arniatiu.files.wordpress.com€¦ · Web viewJika diberikan sebuah segitiga ABC sembarang yang diketahui ukuran dua sudut dan sebuah sisinya atau panjang dua buah sisi dan salah

Kelompok

Mata Pelajaran

Kelas / Semester

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

Waktu

:

:

:

:

:

:

6.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

Bisnis Manajemen dan Parwisata

Matematika

XI / 3

Memahami konsep perbandingan, fungsi,

persamaan dan identitas trigonometri dan

penerapannya dalam pemecahan masalah.

Menentukan nilai perbandingan trigonometri

suatu sudut

Mengkonversi koordinat kartesius dan kutub

Menerapkan aturan sinus dan kosinus

Menentukan luas segitiga

19 x pertemuan (1 x pertemuan =2 x 40 menit)

1

BAHAN AJAR

INDIKATOR

6.1.1. Mengidentifikasi pengukuran sudut dalam derajat dan radian.

6.1.2. Mengkonversikan satuan sudut dari derajat ke radian atau sebaliknya.

6.1.3. Menentukan perbandingan trigonometri dalam segitiga siku - siku

6.1.4. Menentukan perbandingan trigonometri sudut – sudut istimewa

6.1.5. Menentukan perbandingan trigonometri sudut – sudut berelasi

6.1.6. Menerapkan konsep trigonometri dalam bidang keahlian

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu mengidentifikasi pengukuran sudut dalam derajat dan radian.

2. Siswa mampu mengkonversikan ukuran sudut dalam satuan derajat kesatuan radian

atau sebaliknya.

3. Siswa mampu menentukan perbandingan trigonometri dalam segitiga siku – siku.

4. Siswa mampu menentukan perbandingan trigonometri sudut – sudut istimewa.

5. Siswa mampu menentukan perbandingan trigonometr sudut berelasi.

6. Siswa mampu menggunakan konsep trigonometri dalam bidang keahlian.

WAKTU

24 x 40 menit (12 x pertemuan)

2

KOMPETENSI DASAR

6.1. Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut

1 radian

O r

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT

1. Pengukuran sudut dalam derajat Derajat adalah nama satuan yang digunakan untuk menyatakan besar sudut. Satuan ini

disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu membagi keliling lingkaran menjadi 360

bagian yang sama, setiap bagian disebut 1 derajat. Dengan demikian :

B

B

r

A

1 putaran = 1 keliling lingkaran = 360∘

12 putaran =

12 keliling lingkaran = 180∘

14 putaran =


1360 putaran =


Oleh karena itu, diperoleh :

2. Pengukuran sudut dalam radian1 Radian adalah ukuran sudut pusat lingkaran yang panjang busur di depannya sama

dengan jari – jari lingkaran.

A

O r B

Jika panjang busur AB sama dengan panjang OA atau OB (jari – jari), maka besar

sudut AOB (∠ AOB) disebut 1 radian.

3

1∘ = 1

360 putaran = 1

360 keliling lingkaran

π

Panjang busur suatu lingkaran = 2π x r

2π x r disebut 2π radian

2π radian = 360°

π radian = 180°

Sehingga diperoleh :

Contoh 1Nyatakan sudut berikut dalam bentuk radian.

a. 60°

b. 150°

c. −120°

Jawab :

a. 60° = 60 x 1° = 60 x π

180 radian = 60 π180 radian =

π30 radian =

13 π radian

b. 150° = 150 x 1° = 150 x π

180 radian = 150 π180 radian =

5 π6 radian =

56 π radian

c. −120° = -120 x 1° = -120 x π

180 radian = −120 π

180 radian = −2 π

3 radian

= −23 π radian

Contoh 2.Nyatakan sudut berikut dalam bentuk derajat.

a.π6 radian

b.7 π9 radian

c.π6 radian

d.79 radian

Jawab :

a. π6 radian =

π6 x 1 radian =

π6 x 180°

π = 30°

4

1 radian = 180°

π dan 1° =

π180 radian

b. 7 π9 radian =

7 π9 x 1 radian =

7 π9 x 180°

π = 140°

c. 16 radian =

16 x 1 radian =

16 x 180°

π = ( 30

π )°

d. 79 radian =

79 x 1 radian =

79 x 180°

π = 7 x180°

9 π = ( 140

π )°

Latihan 1 :1. Nyatakan sudut berikut dalam bentuk radian.

a. 30°

b. −45°

c. 90°

a. 15°

b. 180°

2. Nyatakan sudut berikut dalam bentuk derajat.

a. 4 π3

b. 3 π2

c. 5 π3

d. 11π

6

e. 7 π6

3. Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku – sikuPerhatikan segitiga siku – siku ABC dengan titik sudut siku – siku di C.

B

c

a

α °

A b C

Terhadap sudut A :

Sisi a disebut sisi yang berhadapan dengan sudut A

Sisi b disebut sisi yang berdekatan dengan sudut A

Sisi c disebut hipotenusa / sisi miring

Dari keterangan di atas, ke enam perbandingan trigonometri sudut A (besar sudut

A = α °) didefinisikan sebagai berikut :

5

a) Sin α ° = sisi dihadapan sudut α

sisimiring = ac

b) Cos α ° = sisi didekat sudut α

sisimiring = bc

c) Tg α ° = sisi dihadapan sudut α

sisi didekat sudut α = ab

Hubungan rumus – rumus di atas adalah :

Contoh 3.Pada segitiga siku – siku ABC dengan panjang sisi a = 3 cm, b = 4 cm dan c = 5 cm.

