CABANG-CABANG MATEMATIKA
(MATEMATIKA TERAPAN DAN ARITMATIKA)
OLEH:
WA ODE ROSDALIAN (G2I1 13 005)
SARNI (G2I1 13 002)
ASNITA LA MBOSE (G2I1 13 004)
LA ODE SALMIN (G2I1 13 003)
TELY DARMAWANGSA (G2I1 13 001)
PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS HALU OLEO
PENDIDIKAN MATEMATIKA
2013
MATEMATIKA TERAPAN
Matematika terapan merupakan cabang matematika yang terkait
dengan tehnik matematika yang digunakan dalam aplikasi ilmu
matematika untuk domain lain. Matematika terapan berkenaan dengan
penggunaan alat matematika abstrak guna memecahkan masalah-masalah
konkret di dalam ilmu pengetahuan, bisnis dan wilayah lainnya.
(gumatika IPB,2011)
Secara historis, matematika telah menjadi kebutuhan ilmu fisika
yang telah mendorong perkembangan banyak bagian dari matematika,
khususnya analisis. Aplikasinya kadang-kadang sulit untuk
diklasifikasikan secara matematis, karena alat dari beberapa area
dari matematika mungkin digunakan. Kita lebih fokus membahas
bagaimana interaksi disiplin ilmu tersebut dengan matematika bukan
untuk mendiskusikan sifat dasar dari disiplin ilmu tersebut.
Sebagian besar area di kelompok ini secara kolektif dikenal sebagai
“Matematika Fisika”. Sekarang ini, matematika semakin mutakhir dan
digunakan oleh insinyur, biologi, dan ilmu sosial.
Area dari penerapan matematika menurut “The Mathematical
Atlas”;
1. Mekanika partikel dan sistem
Mempelajari tentang dinamika dari kumpulan partikel atau benda
padat, termasuk rotasi dan vibrasi benda. Menggunakan prinsip
variasional (minimisasi energi) maupun persamaan diferensial. Jelas
bahwa studi tentang sistem dinamika memerlukan persamaan
diferensial.
Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang
menghasilkan persamaan diferensial;
Lintasan peluru yang ditembakkan dari meriam mengikuti kurva
yang ditentukan lewat persamaan diferensial parsial yang diturunkan
dari hukum kedua Newton
untuk gerakan partikel (peluru) dengan massa konstan m. Pada
umumnya, gaya F tergantung kepada posisi partikel x(t) waktu t, dan
demikian fungsi yang tidak diketahui x(t) muncul pada kedua ruas
persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi
F(x(t)).
Contoh sederhana lain, misalnya gaya pada pengambilan air dari
sumur yang menggunakan katrol, sistem katrol melibatkan hubungan
dua buah benda atau lebih yang melalui sebuah katrol. Sistem katrol
terdiri atas tali, katrol dan benda. Pada bagian ini sistem katrol
bekerja tanpa gesekan,
Mekanika partikel, studi tentang partikel bisa digunakan oleh
atlet panahan atau atlet tembak untuk keakuratan proyektil atau
panah yang dilepaskan. Juga dipakai pada teknologi terapi kanker
dengan hadron. Hadron merupakan salah satu klasifikasi partikel,
dan saat ini teknologi terapi medis dengan menggunakan hadron
(proton, antiproton, dan inti atom karbon) sudah mulai
dikembangkan. Teknologi terapi ini memerlukan sumber hadron yang
dapat dikontrol dengan akurat, dan teknologi untuk sumber hadron
tersebut tersedia dari teknologi fisika partikel eksperimen.
2. Mekanika fluida
Mempelajari tentang udara, air dan fluida lain dalam gerakan:
tekanan, turbulensi, difusi, persamaan gelombang dan lainnya.
Secara matematis ini termasuk studi tentang solusi dari persamaan
diferensial, termasuk metode numerik (mis; metode elemen finite),
meskipun pengembangan dari tehnik ini lebih tepat dengan analisis
numerik.
