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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
VOLUME DE PRISMA E CILINDRO
AMANDA RENATA DOMICIANO PATRICIO RODRIGO RIBEIRO BURLA DE SOUZA
Campos dos Goytacazes/RJ 2010
AMANDA RENATA DOMICIANO PATRICIO
RODRIGO RIBEIRO BURLA DE SOUZA
VOLUME DE PRISMA E CILINRO
Monografia apresentada ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, campus Campos-Centro, como requisito parcial para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática. Orientadora: Profª. Esp. Mylane dos Santos Barreto
Campos dos Goytacazes/RJ
2010
AMANDA RENATA DOMICIANO PATRICIO
RODRIGO RIBEIRO BURLA DE SOUZA
VOLUME DE PRISMA E CILINRO
Monografia apresentada ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, campus Campos-Centro, como requisito parcial para conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática.
Aprovada em 21 de dezembro de 2010. Banca Avaliadora:
_______________________________________________________ Profª. Carla Antunes Fontes
Mestre em Matemática Aplicada/UFRJ Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Campos-
Centro
_______________________________________________________ Profª. Mônica Souto da Silva Dias
Doutora em Educação Matemática/PUC/SP Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Campos-
Centro
_______________________________________________________ Profª. Mylane dos Santos Barreto (orientadora)
Especialista em Educação Matemática/UNIFLU/FAFIC Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Campos-
Centro
AGRADECIMENTOS
A Deus por nossas vidas...
A Mylane dos Santos Barreto, nossa professora, orientadora, a quem devemos
agradecimentos por todos os momentos dessa trajetória, pela sua competência e
infindável paciência, incentivo nos períodos em que quase desistimos.
Ao professor Salvador Tavares, pela paciência e incentivo em todo período de
conclusão do curso.
A professora Gilmara Barcelos, pela excelência em suas aulas, inspiradora para o tema
deste trabalho.
Aos funcionários do IF Fluminense, campus Campos-Guarus que gentilmente cederam
os laboratórios de informática e de química para aplicação de nossas atividades.
Aos professores do curso de Licenciatura que durante os Seminários de Monografia
deram importantes contribuições para elaboração deste trabalho.
Aos nossos parentes e amigos que nos ajudaram direta e indiretamente na elaboração
desse projeto.
À Leandro, pela paciência e por nos incentivar a concluir este projeto ajudando a
enfrentar obstáculos que pareciam infindáveis.
Em especial aos nossos pais, pela dedicação, paciência, incentivo e amor, o que nos
ajudou diretamente dando força e coragem para superar as barreiras enfrentadas no
decorrer da elaboração do nosso projeto tão significativo na nossa formação acadêmica.
"Que os nossos esforços desafiem as impossibilidades.
Lembrai-vos de que as grandes proezas foram sempre
conquistas daquilo que parecia impossível."
Charles Chaplin
RESUMO
Esta pesquisa tem como objetivo verificar a influência da visualização e da utilização de materiais concretos e recursos tecnológicos na construção do conceito de volume de prismas e cilindros, utilizando o estudo de caso como metodologia de pesquisa. Para isso, elaborou-se uma sequência didática, privilegiando o raciocínio visual, que utiliza materiais concretos e manipuláveis, como prismas construídos com acetato, cubinhos de cartolina e prismas de acrílico, e o software Calques3D, escolhido como recurso tecnológico, por apresentar uma plataforma tridimensional que privilegia a visualização espacial. A construção da sequência didática foi baseada na teoria de Vygotsky – a qual apresenta a mediação como ideia central na relação entre desenvolvimento e aprendizagem – e na teoria de Piaget – que permite entender a natureza do conhecimento lógico-matemático e a forma como é construído, por meio da abstração reflexiva e da interação com o meio físico e social. Os itens dessa sequência foram dispostos de modo a propiciar, durante a dinâmica da atividade, a interação entre os próprios alunos e entre alunos e professores em formação, visto que, segundo as teorias de Vygotsky e Piaget, o conhecimento é construído pelo aluno na relação com o professor e com os colegas. Como parte deste trabalho, realizou-se uma pesquisa em 10 livros didáticos do Ensino Médio escolhidos aleatoriamente, com o objetivo de verificar a abordagem dada ao volume de prisma e de cilindro. A sequência didática foi experimentada, com um grupo de alunos de uma escola pública de Campos dos Goytacazes. Por meio da observação participante, foi possível concluir que o estímulo à visualização espacial com o uso de materiais concretos e recursos tecnológicos é importante para o processo de construção do conceito de volume. Palavras-chave: Volume de prismas e cilindros. Visualização espacial. Software Calques 3D. Materiais concretos.
ABSTRACT
This research aims to verify the influence of visualization and use of concrete materials and technological resources in building the concept of volume of prisms and cylinders, using case study as research methodology. Therefore, a didactic sequence was elaborated, privileging the visual reasoning, using concrete and manageable materials, like acetate prisms, cardboard cubes, acrylic prisms, and the Calques3D software, chosen as a technological resource, because it presents a three-dimensional platform focused on spatial visualization. The didactic sequence construction was based on Vygotsky's theory - that presents the mediation as central idea in the relationship between development and learning - and in Piaget's theory - that allows to understand the nature of logical and mathematical knowledge and how this knowledge is constructed through the reflective abstraction and interaction with the physical and social center. The items of this sequence were arranged to provide, during the dynamic activity, the interaction between students and between students and teachers in training, whereas according to Vygotsky’s and Piaget’s theories, the knowledge is built by the learner in the relationship with the teacher and with the classmates. As part of this work, a survey was made in 10 randomly selected textbooks high school, in order to verify the approach to the volume of prism and cylinder. The didactic sequence was experienced with a group of students in a public school in Campos dos Goytacazes. Through participant observation, it was concluded that the stimulation of spatial visualization using concrete materials and technological resources is important for the construction process of the concept of volume. Keywords: Volume of prisms and cylinders. Spatial visualization. Calques3D Software. Concrete materials.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Ilustração 1 - Livros que mostram os elementos de prismas e cilindros .................... 21
Ilustração 2 - Livros que abordam as classificações de prismas e cilindros .............. 22
Ilustração 3 - Livros que abordam o Princípio de Cavalieri ...................................... 24
Ilustração 4 - Livros que apresentam métodos para dedução da fórmula do volume 25
Ilustração 5 - Livros que apresentam questões Interdisciplinares .............................. 26
Ilustração 6 - Classificação pragmática dos estudos de caso ..................................... 31
Ilustração 7 - Sólido no software Calques3D ............................................................. 34
Ilustração 8 - Paralelepípedo reto no software Calques 3D ....................................... 35
Ilustração 9 - Alunos trabalhando no teste exploratório ............................................ 36
Ilustração 10 - Alunos usando o software Calques3D ............................................... 37
Ilustração 11 - Aluna respondendo a questão 1 ......................................................... 38
Ilustração 12 - Aluna respondendo a questão 6 ......................................................... 38
Ilustração 13 - Aluna respondendo a questão 9 ......................................................... 39
Ilustração 14 - Alunos realizando a experiência da questão 10 ................................. 40
Ilustração 15 - Alunos fazendo as medições dos sólidos de acrílico ......................... 40
Ilustração 16 - Prisma de acetato ............................................................................... 41
Ilustração 17 - Outro prisma de acetato ..................................................................... 41
Ilustração 18 - Professores em formação apresentando os elementos de um cilindro 43
Ilustração 19 - Professores em formação relembrando fórmulas de áreas de figuras
planas ................................................................................................. 43
Ilustração 20 - Prisma construído pelos professores em formação no Calques3D .... 44
Ilustração 21 - Alunos respondendo a primeira questão da atividade ........................ 44
Ilustração 22 - Resposta dada pelo aluno A para a questão 1 .................................... 45
Ilustração 23 - Resposta dada pelo aluno B à questão 1 ............................................ 45
Ilustração 24 - Esboços feitos por três alunos na questão 2 ....................................... 45
Ilustração 25 - Respostas apresentadas na questão 3 ................................................. 46
Ilustração 26 - Resposta dada por um aluno à questão 4 ........................................... 46
Ilustração 27 - Resposta dada por um aluno à questão 5 ........................................... 46
Ilustração 28 - Resposta dada por um aluno para a questão 6 ................................... 47
Ilustração 29 - Resposta dada por outro aluno à questão 6 ........................................ 47
Ilustração 30 - Paralelepípedo reto construído pelos professores em formação no
software Calques3D ........................................................................... 48
Ilustração 31 - Alunos trabalhando na questão 7 ....................................................... 48
Ilustração 32 - Prismas definidos pelos alunos na questão 7 ..................................... 49
Ilustração 33 - Resposta de um aluno à questão 7 ..................................................... 49
Ilustração 34 - Resposta de um aluno à questão 8 ..................................................... 50
Ilustração 35 - Resposta de outro aluno à questão 8 .................................................. 51
Ilustração 36 - Resposta de um aluno à questão 9 ..................................................... 51
Ilustração 37 - Resposta de outro aluno para a questão 9 .......................................... 52
Ilustração 38 - Resposta de um aluno à questão 10 ................................................... 52
Ilustração 39 - Resposta de outro aluno à questão 10 ................................................ 53
Ilustração 40 - Alguns prismas triangulares construídos pelos alunos no item 11 .... 53
Ilustração 41 - Resposta de um aluno para a questão 11 ............................................ 54
Ilustração 42 - Resposta de outro aluno para a questão 11 ........................................ 54
Ilustração 43 - Esboço do prisma triangular construído por um aluno ...................... 55
Ilustração 44 - Esboço do prisma triangular construído por outro aluno ................... 55
Ilustração 45 - Um cilindro construído por um aluno no software Calques3D ......... 56
Ilustração 46 - Dados da questão 13 de um aluno ...................................................... 56
Ilustração 47 - Dados de outro aluno da questão 13 .................................................. 57
Ilustração 48 - Alguns esboços da questão 14 ........................................................... 58
Ilustração 49 - Resposta dada por um aluno para a questão 15 ................................. 58
Ilustração 50 - Resposta dada por outro aluno para a questão 15 .............................. 59
Ilustração 51 - Resposta de um aluno para a primeira pergunta do questionário ...... 59
Ilustração 52 - Resposta dada por outro aluno para a primeira pergunta do
questionário ........................................................................................ 59
Ilustração 53 - Resposta de um aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário ..... 60
Ilustração 54 - Resposta de outro aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário .. 60
Ilustração 55 - Resposta de um aluno para a pergunta 5 do questionário .................. 60
Ilustração 56 - Resposta de outro aluno para a pergunta 5 do questionário ............... 60
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Elementos de um prisma .......................................................................... 22
Quadro 2 - Classificação apresentada por um livro ................................................... 23
Quadro 3 - Princípio de Cavalieri apresentado por um livro ..................................... 24
Quadro 4 - Exercícios de aplicação apresentados por um livro ................................. 25
Quadro 5 - Dedução da fórmula de volume apresentada por um livro ...................... 26
Quadro 6 - Questões interdisciplinares apresentadas por um livro ............................ 27
SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES ................................................................................... 7
LISTA DE QUADROS ........................................................................................... 9
INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 11
1 REFERENCIAL TEÓRICO ................................................................................ 14
2 RELEVÂNCIA .................................................................................................... 17
2.1 Materiais concretos ............................................................................... 17
2.2 Recursos tecnológicos ........................................................................... 18
2.3 Ensino de Geometria ............................................................................. 19
2.4 Pesquisa em livros didáticos ................................................................. 20
3 ASPECTOS METODOLÓGICOS ...................................................................... 28
3.1 Metodologia de Pesquisa ...................................................................... 28
3.2 Planejamento da sequência didática ...................................................... 32
3.3 Teste exploratório da sequência didática .............................................. 36
3.4 Experimentação da sequência didática .................................................. 42
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 63
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 65
APÊNDICES ........................................................................................................... 69
Apêndice A: Sequência didática utilizada no teste exploratório ................. 70
Apêndice B: Versão final da sequência didática ......................................... 75
Apêndice C: Questionário ........................................................................... 82
INTRODUÇÃO
Várias pesquisas como a de Pavanello (1993), Lorenzato (1995) e Perez (1995)
relatam as dificuldades que a maioria dos alunos demonstra em compreender conceitos
de Geometria Espacial, provocadas, na maioria das vezes, pela ausência ou ineficiência
de um trabalho que priorize o desenvolvimento da visualização e percepção espacial do
estudante.
