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MATRICES Y DETERMINANTES
¿QUÉ ES UNA MATRIZ?Es algo muy simple, se trata de un conjunto de elementos (casi siempre números) debidamente colocados en filas y columnas.
Ejemplo:
4 -6 18 5-5 -7 11 13 1 2 3 4 8 -8 10 1422 -10 16 9
Esta matriz consta de 20 números colocados en filas ycolumnas.
El número de filas es 5 y el de columnas 4.
Comprobarás que (o números)
Para buscar un elemento indicamos primero la fila donde se encuentra y seguidamente la columna:
El número -10 se halla en el lugar (5,2) ó (5 2)
El número 10 se halla en el lugar (4,3) ó (4 3)
¿Tiene alguna utilidad escribir datos en forma de filas y columnas, es decir, en forma de matriz?
Matrices las encontramos en la vida de cada día.
¿No has hecho alguna vez tu horario de clases?
La tabla que tienes más arriba es una matriz. En esa tabla o matriz puedes encontrar con facilidad la materia que tienes a la tercera hora los miércoles, por ejemplo.
Como ves, te sirves de la fila y la columna.
1
También te diriges a una tabla o matriz para ver como “marcha” tu equipo de fútbol favorito.
Si deseo saber los partidos empatados por el Lérida me dirijo a la fila donde se halla este equipo y después a la columna de EM.
Se pueden poner múltiples ejemplos. Como verás, el asunto de las tablas o matrices es algo que lo utilizamos con frecuencia.
¿Para qué sirven las matrices?
Esta pregunta nos la podemos hacer puesto que no vamos a estudiar MATRICES para hacer unas tablas como las que hemos visto más arriba.
Sirven para otras cosas también, especialmente, para resolver ecuaciones de primer grado con muchas incógnitas.
ESCRIBIR UNA MATRIZ
Como podemos tener varias matrices, lo normal será dar nombre a cada una de ellas. Basta con designarla con una letra mayúscula.
Los elementos que contiene una matriz conviene escribirlos entre paréntesis:
Cada elemento, en este caso cada número ocupa un lugar determinado teniendo en cuenta su fila y columna, en este orden:
El 7 ocupa el número 1 de fila y 1 de columna, (1,1).
2
El 8 ocupa el número 2 de fila y 2 de columna, (2,2).
El – 2 ocupa el número 3 de fila y 1 de columna, (3,1).
Primero se tiene en cuenta el número de fila y en segundo lugar el de la columna.
(Puedes omitir las ‘comas’)
En la vida de cada día ¿dónde puedo ver esto de las matrices?
Como has leído anteriormente cuando has de resolver ecuaciones de primer grado con varias incógnitas:
Un sistema de ecuaciones de primer grado podría ser:
Tomando los coeficientes (con sus signos) de las incógnitas podemos escribir la siguiente matriz:
Con los términos independientes (los que se encuentren a la derecha del signo igual), podemos escribir la siguiente matriz:
Lo veremos mejor en los siguientes ejercicios, continuemos....
Ejercicio #1
3
¿Qué lugar ocupa el número 4 en
Respuesta: (1 2)
A continuación tienes una matriz indicando con subíndices el lugar que ocupa cada elemento dentro de la misma. El primer número del subíndice se refiere al número de fila y el segundo número del subíndice al número de la columna:
DIAGONALES DE UNA MATRIZ CUADRADA
Se llama matriz cuadrada a la que tiene tantas filas como columnas.
Las matrices A y B que las acabas de estudiar son cuadradas porque tienen tantas filas como columnas.
Estas matrices tienen dos diagonales llamadas principal y secundaria.
En el ejemplo que tienes debajo ves una matriz cuadrada (4 filas y 4 columnas).
Los elementos señalados con la línea roja componen la diagonal principal.
Son los que ocupan los lugares (1 1),(2 2),(3 3) y (4 4):
Los elementos señalados con la línea azul componen la diagonal secundaria.
Son los que ocupan los lugares (1 4),(2 3),(3 2) y (4 1).
