,n$A $n es una medida finita sobre P(N).

d) Si {xn : n # N} es una sucesion de numeros reales y para cadaA % R se defineµ(A) :=,+#

n=1 )A(xn)se obtiene una medida sobreP(R). Si la sucesion es densa enR entonces µ(G) = +* para cada abier-to G % R. Si la sucesion cumple lımn |xn| = +* entonces µ(B) < +* para cada conjunto acotadoB % R.

2. Si A % P(N) es el algebra de los conjuntos que son finitos o tienen complementario finito y se defineµ(A) = 0 si A es finito y µ(A) = 1 si A es infinito se obtiene una medida f.a. que no se puede extender a unamedida sobre !(A) = P(N).

3. µ(E) = +* si E '= ., y µ(E) = 0 si E = . es una medida en P(!).

Las propiedades basicas de las medidas se pueden reunir en la siguiente proposicion:

Proposicion 13 Sea el espacio de medida (!, ", µ), entonces:

1. (Monotonıa) Si A, B # " y A % B se cumple µ(A) & µ(B). Si ademas µ(B) < +* entonces µ(B \ A) =µ(B)! µ(A);

2. (Subaditividad) Si {An : n # N} es una sucesion en " entonces µ(*

n An) &,

n µ(An);

3. (Continuidad superior) Si {An : n # N} es una sucesion creciente en " entonces µ(-nAn) = lımn µ(An);

4. (Continuidad inferior) Si {An : n # N} es una sucesion decreciente en " tal que µ(Am) < +* para algunm # N entonces µ(0nAn) = lımn µ(An);

Demostracion.

1. Como B = A*

(B \ A), entonces µ(B) = µ(A) + µ(B \ A) de donde resulta la monotonıa.

2. Cualquier union numerable se puede escribir como una union numerable disjunta. En efecto:*

n$N An =*n$N Bn donde

B1 = A1 y Bn = An \n!1+

k=1

Ak # ".

Los conjuntosBn son disjuntos dos a dos. Ahora la !-aditividad y la monotonıa de µ nos dan

µ(+

n

An) = µ(+

n

Bn) =!

n

µ(Bn) &!

n

µ(An).

3. Como en el caso anterior, la union numerable de An se puede identificar con una union disjunta. Pero ahorasi ademas An es creciente, tenemos queBn = An \ An!1 para n > 1, y An =

*nk=1 Bk. En consecuencia

µ(+

n

An) = µ(+

k

Bk) =!

k

µ(Bk)

= lımn

n!

k=1

µ(Bk) = lımn

µ(n+

k=1

Bk) = lımn

µ(An).

4. Si µ(Am) < +* y An es decreciente, bastara con aplicar la continuidad superior a la sucesion crecienteCn = Am \ An donde n > m.


Estas propiedades caracterizan a las medidas finitamente aditivas que son numerablemente aditivas tal y comorelatamos en la siguiente proposicion. Para establecer la prueba es suficiente observar que lo que le falta a unafuncion de conjunto que sea subaditiva para ser numerablemente aditiva es que para cada sucesion de conjuntosA n

disjuntos dos a dos, se cumpla !

n

µ(An) & µ(+

n

An),

y esta propiedad de “superaditividad” la tienen todas las medidas finitamente aditivas. En efecto:

N!

n=1

µ(An) = µ(N+

n=1

An) & µ(+#+

n=1

An)

y al tomar supremos en estas sumas parciales obtenemos la “superaditividad”.

Proposicion 14 Si µ : " !" [0, +*] es una medida f.a. cada una de las siguientes condiciones es suficiente paraque µ sea !-aditiva:

1. Se cumple la propiedad de subaditividad.

2. Se cumple la continuidad superior.

Si ademas µ(!) < +* la siguiente condicion tambien es suficiente para que µ sea !-aditiva:

3. Para cada sucesion decreciente {An : n # N} % " con interseccion vacıa se cumple lımn µ(An) = 0;

Definicion 12 Sea (!, ", µ) un espacio de medida.Un conjuntoN % ! se dice que es µ-nulo (o de medida nula) si existe A # " tal queN % A y µ(A) = 0.Cuando todos los conjuntos µ-nulos pertenecen a " se dice que el espacio de medida (!, ", µ) es completo y

que la medida µ es completa.

Con esta definicion resulta inmediato que los subconjuntos de un conjunto µ-nulo tambien son µ-nulos, y porotra parte, que la union numerable de conjuntos µ-nulos tambien es un conjunto µ-nulo.

La completitud de una medida suele obviar muchas puntualizaciones tecnicas. Esta completitud se puede alcan-zar engordando la !-algebra con los conjuntos nulos:

Teorema 15 (Teorema de Completitud de Lebesgue) Dado un espacio de medida (!, ", µ), la familia

"µ = {E % ! : (A, B # ", A % E % B, µ(B !A) = 0}

es una !-algebra que contiene a " y la funcion de conjunto µ : "µ !" [0, +*] definida por µ(E) = sup{µ(A) :A % E, A # "} es la unica medida completa cuya restriccion a " es µ.

Demostracion De la definicion tenemos que " % "µ, . # "µ y ! # "µ.Si E # "µ existen A, B # " tales que A % E % B con µ(B \ A) = 0. µ(E) = sup{µ(C) : C % E, C # "},

toma el valorµ(E) = µ(A) = µ(B). (2.1)

Pasando a complementarios en la cadena de inclusiones anterior se tiene que B c % Ec % Ac, y µ(B \ A) =µ(Ac \ Bc) = 0. Esto prueba que "µ es estable por paso a complementarios.

Si En # "µ existen An, Bn # " tales que An % En % Bn y µ(Bn \ An) = 0, entonces tomando A =*n An # " y B =

*n Bn # " tendremos A %

*En % B y

µ(B \ A) & µ(+

n

Bn \ An) &!

n

µ(Bn \ An) = 0.

Esto prueba la estabilidad por uniones numerables de "µ.Si ademas suponemos que los conjuntos En son disjuntos dos a dos, los conjuntos An tambien seran disjuntos

dos a dos y µ(A) =,

n µ(An) =,

n µ(En). Como µ(B \ A) = 0 tenemos que

µ(+

n

En) = µ(A) =!

n

µ(En).


Lo que prueba que µ es una medida sobre "µ. Como los conjuntos µ-nulos coinciden con los µ-nulos, y estos estancontenidos en "µ podemos concluir que µ es una medida completa.

Por ultimo la unicidad de la extension la proporciona la formula 2.1.

Otra forma de describir "µ es

"µ = {A -N : N es µ nulo , A # "}.

Definicion 13 El espacio de medida completo (!, "µ, µ) proporcionado por el teorema anterior se llama la com-pleccion de (!, ", µ).

Ejercicios.Ejercicio 20 Sean µ1, . . . , µn medidas sobre (!, ") y a1, . . . , an numeros reales positivos. Pruebese que,n

k=1 akµk es una medida sobre (!, ").

Ejercicio 21 Si µ es una medida finitamente aditiva sobre el algebraA y E, F # A, pruebese que

µ(E) + µ(F ) = µ(E+

F ) + µ(E0

F ).

Ejercicio 22 Pruebese que (!, "µ, µ) es el mınimo espacio de medida completo que extiende a (!, ", µ): Si(!,F , 0) es un espacio de medida completo tal que " % F y 0|" = µ entonces "µ % F y 0|"µ = µ.

Sea (!, "µ, µ) la compleccion del espacio de medida (!, ", µ). Pruebese que dada una !-algebraA, " % A %"µ si 0 := µ|A entonces (!, "µ, µ) tambien es la compleccion de 0.

Ejercicio 23 (Lema de Borel-Cantelli) Sea (!, ", µ) un espacio de medida y An # " una sucesion tal que,#n=1 µ(An) < +*. Pruebese que el conjunto H % ! formado por los puntos / # ! tales que / # An pa-

ra infinitos valores de n pertenece a " y µ(H) = 0.Si (!, ", µ) un espacio de medida de probabilidad y An # " son conjuntos “independientes” tales que,#

n=1 µ(An) = +*, pruebese que µ(H) = 1.

Ejercicio 24 Pruebese que no existe una probabilidad µ sobre P(N) tal que para cada n # N verifique µ(nN) =1/n.

2.3. Medidas exteriores. Construccion de medidas.La nocion de medida exterior de Caratheodory proporciona una herramienta estandar para construir medidas

completas

Definicion 14 Una medida exterior sobre ! es una funcion de conjunto µ& : P(!) !" [0, +*] que verifica:

1. µ&(.) = 0;

2. Si A % B entonces µ&(A) & µ&(B);

3. Si {An : n # N} es una sucesion de subconjuntos de ! entonces

µ&(-nAn) &#!

n=1

µ&(An).

El nombre de medida exterior proviene de la forma en que usualmente se construyen medidas:

Ejemplo 10 Sean E % P(!) y 1 : E !" [0, +*] una aplicacion tales que . # E , ! # E y 1(.) = 0. La funcion

µ&(A) = inf{+#!

1

1(En) : En # E y A %+#+

1

En}

define una medida exterior sobre !


Ası se tienen los siguientes casos particulares

a) µ&(E) = 1 si E '= ., µ&(.) = 0 (E = {., !}, 1(!) = 1);

b) µ&(E) = 0 si E es numerable, µ&(E) = 1 si E no es numerable (E = {., los subconjuntos finitos, !},1(.) = 1(A) = 0 si A es finito, y 1(!) = 1);

c) La medida exterior de Lebesgue que estudiaremos en la seccion siguiente que esta definida sobre R conside-rando E = {[a, b) : !* & a & b & +*} y 1([a, b)) = b! a.

d) Si (!, ", µ) es un espacio de medida µ&(A) = inf{µ(E) : A % E # "} define una medida exterior.

A cada medida exterior se le puede asociar una medida. Para ello, se introduce la siguiente nocion:

Definicion 15 Si µ& es una medida exterior sobre !, un conjunto E % ! se dice que es µ&-medible si para cadaT % ! se cumple

µ&(T ) = µ&(T 0 E) + µ&(T 0 Ec).

De la subaditividad de µ& se obtiene que para cada T % !

µ&(T ) & µ&(T 0 E) + µ&(T 0 Ec),

por lo tanto para probar que E es µ&-medible sera suficiente obtener una prueba de la desigualdad contraria. Comoesta ultima es evidente en el caso µ&(T ) = +*, solo se tiene que probar que µ&(T ) ) µ&(T 0 E) + µ&(T 0 Ec)cuando µ&(T ) < +*.

Esta nocion de conjunto medible aunque, en principio, no parezca muy intuitiva, proporciona un espacio demedida asociado a cada medida exterior como prueba el siguiente teorema:

Teorema 16 (Teorema de Caratheodory) Si µ& es una medida exterior sobre !, la familia de los conjuntos µ&-medibles es una !-algebra y la restriccion µ de µ& a esta !-algebra es una medida completa.

Demostracion: Sea M(µ&) la familia de los conjuntos µ&-medibles. Como la definicion de conjunto medible nocambia si cambiamos E por Ec, se tiene queM(µ&) es cerrada por paso al complementario. Evidentemente . #M(µ&) y ! #M(µ&).

Para ver que M(µ&) es un algebra solo tenemos que probar que es cerrada para uniones finitas. Si E, F #M(µ&) y µ&(T ) < +* se cumple

µ&(T ) = µ&(T 0 E) + µ&(T 0 Ec)= [µ&(T 0 E 0 F ) + µ&(T 0 E 0 F c)

+ µ&(T 0Ec 0 F )] + µ&(T 0 Ec 0 F c)) [µ&(T 0 (E - F ))] + µ&(T 0 (E - F )c)

donde las dos primeras igualdades provienen de la medibilidad de E y F mientras que la ultima desigualdad se basaen la subaditividad de µ& aplicada a la descomposicion de T 0 (E - F ) senalada por los corchetes.

Si en la identidad anterior se supone ademas que E y F son disjuntos se tiene que

µ&(T ) = µ&(T 0 E) + µ&(T 0 F ) + µ&(T 0 (E - F )c),

y en particular se tiene tambien que µ& es finitamente aditiva sobreM(µ&).Para probar queM(µ&) es una !-algebra solo queda probar que es cerrada para uniones numerables disjuntas.

Si An #M(µ&) son disjuntos dos a dos, denotaremosBn =*n

k=1 Ak y B =*

n An. Si µ&(T ) < +*

µ&(T ) = µ&(T0

Bn) + µ&(T0

Bcn)

=n!

k=1

µ&(T 0Ak) + µ&(T0

Bcn)

)n!

k=1

µ&(T 0Ak) + µ&(T0

Bc)


tomando supremos en la ultima desigualdad cuando n # N resulta

µ&(T ) )+#!

k=1

µ&(T 0Ak) + µ&(T0

Bc)

) µ&(T0

B) + µ&(T0

Bc) ) µ&(T ).

Esta identidad prueba queM(µ&) es una !-algebra y que µ& es una medida numerablemente aditiva sobre ella.Como los conjuntos de medida exterior cero son µ&-medibles tenemos que la restriccion de µ& aM(µ&) es una

medida completa.

En las condiciones del teorema anterior, si M(µ&) es la !-algebra de los conjuntos µ&-medibles se dira que(!,M(µ&), µ) es el espacio de medida completo asociado a la medida exterior µ &.

Una de las aplicaciones clasicas del Teorema de Caratheodory es la extension de una premedida definida sobreun algebra A (e.d. una funcion de conjunto 0 tal que 0(.) = 0 y 0(- nAn) =

,n 0(An) para cada sucesion de

conjuntos dos a dos disjuntosAn # A cuya union*

n An # A), a una medidaµ definida sobre la !-algebra generadaporA:

Proposicion 17 Si µ es una premedida sobre el algebraA de partes de ! y µ& es la medida exterior definida por

µ&(A) = inf{+#!

1

µ(An) : An # A y A %+#+

1

An},

entonces

1. µ&(A) = µ(A) para cada A # A, y

2. cada conjunto A # A es µ&-medible.

Demostracion. De la definicion resulta queµ&(A) & µ(A)

para cada conjunto A # A. Ası, para probar el primer apartado podemos restringirnos al caso µ &(A) < +*. Eneste caso dado % > 0 podemos encontrar una sucesion An # A tal que A %

*An y

µ&(A) + % >!

n

µ(An).

Tomando Bn = A 0 An \ (*n!1

k=1 Ak) # A tenemos una sucesion de conjuntos disjuntos dos a dos cuya union esA =*

n Bn # A. Como µ es una premedida se tiene

µ&(A) + % >!

n

µ(An) )!

n

µ(Bn) = µ(A) ) µ&(A).

Haciendo tender % a cero, tendremos la igualdad deseada.Para el segundo apartado si µ&(T ) < +* y A # A, por la definicion de µ&(T ) dado % > 0 podemos encontrar

Bn # A tales que T %*

n Bn yµ&(T ) + % >

!

n

µ(Bn).

Como µ es una premedida,Bn 0A # A, Bn 0Ac # A, T 0A %*

n Bn 0A y T 0Ac %*

n Bn 0Ac, se tiene

µ&(T ) + % >!

n

µ(Bn)

=!

n

(µ(Bn 0A) + µ(Bn 0Ac))

=!

n

µ(Bn 0A) +!

n

µ(Bn 0Ac)

) µ&(T 0A) + µ&(T 0Ac).

Esta desigualdad prueba la medibilidad de cada A # A.


Teorema 18 (Extension de Caratheodory) Sean A % P(!) un algebra, µ una premedida definida en A y " =!(A) la !-algebra engendrada por A. Existe una medida µ definida en " cuya restricci on a A es µ, en concreto:µ = µ&, y cumple que si 0 es otra medida en " que extiende a µ entonces 0(A) & µ(A) para cada A # ". Laigualdad se da en los conjuntosA con µ(A) < +*. En particular si µ es !-finita, entonces µ es la unica extensionde µ a ".

Demostracion. Aplicando la proposicion anterior tenemos que

A % " %M(µ&)

y µ = µ|! es una medida que extiende a la premedida µ.Si 0 es otra medida que extiende a µ, entonces para cada A # " y cada sucesion An # A tal que A %

*n An,

se cumple0(A) &

!

n

0(An) =!

n

µ(An).

Tomando ınfimos en los cubrimientos de A con sucesiones de elementos del algebra se tiene que 0(A) & µ &(A) =µ(A).

Supongamos ademas que µ(A) < +*, de la definicion de µ& dado % > 0, podemos elegir una sucesion deelementos del algebraA, An, que podemos suponer disjuntos dos a dos, y tal que

µ&(A) &!

n

µ(An) & µ&(A) + %.

Observamos que

µ(+

n

An) =!

n

µ(An) = 0(+

n

An),

% > µ(+

n

An \ A) ) 0(+

n

An \ A)

0(A) + % > 0(+

n

An) = 0(+

n

An) ) µ(A)

En el caso !-finito, cada conjunto de " se puede escribir como una union numerable disjunta de conjuntos conmedida (µ) finita, en los que coinciden cualquier extension 0 de µ. Como µ y 0 son medidas tambien coincidiranen estas uniones, y en consecuencia coincidiran en toda la !-algebra ".

Los ejercicios siguientes muestran como en el caso finito, es posible aproximar los conjuntos µ &-medibles porconjuntos del algebra A. Como consecuencia, el teorema de Caratheodory tambien proporciona la compleccion deun espacio de medida.

Ejercicio 25 Sean A % P(!) un algebra, A' las uniones numerables de conjuntos de A y A'% las interseccionesnumerables de elementos de A' . Sea µ una premedida definida en A y µ& la medida exterior asociada. Pruebensela afirmaciones siguientes:

1. Para cada E % ! y cada % > 0, existe un conjuntoA # A' tal que E % A y µ&(A) & µ&(E) + %.

2. Si µ&(E) < +*, entonces E es µ&medible si, y solo si, existe B # A'% tal que E % B y µ&(B \ E) = 0.

3. Si µ es !-finita, se puede suprimir la condicion µ&(E) < +* del apartado anterior

Ejercicio 26 Sean A % P(!) un algebra, y " = !(A) la !-algebra generada. Pruebese que para cada medidafinita µ definida en ", para cada conjunto E # ", y cada % > 0, se puede encontrar un conjunto A # A tal que

µ(E /A) < %.

Ejercicio 27 Sean (!, ", µ) un espacio de medida !-finito, µ& la medida exterior asociada yM(µ&) la !-algebrade los conjuntos µ&-medibles. Pruebese que (!,M(µ&), µ&) es la compleccion de (!, ", µ).


2.4. Medidas de Lebesgue y de Lebesgue-StieltjesVamos a construir ahora laMedida de Lebesgue en Rn. En el ejemplo 10-(c) construıamos la medida exterior

de Lebesgue en R a partir de las longitudes de los intervalos. Ahora vamos a repetir la construccion en R n y a partirde la medida exterior utilizaremos el metodo de Caratheodory para obtener la medida de Lebesgue en R n.

Utilizando la notacion descrita en la descripcion de la !-algebra de Borel B(R n), si a,b # Rn, con a < b (e.d.ai < bi para todo i # {1, 2 · · ·n}) denotaremos por I = [a,b) el intervalo semiabierto n-dimensional {x # R n :a & x < b}. Denotaremos por Vol(I) a su volumen n-dimensional, e.d. al producto de las longitudes de sus lados:

Vol([a,b)) =n1

i=1

(bi ! ai).

Se considera al conjunto vacıo como un intervalo abierto acotado n-dimensional con Vol(.) = 0. El siguienteresultado es muy intuitivo y su prueba es muy simple en dimension 1, aunque puede resultar algo mas engorrosa(por los detalles) en dimension mayor, por lo que la dejaremos como ejercicio.

Lema 2.4.1 Si [a,b) %*N

k=1 [a(k),b(k)), donde [a(k),b(k)) es una coleccion finita de intervalos n-dimensio-nales, se cumple:

Vol([a,b)) &N!

k=1

Vol([a(k),b(k))).

Recıprocamente, si [a(k),b(k)) es una coleccion finita de intervalos n-dimensionales dos a dos disjuntos y cuyaunion

*Nk=1 [a(k),b(k)) % [a,b), entonces

N!

k=1

Vol([a(k),b(k))) & Vol([a,b)).

Definicion 16 (Medida Exterior de Lebesgue) Definiremos la medida exterior de Lebesgue para cada A % R n

como

&&n(A) = inf{+#!

k=1

Vol([a(k),b(k))) : A %+#+

k=1

[a(k),b(k))}.

A la vista del lema anterior, y dado que la diferencia de dos intervalos n-dimensionales semiabiertos se puedeexpresar como una union de una cantidad finita de intervalos semiabiertos dos a dos disjuntos, en la definicion de lamedida exterior de Lebesgue podemos restringirnos a cubrimientos numerables formados por intervalos semiabier-tos dos a dos disjuntos y de lados de longitud menor que una cantidad fija, tan pequena como se quiera.

La medida exterior de Lebesgue asigna a cada intervalo n-dimensional su volumen:

Proposicion 19 Si a,b # Rn, con a < b entonces

&&n([a,b)) = Vol([a,b)).

Demostracion. De la definicion de la medida exterior de Lebesgue resulta evidente que & &n([a,b)) & Vol([a,b))

puesto que cada intervalo n-dimensional esta cubierto por el mismo. Para probar la desigualdad inversa, dado % > 0un cubrimiento numerable de [a,b)

[a,b) %+#+

k=1

[a(k),b(k)),

tal que+#!

k=1

Vol([a(k),b(k))) & &&n([a,b)) + %.

De la definicion de volumen podemos dado % > 0 podemos encontrar a < c < b tal que

Vol([a,b)) & (1 + %)Vol([a, c)),

y para cada k podemos encontrar c(k) < a(k) < b(k) tales que

Vol([c(k),b(k))) & (1 + %)Vol([a(k),b(k))).


Como [a, c] es un compacto y (c(k),b(k)) con k # N es un recubrimiento abierto del mismo, existe unN tal que

[a, c) %N+

k=1

[c(k),b(k)).

Aplicando ahora el lema anterior tendremos

Vol([a,b)) & (1 + %)Vol([a, c))

& (1 + %)N!

k=1

Vol([c(k),b(k)))

& (1 + %)2N!

k=1

Vol([a(k),b(k)))

& (1 + %)2(&&n([a,b)) + %).

Haciendo ahora %" 0 completamos la prueba de la identidad buscada.

Razonando como en esta ultima prueba podemos establecer el siguiente resultado

Proposicion 20 Si Ik = [a(k),b(k)) una sucesion de intervalos n-dimensionales dos a dos disjuntos, entonces

&&n(+#+

k=1

Ik) =+#!

k=1

Vol(Ik) =+#!

k=1

&(Ik).

Demostracion. Como antes, de la definicion de la medida exterior

&&n(+#+

k=1

Ik) &+#!

k=1

Vol(Ik).

Evidentemente si &&n(*+#

k=1 Ik) = +* la desigualdad anterior sera una igualdad. Supongamos entonces que&&n(*+#

k=1 Ik) < +*. Dado % > 0 y razonando como en la prueba de la proposicion anterior podemos aproxi-mar interiormente los intervalos Ik por intervalos semiabiertos Ck cuyos cierres son compactos y estan contenidosen Ik, de forma que para cualquier valor de k

Vol(Ik) & (1 + %)Vol(Ck).

Como los cierres de los intervalos Ck son compactos disjuntos, para cada numero natural N podemos encontrar* > 0 de forma que cualquier intervalo n-dimensional con lados de longitud menor que * solo puede cortar a uno delos intervalos Ck si 1 & k & N .

De la definicion de la medida exterior se puede encontrar una sucesion de intervalos semiabiertos n-dimensio-nales Jm dos a dos disjuntos con lados menores que * y tales que

+#+

k=1

Ik %+#+

m=1

Jm, y

+#!

m=1

Vol(Jm) & (1 + %)&&n(+#+

k=1

Ik).

Volviendo a los razonamientos hechos en la prueba de la proposicion anterior aproximando los intervalos J m porintervalos semiabiertos Am de lado menor que * y con Jm %

(Am y Vol(Am) < (1 + %)Vol(Jm). Por ser

*Nk=1 Ck

un compacto recubierto por la sucesion de abiertos(

Am, se puede determinar un numeroM tal que

N+

k=1

Cm %M+

m=1

Am.


Como los lados de Am son menores que * estamos seguros de que cada intervalo Am a lo mas intersecta a un solointervalo Ck . Aplicando el lema inicial a cada intervalo Ck y a los intervalos Am que tienen interseccion no vacıacon el, tenemos que

N!

k=1

Vol(Ik) & (1 + %)N!

k=1

Vol(Ck)

& (1 + %)M!

m=1

Vol(Am)

& (1 + %)2+#!

m=1

Vol(Jm)

& (1 + %)3&&n(+#+

k=1

Ik)

Haciendo ahoraN " +* y %" 0 obtendremos la desigualdad buscada.

La !-aditividad de la medida exterior &&n para uniones numerables de intervalos n-dimensionales semiabiertos

que sean disjuntos dos a dos nos permite afirmar que

Proposicion 21 Si sobre el algebra A de partes de Rn formada por las uniones finitas disjuntas de intervalosn-dimensionales semiabiertos acotados, [a,b), y sus complementarios, se define &n = &&n|A, e.d.

&n(A) =

-,m1 Vol([a(k),b(k))) si A =

*m1 [a(k),b(k)), disjuntos dos a dos,

+* si Rn !A =*m

1 [a(k),b(k)),

&n es una premedida sobre A.

Aplicando ahora el metodo de extension de Caratheodory dado en el teorema 18, como la !-algebra de Borel esla !-algebra generada porA, nos da la construccion de la medida de Lebesgue:

Teorema 22

1. B(Rn) %M(&&n) la !-agebra de los conjuntos medibles.

2. Si tambien denotamos por &n a la restriccion de &&n sobreM(&&n), &n es la unica medida definida en B(Rn)que asigna a cada intervalo n-dimensional su volumen.

3. (Rn,M(&&n),&n) es la compleccion del espacio de medida (Rn,B(Rn),&n).

Definicion 17 La medida de Lebesgue en Rn es la restriccion &n de &&n a la !-algebra de los conjuntos &&n-

medibles,M(&n) := M(&&n), que en lo sucesivo llamaremos medibles Lebesgue o &n-medibles. Se obtiene as ı unespacio de medida completo (Rn,M(&n),&n). Este espacio de medida es la compleccion de (Rn,B(Rn),&) queaunque no es completo, se puede utilizar para la mayor parte de las aplicaciones.

Cuando no exista posibilidad de confusion con la dimension de R n denotaremos & = &n.

Denotaremos por G y K respectivamente, a las familias de los abiertos y compactos de R n. Como ya hemosutilizado antes, el volumen de cada intervalo semiabierto se puede aproximar por el de un intervalo abierto que locontiene. Trasladando estas aproximaciones a la definicion de la medida exterior de Lebesgue tenemos el siguienteresultado de regularidad:

Teorema 23 La medida exterior de Lebesgue && es exteriormente regular en el sentido de que para cada conjuntoA % Rn se cumple:

&&(A) = inf{&&(G) : A % G # G}.

Restringiendonos a conjuntos medibles Lebesgue, la medida de Lebesgue es exteriormente regular con respectoa la familia de los conjuntos abiertos e interiormente regular con respecto a la familia de los conjuntos compactos.En concreto, para cada conjunto medible Lebesgue E % Rn se cumplen:


a) &(E) = inf{&(G) : E % G # G};

b) &(E) = sup{&(K) : E 3 K # K};

Demostracion. Para la prueba de la regularidad exterior de la medida exterior & & basta aproximar el volumen de losintervalos semiabiertos por medidas de abiertos que los contengan, tal y como ya hemos indicado.

Si &&(A) < +* para cada % > 0 se puede encontrar un abiertoG(%) tal que A % G(%) y

&(G(%)) & &&(A) + %.

Si ademas, A es medible entonces &(G(%) \ A) < %.Como la medida de Lebesgue es !-finita, podemos suprimir la condicion &(A) < +* y afirmar que para cada

conjunto medible Lebesgue A % Rn y cada % > 0 se puede encontrar un abiertoG(%) tal que A % G(%) y

&(G(%) \ A) < %.

Ahora podemos probar la regularidad interior de la medida de Lebesgue, pasando a los complementarios en laafirmacion anterior:

Si E es un conjunto medible, tambien lo es su complementarioE c, y dado % > 0 podemos encontrar un abiertoG(%) tal que Ec % G(%) y &(G(%) \ Ec) < %. Entonces F = G(%)c es un conjunto cerrado, F % E cc = E y&(E \ F ) < %. Como el cerrado F es una union numerable de una sucesion creciente de compactos

Km % F % E

tendremos que&(F ) = sup{&(Km) : m # N} ) &(E)! %.

Ası, haciendo % tender hacia 0 tendremos probada la regularidad interior de & con respecto a compactos.

Como la nocion de volumen Vol utilizada para la definicion de & & es invariante por traslaciones, la medida deLebesgue tambien tiene esta propiedad:

Proposicion 24 La medida exterior de Lebesgue && es invariante por traslaciones: &&(A) = &&(x + A) para cadax # Rn y cada A % Rn;

Las !-algebras B(Rn),M(&), y la medida de Lebesgue, son invariantes por traslaciones: Si x # Rn y E #M(&) (resp. E # B(Rn)) entonces x + E #M(&) (resp. x + E # B(Rn)) y &(x + E) = &(E).

Demostracion. El conjuntoA esta recubierto por la sucesion de intervalos I k si, y solo si, x +A esta recubierto porla sucesion de intervalos x + Ik . Como Vol(Ik) = Vol(x + Ik) podemos afirmar que &&(A) = &&(x + A).

Para probar la segunda parte, si consideramos

C = {A # B(Rn)(resp.M(&)) : x + A # B(Rn)(resp.M(&))},

C es una !-algebra que contiene a los intervalos y a los conjuntos de medida nula. Como los intervalos generanla !-algebra de Borel y M(&) se obtiene al anadir a los borelianos los conjuntos de medida nula, tenemos queC = B(Rn)(resp.M(&)).

Ademas la invariancia por traslaciones caracteriza a la medida de Lebesgue en el sentido siguiente:

Teorema 25 Si µ : B(Rn) !" [0, +*] es una medida no identicamente nula e invariante por traslaciones tal queµ(K) < +* para cada compactoK % Rn entonces µ = c& para alguna constante c > 0

Demostracion. Es suficiente con observar que una medida invariante por traslaciones µ toma el valor µ(I) =µ([0,1))&(I) para cada cubo n-dimensional diadico I , donde [0,1) denota al cubo n-dimensional de lado 1.

Despues, recordando que cada abierto G se puede escribir como una union numerable de cubos diadicos dos ados disjuntos, se tiene que µ(G) = µ([0,1))&(G).

Por la regularidad de la medida de Lebesgue tenderemos

µ(A) & inf{µ(G) : A % G # G} = µ([0,1)) inf{&(G) : A % G # G} = µ([0,1))&(A)

para cada conjunto medible. Para probar la desigualdad inversa supondremos que la medida de Lebesgue de A esfinita, pues en el caso general, A se puede poner como una union de una sucesion creciente de conjuntos de medidafinita.


Si &(A) < +* entonces podemos elegir un abiertoG tal que A % G y &(G) < +* entonces tendremos

µ(A) = µ(G) ! µ(G \ A)= µ([0,1))&(G) ! µ(G \ A)) µ([0,1))&(G) ! µ([0,1))&(G \ A)= µ([0,1))&(A) ) µ(A)

La invariancia por traslaciones de & y el axioma de eleccion permiten construir conjuntos no medibles:

Ejemplo 11 Se considera en R la relacion de equivalencia x 1 y 4, (x ! y) # Q. Puesto cada clase deequivalencia es densa en R, haciendo uso del axioma de elecci on se puede asegurar la existencia de un conjuntoE % (0, 1) que tiene un unico punto en cada clase.

Si rk es una sucesion de numeros racionales distintos dos a dos, contenidos en [!1, 1], entonces rk + E formanuna sucesion de conjuntos dos a dos disjuntos cuya uni on esta contenida en el intervalo [!1, 2] y que contiene alintervalo [0, 1]. Entonces

1 = &([0, 1]) &!

k

&&(rk + E) =!

k

&&(E) = +*,

por otro lado*

k rk + E % [!1, 2] por lo que E /#M(&) pues en otro caso tendr ıamos la desigualdad imposible:

+* =!

k

&(rk + E) = &(+

k

rk + E) & &([!1, 2]) = 3

En 1924, Banach y Tarski utilizaron el axioma de eleccion para probar que es posible descomponer la bolaeuclıdea {x : 5x5 & 1} en R3 en una cantidad finita de trozos A1, · · · , Am y encontrar conjuntos congruentes(mediante traslaciones y giros que conservan el volumen) con estosB 1, · · · , Bm, cuya union son dos bolas euclıdeasdisjuntas de radio 1. En consecuencia alguno de los trozos A i no es un conjunto medible. (Una primera referenciapara este teorema la podeis encontrar en R.M. French, Mathematical Intelligencer 10,4, pag. 21-28, de 1988).

Solovay en 1970, probo que el papel del axioma de eleccion en la construccion de conjuntos no medibles esinevitable. En concreto, con la axiomatica de Zermelo-Frankel para la teorıa de conjuntos sin utilizar el axioma deeleccion no se pueden construir conjuntos no medibles. Ası, cualquier conjunto de los que aparecen en la “practica”es medible Lebesgue.

Con el ejemplo descrito anteriormente y la funcion singular de Cantor se puede encontrar un conjunto medibleLebesgue en [0, 1] que no es un conjunto de Borel. En efecto,

Si f : [0, 1] " [0, 1] es la funcion singular de Cantor, la restriccion de f al conjunto de Cantor C es una funcioncontinua y sobreyectiva entre C y el intervalo [0, 1] que ademas es inyectiva fuera de un conjunto numerable depuntos. Por lo tanto un conjunto A % C es un conjunto de Borel si, y solo si, f(A) % [0, 1] es de Borel. TomandoE % [0, 1] no medible Lebesgue, tenemos que f !1(E) 0 C es un conjunto de medida nula y por consiguiente esmedible Lebesgue, pero no es un conjunto de Borel puesto que su imagen E = f(f !1(E)) no es de Borel.

Otra posibilidad para distinguir los conjuntos de Borel de los medibles Lebesgue consiste en calcular el cardinalde las dos !-algebras, observando que con una induccion “trasfinita” (que lleva implicita el axioma de eleccion)se puede probar que card(B(Rn)) = card(R), mientras que la existencia de conjuntos de medida nula con elcardinal de R como el conjunto de Cantor permite afirmar que card(M(&)) ) card(P(R)) > card(R), puestoque cualquier subconjunto de un conjunto de medida nula tambien tiene medida nula. De esta forma tenemos queexisten “muchos mas” conjuntos medibles Lebesgue que conjuntos de Borel en R n.

Con el axioma de eleccion se pueden describir otros conjuntos no medibles como el siguiente (vease el libro deCohn 1.4.9):

Ejemplo 12 Utilizando el axioma de eleccion se puede encontrar un conjuntoE % R tal que todo conjunto medibleLebesgue que este contenido en E o en R \ E es nulo.


Medidas de Borel regularesLa medida de Lebesgue, sobre la !-algebra de Borel, tiene buenas propiedades de regularidad con respecto

a abiertos y compactos tal y como hemos estudiado en el Teorema 23 del apartado anterior. Pero esta no es unapropiedad particular de la medida de Lebesgue, pues la va a tener cualquier medida definida sobre la !-algebra deBorel B(Rn) por las buenas propiedades de compacidad que tiene la topologıa de R n.

Definicion 18 Si T es un espacio topologico, una medida de Borel (e.d. una medida definida en los conjuntos deBorel) µ : B(T ) !" [0, +*] se dice que es regular si verifica

i) µ(K) < +* para cada compactoK % T ;

ii) µ(E) = inf{µ(G) : E % G # GT } para cada E # B(T );

iii) µ(E) = sup{µ(K) : G 3 K # KT } para cada conjunto abierto E % T y para cada conjunto de Borel Econ µ(E) < +*;

Si T es un espacio localmente compacto Hausdorff con la propiedad de que cada abierto es !-compacto, e.d.esuna union numerable de compactos, (en particular T sera !-compacto) y µ es una medida de Borel que es finita sobrelos compactos (en particular sera !-finita). Por ser T localmente compacto, podemos afirmar que cada conjuntocompacto esta contenido en un abierto de medida finita. Suponiendo que µ fuese finita, la familia de los conjuntosE % B(T ) que cumplen la condicion siguiente:

Para cada $ < µ(E) < , existen un abierto A y un compactoK con K % E % A y $ < µ(K) & µ(A) < ,,es cerrada por paso al complementario y por uniones numerables y contiene a cada abierto porque es !-compacto.Por lo tanto, esta familia coincide con la !-algebra de Borel. Esto prueba que µ es regular. En general µ es !-finita,se puede descomponer T en una union creciente de una sucesion de abiertos de medida finita, y razonando en cadauno de estos abiertos podemos afirmar:

Teorema 26 Si T es un espacio localmente compacto Hausdorff con la propiedad de que cada abierto es !-compacto entonces toda medida de Borel µ : B(T ) !" [0, +*] que asigne medida finita a los compactos esregular. Mas aun, para cada conjunto de Borel E # B(T ) y cada % > 0 es posible encontrar un abierto A tal queE % A y µ(A \ E) < %.

OBSERVACION: El teorema 26 se aplica cuando T es un subconjunto localmente compacto de R n con la topologıarelativa (p.e un conjunto que sea abierto, o cerrado, o la interseccion de un abierto con un cerrado, o una subvariedaddiferenciable). Mas generalmente, el teorema 26 se puede aplicar cuando T es un espacio localmente compactoHausdorff con una base numerable de su topologıa pues entonces es facil ver que cada conjunto subconjunto abier-to de T es !-compacto. (Si un espacio localmente compacto Hausdorff tiene una base numerable de abiertos esmetrizable; para espacios !-compactos vale el recıproco pues pues todo espacio localmente compacto !-compactometrizable es separable y por tanto su topologıa tiene base numerable).

Medidas de Lebesgue-StieltjesEn el capıtulo anterior cuando revisamos la integral de Riemann-Stieltjes, consideramos distribuciones de masa

en R asociadas a funciones (crecientes y, eventualmente, continuas por la derecha). En este apartado vamos a vercomo cualquier medida sobre los conjuntos de Borel de R puede ser vista desde esta perspectiva.

Dada una medida µ sobre B(R) que sea finita en cada conjunto compacto, si la miramos como una distribucionde masa sobre la recta, es natural tratar de describir esa distribucion mediante la funcion creciente

Fµ(x) =

#$%

$&

µ((0, x]) si x > 00 si x = 0!µ((x, 0]) si x < 0

,

pues con esta definicion para cada par de numeros reales a < b se cumple

µ((a, b]) = Fµ(b)! Fµ(a)

ademas Fµ es continua por la derecha y µ({a}) = F (a)! F (a!) para cada a # R.Recıprocamente, si F : R !" R es una funcion creciente y continua por la derecha podemos asignar a cada

intervalo semiabierto (a, b] la masa µF ((a, b]) = F (b) ! F (a) y razonar como en la construccion de la medida deLebesgue.


Proposicion 27 Si F es una funcion real creciente y continua por la derecha y (aj , bj ] (j = 1, . . . , n) son intervalossemiabiertos disjuntos dos a dos, definimos

µF (n+

1

(aj , bj ]) =n!

1

(F (bj)! F (aj)).

Y si para intervalos semiabiertos no acotados definimos

µF ((!*, a]) = F (a)! lımx'!#

F (x),

µF ((b, +*]) = lımx'+#

F (x) ! F (b).

Entonces µF define una premedida !-finita sobre el algebra de partes de R formada por las uniones finitas deintervalos semiabiertos por la izquierda y sus complementarios.

Demostracion. La prueba es analoga a la que hemos hecho para la medida de Lebesgue. Podeis encontrar todos losdetalles en el libro de Folland (prop. 1.15)

Definicion 19 A la medida exterior asociada a µF se le llama medida exterior de Lebesgue-Stieltjes relativa a lafuncion F y a la medida que resulta del metodo de Caratheodory se le llama medida de Lebesgue-Stieltjes.

Como consecuencia del Teorema de extension de Caratheodory para premedidas (teorema 18) se tiene que

Teorema 28

1. µ&F ((a, b]) = µF ((a, b]) para cada intervalo semiabierto.

2. B(R) %M(µ&F ) la !-agebra de los conjuntos medibles.

3. Si tambien denotamos por µF a la restriccion de µ&F sobreM(µ&

F ), µF es la unica medida definida en B(R)que extiende a la premedida definida arriba.

4. (R,M(µ&F ), µF ) es la compleccion del espacio de medida (R,B(R), µF ).

Si dada una medida de Borel µ, consideramos su funcion de distribucion F = F µ y construimos la medida deLebesgue-Stieltjes µF , la unicidad establecida en el teorema anterior nos asegura que recuperamos la medida inicialµ = µF .

