VIIColoquioInternacional

EnseñanzadelasMatemáticas11,12y13defebrerode2014

EducaciónMatemáticaencontexto

ACTAS2014Conferencias

ReportesdeInvestigaciónSocializacióndeExperienciasDidácticas

TalleresPósteres

PontificiaUniversidadCatólicadelPerúDepartamentoAcadémicodeCienciasSecciónMatemáticas‐IREMMaestríaenEnseñanzadelasMatemáticas

Coordinadora:NormaRubioGoycochea

EducaciónMatemáticaencontextoActas2014

VIIColoquioInternacionalEnseñanzadelasMatemáticasEducaciónMatemáticaencontexto

Primeraedición,junio2014

Tiraje:100ejemplaresCoordinadora:NormaRubioGoycocheaDiseñodecarátula:Ind.GráficaDala'sE.I.R.L.ImpresoenInd.GráficaDala'sE.I.R.L.Jr.SantaFranciscaRomana399,Urb.Palomino.Cdo.Lima.Teléfono:4025079Correoelectrónico:grafica_dalas@hotmail.com©EditadoyproducidoporlaPontificiaUniversidadCatólicadelPerú‐DepartamentodeCiencias,2014.AvenidaUniversitaria1801,Lima326262000‐anexo4151E‐mail:irem@pucp.edu.peDirecciónURL:http://www.pucp.edu.pe/irem/index.htmlDerechosreservados,prohibida lareproduccióndeeste libroporcualquiermedio, total o parcialemente, sin permiso expreso de los editores. Elcontenido de los artículos publicados en este libro es responsabilidadexclusivadesusautores.ISBN:978‐612‐46647‐2‐4HechoelDepósitoLegalenlaBibliotecaNacionaldelPerú:2014‐08477ProducidoenelPerú–ProducedinPerú

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UNAEXPERIENCIAENETNOMATEMÁTICASUSTENTADAENELDISEÑOY

CONSTRUCCIÓNDELINSTRUMENTOMUSICALCUATROOswaldoJesúsMartínezPadrón,AngélicaMartínezdeLópez,AndrésA.GonzálezRondell,

MaríaLuisaOliverasContreras

UniversidadPedagógicaExperimentalLibertador;

UniversidaddeGranadaommadail@gmail.com,angelicmar5@gmail.com,agorondell@yahoo.es,

oliveras@ugr.es

Resumen

Enestainvestigaciónsereportaunconjuntodeinsumosútilesparalaelaboracióndeexperienciasdeaprendizajesustentadasen los contenidos aritmético‐geométricos que subyacen en el

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diseño y construcción del Cuatro, instrumento musical decuatrocuerdascomúnmenteutilizadoenlamúsicavenezolana.Por ser muy representativo de nuestro folklore, suincorporaciónenelauladeMatemáticaresultarelevanteparalamayoríadenuestrosgrupossocioculturalesdadoquesueleestar presente en nuestra música tradicional y, por ende,resulta conocido por sus miembros. Con tales insumos seproponeconstruirProyectosdeAprendizaje,enconcordanciacon los contenidos de aritmética y geometría que aparecendescritos en el Currículo correspondiente a la EducaciónPrimaria y Secundaria de Venezuela. El estudio sigue unestudio de caso apoyado en una investigación documentalseguida de un análisis de contenidos. Se emplean técnicascomo la observación y entrevistas, en profundidad, que serealizaaloslutiers.Eltrabajoseencuentraenlafasefinalyenel diseño y construcción del Cuatro se distinguen variosconceptos matemáticos relacionados con formas y cuerposgeométricos, ángulos, semejanza, medida de magnitudes,simbolizaciones algebraicas, entre otras.Además, se aprecianactividades matemáticamente universales tales como contar,localizar,medir,diseñaryexplicar.

Palabras clave: Educación Matemática, Etnomatemática,InstrumentoMusicalCuatro,ProyectosdeAprendizaje

Introducción

Esta investigación tiene como propósito reportar unaexperiencia en Etnomatemática sustentada en el diseño yconstrucción del Cuatro, instrumento musical de cuatro (4)cuerdas comúnmente utilizado en la música venezolana.Contiene insumos que permiten concretar proyectos deaprendizaje sustentados en los contenidos aritmético‐geométricos que subyacen tales procesos. Debido a que elCuatro es considerado representativo de nuestro folklore, espropiciasuincorporaciónenelauladeMatemáticaenfunciónde la importante información numérica ligada a su uso,comercialización y, sobre todo, a su diseño y construcción.Para concretar detalles sobre tales contenidos se hizo una

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investigación documental apoyada en un análisis decontenidosdedondeemergieroninsumospropiciatoriosparael aprendizaje de contenidos matemáticos mirados desde laEtnomatemática.Atalefectosehizopropiciaunaobservacióndirecta y se aplicaron entrevistas, en profundidad, ainformantesclave.

