VOLUMEN I - info.igme.es

MINISTERIO DE INDUSTRIAY ENERGIACOMISARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES

RECOPILACION , ANALISIS CRITICO Y SIMPLIFICACIONFUNCIONAL DE LOS METODOS EMPLEADOS EN ENDISEÑO DE EXCAVACIONES A CIELO ABIERTO

VOLUMEN I

DE ESPAÑAcjEOLOGICO Y MINERO

�?d 63 Sr

El. presente estu dio ha sírc, �,; i . •r

GI'OPRi , S. A. , en ri imet r; r. r .

ción con ci. instituto

de Espar,n.

Madrid, Diciembre, de., 1.98(1.

I N D 1 C E

PáF.

P€2OLOGO .................................................................

CAPITULO 1. GENERAL1DADES.

1.1. iNTRODUCCION .............................................. 4

1.2. ESTUDIOS NECESARIOS PARA EL DISEÑO DE TALUDES ............. 7

CAPI'T'ULO TI. MÉTODOS D E CALCULO

2.1. CONSIDERACIONES CENERAIL!S ................................. 19

2.2. IMPORTANCIA DE LOS ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE l'\i:1'DES. 22

2.3. 1)IFERE_NTES ME TODOS DE CALCULO ............................. 23

2.3.1. Método del talud indefinido ........................ 24

2.3.2. Método de deslizamiento plano ...................... 58

2.3.3. 21éto do del círculo (le rozamiento Y otros ric tc c? >s

simil ares .......................................... 105

2.3.4. Método de la Línea de rotura e.5p rol 1o arítn ii.a... 147

2.3.5. Método de la Lín ea de rotura cicloicit' .............. 162

2.1.6. Método de análisis por e_cluilibrio d.. 180

2.3.7. Méto do d e iní1isis_—29 r bloques de l_a e stabi E idad

de un talud rocoso ................................. 9 89

2."3.8. Mé todo de análisis de la estabilidad dc. una cuña

recosa ............................................. 33")

2.3.9. Método de ce.lementos finitos ........................ 38

CAPITULO 111. ENSAYOS GEOTECNIC OS

3.1. ASPECTOS GENERALES ........................................ 452

3.1.1. Introducción ................................. 453

3.i .2. Aplicación practica cie los diferentes . . . . . .r n :.a 454

3.2. ENSAYOS GEOTECNICOS DE APLICACION MAS FRI?('L i'?i'1'I.S i.': LOS

ESTUDIOS DE TALUDES ....................................... 4E>0

3.3. VALORES CARACTERIST1COS DE ALGUNOS PARAMENTOS CI(O'I'I c.;,1008. 5 56

CAPITULO IV. C0111'ARACION DE METODOS.

4.1. ESTUDIO COMPARATIVO ....................................... 578

CAPITULO V. ANEJOS.

ANEJO N° 1 .- TENSIONES TANGENCIALES EN LAS DISCONTINUIDA-

DES ROCOSAS ................................... 60:3

ANEJO N° 2.- TECNICA Y APLI.CACION DE. LOS METODOS REDUCIDOS

EN EL ANALIS IS DE ESTABILIDAD DE 'I'AJ.I;DJ:;, ...... 633

ANEJO N° 3.- ANCLAJE DE UN BLOQUE ROCOSO ................... 646

ANEJO N° 4.- DESPRENDIMIENTOS DE FRAGMENTOS 650

RLFLRENCIAS BIBL IOGRÁFICAS.

1

P R O L O G O

En el capitulo octavo del Plan Nacional de Abastecimiento de Mate-

rias Primas Minerales - "Programa de Acción horizontal" se plantea la ne

cesidad de acometer una serie de acciones complementarias de caracter ge

neral y horizontal que tengan como objetivos la mejora de las actividades

mineras.

Para cumplir en sus competencias estos objetivos , el IGMh dentro -

de sus programas de actuacion está realizando una serie de proyectos de

investigacion básica sobre sistemas de explotacion minera que permitirán

contar con las armas teóricas y prácticas mas avanzadas para modernizar

los métodos de laboreo minero. Dentro de los temas que están siendo más -

estudiados , los estudios sobre diseño y control de Taludes ocupan un des-

tacado lugar.

La transformación a cielo abierto de muchas labores mineras se ha -

revelado como el camino más apropiado para desarrollar una mineria moder-

na y de mayores rentabilidades . Pero esta transformación exige una tecní-

fícaci án elevada en todos los niveles de explotación que permita compen-

sar por los rendimientos globales los descensos en mineral contenido por

volumenes de rocas removidas.

Las labores mineras a cielo abierto cada día resultan más importan-

tes, afrentándose cortas de impresionantes alturas en muy diversos tipos

de materiales.

La optimización de las cortas mineras a cielo abierto , al igual que

en la minería subterránea, necesita lograr la meta de combinar los límites

de seguridad con la máxima rentabilidad de las masas removidas , enfrentán-

dose en este caso con el problema esencial del diseño optimo de taludes.

Para afrontar con criterios modernos el diseño de grandes taludes -

i

2

ya no resultan suficientes las experiencias empíricas de los técnicos mi-

neros, sino que, ante las magnitudes de las cortas que hay que ejecutar -

y las exigencias de seguridad, éstas tienen que valerse además de todas -

las armas teóricas y prácticas que las ciencias les pueden ofrecer.

El proyecto que aquí se presenta consideramos que puede cubrir un -

amplio espectro dentro del tema de taludes, poniendo a disposi.cidn de los

interesados en un solo documento muchos de los Gltimos avances en los mé-

todos de cálculo de taludes que se encuentran dispersos, mal explicados ó

poco desarrollados en la bibliografia geotécnica. Con ello se ha pretendi

do dotar de un arma básica a los técnicos mineros para que puedan diseñar

los taludes de las cortas utilizando los métodos de cálculo más modernos,

teniendo criterios para aplicar el más apropiado en cada caso y para ana-

lizar los resultados que estos aportan.

El presente trabajo ha sido realizado por la empresa GEOPRIN S.A. -

por encargo y bajo la supervísión del I.G.M.E.

Deseamos agradecer la colaboración muy especial de: D. Enrique Cha-

tón (E.T.S.Ing. de Minas), D. Miguel Fernández Bollo (Sociedad de Recono-

cimientos Geofísícos, S.R.G.) y D. Angel Díaz Martínez y J.M. Hacar Rodrí

guez. As¡ mismo, queremos destacar la colaboración prestada por el Centro

de Cálculo de la E.T.S.Ing. de Minas y la Universidad de Berkeley, en la

persona del profesor James Míchael Duncan.

C A P I T U L O

G E N E R A L I D A D E S

4

1.1.- INTRODUCCION.

La minería a cielo abierto , cada dfa más , acomete la excavación de

grandes cortas con alturas y longitudes espectaculares, que necesitan ser

diseñadas con estrictas condiciones de seguridad y dentro de los márgenes

impuestos por los criterios de rentabilidad.

Para poder atacar la construcción de estos grandes taludes ya no es

suficiente la pura experiencia minera , al enfrentarse con problemas que -

pueden comprometer grandes masas rocosas, muchas veces imposibles de suje

tar si por desgracia no se acierta con el diseño apropiado 6 no se contro

lan adecuadamente.

En el diseño y control de grandes taludes se deben utilizar todos -

los conocimientos y medios técnicos disponibles que permitan proveer, el i

minar 6 corregir en lo posible muchos de los riesgos mayores que en toda

excavación se plantean.

A lo largo de estos últimos años se viene acumulando un volumen con

síderable de estudios teóricos y experiencias prácticas que aportan algu-

nas armas para afrontar el diseño de taludes con ciertas bases científi-

cas.Esto no significa que todo problema puede ser resuelto, ni mucho me-

nos, quedando aún grandes temas sin solucionar . Pero, la ignorancia 6 la

no utilización de los conocimientos alcanzados hasta el momento signifi-

can el seguir afrontando la excavación de taludes de una forma empírica,

admitiendo muchísimos más riesgos que los estrictamente necesarios.

Los estudios sobre taludes se muestran necesarios en todas las eta-

pas de un proyecto minero.Una incorrecta estimación de los taludes admisi

bles en una gran corta minera puede afectar enormemente a los parámetros

de rentabilidad del yacimiento , tanto si es por defecto como por exceso,en

cuanto a los volúmenes de excavación . Un desplazamiento de masas durante la

5

explotación puede provocar riesgos de vidas humanas y graves transtornos

en los programas de explotación. La rectificación de taludes puede signi

ficar pérdidas no previstas en los presupuestos de las explotaciones. A

medida que los taludes se hacen mayores, conviene tener en cuenta, que -

la dimensión de los problemas puede crecer de forma exponencial, entran

do en juego cada vez factores más incontrolables y corriendose riesgos -

cada vez mayores.

Por otro lado, en una corta minera tan importante como diseñar ta-

ludes estables puede ser el preveer y admitir determinados riesg,os, sien

pre y cuando estos sean estimables y debidamente controlados.

En definitiva, la excavación de grandes taludes suponen un reto al

inestable equilibrio de la naturaleza, teniendo que afrontarse con toda -

prudencia y provistos de todas las armas que las ciencias nos puedan pres

tar si no queremos fracasar en el empeño.

Los estudios necesarios para los trabajos de taludes pueden proce-

der de muy diversos campos de las ciencias teóricas 6 aplicadas. Todos -

ellos tratarán de averiguar la naturaleza, estado y comportamiento del -

medio fisico-natural donde se pretenden ejecutar las obras. La profundi-

dad de los estudios necesarios dependerá de los problemas que en cada caso

se planteen y de los medios disponibles.

Los estudios de caracter geológico y geotienico s.l. son los que -

fundamentalmente se realizan en estos casos. Ambos tipos tratan de expli

car la naturaleza de los distintos materiales, su disposición, sus carac-

terísticas geomecánícas y su comportamiento ante las perturbaciones de -

los materiales de la lit6sfera, aplicando metedologias contempladas desde

distintos puntos de vista pero resultando absolutamente necesaria su com-

plementaríedad para lograr el máximo nivel de conocimiento de la realidad,

permitiendonos actuar sobre ella con mayor seguridad.

(i

La diversidad de estudios y técnicas que se emplean exige la cola-

boración estrecha de técnicos especializados en los distintos temas (In-

genieros, geólogos, geofísicos, matemáticos, etc) auxiliados con equipos

adecuados (sondeos, laboratorios, computadoras, etc) que actuen diseñan-

do y controlando las distintas fases de ejecución de las excavaciones.

Como se ha dicho anteriormente los principales tipos de estudios -

que se suelen realizar para taludes son de tipo geológico v geotécnico.

Todos los conocimientos de este género que se puedan acumular sobre la -

zona donde se van a realizar los trabajos no deben desestimarse, dado --

que el grado más elevado de conocimiento sobre la naturaleza nos permíti

rá comprender en mayor grado sus accidentes y comportamiento.

En el presente trabajo no se pretenden repasar todos los aspectos

que existen sobre el tema de taludes, disponíendose de una amplia biblio

grafía a distintos niveles de especialización, donde se pueden encontrar

mejor explicados muchos temas que aquí sólo se reseñan a titulo informa-

tivo.

En este primer capítulo sólo se intenta resumir los distintos tipos

de estudios que se realizan para taludes, explicando su finalidad y limi

taciones y planteando la mejor manera de utilizar las informaciones que

aportan.

7

1.2.- ESTUDIOS NECESARIOS PARA EL DISEÑO DE TALUDES.

Para ejecutar un proyecto minero a cielo abierto que necesite la ex

cavaci6n de grandes taludes, con criterios de rentabilidad y seguridad mo

dernos, resulta necesario tecníficar las empresas mineras con especialís-

tas y medios suficientes para que puedan diseñar, controlar y vigilar las

cortas de manera adecuada.

La excavación de grandes taludes necesita un seguimiento continuo -

desde su diseño general hasta su fijación final, por medio de estudios y

mediciones de carácter geológíco-geotécnícos, a mayor o menor escala, con

más o menos detalle, en función de los problemas o seguridades que en ca-

da caso se puedan plantear.

Según progresan las fases de ejecución de una explotación minera a

cíelo abierto, se podrá contar con experiencias e informaciones directas

que permitirán tomar decisiones cada vez más ajustadas a las necesidades

reales que se plantean. Pero en cambio, a medida que progresan las labo-

resen extensión y profundidad el tener que corregir los taludes o tomar

medidas de protección no previstas, puede causar transtornos importantes.

Por ello consideramos que las labores de investigación y control de talu-

des deben acometerse desde las primeras etapas de una corta minera, insis

tiendo especialmente desde los primeros momentos antes de contar con los

escaparates que representan los taludes abiertos. Luego, el seguimiento -

de los taludes a lo largo de toda su ejecución permitirá el ir ajustando

los cálculos y estimaciones según los accidentes especiales que se vayan

descubriendo localmente. Si desde un primer momento se cuenta con estu- -

dios lo más profundos posibles, el margen de sorpresas desagradables por

accidentes o comportamientos inesperados será disminuido notablemente.

A lo largo de todo el Mundo se han realizado muchos trabajos y exile

riencias teórico-prácticas sobre casos que, con toda seguridad, serán muy

semejantes al problema concreto que se presenta en una nueva corta, pudíen

8

do encontrarse referencias de ello en la bibliografía especializada. El -

intercambio de información y el análisis de situaciones parecidas en cor-

tas ya existentes, serán fundamentales para actuar con criterios más fir-

mes.

DISEÑO GENERAL DE LOS TALUDES DE UNA CORTA .

La primera etapa de un proyecto minero a cielo abierto exige la de-

finición de los taludes generales de las cortas, para con ellos entrar en

los cálculos de rendimiento de la mena respecto al todo uno <le la masa re

movilizable.

La definición general de los taludes admisibles debe hacerse con --

criterios lo más fundados posibles para poder aprovechar al. Máximo los re

cursos minerales disponibles.

Las informaciones necesarias para el diseño de los taludes en esta

primera fase, tendrán que entresacarse de los estudios de prosnccción del

yacimiento, aprovechando toda la información posible y los sondeas y ca-

lícatas para tornar muestras para los ensayos geotécnicos necesarios. Como

para el mismo yacimiento, cuanto más exhaustiva sea esta ínform<rcíón m<ìs

datos podrá aportar para el diseño de taludes.

Desde los primeros estudios geológicos generales ya se pueden empe-

zar a entresacar muchas características que definirán el mctodo de calcu-

lo y análisis a seguir para definir los taludes:

La posición geográfica del yacimiento ya marca unos primeros condí-

cionantes al diseño que merecen ser analizados con cuidado, para de

limitar hasta que punto se deben tomar precauciones, precisando los

ángulos de talud, los sistemas de sostenimiento, el drenaje, etc.

Una corta en montaña no es lo mismo que en un fondo de valle (Fig.

1.1. y 1.2.). Las masas implicadas en caso de rectificación de los

9

taludes pueden ser muy variables. Tampoco es lo mismo que por enci-

ma de la corta queden masas que puedan ser afectadas por desprendí-

mientos importantes (Fig. 1.3.).

T¢Luc( LnicraL

t t\` t Talud rttÍifitttdo

Fig. 1.1.- Corta en cima montañosa.

rata¿ rec t¿f¿r-a¿ó\ / Tn[ud fnic�aL �

\ '� 1I{

Fig. 1.2.- Corta en fondo de valle.

LO

1.3.- Corta a media ladera.

Los niveles freátícos , las zonas descomprimida s;, las tensiones -

debidas al relíeveóinducidas por la corta , serán :;uy en

uno u otro caso.

El tipo de yacimiento y su situación a niveles rraeroestroe�uralcs -

también aportará una serie de aspectos a tener en cuenta d esde un -

principío.

nivelde grandes unidades , por ejemplo : Yaci.r:ic_ntos sedírrenta-

ríos en zonas no plegadas y poco consolidadas ( Terciarios v Cuater-

narios ) se estudiarán con los métodos de cálculo mara los materia-

les que In Geotécnia denomina como SUELOS. En zonas plegadas, pero

en niveles estructurales muy superiores dentro de una cadena monta-

ñosa (Fig. 1.4. ), las anisotropías geomecánícas serán marcadas por

las diferencias litológicas ( calizas, arcillas , arenas , etc) y las

lítoclasas fundamentales serán La estratífícación, l.as fallas v di a

clasas dehídas al plegamiento. En zonas más profund as este ra toral.--

mente, las diferencias geomecánicas de los distintos rnaterír.ales se

hacen menos patentes por el efecto homogeneizante del meta o rfismo,

desapareciendo progresivamente las estratificaciones como planos de

discontinuidad , mientras se acentuan las esquistosidades como planos

11

de debilidad geomecánica. Al aflorar estas zonas por la erosión de

las cadenas montañosas , los fenómenos de descomprensi6n serán muy -

acusados , formandose díaclasas paralelas a la superficie que suelen

aflorar muy mal o muy pocas veces pero que luego pueden provocar --

grandes problemas en los taludes.

N � estructural t/.- t �•� �' �. ',rpurinr p Y rr �1 � i /�

Nivel estructural �� \ - j

¡I

/ � l �` - � la

1 rCr-:gronnr dni ��. - �\� i

Nnrastruc • ti ra¡ {cdonur

¿- yes' i¿;' j

Límite '. Ite ior dela tr Ilación } "✓ S �% d ./

comio• u de la 1ió.

(granito iic anatc�ia ) + > r ! _

Fig. 1.4.- Corte teórico de una parte de la corteza mostran

do la superposición de los diferentes niveles estructura-

les y la forma de las estructuras correspondientes.

12

- A niveles más limitados al yacimiento, de los estudios geológicos -

se pueden sacar datos más concretos sobre puntos que merecen espe-

cial atención por sus previsibles mayores problemas (Fig. 1.5.).

Ta(vdes menos r4tvdes masP«, rasos yc/c9rosas

Fíg. 1.5.- Diferencias entre taludes por sus diferentes

posiciones respecto a las estructuras locales.

- El descubrir los principales accidentes tectónicos que afectan al -

yacimiento (pliegues, fallas, etc) y deducir al máximo nivel geoló-

gico los mecanismos que los produjeron, tambidn puede inducir a es-

timar en los diseños de taludes algunos factores importantes que --

pueden no ponerse de manifiesto en la superficie (Fig. 1.6 y 1.7).

13

2

Fig. 1.6.- Esquema ilustrando los diferentes mecanismos de la deformación1) Cizallamíento; 2) Flexión; 3) Aplanamiento; 4) Flujo.Obsérvese que el acortamiento varia segím los mecanismos: es máximo conel aplanamiento y nulo con el flujo.

Dos aspectos de la deformación de una parte de terrenos. Arrí.ba: por falías (fallas en dirección). Abajo: por el plegamiento ísopaco.

Fig. 1.7.- Disposición posible de los sistemas de díaclasas asociadosa las fallas normales (1), inversas (2), y a las fallas en direc--cíón (3) y sistema sin significación neta.

14

En definitiva, los estudios geológicos deben emplearse con todas --

sus posibilidades de información, siendo la base más orientativa para di-

rigir coherentemente los estudios geotécnicos posteriores.

Para taludes concretos los estudios geológicos generales serán arn-

pliados con estudios geológicos algo más específicos, por ejemplo: estu- -

dios sistemáticos de lítoclasas aflorantes en la zona del talud v sus pro

ximidades; observaciones geomorfológicas de desprendimientos o inestabili

dades locales; etc.

Para el diseño general de los taludes de una corta también es nece-

sario emprender una campaña de estudios de caracter geotécnico que aporte

datos específicos sobre las características geomecánicas de los distintos

tipos de rocas y de los macizos. Esta campaña puede realizarse en gran me

dida coordinandose con las prospecciones del yacimiento, tomando las miles

tras necesarias de los mismos sondeos de explorací6n o de las calicatas y

rozas que se hagan para la valoración del mismo. Los sondeos eíu:tut.rdos y

las trincheras abiertas también podran servir para controlar, niveles de

agua a lo largo de distintos períodos y como pequeños taludes experimenta

les, por ejemplo. Con las muestras recogidas se harán todos los ensayos -

geotácnícos posibles para definir las características geomecánícas funda-

mentales de los diferentes tipos de rocas marcadas por la geología.

Con toda esta documentación geológico-geotécnica se podrá pasar a -

los cálculos de taludes con cierta base experimental y con mediciones de

los parámetros geotécnicos necesarios para los distintos métodos.

Para calcular los taludes posibles de una corta se aplicarán, por -

zonas de características homogeneas, el modelo teórico de cálculo cuyas -

hipótesis de partida más se aproximen a las condiciones reales que pueden

presentarse.

15

La estabilidad de los taludes se tanteará para diferentes alturas,

condiciones de agua, hipótesis de rotura ...., con el fin de tener un vo-

lumen de datos sobre coeficientes de seguridad o probabilidades de rotura

que nos permita elegir el talud más apropiado. Los taludes generales de -

una gran corta (Fig. 1.8), tienen que diseñarse con las máximas garantías

de seguridad y por ello todos los sistemas de cálculo deben ser aplicados,

utilizando hasta los procedimientos más sofisticados que necesitan el em-

pleo de computadoras para sucesivos tanteos.

Los taludes parciales de los bancos o de trabajo podran admitir ma-

yor imprecisión e inseguridad, dependiendo de las etapas de laboreo y de

la sítuaci6n respecto al movimiento de personal, instalaciones, movimien-

to de máquinas, etc...

Ta.Bud ytat �a�..x--�

Tafudt.t de \ � � �bancoy--

Fig. 1.8.- Talud general y taludes parciales de una

corta.

16

SEGUIMIENTO Y CONTROL DE TALUDES .

Desde el, inicio de las cortas los taludes deben ser vigilados con -

suma atención, con el fin de detectar a tiempo accidentes que no se hayan

puesto de manifiesto en los estudios preliminares o para controlar que --

los diseños adoptados responden adecuadamente.

Para el seguimiento y control de los taludes lo más importante es -

la observación minuciosa, por técnicos que sepan interpretar los pequeños

indicios de inestabilidad (grietas, asientos, salidas de agua, fluencia -

de materiales, etc.). La observación no debe limitarse al frente del ta-

lud sino que debe ampliarse a una amplia zona de sus alrededoresjpuesto -

que muchas veces aparecen grietas o se producen pequeños asientos o des-

plazamientos por desequilibrios muy profundos y de gran extensión, que -

incluso en el mismo talud no son patentes (Fig. 1.9).

";

Fíg. 1.9.- Deslizamientos profundos.

Como sistemas auxiliares de control se pueden colocar sondeos de vi

gilancia, con extensómetros,inclinómetros o piezómetros para controlar --

los movimientos del agua.

1.7

Como la realízación de estos sondeos es costosa, creemos que lo me-

jor que se puede hacer es el cuidar lo más posible todos los sondeos de -

prospecci6n del yacimiento para que puedan servir a su vez como de control

de las cortas.

Según avanzan las explotaciones se pueden ir tomando muestras de tu

dos los niveles expuestos para realizarles análisis geomecánicos que con-

firmen o ajusten las estimaciones de los cálculos preliminares.

La vigilancia sistemática permitirá tomar las medidas correctas - -

(drenajes, anclajes , rectificación de taludes , etc.) a su debido tiempo,

sin dejar que lleguen a provocar problemas que pongan en peligro grave. --

a las explotaciones.

Al ir abriendo los taludes se pueden plantear algunos problemas es-

pecíficos que requieran la ejecución de estudios locales muy detallados,

por ejemplo : cartografía de todos los paquetes de rocas, conteo (le díacla

sas, colocación de extens6metros, medidas de bloques, etc.

Fig. 1.10.- Estudio detallado de un talud para

colocací6n de anclajes.

C A P I T U L 0 II

M E T 0 D 0 S

D E

C A L C U L 0

19

2.1.- CONSIDERACIONES GENERALES

Entre los problemas que se le presentan al ingeniero proyectista -

de cualquier obra que implique movimiento de tierras, especialmente en -

la ejecución de cortas mineras, destaca, por su influencia en los costes

económicos y sociales de la misma, el control de la estabilidad de las -

pendientes o taludes artificiales generados.

Dicho control requiere una serie de estudios que han sido ya comen-

tados globalmente en la primera parte de este proyecto, iniciando su desa

rrollo en este segundo capitulo y siguientes.

Intencionadamente se ha introducido el termino "iniciación" puesto

que la estabilidad de taludes de por si constituye una disciplina dentro

del campo de la Geotecnia que ha merecido la atencion de numerosos y reco

nocídos autores, cuya exclusiva dedicación a este tema permite aumentar -

día a día los conocimientos y experiencias de que se puede disponer para

abordar cualquier problema de este tipo.

Por ello el estudio de los metodos de calculo de estabilidad de talu

des que se desarrolla en este capítulo persigue principalmente una recopi-

lación de los mismos que, si no puede ser absoluta por la extrr,ordinaria -

extensión del tema, pretende ser, al menos, clarificadora en cuanto a la -

aplicabilidad de los mismos para cada caso concreto.

La secuencia adoptada en la presentación de los métodos de cálculo -

responde a su ordenación, de menor a mayor, en cuanto a la dificultad de -

su resolución.

Hay que hacer notar , sin embargo, que este criterio de clasificación

se ha intentado conjugar con una subdivisión de los mismos en cuanto a su

aplicación en Suelos y Rocas respectivamente. Debido a que, en muchos ca-

sos, es dificil delimitar estrictamente estos dos conceptos y a la confi-

20

guraci6n intrinseca de los métodos, que, en ocasiones, participan de -

ambos tipos de terreno, la clasificací6n resultante que, por supuesto,

responde a valoraciones subjetivas , ha de ser aceptada como meramente -

orientativa.

La elección de un método u otro para su aplicación a un caso con-

creto es otro punto que, por su trascendencia , merece ciertas considera

ciones.

En principio, pecando incluso de cierto conservadurismo, ningun -

método de cálculo, por si sólo, debe aceptarse como solución integra del

problema planteado.

Por el contrario, resulta conveniente estudiar el caso bajo distin-

tas hipótesis de rotura, analizando con detalle los diversos resultados -

obtenidos y optando por un margen de seguridad u otro, en función de los

criterios que se deseen adoptar al efecto.

En cuanto a la ejecución de los métodos de cálculo que aqui se pre-

sentan, a lo largo de su tratamiento se podrá observar como se enfocan, -

indistintamente, para su explotacíón manual o mediante ordenador.

Indudablemente , la utilización de ordenadores simplifica notablemen

te la fase de cálculo de cualquier análisis de estabilidad de taludes sin

embargo , la reducción de estos problemas a la simple consideración de unos

valores numéricos representativos del coeficiente de seguridad, exige como

contrapartida el tratamiento de un suficiente número de casos que barran -

todo el entorno de posibilidades.

Por otra parte, la disponibilidad de estos sofisticados instrumentos

es en muchos casos problemática , sobre todo en trabajos a pié de obra don-

de tan importante como la eficacia es la rapidez para obtener una respues-

ta al problema planteado.

21

Todo ello ha ratificado la conveniencia de desarrollar, siempre -

que ha sido posible, el proceso de cálculo manual que, por otra parte,

no presenta mas dificultad que la derivada del aparato matemático que -

conlleva cada método.

Este inconveniente presenta, no obstante, la ventaja de poder se-

guir paso a paso las distintas fases del proceso y facilitar la detección

de posibles errores tanto de cálculo como conceptuales.

La versatilidad del procedimiento manual permite, así mismo, tan-

tear distintas hipotesis de partida é incluso distintos métodos de cálcu-

lo para obtener unos previos resultados de aproximación que, a priori, -

informen del comportamiento a esperar del talud o de la viabilidad de apli

cación de los distintos métodos.

Obviamente la solución ideal englobaría ambos procedimientos permi-

tiendo un tanteo inicial por cálculo manual y un posterior estudio exhaus

tivo utilizando los métodos programados en ordenador.

22

2.2.- IMPORTANCIA DE LOS ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE TALUDES.

Cada día van adquiriendo mas vigor los estudios de estabilidad -

de taludes por motivos y factores muy variados, según el fin que se -

persiga con la construcción de ese talud. Por citar algunos ejemplos -

clásicos mencionaremos el caso de un talud de una vía de comunicación,

el talud de una presa de materiales sueltos, el de una ladera del vaso

de un embalse, el de una mina a cielo abierto. .......

Cada uno de los ejemplos citados corresponde a una filosofía de

su diseño particular, con algunos factores relativamente bien díferen

cíados.

Con la idea de comenzar destacando un caso típico de deslizamien

to citemos el deslizamiento de Vaiont. El 9 de Octubre de 1963 se pro-

dujo este deslizamiento en caliza muy diaclasada, con un volumen de -

250.106 ❑13 , que al caer en el embalse produjo una ola de gran altu-

ra que pasó por encima de la Presa y destruyó el pueblo de Longarone -

con un balance de 3.000 víctimas.

Dese luego que el caso catastrófico de Vaiont es excepcional. Sin

embargo los deslizamientos, a mucha menor escala, no son nada raros. -

Actualmente se han diseñado y puesto a punto sistemas que permiten de-

tectar y valorar el comportamiento de los taludes estudiados, pudiendo

reaccionar con rapidez y aminorar los daños que pudieran producirse.

En las paginas siguientes veremos varios métodos de cálculo y en

traremos en su posible campo de aplicación , según tipo de terreno y -

condiciones a que se encuentre sometido. Veremos como cada método par

te de unas hipótesis determinadas , debiendo de aplicar aquél que mas

se adapte al caso concreto de estudio. Como ya hemos dicho, esta elec-

ción no es nada sencilla y no muy patente , debiendo de aplicar sí fuera

posible varios métodos que nos permitan ver el efecto de las diferentes

hipótesis de partida.

23

2.3.- DIFERENTES METODOS DE CALCULO

Desde los ensayos de Charles Augustin Coulomb (ver KERISEL (1973))

hasta la fecha, los estudios sobre estabilidad de taludes han ocupado -

una parte notable de la geotécnia, e incluso algunas de las teorias gene

rales se han desarrollado inicialmente aplicadas al campo de la estabi-

lidad de taludes.

En el desarrollo teorico que presentamos seguidamente, se ha procu

rado seguir un orden de exposición de los diferentes métodos basado en -

comenzar por los métodos clásicos 1 ir avanzando en métodos mas sofisti-

cados y exactos pues consideran hipótesis simplíficatívas mas refinadas

que los primeros métodos, y por lo tanto son modelos que más se ajustan

a la realidad.

Actualmente se encuentran en pleno desarrollo los métodos de plas-

ticidad generalizada, que serán los que en un futuro breve se aplicarán

a las obras de ingeníeria. Por el momento se encuentran en fase de apii

caci6n práctica. En la Tesis de CAÑIZO (1971, 1973) se trata ampliamen-

te el estudio plástico, adjuntandose incluso un listado (no completo) -

del programa de elementos finitos desarrollado por dicho autor.

Para terminar queremos indicar que hemos tratado los métodos de -

utílizaci6n mas frecuente , 6 aquellos que creimos de mayor interés, to-

do encuadrado dentro de las limitaciones que conlleva un estudio tan -

amplio como lo es el tema titulo del proyecto. Por este motivo no hemos

tratado los métodos de minimizací6n energética, ni los métodos de per-

turbaciones, etc. Tambien queremos advertir que en este estudio no se -

han considerado modelos tridimensionales, pues, por ahora, carecen de -

aplicací6n práctica.

2.3.1.- Método del talud indefinido

ESTUDIO TEORICO

Aspectos generales.

Esfuerzos en un punto de un semiespacio.

Equilibrio plástico en un semiespacio.

Estados de Rankíne en una masa sin cohesión.

Estados de Rankíne en una masa con cohesión.

Sentido físico del método de Rankine.

APLICACION DE ESTE METODO

Hipótesis limitativas del método.

Campo de aplicación.

Metodología de aplicación y discusión de resultados.

Altura crítica en taludes verticales. Inestabilidad

por grietas de tracción.

Estudio teSrico

26

ASPECTOS GENERALES

Según la clasificación general de estudio de métodos para el -

análisis de estabilidad de taludes, considerabamos aquellos en los -

que se supone conocida la linea de rotura y aquellos otros en que se

calcula. Seguidamente vamos a estudiar un procedimiento sencillo que

se engloba dentro de estos últimos.

Entenderemos por talud indefinido una pendiente constante de -

longítud ilimitada y homogenea en profundidad, de manera que dos pon

tos situados a igual profundidad esten sometidos a los mismos esfuer

zos de forma que podemos tomar como representativa de toda la masa -

una columna vertical situada en cualquier punto. (Figura 2.1.)'

ESFUERZOS EN UN PUNTO DE UN SEMIESPACIO

Por la mecánica sabemos que si P es un punto del interior de un

sólido y OA, OB los planos principales correspondientes a ese punto P

(Figura 2.2 .), los esfuerzos en el plano AB, deducidos del equilibrio

del elemento son:

O-= Cr, +(0-, - C',)cos ,<

(� - C3) SLr7 0( cos

Para cualquier posícíón del plano AB pueden obtenerse los esfue r

zos 6 y E según las expresiones anteriores en función de c ,0- , (J3-

El diagrama de Mohr permite también obtener gráficamente esas -

tensiones . En efecto , el lugar geométrico de las expresiones de O- y

para los diferentes planos es una circunferencia de centro en

( 6++i 'O ), diametro G-Q , representando en el eje de abcí2 -

sas los valores de 0- y en el de ordenadas los de P ( Figura 2.3.)

27

1

Z

Fíg. 2.1.- Elemento considerado vara el nn a lísís con el r^ét,)dc) del

talud indefinido.

7R

a

dz

(3•dz

A P

dx

dx

M

(d-+Z) Z2d

0

Q i +63

2

Fig. 2.2.- Esfuerzos en un punto v diagrama de Mohr corresnondi.ente.

29

63 P

A 6�

cl

K (polo)

z a2

W R

Fig. 2. 3.- Determinación del Dolo para obtener los esfuerzos en un

punto.

30

Del diagrama de Mohr se deduce de forma inmediata (tambíen puede

deducirse analiticamente con facilidad) que el máximo esfuerzo cortante

se produce en planos que formen 45', valiendo (77-23-22

De los ensayos de corte directo puede admitirse que el comporta-

miento de los suelos en la rotura obedece a la expresión de Coulomb:

(en este estudio no analizaremos la validez 6 aproximación de esta expre

si6n, Considerandola simplemente como valida).

En la figura 2.4. dibujamos estas rectas, conocidas como envolven-

tes de Mohr. Si el circulo correspondiente a los esfuerzos en un punto -

es el 1, cualquier plano considerado tendrá un esfuerzo cortante menor -

que la resistencia al corte. Si los esfuerzos vienen representados por -

el círculo 2 habrá un plano con un esfuerzo cortante igual a la ordenada

de M y precisamente igual a la resistencia del suelo a ese esfuerzo cor-

tante. Si fuera el círculo 3 el de esfuerzos, sucedería que para los pla

nos situados en los puntos a trazos se superaría la resistencia del te-

rreno, y estaríamos en el caso limite en aquellos puntos donde la recta

de Coulomb es secante al círculo.

Así pues podemos conocer las tensiones O y P en un punto cual-

quiera que pase por un punto con solo conocer las tensiones principales,

para ello nos haremos un angulo 2o', en el círculo de Mohr (Figura 2.2.).

Tambien puede obtenerse a' y ' sin necesidad de transportar ese an-

gulo 2oC. En efecto (Figura 2.3.), sí por R trazamos una paralela al pla

no principal PB, (plano principal mayor) esta cortará al círculo en K; -

la paralela por K al plano que deseamos calcular los esfuerzos corta al

círculo en un punto M, cuya ordenada y abcisa son los esfuerzos �' y

respectivamente . Las rectas RK y MK se cortan según un angulo oC, que -

es la mitad del ángulo MWR. El punto K se denomina polo del diagrama.

31

En el círculo de la figura 2.4., y según lo que acabamos de decir,el equilibrio plástico se produciría por una combinación de esfuerzos -iguales a las coordenadas de M y de M' (la orientación de ambos planosse obtiene del círculo como ya dijimos ) resultando ser:

C3 �92(G5°t> t 2cof9rás Í2

correspondiendo a un plano de orientación igual a 45° + O2

En el caso de material no cohesivo se demuestra que la dirección

de los esfuerzos sobre los planos M y M' son , cada uno de ellos, para-

lelos al otro plano , es decir, las secciones son conjugadas.

EQUILIBRIO PLASTICO EN UN SEMIESPACIO

Supongamos una masa de terreno definida por un plano horizontal,

homogeneo y de peso especifico r . Considerando un elemento prismático

de esta masa ( Figura 2.5.), de anchura normal al plano del dibujo igual

a la unidad . Admitiendo un estado de deformación plana, por simetría los

esfuerzos tangencíales en planos verticales serán nulos , por lo que el -

elemento estará sometido unicamente a los esfuerzos en la figura indica-

dos.

En este semiespacio puede alcanzarse el equilibrio plástico de dos

modos diferentes. En el primero la masa del terreno se deforma en senti-

do horizontal , de forma que la presión sobre las caras verticales del -

elemento disminuyen hasta alcanzar un punto en que el circulo de Mohr es

tangente a la recta de Coulomb , es decir, hasta alcanzar el equilibrio -

plástico , todo esto sin haber variado el esfuerzo sobre base del elemen-

to. Desde esta posición de equilibrio cualquier nuevo alargamiento se -

produce sin variación de las tensiones sucediendo la rotura de la masa.

Puesto que el peso del suelo colabora a su expresión lateral, este tipo

de rotura se denomina rotura activa.

32

Z=c+�.tg �

M

C

c1

3M

Fig. 2.4.- Recta de Coulomb y estados de tensiones (-en tin ountt�

z

HYW

6y=,•Z

Fig. 2.5.- Esfuerzos en un elemento nrismático de un semiesnacio.

33

La segunda forma de alcanzarse el equilibrio plástico es causadapor una compresión del suelo en dirección horizontal, aumentando la pre

si6n sobre las caras verticales del elemento y permaneciendo invariable

la presión sobre la base. En este caso el peso del suelo se opone a esta

deformación, por lo que se llama rotura pasiva.

