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Departamento de Matemáticas. I.E.S. “Juan García Valdemora”Matemáticas I. Soluciones. Tema 1. Números reales

TEMA 1. NÚMEROS REALES

1. El número 365 que indica los días del año es un número muy curioso. Es el único número que es suma de los cuadrados de tres números naturales consecutivos y que además es suma de los cuadrados de los dos números siguientes. ¿Sabrías hallarlos?

Solución:Veamos la primera parte del enunciado:

Sean x-1, x y x+1 los tres números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es igual a 365,

tendremos:

de modo que los tres números son: 10, 11 y 12.

La segunda parte del enunciado la comprobaremos simplemente, los dos números naturales que siguen a los

números anteriores son respectivamente 13 y 14, de modo que verifican:

2. Escribe como fracciones irreducibles los siguientes números decimales:a) 13,176 b) -2,132132132... c) -42,31121212... d) 6,3141414...

Solución:a) Si r = 13,176 entonces 1.000r = 13176.

Por tanto

b) Si r = -2,132132132... entonces 1.000r = -2132,132132.

Por tanto 1.000r - r = -2130

c) Si r = -42,31121212... entonces análogamente

d) De forma análoga se tiene

3. Demuestra que es irracional el siguiente número:

Solución:Expresando cada una de las fracciones en base 10 se tiene:

1


La suma en forma decimal es:

Este número no es periódico ya que detrás del 1 se van colocando 1, 2, 3, 4,... ceros sucesivamente.

4. Al realizar la medida de la altura de un niño de 92 cm se obtuvieron 90 cm. Al realizar la medida de la altura de una torre de 38 m se obtuvieron 37 m. Calcular:a) El error absoluto de cada medida.b) El relativo de cada medida.c) Indicar cuál de las dos medidas es más precisa y justificar la respuesta.

Solución:a) Error absoluto del niño: 92 cm - 90 cm = 2 cm. Error absoluto de la torre 3800 cm - 3700 cm = 100 cm.

b) Error relativo para el niño: 2:92 = 0,0217... Error relativo para la torre: 100:3800 = 0,0263...

c) Es más precisa la medida del niño que la de la torre ya que el error por unidad es menor.

5. Aproxima a) a las décimas por exceso y por defectob) a las milésimas por exceso y por defecto.Estima una cota del error absoluto y relativo en cada caso.

Solución:a) Exceso: 0,5; Defecto: 0,4. EA 0,05; ER 0,11b) Exceso: 0,424; Defecto: 0,423. EA 0,0005; ER 0,0012

6. Opera en notación científica:a)b)

Solución:a) 1,53 · 102

b) 5 · 10-68

7. Expresa en notación científica, en las unidades del sistema internacional, y determina el orden de magnitud de las siguientes cantidades:a) Distancia Luna Tierra: 384000 km.b) Distancia Tierra Sol: 150 millones de km.c) Tamaño de un virus: 0,0000000017 m.d) Peso de una bacteria: 0,00000000001 g.

Solución:a) 3,84 · 108 m. Orden = 8b) 1,5 · 1011 m. Orden = 11c) 1,7 · 10-9 m. Orden = -9d) 1 · 10-14 kg. Orden = -14

8. Opera en notación científica:a)b)

Solución:a) 5,2495 · 10-2 b) 1,5625 · 10-8

9. Realiza las siguientes operaciones con números reales.

2


a)

b)Solución:

a) b)

10.Realiza las siguientes operaciones con números reales.

a)

b)

Solución:

a) b)

11.Demuestra que es un número irracional.Solución:Probemos que no es un número racional, o lo que es lo mismo, que no existe ningún numero racional cuyo cuadrado sea 3.

Supongamos lo contrario, es decir que siendo a y b primos entre sí, se verifica

En el razonamiento siguiente se comprueba que esta hipótesis conduce a una contradicción.

Si a y b son primos entre sí, también son primos sus cuadrados.

Como , donde es múltiplo de

Hemos llegado a una contradicción, por tanto es un número irracional.

