Upload
dangthuan
View
233
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
VOLUME OF RESOLUTION
Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah
Matematika Sekolah
Dosen Pembina : Dr. Tatag Y. E. Siswono, M.Pd.
Disusun Oleh :
Erica Dian Pertiwi (147785054)
PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
Volume Benda
Integral merupakan salah satu cara yang diciptakan untuk menentukan suatu luas di
bawah suatu kurva fungsi f ( x ). Tetapi penggunaan integral berlanjut lebih jauh di luar
penerapan untuk menentukan luas itu. Bab ini adalah mengupas tentang penggunaan integrasi
untuk menemukan volume jenis tertentu yaitu volume benda padat, yang disebut solid
revolusi.
Benda Putar
Apabila sebuah daerah rata, yang terletak seluruhnya pada suatu sisi dari sebuah garis
tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk
sebuah benda putar. Garis tetap tersebut dinamakan sumbu benda putar. Sebagai ilustrasi
perhatikan gambar berikut.
Gambar 1
A. Volume (diputar terhadap sumbu-x)
Titik O merupakan pusat suatu garis, dan OA adalah garis yang melewati titik pusat,
seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.
Gambar 2
Perhatikan daerah antara garis OA dan sumbu x, ditunjukkan dengan daerah arsiran.
Jika daerah tersebut diputar melalui sumbu x sebesar 360o, daerah tersebut akan membentuk
seperti kerucut yang padat, ditunjukkan pada gambar 3.
(a) (b)
Gambar 3
Menghitung volume tersebut dapat diselesaikan dengan menghitung luas daerah di bawah
kurva, dan dapat diilustrasikan dengan contoh berikut.
Contoh 1
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh R yang dibatasi oleh kurva y=√x, sumbu
x, dan garis x=4 apabila R diputar mengelilingi sumbu x!
Penyelesaian
Daerah R, dengan suatu irisan tertentu, diperagakan pada gambar 3a. Bila diputar
mengelilingi sumbu x, daerah ini akan membentuk benda putar dan irisan membentuk sebuah
cakram, benda tipis yang berbentuk seperti mata uang.
Misalkan x meningkat dengan δx . Karena y dan V keduanya fungsi dari x, maka
peningkatan yang terkait dalam y dan V dapat ditulis sebagai δy dan δV . Peningkatan δV
ditunjukkan oleh daerah arsiran pada gambar 3b. Amati diagram lebih rinci yang ditunjukkan
pada gambar 4.
1
Gambar 4
Hal ini ditunjukkan secara lebih rinci dalam diagram kiri di gambar 5. Peningkatan δV
dalam volume yaitu antara dua volume yang nampak seperti silinder, masing-masing lebar δx
dan jari-jarinya adalah y dan y + δy .
δV terletak di π y2δx dan π ( y+δy )2 δx, sehingga δVδx terletak antara π y2 dan
π ( y+δy )2. δx mendekati 0. δVδx mendekati turunan
dVdx . Begitu pula, dengan δy mendekati 0,
sehingga y + δy mendekati y. Ini berarti bahwa
dVdx
=π y2
Jadi V adalah fungsi yang derivatif yaitu π y2, dan karena y=√x, dVdx
=πx, oleh karena itu
V=12π x2+k, untuk beberapa k
Karena volume V=0 dengan x=1, maka
V=12π x2+k
0=12π ×12+k, diberikan k=−1
2π .
Sehingga
V=12π x2−1
2π
Untuk menentukan volume dengan nilai x sampai 4, substitusikan x = 4 ke volume V.
Maka volumenya adalah
V=12π x2−1
2π
V=12π 42−1
2π
V=12π (16−1 )
V=152π
Atau dapat pula menggunakan bentuk integral untuk menyelesaikan lebih efisien.
V=∫1
4
π y2dx
V=∫1
4
πx dx
V=[ 12π x2]1
4
V=12π ×16−1
2π ×1
V=152π
Contoh 2
Tentukan volume daerah di bawah grafik y=1+x2 yang terletak antara x=−1 dan x=1
diputar melalui empat sudut siku-siku terhadap sumbu x!
Penyelesaian:
Daerah diputar melalui empat sudut siku-siku yang dimaksudkan adalah daerah tersebut
diputar terhadap sumbu-x sebesar 360o. Maka volumenya adalah
Daerah di bawah grafik/ kurva y = f (x) antara x = a dan x = b (di man a <b) diputar
terhadap sumbu-x, maka volume benda dapat diperoleh dengan
∫a
b
π ( f (x ))2dx
atau
∫a
b
π y2dx
V=∫a
b
π y2dx
V=∫−1
1
π y2dx
V=∫−1
1
π (1+x2 )2dx
V=∫−1
1
π (1+2 x2+x 4 )dx
V=[π (x+ 23x3+ 1
5x5) ]−1
1
V={(x+ 23+ 1
5 )−((−1 )+ 23
(−1 )3+ 15
(−1 )5)}=5615π
Jadi volumenya adalah 5615π
contoh 3
Buktikan bahwa volume V dari kerucut dengan jari-jari alasnya r dan tinggi h adalah
V=13π r2h.
Gambar 5
Penyelesaian:
Bangun segitiga yang diputar terhadap sumbu-x akan membentuk sebuah kerucut ditunjukkan
pada gambar. Gradien dari OA adalah rh , jadi persamaan adalahy=
rhx.