Segundo Tavares (1998, p.3):
O aprendizado de Geometria depende de desenvolver, entre outras, as habilidades de visualizar, de perceber e de representar, e envolve três tipos de processos cognitivos que estão intimamente ligados: o processo de visualização com respeito à representação espacial, o processo de construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio.
Baseados na teoria de Vygotsky – a qual apresenta a mediação como ideia
central na relação entre desenvolvimento e aprendizagem – e na de Piaget – que permite
entender a natureza do conhecimento lógico-matemático e a forma como é construído
por meio da abstração reflexiva e da interação com o meio físico e social – foi elaborada
uma sequência didática com o uso de materiais concretos e recursos tecnológicos que
visa verificar sua influência na construção do conceito de volume de prismas e cilindros,
respondendo as seguintes questões:
• Por que o uso de materiais manipuláveis facilita a compreensão do
conceito de volume?
• Por que o uso de um software de Geometria Dinâmica com plataforma
tridimensional facilita a compreensão do conceito de volume?
A metodologia utilizada nesta pesquisa é o estudo de caso. A sequência didática
foi aplicada no segundo semestre de 2009 a um grupo de 10 alunos do 1º. ano do Ensino
Médio de uma escola pública de Campos dos Goytacazes.
Dada a possibilidade de construção com materiais de baixo custo, resultando na
apresentação de formas e cores que despertam interesse pela beleza e pela facilidade de
manuseio para analisar propriedades e características de sólidos geométricos, foram
usados materiais concretos neste trabalho.
12
Segundo Silveira e Bisognin (2008, p.1), “pesquisas em Educação Matemática
têm mostrado que os recursos tecnológicos vêm proporcionando mudanças no Ensino
de Matemática e, em particular, no Ensino de Geometria”.
Foi utilizado neste trabalho o software Calques3D, escolhido por ser um
software de Geometria Dinâmica gratuito, com uma plataforma tridimensional, que
possibilita a marcação de pontos, a construção e a visualização de sólidos. A interface
dinâmica desse software possibilitou ao aluno a elaboração de conjecturas, a descoberta
de propriedades e a investigação de situações diversas. A Geometria Dinâmica é de
suma importância para experimentar e testar hipóteses, desenvolver estratégias,
argumentar e deduzir. Carneiro e Déchen, afirmam que, para Lorenzato (1995 apud
CARNEIRO e DÉCHEN, 2009, p.3),
[...] muitas são as causas para o abandono do ensino de Geometria, mas as principais são: a má formação dos professores, que sem os conhecimentos de Geometria tendem a não ensiná-la e a dependência dos livros didáticos que trazem esses conteúdos no final, portanto ficando para serem ensinados no fim do ano letivo. Além disso, os livros trazem a Geometria com uma abordagem euclidiana, ou seja, um conjunto de definições, propriedades e fórmulas.
Como parte deste trabalho, uma pesquisa foi realizada em 10 livros didáticos do
Ensino Médio, escolhidos aleatoriamente, com o objetivo de verificar a distribuição dos
conteúdos de Geometria Espacial e a apresentação dos seguintes itens relacionados a
prismas e cilindros: elementos, classificação, áreas, exercícios de aplicação, dedução da
fórmula de volume, sugestão de experiência para dedução da fórmula de volume e/ou
uso de materiais concretos, Princípio de Cavalieri, exercícios para verificação da
aprendizagem e questões interdisciplinares.
O livro didático ocupa uma posição de destaque nos ambientes de aprendizagem,
por ser um dos importantes componentes no contexto escolar e influenciador do
processo de ensino e aprendizagem. Rossini (2006, p.143) afirma que “não se pode
esquecer, entretanto, que o livro didático é hoje o principal, se não o único instrumento
do professor de matemática; ele determina os conteúdos e a forma de abordá-los”.
O capítulo 1 apresenta o referencial teórico utilizado como base de dados para o
início da pesquisa. O capítulo 2 destaca a relevância do ensino de Geometria e a
importância do uso de materiais concretos e recursos tecnológicos no processo de
ensino e aprendizagem de Geometria Espacial. Este capítulo apresenta os resultados de
13
uma pesquisa realizada com 10 livros didáticos que abordam conceitos de volume de
prismas e cilindros, escolhidos aleatoriamente. A descrição e definição da metodologia
de pesquisa de estudo de caso utilizada neste trabalho é apresentada no capítulo 3.
A sequência didática, objeto deste trabalho, foi construída privilegiando a
visualização espacial. No capítulo 4 são detalhados os passos da construção da
sequência didática, bem como as modificações feitas após o teste exploratório e a
apresentação no Seminário de Monografia1 do curso de licenciatura em Matemática.
O capítulo 5 narra a validação da sequência didática e apresenta argumentos que
justificam as respostas dos questionamentos sobre a influência dos materiais concretos,
recursos tecnológicos e visualização espacial na compreensão do conceito de volume,
feitos no capítulo 3.
1 Atividade inserida na disciplina Monografia na qual são apresentadas as pesquisas realizadas durante a realização do trabalho monográfico.
1 REFERENCIAL TEÓRICO
A inspiração para realização deste trabalho surge das percepções advindas das
experiências escolares e de observações, nos estágios supervisionados, sobre a
dificuldade apresentada pela maioria dos alunos de compreender conceitos de
Geometria que demandem capacidade de visualização espacial.
De acordo com Souza (2001, p.29):
Pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é muito necessária ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares requerem percepção espacial, tanto em Matemática como na leitura e na escrita.
Além disso, ela pode ser considerada uma área do conhecimento que auxilia na
compreensão, descrição e inter-relação com o espaço em que se vive.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:
No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no Ensino Médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. Não se trata de os alunos possuírem muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno. Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. (BRASIL, 1999, p.40)
Segundo Tavares (1998, p.3):
O tipo de raciocínio usado em Geometria é diferente do que é utilizado em outras áreas do saber, cabendo notar que não se pode reduzir a aprendizagem desta parte da Matemática à mera aplicação de fórmulas ou a técnicas operatórias. O aprendizado de Geometria depende de desenvolver, entre outras, as habilidades de visualizar, de perceber e de representar, e envolve três tipos de processos cognitivos que estão intimamente ligados: o processo de visualização com respeito à representação espacial, o processo de construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio, o que é básico para ser demonstrado e comprovado.
15
Várias pesquisas como a de Pavanello (1993), Lorenzato (1995) e Perez (1995)
relatam a importância do ensino da Geometria Espacial e a dificuldade que os
estudantes apresentam ao construir um sólido geométrico, identificar suas características
em diferentes ângulos de visualização, fazer representações de figuras espaciais no
plano, calcular seu volume, etc. Dificuldades que, na maioria das vezes, são provocadas
pela ausência ou ineficiência de um trabalho que priorize o desenvolvimento da
visualização e da percepção espacial do estudante. Tais deficiências comprometem o
processo de construção da imagem mental.
Segundo Medalha (1997, p.17 apud TAVARES, 1998, p.5): Quando o trinômio, não é desenvolvido o aluno tem a ideia de que estudar Geometria espacial se reduz apenas a decorar fórmulas, substituir os dados inseridos no problema e calcular.
Visando métodos que diminuam as dificuldades descritas anteriormente, este
trabalho apresenta uma sequência didática com o uso de materiais concretos e recursos
tecnológicos, construída a fim de levar os alunos da experiência à formalização.
Com a ideia de Piaget e Inhelder da intuição elementar do espaço, tem-se a
possibilidade de trabalhar com uma concepção de pensamento espacial definida junto
com a concepção axiomática de Euclides, que pode ser usada na Geometria para ir da
intuição à lógica.
Segundo Tavares (1998, p.10),
No estudo da Geometria espacial, é através do raciocínio visual que os alunos identificam as características do objeto geométrico, onde a figura que o representa é utilizada na resolução de problemas ou demonstração de teoremas. O não desenvolvimento do raciocínio visual e a não formação da imagem mental comprometem muito a visualização geométrico-espacial do aluno.
O propósito deste trabalho é verificar como a visualização e a utilização de
materiais concretos e de recursos tecnológicos influenciam na construção do conceito de
volume.
Segundo Tavares (1998, p.15), “a linguagem intuitiva instrumenta o sujeito em
direção ao processo de abstração das formas”. Tavares (1998) afirma que Vygotsky e
Raciocínio Visual
Visualização (percepção visual)
Imagem Mental
16
Piaget acreditam que o conhecimento seja construído pelo aluno na relação com o
professor e com os colegas e seja também um processo que não se encontra pronto.
A teoria de Vygotsky apresenta a mediação como ideia central na relação entre
desenvolvimento e aprendizagem e o modo como se dá a construção de um conceito. A
relação do homem com o mundo não é uma relação direta. O homem como sujeito do
conhecimento não tem acesso direto aos objetos: tem um acesso mediado por meio de
ferramentas auxiliares próprias da atividade humana.
Baseando-se nessas teorias, elaborou-se a sequência didática proposta neste
trabalho, com foco na representação mental como desenvolvimento das capacidades de
abstração e generalização.
Segundo Tavares (1998, p.19):
Cabe lembrar que a criação de signos e a construção da linguagem são processos mentais internos, de natureza intuitiva, os quais, estando associados à experiência física que constitui a experimentação, e tendo como elementos de base a atividade perceptiva (a percepção) e a representação mental, ou imagem que produzem as representações externas, resultando na criação de símbolos.