12.Determina según los distintos valores de x, el valor de la expresión E(x) = x + 2 + 2x y comprueba los resultados dando a x los valores -3, -1 y 2.

Solución:Se trata de definir según x los dos valores absolutos que intervienen en la expresión, dichos valores son

respectivamente:

Si x<-2 se tiene E(x) = -x-2-2x = -3x-2, que comprobamos: E(-3) = -3+2+-6 = 7; E(-3) = (-3)(-3)-2 = 7

Si -2x<0 se tiene E(x) = x+2-2x = -x+2, que comprobamos: E(-1) = -1+2+-2 = 3; E(-1) = -(-1)+2 = 3

Si x0 se tiene E(x) = x+2+2x = 3x+2, que comprobamos: E(2) = 2+2+4 = 8; E(2) = (3)(2)+2 = 8

13.Ordena de menor a mayor los siguientes números reales:

a) b)

Solución:Podemos utilizar la calculadora científica para evaluar los números dados:

a) Aproximando hasta las diezmilésimas, se tiene:

3


por tanto:

b) Aproximando hasta las centésimas, se tiene:

Por tanto:

14.Calcula el centro y el radio de los siguientes entornos:a)

b)

c)

d)Solución:

a) C = , r = b) C = , r = c) C = , r = d) C = -2,8; r = 3

15.Escribe como un único intervalo, y representa el resultado en la recta real:a) b)

Solución:a) cuya representación gráfica es la que se muestra

b) cuya representación gráfica es la que se muestra

16.Escribe como un intervalo el conjunto de números reales x tales que verifican:

2x - 4 - x 1Solución:De la definición de valor absoluto, se tiene:

1. Si x<0 se tiene: , lo cual es imposible.

2. Si 0 x < 2 se tiene: , la solución es el intervalo

3. Si x 2 se tiene: la solución es el intervalo

El conjunto descrito está formado por la unión de las anteriores soluciones, se trata del intervalo

17.Determina a qué intervalos abiertos corresponden los siguientes entornos:a) De centro 2 y radio 3: E(2,3)b) De centro -1 y radio 2: E(-1,2)Halla los intervalos numéricos correspondientes a la unión e intersección de dichos intervalos.

Solución:

4


a)

b)

La unión de los intervalos obtenidos es:

La intersección de dichos intervalos es:

18.Determina qué entornos se corresponden con los siguientes intervalos numéricos, determinando en cada caso, el centro y radio del entorno.a) -7,5 b) -3,9Calcula los intervalos unión e intersección de esos dos conjuntos de números.

Solución:Todo entorno de centro c y radio r>0 se corresponde con un intervalo abierto, cuyos extremos a y b, guardan la

siguiente relación: de modo que se tiene:

a) siendo ; el entorno es E(-1,6)

b) siendo ; el entorno es E(3,6)

La unión de los dos intervalos es -7,5-3,9=-7,9

La intersección de los dos intervalos es -7,5-3,9=-3,5

19.Escribe como un único intervalo, y representa el resultado en la recta real:a) b)

Solución:a) cuya gráfica es

b) no tiene representación

20.Representa los siguientes conjuntos de números en la recta real:a) b) c) d)

Solución:a) De su representación es la mostrada abajo

b) De su representación es la mostrada abajo

c) De su representación es la mostrada abajo

5


21.Calcula:

a)

b)Solución:

a) b)

22.Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) b) c)

Solución:

a) b) c)

23.Simplifica las siguientes expresiones hasta dejarlas en la forma :

a) b)

Solución:

a)

b)

24.Escribe cuatro números comprendidos entre los números:a) b)

Solución:a) Como las raíces tienen el mismo índice y partes subradicales consecutivas, tomaremos raíces equivalentes a las

dadas:

como los cuatro números comprendidos entre los dos dados pueden ser:

b) Reduciendo a índice común, se tiene: de modo que los cuatro números comprendidos

entre los dos dados pueden ser

25.Racionaliza y simplifica el resultado:

a)

b)

Solución:

a) b)

26.Racionaliza y simplifica:

6


a) b)

Solución:

a) b)

27.Encuentra el valor de a para que:

Solución:

Por lo que a = 8.

