Upload
dinhdung
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
4/9/2018
1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
CHƯƠNG 2
1
PHẦN 1.BIẾN NGẪU NHIÊN
MỘT CHIỀU
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Khái niệm• Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận giá trị số
phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên.
• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …• Giá trị của bnn: chữ thường x, y, z, …• Với mọi số thực x ta có {X≤x} là một biến cố
ngẫu nhiên.
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1• X: Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày• Y: Tuổi thọ của một chiếc điện thoại• Trả ngẫu nhiên 3 mũ bảo hiểm cho 3 người. Gọi
Z: số mũ bảo hiểm được trả đúng người• T: Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới
nhập về• U: Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên
trong lớp này
3
4/9/2018
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 3• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy
ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bivàng có trong 2 viên lấy ra.
• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.• Ta có:
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???
4
0 1 2; ;Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phân loại bnn
5
Rời rạc
Có hữu hạn giá trị
Có vô hạn đếmđược giá trị
Bnn X
Liên tục
Giá trị lấp đầy mộthay vài khoảng hữu
hạn hoặc vô hạn
P(X=a)=0 với mọi a
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hai biến ngẫu nhiên độc lập• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập nếu hai biến
cố:
• Độc lập nhau với mọi giá trị của x, y.
• Nói cách khác mọi biến cố liên quan đến haibiến ngẫu nhiên X, Y luôn độc lập nhau.
6
X x Y y
4/9/2018
3
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Luật phân phối xác suất• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến
ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.• Dạng thường gặp:
– Hàm phân phối xác suất (CDF)– Phân phối xác suất (PMF, PDF)
7
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm phân phối xác suất• Hàm phân phối xác suất (cumulative
distribution function), viết tắt CDF của biếnngẫu nhiên X là hàm xác định:
• Trong đó: {X≤x} là ký hiệu biến cố “bnn X nhậngiá trị nhỏ hơn hay bằng x”
• Đôi khi ta còn gọi là hàm phân bố xác suất
8
( ) ;X xF x P X x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằngx, với x là một giá trị bất kì.
• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bêntrái số x.
• Xác suất X thuộc (a,b]
9
)( ( ) ( )b F aP a bX F
Hàm phân phối xác suất
4/9/2018
4
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
10
i) 0 1,XF x x R
ii) XF x là hàm không giảm, liên tục bên phải. Nếu
X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục
trên R.
iii) lim 0X Xx
F F x
lim 1X Xx
F F x
iv) X XP a X b F b F a .
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm phân phối xác suất
11
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bnn Rời rạc - Hàm khối xác suất• Probability mass function (PMF)
• Tính chất:
12
Xp x P X x
) 0
) 1
)
X
Xx
Xx A
i p x
ii p x
iii P A p x
• Dạng bảng• Dạng đồ thị
4/9/2018
5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bnn Rời rạc - Bảng ppxs• Bảng phân phối xác suất của X.
• xi : giá trị có thể có của bnn X• pi : xác suất tương ứng;• Chú ý:
13
X x1 …. x2 …. xn
P p1 …. p2 …. pn
1
1n
ii
p
( ) ( )i X i ip p x P X x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bnn Rời rạc - Hàm phân phối xác suất
• Hàm phân phối xác suất được xác định như sau:
14
1
1 1 2
1 2 2 3
1 1 1
0 ,
,
,
............................................
... ,
X
k k k
x x
p x x x
F x p p x x x
p p x x x
k
X X kx x
F x P X x p x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 4
Xét phép thử tung hai đồng xu phân biệt.Không gian mẫu là: Ω = {𝑆𝑆; 𝑆𝑁;𝑁𝑆; 𝑁𝑁}
Gọi X là số lần mặt sấp xuất hiện, X là bnn rời rạc.Hàm khối xác suất:
15
1/ 4 ; 0 2
1/ 2 ; 1
0 ; 0; 1; 2X
x x
p x x
x
hay
4/9/2018
6
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 4
• Hàm phân phối xác suất:
16
X 0 1 2P 1/4 1/2 1/4
0 , 0
1/ 4 ,0 1
3 / 4 ,1 2
1 ,2
X
x
xF x
x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 5• Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 sản phẩm đạt
loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm.• Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A
lấy ra?• Xác định PMF, CDF?• Đáp án• Gọi X: số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm lấy ra.