As experiências propostas neste trabalho contemplam a criação dos símbolos
por parte dos estudantes. Segundo Tavares (1998, p.25), “Piaget (1993) demonstra que,
para o próprio matemático, a intuição transcende o ‘sistema de percepções ou de
imagens: é a inteligência elementar do espaço, em um nível ainda não formalizado’ ”.
A sequência didática proposta neste trabalho pretende contribuir para a
construção do conceito de volume de prismas e cilindros. Segundo Lima (1992, p.60),
“o volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupada. Assim, o volume é o
resultado da comparação entre duas grandezas, sendo uma delas utilizada como unidade
de medida”.
Geralmente, considera-se como unidade de volume um cubo cuja aresta mede
uma unidade de comprimento - por isso, denominado cubo unitário. Define-se o volume
desse cubo como sendo 1. Segundo Tavares (1998), o volume de um sólido é o número
que expressa quantos cubos unitários ocupariam exatamente o mesmo espaço que esse
sólido.
2 RELEVÂNCIA
2.1 Materiais concretos
Nesta pesquisa desenvolvemos uma sequência didática na perspectiva empírico-
ativista (ANDRADE; NACARATO, 2004), que consiste em enfocar a Geometria numa
perspectiva mais lúdica, com exploração de materiais manipuláveis e realização de
atividades, sem preocupações explícitas com enfoques teóricos, fazendo uso de
materiais concretos e recursos tecnológicos. Assim, oferecemos a oportunidade de
aprendizado de alguns conceitos relacionados à Geometria Espacial, tais como volume
de prisma e de cilindro.
Ao iniciar as pesquisas sobre o uso de materiais concretos no ensino de volume
de prismas, foi possível perceber que esse seria um recurso muito útil, pois podem ser
construídos com materiais de baixo custo (papelão, plástico, cordão, etc.) que resultam
na apresentação de formas e cores que despertam interesse por causa de sua beleza.
Além disso, o resultado final da construção é um material manipulável, que permite ao
aluno manusear o objeto em estudo, para analisar suas propriedades e características.
Em busca de um embasamento teórico na literatura para justificar a relevância
do estudo de novos recursos no ensino de Geometria, vimos ressaltadas a importância e
a contribuição dessa área do saber no desenvolvimento do pensamento lógico e na
compreensão do ambiente em que o aluno vive.
Para Passos (2005, p.18) “o desenvolvimento de conceitos geométricos é
fundamental para o crescimento da capacidade de aprendizagem, que representa um
avanço no desenvolvimento conceitual”.
O papel da Geometria também é exposto nos documentos oficiais como os
Parâmetros Curriculares Nacionais, os quais deixam evidente a sua importância para
“desenvolver capacidades cognitivas fundamentais” (BRASIL, 1998, p.16).
Lorenzato (1995) afirma ser importante a presença da Geometria em nossas
escolas, por auxiliar as pessoas na compreensão e solução de questões de outras áreas
do conhecimento, bem como na resolução de problemas do cotidiano.
No trabalho de Gazire (2000) são apresentados alguns fatores que influenciam
negativamente o ensino de Geometria: a dificuldade dos professores para romper com
os procedimentos tradicionais da aula expositiva; a falta de informações sobre as várias
perspectivas de conteúdos das Geometrias, que geram dificuldade de encontrar
18
alternativas para a mudança de seu ensino; e o uso inadequado dos materiais concretos,
entre outros.
Sobre o uso de materiais concretos, ressaltamos os trabalhos de Pais (1996),
Nacarato (2005) e Passos (2006), que apresentam aspectos positivos e negativos do uso
de materiais manipuláveis para o ensino, com reflexões sobre a importância da
utilização desses materiais e o alerta que eles, por si só, não são capazes de promover a
aprendizagem.
2.2 Recursos tecnológicos
Um dos propósitos deste trabalho é apresentar atividades destacando o uso de
softwares educacionais como ferramentas para o processo de ensino e aprendizagem.
Segundo Silveira e Bisognin (2008), pesquisas em Educação Matemática têm
mostrado que os recursos tecnológicos vêm proporcionando mudanças no ensino de
Matemática, em particular, no ensino de Geometria.
A utilização do computador e de softwares educacionais como recursos
pedagógicos auxilia os professores nas aulas, tornando-as mais atraentes e resgatando o
interesse do aluno pelo estudo da Matemática. Cabe ao professor conhecer as
ferramentas do software e realizar um minucioso planejamento, para que consiga extrair
todos os recursos necessários à otimização do processo de ensino e aprendizagem.
O software utilizado nesse trabalho é o Calques3D, escolhido por ser um
programa gratuito com uma plataforma tridimensional que possibilita a visualização de
sólidos. A interface dinâmica deste software possibilita ao aluno a elaboração de
conjecturas, a descoberta de propriedades e a investigação de situações diversas.
O software Calques3D é livre e está disponível para download no site
www.calques3d.org/download.html. As principais ferramentas do software que foram
utilizadas na sequência didática proposta neste trabalho são a marcação de pontos, a
construção de segmentos e a mudança do ângulo de visualização.
A Geometria dinâmica é de suma importância para experimentar e testar
hipóteses, desenvolver estratégias, argumentar e deduzir.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) (1998), a formação
do aluno deve ter como objetivo principal a aquisição de conhecimentos básicos e o
desenvolvimento de capacidades como pesquisar, buscar informações e formular
hipóteses. Nesse sentido, o uso de softwares computacionais auxilia o professor de
19
Matemática a planejar e implementar uma aula investigativa, que facilite a criação de
situações-problema que sirvam de motivação e de desafio aos alunos.
Hoje em dia, existem cada vez mais presentes na sociedade apelos visuais e
sonoros. Apesar de representarem ferramentas de grande valia no desenvolvimento
cognitivo dos alunos, esses recursos ainda são pouco aproveitados nos ambientes
educacionais.
Os documentos oficiais, como os PCN (1999) e PCN+ (2002), trazem sugestões
quanto à diversidade de recursos que devem ser utilizados na sala de aula. Dentre as
sugestões na área de Ensino de Matemática, destaca-se o uso da Resolução de
Problemas, da História da Matemática, dos Jogos e da Tecnologia da Informação.
O computador pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de dados, elementos visuais), mas também como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o aluno a aprender com seus erros e aprender junto com seus colegas, trocando suas produções e comparando-as. (BRASIL, 1997, p.48)
Neste trabalho, pretendemos apresentar recursos que favoreçam a percepção e
desenvolvimento das habilidades de leitura, interpretação e visualização das
propriedades de prismas e cilindros, necessárias para determinação do seu volume.
Os PCN estabelecem o uso das tecnologias como um recurso em sala de aula,
porém há necessidade de que o professor faça uma escolha adequada à proposta de
ensino, pois o uso do software não deve possibilitar apenas uma simulação de teste de
conhecimentos, mas promover uma interação com os alunos para a construção
significativa do conhecimento e dos conceitos abordados.
2.3 Ensino de Geometria
Apesar da reconhecida importância da Geometria, podemos dizer que seu ensino
vem sendo colocado em segundo plano e, muitas vezes, até desprezado. Tal constatação
fundamenta-se em pesquisas que abordam a problemática do ensino da Geometria
(PEREZ, 1995; PAVANELLO, 1993).
O abandono no ensino de Geometria há muito já vem sendo discutido. O
trabalho de Pavanello (1993) foi realizado há dezesseis anos, e acreditamos que pouca
coisa mudou.
20
De acordo com essa autora, o início do abandono do ensino de Geometria
ocorreu por causa da promulgação da Lei de Diretrizes e Bases do Ensino de 1º. e 2º.
graus em 1971, pois possibilitou que cada professor elaborasse seu programa de acordo
com as necessidades dos alunos. Dessa forma, os docentes de 1ª. a 4ª. série passaram a
enfocar somente os conteúdos aritméticos e as noções de conjuntos (PAVANELLO,
1993).
Para Lorenzato (1995), muitas são as razões para esse abandono. Citam-se entre
elas as principais: a má formação dos professores, que, sem os conhecimentos de
Geometria, tendem a não ensiná-la, e a dependência dos livros didáticos, que
apresentam os conteúdos relacionados à ela no final – por conseguinte ficam para ser
ensinados no fim do ano letivo. Além disso, os livros trazem a Geometria com uma
abordagem euclidiana, ou seja, um conjunto de definições, propriedades e fórmulas.
Em relação ao livro didático, vemos que atualmente a distribuição dos conteúdos
de Geometria aparece de maneira mais diferenciada, bem distribuída ao longo dos
capítulos. Mas, segundo o Guia de Livros Didáticos PNLD (2008), ainda há uma
concentração maior desse conteúdo nos dois últimos volumes das séries finais do
Ensino Fundamental (BRASIL, 2007).
2.4 Pesquisa em livros didáticos
Como parte deste trabalho, foi realizada uma pesquisa em livros didáticos, com
o objetivo de verificar a distribuição dos conteúdos de Geometria Espacial e a
apresentação dos seguintes itens relacionados a prismas e cilindros: elementos,
classificação, áreas, exercícios de aplicação, dedução da fórmula de volume, sugestão
de experiência para dedução da fórmula de volume e/ou uso de materiais concretos,
Princípio de Cavalieri, exercícios para verificação da aprendizagem e questões
interdisciplinares.
Nesta pesquisa foram utilizados dez livros didáticos que apresentam conteúdos
de Geometria Espacial. A maioria dos livros foram adotados pelas escolas regulares de
Campos dos Goytacazes e escolhidos aleatoriamente por nós. Procuramos escolher
livros recentes.
O livro didático ocupa posição de destaque nos ambientes de aprendizagem. Por
ser um dos importantes componentes do contexto escolar e elemento de influência no
21
Ilustração 1 - Livros que mostram os elementos de prismas e cilindros
0123456789
10
Sim Não
processo de ensino e aprendizagem, mesmo diante de tantas “novidades” em tecnologia
da comunicação e informatização nas instituições de ensino.
Segundo Rossini (2006, p.143), “não se pode esquecer, entretanto, que o livro
didático é hoje o principal, se não o único instrumento do professor de Matemática; ele
determina os conteúdos e a forma de abordá-los”.
Partindo dessa ideia, realizou-se uma pesquisa nos livros didáticos consultados
com o objetivo principal de verificar a abordagem dada à Geometria Espacial,
especificamente ao volume de prisma e cilindro. A análise enfatizou as definições,
conceitos, contextualização e citação de instrumentos para construção do conhecimento.
90% dos livros didáticos
pesquisados apresentam
imagens que mostram os
elementos de prismas e
cilindros, como aresta da
base, aresta lateral e vértice.