Carilah nilai ke enam perbandingan trigonometri untuk sudut α °.

Jawab :Diketahui :

B

c = 5 a = 3

α °

A b = 4 C

sin α ° = ac=3

5 cosec α ° = ca=5

3

cos α ° = bc=4

5 sec α ° = cb=5

4

tg α ° = ab=3

4 ctg α ° = ba=4

3

Contoh 4 :

6

a) Sin α ° = sisi dihadapan sudut α

sisimiring = ac

b) Cos α ° = sisi didekat sudut α

sisimiring = bc

c) Tg α ° = sisi dihadapan sudut α

sisi didekat sudut α = ab

a) Sin α ° = 1

cosec α° d). Ctg α ° = 1

tgα °

b) Cos α ° = 1

sec α ° e). Sec α ° = 1

cosα °

c) tg α ° = 1

ctg α° f). Cosec α ° = 1

sin α°

Dan

a) tg = sin α °

cosα ° b). Ctg = cosα °

sin α °

Diketahui segitiga siku – siku ABC dengan panjang sisi a = √3 dan b = 1. Carilah

nilai keenam perbandingan trigonometri untuk sudut β°.

Diketahui : B

β°

c

a = √3

A b = 1 C

Nilai c di hitung dengan

memakai teorema

Phytagoras:

c = √a2+b2

c = √(√3)2+12

c = √3+1

c = √4 ,

c = 2

Jadi nilai perbandingan trigonometrinya adalah :

sin β° = bc =

12 cosec β° =

cb =

21 = 2

cos β° = ac = √3

2 =

12 √3 sec β° =

ca =

2√3

= 23

√3

tg β° = ba =

1√3

= 13 √3 cosec β° =

ab = √3

1 = √3

Contoh 5 :

Jika diketahui nilai sin θ=1213 , hitunglah nilai perbandingan trigonometri lainnya.

Jawab : A

12 13

B C

BC = √132−122

BC = √169−144

BC = √25

BC = 5

cosθ= 513

tanθ=125

cot θ= 512

7

3

3

secθ=135

cosec θ=1312

Latihan 21. Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut α ° pada setiap gambar di bawah ini.

a) 12

15 9

b) √13

2 3

c) p q

r

2. Jika α ° sudut lancip, carilah nilai perbandingan trigonometri sudut α ° yang lain

untuk :

a) sin α ° = 37

b) cos α ° = 23

c) tg α ° = 32

4. Perbandingan trigonometri sudut – sudut istimewa

8

3

Sudut istimewa adalah nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan tanpa

menggunakan table atau kalkulator.

Sudut – sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 0°, 30°, 45°, 60° dan 90°

Perhatikan gambar berikut :

√2 2 600

1 1

450 300

1 √3

Gambar a gambar b

a. Berdasarkan gambar a, dapat ditemukan :

sin 45° = 1√2

= 12 √2 ctg 45° =

11 = 1

cos 45° = 1√2

= 12 √2 sec 45° = √2

1 = √2

tg 45° = 11 = 1 cosec 45° = √2

1 = √2

b. Berdasarkan gambar b, dapat ditentukan :

sin 30° = 12 ctg 30° = √3

1 = √3

cos 30° = √32

= 12 √3 sec 30° =

2√3

= 23 √3

tg 30° = 1√3

= 13 √3 cosec 30° =

21 = 2

dan

sin 60° = √32

= 12 √3 ctg 60° =

1√3

= 13 √3

cos 60° = 12 sec 60° = √3

2 =

12 √3

tg 60° = √31

= √3 cosec 60° = 2√3

= 23 √3

c. Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 0° dan 90°, kita biasa gunakan

lingkaran satuan di koordinat kartesius.

Y

P(x,y)

1 y

9

θ0 X

0 x N

Gambar c

Perhatikan gambar c di atas,

Titik P(x,y) terletak pada lingkaran satuan.

Garis OP membentuk sudut θ dengan sumbu X

Panjang ON adalah x satuan

Panjang PN adalah y satuan

Panjang OP adalah 1 satuan (OP jari – jari lingkaran)

Δ ONP adalah segitiga siku – siku di N

Perbandingan trigonometri untuk sudut θ adalah :

Sin θ = y1 = y

Cos θ = x1 = x

tg θ = yx

d. Jika θ = 0°, maka garis OP berimpit dengan sumbu x, dengan demikian posisi P

adalah (1,0), akibatnya

sin 0° = y1 =

01 = 0 ctg 0° =

10 = ∞

cos 0° = x1 =

11 = 1 sec 0° =

11 = 1

tg 0° = yx =

01 = 0 cosec 0° =

10 = ∞

e. Jika θ = 90°, maka garis OP berimpit dengan sumbu y, dengan demikian posisi P

adalah (0,1), Maka:

sin 90° = y1 =

11 = 1 ctg 90° =

01 = 0

cos 90° = x1 =

01 = 0 sec 90° =

10 = ∞

tg 90° = yx =

10 = ∞ cosec 90° =

11 = 1

10

f. Adapun nilai – nilai perbandingan trigonometri untuk sudut – sudut tersebut

disajikan pada tabel

Perbandingan Besar sudut (θ)

Trigonometri 0° 30° 45° 60° 90°

sin θ 0 12

12 √2 1

2 √3 1

cos θ 1 12 √3 1

2 √2 12

0

tg θ 0 13 √3 1 √3

ctg θ √3 1 13 √3 0

sec θ 1 23 √3 √2 2

cosec θ 2 √2 23 √3 1

Contoh 6. a. Hitunglah :

i. sin 30° + cos 0°

ii. sin 30°.cos 60° + cos 30°.sin 60°

b. Tunjukkan bahwa : sin 60°.cos 30° - cos 60°.sin 30° = sin 30°

Jawab : a. Nilai dari :

i. sin 30° + cos 0° = 12 + 1 = 1

12

ii. sin 30°.cos 60° + cos 30°.sin 60°

= (12 .