17
2
6 4210
0,1,2x x
X
C Cp x x
C
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 6Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản
phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩmxấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm vàtừ kiện 2 ra 1 sản phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩmtốt trong 3 sản phẩm lấy ra?
b) Xác định PMF, CDF
18
4/9/2018
7
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Biến ngẫu nhiên liên tục• Xác suất không “tập trung” tại các điểm giá trị• Chỉ quan tâm đến xác suất trong một “khoảng”• Để thể hiện xác suất ta sử dụng mật độ xác suất
19
0)
)
( ) ,X a a
ii P a X b P a X b P X b P a X b
i P
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bnn Liên tục - Hàm mật độ xác suất
• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs FX(x). Nếu tồntại hàm fX(x) sao cho:
• Thì fX(x) gọi là hàm mật độ của bnn X• Viết tắt là: PDF (probability density function)
20
,x
X XF x f t dt x R
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
iv) Tại những điểm mà f(x) liên tục ta có:
21
) 0
) 1
)b
a
i f x x R
ii f x dx
iii P a X b f x dx P a X b
'F x f x
4/9/2018
8
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm mật độ xác suất
22
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm mật độ xác suất• Nếu X liên tục thì:
23
f x
x
F x
x
F x f t dt
'f x F x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 8• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác
suất
• A) Xác định hệ số k• B) Tìm hàm mật độ xác suất
24
2
0 , 0
,0 1
1 ,1
x
F x kx x
x
2 , 0 1f x x x
4/9/2018
9
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 9• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
• A) Xác định hệ số k• B) Tìm hàm ppxs F(x)• C) Tính xác suất P(2<X<3)• D) Thực hiện 4 lần phép thử độc lập với bnn X. Tính
xác suất bnn X không nhận giá trị trong khoảng(2;3)
25
21
kf x x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụVí dụ 11. Cho X có bảng ppxs:
Ví dụ 12. Cho bnn X có PDF:
Tìm luật ppxs của bnn Y=X2
26
X -1 0 1 2P 0,1 0,2 0,3 0,4
2 1 0 1Xf x x x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG• Mốt (Mode) m0
• Trung vị (Median) me
• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)• Độ lệch chuẩn (Standard Error)• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV• Hệ số bất đối xứng (Skewness)• Hệ số nhọn (Kurtosis)• Giá trị tới hạn
27
4/9/2018
10
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tham số đặc trưng
28
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
ModX, Mode XKý hiệu:
Nếu X rời rạc:
Nếu X liên tục:
29
0x R
f m max f x
0 ii
P X m maxP x x
0ModX m
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Median (Trung vị)• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phân
phối.
• Nếu X rời rạc:
• Nếu X liên tục:
30
0,5
0,5
e
e
P X m
P X m
0,5e
e
m
m
f x dx f x dx
4/9/2018
11
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Median (Trung vị)• Nếu X liên tục thì:
31
0,5em
f x dx
1 0,5S
em
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 12Tìm ModX và Med X của bnn X biết:a) Bảng phân phối xác suất
b) Hàm mật độ xác suấtXác định ModX, MedX
32
X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25
32 ,0 2
40 , 0,2
x x xf x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Kỳ vọng (Expected Value)• Ký hiệu: E(X), mean, M(X)• Định nghĩa:
• E(X) là trung bình theo xác suất của X• Có cùng đơn vị với X
33
i i
i
x p x
E Xx f x dx
-
,vôùi X rôøi raïc
. ( ) ,vôùi X lieân tuïc
4/9/2018
12
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
• Tung ngẫu nhiên 1 cục xúc sắc. Hỏi về lâu dài ,số chấm trung bình của 1 lần tung là bao nhiêu(nếu số lần tung đủ lớn)?
