Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod

Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0258

Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ

Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Označení vzdělávacího materiálu

VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli

Druh učebního materiálu Prezentace

Autor  Mgr. Květa Klímová

VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen

Hotelnictví, Ekonomické lyceum, Obchodní akademie

Předmět Matematika

Ročník druhý

Název tematické oblasti (sady)

Funkce

Název vzdělávacího materiálu

Funkce - goniometrické funkce (1)

Anotace

Vzdělávací materiál obsahuje definice goniometrických funkcí ostrého úhlu jako poměry délek stran trojúhelníku. Slouží k výkladu látky, která je doplněna příklady. Může být použit ve 2. ročníku matematiky studijních oborů nebo ve 3. ročníku v matematickém semináři při opakování látky.

Zhotoveno, (datum/období) červen 2013

Ověřeno 16. dubna 2014

Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

Podobnost pravoúhlých trojúhelníkůKaždé dva pravoúhlé trojúhelníky, které se

shodují v jednom ostrém úhlu, jsou podobné (podle věty uu).

Protože se každé dva podobné trojúhelníky shodují v poměrech délek všech stran, bylo vhodné tyto poměry pojmenovat, pro jednotlivé hodnoty úhlů vypočítat a sestavit do tabulek.

Tyto poměry se nazývají goniometrické funkce a to sinus úhlu, kosinus úhlu, tangens úhlu a kotangens úhlu.

Výpočty dnes obvykle provádíme na kalkulátoru.

Goniometrické funkce ostrého úhlusinus úhlu

kosinus úhlu

tangens úhlu

kotangens úhlu

Vzhledem k úhlu alfa je strana:

Zapište goniometrické funkce úhlu alfa jako poměry délek stran v příslušném pravoúhlém trojúhelníku:

Trojúhelník KLM Trojúhelník PQR

Výpočty v pravoúhlém trojúhelníku

𝒃=𝟏𝟐𝒄𝒎 ,𝒄=𝟏𝟑𝒄𝒎

Dopočítejte zbývající strany a úhly v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže:

Výpočet: • pomocí Pythagorovy

věty odvěsnu a • pomocí funkce kosinus

úhel alfa • pomocí úhlu alfa úhel

beta Výsledek:

𝒂=𝟐𝟒𝒄𝒎 ,𝜶=𝟑𝟓°𝟏𝟓 ´

Výpočet: • pomocí úhlu alfa úhel

beta • pomocí funkce tangens

stranu b • pomocí Pythagorovy

věty přeponu Výsledek:

Hodnoty goniometrických funkcí vybraných úhlůZapište přesné hodnoty goniometrických funkcí pro úhly K výpočtu využijte obrázky:

30° 45° 60°

sinus

kosinus

tangens

kotangens

Slovní úlohyPříklad č.1 Na břehu řeky je změřena vzdálenost AB = 20 m kolmá na směr AC. Z bodu B je vidět bod C na protějším břehu pod úhlem 60°. Jaká je vzdálenost bodů A, C?

Řešení: pomocí funkce tangens.Šířka řeky je 34,6 m.

Příklad č.2 Lanovka má délku 2 500 m. Její sklon je 32°. Jaký je výškový rozdíl dolní a horní stanice lanovky?

Řešení: pomocí funkce sinus.Výškový rozdíl je 1324,8 m.

Slovní úlohy - procvičeníPříklad č. 1Dvě přímé ulice se křižují v místě K v úhlu 51°. Místo A na jedné z těchto ulic, vzdálené 1 625 m od křižovatky K, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? (1 263 m)

Příklad č. 2Jaký je sklon žebříku délky 6,2 m, který je svým horním okrajem opřen ve výšce 5,12 m? (55°40´)

Příklad č. 3Určete poloměr kružnice, ve které ke středovému úhlu 66°20´ přísluší tětiva délky 66 cm. (60,32 cm)

Příklad č. 4Dvě navzájem kolmé síly působí v jednom bodě. Vypočtěte velikost výslednice, jestliže síly mají velikost 25,6 N a 44,8 N. Určete velikost úhlu, který svírá výslednice s kratší silou. (51,6 N; 60°15´)

Historická poznámkaPodobně jako jiné vědy vznikla a rozvíjela se i nauka

o goniometrických funkcích při řešení praktických úloh. Potřeba řešení úzce souvisela astronomií, mořeplavectvím a stavebnictvím.

Některé znalosti měli již Egypťané, Babyloňané a Chaldejci, od kterých ve 4. st. př. n. l. získali základní poznatky starořečtí matematici. Například dělení plného úhlu na 360° a stupeň na 60´.

Dnešní podobu trigonometrie vytvořil petrohradský akademik švýcarského původu Leonhard Euler (1707-1783). Rozšířil definici goniometrických funkcí na všechny úhly.

Použitá literatura:PAVLÍKOVÁ, Pavla a SCHMIDT, Oskar. Základy matematiky. Vyd. 1. Praha: Vydavatelství VŠCHT, 2006. vi, 264 s. ISBN 80-7080-615-X.ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 112 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 80-7196-050-0.KLODNER, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní akademie. 2. vyd. Svitavy: Svitavská tiskárna, 1995. 166 s. 

Použité zdroje:Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra.

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.