5. Vieprilazni reaktivni elementi 20

V. PREDAVANJE

Dva namota elektromagnetski blizu. Pasivnost posljedica relativnog mirovanja namota. Ogranienja na parametre linearnog dvonamotnog transformatora. Postupak za odreivanje predznaka meuinduktivnosti. Dogovor o oznaci pozitivne meuinduktivnosti. Uvjeti prijenosa energije dvonamotnim transformatorom u periodikom reimu rada. Savreni transformator: prijenos energije, nadomjesna shema spoja.

5. VIEPRILAZNI REAKTIVNI ELEMENTI

5.1 OSNOVNI POJMOVI O LINEARNOM DVONAMOTNOM TRANSFORMATORU.

Pretpostavke: a) dva namota elektromagnetski blizu, b) uronjeni u linearni izotropni medij, i c) relativno miruju.

Ako su namoti elektromagnetski blizu (fizika blizina je nuan ali nije dovoljan uvjet), u svakome od njih se, prema Faradayu, "osjea" djelovanje drugog, budui da dio magnetskog toka stvoren strujom jednog namota prolazi drugim namotom.

Uronjenost u linearni medij uvjetuje da su konstitutivne relacije oblika

221212

212111

iLiMiMiL

+=

+=

gdje su sa L1 i L2 oznaene induktivnosti namota 1 i namota 2 , sl. 5.1. Fiziki poloaj jednog namota u odnosu na drugi ne utjee na induktivnosti L1 i L2, ali bitno utjee na meuinduktivnosti M12 i M21 koje su mjera za meudjelovanje dvaju namota. Pri tome je sa M12 oznaeno djelovanje struje namota 2 , i2, na tok u namotu 1 , 1, a sa M21 djelovanje struje namota 1 , i1, na tok u namotu 2 , 2.

L2L1

i1 i2

u1 u2

1 21

1

2

2

Sl 5.1 Pridrueni referentni smjerovi napona i struja.

Izotropnost medija uvjetuje da je

te vrijedi da je

Namoti relativno miruju, to znai da su parametri L1, L2 i M vremenski nepromjenljivi. Zbog toga vrijedi da je

0)(),( 221121 +=

t

dtiuiuii (3)

Uvrste li se (1) i (2) u (3) proizlazi da je

0),0()0,( 21

21),(

2211

22221

21121

++=

=++=

iiMii

iLiMiiLii

(4)

Da je L1 0 proizlazi iz injenice da pri i2 = 0, uz i1 po volji, mora biti (i1,0) 0. Analogno tome vrijedi i da je L2 0.

Ako izraz za uskladitenu energiju napiemo u obliku kvadratne forme

0)()(),(21

2

22

22

21

1121 ++= LMLii

LMiLii

opaamo da je

21,0 LLMM (5)

Uvodi se pojam faktora magnetske veze

1021

=LL

Mk (6)

5.2 PREDZNAK MEUINDUKTIVNOSTI

Predznak meuinduktivnosti M ovisi o - odabranim referentnim smjerovima struje, i - fizikalnoj situaciji

Odaberu li se pridrueni smjerovi struja kao na slici 5.1, bit e 021 > ii , to znai, u skladu sa (4), da e meuinduktivnost biti pozitivna (M > 0), ako je

),0()0,(),( 2121 iiii +> (7)

U protivnom, M je negativan! Kako odrediti kada vrijedi uvjet (7)? Potrebno je poznavati fizikalnu situaciju, tj. stvarni meusobni poloaj namota, kako je pokazano na primjeru, slika 5.2.

dtd

uiLMi

dtd

uMiiL

222212

112111

;

;

=+=

=+=

)1(

MMM == 2112

(1)

(2)

I. Elementi mrea 21

i1 i21

1

2

2

H1

H2

Sl. 5.2 Primjer stvarnog meusobnog poloaja namota.

Za odabrane referentne smjerove struja i zadane smjerove namatanja namota (meusobni poloaj namota) bit e prema pravilu "desnog vijka" (Osnove elektrotehnike!) odreen i smjer vektora jakosti magnetskog polja 1H

ri 2H

r.

Ukupna uskladitena energija u krugu stvorena strujama i1 i i2 na diferencijalu volumena dV dana je izrazom

dVHHHH

dVHHiid

++=

+=

2

221

2

1

2

2121

22121),(

rrrr

rr

Kako je 211 21)0,( Hi

r= ;

2

22 21),0( Hi

r=

to zakljuujemo da e meuinduktivnost M biti pozitivna ako je

021 > HHrr

,

tj. ako je oHH 90),(0 21 0.

