blogdopitanga.files.wordpress.com · Web viewCuriosamente, em uma determinada população humana, a incidência de daltonismo foi estudada e verificou-se que 95% da população humana

PROJETO UERJ – CERC

MATEMÁTICA - PROFº GLAUCIO PITANGA.

1) Algumas Considerações.

Solicitação da Coordenação.

PROF. GLÁUCIOAULA 01 10 QUESTÕESAULA 02 10 QUESTÕESAULA 03 10 QUESTÕESAULA 04 10 QUESTÕESAULA 05 10 QUESTÕES

* AS QUESTÕES DE MATEMÁTICA DEVERÃO SER FEITAS SOZINHAS, CONTEMPLANDO TODO CONTEUDO DESSE EXAME.

Tendo em vista o número de aulas subdividi as cinco aulas em cinco tópicos.

AULASAULA 01 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADEAULA 02 ARITMÉTICA E GRANDEZAS PROPORCIONAISAULA 03 FUNÇÕES E LOGARITMOSAULA 04 GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL; E TRIGONOMETRIAAULA 05 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA; SISTEMAS LINEARES E MATRIZES

AULA 1: ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE.

1) A tabela abaixo indica a probabilidade deum indivíduo norte-americano morrer em uma determinada faixa etária.

Idade (anos) Probabilidade de morte (%)0 – 10 3.2310-20 0,6520-30 1.21

30 – 40 1.8440 – 50 4,3150 – 60 9,6960 – 70 18,2170 – 80 27,2880 em diante

33,58

TOTAL 100,00* Adaptada de Unites States Life Tables by Causes of Death: 1959 – 1961. Vol. 1, 1967, n° 6, Pag. 15. NAtional

Center for Health Statiscs, Public Health Service, Washigton, D.C.Qual a probabilidade de um indivíduo que tem agora 20 anos, morrer antes de alcançar o trigésimo aniversário?

(a) 1,21%(b) 5%(c) 1,26%(d) 10%

2) É bem conhecido que a cegueira para cores é hereditária. Devido ao fato de que o gene responsável é ligado ao sexo, a cegueira para cores ocorre mais freqüentemente nos homens do que nas mulheres.Curiosamente, em uma determinada população humana, a incidência de daltonismo foi estudada e verificou-se que 95% da população humana são consideradas normais. Verificou-se ainda que, da população, 45% são mulheres e 2% são homens com cegueira para cores.

Determine a probabilidade de escolhida uma mulher, aleatoriamente, esta seja cega para cores.

(a) 1/5(b) 1/3(c) 1/8(d) 1/15

3) Suponhamos que duas aves canoras (não necessariamente da mesma espécie) estão na mesma árvore. Durante uma hora seu canto foi gravado e a duração do canto e do intervalo foram medidos. O resultado está presente na tabela seguinte

Duração do canto

Duração do intervalo

Total

Pássaro A 900 2700 3600Pássaro B 600 3200 3600

Determine a probabilidade dos dois pássaros (A e B) estejam cantando simultaneamente admitindo que os mesmos cantem independentemente um do outro.

(a) 5/12(b) 1/12(c) 1/24(d) 1/18

4) Alunos do Colégio e Curso Intellectus disputaram um torneio de “tiro ao alvo”. O alvo, representado na figura abaixo é representado por duas circunferências concêntricas de raios 2cm e 4 cm e um triângulo eqüilátero .

Considerando π=3 e √3=1,7 , a probabilidade de um aluno acertar a região do referido triângulo é, aproximadamente, de:

(a) 10%(b) 20%(c) 30%(d) 5%

5)GEOMETRIA DESCRITIVA

A Geometria Descritiva é uma Geometria de Representação, fundamental na Comunicação Gráfica e a base do Desenho Técnico. Enquanto a Perspectiva mostra os objetos como parecem ser à nossa vista, a Geometria Descritiva da uma descrição exata dos objetos como eles realmente são. No fim do século XVIII, Gaspard Monge (1746-1818) teve o mérito de sistematizar os processos descritivos utilizados até então, dando corpo de doutrina científica ao que denominou Geometria Descritiva. Tamanha foi a importância de sua criação, que Monge a manteve como segredo militar da França durante anos.

Para a Geometria Descritiva, uma reta é classificada de acordo com a sua posição no espaço. Para tal classificação escolhemos dois pontos distintos desta reta e analisamos suas coordenadas.

Por exemplo, na figura abaixo, temos a reta (r) do tipo perfil, caracterizada por ser paralela ao plano π’’. Conseqüentemente, suas abscissas são iguais.