4
Ejercicio #2
Escribe una matriz que tenga 3 filas y 3 columnas. Escribe los números que integran sus diagonales principal y secundaria.
Respuestas: 4,9,1: (1 1),(2 2),(3 3) y 3,9,6: (1 3),(2,3),(3,1)
Solución
En color rojo la línea de la diagonal principal.
En color azul la línea de la diagonal secundaria.
4, 9, 1: (1 1),(2 2),(3 3)
3, 9, 6: (1 3),(2,3),(3,1)
TIPOS DE MATRICES
Matriz fila: La que consta de una sola fila:
Matriz columna:La que consta de una columna:
Matriz cuadrada:La que tiene tantas filas como columnas:
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Matriz rectangular:
La que tiene distinto número de filas que de columnas:
Matriz traspuesta:
La que se obtiene a partir de otra pero que tiene las filas por columnas. Fíjate bien en el ejemplo:
Tenemos la matriz siguiente:
Su traspuesta es:
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La traspuesta se representa con una t o T por índice de la letra que representa el nombre de la matriz.
Ejercicio #3
¿Cuál es la matriz traspuesta de:
Respuesta:
Matriz nula:
La que todos sus elementos son iguales a cero:
Se la conoce también con el nombre de matriz cero.
Matriz opuesta:
Sabemos que el opuesto de 4 es – 4.
El opuesto de - 3 es 3
7
La matriz opuesta a otra es la que obtiene al cambiar de signo a cada uno de sus elementos. Por supuesto, su nombre aparecerá con el signo opuesto:
Matriz simétrica:
Supongamos la siguiente línea compuesta de rectas y curvas:
Una figura simétrica a ésta sería la que al doblar por un eje, todos los puntos coinciden:
En color rojo, el eje, lo podemos llamar eje de simetría. A su derecha su figura simétrica. Al doblar el papel por el eje de simetría todos los puntos de la línea poligonal de la izquierda del eje coinciden con sus puntos homólogos de la línea poligonal situada a la derecha de dicho eje.
Esto mismo nos sucede con las matrices simétricas.
En un pequeño trozo de papel escribe la siguiente matriz cuadrada:
Traza con una regla una línea que pase por la diagonal principal:
8
Dobla el papel por la raya roja y verás que el 2 coincide con el 2, el 3 con el 3 y el 5 con el cinco.
Esto sucede cuando una matriz es igual a su traspuesta:
Si cambias las filas de la matriz H por columnas obtienes su traspuesta HT.
Debes tener en cuenta que:
Ejercicio #4 ¿Es simétrica la matriz que tienes a continuación?
¿Por qué? Comprueba.
Respuesta:
Sí porque es igual a su traspuesta. Trazando una línea por la diagonal principal hay coincidencia con sus elementos.
Matriz antisimétrica:
Se trata de una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de la traspuesta.9
Todos los elementos de la diagonal principal han de ser iguales a cero ya que no existe el , existe el cero. No existe el menos cero ni el más cero. Es un concepto. Existe una pera o no existe una pera. No puede existir la pera.
Conviene leer despacio para no liarnos.
Observa la matriz siguiente:
Se trata de una matriz antisimétrica porque
Comprueba y verás que los valores de las filas de la primera coinciden con los opuestos de los valores de las columnas de la segunda.
Ejercicio #5 Si trazamos una línea por la diagonal principal (eje de simetría) y doblásemos por ella el papel ¿coinciden los valores simétricos?Respuesta: No, coinciden sus valores opuestos.
Matriz escalonada:
Se dice que una matriz es escalonada cuando al principio de una fila hay un cero más que en la fila anterior:
Al principio de la segunda fila hay un cero más que al comienzo de la fila anterior que es la primera.
Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la segunda.
Al comienzo de la cuarta fila hay tres ceros, es decir, uno más que en la fila anterior que es la tercera.
Ejercicio #6 ¿Son escalonadas la matrices A y B:
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Respuesta: Sí. Los elementos nulos o ceros en nuestro caso, cuentan a partir del comienzo de cada línea.