12) + (

12 √3 .

12 √3 ) =

14 +

34 = 1

b. Tunjukkan bahwa :

sin 60°.cos 30° - cos 60°.sin 30° = sin 30°

( 12 √3 .

12 √3 ) - (

12 √3 .

12 √3 ) =

12

11

34 -

14 =

12

24 =

12

12 =

12

Latihan 31. Hitunglah nilai dari

a) ctg 45° + cos 60°

b) tg 30° + tg 60°

c) sec 30° + cosec 60°

d) sin 45°.cos 45° + cos 60°

e) sin 30°.cos 30° + sin 60°.cos 60°

2. Tunjukkan bahwa :

a) sin 60°.cos 30° + cos 60°.sin 30° = 1

b) cos 60°.sin 30° - sin 60°.cos 30° = 0

3. Apakah 2.sin 30° = cos 60°?

5. Perbandingan trigonometri sudut – sudut berelasiPerhatikan gambar di bawah ini :

Y +¿¿

II I

X−¿¿ X+¿ ¿

III IV

12

Y −¿ ¿

Besar sudut poitif di ukur berlawanan arah dengan perputaran jarum jam. Sudut selalu

dihitung mulai dari sumbu X positif.

Bidang koordinat dibagi menjadi empat bagian yang disebut dengan kuadran

Sudut yang terletak pada kuadran pertama adalah sudut yang besarnya antara 0° dan

90°

Sudut yang terletak pada kuadran kedua adalah sudut yang besarnya antara 90° dan

180°

Sudut yang terletak pada kuadran ketiga adalah sudut yang besarnya antara 180° dan

270°

Sudut yang terletak pada kuadran keempat adalah sudut yang besarnya antara 270°

dan 360°

Bebarapa hal yang perlu dipahami dalam menentukan nilai perbandingan trigonometri

suatu sudut yang berpangkal di O, berujung di titik (x,y) dan memiliki jari – jari

r = √ x2+ y2 adalah sebagai berikut :

sin θ = yr , yaitu perbandingan antara ordinat dengan jari – jarinya.

cos θ = x, yaitu perbandingan antara absis dengan jari – jarinya.

sin θ = yx , yaitu perbandingan antara ordinat dengan absisnya.

a. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran pertama.

Perhatikan gambar di bawah ini :

Y

P(x,y)

φ

r

θ X

13

0 P1 (r,0)

sin θ = yr Karena nilai x dan y semua positif di

cos θ = xr kuadran I, maka nilai sin θ, cos θ

tg θ = yx tg θ juga positif jika 0° ¿ θ ¿ 90°

Dari gambar juga diketahui bahwa sin φ = xr , cos φ =

yr dan ctg φ =

yx ,

sehingga sin θ = cos φ , cos θ = sin φ dan tg θ = ctg φ

Karena φ = 90° - θ, diperoleh :

Jadi jika θ pada kuadran I, dengan 0° ¿ θ ¿ 90°, maka,

tanda

sin θ cos θ tg θ

Kuadran I + + +

Sudut θ dengan (90° - θ) dikatakan berpenyiku sesamanya.

sinus sebuah sudut = kosinus penyikunya kosinus sebuah sudut = sinus penyikunya tangen sebuah sudut = kotangen penyikunya Contoh 7 :Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri

sudut penyikunya.

14

cos (90° - θ) = sin θ atau cos (π2 – θ) = sin θ

sin (90° - θ) = cos θ atau sin (π2 – θ) = cos θ

ctg (90° - ) = tg atau ctg (π2 – ) = tg

a. sin 43°

b. cos 21°

c. tg 64°

d. ctg 15°

e. sec 3°

f. cosec 37°

Jawab :a. sin 43° = sin(90−47)° = cos 47°

b. cos 21° = cos(90−69)° = sin 69°

c. tg 64° = tg(90−26)° = ctg 26°

d. ctg 15° = ctg(90−75)° = tg 75°

e. sec 3° = sec(90−87)° = cosec 87°

f. cosec 37° = cosec(90−53)° = sec 53°

b. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran kedua.