Contoh pada persamaan difusi kalor pada batang logam dengan T =
suhu, menggunakan persamaan diferensial:
Difusi kalor terjadi dari tempat yang temperaturnya lebih tinggi
ke tempat yang temperaturnya lebih rendah. Jika dibatasi arah
difusi hanya ke sb x saja, maka temperatur di setiap titik pada
batang logam akan bergantung pada posisi x dan waktu t. Difusi
kalor terjadi dari tempat yang temperaturnya lebih tinggi ke tempat
yang temperaturnya lebih rendah. Jika dibatasi arah difusi hanya ke
sb x saja, maka temperatur di setiap titik pada batang logam akan
bergantung pada posisi x dan waktu t.
Studi tentang mekanika fluida banyak dipakai oleh engineering
untuk mendesain jaring-jaring pipa saluran, pompa, turbin,
alat-alat mekanik, pembuatan barang-barang plastik, dan lain-lain.
Selain itu, ilmu tentang mekanika fluida dipakai juga pada sistem
karburator kendaraan bermotor. Dalam karburator, aliran udara yang
masuk ke dalam mesin akan dicampur dengan bahan bakar, sehingga
mengubahnya menjadi energi.
Persamaan Navier-Stokes memiliki bentuk persamaan diferensial
yang menerangkan pergerakan suatu fluida. Persamaan seperti ini
menggambarkan hubungan laju perubahan suatu variable terhadap
variable lain. Untuk mendapat hasil dari suatu permasalahan fisika
menggunakan persamaan Navier-Stokes perlu digunakan ilmu kalkulus.
Secara praktis, hanya kasus-kasus sederhana yang dapat dipecahkan
dengan cara ini. Untuk kasus-kasus kompleks, seperti system udara
global (EL Nino) atau daya angkat udara pada sayap, penyelesaian
persamaan persamaan Navier-Stokes hingga saat ini hanya mampu
diperoleh dengan bantuan komputer.
Mekanika fluida memegang peranan penting dalam kehidupan kita
dan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan baik tanpa menggunakan
persamaan matematis.
3. Optik, teori elektromagnetik
Studi tentang persamaan dan evolusi gelombang elektromagnetik,
termasuk topik dari interferensi dan difraksi. Selain cabang biasa
dari analisis, area ini termasuk topik geometri seperti jalan dari
sinar cahaya.
Contohnya, cahaya yang merambat sepanjang serat optik mengalami
penurunan energi secara eksponensial terhadap jaraknya. Jika P (0)
adalah daya optik awal dalam serat (pada z = 0)dan P (z) adalah
daya optik setelah menempuh z, maka diperoleh hubungan sebagai
berikut:
Contoh lain penerapan matematika pada bidang ini yaitu
pemantulan cahaya, perhatikan gambar di bawah ini;
Menurut Prinsip Fermat letak titik O harus sedemikian rupa
sehingga waktu tempuh cahaya yang melewati titik ini dari A ke B
adalah minimum. Dengan kata lain lintasan yang ditempuh oleh cahaya
dari A ke B haruslah minimum sehingga berdasarkan syarat dalam
metode kalkulus diharuskan . Maka kita dapat menuliskanya dalam
kasus ini menjadi
dengan melihat gambar kita dapat menuliskan persamaan
menjadi;
Atau
Ini adalah hukum pemantulan cahaya. Teori elektromagnetik banyak
digunakan pada bidang kedokteran, aplikasi sinar-x, dan lain-lain.