Um dos livros pesquisados abordou os elementos de um prisma da seguinte
forma:
22
Fonte: SMOLE, DINIZ (2005)
Quadro 1 - Elementos de um prisma apresentado por um livro
Um dos livros pesquisados aborda prismas e cilindros sem mencionar quais são
seus elementos. O reconhecimento dos elementos dos prismas e cilindros é importante
visto que suas medidas estão associadas ao cálculo da área e do volume dos sólidos.
90% dos livros
didáticos trazem as
classificações de
prismas e cilindros.
Um dos livros pesquisados abordou as classificações de um prisma da seguinte
forma:
Ilustração 2 - Livros que abordam as classificações de prismas e cilindros
0123456789
10
Sim Não
23
Fonte: SILVA, BARRETO FILHO (2005)
Quadro 2 - Classificação apresentada por um livro
Um dos livros pesquisados aborda prismas e volume sem comentar as
classificações de um prisma. A abordagem da classificação de um prisma é importante,
pois o aluno identifica o polígono que é a base do prisma e, identificando se é reto ou
oblíquo, traça estratégias para o cálculo do volume.
Todos os livros pesquisados apresentam a indicação para a determinação da área
lateral, área da base e área total de prismas e cilindros.
24
Quadro 3 - Princípio de Cavalieri apresentado por um livro
Fonte: DANTE (2005a)
80% dos livros didáticos
pesquisados apresentam os
argumentos do Princípio de
Cavalieri, como mostra o
gráfico ao lado.
Um dos livros pesquisados abordou o Princípio de Cavalieri da seguinte forma:
Apenas um dos livros pesquisados aborda prisma e volume sem mencionar o
Princípio de Cavalieri, que é fundamental para a compreensão do aluno, pois justifica a
fórmula para o cálculo do volume de um prisma. Todos os livros didáticos pesquisados
trazem exercícios de verificação da aprendizagem e apenas um não apresenta exercícios
de aplicação.
Ilustração 3 - Livros que abordam o Princípio de Cavalieri
0123456789
10
Sim Não
25
Quadro 4 - Exercícios de aplicação apresentados por um livro
Fonte: DANTE (2005)
Um dos livros pesquisados tem os seguintes exercícios de aplicação:
O gráfico acima mostra que 80% dos livros didáticos pesquisados apresentam
argumentos para a dedução da fórmula de volume de prismas e cilindros.
Ilustração 4 - Livros que apresentam métodos para dedução da fórmula do volume
0123456789
10
Sim Não
26
Quadro 5 - Dedução da fórmula de volume apresentada por um livro
Fonte: DANTE (2005)
Um dos livros pesquisados assim apresentou a forma da dedução da fórmula de
volume:
Apenas 20% dos livros pesquisados não apresentam a dedução da fórmula de
volume. Essa dedução é indispensável para que o aluno possa compreender o conceito
de volume. Nenhum dos livros didáticos pesquisados sugere algum tipo de experiência
ou uso de materiais concretos para dedução da fórmula de volume.
40% dos livros didáticos
pesquisados apresentam
questões interdisciplinares.
Ilustração 5 - Livros que apresentam questões Interdisciplinares
0123456789
10
Sim Não
27
Um dos livros pesquisados apresenta as seguintes questões:
Em algumas situações o livro didático é o único material utilizado pelo professor
para planejar sua aula. Entendemos que essa ferramenta deve ser rica e apresentar
possibilidades diferenciadas e positivas para facilitar o processo de ensino e
aprendizagem. Embora os livros pesquisados não apresentem sugestões de experiências
com uso de material concreto, esse recurso é de grande valia principalmente no ensino
de Geometria Espacial, visto que privilegia a visualização e manipulação de sólidos.
É importante que o professor utilize todos os meios e ferramentas possíveis para
tornar sua aula interessante e didática. Cabe ao profissional avaliar em que situação e
condição cada material se dispõe melhor. O livro didático, materiais concretos e
manipuláveis e recursos tecnológicos devem fazer parte das aulas, auxiliando e
complementando a tarefa do professor, que é ensinar.
Quadro 6 - Questões Interdisciplinares apresentadas por um livro
Fonte: GOULART (2004)
3 ASPECTOS METODOLÓGICOS
3.1 Metodologia de Pesquisa
Como parte deste trabalho, foi elaborada uma sequência didática que utiliza
materiais manipuláveis e um software de geometria dinâmica, aplicada para um grupo
de alunos de uma turma do 1º. ano do Ensino Médio de uma escola pública de Campos
dos Goytacazes.
Os autores avaliaram, por meio de estudo de caso - metodologia de investigação
-, se o uso dos materiais manipuláveis e do software Calques3D influenciou
positivamente na compreensão do conceito de volume de prismas e cilindros. De acordo
com Ponte (2006, p.2),
Um estudo de caso visa conhecer uma entidade bem definida como uma pessoa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma política ou qualquer outra unidade social. O seu objetivo é compreender em profundidade o “como” e os “porquês” dessa entidade, evidenciando a sua identidade e características próprias, nomeadamente nos aspetos que interessam ao pesquisador.
Coutinho e Chaves (2002 apud Araújo et al., 2008, p.4), indicam que “quase
tudo pode ser um ‘caso’: um indivíduo, um personagem, um pequeno grupo, uma
organização, uma comunidade ou mesmo uma nação”.
Este trabalho pretende responder às seguintes questões:
• Por que o uso de materiais concretos facilita a compreensão do conceito
de volume?
• Por que o uso de um software de Geometria Dinâmica com plataforma
tridimensional facilita a compreensão do conceito de volume?
Segundo Araújo et al. (2008, p.3), sobre o estudo de caso, citando Yin (1994),
Podemos afirmar que é a estratégia mais utilizada quando se pretende conhecer o “como?” e o “porquê?”, quando o investigador detém escasso controlo dos acontecimentos reais ou mesmo quando este é inexistente, e quando o campo de investigação se concentra num fenómeno natural dentro de um contexto da vida real.
29
No contexto da aplicação da sequência didática desenvolvida neste trabalho, os
pesquisadores não tinham controle da situação no que se referia à participação dos
alunos, seu domínio do uso do computador, e sua capacidade de visualização espacial.
A aplicação ocorreu no ambiente escolar dos alunos, em laboratórios disponíveis para
uso em aulas regulares.
Os autores buscaram encontrar interações entre o uso de materiais manipuláveis,
recursos tecnológicos e o processo de construção do conhecimento do conceito de
volume. O estudo de caso é uma investigação com características peculiares, pois é
baseada em situações específicas que podem ser únicas ou especiais, com informações
que permitam compreender globalmente um fenômeno.
Segundo Araújo et al. (2008, p.4):
Fidel (1992) refere que o método de estudo de caso é um método específico de pesquisa de campo. Estudos de campo são investigações de fenômenos à medida que ocorrem, sem qualquer interferência significativa do investigador.
Ponte (2006, p.2) considera que:
É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única ou especial, pelo menos em certos aspectos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global de um certo fenômeno de interesse.
A classificação do estudo de caso como pesquisa qualitativa é discutida por
diversos autores, sem que haja um consenso.
Se é verdade que na investigação educativa em geral abundam sobretudo os estudos de caso de natureza interpretativa/qualitativa, não menos verdade é admitir que, estudos de caso existem em que se combinam com toda a legitimidade métodos quantitativos e qualitativos. (COUTINHO; CHAVES, 2002 apud ARAÚJO et al. 2008, p.5)
O estudo de caso foi escolhido como metodologia de investigação deste trabalho
porque os dados serão recolhidos utilizando observações diretas e o registro escrito dos
alunos; as observações dos alunos serão analisadas; a pesquisa será dirigida aos estágios
de exploração, classificação e desenvolvimento de hipóteses do processo de construção
30
do conhecimento; os resultados dependem da integração do investigador por meio da
observação participativa e a pesquisa deseja identificar como e por quê o uso de
materiais manipuláveis e recursos tecnológicos auxilia os alunos no processo de
construção do conceito de volume.
Segundo Mazzotti (2006, p.641), “Stake (2000) distingue três tipos de estudos
de caso a partir de suas finalidades: intrínseco, instrumental e coletivo”.
Mazzotti define estudo de caso instrumental da seguinte forma:
No estudo de caso instrumental, ao contrário, o interesse no caso deve-se à crença de que ele poderá facilitar a compreensão de algo mais amplo, uma vez que pode servir para fornecer insights sobre um assunto ou para contestar uma generalização amplamente aceita, apresentando um caso que nela não se encaixa. (MAZZOTTI, 2006, p.641, grifo do autor)
Coutinho e Chaves (2002), baseados em Stake (1995) afirmam que:
O instrumental, quando um caso é examinado para fornecer instrospecção sobre um assunto, para refinar uma teoria, para proporcionar conhecimento sobre algo que não é exclusivamente o caso em si; o estudo do caso funciona como um instrumento para compreender outro(s) fenômeno(s). (COUTINHO E CHAVES, 2002, p.226, grifo do autor)
Para Mazzotti (2006, p.641), “no estudo de caso intrínseco busca-se melhor
compreensão de um caso apenas pelo interesse despertado por aquele caso particular”.
No estudo de caso coletivo “o pesquisador estuda conjuntamente alguns casos
para investigar um dado fenômeno, podendo ser visto como um estudo instrumental
estendido a vários casos”. (MAZZOTTI, 2006, p.642)
Por outro lado, Coutinho e Chaves (2002, p.227) apresentam uma tabela
(Ilustração 6) produzida por Gomez, Flores e Jimenez (1996), com a proposta de
Bogdan e Bilken (1994), que mostra uma classificação pragmática dos estudos de caso
referentes aos métodos e procedimentos adotados em cada caso específico.
31
Tipo de caso Modalidades Descrição
Histórico Ocupa-se da evolução de uma instituição
Observacional Tem na observação participante a principal técnica de recolha de dados
Biografia Com base em entrevista intensiva a uma pessoa, produz uma narração na primeira pessoa
Comunitário Estuda uma comunidade (de vizinhos, p.e)
Situacional Estuda um acontecimento na perspectiva de quem dele participou
Estudo de caso único
Micro etnografia Ocupa-se de pequenas unidades ou actividades dentro de uma organização
Indução analítica
Busca desenvolver conceitos abstractos contrastando explicações no marco representativo de um contexto mais geral Estudo de caso
múltiplo
Comparação constante
Pretende gerar teoria contrastando proposições (hipóteses) extraídas de um contexto noutro contexto diferente.
Fonte: Coutinho e Chaves, 2002, p.227
É possível que o estudo de caso em questão neste trabalho se caracterize como
instrumental, por permitir a identificação das possibilidades de uso de materiais
manipuláveis e recursos tecnológicos na construção do conceito de volume de prismas e
cilindros, que pode servir como insight para um tema mais amplo: o ensino de
Geometria Espacial. De acordo com o quadro acima, é um estudo de caso único
observacional, pois coletou informações para a pesquisa por meio da observação
participante.