Y

P(x,y) P'(x ',y ')

r (180°- θ) r

θ θ X

180 0

Garis OP ada di kuadran kedua. OP dicerminkan terhadap sumbu Y. ∠ XO

P' = θ, maka ∠ XOP = (180°- θ). Titik P' adalah bayangan (peta) dari P karena

pencerminan OP terhadap sumbu Y, maka kita dapatkan hubungan berikut :

x = - x '

y = y '

sin θ = y '

r sin (180°- θ) = sin θ

sin (180°- θ) = yr = y '

r

cos θ = x'

r cos (180°- θ) = - cos θ

15

cos (180°- θ) = xr = - x'

r

tg θ = y '

x ' tg (180°- θ) = - tg θ

tg (180°- θ) = yx = - y '

x '

Dari uraian di atas dapat disimpulkan :

Perbandingan trigonometri pada kuadran kedua juga dapat dinyatakan sebagai (

90° + θ), sehingga :

Jadi jika θ pada kuadran II, dengan 9 0° ¿ θ ¿ 180°, maka,

tanda

sin θ cos θ tg θ

Kuadran II + - -

Sudut θ dengan (180° - θ) dikatakan berperlurus sesamanya.

sinus sebuah sudut = sinus pelurusnya kosinus sebuah sudut = - kosinus pelurusnya tangen sebuah sudut = - tangen pelurusnya

16

sin (180°- θ) = sin θ atau sin(π - θ) = sinθ

cos (180°- θ) = - cos θ atau cos(π - θ) = - cosθ

tg (180°- θ) = - tg θ atau tg(π - θ) = - tgθ

Sin (90° + θ) = cos θ atau sin (π2 + θ) = cos θ

cos (90° + θ) = - sin θ atau cos (π2 + θ) = - sin θ

tg ( + ) = - ctg atau tg (π2 + ) = - ctg

Contoh 8 :Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri

sudut pelurusnya.

a. sin 111°

b. cos 42°

c. tg 162°

d. ctg 92°

e. sec 73°

f. cosec 175°

Jawab :a. sin 111° = sin(180−69)° = sin 69°

b. cos 42° = cos(180−138)° = - cos 138°

c. tg 162° = tg(180−18)° = - tg 18°

d. ctg 92° = ctg(180−88)° = - ctg 88°

e. sec 73° = sec(180−107)° = - cosec 107°

f. cosec 175° = cosec(180−5)° = cosec 5°

c. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran ketiga.


Y

P’(x’,y;)

(180°+ θ) r

θ

r

P(x,y)

Garis OP berada di kuadran ke tiga

P' adalah bayangan titik P karena pencerminan terhadap titik pangkal O.

Misalkan ∠ XOP' = θ, maka ∠ XOP = (180°+ θ). Kita dapatkan hubungan :

x = −x '

17

y = − y '

Perhatikan bahwa :

sin θ = y '

r sin (180°+ θ) = - sin θ

sin (180°+ θ) = yr = - y '

r

cos θ = x'

r cos (180°+ θ) = - cos θ

cos (180°+ θ) = xr = - x'

r

tg θ = y '

x ' tg (180°+ θ) = tg θ

tg (180°+ θ) = yx = − y '

−x ' = y '

x '

Sehingga dapat disimpulkan :

Jadi jika θ pada kuadran III, dengan 180° ¿ θ ¿ 270°, maka,

tanda

sin θ cos θ tg θ

Kuadran III - - +


sudut lancip.

a. sin 214°

b. cos 192°

c. tg 245°

d. ctg 267°

e. sec 226°

f. cosec 239°

18

sin (180 + θ) = - sin θ atau sin (π + θ) = - sin θ

cos(180 + θ) = - cos θ atau cos(π + θ) = - cos θ

tg (180 + θ) = tg θ atau tg (π + θ) = tg θ

Jawab :a. sin 214° = sin(180+34)° = - sin 34°

b. cos 192° = cos(180+12)° = - cos 12°

c. tg 245° = tg(180+65)° = tg 65°

d. ctg 267° = ctg(180+87)° = ctg 87°

e. sec 226° = sec(180+46)° = - sec 46 °

f. cosec 239° = cosec(180+59)° = - cosec 59°

d. Perbandingan trigonometri sudut di kuadran keempat.


Y

P'(x ',y ')

r

θ X

0 θ 360°

r

P(x,y)

Garis OP ada di kuadran keempat. Kita akan menentukan perbendingan trigonometi

∠ XOP . Salah satu cara menentukan nilai perbendingan trigonometri di kuadran

keempat adalah dengan mencerminkan garis OP terhadap sumbu X. Msalkan

∠ XOP' = θ, maka ∠ XOP = (360°- θ). Titik P' adalah bayangan (peta) dari P

karena pencerminan OP terhadap sumbu X, maka kita dapatkan hubungan berikut :

x = x '

y = - y '

sin θ = y '

r sin (360°- θ) = - sin θ

19

sin (360°- θ) = yr = - y '

r

cos θ = x'

r cos (360°- θ) = cos θ

cos (360°- θ) = xr = x'

r

tg θ = y '

x ' tg (360°- θ) = - tg θ

tg (360°- θ) = yx = - y '

x '


Jadi jika θ pada kuadran IV, dengan 27 0° ¿ θ ¿ 360°, maka,

tanda

sin θ cos θ tg θ

Kuadran IV - + -


sudut lancip.

a. sin 325°

b. cos 333°

c. tg 292°

Jawab :a. sin 325° = sin(360−35)° = - sin 35°

b. cos 333° = cos(360−27)° = cos 27°

c. tg 292° = tg(360−68)° = - tg 68°

20

sin (360°- θ) = - sin θ atau sin(2 π - θ) = - sinθ

cos (360°- θ) = cos θ atau cos(2π - θ) = cosθ

tg (360°- θ) = - tg θ atau tg(2π - θ) = - tgθ

e. Perbandingan trigonometri untuk sudut negatif.


