10. előadás

Konvex halmazok

Konvex halmazok

• Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza.

• Állítás: Konvex halmazok metszete konvex.

• Konvex halmazok uniója általában nem konvex.

Konvex halmazok

• Definíció: A H ponthalmaz konvex burka a lehető legszűkebb olyan konvex halmaz, amely tartalmazza H-t.

• Egy ponthalmaz akkor és csak akkor konvex, ha megegyezik a saját konvex burkával.

Konvex halmazok

• Tétel: Minden H ponthalmaznak egyértelműen létezik konvex burka. (Ezt conv(H) jelöli.)

• Bizonyítás: Van H-t tartalmazó konvex halmaz, mert a teljes tér konvex. Megmutatjuk, hogy conv(H) éppen a H-t tartalmazó összes konvex halmaz metszete. Ez a halmaz tartalmazza H-t és konvex is, mert konvexek metszete. A tartalmazásra nézve pedig nyilván a legszűkebb a definíciója miatt.

Konvex halmazok

• Példák konvex burokra: Két pont konvex burka: összekötő szakaszuk. Három nem kollineáris pont konvex burka:

háromszög. Négy nem egysíkú pont konvex burka: tetraéder. Körvonal konvex burka: körlemez. Gömbfelület konvex burka: gömbtest.

Konvex halmazok

• Korábban láttuk, hogy az AB szakasz, az ABC háromszög és az ABCD tetraéder pontjait a csúcspontok nemnegatív súlyokkal ellátott súlypontjaiként tudjuk előállítani.

• Ennek általánosításaát fogjuk megnézni.

Hosszúság

• Tétel: Ha az AB szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok a és b, az AB egyenes egy tetszőleges S pontjának helyvektora pedig s, akkor

s = (SBa + ASb)/AB

A B S

AS

SB

Terület

• Tétel: Ha az ABC háromszög csúcsaiba mutató helyvektorok a,b és c, a háromszög síkjában lévő S pont helyvektora pedig s, akkor

s = (taa + tbb + tcc)/t

Térfogat

• Tétel: Ha az ABCD tetraéder csúcsaiba mutató helyvektorok a,b,c és d, a tér egy tetszőleges S pontjának helyvektora pedig s, akkor

s = (Vaa + Vbb + Vcc + Vdd)/V

Konvex halmazok

• Tétel: Ha K konvex halmaz, az Ai pontok (i=1,2,…,n) K-beliek, a λi nemnegatív számok összege pedig 1, akkor az Ai

pontok λi súlyokkal vett súlypontja is K-beli.

• Bizonyítás: n-szerinti teljes indukció. Ha n=1,2, akkor nyilvánvaló.

Tegyük fel, hogy n=k esetén igaz. Legyen

b = λ1a1 + λ2a2 + …+ λkak + λk+1ak+1

Konvex halmazok

Feltehető, hogy λk+1 ≠ 1. Ekkor bevezetve a λ1 + λ2 + … λk = λ jelölést, kapjuk, hogy:

b = (λ1a1 + λ2a2 + … + λkak) + λk+1ak+1 =

λ(λ1 /λa1 + λ2 /λ a2 + …+ λk /λ ak)+ λk+1ak+1.

Az indukciós feltevés szerint a zárójelben lévő vektor végpontja K-beli, ezért B is K-beli, mert két K-beli pont összekötő szakaszán van.

Konvex halmazok

• A tétel megfordítása is igaz:• Tétel: Ha egy K ponthalmazból bármely

véges sok pontot nemnegatív súlyokkal ellátva a kapott súlyozott pontrendszer súlypontja K-beli, akkor K konvex.

• Bizonyítás: Ha a két pontból álló pontrendszereket nézzük, akkor a feltételből épp a konvexség definícióját kapjuk vissza.

Konvex halmazok

• Tétel: Tetszőleges H halmaz esetén conv(H) éppen a nemnegatív súlyokkal ellátott véges H-beli pontrendszerek súlypontjai által alkotott halmaz.

• Bizonyítás: Legyen S a tételbeli súlypontok halmaza. Meg kell mutatnunk, hogy:

3. S konvex,4. H benne van S-ben,5. Minden H-t tartalmazó konvex halmaz

tartalmazza S-et.

Konvex halmazok

1. Ha s1 = λ1a1 + λ2a2 + … + λkak és

s2 = μ1b1 + μ2b2 + … + μm bm, akkor

αs1 +(1-α)s2 = α(λ1a1 + λ2a2 + … + λkak) +

(1-α)(μ1b1 + μ2b2 + … + μm bm), és

α(λ1+ λ2+ … + λk) +(1-α)(μ1 + μ2+ … + μm)=

α +(1-α) = 1.2. H pontjai éppen az egyelemű halmazok

súlypontjai.

Konvex halmazok

3. Legyen K olyan konvex halmaz, amely tartalmazza H-t. Ekkor S pontjait tekinthetjük K-beli pontrendszerek súlypontjainak is. Ezeket a pontokat viszont K tartalmazza az előző tételünk miatt. Tehát K tartalmazza S-et.