Classificamos a coleta de informações como uma observação participante, assim
definida por Serva e Jaime Jr (1995 apud SANTOS, ca. 2009, s/p.):
Ilustração 6 - Classificação pragmática dos estudos de caso
32
Situação de pesquisa onde observador e observado encontram-se face a face, e onde o processo de coleta de dados se dá no próprio ambiente natural de vida dos observados, que passam a ser vistos não mais como objetos de pesquisa, mas como sujeitos que interagem em dado projeto de estudos.
Para Bruyin, citação extraída da obra de Haquette (1987) por Santos (ca. 2009,
s/p.), a observação participante “representa um processo de interação entre a teoria e
métodos dirigidos pelo pesquisador na sua busca de conhecimento, não só da
‘perspectiva humana’ como da própria sociedade”.
Segundo Fidel (1992 apud ARAÚJO et al., 2008, p.9), os objetivos de um estudo
de caso são “compreender o evento em estudo e ao mesmo tempo desenvolver teorias
mais genéricas a respeito do fenômeno observado”.
Não existe unanimidade sobre a possibilidade de generalização dos resultados
extraídos da análise de um estudo de caso. Araújo et al. (2008, p.18) citando Coutinho e
Chaves (2002) afirmam que “em determinados estudos de caso a generalização não faz
sentido devido a especificidade ou pelo impedimento de repetição do procedimento”.
Citando Gomez, Flores e Jimenez (1996) afirmam ainda que “se deve ponderar o caráter
crítico do estudo de caso permitindo confirmar, modificar, ou ampliar o conhecimento
sobre o objeto de estudo”, e citando Yin (1994) afirmam que “existem estudos de caso
em que a generalização não faz sentido e estudos de caso em que os resultados podem
ser generalizados, aplicando-se a outras situações”.
Concluiu-se, pelos argumentos mencionados neste capítulo, que o estudo de caso
representa a metodologia adequada para a investigação proposta neste trabalho.
3.2 Planejamento da sequência didática
A sequência didática objeto deste trabalho foi elaborada com o objetivo de
verificar a influência da visualização e da utilização de materiais concretos e recursos
tecnológicos na construção do conceito de volume de prismas e cilindros, pois de
acordo com a pesquisa psicogenética de Piaget e Inhelder (1993), o desenvolvimento da
noção de espaço é fundamental para o desenvolvimento do mecanismo da inteligência.
Tal sequência didática foi construída privilegiando a visualização espacial, pois
segundo Tavares (1998, p.10), “o não desenvolvimento do raciocínio visual e a não
formação da imagem mental comprometem muito a visualização geométrico-espacial
33
do aluno” e segundo Medalha (1997, p.17 apud TAVARES, 1998, p.5), quando a
visualização, o raciocínio visual e a imagem mental não são desenvolvidos, o aluno tem
a ideia de que estudar Geometria Espacial reduz-se a decorar fórmulas, substituir os
dados inseridos no problema e calcular.
Os itens dessa sequência foram dispostos de modo a propiciar, durante a
dinâmica da sequência didática, a interação entre os próprios alunos e entre os alunos e
os professores em formação, visto que, segundo as teorias de Vygotsky e Piaget, o
conhecimento é construído pelo aluno na relação com o professor e com os colegas.
A teoria de Vygotsky apresenta a mediação como ideia central na relação entre
desenvolvimento e aprendizagem e a forma pela qual se cria um conceito. Materiais
concretos e recursos tecnológicos são ferramentas de mediação na sequência didática
apresentada neste trabalho, com foco na representação mental como desenvolvimento
das capacidades de abstração e generalização.
Os materiais concretos e manipuláveis utilizados nesta sequência didática
foram prismas construídos com acetato, cubinhos de cartolina e prismas de acrílico. O
software Calques3D foi escolhido como recurso tecnológico por apresentar uma
plataforma tridimensional que privilegia a visualização espacial.
A opção pelo uso de materiais manipuláveis e recursos tecnológicos foi uma
tentativa de proporcionar ao aluno a oportunidade de desenvolvimento das habilidades
de visualização espacial, visto que o não desenvolvimento de tais habilidades
compromete o processo de construção da imagem mental. De acordo com Tavares
(1998),
O aprendizado de Geometria depende de desenvolver, entre outras, as habilidades de visualizar, de perceber e de representar, e envolve três tipos de processos cognitivos que estão intimamente ligados: o processo de visualização com respeito à representação espacial, o processo de construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio. (TAVARES, 1998, p.3)
Na primeira versão, a sequência didática (Apêndice A) apresentava dez
questões. A seguir, descreve-se a relevância de cada uma.
Na primeira questão, foram feitas perguntas sobre os elementos de um prisma
construído pelos autores no software Calques3D (Ilustração 7). Durante a resolução
desta questão os alunos seriam estimulados a mudar o ângulo de visualização e explorar
algumas ferramentas do software.
34
Nas questões 2, 3 e 4, foi trabalhado o conceito de medida de comprimento e a
questão 5 foi elaborada de modo que o aluno pudesse deduzir e compreender a fórmula
para o cálculo da área de um retângulo.
No software Calques3D, foi construído um paralelepípedo reto de modo que
suas dimensões finais pudessem ser definidas pelos alunos por meio da movimentação
dos vértices A e B (Ilustração 8). No interior desse paralelepípedo estão cubos com
aresta medindo 1 unidade de comprimento. A questão 6 foi elaborada por
considerarmos que a movimentação dos vértices e a observação da relação entre a
quantidade de cubos e a medida das arestas do paralelepípedo facilita a interpretação do
conceito de volume, utilizando os três processos cognitivos citados por Tavares (1998):
o processo de visualização relacionado à representação espacial, o processo de
construção pelo uso de ferramentas e o processo de raciocínio.
Por meio da análise das respostas dadas pelos alunos a essa questão, foi possível
determinar se o uso das ferramentas do software facilitou a visualização e a
interpretação dos alunos.
Ilustração 7 - Sólido no software Calques3D
35
Na questão 7, o aluno foi levado a deduzir a fórmula do volume de um prisma
por meio da observação e manipulação de materiais concretos, utilizando-se da
experiência à formalização.
Nas questões 8 e 9, o aluno teve que construir um prisma triangular e um
cilindro reto no software Calques3D, observar suas dimensões e calcular seu volume
através do conceito deduzido nas atividades anteriores.
Na questão 10, o aluno teve que realizar uma experiência para medição do
volume de sólidos de acrílico usando água, régua e proveta. A intenção foi mostrar que
os métodos deduzidos para o cálculo do volume de um prisma por meio do software
Calques3D e dos materiais concretos são eficientes. Vale lembrar que segundo Tavares
(1998, p.19):
A criação de signos e a construção da linguagem são processos mentais internos, de natureza intuitiva, os quais, estando associados à experiência física que constitui a experimentação, e tendo como elementos de base a atividade perceptiva (a percepção) e a representação mental, ou imagem que produzem as representações externas, resultando na criação de símbolos.
A experiência proposta na questão 10 deste trabalho contemplava a criação dos
símbolos por parte dos estudantes. A sequência didática foi elaborada de modo que o
aluno construísse o conceito de volume durante sua resolução. O público alvo foram
alunos do 1º. ano do Ensino Médio.
Ilustração 8 - Paralelepípedo reto no software Calques 3D
A
B
36
3.3 Teste exploratório da sequência didática
Com essa versão da sequência didática, foi feito um teste exploratório de 4 horas
de duração com um grupo de dez alunos de 1º. e 2º. anos do Ensino Médio de uma
escola pública de Campos dos Goytacazes. O objetivo desse teste exploratório foi
verificar o tempo necessário para os alunos analisarem e resolverem adequadamente
cada um dos itens da sequência didática, corrigir enunciados que pudessem trazer
alguma dificuldade de entendimento, verificar a coerência da ordem dos itens que
compõem a sequência didática e avaliar se foi construída de modo a proporcionar o
saber desejado ao aluno.
Os participantes do teste exploratório receberam uma apostila com os itens da
sequência didática.
Para a resolução de alguns itens da sequência didática, eram necessários o uso
do software Calques3D e de materiais concretos manipuláveis. Por isso, a resolução dos
itens da primeira parte da sequência didática ocorreu em um laboratório de informática,
onde cada alunou usou um computador com o software instalado. Os professores em
formação utilizaram um projetor multimídia para apresentar definições e informações
importantes para a resolução da sequência didática e orientar os alunos sobre o uso das
ferramentas do software.
Ilustração 9 - Alunos trabalhando no teste exploratório
37
Na questão 10, é solicitada a realização de uma experiência com uso de água.
Para não danificar as máquinas do laboratório de informática, os alunos se deslocaram
para um laboratório de química, onde dispuseram de provetas (instrumento cilíndrico
usado para medição de líquidos com escala em mililitros), água, régua e sólidos de
acrílico para realização da experiência.
Segundo Tavares (1998, p.24), “cabe ao professor criar um ambiente instigante
e desafiador, para que a interação com o meio exija e estimule o intelecto do
adolescente a fim de que ele atinja os estágios mais elevados do raciocínio”.
Alguns alunos demoraram para resolver a primeira questão da sequência didática
e argumentaram que eram solicitados a identificação e a representação de muitos
segmentos. Por conseguinte, a questão foi reformulada, passando a solicitar aos alunos
que listassem três arestas e três diagonais do prisma, e três diagonais da base.
Ilustração 10 - Alunos usando o software Calques3D
38
Quanto ao uso do software, os alunos não apresentaram dificuldades.
Dominaram o uso do computador e entenderam facilmente as possibilidades de uso das
ferramentas do software Calques3D. Alguns mostraram dificuldade quando foi
necessária a marcação de um ponto com cota diferente de zero, principalmente quando a
cota era negativa. Para evitar ou diminuir tais dúvidas, planejou-se dar mais ênfase a
esse tipo de marcação no momento da apresentação das ferramentas do software, na
experimentação da sequência didática.
Ilustração 11 - Aluna respondendo a questão 1
Ilustração 12 - Aluna respondendo a questão 6
39
Os alunos relataram que o uso dos materiais concretos facilitou a visualização
dos elementos e a dedução e compreensão da fórmula do volume do prisma e do
cilindro.
Na questão 10, foi realizada uma experiência com sólidos de acrílico e água. O
aluno deveria depositar água no sólido até uma altura qualquer e medir com uma régua
a aresta da base do sólido e a altura da água. Com essas dimensões, calcularia o volume
de água, em comparação ao volume medido, utilizando-se uma proveta. Ao transferir a
água do sólido de acrílico para a proveta, algumas gotas de água se perderam,
resultando em diferença nos valores dos volumes encontrados. Para resolver esse
problema os professores em formação decidiram substituir, nessa experiência, água por
areia.