Y

P'(x ',y ')

r

θ X

0 -θ 360°

r

P(x,y)

x ' = x

y ' = y

Besar sudut (-θ) berarti besar sudut yang diukur searah perputaran jarum jam.

Perhatikan gambar

sin (−θ) = yr = − y '

r = - sin θ

cos ¿) = xr = x'

r = cos θ

tg ¿) = yx = − y '

x ' = - tg θ



sudut lancip.

a. sin (−60)°

b. cos (−40)°

21

sin (- θ) = - sin θ

cos (- θ) = cos θ

tg (- θ) = - tg θ

c. tan (−300)°

Jawab :c. sin (−60)°= - sin 60°

d. cos (−40)° = cos 40°

e. tan (−300)° = −tan300 °=−tan (3600−600 )=−tan (−tan600 )=tan600

f. Perbandingan trigonometri untuk sudut yang lebih dari 360°.


Y

P

r

θ 360°+ θ X

0

Karena besar sudut putaran 360° maka sudut yang lebih dari 360° misalnya (360°+

θ) akan sama dengan θ.



sudut lancip.

a. sin 375°

b. cos 400°

c. tg (−400)°

d. ctg 1000°

e. sec 1000°

f. cosec850°

22

sin (k.360°+¿ θ) = sin θ atau sin (k.2π + θ) = sin θ

cos (k.360°+¿ θ) = cos θ atau cos(k.2π + θ) = cos θ

tg (k.360°+¿ θ) = tg θ atau tg (k.2π + θ) = tg θ

dengan k ∈ bilangan bulat.

Jawab :

= cosec(90+40)° = sec 40°

Latihan 4 :1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri

sudut penyikunya

a. sin 55°

b. cos 24°

c. tg 31°

d. ctg 75°

e. sec 83°

f. cosec 53°

2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut ini dalam perbandingan trigonometri

sudut pelurusnya.

a. sin 132°

b. cos 56°

c. tg 154°

d. ctg 99°

e. sec 106°

f. cosec 93°


sudut lancip.

a. sin 214°

b. cos 209°

c. tg 246°

d. sin 254°

e. cos 199°

f. tg 231°


sudut lancip.

a. sin 325°

b. cos 333°

c. tg 292°

d. sin 355°

e. cos 289°

f. tg 325°

23

a. sin 375° = sin (15+360)° = sin 15°

b. cos 400° = cos (40+360)° = cos 40°

c. tg (−400)° = tg (−40−360)° = -tg 40°

d. ctg 1000°= ctg (−80+3.360)° = - ctg 80°

e. sec 1000° = sec(−80+3.360)° = - sec 80°

f. cosec850° = cosec(130+2.360)° = cosec 130°


sudut lancip.

a. sin (−102)°

b. cos (−55)°

c. tg (−262)°


sudut lancip.

a. sin 2000°

b. cos 675°

c. tg 432°

d. sin 710°

e. cos 622°

f. tg 900°

7. a. Jika θ sudut di kuadran keempat dan cosθ=34 , tentukan nilai dari sin θ dan tan θ

b. Diketahui cosθ=−13 , dan θ sudut di kuadran kedua. Tentukanlah sin θ dan cos θ di

kuadran pertama.

5. Penerapan trigonometri dalam bidang keahlianContoh 13:Elfrida berdiri 8 meter dari pohon cemara yang tingginya 9,5 meter. Jika tinggi elfrida

1,5 meter. Tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut α .

Jawab :a. Diketahui :

B

9,5 m

A α C

1,5 m

D E

8 m

AE = CD = 1,5 m

AC = ED = 8 m

24

BC = BD – CD = 9,5 m – 1,5 m = 8 m

Maka AB = √ AC 2+BC 2

AB = √82+82

AB = √64+64

AB = √2.64

AB = 8.√2

Maka perbandingan trigonometrinya adalah :

sin α = BCAB =

88√2

= 1√2

= 12 √2

cos α = ACAB =

88√2

= 1√2

= 12 √2

tg α = BCAC =

88 = 1

ctg α = ACBC =

88 = 1

sec α = ABAC = 8√2

8 = √2

cosec α = ABAC = 8√2

8 = √2

Contoh 14 :Suatu tangga panjangnya 12 meter, disandarkan pada dindig sebuah rumah. Sudut yang

dibentuk tangga dan tanah sebesar 60°. Tentukan tinggi dinding dari tanah.

Jawab :

A

tangga

12 m

B C

AC = 12 m

Tinggi dinding = AB

sin 60° = ABAC =

AB12

12 √3 =

AB12

AB = 12 √3 . 12

AB = 6√3

Jadi tinggi dinding adalah 6√3

meter.

25

600

Latihan 5 1. Dony mengamati bahwa sudut elevasi dari gedung di depannya adalah 350, jika tinggi

gedung 30 m dan tinggi Dony 170 cm, tentukan jarak Dony terhadap gedung

tersebut.

2. Seorang ahli pertamanan berdiri dengan jarak 20 meter dari sebuah pohon dan

melihat puncak pohon dengan sudut 300 terhadap horizontal. Tentukan tinggi pohin

jika tinggi ahli tersebut diukur dari tanah sampai ke mata pangamat 150 meter.