En el apartado anterior veıamos como toda medida de Borel en R es regular. Esto junto con que la !-algebrade los conjuntos µ&

F -medibles es la compleccion de la !-algebra de Borel proporciona la prueba de las siguientespropiedades de regularidad:

Proposicion 29

I) La medida exterior de Lebesgue-Stieltjes µ&F es exteriormente regular: µ&

F (A) = inf{µ&F (G) : A % G # G}

para cada A % R.

II) Para cada conjunto µ&F -medible E % R se verifica

a) µF (E) = inf{µF (G) : E % G # G};b) µF (E) = sup{µF (K) : E 3 K # K};c) existen A # K' y B # G% tales que A % E % B y µF (B \ A) = 0

La aplicacion que asocia a cada funcion creciente y continua por la derecha, F : R !" R, la medida deLebesgue-Stieltjes µF es sobreyectiva pero no inyectiva pues a dos funciones que difieran en una constante lescorresponden las mismas medidas. Si nos restringimos a funciones normalizadas por F (0) = 0 la aplicacion defineuna biyeccion entre las medidas de Borel en R y sus funciones de distribucion.

NOTAS Y COMENTARIOS


1. Las medidas finitas son las que se corresponden con las funciones crecientes acotadas pues

µ(R) = lım+#

F ! lım!#

F.

En este caso, es mas natural definir la funcion de distribucion de una medida de Borel finita µ mediante laformula $(x) = µ((!*, x]), estableciendose una biyeccion entre las medidas de Borel finitas µ : B(R) !"[0, +*) y las funciones crecientes $ : R !" R que son continuas por la derecha y cumplen

lımx!'!#

$(x) = 0 y lımx!'+#

$(x) < +*.

2. Si S = (a, b) es un intervalo abierto de la recta real, procediendo en forma similar a como se ha hecho en elcaso S = R, a cada funcion creciente $ : S !" R continua por la derecha se le puede asociar un espaciode medida completo (S,M(µ#), µ#) tal que B(S) % M(µ#) y µ# : B(S) !" R es una medida de Borelregular (e.d. µ#([x, y]) < +* para cada [x, y] % S.Fijado un punto c # S se puede establecer una biyeccion natural entre el conjunto de las funciones crecientes$ : S !" R que son continuas por la derecha y cumplen $(c) = 0 y el conjunto de las medidas de Borelregulares sobre S. Lo mismo se puede hacer cuando S = (a, b] (resp. S = [a, b)).Otro modo de proceder que conduce al mismo resultado consiste en extender$ a la semirrecta abierta (!*, b)(resp. (a, +*)) poniendo $(x) = $(b) si x > b (resp. $(x) = $(a) si x < a), construir la correspondientemedida de Borel sobre (a, +*), (resp. (!*, b)) y luego considerar su restriccion a los subconjuntos de Borelincluidos en S.Notese que en estos casos S es un espacio topologico al que se le puede aplicar el teorema 26.

3. Tambien se pueden considerar medidas de Lebesgue-Stieltjes asociadas a funciones crecientes arbitrarias$ : R !" R. En este caso para poder obtener !-aditividad es necesario definir

m#([x, y]) = $(y+)! $(x!) m#([x, y)) = $(y!)! $(x!)

m#((x, y]) = $(y+)! $(x+) m#((x, y)) = $(y!)! $(x+)

(Un punto {x} se considera como un intervalo cerrado [x, x])Si consideramos F (x) = $(x+), F es creciente, continua por la derecha, y define la misma medida deLebesgue-Stieltjes que $.

4. En Rn con n ) 2 la construccion de medidas asociadas a funciones de distribucion es un poco mas com-plicada pues si consideramos intervalos n-dimensionales de la forma (0,x] para definirla, la diferencia entredos intervalos de este tipo no es un intervalo semiabierto. Cada intervalo semiabierto n-dimensional se puedeexpresar como una union finita de intersecciones finitas de estos intervalos. Ası, las expresiones que corres-ponderian a las medidas de estos intervalos en terminos de funciones del tipo F (x) = µ((0,x]) pueden serun poco mas complicadas que en el caso unidimensional por lo que nos detendremos en este punto.

EjerciciosEjercicio 28 Probar que si E % Rn es un conjunto de Borel (resp. un conjunto medible Lebesgue) y r > 0 esun numero positivo entonces el conjunto rE = {rx : x # E} tambien es de Borel (resp. medible Lebesgue) y&(rE) = rn&(E).

Ejercicio 29 Si A % Rn es medible Lebesgue y &(A) > 0 entonces A!A := {x! y : x, y # A} es un entorno de0.Indicacion: Por la regularidad de & se puede suponer queA es compacto y su medida se puede aproximar tanto comose quiera por la de un abierto que lo contiene. Por otra parte, observar que si x /# K!K entoncesK 0 (x+K) = .y &(K - (x + K)) = 2&(K).

Ejercicio 30 Pruebese que si S % R es acotado y &&(S) > 0 entonces la funcion f(x) = &&(S 0 (!x, x)) escontınua. Deduzcase de ello que cada x # R es el punto medio de un intervalo abierto I tal que & &(S 0 I) =&&(S 0 Ic) = 1

2&&(S).


Ejercicio 31 Pruebese que si f : E !" Rm es una aplicacion Lipchitziana definida sobre E % Rn con n & mentonces f transforma conjuntos de medida nula (n-dimensional) en conjuntos de medida nula (m-dimensional),y que si n < m entonces f(E) es de medida nula en Rm. Pruebese que si n & m toda aplicacion Lipchitzianaf : Rn !" Rm transforma conjuntos medibles Lebesgue en conjuntos medibles Lebesgue.

Ejercicio 32 Pruebese que si µ es una medida de Borel regular sobre el espacio localmente compacto Hausdorff Tse verifica

a) Si {G# : $ # A} es una familia filtante creciente de abiertos µ(-#$AG#) = sup#$A µ(G#)

b) Si {G# : $ # A} es una familia de abiertos disjuntos µ(-#$AG#) =,#$A µ(G#)

c) Existe un (unico) cerrado S % T tal que para cada abierto V % T se cumple: µ(V ) > 0 2 V 0 S '= ..(Este cerrado S se llama soporte de la medida µ. Se denota S := Sop(µ).

d) Pruebese que cada compactoK % Rn es el soporte de alguna medida de Borel regular.Se llama soporte de la funcion continua f al conjunto cerrado: Sop(f) := {x # Rn : f(x) '= 0}. Muestreseun compacto K % Rn que no sea el soporte de ninguna funci on contınua. ¿ Que compactos son soporte dealguna funcion contınua?.

e) Pruebese que si µ(x) = 0 para cada x # T entonces µ tiene la propiedad de los valores intermedios: SiE # B(T ) y 0 < t < µ(E) < +*, entonces existe B # B(T ), B % E tal que µ(B) = t.

Ejercicio 33 Si f : [0, 1] !" [0, 1] es la funcion singular de Cantor, sea $ : R " [0, 1] definida por $(x) = 0si x < 0, $(x) = f(x) si 0 & x & 1, y $(x) = 1 si x > 1. Si µ la medida de Borel regular cuya funcion dedistribucion es $, pruebese que µ(C) = 1, y que µ(x) = 0 para cada x # R. Pruebese que dos funciones cont ınuasf, g : R !" R coinciden en casi todo punto (respecto a µ) si y solo si f(x) = g(x) para todo x # C. (C es elcompacto de de Cantor)

Ejercicio 34 Sea (X, d) un espacio metrico:

1. Una medida exterior µ& en P(X) se dice que es una medida exterior metrica cuando

µ&(A -B) = µ&(A) + µ&(B) donde d(A, B) = inf{d(x, y) : x # A, y # B} > 0.

a) Probar que si G % X es abierto , A % G y Ak = {x # A : d(x, Gc) ) 1k}, entonces

µ&(A) = lımk'+#

µ&(Ak)

b) Deducir de lo anterior que los subconjuntos cerrados de X son µ&-medibles, y en consecuencia, lomismo sucede para todos los conjuntos de Borel de X .

2. Para cada $ > 0 y cada subconjuntoA % X se define

H&#(A) = sup

">0{inf{

+#!

k=1

(*(Ak))# : A =+#+

k=1

Ak, *(Ak) < %}}

donde *(Ak) = sup{d(x, y) : x, y # Ak} representa al diametro de Ak.

a) Probar que H&# es una medida exterior metrica (llamada medida exterior de Hausdorff de dimension

$).b) Probar tambien que

1) si H&# < +*, entonces H&

&(A) = 0 para , > $;2) y si H&

# > 0, entoncesH&&(A) = +* para , < $.

(Al numero $ = sup{, : H&&(A) = +*} se le llama dimension de Hausdorff de A)

¿ Que puede decir acerca de las medidas de Hausdorff en Rn?

(La construccion de estas medidas puede verse en el libro de Wheeden-Zigmund, entre otros).

Capıtulo 3

La Integral de Lebesgue

En el capıtulo anterior estudiamos familias de conjuntos y medidas definidas sobre ellas, como los primerosobjetos que aparecen en la teorıa de la medida y la integral. En este capıtulo vamos a estudiar las funciones mediblesque son las funciones a integrar y la integral de estas funciones con respecto a una medida. En particular vamos adefinir la integral de Lebesgue en Rn.

3.1. Funciones mediblesEn lo que sigue (!, ") y (!

", "

") son espacios medibles. Si T es un espacio topologico Hausdorff lo supondre-

mos siempre dotado de su !-algebra de Borel B(T ). Reservaremos la letra X para denotar uno de los tres espaciosC, R, [!*, +*], dotado de su !-algebra de Borel B(X).

Definicion 20 Una aplicacion f : ! !" !" se dice que es (", "

")-medible cuando f!1(E

") # " para cada

E" # "

" .

De alguna forma, esta definicion recuerda a la de funcion continua entre dos espacios topologicos: “la antimagende cada conjunto abierto es un conjunto abierto”.

Si se sobrentienden las !-algebras consideradas en ! y !" se dice, mas brevemente, que f es medible. Una

aplicacion f : E !" !" definida en E # " se dice que es medible cuando lo es considerando en E la !-algebra

inducida"E := {E 0A : A # "} = {B # " : B % E}.

Para comprobar la medibilidad de una funcion no es necesario analizar las antimagenes de todos los elementosde "", tal y como senala la siguiente proposicion:

Proposicion 30 Si la !-algebra "" esta generada por la familia D % P(!

"), dada f : ! !" !

" son equivalentes:

a) f es "-medible;

b) f!1(D) # " para cadaD # D;

Demostracion. Bastara con probar la implicacion b) , a), para ello consideramosA = {E # " " : f!1(E) # "}.Como f!1(Ec) = ! \ f!1(E) y f!1(

*n En) =

*n f!1(En) resulta que A es una !-algebra que contiene a D, y

en consecuenciaA = "" y f es medible.

Un caso particular en la definicion 20 resulta cuando!"= X , (uno de los tres espaciosC, R, [!*, +*]) dotado

de su !-algebra de Borel. En este caso se dice que f : ! !" X es "-medible si f es (",B(X))-medible, es decirsi f!1(B) # " para cada conjunto de Borel B % X .

Por la proposicion 30 tendremos que f : ! !" X es medible si y solo si f !1(V ) # " para cada abierto V % X .Tambien se pueden sustituir los abiertos por las familias de los intervalos o rectangulos semiabiertos (resp. abiertoso cerrados). En el casoX = [!*, +*] podemos considerar solo semirrectas como en el corolario siguiente:

Corolario 30.1 Dada f : ! !" [!*, +*] son equivalentes:

a) f es medible;

37

CAPITULO 3. LA INTEGRAL DE LEBESGUE 38

b) {/ # ! : f(/) < t} # " para cada t # R;

c) {/ # ! : f(/) & t} # " para cada t # R;

(y las afirmaciones analogas para las desigualdades> y )).

Si ! = T es un espacio topologico y " = B(T ) es la !-algebra de los conjuntos de Borel a las funciones"-medibles se les llama medibles Borel (resp. medibles Lebesgue).

Corolario 30.2 Si T1 y T2 son dos espacios topologicos, cada funcion continua f : T1 " T2 es (B(T1),B(T2))-medible.

Ejemplo 13 El ejemplo mas simple de funcion "-medible lo proporciona la funcion caracterıstica de un conjuntoE # ".

)E(x) =

-1 si x # E

0 si x '# E

Ejemplo 14 Si ! = T es un espacio topologico, se dice que f : ! !" R es semicontinua superiormente (resp.inferiormente) cuando {/ # ! : f(/) < t} (resp. {/ # ! : f(/) > t}) es abierto para cada t # R. Por elcorolario 30.1 se tiene que toda funcion semicontinua f : ! !" R es medible Borel.

Si ! es un intervalo de la recta real, tambien se tiene que toda funcion monotona f : ! !" R es medible Borel.

La siguiente proposicion contiene propiedades elementales de las funciones medibles, en particular nos da laestabilidad del conjunto de las funciones medibles con respecto a la composicion, a las operaciones algebraicas o atomar valores absolutos o modulos, cuando estas operaciones tienen sentido:

Proposicion 31

a) Si f : ! !" !"y g : !

" !" X son medibles entonces g 6 f tambien lo es. En particular, si f : ! !" T es(",B(T ))-medible y g : T !" X es continua entonces g 6 f es "-medible.

b) Si u, v : ! !" R son funciones reales medibles y . : R2 !" X es continua (o medible Borel) entoncesh(/) := .(u(/), v(/)) es medible.

c) f : ! !" C es medible si y solo si u = Real(f) y v = Imag(f) son medibles.

d) Si f, g : ! !" R (o C) son medibles entonces f + g, f.g y fg){(:g(() )=0} son medibles.

e) Si f : ! !" C es medible, |f | tambien lo es y existe una funcion medible $ : ! !" C tal que |$(/)| = 1para todo / # ! y |f | = $f .

Demostracion.(a) Si A # B(X), g!1(A) # "" por ser g medible, y como f es (", "")-medible

(g 6 f)!1(A) = f!1(g!1(A)) # ",

con lo que tenemos probada la medibilidad de g 6 f .(b) Sea ' : ! !" R2 la funcion definida por '(/) = (u(/), v(/)). Para cada rectangulo [a,b) en R 2 cona = (a1, a2) y b = (b1, b2), se tiene que

'!1([a,b)) = u!1([a1, b1))0

v!1([a2, b2)) # ".

Como los rectangulos generan la !-algebra de Borel B(R2), la proposicion 30 nos da la medibilidad de '.Como h = . 6 ', h tambien es medible.

(c) Si f : ! !" C es medible, como Real(z) e Imag(z) son continuas, la afirmacion (a) nos da la medibilidad deu = Real(f) e v = Imag(f). Recıprocamente, si u y v son medibles y " es el isomorfismo canonico entre R 2 y Centonces por (b), f = "(u, v) es medible.(d) resulta de la afirmacion (b) aplicada a las funciones '(x, y) = x + y, '(x, y) = xy y '(x, y) = x

y .(e) Si f es medible entonces |f | =

2Real(f)2 + Imag(f)2 es medible y tambien es medible la funcion

$(/) = ){x:f(x)=0} +f

|f |){x:f(x) )=0}.


Evidentemente, |$(/)| = 1 en todo punto y |f | = $f .

Teniendo en cuenta el apartado (b) y que los conjuntos {(x, y) : x < y}, {(x, y) : x & y} o {(x, y) : x = y}estan en B(R2) tenemos el siguiente corolario:

Corolario 31.1 Si f, g : ! !" [!*, +*] son medibles los conjuntos

{/ # ! : f(/) < g(/)}, {/ # ! : f(/) & g(/)}, {/ # ! : f(/) = g(/)}

pertenecen a " y las funciones f 7 g := max{f, g}, f 8 g := mın{f, g} son medibles.

En relacion con las funciones que se pueden definir a partir de una sucesion de funciones medibles tenemos lasiguiente proposicion:

Proposicion 32 Si fn : ! !" [!*, +*] es una sucesion de funciones medibles las funciones supn fn(/),infn fn(/), lım infn fn(/), lım supn fn(/), tambien son medibles.

Demostracion. Bastara con probar que las antimagenes de las semirrectas son conjuntos de ":

{/ : supn{fn(/)} > a} =

+

n

{/ : fn(/) > a} # ";

{/ : infn{fn(/)} < a} =

+

n

{/ : fn(/) < a} # ";

y como los lımites superior e inferior de la sucesion vienen dados por las formulas:

lım infn

fn(/) = sup{inf{fk(/) : k ) m} : m # N},

lım supn

fn(/) = inf{sup{fk(/) : k ) m} : m # N},

entonces

{/ : lım infn

{fn(/)} < a} =+

p

0

m

+

k*n

{/ : fk(/) < a! 1p} # "; y

{/ : lım supn

{fn(/)} > a} =+

p

0

m

+

k*n

{/ : fk(/) > a +1p} # ".

Si fn : ! !" C es una sucesion de funciones medibles, entonces el conjunto de puntos donde las dos sucesionesde las partes reales e imaginarias son convergentes esta en ", porque es la interseccion de los conjuntos donde lascorrespondientes funciones medibles lımites superior e inferior coinciden. Ademas la funcion lımite definida en esteconjunto es medible pues sus partes real e imaginaria coinciden con las funciones medibles definidas por los lımiteslaterales. Ası podemos afirmar el siguiente corolario:

Corolario 32.1 Si fn : ! !" C, es una sucesion de funciones medibles y E es el conjunto de los puntos / # !tales que la sucesion fn(/) converge entoncesE # " y la funcion f : E !" C definida por f(/) = lımn fn(/) esmedible.

De los resultados anteriores, aplicados a funciones con valores reales, se resumen diciendo que el conjunto delas funciones medibles con valores reales es un algebra reticulada de funciones, estable frente a lımites puntuales desucesiones.

Las funciones medibles mas “simples” de describir son las combinaciones lineales de funciones caracterısticasde conjuntos de ", vamos a llamar a estas funciones funciones simples y una formulacion equivalente para sudefinicion es la siguiente:

Definicion 21 Una funcion h : ! !" C se dice que es simple (" -simple) si es medible y su imagen h(!) es unconjunto finito.


Una funcion simple h : ! !" C se escribe de modo unıvoco en la forma h =,n

j=1 $j)Aj donde {$j : 1 &j & n} son los distintos valores de h y los conjuntos Aj = h!1($j) # " son disjuntos dos a dos, y forman unaparticion de !.

Cualquier funcion medible se puede describir mediante una sucesion de funciones simples en los terminos queestablecemos en el siguiente teorema:

Teorema 33 Si f : ! !" [!*, +*] es medible, existe una sucesion creciente de funciones simples fn : ! !"[!*, +*) que converge puntualmente hacia f y la convergencia es uniforme sobre todo conjuntoE % ! sobre elque f este acotada.

Demostracion. Para cada numero natural m # N consideramos la particion del intervalo [!m, m) dada por losintervalos semiabiertos

Ai =3!m +

i! 12m

,!m +i

2m

)

con i = 1, . . . , 2m2m. Definimos la sucesion de funciones simples creciente

fm(/) =

#$%

$&

!* si f(/) < !m

!m + i!12m si f(/) # Ai(i = 1, . . . , 2m2m)

m si f(/) ) m

Esta sucesion converge puntualmente hacia f y si |f(/)| < M podemos afirmar que f(/) ! f m(/) < 12m

para cada m > M , de donde resulta la convergencia uniforme de la sucesion sobre los conjuntos en los que festa acotada.

Observese que si f es positiva todas las funciones fn tambien son positivas. En general si f es una funcion me-dible con valores en R que esta acotada inferiormente, y sustituimos !* por una cota inferior de f en la definicionde la sucesion fn, esta sucesion toma valores en R y aproxima a f .

Para funciones f complejas, aproximando las partes positivas y negativas de sus partes realReal(f) e imaginariaImag(f) se tiene el siguiente

Corolario 33.1 Si f : ! !" C es medible, existe una sucesion de funciones simples fn : ! !" C tal que|fn| & |f |, converge puntualmente hacia f , y la convergencia es uniforme sobre todo conjunto E % ! en el que feste acotada.

En el capıtulo 2 senalamos como la medida de Lebesgue, sobre la !-algebra de Borel, no es completa, puestoque existıan conjuntos medibles Lebesgue que no eran de Borel (vease pag. 32). Este ejemplo tambien muestra quepuede haber dos funciones que coinciden fuera de un conjunto de medida nula tales que una de ellas sea medibleBorel y la otra no, pues se pueden considerar las funciones caracterısticas de los conjuntos.

Definicion 22 En lo que sigue si (!, ", µ) es un espacio de medida, E % !, y P (/) es una propiedad relativa alos puntos / # ! se dice que P (/) se verifica µ-para casi todo / # E, (brevemente µ-p.c.t. / # E) si existe unconjuntoN # " tal que µ(N) = 0 y la propiedad P (/) es cierta para todo / # E \ N .

Proposicion 34 Sea (!, ", µ) un espacio de medida completo

a) Si f, g : ! !" X son iguales en casi todo punto y f es medible entonces g tambi en lo es.

b) Si fn : ! !" X es una sucesion de funciones medibles que converge en casi todo punto hacia f : ! !" Xentonces f es medible.

Demostracion.a) basta con observar en el caso real la siguiente cadena con extremos en " y cuya diferencia es un conjunto demedida nula

{f < t} 0 {f = g} % {g < t} % {f < t} - {f '= g}

para cada t # R.b) E = {/ : lımn fn(/) = f(/)} # ", y µ(Ec) = 0. f)E = lımn fn)E es el lımite de una sucesion de funcionesmedibles y en consecuencia es medible. Como f y f)E coinciden en casi todo punto, resulta de (a) que f tambienes medible.


Corolario 34.1 Las funciones integrables Riemann f : [a, b] !" R son medibles con respecto a la !- algebra deLebesgueM([a, b]) que es la compleccion de B([a, b]) con respecto a la medida de Lebesgue.

Si el espacio de medida (!, ", µ) no fuese completo, podemos referirnos a su compleccion tal y como senalamosen el siguiente teorema:

Teorema 35 Si (!, "µ, µ) es el espacio de medida completo asociado a (!, ", µ) entonces una condici on necesariay suficiente para que f : ! !" [!*,*] sea "µ-medible es que existan dos funciones "-medibles f0, f1 tales quef0(/) & f(/) & f1(/) para todo / # ! y f0(/) = f1(/), µ-p.c.t. / # !.

Una condicion necesaria y suficiente para que f : ! !" C sea"µ-medible es que exista una funcion"-medibleg : ! !" C tal que f(/) = g(/), µ-p.c.t. / # !.

Demostracion. La condicion suficiente en la primera afirmacion resulta evidente. Para la condicion necesaria, laprueba en el caso de que f fuese una funcion caracterıstica f = )E es muy simple, pues si E # "µ entonces existenA, B # " tales que A % E % B y µ(B \ A) = 0. Ahora tomando f1 = )A y f2 = )B se cumple la condicionbuscada.

En el caso general, si gn =,

i a(i, n))E(i,n) es una sucesion de funciones "µ-simples que converge hacia f yA(i, n), B(i, n) # " cumplenA(i, n) % E(i, n) % B(i, n)y µ(B(i.n) \A(i, n)) = 0, consideramos las sucesionesde funciones"-simples

g0,n =!

i,a(i,n)*0

a(i, n))A(i,n) +!

i,a(i,n)<0

a(i, n))B(i,n),

g1,n =!

i,a(i,n)*0

a(i, n))B(i,n) +!

i,a(i,n)<0

a(i, n))A(i,n).

Estas sucesiones cumplen g0,n & gn & g1,n en todo punto y g0,n = g1,n en casi todo punto.Tomando limites superiores e inferiores respectivamente obtenemos dos funciones"-medibles f 0 y f1 tales que

f0 = lım supn

g0,n & f & f1 = lım infn

g1,m

y ademas se tiene que f0 = f1 en casi todo punto.La segunda afirmacion hecha en el teorema es una consecuencia inmediata de la primera.

La relacion f(x) = g(x) µ-p.c.t. es una relacion de equivalencia y muchas de las nociones que vamos a estudiarse refieren mas a las clases de equivalencia que a las propias funciones. Las proposiciones anteriores muestran comola misma nocion de funcion medible tiene esa propiedad.

En la teorıa de la integracion, y tambien en otras situaciones, aparecen con frecuencia funciones definidas encasi todo punto, que son funciones f cuyo dominioD(f) contiene un conjuntoE # " tal que µ(! \ E) = 0.

CuandoD(f) # " la medibilidad de f equivale a la de su extension canonica f obtenida definiendo

f(/) = f(/) si / # D(f) y f(/) = 0 si / '# D(f).

Si el espacio de medida es completo y f esta definida en casi todo punto, entonces D(f) # " y cualquierextension de f es medible.

Si el espacio de medida no es completo y f esta definida en casi todo punto, diremos que f es medible si existeE # ", E % D(f), tal que µ(! \ E) = 0 y f |E "-medible. Esto equivale a que alguna (equiv. cada) extension def a todo ! sea medible respecto a "µ.

EjerciciosEjercicio 35 Dada una familia de espacios medibles (! i, "i)i$I y una familia de aplicaciones fi : ! !" !i,i # I , se considera en ! la !-algebra " engendrada por esta familia (la m ınima !-algebra que las hace medibles).Pruebese que si (!

", "

") es un espacio medible, una condicion necesaria y suficiente para que una aplicaci on

f : !" !" ! sea medible es que todas las composiciones fi 6 f sean medibles.

Ejercicio 36 Pruebese que si f : R !" R es derivable entonces f" es medible Borel.


Ejercicio 37 Sea T : Rn " Rn una aplicacion lineal. Pruebese que si E es un conjunto medible (Lebesgue) deRn entonces T (E) tambien lo es. Si se define 0(E) = &(T (E)), pruebese la existencia de una constante det(T ) talque 0 = det(T )&.

Ejercicio 38 Pruebese que si f : R !" R es medible Lebesgue y f(x + 1) = f(x) para casi todo x # R entoncesexiste una funcion medible Borel g : R !" R tal que f(x) = g(x) para casi todo x # R, y g(x + 1) = g(x) paratodo x # R.

Ejercicio 39 Pruebese que si f, g : R !" R son funciones continuas y coinciden en casi todo punto (para lamedida de Lebesgue) entonces son iguales. ¿Cual es la versi on de este resultado para una medida de Lebesgue-Stieltjes arbitraria?

Ejercicio 40 Pruebese que si f : R !" R verifica la ecuacion funcional

f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y # R

entonces

1. f(rx) = rf(x) para cada r # Q.

2. f continua implica f es lineal: f es de la forma f(x) = mx dondem # R.

3. f acotada en un intervalo abierto implica f es continua.

4. f acotada en un conjunto de medida (Lebesgue) estrictamente positiva implica f es continua.

5. f medible (Lebesgue) implica f es lineal.

Ejercicio 41 Pruebese que existe un conjunto cerrado F % [0, 1], con interior vac ıo tal que &(F ) > 0. Muestreseque existe una sucesion decreciente de funciones continuas fn que converge puntualmente hacia la funci on carac-terıstica de F y sin embargo esta funcion no es integrable Riemann.

Ejercicio 42 ¿Es cierto que la composicion de funciones medibles Lebesgue es medible Lebesgue?

Ejercicio 43 Pruebese que si f : R2 !" R es separadamente continua (e.d. para cada (x, y) # R2 las funcionesparciales t !" f(x, t),t !" f(t, y) son continuas) entonces f es l ımite puntual de una sucesion de funcionescontinuas y por lo tanto es medible.

Ejercicio 44 Pruebese que la familia de las funciones reales de variable real medibles Borel, es el m ınimo subespa-cio vectorial M % RR que contiene a las funciones continuas y es estable frente a l ımites puntuales de sucesiones.Indicacion: pruebese primero que este mınimo espacioM tambien es estable por productos.

3.2. Construccion de la Integral3.2.1. Integrales de funciones positivas.

Sea (!, ", µ) un espacio de medida, S(!) el espacio vectorial real de las funciones simples h : ! !" R yS(!)+ := {h # S(!) : h ) 0}.

Definicion 23 Para definir la integral de una funci on simple h # S(!)+ se considera su forma canonica h :=,nj=1 $j)Aj , donde $j ) 0 son los distintos valores de h y Aj := h!1($j), y se define

"hdµ :=

n!

j=1

$jµ(Aj)

(usando el convenio habitual 0 · (+*) = 0). Notese que ! =*

j Aj y que el valor de la integral puede ser +*.

Proposicion 36 Si f, g # S(!)+ se verifica

a) Si $ # [0, +*) entonces'$fdµ = $

'fdµ;

b)'

(f + g)dµ ='

fdµ +'

gdµ;


c) Si f & g entonces'

fdµ &'

gdµ;

d) La integral indefinida 0 : " " [0 +*) definida por 0(E) =')Efdµ es una medida finita.

Demostracion. Supongamos que f =,n

i=1 ai)Ai y que g =,m

j=1 bj)Bj son sus expresiones canonicas.(a) $f =

,ni=1 $ai)Ai y

"$f dµ =

n!

i=1

$aiµ(Ai) = $n!

i=1

aiµ(Ai) = $

"f dµ.

(b) la forma canonica de f + g es,r

k=1 ck)Ck donde ck recorre todos los posibles valores de ai + bj y Ck =*ai+bj=ck

(Ai 0Bj).

"f + g dµ =

r!

k=1

ckµ(Ck)

=r!

k=1

ck(!

ai+bj=ck

µ(Ai 0Bj))

=r!

k=1

(!

ai+bj=ck

(ai + bj)µ(Ai 0Bj))

=n!

i=1

m!

j=1

(ai + bj)µ(Ai 0Bj))

=n!

i=1

ai(m!

j=1

µ(Ai 0Bj)) +m!

j=1

bj(n!

i=1

µ(Ai 0Bj))

=n!

i=1

aiµ(Ai) +m!

j=1

µ(Bj)

="

f dµ +"

g dµ

(c) si f ) 0 es claro que'

f dµ ) 0. En general si f & g entonces"

g dµ ="

f dµ +"

(g ! f) dµ )"

f dµ.

(d) 0(E) =,n

i=1 aiµ(Ai 0 E). Como las aplicaciones 0i(E) = µ(E 0 Ai) son medidas, tambien lo es la combi-nacion lineal que define 0.

NOTA Se sigue de la propiedad 36 b) que aunque una funcion simple f :=,m

j=1 ,j)Bj no este expresada enforma canonica tambien se tiene que

'hdµ :=

,mj=1 ,jµ(Bj).

Definicion 24 Si f : ! !" [0, +*] es medible se define"

fdµ = sup4"

gdµ : g # S(!), 0 & g & f

5

Si E # " se define'

E fdµ :=')Efdµ

Notese que si f # S(!)+ entonces, como consecuencia de 36 c), el supremo que interviene en la definicionanterior se alcanza cuando g = f . Por lo tanto la nueva definicion de

'fdµ es consistente con la dada inicialmente

para funciones simples.Las siguientes propiedades de la integral son consecuencia directa de las definiciones y de las propiedades de las

integrales de las funciones simples

Proposicion 37 Si f, g : ! !" [0, +*] son medibles y A, B # " se verifica


a) Si f & g entonces'

fdµ &'

gdµ;

b) Si A % B entonces'

A fdµ &'

B fdµ;

c) Si $ # [0, +*) entonces'$fdµ = $

'fdµ;

d) Si f |A = 0 entonces'

A fdµ = 0 (aunque µ(A) = +*);

f) Si µ(A) = 0 entonces'

A fdµ = 0 (aunque f |A = +*);

No por sencilla deja de ser importante la siguiente propiedad que relaciona la distribucion de una funcion inte-grable con su integral. Mas adelante veremos como es posible identificar la integral como una integral de Riemann-Stieltjes, pero por el momento nos quedaremos con las primeras consecuencias inmediatas de esta relacion.

Proposicion 38 (Desigualdad de Tchevichev) Si f : ! !" [0, +*] es medible y E # ", entonces se verifican:

a) DefiniendoEt := {/ # E : f(/) > t} para t > 0, se tiene

tµ(Et) &"

Et

fdµ &"

fdµ;

b) Si'

E fdµ = 0 entonces f(/) = 0 para casi todo / # E;

c) Si'

E fdµ < +* entonces f(/) < +* para casi todo / # E;

d) Si'

E fdµ < +* entonces {/ # E : f(/) > 0} es !-finito.

Demostracion.(a) Resulta al integrar las funciones de la desigualdad t)Et & f)Et & f .(b) Por (a) µ(E 1

n) = 0 para todo n, como {x : f(x) '= 0} =

*n E 1

nresulta que este conjunto tambien tiene medida

nula.(c) Por (a) µ(En) & 1

n

'f dµ y por lo tanto

µ({x : f(x) = +*}) = µ(0

n

En) = lımn

µ(En) = 0

(d) {/ : f(/) > 0} =*

n E 1ny cada E 1

ntiene medida finita.

La facilidad con la que se manejan las operaciones con lımites de sucesiones con esta integral viene propiciadapor el importante Teorema de Lebesgue:

Teorema 39 (Convergencia monotona de Lebesgue) Si fn : ! !" [0, +*] es una sucesion creciente de funcio-nes medibles y f : ! !" [0, +*] es su lımite puntual, e.d.

1. 0 & f1(x) & f2(x) & · · · & +* para todo x # !

2. fn(x) !" f(x) cuando n !" +* para todo x # !,

entonces f es medible y "fdµ = lım

n

"fndµ.

Demostracion.Como la sucesion

'fn dµ es creciente existe $ = sup

'fn dµ # [0, +*].

Como fn & f para todo n y f es medible (Corolario 32.1) se tiene que $ &'

f .Vamos a acudir a la definicion de la integral de f y vamos a utilizar el hecho de que la integral indefinida 0 de

una funcion simple s es una medida (36-d) para probar la desigualdad inversa.Sea s & f una funcion simple y sea 0 < c < 1. Consideramos la sucesion de conjuntos medibles E n =

{x : fn(x) ) cs(x)}. Como fn es una sucesion creciente que converge a f , se tiene que En es creciente y que*n En = !. "

fn dµ )")Enfn dµ ) c

")Ens dµ = c0(En).


Tomando lımites en esta ultima expresion resulta

$ ) c0(!) = c

"s dµ.

Por ultimo, tomando ahora supremos entre las funciones simples s & f resulta $ )'

f dµ.

Como consecuencia de la aproximacion de funciones medibles positivas mediante sucesiones crecientes de fun-ciones simples, y de la Proposicion 36 se tiene la propiedad de aditividad

Proposicion 40 Si f y g son dos funciones medibles positivas, entonces"

(f + g) dµ ="

f dµ +"

gdµ.

En general para sumas infinitas la suma f :=,#

n=1 fn de una serie de funciones medibles fn : ! !" [0, +*]es medible y es el lımite de la sucesion creciente de funciones medibles positivas Fn =

,nk=1 fk. Como

"Fn dµ =

n!

k=1

"fkdµ,

al tomar lımites se tiene probado el siguiente:

Teorema 41 (Beppo-Levi) La suma f :=,#

n=1 fn de una serie de funciones medibles fn : ! !" [0, +*] esmedible y se verifica "

fdµ =#!

n=1

"fndµ

.

Definicion 25 Diremos que una funcion medible positiva es integrable cuando su integral sea un n umero finito.

Ejemplo 15 Si " = P(!) y µ es la medida “cardinal”(µ(E) = card(E) si E es finito, y µ(E) = +* si E esinfinito), Una funcion positiva f : ! !" [0, +*] es integrable si, y solo si, la suma

!

($"

f(/) < +*.

Ademas esta suma coincide con la integral'

f dµ.

En particular si ! = N, una sucesion f(n) de numeros positivos es integrable con respecto a la medida del cardinal,si, y solo si, la serie

,+#n=1 f(n) es convergente, y la integral coincide con la suma de la serie.

En este caso el teorema de Beppo-Levi se puede leer como un teorema de permutabilidad de lımites en seriesdobles.

Proposicion 42 Si an,m es una sucesion doble de numeros positivos, entonces

+#!

n=1

+#!

m=1

am,n =+#!

m=1

+#!

n=1

am,n.

Toda sucesion de funciones positivas fn tiene lımite inferior:

lım infn'+#

fn(x) = sup{inf{fm(x) : m ) n} : n # N}.

Para estos lımites el teorema de la convergencia monotona proporciona el siguiente resultado:

Lema 3.2.1 (Fatou) Si fn : ! !" [0, +*] es una sucesion de funciones medibles su l ımite inferior f(/) :=lım infn fn(/), es medible y "

fdµ & lım infn

"fndµ.


Demostracion. Sean gn = inf{fm(x) : m ) n}, en la Proposicion 32 veıamos que estas funciones definen unasucesion creciente de funciones medibles convergente hacia f .

Por la monotonıa de la integral, y del Teorema de la convergencia monotona aplicado a g n resulta que:"

f dµ = sup{"

gn dµ : n # N}

& sup4

inf4"

fm dµ : m ) n

5: n # N

5

= lım infn'+#

"fn dµ.

El Teorema de la convergencia monotona tambien prueba que la integral indefinida asociada a una funcionmedible positiva es una medida positiva:

Teorema 43 Si g : ! !" [0, +*] es una funcion medible, la funcion de conjunto 0 : " !" [0, +*] definida por0(E) :=

'E gdµ es una medida y para cada funcion medible f : ! !" [0, +*] se verifica

"fd0 =

"fgdµ.

Demostracion.Como para cada sucesion de conjuntos dos a dos disjuntos An # " se cumple: g)* An

=,

n g)An el Teoremade Beppo-Levi nos dice que 0 es una medida.

Si s =,m

i=1 ai)Ai es una funcion simple"

s d0 =m!

i=1

ai

")Aig dµ

="

(m!

i=1

ai)Ai)g dµ ="

sg dµ.

Tomando una sucesion creciente de funciones simples sn & f que converge hacia f , sng & fg tambien es crecientey converge hacia fg. Al tomar limites en la ultima igualdad se completa la prueba.

A la vista de este resultado se suele utilizar la notacion d0 = gdµ para denotar a la integral indefinida 0. Masadelante caracterizaremos las medidas que son integrales indefinidas.

3.2.2. Funciones IntegrablesPara funciones medibles con valores en toda la recta ampliada se extiende la integral, integrando separadamente

la parte positiva y la parte negativa de la funcion, despues se restan las integrales evitando la indeterminacion*!*.Para funciones complejas se integran la parte real y la parte imaginaria por separado.Directamente, una forma de evitar las posibles indeterminaciones consiste en establecer la siguiente definicion:

Definicion 26 Una funcion medible f : ! !" C se dice que es integrable si'|f |dµ < +*.

Si f = u + iv donde u, v son funciones reales, es claro que f es integrable si y s olo si u y v son integrables, loque ocurre si y solo si son finitas las integrales de las cuatro funciones ( u+ = max{u, 0}, u! = !mın{u, 0},. . . ):

"u+dµ,

"u!dµ,

"v+dµ,

"v!dµ.

Ademas se cumple que u+ & |u| & |f |, y lo mismo sucede con las otras tres funciones. En este caso se define:"

udµ :="

u+dµ!"

u!dµ,

"vdµ :=

"v+dµ!

"v!dµ

"fdµ :=

"udµ + i

"vdµ


NOTA Una funcion medible f : ! !" [!*, +*] tambien se dice que es integrable cuando son finitas las dosintegrales

'f+dµ,

'f!dµ y se define

"fdµ :=

"f+dµ!

"f!dµ

. Si f no es integrable pero una de las dos integrales anteriores es finita se suele decir que existe la integral'

fdµ,a la que se le asigna el valor de la diferencia

'f+dµ!

'f!dµ # [!*, +*] usando los convenios naturales de la

aritmetica en [!*, +*].

El conjunto formado por las funciones integrables f : ! !" C se denota por L 1(!, ", µ). Cuando convienedestacar una de las componentes de la terna (!, ", µ) y se sobrentienden las restantes se usan las notaciones masbrevesL1(µ),L1("),L1(!). El subconjunto de L1(µ) formado por las funciones reales se denotaraL1

R(µ). Lapropia definicion de funcion integrable asegura que

f # L1(µ) 2 |f | # L1(µ)

Proposicion 44 L1(µ) (resp. L1R(µ)) es un espacio vectorial complejo (resp. real) sobre el cual la integral f !"'

fdµ es una aplicacion lineal tal que para cada f # L1(µ) se cumple la desigualdad triangular:////"

fdµ

//// &"

|f |dµ

Demostracion. Sean f, g # L1(µ) y sea a # C (resp. R). Como af + g es medible y |af + g| & |a||f |+ |g| resultaque af + g # L1(µ) porque

"|af + g| dµ & |a|

"|f | dµ +

"|g| dµ < +*.