Ilustração 13 - Aluna respondendo a questão 9
40
No segundo semestre de 2009, foram apresentados os resultados parciais da
pesquisa do trabalho monográfico no Seminário de Monografia do curso de
Licenciatura em Matemática. O objetivo dessa apresentação foi divulgar o trabalho
realizado e ouvir sugestões. Os professores sugeriram a inclusão de itens na sequência
didática, que pedissem a construção de um esboço da imagem criada no software
Calques3D. Assim, os professores em formação poderiam avaliar se os alunos
conseguiriam fazer representações de figuras espaciais no plano. Nas questões 2, 12 e
Ilustração 14 - Alunos realizando a experiência da questão 10
Ilustração 15 - Alunos fazendo as medições dos sólidos de acrílico
41
14 da nova versão da sequência didática, solicitava-se a construção de tais
representações planas: nos dois últimos itens, o aluno teve a possibilidade de construção
sobre uma malha.
Também foi sugerido que alguns prismas tivessem arestas com medidas não
inteiras. Para responder a questão 9, os alunos que participaram da experimentação
receberam um prisma de acetato (Ilustração 16) com dimensões 6cm, 8cm e 9cm de
dimensão (3, 4 e 4,5 unidades de medida) e tiveram que determinar seu volume usando
como unidade de medida cubinhos de cartolina com aresta de 2cm (1 unidade de
medida).
Na questão 10, os alunos receberam um prisma de acetato (Ilustração 17) com
dimensões 6cm, 6cm e 7cm de dimensão unidades de medida72, 2, 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
e deveriam
determinar seu volume usando como unidade de medida cubinhos de cartolina com
aresta de 3cm (1 unidade de medida).
Ilustração 16 - Prisma de acetato
Ilustração 17 - Outro prisma de acetato
42
As sugestões foram acatadas, e a sequência didática sofreu algumas alterações
para atender as sugestões dadas no Seminário e as observações dos professores em
formação, depois do teste exploratório. Como o número de itens da sequência didática
aumentou, os professores em formação concluíram que sua experimentação deveria ter
uma carga horária maior: 6 horas.
3.4 Experimentação da sequência didática
Ainda no segundo semestre de 2009, a sequência didática foi validada, com
duração de 6 horas e 15 minutos de intervalo, com um grupo de 10 alunos do 1º. ano do
Ensino Médio de uma escola pública de Campos dos Goytacazes.
Com as alterações consideradas necessárias pelos professores em formação, após
o teste exploratório, e com as sugestões dadas durante o Seminário de Monografia
relatadas no capítulo anterior, a versão final da sequência didática (Apêndice B) passou
a ter 15 questões. A primeira parte da aula ocorreu em um laboratório de informática e a
segunda em um laboratório de química.
Os professores em formação iniciaram a aula se apresentando. Usaram um
projetor multimídia para apresentar a definição de prisma e cilindro, as ferramentas do
software Calques3D e sólidos de acrílico para mostrar os elementos e classificações de
prismas e cilindros. Durante o teste exploratório, os professores em formação
perceberam que era necessário relembrar fórmulas de áreas de figuras planas para que a
experiência no laboratório de química ocorresse sem interrupções. Assim, tais conceitos
foram relembrados no início da experimentação da atividade.
43
Na primeira questão, foi solicitado aos alunos, o número de vértices e faces além
de nomear três arestas do prismas, três diagonais do prisma e três diagonais da base, e
identificar qual figura plana representava a base do prisma que foi construído pelos
professores em formação no software Calques3D (Ilustração 20). Assim, os professores
em formação poderiam identificar se os alunos apresentavam alguma dúvida quanto à
identificação dos elementos de um prisma.
Ilustração 18 - Professores em formação apresentando os elementos de um cilindro
Ilustração 19 - Professores em formação relembrando fórmulas de áreas de figuras planas
44
Ao responder a questão 1, os alunos apresentaram dúvidas na visualização e
identificação das diagonais do prisma e diagonais das bases. Alguns não conseguiam
nomear corretamente os segmentos e disseram que as faces laterais eram quadrados e
não retângulos. Os pesquisadores pediram aos alunos que mudassem o ângulo de
visualização utilizando as ferramentas do software. Assim, os alunos observaram e
afirmaram que as faces eram retângulos e não quadrados.
No item e, em que se pergunta quantas faces tem um prisma, o aluno A
(Ilustração 22), respondeu “5 faces e 2 bases”. Pela resposta, concluiu-se que o aluno
quis caracterizar as faces, pois o prisma tem 7 faces, 5 faces laterais e 2 bases.
Ilustração 20 - Prisma construído pelos professores em formação no Calques3D
Ilustração 21 - Alunos respondendo a primeira questão da atividade
45
Na questão 2 os alunos deveriam fazer uma representação plana do prisma
visualizado no software Calques3D. A intenção era avaliar se o que os alunos
visualizavam em três dimensões conseguiam representar no plano. A maioria dos alunos
conseguiu fazer as construções usando as propriedades do sólido.
Na questão 3 os alunos responderam o que entendiam por medir. Todos
responderam que era necessário usar uma ferramenta para determinar as dimensões de
um objeto. Os professores em formação argumentaram que a “ferramenta” pode ser
Ilustração 24 - Esboços feitos por três alunos na questão 2
Ilustração 22 - Resposta dada pelo aluno A para a questão 1
Ilustração 23 - Resposta dada pelo aluno B à questão 1
46
qualquer objeto que tenha sua dimensão comparada com às dimensões do objeto a ser
medido.
Nas questões 4 e 5 o aluno deveria determinar a medida de um segmento usando
como unidade de medida segmentos indicados na folha de atividades. Todos os alunos
conseguiram medir corretamente os segmentos apresentados nas questões, usando a
unidade de medida indicada. Alguns apresentaram dificuldade com o uso do compasso
quando foi necessário fazer transferência de medidas de segmentos. Com a intervenção
dos professores em formação, as dificuldades foram sanadas.
Na questão 6, o aluno deveria determinar a área de um retângulo ABCD usando
como unidade de medida um quadrado cujos lados medem 1 unidade de comprimento, e
deduzir a relação entre a medida dos lados de um retângulo e a medida de sua área.
Ilustração 25 - Respostas apresentadas na questão 3
Ilustração 26 - Resposta dada por um aluno à questão 4
Ilustração 27 - Resposta dada por um aluno à questão 5
47
Todos os alunos determinaram corretamente a área do retângulo usando o
quadrado MNPQ como unidade de medida.
Pelas análises das respostas dadas ao item f, fica claro que os alunos perceberam
a relação entre as dimensões de um retângulo e sua área.
Os professores em formação construíram um prisma no software Calques3D de
modo que suas dimensões pudessem ser alteradas movendo os vértices A e B (Ilustração
30). Na ilustração 30 aparecem alguns cubinhos com aresta medindo uma unidade de
comprimento. Esse cubinho deveria ser usado como unidade de medida para calcular o
volume do prisma. Na questão 7, os alunos deveriam determinar a dimensões do prisma
que se definiu por meio da movimentação dos pontos A e B (Ilustração 32) e verificar se
exista alguma relação entre suas dimensões e o número de cubinhos que correspondente
ao volume do prisma.
Ilustração 28 - Resposta dada por um aluno para a questão 6
Ilustração 29 - Resposta dada por outro aluno à questão 6
48
Ilustração 30 - Paralelepípedo reto construído pelos professores em formação no software Calques3D A
B
Ilustração 31 - Alunos trabalhando na questão 7
49
Usando as ferramentas do software Calques3D os alunos mudaram várias vezes
o ângulo de visualização do sólido e conseguiram deduzir a relação entre a medida das
arestas de um prisma e seu volume.
Para responder a questão 8, os alunos receberam um cubo de acetato com aresta
de 6cm (3 unidades de comprimento) e cubinhos de cartolina com aresta de 2cm (uma
Ilustração 32 - Prismas definidos pelos alunos na questão 7
Ilustração 33 - Resposta de um aluno à questão 7
50
unidade de comprimento). As perguntas dessa questão foram dispostas de modo que os
alunos pudessem relacionar a medida das arestas do cubo com à medida do seu volume.
Os alunos preencheram o fundo do cubo de acetato, calcularam sua área e depois
preencheram o restante do prisma e contaram a quantidade de cubinhos. Com a
observação da disposição dos cubinhos, deduziram que o volume do cubo é igual ao
produto da área da base pela altura que corresponde ao cubo da aresta.
No item b era esperado que os alunos respondessem que a quantidade de
cubinhos usados para forrar o fundo do cubo é o resultado do produto entre as
dimensões de sua base. Dois alunos não responderam esse item, e todos os outros
responderam corretamente.
No item e era esperado que os alunos concluíssem que a quantidade de cubinhos
usados para forrar o fundo do cubo correspondesse à área de sua base. Os alunos
escreveram que os resultados eram iguais e, perguntados sobre o porquê, afirmaram que
em cada linha existiam 3 cubinhos, e que existiam 3 linhas, então a quantidade de
cubinhos usados era o produto das dimensões: a área da base do cubo.
Com as respostas dadas ao item g, foi possível perceber que os alunos
compreenderam a relação entre a medida das arestas do cubo e seu volume. Todos os
alunos responderam que ao variar a medida das arestas, o valor do volume varia, mas a
fórmula para determinação do volume não.
Ilustração 34 - Resposta de um aluno à questão 8
51
Os alunos receberam um prisma de acetato de dimensões 3, 4 e 4,5 unidades de
medida (6, 8 e 9 centímetros, respectivamente) e cubinhos de cartolina, alguns com
aresta de 2 centímetros e outros com aresta de 1 centímetro. Na questão 9, os alunos
deveriam calcular o volume do prisma usando como unidade de medida o cubinho com
2 centímetros de aresta.
Os alunos colocaram quatro camadas de cubinhos com aresta de 2cm no interior
do prisma de acetato. Alguns alunos completaram o interior do prisma usando na última
camada, os cubinhos de aresta de 1cm e perceberam que essa camada ocupava metade
do espaço ocupado por uma camada formada por cubinhos com aresta de 2cm:
disseram, então, que a altura do prisma correspondia a 4,5 unidades de medida. Com a
intervenção dos professores em formação os alunos que, a princípio, não conseguiram
determinar a medida da terceira dimensão do prisma e seu volume, tiveram sucesso.
Ilustração 35 - Resposta de outro aluno à questão 8
Ilustração 36 - Resposta de um aluno à questão 9
52
Para responder a questão 10, os alunos receberam um prisma de acetato com
dimensões 2, 2 e 73
unidades de medida (6cm, 6cm e 7cm, respectivamente) e cubinhos
de cartolina com aresta de 1 unidade de medida (3 centímetros). Alguns alunos tiveram
dificuldades para responder ao item d, porque deveriam somar um número inteiro com
um número racional. Alguns alunos relataram que a última camada não estava
totalmente no interior do prisma. Quando perguntados sobre que parte da camada estava
no interior do prisma, analisaram a resposta por meio da medida da aresta, que era 13
e
que a altura do prisma correspondia a 73
unidades de medida.