28.Expresa como una única raíz, simplifica y saca factores:

a) b)

Solución:

a) b)

29.Halla dos números racionales tales quea)b)

Solución:a) Elevando al cuadrado:

a = 1, b = 6 ó a = 6, b = 1b) Elevando al cuadrado:

30.Demuestra las siguientes identidadesa)b)

Solución:a) Ambos son positivos y

b) Ambos son positivos y

31.Demuestra las siguientes identidadesa)b)

Solución:a) Ambos son positivos y

b) Ambos son positivos y

7


32.Racionaliza y simplifica el resultado:

a)

b)

Solución:

a) b)

33.Utiliza la igualdad para racionalizar las siguientes expresiones:

a) b)

Solución:

a) b)

34.¿Existe algún valor entero de x tal que sea entero?Solución:

es entero si x = 0, x = 9, x = 16, x = 21, x = 24 o x = 25, pero y es entero sólo para x = 16.

35.Opera, racionaliza y simplifica:

a) b)

Solución:

a) b)

36.Racionaliza y simplifica:

a) b)

Solución:

a) b) -1

37.Dada la potencia:

se pide:a) Calcula el término en el que x, aparece con exponente 28.b) ¿Existe algún término del desarrollo que sea independiente (es decir numérico)? Si es así, ¿cuál es su

valor?Solución:

El término de orden k del desarrollo de la potencia del binomio. es:

a) Desarrollando, se tiene:8


Teniendo en cuenta que 43 - 3k =28 k = 5, el término es el quinto.

b) Para que un término del desarrollo, sea independiente, es decir, numérico, debe cumplirse:

43 - 3 k = 0, ecuación que no tiene solución entera para k, por tanto:

No existe en ése desarrollo término independiente.

38.Resuelve las ecuaciones:

a) b)

Solución:

a)

Solución válida x = 1

b)

Las soluciones son x = 15 y x = 25

39.El tercer y cuarto término del desarrollo de la potencia: valen 90 y 270 respectivamente. Halla x y n para que eso ocurra.

Solución:El término de orden k del desarrollo de:

es de la forma:

Operando el sistema de ecuaciones:

De la descomposición anterior, identificando factores, se tiene n = 5 y x =3.

40.Resuelve la ecuación:

Solución:Desarrollando los números combinatorios, se tiene:

Simplificando por (x!) se tiene:

Desarrollando factoriales, hasta llegar a (x - 5)! se tiene:

Simplificando por (x-5)! se tiene:

9


Operando y trasponiendo al primer miembro, se tiene:

La solución es x = 5.

41.Sabiendo que el desarrollo de: es igual a la unidad y que su término central es 1120, calcula qué valores deben tomar x e y para que eso ocurra.

Solución:Las dos condiciones del enunciado son:

- Como

- Como:

Para calcular x e y, podemos plantear los siguientes sistemas:

1.

2.

el sistema no tiene soluciones reales.

3.

4.

el sistema no tiene soluciones reales

Se tienen cuatro soluciones: (x = 2; y = 1); (x = -2; y = -1); (x = -1; y = -2) y (x = 1; y = 2)

42.¿Cuánto vale la suma de todos los números de la fila octava del triángulo de Tartaglia?Solución:La suma de los términos de la fila octava viene dada por la suma de los siguientes números combinatorios:

Teniendo en cuenta el desarrollo de la potencia binómica, se tiene:

De modo que para a = b = 1, dicho desarrollo coincide con la suma considerada, por tanto:

43.Los coeficientes de las potencias de x en el quinto y séptimo término del desarrollo de: son, respectivamente, 1120 y 1792. Determina n, para que eso ocurra.