Loquesereportaacontinuaciónaúntienependientealgunastriangulaciones e interconexiones con otros detalles debidosno sólo a los procesos mencionados sino a cuestiones quetienen que ver con modelación ligada a varios conceptosmatemáticos relacionados con las formas y los cuerposgeométricospresentesenlaestructuradelcuatro.

ElCuatro:Instrumentomusicalvenezolano

ElCuatroesuninstrumentomusicalqueconstadecuatro(4)cuerdas (ver Figura 1). Es considerado emblemático en lamúsicatípicavenezolanaporelhechodeestar“presenteenlamayoría de las manifestaciones tradicionales, festividades ycelebraciones sociales y religiosas del acervo culturalvenezolano” (Ministerio del Poder Popular para la Cultura,2013, p. 1). Salazar (2007)señala que los españoles lointrodujeron en Venezuelabajoelnombredeguitarradecuatro(4)cuerdas,adoptandoelnombredeCuatrodebidoalnúmerodecuerdasqueposee.Desde el Siglo XVI, haevolucionado a partir de laguitarra renacentista hastaadoptar la forma actual, quees ovalada y tiene formaparecidaaladelnúmeroocho(8). En el año 2013, el Ministerio del Poder Popular para laCultura, de Venezuela, lo declara un bien culturalauténticamentevenezolano,locualsedebeasupresenciaenlaejecucióndegaitas,parrandas,merengues, tonadas, joroposy

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otros tantos géneros populares que forman parte de latradiciónvenezolana.

De acuerdo con su naturaleza, el Cuatro consta de las variaspartes,entrelasquesedestacan:(a)Elcuerpoconformadoporuna cajaobtenidapor launióndevarias figurasgeométricas.Dicho cuerpo tiene dos caras planas: una anterior y otraposterior que vienen a ser, respectivamente, la tapa y elfondo). Cuando estas tapas son paralelas, la cara lateral(ondulada)quebordealascarasanterioresesrectangular;encaso contrario, tiene forma de trapecio; (b) Un agujero deformacircularubicadoen la tapa frontal; y (c)Unmástil contrastes a lo largodel cual hay cuatro cuerdas, usualmentedenylon,cadaunadelascualesestásujetaadosextremos:unoaunaclavijadetornilloyotroaunpuentepegadoa lacajadelinstrumento.

De acuerdo con su forma, el Cuatro es una fuente deinformación invaluable de información, pues, allí subyacenvariadoscontenidosmatemáticosquetambiénestánpresentesenlasdistintasfasesdesuconstrucciónyenlasherramientasqueenellaintervienen.Valedecirqueeltamaño,laformaylasproporciones del instrumento son recogidas en plantillasutilizadas para concretar partes tales como su cuerpo y sumástil. De igual manera, su construcción es básicamentesimétrica, componiéndose la tapa y el fondo de dos mitadesidénticascolocadasfrenteafrente.

En todo caso, se observan variados elementos aritmético‐geométricos‐algebraicos característicos que permitenconcretar experiencias de aprendizaje, tomando en cuenta losiguiente: (a) La tapa y el fondo son congruentes entre si ysuelen diferenciarsepor el hechode que la primera tiene unagujerocircularyelfondonolotiene;(b)Lacaralateraltienela particularidad de adoptar formas curvas que siguen losbordesdelascarasplanas;(c)Lascarasplanasposeenunejedesimetríaquepasaporelcentrodelagujerocircularytienelamismadirecciónde las cuerdas yadispuestas en elmástil;(d) Las cuerdas suelen disponerse de manera tal que todasseanparalelas entre si y la distancia deuna a la siguiente es

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siempre constante, quedando colocadas de maneraequidistante; (e) La extensión de las cuerdas, sin instalar,suelen ser iguales entre sí, aunque luego de sujetadas a laclavijayalpuentepresentanlassiguientescaracterísticas: lascuerdas 1 y 4 tienen, aproximadamente, la misma longitudperoestevaloresmenorqueelde lasotrasdosquetambiéntienen,aproximadamente,lamismalongitud.