Gelombang elektromagnet dapat mengalami refleksi, refraksi
(pembelokan), difraksi, Interferensi, dan polarisasi. Berikut
adalah penerapan gelombang elektromagnetik dalam kehidupan
sehari-hari;
a. Sinar Gamma
Sinar Gamma mempunyai daya tembus sangat tinggi, maka sinar
gamma digunakan
dalam berbagai bidang . antara lain :
1. Industri, untuk mengetahui struktur logam
2. Pertanian, untuk membuat bibit unggul
3. kedokteran, untuk terapi dan diagnosa ,dan
4. Farmasi, untuk sterilisasi
b. Sinar - X
Sinar – X mempunyai daya tembus besar . dalam bidang kedokteran
sinar ini digunakan untuk membuat gambar organ tubuh bagian
dalam.
c. Sinar Ultraviolet
Sinar Ultraviolet mempunyai daya kimia yang besar karena
membentuk jasad renik . Sinar ultraviolet dipakai sebagai
sterilisasi .
d. Sinar Tampak
Sinar ini merupakan gelombang yang sangat penting bagi makhluk
hidup . dengan gelombang ini orang bisa membuat alat-alat optik
.
e. Sinar Inframerah
Sinar ini banyak digunakan untuk penelitian struktur atom dan
pemotretan rahasia .
f. Radar
sifat pantulan gelombang radar sangat baik, maka gelombang ini
banyak digunakan untuk menetukan jarak suatu tempat dengan baik dan
cepat .
g. Radio
gelombang radio digunakan sebagai pembawa informasi . gelombang
ini dapat di pantulkan oleh lapisan ionosfer sehingga dapat
mencapai daerah yang luas di bumi .
4. Termodinamika klasik, perpindahan panas
Studi tentang aliran panas melalui materi, termasuk fase
perubahan dan pembakaran. Secara historis, sumbernya dari deret
fourier.
Termodinamika klasik menggarap keadaan sistem dari sudut pandang
makroskopik dan tidak membuat hipotesa mengenai struktur zat. Untuk
membuat analisa termodinamika klasik kita perlu menguraikan keadaan
suatu sistem dengan perincian mengenai karakteristik-karakteristik
keseluruhannya seperti tekanan , volume dan temperature yang dapat
diukur secara langsung.
Misalnya pada persamaan Laplace, pada kasus fisika distribusi
keadaan mantap termperatur dalam ruang yang dibatasi pelat semi tak
hingga, maka persamaan Laplace:
Distribusi panas pada pelat merupakan rambatan panas yang
merambat secara konduksi. Panas yang dialirkan pada bagian pelat
akan merambat dan terdistribusi dengan sendirinya sehingga
temperatur dalam bagian pelat akan mencapai distribusi suhu yang
konstan pada waktu t.
Termodinamika klasik, perpindahan panas dapat kita lihat pada
suatu sistem dapat berupa seperangkat mesin, refrigerant pada mesin
pendingin, uap air dalam turbin, jaringan otot makhluk hidup dan
sebagainya. Jika pada sistem itu dapat terjadi pertukaran energi
dengan lingkungannya, misalnya melalui konduksi, maka sistem itu
disebut sebagai sistem termodinamika. Sebagai contoh, perhatikan
sebuah panci tertutup yang penuh berisi air. Ketika panci
dipanaskan diatas kompor, energi diberikan ke dalam air melalui
peristiwa konduksi. Ketika air mendidih, air mampu mengangkat tutup
panci. Peristiwa ini dapat kita jumpai pada saat kita memanaskan
air. Dalam peristiwa ini keadaan air berubah, karena pada saat
mendidih, volume, suhu dan tekanan berubah. Proses semacam ini
dikenal sebagai proses termodinamika. Dalam sistem termodinamika,
kita perlu mendefinisikan sistem dengan jelas. Misalnya, pada
proses pemanasan air diatas, yang dimaksud sistem adalah air,
tetapi tidak termasuk panci, tutup dan kompor.
5. Teori Kuantum
Studi tentang energi bahwa energi itu tidak kontinu tapi diskrit
berupa paket atau kuanta yang bertentangan dengan fisika klasik
yang berasumsi bahwa energi itu berkesinambungan. Studi ini solusi
dari persamaan diferensial! Juga termasuk cukup banyak teori grup
Lie dan teori grup kuantum, teori distribusi dan topik dari fungsi
analisis, problem Yang-Mill, diagram Feynman dan sebagainya.
