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Vorlesung vom 23. November 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II
Torsten Mayer-Gürr
Vorlesung vom 23. November 2006Astronomisch, Physikalische und Mathematische Geodäsie II
Torsten Mayer-Gürr
Isostatische ModelleIsostatische Modelle
Geoidberechnung
Berechnung der Schwere im Erdinneren:
- für Orthometrische Höhen
- für die Bestimmung des Geoids
- Erforschung der Struktur der Erdkruste
- Interpolation von Schwerewerten
Berechnung der Schwere im Erdinneren:
- für Orthometrische Höhen
- für die Bestimmung des Geoids
- Erforschung der Struktur der Erdkruste
- Interpolation von Schwerewerten
Remove-Restore-Technik:
1. Beseitigung der Massen
2. Berechnung z.B
- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),
- Interpolation,
- oder Berechnung der Geoids
3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)
Remove-Restore-Technik:
1. Beseitigung der Massen
2. Berechnung z.B
- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),
- Interpolation,
- oder Berechnung der Geoids
3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)
Geoidberechnung
Definitionen:
- Schwereanomalie:
- Freiluftanomalie:
- Bougueranomalie:
- verfeinerte Bougueranomalie:
Definitionen:
- Schwereanomalie:
- Freiluftanomalie:
- Bougueranomalie:
- verfeinerte Bougueranomalie:
- Freiluftreduktion:
- Bouguerkorrektion:
- Geländekorrektion:
- Freiluftreduktion:
- Bouguerkorrektion:
- Geländekorrektion:
0' Pgg
0 FPF ggg
0 FBPB gggg
0' FGBPB ggggg
Hm
mGal
hgF
3086,0
Hm
mGalgB 1119,0
Gg
SchwereanomalienSchwereanomalien
TopographieTopographie
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)
Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
D
T=30 km
H
Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Annahmen über die Dichten:
- Kruste:
- Ozean:
- Mantel:
Annahmen über die Dichten:
- Kruste:
- Ozean:
- Mantel:
32670
kg
m
31030w
kg
m
3642
M
kg
m
D
T=30 km
H
Airy-Heiskanen - planare Approximation
Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):
D
T=30 km
HH D
4,45D H H
Tiefe der Wurzel:
T CM M
Airy-Heiskanen - planare Approximation
Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):
D
T=30 km
H
Auf dem Ozean:
( )w wH D
2,73ww wD H H
Tiefe der Antiwurzel:
T CM M
4,45D H H
Tiefe der Wurzel:
Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):
Airy-Heiskanen - sphärische Approximation
D
T=30 km
HT CM M
2R H
T
R
M r dr d
3 3( )
3TM R H R d
TM d
Masse der Topographie:
Masse der Wurzel:
3 3( ) ( )3CM R T R T D d
R
R+H
R-T
R-T-D
Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):
Airy-Heiskanen - sphärische Approximation
D
T=30 km
HT CM M
Gleichsetzten und auflösen:
R
R+H
R-T
R-T-D
3/ 23 3( )( ) 1 1
R H RD R T
R T
FreiluftanomalienFreiluftanomalien
TopographieTopographie
FreiluftanomalienFreiluftanomalien
Airy-HeiskanenAiry-Heiskanen
Airy-Heiskanen
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Pratt-Hayford
D=100 km
H
Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):Gleichgewichtsbedingung (Isostasie):
Pratt-Hayford
D=100 km
H
TM const
0 ( )D D H
Dichte der Säule:
0
D
D H
Auf dem Ozean:
0 ( )w w wD D H H
0w
ww w
HD
D H D H
FreiluftanomalienFreiluftanomalien
Pratt-HayfordPratt-Hayford
FreiluftanomalienFreiluftanomalien
Airy-HeiskanenAiry-Heiskanen
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell (Airy-Heiskanen)
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell (Vening-Meinez)