Así pues en las siguientes notas vamos a obtener las tensiones que

corresponden a los estados límites de equilibrio plástico en un semies-

pacio, problema que fue tratado por primera vez por Rankíne en 1857, y

por extensión cuando toda la masa se encuentra en el equilibrio se dice

que está en el estado activo 6 en el estado pasivo de Rankine. Si solo

sucede en una parte se dice que es una zona de Rankine.

Muchos autores han realizado amplios trabajos sobre las teorías de

Rankine, entre los que caben destacar las publicaciones de ENTRECANALES

(1941), TERZAGHI (1956), KEZDI (1962, 1974), así como las que más ade-

lante citaremos.

ESTADOS DE RANKINE EN UNA MASA SIN COHESION

En un semiespacio en un terreno sin cohesión y con superficie ho-

rizontal, los círculos de Mohr correspondientes a los estados activos y

pasivos de Rankine está dibujados en la Figura 2.6. Sí el peso especifi

co es Y la tensión vertical sobre un elemento a la profundidad 2 es:

=zz.Ó'

En el estado activo el círculo es tangente a la recta de Coulomb

en los puntos Ma y Ma'. Para obtener el polo en un estado activo traza-

remos por S una paralela al plano principal mayor, siendo el polo Ka, el

punto de intersección de esta recta con el circulo correspondiente a -

ese estado. Los planos de rotura son paralelos a las rectas KaMa y KaMa'

(Figura 2.6.), ambos planos forman con la horizontal un ángulo de (45°+

0/2). La tensión normal en un plano vertical a una profundidad Z es:

Q=6•tg

Estado activo Mp -Estado pasivo

Mo

K 45° 0/2 45*- 2 Kb

459 2 Wp 450 - 2

Má

Mp

6ti Z•

E- Estado activo -* Estado pasivo

ie la

rH*,

4/Ensiónrioi

C',=Z-1 (h=Z'6.tg2(45° -0/2) 6v=Z ó �h_Z ó tg2(as°��/2)

Fig. 2.6.- Estados activo y nasivo de Rankine en un semíesnacio definido Por una superficie plana

horizontal y en un terreno sin cohesión.

35

Así pues, las tensiones vertical, y horizontal son directamente propor-

cionales a la profundidad.

En el estado pasivo el circulo es tangente en los puntos M y miP P

(Figura 2.6.), y los planos de rotura formarán un ángulo de 45 - 0/2 -

con la horizontal. La tensión normal en un plano vertical. a una profun-

didad 7 es:

a-h = z • a-. 192(45v 0 )1

2

En el caso de que la superficie del terreno no sea horizontal sino

que tenga una ínclinaci6n de i con la horizontal, pueden estudiarse los

estados de Rankine sin dificultad a partir del círculo de Mohr.

En la figura 2.7. hemos considerado un elemento definido por los -

planos verticales y uno horizontal paralelo al talud y a una profundidad

i•T . Es inmediato comprobar que por condiciones de simetría las fuerzas

actuales en los planos verticales ad y cb deben de ser de igual módulo,

de igual dírecci6n y de sentido contrario. Por la condición de equilibrio

vertical lo mismo sucede con el peso del elemento y la reacción vertical

en ab, siendo N=W= ó•z (hemos supuesto que el elemento tiene de ancho la

unidad). De aquí se deduce que el esfuerzo resultante sobre un plano ver-

tical es paralelo a la superficie del terreno, y el esfuerzo resultante -

sobre una cara paralela al terreno es vertical. Del, equilibrio del elemen

to se tiene:

0 coS,

y los esfuerzos normal y tangencial en ab son:

(��=z� • Ó • cos2t

L = • (r• cos L•Sfn.L

z

-i -.4

1d F '. z.c:si

_____ 'Ka ys

MoP :Z.

d ci' d a ión etaen ón incip oyor tens' n p ot mayor

Fi g. 2 . 7. - Estados ac L ivo flan \'O de Rank inc en un semi espac e definido ocr tina s unen fi cje 1 ana hori 70fl tfly un terreno sin uohesin.

37

Con lo que acabamos de ver es posible dibujar el estado de tensio-

nes en un punto a una profundidad z. En la figura 2.7. el punto U es de

coordenadas a- y S' (expresiones anteriores) y en la situación límite -

de equilibrio plástico la circunstancia que se representa ese estado de-

berá además de pasar por U, ser tangente a la recta de Coulomb. Además -

como el plano de tensiones J- y V es paralelo a la superficie del talud

la recta OU formará con el eje de abcisas un ángulo i. Segun la construc-

ción que más atras explicabamos el polo en el estado activo es Ka.

Los planos de rotura, que son paralelos a KaMa y KaMa', formarán -

un angulo de 45°- 0/2 con la dirección de la tensión principal mayor cuyo

módulo es OS, y dirección normal a SKa.

En el estado pasivo con un razonamiento similar se deduce que los

planos de rotura, paralelos a KpMa y KpMa', formarán un ángulo de 45°-

0/2 con la dirección de la tensión principal mayor, cuyo módulo es OV y

dirección normal a VKp.

ESTADOS DE RANKINE EN UNA MASA CON COHESION

Acabamos de ver con detalle las superficies de rotura correspon-

dientes a los estados activos y pasivos de Rankine para un semiespacio

sin cohesión y definidos primero por un plano horizontal y segundo por

un plano inclinado i° con la horizontal. En estos casos suponiamos váli

da la relación de Coulomb que expresakamos como:

Vamos ahora a estudiar el caso más complejo de un suelo con cohe-

sión, y suponiendo que tambíen se cumple la condición de rotura de Coulomb,

que en este caso es:

38

En la figura 2.8. dibujamos las rectas de Coulomb así como los -

círculos de Mohr correspondientes a los estados activo y pasivo en un

semíespacio definido por un plano horizontal. A la profundidad Z la -

presi6n vertical sobre un plano horizontal es:

Q-„=2• 2r

En la superficie Z=0 y Cr=O siendo el círculo correspondien-

te al estado activo de Rankine el 1 de la Figura 2.8., el cual al. ser -

tangente a la recta de Coulomb y corta al eje de abcisas en el punto de

tensión negativa, tracción, de valor 2c:tag. (45°- 0 /2).

Según aumenta la profundidad la tensión principal mayor tambien -

aumenta así como la menor que se va aproximando a cero . (circulo 2). Lle

gado a una profundidad Z _ Zc la tensión principal menor se hace igual

a cero (circulo 3) y la principal mayor vale:

Zc tY = 2co/q (45°t >

obteniendo que la profundidad a la cual ya no existen tracciones es:

Para profundidades mayores que Z los circulos correspondientes

son del tipo 4 indicado en la figura 2.8.

Las tensiones correspondientes a ambos estados activo y pasivo son:

0-v = Z -• -

Oh z7•ó' Íg2�lr5°t��2cof(G5°t�)

correspondiendo el signo - al caso activo y el + al pasivo.

39

Las superficies de deslizamiento son análogas al caso de material

sin cohesión y también están representadas en la Figura 2.8.

El análisis para el caso general de superficie no horizontal y -

terreno cohesivo en esencia es igual que los anteriores , pero las ecua

ciones resultantes son más complejas.

Para obtener las superficies de rotura se determinan las tensio-

nes sobre un plano cualquiera que vendrán expresadas en función de las

tensiones actuantes sobre los planos verticales y sobre planos parale-

los a la superficie del talud ( es decir, el equilibrio se establecería

sobre un elemento definido por un plano vertical , otro paralelo al ta-

lud y otro formando un ángulo oC con la superficie del terreno).

Para unos ejes oblicuos como los indicados en la figura 2.9., -

Frontard ha obtenido (integrando la expresión de Resal ) la ecuación -

diferencial de estas curvas de expresión:

Z- C COS >.� cos(2o<-.0)

Cy cos G sen ¿ - sen 0 cos (2cC - L t 0�)

de ella se obtiene:

X = 2 c cos pí �y cos �!t ps t cos(2�c - f �J dKd' Wo 3e, -se/-7 � cos(7oC-crf1�J

Para su integración Frontard hizo:

_ sei7 G t sen p5 C - íd )Í9?2 sen t - sen

f9�� - 2 J

Con esta sustitución queda:

X=C.cos� •Íg

r

¿(xc/osLtcos� serio -/�cosL -cos�scni(>

(1 Ser? i -f ) Set7(!-OJ ser7(!fQi)

40

Z

C- cotg

4

c b 3

c

2 etg (45°- 1/2)

Z2c•t9(45°+#/2)

- 2c.tg (45°- 0/2 )

(45°+0/2)-Estado activo Estado osivo

tq (45°+0/2) /tracciones 2c•t

fNnOatónr ció lo ensión diróprinc1 m or

pri11 al yor

AF` -6 =Z. -7H 41., {E-V 6h °

v 1Z•>í • tg2(45°-0/2)- 2'c• tg(45°-�/2) 2- d tg�(450/2)+2c•tg(45 +�/2)

Fig. 2.B.- Estados activo y nasívo de I': ti í.t;c c;. un ,er.íes>acío definido

nor una suner. ficie plana horizent 1 , +t terreno cohesivo

41

30°i = 40° 450+-

290°'

Í>�

a

M 1

�+ 1

N yO Nu 1

o 1V

u lb

V v

Fig. 2.9 Curvas de deslizamiento en el estado activo,

para un terreno definido por un semíc-;pac:io

con superficie plana , formando un áns2,ulo de

40 ° con la horizontal, en un terreno con iin

ángulo de rozamiento interno de 30°. También

se indican las curvas que resultarían para -

otros casos.

42

i = O

i -0

30060°

45°+

Fig. 2.9 ( continuación )

43

L7_ C. cos 1q C ser. sen�"-S6) sen(�'f�?l) ser;, * cos C cos�7/��sen(1-O)sen(irO) fgc J

donde es el valor de para x = y = 0, que corresponde a un án-

gulo

La curva de rotura en el estado activo de Rankine cuya ecuación -se ha dado más arriba es de la familia de las cicloides (es una cicloi-de pura en el caso de 4 = o).

En la figura 2.9. reproducimos las correspondientes a 0 = 30°,

i = 40°. Hasta una profundidad de:

Z _ z. = ?` ./9(5°t 01lY,

es una zona de tracciones.

Según Frontard la curva de rotura se compone de dos ramas de ci-

cloide, con la tangente común paralela al talud y a una profundidad:

Z c cos qS(Y cos l sen(e'-O)

Así pues, el espesor critico en talud en el que se producirán deslizamientos viene dado por la expresión:

C cos tóZT sen (/-�}

44

SENTIDO FISICO DEL METODO DE RANKINE

El método y conclusiones de Resal más arriba estudiados adquieren

especial interés al analizar espesores críticos según vimos antes. En co

rrimientos de tierras que afectan a un espesor más 6 menos profundo y -

paralelos al talud ( un caso típico es el deslizamiento de arcillas sobre

otras superficies más duras ). Para un talud en estas condiciones con i

el deslizamiento no se producirá ( suponemos el talud natural es el de -

equilibrio estable , hipótesis que no sería válida si existieran presio-

nes neutras o sobrecargas aplicadas en la superficie del talud).

Para i > 0 y según sean i, c, 0 y CY habrá que calcular tanto -

la altura Zc

sometida a tracciones , como el espesor critico para que se

produzcan deslizamientos

4, (G5°t q5)

c c COSOCC•iá semi 0)

Más adelante trataremos de los casos en que puede emplearse este -

método , de la interpretación y confianza de los resultados , y en fin de

todos los conocimientos que precisamos tener para la correcta explota-

ción de este procedimiento.

Aplicación de este método

46

HIPOTESIS LIMITATIVAS DEL METODO

Ya en la introducción del estudio teórico de este método del talud

indefinido, se han indicado sus características fundamentales derivadas

de sus condiciones de homogeneidad en profundidad así como la exigencia

del paralelismo de los distintos estratos del suelo, supuesto este cons-

tituido por una serie de capas, tal y como más adelante tratamos. Sin -

embargo, para clarificar el campo de aplicación de este método de cálcu-

lo, es necesario analizar los distintos casos reales donde podría utili-

zarse, investigando en cada uno de ellos su adaptación al modelo teórico

del método, así como las limitaciones de las hipótesis simplificadoras -

introducidas.

En primer lugar destaca el caracter indefinido del talud que, obviamente, no se corresponde, de forma estricta, con la realidad. En casi ningún caso puede aceptarse la existencia de una pendiente indefinida cuyos

parámetros característicos se extienden en profundidad sin cambio alguno.

Pero en muchos casos una columna litológica compuesta por diferen-

tes estratos de características similares puede sustituirse, a efectos -

geotécnicos, por un único estrato ideal cuyos parámetros característicos

correspondan a un valor promedio debidamente ponderado a partir de los -

valores reales de cada estrato.

En este caso pueden extrapolarse las condiciones reales y someter -el caso a un estudio teórico admitiendo la hipótesis de talud ilimitado.

La segunda hipótesis impuesta en el desarrollo teórico del método

es el paralelismo entre el frente del talud y las superficies de discon-

tinuidad que definen los distintos estratos. En el estudio teórico se ha

deducido la existencia de una línea asint6tica a la curva de rotura, pa-

ralela al frente del talud que define el espesor critico del estrato (ideal

6 real) en funcí6n del cual pueden establecerse posteriormente los crite-

rios de estabilidad.

47

Como es lógico, la viabilidad de aplicación del método, que desa-

rrolla el estudio de estabilidad en función de la situación de dicha li-

nea asintótíca con respecto a la del estrato duro base de la estructura

rocosa, exige el paralelismo entre ambos, puesto que, en caso contrario,

se entrarla en otros métodos de cálculo que corresponden a otras hipóte-

sis de partida, con otras variables y condiciones, que se estudian en -

otros puntos del presente proyecto.

Estas son, en esencia, las particularidades más significativas de

este método de cálculo que, a pesar de imponer ciertas condiciones res-

trictivas, no suponen un gran obstáculo para su aplícación práctica.

CAMPO DE APLICACION

La aplicación del modelo de talud indefinido a cualquier caso prác

tico que se plantee, exige, logícamente, la previa aceptación de las hi-

pótesis antes consideradas.

Sin embargo, como cualquier otra especialidad de la Geotecnía, el

estudio de estabilidad de taludes, no se ajusta, en la mayor parte de los

casos, a límites rígidos y claramente definidos que permitan asignar a -

cada estructura rocosa considerada, un solo modelo matemático de cálculo.

Esto obliga a adoptar soluciones de compromiso, en función del de-

talle que se pretenda obtener en el estudio, que se concretan en adaptar,

en la medida de lo posible, las condiciones reales que se presentan, a -

las características teóricas de los distintos métodos de cálculo que pue

dan tener ciertas similitudes con el caso que se estudia.

La adopción posterior de un adecuado criterio de estabilidad permi

tiró definir la geometría del talud, asumiendo responsablemente los po-

sibles riesgos calculados que la decisión lleva consigo.

En este sentido, el método del talud indefinido, que no permite -

48

asegurar categoricamente la estabilidad de una pendiente, puede resul-

tar muy útil en determinados casos prácticos como los que se comentan

a continuacíón.

Una de las configuraciones geométricas que corresponden fielmente

al modelo teórico de este método es la representada en la Figura 2.10

que consiste en la existencia de un liso 6 superficie dura sobre la que

descansa un determinado espesor de tierras sueltas. Si este supera el -

espesor crítico definido en el estudio teórico puede haber deslizamiento.

Naturalmente, tando la descarga de la pendiente con labores de

desmonte, al crear zonas de debilidad, como su carga con labores de te-

rraplenado, por sobrecargar zonas, pueden facilitar el desequilibrio --

del conjunto.

Se ha supuesto la presencia de un liso resistente que constituye -

la discontinuidad estructural necesaria para que se produzca el desliza

miento.

Conviene aclarar que dicha discontinuidad puede aparecer claramen

te definida (rellenos incoherentes sobre formaciones rocosas consolida-

das) 6 puede corresponder a otros horizontes estructurales menos claros

que sin embargo, a los efectos que se consideran, pueden ser igualmente

nefastos.

Esto podría explicar otro tipo de rotura en taludes que correspon

den a corrimientos de tierras más 6 menos lentos que se agrupan bajo el

nombre genérico de reptaciones.

La forma de rotura, así como el proceso de la misma, parece tener

muchos puntos en común con el modelo geométrico adoptado en este método

de cálculo, lo que aconseja la aplícacíón del mismo en aquellos casos -

en que se presuman deslizamientos de este tipo.

49

TER RAPLEN

SUPERFICIEDE

ROTURA

DESMONTE

ESTRATO BLANDO ESTRATO DURO

Fig. 2.10 Esquema de deslizamiento según el método de talud

indefinido favorecido por la sobre carga debida a-

un terraplen y la zona de debilidad originada por

un desmonte.

50

Finalmente existe otro campo de aplicación que, sin corresponder

estrictamente a la determinación de las condiciones de estabilidad de -un talud, aporta sin duda datos muy valiosos para la correcta aplicaciónde otros métodos: el estudio de las alturas de las grietas de tracción.

En el estudio teórico que precede a estos epígrafes se indica laexistencia, en la curva de rotura, de una zona sometida a tracciones enla que el terreno, sí los esfuerzos aumentan suficientemente, puede romper a tracción abriéndose, por tanto, la correspondiente grieta cuya -presencia, segun se puede comprobar en otros métodos de cálculo, es al-tamente comprometedora para la estabilidad del talud, especialmente cuando se da en ella presencia de agua.

La presencia de la grieta de tracción es facílmente detectable por

una simple inspección visual, existiendo, por otra parte, procedimientos

matemáticos más 6 menos empíricos que permiten su localización; sin embar

go, el conocimiento de la altura de la misma , absolutamente necesario pa-

ra determinar las presiones de agua que se generan así como la inclina-

ción de los planos de rotura en los métodos de deslizamiento plano, es -

más dificil de determinar por lo que el cálculo de la altura de terreno

sometida a tracción, simplifica notablemente el problema.

Estos son, fundamentalmente, los campos de aplicación más frecuen-

tes del método del talud indefinido, pero, insistiendo nuevamente en los

principios expresados en las primeras lineas de este epígrafe, los limi-

tes de aplicación deben considerarse extremadamente flexibles; por tanto

cada caso requiere un estudio particular que puede concluir en la conve-

níencía de su tratamiento por este método.

METODOLOGIA DE APLICACION Y DISCUSION DE RESULTADOS

En este punto se pretende explicar razonadamente el proceso de apli

caci6n del método para el caso de un estrato duro paralelo al frente del-

talud, recubierto por otro estrato blando , de manera que exista una super

51

ficie de discontinuidad , así como la interpretación de los resultados -que se obtienen.

El método del talud indefinido no obtiene una expresión matemáticaque permita deducir un coeficiente de seguridad , sino que concluye en unanálisis de la estabilidad del talud en función del ángulo de inclinacióndel mismo y el angulo de rozamiento interno del terreno.

Los distintos casos que se pueden dar, representados en la figura -

2.11 son los siguientes:

a) < . 0 (Figura 2.11-a)

Si la inclinación del talud es menor que el ángulo de rozamien-

to interno del terreno , en principio el talud es siempre estable.

Conviene hace notar , sin embargo, que la existencia de una zona

sometida a tracciones puede favorecer la apertura de grietas cu-

yo efecto, fundamentalmente si se llenan de agua, puede provocar

la ruina de la estructura ya que, en la grieta, desaparecería -

la componente resistente del terreno.

Este problema, que se advierte aquí , puede presentarse tambíén -

en cualquier otro caso , por lo que hay que tenerlo siempre en -

cuenta.

b� O C C < !5°t (Figura 2.11-b)

Si la ínclinacíón del talud se mueve en este entorno , la estabi-

lidad del mismo requiere que el espesor del estrato blando sea -

menor que el espesor crítico deducido en el estudio teórico del

método , cuya expresión es:

C-osCr sen �i'-�)

52

45° + P/2

Zcb

E C coaEc c 1 &en(i-

r 1 - -2ccf9(45+0/2

ESTRATO DURO

Ct9 (45 +0/2)

2

ESTRATOEc tg ( aS+QS/2)coai

1�2

Zc

DURO

LJ.-

Fig, 2.11 Distintos casos de tierras recubriéndo un liso en iùnciórt

de la inclinación del talud.

53

En definitiva , teniendo en cuenta el sentido matemático de dicho

espesor crítico , la superficie de discontinuidad entre estratos

debe cortar a la linea de rotura.

c) l.15°f ¿ 90° (Figura 2.11-c)

En este caso el espesor a considerar es el de la zona sometida -

a tracciones.

Esta altura se expresa, en dirección vertical, por:

Si se considera el espesor en dirección normal al frente del ta-

lud, bastará proyectar la expresión anterior sobre dicha direc-

ción:

�_ .2c f9�Gs°f)cosé

Sí el espesor real del estrato blando es superior a este valor,

el terreno puede verse sometido a tracciones superiores a su ca-

pacidad resistente y, por tanto, romper.

Sin embargo , en este caso, no se puede asegurar la estabilidad -

del talud de forma absoluta aunque el espesor real. sea inferior

al valor antes calculado.

Estos análisis de estabilidad en función de la inclinación del talud

podrían completarse con la consideración de las alturas críticas de los -

mismos ; sin embargo algunas discrepancias en los resultados obtenidos por

distintos investigadores parecen indicar cierto confusionismo en el tema

por lo que su considerací6n, probablemente , no permitiría llegar a resul-

tados suficientemente coherentes.

54

ALTURA CRITICA EN TALUDES VERTICALES. INESTABILIDAD POR GRIETAS DE -

TRACCION .

Acabamos de estudiar el método del talud indefinido. Para este es-

tudio partiríamos de una masa semi-infinita sobre la que aplícabamos las

ecuaciones.

Vamos ahora a realizar un paso importante y es el de suponer un -

talud en esa masa. Realmente las condiciones del terreno en el caso de -

un plano vertical y un talud vertical no son las mismas . En un talud ver

tícal con una superficie de deslizamiento, la parte de terreno situada -

.por encima de esa superficie de deslizamiento se encuentra en estado de

equilibrio elástico, motivo por el que la superficie de deslizamiento no

suele ser plana sino algo curvada.

Para obtener la altura crítica de un talud vertical podemos emplear

los resultados de Rankine. En efecto, sí admitimos que el terreno situado

en la proximidad del frente del talud se encuentra en el estado activo de

Rankine, sabemos que (Figura 2.8) la fuerza horizontal total sobre una -

sección vertical a una profundidad Z , medida desde la superficie hacia

abajo es:

_ / U�; . ct/� �1� • á"• 192rá5°- ) - 2• c 4�Git cz��

integrando:

F - 2 . �- 2 f92 5 � - 2 fy �GS° 2)

La distribución de presiones en la cara vertical ya la vimos en la

figura 2.8.

La fuerza Fh se hace cero para:

55

Así pues, para un talud de altura superior al valor de

antes calculado, el empuje total sobre una sección vertical es mayor que

cero, siendo por tanto inestable, produciendose el deslizamiento según -

un plano que forma un ángulo de 45°+ 0/2 con la horizontal pasa por el -

pié del talud.

Sabemos que si el suelo se encuentra en el estado activo de Ranki-

ne la parte superior está sometida a tracciones, alcanzando esa zona des

de la superficie hasta una profundidad 2c

Estas tracciones crean en la parte superior del talud unas grietas

de tracción, colaborando a su desarrollo la presencia de agua, así como

las posibles heladas.

Estableciendo el equilibrio de la cuña deslizante ABCD de la figu-

ra 2.12. para un talud de altura H obtenemos:

Esta ecuación determina la altura crítica de un talud con una grie

ta de tracción de profundidad h, suponiendo que la falla sucede según un

plano que forma 45°+ 0/2 con la horizontal. Bajo condiciones normales la

profundidad de la grieta no sobrepasa la mitad de la altura del talud -

(TERZAGUI (1956 )). Si hacemos

2

y sustituimos en la ecuación anterior obtenemos la altura máxima

que puede tener un talud debilitado por una zona traccionada:

56

D c

HCri B

45°t ♦6/2

A

Fig. 2.12 Altura crítica en función de la profundidad

de la grieta de tracción.

57

3 N,� = 2, 667. . �ofy (US

De esto deducimos que si la altura de un talud no excede a

el talud será estable indefinidamente, siempre y cuando no se varien sus

condiciones de estabilidad.

Partiendo de los resultados de Rankine, puede demostrarse que la -

falla del terreno por falta de capacidad portante en la base del talud -

se produce cuando la altura sea superior a , y cuando esto su-

ceda el talud ya habría fallado por deslizamiento del propio talud.

2.3.2.- Metodo del deslizamiento plano .

ESTUDIO TEORICO

Origen é hipotesís fundamental.

Método de Culmann.

Método de Taylor.

Estudio del deslizamiento plano con grieta de tracción.

Análisis de la estabilidad con grieta de tracción.

Abacos de Hock y Bray para el deslizamiento plano con -

grieta de tracción.

Determinación de la grieta de tracción.

Estudio de taludes con corte en el pié.

PROGRAMA DE ORDENADOR

Descripción general del programa.

Datos de entrada.

Resultado.

LISTADO DEL PROGRAMA

EJEMPLO DE CALCULO

Datos de entrada.

Cálculos realizados manualmente.

Cálculos realizados con ordenador.

Interpretación de los resultados obtenidos con el pro-

grama de ordenador . Coeficiente de seguridad del talud.

APLICACION PRACTICA DEL METODO

Validez del método del deslizamiento plano.

Definición del talud para aplicar este método.

Validez del método para taludes muy escarpados.

Estudio teórico

60

ORIGEN E HIPOTESIS FUNDAMENTAL

Dentro de los métodos clásicos, este es sin ninguna duda el que másse ha empleado. Su aparato matemático es muy simple y los resultados quede él se obtienen en determinados casos son muy buenos.

Ideado por Culmann (KERISEL (1973)) y publicado en 1866, es tra-

tado con bastante detalle por CASTIÑEIRAS (1924), ENTRECANALES (1941),

DAVIDIAN (1955) y TAYLOR (1960), así como por otros muchos autores en -

trabajos que iremos citando en estas lineas.

La hipótesis fundamental de éste procedimiento es suponer que la -

rotura se produce según un plano que pasa por el píé del talud (Figura -

2.13.).

Actualmente este es un procedimiento poco 6 nada empleado pues su

campo de validez es muy reducido, y aún dentro de este campo los resul-

tados deben ser analizados con gran detalle y así lo haremos cuando en-

tremos en la discusión de métodos. Pero aún así es un método que nos in

teresa , ya que encaja perfectamente en el proposito de este estudio, -

pues se pretende definir la exactitud que daría la aplicación de estos

métodos sencillos comparados con otros más complejos.

Realmente el suponer la rotura como un proceso en dos dimensiones y

además el admitir que esa superficie de deslizamiento sea un plano son -

dos importantes hipotesis. En efecto, la rotura plana de un talud está -

limitada en longitud como se indica en la figura 2.14. Al considerar la

sección transversal (Figura 2.13.) suponemos que su longitud es la uni-

dad. Realmente los bordes del deslizamiento introducen notables modifi-

caciones, de manera que al analizar secciones proximas a las mismas, la

pertubaci6n puede ser notable, pero en este estudio supondremos una lon

gitud igual a la unidad, sin prestar atencí6n a estas condiciones de -

contorno.

61

A �' � �i .'fue

piono de deslizomiento

Fig. 2.13 Método de Culmann

�� III)�,\I I

Fig. 2.14 - Representación esquemática de los efectos de borde considerados

62

METODO DE CULMANN

Supongamos que el talud de la figura 2.15 tenga como línea de ro-

tura la recta AB. Admitiendo en una primera aproximación la inexisten-

cia de presiones neutras, las fuerzas actuantes sobre la masa deslizan-

te son:

W = Peso total.

W=2 -P� •QB

donde tenemos:

P� = PB s 'i ( - �� = H cosGG scn �t- y)

sustituyendo el valor de PPl en la expresión de W queda.

W= Ó' N cosc i • sen

N ' = Resultante de las presiones efectivas 6 intergranulares que

actuan en AB.

T = Resultante de las fuerzas tangenciales que actuan en AB,

suma de las de cohesión y rozamiento , Tc y T�. Si admití

mos el criterio de rotura de Coulomb es:

Si c y 0 son constantes podemos poner:

R�=c.LIB R�=/V

De R solo sabemos que es normal a N' y que esta aplicada en el mismo -

punto que ésta.

63

(N'+TO)P A

W

4e

CI

Ires, j

Fig. 2 . 15 Construcciones gráficas del método de Culmann . Análisis de las

fuerzas que afectan al equilibrio.

64

Conocidas todas éstas fuerzas podemos establecer las condiciones

de equilibrio. En efecto, proyectando según la dirección del plano de -

deslizamiento (Figura 2.15.) es:

W5e,75 - c. AS N'tLy7

siendo:

,fió = A/ • cose Y'

/"/'w W/. cos

El coeficiente de seguridad F, es el cociente entre las fuerzas -

resistentes capaz de desarrollar el terreno y las fuerzas que tienden -

a producir el deslizamiento:

f z c.,43 f //•W Se/7 y9

Al variar en esta expresión el valor de Y , obtenemos los corres-

pondientes valores de F, siendo el mínimo de ellos el coeficiente de se-

guridad buscado.

Más adelante trataremos este método como un caso particular del -

de deslizamiento plano con grieta de tracción, y daremos un programa de

ordenador para obtener el coeficiente de seguridad.

METODO DE TAYLOR

TAYLOR (1960) se plantea el método de Culmann con ídenticas hipo-

tesis, obteniendo unas expresiones que lo hacen muy útil para trabajar

manualmente utilizando una simple calculadora. No vamos a entrar en de-

talles, solo expondremos los resultados obtenidos por éste autor (pueden

verse tambien en la casi totalidad de los textos que traten el tema de -

65

estabilidad de taludes).

El método resuelve el problema por tanteos . Consideramos un valor

cualquiera del coeficiente sea F�. Esto nos permite obtener 0' según:

tq O'_ ty

Hemos visto que para un angulo de deslizamiento , se obtiene -

un valor del coeficiente de seguridad. Se demuestra fatalmente que el

ángulo crítico �jl i corresponde a la expresión:

l, _ % t o/2

y la cohesión correspondiente a este estado crítico es:

C'a Y. /y cos (2 -09Lc • sea G • c05 95 '

Con el valor así obtenido de C' puede deducirse Fc

pues:

Así pues , para cada valor tomado de F, obtenemos otro de Fc que

nos permite dibujar la curva Fp Fc de la figura 2.16, siendo el coefi

ciente de seguridad aquel valor tal que:

En la figura 2.17 dibujamos un ábaco que permite obtener

para valores de 0' desde 0 a 50 ° y con valores de i entre 10 y 90°

66

F¢

F" Fc` F�

Fe

Fió. 2.16 Construcción gráfica para la obtención del coeí:ic:.iente de

seguridad

RBR(t! DEL MEraDO DE TRYLOR PRRR IPLUDES CCw SUPERFICIE DE DESLIZAMIENTO PLANA

/AUTORES FERNANDO Y .JDSE MARIA HACAR, MIGUEL rERNRNoEz-aLLn 7.

/fçIçI(Iç.

,ír,,í(((7/

í( (í( / 7 / r / /í'íir' íí('/7

í

4

/ (( í///f77///

t tí / 1t ¡ / Ii2 ±

77ç/ çfí ,t/(// ¡/EJEM P10

PH!' 20°

¡Pi-,' c'ig •0,01

_ççr -- ,- Ç "

' ç / - 1 / Fig. 2.17 Abaco para Li obtencín del-1" - - 1,

.eø � 1- i- t- - i- t- h 1- 1- - i- i- i- s--- i- i- ,- - - i- F F i- 1- - - - i- fr - - 1- i- F F F i- r numero do os hiJidiJ scGn-9 1

Tavior.

68

ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO PLANO CON GRIETA DE TRACCION

Acabamos de estudiar la rotura de un talud segán una superficie

de deslizamiento plana. Veíamos que esa superficie quedaba definida por

el ángulo y por la condición de pasar por el pié del talud (ver Fi-

gura 2.13).

Vamos a introducir una complicación adicional ; consideremos que -

se produce una grieta de tracción en el talud. Como más tarde veremos -

este procedimiento es un caso más general que el anterior, de forma que

aquel queda incluido dentro de este.

Al producirse deformaciones en un talud, comienza una rotura pro-

gresiva pudiendo alcanzarse la resistencia a tracción del material del

talud y producirse la rotura . E l analizar la resistencia a tracción en

el análisis de taludes en suelos como factor favorable a su estabilidad

no suele hacerse , prescindiendo de considerar su efecto. Esto nos deja

del lado de la seguridad , y además suele carecer de importancia, pues -

los valores son normalmente muy bajos.

La rotura de un talud por esfuerzo cortante comienza en el pié del

talud y va ascendiendo hacia arriba . En la figura 2.18 (tomados del tra-

bajo de DUNCAN , DUNLOP ( 1969)) reproducimos las curvas 7---- �•N

para varios taludes, suponiendo un solido de comportamiento lineal elás-

tico. Se observa en estas figuras como los esfuerzos son máximos en el -

píé del talud , de manera que en esta zona se producirá un aumento de la

deformación sin aumento de los esfuerzos cortantes , pasando del valor de

resistencia de pico al residual , no siendo entonces válidos los gráficos

antes dados. Este fenómeno de la rotura comenzado por el pié del talud -

ha sido estudiado con modelos reducidos ( centrífugos ) por Ter - Stepanían

(ver JIMENEZ, JUSTO, SERRANO (1976)).

Así pues, la rotura se va transmitiendo desde el pié del talud ha-

Superficie original0 0.05

Superficie original 005e

\ o 0 0.05 0

0.10

0.15 020

0.300.20 60 " .

OSH 070 04\0.50

025 0600.30

ISN

040

so0.7

M 20--05H O 0511 H 1. 5H 20.

015 1 0 ..

0.20 o Distancia desde el pie0.25 0.30

0Superficie 905original 010

214 0.15-05H 0 O.SH H

.. �...�.._«._--.__._

Distancia desde el pie 020 015O.SN

02S 010

0 30

040050

005 00

M C

S 2f,oe Q10 ooriginal

01s07

0.20 °

O.SH c L5N0.2 5

a.030

0.40 2N050OSx 0 O.SN x

,70 Distancia desde el pie

H0 05H H

Distancia desde el pie

oCasos correspondientes a arcillas 0.05

Superficie 0.10normalmente consolidadas. original

0.15

0.20

0.15 0.100.5H a

0.25 ó

Casos correspondientes a 0.30 0

arcillas fuertemente so- 0.40

bre consolidadas 0600.so1.30

0 0.5 H H

Distancio desde el pie

Fig. 2.18 Corte vertical de un talud en un terreno de comportamiento línial,elástico , is6tropo , con expresión de los contornos de Yay��-�/

70

cía arriba hasta alcanzar un punto M, que por suponer su resistencia a

tracción dará como resultado la aparición de la grieta de tracción. Esta

grieta se propagará hacia abajo hasta encontrar en A a la linea de rotu-

ra (Figura 2.19).

El estudio con grietas de tracción es tratado con detalle por va-rios autores, entre ellos por HOEK (1970) y HOEK, BRAY (1977).

Seguidamente vamos a exponer el estudio teórico con detalle para -poder abordar con facilidad el cálculo de un talud con este método y pro

ceder a elaborar un programa para ordenador.

En un análisis inicial comenzaremos por distinguir la situación de

un talud y la grieta de tracción. Pueden suceder los siguientes casos:

- el talud no tiene grieta de tracción.

- la grieta de tracción se encuentra en el vértice superior del talud.

la grieta de tracción está en el talud.

la grieta de tracción está sobre la superficie del talud.

En el caso concreto del talud que estemos estudiando sucederá una -

de estas cuatro situaciones, y para cualquier análisis será preciso cono-

cer previamente de cual se trata. Más adelante veremos como se puede pro-

ceder para el caso de no conocer la situación de la grieta de tracción.

De momento solo nos ocuparemos de los últimos casos, y veremos como

los dos primeros son casos particulares de éstos. En la figura 2.20 se in-

dican ambas posiciones, así como la notación empleada:

* H = altura del talud.

* i = angulo de inclinación del talud.

* Ó = peso especifico de las tierras.

* = angulo de rozamiento interno de las tierras.

* c = cohesión de las tierras.

* b = distancia del vértice superior del talud a la grieta de tracción.

71

M/

grieta de Irocción

H

superficie de deslizamiento

Fig. 2.19 Esquema de formación de l.a grieta de trae i n .

ñMrietodetroi6nJ,

Caso A) Grieta de tracci6ii en la superficie del talud

b grieto de tracc,6n grieto de tracción________Mr (____- jç. I(

Casu i) Grieta de traccior sobre la superticie del talud

Fig. 2.20 Posibles posiciones del an1isis con netas de rracci6n.

73

h = profundidad de la grieta de tracción ( observese que en ambos

casos se mide referida a la parte superior del talud).

h1= altura de la grieta de tracción.

* Óo = peso especifico del agua.

hw altura alcanzada por el agua en la grieta de tracción.

V y U = fuerza resultante de las presiones ejercidas por el agua en

la grieta de tracción y plano de deslizamiento respectiva-

mente.

Los datos de entrada para resolver el problema serán los señalados

con un asterisco (*), es decir, H, i, (Y , 01, c, b, (o

ANALISIS DE LA ESTABILIDAD CON GRIETA DE TRACCION

La forma de trabajo para el análisis con grieta de tracción y des-

lizamiento plano consiste en un procedimiento similar al empleado por -

Culmann. Tomamos arbitrariamente un plano de deslizamiento Y) y averigua

mos el coeficiente de seguridad del talud suponiendo que la rotura se -

produzca por ese plano . Esta operación se repite para otro Y, , obtenien

do su correspondiente coeficiente de seguridad . El mínimo valor de estos

coeficientes es el coeficiente de seguridad del talud.

Así pues , vamos a estudiar como obtener el coeficiente de seguridad

correspondiente a un plano Y .

Para un•b-dado supondremos que la grieta de tracción tiene una altu-

ra hl tal que siempre corte el plano P que se ensaye . Esta hipotesís da-

rá resultados que habrá que analizar con cuidado , pues aunque la grieta -

de tracción sea causada por la rotura a tracción , su profundidad no puede

considerarse ilimitada y por lo tanto no siempre tendrá que cortar al -

plano Y" ensayado. Mas tarde veremos algunas características de la pro-

fundidad y situación de esta grieta de rotura.