Misalkan A adalah sebuah observabel dari sistem kuantum, dan
keadaan dianggap tetap dan diberikan oleh . Evolusi waktu dari
observabel A diberikan oleh
Di mana U(t) adalah grup satu parameter dari operator
uniter.
Teori kuantum sangat penting dalam ilmu pengetahuan karena pada
prinsipnya teori ini dapat digunakan untuk meramalkan sifat-sifat
kimia dan fisika suatu zat. Kiprah mekanika kuantum di masa-masa
mendatang barang kali masih akan tetap diperhitungkan. Misteri lain
yang mungkin lebih besar barangkali masih tersimpan dalam teori
kuantum itu. Paling tidak para ilmuwan berharap, dengan mengendarai
kuantum mereka akan sampai pada tujuan mewujudkan impian berupa
hadirnya perangkat fotonik serta gagasan pembuatan komputer fotonik
(komputer kuantum) yang akan mencerahkan kehidupan manusia di awal
milenium ketiga ini.
6. Mekanika statistika, struktur materi
Studi dari sistem skala-besar dari partikel, termasuk sistem
stokastik dan sistem pergeseran dan perkembangan. Mekanika
statistik mempelajari prinsip-prinsip mekanika yang diterapkan pada
suatu sistem banyak partikel dari segi pandang statistik untuk
mencapai sifat-sifat makroskopik dari sistem. Sistem ini termasuk
aplikasi teori probabilitas yang memasukkan matematika untuk
menangani populasi besar ke bidang mekanika yang menangani gerakan
partikel atau objek yang dikenai suatu gaya. Spesifikasi tipe
materi pelajaran ini termasuk fluida, kristal, logam dan padatan
lainnya. Jenis distribusi statistik yang digunakan adalah Maxwell
Boltzman, Bose-Einstein dan fungsi partisi.
Aplikasi dari mekanika statistik, salah satunya untuk mengetahui
sifat-sifat makroskopik sistem dalam keseimbangan. Bidang ini
memberikan kerangka untuk menghubungkan sifat mikroskopis atom dan
molekul individu dengan sifat makroskopis atau limbak (bulk) materi
yang diamati sehari-hari, dan menjelaskan termodinamika sebagai
produk alami dari statistika dan mekanika (klasik dan kuantum) pada
tingkat mikroskopis. Mekanika statistika khususnya dapat digunakan
untuk menghitung sifat termodinamika materi limbak berdasarkan data
spektroskopis dari molekul individual.
Sebagai contoh dari sudut pandang termodinamika klasik, orang
mungkin bertanya apa itu sebuah sistem termodinamika dari
molekul-molekul gas, seperti ammonia NH3 yang menentukan
karakteristik energi bebas dari senyawa tersebut? termodinamika
klasik tidak memberikan jawaban tersebut. Apabila kita diberikan
data spektroskopi dari kumpulan molekul-molekul gas, seperti
panjang ikatan, sudut ikatan, rotasi ikatan dan fleksibilitas dari
ikatan-ikatan dalam NH3, kita akan melihat bahwa energi bebas tidak
lain adalah hal-hal tersebut. Untuk membuktikan kebenaran ini, kita
perlu menjembatani pemisah antara bidang mikroskopik dari atom-atom
dan molekul-molekul dan bidang makroskopik dari termodinamika
klasik. Dari fisika, mekanika statistik menyediakan semacam
jembatan dengan mengajarkan kita bagaimana untuk memahami sistem
termodinamika sebagai suatu kesatuan dari banyak unit. Secara lebih
spesifik hal tersebut menunjukkan bagaimana parameter-parameter
termodinamika dari suatu sistem, seperti temperatur dan tekanan
dapat diinterpretasikan dalam hubungan parameter-parameter
deskriptif dari elemen utama atom-atom dan molekul-molekul.