Ilustração 37 - Resposta de outro aluno para a questão 9
Ilustração 38 - Resposta de um aluno à questão 10
53
Na questão 11, o aluno deveria construir um prisma triangular qualquer no
software Calques3D, determinar as dimensões do triângulo da base e o volume do
prisma triangular. A princípio, alguns alunos tiveram dificuldades para determinar as
dimensões do triângulo da base, pois não representavam números inteiros. Com a
intervenção dos professores em formação, os alunos determinaram as medidas dos lados
do triângulo usando o Teorema de Pitágoras. Os professores em formação informaram o
modo de calcular a área de um triângulo usando apenas a medida dos seus lados, mas os
alunos não calcularam sob alegação de não saberem realizar operações com radicais.
Assim, não determinaram o volume do prisma triangular que construíram.
Ilustração 40 - Alguns prismas triangulares construídos pelos alunos no item 11
Ilustração 39 - Resposta de outro aluno à questão 10
54
Na questão 12, os alunos deveriam fazer um esboço do prisma triangular
construído no software Calques3D na questão 11. A maioria dos alunos construiu
corretamente o esboço do prisma triangular. É importante destacar que os alunos que
participaram da experimentação tem aulas de desenho técnico como disciplina regular
do Ensino Médio.
Ilustração 41 - Resposta de um aluno para a questão 11
Ilustração 42 - Resposta de outro aluno para a questão 11
55
Na questão 13, os itens foram dispostos de modo que o aluno construísse um
cilindro reto no software Calques3D e depois, calculasse o volume do cilindro.
Ilustração 43 - Esboço do prisma triangular construído por um aluno
Ilustração 44 - Esboço do prisma triangular construído por outro aluno
56
Todos os alunos conseguiram construir corretamente o cilindro no software
Calques3D e calcular seu volume.
Ilustração 46 - Dados da questão 13 de um aluno
Ilustração 45 - Um cilindro construído por um aluno no software Calques3D
57
Na questão 14, os alunos deveriam fazer uma representação plana do cilindro
construído no software Calques3D. Um aluno escreveu incorretamente no item e da
questão 13 as coordenadas dos pontos C e D, usados para traçar o círculo, base do
cilindro. Por isso esboçou incorretamente o cilindro na malha da questão 14.
Ilustração 47 - Dados de outro aluno da questão 13
58
Na questão 15, os alunos foram levados para um laboratório de Química onde
deveriam realizar uma experiência com sólidos de acrílico e areia. Foram usados seis
sólidos de acrílico com formatos diferentes, um paralelepípedo reto retângulo, um
cilindro reto, um prisma triangular reto, um prisma pentagonal reto, um prisma
hexagonal reto e um cubo.
Os alunos colocaram certa quantidade de areia no interior do sólido de acrílico,
mediram com uma régua as dimensões da base e a altura do sólido formado em areia.
Com essas informações, calcularam o volume do sólido representado pela areia.
Em seguida, colocaram a areia usada no interior de uma proveta e determinaram
seu volume em mililitros. Compararam o volume anterior em centímetros cúbicos ao
valor determinado em mililitros. Como a medição das dimensões do sólido foi feita com
uma régua, a precisão não foi exata, assim os alunos encontraram valores aproximados
do volume, em centímetros cúbicos e mililitros.
Ilustração 48 - Alguns esboços da questão 14
Ilustração 49 - Resposta dada por um aluno para a questão 15
59
No momento da experimentação da sequência didática, os alunos participantes
responderam a questionário (Apêndice C), cujas respostas tornaram possível conhecer a
sua opinião sobre a influência da utilização de materiais concretos e recursos
tecnológicos no processo de ensino e aprendizagem. Todos os alunos se manifestaram
positivamente sobre o tema destacado na aula.
Quando perguntados sobre a utilização de materiais concretos e recursos
tecnológicos, os alunos afirmaram que ela torna a aula mais instigante do que uma aula
tradicional e influencia positivamente no processo de ensino e aprendizagem.
Afirmaram ainda que o software Calques3D apresenta ferramentas de fácil utilização.
Ilustração 50 - Resposta dada por outro aluno para a questão 15
Ilustração 51 - Resposta de um aluno para a primeira pergunta do questionário
Ilustração 52 - Resposta dada por outro aluno para a primeira pergunta do questionário
60
Os alunos destacaram como ponto positivo da aula a possibilidade de
aprendizado do conteúdo abordado.
O ambiente planejado e preparado pelos professores em formação proporcionou
a discussão de ideias entre os próprios alunos e entre os alunos e os professores em
formação, permitindo a construção do conhecimento. Conforme citado anteriormente,
Ilustração 53 - Resposta de um aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário
Ilustração 54 - Resposta de outro aluno para as perguntas 2, 3 e 4 do questionário
Ilustração 55 - Resposta de um aluno para a pergunta 5 do questionário
Ilustração 56 - Resposta de outro aluno para a pergunta 5 do questionário
61
Vygotsky e Piaget acreditam que o conhecimento é construído pelo aluno na relação
com o professor e com os colegas.
Por meio da observação participante, destacou-se que a utilização de materiais
concretos levou vantagem sobre a utilização do software Calques3D no processo de
construção do conceito de volume de prismas e cilindros, pois os materiais concretos
permitiram a manipulação das unidades de medida, diferentemente do software. Os
alunos criavam hipóteses e modificavam a disposição dos cubinhos usados como
unidade de medida de volume para confirmar suas conjecturas, completando o esquema
de visualização, raciocínio visual e imagem mental.
A utilização do software possibilitou o desenvolvimento de habilidades de
visualização espacial como a marcação de pontos no plano tridimensional, o
aprendizado a partir do erro e o aprendizado por meio da discussão sobre o tema com os
colegas. A análise das respostas dadas pelos estudantes revela que:
a intuição do espaço não é mais leitura das propriedades do objeto, mas antes, desde o início, uma ação exercida sobre eles; e é porque esta ação enriquece a realidade física, ao invés de extrair dela, sem mais, estruturas completamente formadas, que ela consegue ultrapassá-la gradualmente até construir esquemas operatórios suscetíveis de serem formalizados e de funcionarem dedutivamente por si mesmos (PIAGET e INHELDER, 1993, p. 469).
A manipulação e a visualização dos sólidos influenciam no processo de
construção do conceito de volume de prismas e cilindros à medida que o estudante pode
observar as características do sólido e deduzir a relação entre suas dimensões e o
número que expressa quantos cubos unitários ocupam o espaço ocupado por este sólido,
fazer testes e generalizar os resultados obtidos. As respostas do questionário deixaram
evidente o interesse pela utilização de recursos tecnológicos e materiais manipuláveis na
aula, despertado nos alunos, dada a criação de um ambiente instigante e desafiador que
estimulou o intelecto dos alunos.
Embora a imprecisão da medição das dimensões dos sólidos de acrílico com a
régua tenha comprometido a comparação dos volumes determinados na experiência
realizada na questão 15 da sequência didática, seu objetivo foi alcançado, pois os alunos
perceberam que o cálculo do volume usando as dimensões do sólido corresponde ao
espaço ocupado pelo ele.
Através da observação participante foi possível concluir que o estímulo à
visualização espacial com o uso de materiais concretos e recursos tecnológicos é
62
importante para o processo de construção do conhecimento. É necessário que os
professores conheçam e utilizem esses recursos nas aulas como complemento do livro
didático e como instrumento de mediação na construção de um conceito.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A delicada situação do ensino de Geometria na educação básica é uma realidade
publicamente reconhecida, evidenciada em várias pesquisas. A situação mostra a
necessidade de buscar novos métodos e técnicas que facilitem o processo de ensino e
aprendizagem de Geometria. No ensino de Geometria espacial é possível desenvolver a
visualização espacial e o raciocínio mental, ferramentas úteis em todas as áreas do
conhecimento.
A pesquisa apresentada neste trabalho propôs o desenvolvimento de uma
sequência didática que, por meio da metodologia estudo de caso, buscou responder por
que o uso de materiais concretos e de um software de Geometria dinâmica com
plataforma tridimensional facilita a compreensão do conceito de volume.
A coleta de dados foi feita por meio da observação participante com um grupo
de alunos de 1ª. série do Ensino Médio de uma escola pública de Campos dos
Goytacazes. Concluiu-se que o uso de materiais concretos facilitou o processo de
construção do conceito de volume, visto que permite aos alunos a manipulação do
sólido para observação de suas dimensões e propriedades, a variação das dimensões do
cubo unitário, a visualização da disposição dos cubos unitários no interior do sólido e o
desenvolvimento da visualização espacial por meio da abstração reflexiva. O uso do
software Calques3D facilitou o processo de construção do conceito de volume já que
permitiu a alteração do ângulo de visualização do sólido construído, a variação de suas
dimensões, a construção de cubos unitários com dimensões determinadas pelo usuário, a
visualização da disposição dos cubos unitários no interior do sólido, a construção de
sólidos com faces transparentes que facilita a visualização espacial, a marcação de
pontos e construção de sólidos no plano tridimensional.
O uso desses instrumentos permitiu aos alunos testar hipóteses formuladas pela
observação de características comuns e deduzir a fórmula para o cálculo do volume de
um sólido, além de proporcionar uma motivação extra para a participação em aula.
Os alunos que participaram da experimentação da sequência didática, em alguns
momentos, não conseguiram determinar o volume de um sólido por dificuldades na
determinação da medida de um segmento ou de uma área. Talvez isso tenha ocorrido
por causa da falta de um trabalho em sala de aula que privilegie a visualização espacial
e a abstração reflexiva.
64
Sugerimos que trabalhos futuros investiguem a ordem mais adequada para
otimização do processo de ensino e aprendizagem: recursos tecnológicos - materiais
concretos ou materiais concretos - recursos tecnológicos. E ainda a influência do uso
conjunto de recursos tecnológicos e materiais concretos para o processo de ensino e
aprendizagem de Geometria Espacial.
É preciso mudar a abordagem euclidiana, dada algumas vezes à Geometria, um
conjunto de definições, propriedade e fórmulas. A Geometria vai muito além.
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APÊNDICES
APÊNDICE A: Sequência didática utilizada no teste exploratório
APÊNDICE B: Versão final da sequência didática
APÊNDICE C: Questionário
71
Diretoria de Ensino Superior Licenciatura em Matemática 2009.1 Atividades da Monografia de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática Alunos: Amanda Renata Domiciano Patricio, Ana Paula Siqueira do Nascimento Nunes e Rodrigo Ribeiro Burla de Souza Orientadora: Profª. Esp. Mylane dos Santos Barreto Nome: _____________________________________________ Data: ____/____/____
VOLUME DE PRISMA E CILINDRO 1) Observe o prisma construído no software Calques3D e responda: a) Qual o número de vértices? ________________________________________________ b) Quais são as arestas? _____________________________________________________ c) Quais são as diagonais do prisma? ___________________________________________ d) Quais são as diagonais da base? _____________________________________________ e) Qual o número de faces? __________________________________________________ f) Qual figura representa a base deste prisma? ____________________________________ g) Qual figura representa a face lateral deste prisma? ______________________________ 2) Explique o que significa medir. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) O segmento tem medida x. Usando o segmento AB como unidade de medida, quanto mede o segmento CD a seguir, sabendo que as subdivisões feitas neste segmento têm medida x? 4) Verifique a medida do segmento MN usando como unidade de medida o segmento AB.
