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VOM MÖBIUSBAND ZUM V-BANDUNTERSUCHUNGEN · ENTWICKLUNGEN · ERGEBNISSE
FRED VOSS
HERAUSGEGEBEN VON KULTURATA E. V. WUPPERTAL
Phantasie ist wichtigerals Wissen, denn Wissenist begrenzt.
Albert Einstein
Inhalt
Einleitung
Die FrageDas “Selbst-Erleben”
Das Möbiusband
Der StreifenDie VerdrillungDas Band
UntersuchungenEntwicklungenErgebnisse
Allround 1992Das geplättete BandDas gleichseitige DreieckDie ReduzierungEine MinimalformDie 180° VerdrillungDas fehlende DreieckDas SkelettdreieckDer ÜbergangDas gekantete BandDer KantenpunktDie FlächenkanteEin gleichschenkliges DreieckDas V-Band DreieckDas V-BandDer V-Band RingDas “dreifache V-Band”Das V-Band ParallelogrammDas V-Band QuadratMinimalformen im VergleichDie V-Band StülpungDas mathematische BandDas all-einige DreieckV-Band SkulpturenZeiträumeJeder sieht...Aus dem ArchivSchneidevorlagen
Impressum
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Die Frage
Kenne ich die Eigenschaften einesMöbiusbandes, das auch Zeitschleifegenannt wird, nicht, werde ich diesem Bandbei meiner ersten Begegnung keinebesondere Beachtung schenken.
Das Möbiusband ist einfach nur einverdrilltes Band.
Erst nach eingehender Betrachtung werdeich feststellen, dass diese nur einfacheVerdrillung um 180° zu den gravierendenEigenschaften dieses Bandes führt.
Fahre ich mit einem Stift, wie auf einerStraße, auf dem Band entlang, so kehreich immer wieder zum Ausgangspunktzurück. Dasselbe gilt auch für dieBandkante.
Um das Möbiusband zu “erfahren”, mussich mich also bewegen – auf dem Bandentlang, und diese Bewegung ist einProzess in der Zeit. Erst dann entsteht inmir der Gedanke: das Möbiusband hatnur eine Seite und nur eine Kante.
Die berechtigte Frage ist nun: Ist dieserGedanke zutreffend? Oder gibt esdoch einen – zunächst leicht zu über-sehenden – Übergang zur “zweitenSeite” des Möbiusbandes?
Seit 1989 gehe ich dieser Frage nach.
Mit den vorliegenden Untersuchungenund ihrem überraschenden Ergebnis möchteich zeigen, wie das Möbiusband einenÜbergang zur “zweiten Seite” vollzieht, der,dem Auge zunächst nicht bemerkbar, im“Verborgenen” geschieht.
Texte, Zeichnungen, Modellfotos undSkizzen sollen den langen Weg und dendamit verbundenen Entwicklungsprozessaufzeichnen.
Fred Voß
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Einleitung
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Das “Selbst-Erleben”
Die hier vorliegende Arbeit ist das vorläufigeResultat meiner Untersuchungen desMysteriums “Möbiusband”.
Während der langjährigen Beschäftigungmit diesem Phänomen “Möbiusband” istmir eines ganz deutlich geworden:
Um zu einer wirklichen Erkenntnis, zu einemwirklichen “Erleben“ des Mysteriums“Möbiusband” zu kommen, reicht eine nurtheoretische Beschäftigung mit diesemThema nicht aus.
Man muss schon "selbst" zu Papier, Schereund Klebstoff greifen und die in dieser Arbeitbeschriebenen Vorgänge nachvollziehenund sie eventuell erweitern.
Erst dann, im Prozess des "Selbst-Erlebens“,zeigen sich dem aufmerksamen Beobachterdie wundersamen Phänomene desZusammen-Fliessens von Innen und Außen,von Kante und Fläche, von Zentrum undPeripherie, von Punkt und Umkreis.
Hierdurch kann ein tieferes Verständnis des"Ich bin Du", des “Alles ist Eins“, des “pantarhei, (Alles fließt)", der ewigen Bewegung,des Lebendigen, wofür das Möbiusbandeine Art äußeres Symbol ist, entstehen.
Dieses "Selbst-Erleben“ bei jedem einzelnenLeser anzuregen ist das eigentliche Anliegenmeiner Arbeit.
