Úvod do problematiky m ěř ení - fs.vsb.cz · 1. p řednáška Základy experimentální mechaniky 3/18 Úvod do problematiky m ěření Měření proces experimentálního získávání

Základy experimentální mechaniky1. přednáška 1/18

Úvod do problematiky m ěřeníÚvod do problematiky m ěření



Lord Lord KelvinKelvin::

"Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čís"Když to, o čem mluvíte, můžete změřit, a vyjádřit to pomocí čísel, el, něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše něco o tom víte. Ale když to nemůžete vyjádřit číselně, je vaše

znalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek znalosti, aleznalost hubená a nedostatečná. Může to být začátek znalosti, alestěží jste se ve svých úvahách dostali do oblasti vědy. "stěží jste se ve svých úvahách dostali do oblasti vědy. "



Měření� proces experimentálního získávání informace o hodnotě měřené

veličiny - délky, váhy…. - vzhledem k nějakému standardu (jednotce měření) - metr, kilogram…

� označení čísla, které je výsledkem tohoto procesu

Metrologie� věda zabývající se měřením

Měřící činnost� obvykle zahrnuje použití měřícího přístroje (pravítko, váha, teploměr,

voltmetr) který je kalibrován tak, aby porovnal měřenou vlastnost s jednotkou měření



Měření� Vždy vykazuje chyby a v důsledku toho nejistoty.� Redukci nejistot (nikoli nezbytně jejich eliminaci) lze považovat za

ústřední koncept měření.� Častý předpoklad - chyby m ěření jsou normálně rozloženy kolem

skutečné hodnoty měřené veličiny (mají Gaussovo rozložení).� Za tohoto předpokladu má každé měření 3 složky:

� odhad skutečné hodnoty� toleranci chyby nebo nejistoty� úroveň spolehlivosti - to je pravděpodobnost, že skutečná

hodnota leží v rozpětí tolerance chyby.

Například, měření délky prkna může vést k tomuto výsledku:2,53 m ± 0,01 m s pravděpodobností 99%


Úvod do problematiky m ěřeníÚvod do problematiky m ěřeníChyba

latinsky "error" = odchýlení se, bloudění

� chyba ve smyslu "omyl" - tomu se lze vyhnout� chyba v pojetí statistiky - chyba neznamená omyl, ale rozdíl mezi

naměřenou hodnotou veličiny a její skutečnou hodnotou.Rozptyl je nedílnou součástí procesu měření a naměřených veličin.

Typy chyb� hrubá chyba = omyl� systematická chyba (= statistické ovlivnění)� nahodilá chyba (= náhodné kolísání)

skutečná hodnota

systematická chyba

náhodná chyba


Úvod do problematiky m ěřeníÚvod do problematiky m ěřeníNejistota = rozsah chyby měření

� stanoví se pomocí rozsahu hodnot, v němž se pravděpodobně nachází skutečná hodnota

- měřená hodnota ± nejistota 1,00794 ± 0,00007- měřená hodnota (nejistota) 1,00794(7)

Nejistota se týká pouze poslední významové číslice !


Úvod do problematiky m ěřeníÚvod do problematiky m ěřeníNormální = Gaussovo rozložení pravd ěpodobnosti

Funkce hustoty pravděpodobnosti (zvonová křivka)

Červená čára je standardizované (normované) normální rozložení.

),(N 2σµ

( )2

2

2

x

e2

1)x(f σ

µ−−⋅

π⋅σ=

)1,0(N

2

x2

e2

1)x(f

−⋅

π=

standardizované:


Úvod do problematiky m ěřeníÚvod do problematiky m ěřeníNormální rozložení pravd ěpodobnosti

Distribuční funkce

( )

∫ ∞−σµ−

−⋅

πσ=

x2

t

dte2

1)x(F

2



Normální rozložení pravd ěpodobnosti

� je definováno 2 parametry:- střední hodnota = průměr µ- rozptyl = kvadrát standardní odchylky σ2

N (µ, σ2) normované N (0,1)

• mnohá měření mohou být v různé míře aproximována normálním rozložením

• má vztah k metodě odhadu pomocí metody nejmenších čtverců



2 nejvýznamn ější teorémy v teorii pravd ěpodobnosti

� Zákon velkých čísel - Popisuje dlouhodobou stabilitu střední hodnoty náhodné proměnné:Máme-li náhodnou veličinu s konečnou očekávanou hodnotou, a tu opakovaně měříme, bude se střední hodnota se vzrůstajícím počtemměření (pozorování) blížit očekávané hodnotě.

� Teorém centrálního limituZprůměrňovaný součet dostatečně velkého počtu nezávislých náhodných veličin s libovolným rozložením, které mají konečnou střední hodnotu a rozptyl, bude mít přibližně normální rozložení.



Teorém centrálního limitu

� Rozložení průměru se bude blížit normálnímu rozložení se zvětšujícím se počtem vzorků, nezávisle na tom, jaké je rozložení veličin, ze kterých je vzat průměr.