Para una determinada grieta de tracción (definida por b, puesto que

74

h viene determinada en función de b y YJ por la hipótesis hecha en el

párrafo anterior ), pueden hacerse los siguientes análisis:

- suponer que el agua entra tanto en la grieta de tracción como -

en el plano de deslizamiento , alcanzándose en la grieta diferen

tes alturas hW

- suponer que el agua entra solo en la grieta de tracción (no en

el plano de deslizamiento), alcanzando diferentes alturas hW -

(Figura 2.23).

- suponer un talud seco.

Otro análisis que se deberá realizar es el del caso de un talud sin

grieta de tracción , tal y como lo hace Culmann.

Para un mismo talud deberán considerarse todos estos casos y anal¡

zar e interpretar los resultados con detenimiento , para dar en cada uno

el sentido físico que corresponde.

ABACOS DE HOEK Y BRAY PARA EL DESLIZAMIENTO PLANO CON GRIETA DE TRACCION

HOEK, BRAY (1977) han elaborado unos interesantes ábacos que permi-

ten obtener de forma rápida el coeficiente de seguridad para un 50 deter

minado.

Hemos creído conveniente reproducirlos ya que proporcionar un arma

muy comoda para obtener una solución rápida con suficiente aproximación.

Vamos a describir detalladamente la base teóríca para su realización y -

empleo , pues ésto además, nos permitirá pasar sin mas detalle a la des-

cripción del programa de ordenador que hemos elaborado para el estudio -

de taludes según este procedimiento de deslizamiento plano.

1° caso general

En la figura 2.21. se dibuja un talud tanto con grieta de tracción en

M

/ - -'

h

r

iN/ _h,,

hIV

__-.

H

/Ç' 1/

A' Z ,

o w 1tIP 4NX

JfNY

B ''B

Caso A) Caso li)

Fiz. 2.21 Fuerzas actuantes en las masas deslizantes para las dos posibles situaciones de la grieto de tracci5n.

76

el mismo como con grieta de tracción sobre la superficie , casos que he-

mos llamado A y B. En ambos suponemos que el agua entra en la grieta de

tracción , alcanzando una altura hW; as¡ mismo admitimos que tambíen pene

tra por la superficie de deslizamiento drenando perfectamente en el pié

del talud ( punto B).

Con estas hipótesis puede dibujarse el diagrama de presiones, obte

niendo U y V:

V- . ,�

Las fuerzas resistentes que actuan en la superficie de deslizamíen

lo son -T y TO

T = c. 4B

W. -U-Vse,7iv)•L9O7-

siendo

43

En el caso de grieta en el talud ( caso A) es;

�- 2 .�.W�. �1- ��t9� •(cofy fgc- f>

si la grieta está sobre la superficie del talud ( caso B) es;

2

77

El coeficiente de seguridad F se define como la razón entre las -

fuerzas resistentes al deslizamiento y aquell s que tienden a provocarlo,

esto es:

W5en S`> + Wcos y,

Hock y Bray sustituyen los términos Te y T� antes calculados obte

niendo F en funci6n de los parámetros adímensionales P, Q, R y S, de la

siguiente forma:

F (2 %NJP + (Q.ctg�-R(Pts))tgo

Q # Q • s • c<,757

donde

(1-h//..,i)•cosecYI

Cuando la grieta de tracción está en el talud:

cuando la grieta se encuentra sobre la superficie del talud:

irí- -1h/H)�. co79 - c4 .C�. s rlr

c� h N

A N

Estos parámetros se encuentran representados en los gráficos de -

las figuras 2.2.2a y 2.Z2 b.

78

6.0

a)

5.0

4.0

P3.0

2.0 h/H

0

0.2

--75

0 10 .20 30 0 50 60 70 80 90W

t.0

0.9

0.8nw

h H

S 0.6

.0.750.5

0.4 0.5

0.3-10 -1

-- .250.2

0.10 --

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Fig. 2.22 Parámetros adimensionales a emplear en las fórmulas de

Hoek y Bray.

79

b 1.0 1.0

0.9h/H=0 0.9

h/H = 0,25

0.8 0.8

0.7 0.7

0.6 0.690

Q 0.5 8o 0.590

7080

0.4 60 0.4 7011-

60SO 50

0.3 40 0.3 40

30 20300.2 20 0.2

0.1 0.1

0 0 `10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1 W

0.7 h/H0,50

0.6

h/H = 0,750.5 N\ N�

0. 0.4t'9080

0.3 0 7 0.30 Q 90

0.2 2030 402 ` 0.2 80

\ bo 700.1 0.1405

20300 010 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90

W W

Fíg. 2 . 22 ( continuación ).

80

9

el 4h, h, =h3h. 52 t,, .5

o= 5 ! ! 1Caso n)

j►

/

h - h

2h1 3h� 51h+

Ca su ,; j

Fi,,,. 2.23 Diferentes alturas de agua hW que se han considerado

81

2°Caso de talud seco

En este caso hW = 0, por lo que U = V = 0 quedando la expresión:

YH

3°Caso de agua solo en la grieta de tracción

Este se obtendrá haciendo U = 0 en el caso general, resultando:

f4 S•�ot9�

DETERMINACION DE LA GRIETA DE TRACCION

En el estudio que acabamos de exponer suponiamos que la grieta de

tracción estaba dada, es decir, con la distancia b, obtendríamos-h-en -

función de b, � , i.

Cuando la grieta de tracción sea desconocida es necesario deter-

minar la posición más probable en que aparecerá.

Para obtener la superficie de deslizamiento crítica, es decir, -

aquella cuyo F sea mínimo , calcularemos c7F/� , que igualado a cero

dá Para un talud seco es:

donde

De igual modo la situación de la grieta se obtendrá haciendo

y c�F�C1 iguales a cero. En el caso de talud seco es:

82

drae�y = (eofq C eof9 > /- en�9

En la figura 2.24 se representan los gráficos obtenidos con éstas

expresiones.

Cuando tratemos de la comparación de métodos volveremos a insis-

tir en este importante aspecto de determinación de la grieta de tracción.

Veremos también como tratar el método del talud indefinido con el fin -

de obtener esa grieta, la cual nos permitirá entrar en los cálculos con

un valor prefijado. Por el momento, solo deseamos indicar que la profun

didad de la grieta rara vez supera a la mitad de la altura del talud.

ESTUDIO DE TALUDES CON CORTE EN EL PIE

En lo que hemos visto anteriormente considerabamos un talud con -

geometría sencilla (ver Figura 2.20), homogenéo é ísótropo, y además su

poniamos válida la relación de Coulomb como expresión de la tensión tan

gencial máxima capaz de desarrollar el terreno.

En muchas ocasiones encontramos que el pié del talud esta corta-do, quedando con una geometría como la indicada en la figura 2.25. Estasituación se presenta con cierta frecuencia en taludes en terreno muy -meteorizado , o puede ser provocado artificialmente.

El análisis de éste caso es muy parecido al que hemos desarrolla-

do antes ( análisis con grieta de tracción) obteniendo que el coeficientede seguridad puede ser expresado empleando las mismas relaciones, esto -es:

bcri / H

830 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

o

loh h

20

10I

's )1 " �. _

30'20 H

440

60 \50

70 --60 -

80 70

90..-

1.0 90

0.9

0.8 89

0.7

0.6 85hCfl/Fl

0.5 80

0.470

0,3 60 --50

0.2 40

10 2030

01 -10 20 30 40 50 60 70 8o 90

y

Fig. 2.24 Distancia b y profundidad h de la grieta de tracción crítica para

talud seco.

84

grieta de tracción

71

h"

h= h1

H

H

plano de deslizamiento

/I

I'i WA

Fig. 2 .25 Estudios de taludes c�,ou Hl 1 ert el. pié.

i

857� 7o

Wsen 5D -f l-Vcos

pero modificando la expresión de W, siendo:

tv,/_ /7,j2 ). ca7y%J-(-�- �•cc�t t /rr F.�rj �

Respecto a la grieta de tracción , haciendo un análisis análogo -

al hecho anteriormente , obtendríamos que para un talud seco la profun-

didad crítica de la grieta ( es decir , aquella que hace que el coeficien

te de seguridad del talud sea mínimo) es:

C . co s¢

O - C"09 w SC'f7 �... --(f

donde la superficie crítica viene definida por:

siendo:

Programa de ordenador

87

DESCRIPCION GENERAL DEL PROGRAMA

Hemos desarrollado un programa de ordenador para el cálculo del -

coeficiente de seguridad , en el caso de un talud en que exista grieta -

de tracción y la rotura se produzca según una superficie plana. El lis-

tado se adjunta al final de este apartado ; esta escrito en lenguaje BASIC

y adaptado a un ordenador de masa Hewlett Packard.

Para la elaboración del mismo se han seguido las bases teóricas -

expuestas en la teoría general , por lo que haremos una expresión muy -

breve.

En las figuras 2.26 a y 2 . 26 b se dibuja un talud con las dos po-

siciones posibles de la grieta de traccíón, indicando en ambos casos la

geometría y fuerzas que interesan para el estudio de la masa deslizante.

Respecto a la geometría es importante destacar que-b -irá afectado de un

signo + 6 - según la grieta de tracción se encuentre sobre ( Figura "-.26h)

6 en la superficie del talud ( Figura 2.26 a). Respecto a las fuerzas -

actuantes ya se obtuvieron sus expresiones ; digamos además que en este -

estudio se ha supuesto el peso especifico del agua X,= 1,00 li,/m3

En el caso general , el coeficiente de seguridad viene expresado -

por:

70W set $ -t Veas iu

Con este programa se pueden estudiar los siguientes casos:

A) Talud con grieta de tracción en la superficie del talud 6 sobre

la superficie del mismo . Estos dos casos se indican en las figu-

ras 2 . 2.6 . Además cada uno de estos casos puede analizarse con:

1 hH- (H cotg ¡ +b).tg

r h + b. tg ¡

,r /

________

4:.i/

4 /Tc

í ,/'

-

ti

/

- -

Caso A) Crieta de ra 'c i n en la super tic le ci e.l t a tuci

Fig. 2.2 Anal isis de 1 ertahil idad de un talud con .rieta de tracciin

��Lt`•�r1'- �w. � :,r�� í`'` ter,

ti

h°H (H.cotgi+b!''9tG

whw_h5.h l /5

V

H

ao-hw

Tc

(H-n ; Cos�c t

x

Cas ;) Grieta de traccicn sobre la superficie del talud.

Fig. ?.?6 (COntlntlaci n)

90

A.a) Talud seco.

A.b) Talud en el que el agua penetre en la grieta de tracción a -diversas alturas.

A.c) Talud con agua (a diversas alturas) solo en la grieta de trac-

ción, no en el plano de deslizamiento.

B) Talud sin grieta de tracción. Este caso puede analizarse bien -

con éste programa 6 bien con la sencilla expresión de Taylor, y

utilizando el ábaco que elaboramos para su empleo.

DATOS DE ENTRADA

A la vista del listado adjunto, el empleo del programa no tiene -

complicaci6n alguna. Los datos de entrada tal y como aparecen en el lis

tado son (ver Figura 2 .26a y 2.26b);

- COHESION, C, Ton/M2 ......................... c

- ANGULO DE ROZAMIENTO, PHI ................... 0

- ANGULO DEL TALUD, 1 ......................... i (Llamado buzamiento

en los datos de salida)

- ALTURA DEL TALUD, H ......................... 11

- DISTANCIA DE LA GRIETA DE TRACCION, +/-B .... +, - h

- El signo + 6 - se tomará según la grieta este sobre 6 en la

superficie del talud, como ya se ha dicho.

- Cuando la grieta coíncída justamente con el vértice superior

del talud se hará b = 0.

- Si se desea hacer un análisis sin grieta de tracción dar ab un valor positivo lo más alto posible, por ejemplo 9,9.1099m.

- DENSIDAD, GAMMA (Ton/M3) .................... Ó

- INCREMENTO DE PSI ...........................ASU

91

- En el programa se calcula el coeficiente de seguridad -para diferentes planos de deslizamiento, ensayandose des

de 0° a Yti ¿ tomados en progresión arítmé

tica de razón d y)

- Sí unicamente deseamos investigar un plano de deslizamien

to particular haremos d �/ = 0 , y entonces pasamos di-

rectamente al estudio del plano en cuestión.

0 = AGUA SOLO EN GRIETA DE TRACCION.

- En este dato se decide si queremos análisis con agua soloen la grieta de tracción (se pulsará el 0) ó agua con -grieta y en plano de deslizamiento (se pulsará el 1).

VALOR SINGULAR PSI ..........................Sv

- Este caso aparecerá si hemos hecho d 0 , es decir,

sí solo deseamos investigar un plano de deslizamiento -

particular.

RESULTADO

En cualquier caso el resultado se expresa en 6 columnas correspon-

dientes a las 6 condiciones de agua (desde n=O a n=5, es decir, desde -

talud seco a talud con la grieta de tracción totalmente llena de agua),

para cada valor de

El análisis del listado de salida del ordenador, hemos considerado

que seria mas interesante comentarlo al final del ejemplo que veremos -

mas adelante. En ese análisis daremos la interpretación fisica de este -

programa y la forma de definir el resultado único.

Listado del programa

l ,.!{ f ��;i• iiri ! L. C; LI;_ I 11f l_'.,,I,, .il..; i!tl.l i .1 ,,'� tE..t'I t..I�liPI.E..lil'a 1 ;. .E. cl,-ai�fli'A Ilii Ilii ��. i ;:� ,j .'I C•,� , 'I ,ill

E `_'I E !. F F: _. I;iti E't IJI:: E..ti .,k If T;1 IIIIIEi !I¡',IE:; ;il'r 'li '1 � ,I_IL_l' I 'i'i r ti LII.

iit F'Fht H 1 G illii. E ..':F EIAi E:.;i •L HI• ¡ ', f L_Rt1;1111ú.. iifli 1 I t i;ili 1 i II. It. 1 .. ij

r.it I�111 ,¡li 111': i_1I 1 71 Í I` 1• I: l,' 11

al 1 H FUT TI.0 11S _..; DE Rn7ñh11EEITC.,F'HI'

1 c +i I1 'tJ F';1 1 t120 1 =."I'•.°'.i ..1::i1j 111 =•F' "rilll:i.!I ñ .. [ L ¡ t.ILI. . I '1.1 R 114' E_I 1::.

1;'E0 Ifi`r'IJi i;41:_i Ti E' 11 1 1 iF1;. ::.1 E GE? 'i ,1 "'E. i1 4 F'l?E'' i 1 1 t

210 ElEL:T 12 C IHF'EIT E:,

D 1'-F' LE T II T G . PIA TJN i _ .t_ 11.1FII1 LII`5C I;EP it'IC;Rf?IEEii0 .... _I -26C 1t1P11E 1727Ü 1F 17 .: E:; T -j280 I11:_P °{=1= rlGII1 Ut Eh; I_F'1ETFi DE T P G C C.l 10H291 FGR 10 m3 0R '=;I= f'iTL.1_L 20,i-10 i'IETT 1_2ü 1t1Fl„I E33U W R1 E. u lo, OTO IIF: 1 11 l i'I r.E_M'::y;i I0 1T_.. . 1 i. TCUT 1 I 1, 0; 25 u 1- 136,'SCi ITE 1`=r:9_:t:,+ lZ.363 1 c:- 1 1 1 H L i l 01370 FOR 50:.:1 TCi MM-09 _TEÍ 17380 G~T 40.-,390 COTO sTú41HI T =TF,;.Ci41 11 '-:4i'-=' 1111 Cl4 20 f:Ct__UNF 1430 F.E E5 444 :1 I ÍISI.11 _;'H

455 tIE:7r F54' I_i !F74741 =Ir

..1 {¡ ": 11 :=h1410 COTO 50134 t , 4 1 1 1 I -EL i`t.rj. R ' l i l a . = '; - 1 11 QP T O DIE TF r i: I I ... _ i I' 'I'

1.1:_1 F P I H TT1üt GiITCI ...

510 H i . H -_ 1 . r 1 SS544 FüI =lI- . t1 `- _ .

575 ñ=TWPH3 1 -Jt.4!.580

600 Ti,=I_ 1 t'rlr. 10 1 F E:'¡ - <! TI . E. t+6 2 11 El Itt:"ri. }• ti. TL.1' =.*T1130

,,OTO ., ii-:4,I =sis 1 11 2 / E1 1 ,T

t,511 TiI1ri_I_1 í T•.r.r:ti FE t1�{ .t.1

-i.� f9¡'.. ,.-!� i,'-.E1. I - 9F670 r•l.I .:. ,...H,.,_E' r; l;t.> .-_..il• ¡:� ;:.IJIS¡.I ,. 1.I680 FI=uF'tifiT690 E- 1 I Y : t ' 1 ¡ - :. F,- 1^ ... 0 ; 51` 1:_..71113 HE;;T t1''

11) tI I Tr_ i::.. ... F I C I. FL? i Fr.. ;, E E =E 1 El f 1

731 E-:ETIJi'U7413 1 1.1 E '

751i :11 F' ' I I I. lJ E: I t l1. L t I ; Ii M PU: V u

7913 i ÍIT[.800 RFE'l E-FIí;Fr M M 1'IRF•IA FFE'HFIUI Íi W1C',F' t'1 ''E:.:I.. `111. ¡l

Ejemplo de cálculo

95

DATOS DE ENTRADA

En el siguiente ejemplo vamos a obtener el coeficiente de seguri-

dad de un talud empleando las expresiones teorícas anteriores , utilizan

do los ábacos de Hoek y Bray , y por último utilizando el programa de -

ordenador que vimos antes.

Sea el talud de la figura 2.27 en el que la grieta de tracción se

encuentra sobre la superficie del talud (caso B) y sea:

Cohesión, c = 2,50 T/m2

Angulo rozamiento inte rno , 0 = 32,00°

Angulo del talud, i = 75°

Altura , H = 50,00 m.

Distancia de la grieta de tracción , b = 25,00 m.

Densidad , ÓO = 2,80 T/m3

En el caso de que la grieta de tracción esté sobre la superficie -

del talud sabemos que h = h1 (ver la Figura 2.20). Por la geometria del

talud es inmediato demostrar que:

Sustituyendo para nuestro caso es:

1i=fi, = 25,O6 f ru7.

Estudiaremos el talud suponiendo que el agua alcanza las alturas -

hW = 0, 1/5 hl, 2/5 hl, 3 / 5 hl, 4 / 5 hl, h1, correspondiendo el primero -

al talud seco y el último al caso de que la altura del agua sea igual a

la de la grieta (Figura 2.2.3).

CALCULOS REALIZADOS MANUALMENTE

Utilizando las expresiones antes obtenidas obtenemos sin dificultad

ESCALA 1'.400 25 m.

IW

50 m. �!

li

J�I

.t/

I'j;;. 'i:jennlo de un talud <ie 50,0 m. de altura en

terreno de cohesión 2 ,5 T!m2, ángulo de ro-

r i zarícntc interno .32,0° v un salud con una -t%

inclinación de 75,00. l.a ;.;rieta de tracción90,�� se situó sobre la superficie del talud a

una distancia de 25,0 m. de la arista supe-

rior del talud.

97

los valores de P, Q, R y S así como el coeficiente de seguridad del ta-

lud F para los dos casos,primero de agua en la grieta de tracción y en

plano de deslizamiento y, segundo , agua solo en la grieta de tracción.

El cálculo manual lo hemos realizado solo para el ángulo de desl i

zamiento de = 33, 00; y son los que exponemos seguidamente.

/y = q 501 �- 33, 00°

Agua enAgua

grieta y soloh h /h p Q R 5 en plan.)w wdeslizara

en gri eta.

0,000 0,00. 0,000 0 , 000 1,030 1,030

5,013 0 , 20.' 0,036 0 , 055 0 ,979 1,021

10,026 0 , 40 0,072 0 , 109 0,912 0,995

15,039 0 , 60 0,916 0 , 482 0 , 107 0,164 0,83 3 0,954

20,052 0 , 80 0,143 0,218 0,745 0,900

25,064 1 , 00 0,179 0,273 0,652 0,836

Según los ábacos de Hoek y Bray obtenemos análogos resultados como

puede verse en las figuras 2.22a y 2.22b.

El análisis é interpretación de éstos resultados lo veremos más

adelante.

CALCULOS REALIZADOS CON ORDENADOR

Según el programa que hemos confeccionado , atendiendo a los dos po-

sibles casos de actuación del agua es:

CASO A. Incremento de , e 2° . Agua tanto en la grieta -

de tracción como en el plano de deslizamiento.

98

En la figura228a exponemos los resultados ; puede verse como para

cada valor de (tomados de 2°en 2'desde 9J- 1° a 2_ 7,30 ) se

obtienen 6 valores del coeficiente de seguridad correspondientes a las

diferentes hipótesis de mojadura ( desde seco N = 0 a totalmente inunda-

do N = 5).

CASO B. Incremento de 9J, 2° Agua solo en la grieta de -

tracción.

En la figura 2.28b vemos como la salida de datos es análoga a la

del caso anterior.

INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON EL PROGRAMA !)E ORDENADOR.

COEFICIENTE DE SEGURIDAD DEL TALUD .

Hemos creído conveniente resumi r en éste apartado gran parte de lo

que hemos dicho sobre este método. Queremos señalar que leyendo con aten

ción lo dicho más atrás , es inmediato deducir el significado de los lis-

tados obtenidos al aplicar el programa a un caso concreto.

Pero para que no pudiera quedar la menor duda , vamos a repetir -

nuevamente algunos aspectos , pensando que el exponerlos en conjunto po-

dría terminar de aclarar la filosofia de este método.

En las figuras 2.28a y b aparecen los resultados del ejemplo antes

descrito . El primero de ellos corresponde al talud suponiendo que el. agua

penetre por la grieta de tracción y por el plano de deslizamiento; el se-

gundo es el caso de haber agua solo en la grieta de tracción.

En general conviene analizar ambas situaciones , pues sí bien la -

peor es la primera , el conocimiento de ambas nos permitirá analizar la

estabilidad con mejor criterio al tener mayor número de datos.

.; 1, �,i !:: :' __ _.. _. :._.: .._ __. __ .__� � --... .. - .. .. ... _. .... ... -.. ...

_ .f ue �.� ... ..�, .. -. _..

Fig. 2.28a Resultados obtenidos para el talud del ejemplo, suponiendo que el

agua penetra por la grieta de tracción y por el plano de deslizamiento.

Fig. 2.28b. Resultados obtenidos para el talud del ejemplo, suponiendo que

el agua actua sólo en la grieta de tracción.

101.

Queremos indicar que en el caso de admitir agua solo en la grieta

de tracción, puede obedecer a estudio de la estabilidad a corto plazo,

por ejemplo tras una lluvia intensa. En terrenos muy permeables este -

modelo tal vez no sea válido, recomendandose el cálculo con agua tanto

en la grieta como en el plano de deslizamiento.

En ambos listados de las figuras 2.28a y b aparecen 7 columnas.

La primera de la izquierda son los angulos PSI de deslizamiento (como

sabemos, el cálculo se realiza obteniendo el coeficiente de seguridad

para unos planos de deslizamiento definidos por el ángulo PSI con la -

horízontal). Las 6 columnas restantes corresponden al caso de que el -

agua adquiera diferentes alturas en la grieta (esto fuá ya expuesto en

la figura 2.23).

Como resumen de los listados de las figuras 2.28a y b, podemos de-

cir que en ambos casos resulta:

N PSI lF,

0 63° 0,505

1 63° 0,505

2 63° 0,505 1

3 63° 0,505

4 63° 0,505

5 63° 0,505

observamos que en cualquiera de las condiciones de agua (estas condicio-

102

nes se expresan con los valores de N, desde 0 a 5, es decir, desde un

talud seco hasta un talud con la grieta totalmente llena (le agua) el -

coeficiente de seguridad y el plano de deslizamiento es el mismo, es -

decir , las peores condiciones hidráulicas del. talud no afectan al, resul

tado del coeficiente de seguridad. Y a n más , observando Los listados -

vemos que al ensayar angulos de deslizamiento PSI iguales o mayores a -

53°; para cada uno de esos angulos el coeficiente de seguridad es inde-

pendiente de las condiciones hidraulicas.

Esto tiene una simple explícaci6n . Al ir aumentando el angulo PSI,

llegará un momento en que el plano ensayado no corte a la grieta de trac-

ción , siendo por tanto su estudio independiente de las condiciones hidrau

licas ( esta tia sido una condición impuesta al programa).

Así pues, en cualquiera de los dos casos estudiados ( talud con -

agua solo en la grieta 6 talud con agua en la grieta y pl ano de des1i-

zamíento ) y para éste ejemplo el coeficiente de seguridad es f' = 0,505,

produciendose el deslizamiento según un plano que forma 63°con ln (hori-

zontal.

Más adelante, cuando comparemos los diferentes métodos , vamos a -

encontrar casos similares a este. La forma de interpretar los resultados

se hará como acabamos de hacer para este ejemplo.

Aplicación práctica del método

104

VALIDEZ DEL METOD0 DEL DESLIZAMIENTO PLANO

Al comienzo de la descripción de éste metodo, hemos dicho que es

un procedimiento muy poco empleado y que en cualquier caso los resulta-

dos deben ser analizados con gran cuidado.

Cuando tratemos del estudio comparativo de métodos va nos ocupa-

remos con un caso en concreto, y veremos sobre dicho caso algunos aspec-

tos que por ahora solo vamos a comentar muy brevemente.

DEFINICTON DEL TALUD PARA APLICAR ESTE METODO

En un craso real, un talud en un suelo estará formado por una serie

de estratos, de potencia variable, con orientación y buzamiento cuales-

quiera. Cada estrato estará definido por los parámetros peso específico,

cohesión y ángulo de rozamiento.

Así mismo el talud estará sometido a un regimen de filtraciones -

determinado, bien causado por lluvias, bien por que el talud sea de con

tenci6n de agua (caso de presas de tierra 6 escollera), etc.

La aplicación del método de deslizamiento plano supone un talud

homogéneo y un agua estática. Por este motivo, el talud real deberá de

simplificarse hasta conseguir un talud con esas características. La -

forma mas correcta de hacer esa simplificación depende de las condi-

ciones particulares del talud, y desde luego queda a juicio del encar-

gado de su estudio. Nosotros vamos a exponer simplemente una serie de -

ideas, no una solución, al problema mas arriba planteado.

Sin ninguna duda, podemos afirmar que cuando las condiciones del

terreno definan con claridad una superficie favorable de deslizamiento

la aplicación de este método pued2 no ser viable . En esos casos debere-

mos recurrir a otros métodos de cálculo en los que pueda considerarse -

esa discontinuidad . De todos modos el aplicar el método de deslizamien-

105

to plano puede sernos útil , pues siempre es un dato, más 6 menos bueno

segun el criterio empleado para hacer homogéneo ese talud.

Respecto a la presencia de agua en el talud, las aproximaciones a

la realidad deben hacerse con criterio y procurando siempre saber con -

qué grado de exactitud estamos trabajando. Hemos visto que el método de

Culmann (resuelto directamente 6 aplicando el ábaco de Taylor de la fi-

gura 2.17) supone un talud seco. El método en que se introduce la grie-

ta de tracción si permite la presencia de agua, pero sin considerar fuer

zas de filtración, de manera que el efecto del agua se traduce en un día

grama de presiones triangular, proporcional a la altura. En el programa

que desarrollamos para la aplicación de ese método contemplabamos tres -

casos; en el primero suponíamos la inexistencia de la grieta de tracción,

un talud seco, es decir, obteníamos el resultado de Culmann; en el segun

do caso se admitía que el agua penetraba solo en la grieta de tracción;

y en el tercero, el agua entraba tanto en la grieta de tracción como en

el plano de deslizamiento. As¡ pues la situación mas desfavorable corres

ponde a la obtenida en último caso.

Si nuestro talud se encuentra en un terreno que pueda suponerse -

homogéneo a efectos de cálculo, puede ser interesante el estudiar el coe

ficiente de seguridad por los tres métodos arriba indicados (el programa

de ordenador es único para los tres casos , efectuando uno u otro camino

segun las instrucciones de entrada). Con estos tres resultados dispondre

mos de una secuencia de datos, que nos van a ser útiles para ver la in-

fluencia del agua en el coeficiente de seguridad.

VALIDEZ DEL METODO PARA TALUDES MUY ESCARPADOS

La hipótesis de deslizamiento plano sólo es aplicable en taludes con

un angulo de inclinación superior a 75° , y aún así los resultados deben -

estudiarse con cuidado.

En efecto, TAYLOR (1960) obtuvo los resultados que indicamos en el

106

gráfico de la figura 2.29. En ese gráfico podemos ver como para cualquier

ángulo del talud el método de Culmann da valores del número de estabili-

dad menores que el método de Fellenius. Para ángulos del talud mayores -

de 75° y ángulos de rozamientos mayores de 15°, los resultados de ambos

métodos son muy parecidos.

Pero en la misma gráfica de la figura 2.29 podemos observar, que

los resultados de ambos métodos difieren mas según disminuye el ángulo

del talud y tambien según lo hace el ángulo de rozamiento.

El método de Fellenius también tiene sus limitaciones, encontrán-

dose problemas cuando existen presiones intersticiales , pero normalmen-

te resultan valores del coeficiente de seguridad que nos situan del la-

do de la seguridad.

107

Metodo de las rebonodos de FelleniasC

Metodo del plano de Culmann

0,25

0,20

i = 90°�..i =90°

\\ �� i =7S°

0,10 <=75°

\�\ \\ i =60°

0,05 \\\\� \\` \\ =fi00i =450

í 45°

=30°

i 30°

0 5 l0 15 20 25O

Vi:',. 2.29 (.cmparación sug n Taylor entre el método de Culmann

y el I'el.leni us.

2.3.3.- Método del circulo de rozamiento y otros métodos similares

ESTUDIO TEORICO

Importancia, utilidad y origen de estos métodos.

Planteamiento físico común de estos métodos.

Método del circulo de rozamiento.

Método de Frohlich.

Método de Taylor 6 del círculo modificado de fricción

Círculo de Petterson.

ABACOS DE TAYLOR PARA EL ANALISIS CON SUPERFICIE DE ROTURA

CIRCULAR

Círculo crítico en un terreno puramente cohesivo (0=O)

Abaco para terrenos puramente cohesivos (0=0)

Círculo crítico y ábaco en un terreno con 0 # O

ABACOS DE HOEK Y BRAY

Introducción

Condiciones hidráulicas del talud.

Abacos para la obtención del coeficiente de seguridad

Abaco para la obtención de la grieta de tracción y del

círculo crítico.

Estudio teórico

110

IMPORTANCIA, UTILIDAD Y ORIGEN DE ESTOS METODOS

De los métodos tradicionales para el análisis de estabilidad de -

taludes (que han sido aquellos que suponen una superficie de falla pla-

na y los que la suponen cilindríca) éste sin duda el más interesante de

todos, pues además de ser de simple aplicación, dá resultados bastantes

buenos. Como luego veremos, no es un método ni mucho menos olvidado, -

pues entre otras cosas con él se obtuvieron unos importantes ábacos -

aplicables a cualquier método que opere con aproximaciones sucesivas,

ya que da una valiosa información de por donde deben comenzarse esos -

tanteos.

Practicamente todos los libros de Geotecnia, en el que se dedique

algún capítulo a la estabilidad de taludes, tratan con mayor 6 menor -

profundidad este tipo de análisis, como por ejemplo los trabajos de -

ENTRECANALES (1941), LAMBE, WHITMAN (1969), JIMENEZ, JUSTO, SERRANO -

(1976), etc.

Al parecer fue' Petterson en 1915 o 1916 quien primero estudió la

aplicación de este método para el estudio de hundimiento del Muelle de

carga de Stígberg, en Gotemburgo, motivo por el que más tarde se le co-

nocería como el método sueco. Algunos años más tarde (1920 ó antes), se

decidió estudiar los taludes de los ferrocarriles suecos con el fin de

solucionar los graves problemas que planteaba el derrumbamiento de los

mismos, encargándose de su estudio a la Comisión Geotécníca Sueca, crea

da para tal fin.

La hipótesis de partida de este método es la de suponer que la ro-

tura se produce según una superficie cilíndrica, de manera que en seccio-

nes transversales son circunferencias. Esto se ha observado con relativa

claridad en terrenos homogéneos de arcilla, y entre otros ha sido estudia

do por FELLENIUS (1936), PETTERSON (1955), LADD (1972), PILOT (1972)....

Como luego veremos este es un método sencillo, que puede realizarse

111

con calculadoras corrientes 6 utilizando los ábacos que damos más adelan

te, aunque como conviene tantear varías veces, es preferible el empleo de

pequeños ordenadores.

PLANTEAMIENTO FISICO COMUN DE ESTOS METODOS

Supongamos el talud de la figura 2.30 del que vamos a analizar su

estabilidad con la línea de rotura circular AB. Sobre la masa deslizante

(rayada en la figura), actuaran las siguientes fuerzas:

W. Peso total de la masa deslizante.

U. Resultante de las presiones neutras que actuan en la línea de

rotura AB, que supondremos conocida ( veremos como calcularla -

cuando tratemos de los métodos de las rebanadas).

N' Resultante de las presiones efectivas 6 intergranulares que -

actuan en AB. Solo sabemos que es normal a la línea de rotura

y que pasa por 0.

T Resultante de las fuerzas tangenciales que actuan en AB, suma

de las de cohesión y rozamiento, Tc y T�. Admitiendo el criterio

de rotura de Coulomb es:

R� �c . dl

Suponiendo c y constantes a lo largo de AB es:

A ¿S

Rc . Tomando momentos respecto a 0, es inmediato comprobar que su -

brazo es:

9 -A

y además es paralela a la cuerda AB (pues AB es la resultante del

112

r cR

0

A8

B

T

N Circulo de rotura

Fig. 2.30 Superficie de rotura circular

113

polígono de fuerzas de cohesión a lo largo del arco AB).

R De esta fuerza sólo sabemos que es normal y que está aplicada

en el mismo punto que N', desconociendo su brazo r respecto a 0.

El problema tal y como lo hemos planteado está indeterminado no

pudiendo resolverse con las 3 ecuaciones de equilibrio.

La forma de resolver esta indeterminación es la que distingue a -

un método de otro, pero en general, todos tienen en común el presuponer

una ú otra forma de la distribución de las presiones efectivas en la su

perficie de deslizamiento.

METODO DEL CIRCULO DE ROZAMIENTO

La hipótesis característica de este método, y que resuelve la in-

determinación planteada en el anterior párrafo, consiste en suponer que

N' está concentrada en un punto del arco de rotura, es decir r = R. En

efecto, con esta hipótesis el problema queda resuelto (Figura 2.31).

Tomemos un valor arbitrario del coeficiente de seguridad respecto

a la resistencia tangencial por rozamiento, sea F�. Con este valor, la

resultante de N' y T formará un angulo $' con la normal al círculo tal

que:

o lo que es igual, (N' + T será tangente a un círculo de radio R. seno'

y centro 0, conocido como círculo de rozamiento.

Por el punto X (Figura 2.31b), intersección de las líneas de acción

de Tc (paralela a la cuerda ÁB y de brazo rc) y de (W + U), deberá pasar

(N' + T), y como además es tangente al círculo de rozamiento, su direc-

rc = R AB / AB

�4

R

rt�cirrulo de rozamiento

A 0 R•sen

0) i /

T

N'+ TV

0 Tc �Lineo circular de rotura

recta acción (N'+Te)

rc

I A R \ 0R se4

recta acciónB

X

d) c)Fc

1N,+1�1

rt

c J

F

Fí,;. ' .31 Método del cí rci.ilo dto rozini i o .

118

Para una distribución uniforme y para una distribución con valo-

res nulos en los extremos del arco y con una variación sinusoídal entre

ambos puntos, TAYLOR (1960) da este valor de K en función del, ángulo -

central 2 e , siendo los valores que se representan en el gr.á(ico de -

la figura 2.33.

CIRCULO DE PETTERSON

Hasta ahora hemos estudiado taludes homogéneos, analizando el caso

general de terreno con c y 0 distinto de cero.

El método de Petterson (Figura 2.34a) es una simpl.íficaccíón del -

anterior pues supone 0 = 0 (terreno con ángulo de rozamiento interno -

nulo).

El estudio de este procedimiento es similar al. que se hizo en el

caso del círculo de rozamiento, pero al ser T0 = 0 la fuerza (N' + T0)

se reduce a N', construyendo el polígono sin dificultad (Figura 2.34b).

La solución análítica de este procedimiento es sencilla. En efec-

to, tomando momentos respecto a 0 (figura 2.34a), llamando r al. brazo

de W es:

despues de sustituir queda:

c.R. .45W

119Fig. 2.33 Método de Tavl.or.

20! ,, I Valór.es de K en funci�)n del ángulo

central para distribuí-,iones:1.12

IA C.n lo <•.11; �.1�i ! f a) uniforme

1.08b) con valores nulos en los

100 i..-..- - extremos del arco y sinusoídal0 20 40 l10 dJ h,J 120

Anglo rl m-i :,ad- entre estos ex t remos .

recto occión N'

CR ��IO

a) i !

recioocc .off

J8

b/N' }

G

Tc

Fig. 2.-34 Método del círculo de I'etterson.

Abacos para el análisis con superficie de rotura circular

121.

CIRCULO CRITICO EN UN TERRENO PURAMENTE COHESIVO (0 = 0)

Considerando el caso de un talud en un terreno puramente cohesivo

(0 = 0), de peso específico (i , vamos a suponer, que el círculo de pié

AB de la figura 2.35, sea un círculo de rotura tomado arbitrariamente.

Más adelante vamos a entrar en el. caso más general de que sea o#0,

pero por ahora haremos esa simplificación.

Sí el ángulo del talud es i, su altura H, y si definimos el cir-

culo AB por el ángulo o( que forma con la horizontal la cuerda AB y por

el ángulo en el centro 219 , podemos establecer el equilibrio de toda -

la masa deslizante (que en la figura 2.35 hemos rayado). En efecto, to-

mando momentos respecto al centro de la circunferencia, para lo cual con

síderamos que las fuerzas actuantes son el peso de la masa deslizante -

y las resistencias tangenciales sólo de cohesión, que como sabemos será

igual a la cohesión por unidad de longitud del área de deslizamiento.