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Isostatisches Modell (Vening-Meinez)
Kruste
Mantel
Eis
Kruste
Mantel
Eis1
Geoidberechnung
Berechnung der Schwere im Erdinneren:
- für Orthometrische Höhen
- für die Bestimmung des Geoids
- Erforschung der Struktur der Erdkruste
- Interpolation von Schwerewerten
Berechnung der Schwere im Erdinneren:
- für Orthometrische Höhen
- für die Bestimmung des Geoids
- Erforschung der Struktur der Erdkruste
- Interpolation von Schwerewerten
Remove-Restore-Technik:
1. Beseitigung der Massen
2. Berechnung z.B
- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),
- Interpolation,
- oder Berechnung der Geoids
3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)
Remove-Restore-Technik:
1. Beseitigung der Massen
2. Berechnung z.B
- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),
- Interpolation,
- oder Berechnung der Geoids
3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)
Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)
FreiluftanomalienFreiluftanomalien
Verfeinerte BougueranomalienVerfeinerte Bougueranomalien
0 FPF ggg
0' FGBPB ggggg
0 FCGBPI gggggg
Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)
- glatt
Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)
- glatt
Freiluftanomalien
- sehr rau
Freiluftanomalien
- sehr rau
Verfeinerte Bougueranomalien
- glatter, aber stark negativ
Verfeinerte Bougueranomalien
- glatter, aber stark negativ
0 FPF ggg
0' FGBPB ggggg
0 FCGBPI gggggg
Beseitigung der Massen
Geoid
Geoid
Beseitigung der Massen
Geoid
Indirekter Effekt
Co- Geoid
Beseitugung der Massen bei Airy-Heiskanen
Kruste
Mantel
Geoid
Mohorovičić-Diskontinuität
(Moho)
Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)
- glatt
- kleiner indirekter Effekt
Anomalien mit Isostasie (Pratt-Hayford)
- glatt
- kleiner indirekter Effekt
Freiluftanomalien
- sehr rau
- kein indirekter Effekt
Freiluftanomalien
- sehr rau
- kein indirekter Effekt
Verfeinerte Bougueranomalien
- glatter, aber stark negativ
- grosser indirekter Effekt
Verfeinerte Bougueranomalien
- glatter, aber stark negativ
- grosser indirekter Effekt
0 FPF ggg
0' FGBPB ggggg
0 FCGBPI gggggg
Beseitigung der Massen
Geoid
Geoid
Beseitigung der Massen
Geoid
Helmert
Kondensation der Massen auf eine einfache Schicht
Auf das Geoid(Helmert II)
In 21 km(Helmert I)
Helmert
Auf das Geoid(Helmert II)
In 21 km(Helmert I)
Helmert
Kondensationsmethode nach Helmert
- unveränderte Gesamtmasse
- sehr kleiner indirekter Effekt
Kondensationsmethode nach Helmert
- unveränderte Gesamtmasse
- sehr kleiner indirekter Effekt
0 FcondTopoPH ggggg
Auf das Geoid(Helmert II)
In 21 km(Helmert I)
Helmert
Kondensationsmethode nach Helmert
- unveränderte Gesamtmasse
- sehr kleiner indirekter Effekt
- Effekte heben sich auf, daher änhlich wie Freiluftanomalie
- sehr rau
Kondensationsmethode nach Helmert
- unveränderte Gesamtmasse
- sehr kleiner indirekter Effekt
- Effekte heben sich auf, daher änhlich wie Freiluftanomalie
- sehr rau
0 FcondTopoPH ggggg
0 FPH ggg
Geoidberechnung
Berechnung der Schwere im Erdinneren:
- für Orthometrische Höhen
- für die Bestimmung des Geoids
- Erforschung der Struktur der Erdkruste
- Interpolation von Schwerewerten
Berechnung der Schwere im Erdinneren:
- für Orthometrische Höhen
- für die Bestimmung des Geoids
- Erforschung der Struktur der Erdkruste
- Interpolation von Schwerewerten