26

INDIKATOR

6.2.1. Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub

6.2.2. Mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat kartesius

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu mendefefinisikan koordinat kartesius

2. Siswa mampu mendefefinisikan koordinat kartesius

3. Siswa mampu mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub

4. Siswa mampu mengkonversikan koordinat kutub ke koordinat kartesius

WAKTU


27

KOMPETENSI DASAR

6.2. Mengkonversi koordinat kartesius dan kutub

B. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

1. Pengertian koordinat kutub suatu titikKita mengetahui bahwa kedudukan atau letak suatu titik pada bidang X-Y dapat

disajikan dengan koordinat kartesius

Y

P(x,y) Koordinat karteius titip P,

Dengan absis x dan ordinat y

r y Koordinat kartesius titik P

adalah (x,y)

X

0 x

Letak titik P pada bidang X-Y dapat pula disajikan dengan menggunakan koordinat

kutub P(r, α °)

Y

P(r, α °) r = OP = jarak titik O ke P

α ° menyatakan besar sudut

r yang dibentuk oleh OP dengan

α ° X Sumbu X positif atau α ° =

∠ XOP

Contoh 15Tentukan koordinat kutub dari gambar di bawah ini

Y Y

P

3 Q

2

28

60° X 135° X

0 0

(a) (b)

Jawab :a. P (3, 600)

b. Q (2, 1350)

2. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutubPerhatikan gambar di bawah ini :

Y Y

P(x,y) P(r,α °)

y r y

X α ° X

0 x 0 x

Dari gambar di atas dapat dinyatakan :

Apabila koordinat kutub titik P(r,α °) diketahui, koordinat kartesius titik P(x,y) dapat

ditentukan dengan menggunakan hubungan :

sin α ° = yr ↔ y = r sin α °

cos α ° = xr ↔ x = r cos α °

Sebaliknya, apabila koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r,

α °) dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

r = √ x2+ y2 dan tg α ° = yx

Contoh 16 :Nyatakan koordinat kutub berikut ini ke dalam koordinat kartesius.

29

a). A(8,30¿¿°)¿

b). B(6,135¿¿ ° )¿

Jawab :a. A(8,30¿¿ °)¿, maka r = 8 dan α °= 30° . Dengan menggunakan hubungan

x = r cos α ° = 8 cos 30° = 8 . 12 √3 = 4 √3

y = r sin α ° = 8 sin 30° = 8 . 12 = 4

Jadi koordinat kartesius titik A adalah (4 √3 , 4)

b. B(6,135¿¿° )¿ , maka r = 6 dan α °= 135°. Dengan menggunakan hubungan

x = r cos α ° = 6 cos 135° = 6 cos (90+45)° = 6. (-sin45° ¿= 6 . −12 √2 = - 3 √2

y = r sin α ° = 6 sin 135° = 6 sin (90+45)° = 6 cos 45° = 6 .12 √2 = 3 √2

Jadi koordinat kartesius titik B adalah (-3 √2 , 3 √2 )

Contoh 17 :Nyatakan koordinat kartesius berikut ini ke dalam koordinat kutub:

a) P (3,4)

b) Q (-2,3)

Jawab :a). P (3,4), maka x = 3 dan y = 4, dengan menggunakan hubungan

r = √ x2+ y2 = √32+42 = √9+16 = √25 = 5

tg α ° = yx =

43 = 1,333 , dengan table diperoleh α ° = 53,1°

Jadi koordinat titik P adalah (5, 53,1°)

b). Q (-2,3), maka x = -2 dan y = 3, dengan menggunakan hubungan

r = √ x2+ y2 = √(−2)2+32 = √4+9 = √13 = 3,61

30

tg α ° = yx =

−32 = -1,5 , dengan table diperoleh α ° = 123,7°

Jadi koordinat titik Q adalah (3,61, 123,7°)

Latihan 6 1. Nyatakan koordinat kutub berikut ini ke dalam koordinat kartesius.

a. A(5, 30°)

b. B(3, 450)

c. C(6, 600)

d. D(5, 1200)

2. Nyatakan koordinat kartesius berikut ini ke dalam koordinat kutub:

a. P (1 , 1)

b. Q (1 ,√3)

c. R (−√3 , 3)

d. S (5, −5)

3. Seseorang berjalan lurus dari sebuah tempat dalam arah 65° Utara dari Timur.

Kecepatan rata – rata perjalanan orang itu sama dengan 10 meter/menit. Setelah 5

menit berjalan, orang itu berhenti,. Hitunglah :

a) Jarak yang ditempuh

b) Jarak yang ditempuh dari arah Timur terhadap pemberangkatannya!

31

INDIKATOR

6.3.1.Menyebutkan rumus aturan sinus dalam sebuah segitiga

6.3.2.Menyebutkan rumus aturan kosinus dalam sebuah segitiga

6.3.3.Menggunakan aturan sinus dalam sebuah segitiga

6.3.4.Menggunakan aturan kosinus dalam sebuah segitiga

6.3.5.Menerapkan aturan sinus dalam program keahlian

6.3.6.Menerapkan aturan kosinus dalam program keahlian.

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menggunakan aturan sinus dalam sebuah segitiga

2. Siswa mampu menggunakan aturan kosinus dalam sebuah segitiga

WAKTU


32

KOMPETENSI DASAR6.3. Menerapkan aturan sinus dan kosinus

C. ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS

1. Aturan SinusPengertian dan penggunaan dari aturan sinus.

Jika diberikan sebuah segitiga ABC sembarang yang diketahui ukuran dua sudut dan

sebuah sisinya atau panjang dua buah sisi dan salah satu sudut di depan sisi tersebut,

maka dapat ditentukan ukuran dua sudut yang lain atau ukuran dua sisi yang lainnya

dengan menggunakan aturan sinus

Perhatikan segitiga ABC di bawah ini:

C a

B

B c

A

Hubungan sisi dan sudut pada segitiga sembarang ABC dapat dinyatakan sebagai

berikut :

Contoh 18.1. Diketahui segitiga ABC dengan ∠ A = 38° , ∠ B = 64° dan sisi b = 5.