De la ecuación de momentos resulta el valor de la cohesión reque-

rida cr para que el talud permanezca en equilibrio, siendo:

Cr - �• N • en2e • ser. ! ---- - 2.._ - fe 2./9ty{ je ¿

2 9,,1 • / / 3 t1 21

Es decir, para que con este círculo (definido por c{, y 6 ) el -

talud sea estable, el terreno debe desarrollar una cohesión cr

dada por

la expresión anterior, esto es , como una función de cY , 11 y de 1/r(L,o<,e)

Como a( , H, i son constantes, la superficie de deslizamiento ven-

drá dada según:

122

c Cr

Resolviendo esta ecuaciones resultan dos expresiones del tipo:

z�̀7

Eliminando entre estas dos últimas ecuaciones el wilor de -.C re-

sultaría una ecuación en 9J . Como en las dos expresiones anteriores es

molesto despejar d� , resulta más comodo, obtener los puntos comunes de

ambas curvas para cada valor de i, haciendo variar los de c . . De este -

modo obtenemos al. final las curvas

oC - r13

que son las indicadas en la figura 2..36.

Con los valores de o< y 8 obtenidos para cada valor de i, pode-

mos entrar en la ecuación que definía la cohesión obteniendo:

Con esta expresión obtenemos el. número adímensional llamado factor

de cohesión y definido como:

c

Para un talud en el que se conozca su pendiente i, el peso espe-

cifico Y y la altura H, la cohesión critica ccri

(mínima necesaria para

asegurar la estabilidad del talud) es:

123

0

B

21 �

2.35 Notación empleada cuando el c í rcu i c.i d r t u r i I,,csa

por el pié del Cabal.

60°

50

40°

30°

20'--

lo

00 100 200 300 40° 50° 60° 701 80°

I'iq. 2.36 Angu1c.s eC 9 que clec incn el cír(uio críCiro

de pié.

124

De igual modo sí son datos í, (Y y cela altura critica del talud

viene dada por:

Los valores del factor de cohesión para nuestro caso de terreno -

puramente cohesivos han sido obtenidos por FELLENIUS (1936) y TAYLOR -

(1937) resultando los valores representados en el gráfico de las figu-

ras 2.37 y 2.38, gráficos que seguidamente analizaremos.

(un ábaco similar puede encontrarse en TERZACHI (1956)).

ABACO PARA TERRENOS PURAMENTE COHES IVOS (0 = 0)

El determinar la superficie circular de rotura crítica ele un talud

precisa (le bastante juicio ingenieri1, ndeir�:ís ele una obsc rvacic>n de otros

deslizamientos en condiciones análogas, pues como veremos la definición a

priori del posible circulo de deslizamiento precisa de ese criterio.

En los ábacos que vamos a exponer seguidamente trabajaremos con -

un suelo homogéneo y sin presiones neutras.

Para la investigación del ábaco de Taylor de la figura 2.37 pode-

mos fijarnos en los siguientes casos:

a) Para taludes muy escarpados, esto es con ángulos de talud í ma-

yor que 60°, el círculo de deslizamiento será superficial de -

pié (ver figura 2.39), viniendo dado el número de estabilidad

por la curva de 0 = 0° dentro de la zona A.

b) Si el ángulo del talud está entre 53°y 60°el círculo será pro-

fundo de pié (ver figura 2.39), el número de estabilidad viene

dado por la curva continua de 0 = 0 de la zona B.

125

0.35

11 lis +W4H4

0.30

0.25 _ .}m G

= Ñ1�.

o--

.20oo

ñ �O�=0 D=

0 0.15vE

0.10

0050ó -

00 lo 20 30 40 50 60 70 80 90

Anguio de pendiente i

2. 57 Abaco de 1',ivlrr luir.i l:i ohLen ícín

de los ndnneros de esL i i l i<la�l.

126

Zona B Zona A

Diferentes tipos de círculos críticos Diferentes tipos de círculos crí

para situaciones en la zona B ticos para situaciones en la zo-

na A

círculo de talud

círculo profundo de pié J-77-irculo superfi -

círculo profundo¡al de pié.

Las líneas continuas corresponden a - Para situaciones con i y ;fi en és

círculos críticos profundos de pieta zona los círculos críticos se

-rán superficiales de pié y se re

Las líneas a trazos largos correspon-presentan en la zona A con líne -

den a círculos críticos profundos..Enas continuas.

el caso de 0 = 5°la línea aislada -

continua corresponde a los círculos-

peores profundos de pié ( no crítí -

cos ), pero podría tomarse como crí-

ticos quedando del lado de la segu-

ridad.

Las líneas a trazos cortos correspon

cien a casos de limitación de D

Fíg. 2 . 37 Abaco de Taylor para la obtención de los números de estabili-

dad. Explicación.

53o0.18

L27I-L

0.17

4tiv0.16

0.151-u

D0.l

0.13 O

0 -1L_y Ni 1 1 1 1 1 1

Z 0.12

0.11

0.10-

0'092 3 4

Factor de profundidad D

2.38 Abaco ele TayIor p.lra rírru1os pro(un os

irculo superficial de pié

Circulo de talud

Circulo profundo de pié

Circulo profundo

Fig. 2 .39 Diferentes tipos !e c•:rrccu.los ele des.1z iinic•nto

128

Sin embargo, puede suceder que exista un estrato duro y que limi-

te en profundidad a ese círculo ya que tendría que ser tangente a ese -

estrato. En ese caso el círculo podría ser del tipo de talud (ver Figu-

ra 2.39).

Pero si í > 53 la influencia en el número de estabilidad de con-

siderar 6 no ese estrato es escasa.

c) Si el ángulo del talud es menor de 53°pueden suceder los siguien

tes casos (ver notación de la figura 2.40):

No existe ningún estrato que obligue al círculo a ser tangen-

te al mismo. (es decir, ni n ni D están limitados).

Sucede en este caso que el círculo crítico tiene de radio in-

finito y número de estabilidad 0,181, obteniéndolo del ábaco

de la figura 2.37 en la línea a trazos largos correspondiente

a 0 = 0.

Existe un estrato que limita solamente la profundidad del cír-

culo (es decir D está limitado y n no lo está).

Según la figura 2.37 el círculo será profundo o de talud, de-

pendiendo de la profundidad a que obligue ese estrato que lí-

mite D. Normalmente será un círculo profundo con su centro en

la vertical del punto medio del talud (caso de que el. círculo

sea de talud su centro ya no se situa en la vertical del. pun-

to medio).

Todas las lineas de la figura 2.38 han sido obtenidas con 0 = 0,

y esta figura nos va a dar el número de estabilidad entrando con

el factor de profundidad. En las lineas a trazos nos dan los va-

lores de n que corresponden a ese círculo. Queremos advertir que

si D está muy cerca de 1 el círculo puede cortar al talud, resul

12 9

02A

H nHDH

d 1

A

110 0 47.(i 15.1 ¡ 0.2ú15 SO 14 0. 23:1lO 53 13.5 0.2l15 5(; 13 0 . l t 1!,20 SS (2 0.1,'225 (;0 11 0. 110

7,5 0: -11.5 0.21 9};i 2:i ! (1.111;1

10 17.3 23.5 ¡ 1 0.I -¡ :l1 5) 50 2320 53 22 0. 1:: }25 56 22 0.117

GO 0 35.3 35.l 0.1915 35.5 3d 5 0. 162

10 11 33 ..... 0.13,15 {1 31.:; 0.11(1,20 4G 30.2 ¡ 0.11!173;í 5O 30

(3 0 25.2) (1{.7) (1.11022 (1.170,t, :31.2 .12.1 1.1)21 ; (11::+1I0 31 7l5 3G.1 37 2 1.11112U :)5 31.5 . ... (1.((.225 •10 31 0.0 ; ;

:;(1 ¡ 0 120) (33. 11 .. . 1 I :1(11) (0. I:d't1 ('_':1) (.(�1 1 1111! !ll.l lllr

1 20 53 0. '.i I S:)'> 0. 11111n 25 l1, I.n'.r2 0

27 S!1 .... I-11;; (1 ((02u ?.ti :31 1.003 01�2525 2!, 25 0()i,.1

15 0 í 10.1;) (60.7) '12117) (11. 11:)l ( 1) (.I7) 1 .519) (0-(111, i

r ll,n�n1.1;! -'t II -{75 0—^,-,(1.222)

10(1-1) (:31,).1.4 34 0.(11 1.11.1;2.)

"Podo; lo,' ) 0 t;G.X (I.1 lValot'cs- .1

.Los ntin�n,. entro parí•ntesi , son los valores para 1- circulo. nsis 1..'lo'''

a Ir•rv� a L: l.u , i u.tndu exi,ta w, circulo toas peligroso. m t' pa>r drbaju dc{ pis:

Un vaor cntico ,r profundidad infinita.

Fig. 2.40 Notación empleada y definición del círculo crítico.

1.30

tando n negativo ( no situándose su centro en la vertical del pun-

to medio del talud).

Si el plano de estrato duro está a la altura del pié del talud -

resultará que D = 1, viniendo representado este caso por la li-

nea a trazos cortos de la figura 2.37 correspondientes a 0 = 0°,

D = 1.

Existe una limitacidh de n pero no de la profundidad (n limita-

do, D ¡limitado).

Taylor limitó su estudio al caso en que n = 0, por lo que todos -

los círculos serán de pié (ver figura 2.39). Al no haber limitación de

D estamos en los casos a y b antes vistos , esto es , el número de esta-

bilidad vendrá dado por el ábaco de Taylor por la línea continua 0 = 0

en las zonas A y B de la figura 2.37.

Existe una limitación tanto de n como de la profundidad (n y D

limitados).

Igual que en el anterior, Taylor sólo estudió el caso de n = 0,

esto es , los círculos serían de pié profundos tangentes al estrato du-

ro y su número de estabilidad vendrá dado por las lineas a trazos de la

figura 2.38.

CIRCULO CRITICO Y ABACO EN UN TERREO CON 0 # 0

Acabamos de ver las ecuaciones y la utilización de los ábacos para

investigar la estabilídad de un talud en un terreno puramente cohesivo,

es decir , con ángulo de rozamiento interno igual a cero.

El caso más general de un terreno que resista tanto por cohesión

como por rozamiento, se plantea y resuelve de forma similar al caso que

acabamos de ver. En efecto, en el caso de 0 = 0 obtuvimos que la cohesión

131

necesaria ccrí para asegurar la estabilidad del talud de altura H y -

densidad de las tierras ó , venia dada en función de i, , y 6 (ver

la notación en la figura 2.35); si 0 # 0 trabajando de igual modo lle-

garíamos a obtener ccri

como una función de las variables anteriores y

además de 0, es decir, sería:

y de igual modo a como hacíamos en el caso de Ql = 0, si í, ó- y e son

datos, la altura crítica del talud viene dada por:

Felleníus demostró el teorema que lleva su nombre. Dice este teo-

rema que un talud en un terreno con 0 = 0 y c = constante, definido por

dos planos horizontales, tendrá como círculo crítico profundo aquél que

tenga su centro en la vertical del punto medio del talud y radio máxi-

mo, o si el talud es irregular, su centro estará en la vertical de su

abcisa media. La demostración de este teorema se obtiene después de -

simples consideraciones geométricas, pudiendo encontrarse en JIMENEZ,

MOLINA, CASTILLO (1974).

El teorema de Fellenius antes citado nos ha permitido afirmar, -

que en el caso de 0 = 0 los centros de los círculos profundos se encuen

tran en la vertical del punto medio del talud.

Como ampliación del teorema de Fellenius para el caso de ser 0 � 0,

puede demostrarse que los centros de los círculos críticos de desliza-

miento estarán en el lado del deslizamiento del talud de una linea, lugar

geométrico de los centros de los círculos de rozamiento de radio R sen 01

que son tangentes a la vertical del punto medio del talud, esto es, los

centros de los círculos críticos estarán en la zona rayada de la figu-

ra 2.41. Sí los círculos son profundos los centros estarán en ese lugar

132

H/2

Fig. 2 .41 Lugar geométrico de los centros ele 1.o:;

círculos críticos.

133

geométrico, es decir, los círculos de rozamiento serán tangentes a la -

vertical en el punto medio del talud.

Para el caso que ahora nos ocupa de 0 � 0 analizaremos el ábacode la figura 2.37.

A) Para valores de i y 0 situados en la zona A del gráfico, los

circulos serán superficiales de pié, los números de estabilidad en ca-

da caso se obtienen sin problemas. Observamos que para 0 mayor de 24°

el círculo es siempre superficial de pié.

B) En la gráfica de 0 = 5° y en la de 0 = 10° vemos que tienen un

tramo continuo y otro a trazos largos (correspondiendo el limite a i =

33° e i = 16° respectívamente ), así como la de 0 = 15° y 0 = 20°la -

tienen continua. Los valores correspondientes a los tramos continuos,

los círculos críticos serán profundos de pié (por lo que se deduce que

para 0 mayor de 15° los círculos son profundos de pié).

C) En la gráfica correspondiente a 0 = 5°vemos como debajo de la

linea a trazos largos existe un tramo continuo. El tramo continuo re-

presenta los círculos peores profundos de pié, que no son críticos, -

siendo los críticos los profundos representados en la gráfica a trazos

largos.

Como puede apreciarse la diferencia en el número de estabilidadentre considerar el peor profundo de pié (linea continua) 6 el críti-co (que es profundo y representado por la linea a trazos largos) es -pequeña, y además el considerar el crítico nos deja del lado de la se-guridad, motivo por el que para 0 = 5° seguiremos empleando la linea -continua.

En todos estos casos, el considerar que no hay limitación de n -está del lado de la seguridad , y ademas el número de estabilidad difie

re poco.

134

D) Si hay limitación de n, ya hemos visto que si no consideramos

esta limitación estaremos del lado de la seguridad.

Si hay limitación de la profundidad por un estrato duro podemos

decir que es favorable , quedando del lado de la seguridad si no lo con

sideramos , es decir , si suponemos que D es ilimitado . De todos modos,

en el caso de i = 15°y 0 = 5° y 10°con D=1 puede considerarse. Sí D > 1

el caso se aproxima mucho al de D =00

Es muy importante señalar que el considerar limitaciones de n y

D cuando no se sepa con certeza que así es , nos deja del lado de la -

inseguridad , por lo que si se tuvieran dudas a este respecto se consi-

deraría n y D ilimitadas.

Abacos de Hoek y Bray

136

INTRODUCCION

En el libro de HOEK, BRAY (1.977), figuran unos interesantes ábacos

para el cálculo de un talud caso de producirse el deslizamiento según un

círculo, y suponiendo una distribución de tensiones normales en la super

fície de deslizamiento que dá el menor valor del coeficiente (le seguri-

dad. Como sabemos esa distribución corresponde a suponer que la fuerza

normal resultante está aplicada en un punto.

fiemos considerado de gran interés hacer una breve referencia del

trabajo de estos autores, pues a diferencia del trabajo ya citado de -

Taylor, Hoek y Bray han obtenido unos ábacos, de utilización muy sencí

lla, y que suministran un interesante caudal de información,

CONDICIONES HID RÁULICAS DEL TALUD

Para el estudio del talud se supone el nivelfmz.ático conocido, -

admitiendo que ese nivel coincide con la superficie del talud a una -

distancia X medida como se indica en la figura 2.42, y expresada en -

múltiplos de la altura H del talud. La geometria del. nivelfrer"itico se

obtiene según la ecuación de Casagrande.

En este trabajo se supone que el círculo de deslizamiento pasa por

el pié del talud, y que existe una grieta de tracción, que es aquella que

hace mínimo el coeficiente de seguridad del talud.

Para obtener el coeficiente de seguridad del talud, lo primero que

tenemos que hacer es comparar la situación real de nuestro talud con -

una de las 5 que se indican en la figura 2.43. Estos casos abarcan desde

el caso de un talud sin presiones neutras hasta el de un talud totalmen-

te inundado, con un régimen definido de filtraciones.

137

a) nivel íreático

h Lineas equiporencíales

lineas de corriente

circulo de deslizamiento

angulo del talud

Superficie de recarga debido alluvias persistentes

grieta ele tracción

circulo de deslizamiento

Fig. 2. 42 Definición de la red de flujo en el terreno.

a) Caso general de talud con una determina -

da red de flujo

b) Caso del talud saturado sometido a una red

de filtrací6n como consecuencia de la ac--

ción de lluvias persistentes.

CONDICIONES HIDRAULICAS DEL TALUD CASO NUMERO

2

3

4

0 0 . v o

Fig. 2.43 Diferentes situaciones hidráulica:; del talud

estuclíado.

Caso 1) Talud compl etariente d rc±ui(1c,

Caso 2) Dístacía x igual a 8 vc(•(:; la al¿ura del. talud

Caso 3) Dístancía x igual a 4 veces la altura del talud

Caso 4) Distancia x igual a 2 veces la al Cura del talud

Caso 5) Talud saturado supuestas .1.1uvias persistentes

139

ABACOS PARA LA OBTENCION DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD

Una vez definido el caso que nos ocupa según 1 . a figura2 .4 3 entra-

mos en el correspondiente ábaco de la figura 2.44. Como (-, c y

son datos calculamos

c

Entrando con este valor en el correspondiente gráfico de la figu-

ra 2.44 (habrá que buscarlo en la linea circular exterior de dicho ába-

co) y trazando la línea radial desde el origen del ábaco al punto antes

obtenido , donde esa línea corta a la curva correspondiente al ángulo del

talud nos dará t9 ojF ó % NF según nos interese.

ABACOS PARA LA OBTENCION DE LA GRIETA DE TRACCION Y DEL CIRCULO CRITICO

Para la ubtenci6n de la grieta y círculo de deslir:nniento crí�ícus,

es decir, aquellos que hacen el coeficiente de seguridad igual a 1, Hoek

y Bray han elaborado unos interesantes ábacos de fácil utilización.

En caso de talud perfectamente drenado los resultados se indican

en la figura 2.45. Si el talud está sometido a un régimen de filtracio-

nes, la posicí5n del círculo y grieta de tracción varía poco con las -

variaciones del régimen hidráulico , motivo por el que sólo se tia repre

sentado un gráfico , correspondiente al caso 3° , que se indica en la fi

gura 2.46.

140

0 .012.0

.02 .03 .0405

.06.07

.08

1.8.09

.10.11

.1213

1.6 .14.15 YH.Tan

1617

/ 181.4 .19

.20

1.2 Y /1.25

Tan \1 A/11 A/F

301.0 S-T- - 90°

0.845an U. (0) del t50

0.6

'. - .70

0.4n

801,5

ó

0.2 rr20

4.0

CD0 .02 .04 . 06 .08 .10 .12 .14 .16 .18 .20 .22 . 24 .26 .28 .30 .32 .34c

YHF

Caso 1 ) Talud totalmente drenado

Fig. 2.44 Diferentes situaciones hidráulicas del talud estudiado.

141

0 .01 .022.0 03 .04

0506

.0708

1.8 .09ao

.,1- - - .12

.13,.6 14 C

/ 15 YH.Tan+16

.17

1.418

- I .1920

V 11.225

Tart - f

1.0 9o°30

7 7.35

0.11 .40

í _ atrgulo del tá d .45

50

.70

0.11 -80.901.0

0.2fj/�/, 21.5.0

4.0

0 CO0 .02 .04 . 06 .08 .10 .12 .14 .16 .18 .20 .22 . 24 .26 . 28 .30 .32 .34

eYHF

Caso 2 ) Distancia x igual a ocho veces la altura del talud.


142

0 .012.0

.02 . 03 .04.05

.067

_08

1.8 1t 09.10

.1112

i 13.14 C1.6

.15 YH.Tan/ 16

.17.18

1.4 .19.20

1.2 .25Tan / /

Fvoo

% .301.0

35

/ngulo del t 1 d 4 0

45

/ 6o í 50

0-6-70� 60

á 70

0.4 a 90

0211/ 2.0ISN

-1.5

4.0

0 - a0 .02 .04 .06 .08 .10 .1 2 .14 . 16 .18 "20 . 22 .24 .26 .28 .30 .32 .34

cYHF

Caso 3 ) Distancia x igual a cuatro veces la altura del talud.

Fig..: 2.4 4 ( continuación)

143

0 .01p.2.0 04

.05.06

0708

1.8 J

..

.09.10

i 11_ 12

.131.6 7 f _ 14.15 YH.Tan+

16.17

1.4 .19.20

1.225

Tan

1.0 30

.35�7 7'

0.8 \- .40

í ea angulo del táltd 45

o.(¡so

60.70

0.4 80.901.0

1.5

: f - 2.0

4.0

0 .02 .04 .06 .08 .10 .12 .14 .16 .18 .20 .22 .24 .26 .28 .30 .32 .34c

YHFCaso 4) Distancia x igual a dos veces la figura del talud.

Fig. 2.44. (contínuacíón ).

144

0 .01 .022.0 .03 .04

.0506

0708

1.8.09

- - - - - .1011

.12.13

1415 YH.Tan+

� .t6.17

.181.4 .19

.20

L2 / .25

TanF / .30

7/ 77-7� angulo de-1' talud

0.8800 45

---50

0.6 r, r= f ad/ ��j '" 60

70ao

'

/iJ

.- 00.4

/.:. , 1.5�r í

2.0

4.0

U a0 .02 .04 .06 .08 . 10 .12 .14 16 . 18 .20 .22 .24 .26 . 28 .30 .32 .34

YHF

Caso 5 ) Talud saturado en la hipótesis de lluvias persistentes


00 1 0 20 30 40 50 60 70 80 90

Localización de la grieta de tracción

X

centro del círculo crítico (F = 1) 145

HbH

Prieta de tracción

Y H

círculo de deslizamiento de pié

distancia X-3H -2H - H 0 H 2H 3H

4H 4H

200 a> o o10

3H 0 0 / 3HI �

ro angul d e. l t_l 0° �� itio5 00ro 2H / 2H

600 / i

70800

H / H

00 6040 30 20

V07

S0 100 angulo del talud-3H -2H -H 0

Situación del centro del círculo crítico de pié

0.4

1000.3

so" 0.2

200 300

0.1 -

400

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90


Fig. 2.45 Posición de la grieta y centro del círculo de

deslizamiento crítico en un talud con drenaje

completo.

146

xcentro del círculo Crítico (F = 1)

H bH

nivel freitíco

Y H grieta de tracción

círculo de deslizamiento de pié

Distancia X-311 -2 11 -H 0 11 2 11 311

411 1 1 1 4H

3H 3H00

9+ 20°'r'

C

ro 211 211angul del talud 30011.

00 6ó0 50040

800H

0=600-5QÓ

8/60/ 30 20

�0 70 S010

0-3H -2H - H 0 angulo del talud

Situación del centro del círculo crítico de pié

0.4$=10°

0,3

c=20°�c 0.2

=30

0.1 =40° �=so0 =600 1o 20 30 40 50 60 70 80 90


Fig. 2.46 Posición de la grieta y centro del círculo de deslizamien-

to crítico en un talud, sometido aun rQgímen de fíltracio

nes como cl '.del caso 3 de la fig. 2.44

2.3.4.- Método de la linea de rotura espiral logarítmica .

Origen é.hipótesís fundamental de este método.

Definición y principales propiedades de la curva espiral

logarítmica

Aplicación al estudio de la estabilidad de taludes.

Comparación con el método del circulo de rozamiento.

148

ORIGEN E HIPOTESIS FUNDAMENTAL DE ESTE METODO

En el análisis de estabilidad de taludes , dentro de los métodos en que

se supone conocida la línea de rotura merece especial estudio el " método de

la espiral logarítmica".

J. Berneuilli adoptó la espiral logarítmica como el prototipo de la -

constancia y el símbolo de la resurecci6n : quia curva mirabilís ín ipsa muta

done semper sibi constantissíme manet similis et numero eadem , poterit esse

vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus, vel etíam carvis nostrae,

post varios alternationes et tandem ipsam quoque mortem, ejusdem numero resu

rrecturae symbolum ; adeo quidem irt si Archimedem imitandi hodie nunc consue

tudo obtineret , libenter spiram hanc tumulo meo juberem incidí cum epigraphe:

Eadem mutua resurgo. Acta eruditum 1962 (Espasa (1924).

Este metodo supone que la línea de rotura es una curva de tipo espiral

logarítmica . Las razones para ésta hipótesis son fundamentalmente dos: la prí

mera es por consideraciones geométricas , pues el análisis queda algo simplifi

cado, más tarde lo veremos ; la segunda se basa en la incertidumbre de definir

inequívocamente la geometría de la línea de rotura en un deslizamiento real,

por lo que es tan correcto suponerla circular 6 espiral.

DEFINICION Y PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA CURVA ESPIRAL LOGARITMICA

Las primeras referencias sobre esta curva se deben a Descartes (1638)

y Berneuilli ( 1691 - 1692).

Se define la espiral logarítmica (COMES ( 1905 )) como la curva que cor

ta a todas las rectas situadas en un mismo plano y que parten de un mismo -punto llamado "polo u origen", formando con ellas un angulo constante (figu

ra 2.47 ), la ecuación es:

e•f9�sao e

149

siendo

r = radio vector de punto Br = 11 II II A

oe = ángulo del arco AB

0 = ángulo característico de la espiral.

Para 0 < 9 <oc , la curva parte de A, y dando un número indefi-

nido de vueltas se va alejando del polo. Para 0 > 0 > -cla curva parte

tambien de A y dando un número indefinido de vueltas se va acercando al

polo.

Algunas características de esta curva son (figuras 2.48, 2.49 y -2.50).

Area descrita por el radio vector al recorrer un ángulo 0

2 2

!. fqfó

Longitud del arco AB:

sen

Radio de curvatura R en un punto:

R= rcos 0

La longitud de la normal es igual al radio de curvatura.

De estas dos últimas propiedades se deduce que el centro de curva-

tura C, correspondiente al punto P, se obtiene por intersección de la -

150

Y

polo

r0 A

x

B

Fig. 2.47.- Curva espiral logarítmica y normal en un punto de la misma.

Y

0

x

A

rz

r

iB = AB

Fig. 2.48.- Longitud y área entre dos punto A y B definidos por sus

radios de una espiral logarítmica.

151

o

C

r

y

r�

P

Fig. 2.49.- Obtención del centro de curvatura de una espiral logarítmica

en un punto.

Evoluta

Fig. 2.50.- Evoluta de la espiral logarítmica

152

normal a la curva en P con la perpendicular a esta desde el polo.

La evoluta ( o lugar geométrico de los puntos C ) es otra espiral

logarítmica de ecuación:

1 -o ea 193z5

siendo

Las coordenadas del punto C son:

rc =r.fy�

En la figura 2.51 hemos reproducido alguna de estas curvas.

153

r =r° sorgo

¢= 3i° 34° - 36° - 38 1 - 40°

bP /

0Y006

o\L

I \ 3��

iao

Fig. 2.51.- Curvas espirales logarítmicas. Sobre cada radio se indica

el correspondiente valor de b.

154

APLICACION AL ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE TALUDES

Los trabajos publicados relativos a la aplicación de este método

son muy escasos, siendo tratados de forma general en casi todos los tra

tados de estudios de estabilidad de taludes, pero pocos autores han pu-

blicado estudios específicos y en profundidad sobre este tema. Así, EN-

TRECANALES (1941), KEZDI (1974), JIMENEZ, JUSTO, SERRANO (1976), hacen

una breve 1 interesante exposición de este método.

La idea de introducir la espiral logarítmica como linea de rotura

tuvo su origen en Rendulic, según un trabajo publicado en 1935. Un estu-

dio muy completo es el de FROHLICH (1953).

Admitiendo la hipátesís de Coulomb, la resistencia tangencíal pue-

de expresarse como:

Cuando estudiamos el método del círculo de rozamiento ya utiliza-

mos esta notación y vimos que suponiendo un coeficiente de seguridad F

era:

De aquí podíamos afirmar que (N' + T formaba un ángulo 0' con

la normal al círculo de rotura.

La originalidad del método de la espiral logarítmica es suponer -

una linea de rotura no circular, sino "espiral logarítmica", definida -

precisamente por ese ángulo 0' . Según la definición de esta curva la

fuerza (N' + T) pasará por el polo, lo que nos permitirá, tomando momen

tos, hacer este problema estáticamente determinado.

155

Supongamos (Figura 2 . 52) la línea de rotura AB. Sobre la masa desli

zante ( sombreada en la figura ) actuarán las fuerzas:

W = peso total

U = resultante de las presiones neutras que actuan en AB.

T = T + Tc , resultante de las fuerzas tangenciales que actuan en AB.

N'= resultante de las tensiones efectivas en AB

(no consideramos otras fuerzas (sobrecargas , sísmicas , etc.) pues -

como veremos no serían difíciles de introducir en el cálculo).

La fuerza ( W + U) es totalmente conocida . R sabemos que es paralelac

a la cuerda AB (pues esa cuerda es la resultante del polígono de fuerzas de

cohesión a lo largo del arco AB); su brazo rc respecto de 0 también es co-

nocido, pues tomando momentos respecto a 0:

si c es constante , como Rc = c. !B_ y ds . cos = r . do queda:

r c 4B c ¡r? de

como r viene dado por la ecuación de la espiral logarítmica, queda después

de integrar:

2 2r = r -

Respecto a (N' + T pasará por 0 y por el punto P , intersección de -

las rectas de acción de (W + U) con T .c

De este modo ya podemos dibujar el polígono de fuerzas. Por medidas -

directas en este obtenemos Tc y por lo tanto Fc pues:

156

ora

A

r

\\� Superficie de deslizamiento

de,

1 \r W+

PN'+T

Tc

p

(N'+T

a

Fig. 2.52.- Análisis del equilibrio de un talud suponiendo una curva

de deslizamiento espiral logarítmica.

157

F ^ R� _ �. QBr� T

Así pues , tomando arbitrariamente un valor de F (que permitid obte

ner 0' y con ello la espiral ) hemos obtenido el correspondiente valor de

Fc

. Con el mismo 0', es decir con la misma espiral , y variando su posición

obtenemos otros valores de Fc

. La superficie critica es aquella que dé un

mínimo valor de Fc , y el coeficiente de seguridad real Fcr respecto a la

cohesión no puede ser superior al Fc

calculado . En efecto, si Fcr

es mayor

que Fe obtendríamos un valor de Tc menor ( según la última formula ), sien-

do también menor el momento estabilizador , no pudiendo verificarse la con-

dición de equilibrio.

El paso siguiente sería ensayar otras espirales ( es decir , variar 0')

obteniendo los correspondientes pares Fc , F La solución corresponde a -

aquella espiral en tal posición en que se cumpla

,C-= 9 = £

En el caso 0 = 0 (terrenos solo con cohesión ) la ecuacídn de la espi-

ral se transforma en r = ro

, una circunferencia . (Ver el círculo de Petter-

son).

COMPARACION CON EL METODO DEL CIRCULO DE ROZAMIENTO

El análisis que hemos visto con la hipótesis de curva dá deslizamien-

to espiral logarítmico de resultados muy parecidos a los que se producen con

superficie circular.

En efecto , TAYLOR ( 1960) obtuvo los números de estabilidad

para taludes con angulo de inclinación i desde 15 a 90° para diferentes va-

lores de 0', obteniendo los resultados más abajo indicados en los que puede

apreciarse la gran similitud en ambos casos.

C' /y.lfi -- -

círculo espiral 158

90 0 0,261 0,261

5 0,239 0,239

15 0,199 -

25 0,166 0,165

75 0 0,219 0,219

5 0,195 -

15 0,152 -

25 0,117 -

60 0 0,191 0,191

5 0,162• 0,162

15 0,116 0,11.6

25 0,079 0,078

45 0 *0,170 *0,170

5 0,136 -

15 0,083 -

25 0,044 -

30 0 *0 ,156 *0 ,156

-5 *0, 110

15 0,046 -

25 0,009 0,008

15 0 *0,145 *0,145

5 *0,068 *0,068

10 *0,023

(Los valores corresponden todos a cir

culos críticos que pasen por el pié del

talud. Cuando se tenga un circulo más

profundo y más peligroso los resulta-

dos se indican con un asterisco).

159

SPENCER (1969) también hace esta comparación resolviendo los dos -

interrogantes, primero ver si la espiral resulta ser una superficie más -

crítica que el círculo y, segundo suponiendo que sea la espiral ver si es

correcto el suponerla definida por el ángulo de rozamiento del terreno. -

La forma de proceder para su trabajo fuá empleando un sistema de cálculo

por él desarrollado (ver SPENCER (1967)). El coeficiente de seguridad F

lo define como venimos haciendo, es decir, aquella cifra por la que hay -

que dividir los parámetros resistentes del terreno (C y 0) para que el -

talud se encuentre en equilibrio. En el análisis se ha supuesto que el -

ángulo que define la espiral es precisamente 0, de manera que no inter-

viene como variable. Los resultados más abajo indicados corresponden a -

un ángulo del talud i de 71,6° (talud 3:1) y 76,0° (talud 4:1), en los

que se han supuesto valores del número de estabilidad C / Y•-i de 0,025

0,05 y 0,1, con angulos 0 de 20°, 30° y 40°

Coef. de seguridadC/"yH Angulo de. la espiral 4 -~-

0 15 30 45

71,6 20 0,025 0,853 0,853 0,854 0,855

20 0,05 1,090 1,091 1,093 1,09820 0,10 1,504 1,510 1,519 1,539

30 0,05 1,457 1,458 1,459 1,462

40 0,05 1,886 1,886 1,887 1,889

76,0 20 0,05 1,330 1,331 1,333 1,339

De esta tabla se deduce que para un fd dado el coeficiente de segu-

ridad aumenta al hacerlo el ángulo de la espiral 9) , de forma que el cír-

culo crítico corresponde al valor Y = 0, es decir, al caso de ser deslizan

te circular. También se deduce que no está justificado adoptar como ángulo

de la espiral el valor de 0.

160

Centro de¡ Circulo

41 =30°�-- Centro de lo espiro¡

30°

i

30° 41 c 00

Fig. 2.53.- Círculo y espiral logarítmica críticos, según los resultados

obtenidos por Spencer.

161

Otra notable conclusión que se deduce de esta tabla es la mostrada

en la figura 2.53. Para diferentes valores de la superifíce critica -

es siempre la misma , por ejemplo para =0 y Y)= 30

Por todos estos motivos hemos decidido no profundizar más en el aná

lisis con la hipótesis de curva de deslizamiento espiral logarítmica, pres

tando más atención al método de superficies de deslizamiento circulares.

2.3.5. Método de la linea de rotura cicloide

ESTUDIO TEORICO

Introducción. Origen del método de la cicloide.

Definición y principales propiedades de la curva cicloide.

Aplicación al estudio de la estabilidad de taludes.

EJEMPLO DE CALCULO

Ejemplo.

Estudio teórico

164

INTRODUCCION. ORIGEN DEL METODO DE LA CICLOIDE

Dentro de los métodos que a priori suponen una superficie de rotu-

ra determinada, merecen especial atención aquellos en los que esa super-

ficie es un plano, un círculo, una espiral logarítmica y una cicloide, que

son los que entre otros nos hemos ocupado, dedicando estas notas al caso

de la cicloide.

La idea de que podría estudiarse la rotura de un talud suponiendo

una superficie cilíndrica cuya sección transversal fuese una cicloide, -

fué introducida por primera vez en 1846 por Collin (vease ELLIS (1973)),

y las ideas de estos autores son las que seguidamente expondremos.

DEFINICION Y PRINCIPALES PROPIEDADES DE LA CURVA CICLOIDE

Igual que hemos hecho con la espiral logarítmica, consideramos inte-

resante ver de forma muy esquemática algunas propiedades importantes de -

esta curva que nos van a ser útiles para abordar los razonamientos poste-

riores.

Dentro del grupo de las curvas denominadas ruletas merece especial

atención la cicloide, esto es, el lugar geométrico descrito por un punto

de un círculo que rueda (sin deslizar ) sobre una recta. Sí el punto está

en el interior de la circunferencia se llama cicloide acortada 6 contraí-

da, si está en la misma circunferencia se llama cicloide natural 6 simple

mente cicloide, y si está en el exterior pero gira solidario con el cir-

culo se llama cicloide alargada 6 dilatada.

Seguidamente expondremos algunas propiedades fundamentales de esta -

curva que pueden deducirse con facilidad o tomarse de cualquier texto de -

geometría 6 cálculo infinitesimal (COMES (1905), CAMARA (1963), etc), mo-

tivos por los que prescindimos de su demostración.

165

Ecuación paramétrica de la cicloide ( Figura 2.54):

X= r(�) -sen YJ) y_ r (!-cos 9)

Radio de curvatura R en un punto:

R_ 2(Zry)'z

El angulo formado por la normal en un punto con la vertical. traza-

da por ese punto es ( Figura 2.55):

�y�t = cofac� 2

APLICACION AL ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE TALUDES

Supongamos que en una sección transversal de un talud la linea de -

rotura pueda asimilarse a una cicloide ( Figura 2.56 ), cuya ecuación en -

parametricas se vi6 en el epigrafe anterior . Las razones que permiten su-

poner este tipo de rotura son idénticas a las que se indican al tratar de

la espiral logarítmica.

Para simplificar los cálculos y para llegar a expresiones sencillas

vamos a suponer un talud vertical , en un terreno homogéneo e is6tropo, así

como también admitiremos la condición de rotura de Coulomb . Por la exposi-

ción que veremos a continuación podrían admitirse hipótesis más generales,

pero no es propósito del estudio de este método pues como veremos los re-

sultados son muy parecidos a los obtenidos suponiendo la linea de rotura -

circular.

Siendo la ecuación de la cicloide:

X=r(�-sen5d,y r

166

Y

I I

P

Fig. 2.54. Curva cic1oid .

cicloidek =r ( W-sen y)

Y =r(1-c0s y)

tg,u=cot

normal

vertical

Fig. 2.55.- Determinación de la normal y tangencial a la rirlo icde.

167

dKo x

y

curva cicloide "a''

Y

Fig. 2.56.- Rebanada elemental de un talud vertical con rac. l iarci�ntc

segun una cicloide.