7. Teori relativitas dan gravitasi
Mempelajari geometri diferensial, analisis dan teori grup yang
digunakan untuk fisika pada skala besar atau dalam situasi ekstrim
(mis. black holes dan kosmologi).
Misalnya pada penerapan teori relativitas umum pada persamaan
gravitasi Einsten, . Pertama kali akan diturunkan solusi persamaan
gravitasi Einstein untuk objek statik bermassa M yang diletakkan
pada pusat koordinat dengan pemilihan koordinat empat dimensi
berupa tiga dimensi koordinat ruang polar ( r ,𝜃 ,𝜙 ) dan satu
dimensi koordinat waktu (t), hal ini merupakan penerapan dari
geometri diferensial.
Pada tahun 1915, Einstein menerbitkan serangkaian persamaan
diferensial yang dikenal sebagai persamaan medan Einstein.
Relativitas umum Einstein menggambarkan alam semesta sebagai suatu
sistem geometris tiga ruang dan satu dimensi waktu. Kehadiran
massa, energi, dan momentum (kuantutasi secara kolektif sebagai
kepadatan massa-energi atau tekanan-energi) yang dihasilkan dalam
tekukan sistem koordinat ruang-waktu. Gravitasi, oleh karena itu,
merupakan sebuah pergerakan sepanjang “sederhana” atau paling tidak
rute energetik sepanjang lengkungan ruang-waktu.
Pada bentuk yang sederhana, dan menghilangkan matematika yang
kompleks, Einstein menemukan hubungan antara kelengkungan
ruang-waktu dengan kerapatan massa-energi:
(Kelengkungan ruang-waktu) = (kerapatan massa-energi)*8µG/c4
Persamaan tersebut menunjukkan hubungan secara langsung,
proporsional terhadap kontanta. Kontanta gravitasi G, berasal dari
hukum Newton untuk gravitasi, sementara ketergantungan terhadap
kecepatan cahaya, c, adalah berasal dari teori relativitas khusus.
Dalam kasus nol (atau mendekati nol) (yaitu ruang hampa),
ruang-waktu berbentuk datar. Gravitasi klasik adalah kasus khusus
untuk manifestasi gravitasi pada medan gravitasi lemah, dimana
bentuk c4 (denominator yang sangat besar) dan G (nilai yang sangat
kecil) membuat koreksi kelengkungan kecil.
Sekali lagi, Einstein tidak tidak keluar dari topik. Dia bekerja
keras dengan geometri Riemannian (geometri non Euclidean yang
dikembangkan oleh matematikawan Bernhard Riemann beberapa tahun
sebelumnya), meskipun ruang yang dihasilkan adalah 4 dimensi
Lorentzian bermacam-macam daripada geometri Riemann ketat. Namun,
karya Riemann sangat penting bagi persamaan medan Einstein.
Untuk analogi relativitas umum, pertimbangkan bahwa kamu
membentangkan sebuah seprai atau suatu lembaran yang datar dan
elastik. Sekarang kamu meletakkan sesuatu dengan berat yang
bervariasi pada lembaran tersebut. Jika kita menempatkan sesuatu
yang sangat ringan maka bentuk seprai akan sedikit lebih turun
sesuai dengan berat benda tersebut. Tetaoi jika kamu meletakkan
sesuatu yang berat, maka akan terjadi kelengkungan yang lebih
besar.