Para probar la linealidad de la integral bastara considerar funciones reales y coeficientes reales pues

i

"(u + iv) dµ = i

"u dµ + i2

"vdµ =

"(!v + iu) dµ =

"i(u + iv) dµ.

Supongamos que u, v # L1R(µ) y a # R, si h = u + v = h+ ! h! se cumple

h+ ! h! = (u+ + v+)! (u! + v!),

y en consecuencia se tiene la siguiente igualdad donde solo hay sumas de funciones medibles positivas:

h+ + (u! + v!) = (u+ + v+) + h!.

Integrando en esta igualdad y teniendo en cuenta la aditividad de la integral de funciones positivas (proposicion 40)se tiene

"h+ dµ +

"u! dµ +

"v! dµ =

="

u+ dµ +"

v+ dµ +"

h!dµ,

y agrupando estas integrales se tiene"

h ="

h+ dµ!"

h!dµ =

="

u+ dµ!"

u! dµ +"

v+ dµ!"

v! dµ =

="

u dµ +"

v dµ.


Por otra parte si a ) 0, entonces (au)+ = au+ y (au!) = au!, con lo que se tiene"

au dµ = a

"u+ dµ! a

"u! dµ = a

"u dµ.

Si a < 0, entonces (au)+ = (!a)u! y (au!) = (!a)u+, y tambien se tiene"

au dµ = (!a)"

u! dµ! (!a)"

u+ dµ = a

"u dµ.

Una vez probada la linealidad de la integral vamos a probar la desigualdad triangular. Consideremos a =sign(

'f dµ) # C, |a| = 1 y

//' f dµ// = a

'f dµ. Como |Real(z)| & |z| para cada numero complejo z tene-

mos|Real(af)| & |af | = |f |,

Integrando en los miembros de esta desigualdad tenemos////"

f dµ

//// = a

"f dµ =

"af dµ =

"Real(af) dµ &

"|f | dµ.

Definicion 27 Una funcion medible f : ! !" C se dice que es integrable sobre E # " si f)E # L1(µ). En esecaso se define

'E fdµ =

')Efdµ. Mas generalmente, si f : E !" C es una funcion medible definida en E # "

se dice que f es integrable sobre E si su extension canonica f : ! !" C, definida por f(x) = 0 si x '# E, esintegrable y entonces se define

'E fdµ =

'fdµ.

Si E # " y se considera el espacio de medida inducido (E, "E , µE), donde "E := {A # " : A % E} y µE

es la restriccion de µ a "E , se comprueba facilmente que la condicion de que f sea µ-integrable sobre E equivale aque f |E sea µE-integrable, e.d. f |E # L1(µE).

3.2.3. La integral y los conjuntos de medida nulaSi f : ! !" C es una funcion medible que se anula en casi todo punto entonces por la desigualdad triangular

|'

E fdµ| ='

E |f |dµ = 0, para cada conjunto E # ". Por otra parte, la desigualdad de Tchevichev (Proposicion38) nos asegura que para cualquier funcion integrable f : ! !" C y para cualquier t > 0 se cumple

µ{/ : |f(/)| > t} & 1t

"|f | dµ,

de donde se puede concluir que si'|f |dµ = 0 entonces f se anula en casi todo punto.

Si'

E f dµ = 0 para cada E # ", se cumple que en particular

"(Real(f))+ dµ = Real

6"

{Real(f)*0}f dµ

7= 0,

por lo que (Real(f))+ = 0 en casi todo punto. Lo mismo sucede con (Real(f))!, y con las partes positivas ynegativas de Imag(f). Por consiguiente podemos afirmar que f = 0 en casi todo punto. En resumen, tenemosprobado la proposicion siguiente:

Proposicion 45

1. Sea f : ! !" C una funcion medible definida en E # ". f es integrable sobre E y'

A fdµ = 0 para cadaA % E, A # " si, y solo si, f(/) = 0 para casi todo / # E.

2. Si f, g : E !" C son funciones medibles iguales en casi todo punto y f es integrable sobre E entonces gtambien lo es y

'E fdµ =

'E gdµ.


La proposicion anterior permite extender de modo natural la nocion de integral para el caso de funciones de-finidas en casi todo punto, sin necesidad de hacer explıcitos los dominios de las funciones: Si f : D(f) !" Cesta definida en D(f) donde ! \ D(f) es µ-nulo, dados A, B # ", A, B % D(f) con µ(! \ A) = µ(! \ B) = 0se verifica que f es integrable sobre A si y solo si lo es sobre B y en ese caso

'A fdµ =

'B fdµ. Cuando ocurre

esto se dice que la funcion f es integrable y que su integral es el valor comun de todas las integrales'

A fdµ dondeA # ", A % D(f) y µ(! \ A) = 0.

Cuando se trabaja con funciones reales integrables aparecen frecuentemente funciones, con valores en la rectareal ampliada, que son finitas en casi todo punto. En esta situacion se puede considerar que las funciones solo tomanvalores finitos a costa de trabajar con funciones definidas en casi todo punto.

Por otra parte, la proposicion anterior pone de manifiesto como es imposible distinguir funciones que son igualesen casi todo punto.

Si en L1(µ) se considera la relacion de equivalencia dada por la igualdad en casi todo punto y se considera elespacio cociente L1(µ). Este espacio es un espacio vectorial normado con la norma

5[f ]5 ="

|f | dµ

y sobre el podemos considerar definida la integral'

[f ] dµ ='

f dµ.En adelante, salvo que digamos lo contrario, nos referiremos al espacio L 1(µ) como el espacio de las funciones

integrables con respecto a la medida µ, identificando las funciones con sus clases de equivalencia.Otra consideracion importante, es el hecho de que si (!, "µ, µ) es la compleccion de (!, ", µ) entoncesL1(µ) =

L1(µ) ya que cada funcion medible con respecto a la medida completada " µ coincide en casi todo punto con unafuncion "-medible.

3.3. Paso al lımite bajo el signo integralAl construir la integral de funciones positivas en la seccion 3.2.1 estudiamos el Teorema de la convergencıa

monotona de Lebesgue. Este teorema se puede reescribir para funciones definidas en casi todo punto:

Teorema 46 (Convergencia monotona de Lebesgue)Sea fn : ! !" [0, +*) una sucesion de funciones integrables que es creciente en casi todo punto. Si la sucesi onde sus integrales

'fn dµ esta acotada, entonces para casi todo punto / # ! existe el l ımite f(/) = lımn fn(/) y

es finito. Ademas, la funcion f definida en casi todo punto es integrable y

lımn!'+#

"f dµ =

"f dµ.

En terminos parecidos se pueden enunciar el Lema de Fatou y el Teorema de Beppo-Levi.

Para funciones complejas y medidas finitas, un primer resultado de paso al lımite bajo la integral nos lo propor-ciona la desigualdad triangular y la convergencia uniforme:

Proposicion 47 Si (!, ", µ) es un espacio de medida finito y fn una sucesion de funciones medibles acotadas queconverge uniformemente hacia una funcion medible f entonces f es integrable y lımn

'fndµ =

'fdµ.

¿Se obtiene la misma conclusion si la medida no es finita?.

En general, para funciones complejas se tiene el siguiente resultado:

Teorema 48 (Convergencia dominada) Sea fn : ! !" C una sucesion de funciones integrables que converge encasi todo punto. Si existe una funcion integrable g tal que |fn| & g para todo n # N entonces la funcion lımite

f(/) := lımn

fn(/),

definida en casi todo punto, es integrable y se verifica

lımn

"|fn ! f |dµ = 0 y en particular lım

n

"fndµ =

"fdµ


Demostracion. Por la desigualdad triangular se tiene que |f ! fn| & 2g. Aplicando el lema de Fatou a la sucesionde funciones medibles positivas 2g ! |f ! fn| se tiene

"2g dµ =

"lım inf

n2g ! |f ! fn| dµ

& lım infn

"2g ! |f ! fn| dµ

="

2g dµ! lım supn

"|f ! fn|.

Restando en los dos miembros de esta desigualdad la cantidad finita 2'

g dµ, resulta que

0 & lım infn

"|f ! fn| dµ & lım sup

n

"|f ! fn| dµ & 0,

De donde resulta que lımn

'|f ! fn| = 0. Y ahora, como |f | & |fn| + |f ! fn|, se sigue que f es integrable, y de

la desigualdad triangular para la integral se obtiene que'

f dµ = lımn

'fn dµ.

Observese que para la validez del teorema anterior basta que se cumpla la condicion de dominacion |f n| & g,desde un valor de n en adelante y en casi todo punto.

El teorema de Beppo-Levi se puede reescribir para funciones complejas en base al anterior resultado de conver-gencia dominada como sigue:

Teorema 49 Si fn : ! !" C es una sucesion de funciones integrables y,#

n=1

'|fn|dµ < +* entonces la serie,#

n=1 fn(/) converge absolutamente en casi todo punto. Su suma f(/) :=,#

n=1 fn(/), definida en casi todopunto, es integrable y se verifica "

fdµ =#!

n=1

"fndµ

Demostracion. El Teorema de la convergenciamonotona prueba que la funcionG =,

n |fn| converge en casi todopunto y es integrable. La serie S =

,n fn tambien converge en casi todo punto y define una funcion integrable.

Como para cualquier suma parcial gm se cumple

|gm| =

/////

m!

n=0

fn

///// & G,

podemos aplicar el Teorema de la Convergencia dominada para concluir la prueba.

NOTA En el teorema anterior se puede suponer que las funciones f n estan definidas en casi todo punto.

Definicion 28 Se dice que una sucesion [fn] # L1(µ) es convergente hacia [f ] # L1(µ) (resp. es de Cauchy) enL1(µ) cuando es convergente (resp. de Cauchy) para su norma, e.d.

lımn5[fn ! f ]5 = lım

n

"|fn ! f | dµ = 0,

(resp. lımn,m 5[fn ! fm]5 = lımn,m

'|fn ! fm| dµ = 0.)

Utilizando el teorema 49 y la caracterizacion de la completitud mediante series tenemos el siguiente:

Teorema 50 El espacio normado (L1(µ), 5 5) es completo, e. d. L1(µ), 5 5) es un espacio de Banach.

Demostracion. Si fn # L1(µ) es una sucesion de Cauchy en L1, podemos extraer una subsucesion fnk tal que

5fnk+1 ! fnk5 ="

|fnk+1 ! fnk | dµ & 12k

.

Aplicando el teorema 49 tenemos que la serie telescopica,

k(fnk+1 ! fnk) es absolutamente convergente en casitodo punto, y en consecuencia la subsucesion fnk converge en casi todo punto hacia una funcion integrable f ! f n1 .


El teorema de la convergencia dominada aplicado a la sucesion |f ! f nk | mayorada por,+#

k=1 |fnk+1 ! fnk |, da laconvergencia de la subsucesion fnk hacia f en L1(µ).

La convergencia de fn hacia f se obtiene de la condicion de Cauchy y de la desigualdad triangular como decostumbre:

5f ! fn5 & 5f ! fnk5+ 5fnk ! fn5.

Otra aplicacion del teorema de la convergencia dominada nos da la densidad de las funciones simples en L 1:

Teorema 51 Sea (!, ", µ) un espacio de medida y

S0 = {s : s es una funcion simple con µ({/ : s(/) > 0} < +*}.

Entonces S0 es denso en L1(µ), e.d. cada funcion integrable es el lımite en L1 de una sucesion de funciones simples.

DemostracionBasta con recordar que por el Corolario 33.1 si f # L1(µ) entonces existe una sucesion de funcionessimples sn tal que |sn| & |f | y sn converge hacia f en todo punto.

Ejemplo 16 Si " = P(!) y µ es la medida “cardinal”(µ(E) = card(E) si E es finito, y µ(E) = +* si E esinfinito), el espacio L1(µ) de las funciones f : ! " C integrables esta formado por las funciones absolutamentesumables, se denota por 21(!) y en este caso la norma coincide con la suma

5f5 =!

($"

|f(/)|.

En particular si ! = N, una sucesion f(n) de numeros positivos es integrable con respecto a la medida del cardinal,si, y solo si, la serie

,+#n=1 f(n) es absolutamente convergente, en este caso se denota 21 = 21(N).

3.3.1. La integral de Lebesgue en Rn

Cuando se considera la medida de Lebesgue en Rn al espacio L1(&n) = L1(Rn) se le llama el espacio de lasfunciones integrables Lebesgue.

La integral de Riemann y la Integral de Lebesgue

En el primer capıtulo estudiamos el teorema de caracterizacion de las funciones integrables Riemann en unintervalo como las funciones acotadas cuyo conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida de Lebesgue nula(Teorema 1).

Si f : [a, b] " R es una funcion acotada e integrable Riemann, y

Pn = {a = t0(n) < t1(n) < · · · < tm(n)(n)}

es una sucesion de particiones con |Pn|" 0. Entonces la sucesion de funciones simples

sn(t) =m(n)!

k=1

inf{f(x) : x # [tk!1, tk]})[tk!1,tk)

esta mayorada por la funcion constante M = sup{|f(x)| : x # [a, b]} y converge hacia f en todos sus puntosde continuidad (en casi todo punto). Entonces por el teorema de la convergencia dominada ( 48) tenemos que f esintegrable Lebesgue en [a, b] y que "

[a,b]f d& =

" b

af(x) dx.

Para la integral de Riemann enRn el resultado es analogo lo vamos a enunciar sin dar su prueba, en los siguientesterminos:


Teorema 52 : Sea f : I !" R una funcion acotada definida en un intervalo n-dimensional cerrado y acotadoI % Rn. Entonces f es integrable Riemann si, y solo si, Si

&n({x # I : f es discontinua en x}) = 0.

Si f es integrable Riemann entonces es integrable Lebesgue las integrales coinciden:'

I fd&n ='

I f(x)dx.

Una funcion f : S !" R, definida en un intervalo n-dimensional S % R n (que no se supone compacto) se diceque es localmente integrable Riemann cuando es integrable Riemann sobre cada intervalo compacto I % S. En estecaso se puede considerar la integral impropia

'S f(x)dx como lımite (si existe) de sus integrales sobre los intervalos

compactos I % S (que forman una familia filtrante creciente). Cuando existe el lımite

lımI+S

"

If(x)dx = L

se dice que la integral impropia converge y se adopta L como valor de la misma.Para funciones positivas este lımite se puede caracterizar como el supremo de las integrales sobre los intervalos

compactos.La integral impropia

'S f(x)dx se dice que es absolutamente convergente cuando

"

S|f(x)|dx = sup

I,S

"

I|f(x)|dx < +*.

Las integrales impropias absolutamente convergentes son convergentes y se tiene

lımI+S

"

If(x)dx = sup

I,S

"

If+(x)dx ! sup

I,S

"

If!(x)dx.

Despues del teorema 52, los teoremas de la convergencia monotona y dominada nos proporcionan la siguienteproposicion:

Proposicion 53 Si f : S !" R es una funcion localmente integrable Riemann definida sobre un intervalo n-dimensional S % Rn (que no se supone compacto) y la integral impropia

'S f(x)dx es absolutamente convergente

entonces f es integrable Lebesgue sobre S y'

S fd&n ='

S f(x)dx.

Tenemos probado que la integral de Lebesgue es una extension de la integral de Riemann y de las integrales deRiemann impropias absolutamente convergentes. Por lo que vamos a seguir utilizando la notacion habitual

"

Ef(x)dx =

"

Ef(x1, x2, · · · , xn)dx1dx2 · · · dxn

para denotar la integral de Lebesgue'

E fd&n. En el caso de funciones de una variable real se seguira empleando elconvenio usual:

" b

af(x)dx :=

"

[a,b]f(x)dx si a & b;

" b

af(x)dx := !

"

[b,a]f(x)dx si b < a

NOTA Hay integrales de Riemann impropias (llamadas semiconvergentes) que son convergentes pero no son abso-lutamente convergentes. Un ejemplo clasico es

' +#0

sen xx dx. Como la integrabilidad Lebesgue de una funcion f

lleva consigo la integrabilidad de |f |, resulta que este tipo de integrales impropias no son integrales de Lebesgue.Esto abre la posibilidad de considerar integrales impropias de Lebesgue. Solo las que sean convergentes pero noabsolutamente convergentes seran las genuinas integrales impropias de Lebesgue.

La integral de Lebesgue y las funciones continuas

Vamos a utilizar la regularidad de la medida de Lebesgue para ver como las funciones continuas con soportecompacto, que son funciones integrables, son densas en L 1(Rn).

Teorema 54 Sea C0(Rn) el espacio de las funciones continuas g : Rn !" C con soporte sop(g) = {x : g(x) '= 0}compacto. Entonces C0(Rn) es un subconjunto denso de L1(Rn), e. d. cada funcion integrable Lebesgue es el l ımiteen L1 de una sucesion de funciones continuas con soporte compacto


Demostracion. Como las funciones simples son densas en L1(Rn) basta con probar que la funcion caracterısticade cualquier conjunto medible Lebesgue con medida finita E se puede aproximar por una sucesion de funcionescontinuas con soporte compacto con valores en [0, 1]. Para ello dado % > 0 si K % E % A con K compacto, Aabierto y &(A \ K) < "

2 , y si f es una funcion continua con soporte compacto contenido en A, conK % sop(f) y)K & f & 1 entonces se cumple que |f ! )E | & 2)A\K y 5f ! )E5 & 2&(A \ K) < %.

La existencia de esta funcion f se puede obtener utilizando la estructura topologica de R n como espacio local-mente compacto y el Lema de Uryshon (vease la seccion 2.12 del libro de Rudin). Otra posibilidad es utilizar laestructura de Rn como espacio metrico, tal y como vamos a ver a continuacion:

Para cada subconjunto cerrado F % Rn la funcion

d(x, F ) = inf{5x! y5 : y # F}

es continua.Sea * = mın{d(x, K) : x '# A} > 0, entonces A0 = {x : d(x, K) < %

2} es un abierto acotado tal que

K % A0 % A0 % A.

Tomando el conjunto cerrado F0 = Rn \ A0 = {x : d(x, K) ) %2}, podemos definir la funcion continua

f0(y) = 1! 11 + d(y, F0)

=d(y, F0)

1 + d(y, F0).

Esta funcion cumple: 0 & f0(y) & 1 para todo y # Rn; f0(x) = 0 para todo x # Rn \ A % F0; y para cada y # K

se cumple d(y, F0) ) %2 y en consecuencia f0(y) ) k0 =

!2

1+ !2. La funcion continua f(x) = mın{1, 1

k0f0(x)} tiene

soporte compacto contenido en A0 % A y cumple que )K & f & 1.

3.3.2. Integrales dependientes de un parametroUna aplicacion de los teoremas de convergencia bajo el signo integral para la integral asociada a una medida

es la consecucion de continuidad y derivabilidad en las integrales dependientes de un parametro bajo hipotesis mascomodas y flexibles que las que requiere la integral de Riemann.

Teorema 55 Sea (!, ", µ) un espacio de medida y (T, d) un espacio m etrico. Si f : T $ ! !" C es una funcionque cumple:

a) Para casi todo / # ! la funcion parcial f((t) = f(t,/) es continua;

b) Para cada t # T la funcion parcial ft(/) = f(t,/) es medible;

c) Existe una funcion integrable g : ! !" [0, +*) tal que para cada t # T la desigualdad |f(t,/)| & g(/) secumple en casi todo / # !;

Entonces f es integrable para cada t # T y la integral

F (t) :="

f(t,/)dµ(/)

define una funcion continua sobre T .

Demostracion. Como (T, d) es un espacio metrico la continuidad de las funciones definidas en T se puede caracte-rizar mediante sucesiones. En consecuencia, solo tenemos que probar que para cualquier t # T si t n # T convergehacia t entonces F (tn) converge hacia F (t).

Sea N con µ(N) = 0 tal que (a) se cumple en todos los puntos / '# N . En particular se tiene que g n(/) =f(tn,/) converge hacia f(t,/) en casi todos los puntos. Sean An con µ(An) = 0 tales que |f(tn,/)| & g(/)en todos los puntos / '# An. Entonces el conjunto N - (

*n An) tiene medida nula y fuera de el se cumplen

las hipotesis del teorema de la convergencia dominada, en consecuencia F (t n) ='

gn(/)dµ(/) converge haciaF (t) =

'f(t,/) dµ(/).

Para la derivada tenemos el siguiente resultado donde la mayoracion de los cocientes incrementales se realizautilizando la formula de los incrementos finitos:


Teorema 56 Sea (!, ", µ) un espacio de medida y T % R un intervalo. Si f : T $ ! !" C es una funci on quecumple:

a) Para casi todo / # ! la funcion parcial f((t) = f(t,/) es derivable;

b) Para cada t # T la funcion parcial ft(/) = f(t,/) es medible y es integrable para algun t0 # T ;

c) Existe una funcion integrable g : ! !" [0, +*) tal que la desigualdad |D1f(t,/)| & g(/) se cumple encasi todo / # ! para cada t # T .

entonces ft es integrable para cada t # T , la integral

F (t) :="

f(t,/)dµ(/)

define una funcion derivable en y para cada t # T se tiene: y

F "(t) ="

D1f(t,/)dµ(/)

Demostracion. Sea A con µ(A) = 0 tales que |D1f(s,/)| & g(/) en todos los puntos / '# A y para todo s # S.La formula de los incrementos finitos aplicada a los subintervalos de S con extremos en t y en t 0 prueba que

////f(t,/)! f(t0,/)

t! t0

//// = |D1f(#,/)| & g(/)

para cada / '# A, donde # es un numero comprendido entre t y t 0 y que tambien depende del punto /. De aquı sededuce que ft es integrable para cualquier t # S.

Al igual que en el teorema anterior la derivabilidad de la funcionF definida en T se puede caracterizar mediantesucesiones: Solo tenemos que probar que para cualquier t # T si tn # T converge hacia t entonces existe el lımite

F "(t) = lımn

F (t)! F (tn)t! tn

.

Sea N con µ(N) = 0 tal que (a) se cumple en todos los puntos / '# N . En particular se tiene que h n(/) =f(t,()!f(tn,()

t!tnconverge haciaD1f(t,/) en todos los puntos / '# N .

Entonces el conjuntoN -A tiene medida nula y fuera de el la sucesion

|hn(/)| =////f(t,/)! f(tn,/)

t! tn

//// = |D1f(#,/)| & g(/).

Entonces se cumplen las hipotesis del teorema de la convergencia dominada, y en consecuenciaF (t)! F (tn)

t! tn="

hn(/)dµ(/) " F "(t) ="

D1f(t,/) dµ(/).

Ejemplo 17 Las funciones f(a, x) = e!x2cos(ax) estan mayoradas en valor absoluto por la funci on )[0,1] + e!x,

y en consecuencia son integrables Lebesgue en [0, +*) para todo a # R. I(a) =' +#0 e!x2

cos(ax)dx es finitapara todo y define una funcion derivable en todo punto.

Las derivadasD1f(a, x) = !xe!x2

sen(ax)

estan mayoradas en valor absoluto para cada a # R, por la funci on integrable xe!x2.

Como se cumplen las hipotesis del teorema 56, tenemos que

I "(a) =" +#

0!xe!x2

sen(ax) dx = !a

2

" +#

0e!x2

cos(ax) dx = !a

2I(a).

Resolviendo esa ecuacion diferencial con la condicion inicial

I(0) =" +#

0e!x2

dx =9"

2

se obtiene que

I(a) =9"

2e!

a24 .

(Podeis encontrar los detalles en el libro de Bombal, Marin y Vera, pag. 253, prob.41)


Ejercicios:Ejercicio 45 Pruebese que una condicion necesaria y suficiente para que una funci on medible f : ! !" [0, +*]sea integrable es que

,n$Z 2nµ(En) < * dondeEn := {/ # ! : 2n!1 & f(/) < 2n}.

Ejercicio 46 Pruebese que si f : ! !" [0, +*) es integrable la sucesion'

n9

fdµ converge hacia µ(P ) dondeP = {/ # ! : f(/) > 0}. Muestrese con un ejemplo que el resultado es falso si f no se supone integrable.

Ejercicio 47 Pruebese que si f : ! !" [0, +*) es integrable y'

fdµ = c > 0 y $ es una constante real, entonces

lımn!'+#

"n log(1 + (f/n)#)dµ =

#$%

$&

+* si 0 < $ < 1,

c si $ = 1,

0 si $ > 1(&)

Indicacion: Si $ < 1 puede utilizarse el lema de Fatou. Si $ = 1 se puede utilizar el T.C.Monotona.(&)En el caso $ > 1 los integrandos se pueden mayorar por $f y aplicar el Teorema de la convergencia dominada.

Ejercicio 48 Pruebese que si f : R " C es integrable Lebesgue entonces se cumple:

a) Para todo a > 0 la sucesion f(nx)/na converge hacia cero en casi todo x # R.

b) La serie,

n*0 f(n + x) es absolutamente convergente para casi todo x # R.

Ejercicio 49 Pruebese que las funciones fn(x) = e!nx! 2e!2nx son integrables Lebesgue sobre (0, +*), que laserie

,n fn(x) converge en todo x > 0 y su suma define una funci on integrable f : (0, +*) !" R. Calculese' +#

0 f(x)dx, y,

n*1

' +#0 fn(x)dx y explıquese el resultado.

Ejercicio 50 Discutase, segun los valores de $, la integrabilidad sobre la semirrecta (0, +*) de la funci onsenx

exx#.

Ejercicio 51 Obtenganse los valores de $ para los que la funcion x#!1e!x es integrable en (0, +*).Estudiese la continuidad y la derivabilidad de la funci on que definen sus integrales

#($) =" +#

0x#!1e!x dx.

Pruebese que #($+ 1) = $#($) y deduzcase que sobre los numeros naturales #(n + 1) = n!.

Ejercicio 52

1. Sea a > 0; ¿Para que valores de $ # R es integrable la funcion x#e!ax en la semirrecta (0, +*)?Calcular el valor de la integral de la funcion anterior en terminos de la funcion #

2. Pruebese que si $ > 1 la funciont#!1

et ! 1es integrable sobre (0, +*) y

" +#

0

t#!1

et ! 1dt = #($)

!

n*1

1n#

Ejercicio 53 Pruebese que la integral

I(a) =" +#

0

log(1 + a2x2)b2 + x2

dx

es finita para todo a # R y define una funci on continua del parametro a que es derivable en cada a '= 0. Calculesela derivada y deduzcase que el valor de la integral es !a log(1 + |a|b).

Ejercicio 54 Derivando con respecto al parametro a, calculense las integrales

I(a) =" +#

0e!c2(x2+ a2

x2 )dx.


Ejercicio 55 Sea f # L1(µ) una funcion integrable. Probar que para cada numero positivo % > 0 es posibleencontrar un numero * > 0 tal que

'E |f | dµ < % si µ(E) < *.

Ejercicio 56

1. Pruebese que si f : Rn !" R es integrable Lebesgue se verifica:

a) lımt!'+# t&({x : |f(x)| > t}) = 0.b) Si K % Rn es compacto lım-x-!'+#

'x+K |f(t)|dt = 0

2. Pruebese que si f : Rn !" R es uniformemente continua y |f |p es integrable Lebesgue para algun p > 0entonces lım-x-!'+# f(x) = 0

Ejercicio 57 Pruebese que la sucesion sen(nx) no posee subsucesiones puntualmente convergentes sobre [0, 2"].

Ejercicio 58

1. Pruebese que las siguientes sucesiones son convergentes y calculense sus lımites:

a) lımn

' 10

log(n+x) cos xnex ;

b) lımn

' 10

nx log x1+n2x2 ;

c) lımn

' 10

n3/2

1+n2x2 ;

d) lımn

' 10

npxr log r1+n2x2 ; donde r > 0 y 0 < p < min{2, 1 + r};

e) lımn

' +#0

n2xe!n2x2

1+x2 dx donde a ) 0;

f) lımn'+#' +#0

dx(1+ x

n )n n.x= 1.

g) lımn

' +#0 (1 + x/n)!n sen(x/n)dx;

h) lımn

' +#0 ( n+x

n+2x )ne!x/2dx;

2. Establezcanse las siguientes igualdades, probando en cada caso la existencia de las integrales consideradas.

a)' 10 x!xdx =

,+#n=1 n!n;

b)' 10 sen x log xdx =

,+#n=1

(!1)n

2n(2n)! ;

c)' +#0 e!x cos

9xdx =

,+#n=0

(!1)nn!(2n)! ;

d)' +#0

dxex2+e!x2 =

.!

2

,+#n=0

(!1)n.

2n+1;

e)' 10

log x1!x dx = !

,+#n=1

1n2 ;

f)' 10

(x log x)2

1+x2 dx = 2,+#

n=1(!1)n+1

(2n+1)3 ;

Ejercicio 59 Para f # L1(Rn) y h # Rn se define fh(x) = f(x ! h), la funcion trasladada. Pruebense lasafirmaciones siguientes:

1. fh # L1(Rn), 5fh51 = 5f51 y para cada conjunto medible E % Rn se cumple"

Ef(x)dx =

"

h+Efh(x)dx.

Indicacion: Considerese primero el caso f = )A con &(A) < +*.

2. lımh'0 5fh ! f51 = 0.Indicacion: Considerese primero f continua con soporte compacto.


3.4. Un primer cambio de variable para medidas imagenesLa definicion de funcion medible entre dos espacios medibles permite levantar cualquier medida definida en el

espacio de partida al espacio de llegada, en concreto:

Definicion 29 Sea (!, ", µ) un espacio de medida, (!", "") un espacio medible y g : ! !" !

"una funcion

medible. Si para cada A # "" se define 0(A) := µ(g!1(A)) se obtiene una medida 0 : "

" !" [0, +*], que sellama medida imagen de µ a traves de g y se denota por µg!1.

Si A # "" se cumple)g!1(A)(x) = )A(g(x)) = )A 6 g(x),

para cada x # !. con la definicion de la medida imagen 0 se tiene que"

"")A(y) d0(y) = 0(A) = µ(g!1(A))

="

")g!1(A)(x) dµ(x) =

"

")A 6 g(x) dµ(x).

Para funciones f ""-simples se cumple que f es 0-integrable (e.d. 0({y : f(y) '= 0}) < +*) si, y solo si, f 6 ges µ-integrable y ademas "

f d0 ="

f 6 g dµ.

En general como cualquier funcion medible h positiva se puede poner como el lımite de una sucesion monotonacreciente de funciones simples el Teorema de la convergencia monotona proporciona el resultado anterior parafunciones medibles positivas. Por ultimo, el Teorema de la convergencia dominada prueba la proposicion en el casogeneral:

Proposicion 57 En las condiciones de la definicion anterior, si f : !" !" C es "

" medible son equivalentes:

a) f es 0-integrable; e.d. µg!1-integrable

b) f 6 g es µ-integrable;

Si f es 0-integrable o si f ) 0 se cumple "fd0 =

"f 6 gdµ

Ejercicio 60 Si f # L1(Rn) y r > 0, pruebese que"

rEf(x)d&n(x) = rn

"

Ef(rx)d&n(x),

donde rE = {rx : x # E} y E % Rn es medible.

3.5. La integral asociada a una medida y la integral de Riemann-StieltjesSea $ : [a, b] !" R una funcion creciente continua por la derecha y µ# la medida de Lebesgue-Stieltjes que

construimos en 2.4, esta medida cumple que µ#((a, b]) = $(b)!$(a). Si se razona de forma analoga a como hemoshecho con el teorema 52 se obtiene una caracterizacion similar:

Teorema 58 Sea $ : [a, b] !" R una funcion creciente continua por la derecha, µ# la medida de Borel inducidaen [a, b]. Sean f : [a, b] !" R es una funcion acotada y D(f) := {x # [a, b] : f es discontinua en x}, entonces fes integrable Riemann-Stieltjes con respecto a $ en el intervalo [a, b] si, y s olo si, D(f) es µ#-nulo;

Si f es integrable Riemann-Stieltjes con respecto a $ en el intervalo [a, b], entonces f es µ#-integrable y'[a,b] fdµ# =

' ba fd$.


NOTA Si µ# es una medida de Lebesgue-Stieltjes y f : [a, b] !" C es una funcion µ#-integrable, no se puedeasegurar que tengan el mismo valor las cuatro integrales siguientes

"

[a,b]fdµ#,

"

[a,b)fdµ#,

"

(a,b]fdµ#,

"

(a,b)fdµ#

por lo que no se debe usar la notacion' b

a fdµ# ya que no se hace explıcito cual de los cuatro valores anteriores es elque se considera. Solo cuando $ sea continua en a y en b se puede usar sin problemas esta notacion ya que entoncesµ#({a}) = µ#({b}) = 0 y las cuatro integrales anteriores tienen el mismo valor.

Si recordamos que cualquier medida definida en la !-algebra de Borel de R se puede identificar con una medidade Lebesgue-Stieltjes (vease la pagina 33), y volvemos a visitar el cambio de variable del apartado 3.4 podemosidentificar cualquier integral de una funcion real con una integral de Riemann-Stieltjes:

Supongamos en primer lugar que (!, ", µ) es un espacio de medida finito (o mas concretamente un espacio deprobabilidad). En Teorıa de la probabilidad se suelen llamar variables aleatorias a las funciones medibles.

Si f : ! !" (!*, +*) es una funcion medible, su medida imagen µf !1 es una medida finita en R, y segunla proposicion 57 la funcion f 6 Id es µ-integrable si, y solo si la identidad Id(x) = x es µf !1 integrable.

Denotamos por F (x) = µ{/ : f(/) & x} = µf!1((!*, x]), F es la funcion de distribucion de la medidaimagen µf!1. Por otra parte, tambien se suele llamar funcion distribucion de la variable aleatoria f a la funcionmonotona decreciente continua por la derecha '(x) = µ{/ : f(/) > x} = µ(!)! F (x).

La identidad es continua y por lo tanto, es integrable Riemann-Stieltjes con respecto a F (tambien respecto de') sobre cualquier intervalo compacto de la recta real. Como

F (y)! F (x) = !('(y)! '(x)),

al escribir las correspondientes sumas de Riemann-Stieltjes y tomar limites se tiene que" b

axdF (x) = !

" b

axd'(x).

Por el teorema 58 la identidad es µf!1-integrable y"

[a,b]xdµf!1(x) =

" b

axdF (x) = !

" b

axd'(x).

Ası tenemos probado la siguiente proposicion:

Proposicion 59 Si f es una funcion medible acotada con f(/) # (a, b] para todo / # !, entonces f es integrabley "

f dµ =" b

axdF (x) = !

" b

axd'(x).

Si f no esta acotada, la proposicion anterior se puede aplicar sobre los conjuntos E a,b = {/ : a < f(/) & b}para cada par de numeros reales a < b. Como si se define F (x) = µ({/ : f(/) & x} 0 Ea,b) se tiene queF (x) = F (x) ! F (a) para cada x # [a, b], entonces

"

Ea,b

f dµ =" b

axdF (x) =

" b

axdF (x) = !

" b

axd'(x).

En la proposicion anterior las integrales de f se pueden extender sobre todos los conjuntos en los que f este aco-tada. Esta restriccion se puede suprimir, para ello se define

" +#

!#xd'(x) = lım

a'!#b'+#

" b

axd'(x)

cuando el lımite existe.Si f fuese integrable se cumple


"

"f dµ = lım

a'!#b'+#

"

Ea,b

f dµ.

Si existe este ultimo lımite se tiene en particular que"

"f+ dµ = lım

0'!#b'+#

"

E0,b

f dµ < +*,

y "

"f! dµ = ! lım

0'!#b'+#

"

E0,b

f dµ < +*,

por lo que se tiene que f es µ-integrable.

Proposicion 60 Si f es medible, son equivalentes:

1. f # L1(!, ", µ), y

2. la integral' +#!# xd'(x) es finita.

Ademas, se cumple'" f dµ = !

' +#!# xd'(x).

En teorıa de la probabilidad se llama esperanza de una variable aleatoria integrable, a su integral y se sueledenotar

E(f) :="

"f dµ.

Dos funciones medibles ( variables aleatorias ) f y g, se dicen equidistribuidas, cuando tienen la misma funcionde distribucion. La proposicion anterior nos proporciona el siguiente:

Corolario 60.1 Si f y g son dos variables aleatorias equidistribuidas, y f es integrable entonces g tambi en esintegrable y

E(f) ="

"f dµ =

"

"g dµ = E(g).

La relacion entre la integrales de Riemann-Stieltjes de la identidad y la integral de f con respecto a la medidaµ puede extenderse a representaciones de integrales de Riemann-Stieltjes de integrales de la forma

'-(f) dµ,

reemplazando en las pruebas de los resultados anteriores la funcion identidad x por -(x).

Proposicion 61 1. Si f es medible y acotada con f(/) # [a, b] y si - es una funci on continua definida en [a, b],entonces -(f) es integrable y "

"-(f) dµ = !

" b

a-(x) d'(x),

2. Si - es continua y positiva en toda la recta entonces"

"-(f) dµ = !

" +#

!#-(x) d'(x),

independientemente de si f esta acotada o no.

3. Si - es continua en toda la recta, y si -(f) es integrable, entonces tambi en se cumple la igualdad"

"-(f) dµ = !

" +#

!#-(x) d'(x),

Un caso particular que requiere un poco mas de atencion es el de la funcion -(x) = |x| p donde p > 0, para elque se tiene la igualdad "

"|f |p dµ = !

" +#

!#|x|pd'|f |(x),


para cualquier funcion medible f . Si ademas, f es positiva se tiene"

"fp dµ = !

" +#

0xpd'(x).

Por lo que, para cualquier f medible, se tiene"

"|f |p dµ = !

" +#

0xpd'|f |(x)

Usualmente se denota por L)(µ) al conjunto de las funciones medibles f tales que -(f) es integrable. Enparticular para -(x) = |x|p, con 0 < p < +*, se denota

Lp(µ) = {f : f es medible y"

|f |p dµ < +*},

y por Lp(µ) al conjunto de las clases de equivalencia que se obtiene al identificar funciones iguales en casi todo pun-to. Finalizaremos observando el comportamiento de las funciones de distribucion correspondientes a sus elementos.

Una primera observacion que podemos hacer es la version L p de la desigualdad de Tchevichev:

'|f |(r) = µ{/ : |f(/)| > r} = µ{/ : |f(/)|p > rp} & 1rp

"

{|f |>r}|f |p dµ.

De esta desigualdad se sigue facilmente:

Proposicion 62 Si f # Lp(µ) entonces '|f |(x) = o( 1xp ), es decir

lımx'+#

xp'|f |(x) = 0.

Supongamos que f es positiva y continuemos con la hipotesis de que µ es finita. En base a la proposicion anteriory a la formula de integracion por partes se obtiene el siguiente teorema:

Teorema 63 Si f es una funcion medible positiva y f # Lp(µ), entonces"

"fp dµ = !

" +#

0xpd'(x) = p

" +#

0xp!1'(x) dx.

NOTA: Aunque la medida µ no sea finita, si f # Lp(µ) con 0 < p < +*, la funcion'(x) es finita para cada x > 0,y ademas cumple que

lımx'0+

xp'(x) = 0

Reinterpretando la integral' +#0 xp d'(x) como

" +#

0xp d'(x) = lım

a'0+

b'+#

" b

axd'(x)

y haciendo integracion por partes en estas integrales antes de tomar lımites, se tiene la validez del teorema tambienen el caso de que µ no sea finita.

Ejercicio 61 Encuentre un ejemplo de una funci on continua y acotada f : (0, +*) " R con lımx'+# f(x) = 0y tal que f '# Lp(0, +*) para todo p > 0.

Ejercicio 62 Sea f ) 0 una funcion medible positiva tal que su funcion de distribucion -f cumple

-f (x) & c

(1 + x)p,

para cada x > 0 con p > 0. Probar que f # Lr para 0 < r < p.

En relacion con las integral de Riemann-Stieltjes con respecto a una funcion que es la integral indefinida de unafuncion integrable Lebesgue, el teorema de la convergencia dominada nos proporciona los siguientes resultados:


Proposicion 64 Si f # L1([a, b]) es una funcion integrable, a & x0 & b y F (x) =' x

x0f(t)dt, entonces F es una

funcion continua que es diferencia de dos funciones mon otonas continuas, y para cada funci on g : [a, b] " R quesea continua se cumple " b

ag(x)dF (x) =

" b

ag(x)f(x)dx.

Demostracion. PoniendoF (x) =' x

x0f+(t)dt!

' xx0

f!(t)dt tendremos escrita F como diferencia de dos funcionesmonotonas crecientes.

Cualquier funcion continua es integrable en el sentido de Riemann-Stieltjes con respecto a cualquier funcionmonotona. Por lo tanto, si g es una funcion continua, g es integrable con respecto a F y su integral viene dada porel lımite de las sumas de Riemann-Stieltjes

" b

ag(x)dF (x) = lım

|P |'0

n!

i=1

g(#i)(F (ti)! F (ti!1)),

con P = {a = t0 < t1 < · · · < tn = b}.Definiendo hP (x) =

,ni=1 g(#i))[ti!1,ti), se tiene que

n!

i=1

g(#i)(F (ti)! F (ti!1)) =" b

ahP (x)f(x)dx.