16 8

Y,,/-C el angulo formado por la normal con la vertical:

�)¿g/ - co{y2

Considerando un elemento vertical de anchura dx (Figura 3), su -

peso es:

dW_�-y �lX . cY r2 �1cosSv)2 lSv

Si suponemos que las fuerzas actuantes sobre la rebanada son exclu

sivamente las debidas a su propio peso , es decir, ni existen presiones -

neutras ni fuerzas de ningún tipo sobre las caras laterales verticales -

de la rebanada (cuando tratemos de la discusión de este método veremos -

con mayor detalle el significado y efectos que conllevan las hipótesis -

citadas), los esfuerzos normal y tangencial 6- y , en la superficie

de deslizamiento son:

Q _ dlX/ cos /Lc�L

= 1W se/1

siendo:

Z5�IA . colcJ „ sen�! = c ?s c05 c[ = s�i� �!�

dl . � x dy2) iz _ 2 r / / _205 Y ) �-�o

169

resulta después de sustituir estas expresiones en las de más arriba:

2 CY r .sen 4Y)

CJ= 2 �. / sen3_ñ ccs2

Por otro lado sabemos que la máxima tensión tangencíal capaz de -

movilizar el terreno viene dada al haber admitido el criterio de rotura

de Coulomb por:

c -Y- O' • Ly c t 2. d" r -scn'2 . f9 O

Estaremos en la situación limite cuando la tensión tangencial que -

se desarrolle sea igual a la máxima capaz de movilizar el terreno y que -

viene dada por la expresión anterior, esto es, cuando:

2 tYr.se�2 cos2 = ct?.r.r. se,49'.Í9�

despejado r tenemos:

2 Ó•[ se�73SV co.5`f sea �w.�r�y/2 2

Por otro lado, de la ecuación de la cicloide se tiene:

/- cos 5)

Igualando estas dos ecuaciones obtenemos la altura del talud nece-

saria para que los esfuerzos tangencíales desarrollados y máximos capaz

de mobilizar el terreno sean iguales, as¡ es:

y= c 1

seny cos2 - sel712 �9�

170

Esta altura es mínima para valores de Y iguales a:

=97 -0

valor que introducido en la anterior nos dá la altura critica del talud:

2 c

de manera que para taludes verticales con mayor altura se produciría la -

rotura puesto que ha sido obtenida igualando las tensiones tangenciales -

a la dada por la expresión de Coulomb.

Con esta altura y el angulo crítico es inmediato obtener el radio -

de giro de la circunferencia que genera la cicloide critica:

y también pueden obtenerse las tensiones tangenciales desarrolladas y la

máxima capaz de movilizar según:

2 Ó" �;t sen32 �rn ns2

L' . C s �..C sPnb�.í9� _ �•�1� l• ser'f°n�rÍ

2

Así pues hemos obtenido en función del ángulo girado por la cicloide,

en función del ángulo de rozamiento 0, de la cohesión c y del peso -

especifico , dos expresiones que nos permiten obtener ' y Por

171

otro lado hemos demostrado que la altura y el ángulo de giro critico Al_¿y Y«t pueden ser obtenidos en función exclusivamente de 0, y con estoveíamos que en esa cicloide crítica se obtenía Y y P .

Si estamos estudiando un talud de altura H inferior o igual al -valor de Hcri puede obtenerse el angulo de la cicloide a partirde su ecuación:

y=rI/ cose /{..�cccn_s/1- '�

sustituyendo el valor antes obtenido de

a�c. cos 1 - l1 se��

Entrando con este valor de 7�{ en los dos últimos expresiones dey podremos obtener el coeficiente de seguridad , pues por defi-

nición:

��_

cos o . (1- sen S) r9 . yf 1,

Y l1'(/f sEn�J sP.n3 7J{ - ccs <�{2 2

En la tabla de la figura 2.57 damos algunos valores de esta función.

Anteriormente se ha indicado que, para talud vertical, una alturasuperior a la crítica ( Hcrí ) , lo haría inestable.

Si se pretende mantener la altura del talud, será necesario inclinar-lo un determinado ángulo crítico icri que se obtiene , en función de la al-tura que se pretende, mediante la expresión:

172

Angule de rozamien t o interno0° 10° 13` 20` 75° 30 35` 40 45

f ! f10 379.0 317 . 1 { 262 . 8 215.6 174.7 139.5- 1C9 . 43 1 2 4.21 53 .21 6. 0?,15 113 . 39 94 . 86 78.65 64 . 52 52.29 41 . 77 32.51 25.26 1 9 .00 1320 48.48 40.57 33.65 27 . 62 22 . 40 I 17.92 14.10 10.89 8.22 0 . 0325 25 . 26 21.14 17.55 14 . 42 11.72 1 9.39 7 .42 5.76 4.39 3.2930 14 .93 12.51 10.40 8.56 6.98 5.62 4.46 3 . 50 2.71 2.C335 9.64 8 . 09 6.74 5 . 57 4.56 3.69 2.98 2.33 1.87 1.48<0 6.65 5 . 59 -4.67 3.83 3 . 20 2.62 2 . 13 1.73 1.41 1.17Q 5 4.83 4 . 08 3.42 2.85 2.39 1 . 97 1.63 1.35 1.15 1.0050 3.65 3 . 10 2.62 2 . 20 1.85 1 . 55 1.32 0.91 -55 2.86 2.44 2 . OC 1.7,

rl 1.3,,0 1. 13

1L.1Cí;

1

0.91, 1 í.v

60 2. 31 1.98 1 .7 0 1 . 47 1.47 1 . 1 2 1.00 0.92 - {65 1.91 L65 1.4. í.26 111 1 . 00 0.92 ¡ ! -70 1.62 1 . 41 1.24 1.11 1.00 C .U - - - -75 1.40 1.24 1 1 . 10 1.00 0 . 92 - -60 1.23 1.10 { 1.00 0 . 92 I - - --e 5 1.10 1.00 0.92 - - -- -

-- -

1.00 0 . 92s. 0 12. --- --___ - - - - - l . _....

Fíg. 2 . 57.- Coeficiente de seguridad en función del ángulo final de giro

y del ángulo de rozamiento interno

173

C�.� = arc. q N�,< (Yr - t sen - sPn Y )

estando Y determinado en la forma antes citada.

Segun se observa en la Figura 2.58, al inclinar el talud c evita

que la linea de rotura cicloide quede descalzada por él.. Asímisn:o de di-

cha figura puede deducirse facilmente que la estabilización del talud -

mediante su inclinación es factible siempre y cuando la altura del talud

no sobrepase la y máxima (medida hacía abajo) de la cicloide ya que, een

caso contrario, la curva cortaría siempre al frente de talud con lo cual

éste sería inestable.

Teniendo en cuenta que esa y máxima, por construcción, corresponde

al diametro de la cicloide crítica (2 r ) se puede concluir que, supo-

niendo una superficie de rotura cicloide', cualquier talud de altura supe-

rior a 2 r . es inestable.cri

En la tabla de la Figura 2.59 se adjuntan una serie de valores (le la

función de i cri'

174

A

Hcrí`

`T1Ti

\ I N

1

T2

T1

�mm�nnrnne,»rnn�r�rnrrrrr�,rnnrnrnrsr��onnr, ,nnr�r�rnns��n�rrnr�rr,3s�rrrr'

Fin?. 2.58.- Distintos casos de estabi l i.dad de un talud rl >;c:

rotura por una superficie cicloide.

[ata queda definida mediante r en funci�,u c!clTalud vertical T: su altura coincide con l:, I! unl uier

talud de altura inferior a la suya es eStfl;i

Talud vertical T : su altura es H L H L 2r Inc'>.tni tcSi se quiere mantener la altura es nece ario t( nci rl„ fas-ta un ángulo i cri, pasando su frente de AB a AC.

Talud vertical T?: su altura es 1 > 2r lncsC:i�i No esc r �.posible estabilizarlo manteniendo 11 yuc ��ar<tcualquier inclinación su frente cortaría a la uicloído P.

_____- Onqulode rozrn;entcIflterflO . .... -

4O' 30 30 25 2O 15 1O' 5' [ u-- .----- ..-- . _..._.

45 90.00 90.00 30.0) 50.00 90.00 90.00 00.00 50.00 90.00 90.0050 85.47 90.00 90.00 20.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.0055 81.56 85.42 90.00 oo.oc 00.00 90.00 90.00 90.00 99.00 9C.0060 73.37 81.52 55.37 9(0O 90.00 90.00 90.00 90.00 90.00 90.0065 75A5 78.11 5 oo 90.00 90.00 90.00 00.00 90.00 50.0070 72.80 75.07 77.48 81.29 85.32 90.00 90.00 90.00 00.00 90.0075 70.34 72.31 74,13 77.68 81.19 86 29 00.00 X.00 90.00 90.0080 68.54 69.75 71.94 7443 77.49 81.iO 85,27 90.90 90.00 90.0085 65.65 67.36 69.21 71.16 74.15 77.33 81.02 85.25 90.00 90.0090 63.73 55.10 51.7 5571 7109 73 77.17 39,95 85.23 90.0005 61.77 07.95 C4.31 05 15 55.25 73.74 73 05 77.03 60.53 85.21100 59.33 , s:.e; oo oi.u: ;o 73.44 75.90 80.82105 57114 S3.0 60.03 01.13 03.10 65.09 67.42 70.12 73.23 76.77110 56.10 56.94 5/98 55.23 60.74 62.52 64.61 67.53 69.84 73.04115 54.29 55.05 55.99 57.12 1 58.47 60.08 61.96 64.15 66.67 69.57120 52.52 5321 54.06 5508 1 56.30 57.75 59.45 61.43 63.71 66.33120 50.78 51.41 52.17 53.10 54.21 55.53 57.06 58.85 60.92 63.29130 49.07 49.64 50.34 51.16 52.19 53.38 54.73 55.40 58.23 60.43135 47.38 47.90 48.54 49.31 50.23 51.31 52.58 54.06 55.76 57.'2140 45.72 46.19 46.78 47.48 48.32 49.3) 50.47 51.81 53.38 55.15145 45.00 44.51 45.04 45.69 46.46 47.36 48.42 49.65 51.00 52.69150 45.00 42.85 43.34 43.93 44.64 45.47 46.43 47.55 48.85 50.34155 45.00 41.22 41.67 42.21 42.86 43.62 44.50 45.03 46.72 48.03160 45.00 40.00 4002 40.52 41.12 41.31 42.03 43.57 44.05 45.90165 45.00 40.00 38.40 35.86 39.41 4005 40.80 41.65 42.55 43.00170 45.03 40.00 36.81 37.23 37.73 33.32 39.01 39.80 40.72 41.77175 45.00 40.00 35.23 35.32 36.09 35.03 37.26 37.99 3883 ¡ 29.6010 45.00 40.00 35.00

,34.04 34.47 34.97 35.55 36.23 37.00 [__37.C

Fíg. 2.59.- Angulo critico del talud . en furici6n de y de

Ejemplo de cálculo

]77

EJEMPLO

Para aclarar todo lo dicho , se indican a continuación las distín-

tas fases de un estudio de estabilidad por este método sobre un ejemplo

concreto , variando la altura del talud.

1) Caso 1°. Talud vertical

a) Datos de partida:

Altura del talud ..... .............. H = 5,00 m.

Densidad de las tierras ............. Ó = 2 T/m3

Cohesión ............................ G = 3,5 T/m2

Angulo rozamiento interno ........... 95 = 35-

b) Altura critica del talud:

f/�,� _ �9�1r5°f )_ 2235 962,5° = 6,72171.

c) Dado que el talud es estable , pudiendo, sin

perder esta condición, aumentar la altura hasta

H = 6,72 m.

El coeficiente de seguridad con la altura dada será:

coso(/-s 70) kG�/rsen�l.sena .cos SUS �f9 2

• t9

2 2

Calculamos

= dre.cosí!- 7 _ ¿Drc.ces%�_ 2. 5� sen35� G6,93°L c. 2• L�y�GS°� z)� L 2.315- /y C2, 5 .

178

Sustituyendo en la expresión F:

cós 35° / sF'7 5 ;

471 en35� sen323,G6°•cos 23,t'C

2) Caso 2°. Talud vertical


Los mismos , salvo la altura que es H = 10 m.

b) Altura critica del talud:

Será la misma que la del caso anterior al no ser función de

H:

H cri = 6,72

c) Dado que 1-/ > 4 c,C , el talud es inestable . Podría esta

bilizarsetendiéndole, para lo cual será necesario que /-1 < 2 «z'

ó i�/- sen O1 2 ( /- sen 35`)

Luego N<

d) Cálculo de icri

coi • ( 5 - r.[ � s&,7 - se�� )

Hay que calcular y

90°-R _ 90` 35° _ 55°

179

7. C• f57 �S°f)J c •.3S-!l 6 , 5° I

/S,r'6�1��H,SG-S5)_2i? �s.=,n S5-sc'nF"B,5 /3r"Q _

Por tanto el talud será estable con ,y = /Om. inclinación

de 78°.

3) Caso 3°


Los mismos que en el caso 1°, pero con altura H = 5 0 m.

b) Altura crítica del talud:

La misma que en el caso anterior

Hcri = 6,72343

c) Dado que N > y«t el talud es inestable. Para poder

estabilizarlo, manteniendo la altura , debe de cumplirse:

Sin embargo Z _97,631 `_SD

Por tanto , si se mantiene la altura , el talud es siempre

INESTABLE.

180

2.3.6. Métodos de análisis por equilibrio de rebanadas

ESTUDIO TEORICO

Aspectos generales.

METODOS APROXIMADOS

Método de Fellenius

Híp6tesis fundamental de Fellenius. Métodos aproxima-

dos y exactos.

Método de Bishop modificado.

Programa de ordenador del método de Bishop

Validez del método de Fellenius y Bishop

Cálculo sin ordenador de un talud por el método de -

Felleníus y por el método de Bishop

Método de Janbú

METODOS EXACTOS

Aspectos generales de los métodos exactos.

Método en el que la línea de deslizamiento se confun-

de con la línea de acción de las fuerzas entre reba-

nadas.

Método de Morgenstern-Price

Método de Spencer para deslizamientos circulares.

Resultados de Spencer para fuerzas R. paralelas.

Generalización del método de Spencer para desliza-

mientos no circulares. Programa de cálculo.

Ejemplo de aplicación del método de Spencer.

LISTADO DEL PROGRAMA DE SPENCER

COMPARACION DE LOS METODOS EXACTOS

ABACOS NOTABLES BASADOS EN LOS METODOS DE REBANADAS

Aspectos generales.

Abacos de Bishop.

Abacos para el estudio de rellenos a media ladera.

Abacos de Pilot y Moreau.

Otros casos estudiados.

Estudio teórico

183

ASPECTOS GENERALES

Hemos visto al principio de nuestro estudio un esquema geneneral'y muy

simplificado de los diferentes métodos de cálculo de estabilidad de ta-

ludes. Observando esa clasificación, vemos que los métodos de la fajas

6 rebanadas ocupan un importante lugar.

La historia de estos procedimientos data de 1.912 en Suecit.Ante -

los frecuentes problemas que ofrecían los taludes de los ferrocrnrríl.es-

suecos, se decidió nombrar una Comisión que se encargaría de investigar

los métodos de cálculo que permitieran una correcta construcción de esos

taludes, así como definirían el coeficiente de seguridad de los mimos.

Fruto de los trabajos de esa Comisión serían los estudios de PELLENF

US,PETTERSON y otros, que más tarde veremos.

Dentro de lo que se entiende por método de las fajas, existen varios

tipos, con hipótesis diferentes, como luego veremos, pero la caracterís -

tica común es que el análisis de la estabilidad que se realiza no es de

toda la masa deslizante sino de una serie de rebandas en que se divide----

esa masa, sí bién se cumple el equilibrio de toda ella,Lste aspecto gene-

ral a todos éstos métodos, que citamos sin más detalle, lo veremos con --

precísién en la descripción particular de cada procedimiento, en cuya --

descripción supondremos algunos conocimientos básicos de los mismo;;.

Otro aspecto notable de éstos métodos es que permiten fácilmente el -

análisis de taludes de materiales no homogénos, cuestión ésta de gran in-

terés y que además se incluye en el cálculo con gran facilidad, como po--

drá verse.

Métodos aproximados

185

METODO DE FELLENIUS

Por las razones mencionadas en la introducción,éste método también.

se conoce como el Método Sueco.

Ateniéndonos al planteamiento original de FELLENIUS (1.936 ), si -

suponemos que el arco circular AB, de radio R,es el de rotura del talud

(figura 2.60), esto es, suponemos que la masa deslizante es APBA , si

dividimos en fajas verticales ésta masa, podemos estudiar el equilibrio

de talud analizando el de éstas fajas.

En efecto,sobre una rebanada de las 9 en que hemos dividido el talud

que por simplificar supondremos en principio de igual anchura,actuará el

siguiente sistema de fuerzas (figura 2.61.a).

WW= Peso de la rebanada, que será el volumen por -

la densidad seca 6 saturada según las condi.cio

nes del talud.

U14= Resultante de la presión neutra en la base de -

la rebanada, que puede calcularse a partir de la

red de corriente ( queremos señalar que el méto-

do original de Fellenius , no considera presiones

neutras ).

U,; ,U, ,1= Resultante de la presión neutra en las caras ver-

ticales derecha é izquierda respectivamente ( de-

cimos lo mismo que en el caso anterior. ).

r

B

0

superficie de rcluro circulcrR

A

¡lb

Píg:. 2.60 División de la in sn deesl.izante en 9 rebanada:;.

187Q) 0 1

�\ 1

Ti,v

Ni,v

wi /Uv;

N.

i

Ui,v_1

Ti,bTi,y -1

A¡

Ui, b

\

\ \Ni,b

\ \\ \

iib

ui,v_1N¡

Ui,v

Ni,b wj

Fig. 2.61 Estudio de las fuerzas que afectan al equilibrio deuna rebanada.

L88

N6= Resultante de las presiones efectivas normales

en la base de la rebanada.

11,/ Resultante de las presiones efectivas normales

en las caras verticales, derecha é izquierda -

respectivamente.

7,_6 = Resultante de las tensiones tangenciales desa-

rrolladas en la base de la rebanada.

7- Tes, = Resultante de las tensiones tangencíales en las

caras verticales, derecha c izquierda respecti-

vamente.

Presentadas todas las fuerzas que afectan al equilibrio de la rebanada-

analicemos las que podemos determinar.

Para una filtración continua, con una red de flujo establecido, todas -

las fuerzas resultantes de las presiones neutras son perfectamente (onoci--

das,síendo normales a la superficie sobre la que actúan por ésto las fuer-

zas 1J¿,á U¡', y L/'; '_, son conocidas.

Para entender con mayor claridad los razonamientos relativos a las o-

tras fuerzas, vamos a introducir el sistema gráfico ideado por TAYLOR-----

(1.960 ) y que estudiamos en la figura 2.61.h. La rebanada en cuestí6n --

sometida a todas las fuerzas anteriormente señaladas , deberá estar en equi-

librio. Dibujando el polígono , comenzamos por trazar W vertical,

normal al círculo, normales a las caras verticales de La rebana-

da.

189

De las fuerzas en la base de la rebanada N 5 y 7 6 sabemos que

será normal al círculo y T b paralela a 41; D, (ver figura 2.61 a es decir

N�6 es perpendicular a 77,6 y el módulo de ésta es , admitifndo la sítua

cí6n límite de equilibrio de Coulomb:

76 =N1"6'f9�

siendo 0 y c el ángulo de rozamiento y la cohesión desarrollados, y que-

de momento no insistiremos en ello. Las resultantes de las fuerzas inter

granulares en las caras verticales de la rebanada dependerán del terreno

en cuestión, de su pasado geológico que habrá afectado las condiciones de

éstas fuerzas, es decir son indeterminadas, y sobre las mismas vamos a te

ner que realizar algunas hípútesís que son las que, como hemos dicho, --

van a caracterizar cada método . Si en la figura 2.61b suponemos que la -

resultante de /V,.'1

A , y T,,, 7. v_: es conocida ( tomada por ahora arbitra-

riamente , luego veremos específicamente estas fuerzas ), podremos termí-•-

nar de cerrar el polígono , pues desde el extremo de ( N;. T ) trazamos -

una recta paralela a , y por el erigen de vv,- una paralela a Ái Bj

( o normal a /V;5), obteniendo t/ y T,

Considerando el equilibrio de toda la masa deslizante , las fuerzas

[/,,,., son fuerzas interiores al sistema , por lo que su resul-

tante será cero y además darán momento nulo.

La fuerza Nbpasará por el centro 0 del círculo de deslizamiento que

estamos ensayando, por lo que sí tomamos momentos respecto al centro, el -

de ésta fuerza será cero.Así pues únicamente dan momento las fuerzas am i y

las fuerzas ?.,y viniendo expresadas por

Momento de las fuerzas \w'

n

sea o(� . W.� r . t R •21

190

siendo n el número de rebanadas y c el á ngulo formado por la tang., ent.e

en la base de la rebanada con la horizontal ( figura 2.60 ).

- Momento de la fuerza Ti ¿

n

ZI¿S31

9,0

El coeficiente de seguridad , expresado como el cociente entre los

momentos estabilizadores y aquellos que tienden a provocar el vuelcci,e.s:

s 17

sen o(, . W

y si 0 y c son constantes en la superficie de rotura es:

C. c1B t t`9 ¢ N<'

set o(, W,

191

Espresiones sobradámente conocidas y que figuran en todos los tex

tos, pero que hemos expuesto razonadamente porque nos van a permitir --

entrar con el máximo criterio en las diferentes hipótesis, que como re-

petidamente hemos dicho, son las que caracterizan a los diferentes m�-

todos de cálculo y que exponemos a continuación.

DIPOTESIS FUNDAMENTAL DE FELLENI US. METODOS APROXIMADOS Y EXAC'1ÒS.-

Realmente el estudio del método de las rebanadas implica un análisis

más profundo de las fuerzas que actúan , con el propósito de investigar-

las incógnitas necesarias para establecer las tres ecuaciones de la -

estática de la rebanada . Así hemos trabajado y resumido el resultado -

como puede verse seguidamente:

a) Incógnitas para establecer el equilibrio de fuerzas ( figura 2.61a

-n incógnitas resultantes de los valores de N,6 en la base de Las -

rebanadas.

-1 íncógníta debida al desconocimiento del coeficiente de seguridad,

el cual nos permitiría determinar Tiben función de N'ib ,

lo que supone admitir un único coeficiente de seguridad en la su-

perficie de deslizamiento.

- (n-1) incógnitas de las fuerzas V, ,'v en los laterales de

las rebanadas ( observar que en la primera rebanada no existe /! _t)

- (n-1) ángulos formados por la resultante de N + T y de

b) Incógnitas para establecer el equilibrio de momentos

-n incógnitas que permitirían conocer el brazo de las fuerzas N;6

-(n-i) incógnitas que permitirían conocer el brazo de las fuer -

zas ^/";v

192

Podemos suprimir algunas incógnitas sí dividimos el talud en un

número suficiente de rebanadas verticales, así podremos suponer que-

el- brazo de las fuerzas N 5 en la base de la rebanada sea igual -

a dern , de éste modo lograremos suprimir ( n-1 ) incógnitas.

El númer., total de íncógnitas antes planteadas es de (5n-3), pero

con la consideracípn hecha en el párrafo anterior, pueden suprimirse -

(n-1), quedando por lo tanto un número de incógnitas de ( 4n-2).

Como existen 3 n ecuacior..3es de equilibrio, resulta que hay un exceso

de incógnitas igual (n-2) y para resolver el equilibrio del talud s.rí -

necesarío hacer ( n-2 ) hipótesis

Normalmente, las hipótesis para la resolución del problema cstíLteo

del equilibrio del talud dividido en rebanadas se hace sobre las fuerzas

laterales actuando en las caras verticales de la rebanada.

Los métodos exactos son los que hacen precisamente (n-2) hi.pótessi.s -

relativas a éstas fuerzas. Los métodos aproximados son los que hacen más

hipótesis de las necesarias, normalmente (n-1), motivo por el que al. ha-

ber más ecuaciones que incógnitas el equilíbrio no se satisface, no cum-

pliéndose alguna -de las ecuaciones de la estática, normalmente es la -

que expresa el equilibrio horizontal y en algunos casos tampoco se verí

fica la condición de momentos.

En este estudio no vamos a abordar la forma en eque deben hacerse --

esas hipótesis, pero queremos destacar que tienen ciertas limitaciones.

Así por ejemplo las fuerzas tangencíales a los lados de las rebanadas --

no pueden superar la resistencia al corte del terreno, las fuerzas 'fec-

tivas normales en los lados de las rebanadas deberan quedar a una distan

19

cia del círculo de deslizamiento de 1/3 a 1/2 de la altura de la rebanada

(MORGENSTERN, PRICE (1.965 ) ).

E1. método de Fellenius es uno de los métodos aproximados. ,u hipóte-

sis fundamental radica en admitir que para cualquier rebanda de aquellas

en que se ha dividido el talud, la resultante de las fuerzas en las caras

laterales son paralelas a la base de la rebanada, de manera que la compo-

nente en la díreccidn de la normal, a la superficie de deslizamiento de -

esa rebanada es nula.

Con esto, la expresión antes obtenida del coeficiente de seguridad, -

considerando ahora que:

N;6 =poscN' .W_ u<.¿

se transforma en ( admitiendo c y O constantes ):

n

Sen<_f

Los métodos de rebanadas , del que hemos visto el primero de ellos

el de Fellenius , además de distinguirse por el número de hipótesis que-

inicialmente se contemplan, podemos distinguirlos en aquellos cuya Solu-

ci6n es posible hacerla manualmente y aquellos que precisan de ordenado--

res más o menos potentes. Los métodos exactos son tediosos, precisan de—

ordenadores con gran capacidad pues son métodos reiterativos con expre-

194

siones poco convergentes , aunque ésta últíma conclusión debe tratarse

con más detalle, como lo haremos en la descripción de cada método.

Uno de los propósitos que nos habíamos planteado cuando íniciam(>s--

el presente trabajo, era poner a disposícíón de los que pudiéran tener-

interés una forma de cálculo de la estabilidad de taludes, que abarque -

desde los programas para grandes ordenadores, para medianos y por Ii.ltímo

ofrecer la posibilidad de que todos los métodos ( o por lo menos los; fun-

damentales ) pudieran ser aplicados manualmente , utilizando úni,.amerce -

calculadoras de bolsillo.

Con esta idea vamos a exponer las bases para proceder al cál-:ulo de un

--alud según éste método. No entraremos en un ejemplo numérico, pues -

éstos vienen desarrollados en los textos más frecuentes. Por su clara expo-

sición , recomendamos ver la obra de LAMBE, WHITMAN ( 1.976 ), en el que--

figura el cálculo de un talud con mucho detalle por diferentes métodos, y

que sin duda será entendido sin problemas.

Comenzaremos para la aplicación del método , por dibujar el talud a

una escala suficientemente grande para que las medidas que tomemos sobre

el mismo no tengan gran error. Con los ábacos de Taylor o con los. de Hoek

y Bray para deslizamiento circular ( ábacos y métodos que ya fueron co-

mentados en páginas anteriores ) podemos obtener el centro y rádío del -

primer círculo de deslizamiento, con el que comenzar los tanteos(esto es,

los círculos siguientes se ensayarán con centro y rádio cercanos a éste -

primero tanteado, y según sean los diferentes coeficientes de se};uri,.iaid -

los iremos modificando .para dar mayor convergencia al método.)

Las condiciones hidráulicas a que está sometido el talud nos van a -

permitir trazar la red de corriente, así como las líneas equihonten(i.al.es-

y con éstas líneas podemos obtener todas las fuerzas hidrodínámi_cas, como-

195

luego veremos ( para trazar estas redes pueden consultarse trabajos como

los de FORCHHEIMER ( 1.935 ), TAYLOR (1.960 ), HUGHES (1.970 ),I.ANDAU

LIFCHITZ (1.971 ) y muy especialmente JIMENEZ, JUSTO , SERRANO (1.976 )).

Así pues , en un primer gráfico dibujaremos el talud con el círculo de

deslizamiento inicial a tantear y la red de corriente ( figura 2.62

El paso siguiente consiste en dividir la masa deslizante ( cief.iuida -

por el círculo • y la superficie del talud ) en una serie de rebanadas vertí

cales (figura 2.63 ), que a ser posible y por comodidad , tomaremos d e i--

gual anchura ( aunque podemos tomarlos de cualquier ancho ). El número de

rebanadas a considerar no debe de ser muy pequeño, pues la exactitud del-

método podría ser discutible , como ya comentaremos en la descripción de -

métodos.

Para cada rebanada vamos a calcular su peso. Observemos que 1,t linea

de saturación ( esto es la línea de corriente superior ) divide a7 terreno en

dos partes; la situada bajo esa línea y la situada por encima Si Ja poros¡

dad del suelo es n y el grado de saturación es Sr ( para el terreno situado

bajo la línea de saturación será Sr= 10')%, y para el situado por eu,.:ima po-

drá estimarse Sr = 50 % 6 menor ) el peso específico del suelo sercì:

= (i- n) • 5 -1- 7 • r7 dW

siendo �'s el peso específico de los sólidos y oww, el del agua . Así pues-

obtendremos un valor para el peso específico del terreno situado bajo la -

línea de saturación y otro para el situado sobre la misma.

Por lo tanto, de cada rebanda vamos a tener que obtener la altura media del

terreno bajo la línea de saturación y la altura media del situado s/ la mis-

ma, valores que multiplicados por el ancho de cada rebanada y por el corres

pondiente peso específico nos darán, para cada rebanada, los diferentes -

pesos, cuya suma es el de la rebanada.

1 `3(>

0

R

Circulo de deslizamiento ensayado

�� i � , I I t 1 i �

t I1 1 1 1 � I � ¡ I1 1

tLineas de corriente 1 1 j�r i

equipotenciales

Fig. 2.62 Red (le corriente y círculo de clesli.zamícnto en un t71 uc!.

137

o

1 2 lineo de corriente superior

34

4 5

hp(6 7 9diagrama de presiones

I � � ti I

hp

Fig. 2 .63 Determinación de presiones neutras y desconiposícií�n

del talud en rebanadas.

198

El diagrama de presiones de la figura 2.63, ha sido dibujado consideran-

do que la línea de corriente superior es la diferencia de altura de carga -

entre el punto considerado y el punto en que la equipotencial correspondien

te corta a ésta línea superior.Así pues, dibujado este diagrama ya podemos-

calcular las .'presiones neutras en la base de cada rebanada ; las -fuerzas -

que hemos llamado �<<6 serán iguales a la longitud del arco de la base de

la rebanada por la presión medía en dicho arco ( y que puede obtenerse mi --

diendo directamente en el diagrama).

Así pues, hasta ahora hemos obtenido para cada rebanada su peso y la re-

sultante de la presión neutra en la base, fuerzas que hemos llamado W y

en la expresión de F.

Para cada rebanada de las que hemos dividido el talud obtenemos el án-

gulooC¿( ver figura 2.60 ) por medida directa en el :dibujo de la figura 2.-

63. Si suponemos una cohesión variable en el arco de deslizamiento, pero-

constante en la base de cada rebanada, es inmediato obtener c.G<a

Así pues, para el caso general de terreno con cualquier tipo de estra -

tificaci6n y con cualquier red de corriente, podemos calcular el coeficiente

de seguridad para un círculo de deslizamiento previamente fijado.

Con el mismo centro pero con otro radio repetimos la misma operación. -

Así podremos llegar a obtener el coeficiente de seguridad mínimo para dicho

centro. Seguidamente repetimos los cálculos con otro centro y'diferentes ra-

dios, hasta obtener el mínimo correspondiente a éste nuevo centro.

De éste modo , podemos determinar el coeficiente de seguridad del talud

como el mínimo coeficiente de los obtenidos para los centros ensayados.

1 99

bi

0

Linea de acción de la resultante delas fuerzas laterales

Iwí

b

:1JUí,b

N1,b

Fig. 2.64 Estudio de las Euerzas que afectan al equilibrio

de una rebanada en la hipótesis desarrollada en-

el método de Bishop modificado.

200

METODO DE BISHOP MODIFICADO

De los métodos que hemos llamado aproximádos, el método de Bís-

hop ocupa un importante papel.

La idea original de éste método está desarrollada en el, traba-

jo de BISHOP (1.955 ), diferenciándose del método de Felleniuss an-

tes descrito, en las hipótesis de que la resultante de las fuerzas

que actuan en los laterales de cada rebanada, para Bíshop son ho-

rizontales.

Al igual que en el método de Fellenius la superficie de desliza

miento se supone circular.

Como vimos antes , la expresión general del coeficiente de segu

rídad para un talud dividido en rebanadas verticales es;

Cn

t.1

expresión también válida para el método de Bishop,desconocíendo -

únicamente N6

Según la hipótesis de Bishop, podemos establecer sin dificultad

el equilibrio de una rebanada, tal y como la indicada en la figura -

2.64. En efecto,para obtener Ní6 podemos establecer el equilibrio de

las fuerzas verticales

cos c< l

pero como:

201

ui b = ui b . Ali

pero de la definición de coeficiente de seguridad podemos poner:

Entrando con éste valor en la expresión de y posterior- -

mente en la F obtenemos:

sena; . lX/,'

donde:

¿yes . fg�t /, �.r.� _ pos �r,• . (� f

En la figura 2.65 aparece un ábaco para obtener facilmente cl va-

lor de

Vemos que para obtener el valor de ésta expresión necesitamos

conocer el de F. Así pues habrá que hacer varios tanteos prefijando

un valor de F , para obtener N> (o¿,) , valor que introducido en -

la exprésión del coeficiente de seguridad deberemos de obtener igual

al inicialmente prefijado, para lo cual tendremos que reiterar los -

cálculos modíficándo ese valor prefijado de F.

X02

ESTUDIO DE TALUDES EN CONDICIONES DE DRENAJE

Is

;,01,4 - -- - --

0,8

1,2ts 0,6

19(t,041,0 F

0

> 0,20,2

0,8

0tgo,

I0,6II , F

0,60,8

Ij1,0

0,4-40° -30° -20° -10° 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60°

Valores de e(¡

Fig. 2 .65 Abaco para obtener ,?i(dj ) (le la C(srnu.ila c,e bi:,liop.

203

PROGRAMA DE ORDENADOR DEL METODO DE BISHOP------------------------------------------

Debido a la extensión del programa de ordenador y de las

salidas de resultados, este programa no se incluyo en el -

presente volumen, figurando en un anejo complementario.

Los interesados en su utilización podrán sol.ícitar un; -

copia del mismo en los archivos del Instituto Geol0},ico y -

Minero de España.

Junto con el programa figuran los resultados de varios ejon-

plos ensayados, ilustrativos de su aplicación y funcionariien

to.

204

VALIDEZ DEL METODO DE FELLENIUS Y BISHOP.

Los dos métodos aproximádos de uso más frecuente hasta I.a fle-

cha han sido el de Fellenius y el de Bíshop.

En el método de Fellenius se admite que para cualquier- reba-

nada , la resultante de las fuerzas en los casos laterales ron pr:-•

ralelas a la base de la rebanada . Para Bishop esa resultante es -

horizontal.

El número de híp6tesis que así se hacen sobredimensíorran el-

problema, motivo por el que el método no es exacto, no cumplir"n-

dose algunas de las ecuaciones de equilibrio.

De forma general el método de Bishop dá mejores resultados -

que el de Fellenius,resultados que ya había alcanzado BISHOP en

su trabajo de 1.955 .

En efecto , sirva como ejemplo los resultados de WHITMA\,BAYLHY

( 1.967 ) en cuatro ejemplos por ellos estudiados, comentarlos tam-

bién en TURNBULL ", HVORSLEV ( 1.967 ).cuyos resultados resurni?sos en

la figura 2.66, siendo en todos la profundidad de la grieta de Crac

ci6n de 1,6m . Los resultados obtenidos , comparados con el del mé-

todo exacto ( de Morgenstern-Price ), en el caso de Bíshop ; ué del-

6%. Algunos otros ejemplos desarrollados por el M.I.T . permiten a--

firmar que frecuentemente el error es menor del 7%, y usualmente -

del 2%.

La exactitud del método de Bishop es muy discutible en rase de-

ser '>¿< < O , lo que sucede en círculos profundos y en las -

proximidades al pié . Sucederá que el valor de M; ( -->� ¿ ) será negad

tívo para valores elevados de {g o'/,a- , o incluso será.

muy pequeño o cero para valores más altos de !g %-- . La -

2f)ì

Ejemplo 1. 3

Superficie de deslizamientoMTM

H6,10m0'= 32°C'= 0,44 T/m2Y = 2,00 T/m3

30 - -- -- 35°ñ = 2,05 T/m3

lo 33-Ejemplo 2. n 0 2,00T/m3

�'=20°-10 - C' =0,73 T/rn2

1í =1,76T/m20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

pies

30 350

?0 - --:r

10330

Ejemplo 3 .

0o°

10 400-2 0 Y , uM•Z = 1,46 T/m2

30 40 50 60 70 80 90 100110 120

pies

Fig. 2.66 Ejemlplos estudiados por Wl1 UA?J, 1BAi1,EY (1.9()7

200

indeterminación en este caso viene a la hora de ci>tener el valor

de /v.6 para éstas rebanadas situadas cerca del pi -

del talud, pues según sea el sentido de ésta fuerza así ser! el

de la resistencia tangencial en la bese (le la rebanada.

En la figura 2.67 se estudia el. ejemplo 3 de la figura: 2.66

Vemos la gran influencia que tiene en el coeficiente de .<:es �rid d

el considerar uno u otro sentido.

Por éste motivo suele aconsejarse un valor de

menor a 0,2. Cuando no suceda así deberemos de analizar los �enul-

tados con detenimiento, y aplicar otro mc-�todo que nos resuc:va -

cualquíer duda a éste respecto.

En el trabajo de BISHOP (1.955 ) se. ilustra , con un e jerni lco-

la ecactitud del método de Fellenius respecto al nátodo exe..te 1c-

Morgenstern- Príce, resultado que hemos tomado en la figura 2.08

Puede observarse como en cualquier creo el error en el. er.:p1 u �0 , ,!-

método de ili_shop es del 40 5 .litil izand, el. ejemplo 1 de la H;-,,ira

2.66 vemos como el. error disminuye al aumentar el ángulo r ntra1

--del arco ele deslizamiento, representando ésta disminución para -

talud seco en la figura 2.69, pudio•ndo deducirse que lui cauua -

error se encuentra en una infravaloración de para las pr:r

tes menos %nclínadas del arco de deslizamiento.