• Giải.• Giả sử ta có các kết quả tung như sau:
Ví dụ về kỳ vọng
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ• Gọi n1,n2,…n6 là số lần xuất hiện mặt số
1,2,…,6• Giá trị trung bình sau n lần tung
• Khi n rất lớn thì???
35
1 2 6 61 21 2 6
1 2 61 2 6 1 2 6
n n n nn nX f f f
n n n n
. . ... .. . ... . . . .... .
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Một số nhận xét• E(X) giá trị trung bình theo xác suất của bnn X
(trong một quá trình lâu dài); phản ánh giá trịtrung tâm của ppxs của bnn
• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, nếu cầnchọn phương án cho năng suất cao ta chọnphương án cho năng suất kì vọng cao
36
4/9/2018
13
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 15• Một nhân viên bán hàng có 2 cuộc hẹn trong 1
ngày. Với cuộc hẹn thứ nhất, khả năng thànhcông (ký được hợp đồng) là 0,7 và lợi nhuận dựkiến là 1000$. Với cuộc hẹn thứ 2, khả năngthành công là 0,4 và lợi nhuận là 1500$. Giả sửkết quả các cuộc hẹn độc lập nhau.
• A) Lợi nhuận kỳ vọng của nhân viên bán hàng làbao nhiêu?
• B) Nêu ý nghĩa của giá trị vừa tìm được.
37
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hướng dẫn• Gọi X là lợi nhuận của nhân viên bán hàng.• Xác định giá trị của X• Xác định xác suất tương ứng
38
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 16• Nhu cầu hàng ngày của một loại thực phẩm tươi sống ở
1 khu vực là bnn rời rạc có ppxs:
• Giả sử khu vực này chỉ có 1 cửa hàng và cửa hàng nàynhập mỗi ngày 100kg thực phẩm.
• Giá nhập là 40 ngàn/kg; bán ra là 60 ngàn/kg. Nếu thựcphẩm không bán được trong ngày thì phải bán với giá20/kg ngàn mới hết hàng.
• Muốn có lãi trung bình cao hơn thì cửa hàng có nênnhập thêm 20kg mỗi ngày hay không
39
X 80 100 120 150P 0,2 0,4 0,3 0,1
4/9/2018
14
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hướng dẫn• Gọi Y100 và Y120 là tiền lãi thu về khi bán 100;
120kg• Xác định giá trị và xác suất của Y100, Y120• Tính giá trị kỳ vọng tương ứng
• Chú ý.– Có thể gọi X100, X120 là số kg thực phẩm bán được
khi nhập về 100, 120kg.– Xác định quan hệ giữa Yi và Xi
40
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 17• X là tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử
• Tìm tuổi thọ trung bình của loại thiết bị này.
41
3
20.000100f x x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 18• Cho bnn X có pp mũ nghĩa là PDF có dạng:
• A) Kiểm tra lại hàm mật độ trên• B) Tính E(X)• Hướng dẫn.• - Hai tính chất của hàm mật độ• - Tìm giới hạn bằng công thức L’Hospitale
42
0xf x e x
4/9/2018
15
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
43
1) Tính chaát 1: E(C)=C vôùi C laø haèng soá2) Tính chaát 2: E(C+X)=C+E(X)3) Tính chaát 3: E(C.X)=C.E(X)4) Tính chaát 4: E(X Y)=E(X) E(Y)5) Tính chaát 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neáu X vaø Y ñoäc laäp
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Kỳ vọng của hàm của bnn• Cho bnn X và hàm (x)• Kỳ vọng toán học của hàm Y=(X):
44
i ii
x p x
E Xx f x dx
,vôùi X rôøi raïc
,vôùi X lieân tuïc
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 19• Tính kỳ vọng của bnn X rời rạc có hàm mật độ:
45
21 2 3
CP X k p k k
k , , , ,...
4/9/2018
16
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 20• Vòng quay roulett có 38 số 00, 0, 1 … 36.• Gọi X là số mà quả bóng rơi vào• Y là số tiền phải trả cho người chơi• Nhà cái phải thu tiền mỗi người chơi bao nhiêu
để có lợi.