De la continuidad de g podemos concluir que hP (x) " g(x) en cada punto x # [a, b) cuando |P | " 0. Como|hP (x)f(x)| & Cf(x), donde C es cualquier cota superior de |g|, el teorema de la convergencia dominada nospermite afirmar " b

ag(x)f(x)dx = lım

|P |'0

n!

i=1

g(#i)(F (ti)! F (ti!1)) =" b

ag(x)dF (x)

Proposicion 65 (Formula de integracion por partes) Si f y g son dos funciones integrables en [a, b], F (x) =' xx0

f(t)dt y G(x) ='

x1xg(t)dt, donde x0 y x1 son puntos de [a, b], entonces" b

aF (x)g(x)dx = F (b)G(b)! F (a)G(a) !

" b

aG(x)f(x)dx.

Demostracion. Basta con utilizar la formula de integracion por partes (Proposicion 7) y la proposicion anterior" b

aF (x)g(x)dx =

" b

aF (x)dG(x)

= F (b)G(b)! F (a)G(a)!" b

aG(x)dF (x)

= F (b)G(b)! F (a)G(a)!" b

aG(x)f(x)d(x).

3.6. Convergencia en medidaHemos visto como la convergencia en casi todo punto de una sucesion de funciones puede trasladarse, en muchos

casos, a la convergencia de sus integrales. Si observamos la implicacion recıproca vemos con el siguiente ejemploque 5fn51 " 0 sin que fn " 0 en casi todo punto:

Ejemplo 18 La sucesion f2k+p = )[ p

2k , p+12k ], definida en [0, 1] para p = 0, 1, . . . 2k ! 1, converge a 0 en 5 51

pero no converge en ningun punto de [0, 1] pues lım supn fn(x) = 1 en cada punto.

Teniendo en mente la desigualdad de Tchebichev (Proposicion 38),

µ{x : |fn(x) ! f(x)| > s} & 1s5fn ! f51

vamos a considerar la nocion de convergencia que se define a continuacion:


Definicion 30 Dado un espacio de medida (!, ", µ), se dice que una sucesi on de funciones medibles fn convergea f en medida si para cada s > 0

lımn

µ{x : |fn(x)! f(x)| > s} = 0.

Y se dice que fn es de Cauchy en medida si para cada s > 0 y cada % > 0, existe ns tal que para n > m ) ns

se cumpleµ{x : |fn(x) ! fm(x)| > s} < %

Observese que en la definicion de Cauchy en medida se puede tomar s = %.Por la desigualdad de Tchevichev, la convergencia de una sucesion en la norma de L 1(µ), 5fn ! f51 " 0,

implica la convergencia fn " f en medida.El siguiente resultado relaciona la convergencia en medida con la convergencia en casi todo punto:

Teorema 66 Sea fn una sucesion de funciones medibles que es de Cauchy en medida. Entonces existen f medible,y una subsucesion fnk de fn, tales que fnk converge a f en casi todo punto de !.

Demostracion Tomando sucesivamente % = 12k podemos encontrar una sucesion creciente de numeros naturales n k

tales queµ{x : |fnk(x)! fnk+1(x)| >

12k

} <12k

.

Consideremos las sucesiones de conjuntos de la !-algebra definidos por B k = {x : |fnk(x) ! fnk+1(x)| > 12k } y

Cm =*

k*m Bk. Entonces

µ(Cm) &!

k*m

µ(Bk) <!

k*m

12k

=1

2m!1,

y para cada x /# Cm

!

k*m

|fnk(x)! fnk+1(x)| &!

k*m

12k

=1

2m!1.

Tenemos probado que la serie telescopica,+#

k=1(fnk(x)!fnk+1(x)) converge uniformemente en cada conjunto! \ Cm. Como la convergencia de la serie telescopica equivale a la convergencia de la subsucesion f nk , tenemosprobado que esta subsucesion converge uniformemente en cada ! \ C m hacia

f = fn1 !+#!

k=1

8fnk(x)! fnk+1(x)

9.

f esta definida en ! \.

m Gm, y como µ(.

m Gm) = 0 f esta definida en casi todo punto, es medible por ser lımiteen casi todo punto de la sucesion de funciones medibles fnk .

De la desigualdad triangular tenemos que

{x : |f(x)! fn(x)| > s} % {x : |f(x)! fnk(x)| >s

2}+

{x : |fnk(x) ! fn(x)| >s

2}.

Observando esta inclusion y utilizando la definicion de sucesion de Cauchy en medida y el teorema anterior tenemosel siguiente corolario sobre la convergencia de las sucesiones de Cauchy en medida.

Corolario 66.1 Sea fn una sucesion de funciones medibles que es de Cauchy en medida. Entonces existe f medible,tal que fn converge a f en medida.

En el ejercicio 64 vemos como, para espacios de medida finitos, la convergencia en medida se puede carac-terizar en terminos de convergencia asociada a una metrica completa dada por una integral. En estos espacios laconvergencia en casi todo punto implica convergencia en medida por el teorema de la convergencia dominada.

Proposicion 67 Si (!, ", µ) es un espacio de medida finito, y fn : ! " C es una sucesion de funciones mediblesque converge en casi todo punto hacia la funci on f , entonces fn converge en medida hacia f .


Este resultado tambien es consecuencia del Teorema de Egorov (vease el ejercicio 63).

Hemos dicho que la convergencia de una sucesion en L 1 implica la convergencia en medida. La mayoracion delos modulos de los terminos de la sucesion con una funcion integrable y positiva es una condicion suficiente paraque se cumpla el recıproco. En efecto, el teorema de la convergencia dominada, ası como el resto de los teoremas deconvergencia bajo el signo integral, se pueden reescribir reemplazando la convergencia en casi todo punto por con-vergencia en medida. Basta con observar que para que una sucesion de numeros reales o complejos, sea convergentees necesario y suficiente el que cualquier subsucesion posea una subsucesion convergente. Concretamente se tiene:

Teorema 68 Sea fn : ! !" C una sucesion de funciones integrables que converge en medida hacia una funci onf . Si existe una funcion integrable g tal que |fn| & g para todo n # N entonces la funcion lımite f , es integrable yse verifica

lımn

"|fn ! f |dµ = 0 y en particular lım

n

"fndµ =

"fdµ.

EjerciciosEjercicio 63 Pruebese el siguiente Teorema (Egorov):

Sean E un conjunto de medida finita, y fn una sucesion de funciones reales medibles que converge en casi todopunto de E a una funcion f . Entonces, para cada % > 0 existe un conjunto F # " tal que F % E, µ(E \ F ) < % yfn converge hacia f uniformemente en F .

Ejercicio 64 Sea (!, ", µ) un espacio de medida finita. Se define

d(f, g) ="

mın{|f ! g|, 1} dµ.

Pruebese que:

1. d(fn, f)" 0 si, y solo si, fn " f en medida.

2. d define una distancia en el espacio de las funciones medibles (identificando funciones iguales en casi todopunto).

Ejercicio 65 Pruebese el teorema 68.

Ejercicio 66 Sean fn y gn dos sucesiones de funciones reales medibles que convergen en medida hacia f y g,respectivamente. Pruebese que las sucesiones fn + gn converge en medida hacia f + g, y que fngn converge enmedida hacia fg si f y g estan acotadas.

Ejercicio 67 Pruebese el siguiente Teorema (Lieb):Sea fn # L1(µ) una sucesion de funciones integrables tal que sup{5fn51} < +* y fn " f en casi todo punto

(respectivamente, en medida). Entonces

lımn'+#

|5fn51 ! 5f51 ! 5fn ! f51| dµ =

lımn'+#

"||fn|! |f |! |fn ! f ||dµ = 0.

En particular si 5fn51 " 5f51, entonces 5fn ! f51 " 0.

Ejercicio 68 Un subconjunto de funciones integrablesK % L 1(µ) se dice que es uniformemente integrable si paracada % > 0 existe una constante R tal que sup

:'{x:|f(x)|>R} |f |dµ : f # K

;& %.

1. Pruebese que si sup<'

|f |1+%dµ : f # K=

< +* con * > 0, entoncesK es uniformemente integrable.

2. Pruebese que para una sucesion fn # L1(µ) y 5fn!f51 " 0, entoncesK = {fn : n # N} es uniformementeintegrable y fn " f en medida. Pruebese tambien que si ademas µ(!) < +*, entonces el recıproco tambienes cierto.

3. Pongase un ejemplo de una sucesion acotada en L1(µ), que no sea uniformemente integrable (esta ser ıa uncontraejemplo a la primera afirmacion para * = 0).


4. Pruebese que si K es uniformemente integrable entonces se cumple que para cada % > 0 existe un * > 0 talque

sup4"

E|f |dµ : f # K y µ(E) < *

5< %

(se dice que los conjuntos de funciones con esta propiedad son uniformemente absolutamente continuos).Pruebese tambien que el recıproco es cierto con la hipotesis adicional de que sup{5f51 : f # K} < +*.

3.7. El Teorema de Diferenciacion de LebesgueTrabajando con funciones reales, el Teorema Fundamental del Calculo relaciona la integral con el calculo de

primitivas o antiderivadas, y lo conocemos en los siguientes terminos: “Si f : R " R es integrable sobre losintervalos cerrados y acotados centrados en x0, y es continua en x0 entonces:

f(x0) = lımx'x0

' xx0

f(t) dt

x! x0= lım

r'0

' x0+rx0!r f(t) dt

2r.”

La prueba de esta igualdad se encuentra en la continuidad de f y en las propiedades mas elementales de laintegral. De hecho, si nos planteamos la posibilidad de extender este resultado a funciones definidas en R n, f :Rn " R integrables sobre cualquier cubo centrado en x0, y consideramos los cocientes

'Q f d&

&(Q)

donde Q varia entre los cubos con centro en x0, podemos estudiar el lımite cuando Q se contrae hacia x0 (e.d.hacemos que el lado de Q converja a 0), y observar que si f es continua en x 0 se sigue cumpliendo

f(x0) = lımQ/x

'Q f d&

&(Q),

para ello basta con escribir

/////f(x0)!'

Q f(x) d&(x)&(Q)

///// =

/////

'Q f(x0) d&(x) !

'Q f(x) d&(x)

&(Q)

///// &

&'

Q |f(x0)! f(x)| d&(x)&(Q)

& sup{|f(x0)! f(x)| : x # Q}" 0.

Si &f (A) ='

A f d& es la integral indefinida asociada a una funcion integrable f , y si existe el lımite

l = lımQ/x

&f (Q)&(Q)

se dice que la integral indefinida es derivable en x con derivada l.Si f se cambia en los puntos de un conjunto de medida nula, la integral indefinida permanece invariable. Por con-

siguiente el mejor resultado de derivabilidad de la integral indefinida que podemos esperar es que & f sea derivableen casi todo punto x con derivada f(x). Este es realmente el caso:

Teorema 69 (Teorema de Diferenciacion de Lebesgue) Si f # L1(Rn) es una funcion integrable, entonces suintegral indefinida es derivable en casi todo punto x con derivada f(x), e.d.

f(x) = lımQ/x

'Q f d&

&(Q)&.c.t.p. x.

La estrategia de la prueba consiste en utilizar la aproximacion, en la norma deL 1, de cualquier funcion integrablepor funciones continuas con soporte compacto (vease el Teorema 54).

El problema que se plantea es establecer un control local para los cocientes incrementales'

Q |f!g| d**(Q) en terminos

del control global que supone la norma de L1, 5f ! g5 ='|f ! g| d&.


Una idea para resolver este problema es considerar y estudiar la siguiente funcion de control para cada funcionintegrable sobre cubos f :

f&(x) = sup

'Qx

|f | d&&(Qx)

donde el supremo se toma entre todos los cubos Qx con centro en x.A esta funcion f & se le llama la funcion maximal de Hardy-Littlewood de f y viene a medir el tamano de los

promedios de |f |,'

Q |f | d**(Q) , alrededor del punto x. A continuacion vamos a enumerar algunas de sus propiedades:

1. 0 & f&(x) & +*,

2. (f + g)&(x) & f&(x) + g&(x),

3. Si |f(t)| & |g(t)| en casi todo punto, entonces f &(x) & g&(x) para todo x.

4. (cf)&(x) = |c|f&(x),

5. Si f&(x0) > a para algun x0 # Rn. Por la continuidad de la integral indefinida (ejercicio 55) se tieneque f &(x) > a para todo x que este suficientemente proximo a x0. En consecuencia, f & es una funcionsemicontinua inferiormente, y en particular, es una funcion medible.En efecto, si f &(x0) > a, existira un cubo Q0 centrado en x0 y % > 0 tales que

'Q0

|f |d& > a&(Q0) + %.Si x esta suficientemente proximo a x0 y Qx es el cubo centrado en x con el mismo lado que Q0, se puedeasegurar que la medida de D = Q0 \ Qx es lo suficientemente pequena para que

'D |f |d& < % y entonces:

"

Qx

|f |d! !"

Q0!Qx

|f |d! =

"

Q0

|f |d! ""

D

|f |d! > a!(Q0) + " " " = a!(Qx).

6. SiE es un conjuntomedible y acotado entonces para cada x con 5x5 suficientemente grande se pueden estimarlos lados de los cubos centrados en x que cortan a E. En efecto, si K = sup{5y5 : y # E} y 5x5 > K ,entonces E % Qx si el lado de Qx es 45x5 y en consecuencia se tiene que

14n

&(E)5x5n

& )&E(x).

Si suponemos que 5x5 > 2K Qx 0 E '= . solo si el lado de Qx es mayor que 5x5, por lo que se tiene

)&E(x) & &(E)

5x5n.

En particular si &(E) > 0, la funcion )&E(x) no es integrable. Es mas, utilizando este caso particular se puede

probar que f & no es integrable salvo si f es nula en casi todo punto.

Aunque f & no sea nunca integrable es posible establecer estimaciones del tamano de f & en terminos analogos alos de la desigualdad de Tchevichev (Proposicion 38). Recordemos que si f es integrable entonces para cada $ > 0se cumple

&{x : |f(x)| > $} & 1$

"|f |d&

Se dice que una funcion medible g (integrable o no) esta en el espacio debil-L 1 cuando existe una constante k talque para cualquier $ > 0 se cumple

&{x : |f(x)| > $} & 1$

k.

Todas las funciones de L1 estan en el espacio debil-L1, y la funcion 1-x-n (que hemos utilizado para ver la no

integrabilidad de f &) resulta un ejemplo sencillo de una funcion que no es integrable pero que esta en el espaciodebil-L1.

El siguiente Lema Maximal de Hardy-Littlewood nos servira para la prueba del Teorema de Diferenciacion.

Lema 3.7.1 (Hardy-Littlewood) Existe una constante c que depende s olo de n tal que para cada funcion integrablef # L1(Rn) y cada $ > 0 se cumple

&{x : f&(x) > $} & c

$

"|f |d&.

En particular f & esta en el espacio debil-L1 para cada f integrable.


Para su prueba vamos a utilizar el siguiente Lema de Cubrimiento en la lınea de un clasico Teorema de cubri-miento de Vitali:

Lema 3.7.2 Sea W la union de una coleccion finita de cubos B(xi, ri) con 1 & i & N . Entonces existe unsubconjunto S % {1, . . . , N} tal que

1. los cubos B(xi, ri) con i # S son disjuntos dos a dos,

2. W %+

i$S

B(xi, 3ri) y

3. &n(W ) & 3n!

i$S

&n(B(xi, ri))

Demostracion. Reordenando los cubos si es preciso, podemos considerar que sus lados van decreciendo, e.d. r 1 )r2 ) · · · ) rN .

Observamos que en este caso si 1 & i < j & N y z # B(xi, ri) 0 B(xj , rj) '= ., se tiene que B(xj , rj) %B(xi, 3ri) pues

5y ! xi5 & 5y ! xj5+ 5xj ! z5+ 5z ! xi5 & 2rj + ri & 3ri

si y # B(xj , rj).Para definir S se considera i1 = 1; si B(xj , rj) 0 B(xi1 , ri1 ) '= . para 2 & j & N se toma S = {i1}, en

otro caso se define i2 = mın{j : B(xj , rj) 0 B(x1, r1) = .}; si B(xj , rj) 0 B(xik , rik) '= . (k = 1 o 2) parai2 < j & N se toma S = {i1, i2}, en otro caso se define i3 = mın{j : B(xj , rj) 0 B(xik , rik) = .k = 1, 2}; siB(xj , rj) 0B(xik , rik ) '= . (k = 1, 2 o 3) para i3 < j & N se toma S = {i1, i2, i3}, en otro caso se va repitiendoeste procedimiento que se parara antes deN iteraciones.

Tendremos S = {i1, i2, . . . , ip} de forma queB(xik , rik) son disjuntas dos a dos, y para cada 1 & j & N existek tal que B(xj , rj) 0B(xik , rik ) '= ., en consecuencia

W =N+

j=1

B(xj , rj) %p+

i=1

B(xik , 3rik), y

&n(W ) &p!

i=1

&n(B(xik , 3rik) = 3np!

i=1

&n(B(xik , rik).

Demostracion del Lema 3.7.1. SeaK un conjunto compacto,K % {x : f &(x) > $}. Consideremos el cubrimientode K determinado por cubos Qx tales que

'Qx

|f |d**(Qx) > $, o lo que es equivalente:

'Qx

|f | d& > $&(Qx). Pasandoa un subrecubrimiento finito y haciendo uso del Lema 3.7.2 podemos encontrar x1, . . . , xk # K tales que los cubosQxj son disjuntos dos a dos, y &(K) < 3n

,kj=1 &(Qxj ) lo que junto a la construccion de estos cubos nos da:

&(K) < 3nk!

j=1

&(Qxj ) <3n

$

k!

j=1

"

Qxj

|f |d& & 3n

$

"

Rn

|f |d&.

Tomando supremos en las medidas de los compactosK % {x : |f &(x)| > $} se tiene la desigualdad buscada:

&({x : f&(x) > $}) & 3n

$

"

Rn

|f |d&.

Demostracion del Teorema de Diferenciacion. Como anunciabamos, dado % > 0 vamos a aproximar f por unafuncion continua con soporte compacto g de forma que

'|f ! g|d& < %.

Por la continuidad de g, y tal como hacıamos al inicio de esta seccion podemos afirmar que

lımQ/x

/////g(x)!'

Q g(y)d&(y)&(Q)

///// = 0.


Ahora utilizamos la aproximacion a f :

lım supQ/x

/////f(x)!'

Q f(y)d&(y)&(Q)

/////

= lım supQ/x

/////f(x)! g(x)!'

Q f(y)! g(y)d&(y)&(Q)

+ g(x)!'

Q g(y)d&(y)&(Q)

/////

& (g ! f)&(x) + |f(x)! g(x)|.

Sea E# = {x : lım supQ/x

///f(x)!'

Q f(y)d*(y)

*(Q)

/// > $}, de la desigualdad anterior podemos deducir que

E# % {x : (g ! f)&(x) >$

2}+

{x : |f(x)! g(x)| >$

2}.

Aplicando ahora el Lema de Hardy-Littlewood y la desigualdad de Tchevichev tenemos que

&(E#) & 2(c + 1)$

"|f ! g|d& <

2(c + 1)$

%.

Haciendo ahora %" 0 se tiene que &(E#) = 0 para cualquier $ > 0.Para cada x que no pertenezca al conjunto nulo

*k E 1

k, es decir para casi todos los x se cumple

lım supQ/x

/////f(x)!'

Q f(y)d&(y)&(Q)

///// = 0.

El Teorema de diferenciacion sigue siendo cierto para funciones que son localmente integrable, es decir, funcio-nes que son integrables sobre cualquier cubo de Rn.

Un caso particular de funcion localmente integrable lo da cualquier funcion caracterıstica ) E(x) de un conjuntomedible arbitrario E. Ası se tiene que

lımQ/x

&(E.

Q)&(Q)

= )E(x)

para casi todo punto. Un punto donde el lımite anterior vale 1 se dice que es un punto de densidad de E y un puntodonde el lımite vale 0 se dice que es un punto de dispersion. Como &(Q) = &(E

.Q) + &(Ec

.Q), cada punto

de densidad de E es un punto de dispersion de E c, y viceversa.

Teorema 70 Dado un conjunto medible E % Rn, casi todo punto de E es un punto de densidad de E

El Teorema de Diferenciacion de Lebesgue prueba que

lımQ/x

'Q(f(t)! f(x))d&(t)

&(Q)= 0

para casi todo punto x.Un punto x para el que se cumple la condicion mas fuerte

lımQ/x

'Q |f(t)! f(x)|d&(t)

&(Q)= 0

se dice que es un punto de Lebesgue de f .

Teorema 71 Si f es una funcion localmente integrable. Entonces casi todo punto x # Rn es un punto de Lebesguede f .


Demostracion. La aplicacion reiterada del teorema de Diferenciacion de Lebesgue a las funciones |f(t)! r| donder varia en un conjunto numerable denso de R, o C, nos proporciona una sucesion de conjuntos nulos E r tales que

lımQ/x

'Q |f(t)! r|d&(t)

&(Q)= |f(x) ! r|

para cada x '# Er. Sea E =*

r Er, E es un conjunto de medida nula y para cada x '# E y cada % > 0 podemoselegir r de forma que |f(x)! r| < "

2 , entonces

lım supQ/x

'Q |f(t)! f(x)|d&(t)

&(Q)&

lım supQ/x

'Q(|f(t)! r| + |f(x)! r|d&(t)

&(Q)&

lım supQ/x

'Q |f(t)! r|d&(t)

&(Q)+ |f(x)! r| = 2|f(x)! r| < %.

Como podemos hacer %" 0, tenemos que todo punto x '# E es un punto de Lebesgue.

Por ultimo, cabe preguntarse si el Teorema de diferenciacion sigue siendo cierto cuando en lugar de considerarcubos que se contraen hacia x se consideran otras familias de conjuntos. En este sentido se dice que una familiade conjuntos medibles y acotados {S} se contrae bien (shrink well) hacia x supuesto que se cumplen las dospropiedades que siguen:

i) Los diametros de los conjuntos S convergen hacia 0, y

ii) existe una constante k tal que para cualquier conjuntoS de la familia, siQ S es el menor cubo cerrado, centradoen x, y que contiene a S, entonces

&(QS) & k&(S)

Observese que los conjuntos S de la familia no tienen porque contener al punto x. Ejemplos de familias quese contraen bien a x en R son los intervalos [x, x + h], o (x ! h, x), con h > 0. Las bolas de centro x y radio hasociadas a una norma de Rn tambien son familias que se contraen bien a x.

Teorema 72 Si f es una funcion localmente integrable en Rn. Entonces en cada punto de Lebesgue, x, de f (enparticular en casi todo punto) y para cada familia S que se contrae bien a x, se cumple

lımS/x

'S |f(t)! f(x)|d&(t)

&(S)= 0

lımS/x

'S f(t)d&(t)&(S)

= f(x)

Demostracion. Consideremos la siguiente cadena de desigualdades:'

S |f(t)! f(x)|d&(t)&(S)

&'

QS|f(t)! f(x)|d&(t)

&(S)

&'

QS|f(t)! f(x)|d&(t)

k&(QS).

Es facil observar que el lado de QS es menor que el doble del diametro de S. Ası, si los diametros de S convergenhacia 0 lo mismo le sucede a los lados de QS. En consecuencia, el primer lımite del enunciado del teorema se anulaen todos los puntos de Lebesgue de f . El segundo lımite se deduce facilmente del primero.

En particular para funciones de una variable localmente integrables se tiene la siguiente extension del TeoremaFundamental del Calculo:

f(x) = lımh'0

' x+hx f(t)dt

h

para casi todo punto x.


EjerciciosEjercicio 69

1. Probar que si f : Rn " [0, +*) es una funcion medible que no se anula en un conjunto de medida positiva,entonces existe una constante c tal que

f&(x) ) c

5x5n2

para cada x # Rn con 5x52 ) 1.

Indicacion: suponer primero el caso f = )E con E un conjunto acotado con medida de Lebesgue estricta-mente positiva.

2. Deducir de lo anterior que f & solo es integrable en el caso f(x) = 0 en casi todo punto.

3. Deducir tambien que si f no se anula en casi todo punto entonces es posible encontrar una constante c " talque para cada $ > 0 suficientemente pequeno,

&n({x : f&(x) > $}) >c"

$.

Por lo que la acotacion dada en Lema 3.7.1 es esencialmente la mejor posible.

Ejercicio 70 Considerando la funcion real positiva F (x) = !1log x)(0, 1

e )(x) y su derivada f(x) = F "(x), com-pruebese que f # L1(R) y que

'(0,r) f&(x)dx = +* para cualquier r > 0.

Ejercicio 71 Si f : Rn " R es una funcion localmente integrable que es continua en un punto x, probar que x esun punto de Lebesgue de la funcion f .

Ejercicio 72 Si E es un subconjunto de Borel en Rn se define la densidadDE(x) de E en x como

DE(x) = lımr'0+

&n(E.

B(x, r))&n(B(x, r))

supuesto que este lımite existe.Ponganse ejemplos de conjuntos E y puntos x tales que DE(x) = $ con $ # (0, 1), o tales que DE(x) no

existe.

Ejercicio 73 Con este ejercicio se pretende hacer la observacion de que en los puntos de Lebesgue x de f # L1(R),f(x) tambien es el lımite de otros promedios de f . En concreto: Sea K # L1(R) una funcion de clase C1(R) talque'

R K(t)dt = 1,'

R |tK "(t)|dt < +* y lım|t|'+# K(t) = lım|t|'+# tK(t) = 0. Para cada % > 0, seaK(%, t) = 1

"K( t") y

f"(x) ="

K(%, x! t)f(t)dt ="

K(%, t)f(x! t)dt.

Pruebese que lım"'0

f"(x) = f(x) en cada punto de Lebesgue x de f , siguiendo el siguiente esquema

1. Compruebese que

f"(x) =" +#

0K(t)f(x! %t)dt +

" +#

0K(!t)f(x + %t)dt.

2. Utilizando la formula de integracion por partes (Proposicion 65), compruebense las igualdades" +#

0K(t)f(x! %t)dt =

" +#

0!tK "(t)

(1%t

" 0

!"tf(x + s)ds

)dt,

" +#

0K(!t)f(x + %t)dt =

" +#

0tK "(!t)

(1%t

" "t

0f(x + s)ds

)dt,

3. Reuniendo las igualdades anteriores, pruebese que si x es un punto de Lebesgue de f entonces

lım"'0

f"(x) = !f(x)" +#

!#tK "(t)dt = f(x).

Capıtulo 4

Producto de Medidas. Teorema de Fubini

Sean (!1, "1), (!2, "2) dos espacios medibles y µ1, µ2 dos medidas definidas sobre estos espacios. Vamos aestudiar la construccion de una medida µ en el producto cartesiano! 1$!2 de forma que µ(A$B) = µ1(A)µ2(B)si A # "1 y B # "2. En el caso particular de que µ1 y µ2 sean la medida de Lebesgue en la recta real, µ sera lamedida de Lebesgue en el plano. El resultado principal de este capıtulo es el Teorema de Fubini que permite evaluarlas integrales multiples como integrales reiteradas.

4.1. Medida productoDefinicion 31 Si (!1, "1), (!2, "2) son dos espacios medibles, en el producto cartesiano ! := !1 $ !2 se llamarectangulo medible a todo producto A$B dondeA # "1 y B # "2.

Se define la !-algebra producto" := "1$"2 de partes de!, como la engendrada por los rect angulos medibles.es decir " := !(R) dondeR := {A$B : A # "1, B # "2}

Para utilizar el metodo de Caratheodory de construccion de medidas vamos a describir los conjuntos que formanel algebra generada por los rectangulos medibles. Consideremos la familia E % " 1 $ "2 formada por las unionesfinitas de rectangulos medibles disjuntos dos a dos. A los conjuntos de esta familia se les acostumbra a llamarconjuntos elementales. Es inmediato que la familia de los rectangulos medibles es estable frente a interseccionesfinitas y es facil ver que la diferencia de dos rectangulos medibles es un conjunto elemental

(A$B) \ (C $D) = [(A \ C)$B] - [(A 0 C)$ (B \ D)]

Se sigue de esto que la familia de los conjuntos elementales es estable frente a intersecciones finitas y diferencias:

P, Q # E , P 0Q # E , P \ Q # E

Como E es estable frente a uniones finitas disjuntas y diferencias tambien es estable frente a uniones finitas arbitrariasy por lo tanto E es el algebra de conjuntos generada por los rectangulos medibles.

El Teorema de la ConvergenciaMonotona proporciona una prueba sencilla de la siguiente propiedad:

Lema 4.1.1 Sean (!1, "1, µ1) y (!2, "2, µ2) dos espacios de medida.Si A, A1, A2, . . . , An, . . . son elementos de "1 y B, B1, B2, . . . , Bn, . . . son elementos de "2 tales que los

conjuntos de la sucesion An $Bn son disjuntos dos a dos y

A$B =+

n

An $Bn,

entoncesµ1(A)µ2(B) =

!

n

µ1(An)µ2(Bn).

Demostracion. Para cada par de puntos x # !1 e y # !2 se cumple

)A(x))B(y) =+#!

n=1

)An(x))Bn(y).

70

CAPITULO 4. PRODUCTO DE MEDIDAS. TEOREMA DE FUBINI 71

El teorema de la convergencia monotona nos permite afirmar que al integrar en esta identidad con respecto a µ 1(x)se obtiene

µ1(A))B(y) =+#!

n=1

µ(An))Bn(y),

y si integramos ahora con respecto a µ2(y) podemos concluir que

µ1(A)µ2(B) =+#!

n=1

µ(An)µ(Bn).

Este lema nos permite asegurar que la funcion " : E " [0, +*] definida por "(E) =,n

k=1 µ1(Ak)µ2(Bk)donde E es la union finita disjunta de los rectangulos medibles Ak $ Bk, esta bien definida (e.d. no depende de larepresentacion de E como union disjunta de rectangulos medibles) y es una premedida sobre el algebra E . Ahora elteorema de Caratheodory (teorema 18) proporciona la medida producto:

Teorema 73 Dados dos espacios de medida (! i, "i, µi), i = 1, 2, entonces existe una medida µ (µ = "&) definidaen "1 $ "2 tal que µ(A $ B) = µ1(A)µ2(B) para cada rectangulo medible A $ B. Si ademas, los espacios demedida (!i, "i, µi), i = 1, 2 son !-finitos entonces µ es la unica medida definida en "1 $"2 tal que µ(A$B) =µ1(A)µ2(B) para cada rectangulo medible A$B.

Si (!i, "i, µi), i = 1, 2 son espacios de medida !-finitos, la medida µ que proporciona el teorema anterior sellama medida producto de µ1 y µ2, y se designa por

µ = µ1 $ µ2.

El espacio de medida (!, ", µ), donde ! := !1 $ !2, " := "1 $ "2 y µ := µ1 $ µ2 se llama espacio producto.

En lo que sigue, dado E % !, denotaremos por Ex, Ey las secciones de E producidas por (x, y) # !

Ex := {y # !2 : (x, y) # E}; Ey := {x # !1 : (x, y) # E};

Para una funcion f : E !" C se denotaran por fx, fy las funciones parciales definidas respectivamente en Ex,Ey por fx(y) := f(x, y), fy(x) := f(x, y).

Proposicion 74 Si E # "1 $ "2, y f : E !" C es "1 $ "2-medible entonces para cada x # !1 y cada y # !2

se cumpleEx # "2, Ey # "1, fx es "2-medible y f y es "1-medible

Demostracion. Sea F % "1 $ "2 la familia de los conjuntos de la !-algebra producto que verifican la tesis de laproposicion. Si E = A $ B es un rectangulo medible Ex = B # "2 si x # A, o bien, Ex = . # "2 si x '# A;y Ey = A # "1, o bien, Ey = . # "1 segun que y # B o y '# B. Ası, F contiene a los rectangulos medibles.Es muy sencillo comprobar que F es estable por uniones numerables de conjuntos y por paso al complementario ((Ec)x = (Ex)c, y (Ec)y = (Ey)c). Por lo tanto F coincide con la !-algebra producto.

Para las funciones bastara con senalar que

f!1x (A) = (f!1(A))x y (fy)!1(A) = (f!1(A))y ,

para afirmar que si f es medible tambien lo son las secciones fx y fy pues por la primera parte de la pruebaf!1

x (A) # "2 y (fy)!1(A) # "1 para cada conjuntoA # B(C), cada x y cada y.

Vamos a continuar dando una formula integral para evaluar la medida producto. Para simplificar la prueba, vamosa recurrir a un lema tecnico en relacion con la nocion de clase mon otona :M % P(!) es una clase monotona sies estable por uniones de sucesiones crecientes y por intersecciones de sucesiones decrecientes. Toda !-algebra esuna clase monotona, y dada una familia E de subconjuntos de ! la interseccion de todas las clases monotonas quecontienen a E es la mınima clase monotona que contiene a E , se le llama la clase monotona engendrada por E y sedenotam(E).

Lema 4.1.2 Si E es un algebra de conjuntos entonces la !-algebra engendrada !(E) coincide con la clase mon o-tona engendradam(E).


Demostracion. Evidentementem(E) % !(E). Para probar la inclusion recıproca bastara con probar que si E es unalgebra de conjuntos entoncesm(E) es una !-algebra. Para obtener esto, bastara con probar quem(E) es estable porpaso al complementario y para uniones finitas, e.d. es un algebra, puesto que en ese caso cualquier union numerablese puede expresar como una union de una sucesion creciente.

Sea M = {A # m(E) : Ac # m(E)}, evidentemente M es una clase monotona puesto que cerrada poruniones de sucesiones crecientes e intersecciones de sucesiones decrecientes. Como ademas E % M se tiene queM = m(E). Equivalentemente,m(E) es estable por paso al complementario.

Sea A # E fijo y consideremos MA = {B # m(E) : A - B # m(E)}. EvidentementeMA es una clasemonotona puesto que cerrada por uniones de sucesiones crecientes e intersecciones de sucesiones decrecientes.Como E es un algebra E %M y se tiene queMA = m(E).

Sea ahora B # m(E) fijo y consideremosM"B = {A # m(E) : A - B # m(E)}.M"

B es una clase monotonapuesto que cerrada por uniones de sucesiones crecientes e intersecciones de sucesiones decrecientes. ComoM A =m(E) para cada A # E , se tiene que E %M"

B y por lo tantoM"B = m(E). Con lo que tenemos probado quem(E)

es estable por uniones finitas.

En virtud de este lema tenemos que la !-algebra producto" 1$"2 es la mınima clase monotona que contiene ala familia E de los conjuntos elementales .

Teorema 75 Si los espacios de medida (!i, "i, µi), i = 1, 2 son !-finitos y E # "1 $"2 entonces la funcion x :"µ2(Ex) es "1-medible, y la funcion y :" µ1(Ey) es "2-medible. Tambien se cumple que para cada E # "1 $ "2

la medida producto viene dada por

µ1 $ µ2(E) ="

µ1(Ey)dµ2(y) ="

µ2(Ex)dµ1(x) (75)

Demostracion.Supongamos primero que tanto µ1 como µ2 son medidas finitas. Sea F la familia de los conjuntos E de la

!-algebra producto para los que se cumple la afirmacion del teorema.Si E = A$B es un rectangulo medible la funcion f(x) = µ2(Ex) = µ2(B))A(x) es medible y se cumple que

µ1 $ µ2(A$B) = µ1(A)µ2(B) ="

µ2(Ex) dµ1(x).

El resultado analogo para las secciones E y tambien se cumple por lo que podemos afirmar que F contiene a losrectangulos medibles.

Es muy sencillo probar que F es cerrado por uniones disjuntas. Por lo que F contiene al algebra E de losconjuntos elementales.

Ahora por el teorema de la convergencia monotona si En # F es una sucesion creciente entonces

µ2((+

n

En)x) = µ2(+

n

(En)x) = lımn

µ2(En)x

µ1 $ µ2(+

n

En) = lımn

µ1 $ µ2(En)

="

lımn

µ2((En)x) dµ1(x) ="

µ2((+

n

En)x) dµ1(x).

Ası, F es estable por uniones de sucesiones crecientes. Como las medidas se suponen finitas, para sucesionesdecrecientes podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada en lugar del de la convergencia monotona,obteniendo que F tambien es estable para las intersecciones de sucesiones decrecientes. Por lo tanto,F es una clasemonotona y en virtud del lema anterior, F = "1 $ "2.

Si las medidas µ1 y µ2 se suponen solo !-finitas Se puede escribir !1 $ !2 =*

n An $Bn, dondeAn # "1 yBn # "2 son dos sucesiones crecientes.

La primera parte de la prueba implica que para cada conjuntoE # " 1 $ "2 y cada n se cumple

µ1 $ µ2(E 0 (An $Bn)) ="

µ2(Ex 0Bn))An(x) dµ1(x).

El teorema de la convergencia monotona permite tomar lımites con respecto a n en esta ultima igualdad y concluirla veracidad de la ecuacion (75).


4.2. Integracion reiteradaA la vista del ultimo teorema no es difıcil imaginar como realizar la integral de las funciones simples con

respecto a la medida producto, y por aproximaciones como hacer la integral de cualquier funcion medible:

Teorema 76 (Fubini) Sean (!i, "i, µi), i = 1, 2 espacios de medida !-finitos y (!1 $ !2, "1 $ "2, µ1 $ µ2) elespacio producto.

a) Si f : !1 $ !2 !" [0, +*] es "1 $ "2-medible entonces la funcion x :"'

f(x, y)dµ2(y) es "1-medible,la funcion y :"

'f(x, y)dµ1(x) es "2-medible y se cumple

"fdµ1 $ µ2 =

" ("f(x, y)dµ2(y)

)dµ1(x) =

" ("f(x, y)dµ1(x)

)dµ2(y).

b) Si f : !1 $ !2 !" C es medible y una de las dos integrales iteradas" ("

|f(x, y)|dµ2(y))

dµ1(x)," ("

|f(x, y)|dµ1(x))

dµ2(y)

es finita entonces f es µ1 $ µ2-integrable.

c) Si f : !1 $ !2 !" C es µ1 $ µ2-integrable entonces fx es µ2-integrable para casi todo x # !1, fy esµ1-integrable para casi todo y # !2, la funcion x :"

'f(x, y)dµ2(y) (definida para casi todo x # !1)

es µ1-integrable, la funcion y :"'

f(x, y)dµ1(x) (definida para casi todo y # !2) es µ2-integrable, y severifica

"fdµ1 $ µ2 =

" ("f(x, y)dµ2(y)

)dµ1(x) =

" ("f(x, y)dµ1(x)

)dµ2(y).

Demostracion.(a) El teorema 75 prueba esta afirmacion para las funciones caracterısticas, y por la linealidad de la integral estatambien se cumple para las funciones simples.

Si f es "1 $ "2-medible y positiva se puede expresar como el lımite de una sucesion creciente de funcionessimples sn. El teorema de la convergencia monotona prueba que las funciones

'(x) ="

f(x, y)dµ2(y) = lımn

"sn(x, y)dµ2(y), y

.(y) ="

f(x, y)dµ1(x) = lımn

"sn(x, y)dµ1(x),

son limites de funciones medibles y por lo tanto son "1 y "2-medibles respectivamente.Otra vez el teorema de la convergencia monotona al integrar en las expresiones anteriores nos da

"f dµ1 $ µ2 = lım

n

"sn dµ1 $ µ2

= lımn

" ("sn(x, y)dµ2(y)

)dµ1(x)

=" (

lımn

"sn(x, y)dµ2(y)

)dµ1(x)

="'(x)dµ1(x)

=" ("

f(x, y)dµ2(y))

dµ1(x)

· · · =" ("

f(x, y)dµ1(x))

dµ2(y).

(b) resulta de aplicar el apartado (a) a la funcion positiva |f |.(c) Siempre existe una sucesion de funciones simples sn que converge puntualmente hacia f y tal que |sn| & |f |para todo n. Si f es integrable podemos repetir los lımites del apartado (a) utilizando el Teorema de la convergenciadominada en el lugar del Teorema de la convergencia monotona.


NOTA El apartado b) del teorema anterior proporciona un criterio muy util para probar que f es integrable respectoa la medida producto. No es preciso calcular explıcitamente las integrales iteradas de la funcion f , pues basta conacotarlas considerando una funcion medible g ) |f | para la que sea facil comprobar que una de sus integralesiteradas es finita.

4.3. Las medidas de Lebesgue como producto de medidas.Seguidamente veremos los aspectos particulares de la medida producto y de la integracion reiterada relativos a

la medida de Lebesgue. Se pondra de manifiesto que, en general, el producto de dos espacios de medida completospuede ser un espacio de medida no completo. Esto plantea la conveniencia de considerar la compleccion del espacioproducto.