Respecto al error que puede inducir las diferentes condiciones

hidráulicas en el método de Fellenius, encontramos la explicación

en la ecuación de éste método, pues en caso de ser '! superior a ---

cos U saldría V, ,6 negativo, y el. error se incrementa al. aumeen

tar el número ele rebanadas sujetas a éste problema.

Con todo lo dicho se deduce que , en general., el método de -

Bishop dá resultados que mejor se adaptan a la realidad, siendo

no válido en algunos casos fácilmente determinables a priori.

201

301. W

0= 33

0

0-10

_;'; ¡:4d:.. •;'i. =i:

;I::::'." ru = u/ó Z = 1,46 T/m2-20°.ir•

F=O, 03 ! - jo

0

É á 0

có m

LF=0,B24

30 40 50 60 70 80 90 100 HO 120

pies

Fíg 2.67 1',studio de la exactitud del mt.odo de Bishoh.

1,0

0,9

0¡81 1 --0 20 40 60 80 100 100 120

Angula centro¡ del arco

tì;,.. 2 . ( S L'je,mplo en e l que sa., c nnp:ir: e r.:üto<;u d I'. 1 ie iu:;

on el (!c Morgenstern - I'ri(•e�.

'09

c' = 1,71 T/rn2O'= 37,50

ó ? ó = 2,32 T/m3N •�dcr

a) banqueta de -drenaje de0,91 m. de espesor

Estrato duro 79,25rn >1

1,00

0,90

\OqF0,80

wCm 0,70

:valor e eW0,60

- _� -= 0,50

0,40 -IL0,8

0, 300 20 40 60 80 100 120

Angula central del orco

Fig. 2.69 Comparación entre el método de. Bishop y e] de

Atorgenstern - Price al variar c]. Angu10 Cc-11 -

tral del arco de deslizaníento para talud se-

210

CALCULO SIN ORDENADOR DE UN TALUD POR EL METODO DE FELLENIU S Y l'0R

EL METODO DE BISHOP

Para ilustrar de forma práctica el cálculo del coeficiente de -

segurídad de un talud por el método de Fellenius y por e] du Bishop,

nos liemos permitido transcribir un ejemplo desarrollado por Lambo y -

Whitman en la obra • antes citada.

En la figura 2.70 aparece el talud ejemplo con su red de corrien

te como puede observarse se trata de un talud con una capa para drena-

je en las proxímídades del pié del talud, y se ha procedido a calcular

el coeficiente de seguridad correspondiente al centro indicado ,- con -

un radio de 9 m.

La masa de terreno se ha dividido en 9 rebanadas de anchura de-

sigual para ilustrar con mayor claridad la aplicación del método.

Los cálculos en cualquiera de los dos métodos se comienzan obte-

niendo el peso del terreno de cada rebanada , para lo cual hemos supue s

to un peso específico del terreno único á igual a 2,0 T / m3. Los resul-

tados se expresan en la tabla de la figura 2.71.

Seguidamente se calcula , como ya hemos dicho, la presión debida

al agua en las diferentes rebanadas , resultados que tambien son expre

sadas en la figura 2.71.

El método de Felleníus dá el coeficiente de seguridad según -

la expresión:

dB ¿z,�\ 1

SCn oca . L�/•�=r

21.1

Centro del circulo dedeslizamiento ensayado

= 2,0 T/m

C' = 0,44 T/m

= 32°

(81 9

7 III � i

2 ( 6\\

�, f

5 \ � \\ \\ \ ( ` 1

`1 H 6,0m

3

4 I\ \ \\ i \�

��

1�

II� \ � � 11 11 ► �

2

777777I� \ 1 1 1� I ( I I

I7T7 /�TI1/?TTT

7T�i 77

Copo drenonte Estrato duro

Fig. 2.70 - Talud ejemplo desarrollado por los métodos de }'ellLoaiu5 y de 13isliop

212

Rebanada bi Altura media Peso Uib

m m (Tm) (Tni)

1 1,35 0,48 1,30 0

2 0,96 1,26 2,42 0

3 0,54 1,74 1,88 0,08

4 1,50 2,22 6,66 1,63

5 1,50 2,70 8,10 2,32

6 1,50 2,79 8,37 2,23

7 1,32 2,52 6,65 1,13

8 0,18 2,01 0,72 0

9 0,96 1,14 2,19 0

Fig. 2.71.- Obtención del peso y presión ínterstícíal en las diferentes re-

banadas.

213

Todos los elementos que intervienen en esa expresión aparecen

en la figura 2.72., obteniendo al sustituir:

F = 1,19

Análogamente el método de Bishop modificado responde a la expre

sión:

scnoC.. W

siendo:

/N 'o ) = cos o(¡l� � f9� ' �9 ��

como ya vinos , esta última expresí6n se encuentra en forma de ábaco -

en la figura 2.65.

Para obtener el valor de F debemos de realizar varias iteraciones,

y así se ha hecho, primero suponiendo F = 1,25 obteniendo 1,29, segun-

do haciendo F = 1,35 obteniendo 1,32 y por último con F = 1,3 obtenieii

do 1,3, y por lo tanto el coeficiente de seguridad del talud es:

F = 1,3

En la figura 2.73 aparecen todas las etapas del cálculo.

METODO DE JANBU

JANBU ( 1954 ) ha desarrollado un método de los que hemos convenido

en llamar aproximados , de gran interés en cuanto permite el análisis -

de superficies de deslizamiento no circulares sin empleo de ordenador

alguno. Mas adelante nos ocuparemos de los métodos exactos , veremos -

214

W. W1senc W1 1.coso<¿ 1. U i ,bRebanada Tm sen c<, cose ,b

(ton) (ton ) ( m) Tm Tm

1 1,30 -0,03 -0,04 1,00 1,30 1,32 0 1,30

2 2,42 0,05 +0,12 1,00 2,42 0,96 0 2,42

3 1,88 0,14 +0,26 0,99 1,86 0,57 0,08 1,78

4 6,66 0,25 +1 ,67 0,97 6,46 1,59 1,63 4,83

5 8,10 0,42 +3,40 0,91 7,36 1,68 2,32 5,04

6 8,37 0,58 +4,85 0,81 6,76 1,86 2,23 4,53

7 6,65 0,74 +4,92 0,67 4,45 2,01 1,13 3,32

8 0,72 0,82 +0,54 0,57 0,41 0,36 0 0,41

9 2,19 0,87 +1,90 0,49 1,07 2,19 0 1,07

Fig. 2. 72 - Resultados para aplicación del método de Fellenius.

215

i i iF = 1,25 F = 1,35

F2C

c bji,b

b rti

0,60 0 0,97 0,97

0,42 0 1,02 1,02

3 0,54 0,24 0,08 1,06 1,05

4 1,50 0,66 1,55 1,09 1,08

5 1,50 0,66 2,08 1,12 1,10

6 1,50 0,66 1,80 1,10 1,08

7 1,32 0,58 0,74 1,05 1,02

8 0,18 0,08 0 0,98 0,95

9 0,96 0,42 0 0,93 0,92

Fig. 2.73 - Resultados de la aplicación del método de Bíshop modificado.

216

como este método de Janbú adquiere mas vigor ante los problemas de -

cálculo que ofrecen esos métodos exactos , pues ademas de ser normal-

mente poco convergentes debemos de prestar atención a los difetentes

pasos de las diversas iteraciones para eliminar aquellas soluciones -

que den valores sin sentido físico.

Para abordar el método de Janbú veamos la figura 2.74 en la que

se representa una rebanada de ancho dx y las fuerzas que intervienen

en dicho equilibrio . Admitiendo que las fuerzas en la base de la reba

nada están aplicadas en el centro de la misma , tomando momentos res-

pecto al punto medio de la base de la rebanada es:

La hipotesis de Janbú consiste en admitir:

C¿X

resultando que la expresí6n anterior pasa a ser:

Ttd'.N=Odx

Con esta hipótesis , la expresión del coeficiente de seguridad -

escríbiendola en la misma forma que en el método de Bishop , esto es -

en función de resulta (ver figura 2.61) :

sen oC; (4Y/ _ 7 f T �_�,, cos oC;

y

superficie del talud

y = f1(x) dx

superficie de .-.-

deslizamiento - T +dT

Y = f2 (x)

T+dT

N2

h

idwzf. dx <IN - -N 2

2•d Sdt

2

6•dS 2

t

X 2 x X+2 x

Fi};. 2.74 - Caso I;eneral de un Lalud referido a Los ejes O`- Q y

218

donde M��) tiene el mismo significado que en el método de -

Bíshop.

La hipótesis que establece Janbú hemos visto que consiste en -

hacer:

pudiendo suceder que (� -{�x)) = O o que dN = OEn el primer caso resultaría que el lugar geométrico de los puntos -

de aplicación de las fuerzas (N + T) en los laterales de las rebana-

das coincide con la superficie de deslizamiento. En el segundo caso -

resultaría que estamos en el método de Fellenius pues seria N(x) = cons

tante , y como NA= NB = 0,esa constante sería cero y como:

T,4 L.N=Oclx

resultaría T(x) = 0

En el . trabajo de RAULIN, ROUQUES, TOUBOL (1974) aparecen otros -

varios métodos derivados del de Janbú, así se considera el nétodo de

la linea de paso fija y el de la línea de paso variable.

Cuando tratemos de los métodos exactos veremos otro método que -

es una consecuencia del de Janbu (es el caso ¿ 72 'T) = O ); hare

mos un estudio detallado de este método por ser de facil aplicación -

y de gran interés teórico al deducirse conclusiones interesantes en co-

mún con otros métodos ya tratados.

Métodos exactos

220

ASPECTOS GENERALES DE LOS METODOS EXACTOS

Al principio de éstas notas ya comentamos la diferencia entre

los métodos de rebanadas aproximados y exactos . Vimos como para-

resolver, por medio de las 3n ecuaciones de la estática ( siendo-

n el número de rebanadas consideradas) había n-1 más incognitas -

que ecuaciones, de ahí que al considerar n-2 hipótesis resulte -

un problema sobredimensíonado y no se cumplan estrictamente esas

3n ecuaciones de la estática. Esto es lo que sucede con los méto-

dos de Fellenius y Bíshop modificado.

Seguidamente nos vamos a ocupar de los métodos exactos, es -.

decir, aquellos que consideran justamente n-1 hipótesis.

La forma de hacer esas hipótesis no es tán fácil como parece-

a primera vista y requiere de un estudio detenido , que es el --

que seguidamente haremos.

METODo El E L QUE LA LINEA DE DESLIZAMIENTO SE I.. 1,111¡'011 DE

AC( ION N DE LAS FUERZAS ENTRE REBANADAS

El método de Janbú que vimos antes y el de Morgenstern - Price

que veremos más tarde, confirman que el punto de aplicación de las -

fuerzas entre rebanadas puede situarse más bajo que el tercio central

de la sección en cuestión. En la figura 2.75 representamos la distrí-

bucíón de los esfuerzos normales en una sección del talud. Si la re-

sultante de esos esfuerzos normales es N, es admisible suponer que -

la distribución sea como la indicada, alcanzándose un máximo en el -

punto de aplicación de N y un valor algo menor en la superficie de -

deslizamiento. El terreno justo en la superficie de deslizamiento es-

tará en equilibrio límite.

Vamos a estudiar un simple método (del que más tarde nos ocupare

mos de analizar su exactitud), resultado de suponer que la linea de -

acción de la fuerza ( N+T) en los laterales de las rebanadas coincide -

distribución de esfuerzos normales

'superficie de deslizamientoN

--^��

Fig. 2.75 - Hipótesis sobre la distribución de .rs1 ftrz s norina1es

en una sección.

2- 22

con la línea de deslizamiento.

En la figura 2.74 ya indicamos la notación empleada , que utili-

zaremos en todo lo que sigue, mientras no digamos lo contrario. El -

perfil del terreno vendrá definido por y =i( ) , la superfi-

cie de deslizamiento por y = f (x) , cortando esta al talud en

los puntos A (Xa Y.) y 8 (Xe, )á) . Con esta not a cíón re-

presentamos en esa figura una rebanada de anchura dx.

Tomando momentos respecto al centro de la rebanada e integrando

(siendo l (XB) Y figura 2.74) resulta:

rx�

N(x)

Estableciendo el equilibrio para una rebanada según los ejes -

Ox y Oy obtenemos:

c¿ x

10- dx dXJ

Con estas tres ecuaciones y con la relación de Coulomb podremos

poner:

A(4. dr_ S(x). d/Va�x dx F. cosz<

B(x)= �-fjo(.fg�,

223

de la expresión de 1(x ) antes obtenida , considerando además que:

. { <xJ¿/(><)

resulta:7--

Con estas consideraciones y haciendo las sustituciones:

fy oC = i (x)

cz�X - cos oC clS

P . ,ddo �P «,�dt�.d

podemos escribir esa ecuación diferencial en la forma:

c/s f F

Nl problema consiste en halla r la solución de esta ecuación di-

ferencial que verifique las condiciones límites:

Para hallar la solución de esa ecuación vamos a recurrir al plan

teamíento de partida de este método , esto es, suponer que la línea de

acción de la fuerza ( N + T) coincide con la línea de deslizamiento. -

224

Con esto , si llamamos R al módulo de (N + T):

R. ,v? f T1

siendo:

A/= '? coy oC

T= R. sef? o<

y la ecuación diferencial anterior podrá escribirse como:

ds f ' ,�

La solución de esta ecuación , tal que R (hs)= O (! s:

l «fF d�C Sa_ d<í9 4.a:h.cos?�>.e

El coeficiente de seguridad se obtendrá para aquel valor de F

que verifique R (s) = 0 , esto es:

S« f9 dot

/�-u f9� ,�4•cYh.cos2df.�l°�° c 5=D

resolviendo estas integrales podrá deducirse el valor de F, que es el

coeficiente de seguridad buscado.

225

Una vez determinado ese valor de F, la función R queda compl etamente definida y con ello los valores de A/(S)y7-(S).Tambíen obtenemas con facilidad ; en efecto , estableciendo el equilibrio de fue rzas según el eje Ox (figura 2.74) es:

G_ C> 5 D/ = 0

como d5 . dx�coso( y, por Coulomb , f= ��U) f9��

podemos poner

9 o =ofin/ Q.Q t - z¿

dx

Igualando esta ecuación a la ecuación diferencial obtenida más

atrás se deduce:

4`= ó• fi. cos to( 4 /te(s) = CO h . cos ?o< • R(s)

F. coso(

METODO DE MORGENSTERN-PRICE

El método desarrollado por MORGENSTERN,PRICE (1965 ) en cierto -

modo responde a las hipótesis de Coulomb de linealidad entre esfuer-

zos normales y tangenciales . En efecto , los citados autores proponen

una relación lineal entre las fuerzas normales N y tangenciales T ac-

tuando en las caras laterales de las rebanadas , expresión del tipo:

T = A • N

siendo 7(x) una función dada y A un parámetro a obtener.

226

Esta expresión , junto con las de G- y Y obtenidas al principio

pueden introducirse en la que relaciona 0 y r , llegando a obtener

una ecuación diferencial , de la que tendremos que encontrar la solu-

ción , esto es, un par de valores de í` y /C- que verifiquen dicha --

ecuación con las condiciones limites:

/'v _ /VB = o

74 7,9 O

El desarrollo matemático de este método es laborioso y su des-

cripción en estas notas carece de interés en cuanto a que se encuentra

perfectamente descrito en muchos trabajos como en el de RAULIN, ROU-

QUES , TOUBOL (1974 ) y muy especialmente , para los interesados en los -

detalles de su programación , en el trabajo de MORGENSTERN, PRICE (1967).

En lineas generales podemos decir que el método de cálculo comienza -

por transformar el problema a uno de diferencias finitas. Para ello se

divide el talud en rebanadas verticales , de manera que en cada faja -

las funciones que interesan pueden suponerse lineales , resultando que

el problema se transforma en resolver dos ecuaciones implicitas en

y , optando para su solución el método iterativo análogo al de -

Newton-Raphson.

Para la realización de estas iteraciones es necesario ir contro-

landolas para hacer el proceso convergente as¡ como para eliminar va-

lores imposibles de \ y F .

Morgenstern y Price concluyen que con los tres controles de í�

y /c en un 80 % de veces los resultados convergen con menos de 10 -

iteraciones, obteniendo valores de % y IC- correctos hasta la ter

cera cifra decimal.

227

Así pues el método desarrollado por Morgenstern, Price comienzapor suponer una función F(x) , fijada a priori. Con esta función

logramos que la relación T/N para las diferentes rebanadas no sea cons

tante, acercandonos más a la realidad. Sin embargo la elección de di-

cha función no es nada simple y requiere de mucho juicio del problema

estudiado. En la mayor parte de los casos convendrá calcular con va~

ríos valores de esa función y elegir la solución más conveniente. Pa-

ra Bisliop los resultados al aplicar una ú otra función deben de ser -

muy parecidos, y así resulta para el talud indicado en la figura 2.76.

METODO DE SPENCER PARA DESLIZAMIB NTi)S CIRCULARES

Para terminar con la descripción de los métodos exactos, --

nos vamos a ocupar del de SPENCER (1.967 ), interesantísimo Método

del que publicamos un programa de ordenador como mas tarde comenta;

remos.

En el método original de Spencer se supone una superficie de -

deslizamiento cilíndrica, de sección circular. En la figura 2.77

indicamos la notación empleada; H es la altura del. talud, de incli

nación í o l:a. En esa misma figura se dibuja un potencial círculo

de deslizamiento ?B, así como una rebanada de altura AC y incho

6� Esa misma rebanada es la considerada en la 2.78 , sobre la

228

Y

5m

I(-)

3

2

-�--�xo xl x

Fig. 2.76 - Resultados de la aplicaci6Ll del. mc"todo de Mor cnstern-1'rice

para un talud con 3 función í (x) díf.erentes.

RAULI.N, ROUQUES, TOUBOI. (1974)

o

229

H,•o

h¡

C(i

b¡

Fig. 2.77 - Notación del método de Spencer.

0

F

Wial

8¡_1

Fi- 1

�' - - Ti,bRi

« cii

Ni b

Fig. 2.78 - Rebanada considerada.

230

que hemos dibujado las fuerzas actuantes, que como sabimos son

- Peso de la rebanada, W.i

- Fuerza total normal en la base de la rebanada,

N,6, que ..puede descomponerse en la suma de la

efectiva tv' y la neutra LL = u.bíseco

- La fuerza tangencial desarrollada en la base de

la rebanada 77,6 que puede expresarse en función de

la cohesión y ángulo de rozamiento interno efecti-

vo según:

- Las fuerzas totales actuando en los laterales de la

rebanada 'y y que se podrán descompo

ner en la normal y tangencial. Así mismo las normales

serán sumas de las efectivas y neutras, pero por co

modidad no lo haremos asf, haciéndo por lo tanto un

análisis en totales.

Admitíéndo un terreno homogéneo de. peso específico ó ,

el peso en la base de una rebanada de altura h es ó•b.h, y si como-

propone Bíshop admitimos una distribución homogénea de la presión -

íntersticial, significa que la presión ínterstícial en la base de -

esa rebanada es

Siéndo r el coeficiente de presión intersticíal.u

Si en la figura 2.78 establecemos las dos ecuaciones de e-

quilibrio de fuerzas para esa rebanada , podemos obtener el valor

231

de la fuerza Rí , resultante de F. y Fi-r

c_'6 1 . seco', ''tg�Á

��'•cosdc X1 .6, .src Y,) 1v s<•nn'c

cosa%'-5�:�. ,* � f9<� -�`•Jr-.Utilizando la expresión antes vista de U podernos poner Ri de for-

ma adimensional seb'in:

tcos 2olc J - �c'.s ,� 2c�•F é'N F 2 /v'111 / 2f/

La expresión anterior expresa, de forma general, el equ ílíbri-

brio de la rebandada sin simplificaciones de ningún tipo.

Si se han hecho un total de n rebanadas , del equilibrio de to-

do el talud se deduce que la resultante de todas las fuerzas Ri

debe ser nula , de dónde:

senG�� = O

232

Y además, el momento de todas las fuerzas respecto al centro del

circulo debe ser también cero:

Así pues , hemos ::llegado a obtener las tres ecuacionr..:s del

equilibrio y podemos obtener valores de F y W, que satísia9an

a las tres ecuaciones. Esos valores de C' para una misma rebana-

da deberán de ser idénticos para las tres ecuaciones, no t:enién-

do porque ser iguales para rebanadas diferentes, es decir , las -

fuerzas Ri no tienen porqué ser paralelas.

RESULTADOS DE SPENCER PARA FUERZAS R• PARALELAS

En el caso de suponer que las fuerzas Ri-son paralelas, es de>-.

cir iv constante, el problema se simplifica mucho.Las dos prime-

ras ecuaciones del equilibrio son idénticas.

SPENCER (1.967 ) suponíándo que la rotura se produce según un

círculo, en un talud ( de los tres por él estudiados ) indicado en

la figura 2. 79 , llegó a las conclusiones que hemos sintetizado

en la figura 2. 80. Para la realización de esa figura se ha co--

menzado por obtener gráficamente , para cada rebánada, su altura -

hi y el ángulo o<i Se han considerado varios valores de %/ , des

de 9 hasta un valor igual al ángulo de talud y para cada uno de e-

llos el correspondiente coeficiente de seguridad ; Ff es e] obteni-

do de la ecuación de equilibrio de fuerzas y Fm el obtenido con

231

6,53 mr„ 0 0,5

OJ ' 400/ CY1H:4o2

25,5°i

LUGAR GEOMETRICO DE LOS PUNTOS

DE APLICACION DE LAS FUERZASinENTRE REBANADAS

60,96

Fig. 2.79 Ejemplo de un talud estudiado por SI,encer.

F1,10 -- ----- --------

F :1,070

1,05 -I

Fm I

fm(0=0 ) 1,0391

1,00 t--

F¡

0,95 --(--

0,90O 5 10 15 20 25

Fig. 2.80 Resultados suponíando que ras fuelrn:; re

sultantes,para cada rebanada, de 1a;, -

acciones en los laterales de las mísmati-•

son paralelas, entre sí.

234

la ecuación de momentos .También se indica el valor de Fm en el, caso

Y = 0 ( que corresponderá al método de Bishop). La intersección de-

Ff y Fm da un valor del coeficíente de seguridad F que satisface-

las ecuaciones de la estática, obteníéndo el correspondíénte valor-

de W . Con éste valor de F y el correspondiénte de í', poi':emos ob-

tener los valores de Ri así como los de Fi y F1_1 para cada re-

banada

Por ultimo , tomando momentos respecto al centro de la base de-

la rebanada , puede obtenerse el punto de aplicación de la:; fuerzas

en los laterales de las mismas , síéndo representado esos puntos en

la figura 2.79. por la línea a trazos.

De éste trabajo se observan los siguientes aspectos:

- El ángulo le es menor que el ángulo del talud.

- Las variaciones del ángulo Y afectan más a los valores de Ff

que a los de Fm

, los cuales varían poco, motivo por el que

Fm ,p = 0 no dista mucho de F.

- El punto de aplicación de las fuerzas actuantes en los latera

les de las rebanadas se :encuentra aproximadamente a 1/3 de-

la altura de esa rebanada medida desde la base de la misma.

GENERALIZACION DEL METODO DE SPENCER PARA DESLI ZAMI ENTOS NO CIRCULA

RES. PROGRAMA DE CALCULO .

El método de Spencer ha sido generalizado a superficies de desli

zamiento, no circulares por S.G. Wright , habiándo sido programado-

por G . Lef ebvre .

El listado del programa se adjunta en hojas posreriores, rasando

a describirse en las siguientes notas.

El programa original nos ha sido facilitado por el profesor -

235

James Míchael Duncan de la Universidad de Berkeley Dícho progra-

ma escrito en FORTRAN IV , consta del programa propiamente dicho -

SLOPE 8R y de siete subrrutinas , EFLAG, MESAGE , CGXY, BRISRIG, E-

FORCE , THRUST Y READER.

El citado programa ha sido adaptado para un ordenador 1.B.M 370-

125 , siendo éste el programa que adjuntamos al final de este esto--

dio.

La entrada de datos del programa comienza por definir la geome -

tría de la sección a ensayar y de la superficie de deslizamiento

trabajando en pies y libras.

El contorno del talud puede defínirse hasta por un má::imo de 10-

puntos , definidos por sus dos coordenadas ( X,Y ) , y paras ello se-

emplearán tantas fichas como hagan falta Aunque el perfil del te--

rreno se admite irregular, el programa ha sido realizado onsíde.rin

do que el perfil descícnde según lo hace el valor de X,_y X debe-

aumentar de izquierda a derecha del dibujo.

De igual forma se define la superficie de deslizamiento a ensa-

yar, empleando para ello tantas fichas como hagan falta.

El método de Spencer vimos :que era un método iterativo. Por tal

motivo se debe definir la aproxímaci6n requerida , haciéndola en fun

ci6n del valor de la fuerza horizontal y del momento permisible no

compensado . Este punto queda a juicio del encargado del estudio. E. ,

Z/o y de N�/p4recomendable tomar esos límites igual a .P*2

en uno y otro caso.

El siguiente dato a suministrar es el . número de rebanadas que-

deben ser consideradas , siéndo el máximo de 98.

Con todo lo anterior ya tenemos definido tanto el talud como--

la superficie de deslizamiento a ensayar.

En el método programado es preciso suministrar como datos las -

características de las diferentes rebanadas , motivo por el que será

236

necesario dibujar el talud a una escala que pueda medírsc.:con sufí~

cíente exactitud.Se hará una ficha en los puntos dende cada plano -

vertical de los que definen las rebanadas corte a la superficie de

deslizamiento. Para cada uno de éstos puntos, los datos a suministrar

serán:

- coordenadas X e Y del punto de la superficie de deslizamiento

- presión intersticial en la rebanada anterior

- cohesión en la rebanada anterior

- ángulo de rozamiento interno

- densidad del estrato superior

- altura del estrato superior en el plano vertical que pasa por

el '.punto en cuestión ( caso de haber un sólo estrato será -

cero ).

- densidad del estrato inferior ( caso de haber un sólo estra -

to será cero )

Todos éstos puntos se han definido en orden dec:recieei:te de X

El programa está realizado de manera que puede estudiar varias -

superficies de deslizamiento, introduciendo tantos diferentes paquetes

de fichas como superficies ensayadas.

Además pueden analizarse otros taludes repitiendo tantos paquetes -

de fichas como casos quieran estudiarse.

EJEMPLO DE APLICACION DEL METODO DE SPENCER

En la figura 2 . 81 se indica el talud ejemplo del método de Spencer

antes descrito.

Las unidades están en pies y libras ( 1 pié = 0,3048 m, 1 libra

= 0, 4536 kg.)

EJEMPLO MOSTRANDO LA ENTRADA DE DATOS DEL METODO DE SPENCER

4 1 Talud definido por 4 puntos; se calcula solo una línea de deslizamiento.

37,5 155 62.5 155 400 0 500 0 Valores (.n,y) de los 4 puntos que definen el talud (máximo de 10 puntos)

320 50000 :áxima fuerza horizontal y máximo momento no compensado.

11 -- Número de rebanadas consideradas (máximo de 98 rebanadas)

47,5 155 0 0 0 0 0 0

52.5 145 0 0 38 133 0 0 Definición de los 12 puntos de intersección con la superficie de deslizamiento.

62,5 137 0 1000 11 133 0 0 Coordenada x del punto

100 107 0 1000 11 133 0 0 Coordenada y del punto

150 67 0 1000 11 133 0 0 Presión intersticial del anterior punto.

190 35 0 1000 11 133 0 0 Cohesión en el punto anterior

220 19 0 1000 11 133 0 0 Ángulo de fricción del punto anterior

250 8 0 1000 11 133 0 0 Densidad del estrato superior.

285 0 0 1000 11 133 0 0 Altura del estrato superior en el punto considerado ( 0 si es homogéneo )

315 0 0 0 38 133 0 0 Densidad del estrato inferior ( 0 si es homogéneo ).

350 0 0 0 38 133 0 0j pies

400 0 0 0 38 133 0 0 J IL200

MANTOJ=133 libras/pie3

Fi;. 2.81 Ejemplo desarrolla C=0 100

do por el método--38

NUCLEOde Spencer. b = 133 libros/pie3

c = I.000 libros/piel11°

400 300 200 100 O

238

In el ejemplo se ha supuesto un talud sin presiones neutras en un

terreno homogéneo.Unícamente se ha ensayado una línea de deslizamien

to, indicada en la citada figura.

El coeficiente de seguridad de éste talud con ésta línea de desli-

zamiento, es 1,3600.

L istado del programa

LAJA •SuPERFICIk OL •CUHESIUN .FRICO I CN. PUES ICN ••FUERLA NURNAL aafUER1AS EN18E RELANAUAS •.1INCA u( Utn U�f•Y,SL(LAHILNIU • -Lit; PURU •4 •• IN,LI7:AC1Uh.4• A Y • (PSFI •tGRADUS1• IP5F1 ••IU IAI-EFEiC II VA -C ILALLAOvRA •4;iUK MAL-C1I ALL AO UtiA (URAGLS1 •. Y1

0 47.50 155.00

l 52.50 145.00 0.1) 38.00 0.0 2781. 2781. 143. 1773. 653. 20.22 141.72171 0 .L7

2 62.50 131.00 1000.0 11.00 0.0 14584. 14504. 896. 1904. 701. 20.22 143.69 0.Jt

3 100.3) 107.00 1000.0 11.00 0.0 103613. 103613. 1044. 21497. 10125. 23.22 115.4011 J.2/

4 150.00 61.00 1000.0 11.10 0.0 231752. 231752. 1253. 109643. 40375. 20.22 82.04(11 0.31

5 19J.UV 35.20 1000.0 11.00 0.0 262422. 262422. 146d. 214816. 74127. 20.22 55.54 J

6 2.3.00 19.00 1000.0 11.00 0.0 228485. 226485. 1696. 271533. 99991. 20.22 39.6911) 0.,2

7 25 1) .00 6.00 1000.0 11.00 0.0 233260. 233260. 1779. 296484. 10v915. 20.22 26.71(11 0.31

8 265.00 0.0 1000.0 11.00 0.0 258555. 258555. 1765. 294345. 10x391. 20.22 14.12(11 0.27

9 315.03 0.0 0.0 38.00 0.0 232437. 232437. 4451. 160700. 59199. 23.22 10.44(1) 0.27

10 350.10 U.0 0.1) 38.00 0.0 183044. 183044. 3004. 55561. 20460. 20.22 6.16(71 0.27

11 4u2.l3 0.0 0.0 58.00 0.0 96649. 96849. 1113. -100. -37. 20.22 -25.51(1) 0.)AJA (.c Nfm; CE r1ChcNfCS SUPERFICIE P6 SU NITCTALI/ 7EN51LN NURNAL ••4•• FRONTERA DE LAS RUJAJAS ••.•`

AC0 )LG IPUN(U. Y) (LiJRA51 ♦•C05(3LfAI A LASUPERFICIE OE )ESL11AA1f7:IG • X 77(5F) TLhSICIi 'I(.RKAL

TOTAL Lf éCTIVA asasa4 • ss•s.4 . .... s.4a.es .•.. ....c

1 50.63 148.33 155.00 3325. 1.370 249. 249. 52.59 147.72 171.2•.2 51.98 140.62 155.10 18620. 1.003 1139. 1139. 62.50 143.69 105.773 64.69 120.69 137.73 121640. 1.091 2156. 2154. (60.00 115.46 o93.?r4 12c.CL 65.55 114.81 261320. 1.136 3619. 3619. 150.00 62.04 2253.•1.'S l70.E3 50.33 56.44 250630. 1.156 5123. 5223. 190.00 55.54 3497.3.36 2u5.0. 26.95 82.67 245557. 1.037 1720. 6723. 220.00 39.69 4264.+217 23..•9 13.54 66.69 2464 d8. 1.001) 7.300. 7300. 251.33 26.77 4902.121-8 261.09 4.09 52.81 214645. 1.002 7202. 7402. 285.00 14.12 5573.15;9 .95.2S 0.0 39.04 183244. 1.268 7146. 7143. 315.00 10.44 4118.1.,

10 33C.i9 0.0 22.96 144305. 1.268 5230. 5240. 350.00 6.16 2419.551`11 300.61 0.0 0.00 76352. 1.266 1937. 1937. 400.00 0.0 0.0

Í•'

runa

ANALISIS DE UN TALUC PUR tL ME1GOC DE SPENCEk

NVMEk0 0E PUATLS ULL TALUD 4NuTEML CE SuPEAF1LIES UE GESLILAMIENTG 1

CCCMOLNAOAS CE LLS PUNTUS DEL TALUDA Y

37.50 155.u1362.50 155.00400.00 0.0500.C0 0.0

nrFUfMZA LOCALILAbLL NU LCMPENSAUA • 320.00MCMENTC LOCALILAOLE NC COMPENS•AOC• 50000.00

NUMERO CE &CUAJAS = 11

DAICS DE LAS NCOAJASR Y V CEE FI CUP GY GLG

41.50 155.00 0.0 0.0 0.0 133.00 0.0 0.052.50 145 .00 0.0 0.0 38.00 133.00 0.0 0.062.50 137.130 0.0 L000.00 11.00 1�3.Gü 0.0 0.0100.00 161 .00 0.0 1000.00 11 .00 133.00 0.0 0.0150 .00 61.00 0. 0 1000 .00 11.00 133.00 0.0 0.0150.00 35.00 (3 . 0 ICCO.CC 11 .00 133.01) 0.0 0.0220.00 19.V0 0.0 1000.OC 11.00 133.00 0.0 0.0250.00 8.60 0.0 LOCO.00 11.60 133.UU 0.0 0.0285.00 0.U 0.0 1000.00 11.00 133.00 0.0 0.0315.00 - 0.0 0.G 0.0 36.00 133.00 0.0 0.0350.00 9 .0 0.0 0.0 38 .00 133.00 0.0 0.0400.00 0.0 0.0 0.0 38.00 133 .00 0.0 0.0

ITERA C.S. THETA EACESOCICN GRADOS FUERZA MOMENTO

1 3.000 20. 0 -386c8t. 5 -4:135657.72 2.500 20 .0 -325x36.7 -38526862.43 2.000 14.9 -232423.5 -27543537.14 1.500 19.1 -75600.9 -5556731.95 1.352 20.9 9132 .4 177575t.76 1.360 20.3 95.5 45139.0

G.S. 1.3600 DESPu S CE 6 ITERACICNES

YMni

EtlCUIC LISTAR FECHA 19-11-80 HCRA 10.17 PAGINA Y

IMPL1L11 RcAL + B (A-H),REAL + 8 (0-IIRLAL • 8 LIMIIF , LUMiIM

•• EATEhNAL S1h,LCS.AlAh.IAN.AtlSCCHMCN /F.,KCL / LIld1.111CJ1.�l luz) ENN(10G1CCMMCN /N—MJLR/ N I ,lILRIrlIH1IF.LINIIN.f5r1MGI.,VEIU,FLERUCOMMCN /SLICLS/ EA5t11CUIrwIllCU1.AlYHAl10Cl.FLxll00100 100 J•2,NSP1ANGLE • FOx(JI•Itt1AEIJ(=-.(J1•CL5l.1n.Lt1.t(J-llTlJ)•-G (J1+11hlANGLtI$ I(J-11ENNIJI•wl(J)•CU�IALYMA(J1)-w(J)+SINIALPHAIJI-A(GLE)

100 cchllhutlf(ABStLINSPII) GI. LIMITFI CALI $) SAr¡EC , 0 ,0,0,IIMITFr0.,0..0.1IF(Ad5(IINSPI)1 GT. L1M11F) CALL r:ESAGLIi,U,U,0,L1NlTF.0..0.,0.(REIUHNLtISUl CUT1Nt THkUSTIMPLICIT REAL48 (A-H),ktAL*B (0-1)REAL*8 11MIif,L)M(t1CCMMCN /LJL.. S/ X11U01rY(100),YSl1cC1rXCGIlOü)rYf.G11001,YT11001CCMMCN 1NJMdLR/ NS✓1r11cKL,LU4)Tt,L1M1iA kS.1Hc1;..YF1d.FZEkUCCNMGN /ZURCES/ EIIOC).1(1C0),.;IIUG).t? (tQC1Vi(1) • (YSIi)-Y(1)1 1 3.G+Y ( 1)00 100 J•2.NSP1HARML=XC.:1J)-x(J-1)MARMR•X(J)-XCGt JI

.� VAMML-Y11 J-11-YCUIJ1EX LE 5M=-(J-11HAkML-T(J)+HA1tMR+EIJ-1 H VARMLYARMR-EXCESM/E(JIYT IJ)-YCU(J)+VAñik

100 CLhl1VUERETURNENUfuhLT10N TAN1x11MPLICLI REALjtl lA-HI,REAL • 8 tC-Z)IAN•C!ANIX)RLIU,ihEHUfuhCTIOt A1.S(X)1MPLILII REAL• tl (A-H1,XEAMI8 (U-IIABS•OAES(XIREIUPhENOFJNLTICN ATAN(XIIMPLICIT IEAL• d (A-H).REAL • 8 (0-Z)ATAN.OÁIANIA)Rti�.NENLF..NCTICN COS(x1IMJLJC1T REAL + b (A-h).REAL + 8 (C-Z)CCS•OCUSIXI

�� i+EIuP.VEhJFutCT(CN SINIx )IMPLILIT RLAL • 8 (A-H),REAL 4 8 (0-Z)SIh•LSltltxlREIvbUENO

- - -------------- -

Et1CDJC LISTAk FECHA 1v-12-80 HURA 10.17 PAGINA d

P (- 4PT -(- 1AhtPHtt ti b)YF)fC%IJJ•111.C /CCSIALVNAIJJ- FC%11)elhE7AJ)1 ••21PC4Pf--TAt11ALPhAtJI-1OXIJ1- IHETAI •TAhIPHLEJ))/ ( f.•LJPOVI=(-1 .U•IL1/F-Ctl•tC3•VL4P I.L4•PCJP11)/IIC3+Ltil••2)PCPf-1 L3•L4•I l/lf••23)-(Cl/F-LñPI.J+V1401 11 llC�•G41••11MPI-Pk2P1+PCP1•IYL�fJ ) •LL 51f LA1 JJ+1MEIA)+XCút J1+S 1t, 1LX1 J1.