Solución:Las expresiones de los términos quinto y séptimo son respectivamente:

Por tanto podemos plantear el sistema de ecuaciones:

Dividiendo miembro a miembro, se tiene:

10


Para n = 1, carece de sentido considerar los términos quinto y séptimo, por tanto:

La solución es n = 8.

44.En el desarrollo de la potencia:

Halla:a) La expresión del quinto término del desarrollo.b) El término central.

Solución:El término de orden k del desarrollo de la potencia del binomio es:

a) El término quinto es:

b) El término central es Tc = T3, por tanto

45.Considera el desarrollo de la potencia:

a) Calcula el coeficiente numérico del término octavo del desarrollo.b) ¿Cuál es la expresión del término central?

Solución:La expresión del término de orden k, del desarrollo de

es:

a) Particularizando al término octavo, se tiene:

cuyo coeficiente es:

b) El término central del desarrollo es el sexto, por tanto, dicho término es:

46.Efectúa el desarrollo, simplificando todo lo posible el resultado, de las siguientes potencias:

a) b)

Solución:

a)

11


b)

47.Determina n, x e y, sabiendo que los términos segundo, tercero y cuarto del desarrollo de: valen, respectivamente, 80, 80 y 40.

Solución:El término de orden k del desarrollo de:

viene dado por la expresión:

Particularizando a los términos 2º, 3º y 4º, se tiene el sistema:

Descomponiendo en factores los segundos miembros y agrupando adecuadamente dichos factores, se tiene:

Identificando factores de uno y otro miembro, se tiene n = 5, x = 2 e y = 1.

48.Sean a y b dos números reales. Prueba cada una de las igualdades siguientes:

a) b)

Solución:Para probar la primera igualdad pasaremos todos los logaritmos a la misma base, por ejemplo, a base “a”, para ello

sea:

de modo que: , que prueba el enunciado.

Para probar la segunda igualdad, desarrollamos y operamos el segundo miembro de la misma:

49.Resuelve razonadamente las siguientes cuestiones:a) ¿Es cierta la igualdad ?b) Despeja x en la igualdad:

Solución:

a)

como tendremos:

b) Agrupando logaritmos tendremos: , de esta última

igualdad obtenemos x:

Nota: Si a=0 será x=0 y log(x) no está definido; si a=1, tampoco está definido el número x12


50.Conociendo el valor de log5 2 = 0,43 y de log 2 = 0,3, calcula el valor aproximado de

a)

b)Solución:

a)

b)

51.Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos:a) b) c) d)

Solución:a)

b)

c)

d) Si es tendremos:

52.Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:a) ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica ?b) ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica ?c) ¿Qué relación existe entre los logaritmos decimales de 2,5 y de 2.500?

Solución:a) De se deduce: es decir A y B son inversos multiplicativos.

b) De se deduce:

c) Como

53.Calcula la parte entera de los siguientes logaritmos (no utilizar la calculadora)a) log 26 b) log 5.27 c) log 512

Solución:a) 1 b) 0 c) 2

54.Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:a) b) b) c) d)

Solución:

a) , igualando se tiene:

b) , igualando se tiene:

c) , igualando se tiene:

13


d) , igualando se tiene:

55.Escribe como un único logaritmo las siguientes expresiones:a) b) c)

Solución:a)

b)

c)

56.Calcula:a) El valor de la suma , sabiendo que , y el valor que se

obtiene cuando n = 50.b) Determina ahora el valor de la suma .

Solución:a)

sacando factor común se tiene la siguiente igualdad

Cuando n=50, tendremos el siguiente valor:

b) Análogamente al caso anterior, tendremos: teniendo en cuenta el

valor tendremos para esta suma el valor:

57.Sabiendo que , calcula:a) b) c) d) e)

Solución:

a)

b)

c)

d)

e)

58.Simplifica al máximoa) 3 log3 184 - log3 542

b) log8 a4 - log8 8ªSolución:a) 12 (log3 2 + 2) - 2(log32 + 3) = 10 log32 + 18

14


b) 4 log8 a – a

15

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