Hitunglah :

a) ∠ C

b) Panjang sisi a dan c

Jawab :

33

Aturan Sinus : a

sin A = b

sin B = c

sin C

C

b = 5

38° 64° A c B

a) ∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B)

= 180° - (38° + 64°)

= 180° - 102°

∠ C = 78°

b) Panjang sisi a dan c ditentukan dengan aturan sinus

Panjang sisi a:

asin A =

bsin B

a = b

sin B x sin A

a = 5

sin 64° x sin 38°

a = 5

0 , 8988 x 0,6157

a = 3,4

Panjang sisi c:

bsin B =

csin C

c = b

sin B x sin C

c = 5

sin 64° x sin 78°

c = 5

0 , 8988 x 0,9871

c = 5,4

Contoh 19.Diketahui segitiga ABC dengan ∠ C = 54 ° , sisi b = 6 dan sisi c = 8. Hitunglah ∠

B

Jawab : C

54°

b = 6 a

A c = 8 B

34

Besar sudut B

bsin B =

csin C

sin B = b xsin C

c

sin B = 6 xsin 54°

8

sin B = 6 x0,8090

8

sin B = 0,6067

∠ B = 37,4°

Latihan 71. Dalam tiap segitiga ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitung panjang sisi

yang diminta dengan ketelitian sampai 1 tempat desimal.

a) ∠ A = 30° , ∠ C = 120° dan c = 6, hitunglah sisi a dan b

b) ∠ B = 70° , ∠ C = 67° dan b = 10, hitunglah sisi a dan c

c) ∠ B = 49° , ∠ C = 121° dan a = 8, hitunglah sisi b dan c

2. Dalam tiap segitiga ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitunglah besar sudut

yang diminta dengan ketelitian sampai 1 tempat desimal.

a) a = 8 , c = 12 , ∠ C = 50°. Hitunglah ∠ A dan ∠ B

b) b = 15 , c = 12 , ∠ B = 64°. Hitunglah ∠ A dan ∠ C

c) a = 20 , b = 10 , ∠ A = 50°. Hitunglah ∠ B dan ∠ C

2. Aturan KosinusPengertian dan penggunaan dari aturan kosinus.

Ada kemungkinan lain bahwa pada suatu segitiga sembarang ABC hanya diketahui

ukuran sebuah sudut dan panjang dua sisi yang mengapitnya. Maka panjang sisi

yang lain dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus.


B

c a

x

A b C

35

Hubungan sisi dan sudut pada segitiga sembarang ABC dapat dinyatakan sebagai

berikut :

Contoh 20.Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5, sisi c = 6 dan ∠ A = 52°, Hitunglah

panjang sisi a:

Jawab : C

b = 5 a

52°

A c = 6 B

aturan kosinus pada segitiga ABC adalah :

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

a2 = 52 + 62 – (2 x 5 x 6 x cos 52°)

a2 = 25 + 36 – (60 x 0,6157)

a2 = 61 – 36,9

a2 = 24,1

a = √24,1

a = 4,91

Contoh 21. Diketahui segitiga ABC dengan sisi a = 4,12, sisi c = 6,49 dan ∠ B = 113° ,

Hitunglah panjang sisi b:

Jawab : C

36

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

b a = 4,12

113°

A c = 6,49 B

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

b2 = (4,12)2 + (6,49)2 – (2 x 4,12 x 6,49 x cos 113°)

b2 = 16,97 + 42,12 – (8,24 x 6,49 x (- cos 67°))

b2 = 16,97 + 42,12 + (8,24 x 6,49 x cos 67°)

b2 = 16,97 + 42,12 + 20,89

b2 = 79,98

b = √79,98

b = 8,94

Contoh 22.Diketahui segitiga ABC dengan sisi a = 7 , sisi b = 8 dan sisi c = 9. Hitunglah besar

sudut A, B dan C

Jawab:Besar sudut A, dari rumus

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

cos A = b2+c2−a2

2bc

cos A = 82+92−72

2.8.9

cos A = 64+81−49

144

cos A = 96

144

cos A = 0,6666

A = 48,2°

Besar sudut B, dari rumus

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

cos B = a2+c2−b2

2ac

cos B = 72+92−82

2.7 .9

cos B = 49+81−64

126

cos B = 66

126

cos B = 0,5238

B = 58,4°

Besar sudut C,

37

∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B)

∠ C = 180° - (48,2°+ 58,4°)

∠ C = 73,4°

Latihan 8Dalam tiap segitiga ABC berikut diketahui tiga buah unsur. Hitung panjang sisi ketiga

dengan ketelitian sampai 1 tempat desimal.