Asumsikan terdapat benda yang berat berada pada lembaran
tersebut, dan kamu meletakkan benda lain yang lebih ringan di
dekatnya. Kelengkungan yang diciptakan oleh benda yang lebih berat
akan menyebabkan benda yang lebih ringan “terpeleset” disepanjang
kurva ke arah kurva tersebut, karena benda yang lebih ringan
mencoba untuk mencapai keseimbangan sampai pada akhirnya benda
tersebut tidak bergerak lagi (dalam kasus ini, tentu saja terdapat
pertimbangan lain, misalnya bentuk dari benda tersebut, sebuah bola
akan menggelinding, sedangkan kubus akan terperosot, karena
pengaruh gesekan atau semacamnya).
Hal ini serupa dengan bagaimana relativitas umum menjelaskan
gravitasi. Kelengkungan dari cahaya bukan karena beratnya, tetapi
kelengkungan yang diciptakan oleh benda berat lain yang membuat
kita tetap melayang di luar angkasa. Kelengkungan yang diciptakan
oleh bumi membuat bulan tetap bergerak sesuai dengan orbitnya,
tetapi pada waktu yang sama, kelengkungan yang diciptakan bulan
cukup untuk mempengaruhi pasang surut air laut.
8. Astronomi dan astrofisika
Merupakan ilmu mekanika yang berhubungan dengan angkasa, secara
matematis, bagian dari mekanika partikel, aplikasi dalam area ini
kelihatan pada struktur, evolusi, dan interaksi dari
bintang-bintang dan galaksi. Area ini berhubungan dengan mekanika
partikel yang menggunakan persamaan diferensial.
Astronomi adalah ilmu tertua yang dimiliki oleh manusia.
Dimulainya astronomi yang berdasarkan perhitungan matematis dan
ilmiah dipelopori oleh bangsa Babilonia. Mereka menemukan bahwa
gerhana bulan memiliki siklus yang teratur, disebut siklus saros.
Mengikuti jejak astronom-astronom Babilonia, kemajuan demi kemajuan
kemudian dicapai oleh astronom Yunani Kuno yang sedari awal
bertujuan untuk menemukan penjelasan yang rasional dan berbasis
fisika untuk fenomena-fenomena angkasa. Astronomi merupakan ilmu
yang mengungkapkan apa-apa saja yang terjadi di jagad raya. Ilmu
yang meneliti objek tak tersentuh, yaitu benda-benda langit seperti
bintang, planet, komet, nebula, galaksi, matahari, bulan, gugus
bintang dan berbagai fenomena alam yang terjadi di luar
angkasa.
Astronomi digunakan dalam sistem penanggalan. Astronomi
mempelajari tanda-tanda di luar atmosfer bumi beserta sifat kimia
dan fisika yang dimiliki benda tersebut sedangkan astrofisika
mempelajari tentang sifat fisik, tingkah laku, proses pergerakan
benda-benda langit dan fenomena yang terjadi. Beberapa contoh
proses yang ditelaah oleh astronomi dan astrofisika;
Proses Fisik
Alat Eksperimen
Model Teoritis
Yang dijelaskan/diprediksi
Gravitasi
Teleskop radio
Sistem gravitasi yang mandiri
Lahirnya sebuah tata bintang
Fusi Nuklir
Spektroskop
Evolusi
Bagaimana bintang berpijar, bagaimana logam terbentuk
Big Bang (Dentuman besar)
Teleskop Luar angkasa Hubble
Alam semesta yang mengembang
Usia alam semesta
Fluktuasi kuantum
Inflasi kosmik
Masalah kerataan alam semesta
Keruntuhan gravitasi
Astronomi sinar-x
Relativitas umum
Sekumpulan lubang hitam di pusat galaksi andromeda
9. Teori sistem, kontrol
Ini adalah studi matematika dari struktur dinamika kompleks
dalam teknik mesin. Seseorang dapat mencoba tes matematika atau
statistika untuk identifikasi sistem, yaitu, untuk menarik
kesimpulan hukum evolusi yang menentukan sistem. Seseorang dapat
mencoba sistem kontrol, yaitu, untuk menentukan input yang tepat
(mis. Kondisi awal untuk persamaan diferensial) sehingga sistem
menunjukkan output yang diinginkan; misalnya ini digunakan pada
bidang “robotic”. Jelasnya sistem analisis dan kontrol membutuhkan
alat dari persamaan diferensial dan analisis fungsional,
statistika, dan diferensial geometri (dalam kasus dari Kontrol
Optimal).