BondadesdelaEtnomatemática

Entendida laEtnomatemática comoel estudiode las técnicasmatemáticasutilizadasporgruposculturalesespecíficosparaentender, explicar y manejar problemas y actividades quenacendesupropioambientesepuedeobservarquesuutilidades muy extensa, dado que permite explorar la Matemáticausadafueradelaescuelaengrupossocioculturalestalescomolos conformados por las costureras, los agricultores, losingenieros, los médicos y constructores de viviendas,pudiéndose concretar, por ejemplo, que laMatemática usadaporunmédicopuedeserdiferentealadeunalgebristaoalade un constructor de viviendas, así como la usada por unShamanpuedediferirde lautilizadapor losconstructoresdecestas. De igual manera, trabajar con la Etnomatemáticapermite integrar laMatemáticaescolarcon laquesubyaceenlas prácticas de cada uno de los grupos culturales queconvergen en los salones de clase. En este sentido, el aulapuedeconvertirseenunespacioparaproducirconocimientosyconstruirsaberesnoaisladosdeladinámicacotidianadelosmiembrosdecadagrupo(D´Ambrosio,1985;MartínezPadrón,2012),

De acuerdo con lo anteriormenteplanteado,poner en escenaactividades centradas en la Etnomatemática es integrar laMatemática conotras formasdel conocimiento,utilizandoasílasprácticasdecadaunode losgrupossocioculturalesen lospropios salones de clase, tal como sucede con los contenidosmatemáticos que subyacen en el proceso de diseño yconstruccióndelinstrumentomusicalCuatro.

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Aspectosmetodológicos

Paraconcretarlosinsumosteóricosreferencialesdelobjetodeestudio de este trabajo se realizó una investigacióndocumental que se apoyó en el análisis de contenidos de loregistrado en fuentes impresas y electrónicas que dabaninformación sobre el Cuatro. Este análisis permitió concretarespecificaciones de las formas y cuerpos que conforman laestructuradelinstrumentomusical,asícomodeotrosdetallesreferidosaconteosymedicionesligadosalprocesodediseñoyelaboración del Cuatro. Tales insumos sirvieron de sustentopara concretar observaciones y entrevistas, en profundidad,aplicada a un informante clave: un lutier considerado comoexperto constructor de Cuatros. A tal efecto, se elaboró unguión de preguntas y en la medida en que se fuerondesarrollando emergieron otras preguntas que permitieronsoterrar lo dicho por el informante. También se utilizaroncuadernodenotasy se tomaron fotografíasa finderegistraralgunos episodios críticos que informaron detalles sobre lascaracterizaciones del Cuatro y sobre los elementosmatemáticos subyacentes en los procesos de diseño yconstrucción del instrumento. Desde aquí se hicieronconexiones con las especificaciones presentes en losprogramasoficialesdeMatemática,locualpermitióenlazarloscontenidos escolares con los encontrados en el desarrollo deestasprácticas.

Aspectosmatemáticosobtenidosdelainvestigación

Para obtener mayor información sobre el Cuatro, se realizóuna entrevista al Lutier de la Casa de la Cultura deMaracay,quien labora en la Fundación del Estado para el SistemaNacionalde lasOrquestas Juveniles e InfantilesdeVenezuela(FESNOJIV).Estaentrevistapermitióestablecergrancantidadde aspectos matemáticos emergentes de la elaboración delCuatro.Valedestacarqueellutierpresentósupropioesquemaparamontarelinstrumentoyasegurótenerlasmedidasa“ojoy por oído” para ubicar trastes y otros partes delmismo; esdecir, está familiarizado con la escala musical que debe

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generar el Cuatro a lo largo de su diapasón. Mostró unaplantilla con susmedidaspara armar la cajadel instrumento(verFigura2),esdecir,queparalaelaboracióndelastapasdela caja se utiliza como base una forma de semi ocho,generándoseporsimetríael resto de la misma.Luego, realiza en una delas tapas unacircunferencia, que seconvertirá en un agujerollamado “boca”, el cual no va en el centro de la caja y sueledecorarseconfigurasgeométricas,usandorotación,traslaciónyjuegodepatrones.

Unidoaesto,sepudoobservarelusodeaparatosespecíficosparatomarmedidas:Enelcasodelespesordelamaderaparalastapasdelacaja,ellutierusaunmedidordegrosor,tambiénempleaeldenominado“calibre”devernieryuntransportadormetálico que, a diferencia del usado tradicionalmente, tieneanexadoa sucentrouna láminagiratoriaparamedirángulos(verFigura3),conestetomólamedidaparacolocarlacabezadelCuatroalbrazo,lacualdebíatenerunainclinaciónde15°.

Para el trabajo con los trates, aunque previamente el lutiermanifestórealizarloacordeconsuexperiencia,mencionóquepuedenusarsetambiénfórmulasmatemáticas,porlocualnospresentó una guía de posibles planos para llevarlos comoreferente (ver Figura 4); sin embargo, aún quedan másaspectos a tratar y seguimos trabajando en la obtención deotrosreferentesmatemáticos.

