Vježba

Osnovni pojmovi, operacije i simboli

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet

Odsjek za psihologiju

Vježbe iz psihometrije

1) Pojam mjerenja u psihologiji1) Pojam mjerenja u psihologiji

- Mjerenje je pridavanje brojeva pojavama ili - Mjerenje je pridavanje brojeva pojavama ili svojstvima objekata na osnovu određenih pravilasvojstvima objekata na osnovu određenih pravila

- direktna i indirektna mjerenja- direktna i indirektna mjerenja

Indirektno mjerenjeIndirektno mjerenje

Indirektno mjerenje u psihometriji definira se kao Indirektno mjerenje u psihometriji definira se kao standardizirani postupak pomoću kojega se neki psihički standardizirani postupak pomoću kojega se neki psihički proces izaziva, pa se efekti tog procesa (tj. ispitanikove proces izaziva, pa se efekti tog procesa (tj. ispitanikove reakcije ) registriraju, a zatim se reakcije pojedinog ispitanika reakcije ) registriraju, a zatim se reakcije pojedinog ispitanika mjere i vrednuju uspoređujući ih s reakcijama koje su mjere i vrednuju uspoređujući ih s reakcijama koje su dobivene od drugih sličnih ispitanika u jednakoj situaciji.dobivene od drugih sličnih ispitanika u jednakoj situaciji.

2) Varijable i konstante2) Varijable i konstante

Varijabla – matematička veličina koja može poprimiti Varijabla – matematička veličina koja može poprimiti najmanje dvije numeričke ili nenumeričke vrijednostinajmanje dvije numeričke ili nenumeričke vrijednosti

Varijabla postaje reprezentant mjerenjaVarijabla postaje reprezentant mjerenja

Vrste varijabli:Vrste varijabli:

- Kvantitativne i kvalitativne (nominalne)- Kvantitativne i kvalitativne (nominalne)

- kontinuirane i diskontinuirane (kategorijalne):- kontinuirane i diskontinuirane (kategorijalne):

Dihotomne, trihotomne, …, politomneDihotomne, trihotomne, …, politomne

Konstante – veličine koje mogu poprimiti samo jednu Konstante – veličine koje mogu poprimiti samo jednu vrijednostvrijednost

Primjeri za konstantePrimjeri za konstante

3) Vektori i matrice3) Vektori i matrice

Skup brojeva poredanih u Skup brojeva poredanih u mm redaka i redaka i nn stupaca naziva se stupaca naziva se matrica. U psihometriji se često skupovi varijabli prikazuju matrica. U psihometriji se često skupovi varijabli prikazuju matricama, pri čemu se u redovima nalaze oznake ispitanika matricama, pri čemu se u redovima nalaze oznake ispitanika (entiteta), a u stupcima izmjerene veličine (npr. zadaci)(entiteta), a u stupcima izmjerene veličine (npr. zadaci)

Matrice se uobičajeno označavaju velikm slovima (X-matrica Matrice se uobičajeno označavaju velikm slovima (X-matrica bruto rezultata u testu, C – matrica kovarijanci i sl.)bruto rezultata u testu, C – matrica kovarijanci i sl.)

Vektori imaju samo jedan stupac ili redak i reprezentiraju Vektori imaju samo jedan stupac ili redak i reprezentiraju jednu varijablu. Najčešće se označavaju malim slovima jednu varijablu. Najčešće se označavaju malim slovima

(x – rezultat u testu znanja).(x – rezultat u testu znanja).

Elementi matrice X definirani su x = (xij), i=1,...,N ; j=1,...,k . zadaci z1 z2 z3 z4 z5 ... zk Ui ______________________________________________________ 1 x11 x12 x13 x14 x15 ... x1k U1 2 x21 x22 x23 x24 x25 ... x2K U2 i 3 x31 x32 x33 x34 x35 ... x3K U3 s 4 x41 x22 x23 x24 x25 ... x2K U4 p 5 x51 x22 x23 x24 x25 ... x2K U5 i 6 x61 x22 x23 x24 x25 ... x2K U6 t 7 x71 x22 x23 x24 x25 ... x2K U7 ... ... … … … … … … N xN1 xN2 xN3 xN4 xN5 ... xNk UN _________________________________________________________ M M1 M2 M3 M4 M5 ... Mk Mu V V1 V2 V3 V4 V5 ... vk Vu