46
5 0
10 00
1
2
X
XY
X odd
X even
,,, is, is
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phương sai (Variance)• Ký hiệu: V(X); Var(X); VX• Định nghĩa:
• Rút gọn:
47
22 2V X E X E X E X
2
2
2
i ii
x p
V X E X E Xx f x dx
,neáu X rôøi raïc.
,neáu X lieân tuïc.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phương sai (Variance)• Công thức rút gọn:
• Đơn vị của phương sai trùng với đơn vị của X2
48
22
22
i ii
x p E X
V Xx f x dx E X
,neáu X rôøi raïc.
,neáu X lieân tuïc.
22 2V X E X E X E X
4/9/2018
17
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ý nghĩa của phương sai• Đặc trưng cho độ phân tán của bnn quanh giá
trị trung bình• Đặc trưng cho sai số của thiết bị (trong kỹ
thuật)• Đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết định
(trong kinh tế, kinh doanh)
49
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phương sai của hàm bnn
50
2
XV X E X
2
2
Xx
X
V X x p x
V X x f x dx
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất của phương sai
51
2
1 1i
1) Tính chaát 1: V(C)=0 vôùi C laø haèng soá2) Tính chaát 2: V(C+X)=V(X)3) Tính chaát 3: V(C.X)=C .V(X)4) neáu X vaø Y ñoäc laäp
neáu caùc X ñoäc laäp toa
V(X Y)=V(X) V(Y)
V = øn phaànn n
i ii i
X V X
4/9/2018
18
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 23• Tiền lãi khi đầu tư 1 tỷ đồng vào các ngành A, B là
các bnn độc lập X, Y:
a) Muốn lãi trung bình cao hơn thì đầu tư vào ngànhnào?
b) Muốn rủi ro thấp hơn thì đầu tư vào ngành nào?c) Muốn rủi ro thấp nhất thì chia vốn đầu tư theo tỷ
lệ nào?
52
X 0 15 30P 0,3 0,5 0,2
Y -2 15 35P 0,2 0,45 0,35
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hướng dẫn• A), B)• C) Gọi k là tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành A• Tỷ lệ vốn đầu tư vào ngành B là: (1-k)• Lợi nhuận thu về khi đầu tư vào cả 2 ngành
theo tỷ lệ trên là Z• Xác định quan hệ giữa Z và X, Y, k• Tìm k để V(Z) nhỏ nhất• Nhớ: tìm min/max trên đoạn
53
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 24
• Đầu tư a tỷ vào ngành A và b tỷ vào ngành B trong 1tháng. Tìm trung bình và phương sai của tổng tiềnlãi trong 1 tháng?
• Đầu tư 2 tỷ vào ngành A trong một tháng. Tìm trungbình và phương sai của tiền lãi thu được.
• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A 1 tỷ, độc lập nhau.Tìm trung bình và phương sai của tổng tiền lãi trong2 tháng. Tính xác suất tổng tiền lãi không dưới 50triệu.
• Tìm xác suất đầu tư vào A được lãi cao hơn B?54
X 0 15 30P 0,3 0,5 0,2
Y -2 15 35P 0,2 0,45 0,35
4/9/2018
19
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hướng dẫn• A) Tổng tiền lãi aX+bY• B) Tiền lãi: 2X• C) Tiền lãi: X1+X2 với Xi có ppxs như X• P(X1+X2<50)• D) P(Y>X)
55
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Độ lệch chuẩn• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập
trung của X.• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X• Đặt:
• (X) có đơn vị là đơn vị của X và gọi là độ lệchchuẩn của bnn X.
56
X V X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa• Cho X là bnn có kỳ vọng và độ lệch chuẩn>0.
• Đặt:
• Ta có:
• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.
57
XZ
0 1E Z V Z
4/9/2018
20
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫunhiên X (đơn vị: tháng) với PDF như sau:
• Tìm hằng số k?• Xác định CDF?• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.
58
2 4 , 0 4f x kx x x
Ví dụ 25
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hệ số biến thiên• Kí hiệu: CV(X).
• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CV(X) càng nhỏbnn càng thuần nhất.
• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùngđơn vị, không có cùng kỳ vọng.
59
.100% 0XCV X E XE X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập 1,21. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng
chất. Gọi X là tổng số nốt xuất hiện trên 2 conxúc sắc. Tìm luật phân phối xác suất của X?Tính E(X), V(X)
2. Trong một hộp có 5 bóng đèn gồm 2 tốt và 3hỏng. Chọn ngẫu nhiên từng bóng đem thử(thử xong không trả lại) cho đến khi thu đượchai bóng tốt. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìmluật phân phối của X? Trung bình cần baonhiêu lần thử.
60
4/9/2018
21
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập 3Tuổi thọ một loại côn trùng là X (tháng) có hàmmật độ
a) Tìm hằng số kb) Tìm Mod(X)c) Tìm xác suất côn trùng chết trước khi nó được
1 tháng tuổi
61
2 4 , 0;4
0 , 0;4
kx x xf x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập 4Cho bnn X có hàm mật độ
và E(X)=0,6; V(X)=0,06a) Tìm a,b,c?b) Đặt Y=X3. Tính E(Y)
62
2 , 0;1
0 , 0;1
ax bx c xf x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập 5• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số
cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm vềloại sách này như sau:
• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bánra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối nămphải hạ giá với giá 5USD một cuốn.
63
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
4/9/2018
22
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập 5
• Nếu nhập về 32 cuốn thì lợi nhuận bán đượctrung bình là bao nhiêu?
• Xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kìvọng là lớn nhất.
64
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
P 0,3 0,15 0,3 0,25
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập 6Cho bnn X có hàm mật độ:
a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
65
1sin , 0,
20 , 0,
x xf x
x
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bài tập chương 2• 2.1; 2.2; 2.6; 2.7; 2.9;• 2.10; 2.11; 2.14; 2.15; 2.17;• 2.18; 2.10; 2.23; 2.24; 2.25• 2.26; 2.27; 2.30; 2.31; 2.32• 2.33; 2.34; 2.37
• Tất cả 23 bài.
66
4/9/2018
23
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
CHƯƠNG 2
67
PHẦN 2.BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Yêu cầu• Phân phối lề• Phân phối và các đặc trưng có điều kiện• Cov(X, Y)• Hệ số tương quan• Hàm hồi quy
68
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Biến ngẫu nhiên hai chiều• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu
nhiên.• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.
69
4/9/2018
24
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu
kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X vàchiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).
• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3chiều (vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)
• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thểtích V của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều(W,V)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ppxs đồng thời• Cho biến ngẫu nhiên (X, Y)• Hàm phân phối xác suất đồng thời của biến hai
chiều (X,Y):
• Trong đó: {X≤x, Y≤y} là ký hiệu biến cố “bnn Xnhận giá trị nhỏ hơn hay bằng x” và “bnn Ynhận giá trị nhỏ hơn hay bằng y”
• Để tiện ta còn ký hiệu FX,Y(x,y) là F(x,y)71
, , , , ,X YF x y P X x Y y x y R
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
72
,
,
) 0 , 1
) ,
) lim , 0 ,
lim , 0 ,
lim , 1
) lim
,
,
lim ,
khoâng giaûm theo töøng bieán.
x
y
X Y Yx
X Y Xy
xy
i F x y
ii F x y
iii F x y F y
F x y F x
F x y F
iv F x y F y P Y y
F x y F x P X x
4/9/2018
25
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Phân phối xs thành phần
• Đây là các phân phối xác suất thành phần của X vàY.
• Là phân phối xác suất thành phần của biến haichiều (X, Y).
• Là phân phối biên (phân phối lề) của ppxs đồngthời FX,Y(x,y)
73
, ,
, ,
; lim ,
; lim ,
X Y X Y Xy
X Y X Y Yx
F x F x y P X x F x
F y F x y P Y y F y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính độc lập của các biến nn• Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu
mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trịkhác không ảnh hưởng đến phân bố xác suấtcủa biến ngẫu nhiên kia.