„Es soll sich regen, schaffend handeln,Erst sich gestalten, dann verwandeln;Nur scheinbar stehts Momente still.Das Ewige regt sich fort in allen:Denn alles muß in Nichts zerfallen,Wenn es im Sein beharren will.“
Johann Wolfgang von Goethe
Der Streifen
Um ein Möbiusband herzustellen, kannman einen Papierstreifen benutzen, der dieForm eines langgezogenen Rechtecks hatund der sich leicht verdrillen lässt.
Könnten es auch andere einfache Formenwie ein Parallelogramm, ein Trapez odersogar ein Dreieck sein, aus denen sichdieses Band herstellen lässt?
Diese Frage wird später noch eine wichtigeRolle spielen.
Das Möbiusband
7© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Die Verdrillung
Der Streifen lässt sich leicht mit seinenkurzen Seiten zu einem normalen Ringbandverbinden. Dieses Ringband hat eineInnen-, eine Aussenseite und zwei Kanten.
Erst durch die Verdrillung vor der Verbindungder Streifenenden entsteht ein Möbiusband.
Dabei wird eine der kurzen Seiten desStreifens um 180° gedreht und dann mitder anderen kurzen Seite verbunden.
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Das Band
Das Möbiusband stellt immer wiederneue Fragen an den Betrachter.
Was geschieht bei der Verdrillung?Wie ist aus zwei Seiten bzw. Kanteneine einzige geworden?
Die Form einer liegenden “8” ist nicht zuübersehen, das Symbol der Unendlichkeit,der Aufhebung von Dualität, der ewigenWiederkehr. Innen und Aussen habensich zu einer Einheit verbunden.
9© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
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UntersuchungenEntwicklungenErgebnisse
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Allround 1992Mit dieser Kreidezeichnung “Allround” ausdem Jahr 1992 brachte ich meine erstenErkenntnisse zur Zeitfrage auf Papier.
Ich hatte erkannt, dass die Zeit ein Raumsein muss, der gleichzeitig Innen und Aussenbeinhaltet, wie das “einseitige”, “einkantige”Möbiusband, oder ein einziger Punkt aufeiner Kugel.
Lässt sich die Zeit, das Möbiusband, aufeinen “Punkt” zurückführen ?
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Das geplättete Band
Kann das räumliche Möbiusband auf eine“ebene” Form zurückgeführt werden, indemman es plättet?
Hier wird das geplättete Band aussen voneinem Sechseck begrenzt und innen voneinem Dreieck. Das Sechseck wird von dreiTrapezen gebildet, die sich in drei Dreieckenüberlagern.
Diese geometrischen Formen mit ihrenBeziehungen zueinander gaben Anlasszu den folgenden Untersuchungen.
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1993
Das gleichseitige Dreieck
Werden Länge und Breite des Bandes durcheine bestimmte Anzahl gleichseitigerDreiecke gebildet, kann eine hoch-symmetrische Plättung erreicht werden.
Im hier abgebildeten Beispiel besteht dasoffene Band aus fünfzehn gleichseitigenDreiecken, die zusätzlich an den Seitendurch Knicke beweglich gemacht wurden.
Die Plättung zeigt zwölf gleichseitigeDreiecke. Drei sind überlagert.
13© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
1993
Die Reduzierung
Die Streifenlänge lässt sich auf neungleichseitige Dreiecke reduzieren.
Bei der Plättung entsteht ein regelmäßiges,geschlossenes Sechseck, gebildet aus dreiTrapezen.
Werden fünf geeignete Knicke eingeführt,ergibt sich ein um 180º beweglichesMöbiusband aus drei Rauten und dreigleichseitigen Dreiecken.
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1994
Eine Minimalform
Das Möbiusband aus drei Rauten unddrei gleichseitigen Dreiecken kann auf nurdrei gleichseitige Dreiecke reduziert werden.
Dieser Grenzfall ist ein “dreischichtiges”,gleichseitiges Dreieck.
Dieses Möbiusband lässt sich auch soaufschneiden, dass ein Rechteck entsteht.
Die zur Zeit allgemein bekannte Minimalformfür ein Möbiusband ist dieses Rechteck.
15© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band Dreieck
1995
Die 180° Verdrillung
Gibt es weitere Flächen mit den wesent-lichen Eigenschaften des Möbiusbandes?
Die Eigenschaften des Möbiusbandeslassen sich zum Beispiel auch auf Tetraeder,Kubus, oder Torus übertragen.