1 THETA) 1-.IJ1+tYCGIJ).FLXIJ)• SINIFLXIJI • THLTAI -XCGIJ)•FCAIJI.2 LUSIFUA(JI• IPLIAII

•y PAZ.PF-Pk2PF+P4PF•IYLG(J1•CLSIFLX (J)•THETAI+%CO (J)•$lPLFOXIJI.TMETA)1

PRLPi-PRIPT +PGPI*CUS(FCX IJ)*ThETA )- QIJI•FUX(J1 . 51NIFCX ( J)•THETA)PRiPf-Pg1Pf +P.PF•Ct.$1fLXIJ1+ThETA)

200 LChriNULDENCM•Pk1Pi•Pk2PF- PR1Pf.PR2PTGtli=1MZ+Pk1Pf-R1• Yk2Pf)/UEhCMDEIF=Ik1•VK2PT- k 2+Pn 1V i !/GtNLM '1FIAoSICtLI) .L C. u., .;h . :.ES¡UELF) LL. 0.51 GC TC 220FACILK-GMlN1(( U.10/atiS4CElil ). 40.5,A11IULLf711DEL(-FALTLk+CELILELF-FACTi.k•UELf

220 CCM(INUL1HEIA1.IMtTAFl.fF-F ,CELE1hLTA•THETA+LEL1IktiKN=0IF(17Ek .E . 1) GC TG 320

330 IF/PF.11k L CLNS-T,Fi) .LE. PHI(k10L0,CUNSbT,R2CLD)J CO 1G 350

THETA• ( THElA2,IHE1Al)/2.0I. IC 500

350 IFIIRLTkN .EC;. 1) GC TG 400lkfTkN=1

c� 320 LUhS. T=(PRtP1••2 +PRtPF.. 21/IPRZPT •• 2,PR2Pf••21IF1lKE1kN .tt:. ll GO TG 330

400 LLhi Ir UL500 k1LLC-R1

RZCLO-k2F2=f 1TMETAL=11ETAITHETAU= ThETAl•51.c957dPRINi 2GI1, IIt ,f1,THE1A0,kl,R2IfIAd. ( kll .�I . llMlTr .meo. A051R2) GT . LIMITM ) GC tu 700CALL LFLkCECALL THKUS1

+Y Vf l tl •k3f S-fREI.;kN

700 IFIITEIt LT. l(LlLI CO TC LOOCALI MLSAGtt J .,C.,U.,IIERL. G.0,0)VI 1d-k3iS-FkETUPN

2000 FLK MAII /.6X,SNI¡EkAr 6X,4MC .5 . 5%,SH iHETAr12 X ,'1.CE SC'/17X,4HClGh14Xr'URAULS' rSA,'fuEKaA • rSA,'MGMEhiO'1

2010 FGkMAtl6A ,i5.f to.J, 2f10.1.Fi5.11Eh0Su6KLLiIhE EFL,+CE

EBCOIC LISTAk fECHA 19-L2-80 NORA 10.17 PAGINA

80 CCNFINUE6 1J1•e(J1 0SIGNIJI

•v 8S CGNiIhuieA 90 CeNTIhuE

1FIM1 . M2.GI.14M1 GC T0 35J•01F(M1 . t0.01 CC IU 1310C 130 J.1,M1

110 J1 ( J1.8(J1130 CLhTINUE131 CCh T1+.UE

MM-J+1LL•J+M21-000 1t0 J•MM,111.1+1

150 R2111•BIJI160 CCh11r.uE

IF(M1.E0 . 01 1111E 161 (R2 (1 1 4 •1,112)IFlM2.Et; .01 t,H1TE It) IJI(L),L=1,141)1F{M1.Pt .0.ahl.M2. Nt.01 wRlTE ( 6) IJ11LJ,L•t,M1 ),Ik2(L).l. 1,142)

200 CChIINUE100 FLnUA1(6CA1J

REfuRNEh05„BKOUT1hE tlI1RiGl11ER11MPLIC1l REAI $ N EA-HI , REAL • 8 (0-1)

a� REAL + B L1MITf , L1Mi1ME11Ei,NAL S1N, CC S,ATAN,IAN,ABS

C(MMCH /AVY.c[k/ NSPI.1TCkl. LIMITE,LIMITM,FS , 1hCTA,'F18,FIExUCCMMON /SLILL51 bASE ( 100)rwTI10Ul ,ALYNAl1GCIrF(JX110U1CCMMGN /COCRLS/ X1100►rYC1001,YS(1001.XCG11001,YLG(100J,Y111001LCMMON /SfiLLG/ U(10G).Ltjl1(,0),PHCEl1G2)CCMMCN /iLRCtl/ E(1C0),1l1CO1 , .(1iC1,EANl1CC)PMlIGR1 ,JCrUñ21•ILk L•s2+ OC•IOk2••2))VFIc •9999999.ITEk-OPKIMT ¿000F•FaERO

100 11cK. 1ILR•1R1-U.k2•U.R3.0.Pk2Pf•o.PRZJ'f•0.Pk!?f.0.J 1.1?f=U.00 200 J•2,ASPIC1•CeEIJI•oASE1J1/CLSIAIPHAlJ11• lwflJl •CCSIALPNAIJI)-

1 U(JI•cASElJ1/CÚSIALVMA(J1))• 1AN(PMEEIJIJ�• CZ•wIIJ)•S1Nl.LPFAIJ))r,r C3=COSI AL?r,A( Jl -rLX(J 1 . 1hE JA)

Cti.1.0•fAN (ALGhA(J)-FLxlJ)• 1HEíA1 • TAN(PHEEIJ►)/FCIJ)=(C1/F-C21/tC3+C�lk1•x1 .u1J)•CL51F( XIJ1•THE¡Aok2=k¿+.1J1+4YLi,1J1+LLi1FGX 1 J1• ThL YA )•ALG( JJ + SIN ( F CXIJ ) + IME 1 A))R3-A340 J k- SI-',¡ FLX( J)• (hl ]AlPCJPT•+FuX (J1•S1h1ALPHAIJI -FCXIJ1•1HE(Al

NVKn

EdCUIC LAS¡ Ab FECHA 19-12- 80 HURA 10.11 PÁGINA

SU ShCU1 U.t RIAt: Eh lMl,M2 ,Kh)1MYLICIT ,LAt*2 1A-HI,ocAL•8 10-2)01M,NSILN Ltcl;1,dleU ), b14U),NFt401 .),PI40t,SIC N(401,Jt(40 ),R2(401REAL4 hutVL,HCALSDATA ULAM.C.vNC L(.$ IR ES. 5£ 15, Si El E, 9C11C.NUE VE, RENO

15 / . . ' . 1' " ,'3 '.'4'.'5 5 ,'_•/,OVNI L/'.'/DG 200 KI.1.KhCC 30 J-1,4)

I► (: tJl-0.�• hflJl-u

tPlJ ) O30 SIGN (J)-1.0

MM=OJ- O

35 REAO 100,CIf(M1 .L0.J.ANU.M2. EU.01 „RITE (6) C1F(n1.E�.U.Ar.�.H2.L�.01 CC TL 200CO 24 K+l,c0

34 R(K1+0.CO 55 1=1,80If1I.E0 .1.ah0.CtLl.NE.BLAhCC) GO 16 45

eq 1F11.EL.11 uG IC 54IflClll.hE .BLANCG. AND.Cl1-l ). EO.EIAl,CC) GG TO 45Cu TO 50

45 J.J+1hf(JI=1

50 Curtí /I.UL111 Cll ).1..? 1CINP(J1.11l( CIII.t..MchuSISICNIJI+-l.0IF ( cl 11 .Ld.Uhul Rlll-1.0IF( C(i).E:. i.CSI M111a2.0¡fl Cll1.c�.Ik�Slh111.3.01F( C(1).EC.CuA1NC)

Ra 1f10 1II.EG.01h00lx111=5.0IF(Cll ).L..3c1Slxlll+t.01FIC{11.c:.SltlcIR( 11+7.01f1�111 .é�.LLFLIh( 1)-8.01 (0111 .k L.;.u tVt)xll l+9.UIFII.EQ.11 sL 10 54IF(C11I.tJ.cLANCC. ANU.CII-1 ).NE.1)LANCG.Ah0 .hPIJ ).tG.0lhvIJ)=1IFII.E..dJ. NO.hY1J1.EC. 01 NPIJI•t1

54 CLNT1SUE55 CLhTINU.

hFI J. LI -h)l J l.dKM1•MM.1

.n KMsJ00 90 J• MM1,MKLL•hPIJ1-1LK-hk (JlOU 70 1-LK,LL8(J)- dl J l' 1J•• tL L-11•RIII

70 CCh1IhUE

KL=hP(JIOC 80 1-KL,KKIf)I.0T.d0) GG IL 89L01.1-NPIJ)8(JI•d(Jl ' t1./10. ••LCL•A111)

EBCOIC Ll5TAR FECHA 19-12-b0 HGRA 10.17 PAGINA

GC 1Fi 99559 PRIN 12005,11

rr 2009 FGkMÁ .TI!/•1Jx,110 . 2X.•ES UN COOIGO I MPROPIO PARA FtZ),CAMBIADO A 1•r e 1+1

II.1R.E 1 uR1

l0. PRIM 2010,112010 FC ATI // 1Ox,I10 , Lx,•ES UN CCOIGO IMPROPIO PARA LAS FUERZAS NORMAL

LES A 1')11.1RET

11 FM .INT 2011,R12011 ÍLRMATl // 1uK,F20 . 1G,2X.'ES UN RADIO 1NACtPTAdLE'1

GG TE 9999.,, 12 PRINT 2012.R1ab 2012 fUnMAJI // l0x,3HX.,F15 . 3,2x. • EXCEO [ DA LA LONGITuU OLL -TALUD')

RLIUKNE rítSUUkUU11NE MESAGEINCCOO . R1,R2 , R3,i1,11,13,14)IMPLIGIT CAL 4 8 IA-M1,IEAL08 (0-L)G0 TU I1, 2. 3. 4,S1,N000L

1 CGh11NUc3 CON•TI%U¿2 PRINT 2002,11

2002 FGkMATI // 5x,'SULUCICN FALLIOA,N0 CCNVtRGE EN*)RE IOhN

4 PM1h ( 200..112004 FG'MAT( / 5X.'E LA FUL12A A LA OLRECHA DEL TALUD tS EXCESI VA,(ATEhC1

1C h')RE1UkN

5 PRINT 2005.112005 FUKMAI (/ 5.c.'X LA FUERZA A LA DERECHA DEL IALvO cS EXCESIVA . IATENCI

ILN')RETURNENOSUBlUUTINE CGXY(hCG)1MPLICII' REAL•8 (A-HI,REAL • 8 10-11REAL • b L1M11F , LIMIIM

ur EXTE.t, *L .1N . CLS,ATAN.TAN,A85r• CGMMCN INuMbEk/ h5P1,1TERL . LIMITE,LIMIOM,FS.ThtTA , YF18.FZERG

CGMMCN /COUhOS / X(LOOI, YI IOC ), Y511Gú1•XCG II OI,YLGliUJ1 . YT/1001CGMMCN / )LICCS / bASE11CG1.NI{1GJj,ALPHAl1CC ), FGxIlOU)UC 100 J-2,:4,PtGL TC 1110 , 1CS,1Cl1,hCG

101 XBA ,i•xC 4; FJ1 - xlJ-11GO 11 tic

105 H ,i�YSIJ1-YlJIhl•YSIJ - 11-YIJ-L)TUPXeR-Ida;CIJI/2.01•HM.(BASEIJI / 3.ClsIINI- MR1/2.01OGFXCk . rik.IFL-F,i1/1.0

r• XBAM • ILPAOA / OCIXBR,. GO TO 120

110 X8AM.8AS E IJ1/2.0120 XLUIJI-A(J - 11•AJAK130 YC .. IJI-YIJ - ll-AIAh'TANIALPMAIJI)100 CCNIIkuL

RETURNENG

----- -- - -- - - - - - - - -- - - - - - - - - -- - -

EdC0 (. L'1STAR FECHA 19-L2 - 80 HOkA 10.11 PAt.I NA

2000 FUNMAl ( 1H1,SA.8Ab)2010 FUr6N Ai t / SX,' NUHLkC Ot PCNiDS OEL TAL UO '. 112I6X,'NUKtkO OE SVPERfI

ICIL1 UE OESLILAMIthiU'.IS 12016 FCRMATIIH , F1t.2,r13.t 12018 FUHHAi ( IhU,SA. ' FULK LA LLCALILAOIt h0 COMPLNSAJA •',F1L.2/,3.

1 'M.MLn1U LLCALl2AoLE NU CuPOtNSAUU =l-L1.11

2370 FUNNATI'0 ' rl7r2fE.Lrf9.1rF9.2 , FIG. LFl2.Orf1U . U,Ftl.Urf12 . U.f1U.0,IFT.2 . FL0.2. ', Fn.L1

�• 2380 FURMATI ' u',17,.F6 . 2.FS.I,FS . 2.F10.2 . f12.0,f10 . 0,F8.0 , FL2.0 , F10.0,qp 1F1.2 , F1').2,'I11 ', Fn.Z)

2360 FCK MATI IHI .'• KGCAJA • SUPEKf IC1E DE •COHE5ION •FKICCIUN • PRESILN ••f

1U t KLA NL,UTAL' r l A,'• • FUL K LAS IN 11<¿ Kttl,rAUA S ' r 7 A,'•+L1NIA OE THIUS

21 '/1X.1H + 7X,'+JE511LAAiCNT0 •' r9X.1N* 6X,'•Ot Pu«; •.', 27X,2114 •1ti

3X,' fNCL1NALlLN'•'/A1X.'''.1A,' ' A'.7X,'Y • (PSF1 •1GRAOUS )• ( P5F) ••TCTAL-EFECT

BIVA-LILALL ..- JKA + 4 t.LKMAL - CILALLAu0RA IUKA., CS) +• Y1 PLA'I

2015 F " A1 ( / OX, ' LL1.n C cSAUAS Jt LLS PUNILS UtL 1 .: L..J'/iX. 1HX . 12X, IHY1

2390 fCxmÁ 1t1X ,' KUCAJA CLNIhU JE MCHtNIOS 51,p LKkICIE PESU',OX,'

2N(1UTAL )/'. 5X,'1LNSICN NCKMAL ', IUA.''a s• fkLNILÍA UE LAS RLOAJAS

3••'+" /12X ,' XL0',oÁ CG','.X,'IPUNIG . TI (LidKAS1 . ' CUSIALfAl'.

413A, -A LA',15A .'•', 3JX,1CIL J. t.SL11AMIENIG • X

MA 5'.7.<.'Y1 ( EF2X ,' TENSIGN NCRMAL '/12A,' ti, TAL' , o),'tr1Ui¡VA•,OX.6351"'1)ENOS1VUkOUTINE ff1 G ( MCGCE , II.k1,KILLEI1Mi'LICII REAL *6 14 -HI,KCAL ' 8 (C-LIGU l0 11.2,3 , 4.5,6.1.d . S,t ,11,12) .MCCJE

1 3F(Ii.LE.IU)k1 WkNPRlhl 2001.11

2001 FUk ATllhl // 1UA,7rtri8RPTS•110 . 2x,•SE HA EXCEDIDO LA OIMENSICN.HACER

1LA')9999 KILLE•1

yy REIJFN2 PK1NT 2002,11

2002 FGRMAillhl // 10xrbhKEY0•r130,2x.'ES UN CCCIGG 1NCCRRECTG'3

GC lC 99953 PRINT 2003,11

2003 FCRMATILHI /1 10X,IHI YF •, 110,2A.'E5 UN COOIGG 1NCCKRECTti '1GC TC 9999

4 PR1NT 20042004 FURMATI // LUX, 'LA FUERZA LIMITE ES MEMCR CGE L.CAMBIAOG A 1')

81.1.0FIlOKN

5 PRINT 20052005 FCKMAII // IUA,'EL MLMENIO L1MI CAM6IAOC A 1')

81.1.091(0RN

6 PRINI �UOt,IL2000 fCn :'nAt(1GX.I1U , 2X,'LIMITE DE ITERACIGNES Ot4AS1A0U ALIC, CAMUTALU A

120')11.20FEiuRN

7 PKthl 2001.112007 FGKMA1 (// lOX.110 , 2X.'ES UNA GPCIGh UE CCOkG¿NAUAS 1MPRGPIA-1

•, CO 1C 99998 PRiNT 20Ge,11

2008 FGkMAI (// 10X,l10.2X,'ES UN CCGIGO IMPROPIO PAAA LAS PRESICNES DE„� LvGKC•1

- ---- -- -- -- - - - - - - - -- -- - - ----

3EdCDi 6 L151AM FECHA ►9-12-60 HURA LU.17 PAGINA

1F111LR NE. 11Ek11 PRINT 23200-S.11EM1f11.1111 .Ej. 11tkL) CO IC 21611HU11T .LJ. Ui CO lt 610

an G1 TL 900010 PMINT 23t0

1-GPRIPT ¿370 .1.X111.Y11300 710 J-2,tISV1JM1-J-1PHEEG=VMEEIJI/RACCONAAULL-AIA:{(IIJI/�I�II/ki.ULCNIf1AdSIYS(JI-1(Jll GE. .000011 GO 16 730PCA-0.CC IC 740

730 PCA=(YltJ1-YIJIIIIY5(Jl-YIJ11e! 140 thhc�tNNIJI -Ul J) * 1 SflJl/CL>IALYMA(J1)

$IkfSl=(CCtIJI'thhL.fANlPhttAJll/IGAS�1J1/CU�IALYHAIJI)11/FSIf(PCA LL. o/ .At.u. PCA Lt. .. l Y llrl 251J,JY,1 ,Á4Jl, l Jlr

1 CEEfJ1,YHCtL,JtJI.tNNIJ1 .Nt .SIRc�S, tIJl,11J1 .•,hU1t,Y11JI,PUAIfIYLA .ú7. .cl .L,.. PLA Lf. .301 PklNl 233U,J{1,XIJ),Y(Jlr

1 CEItJ),PHE:G,u1J1,ENNlJ1,ENNt.5TREi.,EIJ1,I(JI,.�L.LC,Yi1JI,PCA710 CONIINUE

PRIhI 2350CC d1) J-2,1SPlJM1=J-1RAT1Ol-Ehh(J)/(.1(01+CCSIALPMAIJ)11RATIG2-ENNIJI/ldASt(J)/CÜSIALPHA(JI)I

no RATICJ-RAIIU2-UIJ1Y1Err Y(N51'1)fSVLPI=0.EEFF-0.Mi .E6. lüPll GG TO 4105EMMI-0J)+(YI(JI-t(J1lY Ait6P -l UIJl'v1J,111/2.Ulil YStJ l-tlJ)

EMM.,=„AI [i(F+MT/3.JEMAE=EMMI-EMM'+

iY EEfF=tlJ 1--AT ckFr� Y1tFf=tNME/EEFF�TIJi

ELFF=Ltff/MI$05 (L.11huE

Phlt.i 2400,JML,%CGIJ).YCUIJl.Y5tJ1,rTlJ1.RAtICt,( Ail02,RAT (U3,AIJ)L.YILFF.EEFF

$10 CCht/hutS00 CLhILNJE

2 CLNIINJEGL iC 1

2020 fLK ,HATI/tA,'hvAE�U UE RODAJAS -1.15)2025 1CkMA1l/oA,'úAlUS u2 LAS RGOAJAS'/SX, IM X,SA,LH Y,9A .1HU,8X,3rlCtE,LA

1,4111 ,L{. _'ni.Jp,7A,2HGY.8A,3h'iLU 1

•n 2030 FL�MAi It12.l, II lU.tl2081 fLr.MAI(21X,15,1A.f1L.J,IX ,F7..3.8A,fb.212320 FLlwA1t1oA.11L.5.,rb.-,21,'JLSPUE5 0E'.15.' 1fCRAC1C,kS'//12400 FCI.MA1t1A.tt,F1U.L.111.fL1.2.FL3.U,FL4.l,F13.O,F15.0,f14.2.F10.2

1,F14.219999 $TLP1C40 fC+ MATtdAd)

LUCOIC LISTAR FE CHA 19-14 - 8) hONA 10 . 11 PAGINA 2

XC=0.YO-o.

AFLLEh•O.hPLMEP•2ITEKL=20IHUNI.0hLG=2F2EFC•3.0

nP 1HE16=20.0FtA;;l�IL1N11F , LIMIINPONI 201b , LIMIIf,1. IMITMThL1A=THETA+I:AGCCh1FIL1MIIf .LT.l.J1Ln L ElLAG14,0, LlMITF,0)l/IlIMltH.LI .I,J1L�Ll LIL.�. (5,O,LIMIIM,J1lf(11cNl.LT .1.un.11�NL.üI.LJIC0.LL LFLA t6,11LFL,O.,U)II(hPLKI P.LT . 1.L�.t,PLFEP .Gt.ilü.ll EF LAGId,NVLn1P, 0..X11161

18 If (NCU.LI .I.LK.NCC.,1.2)CALL cI LAU(IO.NCG.U.,K1LLk1IFIIhUN1 . GT.1)1'Lh1.11b((lLLk .E�.i).. Ti- d9S5PEAOl6INS

rn PFUNT 2020,N521 LLh11NUE

hSP1=h>+LP91NI 2025FE■ 1tt0 6CALL NLACEMt0 . 8, 1i SPLIPCr1NJ 6co SUO J• I,hSPIf&AIJ1.1.0REAJ ( 61X(JI.YlJ ) ,UIJ/ .CEEtJ1.PHEL( J1,GUPtJ ), GY(J ) ,GLGIJ1

PRINT 2030,X(JI,YIJ1,úlJl,Cct(J). PHEL ( JI,GUP(JI,GYLJI . OLO(J1lfIGLLIJ, .E:i.O.JI:,YIJ1-•YtJI0 4

,. O15T • d{NdRP (S1-xIJI+G.O1IFICISI.GT.U .U1 C T., 3GCALI t PLA1;(1Z,U,X{ J1,K1LLE1GO TL 9955

30 1F (J.b..11GC It, 33PHcLIJI =PhEE(J )+í.ArCGNJM1•J-1CASEIJ)• x1JJ-X(J-11DkLIAY•Y ( .31-TIJr11

35 ALPHA (JI=AI3t,I 1.�t0ELTAY /83SEIJI1)33 CO 40 K•1,MCnPIS

MM 1FIXIJI -6IK1341,41,40pn 41 KM1.K-1

YSIJ1=AIKMlI•IXIJI-uIKNl/1 + CIKN l1GG TL 43

40 CLhI1NUEKM1.MdRPIS

43 ( ChllttJEiF1J.Ld.1) GL Ti. 5,0PJMI=1YS(JM1 ) - by(JnI ) 1•GLP(JNII+IGYIJM t)-YIJNIII+GLGIJM11

PJ -IYSIJI GYlJ 11•GUPIJI+IGYtJ)-YI J/1�GLC(JI•T(J) - OASLIJIN PJNL+PJI/2.O

500 CLNIINJLCALL CGKY(NCGI

•s CALL ElSP1G1lTER)

EUC01C LISTAN FECHA 19-12-110. HORA 10.11 PAÚINA

IMPLILIT kLAL-d IA-111,11LALS6 (U-2)IIALtd LIHIIJ,LIMIIM

(XILRNAL 5I1I.LCS,A IAN.TAN.ABSn f CCM MC /aLUPFdJ14 lITS,IILA,Al1JI,Ol1J),C(10)

COMMLK/Cti CRJS/A11ou1,Yt1L1YS(1jí:1,AC�I10CI,YLG100YT(1001CUN MC f1/STd,iNu/.(1L.J,Lttt%1,Hctl1CC 1CCMMUN/5LIC tS/UA5tt1JJ1. e 1(t U 0), AL PH A t 100),FOx 110 U)C CM MLN1NLl11 t RNP1 11th L.L 1M 1 T 47 L1 M11M, f S, 1 Ht 1 A Y f 1 d 1. E R0CGfIMGN/f0RCt5/ t 1 1 u 0 1 , 1 1 1 J 01.4110 0), ENN t1001DINtJSIUN illltlol,�l�(lOCI,I:UPl10C1rGYl10J1RAUCGN=2.*J.1,4l592o535d979/360 .

1 CONIINUCFEA:,11,104C.1n0•b9�41¡1ILE

S PRINI 2000,111LE1i K 1 L L t=J

FE.] NO 6CALL RLAUucl2.J.1)Rt�lhu 6READIÓ)M6RPIS,NISPRINT 2J1�rM6l?I5, 15CALL LELA¡¡11,Mc! PiS,U.,NILLE)IFIKILLL.E,..t) vC TL 9999A(M116PIS1.o.PR(N1 2015NJ=2=RdRPISRE.INi 6CALL ñEACc.H(C,HJ.11REnINJ 6REAUIbJ(6(l),.L11.1=i,ML1RPTS 1OU 10 1•1.M8RPISPMINI 2u1Lr811),C111IM1=1-11F1(M1.NE.01A(1M11•(C(11-CIIM111/( 11(11-dlIMll)

10 CCNIINut00 ¿ N1IS•1.NT5RE,.1NJ oCALL ktACtR 10.2,11CALL RtACEMl1,0,11RE.INO 6

!. OG ! lN1I-1,100XI1H11).!.YI1HIT1=0.YSI1H111.0.XCGI11.11J 0.Y CG(Il1T1.0.YTIIHII).C.GIIHLT)=0.Ul It.111=0.CIL11N111.0.PHtt( it•I O=0.6AS,I1h1Tl•J.

�� MI (INITI=0.ALPHAIINIT)-O.PEAL 1!.)11=0.EIIN111•0.11i11T1=0.ENNtINtl1.0.

3 CtNfINUE

251

COMPARACION DE LOS METODOS EXACTOS

En las paginas anteriores nos hemos ocupado de los métodos exac-

tos mas conocidos , habiendose omitido alguno (como el de Bel:l). Segui-

damente , de forma muy esquemática , vamos a transcribir los resultados

obtenidos por RAULIN, ROUQUES, TOUBOL (1974) en alguno de los casos -

por ellos estudiados . La idea de hacer esto es con el proposito de po-

der entrar en el capitulo de comparación de métodos con una base sóli-

da, y con los datos suficientes para dar mayor poder a las conclusio-

nes que en dicho capítulo se indican.

Intentando dar la mayor claridad posible a esta exposición, he-

mos creído conveniente resumir los resultados en la forma que se indi-

ca en las figuras 2.82 a 2.88

252

P(5,10)

Y

Tolud seco

= 2 T/m

C`=1 T/m

o' =200

R = 10 m.

5 2/1

11

E : I : 100

Fig. 2.82 - Ejemplo número 1.

253

P(12,17)

20%R' \R

\lud seco

= 2,1 T/m3 2 T/m3

C� = 0 C, = 1 T/m2

= 300 \. \ = 00

I0

2 /1Suelo granular /\.

Estrato duro E : 1: 200

Fig. 2.83 - Ejemplo número 2.

254

Talud seco

YC' 1 T/m''

6 23.m26° 40'

Fíg. 2.84 - Ejemplo número 3.

255

Coeficiente de seguridad F

Ejemplo Morg.y Price Linea paso =- Janbu Bishopcurva desliz.

1 2,045 2,029 2,090 1,959 *2,037

2 0,620 * 0,629 0,666 0,619 *

3 3,410 * 3,321 3,352 ---

Fig. 2.85 - Diferentes valores del coeficiente de seguridad obtenido

al aplicar uno ú otro método.

(Los valores con asterisco corresponden a la aplicación

de los métodos ligeramente modificados, según el. trabajo

de RAULIN, ROUQUES, TOUBOL (1974)).

Y

Lineo de paso

Pig. 2.86 - Linea (le paso (le las I ueei r.i>; nt rc rc l,unacl:is c i: I • :eI:! J

niíniero 1 y segun el mé.to(lo de M(i rs,c nstc,rn-I'ric� trauci í t` icaclo)

Y

Lineo de paso

Suelo no coherente

•

xSuelo; cpRerénte.

•• •. •I• .' '.:. • •

•• • • •

Estrato duro

Ejemplo 2 Método 1

2.87 - Línea de paso de las tuerzas COL r rChanadas cn el c j ril lo

ro 2 y según el método de Morl;cnstern I>rirc (mud i (1 -: hli .

Linea de paso

Fi g . 2.88 - Linea de peso de las f n e t ; al s; i : n t re re : 1 11. ; i: e _ cm);u

número 3 y segun e l �n�tode d � D l o r s n s t e r n I ' r i < ( U ) " ( ! i 1-icado)

259

Abacos notables basados en los métodos de rebanadas

260

ASPECTOS GENERALES

Una vez analizados los métodos de rebanadas de uso mas frecuente,

nos resta por describir los ábacos mas conocidos elaborados empleando -

algunos de estos métodos.

Solo nos vamos a ocupar de los clásicos y de empleo más definido,

siendo por otra parte los más comprobados por la práctica.

ABACOS DE BISHOP

En las figuras 2.89 aparecen los ábacos de Bishop para círculos -

que pasen por el pié del talud y para valores de c'1(y.1-1 igual a 0,05,

0,025 y 0.

Según sea el valor de c'/ó.-i y el de D entraremos en uno ú -

otro ábaco . En los de la izquierda , entrando con la cotangente del angu

lo del talud ( co1'9 1_ * ) y con el angulo de rozamiento interno efecti-

vo (0') obtenemos m.

Para obtener el valor de n entramos en los ábacos con los valores

de cotg í y de 0', obteniendo tanto el valor de n como el de ;,F

Si /; < ú,e los valores obtenidos de m y n son validos y -

el coeficiente de seguridad es (ver MORGENSTERN, PRICE (1965)):

J___m - r7.

u

caso de que no se verifique la desigualdad anterior pasaremos a la síguien

te hoja.

Para la aplicación de este método estamos suponiendo un valor -

)constante de -u o coeficiente de presión intersticíal ( r,, = ¿¿/¿r,7

rl.

C'/X-M = 0, 05

D c I,00

E.OG - r

pti-l

{

Á.

.¡ .� { _'1J1 Ii1 i

771, l

{7I'I

��.,i1 t 17 T

I 37,5°

450 }-II

T1 i i 35° T 1 1 l l T 1

111111;n. 1 40

tt, i j i, a 5 T7 1 I T-? 32,5° 11 1pv r$ �m 37,5

400300

35

27,5 àmi . ? r

1 i

2530

C,. 1 I t 2250

i it 7

200o + T. 1 27,5

t { I 1 X1i• � ° i } !• A 2 25

200 - - 12,5° . , .� /: .. 21r I 0_r.

7 + 7 i 175

15! t�

47 �' - I -'17 1 2s100 4T

{ 11 7 ,.

0 se

0,0021 212:1 ] 3%2 I 4:1 41/2.1 5 :1 �- -'=

21 2/2:1 3 : 1 31/2:1 4'1 4'.21 5.1colg. j

COfq. Í

59 - bacos de Bíshop para , ira ul,t que ;,a:u'n p,,r 1 1 ií

cle.l talud

C'/ 6 •H=0,05

D - 1,25

eoc 11? I { , _ t_ r l , . .i j T-

11t i (1 ! I _ I 1� 11 I I

� l a11

I> 50 400

Ítilt 7 iTi 111-T

l � JJ37,5° ��`' fj1-I 1. Í , � - �•

400450 35oTT { J T 4 5. I-11 , 17 1� 1:. 1 1 y - i 1. 32'So _ ; 1 I r{ ' ? 37,5°

m400 <

300 !TI 1 1 -?- - ;0� ' - 35°

3S0 -1 - 27,5 32,5°

30°311, - -

22,5°i - rJ' - - 27,50

1i

t -7 200251

a :' 7 75° j' t O'1 T 22,5-

2w 20012,5 0

10° 17,5°LSD -- -

i6 15°I _ 12 s°

Loo 1 ' . l t ,- _ i. - -lo,

::'Tui!t-� 1

# tI OC

-1 7 rJ t.. _ 1

2.1 2/Z.1 3 1 3 %2 1 4.1 4'2.I 5:1 ,2:1 2/Z', 3:1 3 /Z.1 4:1 4��-I SIColq- i cofq, i

Fi};. 2.89 -- ,Abaeos de Bisl,ol, pn i ,i ,' í rit 1 1:1.11 I,:i : hrr L,1 I, i �

del talud (confino;, 'i S1 .

263

C'/ 6 H : 0,05

D : i, so

600 rl r' - FG`- , ás5o 1 1 �� ] { i.� 40° c,o

t#i ?i

{I t 1 r

I1 �+ { 1 1 37 5

t l1 1 { 1' { i{ 40°

TTT5.00 tW

37,5°350450

_7 324

35°

4.W ° w { i } I* 3o m o i 32,50

j4 27,5° 1 { f ¡t- I 1 30°350

,..- -

251 i ' { t 1 27,5°

300 1 +,rt . r ,, t_225 ° ,m1.

- - -+ ! .; 25°-J- 4

22s°a 5vT ,17,5 0 I. �. zoo

2.00 z ao 175°12,5° -T t i

1.50 1X

-77 -100

1.00 -1 +! jj

U50 r l �.050 -

2:1 2 iZa 3:1 35,-1 .: 1 41=:1 5:12' 1 2/2:1 3 : 1 3/2:1 4:1 4:rz 1 5:1

eolq. 1 cofq. i

Fíg. 2.89 - Abacos de Bishop para círculo que pasen por el. pié

del talud (continuación)

264

C'/¿r• H = 0,025

D = 1,00

:::Mu}nn1ff en

T; 1. tT

5,00 500 -J-J-Lt 400

4.50 37,5o 450t..1 40°

m 1 y ' } I -,l ° 1 I 11- { l ; - 1 I i .. ¡ .� 37,5°

4.00 T. _�� 35 m 40r

.� I t {f --+ 32,5 ° ll1

i i i 35 0

350��-�¡ i - •.�{.. _r 300 32,5°

327,5° 30°00 1

; ¡ -t - -27,5°

250..

!'2 so

200 _ 17,520r 20°

- - -- IS -. y .ri

. 175°11

1.60 12,s ° t 15°1.50100 t;.i 1 zs°

Lao , , c ' rt-t 1 10°

OSO050

am2:1 2' .l 3: 1 3 %z: 1 4. 1 4�/Z: t S:1 2I 2/2'1 3 : 1 3,/Z:I 4:1 4/2'1 5:1

cotq. i cotq. 1

Fig. 2.89 - Abacos de Bishop para círculo que pasen por el. pié

del talud (continuación).

2h5

C'/ 7r. H = 0,025

1,25

000 ��T, T

aoo 40*T.. ` °c 1 I_ 4400

450

37'5° - t TI

4.50i{t o - i f i i' gTg°�. 35 t t

Ym 4.00 .. _.. a ¡ 400 35°f I .f -t 32,9 m - -+�

3

CID1

- - i- T ' - - 27,5 0

T 22,5° 25°2.50 �.. ¡ y. i1. 5J�i y 20° 22,5°

20°2 00 17,5-

2.00 y15e

1.50 y 12,50

Y, t 125°100 }

050 f t L * �j +1

l i j 1 tC50 flft000 Y ii

2:1 2 /Z, 1 3:1 3 %2 1 4:1 41t/2: 5:1 ,j_ir

2/2:1 3:1 3/2:1 4:1 4:iz 1 5:1cotp. i cotq. i

Fig. 2.89 - Abacos de Bishop para círculo que pasen por el ;lié

del talud (continua(,.ión).

266

C'/ó•H=O

eco _ e.x T _

soo coo tíft }..Htt.450 1 1 f 1" i 7ü

YY j 7 I � li{{440°

5C��1 1 7 1 40-

400!II � _ .t T_' i T37,5° °

m37,5-4

1 - 111- 350 :�S_ I i�l I35*

32 501I 11 a i ' { 32,5°

300 30030°

27,50

2.50 27'5°t { _ t.. 25 -r 1 250

2.00 22,5,1 ♦ ..201 2 22,5°

20°1750

t e1.50 i -

- 150 150 • ' + �1-- -� 170

1512,5° 12,5°lo° 1.07 _ 10°

::1: aw {2:1 2'/z.I 3.1 3 %Z: 1 4:1 4/2:1 S:1

2:1 2/=:1 3:I 3 /2: 1 4:1 4%2:1 5:1C019. i co1 9 . i

Fig. 2.89 - Abacos de Bíshop para círculo que pasen por el. pié

del talud (continuación).

?t) 7

Para obtener ese coeficiente puede d'. i vis: i 1 se l:t :.:c r. tr.l ucl en

cuadrados de aren J; y de pre'.. iün t :. ese cu::dr llcin .:?..r !1. -

Haciendo ira cada co:1u;,:na rt;;"!nt:da por

esos cuadrados es ru. !> �; suma

en horizontales

All�ACO S EL ESTUDIO DE RELLENOS A

Las Labias y ábacos que se ?;ungir a ; ni í;ata : n lun si

do tu;::ados fiel interesante estudia (? li (1!;)77 . i

nar los Ctrt::l ici i1CC s de segur ldad de !itt

lnutría del. talud y de los parán:etr:>s ,,c: ,.é Hicos 1

le:a<,r'. crc do convcr;iente o:;

ábac.r_t y<:, que suponen una impert:al:;: rl: :)�ií?n ;luc: ; r,

pues L) Cilt t pcrtll:tten analizar, por .la:: d

111711 L'!:l ti U: un de. esterill'S O marra i....:.l:'c+ c'i)íl •, ai) Wat -

del, toda dentro de Litl m¿,rgen dC: c;-tal.i 1 1i ace?,e_.

Queri.tnas destacar que en la )C1.Un de :..ttC(.�.�Ua •i'.a ....a .>

hecl?'o, no;; liemos ocupado ya de .alp in ., t;tle

ci.on .s de ostabí.lidad de sítuac:íon . t'o:: •) las que ahora i l ::ntc :, rat):; .

Este es el caso de los métodos de ,lis lli)¡ Spencel,

por catar solo los que hemos tratado (.,ol: un programa de c'r'.enacio: (y

cuyo listado y explicación ya se di6).