Dogovor o oznaci smjera namota tokom. U teoriji mrea uobiajeno ja da se ne crtaju magnetski krugovi sa stvarnim smjerovima namota nego se pretpostavlja da je fizikalna situacija unaprijed poznata. Vrijedi ovaj dogovor:

Meuinduktivnost Mjk je pozitivna ako referentni smjerovi struja ij i ik izlaze (ili ulaze) iz toki naznaenih na simbolima odgovarajuih induktiviteta. U protivnom, meuinduktivnost Mjk je negativna!

L2L1

i1 i2M

u1 u2

Sl. 5.3 Primjer oznaavanja dvonamotnog linearnog transformatora kojem je M > 0.

5.3 PRIJENOS ENERGIJE U PERIODIKOM REIMU RADA

Osnovna zadaa dvonamotnog transformatora (u opem sluaju magnetski vezanih induktiviteta) jest prijenos

energije iz jednog kruga u drugi (ili vie njih) koji su meusobno galvanski odvojeni.

Energija namota 1 iznosi

2111110

11 ),0( diMidiiLdtiuTWT

+==

dok je energija namota 2

1222220

22 ),0( diiMdiiLdtiuTWT

+==

No, 02211 = diidii

dok je (Matematika!)

01221 =+ diidii

te dobivamo da je

0),0(),0( 21 =+ TWTW (8)

Recimo da je W1(0, T) > 0, to znai da namot 1 prima energiju (ponaa se kao troilo). Zbog toga je, prema (8),

0),0(),0( 12

5. Vieprilazni reaktivni elementi 22

Zakljuujemo da prijenos energije idealnim transfor-matorom ne moemo objasniti koristei pojmove vezane uz reaktivne elemente. Zbog toga idealni transformator i jest disipativni dvoprilazni element mree a ne reaktivni dvoprilazni element mree.

Pitanje: Pod kojim je uvjetom u dvonamotnom transformatoru i1 = A i2?

Iz konstitutivnih relacija (1) i (2) proizlazi da je

221

2121 MLL

MLi

=

; 2

21

1212 MLL

MLi

=

Pretpostavimo li da je L1L2 M2, to je i1 = A i2 mogue ako je

2112

121212

)()(

)(

ALMAML

MLAML

+=+

=

dakle ako je tok 1 proporcionalan toku 2, tj. ako je

1 = a 2, a = konst.

No u skladu s konstitutivnim relacijama (1) i (2) to e vrijediti ako je

22212111 )( aiLMiaMiiL =+=+=

tj. ako je 21 ; LaMMaL ==

No, tada je 2

21 Ma

MMaLL ==

a to je u suprotnosti s polaznom pretpostavkom!

Zakljuujemo: a) Za L1L2 M2, tj. za k < 1, ne moe biti i1 = A i2,

to znai da prijenos energije uvijek postoji. b) Preostaje istraiti sluaj kad je k = 1!

5.4 SAVRENI TRANSFORMATOR (k=1)

(Dvonamotni) savreni transformator jest dvonamotni transformator faktora magnetske veze k = 1, tj. vrijedi da je

21LLM =

Konstitutivne relacije (1) i (2) poprimaju oblik

)()(22112221212

22111221111

iLiLLiLiLL

iLiLLiLLiL

+=+=

+=+=

(13b)(13a)

odakle proizlazi da je

21 n= , tj.

21 unu = (14a)

gdje je 2

1

LL

n = . Dobivena naponska jednadba jednaka

je naponskoj jednadbi idealnog transformatora.

Iz izraza (13a) dobivamo da je

2121

21

1

1 1 in

iiLLi

L+=+=

Oznaimo li

1

1

Li =

kao struju magnetiziranja dobivamo strujnu jednadbu savrenog transformatora

iin

i =+ 211

(14b)

Opaamo da je i1 A i2 to znai da se prijenos energije i u savrenom transformatoru moe opisati predloenim modelom.

Nadomjesna shema spoja savrenog transformatora

Strujna jednadba (14b) napie se malo drukije

iin

iii =++ 2'

1'

111

No, prema definiciji idealnog transformatora je

01 2'

1 =+ in

i ,

odakle proizlazi da je iii +=

'

11

a odgovarajua nadomjesna shema spoja prikazana je na slici 5.4.

i1 i2

u1 u2

i1

i

L1

Sl. 5.4 Savreni transformator kao lanani spoj induktiviteta magnetiziranja L1 i idealnog transformatora.

dtdi

Lui

L

11

11 ; ==