• Định lý: Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biếnngẫu nhiên (X,Y). Khi đó, X và Y độc lập khi vàchỉ khi:
74
, , .X Y X YF x y F x F y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm khối xs đồng thời của (X,Y)• Ký hiệu: pX,Y(x,y)
• Tính chất:
75
, , ,X Yp x y P X x Y y
,
,
) , 0, ,
) , 1
X Y
X Yx y
i p x y x y R
ii p x y
4/9/2018
26
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
76
y1 y2 … yj … ym ∑x1 p11 p12 … p1j … p1m p1●x2 p21 p22 … p2j … p2m p2●… … … … … … … …
xi pi1 pi2 … pij … pim pi●… … … … … … … …
xn pn1 pn2 … pnj … pnm pn●∑ p●1 p●2 … p●j … p●m 1
YX
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)• Trong đó:
77
,
1 1
1 1
) , ,
) 1
) ;
ij X Y i j i j
n m
iji j
m n
i ij j ijj i
i p p x y P X x Y y
ii p
iii p p p p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ppxs đồng thời _ Rời rạc• Hàm ppxs đồng thời
• Hàm khối xác suất biên:
78
, ,, ,i j
X Y X Y i jx x y y
F x y p x y
,1
,1
,
,
m
X i i X Y i jj
n
Y j j X Y i ji
i
j
p x P X x p x y p
p y P Y y p x y p
4/9/2018
27
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ppxs thành phần (phân phối lề)• Bảng phân phối xác suất của X:
• Bảng phân phối xác suất của Y:
79
X x1 x2 … xnP p1● p2● … pn●
Y y1 y2 … ymP p●1 p●2 … p●m
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối
xác suất:
• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.• Tính F(2,3)
80
1 2 3
1 0,10 0,25 0,102 0,15 0,05 0,35
XY
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 3• Chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp có 3 bi đỏ, 2 bi
vàng, 4 bi xanh. Gọi X, Y tương ứng là số bị đỏvà số bi vàng có trong 2 bi lấy ra.
• A) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y• B) Tính P(X+Y<2)• C) Tìm phân phối xác suất biên (phân phối lề)
của X và Y.
81
4/9/2018
28
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hai bnn độc lập• Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc
lập nếu:
• Dấu hiệu:• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.
82
,i j i j
ij i j
P X x Y y P X x P Y y
hay p p p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 4• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:
• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
83
1 2 3
6 0,10 0,05 0,157 0,05 0,15 0,108 0,10 0,20 0,10
XY
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ppxs có điều kiện• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:
• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:
• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:
84
, , ; ;X Y X Yp x y p x p y
, ,| X Y
XY
p x yp x y
p y
, ,y | x X Y
YX
p x yp
p x
4/9/2018
29
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)• Kỳ vọng có điều kiện của Y khi cho X=x (còn gọi là
hồi quy của Y theo X khi X=x)
• Kỳ vọng có điều kiện của X khi cho Y=y (còn gọi làhồi quy của X theo Y khi Y=y)
85
| . |Yy
E Y X x y p y x
| . |Xx
E X Y y x p x y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bảng ppxs điều kiện 1• PPXS của X với điều kiện Y=yj
• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj
86
2
1 2
1 .....
.....
j
j j nj
n
jj j j
X Y y
p p pP X
x x x
Y yp p p
1 1 2 2
1...j j j n nj
j
E X Y y x p x p x pp
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Bảng ppxs điều kiện 2
• PPXS của Y với điều kiện X=xi
• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi
87
2
1 2
1 .....
.....
i
i i im
m
ii i i
Y X x
p p pP Y
y y y
X xp p p
1 1 2 2
1...i i i m im
i
E Y X x y p y p y pp
4/9/2018
30
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 5• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:
• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
88
1 2 3
6 0,10 0,05 0,157 0,05 0,15 0,108 0,10 0,20 0,10
XY
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 6• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồngthời như sau:
89
500(400-600)
700(600-800)
900(800-1000)
30 0,10 0,05 050 0,15 0,20 0,0580 0,05 0,05 0,35
X
Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 6• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì
chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?