Analisis sistem kontrol memiliki sistem komponen yang tersusun
dari komponen, maka analisis harus dimulai dari deskripsi
matematika tiap komponen. Setelah model matematika kesuluruhan
sistem diturunkan maka cara analisis digunakan .
Contoh penerapan teori kontrol optimal pada pengadaan bahan
mentah suatu perusahaan dengan harga yang terus berfluktuasi dan
kapasitas gudang yang terbatas, misalnya pada suatu perusahaan
pasti akan terus berkompetisi untuk meningkatkan produktivitas
total melalui optimasi waktu, aliran kuantitas bahan mentah,, dan
biaya. Harga bahan mentah yang berfluktuasi dan kapasitas gudang
yang terbatas mendorong perusahaan-perusahaan untuk meningkatkan
efisiensi pada pengadaan bahan mentah. Untuk menjawab hal itu
digunakan teori kontrol optimal dalam menyelesaikan permasalahan
optimasi dinamik pada pengadaan bahan mentah. teori kontrol optimal
diterapkan untuk memodelkan biaya pengadaan secara just in time
yang dikombinasikan dengan kebijakan pergudangan dan penundaan.
10. Biologi dan ilmu alam lainnya
Ilmu untuk mencari pola matematis di lingkungan termasuk pada
Kimia, Biologi, Genetika, dan Obat-obatan (Farmasi). Dalam kimia
dan biokimia, jelas bahwa teori graf, diferensial geometri, dan
persamaan diferensial memainkan peran. Biologi (termasuk taksonomi
dan archaeobiologi) menggunakan statistika inferensi dan alat
matematis lainnya. Grafik pertumbuhan eksponensial untuk melihat
laju pertumbuhan untuk manusia, hewan, dan tumbuhan, serta grafik
pertumbuhan logistik sangat penting dalam biologi.
Misalnya, Model pertumbuhan logistik secara umum dapat
dituliskan
Dimana N adalah kerapatan populasi, a adalah laju pertumbuhan
instrintik dan K adalah titik jenuh (saturation level). Jika laju
pertumbuhan suatu mahluk hidup meningkat maka grafik solusi untuk
kasus K > , a > 0 dapat dilihat pada gambar (gambar grafik
pertumbuhan fungsi logistic naik);
Grafik fungsi ini merupakan fungsi monoton naik yang memberikan
penafsiran bahwa populasi akan terus bertambah dan tidak pernah
berkurang. Untuk populasi dimana K < , a > 0 grafik solusinya
diilustrasikan pada gambar (grafik pertumbuhan fungsi logistic
menurun);
Grafik fungsi ini adalah fungsi monoton turun yang menggambarkan
bahwa populasi akan terus berkurang dan tidak akan pernah
bertambah. Model pertumbuhan logistik mengasumsikan bahwa pada masa
tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan
(equilibrium) yang mana pada titik ini jumlah kematian dan
kelahiran dianggap sama, sehingga grafiknya mendekati konstan (zero
growth).
11. Teori permainan, ekonomi, sosial dan perilaku
Termasuk psikologi, sosiologi, dan ilmu-ilmu sosial lainnya.
Ilmu tentang perilaku (termasuk Linguistik) menggunakan tehnik
statistik. Ekonomi dan keuangan juga menggunakan statistika,
khususnya analisis deret-ukur; beberapa topik seperti teori voting
lebih ke kombinatorial. Kategori ini juga termasuk teori permainan,
yang sebenarnya bukan mengenai permainan melainkan tentang
optimisasi; yang mengarah pada hasil yang optimal.