Ejercicio #7 ¿Es escalonada la matriz:
Respuesta: No, porque al comienzo de la tercera fila hay 2 ceros, lo mismo que en la 2ª. Si en la 3ª hubiera tres, entonces sí sería escalonada.
Matriz diagonal:
Es la que todos sus elementos, excepto los que componen su diagonal principal son nulos o ceros:
Matriz identidad:
Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:
Matriz triangular superior:
Es la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos:
Matriz triangular inferior:
Es la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son
nulos:
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Existen otros tipos de matrices que proceden como resultado de operaciones entre ellas.
OPERACIONES CON MATRICES
Sumar y restar matrices
Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columnas de la segunda.
Sumar:
Sumamos los valores que ocupan la misma posición.
El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B.
El valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B.
El valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De este modo haremos con el resto de las filas.
Vamos a sumar las matrices A y B:
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Restar matrices:
Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones:
Ejercicio #8 ¿Cuánto vale:
Respuesta:
Multiplicar matrices:
Vamos a considerar 2 casos:13
1) Multiplicar una matriz por un escalar
Multiplicamos cada elemento por el escalar:
2) Multiplicar dos matrices es preciso que la 1ª tenga tantas columnas como filas la 2ª matriz. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la 1ª y tantas columnas como tiene la 2ª:
Multiplicamos las matrices:
Tenemos que multiplicar el primer elemento de la 1ª fila de A (3) por el primer elemento de la fila de B (2).
El segundo elemento de la fila 1ª de A (2) por el 2º elemento de la fila de B (-4).
El tercer elemento de la 1ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).
Hago lo mismo con los elementos de la 2º fila de A:
Multiplico el primer elemento de la 2ª fila de A (– 2) por el primer elemento de la fila de B (2).
El segundo elemento de la fila 2ª de A (4) por el 2º elemento de la fila de B (-4).
El tercer elemento de la 2ª fila de A (6) por el tercer elemento de la fila de B (6).
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Quizá te resulte algo complicado la operación de multiplicar.
Posiblemente te ayude saber:
1) Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el de filas del multiplicador.
2) Un procedimiento sencillo de llevar a cabo esta operación es colocar cada fila del multiplicando en forma de columna y colocarla enfrente del multiplicador y hacer el producto de los elementos que hallen uno frente al otro:
Ejemplo:
Y lo mismo con la 2ª fila que sería:
3) El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número filas igual al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.
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Ejercicio #9 Halla el resultado:
Ejercicio #10 Halla el resultado:
Ejercicio #11
Halla el resultado:
Multiplicar dos matrices de varias columnas y filas en el multiplicando y en el multiplicador.
En todo producto, el número de columnas del multiplicando debe ser igual al número de filas del multiplicador y el resultado debe tener tantas filas como el multiplicando y columnas como el multiplicador.
Ejercicio #12
Multiplica las matrices siguientes:
Solución Multiplicamos cada fila de la matriz A por cada columna de la matriz B y sumamos ordenadamente los productos obtenidos:
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Ejercicio #13
Multiplica las matrices que tienes a continuación:
Solución
En el caso de que la matriz multiplicando como la matriz multiplicador tengan varias columnas y filas procedemos del mismo modo como anteriormente.
Multiplicamos cada fila de la matriz multiplicando por cada unade las columnas de la matriz multiplicador. Después, sumamos los resultados que vamos obteniendo de la multiplicación:
Ejercicio #14
Halla el producto de las matrices siguientes:
Para la mayoría puede resultarnos un poco complicado el realizar un producto de matrices, pero no tienes que preocuparte. Hoy que muchos disponemos de un
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ordenador o una calculadora, ellos se encargan de hacer este penoso y delicado trabajo de un modo muy rápido y seguro.
Para dividir basta multiplicar por el inverso del multiplicador.
ORDEN DE UNA MATRIZ
Como has visto hasta aquí, las matrices se componen de filas y columnas a las que generalmente se las representan con las letrasm y n. La m para las filas y la n para las columnas.