90
A. 60,5 B. 48,3333
C. 51,6667 D. 76,25
4/9/2018
31
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 6a• Lãi suất cổ phiếu tính trên 100 USD khi đầu tư vào hai
ngân hàng A và B trong 1 năm tương ứng X, Y )(đơn vị %)có ppxs đồng thời như sau:
• A) Lập bảng phân phối biên của X, Y. Tính lãi trung bìnhcủa từng ngân hàng.
91
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 04 0,15 0,20 0,058 0,05 0,05 0,35
XY
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 6a
• B) Khi Y=5% tính lãi cổ phần trung bình của X?• C) X và Y có độc lập nhau không• D) Lập bảng ppxs của T=X+Y. Tìm E(T), V(T)
92
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 04 0,15 0,20 0,058 0,05 0,05 0,35
XY
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Các tham số đặc trưng• Hiệp phương sai (Covariance)• Hệ số tương quan (Correlation)
93
4/9/2018
32
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Kỳ vọng của hàm theo X,Y• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=h(X,Y) là
biến mới.• Ta có:
94
, , ,i j i ji j
E h X Y h x y P X x Y y
,, , ,X Yx y
E h X Y h x y p x y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 7• Cho bnn rời rạc X, Y có phân phối xác suất đồng
thời như sau:
• Tìm kỳ vọng của h(X,Y)=X.Y2
95
1 2 3
4 0,10 0,15 0,15 0,25 0,20 0,2
X
Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 8• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:
96
(X,Y) (0;0) (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)pij 0,1 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
0 0 .0,1 0 1 .0, 2
0 2 .0,3 1 0 .0,05 1 1 .0,15
1 2 .0, 2 1,75
E Z E X Y
4/9/2018
33
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hiệp phương sai (Covariance)• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y,
ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sailệch của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng.
• Tên gọi khác: tích sai
97
cov , X YX Y E X Y
cov , X YX Y E XY
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất Covariance 1
98
1) cov , cov ,
2)cov ,
3) cov ', cov , cov ',
4)cov , cov ,
5)cov , cov ,
X Y Y X
X X V X
X X Y X Y X Y
kX Y k X Y
aX c bY d ab X Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 9
99
-2 5 10
- 1 0,10 0,05 04 0,15 0,20 0,058 0,05 0,05 0,35
XY
4/9/2018
34
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất Covariance 2
100
2
2
2
6) cov , 0,
7) 2cov ,
8)
9) co
2 co
v
,
,
v
.
Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì
ngöôïc laïi khoâng chaéc ñuùng.
X Y
V X Y V X
V aX bY a V X b V Y ab X Y
X Y
V Y X
V X V Y
Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hệ số tương quan• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y
ký hiệu và định nghĩa bởi công thức:
• Hệ số tương quan còn ký hiệu là:
101
,
cov ,X Y
X Y
X Y
, ; ,X Y r X Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Tính chất
102
,
,
,
,,
,
) 1 1
) 0.
)
) , 0
1
1
vôùi moïi X, Y.
Neáu X vaø Y ñoäc laäp thì
neáu ab>0
neáu ab<0
khi vaø chæ khi:
neáu a>0neáu a<0
X Y
X Y
X Y
aX c bY dX Y
X Y
i
ii
iii
iv Y aX b a
4/9/2018
35
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Ý nghĩa• Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến
tính giữa X và Y.• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng chặt.• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng yếu.• Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y không tương quan.
103
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm hồi qui của X đối với Y• Kỳ vọng có điều kiện:
là một hàm theo y, được gọi là hàm hồi quy của Xđối với Y. Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độDecartes gọi là đường hồi quy.
Chú ý:
104
E X Y y
1 2, ,..., my y y y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến
Hàm hồi qui của Y đối với X• Kỳ vọng có điều kiện:
là một hàm theo x, được gọi là hàm hồi quy của Yđối với X.
Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy.Chú ý:
105
E Y X x
1 2, ,..., nx x x x