Para enunciar con claridad lo que ocurre cuando se considera la medida de Lebesgue conviene usar notacionesdistintas para la medida de Lebesgue sobre la !-algebra de Borel B(Rn) y para la medida de Lebesgue completasobre la !-algebraM(&n) de los conjuntos medibles Lebesgue.

La primera sera denotada por &n y la segunda, que es su compleccion, por &n.

Proposicion 77 Si p, q # N consideremos el producto cartesiano Rp $ Rq identificado con Rn, donde n = p + q.Se verifica:

B(Rn) = B(Rp)$ B(Rq), &n = &p $ &q, M(&p)$M(&q) %M(&n)

donde la inclusion es estricta (Axioma de Eleccion). Ademas &p$ &q es la restriccion de &n a la !-algebra productoM(&p)$M(&q)

DemostracionLos intervalos n-dimensionales coinciden con los productos cartesianos de un intervalo p-dimensional por uno

q-dimensional:n1

j=1

[aj , bj) = (p1

j=1

[aj , bj))$ (q1

k=1

[ap+k, bp+k)).

Como la !-algebra B(Rn) de esta generada por los intervalos n-dimensionales, obtenemos la inclusion B(R n) %B(Rp)$ B(Rq).

Dado un intervalo p-dimensional I la familia F = {B # B(Rq) : I $ B # B(Rn)} es una !-algebra quecontiene a los intervalos q-dimensionales, por lo tanto F = B(Rq). Fijando ahora B # B(Rq) la familia F " ={A # B(Rp) : A $ B # B(Rn)} tambien es una !-algebra que contiene a todos los intervalos p-dimensionales ypor lo tanto F " = B(Rp). Tenemos probado que B(Rn) contiene a los rectangulos medibles y en consecuencia queB(Rp)$ B(Rq) % B(Rn).

La unicidad de la medida de Lebesgue nos da la igualdad &n = &p$&q puesto que esta medida producto asignaa cada intervalo su volumen.

Sean A" #M(&p) y B" # M(&q). Escribimos A" = A -N , donde A # B(Rp) y &p(N) = 0. Analogamente,B" = B - M , donde B # B(Rq) y &q(M) = 0. Si probamos que tanto N $ Rq como Rp $ M son conjuntos&n-nulos, tendremos que A" $B" es un conjunto medible Lebesgue pues A " $B" = A$B - (N $B" -A" $M)es union del conjunto de Borel A$B y de un conjunto de medida nula. Ademas

&n(A" $B") = &n(A$B) = &p(A)&q(B) = &p(A")&q(B").

Sea C # B(Rp) tal queN % C y &p(C) = 0, entonces C $Rq % Rn es un conjunto de Borel y &n(C $Rq) =&p(C)&q(Rq) = 0. Consecuentemente,N $ Rq es un conjunto de medida nula.

Tenemos probada la inclusion:M(&p)$M(&q) %M(&n).

Por ultimo, el hecho de que las secciones de un conjunto de la !-algebra producto esten en la !-algebra co-rrespondiente, pone de manifiesto el que la !-algebra de los conjuntos medibles Lebesgue de R p+q y la !-algebraproducto de la de los conjuntos medibles Lebesgue de R p por la de los de Rq son dos !-algebras distintas, yaque podemos considerar conjuntos de la forma {x} $ E que tienen medida nula en R p+q (son conjuntos mediblesLebesgue) pero donde la seccion E % Rq no sea un conjunto medible (Axioma de Eleccion).

Puesto queM(&p) $M(&q) es una !-algebra intermedia entre B(Rn) yM(&n) se sigue que la complecciondel espacio producto

(Rp $ Rq,M(&p)$M(&q), &p $ &q)


es (Rn,M(&n), &n).Se pone ası de manifiesto que el producto de dos espacios de medida completos, en general, no es completo lo

que motiva la consideracion de su compleccion, obteniendose la siguiente version del teorema de Fubini:

Teorema 78 Sean (!i, "i, µi), i = 1, 2 espacios de medida completos y !-finitos y (!, "µ, µ) la complecciondel espacio producto (!1 $ !2, "1 $ "2, µ1 $ µ2). Entonces se verifican las conclusiones del teorema 76 conla siguiente diferencia: La "2-medibilidad de fx y la "1-medibilidad de f y solo se puede asegurar en casi todox # !1 y en casi todo y # !2, y las funciones x :"

'f(x, y)dµ2(y), y :"

'f(x, y)dµ1(x) del apartado a) solo se

pueden considerar definidas en casi todo punto.

La prueba de este teorema es muy simple si recordamos que las funciones medibles con respecto a la !-algebracompletada son las que coinciden en casi todo punto con funciones medibles con respecto a la !-algebra producto,pues bastara con aplicar el teorema de Fubini a estas ultimas junto con la observacion de que las secciones N x deun conjunto de medida nulaN son conjuntos de medida nula para casi todo x.

4.4. Aplicaciones del Teorema de FubiniEl Teorema de Fubini permite evaluar las integrales multiples de funciones positivas como integrales reiteradas,

y da un criterio de integrabilidad para las funciones de varias variables, como en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 19 Consideremos las funciones continuas definidas en R2, f(x, y) = e!(x2+y2) sen(x2 + y2) y g(x, y) =e!(x2+y2) > 0. Entonces "

R2e!(x2+y2) dx dy =

(" +#

!#e!x2

dx

)2

.

Como e!x2 & e!|x| si |x| > 1 resulta que" +#

!#e!x2

dx = 2" +#

0e!x2

dx < 2" 1

0e!x2

dx + 2" +#

1e!x dx < +*,

y consecuentemente, g es integrable en R2.Por ultimo, como g ) |f | en todo punto tambien se obtiene que f es integrable.

Vamos a ver la clasica interpretacion geometrica de la integral como una aplicacion del teorema de Fubini:

Proposicion 79 Sea (!, ", µ) un espacio de medida !-finito y E # ". Dada una funci on f : E !" [0, +*) seaR(E, f) := {(/, t) : / # E, 0 & t & f(/)} su recinto de ordenadas y G(f) := {(/, t) : / # E, t = f(/)} sugrafica. Entonces f es "-medible si y solo si R(E, f) pertenece a la !-algebra producto " $ B(R). En este casoG(f) # "$ B(R) y se verifica

(µ$ &)(R(E, f)) ="

Efdµ, (µ$ &)(G(f)) = 0.

Demostracion. Las secciones del recinto de ordenadas R(E, f) := {(/, t) : / # E, 0 & t & f(/)} son, respecti-vamente, R(E, f)( = [0, f(/)] y R(E, f)t = {/ : f(/) > t}. Si el recinto de ordenadas es medible entonces lafuncion f(/) = &(R(E, f)() tambien es medible y

(µ$ &)(R(E, f)) ="

Efdµ.

Si f es "-medible existe una sucesion creciente de funciones simples sn que converge hacia f en todo punto. Losconjuntos R!

n = {(/, t) : sn(/) & t} y los conjuntos R+a,n = {(/, t) : sn(/) + a ) t} son uniones finitas de

rectangulos medibles y estan en la !-algebra producto. Como se cumplen las igualdades

R(E, f) = {(/, t) : f(/) & t}

=

60

n

{(/, t) : sn(/) & t}7

, y

G(f) = {(/, t) : f(/) = t}

=

60

n

{(/, t) : sn(/) & t}7060

k

+

m

{(/, t) : sn(/) +1k) t}7

,


Iy

Iy"

Jy

Jy"

s s

s" s"

my

my"

Rn#1 Rn#1y y

R R(0, 0) (0, 0)t t

(t, y)

(t", y")

S1(A) A

..........................

..................................!

Figura 4.1: Simetrizacion de Steiner.

se tiene que tanto el subgrafo como el grafo de f estan en la !-algebra producto.Como las seccionesG(f)( se reducen al punto {f(/)}, que tiene medida nula, resulta que µ$&(G(f)) = 0.

Cambiando el orden de integracion sobre el recinto de ordenadas, se obtiene otra prueba de la siguiente afirma-cion que ya realizamos en el teorema 63 (con p = 1):

Proposicion 80 Si (!, ", µ) es un espacio de medida !-finito y f : E !" [0, +*) una funci on"-medible definidaen E # " entonces su funcion de distribucion '(t) := µ({/ # E : f(/) > t}) es decreciente, continua por laderecha y verifica "

Efdµ =

" +#

0'(t)dt

Otra aplicacion es un clasico lema de simetrizacion de Steiner que proporciona una acotacion del volumen deun solido en funcion de su diametro.

Proposicion 81 SiA % Rn es un subconjunto medible y acotado y 1 = diam A es su di ametro, entonces la medidade Lebesgue de A esta acotada por la medida de la Bola Euclidea de di ametro 1.

En particular existe una constante c(n) que solo depende de n tal que

&(A) & c(n)( diam (A))n

para cada conjunto medible y acotadoA % Rn.

Demostracion. Representando cada punto de Rn = R $ Rn!1 como (t, y), las secciones Ay = {t : (t, y) # A}son subconjuntos acotados de la recta real para los puntos y de un conjunto acotado y son el conjunto vacıo en elresto. Las secciones Ay son medibles y la aplicacion y :" &(Ay) es medible.

Consideremos para cada y el intervalo centrado en el origen I y = [!*(Ay)2 , *(A

y)2 ].

Definimos el conjunto

S1(A) = {(t, y) : t # Iy} = {(t, y) : |t| <&(Ay)

2}.

S1(A) se puede descomponer como la union del subgrafo de la funcion medible *(Ay)2 que es un conjunto medible

y de su simetrico con respecto al hiperplano {t = 0}, por lo que S 1(A) es medible.Como &(S1(A)y) = &(Ay) El Teorema de Fubini nos da la igualdad

&n(A) = &n(S1(A)).

El conjunto S1(A) es simetrico con respecto al hiperplano {x1 = 0} (donde por t = x1 denota la primeracoordenada) y conserva el volumen de A.


Vamos a probar que el diametro de S1(A) es menor que el diametro de A. Para cada y # Rn!1 si Ay '= .,consideramosmy # R el puntomedio del intervalo Jy determinado por los extremos deAy cuya longitud es superiora &(Ay). Consideremos dos puntos (s, y) y (s", y") de S1(A) y supongamos quemy & my" y que s & 0 & s" (estasuposicion no es restrictiva ya que se pueden intercambiar (s, y) por (s ", y") en el caso de que my > m"

y ,o bien so s" por sus opuestos porque S1(A) es simetrico). Entonces es posible encontrar (t, y) y (t ", y") en A de forma quet < my + s & my ymy" & my" + s" < t". Como

|s" ! s| = s" ! s < (t" !my") + (my ! t) & t" ! t = |t" ! t|,

para las distancias euclıdeas se tiene la desigualdad

5(s, y)! (s", y")52 = |s" ! s|2 + 5y ! y"52 & |t" ! t|2 + 5y ! y"52 = 5(t, y)! (t", y")52.

Al tomar supremos en estas desigualdades resulta que el diametro de S 1(A) es menor que el de A.Sean Sk los operadores de simetrizacion con respecto a los hiperplanos {x k = 0} que se pueden construir de la

misma forma que para k = 1. Definimos el conjunto

B = Sn . . . S3S2S1(A)

. B es medible con la misma medida que A. Es simetrico con respecto a todos los hiperplanos {x k = 0}, y por lotanto es simetrico con respecto al origen de coordenadas. Esta contenido en la bola euclıdea de su mismo diametro.Y este diametro es menor que 1 el del conjuntoA, por lo que se tiene:

&n(A) & &n(B(0,1

2) =

1n

2n&n(B(0, 1)) = c(n)1n,

donde c(n) = *n(B(0,1))2 .

Ejercicios:Ejercicio 74 Sean (!i, "i, µi) con i = 1, 2, 3, tres espacios de medida !-finitos. Establecer las igualdades

"1 $ ("2 $ "3) = ("1 $ "2)$ "3

µ1 $ (µ2 $ µ3) = (µ1 $ µ2)$ µ3.

Ejercicio 75 Estudiese si son integrables en R2 las funciones

sen(x2 + y2)xy

(x2 + y2)2

Ejercicio 76 Para cada una de las funciones indicadas abajo est udiese la existencia de las siguientes integrales:" 1

0

(" 1

0f(x, y)dy

)dx,

" 1

0

(" 1

0f(x, y)dx

)dy,

"

Qf(x, y)dxdy

dondeQ := [0, 1]$ [0, 1]

1. f(x, y) = x2!y2

(x2+y2)2

2. f(x, y) = x!y(x2+y2)3/2

3. f(x, y) = (x! 1/2)!3 si 0 < y < |x! 1/2|, f(x, y) = 0 en el resto.

Ejercicio 77 Considerando la integral de e!y sen(2xy) sobre un conjunto adecuado calculese la integral" +#

0

sen2 x

xe!xdx


Ejercicio 78 Aplicando el teorema de Fubini a la funci on e!xy senx calculese el valor de la integral impropia" +#

0

sen x

xdx

Ejercicio 79 Calculense las siguientes integrales aplicando el teorema de Fubini a las integrales m ultiples que seindican:

1.' 10

xb!xa

log x dx,'

A xydxdy; A = [0, 1]$ [a, b]

2.' +#0

log xx2!1dx,

'A

1(1+y)(1+yx2)dxdy, A = (0, +*)$ (0, +*)

3.' +#0

8arctan z

z

92dz,

'A

dxdydz(1+x2y2)(1+y2z2) , A = [0, 1]$ [0, +*]$ [0, 1]

Ejercicio 80 Sea f : [0, 1] !" R una funcion medible tal que la funcion de dos variables F (x, y) = f(x) ! f(y)es integrable sobre [0, 1]$ [0, 1]. Pruebese que f es integrable sobre [0, 1].

Ejercicio 81 Si f : [0 +*) !" R es integrable y $ > 0 pruebese que la funcion g#(x) :=' x0 (x ! t)#!1f(t)dt,

esta definida para todo x > 0 y cumple g#+1(y) = $' y0 g#(x)dx, (y > 0).

Ejercicio 82 Si f : [0, a] !" R es integrable y 0 & x & a se define g(x) :=' a

xf(t)

t dt. Pruebese que g esintegrable en [0, a] y

' a0 g(x)dx =

' a0 f(x)dx.

Capıtulo 5

Cambio de Variable en Rn.

La Proposicion 57 proporciona un primer Teorema de cambio de variable para evaluar integrales abstractas. Eneste caso, si g : (!, ") " (!", "") es una funcion medible, µ una medida definida en" y µg !1 es la medida imagendefinida sobre "", entonces se cumple "

""f dµg!1 =

"

"f 6 g dµ.

En este capıtulo vamos a abordar cambios de variable dados por aplicaciones diferenciables entre abiertos deR n

con la medida de Lebesgue &n.Comenzaremos considerando aplicaciones lineales para despues dar un teorema de cambio de variable para

aplicaciones que son C1difeomorfismos. Veremos un clasico Teorema de Sard que permiten extender el cambio devariable para aplicaciones inyectivas de clase C 1, y terminaremos con ejemplos de cambios de variable analizandoel cambio de variable a coordenadas polares en Rn.

5.1. Cambio de Variable para transformaciones lineales.Dada una aplicacion lineal T : Rn " Rn utilizaremos la notacion y las propiedades que siguen:

Si (ei)i=1,...,n es la base canonica deRn y Tij = (T (ej) ·ei), entonces (Tij)i,j es la matriz asociada a la aplicacionT y a la base canonica.

Denotaremos por det(T ) = |Tij | al determinante de la matriz (Tij). Este numero det(T ) es independiente de labase elegida y cumple det(T 6 S) = det(T )det(S).

La aplicacion T es inversible si, y solo si, es inyectiva; si, y solo si Ker(T ) = {0}; si, y solo si, det(T ) '= 0.

Cualquier aplicacion lineal inversible se puede factorizar como la composicion de una cantidad finita de aplicacio-nes de los tipos definidos a continuacion en terminos de la base canonica (e i):

1. T1(e1) = ce1 con c '= 0, y T1(ei) = ei si i '= 1.2. T2(e1) = ek, T2(ek) = e1, y T2(ei) = ei si i '= 1 e i '= k.3. T3(e1) = e1 + e2, y T3(ei) = ei si i '= 1.

Para cada una de estas transformaciones se observa facilmente que la medida de Lebesgue de la imagen delcubo unidad coincide con el valor absoluto del determinante de T i:

&n(Ti([0, 1]n)) = |det(Ti)|.

En consecuencia, lo mismo sucede para cualquier transformacion lineal inversible T .

En Rn vamos a considerar la norma del supremo

5(x1, . . . , xn)5 = 5(x1, . . . , xn)5# = sup{|x1|, . . . , |xn|}.

79

CAPITULO 5. CAMBIO DE VARIABLE EN R . 80

La bolas para esta norma son cubos de aristas paralelas a los ejes coordenados

B(x, r) =n1

i=1

[xi ! r, xi + r] con x = (x1, . . . , xn).

Si T es una aplicacion lineal entonces

5T 5 = sup{5T (x)5 : 5x5 & 1} = max10i0n

n!

j=1

|Ti,j | < *

y se cumple 5T (x)5 & 5T 55x5 para todo x # Rn.

Si T es lineal e inversible T !1 tambien lo es y las dos aplicaciones son continuas por lo que transformanconjuntos de Borel en conjuntos de Borel.

Toda aplicacion lineal es Lipschitziana y por lo tanto transforma conjuntos medibles Lebesgue en conjuntosmedibles Lebesgue(Ejercicio 31).

La medida µ(E) = &n(T (E)) es invariante por traslaciones y por lo tanto cumple

&n(T (E)) = &n(T ([0, 1]n))&n(E) = |det(T )|&n(E).

con lo que se tiene probado el siguiente:

Teorema 82 Sea T : Rn " Rn una aplicacion lineal inversible. Entonces para cada A # B(Rn) (resp. medibleLebesgue en Rn)

&n(T (A)) = |det(T )|&n(A).

Si consideramos la medida µ(E) = &n(T (E)) = |det(T )|&n(E), la medida de Lebesgue &n(E) = µT!1(E)es la medida imagen de µ por la funcion medible T , si aplicamos la Proposicion 57 obtenemos el siguiente corolario

Corolario 82.1 Sea T : Rn " Rn una aplicacion lineal inversible. Entonces para cada funci on medible Borel(resp. medible Lebesgue) positiva o integrable f : Rn " R o C se cumple

"

T (Rn)f d&n =

"f 6 T |det(T )| d&n.

Se puede realizar otra prueba aproximando la funcion f por una sucesion de funciones simples y utilizandoel Teorema de la Convergencia Monotona o el Teorema de la Convergencia Dominada segun que f sea positiva ointegrable.

Si T no es inversible det(T ) = 0 y la imagen T (Rn) esta contenida es un subespacio vectorial de dimensionmenor que n por lo que tiene medida de Lebesgue nula. Ası, en este caso las igualdades del Teorema y del Corolarioanteriores siguen siendo ciertas aunque se reducen al cero.

Una rotacion en Rn es una transformacion lineal T tal que T 6 T & = Id, donde T & es su transpuesta e Id es laidentidad. En este caso como det(T ) = det(T &) se tiene que |det(T )| = 1 y en consecuencia:

Corolario 82.2 La medida de Lebesgue &n en Rn es invariante por rotaciones.

A continuacion vamos a utilizar estos resultados y el Teorema de Fubini en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 20 Aplicando el cambio de variable u = x + y y v = x! y a la integral"

{(x,y):x>0,y>0}e!(x+y)xp!1yq!1 dxdy

vamos a deducir la igualdad

B(p, q) =#(p)#(q)#(p + q)

siendo B(p, q) =' 10 tp!1(1! t)q!1 dt, (p > 0, q > 0).


Si T (u, v) = (x, y), se cumple x = u+v2 e y = u!v

2 , |det(T )| = 12 , y {(x, y) : x > 0, y > 0} = T ({(u, v) :

u > 0,!u < v < u}) el Teorema 82 y el Teorema de Fubini nos dan la igualdad

"

{(x,y):x>0,y>0}e!(x+y)xp!1yq!1 dx dy

="

{(u,v):u>0,!u<v<u}e!u(u+v

2 )p!1(u!v2 )q!1 1

2du dv

=" +#

0e!u

" u

!u(1+

vu

2 )p!1(1! v

u2 )q!1up+q!2 1

2dv du

=" +#

0e!uup+q!1 du

" 1

0sp!1(1! s)q!1ds

= #(p + q)B(p, q)

haciendo s = 1+ vu

2 y ds = 2dvu .

Por otra parte separando variables y utilizando el Teorema de Fubini se tiene"

{(x,y):x>0,y>0}e!(x+y)xp!1yq!1 dx dy

=" +#

0e!xxp!1 dx

" +#

0e!yyq!1 dy

= #(p)#(q)

de donde resulta la igualdad.

5.2. Cambio de variable para difeomorfismos de clase C1

Vamos a trabajar ahora con aplicaciones diferenciables que son las que se aproximan bien por aplicacioneslineales.

Recordaremos que dados un conjunto abierto U % Rn y una aplicacion T : U " Rn cuyas componentes tienenderivadas parciales continuas, se dice que T es una aplicacion diferenciable de clase C 1.

Si T = (T1, T2, . . . , Tn), entonces la matriz Jacobiana>+Ti(x)+xj

?es la matriz asociada a la diferencial de T en

el punto x. Denotaremos porDxT a esa diferencial.Si T : U " V es una biyeccion tal que tanto T como T !1 son aplicaciones diferenciables de clase T 1 entonces

se dice que T es un C1-difeomorfismo. En este caso el Teorema de la funcion inversa asegura que la diferencialDxT es una aplicacion lineal inversible y que (DxT )!1 = DT (x)T

!1.Recordaremos tambien que el Teorema de los Incrementos Finitos asegura que

Lema 5.2.1 Toda aplicacion diferenciable de clase C1, T es localmente Lipschitziana.

Demostracion. Sea B(x, r) una bola cerrada contenida en el abierto U % Rn donde esta definida la aplicacion USi T = (T1, . . . , Tn) con Ti : U " R entonces para cada punto y # B(x, r) la formula de los incrementos finitosaplicada a la funcion real f(t) = Ti(tx + (1! t)y) definida en el intervalo [0, 1] nos da:

|f(0)! f(1)| = |Ti(x) ! Ti(y)||f "(()| = |([D,x+(1!,)yTi] · [x! y])|

& 5D,x+(1!,)yT 55x! y5& sup{5DzT 5 : z # B(x, r)5}5x ! y5

Consecuentemente, toda aplicacion diferenciable T de clase C 1 transforma conjuntos medibles Lebesgue enconjuntos medibles Lebesgue. Si ademas T es un C 1-difeomorfismo, T !1 tambien transforma conjuntos mediblesLebesgue en conjuntos medibles Lebesgue. Pasando a funciones se tiene que si f : V " R es medible Lebesgue,entonces f 6 T tambien es medible Lebesgue en U .


Teorema del Cambio de VariableTeorema 83 Sean U y V dos abiertos de Rn y T : U " V un C1-difeomorfismo. Entonces:

1. Para cada A % U medible Borel (resp. medible Lebesgue)

&n(T (A)) ="

A| detDxT | d&n(x).

2. Para cada funcion f : V " R o C medible Borel (resp. Lebesgue) positiva o integrable"

Vf d&n =

"

Uf 6 T (x)| detDxT | d&n(x).

Demostracion.1a. ETAPA: Vamos a probar que para cada intervalo n-dimensional cerrado y acotadoC % U se cumple

&n(T (C)) &"

C| detDxT | d&n(x).

Utilizando la compacidad de C y que la inversa de la diferencial (DxT )!1 es uniformemente continua, tenemosde una parte que

1M

= sup{5(DxT )!15 : x # C} < +*,

y por otra parte dado % > 0, se puede descomponerC = -Ck como una union finita de cubos Ck = B(xk, rk) talesque rk < % y

5DxT !DxkT 5 < M%

para cada x # Ck, y por la formula de los incrementos finitos tenemos que

5(DxkT )!1T (x)! (DxkT )!1T (xk)5& 5((DxkT )!1T (x)! x) ! ((DxkT )!1T (xk)! xk)5+ 5x! xk5& sup

y$Ck

{5(DxkT )!1DyT ! I5}5x! xk5+ 5(x! xk)5

&(

1 + 5(DxkT )!15 supy$Ck

{5DyT !DxkT 5})5x! xk5

< (1 + 5(DxkT )!15M%)rk & (1 + %)rk.

De esta desigualdad tenemos que el conjunto (DxkT )!1T (Ck) esta contenido en el cuboB((DxkT )!1T (xk), (1 +%)rk), y por los resultados del apartado anterior para transformaciones lineales tenemos

&n(T (Ck)) = | detDxkT |&n((DxkT )!1T (Ck)) & | detDxkT |(1 + %)n&n(Ck).

Sumando estas desigualdades para los distintos valores de k se obtiene

&n(T (C)) & (1 + %)n!

k

| detDxkT |&n(Ck),

donde el ultimo sumatorio se puede interpretar como una suma de Riemann de la funcion continua | detD xT | conrespecto a la particion dada por los Ck, haciendo %" 0 se tiene la desigualdad buscada

&n(T (C)) &"

C| detDxT | dx =

"

C| detDxT | d&n(x).

2a. ETAPA: Expresando cada abiertoA deU como una union disjunta de una sucesion de intervalos n-dimensionalesacotados con cierres contenidos en U , se tiene que

&n(T (A)) &"

A| detDxT | d&n(x).


Utilizando el que todas las medidas de Borel son regulares y que T transforma conjuntos de medida de nula enconjuntos de medida nula por ser localmente Lipschitziana, se tiene la misma desigualdad

&n(T (B)) &"

B| detDxT | d&n(x)

para cualquier conjuntoB medible Lebesgue.3a. ETAPA: Si f es una funcion simple positiva, la desigualdad anterior se traduce en que

"

Vf(y) d&n(y) &

"

Uf(T (x))| detDxT | d&n(x).

El Teorema de la convergencia monotona da validez a esta desigualdad para cualquier funcion medible positiva.4a. ETAPA: Para completar la prueba debemos obtener las inversas de las desigualdades que tenemos probadas.

Si consideramos la aplicacion T !1 : V " U en el lugar de T y la funcion positiva g(x) = f(T (x))| detDxT |en el lugar de la funcion positiva f tenemos probado que

"

Uf(T (x))| detDxT | d&n(x) =

"

Ug(x) d&n(x)

&"

Vg(T!1(y))| det Dy(T!1)|d&n(y)

="

Vf(y)| detDT!1(y)T || detDy(T!1)|d&n(y)

="

Vf(y)d&n(y).

Con esta desigualdad tenemos la prueba del primer apartado (f = )T (A)) y del segundo apartado para funcionesmedibles positivas.

Para el caso de funciones integrables bastara con aproximarlas por funciones simples (que satisfacen la igualdad)y utilizar el teorema de la convergencia dominada para pasar al lımite en las integrales correspondientes.

Teorema de SardEn la primera seccion resaltabamos el hecho de que las aplicaciones lineales no inyectivas tenıan como imagen

un subespacio vectorial de medida nula. El clasico Teorema de Sard, muestra como para aplicaciones diferenciablesde clase C1 sucede lo mismo con la imagen del conjunto de puntos donde la diferencial no es inyectiva. La pruebaelegida se basa en un Lema de cubrimiento de tipo Vitali y en argumentos de compacidad.

Teorema 84 (Teorema de Sard) Sea U % Rn un conjunto abierto y T : U " Rn una aplicacion diferenciable declase C1. Si U0 = {x # U : | detDxT | = 0} entonces &n(T (U0)) = 0.

Demostracion Como U0 es !-compacto no es restrictivo suponer que U0 es compacto y &n(U0) < +*, por laregularidad de la medida de Lebesgue podemos encontrar un abierto V tal que U 0 % V y &n(V ) < +*.

Para cada x # U0, comoDxT no es inyectiva, Ax = DxT (B(0, 1)) es un conjunto de medida nula, por lo que,dado % > 0, podemos encontrar un abierto Vx que contiene a ese conjunto con medida &n(Vx) < % y sea * > 0 talque

{y : dist(y, Ax) < *} % Vx.

Como la diferencialDxT es continua, existe rx > 0 tal que 5DxT !DzT 5 & * para cada z # B(x, rx), ahorala formula de los incrementos finitos asegura que

5T (x)! T (z)!DxT (x! z)5 & *5x! z5 & *rx

para cada z # B(x, rx), como 5 x!zrx5 < 1 y

5 1rx

(T (x)! T (z))!DxT (x! z

rx)5 < *


se cumple que 1rx

(T (x)! T (z)) # Vx, y por la invariancia por traslaciones de la medida de Lebesgue

&n(T (B(x, rx))) & &n(rxVx) = rnx&n(Vx)

< rnx% =

12n%&n(B(x, rx)).

Suponemos tambien que rx es suficientemente pequeno como para que las bolas B(x, rx) esten contenidas en V , elabierto prefijado al comienzo de la prueba.

Por la compacidad supuesta de U0 y por el lema 3.7.2 podemos encontrar cubos B(xj ,13rxj ) (1 & j & M)

centrados en puntos de U0, dos a dos disjuntos y tales que B(xj , rxj ) (1 & j & M) cubren U0.Ahora tenemos que

&n(T (U0)) &M!

j=1

&n(T (B(xj , rxj )))

& 12n%

n!

j=1

&n((B(xj , rxj )))

=3n

2n%

n!

j=1

&n((B(xj ,13rxj )))

& 3n

2n%&n(V ).

Finalmente, haciendo %" 0 obtenemos que &n(T (U0)) = 0.

Como consecuencia se pueden suavizar las hipotesis del Teorema del cambio de variable 83.

Corolario 84.1 Sea U % Rn un abierto y T : U " Rn una aplicacion de clase C1 que es inyectiva restringidaal abierto U " = {x # U : | detDxT | '= 0}. Entonces para cada conjunto medible A % U y para cada funci onmedible positiva o integrable f definida en T (U) se cumple:

"

T (A)f d&n =

"

Af 6 T (x)| detDxT | d&n(x).

5.3. Algunos cambios de variable. Coordenadas polares en Rn

Si x = (xi) # Rn denotamos por 5x52 =9

x21 + · · · + x2

n a su norma euclıdea.

Ejemplo 21 (Cambio a coordenadas polares en el plano) El cambio a coordenadas en el plano viene dado porla transformacion de clase C1

T (r, () = (r cos (, r sen ()

que es un C1-difeomorfismo entre (0, +*) $ (0, 2") y R2 \ {(x, 0) : x ) 0} con | detD(r,,)T | = r. Con estecambio tenemos

(" +#

!#e!x2

dx

)2

="

R2e!(x2+y2) dx dy

=" 2!

0

" +#

0e!r2

r dr d(

=" 2!

0

12

" +#

0e!s ds d( = ".

De esta igualdad deducimos que' +#!# e!x2

dx =9" y el teorema de Fubini nos da la igualdad

"

Rn

e!-x-22 d&n(x) =

(" +#

!#e!x2

dx

)n

= (9")n.


z

x

yr(

(r cos (, r sen (, z)

Figura 5.1: Coordenadas Cilındricas.

Ejemplo 22 (Coordenadas cilındricas en R3) El cambio a coordenadas cil ındricas viene dado por la transforma-cion de clase C1

T (r, (, z) = (r cos (, r sen (, z)

que define un C1-difeomorfismo entre (0, +*)$ (0, 2")$ R y R3 \ {(x, 0, z) : x ) 0} con | det D(r,,,z)T | = r.SeaE = {(x, y, z) : x2+y2+(z!1)2 & 1, 4z2 ) 3(x2+y2)} = T ({(r, (, z) : |z!1| & 1, r2 & mın{1!(z!

1)2, 43z2}}), comomın{1!(z!1)2, 4

3z2} = 43z2 si 0 & z & 6

7 ymın{1!(z!1)2, 43z2} = 1!(z!1)2 = 2z!z2

si 67 & z

"

Ex2 dx dy dz =

" 67

0

6" 2#3z

0

" 2!

0r3 cos2 ( d( dr

7dz

+" 2

67

6" .2z!z2

0

" 2!

0r3 cos2 ( d( dr

7dz

= "

6" 67

0

49z4 dz +

" 2

67

14(2z ! z2)2 dz

7

= "(2735

755+

23

5! 4 +

23

3! 2335

755+

34474

! 23973

)

Ejemplo 23 (Coordenadas polares en R3) El cambio a coordenadas polares viene dado por la transformaci on declase C1

T (r, (,$) = (r cos ( cos$, r sen ( cos$, r sen$)

que define unC1-difeomorfismo entre (0, +*)$(0, 2")$(! !2 , !2 ) yR3\{(x, 0, z) : x ) 0} con | detD(r,,,#)T | =

r2 cos$.Sea F el cono F = {(x, y, z) :

2x2 + y2 & z & 3} = T (E) donde

E = {(r, (,$) :9

22& sen$, 0 & r & 3

sen$} = {(r, (,$) :

"

4& $ & "

2, 0 & r & 3

sen$}.

"

F

2x2 + y2 + z2 dx dy dz =

" "2

"4

" 3sen #

0

" 2!

0r3 cos$ d( dr d$

=" "

2

"4

"

234

sen4 $cos$ d$

=3! 27"

2 sen3 $

@"2

"4

= (29

2! 1)272".


z

x

y

r

(

$

(r cos # cos $, r sen # cos $, r sen $)

Figura 5.2: Coordenadas Polares.

Vamos a finalizar analizando el cambio a coordenadas polares en R n.

Denotaremos por Sn!1 = {x : 5x52 = 1} a la esfera unidad en Rn.Observando los cambios de variables a coordenadas polares en el plano y en R 3, vemos como la medida de

Lebesgue en Rn(n = 2, 3) es la medida imagen de una medida producto 1 $ !n!1 donde 1 esta definida en lasemirrecta (0, +*) con d1 = rn!1dr, !n!1 esta definida en la esfera unidad Sn!1 (!1 es la medida generada porlas longitudes de los arcos en la circunferencia, y !2 es la medida imagen de la que tiene por densidad | cos (2| alconsiderar la parametrizacion de S 2 dada por (cos (1 cos (2, sen (1 cos (2, sen (2)), y Rn \ {0} se identifica con elproducto (0, +*)$ Sn!1 mediante la biyeccion $(x) = (5x52,

x-x-2

).Podrıamos describir el cambio a coordenadas polares para cualquier n ) 3 observando como la afirmacion

hecha en el parrafo anterior sigue siendo cierta (por ejemplo, vease el Teorema 6.4.1 del libro de Guzman y Rubiopara la descripcion de !n!1). El siguiente Teorema nos muestra que para realizar esa afirmacion no es necesariohacer la descripcion detallada del cambio de variable:

Teorema 85 Existe una unica medida de Borel !n!1 definida en Sn!1 tal que si 1 es la medida de Borel en (0, +*)definida por 1(E) =

'E rn!1dr, entonces &n = !n!1 $ 1 y"

Rn

f(x) d&n(x) =" +#

0("

Sn!1f(ry)rn!1 d!n!1(y)) dr.

para cada funcion medible Borel positiva o integrable f : Rn " R.

La ecuacion que aparece en el Teorema sigue siendo cierta para funciones medibles Lebesgue considerando lacompleccion de la medida !n!1.Demostracion.

Sobre la !-algebra de Borel B = B((0, +*)$ Sn!1) consideramos la medida imagenm = &n$!1.Sea 1 la medida con densidad rn!1, definida en B((0, +*)) por

1(E) ="

Ern!1dr.

Supongamos que tuviesemos definida la medida !n!1 de forma que se cumple el teorema. Dados a > 0 yE # B(Sn!1)

m((0, a]$ E) = &n($!1((0, a]$ E))

=" a

0

"

Sn!1

)E(y)rn!1 d!n!1(y) dr

= !n!1(E)an

n


En particular, se tendrıa !n!1(E) = nm((0, 1]$ E). Utilizaremos esta expresion para definir la medida !n!1

en B(Sn!1).Como la aplicacion E " (0, 1] $ E lleva conjuntos de Borel de la esfera unidad a conjuntos de Borel en

(0, 1]$ Sn!1, y es estable por uniones intersecciones y complementarios, la funcion de conjunto

!n!1(E) := nm((0, 1]$ E)

define una medida en B(Sn!1).No es difıcil observar que B coincide con la !-algebra producto de B((0, +*)) por B(S n!1), y esta generada

por los rectangulos de la forma (a, b]$E con 0 < a < b < +* y E # B(Sn!1). Para estos rectangulos se cumple

m((a, b]$ E) = m((0, b]$ E)!m((0, a]$ E)= &n(b$!1((0, 1]$ E))! &n(a$!1((0, 1]$ E))

=bn ! an

n!n!1(E)

= 1((a, b])!n!1(E) = 1$ !n!1((a, b]$ E).

Como las uniones finitas de intervalos de la forma (a, b]$ E y sus complementarios forman un algebra que generala !-algebra producto. La unicidad de la extension de las medidas !-finitas definidas en el algebra, proporciona laigualdadm = 1$ !n!1, la medida producto.

Ahora el teorema de Fubini y el cambio de variable nos dan la identidad"

Rn

f(x) d&n(x) ="

(0,+#)1Sn!1

f(ry) dm(r, y)

="

(0,+#)1Sn!1

f(ry) d(1 $ !n!1)(r, y)

="

Sn!1

" +#

0f(ry)rn!1dr d!n!1(y).

Corolario 85.1 Si f es una funcion medible en Rn, positiva o integrable, tal que f(x) = g(5x52) para algunafuncion g definida en R, entonces

"f(x)d&n(x) = !n!1(Sn!1)

" +#

0g(r)rn!1dr.

El criterio de comparacion con las potencias t# para la convergencia de integrales impropias nos proporcionanel siguiente criterio de integrabilidad:

Corolario 85.2 Sea B = {x : 5x52 & 1} y sea f una funcion medible en Rn,

1. Si |f(x)| & C5x5!# para todo x # B para alguna constante C y $ < n, entonces f # L 1(B)

2. Si |f(x)| ) C5x5!# para todo x # B para alguna constante C y $ ) n, entonces f '# L 1(B)

3. Si |f(x)| & C5x5!& para todo x # Rn \ B para alguna constante C y , > n, entonces f # L1(Rn \ B)

4. Si |f(x)| ) C5x5!& para todo x # Rn \ B para alguna constante C y , & n, entonces f '# L1(Rn \ B)

Volviendo a visitar la integral calculada en el ejemplo 21, se tiene:

Corolario 85.3!n!1(Sn!1) =

2(9")n

#(n2 )

&n({x : 5x52 & 1}) =(9")n

#(n2 + 1)


Demostracion.Recordar que en el ejemplo 21 establecıamos la primera de las identidades que siguen, mientras que la segunda

es el cambio a coordenadas polares:

(9")n =

"

Rn

e!-x-2 d&n(x)

=" +#

0

"

Sn!1

e!r2rn!1 d!n!1 dr

= !n!1(Sn!1)" +#

0

12s

n!22 e!s ds =

12!n!1(Sn!1)#(

n

2)

Ahora, si calculamos el volumen de la bola unidad tendremos

&n({x : 5x52 & 1}) = m((0, 1]$ Sn!1) =1n!n!1(Sn!1)

=(9")n

n2 #(n

2 )=

(9")n

#(n2 + 1)

.

EjerciciosEjercicio 83 SeaM % R3 el conjunto acotado limitado por los planos

x = 0, y = 0, z = 0, x + z = 1, y = 1.

Calcula el volumen de g(M) donde

g(x, y, z) = (e2z + e2y, e2x ! e2z, x! y)

Ejercicio 84 Sea R la region del cuadrante x ) 0, y ) 0 limitada por las curvas:

x! y = 0, y2 ! x2 = 1, xy = a, xy = b (0 & a & b).

Calcula "

R(y2 ! x2)xy(x2 + y2) dx dy.

Ejercicio 85 Calcula la integral "

E

3x21 + (x + y)3

dx dy,

dondeE es el triangulo definido por

x + y < a, 0 < x, 0 < y (a > 0).

Ejercicio 86 Sea T es el tetraedro definido por

x ) 0, y ) 0, z ) 0, x + y + z & 1.

Calcula la integral "

Txyz(1! x! y ! z) dx dy dz.

Ejercicio 87 Sea E(a) el subconjunto de Rn definido por las desigualdades

x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0, x1 + · · · + xn < a.

Calcula la integralI(a) =

"

E(a)x1x2 · · ·xn dx1 dx2 · · · dxn.


Ejercicio 88 Calcular "

[0,!]1[0,!]1[0,!]

dx dy dz

1! cosx cos y cos z

Ejercicio 89 Determinar los valores $,,, 3 para los que es finita la integral"

{(x,y,z):x>0,y>0,z>0}

dx dy dz

1 + x# + y& + z-.

Calcular esta integral.