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ConexionesconlaMatemáticaescolar

EnlosprocesosdediseñoyconstruccióndelCuatrosegeneranestructuras complejas de figuras y cuerpos que los hacenpropiciatorios para construir experiencias de aprendizajesustentadas en los contenidosmatemáticos que subyacen entales procesos. Igual sucede si se tomara en cuenta su uso ycomercialización. Entre tales contenidos destacan lossiguientes: (a) Conceptuales: longitud de una circunferencia,rectas paralelas, perpendicularidad, figuras planas, área defiguras planas, cuerpos geométricos, volumen de cuerposgeométricos, distancia entre dos puntos y triangulación defiguras en el plano; (b) Procedimentales: construcción defiguras planas, identificación de las dimensiones de untriángulo, resolución de adiciones, sustracciones,multiplicacionesydivisionesenN,utilizacióndefórmulasparael cálculo de perímetros, áreas y volúmenes, y utilización deinstrumentospararealizarmedicionesenelplanoytrazadodecircunferencias, líneas paralelas y perpendiculares; y (c)Actitudinales: valoración del uso de fórmulas para el cálculodel perímetros, áreas y volúmenes; manifestación decuriosidad ante la búsqueda de métodos para realizarmediciones; y manifestación de curiosidad e interés pordescubrirregularidadesyestablecergeneralizaciones.

Conclusiones

La Matemática constituye un fenómeno cultural (Bishop,1999). Si se toma en cuenta el folclor, se puede apreciar lariqueza informativaqueofrece en el contextodonde sepone

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en escena ese tipo de manifestaciones que, en nuestro caso,tiene que ver con el diseño y construcción del Cuatro,instrumento musical venezolano que posee una riquezainformativadecontenidosmatemáticosquesubyacenenesosprocesos.Deacuerdoconlaexperiencia,sepuedeconcluirqueen dichos procesos se distinguen conceptos matemáticosobservables en su estructura tales como figuras y cuerposgeométricos, ángulos, semejanza, medida de magnitudes ysimbolizacionesalgebraicaspropiciasparaconstruirproyectosde aprendizaje donde se pueden ponerse en escena lasacciones de contar, localizar, medir, diseñar y explicar,reconocidas por Bishop como actividades matemáticamenteuniversales.Esoquieredecirquefluyenmatemáticasvivasqueresultan útiles para sustentar tales proyectos, a la luz de laEtnomatemática, donde ha de tomarse en cuenta el contextosocial de la escuela, los aspectos socioculturalesde la clase ylas particularidades de cada estudiante. Estos proyectos deaprendizaje también deben estar matizados con variadosreferentes multiculturales en vista de que en aula de clasesuelenconfluirestudiantesqueprovienendediversosgrupossocioculturales.Portanto,losproyectosaserdesarrolladosenlas escuelas deben ser aptos para arrostrar, en formaintegrada, aspectos socioculturales específicos de cada gruposociocultural.

Además de lo anteriormente planteado, también se puedeconcluir que en la entrevista realizada al lutier se pudoconcretar la existencia de instrumentos, para la construccióndelCuatro,quenosonusualmenteimplementadosparamedirángulos o comparar grosores de objetos. En esa entrevistaafloraronfórmulasmatemáticaspropiasparaladeterminaciónde distancia entre los trastes o para la obtención de lacircunferencia que está ubicada en la tapa delantera delCuatro. Todos estos elementos posibilitan situacionesgeneradoras de cambios acordes con la dinámica social, asícomo son útiles para construir experiencias de aprendizajecentradasenlaEtnomatemáticaque,enestecaso,constituyeelhiloconductorparadesarrollarelcurrículoescolary,porende,

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paramejorarelprocesodeenseñanza‐aprendizaje‐evaluacióndelaMatemáticaengrupossocioculturalesespecíficos,

Referencias

Bishop, A. (1999). Enculturación matemática. La educaciónmatemática desde una perspectiva cultural. Barcelona,España:Paidós.

D'Ambrosio,U.(1985).Ethnomathematicsand itsplace inthehistoryandpedagogyofmathematics.FortheLearningofMathematics,5(1),pp.44‐48.

MartínezPadrón,O. (2012). “UnaexperienciadecapacitaciónenEtnomatemática,endocentes indígenasvenezolanos”.JournalofMathematicsandCulture,6(1),286‐295.

Ministerio del Poder Popular para la Cultura (2013, Abril).Providencia mediante la cual se declara al instrumentoCuatro bien de interés cultural para la RepúblicaBolivariana de Venezuela. Gaceta oficial N° 40.173.Venezuela.

Oliveras, M. L. (2005). Microproyectos para la educaciónintercultural en Europa.Uno:Revista de didáctica de lasmatemáticas,Nº.38,2005,p.p.70‐81.

Salazar, R. (2007). El mundo árabe en nuestra música.Fundación tradiciones caraqueñas, Consejo NacionalElectoral,Caracas,Venezuela.