Upload
agustinus-wiyarno
View
162
Download
14
Embed Size (px)
Citation preview
VEKTOR
Mata Kuliah : Matematika ElektroOleh : Warsun NajibJurusan Teknik Elektro FT UGM
Warsun Najib, 2005 2
Warsun Najib, 2005 3
1. Vektor di Ruang 2
Besaran Skalar dan Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar
(panjang/nilai) Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa
Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan
magnet, medan listrik Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka
ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca “vektor u”
Warsun Najib, 2005 4
Penyajian Vektor
Vektor sbg pasangan bilangan u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
b
au
22|u| ba
Warsun Najib, 2005 5
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka
|u| = |v| arah u = arah v a=c dan b=d
Warsun Najib, 2005 6
a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai besar
sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama, besaran
beda
ab
Dua Vektor besar dan arah berbeda
Warsun Najib, 2005 7
Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang
Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
vu w = u + v
w = u + v
u
v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
Warsun Najib, 2005 8
Conoth Penggunaan Penjumlahan Vektor Gambar 154 hal 404 Buku Advance
Engineering Mathematic
Warsun Najib, 2005 9
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas u + 0 = 0 + u = u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol,
maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
Warsun Najib, 2005 10
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)
Dalam bentuk pasangan bilangan
vu
w = u - v -v
u
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
au
Warsun Najib, 2005 11
Perkalian Vektor dengan Skalar mu adalah suatu vektor
dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0.
u
2u
mb
ma
b
ammumaka
realbilanganmdanb
auJika
:
,
Warsun Najib, 2005 12
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga
berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0
Warsun Najib, 2005 13
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.) (mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0
Warsun Najib, 2005 14
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenguranga
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenjumlaha
Warsun Najib, 2005 15
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
cos||||2|||||| 22 vuvuvu u + v
u
v
θ
cos||||2|||||| 22 vuvuvu u
vu-v
θ
Warsun Najib, 2005 16
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
npenjumlaha hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
vuvu
u + v
u
v
α
u
vu-v
α
β
npenguranga hasilr arah vekto:
sin
||
)sin(
||
sin
||
vuvu
β
Warsun Najib, 2005 17
Vektor Posisi
OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.
AB = AO + OB = OB – OA = b – a
X
Y
0
A
B
b
a
Warsun Najib, 2005 18
Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
cos|||| baba
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
332211 ccbababa a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Warsun Najib, 2005 19
Vektor Ortogonal
Teorema Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol
adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.
Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2
Warsun Najib, 2005 20
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
bbaa
ba
ba
ba
||||
cos
Warsun Najib, 2005 21
Contoh Perkalian Dot Product a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1] Hitung sudut antara dua vektor tsb
Warsun Najib, 2005 22
Applications of Vector ProductMoment of a force Find moment of force P
about the center of the wheel.
|P|=1000 lb
30o
1,5 ft
]1299,0,0[500866
5.1000
0500866
05.10
)5,1titikpadarodapusat(]0,5.1,0[
]0,500,866[
]0,30sin1000,30cos1000[
kji
kji
prm
yr
P
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
Warsun Najib, 2005 23
Scalar Triple Product
shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini
,,vac)(b a
] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a
sebagaiandidefinisk)(ditulis
],,[],,,[,],,[
vektor tigadariproduct tripleScalar
21
213
13
132
32
321
332211
321
321321321
cc
bba
cc
bba
cc
bba
vavava
cba
ccccbbbbaaaa
321
321
321
c)(b ac)b(a
ccc
bbb
bbb
Warsun Najib, 2005 24
Scalar Triple ProductGeometric representation
a,b,c vektor β sudut antara (bxc)
dan a h tinggi parallelogram
b
||luasmempunyaicdan b sisi dgalasgenjangjajaran
cos||
cos|||||)(|
)(
cbarea
hheighta
cbacba
cbaBesar
c
b x c
a
β h
Warsun Najib, 2005 25
Referensi
Advanced Engineering Mathematic, chapter 8