Ejercicio 90 Si E es un subconjunto de Rn medible Lebesgue con medida finita mayor que cero, se define elbaricentro de E como el punto b = (bi) de coordenadas

bi =1

&n(E)

"

Exi dx1dx2 . . . dxn.

Prueba que si E tiene un centro de simetr ıa c entonces b = c, y que si E es simetrico con respecto a un hiperplanoafın H entonces b # H

Ejercicio 91 Sea M & = {(x, y, 0) : (x, y) # M} dondeM es un subconjunto medible en el plano, con area finita,contenido en el semiplano y ) 0. Sea E el subconjunto de R 3 engendrado por M & al girar alrededor del eje OX .Prueba que E es medible en R3 y que

&3(E) = 2"R&2(M)

dondeR es el radio de la circunferencia descrita por el baricentro de M .

Ejercicio 92 Sea f : [$,,] " [0, +*) una funcion medible, donde , ! $ & 2". Prueba que el conjunto

A = {(r cos (, r sen () : $ & ( & ,, 0 & r & f(()}

es medible Lebesgue en R2 y determina su area en terminos de la funcion f .Como aplicacion calcula las areas de las figuras planas limitadas por las curvas dadas en coordenadas polares

por las ecuaciones:

1. 12 = a2 cos 2(,

2. 1 = a cos 3(,

3. 1 = 1 + sen (.

Ejercicio 93 Demuestra que la medida !n!1 definida sobre Sn!1 es invariante por rotaciones.

Ejercicio 94 Sea f(x) =nA

i=1xpi

i con x = (x1, . . . , xn) un polinomio en Rn. Probar que

#%

&

'Sn!1 f(x) d!(x) = 0 si algun pi es impar'

Sn!1 f(x) d!(x) =2

nAi=1

#(&i)

#(&1+...+&n) con ,i = pi+12 , si todos los pi son pares.

Capıtulo 6

Espacios de Lebesgue. Espacios Lp

Los espacios de funciones Lp fueron introducidos por F.Riesz en 1910 como una generalizacion de los espaciosde Hilbert.

Sea (!, ", µ) un espacio de medida y 0 < p < +*, se definen

Lp(µ) =4

f : ! " C : f es µ-medible y"

|f |p dµ < +*5

y Lp(µ) es el espacio cociente que resulta al identificar las funciones de Lp(µ) que coinciden en casi todo punto.Nosotros ya hemos hablado de estas funciones en la seccion 3.5. Allı analizamos el comportamiento de las

funciones de distribucion ('|f |(x) = o( 1xp ) para cada f # Lp(µ)), y la relacion con la integral de Riemann-Stieltjes.

"|f |p dµ = !

" +#

0xp d'|f |(x) = p

" +#

0xp!1'|f |(x) dx.

Si 1 & p < +* la funcion real xp es convexa en la semirrecta positiva, lo que junto a la desigualdad triangularnos da la desigualdad para cada par de numeros a y b:

|a + b|p & 2p!1(|a|p + |b|p). (DT1)

Mientras que para 0 < p < 1 se tiene que

|a + b|p & |a|p + |b|p. (DT2)

De las desigualdades anteriores se puede concluir que los conjuntos L p(µ) y Lp(µ) son espacios vectorialessobre C o R.

Para cada f # Lp(µ) se define

5f5p =("

|f |p dµ

) 1p

.

Con esta definicion resulta evidente que 5$f5p = |$|5f5p para cada $ # C y f # Lp. Para probar que 5 5p esuna norma solo necesitamos probar la desigualdad triangular. Esta ultima solo ocurre para valores 1 & p < +*.Para probarla utilizaremos algunos resultados previos.

6.1. Desigualdades basicasLema 6.1.1 (Desigualdad de Young) Sea ' : [0, +*) " [0, +*) una funcion continua y estrictamente crecientecon '(0) = 0, y sea $ su inversa, entonces para cada a # [0, +*) y b # '([0, +*)) se cumple

ab &" a

0'(x) dx +

" b

0$(y) dy.

Ademas, la igualdad solo sucede si b = '(a).

90

CAPITULO 6. ESPACIOS DE LEBESGUE. ESPACIOS L 91

Demostracion Bastara con observar que el area sobreada es justamente el segundo miembro de la desigualdad y esestrictamente mayor que el area del rectangulo definido por el punto (a, b) salvo en el caso b = '(a).

En particular si '(x) = x# con $ > 0 se tiene:

ab & a#+1

$+ 1+

$

$+ 1b

1# +1.

si p = $+ 1 y q = 1# + 1 se tiene

Lema 6.1.2 Si a > 0, b > 0, p > 1 y q > 1, y se cumple 1p + 1

q = 1 entonces

ab & 1pap +

1qbq.

Ademas la igualdad solo se da si ap = bq.

Si p > 1 y q > 1, y se cumple 1p + 1

q = 1, se dice que p y q son conjugados.

Teorema 86 (Desigualdad de Holder)Sean p > 1 y q > 1 conjugados ( 1

p + 1q = 1). Si f # Lp(µ) y g # Lq(µ) entonces fg # L1(µ) y se cumple

"|fg| dµ &

("|f |p dµ

) 1p("

|g|q dµ

) 1q

= 5f5p5g5q.

En el caso especial p = q = 2 se obtiene la desigualdad de Cauchy-Schwartz"

|fg| dµ & 5f525g52.

Demostracion Bastara Integrar en la desigualdad dada por el lema anterior con

a =f

('|f |pdµ)(1/p)

y b =g

('|g|qdµ)(1/q)

De la desigualdad de Holder se deduce la desigualdad triangular para la norma 5 5 p. Tambien nos proporcionafuncionales lineales acotados sobre Lp(µ).

Teorema 87 (Desigualdad de Minkowsky) Si 1 & p < +*, para cada par de funciones f y g de L p(µ) se cumplela desigualdad triangular.

5f + g5p & 5f5p + 5g5p.

DemostracionEscribiendo

"|f + g|pdµ =

"|f + g||f + g|p!1dµ &

&"

|f ||f + g|p!1dµ +"

|g||f + g|p!1dµ

Como |f + g|p!1 # Lq(µ) pues q = pp!1 , podemos aplicar la desigualdad de Holder a cada uno de los dos

sumandos de la ultima parte de la desigualdad anterior obteniendo"

|f + g|pdµ & (5f5p + 5g5p)("

|f + g|pdµ

) p!1p

,


y de aquı se sigue5f + g5p & 5f5p + 5g5p.

Para el caso 0 < p < 1 si existen A, B # " disjuntos con 0 < µ(A) < +* y 0 < µ(B) < +*, las funcionesf = .A

µ(A)1py g = .B

µ(B)1pcumplen

5f + g5p = 21p > 2 = 5f5p + 5g5p.

En consecuencia 5 5p no es una norma en Lp(µ) para p < 1. Aunque de la desigualdad (DT2) se sigue que en estecaso podemos definir una distancia en Lp(µ) mediante la expresion

dp(f, g) ="

|f ! g|p dµ.

6.2. Espacios Lp

Las desigualdades anteriores prueban que para p ) 1 los espacios (L p(µ), 5 5p) son espacios normados. Conestas normas son espacios de Banach tal y como se establece en el siguiente resultado:

Teorema 88 (Riesz-Fisher) Sea (!, ", µ) un espacio de medida. Si 1 & p < +* el espacio L p(µ) con la norma5 5p es completo. e.d. es un espacio de Banach. Y si 0 < p < 1 el espacio Lp(µ) con la distancia dp es un espaciometrico completo.

Para probar la completitud se utilizan las mismas ideas que en la prueba de la completitud de L 1, donde ex-presabamos el lımite de una sucesion de Cauchy como la suma de una serie absolutamente convergente y utilizaba-mos el Teorema de la Convergencia Dominada para asegurar la convergencia de la serie. Este teorema podemosreformularlo para espacios Lp(µ) como sigue, dejando la prueba del mismo propuesta como un ejercicio:

Proposicion 89 Sea 0 < p < +* y sean fn # Lp(µ) y g # Lp(µ) tales que |fn(t)| & |g(t)| para todo n y paracasi todo punto t. Si f es una funcion medible tal que fn(t) converge hacia f(t) para casi todo punto t, entoncesf # Lp(µ) y

lımn'+#

"|fn ! f |p dµ = 0.

Como cualquier funcion medible f se puede poner como lımite puntual de una sucesion de funciones simplessn que cumplen |sn(t)| & |f(t)| para todo t, resulta que cualquier funcion de L p(µ) se puede poner como el lımitede una sucesion de funciones simples de Lp(µ):

Proposicion 90 Para cada 0 < p < +* el subespacio de las funciones simples g con soporte de medida finitaµ{t : g(t) '= 0} < +*, es denso en Lp(µ).

La pruebas las podeis encontrar en el libro de Wheeden-Zigmund sec.8.2; de forma parecida las teneis en el de Folland sec. 6.1;Cohn sec. 3.3 y 3.4; y Rudin Capıtulo 3.

A tıtulo de ejercicio podemos comprobar como sobre la esfera unidad deL p(µ), {f : 5f5p = 1}, la convergenciaen casi todo punto implica la convergencia en norma. En terminos equivalentes:

Ejercicio 95 Sean 1 & p < +*, f # Lp(µ) y fn # Lp(µ) tales que fn converge en casi todo punto hacia f y5fn5p converge hacia 5f5p. Pruebese que entonces, 5fn ! f5p " 0.

Al igual que en L1 la convergencia de una sucesion en la norma de L p implica convergencia en medida, y enconsecuencia, la existencia de una subsucesion que converge en casi todo punto. Por lo tanto del ejercicio anteriorpodemos concluir que sobre la esfera unidad de L p, para 1 & p < +*, coinciden la convergencia en medida y laconvergencia en norma.

Para completar el esquema de los espacios Lp se introduce el correspondiente a p = +*.


Si f : ! " C es una funcion medible se define el supremo esencial de |f | como

5f5# = inf{M > 0 : µ{x : |f(x)| > M} = 0},

con la convencion inf . = +*.Si 5f5+# < +*, se tiene la igualdad

{x : |f(x)| > 5f5#} =+#+

n=1

{x : |f(x)| > (1 +1n

)5f5#},

y en consecuencia resulta que el infimo que define 5f5# es un mınimo:

µ{x : |f(x)| > 5f5#} = 0.

Se define L#(µ) = {f : 5f5# < +*}.5f ! g5# = 0 si, y solo si, f y g coinciden en casi todo punto. Por lo tanto, se define L#(µ) como el

cociente de L#(µ) al identificar funciones iguales en casi todo punto. Observese que en cada clase de equivalenciade este espacio se puede encontrar una funcion medible acotada. En la siguiente proposicion resumimos algunaspropiedades de L# en relacion con las propiedades que hemos estudiado de los espacios L p.

Si utilizamos la convencion 1# = 0 podemos decir que p = 1 y q = * son conjugados ( 1

p + 1q = 1).

Proposicion 91

1. (Desigualdad de Holder). Si f # L1(µ) y g # L#(µ) entonces fg # L1(µ) y

5fg51 & 5f515g5#.

2. 5 5# es una norma en L#.

3. 5fn ! f5# " 0 si, y solo si fn converge a f uniformemente sobre un conjunto E con µ(E c) = 0.

4. L# es un espacio de Banach.

5. Las funciones simples son densas en L#.

Para medidas de Borel regulares µ definidas en B(Rn) o mas generalmente en espacios localmente compactosHausdorff las funciones de Lp(µ) con 0 < p < +* se pueden aproximar por funciones continuas con soportecompacto:

Proposicion 92 Si µ es una medida de Borel regular definida en B(Rn), entonces el espacio C0(Rn) de las fun-ciones continuas con soporte compacto es denso en Lp(µ) para cualquier 0 < p < +*. Es decir: para cualquier% > 0 y cualquier f # Lp(µ) existe g # C0(Rn) tal que 5f ! g5p < %.

La prueba coincide con la del Teorema 54 que probamos en el capıtulo 3.

Un espacio de Banach, o mas generalmente, un espacio metrico se dice separable cuando posee un subconjuntonumerable denso.

Proposicion 93 Si (!, ", µ) es un espacio de medida !-finito y " es una !- algebra numerablemente generada,entonces los espacios Lp(µ) son separables para cualquier 0 < p < +*.

Para probar esta propiedad, se puede comenzar observando la existencia de un algebra numerable A 0 tal que" = !(A0) y ! =

*An con An # A0 y µ(An) < +*. Despues se puede continuar aproximando en la norma de

Lp las funciones caracterısticas de conjuntos de medida finita:

Lema 6.2.1 Si" = !(A0) y µ es una medida finita definida en" entonces para cualquier % > 0 y cualquierE # "es posible encontrar un conjuntoA # A0 tal que

5)E ! )A5pp = µ(E /A) < %.


El caso de la medida !-finita se puede hacer esta misma aproximacion cuando µ(E) < +*, utilizando lamedida µ restringida a cada An # A0.

La prueba de la proposicion se completa utilizando la densidad de las funciones simples y aproximando cualquierfuncion simple de Lp por funciones del conjunto numerable

S =

-m!

i=1

ai)Bi : ai # Q, Bi # A0

B.

.

Para p = +* el espacioL#(µ) casi nunca es separable (solo si L# es de dimension finita). Mas concretamente:Si existe una sucesion infinita de conjuntos An # " que son disjuntos dos a dos, con µ(An) > 0 para todo n # N,entonces L# no es separable.

Para probar esta ultima afirmacion basta con observar la aplicacion ' : {0, 1} n " L# definida por '((an)n) =,an)An = )B(an) , donde B(an) =

*an=1 An. Esta aplicacion cumple que 5'((an)n) ! '((bn)n)5 = 1 si las

sucesiones (an)n y (bn)n son distintas.Si S fuese denso en L# y si aproximamos la imagen '((an)n) de cadasucesion (an)n por un elemento de S a una distancia menor que 1

3 se tiene una aplicacion inyectiva de {0, 1}N enS, y en consecuencia, que S no es numerable.

6.2.1. Comparacion entre espacios Lp.Espacios de sucesiones.En general si p1 > p2 > 0, no tiene porque existir ninguna relacion de inclusion entre los espacios L pq y Lp2 .

Por ejemplo:f(x) =

1

(1 + x)1

p2

# Lp1([0, +*)) \ Lp2([0, +*)),

mientras quef(x) =

1

x1

p1

)(0,1) # Lp2([0, +*)) \ Lp1([0, +*)).

Vamos a estudiar un par de casos en los que si existen esas relaciones de inclusion.

Proposicion 94 Si µ(!) < +* y* ) p1 > p2 > 0, entonces Lp1(µ) % Lp2(µ) y la inclusion es continua.Si ademas µ es una medida de probabilidad, e.d. µ(!) = 1 entonces 5f5 p2 & 5f5p1 para cada f # Lp1 .

Para probar la primera inclusion basta con considerar la descomposicion

f = f){|f |01} + f){|f |>1} & ){|f |01} + f){|f |>1};

Para probar la continuidad de la inclusion, nos podemos reducir al caso µ(!) = 1 y aplicar la siguiente desi-gualdad teniendo en cuenta la convexidad de la funcion t

p1p2 :

Lema 6.2.2 (Desigualdad de Jensen) Sea $ : R " [0, +*) una funcion convexa positiva, µ una medida deprobabilidad, y f # L1(µ) una funcion integrable. Entonces se cumple que

$("

f dµ) &"

$(f) dµ.

Demostracion. Recordando que cualquier funcion convexa es la envolvente superior de una familia de rectas

$(x) = sup{m(x! y) + n : m = $"i(y) om = $"

d(y), n = $(y)}

entonces $('

f dµ) = sup{m('

f dµ ! y) + n} = sup{'

m(f ! y) + n dµ} &'

sup{m(f ! y) + n}dµ ='$(f) dµ.

Ejercicio 96 Probar que si µ(!) < +* y f # L#(µ) entonces

5f5# = lımp'+#

5f5p.

En el caso general podemos establecer las siguientes inclusiones cuyas pruebas proponemos como ejercicio:


Proposicion 95 Sean 0 < p < q < r & +*, y (!, ", µ) un espacio de medida. Entonces

1. Lq(µ) % Lp(µ) + Lr(µ), es decir para cada f # Lq(µ) existen g # Lp(µ) (g = f){|f |>1}) y h # Lr(µ)(h = f){|f |01}), tales que f = g + h.

2. Lp(µ).

Lr(µ) % Lq(µ), y ademas para cada f # Lp(µ).

Lr(µ). y

5f5q & 5f5*p5f51!*r ,

donde 1q = *

p + 1!*r .

Como corolario se obtiene la siguiente propiedad de continuidad

Corolario 95.1 Sea f : ! " C una funcion medible, y sea If = {p : f # Lp(µ)}. Entonces If es un intervalo y laaplicacion '(f) = 5f5p es continua en los espacios If .

El otro caso particular al que nos referıamos son los espacios de sucesiones: Si ! = N, " = P(N) y µ es lamedida del cardinal, entonces los espacios Lp(N) son los espacios de sucesiones Lp = 2p(N) = {(an) :

,|an|p <

+*} con la norma 5(an)5p = (,

|an|p) 1p para 1 & p < *, mientras L# = 2# = {(an) : sup |(an)| < *} con

la norma del supremo.

Proposicion 96 Si 0 < p < q & +*, entonces 2p(N) % 2q(N) y ademas

5(an)5q & 5(an)5p.

En particular, si x1, . . . , xm # C y si 0 < p < q < +* se cumple

(!

|xk|q)1q & (

!|xk|p)

1p .

Si en Rn consideramos las normas 5(x1, . . . , xn)5p = (,

|xk|p)1p , entonces se tiene la siguiente cadena de

inclusiones entre las correspondientes bolas de radio 1: B- -1(0, 1) % B- -p(0, 1) % B- -q

(0, 1) % B- -$(0, 1), si1 & p & q & *.

O 1

1

6.2.2. Duales de los espacios Lp

Recordemos que el espacio dual de un espacio de Banach es el espacio vectorial de los funcionales linealesacotados con la norma correspondiente. En concreto el dual L p(µ)& de Lp(µ) es el espacio de los funcionaleslineales

T : Lp " C,

con la norma 5T 5 = sup{|T (f)| : 5f5p & 1}.


La desigualdad de Holder nos proporciona una inyeccion continua $ de L q(µ) en Lp(µ)& asociando a cadag # Lq(µ) el funcional lineal $(g) = Tg, definido por Tg(f) =

'f.g dµ. En efecto, de la desigualdad

|Tg(f)| = |"

f.g dµ| & 5g5q5f5p

para cada f # Lp(µ), resulta que 5Tg5 & 5g5q, de donde se deduce que Tg esta acotado y que la aplicacion $ esinyectiva.

Si medimos la norma 5Tg5 nos encontramos con que la inyeccion $ es una isometrıa:

Proposicion 97 Sea g # Lq(µ) y sea p ) 1 el conjugado de q. Si 1 & q < +* (1 < p & *), entonces5Tg5 = 5g5q. Si ademas µ es !-finita1 entonces la igualdad anterior tambien se cumple para q = * (p = 1).

Demostracion. Siempre se tiene la desigualdad 5Tg5 & 5g5q en virtud de la desigualdad de Holder.En el caso 1 & q < +* la norma 5Tg5 = 5g5q se alcanza en la funcion f # Lp definida por

f =|g|q!1 sign(g)5g5q!1

q

.

En el caso q = * (p = 1) si µ es !-finita y 5g5# = M , para cada % > 0 se puede encontrar un conjuntoA # " talque |g(x)| > M ! % para cada x # A y 0 < µ(A) < +*. Considerando ahora, f(x) = 1

µ(A) sign(g(x)))A(x), setiene 5f51 = 1 y

5Tg5 ) |Tg(f)| =1

µ(A)

"

A|g|dµ ) M ! %,

y haciendo %" 0 podemos concluir que 5Tg5 = 5g5#.

La siguiente cuestion que nos podemos plantear de manera natural es si la inyeccion $ es sobreyectiva, en cuyocaso podemos hacer la identificacion Lp(µ)& = Lq(µ).

En el siguiente capıtulo vamos a probar con la ayuda del Teorema de Radon-Nikodym que la respuesta esafirmativa en el caso 1 & p < *.

Para representar los funcionales lineales acotados sobreLp mediante funciones deLq partimos de la desigualdadde Holder que establece el que el producto de una funcion de L q por cualquier funcion de Lp es integrable. Enel sentido recıproco, podemos establecer la siguiente proposicion que nos proporciona una caracterizacion de lasfunciones de Lq .

Proposicion 98 Sea (!, ", µ) un espacio de medida !-finito y 1 & p < *. Si g es una funci on medible en ! talque fg # L1(µ) para cada funcion f # Lp, entonces g # Lq(µ) ( 1

p + 1q = 1), y

5g5q = sup{|"

fg dµ :, 5f5p & 1}.

En particular si (bn)n es una sucesion de numeros complejos tal que la serie,

anbn es convergente para cadasucesion (an)n # 2p(N) entonces (bn)n # 2q(N) y

(!

|bn|q)1q = sup{|

!anbn| :

!|an|p & 1}.

Demostracion. Se supone que g ) 0. Entonces el operador T (f) ='

fg dµ es positivo en el sentido de queT (f) ) 0 para cada f ) 0 de Lp. De esta propiedad vamos a concluir que T esta acotado en L p. En efecto, si nofuese ası, podrıamos encontrar una sucesion de funciones positivas f n enLp tales que 5fn5p & 1 y T (fn) ) n, ahorapodemos considerar la funcion positiva g =

, fn2 , que esta en Lp (5g5p & !2

6 ), pero que cumple'

f g dµ = +*en contradiccion con la hipotesis.

Despues, se pone g como el supremo de una sucesion creciente de funciones simples soportadas en conjuntos demedida finita sn para escribir "

sqn dµ &

"sq!1

n g dµ & 5T 5("

sqn dµ)

1p ,

y despejando'

sqn dµ el teorema de la convergencia monotona nos da la acotacion 5g5 q & 5T 5 < +*.

1 El mismo resultado se obtiene en caso de que µ tenga la propiedad de que cada conjunto de medida estrictamente positiva posee unsubconjunto con medida estrictamente positiva y finita. A estas medidas se les llama medidas semi-finitas.


Para el caso p = * la situacion es completamente distinta: La inclusion L1(µ) % L#(µ)& es estricta casisiempre. La definicion de funcionales lineales acotados sobre L# que no esten en L1(µ) se puede realizar cada vezque L# no es separable, aunque esta requiere del Teorema de Hahn-Banach de extension de funcionales linealesacotados definidos en subespacios cerrados. Este teorema no es constructivo en cierto sentido, pues descansa en unaxioma un poco mas debil que el Axioma de Eleccion.

6.2.3. Version integral de la desigualdad de MinkowskiFinalizaremos esta seccion con una version integral de la desigualdad de Minkowski:

Proposicion 99 Sean (!1, "1, µ1) y (!2, "2, µ2) dos espacios de medida !-finitos, y sea f(x, y) una funci on"1$"2-medible:

1. si f es positiva entonces para 1 & p < * se cumple

(" ("f(x, y) dµ2(y)

)p

dµ1(x)) 1

p

&" ("

f(x, y)p dµ1(x)) 1

p

dµ2(y)

2. si 1 & p < * y f cumple que f(., y) # Lp(µ1) para casi todo y # !2 y la aplicacion-(y) = 5f(., y)5Lp(µ1) # L1(µ2), entonces f(x, .) # L1(µ2) para casi todo x # !1 y la funcion %(x) =5f(x, .)51 # Lp(µ1) con

CCCC"

f(.y)dµ2(y)CCCC

Lp(µ1)

&"5f(., y)5Lp(µ1)dµ2(y).

La prueba queda propuesta como ejercicio, como indicacion recuerdese que 5F5 p = sup{'

Fg : 5g5q = 1} yutilıcese el teorema de Fubini en la integral

'Fg con F (x) =

'f(x, y) dµ2(y).

6.3. Convolucion y Aproximaciones de la identidadEn esta seccion vamos a describir el producto de convolucion de funciones y sus propiedades, con el fin de

establecer resultados de regularizacion y aproximacion de funciones medibles mediante funciones con buenas pro-piedades de continuidad y diferenciabilidad.

6.3.1. Producto de convolucionEn (Rn, +) consideramos la medida de Lebesgue & que es invariante por traslaciones

Definicion 32 Si f y g son dos funciones reales o complejas, medibles, definidas en R n, se define el producto deconvolucion como la funcion

f 4 g(x) ="

Rn

f(x! t)g(t)d&(t)

supuesto que esa integral existe.

Con un simple cambio de variable se tiene que si f 4 g(x) esta definida entonces g 4 f(x) tambien esta definidoy

f 4 g(x) ="

Rn

f(x! t)g(t)d&(t) ="

Rn

f(s)g(x! s)d&(s) = g 4 f(x).

Diremos que un conjunto C1 es soporte de la funcion f cuando f(x) = 0 para cada punto x '# C 1.Si C1 es un conjunto de Borel que soporta a f , y si C2 es un conjunto soporte de g, resulta que f(x!y)g(y) = 0

si y '# C2, o si x '# (y + C1), o lo que es lo mismo f(x ! y)g(y) '= 0 solo en puntos x # C1 + C2. Integrando seobtiene que f 4 g esta soportado por el conjunto C1 + C2.

Como consecuencia del Teorema de Fubini y la invariancia por traslaciones de la medida & tenemos la siguienteproposicion:


Proposicion 100 Si f y g # L1(Rn), entonces f 4 g(x) esta definido en casi todo punto x # Rn, ademas f 4 g #L1(Rn) y se cumplen

5f 4 g51 & 5f515g51"

Rn

f 4 g d& ="

Rn

f d&

"

Rn

g d&

Demostracion. Como la aplicacion (x, t) " x! t es continua, la aplicacion F (x, t) = f(x! t)g(t) es medible enRn $ Rn.

Por el teorema de Fubini aplicado a la funcion medible positiva |F (x, t)| tenemos que"

Rn1Rn

|F (x, t)| d& $ & ="

Rn

(|g(t)|

"

Rn

|f(x! t)| d&(x))

d&(t)

="

Rn

|g(t)|("

Rn

|f(x)| d&(x))

d&(t)

=("

Rn

|f | d&)("

Rn

|g| d&)

< +*

Una vez establecida la integrabilidad de F (x, t) aplicamos el teorema de Fubini a esta funcion y obtenemos quepara casi todo x la funcion Fx(t) = f(x! t)g(t) es integrable y sus integrales

f 4 g(x) ="

Rn

f(x! t)g(t) d&(t)

definen una funcion integrable con"

Rn

f 4 g(x) d& ="

Rn1Rn

F (x, t) d& $ & ="

Rn

f d&

"

Rn

g d&.

Si f y g son positivas se cumple que 5f 4 g51 = 5f515g51. Y en general la desigualdad triangular nos dice que|f 4 g(x)| & |f | 4 |g|(x) y al integrar resulta 5f 4 g51 & 5f515g51

La desigualdad de Holder nos proporciona el siguiente resultado:

Proposicion 101 Sea 1 & p & *. Si f # Lp(Rn) y g # L1(Rn), entonces f 4g(x) esta definido en casi todo puntox # Rn, ademas f 4 g # Lp(Rn) y se cumple

5f 4 g5p & 5f5p5g51

Demostracion. El caso p = 1 esta probado en la proposicion anterior. Supongamos que 1 < p < +*, y que1p + 1

q = 1.La desigualdad de Holder aplicada a (|f(x! t)||g(t)|

1p ) # Lp(Rn) y a (|g(t)|

1q ) # Lq(Rn) nos da la existencia

del producto de convolucion y la acotacion siguiente:

|f 4 g(x)| &"

Rn

|f(x! t)||g(t)|d&(t)

="

Rn

(|f(x! t)||g(t)|1p )(|g(t)|

1q )

&("

Rn

|f(x! t)|p|g(t)|d&(t)) 1

p("

Rn

|g(t)|d&(t)) 1

q

= (|f |p 4 |g|(x))1p

("

Rn

|g(t)|d&(t)) 1

q

< +*.

Elevando a p en los extremos de la cadena de la desigualdad anterior e integrando resulta que"

Rn

|f 4 g(x)|pd&(x) & ="

Rn

|f |p 4 |g|(x)d&(x)("

Rn

|g(t)|d&(t)) p

q

&"

Rn

|f |pd&"

Rn

|g|d&("

Rn

|g(t)|d&(t)) p

q

.


Al tomar raıces p-esimas concluimos que

5f 4 g5p & 5f5p5g51.

En el caso p = * se obtiene acotacion uniforme en todos los puntos en lugar de en casi todo punto y tambıense tiene que f 4 g es uniformemente continua como veremos en el teorema 103.

Se puede afirmar un poco mas para f # Lp(Rn) y g # Lq(Rn):

Teorema 102 (Young) Sean p, q & 1 tales que 1p + 1

q = 1 + 1r para r > 0. Si f # Lp(Rn) y g # Lq(Rn) entonces

f 4 g # Lr(Rn) y se cumple5f 4 g5r & 5f5p5g5q.

Ejercicio 97 Pruebese el teorema 102.INDICACION: Considerese 1

p1= 1

p !1r y

1q1

= 1q !

1r , que cumplen

1r + 1

p1+ 1

q1. Y apliquese la desigualdad de

Holder generalizada (Ejercicio 100) a las funciones

|f(x! y)|pr |g(y)|

qr # Lr(G), |f(x ! y)|1!

pr # Lp1 y |g(y)|1!

qr # Lq1 .

Los resultados anteriores muestran como el producto de convolucion conserva propiedades de la integrabilidadde cada uno de sus factores. Para estudiar la continuidad de la funcion producto usaremos la siguiente propiedad delas traslaciones:

La desigualdad de Holder y la propiedad de continuidad de las traslaciones en L p (1 & p < +*) (vease elejercicio 59 que esta enunciado para p = 1, aunque tambien se cumple para 1 & p < +* )nos permiten establecerel siguiente

Teorema 103 Sean 1 & p, q & * dos exponentes conjugados ( 1p + 1

q = 1). Si f # Lp(Rn) y g # Lq(Rn) entoncesf 4 g es una funcion uniformemente continua y acotada en Rn, con |f 4 g(x)| & 5f5p5g5q en todo punto x # Rn.

En el caso 1 < p < +* se puede afirmar que f 4 g # C0((R)n).

Demostracion. Supongamos que 1 & p < +*.Denotando por f x(t) = f(x! t), si f # Lp(Rn) entonces fx # Lp, 5fx5p = 5f5p, y por la continuidad de las

traslaciones en Lp(Rn) se tiene que dado % > 0

5fx ! fy5p = 5fx!y ! f05p < %

si x e y estan suficientemente proximos.La desigualdad de Holder proporciona la existencia de f 4 g(x) para todo x y ademas

|f 4 g(x)| &"

Rn

|f(x! t)||g(t)|d&(t) ="

Rn

|f (xt)||g(t)|d&(t)

& 5fx5p5g5q = 5f5p5g5q < +*.

Ademas

|f 4 g(x)! f 4 g(y)| &"

Rn

|f(x! t)! f(y ! t)||g(t)|d&(t)

="

Rn

|fx(t)! fy(t)||g(t)|d&(t)

& 5fx ! fy5p5g5q < %5g5q.

si x e y estan suficientemente proximos en Rn. Con lo que tenemos probada la continuidad uniforme de f 4 g.El caso p = +* se corresponde con el caso q = 1 y ahora se puede escribir

|f 4 g(x)! f 4 g(y)| &"

Rn

|g(x! t)! g(y ! t)||f(t)|d&(t)

="

Rn

|g(xt)! gy(t)||f(t)|d&(t)

& 5gx ! gy515f5#.


Por ultimo si 1 < p < +*, las funciones continuas con soporte compacto son densas tanto en L p(Rn) comoen Lq(Rn). Como el producto de convolucion de dos funciones con soporte compacto esta soportado por la sumade los soportes, tambien tiene soporte compacto. Ası si fn y gn son sucesiones de funciones continuas con soportecompacto tales que 5f ! fn5p " 0 y 5g ! gn5q " 0, es facil comprobar que fn 4 gn es una sucesion de funcionescontinuas con soporte compacto que converge hacia f 4 g uniformemente en R n, de donde se tiene que F 4 g # C0.

Podemos utilizar la formula de los incrementos finitos y la continuidad de la aplicacion h " f h para trasladaral producto de convolucion las propiedades de diferenciabilidad que puedan tener cualquiera de sus factores:

Denotaremos por Cm(Rn) al espacio de las funciones continuas con derivadas parciales hasta las de orden mexisten y son continuas y por Km(Rn) al subespacio de CmRn) formado por las funciones con soporte compac-to. De forma analoga se definen C#(Rn) y K#(Rn) a los correspondientes espacios de funciones infinitamentediferenciables.

Seanm # Z+{0, 1, 2, · · · } y $ # (Z+)n, $ = ($1, . . . ,$n) con |$| = $1 + · · · + $n = m. Denotaremos

(D#f) (x) =(

5#1 . . .5#n

5x#11 . . .5x#n

nf

)(x).

Teorema 104 Sean 1 & p & *, f # Lp(Rn) y g # Km(Rn), entonces f 4 g # Cm(Rn) y

(D#f 4 g) (x) = f 4 (D#g)(x),

donde |$| = m.Si ademas f tambien tiene soporte compacto, entonces f 4 g # Km(G).

Como aplicacion de estas propiedades de regularidad podemos podemos separar compactos deR n con funcionescontinuas de clase infinito:

Sea '(x) = Ae! 1

(1!x2)2 )[!1,1] # K#(R) tal que''(x)dx = 1.

Sea %((x1, . . . , xn) =A'(xi) # K#(Rn) que tambien cumple

'% d& = 1.

Sean G1 % G2 son dos abiertos acotados tales que G1 % G2, denotemos por * = mın{5x! y5 : x # G1, y '#G2}. Sea r = %

6.

n, la funcion%r(x) = 1

rn %(xr ) es de clase infinito, tiene integral igual a 1 y esta soportada por el

rectangulo [!r, r]n % B(0, %3 ). Si C1 = {x : d(x, Gc2) > %

3}, consideramos la funcion de clase infinito y soportecompacto contenido en C1 + B(0, %3 ) dada por

H(x) = )C1 4%r(x) # K#(Rn),

que cumpleH(x) = 1 si x # G1 yH(x) = 0 si x '# G2.

6.3.2. Aproximaciones de la identidadEn este apartado vamos a considerar familias de funcionesK " (% > 0), dando condiciones que permitan recupe-

rar cualquier funcion f como el lımite cuando %" 0 de la familia f 4K ".

Dada una funcionK # L1(Rn) y % > 0 vamos a denotar

K"(x) =1%n

K(x

%).

La familiaK" tiene las siguientes propiedades:

Lema 6.3.1 Si K # L1(Rn) entonces

1.'

Rn K"(x) dx ='

Rn K(x) dx.

2. 5K"51 = 5K51

3. lım"'0

'x:-x->% |K"|(x) dx = 0 para cualquier * > 0 fijo.


La tercera propiedad viene a significar que la integral de K " se concentra sobre entornos pequenos del origencuando % es pequeno. Ası en la formula

f 4K"(x) ="

f(x! y)K"(y) dy

los valores de f que intervienen en la integral se corresponden con los valores de f en puntos muy proximos a x.Ası, cabe esperar, que para puntos de continuidad x de f , los valores de f 4K "(x) se aproximen a f(x) (modulo elvalor de la integral deK).

A las familias de funciones K" tales que f 4 K" " f en algun sentido (en Lp o tan solo en casi todo punto)se les llama aproximaciones de la identidad. En el siguiente teorema estableceremos como la familia K " es unaaproximacion de la identidad en Lp supuesto que

'K d& = 1:

Teorema 105 Sean 1 & p < *, f # Lp(Rn) y K # L1(Rn) con'

K(x) dx = 1. Entonces

lım"'0

5f 4K" ! f5p = 0.

Demostracion. Comenzamos escribiendo

f 4K"(x)! f(x) ="

(f(x! t)! f(x))K"(t)dt,

razonando como en la prueba de la proposicion 101 podemos concluir y por ultimo integrando con respecto a x yescribiendo ft(x) = f(x! t) tenemos

"|f 4K"(x)! f(x)|pdx &

" "|f(x! t)! f(x)|pK"(t)dt

= (Fubini)"5ft ! f5p

pK"(t)dtdx

="

{t:-t-<%}5ft ! f5p

pK"(t)dt + 2p5f5pp

"

{t:-t-*%}K"(t)dt.

Para cada + > 0 es posible elegir * tal que 5ft ! f5pp < /p

-K-1, llevando esta desigualdad a la ecuacion anterior y

haciendo el lımite cuando % " 0 se tiene que lım sup 5f 4K" ! f5p & + y al hacer + " 0 se concluye la pruebadel teorema.

En particular siK(x) = %(x) es la funcion considerada al final del apartado anterior podemos concluir

Corolario 105.1 K#(Rn) es denso en Lp(Rn) para cualquier 1 & p < *.

Para el caso p = * podemos establecer el siguiente resultado de aproximaciones en los puntos de continuidadcuya prueba proponemos como ejercicio:

Teorema 106 Sean f # L#(Rn) y K # L1(Rn) con'

K(x) dx = 1. Entonces f 4 K"(x) converge hacia f(x)cuando % " 0 en cada punto de continuidad x de f . Si adem as f es continua en Rn entonces la convergencia esuniforme en cualquier compacto, y si f es uniformemente continua en Rn, entonces la convergencia es uniforme entodo Rn

En el ejercicio 73 ponıamos condiciones a la aproximacion de la identidadK para que f 4 g(x) converja a f(x)en los puntos de Lebesgue, y en consecuencia en casi todo punto.

Otras condiciones bajo las que se puede establecer la convergencia puntual aparecen en los dos proximos teore-mas cuyas pruebas referenciamos al libro de Wheeden-Zigmund:

En orden a obtener resultados de aproximaciones en casi todo punto recordemos queK(x) = o( 1-x-m ) cuando

5x5 " * silım

-x-'#5x5mK(x) = 0.


Teorema 107 Sean 1 & p < *, f # Lp(Rn) y K # L1(Rn).

L#(Rn) con'

K d& = 1 y K(x) = o( 1-x-n ),

Entonceslım"'0

f 4K"(x) = f(x)

en cada punto de continuidad x de f .

En caso de queK(x) = o( 1-x-m ) conm > n se obtiene convergencia en casi todo punto como se establece en

el siguienteTeorema 108 Supongamos que K(x) esta acotada y que existe una constante C tal que |K(x)| & C

1+-x-m paratodo x, dondem > n y que

'K d& = 1. Si 1 & p & * y f # Lp(Rn), entonces

lım"'0

f 4K"(x) = f(x)

en cada punto de Lebesgue x de f .

Ejemplos y aplicaciones de algunas aproximaciones de la Identidad:1. Nucleo de Poisson.- Sea P (x) = 1

!1

1+x2 definida en R.

a) 1 > P (x) > 0;'

P (x) dx = 1; P # L1(R).

L#(R).b) P (x) = o( 1

x1,5 ) cuando |x|"*.c) Si escribimos % = y > 0 y denotamos

P (x, y) = Py(x) =1"

y

x2 + y2= Imag(

!1"(x + iy)

),

P (x, y) es una funcion armonica (satisface la ecuacion de Laplace ( +2

+x2 + +2

+y2 )P = 0) en el semiplano.{(x, y) : y > 0}

Para cada f # Lp(R) (1 & p & *) se cumple

(52

5x2+

52

5y2)(f 4 Py)(x) =

"f(t)(

52

5x2+

52

5y2)P ((x ! t), y) dt = 0,

y en consecuencia f(x, y) = f 4 Py(x) es una funcion armonica en el semiplano {(x, y) : y > 0} que essolucion de la ecuacion de Laplace con condiciones inciales f(x, 0) = f(x) en el sentido de cumplir el quefy(x) = f(x, y) converge hacia f(x) en cada punto de Lebesgue y en cada punto de continuidad de f (ytambien en la norma de Lp(R) para 1 & p < *).

2. Nucleo de Gauss-Weierstrass.- SeaK(x) = 1.!e!x2 definida en R.

a) 1 > K(x) > 0;'

K(x) dx = 1;K # L1(R).

L#(R).b) K(x) = o( 1

|x|m ) cuando |x|"* para todom # N.c) Si escribimos % = 9

y para y > 0 y denotamos

W (x, y) = K.y(x) =

19"y

e!x2y ,

W (x, y) es solucion de la ecuacion del calor ( +2

+x2 ! 4 ++y )W = 0 en el semiplano. {(x, y) : y > 0}

Para cada f # Lp(R) (1 & p & *) se cumple

(52

5x2! 4

5

5y)(f 4K.

y)(x) ="

f(t)(52

5x2! 4

5

5y)W ((x ! t), y) dt = 0,

y en consecuencia f(x, y) = f 4 K.y(x) es una solucion de la ecuacion del calor en el semiplano {(x, y) :

y > 0} con condiciones inciales f(x, 0) = f(x), en el sentido de cumplir el que f y(x) = f(x, y) convergehacia f(x) en cada punto de Lebesgue y en cada punto de continuidad de f (y tambien en la norma de L p(R)para 1 & p < *).