72
5) Responda: a) Qual a área do retângulo ABCD? (Use como unidade de medida o quadrado MNPQ de aresta igual a 1 unidade) _____________________________________________________ b) Quantas unidades tem o segmento AB? _______________________________________ c) Quantas unidades tem o segmento CD? _______________________________________ d) Quantas unidades tem o segmento AD? ______________________________________ e) Quantas unidades tem o segmento BC? _______________________________________ f) Existe algum modo de calcular a área do retângulo sem ter que contar quadrado por quadrado? Caso exista, qual é? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6) Observe o prisma construído no software Calques3D. Defina as dimensões do prisma usando as ferramentas do software, movimentando os vértices desse prisma seguindo a orientação dos professores em formação. a) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ b) Qual figura plana representa a base deste prisma? ______________________________ c) Quais as dimensões da base do prisma? _______________________________________ d) Qual o volume deste prisma? Use como unidade de medida o cubo indicado no software. _________________________________________________________________ e) Descreva o cálculo que você fez para encontrar o volume do prisma? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ f) Existe alguma relação entre as dimensões do prisma e o seu volume? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Movimente novamente os vértices do prisma, alterando suas dimensões. A relação descrita no item anterior se mantém? ___________________________________________ 7) Observe o prisma. a) Preencha o fundo do prisma com os cubinhos. Quantos cubinhos foram usados? ______ b) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para forrar o fundo do prisma e a medida das arestas da base desse prisma? Qual? _________________________ c) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ d) Qual é medida da área da base? _____________________________________________
73
e) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ f) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para preencher o prisma e a medida das suas arestas? Qual? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Essa relação é válida para todos os prismas? Justifique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 8) No software Calques3D: a) Marque três pontos não colineares A, B e C. b) Construa o triângulo ABC. c) Construa um prisma cuja base seja o triângulo ABC. d) Quais as dimensões do prisma construído no item anterior? _______________________ e) Qual o volume do prisma? _________________________________________________ 9) No software Calques3D: a) Marque dois pontos quaisquer A e B no plano xy.
b) Quais são as coordenadas dos pontos A e B? __________________________________
c) Qual a medida do segmento AB? ____________________________________________
d) Marque os pontos C e D, no plano xy, de modo que AB = AC = AD.
e) Quais são as coordenadas dos pontos C e D? __________________________________
f) Trace a circunferência passando pelos pontos B, C e D.
g) Qual a medida do raio desta circunferência? ___________________________________
h) Marque um ponto E com mesma abscissa (x) e afastamento (y) do ponto A e cota (z) um
valor maior do que zero.
i) Qual é a coordenada do ponto E? ____________________________________________
j) Escolha a opção para construção de um cilindro . Clique no ponto A, no ponto E e
no ponto D.
k) Qual a medida da área da base deste cilindro? __________________________________
l) Qual a medida da altura deste cilindro? _______________________________________
m) Qual o volume deste cilindro? _____________________________________________
10) Você recebeu um prisma de acrílico. a) Coloque uma quantidade de água dentro do prisma. b) Usando uma régua, calcule as dimensões do prisma formado com a água.
74
c) Classifique o prisma. _____________________________________________________ d) Qual é o volume do prisma em cm3? _________________________________________ e) Usando uma proveta calcule o volume de água. ________________________________ f) Qual a relação entre os resultados encontrados nos itens d e e? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Diretoria de Ensino Superior Licenciatura em Matemática 2009.2 Atividades da Monografia de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática Alunos: Amanda Renata Domiciano Patricio, Ana Paula Siqueira do Nascimento Nunes e Rodrigo Ribeiro Burla de Souza Orientadora: Profª. Esp. Mylane dos Santos Barreto Nome: _____________________________________________ Data: ____/____/____
VOLUME DE PRISMA E CILINDRO 1) Observe o prisma construído no software Calques3D e responda: a) Qual o número de vértices do prisma? ________________________________________ b) Liste três arestas do prisma? ____________________________________________ c) Liste três diagonais do prisma? __________________________________________ d) Liste três diagonais das bases do prisma? __________________________________ e) Qual o número de faces do prisma? __________________________________________ f) Qual polígono representa a base deste prisma? _________________________________ g) Qual polígono representa a face lateral deste prisma? ____________________________ 2) No espaço a seguir faça um esboço do prisma apresentado no item anterior. 3) Explique o que significa medir. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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4) O segmento tem medida x. Usando o segmento AB como unidade de medida, quanto mede o segmento CD a seguir, sabendo que as subdivisões feitas neste segmento têm medida x? 5) Verifique a medida do segmento MN usando como unidade de medida o segmento AB.
6) Responda: a) Qual a área do retângulo ABCD? (Use como unidade de medida o quadrado MNPQ de aresta igual a 1 unidade) _____________________________________________________ b) Quantas unidades tem o segmento AB? _______________________________________ c) Quantas unidades tem o segmento CD? _______________________________________ d) Quantas unidades tem o segmento AD? ______________________________________ e) Quantas unidades tem o segmento BC? _______________________________________ f) Existe algum modo de calcular a área do retângulo sem ter que contar quadrado por quadrado? Caso exista, qual é? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7) Observe o prisma construído no software Calques3D. Defina as dimensões do prisma usando as ferramentas do software, movimentando os vértices desse prisma seguindo a orientação dos professores em formação. a) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ b) Qual figura plana representa a base deste prisma? ______________________________ c) Quais as dimensões da base do prisma? _______________________________________ d) Qual o volume deste prisma? Use como unidade de medida o cubo indicado no software. _________________________________________________________________ e) Descreva o cálculo que você fez para encontrar o volume do prisma? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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f) Existe alguma relação entre as dimensões do prisma e o seu volume? Qual? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ g) Movimente novamente os vértices do prisma, alterando suas dimensões. A relação descrita no item anterior se mantém? _________________________________________________________________________ 8) Você recebeu um prisma de acetato e vários cubinhos feitos de cartolina. a) Preencha o fundo do prisma com os cubinhos. Quantos cubinhos foram usados? ______ b) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para forrar o fundo do prisma e a medida das arestas da base desse prisma? Qual? _________________________ c) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ d) Qual é medida da área da base? _____________________________________________ e) Existe alguma relação entre as respostas da letra b e d? Qual? _________________________________________________________________________ f) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ g) Existe alguma relação entre a quantidade de cubinhos usados para preencher o prisma e a medida das suas arestas? Qual? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ h) Essa relação é válida para todos os prismas? Justifique. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 9) Você recebeu um prisma de acetato e vários cubinhos feitos de cartolina. Alguns cubinhos tem aresta medindo 2cm e outros tem aresta medindo 1cm. Preencha o prisma com os cubinhos que você recebeu. Use como unidade de medida o cubo com aresta medindo 2cm. a) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ b) Quantos cubinhos foram usados para forrar o fundo do prisma? ___________________ c) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ d) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ e) Qual o volume deste prisma? _______________________________________________ 10) Você recebeu um prisma de acetato e vários cubinhos feitos de cartolina. Os cubinhos tem aresta medindo 3cm. Preencha o prisma com os cubinhos que você recebeu. a) Quais as dimensões da base desse prisma? ____________________________________ b) Quantos cubinhos foram usados para forrar o fundo do prisma? ___________________ c) Quais as dimensões do prisma? _____________________________________________ d) Quantas camadas de cubinhos são necessárias para preencher todo o prisma? _________ e) Qual o volume deste prisma? _______________________________________________
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11) No software Calques3D: a) Marque três pontos não colineares A, B e C, no plano xy. b) Quais são as coordenadas dos pontos A, B e C? A( , , ) B( , , ) C( , , ) c) Construa um triângulo com vértices nos pontos A,B e C. d) Construa um prisma cuja base seja o triângulo ABC. e) Quais as dimensões do prisma construído no item anterior? _______________________ f) Qual o volume deste prisma? _______________________________________________ 12) Desenhe o prisma da questão 11 na malha a seguir. 13) No software Calques3D: a) Marque dois pontos quaisquer A e B no plano xy.
b) Quais são as coordenadas dos pontos A e B?
A( , , ) B( , , )
c) Qual a medida do segmento AB? ____________________________________________
d) Marque os pontos C e D, no plano xy, de modo que AB = AC = AD.
e) Quais são as coordenadas dos pontos C e D?
C( , , ) D( , , )
x y
z
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f) Trace uma circunferência passando pelos pontos B, C e D.
g) Qual a medida do raio desta circunferência? ___________________________________
h) Marque um ponto E com mesma abscissa (x) e afastamento (y) do ponto A e cota (z) um
valor maior do que zero.
i) Qual é a coordenada do ponto E?
E( , , )
j) Escolha a opção para construção de um cilindro . Clique no ponto A, no ponto E e
no ponto D.
k) Qual a medida da área da base deste cilindro? __________________________________
l) Qual a medida da altura deste cilindro? _______________________________________
m) Qual o volume deste cilindro? _____________________________________________
14) Desenhe o cilindro da questão 13 na malha a seguir.
x y
z
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15) Você recebeu um prisma de acrílico. a) Que polígono representa a base desde prisma? _________________________________ b) Classifique o prisma. _____________________________________________________ c) Usando uma régua, meça as dimensões da base do prisma? _________________________________________________________________________ d) Quanto mede a altura do prisma? ____________________________________________ e) Coloque uma quantidade de areia dentro do prisma. f) Qual a altura de areia? ____________________________________________________ g) Use a relação deduzida nas atividades anteriores para calcular o volume de areia em cm3? _________________________________________________________________________ h) Usando uma proveta calcule o volume de areia em ml. ___________________________ i) Qual a relação entre os resultados encontrados nos itens g e h? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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Diretoria de Ensino Superior Licenciatura em Matemática 2009.2 Atividades da Monografia de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática Alunos: Amanda Renata Domiciano Patricio, Ana Paula Siqueira do Nascimento Nunes e Rodrigo Ribeiro Burla de Souza Orientadora: Profª. Esp. Mylane dos Santos Barreto Nome: _____________________________________________ Data: ____/____/____
Questionário
1) Qual sua opinião sobre o tema abordado na aula? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2) O que você achou da utilização de materiais concretos? Facilitou seu aprendizado? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) O software Calques3D apresenta ferramentas de fácil utilização? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) Qual sua opinião sobre o uso desses recursos nas aulas tradicionais de matemática? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5) Diga quais foram os pontos positivos e negativos da aula. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________