El número de elementos de una matriz lo obtendremos de multiplicar el número de filas por el de columnas: m x n
Al producto m x n llamamos orden de matrizCuando decimos que una matriz es de orden 4x5 ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5 columnas.Te darás cuenta que una matriz de 3x2 es más pequeña que otra matriz de 7x4. Esto quiere decir que el orden, el tamaño, ladimensión significan lo mismo.
Ejercicio #15
¿Cómo son m y n en las matrices cuadradas?
Respuesta: iguales.
Ejercicio #16
¿Cómo se llama la matriz que tienes a continuación?
Respuesta: antisimétrica
Ejercicio #17 ¿Cómo se llaman las matrices siguientes?
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Respuestas: La matriz A es una matriz escalar La matriz B es una matriz unidad o identidad
Ejercicio #18
¿Cómo se llama la matriz A respecto a la matriz B?
Ejercicio #19
Calcula el valor de sabiendo que sabiendo que
Solucion
Ejercicio #20
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¿Por qué matriz tengo que sumar a la matriz
para obtener la matriz
Solución
A la matriz que desconozco la represento por:
Puedo escribir:
20
Ejercicio #21
¿Por qué matriz tengo que multiplicar a la matriz para obtener la
matriz
Resolvemos las ecuaciones:
Pasamos a calcular las variables de b y d
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Los valores obtenidos son: a = 0,5; b = 0; c = 1,5; d = 2
Ejercicio #22
¿Por qué matriz tienes que multiplicar a la matriz para obtener la
matriz
Matriz inversa (I):
La matriz inversa de una matriz es la que multiplicada por ésta
se obtiene una matriz identidad.
Por si no recuerdas:
Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1:
Se trata de una matriz identidad.
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¿Cuál es la matriz inversa de:
Tenemos que calcular otra matriz cuyo producto con la que nos han dado obtengamos una matriz unidad o matriz identidad.
Podemos establecer la siguiente igualdad:
Donde el primer factor es la matriz A que nos la han propuesto, el segundo factor es la matriz cuyos elementos desconocemos y las representamos con las variables: x, y, z y t. El resultado tiene que ser una matriz identidad que tenemos a la derecha del signo (=).
Multiplicando e igualando a valores conocidos y ya estudiados tendremos:
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Ejercicio #23
¿Cuál es la matriz inversa de:
(Más adelante la volveremos a estudiar introduciendo una pequeña variación.)
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
Sean A, B y C tres matrices y e un valor escalar.
Propiedad asociativa:
Podemos sumar A + B y a su resultado sumarle C.
Propiedad conmutativa:
A + B = B + A
Propiedad distributiva:
e(A+B)=eA + eB
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
Sean A, B y C tres matrices.
Propiedad asociativa:
Podemos multiplicar A (B x C) = B (A x B) C
Tenemos las 3 matrices siguientes:
mucho cuidado EN RESPETAR EL ORDEN ALFABÉTICO DE LAS LETRAS QUE REPRESENTAN A LAS MATRICES:
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Vemos que obtenemos el mismo resultado, pero teniendo muy en cuenta el orden. NO PODEMOS ALTERAR EL ORDEN DE LOS FACTORES.
NO EXISTE LA PROPIEDAD CONMUTATIVA EN LAS MATRICES (salvo casos especiales de coincidencias de ciertos elementos).
Vamos a comprobarlo:
Ejercicio #24
¿Por qué, en general, no existe propiedad conmutativa en el producto de matrices?
Respuesta: No se obtiene el mismo resultado multiplicando filas del multiplicando por columnas del multiplicador que multiplicando filas del multiplicador por columnas del multiplicando, salvo que hayan especiales circunstancias de coincidencia de elementos en ambas matrices.
CALCULAR EL RANGO DE LAS MATRICES
No siempre es tan sencillo calcular el rango, a veces, es algo más complicado pero si llevas a cabo los pasos siguientes no hallarás dificultades.
Vamos a obtener matrices escalonadas porque sabemos que si una fila solamente contiene ceros será linealmente dependiente.