Considerando, portanto, a forma como são classificadas na Geometria Descritiva, o total de retas é de:

(a) 8(b) 7(c) Infinitas(d) 256

6) Em um determinado colégio a coordenação analisou a altura de 10 alunos: 5 meninos e 5 meninas. Após análise se formou uma tabela abaixo:

Menino Altura(cm) Nome da letra Altura(cm)A 170 F 171B 171 G 169C 169 H 170D 180 I 168E 170 J 172

O número de maneiras distintas de pôr os dez alunos em uma fila tendo as meninas em ordem crescente e os meninos em ordem decrescente é:

(a) 252(b) 980(c) 504(d) 1.960

7) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) 720

8) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa R$ 2,00 , uma aposta em 6 dezenas deve custar:

a) R$15,00 . b) R$30,00 . c) R$ 35,00 . d) R$ 70,00 . e) R$ 140,00 .

9) Um grafo é uma figura constituída de um número finito de arestas ou arcos, cujas extremidades são chamadas vértices. Em um grafo, a “ordem de um vértice” é o número de extremidades de arestas ou arcos que se apoiam naquele vértice.

A figura 1 é um grafo cujos vértices A e C possuem ordem 3 (o vértice A é o apoio de um arco cujas extremidades coincidem) e os demais vértices possuem ordem 2.

Além disso, dizemos que um grafo admite um “passeio de Euler” se existir um caminho do qual façam parte todas as arestas ou arcos desse grafo, sendo possível desenhá-lo sem tirar o lápis do papel e passando-o uma única vez em cada aresta ou arco. Na figura 1 é possível fazer um “passeio de Euler” partindo-se apenas dos vértices “A” ou “C”. Por exemplo, um possível “passeio” pode ser representado pela sequência de vértices dada por: AABCDEFC.Consideres os grafos:

Os que admitem um “passeio de Euler” são apenas: a) I e III. b) I e IV. c) I, II e V. d) I, IV e V. 10. A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:

a) 95 040. b) 40 635. c) 924.

d) 792. 11. Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra? a) 4. b) 6. c) 9. d) 15.

12. (Uerj 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de uma turma marcaram a opção correta de uma questão de múltipla escolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demais marcaram uma das quatro opções ao acaso.Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessa turma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado a opção correta equivale a: a) 0,48 b) 0,40 c) 0,36 d) 0,25

Gabarito:

Resposta da questão 1: [A]

Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 – 4) cartas distintas.

Logo, 48 . 13 = 624.

Resposta da questão 2: [B]

Uma aposta em 6 dezenas abrange

6 6! 154!2!4 apostas mínimas de 4 dezenas. Portanto, o custo dessa aposta deve ser

de R$ 2,00 15 R$ 30,00.

Resposta da questão 3: [D]

Os únicos grafos que admitem um passeio de Euler são o I (ABCDEFA), o IV (CDEFDACBB) e o V (DEFDABCA).


D = para direita C = para cima

Em qualquer caminho mais curto a pessoa terá que se deslocar 7 vezes para direita e 5 vezes para cima, em qualquer ordem.

Exemplo DDCDCDDCCDCD

logo o número de percursos será dado por:

792!5!.7!125,7

12 P


Considere x o número de bolas de chocolate, y o número de bolas de morango e z o número de bolas de uva.Logo, x + y + z = 4. Agora devemos determinar o número de soluções inteiras da equação.

Permutação das bolas vermelhas e barras azuis:

O Número de soluções inteiras da equação é da por

6.5.4.3.2.1 154.3.2.1.2.1


A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa ao acaso é e a de errar é

Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma, temos os seguintes casos favoráveis:

i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta e o outro está entre os 80% que marcaram a resposta errada ao acaso;

ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a resposta ao acaso, tendo um deles acertado a questão e o outro errado.

Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é

enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é

Portanto, a probabilidade pedida é igual

AULA 2: ARITMÉTICA E GRANDEZAS PROPORCIONAIS.

1. As medições da elevação do nível dos mares e oceanos feitas por mareógrafos ao longo da costa, no período de 1880 a 2000, mostram que o nível global destes subiu a uma taxa média de 1,7 cm por década. Já as medições realizadas por altímetros-radares a bordo de satélites de sensoriamento remoto, para o período de 1990 a 2000, indicam que o nível subiu a uma taxa média de 3,1 cm por década.Admitindo que as condições climáticas que provocam esta elevação não se alterem nos próximos 50 anos, o nível global dos mares e oceanos deverá subir nesse período, em cm, entre a) 8,5 e 15,5. b) 6,5 e 13,5. c) 7,5 e 10,5. d) 5,5 e 10,5.