Dabei kann die 180° Verdrillung aufdie Länge eines Streifens verteilt werden.Zum Beispiel zweimal 90°.
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1997 2005
2002 1996
1998
Das fehlende Dreieck
Wird ein Möbiusband mit 60°/120° zuden Kanten zerschnitten, fällt eine ganzbesondere Eigenschaft des Streifens mitden sich ergebenen Schnittkanten auf.
Der Streifen zeigt eine Trapezform.
Wird die Streifenlänge parallel zur Schnitt-kante reduziert, erhält man ein Dreieck.
Kann es sein, dass ein Dreieck die Urformdes Möbiusbandes ist?
Der oberer Streifen im Foto zeigt einzerschnittenes Möbiusband, der untereStreifen ein zerschnittenes Ringband.
Soll der Möbiusbandstreifen zu einemRingband geformt werden, so ist dasnicht möglich. Es fehlt ein Dreieck!
Das Gegenteil gilt für den Ringbandstreifen.
Die Lage der Schnittkanten des Streifensbestimmt die Eigenschaften des Bandes.
Welche Bedeutung hat das fehlende oderdas durch Überlappung entstehendegleichseitige Dreieck?
17© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
2001
2001
Das Skelettdreieck
Kann das erhaltene, gleichseitigeDreieck den Weg zu dem GeheimnisMöbiusband zeigen?
Kann es die Eigenschaften des Möbius-bandes übernehmen?
Durch kreisförmige Aussparungen anden Seiten des gleichseitgen Dreieckslassen sich die zwei Basisecken mit derSpitze verdrillen und verbinden.
Das Ergebnis: Ein “Möbiusband”.
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2003
Der Übergang
Das Skelettdreieck macht den Übergangzur “zweiten” Seite des Bandes mit seinerDreieckspitze sichtbar.
Das Möbiusband verbirgt also in seinerForm einen Übergang, eine Verbindungüber seine Kante zur “zweiten” Seite.
Die Abbildungen zeigen unterschiedlicheFormenbeispiele mit entsprechendemÜbergang.
19© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
1997 1998
1996 2001
Das gekantete Band
Um einer Markierung auf dem Bandwieder zu begegnen, muss das Bandzweimal umlaufen werden.
Kann dieser Umlauf reduziert werden?
Das Band lässt sich so kanten, dassdie Verdrillung scheinbar aufgehoben wird.Zwei überlagernde Flächen bilden sich.“Innen” und “Aussen” werden sichbar.
Das Ergebnis ist ein Ringband mit nureinem Umlauf.
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2004
Der Kantenpunkt
Nach eingehender Betrachtung desgekanteten Möbiusbandes erkennt maneinen Punkt, den Übergang zum zweitenBandumlauf, der “zweiten” Bandseite.
An diesem Punkt begegnen sich “Innen”und “Aussen”. Aus Zwei wird Eins.
Einen solchen Punkt des Übergangsnenne ich “Kantenpunkt”.
Die Zeichnung unten zeigt die Beziehungenzwischen “Kante” und Kantenpunkt.
Der Übergangzur “zweiten” Bandseite.
Der Kantenpunkt.
21© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Die Flächenkante
Das gekantete Band zeigt eine Flächen-diagonale, die am Kantenpunkt die Seitenwechselt. Diese nenne ich “Flächenkante”.
Zum Aufschneiden der Kante wird amKantenpunkt begonnen. Nur ein Umlaufist dafür nötig, denn der Weg von Innenund Aussen wird gleichzeitig gegangen.
Ist der Kantenpunkt wieder erreicht,zerfällt das Band in ein gleichschenkligesDreieck, dessen Schenkel zusammendie Flächendiagonale bilden.
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2003
Ein gleichschenkliges Dreieck
Kann ein gleichschenkliges Dreieckin eine direkten Beziehung zu demgleichseitigen Dreieck gebracht werden?
Ein gleichseitiges Dreieck lässt sich zerlegenin drei gleiche, gleichschenklige Dreiecke.Ein solches lässt sich wiederum in eingleichseitiges Dreieck und zwei gleich-schenklige Dreiecke zerlegen.
Dieses gleichschenklige Dreieck mit120° Winkel nenne ich “V-Band Dreieck”.
Das V-Band Dreieck hat auch eineelementare Beziehung zum Kubus.Das Sechseck im Kubus wird aus sechsdieser Dreiecke gebildet.
23© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
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Das V-Band Dreieck
Nun kennen wir eine weitere Elementarformfür ein minimales Möbiusband.
Es ist das V-Band Dreieck.
Dieses V-Band Dreieck beinhaltet schonin seiner ursprünglichen Form alle Eigen-schaften, die ein Möbiusband auszeichnen.
Aus dieser Fläche lässt sich durch “einfacheFaltung” ein Möbiusband herstellen.
Die Verdrillung. Der Kantenpunkt.Eine Fläche. Die Flächenkante.Eine Kante. Die Basis.
Die Flächenkante
Der KantenpunktDie Basis
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Das V-Band
Das V-Band Dreieck wird so, wie auf denFotos zu sehen ist, zu einem dreischichtigen,gleichseitigen Dreieck gefaltet; dannwerden die beiden Schenkel der Flächen-kante miteinander verbunden.
Dieses Möbiusband nenne ich “V-Band”.
Bemerkenswert ist: “Vorder- und Rückseite”des gefalteten V-Band Dreiecks lassen sichvon einander nicht unterscheiden.
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
2007
2007 2007
Der V-Band Ring
Die V-Band Faltung lässt sich auf jedesgleichschenklige Dreieck übertragen, dessenWinkel nicht kleiner als 120° ist.
Dabei ergibt sich im Allgemeinen ein einfachsymmetrisches Fünfeck.
Bei Verkleinern des Winkels von 180°bis 120° steigt der Kantenpunkt von derBasis auf.
Die Flächenkante im V-Band bildet einenRing, der das gleichschenklige Dreieckumschließt und am Kantenpunkt, derDreiecksspitze, berührt.
Dieser Ring ist ein Zeichen dafür, dassein Möbiusband “zwei Seiten” hat, dieüber den Kantenpunkt mit einanderverbunden sind.
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2007
Das “dreifache V-Band”
Da das gleichseitige Dreieck drei V-BandDreiecke beinhaltet, lässt es sich durchÖffnen einer Flächenkante bis zumKantenpunkt zu einem dreischichtigenV-Band Dreieck falten.
Werden die zwei frei liegenden Eckpunktemiteinander verbunden, erscheint derbekannte Ring.
27© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
2007
Das V-Band-Parallelogramm
Aus einem V-Band Dreieck kann einParallelogramm gebildet werden.
Dieses nenne ich “V-Band-Parallelogramm”.
Aus jedem gleichschenkligen Dreieck lässtsich ein Parallelogramm bilden.
Wird das V-Band-Parallelogramm nachdem V-Band-Prinzip gefaltet, erhält manein Möbiusband.
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2008
2008
Das V-Band Quadrat
Die Flächenkante eines gleichschenkligenDreiecks ist auch die Flächendiagonale desentsprechenden Streifens.
Jeder Streifen lässt sich auf ein Quadratreduzieren. Flächendiagonal gefaltet zeigtdas Quadrat ein zweilagiges, gleichschenk-liges, rechtwinkliges Dreieck.
Wird die rechte Aussen- mit der linkenInnenkante des Dreiecks verbunden,erhält man ein Möbiusband in Kegelform.
29© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Minimalformen im Vergleich
Das V3-Band Dreieck
Das V-Band Dreieck
Das V-Band Quadrat
Das V3-Trapez
Das Rechteck
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Die V-Band Stülpung
Besteht das Möbiusband aus nur neungleichseitigen Deiecken und sind diesemit Gelenken untereinander verbunden,lässt sich dieses Minimalband stülpen.
Bei dem Vorgang der Stülpung wandertdie Verdrillung spiralförmig entlang derFlächenkante zum Kantenpunkt undwieder zurück.
Diese Minimalform-Stülpung entdeckteich 2008 bei Untersuchungen am Dreieck-Rautenmodell.
31© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Das mathematische Band
Mathematisch gesehen haben Flächengrundsätzlich keine Stärke.
Lässt sich “keine Stärke” sichtbar machen?
“Keine Stärke” wird mit den aufeinander-liegenden Innenflächen eines zweilagigenStreifens erzeugt.
Werden diese zwei Streifen mit ihren kurzenKanten “wie üblich” zu einem Möbiusbandverbunden, ist das Ergebnis ein um 360°verdrilltes, zweiseitiges Band.
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2009
2009
Das all-einige Dreieck
Ist das gleichseitige Dreieck eine Dimensionder Zeit?