R – korelacijska matrica koja sadrži interkorelacije R – korelacijska matrica koja sadrži interkorelacije 3 varijable R = (r3 varijable R = (rijij); i, j=1,…,k); i, j=1,…,k

1

1

1

3231

2321

1312

rr

rr

rr

V1 V2 V3 V1 V2 V3

V1V1

V2V2

V3 V3

2

)1( kkBroj različitih Broj različitih interkorelacijainterkorelacija

R – korelacijska matrica koja sadrži interkorelacije 6 R – korelacijska matrica koja sadrži interkorelacije 6 varijabli R = (rvarijabli R = (rijij); i=1,…,3 j=4,…,6); i=1,…,3 j=4,…,6

V4 V5 V6 V4 V5 V6

V1V1

V2V2

V3 V3

Broj različitih interkorelacija u ovom Broj različitih interkorelacija u ovom slučaju iznosi k x kslučaju iznosi k x k

363534

262524

161514

rrr

rrr

rrr

Vrste matrica:Vrste matrica:

-kvadratna matricakvadratna matrica

-Simetrične i nesimetričneSimetrične i nesimetrične

-dijagonalnedijagonalne

-Skalarne matriceSkalarne matrice

-Matrica identitetaMatrica identiteta

Neki pojmovi:Neki pojmovi:

-transpon matricetranspon matrice

-glavna dijagonalaglavna dijagonala

4) Indeksiranje elemenata vektora i matrica4) Indeksiranje elemenata vektora i matrica

Neka je zadan vektor x koji ima 10 elemenata. Pojedini Neka je zadan vektor x koji ima 10 elemenata. Pojedini elementi vektora x označavaju se imenom vektora i elementi vektora x označavaju se imenom vektora i odgovarajućim indeksom, npr:odgovarajućim indeksom, npr:

vektor x ima elemente xvektor x ima elemente xii , i = 1 , i = 1,,……,,1010

Indeksiranje matrica je dvostrukoIndeksiranje matrica je dvostruko

R = R = rrijij gdje su gdje su i = 1i = 1,,……,k,k

j = 1j = 1,,……,l,l

    Indeksi označavaju adresu intersekcije u matrici u kojoj se nalazi element; Indeksi označavaju adresu intersekcije u matrici u kojoj se nalazi element; prvi indeks označava adresu retka, a drugi adresu stupca.prvi indeks označava adresu retka, a drugi adresu stupca.

5) Operacije sumacije:5) Operacije sumacije:

N

iix

1

Znakom sumacije definira se:Znakom sumacije definira se:

a)a) Koje vrijednosti treba zbrojitiKoje vrijednosti treba zbrojiti

b)b) Granice sumacijeGranice sumacije

Vektor X; x1, x2, x3, x4, …, xNVektor X; x1, x2, x3, x4, …, xN

N

ix1

Nixi ,...,1,

Neka pravila sumacijeNeka pravila sumacije5.1. Sumacija je distributivna za algebarske polinome5.1. Sumacija je distributivna za algebarske polinome

    (x+y+...+z) = (x+y+...+z) = x + x + y +...+ y +...+ zz

5.2. Ukoliko se sumiraju umnošci varijable sa konstantom, tada5.2. Ukoliko se sumiraju umnošci varijable sa konstantom, tada

cXcXii = = ccXXii (c = konstanta)(c = konstanta)

5.3. Ukoliko su pribrojnici konstante, tada:5.3. Ukoliko su pribrojnici konstante, tada:

N

i Ncc1

N

i

N

i

N

i

N

i zyxZYX1111

)(

6) Aritmetička sredina i njezine osobine6) Aritmetička sredina i njezine osobine

Aritmetička sredina je težište varijable, tj. algebarska suma devijacija od Aritmetička sredina je težište varijable, tj. algebarska suma devijacija od M jednaka je nuli.M jednaka je nuli.

d= (X-M), dakle d= (X-M), dakle

N

iid

1

0

N

iMX1

)( N

i

N

i MX1 1

N

i NMX1

011

N

i

N

i XX

Jer vrijede odnosi:Jer vrijede odnosi:

NMXiM

XNi

N

XM

N

NN

1

11

N

iid

1

7) Varijanca i njezine osobine7) Varijanca i njezine osobine

Varijanca je prosječna kvadrirana devijacija od aritmetičke sredine:Varijanca je prosječna kvadrirana devijacija od aritmetičke sredine:

N

d

N

MXV ii

22)(

Varijanca je Varijanca je najmanjanajmanja prosječna kvadrirana devijacija koja se u nekom prosječna kvadrirana devijacija koja se u nekom skupu podataka može izračunati od neke konstante.skupu podataka može izračunati od neke konstante.

Dokaz: Dokaz: Neka je A neki reprezentant varijable X za koji vrijedi:Neka je A neki reprezentant varijable X za koji vrijedi:

A A M M, odnosno A=M-B, pri čemu B , odnosno A=M-B, pri čemu B 0 0

N

AXV i

2)('

N

BMX i2)(

N

Bdi2)(

N

BBdd ii )2( 22

N

NBdBd ii22 2

N

NBdi22

N

iid

1

0

N

NB

N

di22

2BV

8) Kovarijanca8) Kovarijanca

Onaj dio variranja dvije varijable (odnosno kompozitnog rezultata Onaj dio variranja dvije varijable (odnosno kompozitnog rezultata dobivenog sumiranjem rezultata u jednoj i drugoj varijabli) koji pokazuje dobivenog sumiranjem rezultata u jednoj i drugoj varijabli) koji pokazuje tendenciju sukladnog variranja između te dvije varijable.tendenciju sukladnog variranja između te dvije varijable.

yx

iyx

yx

iyxiyxxy N

MYMX

N

dd

N

zzr

)(()()(

Izrazi za korelaciju:Izrazi za korelaciju:

Izraz za kovarijancu:Izraz za kovarijancu:

N

MYMX

N

ddc iyxiyxxy

)(()(

Odnos kovarijance i korelacijeOdnos kovarijance i korelacije

U slučaju standardiziranih varijabli korelacija i kovarijanca su identične.U slučaju standardiziranih varijabli korelacija i kovarijanca su identične.

yxxyxy rc

yxxyr N

)d(d iyx

9) Deskripcija binarne varijable9) Deskripcija binarne varijable

Binarne varijable su dihotomne varijable koje mogu poprimiti vrijednosti Binarne varijable su dihotomne varijable koje mogu poprimiti vrijednosti "0" ili "1"."0" ili "1".

To su često rezultati u nekom testu, pri To su često rezultati u nekom testu, pri ččemu je:emu je:

1 = točno riješenje 1 = točno riješenje

2 = netočno riješenje2 = netočno riješenje

tezineindeksqN

netocnihfr

)(

lakoceindekspN

tocnihfr

)(

Kako se radi o proporcijama vrijedi odnos:Kako se radi o proporcijama vrijedi odnos:

1=p+q, odnosno q=1-p1=p+q, odnosno q=1-p

9.1.) Aritmetička sredina binarne varijable9.1.) Aritmetička sredina binarne varijable

Za binarnu varijablu vrijedi: fr(točnih) = Za binarnu varijablu vrijedi: fr(točnih) = XX

lakoceindekspN

tocnihfr

N

xM )(

dakle jednaka je proporciji ispitanika kojima je kao dakle jednaka je proporciji ispitanika kojima je kao oznaka njihovog učinka pridružena vrijednost "1".oznaka njihovog učinka pridružena vrijednost "1".

9.2.) Varijanca binarne varijable9.2.) Varijanca binarne varijable

Za binarnu varijablu vrijedi: fr(točnih) = Za binarnu varijablu vrijedi: fr(točnih) = XX, M=p, M=p

N

pXV ibin

2)(

N

ppXX )2( 22

N

NpXpX ii )2 22

222 ppp 2pp )1( pp pq

Dakle varijanca binarne varijable jednaka je umnošku indeksa lakoće i Dakle varijanca binarne varijable jednaka je umnošku indeksa lakoće i indeksa težineindeksa težine

Kraj prve vježbeKraj prve vježbe