Remove-Restore-Technik:
1. Beseitigung der Massen
2. Berechnung z.B
- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),
- Interpolation,
- oder Berechnung der Geoids
3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)
Remove-Restore-Technik:
1. Beseitigung der Massen
2. Berechnung z.B
- Fortsetzung nach unten (Freiluftreduktion),
- Interpolation,
- oder Berechnung der Geoids
3. Aufsetzten der Massen (indirekter Effekt)
Bestimmung des Geoids
Das GeoidDas GeoidOrthometrische HöhenOrthometrische Höhen
Geoidundulationen:
- Verknüpfung von orthometrischen Höhen und GPS-Höhen
- Reduktion der Beobachtungen für die Koordinatenberechnung auf das Ellipsoid
Geoidundulationen:
- Verknüpfung von orthometrischen Höhen und GPS-Höhen
- Reduktion der Beobachtungen für die Koordinatenberechnung auf das Ellipsoid
Bestimmung des Geoids
Ellipsoid
Geoid
P
Q
Nr
Gesucht: - Form der Randfläche (Geoid)
- Gravitationspotential über dem Geoid
Gemessen: - Schwerewerte
- Lage der Messpunkte
- Lotabweichungen
Pg
Bestimmung des Geoids
Ellipsoid
Geoid
P
Q
Nr
Pg
222
z
V
y
V
x
Vg g
z
Vy
Vx
V
VgNicht-lineare Beobachtungsgleichungen:
Bestimmung des Geoids
Ellipsoid
Geoid
P
Q
Nr
Pg
222
z
V
y
V
x
Vg g
z
Vy
Vx
V
VgNicht-lineare Beobachtungsgleichungen:
...)()()( 00
0
xx
x
fxfxf
x
Linearisierung:
Bestimmung des Geoids
Ellipsoid
Geoid
P
Q
Nr
Pg
PW
QU
( ) ( )W W P U Q Potentialanomalie:
( ) ( ) P PT W P U P W U Störpotential:
0const
Bestimmung des Geoids
Ellipsoid
Geoid
P
Q
Nr
Pg
PW
QU
P QW W U Potentialanomalie:
P PT W U Störpotential:
0const
P QQ
UW U r
n
Q r Geoidundulation:
(Formel von Bruns) Q
TrN
Q
UW r
n
Reduktion der gemessenen Beobachtungen
Ellipsoid
GeoidQ
Nr
PW
QU
Gemessen auf dem Geoid (P):
Schwereanomalien:
Schwerestörungen:
PPg
Pg
QPgg
PPgg
r
hg QP
rh
g
Q
T
hg
h
U
h
Wh
T
Reduktion der gemessenen Beobachtungen
Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:
Gemessen auf dem Geoid (P):
Schwereanomalien:
Schwerestörungen:
Pg
QPgg
PPgg
r
hg QP
rh
g
Q
T
hg
h
U
h
Wh
T
Q
T
hh
Tg
2. Näherung:2. Näherung:
r
GMU
Sphärische Näherung
Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie:
Q
T
hh
Tg
1. Näherung:1. Näherung:
rh
2r
GM
r
U
32
2
2r
GM
r
U
r
3. Eingesetzt:3. Eingesetzt:
T
rr
Tg
TGM
r
r
GM
r
T
2
32
r
T
r
T2
Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie
in sphärischer Näherung:
Fundamentalformel der physikalischen Geodäsie
in sphärischer Näherung:
r
T
r
Tg 2
Beobachtungsgleichungen
Beobachtungsgleichungen:Beobachtungsgleichungen:
r
T
r
Tg 2
0 0
1
),(),(21
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
rr
n
R
GM
0 0
1
),(),(1
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
r
n
R
GM
Repräsentation des Störpotentials durch Kugelfunktionen:Repräsentation des Störpotentials durch Kugelfunktionen:
0 0
1
),(),(n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
R
GMT
1
0 0
1( , ) ( , )
n n
nm nm nm nmn m
T GM n Rc C s S
r R r r
Gauß-Markoff-Modell:Gauß-Markoff-Modell:
Axvl
Beobachtungsgleichungen
BeobachtungsgleichungenBeobachtungsgleichungen
0 0
1
),(),(1
n
n
mnmnmnmnm
n
SsCcr
R
r
n
R
GMg
Ng
g
g
g
3
2
1
l
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s
c
c
21
21
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x
),(1
),(1
),(1
),(1
11
11
1
1111
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NNnm
n
NNNNnm
n
NN
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GMC
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R
GM
A