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Para obtener una matriz escalonada el elemento (2 1), es decir, el 4 lo hemos de convertir en 0 y para ello, multiplicamos a los valores de la F1 (fila 1) por 4 y vamos restando a los valores de F2 (fila 2) tal como queda indicado más abajo:
Antes de comenzar a realizar algunas operaciones recordarte el orden jerárquico de los signos. Primero se hacen multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas:
Siguiendo con la construcción de una matriz escalonada, el elemento que se halla en la posición (3 1) que es el 7 también ha de ser igual a cero y para ello multiplicamos a los valores de la fila 1 (F1) por -7 y vamos restando de los valores de F2:
Recuerda que tratamos de obtener una matriz escalonada. En este momento el valor situado en (3 2), -6 ha de ser cero por lo que debo dirigirme a la F2 que ya comienza su fila con el valor cero. No relaciono F3 con F1 porque obtendría un valor para el lugar (3 1) que ya lo tengo y es cero.
Multiplico a cada valor de F2 por – 2 y resto de los valores que tengo en F3:
Observo que tengo dos filas linealmente independientes o dos filas que no son ceros, luego el rango vale 2.
Ejercicio #30 26
Calcula el rango de la matriz:
Respuesta: rang (D) = 2
Solución
Siempre has de tratar de conseguir que el primer elemento de la 2ª fila (2 1) sea 0. Seguidamente, el (3 1) también, y así hasta lograr que a partir de la 2ª fila, los elementos de la 1ª columna sean ceros.
Una vez que lo hayas conseguido y si ves que todavía no sabes el rango de la matriz, debes tratar que el 2º elemento de la 3ª fila sea cero, es decir, tratar de obtener una matriz escalonada.
En cuanto veas que la última o últimas filas completas sus elementos son iguales a cero has terminado con el cálculo. Cuantas las filas independientes y ya tienes su rango.
Esto es lo que ves a continuación paso a paso:
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Vemos que dos filas son linealmente independientes, luego el rango de esta matriz es 2.
Ejercicio #31
Calcula el rango de la matriz siguiente:
Respuesta: r(A) vale 3
Matriz inversa (II) (método de Gauss):
Recordarás que al estudiar por vez primera la matriz inversa dijimos que más adelante volveríamos a estudiarla introduciendo una pequeña variante debido a Carlos Federico Gauss un prodigio de inteligencia desde su más tierna infancia que vivió entre los años 1775 al 1855 en Alemania.
Vamos a hacer el cálculo de la matriz inversa sirviéndonos del método de Gauss.
Como ya hemos estudiado, tenemos que calcular una matriz A-1que multiplicada por la matriz A obtengamos el resultado:
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Haciendo uso del método de Gauss escribimos la matriz original del modo siguiente:
Le hemos agregado los elementos del resultado que nos tiene que dar.
A la derecha de la raya roja la matriz identidad, a la izquierda la matriz propuesta.
Hemos de conseguir que a la izquierda de la vertical de color rojo aparezca la matriz identidad y a la derecha los elementos de la matriz inversa:
Cuando a la matriz propuesta la hayamos transformado en matriz identidad, los elementos que ocuparán su lugar original será el valor de la matriz inversa (x, y, u, v).
El 2 que ocupa el lugar (1 2) debe darnos un 0 y para ello realizo las siguientes operaciones: F1 = 2F1 – F2:
El 3 que ocupa el lugar (1 2) nos interesa vamos a convertirlo en 1, para ello tendremos que dividir a todos los elementos de la fila entre 3:
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Multiplicamos por – 1 a todos los términos de la primera fila:
El valor del elemento (2 1) debe tener el valor 0 y para ello realizo la operación: F2 = F2 – F1:
Necesitamos que el valor del lugar (2 2) sea igual a 1 y para ello multiplico a cada uno de los elementos de la fila por 3/4:
Ya hemos concluido, la matriz inversa es lo que se halla a la derecha de la matriz identidad:
es decir : 30
Estos valores corresponden a x, y, u, v.
Comprobamos:
No es complicado calcular la matriz inversa, lo malo es el tiempo que hay que utilizar en resolver y lo fácil que es equivocarse.
Ejercicio #32
Calcula la matriz inversa de
31