Ejercicio 98 Pruebese para cada f # Lp(R) con 1 & p & *, la afirmacion que hemos realizado en terminos dela integral de Poisson:

(52

5x2+

52

5y2)(f 4 Py)(x) =

"f(t)(

52

5x2+

52

5y2)P ((x! t), y) dt = 0.


EjerciciosEjercicio 99 Para cada 1 & p & *, descr ıbase un subespacio Ep % Lp([0, 1]) que sea isometricamente isomorfoal espacio de sucesiones 2p(N).

Ejercicio 100 Sea (!, ", µ) un espacio de medida y p, q y r tres numeros reales tales que

p, q, y r # [1, +*] y1p

+1q

+1r

= 1

Probar que si f # Lp, g # Lq, y h # Lr entonces"

|f g h| dµ & 5f5p5g5q5h5r.

.

Ejercicio 101 Sean f y g dos funciones medibles positivas definidas en el espacio de probabilidad (!, ", µ). Probarque si f(x)g(x) ) 1 para casi todo x # !, entonces

"

"f dµ

"

"g dµ ) 1.

Ejercicio 102 Sea (!, ", µ) un espacio de probabilidad y h una funci on medible positiva definida en !. Sea A ='h dµ. Demuestre que

21 + A2 &

"

"

21 + h2 dµ & 1 + A.

Las desigualdades anteriores tienen una interpretacion geometrica sencilla en el caso ! = [0, 1] y h = f "

(la derivada de una funcion creciente). A partir de esta interpretacion conjeture (para ! arbitrario) para quecondiciones se da la igualdad en alguna de las dos desigualdades, demuestre despu es la conjetura realizada.

Ejercicio 103 Sea 1 & p < r & +*.Pruebe que Lp

.Lr es un espacio de Banach con la norma 5f5 = 5f5p + 5f5r y que la inlusion de Lp

.Lr

en Lq es continua para p < q < r.Pruebe tambien que Lp + Lr es un espacio de Banach con la norma

5f5 = inf{5g5p + 5h5r : f = g + h},

y que la inclusion de Lq en Lp + Lr es continua para p < q < r.

Ejercicio 104 Sea (!, ", µ) un espacio de probabilidad (µ(!) = 1). Si p > 0 denotamos 5f5 p = ('|f |pdµ)

1p y

por Lp al espacio vectorial de las funciones f con 5f5p < +*. Si f # Lp entonces f # Lq para 0 < q < p.Probar las afirmaciones:

1. log 5f5q )'

log |f |dµ. Ind: Aplicar la desigualdad de Jensen con la funcion exponencial.

2.'|f |qdµ! 1

q) log 5f5q y

'|f |qdµ! 1

q"'

log |f | cuando q " 0.

3. lımq'0

5f5q = exp('

log |f |dµ).

Ejercicio 105 Sea (!, ", µ) un espacio de probabilidad y f # L 1(µ) una funcion positiva tal que existe M > 0con f(x) ) M para casi todo punto. Pruebe que log f # L1(µ) y que

"log f dµ & log(

"f dµ).

Ejercicio 106 Sean (!, ", µ) un espacio de probabilidad, f una funci on medible y µf (t) = µ({x : |f(x)| > t}) lafuncion de distribucion de |f |. Si 0 < p < +* y existe una constante c tal que µf (t) & c

tp para cada t > 0, se diceque f esta en el espacio debil-Lp(µ). Pruebe que si f esta en debil-Lp(µ), entonces f # Lq(µ) para cada q < p.

En general, (aunque µ no sea una medida finita), si f est a en debil-Lp(µ) y f # L#(µ), entonces f # Lr(µ)para cada r > p.


Ejercicio 107 Sea f # Lp((0, +*)) con 1 < p < *.

1. Pruebe que F (x) = 1x

' x0 f(t) dt, esta bien definida para todo x # (0, +*.

2. Demuestre la desigualdad de Hardy:5F5p &

p

p! 15f5p.

Indicacion: Escribe F (x) =' +$0 K(x, t)f(t) dt =

' +$0 K(u, 1)fu(x) du, donde fu(x) = f(ux); evalue #fu#p y

aplique la desigualdad integral de Minkowski en la integral #F#p.

3. Pruebe que la constante pp!1 no puede reemplazarse por ninguna menor. Pruebe tambi en que para p = 1

existe f # L1 tal que F '# L1.

Ejercicio 108 Sea 1 & p < +*. Se dice que una sucesi on fn # Lp converge debilmente hacia f # Lp cuandopara cada g # Lq ( 1p + 1

q = 1) se cumple"

fng dµ ""

fg dµ.

Probar que si sup{5fn5p : n # N} < +* , fn " f en casi todo punto, y 1 < p < +* entonces fn " fdebilmente en Lp.

Probar que el resultado anterior es falso para p = 1 poniendo contraejemplos en L 1(R) y en 21.

Capıtulo 7

Descomposicion y diferenciacion demedidas

En este capıtulo vamos a estudiar la diferenciacion de una medida con respecto a otra, estando definidas en lamisma !-algebra. Vamos a empezar trabajando con medidas abstractas, para terminar analizando con mas detalle elcaso en el que derivemos con respecto a la medida de Lebesgue.

Vamos a comenzar permitiendo que las medidas tomen valores reales negativos e incluso complejos, con lafinalidad de estudiar y caracterizar las medidas definidas como integrales indefinidas.

7.1. Medidas complejas. Teorema de Radon-Nikodym.Denotaremos R = [!*, +*]. La integral indefinida como funcion definida sobre la !-algebra de conjuntos

medibles, se comporta como una medida porque es !-aditiva, y va a ser el primer ejemplo de medida con valores enR o en C.

Ejemplo 24 Si f : (!, ", µ) " R o C es una funcion medible positiva o una funcion integrable, entonces laaplicacion 0 : " " R o C definida por 0(A) =

'A f dµ cumple la siguiente condicion de !-aditividad: para cada

sucesion de conjuntos disjuntos dos a dos An # ", 0(*#

n=1 An) =,#

n=1 0(An).

7.1.1. Medidas signadas y complejasDado un espacio medible (!, ") y una aplicacion 0 : " " R o C

se dice que 0 es finitamente aditiva si 0(*k

n=1 An) =,k

n=1 0(An) para cada coleccion de conjuntos disjuntosdos a dos A1, . . . , Ak # ".

se dice que 0 es numerablemente aditiva si 0(*#

n=1 An) =,#

n=1 0(An) para cada sucesion de conjuntosdisjuntos dos a dos An # ".

Para que las sumas anteriores tengan sentido no deben aparecer sumandos infinitos con distinto signo. Ası,

Definicion 33Se llamamedida signada a toda aplicacion numerablemente aditiva definida en un espacio medible con valores

en (!*, +*] o en [!*, +*); yse llama medida compleja a toda aplicacion numerablemente aditiva definida en un espacio medible con valoresen C.

Observaciones

(a) Si 0 es una medida compleja entoncesReal(0) y Im(0) son medidas signadas, y 0 = Real(0) + i Im(0). Poresto, parte del analisis de las medidas complejas se puede hacer desde el estudio de las medidas signadas quetoman valores finitos.

105

CAPITULO 7. DIFERENCIACION DE MEDIDAS 106

(b) La convergencia de las series que aparecen en la condicion de aditividad numerable es incondicional, es decir,no depende de la enumeracion de los conjuntosAn.

(c) Si 0 es una medida signada yA # " con 0(A) finito, entonces 0(B) tambien es finito para cadaB # ", B % A.

(d) Si 0 es una medida signada o compleja y Bn # " es una sucesion creciente entonces

0(+

n

Bn) = lımn'#

0(Bn).

Si Cn # " es una sucesion decreciente y 0(C1) es finito entonces 0(.

n Cn) = lımn'# 0(Cn).

A continuacion vamos a ver como cualquier medida signada se puede describir como la diferencia de dos medi-das positivas. En consecuencia, el estudio de las medidas signadas o complejas se puede realizar a partir del de lasmedidas positivas.

En el caso concreto de la integral indefinida asociada a una funcion integrable tenemos:

Ejemplo 25 Sea f : (!, ", µ) " R una funcion integrable y 0 : " " R definida por 0(A) ='

A f dµ.Sabemos que f = f+ ! f!, donde f+ = max{f, 0} y f! = !mın{f, 0}, y podemos descomponer el espacio

! considerando!+ = {/ : f(/) ) 0} y !! = {/ : f(/) < 0}.Entonces ! = !+

*!!, !+

.!! = . y si se definen: 0+(E) := 0(E

.!+) =

'E f+dµ, y 0!(E) :=

0(E.

!!) ='

E f!dµ, tanto 0+ como 0! son dos medidas positivas y 0 = 0+ ! 0!.

Para hacer algo analogo con cualquier medida signada utilizaremos las nociones que aparecen en la siguientedefinicion:

Definicion 34 Sea 0 : " " [!*, +*] una medida signada y A # ":

1. Se dice que A es positivo cuando 0(B) ) 0 para cada B # " B % A.

2. Se dice que A es negativo cuando 0(B) & 0 para cada B # " B % A.

3. Se dice que A es nulo cuando 0(B) = 0 para cada B # " B % A.

Es facil comprobar que los subconjuntos de un conjunto positivo (resp. negativo, o nulo) son positivos (resp.negativos, o nulos) y que si Pn # " es una sucesion de conjuntos positivos (resp. negativos, o nulos), entonces*

n Pn tambien es un conjunto positivo (resp. negativo, o nulo).

Teorema 109 (Teorema de Descomposicion de Hahn) Sea (!, ") un espacio medible y 0 : " " [!*, +*] unamedida signada, entonces existen !+ y !! # " tales que !+

.!! = ., ! = !+

*!!, !+ es positivo y !!

es negativo. Ademas, la descomposicion anterior es unica en el sentido de que si ! = P*

N con P y N # ", Ppositivo y N negativo entonces !+ / P y !! /N son nulos.

Demostracion. Para la prueba vamos a suponer que 0 no toma el valor!*.Denotemos por K = inf{0(B) : B # "}. Si K = 0 tomamos !+ = ! y !! = .. En otro caso K < 0,

elegiremos una sucesion An # ", tal que 0(An) converge haciaK .Ahora vamos a hacer uso de la siguiente afirmacion que probaremos al final:“Sea A # " tal que !* < 0(A) < 0, entonces existe un conjunto negativo B # ", tal que B % A y

0(B) & 0(A)”.Ası, elegimos Bn % An, negativos con K & 0(Bn) & 0(An). Si Cn =

*nk=1 Bk, Cn son negativos, forman

una sucesion creciente y K & 0(Cn) & 0(An). Si consideramos el conjunto negativo !! =*+#

n=1 Cn, se cumpleque 0(!!) = K > !*, y el conjunto !+ = ! \ !! es positivo, pues en otro caso contendrıa un subconjunto Bcon 0(B) < 0, y 0(!! -B) = K + 0(B) < K , en contradiccion con la definicion deK .

Si ! = P -N con P positivo y N negativo, se tiene que los conjuntos P 0 !! y N 0 !+ son conjuntos nulosy lo mismo sucede con los extremos de la cadena:

!+ / P % (P 0 !!) - (!+ 0N) 3 N / !!.

Finalizaremos probando la afirmacion que quedaba pendiente. Sea A # " tal que !* < 0(A) < 0, vamos aproceder con la siguiente induccion:


Sea B0 = A, y supongamos que hemos definido hasta Bn!1 % A que cumple 0(Bn!1) & 0(A). Si Bn!1 esnegativo entonces hacemos B = Bn!1 y se termina. En otro caso denotamos *n = sup{0(E) : E % Bn!1} > 0,elegimosDn % Bn!1 tal que 0(Dn) > 1

2 mın{*n, 1}, y hacemos Bn = Bn!1 \ Dn. Es claro que 0(Bn) & 0(A).Con esta induccion, o bien algun Bn es negativo, o tenemos una sucesion disjunta Dn, con C =

*n Dn % A,

y 0(C) =,

n 0(Dn) una serie de terminos positivos que converge ya que 0(C) es finito por serlo 0(A). Entonces,podemos afirmar que 0(An) y en consecuencia *n convergen a 0.

Tomando B = A \ C =.

n Bn se cumple que B es negativo, pues si E % B % Bn para todo n, se cumple0(E) & *n para todo n, y por lo tanto 0(E) & 0. Ademas, 0(B) = 0(A) ! 0(C) < 0(A).

Con la notacion del enunciado anterior las medidas positivas definidas por 0 +(E) = 0(E.

!+) y 0!(E) =!0(E

.!!) cumplen 0 = 0+ ! 0! y estan soportadas por conjuntos disjuntos en el sentido de la siguiente

definicion:

Definicion 35 Dos medidas 0 y + definidas en el espacio medible (!, ") se dicen mutuamente singulares (o se diceque + es singular con respecto a 0 y viceversa) cuando existen E, F # " tales que ! = E

*F , E

.F = ., E es

nulo para 0 y F es nulo para +. Se suele denotar 0 ; +.

Corolario 109.1 (Teorema de descomposicion de Jordan) Si 0 es una medida signada, entonces existen dos uni-cas medidas positivas 0+ y 0! mutuamente singulares y tales que 0 = 0+ ! 0!.

A las medidas 0+ y 0! se les llama respectivamente, la parte positiva y negativa de la medida 0. Ademas, algunade las dos es finita.

Observaciones:

1. 0+(A) = sup{0(B) : B # ", B % A}.

2. 0!(A) = ! inf{0(B) : B # ", B % A}.

3. Si µ : " " [0, +*] es una medida positiva tal que 0(A) & µ(A) para cada conjunto A # ", entonces0+(A) & µ(A) para cada A # ".

4. Si 0 = µ1 ! µ2, donde µ1 y µ2 son medidas positivas, entonces 0+(A) & µ1(A) y 0!(A) & µ2(A) paratodo A # ".

En el conjunto de las medidas signadas definidas en la !-algebra " consideraremos la siguiente relacion deorden:

Definicion 36 Dadas dos medidas signadas 0 y + definidas sobre la !- algebra ", se dice que 0 < + cuando0(A) & +(A) para cada A # ". Si 0 y + son finitas equivale a decir que + ! 0 es una medida positiva.

Releyendo la observacion anterior en terminos de esta relacion de orden se tiene que 0 + = sup2{0, 0} y0! = ! inf2{0, 0}.

De forma analoga a como se define el valor absoluto de un numero real, se define la variaci on total de unamedida signada 0 como la medida positiva dada por la igualdad

|0| = 0+ + 0! = sup2

{0,!0}

Cuando |0|(!) < +* se dice que la medida signada es de variaci on acotada o que es finita (pues esto ocurresi, y solo si, 0 toma valores finitos). Analogamente, si |0| es una medida !-finita, se dice que 0 es una medida devariacion !-finita.

El significado de la terminologia “variacion total” quedara mas claro cuando al final de este capıtulo represente-mos las medidas signadas sobre los conjuntos de Borel de R mediante sus funciones de distribucion. De momentopodemos empezar a observarlo senalando que:

|0|(A) = sup

-n!

k=1

|0(Ak)| : Ak # ", A =n+

k=1

Ak, Ai

0Ak = . si i '= k

B.

Esta ultima formula tambien tiene sentido para medidas complejas:


Teorema 110 Si 0 : " " C es una medida compleja se define su variaci on total |0| como

|0|(A) = sup

-n!

k=1

|0(Ak)| : Ak # ", A =n+

k=1

Ak, Ai

0Ak = . si i '= k

B

para cada A # ".La variacion total |0| de la medida compleja 0 es una medida positiva y finita (e.d. toda medida compleja es

una medida de variacion acotada).

Demostracion. En primer lugar se observa que |0| es finitamente aditiva: Sean A, B # " dos conjuntos disjuntos.Si Cn # " es una sucesion de conjuntos disjuntos dos a dos, cuya union es A - B. Denotando A n = Cn 0 A yBn = Cn 0B se tiene que

!

n

|0(Cn)| &!

n

|0(An)| +!

n

|0(Bn)| & |0|(A) + |0|(B).

Al tomar supremos entre las descomposicionesCn de A-B se tiene la desigualdad |0|(A-B) & |0|(A)+ |0|(B).Para obtener la desigualdad inversa, basta con observar que si An y Bn son dos sucesiones de conjuntos disjuntosdos a dos cuyas uniones son A y B respectivamente, entonces la sucesion C 2k!1 = Ak y C2k = Bk esta formadapor conjuntos disjuntos dos a dos, y su union es A -B. Ahora tenemos que

!

n

|0(An)| +!

n

|0(Bn)| =!

j

|0(Cj)| & |0|(A -B).

Al tomar supremos en las descomposicionesAn y Bn de A y de B, se tiene |0|(A) + |0|(B) & |0|(A -B).Una vez probado que |0| es finitamente aditiva, vamos a observar que es finita y continua para sucesiones

decrecientes al vacıo, para concluir que |0| es una medida !-aditiva.Es facil observar que para cada A # ",

|0|(A) & +(A) := |Real(0)|(A) + |Imag(0)|(A).

De que + es finita y !-aditiva, resulta que |0| tambien es finita, y que para cada sucesion decreciente A n # " con.n An = ., se cumple

0 & |0|(An) & +(An) " 0.

La variacion total de las integrales indefinidas tambien son integrales indefinidas:

Proposicion 111 Sean µ una medida positiva, f # L1(µ, C) y 0(A) ='

A f dµ su integral indefinida. Entonces|0|(A) =

'A |f | dµ para cada A # ".

Demostracion. Como |0(A)| = |'

A f dµ| &'

A |f | dµ, resulta que

|0|(A) &"

A|f | dµ,

para cada A # ".Si probamos que |0|(!) =

'" |f |dµ, tendremos que tambien se cumple la igualdad para cada A # ", puesto

que:|0|(A) &

"

A|f | dµ = |0|(!)!

"

Ac

|f | dµ & |0|(!)! |0|(Ac) = |0|(A),

Sea g = f|f | = signo(f), g es medible y |g(x)| = 1 para cada x # !. Denotamos por Bk,n = g!1({ei, : ( #

[2!(k!1)n , 2!k

n )}) # ", con k = 1, . . . , n, y gn =,n

k=1 ei2"k

n )Bk,n . Entonces se cumple que |gnf | = |f | y quegnf converge hacia gf = |f |, aplicando el teorema de la convergencia dominada se tiene que

|0|(!) &"

"|f | dµ = lım

n

////"

ngnf dµ

//// & lımn

n!

k=1

|0(Bk,n)| & |0|(!).


Nota.Si denotamos por cav(", R) (resp. ca(", C)) al conjunto de las medidas signadas de variacion acotada (resp.

medidas complejas) definidas en ", la suma y el producto escalar habitual, (0 1 + 02)(A) = 01(A) + 02(A) y(t0)(A) = t(0(A)), proporcionan una estructura de espacio vectorial real (resp. complejo) al conjunto cav(", R)(resp. ca(", C)). Se puede probar que este espacio con la aplicacion 505 = |0|(!) es un espacio de Banach (e.d. unespacio normado y completo). Ası, La proposicion anterior permite identificar al espacio de las funciones integrablesL1(!, ", µ) con un subespacio cerrado de cav(").

7.1.2. Continuidad Absoluta. Teorema de Radon-NikodymLa integral indefinida asociada a una funcion integrable ha sido el ejemplo de medida de signada o compleja

utilizado en la seccion anterior. En esta seccion vamos a estudiar cuando una medida signada o compleja se puederepresentar como una integral indefinida. Comenzamos recordando una simple propiedad de la integral

Si f # L1(µ) es una funcion integrable, entonces'

N f dµ = 0 para cada conjuntoN # " µ-nulo (µ(N) = 0).

Definicion 37 Dadas dos medidas signadas o complejas 0 y + definidas en ", se dice 0 es absolutamente continuacon respecto a + y se denota 0 = +, cuando |0|(A) = 0 (e.d. A es 0-nulo) para cada subconjunto A # " que es+-nulo (e.d. |+|(A) = 0).

La terminologıa de continuidad usada en esta definicion puede entenderse a la vista de la siguiente caracteriza-cion:

Proposicion 112 Si 0 y + son dos medidas signadas o complejas de variaci on acotada definidas en ", entonces sonequivalentes:

1. 0 es absolutamente continua con respecto a +.

2. Para cada % > 0 es posible encontrar un numero * tal que |0|(A) < % cuandoA # " y |+|(A) < *.

En el ejercicio 55 habıamos comprobado esta propiedad para la integral indefinida asociada a cualquier funcionintegrable f # L1(µ) donde µ es una medida positiva.Demostracion. La implicacion 2 , 1 es muy sencilla pues si +(A) = 0 < * para cada * > 0, por lo tanto|0|(A) < % para todo % > 0, y en consecuencia |0|(A) = 0.

Para la implicacion 1 , 2, supondremos que la afirmacion 2 no se cumple para llegar a una contradiccion con 1.En este caso podemos encontrar % > 0 y An # " tal que +(An) < 1

2n+1 y |0|(An) > %. Haciendo Bk =*

n*k An

se tiene una sucesion decreciente de conjuntos de " tales que +(Bk) & 12k y |0|(Bk) > %. Si B =

*k Bk, como

+ y |0| son medidas finitas, se cumple +(B) = lımk +(Bk) = 0 mientras que |0|(B) = lımk |0|(Bk) ) % > 0, encontradiccion con la afirmacion 1.

El siguiente teorema de descomposicion de Lebesgue, muestra como dadas dos medidas de variacion total !-finita, siempre es posible descomponer una de ellas en dos partes que son respectivamente, absolutamente continuay mutuamente singular con respecto a la otra medida:

Teorema 113 (Teorema de Descomposicion de Lebesgue) Sean 0 y + dos medidas signadas o complejas de va-riacion !-finita definidas en el espacio medible (!, "). Entonces, existen dos medidas signadas o complejas, 0 1 y02 definidas en ", tales que

1. 0 = 01 + 02.

2. 01 es absolutamente continua con respecto a +, e.d. 01 = +.

3. 02 y + son mutuamente singulares, e.d. 02 ; +.

Ademas esta descomposicion es unica.


Demostracion. Supongamos que 0 es finita. Si 0 = + entonces hacemos 01 = 0 y 02 = 0. En otro caso se eligecualquier sucesion Bn # " tal que +(Bn) = 0 y

|0|(Bn) " K = sup{|0|(E) : E # ", +(E) = 0}.

SeaN =*

n(Bn), entonces se cumple que +(N) = 0 yK ) |0|(N) ) sup |0|(Bn) = K . SeaE = !\N , entoncessi A % E y +(A) = 0, tambien se cumple que |0|(A) = 0 pues K = |0|(N) ) |0|(N - A) = |0|(N) + |0|(A).Sean 01 las medidas definidas por 01(A) = 0(A 0 E) y 02(A) = 0(A 0 N). Es claro que 01(A) = + y como+(N) = 0 y |02|(E) = |0|(E 0N) = |0|(.) = 0, tambien tenemos probado que 02 ; +.

Para probar la unicidad basta con observar que si 0 = µ1 + µ2 es otra descomposicion con µ1 = + y µ2 ; +,entonces µ = 01!µ1 = µ2! 02 es una medida signada que es simultaneamente absolutamente continua y singularcon respecto a +, de donde se concluye que µ = 0, 01 = µ1 y 02 = µ2.

En el caso de medidas !-finitas, basta con describir el espacio como una union numerable disjunta de conjuntosde medida finita, y hacer la descomposicion de 0 en cada uno de estos conjuntos.

Trabajando ahora con medidas absolutamente continuas, vamos a abordar el Teorema de Radon-Nikodym

Teorema 114 (Teorema de Radon-Nikodym) Sean 0 una medida signada o compleja de variaci on acotada y µuna medida positiva !-finita tales que 0 es absolutamente continua con respecto a µ. Entonces existe una funci onf # L1(µ) tal que 0 es la integral indefinida de f respecto de µ, e.d. para cada conjuntoA # " se cumple

0(A) ="

Af dµ.

La funcion f es unica (salvo conjuntos de medida nula). Se suele decir que f es la derivada de Radon-Nikodym de0 con respecto a µ y se denota d0 = f dµ o f = d0

dµ .

Nota. Antes de hacer la prueba, vamos a resaltar el hecho de que en el caso discreto, cuando " es un algebra finita,existe una particion A0, . . . , Am de conjuntos de " disjuntos dos a dos, tales que ! =

*mk=0 Ak, µ(A0) = 0,

µ(Ak) > 0 para k '= 0, y cualquier conjunto de " se puede escribir como una union finita de atomos A k y unconjunto 0-nulo.

Entonces la derivada de Radon-Nikodym de 0 con respecto a µ viene dada por la formula

d0

dµ=

m!

k=1

0(Ak)µ(Ak)

)Ak .

Demostracion. Supongamos en primer lugar que 0 es finita y positiva y que µ es finita.Denotamos F = {h # L1(µ) : h ) 0,

'A h dµ & 0(A)+A # "}. Como 0 # F , F '= ..

Para cada par de funciones h1, h2 # F y cada A # " se cumple"

Asup{h1, h2}dµ =

"

A%{h1*h2}h1 dµ +

"

A%{h1<h2}h2 dµ

& 0(A 0 {h1 ) h2}) + 0(A 0 {h1 < h2}) = 0(A).

Ası, tenemos que sup{h1, h2} # F .Sea K = sup{

'" h dµ : h # F} & 0(!), y sean hn # F tales que

'" hndµ converge hacia K . Como gn =

sup{h1, . . . , hn} # F es creciente, el Teorema de la Convergencia Monotona nos asegura que f = sup n{gn} # Fy queK =

'" f dµ.

Si probamos queK = 0(!) tambien tendremos que para cada A # "

0(A) = 0(!) ! 0(! \ A) & K !"

"\Af dµ =

"

Af dµ,

y por lo tanto, 0(A) ='

A f dµ para cada A # ". Con esto terminarıamos la prueba en el caso 0 finita y positiva.En este caso, podemos afirmar que f ) 0 en casi todo punto.

Consideremos la medida positiva 00(A) = 0(A) !'

A f dµ. Si K < 0(!), debe de existir un % > 0 tal que00(!) > %µ(!) (aquı usamos el que µ es finita). Sea + = 00 ! %µ y ! = !+ - !! su descomposicion de Hahn,entonces ++(!) = +(!+) > 0. Como + = µ se debe de cumplir que µ(!+) > 0.


Sea h = f + %)"+ , entonces para cada A # " se cumple"

Ah dµ =

"

Af dµ + %µ(A -!+)

="

Af dµ + 00(A - !+)! ++(A)

&"

Af dµ + 00(A) = 0(A),

y por lo tanto, h # F . Pero esto esta en contradiccion con la definicion de K puesto que llegamos a la siguientedesigualdad absurda:K )

'" h dµ =

'" f dµ + %µ(!+) > K .

Si µ solo es !-finita, escribiremos ! =*

n Bn, donde Bn # " forman una sucesion de conjuntos disjuntosdos a dos, y µ(Bn) < +* para cada n. Restringiendonos a cada conjunto Bn podemos encontrar una sucesion defunciones medibles positivas fn tales que 0(A0Bn) =

'A f)Bndµ para cada A # ". Definiendo f =

,n fn)Bn ,

el Teorema de Beppo-Levi nos asegura que

0(A) =!

n

0(A 0Bn) =!

n

"

Afn)Bndµ =

"

Af dµ,

para cada A # ".Si 0 es una medida signada bastara con considerar f = d0+

dµ ! d0!

dµ . Y si 0 fuese una medida compleja, conside-rarıamos f = d Real(0)

dµ + id Imag(0)dµ .

Si en el enunciado anterior ponemos 0 una medida positiva !-finita, se obtiene el mismo resultado cambiando fintegrable por f medible y positiva.

En efecto, si ! =*

n An, donde An # " es una sucesion de conjuntos dos a dos disjuntos, con 0(An) < +*para cada n, y denotamos 0n(A) = 0(A 0 An), entonces f =

,n

d0ndµ )An es medible positiva y cumple 0(A) ='

A f dµ para cada A # ".

Las formulas que puede sugerir la notacion diferencial utilizada suelen ser correctas. Por ejemplo, la unicidadde la derivada de Radon-Nikodym proporciona directamente las igualdades d(01+02)

dµ = d01dµ + d02

dµ y d(t0)dµ = t d0

dµ .Tambien se cumple la regla de la cadena:

Lema 7.1.1 Supongamos que 0 y µ son dos medidas positivas !-finitas, que 0 es absolutamente continua conrespecto a µ y que f = d0

dµ es su derivada de Radon-Nikodym. Entonces para cada funci on ' # L1(0) se tiene que'f # L1(µ) y que "

' d0 ="'f dµ.

Supongamos que + es una tercera medida positiva !-finita y absolutamente continua con respecto a 0. Entonces+ tambien es absolutamente continua con respecto a µ y se cumple

d+

dµ=

d+

d0

d0

dµ

Demostracion. Si s =,

ai)Ai es una funcion simple, el teorema de Radon-Nikodym da la identidad"

s d0 =!

ai0Ai =!

ai

"

Ai

f dµ ="

sf dµ.

Si g es medible y positiva, entonces es el lımite de una sucesion creciente de funciones simples s n. Como f ) 0 encasi todo punto snf es creciente en casi todo punto, y converge en casi todo punto hacia gf . Ahora, el Teorema dela Convergencia Monotona da la igualdad

"g d0 = lım

n

"snd0 = lım

nsnf dµ =

"gf dµ.

Si ' # L1(0) es una funcion integrable, entonces la igualdad anterior aplicada a g = |'| nos da la integrabilidadde 'f con respecto a µ. Una vez probado esto podemos poner ' como limite de una sucesion de funciones simples


sn, con |sn| & g y aplicar el Teorema de la Convergencia Dominada a esta sucesion y a la sucesion s nf que cumple|snf | & gf , para obtener:

"' d0 = lım

n

"snd0 = lım

nsnf dµ =

"'f dµ.

Para establecer la segunda afirmacion bastara con considerar para cada A # " la funcion medible positiva' = d/

d0)A. para obtener

+(A) ="

A'd0 =

"

A'

d0

dµdµ.

Se pueden integrar funciones con respecto a medidas signadas o complejas con las siguientes definiciones:Si 0 es una medida signada sobre (!, ") se define

L1(0) = L1(0+)0

L1(0!), y"

f d0 ="

f d0+ !"

f d0!.

Es facil probar que esta integral es lineal en L1(0) y que se verifican las propiedades:

1. L1(0) = L1(|0|).

2. si f # L1(0), se cumple |'

f d0| &'|f | d|0|.

3. Para cada conjuntoE # " |0|(E) = sup{|'

E f d0| : |f | & 1}.

Si 0 = 01 + i02 es una medida compleja sobre (!, ") con partes real e imaginaria 0 1 y 02, se define

L1(0) = L1(01)0

L1(02), y"

f d0 ="

f d01 + i

"f d02.

Si |0| es su variacion total, se tiene que 0 = |0| y en consecuencia existe una unica funcion g = d0d|0| tal que

0(A) ='

A g d|0|. Ademas, aplicando la proposicion 111 se tiene que |g(/)| = 1 en casi todo punto. Trabajandocon esta derivada se obtienen facilmente las siguientes propiedades:

1. L1(0) = L1(|0|).

2. si f # L1(0), se cumple |'

f d0| &'|f | d|0|.

3. Para cada conjuntoE # " |0|(E) = sup{|'

E f d0| : |f | & 1}.

Utilizando esta nocion de integral con respecto a una medida signada o compleja podemos reformular el Teoremade Radon-Nikodym en los siguientes terminos, dejando la prueba como ejercicio:

Teorema 115 Sean 01 y 02 dos medidas complejas tales que 01 = 02, entonces existe una unica funcion f # L1(02)tal que

01(A) ="

Af d02 +A # ".


Ejercicios.Ejercicio 109 Sean µ1 y µ2 dos medidas signadas finitas definidas en el espacio medible (!, "). Denotamos µ 1 7µ2 = max2{µ1, µ2} y µ1 8 µ2 = mın2{µ1, µ2}.

1. Pruebe las siguientes igualdades:

µ1 7 µ2 =(µ1 + µ2) + |µ1 ! µ2|

2= µ1 + (µ2 ! µ1)+

µ1 8 µ2 =(µ1 + µ2)! |µ1 ! µ2|

2= µ1 ! (µ1 ! µ2)+

2. Si µ1 y µ2 son absolutamente continuas con respecto a una tercera medida µ, pruebe que µ 1 7 µ2 y µ1 8 µ2

tambien son absolutamente continuas con respecto a µ.

3. Siguiendo con el caso anterior, obtenga las derivadas de Radon-Nikodym5µ1 7 µ2

5µy5µ1 8 µ2

5µen funcion

de las derivadas5µ1

5µy5µ2

5µ.

4. Demuestre la cadena de equivalencias:

µ1 ; µ2 4, |µ1| 8 |µ2| = 0 4, |µ1| 7 |µ2| = |µ1| + |µ2|.

Ejercicio 110 Sea µ una medida positiva. Un subconjunto de funciones integrable A % L 1(µ) se dice uniforme-mente integrable cuando para cada % > 0 existe un * > 0 tal que

|"

Ef dµ| < % para cada conjuntoE con µ(E) < * y cada f # A.

1. Probar que cada conjunto finito de funciones integrables es uniformemente integrable.

2. Probar que cada sucesion de funciones integrables que converge en la norma de L 1(µ) es uniformementeintegrable.

3. Suponiendo ademas que µ es finita, probar que si fn es una sucesion de funciones uniformemente integrableque converge en casi todo punto hacia una funci on f entonces fn converge en la norma de L1(µ) hacia f .(Teorema de Vitali)

Ejercicio 111 Sea (!, ", µ) un espacio de medida finito y "0 % " una sub-!-algebra de ". Denotemos por µ0 ala medida µ restringida a "0. Utilizando el teorema de Radon-Nikodym probar que para cada funci on f # L1(µ)existe una unica funcion E(f |"0) # L1(µ0) tal que

"

Afdµ =

"

AE(f |"0)dµ0 para cada A # "0.

A la funcionE(f |"0) se le llama esperanza condicional de f con respecto a la sub-!- algebra"0.¿Que se puede asegurar en el caso de que f sea medible y positiva?

Ejercicio 112 Sean 01 y µ1 dos medidas finitas y positivas, definidas sobre el espacio medible (!1, "1), y 02 y µ2

dos medidas finitas y positivas, definidas sobre (!2, "2). Supongamos que 01 = µ1 y que 02 = µ2 Probar que lamedida producto 01$ 02 es absolutamente continua con respecto a la medida producto µ 1$µ2 y que las derivadasde Radon-Nikodym cumplen:

5(01 $ 02)5(µ1 $ µ2)

=5015µ1

5025µ2

.

Ejercicio 113

1. Sea µn una sucesion de medidas finitas positivas o signadas, o complejas, definidas sobre un espacio medible(!, "). Encontrar una medida finita positiva µ en (!, ") tal que cada µn es absolutamente continua conrespecto a µ.


2. Si (!, ", µ) es un espacio de medida !-finito, encontrar una medida finita y positiva 0 tal que 0 = µ yµ = 0.

3. Probar que dos medidas !-finitas positivas 0 y µ tienen los mismos conjuntos de de medida nula si y s olo siexiste una funcion medible estrictamente positiva f tal que 0(E) =

'E fdµ para cada E # ".

Ejercicio 114 Sea µ una medida finita, positiva y completa definida sobre la !- algebra ", y sean 0n una sucesionde medidas finitas signadas o complejas, tales que 0n = µ para cada n.

Supongamos ademas que para cada A # " existe el l ımite 0(A) = lımn 0n(A). Entonces probar

1. Para cada % > 0 existe un numero * > 0 tal que si µ(A) < * entonces |0n|(A) < % para todo n.

2. La funcion de conjunto dada por el l ımite, 0, es una medida finita absolutamente continua con respecto a µ.

INDICACION: Considerar en " la distancia

d(A, B) = µ(A/B) = 5)A ! )B5

identificando conjuntos A, B con µ(A/ B) = 5)A ! )B5 = 0. Entonces (", d) es un espacio metrico completoy cada 0n es una funcion continua en ". Para cada % > 0 considerar la sucesi on de cerrados Ck = {A # " :|0n(A) ! 0m(A)| & "

3 si n, m ) k}. Utilizando el Teorema de la Categor ıa de Baire deducir la existencia de unCk con interior no vacıo. Con esto ultimo probar el primer apartado. El segundo apartado se obtiene a partir delprimero.NOTA: El ejercicio 113 permite eliminar de la hipotesis la continuidad absoluta con respecto a µ. En general setiene: Si 0n es una sucesion de medidas finitas tal que existe 0(A) = lımn 0n(A) para cada A # ". Entonces 0 esuna medida finita.(Teorema de Vitali–Hahn-Saks).

Ejercicio 115 En cada uno de los casos

(a) 0(E) ='

E1|x| dx y µ(E) la medida de Lebesgue de E definidas en los conjuntos de Borel de [0, 1].

(b) 0(E) = cardinal(E) y µ(E) =!

n$E

12n

definidas en los subconjuntos de N.

Probar que 0 es absolutamente continua con respecto a µ pero que dado % > 0 no existe * > 0 tal que µ(E) < *implica 0(E) < %.

Observar que en los dos casos anteriores se cumple el teorema de Radon-Nikodym, es decir, 0 es la integralindefinida de una funcion medible positiva con respecto a µ. Dar un ejemplo de dos medidas 0 y µ tales que 0 esabsolutamente continua con respecto a µ pero 0 no se puede expresar como la integral indefinida de una funci oncon respecto a µ.

7.2. Diferenciacion de medidasEn la seccion 3.7, con el Teorema de Diferenciacion de Lebesgue, analizamos la derivada de las medidas signadas

o complejas, µ, definidas como integrales indefinidas en el sentido de estudiar la existencia de los lımites de la forma

lımQ/x

µ(Q)&(Q)

. (7.1)

En este apartado vamos a abordar la existencia de estos lımites para cualquier medida signada o compleja, µ,definida sobre los conjuntos de Borel de Rn que es finita sobre los conjuntos acotados.

El Teorema de descomposicion de Lebesgue (Teorema 113) y el Teorema de Radon-Nikodym nos dicen queestas medidas se pueden expresar como suma de una integral indefinida asociada a una funcion f y de una medidaµs mutuamente singular con respecto a la medida de Lebesgue (µ s ; &):

µ(A) ="

Af d&+ µs(A) para todo A # B(Rn).

Como el Teorema de Diferenciacion de Lebesgue nos dice lo que ocurre con la parte absolutamente continua,para calcular el lımite de la ecuacion (7.1) bastara con calcularlo en el caso de medidas µs singulares con respecto ala medida de Lebesgue. El hecho de que estas medidas estan soportadas en conjuntos de medida de Lebesgue ceronos puede hacer intuir que ese lımite va a ser cero. En efecto:


Teorema 116 Sea µs una medida definida en los conjuntos de Borel deRn que es singular con respecto a la medidade Lebesgue de Rn y es finita sobre los conjuntos acotados. Entonces (&)-para casi todo punto x # R n se cumple

lımQ/x

|µs|(Q)&(Q)

= 0.

Demostracion. Describiremos el conjunto de puntos donde el lımite no es cero como la union numerable de losconjuntos de Borel

Fk = {x : +t > 0 (Qx centrado en x con diam(Qx) < t y |µs|(Qx) >1k&(Qx)}.

Para probar el teorema bastara con probar que cada uno de estos conjuntos tiene medida de Lebesgue nula.Sea Rn = N

*M conN

.M = ., &(M) = 0 y |µs|(N) = 0.

Dado % > 0, por la regularidad de |µs| existe un abierto A" 3 N , con |µs|(A") < %. Sea K % Fk.

N , unsubconjunto compacto. Para cada x # K existe un cubo Qx centrado en x, Qx % A", tal que |µs|(Qx) > 1

k&(Qx).Pasando a un recubrimiento finito y utilizando el Lema de cubrimiento 3.7.2 se encuentran x1, . . . , xp en K deforma que los cubosQxj son disjuntos dos a dos, y

&(K) & 3np!

j=1

&(Qxj ) & 3nkp!

j=1

|µs|(Qxj)

= 3nk|µs|(p+

j=1

Qxj) & 3nk|µs|(A")

< 3nk%.

Haciendo ahora % " 0 se tiene que &(K) = 0 y por la regularidad de la medida de Lebesgue, que &(F k) =&(Fk

.N) = 0, por la regularidad de la medida de Lebesgue.