Die Gegebenheiten dieses Dreiecks sindeinseitig, zeitgleich und zeitlos zugleich.
Am Schnittpunkt von Vergangenheit undZukunft, dem Zeitpunkt, Kantenpunkt, wirddie Gegenwart geboren.
Diese zweiz(s)eitige Vereinigung, dasewige Jetzt, ist sehr gut mit dem MysteriumMöbiusband zu vergleichen.
Das transparente V-Band zeigt mit derBasis und den zwei Flächenkanten desgleichseitigen Dreiecks den Kantenpunktund Schnittpunkt gleichzeitig.
Aus DREI ist EINS geworden.
Die SECHS Seitenkanten eines gleich-seitigen Dreiecks bilden in geöffneter Formeine Zeitschleife, eine liegende Acht, dieLemniskate, mit dem Kantenpunkt,dem ZEITPUNKT.
Der Kreis schliesst sich!
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Vergangenheit Zukunft
VergangenheitZukunft
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
2009
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V-Band SkulpturRing 1
Entwurf für die Technische UniversitätDresden 2008.
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V-Band SkulpturRing 2
Entwurf für die Technische UniversitätDresden 2008.
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
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V3-Band 1995 bis 2003
V9-Band 1992 bis 1995
Erste Skizzen 1989 bis 1992
V-Band 2003 bis 2007
V-Band dreifach 2007 bis 2009
Die Zeiträume
V-Band Quadrat 2009
37© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Jeder sieht, was es scheint.Nur wenige, wie es ist.
Zum Schluss mehr als “eine Frage”:Kann es sein, dass Kante und Flächedes Möbiusbandes das Gleiche sind?
Ich meine JA.
Flächenkante, Kantenfläche, Flächenkante.
Diese zwei sehr “fragwürdigen” Modellfotossollen zur Beantwortung dieser gestellten,schwierigen Frage anregen.
1997
2009
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Aus dem Archiv
Entwurfskizzen zur dreidimensionalenÜbertragung des Symbols der Triskeleauf den kubischen Raum in Formeines Möbiusbandes. (1989)
39
Aus dem Archiv
Minimalform V3-Band, Verdrillung im Kubusmit Zeitachse, Tetraeder mit Zeitebene,Möbiusband mit fünfschichtigem Trapezeines regulären Fünfecks.
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
1995 1991
1994 1987
40
Aus dem Archiv
Gedankenskizzen über Beziehungen undVerhältnisse von Fläche, Raum und Zeitin Bezug zum Möbiusband. (2007)
41
Aus dem Archiv
Einseitige Fläche mit Übergang,Sechseck in Kubuskugel, drei Flächenringe,“einseitiger” Trapezraum.
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
2003 2001
1998 1996
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Das gleichseitige Dreieck
Schneidevorlagen
Die Figuren kopieren, ausschneiden,die Flächenkanten falzen und wie markiertnach vorn oder hinten knicken.
Nach vornNach hinten
Die Enden miteinander verbinden.
Die Stülpung
Die Reduzierung
43© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
Eine Minimalform
Das Skelettdreieck
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Impressum
Redaktion:Dr. Frank Walter
Lektorat:Peter Schottler
3D VisualisierungV-Band Skulpturen:Horst Kolodziejczykwww.hokolo3d.de
Dieter Junkerwww.flyping-games.com
Gesamtgestaltung,Skizzen, Zeichnungen,Modelle, Skulpturen, Fotos:Fred Voß[email protected]
Herausgegebenanlässlich des Seminarsvon Robert Byrnes“Umstülp-Welten”2009 Wuppertaldurch:KulturatA e.V.Hinsbergstrasse 2D 42287 [email protected]
Copyright© 2009 Fred Voß
Alle Rechte vorbehalten.
Jede Art der Veröffentlichungohne Genehmigung des Autorsist unzulässig.
Druck: Klartext, Hannover
© Fred Voß 2009 Vom Möbiusband zum V-Band
![MATERIALS AND TECHNIQUES IN OLD BRIDGE OF MOSTAR ... · [5] Gojkovic M.: Stari kameni mostovi, Beograd: Naucna knjiga, 1989. [6] Nacionalni institut za pametnicite na kulturata: deklaracionna](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/5e21c8942346ce051b32f7bd/materials-and-techniques-in-old-bridge-of-mostar-5-gojkovic-m-stari-kameni.jpg)