Sokszögek

• Definiálni szeretnénk a sokszöget. Ez nem is olyan egyszerű:

Sokszögek

• Definíciók:

• Töröttvonal: szakaszok egy olyan véges sorozata, melyben minden szakasz végpontja megegyezik a sorozatban utána következő szakasz kezdőpontjával.

Sokszögek

• T = (A1B1, A2B2,…,AnBn) Ai = Bi+1 ha i =1,2,…,n-1.• T zárt, ha A1 = Bn.• T egyszerű, ha a benne szereplő szakaszoknak

az előírt csatlakozási pontokon kívül nincs más közös pontjuk.

• A töröttvonal φi törésszöge az AiBi és Ai+1Bi+1

vektorok szöge.

Sokszögek

• Sokszögvonalnak nevezzük az olyan egyszerű, zárt töröttvonalat, melynek nincs 0º törésszöge.

• A csatlakozási pontok a sokszögvonal csúcsai, a szakaszok a sokszögvonal oldalai. A csúcsok és az oldalak száma megegyezik.

Sokszögek

• Jordan felbontási tétele: Bármely T sokszögvonal a sík T-hez nem tartozó pontjait két osztályba sorolja. Két pont pontosan akkor köthető össze T-től diszjunkt töröttvonallal, ha ugyanabban az osztályban van. Az egyik osztály korlátos, a másik nem.

• A korlátos osztályt T belsejének, a másikat T külsejének nevezzük.

Sokszögek

• A bizonyítás nehéz. Megtalálható pl.:

Strohmajer: A geometria alapjai című jegyzetben.

Sokszögek

• Definíció: Sokszögnek nevezzük az olyan ponthalmazokat a síkon, melyek egy sokszögvonal és annak belseje egyesítéseként állnak elő.

• Az n oldalú sokszöget n-szögnek nevezzük. (A definícióból következik, hogy n ≥ 3.)

Sokszögek

• Definíciók:• A sokszög csúcsai, illetve oldalai a sokszöget

határoló sokszögvonal csúcsai, illetve oldalai.

• A sokszög átlói a csúcsokat összekötő, az oldalaktól különböző szakaszok.

• Oldalegyenesek, illetve átlóegyenesek az oldalakat, illetve átlókat tartalmazó egyenesek. (Különböző oldalakhoz tartozhat ugyanaz az oldalegyenes!)

Sokszögek

• Belső szög: Bármely csúcsnál az ott találkozó két oldal két szögtartományt határoz meg. Ezek közül az egyik nyílik a sokszög belseje felé (azaz tartalmaz pontokat tetszőleges olyan körlapnak a sokszöggel vett metszetéről, melynek középpontja az adott csúcs), a másik pedig nem. Ezt a szöget nevezzük a sokszög adott csúcsnál lévő belső szögének.

SZÜNET

Jövő kedden zh.

16:00-18:00

Bolyai terem

Sokszögek

• Tétel: Bármely n-szög belső szögeinek összege (n-2)·180º.

Sokszögek

• Bizonyítás: Háromszögre már láttuk:

• Konvex n-szög: Egy csúcsból induló átlókkal háromszögekre bontjuk:

Sokszögek

• Konkáv n-szög: a konkáv szögek száma szerinti indukcióval.

• n - 3 = n1 + n2

• Egy új csúcs, összesen +180º szögnövekedés.

Konvex sokszögek

• A sokszögek közt a konvexeket többféleképp jellemezhetjük.

• Tétel: Az S sokszögre vonatkozó következő állítások ekvivalensek:

3. S konvex.4. S bármely oldalegyenese által meghatározott

két félsík közül az egyik tartalmazza S-et. 5. Ha egy egyenes nem oldalegyenese S-nek,

akkor legfeljebb két S-beli pontot tartalmaz.6. S tartalmazza mindegyik átlóját.7. S mindegyik belső szöge kisebb 180º-nál.

Konvex sokszögek

• Tétel: A síkon bármely véges sok, nem kollineáris pont konvex burka olyan konvex sokszög, melynek csúcsai az adott pontok közül kerülnek ki.

• Tétel: Ha egy síkbeli korlátos ponthalmaz előáll véges sok olyan zárt félsík metszeteként, melyeknek van közös belső pontjuk, akkor ez a ponthalmaz konvex sokszög.

Konvex sokszög

• Ezeket a tételeket sem bizonyítjuk.

• Mindkettőt könnyű kimondani három dimenzióban is, így kapjuk a konvex poliédereket.

• A poliéder fogalmát is felépíthetnénk a sokszögéhez hasonlóan, ez azonban jóval bonyolultabb eljárárs lenne.

Poliéderek

Poliéderek

Konvex poliéder

• 1. definíció: Konvex poliédernek nevezzük a térben véges sok, nem egysíkú pont konvex burkát.

• 2. definíció: Konvex poliédernek nevezzük azokat a térbeli korlátos ponthalmazokat, melyek előállnak véges sok olyan zárt féltér metszeteként, melyeknek van közös pontjuk.