Vorlesung 3 - Funktionen

Mathematik-Repetitorium Funktionen Stand 2013ws 1

Mathematik-Repetitorium

Funktionen4.1 Funktionen einer reellen Vernderlichen

4.2 Eigenschaften von Funktionen

4.3 Die elementaren Funktionen

4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit

Mathematik-Repetitorium Funktionen 2

Funktionen Exkurs (1)

Rechnen mit Betrgen

Dreiecksungleichung


Funktionen Exkurs (2)

Rechnen mit Ungleichungen


4. Funktionen


4. Funktionen

4.1 Funktionen einer reellen Vernderlichen

Argument

unabhngige Variable

Definitions-bereich

Zuordnungabhngige Variable

Funktionswert

Bild-bereich

Definitionsbereich meist Intervall:oder natrlicher (=grtmglicher) Definitionsbereich

Beispiel 4.1:

Werte-bereich


4. Funktionen Funktionen einer reellen Vernderlichen

kartesisches Koordinatensystem

Schaubild, Kurve, Graph

Veranschaulichung:



Beispiele von Funktionen (1):

1)

lineare Funktion

konstante Funktion

2)

Parabel



Beispiele von Funktionen (2):

3)

Dirichlet-Funktion

4)


4. Funktionen

4.2 Eigenschaften von Funktionen

eindeutigEindeutigkeit:

eindeutig, umkehrbar

Symmetrie:

ungerade: gerade:


4. Funktionen Eigenschaften von Funktionen

Monotonie:

monoton steigend:monoton fallend:

streng monoton steigend:streng monoton fallend:

streng monoton umkehrbar

Beschrnktheit:nach oben

nach unten



Extremwerte:Maximum:

Minimum:

Nullstellen:

Ordinatenschnittpunkt:



Periodizitt:

Periode T

T

Bemerkung zur Umkehrfunktion:



Verknpfungen:

Verkettung: Reihenfolge beachten!

Beispiele:

a)



b)

c)


4. Funktionen

4.3 Die elementaren Funktionen

4.3.1 Signumfunktion, Betragsfunktion:


4. Funktionen die elementaren Funktionen

4.3.2 Potenzfunktion:

Umkehrfkt.:


4. Funktionen

Exkurs: Potenzen und Wurzeln (1)

Potenzgesetze:

a : Basis

n : Exponentn Faktoren

k n

n

n n


4. Funktionen

Negative Exponenten:

Wurzeln:

Potenzgesetze gelten fr beliebige

(reelle) Exponenten!

Exkurs: Potenzen und Wurzeln (2)



4.3.3 rationale Funktionen:

endlich viele Additionen, Multiplikationen, (Divisionen)

a) ganze rationale Funktionen = Polynome:

Grad Koeffizient

Verhalten fr groe

Nullstellen:


4. Funktionen rationale Funktionen



Beispiel:Polynom vom Grad 4 mit Nullstellen bei 1 und -2:

Faktorzerlegung (Polynomdivision):

Satz: Ein Polynom vom Grad n hat hchstens n Nullstellen.

Beispiele:

doppelte Nullstelle



b) echte rationale Funktionen:

Zhlerpolynom

Nennerpolynom

unechte rationale Funktion

echte rationale Funktion

Unechte rationale Funktion:

Beispiel:



=> Beispiele an der Tafel



Nullstellen: Nullstellen des Zhlers, Nenner 0

Pole: Nullstellen des Nenners; Zhler 0

Verhalten in Polnhe: vertikale Asymptote

Verhalten fr groe |x|: echte rationale Funktion 0

mit VZWohne VZW

Beispiele:



4.3.4 trigonometrische Funktionen:

Gradma: Bogenma:

Umrechnung:


4. Funktionen trigonometrische Funktionen

beide Funktionen periodisch mit Periode 2



Wichtige Beziehungen trigonometrischer Funktionen.

Additionstheoreme:



Umkehrung:

arcsin(x)

sin(x)

cos(x)

arccos(x)



Ergnzung:

Umkehrung:



Zusammenfassung: Wissenswertes ber trigononmetrische Funktionen (1):

Gradma Bogenma

Schaubilder

trigonometrische Formeln

Umkehrung:

berlagerung trigonometrischer Funktionen



Zusammenfassung: Wissenswertes ber trigononmetrische Funktionen (2):

allgemeine SinusfunktionAmplitude

Frequenz

Phase



4.3.5 Exponentialfunktion:

Potenzfunktion:

Exponentialfunktion:: Basis

Eigenschaften:

Sonderfall:

Bem.:


4. Funktionen Exponentialfunktion

Umkehrung: Logarithmusfunktion:

Rechenregeln fr Logarithmusfunktionen:


4. Funktionen

4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit

Verhalten bei Annherung an


4. Funktionen Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit

Definition 4.1: Grenzwert

Eine Funktion mit Definitionsbereich strebt frgegen einen Grenzwert ,

wenn entweder1) fr jede gegen konvergierende Zahlenfolge aus stets

gilt, oder2) zu jedem ein gefunden werden kann, so dass

fr alle x aus mit stets

gilt.



in stetig

hat fr Grenzwert ,

in stetig; stetig



Bemerkungen:

Zur Erklrung eines Grenzwertes von fr muss gelten, selbst muss nicht zum Definitionsbereich gehren.

Zur Erklrung der Stetigkeit von in muss und in sein.

Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft (Verhalten in ).

Andere Schreibweise:



Rechenregeln fr Grenzwerte:

Annahme:

dann gilt:

Annahme: stetig in , stetig in

dann gilt: ist stetig in



Unstetigkeiten:

Unstetigkeitsstelle

ist unstetig in

ist unstetig in , hebbar

ist unstetig in , Unendlichkeitsstelle

Dirichlet-Funktion ist in keinem Punkt stetig!

hebbare Unstetigkeit, d.h. Grenzwert existiert(der fehlende Punkt kann ergnzt werden)



Beispiel 4.2:



alle Polynome stetig

alle rationalen Funktionen stetig

Konsequenz:

eindeutig und umkehrbar: Mit ist auch stetig


4. Funktionen

4.6 Funktionen von mehreren Variablen

eindeutige Zuordnung,

z.B.:

Grenzwert: Annherung

Stetigkeit:


4. Funktionen Funktionen von mehreren Variablen

Beispiele:

GeradeEbene


Aufgaben im Tutorium

Buch:

1

2

5 [1. , 2.]

6 [3. , 4. , 6.]

7 [a) , c)]

8

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