Oleh karena itu, mengingat bahwa π, r, dan h adalah konstanta dan tidak tergantung pada x,
maka volume kerucut adalah
V=∫a
b
π y2dx
V=∫0
h
π y2dx
V=∫0
h
π ( rh x)2
dx
V=∫0
h
π r2
h2 x2dx
V=π r2
h2∫0
h
x2dx=π r2
h2 [13x3]
0
h
V=π r2
h2×13h3=1
3π r2h
Volume (diputar terhadap sumbu-y)
Pada gambar 6a, daerah antara grafik y=f ( x ) antara y=c dan y=d diputar 360o
terhadap sumbu-y menunjukkan volume benda padat dapat dilihat pada Gambar 6b.
(a) (b)
Gambar 6
Menghitung volume tersebut dapat diselesaikan dengan menghitung luas daerah di bawah
kurva, dan dapat diilustrasikan dengan contoh, sepertinya halnya terhadap sumbu-x
Contoh 4
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh R yang dibatasi oleh kurva x¿√ y, sumbu y
, dan garis y¿d apabila R diputar mengelilingi sumbu y!
Penyelesaian
Daerah R, dengan suatu irisan tertentu, diputar mengelilingi sumbu y, daerah ini akan
membentuk benda putar dan irisan membentuk sebuah cakram.
Misalkan y meningkat dengan δy . Karena x dan V keduanya fungsi dari y, maka
peningkatan yang terkait dalam x dan V dapat ditulis sebagai δx dan δV . Peningkatan δV
dalam volume yaitu antara dua volume yang nampak seperti silinder, masing-masing lebar δy
dan jari-jarinya adalah x dan x + δx.
δV terletak di π x2δy dan π (x+δx )2 δy, sehingga δVδy terletak antara π x2 dan π (x+δx )2
. δy mendekati 0. Sehingga, δVδy mendekati turunan
dVdy . Begitu pula, dengan δx mendekati 0,
sehingga x + δx mendekati x. Ini berarti bahwa
dVdy
=π x2
Jadi V adalah fungsi yang derivatif yaitu π x2, dan karena x=√ y, dVdy
=πy, oleh karena itu
V=12π y2+k , untuk beberapa k
Karena volume V=0 dengan y=c, maka
V=12π y2+k
0=12π ×c2+k, diberikan k=−1
2π c2.
Sehingga
V=12π y2−1
2π c2
Untuk menentukan volume dengan nilai y sampai d, substitusikan y = d ke volume V.
Maka volumenya adalah
V=12π y2−1
2π c2
V=12π d2−1
2π c2
V=12π (d2−c2 )
Atau dapat pula menggunakan bentuk integral untuk menyelesaikan lebih efisien.
V=∫c
d
π x2dy
Contoh 5
Tentukan volume benda yang terbentuk dari pemutaran daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3
, sumbu y, dan garis y = 3 mengelilingi sumbu y!
Gambar 7
Penyelesaian
Disini kita mengiris secara mendatar, yang membuat y pilihan yang cocok sebagai peubah
integrasi. Perhatikan bahwa y=x3 serta x=3√ y dan ∆V=π ( 3√ y )2∆ y .
V=π∫0
3
y23 dy
V=π [35y
53 ]
0
3
V=π 9.913
5 =11,76
Latihan Soal
1. Tentukan volume daerah di bawah kurva y= f ( x ) dan dibatasi x=a dan x=b diputar 360o
terhadap sumbu x!
a) f ( x )=x , a=3 , b=5
Penyelesaian:
V=∫a
b
π y2dx
V=∫3
5
π x2dx
V=π [ 13x3]3
5
=983π
b) f ( x )=x2, a=2 , b=5
Penyelesaian:
V=∫a
b
π y2dx
V=∫2
5
π x4dx
V=π [ 15x5]2
5
=30935π
c) f ( x )= 1x , a=1 , b=4
Penyelesaian:
V=∫a
b
π y2dx
V=∫1
4
π ( 1x )
2
dx
V=π [−1x ]1
4
= 34π
2. Tentukan volume daerah di bawah kurva y= f ( x ) dan dibatasi x=a dan x=b diputar 360o
terhadap sumbu x!
a) f ( x )=x+3, a=3 , b=9
Penyelesaian:
V=∫3
9
π ( x+3 )2dx
V=π∫3
9
x2+6x+9 dx
V=π [ 13x3+3 x2+9x ]3
9
V=126 π
b) f ( x )=√x+1, a=0 , b=3
Penyelesaian:
V=∫0
3
π (√ x+1 )2dx
V=π∫0
3
x+1dx
V=π [ 12x2+ x]0
3
V=152π
3. Tentukan volume daerah di atas kurva y=f ( x ) dan dibatasi y=c dan y=d diputar 360o
terhadap sumbu y!
a) f ( x )=x2, c=1 , d=3
Penyelesaian:
V=∫c
d
π x2dy
V=∫1
3
π (√ y )2dy
V=π∫1
3
y dy
V=π [12y2]1
3
V=72π
b) f ( x )=x+1, c=1 , d=4
Penyelesaian:
V=∫c
d
π x2dy
V=∫1
4
π ( y−1 )2dy
V=π∫1
4
( y¿¿2¿−2 y+1)dy¿¿
V=π [ 13y3− y2+ y]1
4
V=17 π