La novedad del trabajo de Hurln;.s, estriba en !:erii.itir estudiar la

estabilidad de forma muy simple, sin c.ir:l:leo de or<!cnrl.?or :1'.y,ur:.).

En la figura 2.90 se indica el. caso que se va a estuciar, i_ndi-

candose las distintas varíabl.es que entran en juego. Observando la fi-

268

Y

OCX.,v)

--X

Eafi�o rocoso/

Fig. 2.90 - Situación y notación utilizada para el. estudio de rellenos

a media ladera.

269

gura y las tablas que posteriormente se adjuntan, se deduce que las

distintas hipótesis abarcadas en el trabajo que estamos analizando

comprenden el caso de relleno sobre suelo horizontal ( i2 = 0), que -

frecuentemente se presenta en las explotaciones mineras.

El estudio esta hecho aplicando el método de FellenLus.

El método parte de dos terrenos diferentes , el del relleno, con

los parámetros el, A, r rt , y el de la ladera en el cual -

se apoya, c2, f62 , r2 , r2 . Para obtener el coeficiente de se-

guridad correspondiente a una profundidad del estrato duro 1) H tendre

mos que tantear varios centros y varios radios , consiguiendo así obte

ner el valor mínimo que será el coeficiente de seguridad del. talud.

Para la realización de dos ábacos que seguidamente exponemos,

se ha partido de la consideración de que la geometría del talud tiene

bastante mas influencia que los parámetros del suelo , motivo por el -

que se han podido realizar esos ábacos en función (le il, i2 y D.

r Ní� �) L ,�� yJ(i-L,) f (- �,)(f9�+�F ('- �z)(4 :�z%FZJ

en la que:

F : coeficiente de seguridad.

N : número de estabilidad.sC1, C2 : cohesiones.

peso específico (valor medio si y az son distintos).

H : altura del relleno.

Z, factor de longitud 6 fracción de arco en el suelo 1.

1,-¡,12,2 coeficientes de presión intersticial.

¢S, 02 angulos de rozamiento interno.

F F factores de rozamiento.

270

CASO 1 PH1=0 CASO 2 PH1 = 30 CF = 0,025 CASO 3 C = 0D L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS

ALPHA = 0 BETA = 50.0 1.000 0.501 0.000 25.14 1.000 0.436 0.000 27.04 1.000 0.435 0.000 27.130.2 0.535 0.210 0.390 20.95 0.495 0 .172 0.335 23.12 0.492 0.171 0.332 23.290.4 0.391 0.143 0.557 17.95 0.327 0.118 0.458 20.30 0.335 0.118 0.469 19.980.6 0.302 0.107 0.694 15.71 0.243 0.094 0.585 17.28 0.243 0.093 0.578 17.470.8 0.241 0.085 0.816 13.97 0.203 0.078 0.726 14.77 0.203 0.077 0.720 14.901.0 0.192 0.071 0.928 12.57 0.175 0.065 0.856 13.06 0.175 0.065 0.856 13.06

ALPHA = 0 BETA = 100.0 1.000 0.444 0.000 15.04 1.000 0.340 0.000 17.43 1.000 0.370 0.000 16.370.2 0.499 0.178 0.355 12.54 0.440 0.143 0.265 14.53 0.463 0.142 0.290 13.900.4 0.342 0.122 0 .499 10 .75 0.310 0.102 0.408 11.87 0.310 0.100 0.408 11.910,6 0.248 0.095 0.619 9.40 0.249 0.076 0.541 10.15 0.249 0.074 0.540 10.190.8 0.208 0.069 0.745 8.47 0.210 0.057 0.673 8.92 0.209 0.057 0.663 0.031.0 0.1110 0.111,:1 0.111111 /.1111 0. 102 0.045 0.119 8.24 • 0.1112 0.044 0.1 / 1 8.21

ALPHA = 0 BETA = 150.0 1.000 0.415 0.000 11.45 1.000 0.278 0.000 14.18 1.000 0.253 0.000 15.420.2 0.471 0.166 0.333 9.55 0.430 0.130 0.241 10.92 0.430 0.126 0.241 11.020.4 0.315 0.114 0.472 8.19 0.317 0.085 0 .383 9.17 0.316 0.084 0.369 9.470.6 0.253 0.074 0.604 7 .43 0.256 0.060 0 .509 8 .06 0.256 0 .057 0. 506 8.140.8 0.213 0.054 0.714 6.97 0.217 0.041 0.610 7.56 0.217 0.041 0.610 7.561.0 0.184 0.040 0.817 6.85 0.189 0 .030 0.719 7.08 0.189 0.029 0.705 7.22

ALPHA = 0 BETA = 200.0 1.000 0.391 0.000 9.57 1.000 0.240 0.000 12.28 1.000 0.217 0.000 13.390.2 0.445 0. 161 0.313 7.97 0.435 0.115 0.221 9.36 0.434 0.108 0.191 10.530.4 0.319 0 .095 0.477 7.08 0.323 0.073 0.361 7.99 0.323 0.069 0.343 8.400.6 0.257 0.063 0. 587 6 .64 0.262 0.047 0.483 7.26 0.262 0.045 0.465 7.520.8 0.216 0.045 0. 694 6.36 0.222 0.032 0.584 6.89 0.223 0.029 0.576 7.001.0 0.187 0.034 0. 796 6 .17 0.194 0.021 0.679 6.68 0.195 0.019 0.669 6.79

ALPHA = 0 BETA = 250.0 1.000 0.377 0.000 8.53 1.000 0.212 0.000 11.05 1 .000 0.183 0.000 12.540.2 0.438 0.150 0.306• 7.03 0.440 0.103 0.192 8.89 0.441 0. 096 0 . 190 9.130.4 0.323 0.085 0 .462 6 . 53 0.328 0.063 0.332 7.61 0.329 0.058 0.327 7.790.6 0.259 0.057 0.576 6.25 0.267 0.039 0.457 6.94 0.269 0.035 0.449 7.100.8 0.218 0.040 0.680 6 .06 0.227 0.024 0.555 6.71 0.227 0.024 0.555 6.711.0 0.188 0.031 0.786 5.94 0 .196 0.017 0.656 6.47 0.198 0.015 0.645 6.60

ALPHA = 0 BETA =300.0 1.000 0.360 0.000 7.56 1.000 0.191 0.000 10.15 1.000 0.151 0.000 12.380.2 0.441 0.138 0.321 6.52 0.446 0.093 0.185 8.25 0.446 0.086 0.165 8.930.4 0.325 0.079 0.454 6.22 0.333 0.055 0.327 7.17 0.334 0.052 0.308 7.580.6 0.261 0.052 0. 565 6 .02 0.271 0.033 0.434 6.85 0.274 0.029 0.424 7.060.8 0.219 0.038 0.674 5.89 0.229 0.022 0.542 6.54 0.231 0.019 0.530 6.701.0 0.190 0.028 0.773 5.81 0.199 0 .014 0.633 6.45 0.200 0.013 0.630 6.49

ALPHA = 0 BETA = 350.0 1.000 0.355 0.000 6.94 1.000 0.166 0.000 9.84 1.000 0.139 0.000 11.440.2 0.444 0.130 0.324 6.22 0 .450 0 .086 0.171 8.07 0.450 0.079 0. 155 8.840.4 0.327 0.073 0.453 6.02 0.336 0.051 0.301 7.23 0.338 0.047 0.295 7.450.6 0.263 0.048 0.564 5.88 0.274 0.029 0.421 6.77 0.274 0.029 0.410 6.940.8 0.220 0.035 0.669 5.79 0.331 0.019 0.528 6.49 0 .231 0.019 0. 518 6.611.0 0.190 0 .027 0.773 . 5.73 0.200 0.013 0.620 6 .42 0.200 0.013 0.620 6.42

Fig. 2.91 - Tablas para el análisis de rellenos a media ladera.

271

IPASO 1 PH1 = 0 CASO 2 PH 1 = 30 CF = 0.025 CASO 3 C=0D L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS

ALPHA = 0 BETA = 400.0 1.000 0.355 0.000 6 .47 1.000 0.149 0.000 9.41 1.000 0.110 0.000 12.060.2 0.445 0.125 0.324 6.03 0.453 0.083 0.158 7.95 0.453 0.073 0.136 9.100.4 0.328 0 .072 0.454 5 . 89 0.339 0 .047 0.283 7.33 0.339 0.047 0.283 7.330.6 0.264 0,046 0. 562 5 .79 0.274 0.029 0.404 6.81 0.274 0.029 0.404 6.810.8 0.221 0 . 034 0 . 668 5 . 72 0.231 0.019 0 .534 6.30 0.231 0.019 0.513 6.531.0 0.191 0.027 0.771 5.67 0.200 0.013 0.634 6.30 0.200 0.013 0.616 6.36

ALPHA = 10 BETA = 150.0 1.000 0.171 0.000 24.35 1.000 0 . 148 0.000 26.22 1.000 0.144 0.000 26.880.2 0.272 0.030 0.243 15 .32 0.276 0 .029 0.213 16.15 0.281 0.028 0.209 16.480.4 0.124 0.013 0.363 11.20 0. 153 0.016 0 .312 12.09 0.153 0.016 0.312 12.090.6 0.083 0 .007 0.471 9.05 0 .107 0.010 0.429 9.45 0.110 0.010 0.426 9.510.8 0.058 0.004 0.577 7:77 0.082 0.006 0.535 8.03 0.084 0.006 0.531 8.081.0 0.040 0 .002 0. 683 6 . 86 0.065 0 .004 0.639 7.08 0.066 0.004 0.637 7.11

ALPHA 10 BETA = 200.0 1.00.0 0.228 0 .000 14.49 1.000 0.176 0.000 16.54 1.000 0.166 0.000 17.330.2 0.306 0 .052 0.267 10.41 0.313 0.044 0.198 12.15 0.313 0.044 0.198 12.150.4 0.176 0 .023 0.393 8 . 26 0.203 0 .026 0.323 9.02 0.207 0.025 0.311 9.350.6 0.125 0 .012 0.499 7. 16 0.152 0 .015 0.428 7.64 0.155 0.014 0.422 7.750.8 0.092 0 .007 0. 597 6.42 0.121 0 . 009 0.525 6.82 0.123 0.009 0. 518 6.911.0 0.069 0 . 005 0.699 5.87 0.097 0.006 0 .626 6 .19 0.097 0.006 0.624 6.21

ALPHA = 10 BETA = 25

0.0 1.000 0.259 0 .000 10.95 1.000 0 .180 0.000 12.90 1.000 0.164 0.000 14.030.2 0.321 0.063 0. 279 8 .28 0.342 0.054 0.194 9.79 0.346 0.050 0.179 10.530.4 0.204 0.026 0 .419 7.01 0.237 0.026 0.309 7.98 0.237 0.027 0.301 8.180.6 0.149 0 .015 0.502 6 .30 0.178 0.015 0.419 6.86 0.181 0.014 0.410 7.000.8 0.110 0 .009 0 .607 5 . 79 0.141 0.009 0.517 6.23 0.144 0.009 0.508 6.341.0 0.084 0 .006 0 . 705 5 .39 0.115 0 .006 0.613 5.77 0.115 0.000 0.612 5.79


0.0 1.000 0 .273 0. 000 9 .09 1.000 0.165 0.000 11.53 1.000 0.162 0.000 11.820.2 0.337 0.066 0 .290 7. 12 0.368 0.052 0 . 181 8.96 0.368 0.052 0.169 9.420.4 0.222 0.027 0 .419 6,34 0 .257 0.025 0.303 7.32 0.256 0.027 0.294 7.490.6 0.162 0.015 0.514 5 . 83 0.196 0.014 0.402 6.56 0.196 0.014 0.402 6.560.8 0.121 0.010 0 .610 5.44 0.153 0.009 0.509 5.91 0.157 0.008 0.498 6.041.0 0.094 0. 007 0 . 711 5.10 0.126 0.006 0 .603 5.54 0.126 0.006 0.603 5.54


0.0 1.000 0 . 282 0 .000 7 .92 1.000 0 .162 0.000 10.07 1.000 0.149 0.000 10.790.2 0.348 0 .063 0 .322 6 . 46 0.385 0 .051 0.169 8 .47 0.383 0.052 0.147 9.400.4 0.234 0.029 0.415 5 .95 0.269 0.025 0 .293 6.97 0.273 0.023 0.278 7.340.6 0.172 0.015 0 .520 5.54 0.207 0.013 0.395 6.31 0 .206 0.015 0.390 6.370.8 0.130 0 .010 0.615 5 . 21 0.163 0 .008 0.501 5.74 0.167 0.007 0.489 5.881.0 0.099 0.008 0.714 4.92 0. 134 0 .005 0.600 5.37 0.135 0.005 0.504 5.42


0.0 1.000 0 .296 0 .000 7 .12 1.000 0.140 0.000 9.83 1.000 0.110 0.000 12.010.2 0.363 0.059 0 .335 6 .08 0.369 0 .051 0.165 7.90 0.392 0.055 0.134 9.190.4 0.242 0 .029 0.425 5.68 0.280 0 .023 0.287 6.75 0.283 0.023 0.266 7.220.6 0.176 0 .016 0 . 525 5 .34 0.211 0.013 0.398 6 .02 0.216 0.012 0.385 6.210.8 0.134 0 .011 0.618. 5.05 0 .171 0.008 0.492 5.65 0.175 0.007 0.479 5.821.0 0.104 0 .008 0.717 4.79 0. 139 0 .005 0.597 5.25 0.142 0.005 0.584 5.36

Fíg. 2.91 - Tablas para el análisis de rellenos a medía ladera (continuación)

272

CASO 1 PH1=0 CASO2 PH1=30 CF=0.025 CASO 3 C=0D L1 Fi F2 NS L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS


0.0 1.000 0 . 129 0.000 24 .00 1.000 0 . 110 0.000 26.09 1.000 0.100 0.000 28.210.2 0.189 0 . 013 0.219 13.57 0.209 0 . 017 0.183 14.40 0.225 0.015 0.178 14.970.4 0.075 0 .004 0 .329 9 .61 0.118 0.008 0.289 10 . 14 0.120 0 .008 0 . 285 10.250.6 0.039 0 .001 0.429 7 . 72 0.079 0.005 0 .388 8.08 0.079 0 .005 0.386 8.110.8 0.012 0 .000 0 . 535 6 . 47 0.051 0 .003 0.498 6 .68 0.056 0.003 0 . 493 6.741.0 0.002 0 .000 0.643 5 . 56 0.035 0 .002 0 .610 5 .70 0.038 0.002 0 . 607 5.73


0.0 1.000 0 . 186 0.000 14.17 1.000 0.138 0.000 16.47 1.000 0 . 125 0.000 17.930.2 0.224 0.028 0.248 9 . 62 0.272 0.031 0.179 11 . 13 0.276 0.030 0.165 11.960.4 0.126 0.009 0 .362 7 . 57 0.173 0 .015 0.290 8 .32 0.175 0 .015 0.280 .8.620.6 0.079 0 .004 0 . 455 6 .47 0.123 0 .008 0 . 391 6.92 0.124 0.009 0 .384 7.040.8 0.047 0.002 0 . 553 5.69 0.090 0.005 0.492 6.01 0.094 0.005 0.485 6.091.0 0.022 0.001 0.663 5.05 0.066 0 .003 0 . 599 5 .29 0.069 0 .003 0.594 5.33


0.0 1.000 0 .219 0.000 10.77 1.000 0 . 147 0.000 12.82 1.000 0 . 130 0.000 14.290.2 0.261 0 . 036 0 . 271 7.78 0.311 0.038 0.174 9,47 0.317 0 .036 0 . 160 10.220.4 0.160 0 . 013 0.377 6.59 0 . 206 0,016 0.286 7 .44 0.206 0.019 0.274 7.720.6 0.100 0.006 0 . 469 5 .83 0.147 0 .009 0 .386 6 .37 0.152 0.009 0.377 6.510.8 0.065 0.003 0 . 566 5 .24 0.111 0 .006 0 .487 5.62 0.116 0.005 0 .479 5.711.0 0.036 0 . 001 0.674 4 . 74 0.083 0.004 0 . 594 5 . 01 0.087 0.004 0 . 587 5.06

ALPHA = 15 BETA = 350.0 1.000 0 . 243 0 . 000 8 . 85 1.000 0.143 0 .000 11.16 1 .000 0 . 129 0.000 12.200.2 0.290 0 . 039 0 . 289 6 . 81 0.340 0.039 0 . 169 8 . 50 0.346 0.036 0.145 9.600.4 0.177 0 .014 0.392 6 .02 0.230 0.017 0.277 7.01 0.228 0.020 0 . 266 7.270.6 0.118 0 .007 0.480 5.44 0.169 0.008 0 . 379 6 .08 0.168 0.010 0 .376 6.120.8 0.076 0 .004 0 . 577 4.96 0.128 0.006 0 . 485 5.36 0.129 0 .006 0 .475 5.461.0 0.048 0 . 002 0 . 679 4 . 53 0.098 0.004 0 . 584 4.88 0.102 0.004 0 . 574 4.95


0.0 1.000 0.256 0 .000 7.71 1.000 0 . 133 0.000 10.26 1.000 0 . 120 0.000 11.230.2 0.311 0.040 0 . 300 6.23 0.363 0.039 0 . 166 7.97 0.367 0.035 0 . 133 9.250.4 0.191 0 . 016 0.395 5.66 0.243 0 .018 0 . 272 6 .69 0.250 0 .017 0.260 7.000.6 0.125 0 .008 0 . 490 5 . 18 0.180 0.008 0 .378 5 . 82 0.187 0 .008 0 .361 6.080.8 0.085 0 . 004 0 . 584 4.76 0.135 0 .006 0.482 5 . 20 0.140 0 .005 0.471 5.311.0 0.056 0.003 0 .685 4.39 0.107 0 .004 0 . 579 4.77 0.112 0 .004 0 . 569 4.85


0.0 1.000 0 . 105 0.000 23 . 70 1.000 0.087 0.000 25 .89 1.000 0.073 0.000 30.060.2 0.105 0 .004 0 . 198 12.24 0 . 158 0.011 0 . 158 13 .43 0.178 0 . 010 0.150 13.990.4 0.035 0 .001 0.297 8.58 0.086 0.004 0 .261 9.03 0 .099 0 .004 0.255 9.230.6 0.001 0 .000 0.392 6 . 71 0.052 0.002 0 .361 7.00 0.054 0 .002 0.358 7.060.8 0.000 0 .000 0 .490 5.49 0.028 0.001 0.471 5 .62 0.037 0.001 0 .464 5.701.0 0.000 0.000 0.590 4 .66 0.020 0.000 0 .576 4.73 0.022 0 .001 0.574 4.74


0.0 1.000 0.157 0 .000 13.89 1.000 0.113 0.000 16.33 1.000 0.089 0 .000 20.070.2 0.146 0.011 0 . 240 9 .03 0.211 0.022 0.183 10 .63 0.249 0.021 0.144 11.640.4 0.079 0.003 0.331 7 .04 0.146 0 .009 0 . 263 7.76 0.154 0.009 0.253 8.040.6 0.030 0.001 0 .420 5 .89 0.093 0.004 0 .364 6 . 26 0.099 0.005 0 .356 6.390.8 0.003 0.000 0 . 515 5.03 0.062 0.003 0.467 5 .27 0.065 0 .003 0 .463 5.311.0 0.000 0.000 0.614 4.33 0.037 0 .002 0 .581 4.47 0.042 0.002 0.576 4.50

Fig. 2.91 - Tablas para el análisis de rellenos a media ladera (continuación).

273

CASO 1 PH1 = 0 CASO2 PH1 = 30 CF=0.025 CASO3 C=0D L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS L1 F1 F2 NS

ALPHA = 20 BETA = 350.0 1.000 0.190 0.000 10.43 1.000 0.121 0.000 12.89 1.000 0 .095 0 .000 15.860.2 0.210 0.019 0.263 7.40 0.284 0.027 0.161 9.02 0.293 0.027 0.142 10.050.4 0.111 0.005 0.352 6.22 0.176 0.012 0.263 7.02 0.184 0.012 0.251 7.310.6 0.059 0 .002 0 . 433 5 . 39 0.125 0 . 005 0.359 589 0.124 0.007 0.355 5.970.8 0.021 0.00t 0.526 4.76 0.082 0.004 0.465 5.01 0.087 0.004 0.458 5.071.0 0.000 0 .000 0.634 4.13 0.056 0.002 0 .574 4.34 0.060 0 .003 0 .568 4.38

ALPHA = 20 BETA = 400.0 1.000 0.213 0.000 8.60 1.000 0.112 0.000 11.80 1.000 0.092 0.000 13.810.2 0.250 0.022 0. 281 6.55 0.312 0.032 0.151 8.42 0.319 0.031 0.132 9.500.4 0.13$ 0.007 0.363 5.73 0.203 0.013 0.258 6.65 0.211 0.012 0.247 6.910.6 0.074 0.003 0.448 5.06 0.141 0.006 0.359 5.59 0.146 0.006 0.349 5.730.8 0.030 0.001 0.542 4.50 0.101 0.004 0.459 4.86 0.106 0.004 0.451 4.941.0 0.000 0.000 0.644 4.01 0.069 0.003 0.569 4.23 0.073 0.003 0.563 4.28

ALPHA = 25 BETA = 300.0 1.000 0.088 0 .000 23.14 1.000 0.074 0.000 24.85 1.000 0.058 0.000 30.670.2 0.056 0.001 0.179 11.27 0.131 0.007 0.144 12.32 0.166 0.007 0.130 13.430.4 0.004 0.000 0.264 7.82 0.066 0.002 0.236 8.28 0.082 0.003 0.229 8.480.6 0.000 0.000 0.352 6.06 0.035 0.001 0.334 6.21 0.044 0.001 0.329 6.290.8 0.000 0.000 0.445 4.86 0.020 0.000 0.434 4.94 0.026 0.001 0.430 4.981.0 0.000 0.000 0.544 4.03 0.006 0.000 0.546 3.96 0.014 0.000 0.540 4.01

ALPHA = 25 BETA = 350.0 1.000 0.136 0.000 13.66 1.000 0.097 0.000 16.15 1.000 0.066 0.000 22.280.2 0.094 0.004 0 . 222 8. 52 0.212 0.015 0 . 150 9 .84 0.221 0.017 0. 126 11.480.4 0.026 0.000 0.299 6 . 63 0.112 0.006 0 .242 7. 26 0.131 0.007 0.231 7.540.6 0.003 0.000 0.379 5.39 0.074 0.002 0.335 5.76 0.081 0.003 0.329 5.850,8 0.000 0.000 0.466 4.49 0.043 0.001 0.437 4.69 0.048 0.002 0.433 4.721.0 0.000 0 .000 0 . 560 3 .82 0.025 0 .001 0.541 3.91 0.030 0 . 001 0.538 3.94

ALPHA = 25 BETA = 400.0 1.000 0.169 0.000 10.12 1.000 0.102 0.000 13.69 1.000 0.020 0.000 59.250.2 0.148 0 . 008 0 . 253 7.11 0.262 0 .020 0.146 8.79 0 .285 0 .017 0.129 9.860.4 0.060 0 .001 0.323 5 . 91 0.154 '0.008 0 . 241 6.68 0 . 162 0.009 0.229 6.990.6 0.010 0.000 0.402 5.00 0.102 0.003 0.335 5.44 0.108 0.004 0.326 5.570.8 0.001 0.000 0.483 4.26 0.061 0.002 0.436 4.52 0.067 0.003 0.431 4.571.0 0.001 0.000 0.572 3.67 0.038 0.001 0.541 3.82 0.043 0.002 0.536 3.85

ALPHA = 30 BETA = 350.0 1.000 0.075 0.000 22.73 1.000 0.064 0.000 24.75 1.000 0.034 0.000 41.760.2 0.014 0.000 0.157 10.81 0.101 0.004 0.129 11.72 0.135 0.005 0.116 12.690.4 0.000 0.000 0.231 7.32 0.051 0.001 0.213 7.69 0.065 0.002 0.206 7.930.6 0.000 0.000 0.315 5.55 0.020 0.000 0.307 5.61 0.037 0.001 0.299 5.760.8 0.000 0.000 0.404 4.39 0.008 0.000 0.402 4.37 0.019 0.000 0.396 4.431.0 0.000 0.000 0.503 3.47 0.003 0.000 0.498 3.55 0.008 0.000 0.498 3.52


0.0 1.000 0 . 121 0.000 13 .35 1.000 0 .098 0.000 15.92 1.000 0.021 0.0000.2 0.023 0 .000 0 . 204 8 . 21 0.181 0.011 0.134 9 . 59 0.219 0.010 0 . 118 10.590.4 0.000 0.000 0.267 6.26 0.090 0.003 0.220 6.88 0.114 0.005 0.208 7.190.6 0.002 0.000 0.336 6.03 0.052 0.001 0.311 5.27 0.069 0.002 0.299 5.440.8 0.000 0.000 0.419 4.13 0.035. 0.001 0.398 4.10 0.040 0.001 0.396 4.311.0 0.000 0 . 000 0 . 508 3 . 46 0.014 0.000 0.500 3 .48 0.023 0 . 001 0.494 3.53

Fig. 2.91 - Tablas para el análisis de rellenos a media ladera (continuací6n).

274

El trabajo de Huang consiste en estudiar un talud con lri geometríaanáloga a la representada en el figura 2.90, y con tres condiciones de -

los parámetros del suelo. El caso 1 consiste en suponer 0 = 0, en el 2 -

se hace 0 = 30° y cl Y» H = 0,025, y en el 3 se toma c =0 (vemos que -

el 2 es intermedio entre el 1 y el 3), siendo en ambos casos los dos te-

rrenos idénticos.

Para estos tres casos se dan las tablas de la figura 2.91.

Las inclinaciones i1 y í2 aparecen agrupadas, abarcando, para la -primera un entorno de 0 a 30 grados en intervalos de 10 6 5 grados, y -para la segunda, un entorno comprendido entre o< 5 y 40 grados conintervalos de 5 grados.

Cuando el caso real sometido a estudio presente valores intermediosse resuelve interpolando entre los valores dados

En dirección horizontal las tablas aparecen divididas en tres columnas que corresponden a los tres casos antes citados:

a) Caso 1 suelo puramente cohesivo (0 = 0)

b) Caso 2 suelo con 0 = 30° y factor de cohesión cIr /-J = O, 025

c) Caso 3 suelo granular C = 0.

En función de las características del caso real que se pretende es-tudiar, habrá que adoptar uno de los tres casos precedentes. En caso de -duda siempre se pueden ensayar los tres y optar por el mínimo coeficiente

de seguridad.

Una vez fijado el caso elegido, así como las inclinaciones il y í2,para entrar en las tablas es necesario fijar el índice de profundidad D,

variable de 0 a 1, cuyo valor máximo está en función de la profundidad -del estrato rocoso (ver figura 2.90).

275

En otros casos hay que tantear distintos valores de D y buscar -aquel que dé menor coeficiente de seguridad.

Ya se ha indicado anteriormente que para aquellos valores de il y

i2 no contemplados directamente en las tablas, es necesario recurrir auna interpolación.

Para terminar, reproducimos en la tabla de la figura 2.92 los re-

sultados comparativos para 24 casos comprobados por Huang.

ABACOS DE PILOT Y MOREAU

PILOT, MOREAU (1970) han realizado unos interesantes ábacos para -

el calculo del coeficiente de seguridad de terraplenes descansando sobre

terreno arcilloso con diferentes condiciones, como luego veremos.

Los ábacos permiten determinar facílmente el coeficiente de segu-

ridad de un terraplén homogeneo que descanse sobre un suelo de espesor -limitado, homogeneo y puramente cohesivo.

En los estudios de estabilidad a corto plazo puede suponerse, en -

algunos casos, que se trata de un fenómeno no drenado, pudiendo estudiar

se las caracteristicas del terreno mediante, por ejemplo, un ensayo triaxico no drenado. En este tipo de ensayo, para tres probetas diferentes,

se obtienen tres círculos de Morh (en totales) con el mismo diámetro, -por lo que la envolvente es una recta horizontal definida por la cohesión

no drenada Cu y el angulo de rozamiento interno no drenado 0u = 0.

Con esto pasamos ya a la figura 2 . 93 donde se resume todo el estudio

anterior, empleando una notación que ya nos es familiar por haberla emplea

do repetidas veces.

276

Suelo 1 Suelo 2 1 Coeficiente de SeguridadCaso Talud Talud del Indice de Factor de Angulode Factor de Angulode Indice de

número natural relleno profun - cohesión roza- ohes . ( b) roza - presión in- Por computadorCY(grados (grados ) didad (b) (b)clhl-I miento(b) c /yH miento(N ticial(b) Por lasBishop Normal(t) (2) (3) D (5) 01

(4)(grados) 71 �t(8ados) ru(91ru2 110 ) I11l (tablas

12)

1 0 35 0.4a 0 .053 30 0.080 20 0 1.568 1.382 1,47

2 15 35 0.4 0.053 30 0.080 20 0 1.384 1.278 1.29

3 20 35 1.327 1.240 1.25

4 25 35 1.272 1.217 1.22

5 30 35 1.238 1.199 1.21

6 15 20 0.4 0.053 30 0.080 20 0 1,965 1.882 1.89

7 15 25 1.665 1.558 1.58I

8 15 30 1.503 1.381 1.40

9 15 35 I 1.384 1.2781 1.29

10 15 40 1.301 1.174 1.22

11 15 30 0.4 0.053 30 0.080 20 0.3 1.161 1.130 1.15

12 15 35 1,056 11.037 1.06

13 15 40 0.977 0.968 1.00

14 25 30 1.119 1.144 1.15

15 25 35 1.021 1.051 1.02

16 25 40 0.893 0.910 0.94

1 17 10 40 1.Oa 0.08 35 0:400 0 0 1.813 1.796 1.78

18 10 15 0 . 8 0.04 35 0.010 15 0.5 0.692 0. 696 0,69

19 10 15 0.6a 0.02 0 0.006 25 0.5 0.933 0.971 0.97

20 30 40 0.8 1 0.16 35 0.04 30 0.2 0.979 0.999 0.98

21 18 37 0.4 0.053 30 0.080 20 0.3 1.007 0.990 1.01

22 23 32 1.058 1.069 1.09

23 12 18 0.5a 0.08 20 0 30 0 2.073 2.013 2.03

24 12 38 1.138 1.111 1.16

( a) El factor de profundidad para el círculo más crítico es menor que el valor indicado.(b) Los espacios en blanco indican el mismo valor que el de arriba.

Fig. 2.92 - Resultados de los 24 casos tratados por Huang.

Rellenos de material no cohesivo.

N _ _Cu

L__ór. H

Crí CU = 0

Fig. 2.93. Abacos de Pilot y Moreu.

Rellenos de material con debíl cohesión.

pr : L .

N Cu

Cr/Cu = 0.5

Fíg. 2.93. (Continuací6n)

283

Como podemos ver en la citada figura, solo nos hemos ocupado del -

caso clásico de terraplen sencillo. Para los casos de terraplen con ban

cardas laterales, Pílot y Moreau, dan unos ábacos semejantes a los que -

damos para el caso de talud sencillo y que pueden consultarse en la obra

de los citados autores.

La forma de emplear estos ábacos es de gran sencillez y se deduce -

con facilidad de la observación de los mismos. En dicha figura se han con

siderado dos casos bien diferenciados, el primero corresponde al de un -

terraplen con cohesión nula, Cr = 0; el segundo corresponde a un terraplen

debilmente coherente. Para ambos casos se tienen los siguientes ábacos:

- cuatro valores de la pendiente del terraplén: 2/3 1/2 2/5 1/3

- cada uno de los casos anteriores ha sido analizado con cinco va-

lores de N iguales a 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5.

- para cada relación D/H entramos en el ábaco correspondiente y en

la curva 0r obteniendo directamente el valor del coeficiente de

seguridad F del talud.

OTROS CASOS ESTUDIADOS

Como conclusión de todos estos métodos de cálculo tratados se acom

pañan una serie de cuadros-resumen (ver figura 2.94) en los que se agru-

pan distintas disposiciones geométricas posibles junto a las referencias

de aquellos autores que han estudiado el caso,elaborando una serie de -

ábacos de los que pueden obtenerse los coeficientes de seguridad.

La utilización de ábacos para la resolución de los problemas de -

estabilidad de taludes, en primera aproximación, es una práctica notable

mente ventajosa , fundamentalmente por la brevedad del proceso que permi-

te sustituir engorrosos cálculos matemáticos por sencillas determinacio-

nes gráficas.

Sin embargo debe tenerse presente que esto es solo una solución -

TERRAPLENES EN LADERAS

Esquema tratado Descripción somera Referencias

Celo A t21 1

2� --i Rotura plana paralela al terreno natural . PILOT, G. y KACMAZ, S.yo Cálculo a corto y a largo plazo . Abaques de stabilité d'ensemble des rem-

blais sur sois inclinés.Terraplén de forma " trapezoidal" o trian- Bull. Liaison Labo. Routiers P. et Ch.

A gular.1(N 1-,

2 B H n2 32, ( junio-julio 1968 ) p. 35-52.Parámetro : Ti 7F ' Z , B , m,

�F

11NCu

c'= yF

zCO

�F. Z1 i

'DESMONTES Y PRESAS


Rotura circular por el método de Fellenius . TERZAGHI y PECK.

c„ Cálculo a corto plazo. Mácanique des Sols Appliquée.J. Wiley and Sons ( 1948).

Parámetros : Dunod, París (1961).Cu

nd. J3 N = óH

Rotura circular por el método de Taylor. TAYLORFundamentals in Soil Mechanics.

M 1 Cálculo a corto o largo plazo.C

Parámetros:

nd, 13 , N = 7 H

N

Fig. 2.94 - Catalogo de ábacos para el cálculo de estabilidad. PICOT (1971)

TERRAPLENES SOBRE SUELOS BLANDOS


Rotura circular por el método de Bishop . PILOT, G.

Cálculo a corto plazo . Abaques pour le calcul de la stabilité destalus de remblais sur sois mous.

t,} N P Terraplen construido con suelo no cohesivoMatériau pulvérulent.

Parámetros:c. H1 Bull. Liaison Labo . Routiers P. et Ch.

Cu HBCotg N

n2 25 (mayo-julio 1967 ), p. 4-1 á 4-10.J3 , = H 7H

Rotura circular por el método de Bishop . PILOT, G. y KACMAZ, S.Abaques pour le calcul de la stabilité desy c..} H P Cálculo a corto plazo . talus de remblais sur sois rnous.

Material del terraplén cohesivo y con ro- Matériau de remblai cohérent et frottant.C. Me zamiento.

Bull. Liaison Labo. Routiers P. et Ch.Parámetros: n9 29 ( enero - febrero, 1968) p. 7-1 á 7-6.

Cu HBCotg , N = 'PH H

C.#* P�2/t Rotura circular por el método de Bishop . MOREAU, M. y PILOT, G.Abaques de calcul de stabilité des remblaisCálculo a corto plazo. sur sois mous équipés de banquettes laté-

T } H �� P Material del terraplén con rozamiento. rales.

Sobrecarga lateral. Informe interno L .C.P.C. (diciembre 1970)C. JH , Parámetros:

HBN7H H H

coln

Fig. 2.94 - Continuación.

DESMONTES Y PRESAS


Rotura circular por el método de Bishop . BISHOP y MORGENSTERNStability Coefficients for earth slope.Cálculo a largo plazo. Géotechnique 1960 . Vol. 10 (diciembre)

El régimen hidráulico se caracteriza me- p. 129-150.diante un parámetro nu = valor medio de

c' AM u/-,f. wh en la capa freática.t

Parámetros :.l,Cotg , H =é HH

, nu, t;

Rotura circular por el método de Bishop . MORGENSTERN

Estabilidad del parámetro aguas-abajo deStability charts for earth slopes duringrapid drawdown.

una presa de tierra durante un desembalse131. 1963. Vol. 13 (julio)rápido; cálculo a corto plazo en tensiones p

121-131.p. 121c,� w totales.

Parámetros:

H' ClH , Cotg , N = H , Nu , P'.

Rotura circular por el método de Caquot . KERISEL

Cálculo a largo plazo para una filtraciónGlissements de Terrains . Dunod, París

rectilínea y uniforme. (1966).

Parámetros : m, Cotg X = 2BHc'y'mH� Da también la posición del circulo más

desfavorable.

N

Fig. 2.94 - Continuación.

DESMONTES Y PRESAS


Cálculo a rotura circular por el método de BLONDEAU, F., CHIRIE y PILOT, G.Bishop . Abaques de calcul de stabilité des talus

t M c°i p Cálculo a corto plazo (bicapa cohesiva) de déblais en sol bicouche. Primera parte.

C-2 Informe interno L.C.P.C. (1969). InformeParámetros: de trabajo personal E. N. P. C.

H' Cu CulH , Cotg , N

= H 2' -e u2

Cálculo a rotura circular por el método de BLONDEAU F. y BERCHE, J.C.C., Bishop . Abaques de calcul de stabilité des talus de

Cálculo a corto plazo (bicapa cohesiva). déblais en sol bicouche. Segunda parte.w p

-

r

c��Informe interno. L. C. P. C. (diciembre

N■ Parámetros : 1970).H? , Cotg N =Cu' Cu . HBH H Cu= H

Cálculo a rotura circular por el método de SMIRES, LAYACHI y PILOT, G.N Bishop. Abaques de calcul de stabilité des talus

partiellement immergés._ Y[ Cálculo a corto plazo Informe L. C.P.C. (julio 1970). (InformeHe Parámetros : de trabajo personal E. N. P.C.).

HBH + H , N = 6 H

- Cotg

qCálculo a rotura circular. JANBU

Distintas combinaciones de sobrecarga enStability analysis of slopes with dimen-si

Y H 0 e cabeza y al pie, con o sin capa freática hoonless parameters.

Harvard Soil Mechanic Series (enero 1954)orizontal.

N

Fig. 2.94 - Contínuaci6n. v

288

aproximativa y cualquier cálculo definitivo debe afrontarse, a ser posible,

mediante todo el desarrollo matemático necesario, ya sea manualmente ó por

ordenador.

Documents

VOLUMEN I - info.igme.es