VII. Medios VII. Medios magnéticosmagnéticos

i l i i l i1. Magnetismo en la materia1. Magnetismo en la materia

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

VII. Medios magnéticosVII. Medios magnéticos1.1. Magnetismo en la materiaMagnetismo en la materia

VII. Medios magnéticosVII. Medios magnéticos

I t ió t t i étiInteracción entre sustancias magnéticasVector imanación. Magnetización

Modelado de sustancias magnéticasModelado de sustancias magnéticasTipos de magnetización

Corrientes de magnetizaciónFuentes del campo magnético de la imanación

2.2. Ecuaciones de la Ecuaciones de la MagnetostáticaMagnetostática3.3. Sustancias magnéticasSustancias magnéticas

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

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® G

a®

Ga

2

Interacción entre sustancias magnéticasInteracción entre sustancias magnéticasInteracción entre sustancias magnéticasInteracción entre sustancias magnéticas¿Qué son los “imanes”?¿Qué son los “imanes”?

t i t l i t i Fmsustancias naturales que interaccionan...con imanes y ferromagnéticos (Fe, Co, Ni,…)con corrientes eléctricas N

Fm Bm(r)

con corrientes eléctricasprovocan una “perturbación” magnética:

campo Bm(r) similar al de corrientes eléctricas

S

Idr ΓBmp m( )el Magnetismo es una propiedad general de la

materia (como masa, carga eléctrica,…)Fm

Bm

m M =0; U (B) < 0““Fuentes del campo” en imanesFuentes del campo” en imanes

no hay corrientes eléctricas macroscópicas≈Bdp1(r)

Fm

m2 MB=0; Um(B) < 0Bm(r) S

NB

MA=0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

no hay disipación de energía ni generadoresno sirve la ley de Biot y Savart

m1 m2m2 FmSN

ONS

C ∇Um

AUm(A) > 0

SN

Fm=−∇UmA

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G imanes: “agregados” de dipolos magnéticos

pequeños imanes interaccionan como dipolospara pequeños imanes: B (r) ≈ B (r) F

m2 MD=0; Um(D) > 0

MC=0Um(C) < 0

NS

D

Bdp1(A)

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® G

a®

Ga

3

para pequeños imanes: Bm(r) ≈ Bdip(r) FmD

Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (I)(I)Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (I)(I)Modelado de sustancia magnéticaModelado de sustancia magnética

ΔN dipolos magnéticos en Δτ P (ΔN>>1)ΔN dipolos magnéticos en Δτ~P (ΔN>>1)¿corrientes amperianas (microscópicas)?¿dos cargas magnéticas opuestas? ¿mj? ¿m ? Δτ ∼P¿dos cargas magnéticas opuestas?

momento dipolar magnético Δτ~P:¿mj? ¿mk?ijNΔ

Δ ≈ ∑m m

SN Δτ ∼P

Vector imanaciónVector imanaciónmomento dipolar magn por unidad de volumen

1i iτΔ =Δ ≈ ∑m m

momento dipolar magn. por unidad de volumencampo vectorial: valor distinto en cada P μ0

Δ PΔmM(r)

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

sustancia magnética como medio continuo:

Δτ∼P0

limP

Pτ τΔ →

ΔΔ

= mM ( )= M r

M

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

gmomento dipolar en P:

momento dipolar deM:

r( )P

d dτ=m M r

( )dτ= ∫m M r

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Ga

4

momento dipolar de M: ( )dτ= ∫m M rM M

Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (II)(II)Vector imanación.Vector imanación. Magnetización Magnetización (II)(II)MagnetizaciónMagnetización

t i ti d d M( ) 0 M(r) ≠0(A)

Bdip

M

sustancia magnetizada cuando M(r) ≠ 0sólo si existe orientación dominante de dipolos Δτ ∼P

mi

( ) ≠ ⇔ Δ ≠M r 0 m 0

( ) 0

B0(r)

M

Tipos de magnetizaciónTipos de magnetización

( )P

≠ ⇔ Δ ≠M r 0 m 0P

Δ ≠m 0

Bdip

permanente (A): imanes permanentesorientación fija de cada dipolo magnético

Δτ ∼PB0

(B)M(r) ≠0

mi

Mdipolos ordenados: orientación dominante en P

no permanente (B):en ausencia de campo B (r) “externo” orienta

Δτ ∼P

0 ( )P

P∃ ⇔ Δ ≠B m 0

i

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

B0(r)en ausencia de campo B0(r) “externo”, orienta-ción aleatoria (sustancia demagnetizada) B0(r) “externo” ordena los dipolos, provocan-

P

(C)M(r)=0B0

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G do la magnetización de la sustancia

sustancias no magnéticas (C)di l i ió fij l i M

Δτ∼PM(r)=0

Δ =m 0

0

mi

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Ga

5

dipolos con orientación fija y aleatoria MPΔ =m 0

Corrientes de magnetización (o imanación)Corrientes de magnetización (o imanación)

μ0

Corrientes de magnetización (o imanación)Corrientes de magnetización (o imanación)Campo magnético de la imanación Campo magnético de la imanación

la sustancia magnetizada crea B (r)