2. Um quilograma de tomates é constituído por de água. Essa massa de tomate é submetida a um processo de desidratação, no qual apenas a água é retirada, até que a participação da água na massa de tomate se reduza a Após o processo de desidratação, a massa de tomate, em gramas, será de: a) 200. b) 225. c) 250. d) 275. 3. O mercado automotivo na América Latina crescerá, no máximo, 2% em 2012. A estimativa é que, após esse período, ele voltará a expandir-se mais rapidamente, o que permitirá um crescimento médio de 5% nos próximos cinco anos.A afirmação foi feita pelo presidente da GM na América do Sul. Suas estimativas para as vendas, especificamente da GM na América Latina, são de 1,1 milhão de unidades em 2012 e de chegar a 1,4 milhão de veículos por ano até 2015.

(http://economia.estadao.com.br, 06.10.2011. Adaptado.)

A estimativa de que as vendas da GM, na América Latina, chegarão a 1,4 milhão de unidades no ano de 2015 pode ser considerada a) otimista, pois para isto a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser maior que 5%. b) tímida, pois para isto a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser menor que 5%. c) correta, pois para isto a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser igual a 5%. d) realista, pois para isto a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser menor ou igual a

5%. 4. Segundo nutricionistas, uma refeição equilibrada, para uma pessoa adulta e saudável, não deve conter mais que 800 kcal. A tabela traz algumas opções de pedido, variedades dentro destas opções e o valor energético de cada uma delas.

OPÇÕES DE PEDIDO VARIEDADES VALOR ENERGÉTICO

sanduíchescompleto 491 kcalde peixe 362 kcallight 295 kcal

acompanhamentosporção de fritas 206 kcalsalada 8 kcal

bebidasrefrigerante 300 mL 120 kcalrefrigerante diet 300 mL 0 kcalsuco de laranja 300 mL 116 kcal

sobremesas torta de maçã 198 kcalporção de frutas 25 kcal

Escolhendo-se um item de cada opção de pedido, a refeição de maior valor energético, que não exceda o limite de 800 kcal, será a composta de: a) sanduíche completo, porção de fritas, refrigerante diet 300 mL e porção de frutas. b) sanduíche light, porção de fritas, refrigerante 300 mL e porção de frutas. c) sanduíche light, porção de fritas, suco de laranja 300 mL e porção de frutas. d) sanduíche de peixe, porção de fritas, refrigerante diet 300 mL e torta de maçã. 5. Os professores de matemática e educação física de uma escola organizaram um campeonato de damas entre os alunos.Pelas regras do campeonato, cada colocação admitia apenas um ocupante. Para premiar os três primeiros colocados, a direção da escola comprou 310 chocolates, que foram divididos entre os 1.º, 2.º e 3.º colocados no campeonato, em quantidades inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, respectivamente. As quantidades de chocolates recebidas pelos alunos premiados, em ordem crescente de colocação no campeonato, foram: a) 155, 93 e 62. b) 155, 95 e 60. c) 150, 100 e 60. d) 150, 103 e 57. 6. No Brasil, desde junho de 2008, se for constatada uma concentração de álcool no sangue acima de 0,6 g/l, o motorista é detido e processado criminalmente.

(www.planalto.gov.br/ccivil_03/Ato2007-2010/2008/ Decreto/D6488.htm. Adaptado.)

Determine o número máximo de latas de cerveja que um motorista pode ingerir, antes de dirigir, para não ser processado criminalmente caso seja submetido ao teste.

Dados: – o volume médio de sangue no corpo de um homem adulto é 7,0 litros;– uma lata de cerveja de 350 ml contém 16 ml de álcool;– 14% do volume de álcool ingerido por um homem adulto vão para a corrente sanguínea;– a densidade do álcool contido em cervejas é de 0,8 g/ml.

Observação: Os resultados de todas as operações devem ser aproximados por duas casas decimais. a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 7. Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, em centímetros, será: a) 28. b) 60. c) 100. d) 140.

8. Uma pesquisa realizada com pessoas com idade maior ou igual a sessenta anos residentes na cidade de São Paulo, publicada na revista Pesquisa/Fapesp de maio de 2003, mostrou que, dentre os idosos que nunca frequentaram a escola, 17% apresentam algum tipo de problema cognitivo (perda de memória, de raciocínio e de outras funções cerebrais).Se dentre 2000 idosos pesquisados, um em cada cinco nunca foi à escola, o número de idosos pesquisados nessa situação e que apresentam algum tipo de problema cognitivo é: a) 680. b) 400. c) 240. d) 68. 9. Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente.O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: a) 144. b) 240. c) 360. d) 720. 10. Uma concessionária vendeu no mês de outubro n carros do tipo A e m carros do tipo B, totalizando 216 carros. Sabendo-se que o número de carros vendidos de cada tipo foi maior do que 20, que foram vendidos menos carros do tipo A do que do tipo B, isto é, n < m, e que MDC(n,m)=18, os valores de n e m são, respectivamente: a) 18, 198. b) 36, 180. c) 90, 126. d) 126, 90.