Teorema 117 Si µ es una medida signada o compleja definida sobre la !- algebra de Borel deRn que es finita sobrelos conjuntos acotados, entonces (&) para casi todo punto x # R n y para cada familia S que se contrae bien a xexiste el lımite

f(x) = lımS/x

µ(S)&(S)

.

Ademas la funcion f definida por este l ımite coincide con la derivada de Radon-Nikodym de la parte absolutamentecontinua de µ con respecto a la medida de Lebesgue &, e.d.

dµ = f d&+ dµs,

donde µs es una medida mutuamente singular con respecto a &.

7.2.1. Funciones de variacion acotada. Diferenciacion de funciones monotonas.En la seccion 2.4 pusimos en biyeccion el conjunto de las medidas de Borel positivas, finitas sobre intervalos

acotados con las funciones monotonas crecientes continuas por la derecha que se anulan en 0 (para medidas positivasacotadas, se podıan considerar funciones crecientes continuas por la derecha con lımite 0 en!*). Esta biyeccion seestablecıa asociando a cada funcionF la medida de Lebesgue-StieltjesµF correspondiente, definida por la condicion

µF ((a, b]) = F (b)! F (a).

Aplicando los teoremas de la seccion anterior a estas medidas de Lebesgue-Stieltjes se obtiene el siguienteTeorema de Diferenciacion de Lebesgue para funciones monotonas. Este teorema es uno de los resultados que seencuentra en el origen de la Teorıa de la Medida. Se pueden encontrar otras pruebas que no pasan por esa biyeccionentre funciones y medidas. De entre estas, recomendamos la lectura de la que se realiza con un lema de cubrimientodel mismo tipo que el lema 3.7.2 que puede verse en el libro de Wheeden-Zygmund, y la mas clasica que usa ellema del Sol poniente que puede encontrarse en el libro de VanRooij-Schikhof entre otros muchos.

En toda esta seccion “en casi todo punto” se referira siempre a la medida de Lebesgue de R.

Teorema 118 Sea F : R " R una funcion monotona creciente y sea G(x) = F (x+) = lımt'x+

F (x). Entonces


1. G es monotona creciente, continua por la derecha y coincide con F en todos los puntos de continuidad deesta ultima (todos los puntos de la recta excepto a lo mas los de un subconjunto numerable).

2. F y G son derivables en casi todo punto y F " = G".

3. F " es integrable y se cumple" b

aG"(x) dx =

"

(a,b)G"(x) dx & µG((a, b)) = G(b!)!G(a) = F (b!)! F (a+).

El teorema de descomposicion de Hahn establecıa que el espacio vectorial de las medidas de variacion acotadaes el espacio vectorial generado por las medidas positivas. Pensando en terminos de las funciones de distribucion¿Cual es el espacio vectorial generado por las funciones monotonas crecientes?

Definicion 38Sea F : [a, b] " C una funcion definida en el intervalo compacto [a, b], se define la variaci on total de F en

[a, b] como

V ar(F, [a, b]) = sup{n!

i=1

|F (ti)! F (ti!1)| : a = t0 < t1 < · · · < tn = b}.

Cuando V ar(F, [a, b]) < +* se dice que F es de variacion acotada en [a, b].Si F : R " C, se dice que F es de variacion acotada cuando F es de variacion acotada en todo intervalo

compacto y

V ar(F ) : = sup{V ar(F, [a, b]) : !* < a < b < +*}

= sup{n!

i=1

|F (ti)! F (ti!1)| : !* < t0 < t1 < · · · < tn < +*} < +*.

OBSERVACIONES Y PROPIEDADES:

Si F es una funcion definida en [a, b] y se extiende a toda la recta haciendo F (x) = F (a) si x < a yF (x) = F (b) si x > b, entonces F es de variacion acotada en [a, b] si, y solo si, F es de variacion acotada entoda la recta. Ademas, V ar(F ) = V ar(F, [a, b]).

Si F es una funcion de variacion acotada en R (resp. en [a, b]) entonces F esta acotada en R (resp. en [a, b]).

Las funciones constantes son funciones de variacion acotada con variacion total nula. Las combinacioneslineales de funciones de variacion acotada tambien son funciones de variacion acotada. El producto de dosfunciones de variacion acotada es una funcion de variacion acotada. El cociente F/G de dos funciones de va-riacion acotada es una funcion de variacion acotada supuesto que existe una constante c > 0 tal que |G(x)| > cpara todo x.En resumen, el conjunto BV (R) (resp. BV ([a, b])) de las funciones de variacion acotada en R (resp. en[a, b]) tiene estructura de algebra, e.d. es un espacio vectorial en el que hay definido un producto que tiene lapropiedad distributiva con respecto a la suma.

Sea a < c < b, F es una funcion de variacion acotada en [a, b] si, y solo si, F es de variacion acotada en [a, c]y en [c, b]. Ademas

V ar(F, [a, b]) = V ar(F, [a, c]) + V ar(F, [c, b]).

Si F es una funcion con valores en C, entonces F es de variacion acotada si, y solo si, las funciones rea-les Real(F ) e Im(F ) son de variacion acotada. En consecuencia para estudiar este tipo de funciones nospodemos limitar al estudio de funciones reales.

Una funcion real F definida en [a, b] es de variacion acotada en [a, b] si, y solo si, su grafica {(x, F (x)) : x #[a, b]} tiene longitud finita.

Si F es una funcion monotona creciente, entonces V ar(F, [a, b]) = F (b) ! F (a). Si ademas F esta de-finida en todo R y esta acotada, entonces F es de variacion acotada y V ar(F ) = F (+*) ! F (!*) =lımx'+# F (x)! lımy'!# F (y).


Si F es una funcion derivable con derivada acotada entoncesF es de variacion acotada en cada intervalo [a, b].En particular si F es de clase C1 entonces

V ar(F, [a, b]) =" b

a|F "(x)| dx.

La funcion F (x) = sen x es una funcion de clase C 1 que no es de variacion acotada en R. La funcionG(x) = x sen( 1

x) (G(0) = 0) es una funcion continua que no tiene variacion acotada en ningun intervalo[a, b] que contenga al 0.

Sea F una funcion real de variacion acotada en R (resp. en [a, b]). Definimos

VF (x) : = sup{V ar(F, [a, x]) : !* < a < x}

= sup{n!

i=1

|F (ti)! F (ti!1)| : !* < t0 < t1 < · · · < tn = x}.

( resp. VF (x) := V ar(F, [a, x])).

Si x < y entoncesVF (y) = VF (x) + V ar(F, [x, y]) ) VF (x),

lo que prueba el crecimiento de VF . De la primera identidad de esta ecuacion,como V ar(F, [x, y]) ) F (x)!F (y) y V ar(F, [x, y]) ) F (y)! F (x) tambıen resulta que las funciones VF + F y VF ! F son crecientes.

El espacio de las funciones de variacion acotada contiene a las funciones monotonas acotadas. La ultima propie-dad senalada de estas funciones nos proporciona la descomposicion de cualquier funcion real de variacion acotadacomo diferencia de funciones monotonas crecientes.

Teorema 119 (Teorema de descomposicion de Jordan) Si F es una funcion real entonces F es de variacion aco-tada si, y solo si, F es diferencia de dos funciones monotonas crecientes acotadas. (Si F es de variacion acotadaestas funciones pueden ser 1

2 (VF (x) + F (x)) y 12 (VF (x) ! F (x))).

A la vista de las propiedades de continuidad y derivabilidad de las funciones monotonas, tenemos el siguientecorolario:

Corolario 119.1 Si F es una funcion de variacion acotada, entonces

1. F tiene lımites laterales en todos los puntos y ademas existen

F (+*) = lımx'+#

F (x) y F (!*) = lımx'!#

F (x).

2. F es continua excepto a lo mas en un subconjunto numerable de puntos.

3. Si G(x) = F (x+), F y G son derivables en casi todo punto y F "(x) = G"(x) c.t.p. x.

Si denotamos x+ = max{x, 0} = 12 (|x| + x) y x! = !mın{x, 0} = 1

2 (|x|! x), entonces

P (x) =12(VF (x) + F (x) ! F (!*)) =

= sup{n!

i=1

(F (ti)! F (ti!1))+ : !* < t0 < t1 < · · · < tn = x} ) 0

N(x) =12(VF (x)! F (x) + F (!*)) =

= sup{n!

i=1

(F (ti)! F (ti!1))! : !* < t0 < t1 < · · · < tn = x} ) 0

A estas dos funciones monotonas crecientes y positivas se les llama las variaciones positiva y negativa, respectiva-mente, de F .

Buscando normalizar las funciones de variacion acotada para identificarlas con las medidas de Borel de variacionacotada, veamos el siguiente lema:


Lema 7.2.1 Si F es una funcion de variacion acotada, entonces VF (!*) = 0. Si ademas, F es continua por laderecha, entonces VF , P y N tambien son continuas por la derecha.

Demostracion. Sean !* < a < b < +*, entonces se tiene que

0 & VF (a) = VF (b)! V ar(F, [a, b]).

Haciendo a " !* se tiene que VF (!*) = VF (b) ! VF (b) = 0. Con lo que tenemos probada la primeraafirmacion.

Vamos a ver que si F es continua por la derecha en x, lo mismo sucede con V F . Sea VF (x+) = lımy'x+ VF (y).De la definicion de este lımite lateral y de la continuidad lateral de F dado % > 0 podemos elegir * > 0 tal que parax < t < x + * se cumplen:

|F (t)! F (x)| <%

3y VF (t)! VF (x+) <

%

3.

Sea x < y < x + * y sea x = t0 < · · · < tp = y, entonces

p!

j=1

|F (tj)! F (tj!1)| & |F (t1)! F (t0)| + V ar(F, [t1, y])

= |F (t1)! F (t0)| + (VF (y)! VF (x+)) + (VF (x+)! VF (t1))

<%

3+%

3+%

3= %.

Tomando supremos en las particiones de [x, y] tenemos que

VF (y)! VF (x) = V ar(F, [x, y]) & %.

Haciendo ahora y " x+ y % " 0, se tiene que VF (x+) = VF (x), o lo que es lo mismo, que VF es continua por laderecha en x.

Teorema 120 Si µ es una medida de Borel compleja definida sobre R entonces F (x) = µ((!*, x]) es una funci onde variacion acotada continua por la derecha y que se anula en !*.

Recıprocamente, si F es una funcion de variacion acotada continua por la derecha que se anula en !*,entonces existe una unica medida de Borel compleja µF tal que F (x) = µF ((!*, x]).

A µF se le denomina la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a F y adem as cumple |µF | = µVF

Demostracion. De las propiedades de continuidad de las medidas resulta que F (x) = µ((!*, x]) es continua porla derecha y que F (!*) = 0. La acotacion de la variacion resulta de la siguiente desigualdad:

p!

1

|F (tj)! F (tj!1)| =p!

1

|µ((tj!1, tj ])|

&p!

1

|µ|((tj!1, tj ]) = |µ|((t0, tp])

< |0|(R) < +*

Recıprocamente si F es una funcion real de variacion acotada continua por la derecha con F (!*) = 0, lomismo le sucede las variaciones positiva P y negativa N de F . Asociamos estas funciones crecientes y continuaspor la derecha con las medidas finitas y positivas de Lebesgue-StieltjesµP y µN dadas por µP ((a, b]) = P (b)!P (a)y µN ((a, b]) = N(b) ! N(a). Entonces µF = µP ! 0N es una medida de variacion acotada que cumple F (x) =µF ((!*, x]) para cada x y µF ((a, b]) = F (b) ! F (a) para cada intervalo. La unicidad de µF resulta de quecualquier par de medidas signadas de variacion acotada que coinciden sobre los intervalos semiabiertos tambien lohacen en los abiertos, pues cualquier abierto es union numerable de una sucesion de intervalos disjuntos. Lo mismosucede en cualquier conjunto de Borel porque las medidas finitas son regulares.

Por ultimo, sea G(x) = |µF |((!*, x]) la funcion monotona asociada a la medida positiva |µF |.Para cada intervalo (a, b] se cumple |µF ((a, b])| & G(b)!G(a), de donde resulta facil deducir que

VF (x) & G(x) para cada x.


Por otra parte, tambien es facil deducir que |µF (I)| & µVF (I), para cada intervalo I , de aquı, y por la regularidadde las medidas podemos afirmar |µF (B)| & µVF (B) para cada conjunto de BorelB, de donde resulta la desigualdad

G(x) = |µF |((!*, x]) & µVF ((!*, x]) = VF (x).

De donde resulta la identidad buscada |µF | = µG = µVF .

A la integral asociada a las medida µF se le llama la integral de Lebesgue-Stieltjes asociada a F y se denota'g dF =

'g dµF .

El Teorema de Fubini aplicado al producto µF $µG proporciona la siguiente formula de integracion por partes:

Proposicion 121 (Integracion por partes) Si F y G son dos funciones de variacion acotada continuas por la de-recha que se anulan en !*, y una de las dos funciones es continua, entonces para !* < a < b < +* secumple "

(a,b]F dG +

"

(a,b]GdF = F (b)G(b)! F (a)G(a)

Demostracion. Como F y G son diferencias de funciones crecientes acotadas, es suficiente estudiar el caso enque F y G son monotonas crecientes y una de ellas es continua. Supongamos que G es continua entonces si & ={(x, y) : a < x & y & b} el Teorema de Fubini nos da la identidad:

µF $ µG(&) ="

(a,b]

"

(a,y]dF (x) dG(y) =

="

(a,b](F (y)! F (a)) dG(y)

="

(a,b]F (y) dG(y)! F (a)(G(b)!G(a)) (*)

Como G(x) = G(x!) para cada x tambien se tiene:

µF $ µG(&) ="

(a,b]

"

[x,b]dG(y) dF (x) =

="

(a,b](G(b)!G(x)) dF (x) =

= (F (b)! F (a))G(b)!"

(a,b]G(x) dF (x) (*)

Restando las dos expresiones senaladas con (*), se tiene la formula buscada.

Para finalizar vamos a responder a la cuestion: ¿Cuales son las funciones de variacion acotada cuyas medidasasociadas son absolutamente continuas o mutuamente singulares con respecto a la medida de Lebesgue?

Si F es una funcion de variacion acotada, continua por la derecha, entonces su derivada

F "(x) = lımy'x

F (y)! F (x)y ! x

= lımy'x+

µF ((x, y])&((x, y])

=dµF

d&,

coincide en casi todo punto con la derivada de la medida µF con respecto a la medida de Lebesgue. Por consiguienteF " es una funcion integrable y es la derivada de Radon-Nikodym de la parte absolutamente continua de µ F conrespecto a la medida de Lebesgue.

Ası, decir que µF = & equivale a decir que F (x) ! F (!*) =' x!# F "(t) dt.. Y decir que µF ; & equivale a

decir que F "(x) = 0 en casi todo punto.

La siguiente definicion va ha expresar directamente la condicion µ F = &, en terminos de la funcion F tal ycomo probaremos en la Proposicion 122.


Definicion 39 Se dice que la funcion F : R " C es una funcion absolutamente continua cuando para cualquier% > 0 es posible encontrar un * > 0 tal que para cualquier sucesi on de intervalos dos a dos disjuntos, (an, bn),

+#!

n=1

|F (bn)! F (an)| < % siempre que+#!

n=1

(bn ! an) < *.

En general, si F esta definida en [a, b] se dice que F es absolutamente continua en [a, b] si en la definici on seconsideran las intersecciones de los intervalos (an, bn) con [a, b].

Resulta evidente que toda funcion absolutamente continua es uniformemente continua.Cualquier funcion derivable con derivada acotada es absolutamente continua.

Proposicion 122 Si F es una funcion de variacion acotada continua por la derecha con F (!*) = 0, entonces Fes absolutamente continua si, y solo si, µF = &.

Demostracion.Si µF = & entonces para cada % > 0 existe un * > 0 tal que si &(A) < * entonces |µF |(A) < %. Para cualquier

sucesion de intervalos dos a dos disjuntos, (an, bn),

+#!

n=1

|F (bn)! F (an)| &!

n = 1+#|µF |((an, bn)) = |µF |(+

n

(an, bn)) < %

siempre que &(*

n(an, bn)) =,+#

n=1(bn ! an) < *. Con lo que tenemos probada la continuidad absoluta de F .Supongamos ahora que F es absolutamente continua y que para cada % > 0 encontramos un * > 0 como en la

definicion. Si I = [$,,] es un intervalo con longitud , ! $ < *. Por el Teorema 120 y la definicion de VF se tieneque

|µF |(I) = V ar(F, [$,,]) = sup{!

|F (tj)! F (tj!1)| : $ = t0 < · · · < tn = ,} < %,

ya que para todas las particiones de I se cumple,

(tj ! tj!1) = , ! $ < *.Lo mismo es cierto si I es un intervalo abierto, una union finita de intervalos abiertos dos a dos, disjuntos, o un

abierto arbitrario (una union numerable de intervalos abiertos disjuntos), con medida de Lebesgue menor que *.SeaB un conjunto nulo, &(B) = 0. Para cada * > 0 se puede encontrar un abiertoA tal queB % A y &(A) < *.

Entonces |µF |(B) & |µ|(A) < %. Haciendo %" 0 se concluye que |µF |(B) = 0, con lo que tenemos que µF = &.

Volviendo a los comentarios realizados antes de la definicion 39, estos se pueden reescribir en los terminos delcorolario siguiente:

Corolario 122.1 Si f # L1(R), entonces F (x) =' x!# f(t) dt es una funcion de variacion acotada, absolutamente

continua, y f(x) = F "(x) en casi todo punto. Rec ıprocamente si F es de variacion acotada y absolutamentecontinua entonces F " # L1(R) y F (x) =

' x!# F "(t) dt.

Al trabajar con funciones definidas en intervalos acotados se tiene que la continuidad absoluta implica la acota-cion de la variacion:

Lema 7.2.2 Si F es absolutamente continua en [a, b] entonces F es de variaci on acotada en [a, b]

Demostracion. Supongamos que F es absolutamente continua y que para % = 1 > 0 tenemos elegido * > 0 comoen la definicion 39.

Sea P = {t0 = a < · · · < tn = b} una particion arbitraria de [a, b] y Q = {s0 = a < · · · < sm = b} laparticion que se obtiene al anadir puntos a P de manera que |Q| = max{|s j ! sj!1|} < %

2 . Ahora, se hacen gruposcon los intervalos (sj!1, sj) de forma que la suma de las longitudes de los intervalos de cada grupo sea menorque * y mayor que %

2 . Ası se pueden obtener N grupos disjuntos, quedando a lo mas un grupo de intervalos cuyaslongitudes suman menos que %

2 . Entonces se cumple que

N*

2&

m!

j=1

(sj ! sj!1) = b! a,


y por lo tantoN & 2(b!a)% . De la continuidad absoluta deF se sigue que la suma de las diferencias |F (s j)!F (sj!1)|

correspondientes a los extremos de los intervalos de cada uno de estos grupos es menor que % = 1.Ahora, sumando y restando el valor de F en los puntos de Q comprendidos entre los de la particion P se tiene

quen!

i=1

|F (ti)! F (ti!1)| &m!

j=1

|F (sj)! F (sj!1)| & (N + 1).% & 2(b! a)*

+ 1.

Al tomar supremos se tiene que V ar(F, [a, b]) < 2(b!a)% + 1 < +*.

Reescribiendo la proposicion y el corolario anterior se tiene

Teorema 123 (Teorema Fundamental del Calculo)Sea F : [a, b] " C. Son equivalentes:

1. F es absolutamente continua en [a, b].

2. F (x) ! F (a) =' x

a f(t) dt para alguna funcion f # L1([a, b]).

3. F es derivable en casi todo punto de [a, b], F " # L1([a, b]) y F (x) ! F (a) =' x

a F "(t) dt

Para terminar un breve comentario sobre descomposiciones de medidas y funciones de variacion acotada:Una medida compleja µ definida en la !-algebra de Borel se dice que es una medida singular si µ ; &. De entre

estas medidas podemos destacar a las “medidas discretas” que son las medidas generadas por las delta de Dirac*x(A) = )A(x), e. d. son las medidas µ =

,n cn*xn donde

,n |cn| < +*. En contraposicion, se dice que µ es

una medida continua cuando µ({x}) = 0 para cada x # R.Cualquier medida µ se puede descomponer en la forma µ = µ d + µc donde µd es discreta y µc es continua.

Basta considerar E = {x : µ({x}) '= 0} y µd(A) = µ(A.

E), µc(A) = µ(A \ E). Ademas esta descomposiciones unica.

Pensando ahora en funciones de variacion acotada, cualquier funcion F de variacion acotada, continua por laderecha y nula en !* se puede descomponer de forma unica como

F = Fa + Fs + Fd,

donde Fa, Fs y Fd son funciones de variacion acotada nulas en !*, Fa es absolutamente continua, Fs es unafuncion continua y singular (e.d. con F "(x) = 0 para casi todo punto), y Fd es una “funcion de salto”, e.d. existeunas sucesiones xn # R y cn # C tales que

,n |cn| < +* y Fd(x) =

,xn0x cn.

Recordar que en el ejemplo 4 construimos la funcion singular de Cantor como ejemplo de una funcion monotonacreciente y continua con derivada nula en casi todo punto. En la relacion de ejercicios que sigue se propone laconstruccion de una funcion singular, continua y estrictamente creciente.

EjerciciosEjercicio 116

1. Probar que si F es una funcion Lipschitziana en [a, b] entonces F es absolutamente continua, y en conse-cuencia, es derivable en casi todo punto de [a, b].

2. Probar que el producto de dos funciones F, G absolutamente continuas es una funci on absolutamente conti-nua y " b

a(FG" + F "G)(x) dx = F (b)G(b)! F (a)G(a).

Ejercicio 117 (Un teorema de Fubini)Sea fn una sucesion de funciones crecientes definidas en el intervalo [a, b], tales que la serie s(x) =

,n fn(x)

converge en casi todo punto. Probar las siguientes afirmaciones:

1. la serie s(x) =,

n fn(x) converge uniformemente en [a, b].

2. s"(x) =,

n f "n(x) en casi todo punto x # [a, b]. En particular lımn f "

n(x) = 0 en casi todo punto.


3. aunque s(x) y todas las funciones fn fuesen derivables en todo punto, no se puede afirmar que s "(x) =,n f "

n(x) en todo punto. (Poe ejemplo, fn(x) = 1n arctannx! 1

n+1 arctan(n + 1)x con x # [!1, +1].

Ejercicio 118 Utilizando el ejercicio anterior construir una funci on f : [a, b] " R estrictamente creciente conf "(x) = 0 en casi todo punto.

Ejercicio 119 Probar que si F es una funcion absolutamente continua en [a, b] entonces

V ar(F, [a, b]) =" b

a|F "(t)| dt.

7.3. Mas sobre los duales de los espacios Lp

En la seccion 6.2.2, y para 1 & p < * y 1p + 1

q = 1, identificamos los espacios Lq(µ) como subconjuntos delos espacios duales Lp(µ)& de Lp(µ) de los funcionales lineales

T : Lp " C,

con la norma 5T 5 = sup{|T (f)| : 5f5p & 1}. Allı, dejamos pendiente el establecer la igualdad Lp(µ)& = Lq(µ)utilizando el Teorema de Radon-Nikodym.

Teorema 124 Sea 1 & p < +* y q su conjugado ( 1p + 1

q = 1). Si 1 < p < +* entonces la inyeccion $(g) = Tg

define un isomorfismo isometrico entre Lq(µ) y el espacio dual Lp(µ)&. Si ademas suponemos que µ es !-finitatambien se tiene el mismo resultado para p = 1.

Demostracion. En el caso µ(!) < +*, si T : Lp " C, un funcional lineal acotado con la norma 5T 5 =sup{|T (f)| : 5f5p & 1}.

T define una medida compleja haciendom(A) = T ()A) que es absolutamente continua con respecto a µ. Suderivada de Radon-Nikodym g, cumple que T (f) =

'f(x)g(x)dµ(x) para cada funcion simple f . Ademas el

supremosup{"

f(x)g(x)dµ(x) : f es simple , 5f5p & 1} & 5T 5 < +*.

Aproximando g por funciones simples, y razonando como en el final de la prueba de la proposicion 98 se sigue queg # Lq.Las prueba completa puede encontrarse en el libro de Rudin 6.15-6.16; en el de Cohn 4.5; o en el de Folland sec.6.2

Cualquier espacio de Banach X se puede identificar con un subespacio cerrado de su bidual X && := (X&)&haciendo corresponder a cada elemento x # X el funcional lineal i(x) : X & " C definido por i(x)(T ) := T (x).Un espacio de BanachX se dice que es un espacio reflexivo cuando i(X) = X &&.

Corolario 124.1 Los espacios Lp con 1 < p < *, son espacios reflexivos.

Por contra, el espacio L1(µ) no es casi nunca reflexivo.

Capıtulo 8

Espacios de funciones continuas. Teoremade Riesz

En este tema denotaremos porX a un espacio topologico localmente compactoHausdorff, y porK(X) al espaciode las funciones reales continuas f : X " R con soporte sop{f} = {x : f(x) '= 0} compacto.

Un funcional lineal T : K(X) " R se dice que es un funcional positivo cuando T (f) ) 0 para cada funcionf ) 0, f # K(X).

Como cada funcion continua es medible con respecto a la !-algebra de Borel B(X), las funciones f # K(X)son integrables con respecto a cualquier medida de Borel positiva µ que sea finita sobre los conjuntos compactos deX , ademas el operador integral

T (f) ="

Xf dµ

es un funcional lineal positivo.El objetivo de este tema es, en primer lugar, representar los funcionales lineales positivos definidos en K(X)

como operadores integrales (Teorema de Representacion de Riesz) asociados a medidas positivas. Despues si en esteespacio de funciones se considera la norma del supremo representaremos los funcionales lineales reales o complejoscontinuos como operadores lineales asociados a medidas signadas o complejas.

Comenzaremos recordando algunos resultados de separacion en espacios localmente compactos. En el capıtulo3 ya los usabamos para aproximar funciones medibles por funciones continuas.

Separacion de conjuntos y Particiones de la Unidad.

Recordemos que un espacio localmente compacto X es un espacio topologico en el que cada punto posee unentorno compacto. Como ejemplos podemos considerar a los espacios compactos, o al espacio R n con la topologıaasociada a cualquier norma (todas son equivalentes), o cualquier conjunto con la topologıa discreta.

Lema 8.0.1 (Separacion por abiertos) Sean X un espacio localmente compacto Hausdorff, V % X un subcon-junto abierto y K % V un subconjunto compacto. Entonces, existe un subconjunto abierto W con clausura Wcompacta tal que

K % W % W % V.

Lema 8.0.2 (tipo Urysohn) Sea X un espacio localmente compacto Hausdorff, V % X un subconjunto abierto yK % V un subconjunto compacto. Entonces, existe una funci on f # K(X) tal que f(X) % [0, 1], f(x) = 1 paracada x # K y sop{f} % V .

Si f es una funcion en las condiciones del lema anterior denotaremos

K > f > V.

Lema 8.0.3 (Particiones de la unidad) Sean X un espacio localmente compacto Hausdorff, K % X un subcon-junto compacto y V1, . . . , Vn una familia finita de abiertos que recubre a K , K %

*ni=1 Vi. Entonces, existen

funciones continuas con soporte compacto f i # K(X) tales que:

1. 0 & fi(x) & 1 para todo x # X y todo 1 & i & n.

123

CAPITULO 8. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS 124

2. sop{fi} = {x : fi(x) '= 0} % Vi para todo 1 & i & n.

3.,n

i=1 fi(x) = 1 para todo x # K

El tıtulo de particiones de la unidad dado a este lema se refiere a la particion de la funcion constante e iguala 1(funcion unidad) definida en cualquier compacto, como suma de funciones continuas positivas con soportes encada uno de los abiertos que forman un recubrimiento finito deK .Las pruebas las podeis encontrar indistintamente en los libros: Cohn (Measure Theory) secci on 7.1; Rudin (AnalisisReal y Complejo) seccion 2.12; Folland (Real Analysis) secciones 4.2 y4.5.

8.1. Representacion de RieszEn la definicion 18 llamabamos medida de Borel regular a cualquier medida µ definida en la !-algebra de Borel

B(X) tal que

µ(K) < +* para cada compactoK % X .

µ(E) = inf{µ(G) : E % G, G abierto } para cada E # B(X).

µ(G) = sup{µ(K) : K % G, K compacto } para cada abierto G % X .

Tambien se dice que µ es una medida de Radon enX .

Los lemas de la seccion anterior nos van a proporcionar el camino a seguir para obtener la medida representantede un funcional lineal positivo T , es decir, la medida µ tal que T es el operador integral asociado a µ: T (f) =

'f dµ

para cada f # K(X).Supongamos que µ es una medida de Borel regular representante del funcional positivo T . Para cada compacto

K % X y cada abierto V % X tal queK % X , si f # K(X) cumple

K > f > V

debe de cumplirse queµ(K) & T (f) & µ(V ).

Ahora, por la regularidad de µ debe de ocurrir que para cada compactoK y cada abierto V

µ(K) = inf{T (f) : K > f} (8.1)µ(V ) = sup{T (f) : f > V }. (8.2)

Utilizaremos estas dos expresiones para definir la medida representante de un operador.

Teorema 125 Si T : K(X) " R es un funcional lineal positivo, entonces existe una unica medida de Borel regularµ en X que representa a T ,

T (f) ="

f dµ para toda f # K(X).

Ademas, µ esta caracterizada por las ecuaciones (8.1) y (8.2) anteriores.

A continuacion senalaremos distintas etapas a cubrir para llegar a la prueba

unicidad La unicidad de la medida representante se sigue de las ecuaciones ( 8.1) y (8.2) y de la regularidad de lasmedidas.

1a etapa Sean µ(V ) = sup{T (f) : f > V } y µ&(B) = inf{µ(V ) : B % V }. Entonces µ& es una medida exterior enX .

2a etapa Para cada compactoK µ&(K) < +*. SiK1 yK2 son dos compactos disjuntos, µ&(K1*

K2) = µ&(K1) +µ&(K2).

3a etapa Cada abierto V es µ&-medible y, en consecuencia, todos los subconjuntos de Borel de X son medibles. Lamedida µ definida al restringir µ& a los borelianos es una medida regular.

4a etapa µ es la medida de Borel regular que representa a T .


La prueba completa la podeis encontrar indistintamente en: Cohn (Measure Theory) seccion 7.2; Rudin (AnalisisReal y Complejo) seccion 2.14; Folland (Real Analysis) seccion 7.1.

En el teorema 26 veıamos como en espacios localmente compactos con abiertos !-compactos todas las medidasde Borel finitas sobre compactos son regulares por lo que en estos casos la unicidad de la representacion de Riesz seda entre todas las medidas de Borel.

8.2. Representacion de Funcionales continuos. El Dual de CO(X)

Para espacios localmente compactos no compactos el espacio K(X) con la norma del supremo

5f5# = sup{|f(x)| : x # X},

es un espacio normado que no es completo. Su compleccion es el espacio de Banach C 0(X) formado por las funcio-nes continuas acotadas f : X " R o C que se anulan en el infinito, es decir :“ para cualquier % > 0 el conjuntoK" = {x : |f(x)| ) %} es compacto”,dotado de la norma del supremo.

Por ejemplo si consideramosX = N con la topologıa discreta,K(N) son las sucesiones an tales que el conjunto{n : an '= 0} es finito, y C0(N) = c0(N) son las sucesiones que convergen a cero.

Un funcional lineal T : K(X) " R o C es continuo si, y solo si, esta acotado, es decir: existe una constanteMtal que

|T (f)| & M5f5# para cada f # K(X).

Cualquier funcional lineal continuo T : K(X) " R o C se extiende de forma unica a un funcional lineal continuoT : C0(X) " R o C y se cumple

5T 5 : = sup{|T (f)| : 5f5# & 1, f # K(X)}= sup{|T (f)| : 5f5# < 1, f # K(X)}= sup{|T (f)| : 5f5# < 1, f # C0(X)}= sup{|T (f)| : 5f5# & 1, f # C0(X)}

Al espacio vectorial de los funcionales lineales acotados sobre C0(X) se le denota por C0(X)&. Se le denominael espacio dual de C0(X) y con la norma de operadores 5T 5 definida anteriormente tiene estructura de espacio deBanach (espacio normado y completo). La prueba de esto ultimo se deja como ejercicio (podeis leer Cohn (MeasureTheory) 3.5.1; Rudin (Analisis Real y Complejo) ejercicio 5.8.(a); Folland (Real Analysis) seccion 5.1).

En la seccion anterior hemos llegado a identificar los funcionales lineales positivos con los operadores integra-les asociados a las medidas de Borel regulares y positivas. Partiendo de las medidas positivas hemos descrito losespacios de las medidas signadas o complejas de variacion acotada. Ahora vamos a proceder de manera similarpara describir todos los funcionales lineales continuos definidos en C 0(X). La existencia de una descomposicion deJordan para los funcionales lineales es la llave de ese procedimiento.

Lema 8.2.1 (Descomposicion de Jordan) Sea T : C0(X) " R un funcional lineal continuo (acotado), entoncesexisten dos funcionales lineales positivos y continuos (acotados) T + y T!, tales que T = T + ! T!.

Si denotamos por C0(X, C) denotamos al espacio de las funciones continuas definidas enX con valores comple-jos que se anulan en el infinito, C0(X, C) es un espacio vectorial sobre C y con la norma del supremo es un espaciode Banach complejo (5z.f5 = |z|5f5 para cada z # C). Un funcional lineal T : C 0(X, C) es continuo si, y solo sies acotado en el sentido de la definicion anterior y se define la norma de T por

|T (f)| & M5f5# para cada f # C0(X, C).

Se denomina espacio dual al espacio vectorial sobre C y se denota por C 0(XC)&. Este es un espacio de Banachcomplejo con la norma de operadores.

Por otra parte, cada funcional T # C0(XC)& esta unıvocamente determinado por su restriccion al espaciovectorial real C0(X) % C0(X, C) por la descomposicion f = Real(f) + iIm(f) de cada funcion continua. Estasrestricciones se pueden descomponer en la forma T = Real(T )+ iIm(T ) como combinacion lineal de funcionales


lineales reales acotados. El lema anterior aplicado a cada uno de estos dos funcionales lineales reales nos da elcamino a seguir para llegar a representar cualquier funcional lineal continuo sobre C 0(X) (resp. C0(X, C)) como unoperador integral asociado a una combinacion de medidas de Borel regulares y positivas.

Se dice que una medida signada 0 definida en los subconjuntos de Borel B(X) es una medida de Borel regular(o de Radon), cuando sus partes positiva y negativa 0+ y 0! son medidas de Borel regulares. Y se dice que unamedida compleja definida sobre los subconjuntos de Borel de X es una medida regular (o de Radon) cuando suspartes real e imaginaria son regulares.

Ejercicio 120 Probar que si 0 : B(X) " C es una medida signada compleja, entonces 0 es una medida de Borelregular si, y solo si, su variacion |0| es una medida de Borel regular.

Denotaremos porM(X) (resp.M(X, C)) a los espacios de las medidas de Borel regulares que son signadasy de variacion acotada (resp. medidas de Borel regulares complejas). Estos espacios con la norma de la variacion505 = |0|(X) son espacios de Banach (la prueba de esto ultimo se deja como ejercicio complementario al Ejercicio120.

Teorema 126 (Representacion de Riesz) SeaX un espacio topologico localmente compacto Hausdorff. Entoncesla aplicacion

M(X) " C0(X)&

0 " I0

6resp.

M(X, C) " C0(X, C)&

0 " I0

7

definida por I0(f) ='

f d0, es un isomorfismo isometrico entreM(X) (resp.M(X, C)) y C0(X)& (resp. C0(X, C)&),e.d. 505 = 5T05 para cada medida de Borel regular 0.

Para probar la biyeccion se usa la descomposicion de los funcionales lineales como combinacion lineal defuncionales lineales positivos, y el teorema de Riesz de representacion de funcionales lineales positivos. Para laisometrıa se utiliza el teorema de Radon-Nikodym para expresar 505 como la integral de una funcion acotada conrespecto a 0 y el teorema de Lusin (ver Teorema ??) para aproximar esa integral por la integral de una funcioncontinua con soporte compacto.

La prueba la podeis encontrar en Cohn (Measure Theory) 7.3.5; Rudin (An alisis Real y Complejo) 6.19; Folland(Real Analysis) seccion 7.3.

La topologıa debil& enM(X) = C0(X)& se define como la topologıa de la convergencia puntual (0n convergea 0 en la topologıa debil& si

'f d0n "

'f d0 para cada f # C0(X)). En probabilidad se le llama topologıa vaga y

algunos llegan a llamarla topologıa debil, aunque esta terminologıa puede entrar en conflicto con la empleada en elcontexto de los espacios de Banach. Para medidas de Borel en R se tiene el siguiente criterio de convergencia vaga:

Ejercicio 121 Probar la siguiente afirmacion:

Proposicion 127 Seanµn y µ #M(R)medidas de Borel regulares, yFn(x) = µn((!*, x]) yF (x) = µ((!*, x])sus funciones de distribucion.

Si sup 50n5 < +* y Fn(x) " F (x) en cada punto x en el que F es continua, entonces 0n converge hacia 0en la topologıa vaga.

Si 0n son medidas positivas el recıproco tambien es cierto.

EjerciciosEjercicio 122 Determina la medida de Borel regular sobre el intervalo [!1, 1] correspondiente a cada uno de losfuncionales lineales acotados definidos en C([!1, 1]) por las expresiones siguientes, calculando sus normas:

1. T (f) = f(0),

2. T (f) =' 1!1 f(x) dx ! 2f(0),

3. T (f) =' 10 xf(x) dx,

4. T (f) =' 0!1 f(x) dx ! 2

' 10 f(x) dx,


5. T (f) =,+#

n=1(!1)n

2n f( 1n ).

Ejercicio 123 Sea X un espacio compacto y µ una medida de probabilidad de Borel definida en B(X). Sea {x n}una sucesion de puntos de K que tiene la propiedad siguiente:

lımn'+#

1n

n!

i=1

f(xi) ="

f dµ (H)

para cada funcion continua f # C(X).Sea A # B(X) un conjunto medible con frontera 5(A) = A\

o

A µ-nula y N(A, n) el numero de ındices k & ntales que xk # A. Probar que

lımn'+#

N(A, n)n

= µ(A). (T)

NOTA: Las sucesiones {xn} que cumplen la condicion (T) para cada conjunto con frontera µ-nula se llaman suce-siones equidistribuidas (µ).

El resultado del ejercicio sigue siendo cierto si se pide la hipotesis (H) solo para las funciones de un subespaciodenso de (C(K), 5 5+#).

Ejercicio 124 Un espacio de Banach B se dice reflexivo cuando para cada funcional lineal acotado $ : B & " Rexiste un elemento x # B tal que $(T ) = T (x) para cada funcional lineal acotado T # B & definido sobre B.Por ejemplo los espacios de Banach de dimension finita son reflexivos. Para los espacios de funciones continuasesta propiedad raramente se cumple:

1. Sea X un espacio localmente compacto Hausdorff tal que existe una medida de Borel regular 0 no nulay continua, e.d. tal que 0({x}) = 0 para cada x # X . Y sea $ el funcional definido en M(X) como$(µ) =

,x$X

µ({x}).

a) Prueba que $ esta bien definido y es un funcional lineal acotado sobreM(X) = C 0(X)&.b) Prueba que no existe ninguna funci on continua f # C0(X) tal que $(µ) =

'f dµ para cada µ #

M(X). En particular se tendra que C0(X) no es reflexivo.

2. En el otro extremo, supongamos queX = N con la topolog ıa discreta, entonces las medidasM(N) se puedenidentificar con las sucesiones (an) tales que

,|an| < +* haciendo an = µ({n}),M(N) = 21(N). Probar

que C0(N) = c0(N) no es reflexivo.

Ejercicio 125 SeaM(Rn) el espacio de las medidas de Borel complejas en Rn. Para cada par de medidas 0 y µ ypara cada funcion f # C0(Rn) probar que existe la integral

"

Rn

"

Rn

f(x + y) d0(x) dµ(y)

y define un funcional lineal acotado en C0(Rn). A la medida asociada a este funcional se le llama producto deconvolucion de 0 por µ y se le denota por 0 ? µ. Probar tambien que la convolucion es una operacion conmutativa,asociativa, con elemento unidad, que es distributiva con respecto a la suma y cumple 50 ? µ5 & 5055µ5. (M(R n)con el producto de convolucion es un algebra normada)

Si para cada f # L1(Rn) &f representa a su integral indefinida, probar que para cada 0 # M(R n) existeg # L1(Rn) tal que 0 ? &f = &g . (Las medidas que son absolutamente continuas con respecto a la medida deLebesgue forman un ideal del algebraM(Rn)).

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webs.um.eswebs.um.es/apall/archivos/medida/medida1998-99.pdf · Indice general´ 1. Integral anterior a Lebesgue 3 1.1. La integral de Riemann . . . .