1. a = 6, b = 8 dan ∠ C = 49°

2. a = 6,1 , c = 7,4 dan ∠ B = 104°

3. b = 12, c = 14 dan ∠ A = 74°

3. Penerapan Aturan Sinus dan Aturan Kosinus

Aturan Sinus : a

sin A = b

sin B = c

sin C

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

b2 = a2 + c2 - 2ac cos B Aturan Kosinus

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Contoh 23.Ali, Bio dan Carli bermain disuatu lapangan yang datar. Jarak Boi dan Carli 10

m, besar sudut yang dibentuk Boi, Carli dan Ali adalah 42°, sudut yang dibentuk

oleh Boi, Ali dan Carli adalah 74°. Carilah jarak Ali dari Boi dan dari Carli.

Jawab : A

B

10 m C

Jarak Ali dan Bio = AB

Jarak Bio dan Carly = BC = 10 m

Jarak Ali dan Carly = AC

∠B=1800−∠A−∠C

∠B=1800−740−420

∠B=640

Jarak Ali dari Bio = AB Jarak Ali dari Carly = AC

38

ABsin C

= BCsin A

ABsin 420 =

10sin740

AB=10x sin 420

sin 740

AB=10 x (0,6691)

0,9613

AB=6,96 m

ACsin B

= BCsin A

ACsin 640 =

10sin 740

AC=10 x sin 640

sin 740

AC=10 x (0,8988)

0,9613

AC=9,35 m

Contoh 24.Pada gambar di bawah ini, D merupakan puncak suatu menara. Dari tititk A puncak

D mempunyai sudut elevasi 16° dan dari titik B puncak D mempunyai sudut elevasi

39°, jarak AB = 8 m. Carilah panjang AD dan BD, kemudian hitunglah tinggi

menara itu.

D

1

16° 1 39°,

A 8 m B C

Jawab :∠B1=1800−390=1410

∠D1=1800−1410−160=230

Panjang AD

ADsin B1

= ABsin D1

ADsin 1410=

8sin 230

AD=8 x sin 1410

sin230

Panjang BD

BDsin A

= ABsin D1

ADsin 160 =

8sin230

AD=8x sin 160

sin 230

39

AD=8 x (0,6293)0,3907

AD=12,89 m

AD=8x (0,2756)0,3907

AD=7,05 m

Tinggi menara = CD

Perhatikan △ BCD

sin 390=CDBD

CD=BDsin 390

CD=7,05 x (0,6293)

CD=4,44 m

INDIKATOR

6.4.1.Menyebutkan rumus luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus

6.4.2.Menentukan luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus

TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Siswa mampu menentukan luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus

WAKTU


40

KOMPETENSI DASAR6.4. Menentukan luas segitiga

D. LUAS SEGITIGA

Luas segitiga dengan menggunakan aturan sinus


B

c a

A D C x

Luas segitiga ABC = alas .tinggi

2 = b . x2 =

b . c sinA2

Jadi L Δ ABC = 12 bc sin A

Dengan menggunakan alas dan garis tinggi yang lain , diperoleh :

41

L Δ ABC = 12 bc sin A

L Δ ABC = 12 ac sin B

L Δ ABC = 12 ab sin C

Contoh 25Hitunglah luas segitiga ABC jika a = 4 cm, b = 6 cm dan ∠ C = 30°

Jawab :Diketahui segitiga ABC jika a = 4 cm, b = 6 cm dan ∠ C = 30° .

L Δ ABC = 12 ab sin C

L Δ ABC = 12 x 4 x 6 x sin 30°

L Δ ABC = 12 x 4 x 6 x

12

L Δ ABC = 6 cm2

Contoh 26 .Pada jajaran genjang ABCD, diketahui AB = 8 cm, AD = 6 cm dan ∠ BAD = 60° .

Hitunglah luas jajaran genjang itu!

Jawab :Diketahui : D C

6

A 8 B

L Δ ABD = 12 x AB x AD x sin ∠ BAD

L Δ ABD = 12 x 8 x 6 x sin 60°

L Δ ABD = 12 x 8 x 6 x

12 √3

L Δ ABD = 12√3 cm2

42

3 cm

Karena Δ CDB kongruen (sama dan sebangun) dengan Δ ABD, maka luas Δ CDB =

luas Δ ABD = 12√3 cm2

Jadi, luas jajaran genjang ABCD

= luas Δ ABD + luas Δ CDB

= 12√3 cm2 + 12√3 cm2

= 24√3 cm2

Contoh 27.Hitunglah luas Δ ABC, jika diketahui ∠ A = 42°, ∠ B = 56° dan sisi c = 8 cm.

Jawab :∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B)

∠ C = 180° - (42°+ 56°)

∠ C = 82°

L = c2 x sin A x sin B

2 xsin C= 8

2 x sin 42° x sin 56°

2 x sin 82°

L = 64 x0,6691 x0,5592

2 x0 ,1392 = 104,8 cm2

Latihan 91. Hitunglah luas segitiga di bawah ini

5 cm

300

3 cm

2. Luas segitiga ABC pada gambar di bawah ini adalah

B

A 1 cm C

43

3. Diketahui Δ ABC dengan a = 2, b = 3, c = 4. Luas segitiga ABC = …… satuan

luas.

4. ABCD adalah segiempat talibusur dengan Ab = 1 cm, BC = 2 cm, CD = 3 cm, dan

AD = 4 cm, jika cos B=−57 , hitung luas ABCD .

44

Documents

arniatiu.files.wordpress.com€¦ · Web viewJika diberikan sebuah segitiga ABC sembarang yang diketahui ukuran dua sudut dan sebuah sisinya atau panjang dua buah sisi dan salah