Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Võrrandid
Võrrandi mõiste
Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu
muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks).
Näited
0122 xxRuutvõrrand:
12cossin ttTrigonomeetriline võrrand:
Eksponentvõrrand x suhtes:
lineaarne võrrand a suhtes:
xyxyx 22 Juurvõrrand x ja y suhtes:
3)2(log 2 uuuLogaritmvõrrand:
1222 aee xx
Võrrandi lahend
Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand
osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk
juureks.
Näide
Võrrandi 032 x
lahendiks on ,2
3x
kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga –3/2, saame
samasuse :
3
2
32
3
2
32 33 .0
Võrrandi lahendite arv
Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka
lõpmata palju või mitte ühtegi.
Näited
Võrrandil on üks lahend x = 2.10010 x
Võrrandil on kaks lahendit x = 2 ja x = 0.0)2( xx
Võrrandil reaalarvude vallas lahendit ei ole.1002 x
Võrrandil on lõpmata palju lahendeid ,
kus k on suvaline täisarv.
0sin x kx
Samaväärsed võrrandid
Samaväärseteks ehk ekvivalentseteks nimetatakse võrrandeid,
mille kõik lahendid on ühised või millel lahendid puuduvad.
Näited
Võrrandid
02 x
642 xx ja
on samaväärsed, kuna kummagi võrrandi ainsaks lahendiks
on x = 2.
Samaväärsed võrrandid
Võrrandid 062 xx0623 xxx ja
ei ole samaväärsed, kuna esimese võrrandi lahendid on x = 0,
x = -2 ja x = 3, teise võrrandi lahendid aga x = -2 ja x = 3.
Samaväärsete võrrandite vahele kirjutatakse märk .
Näide: 12012 22 xxxx
Teisendused, mis annavad samaväärse võrrandi
Kui võrrandi pooled vahetada, siis saame esialgse võrrandiga
samaväärse võrrandi
Näide 426642 33 xxxx
Teisendused, mis annavad samaväärse võrrandi
Kui võrrandi mõlemale poolele liita või mõlemast poolest
lahutada üks ja sama arv või muutujat sisaldav avaldis, mis
omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas, siis saame
antud võrrandiga samaväärse võrrandi.
cxgcxfxgxf )()()()(
)()()()()()( xhxgxhxfxgxf
Näited
683 x1)
2214 xx
86883 x ;143 x
0142 2 xx
222 22214 xxxx 2)
Teisendused, mis annavad samaväärse võrrandi
Järeldus näidetest:
Võrrandi liikmeid võib viia võrduse ühelt poolelt teisele,
muutes iga üleviidava liikme ees märgi vastupidiseks.
Kui võrrandi mõlemat poolt korrutada või jagada ühe ja sama
nullist erineva arvuga, siis saame esialgse võrrandiga samaväärse
võrrandi.
Näited
342133
4
3
231
3
4
3
2 333
xxx1)
xxxx tan42sintan168sin4 2)
Võrrandi järeldused ja võõrlahendid
Kui asendada esialgne võrrand uuega, mille lahenditeks on kõik
esialgse võrrandi lahendid ja millel võib olla veel lahendeid, siis
nimetatakse uut võrrandit esialgse võrrandi järelduseks.
Järelduseks oleva võrrandi lisalahendeid algsetega võrreldes
nimetatakse võõrlahenditeks.
Võõrlahendid eraldatakse antud võrrandi tõelistest lahenditest
kontrollimisel, asendades muutuja leitud väärtused esialgsesse
võrrandisse.
Esialgse võrrandi ja järelduse vahele pannakse märk .
Võõrlahendid
Võõrlahendid võivad tekkida siis, kui võrrandi teisendamisel
võrrandi määramispiirkond laieneb.
Näide
61 xxVõrrand (lahend x = 3) on määratud piirkonnas
x 1, sellest tuletatud võrrand (lahendid x = 3
ja x = -2) aga kogu arvteljel.
062 xx
Näide
066)1(61 2 xxxxxx
Lähtevõrrandi lahendiks on x = 3, tema järelduse lahenditeks aga
x = 3 ja x = -2 (esialgse võrrandi seisukohalt võõrlahend).
Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid
Võrrandi mõlema poole korrutamine sama algebralise
täisratsionaalse avaldisega.
Näide
Võrrandi 2x – 1 = 3 lahendiks on x = 2, võrrandi
(2x – 1)(x – 5) = 3(x – 5) lahendeiks aga x = 2 ja x = 5.
Võrrandi mõlema poole astendamine positiivse paarisarvuga.
Näide
Võrrandi 2x – 1 = x – 1 lahendiks on x = 0, võrrandi
(2x – 1) 2 = (x – 1)2 3x 2 – 2x = 0 lahendeiks aga x = 0
ja x = 2/3.
Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid
Võrrandi asendamine võrranditega0)(...)()( 21 xfxfxf n
.0)(,...,0)(,0)( 21 xfxfxf n
Muutuja väärtused on aga esialgse võrrandi jaoks
võõrlahendid, kuna tan x ei ole muutuja nende väärtuste korral
defineeritud. Seega on lahendihulk }.,|{ Zkkxx
Näide
,0tan või01sin0tan)1(sin 22 xxxx
2)12(01sin 2
kxx
kxx 0tan Zk, kus
Zk, kus
2)12(
kx
Teisendused, millega võivad kaasneda võõrlahendid
Võrrandi asendamine võrrandiga 0)(
)(
xg
xf.0)( xf
Näide
,0sin01cos
sin
x
x
x
kuna esialgse võrrandi lahendeiks on ,
tuletatud võrrandi korral lisandub veel võõrlahendite
komplekt.
Zkkx ,)12(
Zkkx ,2
Lahendite kadu
Kui tuletatud võrrandil on lahendeid vähem kui esialgsel, siis on
tegemist lahendite kaoga.
Võrrandite lahendamisel ei tohi kasutada teisendusi, millega
kaasneb lahendite kadu.
Näide
61 xxxxVõrrandit
ei tohi läbi jagada muutujaga x, sest nii kaotaksime lahendi x = 0.