M(r')

la sustancia magnetizada crea Bm(r)causado por distribución continua de dipolos

deriva de un potencial vector magnético: P A ( ) ( )

M

p gBm(r) =∇×Am(r), tal que… P´≡dτ

PdmAm(r)

0 ( ) ( )( ) d′ ′× − ′μ

∫rM r rA

r'

M

Sistema equivalente de corrientesSistema equivalente de corrientes

rBm(r)0

m 3( ) ( )( )

4dτ

π ′−′μ

= ∫ r rA r

M

de la definición y propiedades de “∇× ”…

0 0( ) ( )( ) dSdτ′′ ′∇ × × ′′μ μ

= − ∫∫rM n M rA r

Km(r')

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

MCorrientes de imanación: causa “aparente” de Am(r)

m ( )4 4

dSdτπ π ∂′ ′− −

= − ∫∫ r r r rA r

MM nM(r') ∂M

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

distribuciones virtuales de corriente:distribución volumétrica en M: Jm(r')=∇'×M(r')

K ( ') M( ') J (r')

P´

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® G

a®

Ga

6

distribución superficial en ∂M: Km(r')= −n × M(r') Jm(r )

Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Esfera de radio R uniformemente magnetizadaEsfera de radio R uniformemente magnetizada

μμ00

MM (( )) 00P

Z Am(r)

D

MMextext((rr)=)=00r

θD

MM00 O mm ==MM ττOOMM00 BB00

P'r'

mm0 0 ==MM00ττDD

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

R Rm dip( )R> =rB B

R

( )R 2< = μ =r M BB

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

M0= M0uz3

0 0m 4

( )R μ

π

×≥ =

m rrΑ

m dip( )

00( )R μ

< = ×r M rΑ

m 0 0 03( )R< = μ =r M BB

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® G

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Ga

7

4π rm 03( )R< ×r M rΑ

Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Ejercicio 7.3Esfera de radio R uniformemente magnetizadaEsfera de radio R uniformemente magnetizada

corrientes de magnetizacióncorrientes de magnetizaciónμμ00

PZ Am(r)

D

MMextext((rr)=)=00 rθD

O mm ==MM ττOOMM00 BB00

Km= M0senθ uϕ

P'r'

mm0 0 ==MM00ττDDJm=0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

R Rm dip( )R> =rB B

R

( )R 2< = μr MB

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

M0= M0uz3

0 0m 4

( )R μ

π

×≥ =

m rrΑ

m dip( )

00( )R μ

< = ×r M rΑ

m 0 03( )R< = μr MB

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® G

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Ga

8

4π rm 03( )R< ×r M rΑ

Fuentes del campo magnético de la imanaciónFuentes del campo magnético de la imanaciónFuentes escalares. Ley de Gauss Fuentes escalares. Ley de Gauss

B (r) es solenoidal: no tiene fuentes escalares

μ0

Fuentes del campo magnético de la imanaciónFuentes del campo magnético de la imanaciónn

Bm(r) es solenoidal: no tiene fuentes escalaressus líneas salen del “polo N” de M y van al “S”

M(r')Bm(r)

m ( ) 0, ∇ =⋅B r ;0d =⋅∫ B S

continuidad de la componente normal de Bm(r): M

P´≡dτm

3

( )

P∀ ∈ 3

; 0dτ

τ∂

∀ ∂ ⊂

∫ B S

τincluso en superficie ∂M del medio magnetizado

M∂τ3ext int

m m ][ 0;P∈Σ− ∀ Σ ⊂⋅ =n B B

M

∂MFuentes vectoriales. Ley de Fuentes vectoriales. Ley de AmpèreAmpère“rot M(r)” describe las fuentes de Bm(r)

Km(r') Mext=0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 M

M(r')las “corrientes de imanación” son fuentes virtuales

di i id d d i l ∂Mm ( )∇× =B r

n

m si ( ) , P0 ∈= μ ≠J r 0 M( )0μ ∇×M r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

P'discontinuidad de componentes tangenciales en ∂M:

por analogía con campo B(r) de corrientes estacionariasJm(r')ext int ][×n B B ( ) P ∈ ∂μ K r M( )μ ×n M r

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® G

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m( )m m ][ P∈∂−×n B B M m ( ), P0 ∈ ∂= μ K r M( )0= −μ ×n M r

Ejercicio Ejercicio 7.47.4

Z

Ejercicio Ejercicio 7.47.4Cilindro uniformemente magnetizadoCilindro uniformemente magnetizado

MM ((rr)) 00 μμZμ0 Z

P(0 ? )

B(P)ZMMextext((rr)=)=0 0 μμ00Z

uzSAA

J=0 P(0,ϕ?,z)

S A

Bm(A)=B(z=h/2)

M0=M0uzM

AA

uρ(ϕ)

SlatA

Bm

ρ

h >>

ar

PρP'

Prr'h

>> a

a

Jm=0 Bint

Or

O h >>

N=

nh

I

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

Km= M0 uϕ

K= nIu

I

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

aB SB

u a

K= nIuϕ

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® G

a®

Ga a a

10

−uz a