Teori Permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk
merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai
persaingan. Teori ini dikembangkan untuk menganalisa proses
pengambilan keputusan dari situasi persaingan yang berbeda dan
melibatkan dua atau lebih kepentingan. Contoh aplikasi teori
permainan;
1. Kontrak dan program tawar menawar serta keputusan-keputusan
penetapan harga.
2. Dua pebisnis yang saling bersaing dapat menggunakan teori
permainan untuk menentukan strategi yang paling baik untuk mencapai
tujuannya.
3. Militer juga bisa menggunakan teori permainan untuk
menentukan strategi militer yang paling baik untuk memenangkan
konlik dengan negara asing
4. Investor bisa menggunakan teori permainan untuk menentukan
strategi terbaik ketika bersaing dengan investor lain dalam sebuah
lelang obligasi pemerintah
Pada bidang ekonomi dan bisnis teori teori permainan adalah
metode utama yang digunakan dalam ekonomi matematika dan bisnis
untuk pemodelan perilaku bersaing. Pengaplikasiannya termasuk
beragam fenomena ekonomi dan pendekatan, seperti lelang,
tawar-menawar, merger & akuisisi harga, pembagian yang adil,
duopolies, oligopoli, pembentukan jaringan sosial, agent berbasis
komputasi ekonomi, ekuilibrium umum, desain mekanisme, dan sistem
voting, dan seluruh wilayah yang luas seperti ekonomi
eksperimental, perilaku ekonomi, ekonomi informasi, organisasi
industri, dan ekonomi politik.
ARITMATIKA
Aritmatika merupakan cabang Ilmu matematika yang paling tua yang
mempelajari operasi dasar bilangan, cabang ilmu ini lebih dikenal
dengan sebutan ilmu hitung. Kata "aritmatika" sering dianggap
sebagai sinonim dari teori bilangan. Ada empat operasi dasar
aritmetika antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian. Keempatnya sering dipakai manusia dalam kehidupan
sehari-hari. Perhitungan dalam aritmatika dilakukan menurut suatu
urutan operasi yang menentukan operasi aritmatika yang mana lebih
dulu dilakukan. Namun demikian, banyak orang yang lebih suka
menggunakan alat-alat seperti kalkulator, komputer, atau sempoa
untuk melakukan perhitungan aritmatika. Perkembangan terakhir di
Indonesia berkembang mempelajari aritmatika dengan bantuan metoda
jarimatika, yakni menggunakan jari-jari tangan untuk melakukan
operasi kali, bagi, tambah dan kurang.
Salah satu contoh dari arimatika adalah barisan dan deret.
Misalkan U1, U2,U3,…, Un merupakan suku-suku dari suatu barisan
aritmatika, maka disebut deret aritmatika, dengan;
Aritmatika yang meliputi barisan aritmatika, barisan aritmatika,
deret aritmatika dan deret geometri, aplikasinya dapat digunakan
untuk memudahkan perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan
produksi atau laba rugi suatu usaha.
DAFTAR PUSTAKA
Rusin, Dave, 2000, The Mathematicals Atlas, University of Texas,
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/index.html
Perpustakaan Cyber, 2013, Contoh Soal Barisan dan Deret
Aritmatika, Mei 2013, http://perpustakaancyber.blogspot.com
Wikipedia, 2013, Area of Mathematics,
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Areas_of_mathematics
Wikipedia, 2013, Arimetika Cepat,
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Aritmetika_cepat
Gumatika IPB, 2011, Matematika Terapan,
http://gumatika.ipb.ac.id/2011/03/03/matematika-terapan/, 3 Maret
2011.
Setyoko, Kurniawan Dedy, 2009, Gambaran Umum Teori Relativitas
Einsten,
http://kurniafisika.wordpress.com/2009/10/03/gambaran-umum-teori-relativitas-einstein/
Wikipedia, 2013, Mekanika Statistik,
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Mekanika_statistik/