� Neplatí to, pokud neexistují momenty původního rozložení (střední hodnota je první moment).

Mnoho reálných procesů má rozložení s konečným rozptylem ⇒všudypřítomnost normálního rozložení.

http://www.chem.uoa.gr/applets/AppletCentralLimit/Appl_CentralLimit2.html


Úvod do problematiky m ěřeníÚvod do problematiky m ěřeníTolerance chyb, interval spolehlivosti

- týká se statistické přesnosti odhadů z výběrového šetření

• interval spolehlivosti - Místo toho, aby byl parametr odhadnut jako jedna hodnota, je dán interval, který pravděpodobně tento parametr obsahuje.

• To, s jakou pravděpodobností daný interval parametr skutečně obsahuje, je dáno hladinou spolehlivosti neboli koeficientem spolehlivosti.

• Čím vyšší je požadovaná hladina spolehlivosti, tím širší je interval spolehlivosti.

• Interval spolehlivosti může být použit například k popisu toho, jak spolehlivé jsou výsledky průzkumu.

• Má své použití ve všech kvantitativních studiích.





Statistické parametry používané pro zpracování m ěření

� Střední hodnota = aritmetický průměr hodnot x1,x2…….xn

� Směrodatná odchylka

� Výběrová směrodatná odchylka = chyba jednoho měření

� Chyba střední hodnoty

� Výsledek měření

n

xx

n

1in∑

==

( )n

xxn

1i

2i∑

=

−=σ

( )1n

xxn

1i

2i

−

−=δ∑

=

( ))1n(n

xxn

1i

2i

−

−=δ∑

=

δ±= xx


International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, 3rd Edition

true value of a quantitySkutečná hodnota veli činy - získala by se dokonalým měřením, tedy měřením prostým chyby. Reálně je nezjistitelná

accuracy of measurementSprávnost (p řesnost) m ěření - shoda mezi hodnotou veličiny získanou měřením a skutečnou hodnotou veličiny

» Nemůže být vyjádřena číselně.» Je nepřímo úměrná jak systematické, tak náhodné chybě.» Termín "accuracy of measurement" nesmí být používán pro "trueness of

measurement" a zaměňován s termínem "measurement precision"

» Dle normy ČSN P ENV 13005 "Směrnice pro vyjádření nejistoty měření" je možné chápat: accuracy = trueness + precision



accuracy of measuring systemSprávnost (a p řesnost) m ěřícího systému - schopnost měřícího systému poskytovat hodnotu veličiny blízkou skutečné hodnotě veličiny. (Správnost je větší, když je hodnota veličiny blíže skutečné hodnotě.)

trueness of measurementPravdivost m ěření - shoda mezi průměrem vzešlým z nekonečného počtu hodnot měřené veličiny při daných podmínkách měření a skutečnou hodnotou veličiny

» Nemůže být vyjádřena číselně.» Je nepřímo úměrná pouze systematické chybě.

error of measurementChyba m ěření - rozdíl mezi hodnotou veličiny získanou měřením a skutečnou hodnotou veličiny

error of indicationChyba zobrazení - rozdíl mezi zobrazením měřené hodnoty veličiny měřícím přístrojem a skutečnou hodnotou veličiny



random error of measurementNáhodná chyba m ěření - rozdíl hodnoty veličiny získané měřením a průměrnou hodnotou vzešlou z nekonečného počtu opakovaných měření stejné veličiny prováděných za opakovatelných podmínek

» Náhodné chyby množiny opakovaných měření tvoří rozložení, které může být charakterizováno rozptylem s nulovou očekávanou hodnotou.

» náhodná chyba = chyba měření - systematická chyba měření

systematic error of measurementSystematická chyba m ěření - rozdíl průměrné hodnoty vzešlé z nekonečného počtu opakovaných měření stejné veličiny prováděných za opakovatelných podmínek a skutečné hodnoty veličiny

» Systematická chyba a její příčiny mohou být známé nebo neznámé. Pokud je příčina známá, měla by být provedena korekce na systematickou chybu.

» systematická chyba = chyba měření - náhodná chyba měření



accuracy classTřída přesnosti - třída měřícího přístroje, která vyhovuje stanoveným metrologickým požadavkům na to, aby chyby indikace byly v rámci stanovených mezí

» Třída přesnosti je obvykle označována číslem nebo symbolem podlekonvence.

intrinsic error of a measuring systemVnit řní chyba m ěřícího systému - chyba zobrazení určená za referenčních podmínek

bias of a measuring systemZkreslení m ěřícího systému - systematická chyba zobrazení měřícího systému

DDěkujiěkuji za pozornost za pozornost !!

Documents

Úvod do problematiky m ěř ení - fs.vsb.cz · 1. p řednáška Základy experimentální mechaniky 3/18 Úvod do problematiky m ěření Měření proces experimentálního získávání