11. (Uerj 2013) Em uma atividade escolar, qualquer número X, inteiro e positivo, é submetido aos procedimentos matemáticos descritos abaixo, quantas vezes forem necessárias, até que se obtenha como resultado final o número 1.

Se X é múltiplo de 3, deve-se dividi-lo por 3.Se X não é divisível por 3, deve-se calcular X - 1.

A partir de X = 11, por exemplo, os procedimentos são aplicados quatro vezes. Veja a sequência dos resultados obtidos:

10 9 3 1

Iniciando-se com X = 43, o número de vezes que os procedimentos são utilizados é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 12. (Uerj 2013) O código de uma inscrição tem 14 algarismos; dois deles e suas respectivas posições estão indicados abaixo.

5 8 x

Considere que, nesse código, a soma de três algarismos consecutivos seja sempre igual a 20.O algarismo representado por x será divisor do seguinte número:

a) 49

b) 64 c) 81 d) 125

Gabarito:


De acordo com o problema, o menor valor para a elevação do nível dos mares será e o maior valor para essa

elevação é (alternativa [A])

Obs.: A alternativa [E], do ponto de vista lógico, também poderá ser considerada como certa, já que 8,5 está entre 5,5 e 15,5.

Resposta da questão 2: [C]

Seja a massa de água que será retirada, em gramas, de de massa de tomate.Como, após o processo de desidratação, a massa de água deverá corresponder a da massa de tomate, vem

Portanto, após o processo de desidratação, a massa de tomate, em gramas, será de


De acordo com o crescimento médio de 5%, as vendas da GM em 2015 serão dadas por

Portanto, o presidente da GM está sendo otimista, pois, para isto, a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser maior que 5%.

Resposta da questão 4: [E]

Vamos compor cada uma das sugestões:

1. sanduíche completo, porção de fritas, refrigerante diet 300 mL e porção de frutas: (491 + 206 + 0 + 25 = 722 cal).2. sanduíche light, porção de fritas, refrigerante 300 mL e porção de frutas (295 + 206 + 120 + 25 = 646 cal).3. sanduíche light, porção de fritas, suco de laranja 300 mL e porção de frutas (295 + 206 + 116 + 25 = 642 cal).4. sanduíche de peixe, porção de fritas, suco de laranja 300 mL e porção de frutas (362 + 206 + 116 + 25 = 709 cal).5. sanduíche de peixe, porção de fritas, refrigerante diet 300 mL e torta de maçã (362 + 206 + 0 + 198 = 766 cal). Portanto, a refeição com o maior valor energético e que não excede 800 cal é a da alternativa [E].


Considerando, que x + y + z = 310.


Massa (em gramas) máxima de álcool permitida: 0,6.7 = 4,2 g;Massa (em gramas) de álcool em uma lata de cerveja: 0,8.16 = 12,8 g;

Massa (em gramas) ingerida de álcool por lata que vai para a corrente sanguínea: 14% de ;x = número de latas para que a pessoa não seja processada;x.1,792 = 4,2x 2,3





Resposta da questão 11:[A]

1º. 2º. 3º. 4º. 5º. 6º. 7º.

Logo, serão utilizados sete procedimentos.


Considere a figura.

5 a b c 8 d e f x

Sabendo que a soma de três algarismos consecutivos é sempre igual a 20, vem

Portanto, como segue que x é divisor de 49.

AULA 3: FUNÇÕES E LOGARITMOS.

1. Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC em 1995 para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de a) 13,83 ºC. b) 13,86 ºC. c) 13,92 ºC. d) 13,89 ºC. 2. Ambientalistas, após estudos sobre o impacto que possa vir a ser causado à população de certa espécie de pássaros pela construção de um grande conjunto de edifícios residenciais próximo ao sopé da Serra do Japi, em Jundiaí, SP, concluíram que a quantidade de tais pássaros, naquela região, em função do tempo, pode ser expressa, aproximadamente, pela função

onde t representa o tempo, em anos, e P0 a população de pássaros na data de início da construção do conjunto. Baseado nessas informações, pode-se afirmar que: a) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 30% de P0. b) após 1 ano do início da construção do conjunto, P(t) será reduzida de 30% de P0. c) após 2 anos do início da construção do conjunto, P(t) estará reduzida a 40% de P0. d) P(t) não será inferior a 25% de P0. 3. A tabela apresenta, na coluna da esquerda, a descrição de alguns tipos de funções e, na coluna da direita, representações de alguns gráficos de funções, cujas variáveis independentes, definidas no domínio dos números reais, estão representadas nos eixos das abscissas.

Algumas funções Alguns gráficos de funçõesI. Em uma prova de corrida dos100 m rasos, a velocidade média

de um atleta é uma funçãode seu tempo de percurso t:

a.

II. O perímetro P de um triânguloequilátero é uma funçãode seu lado L:

b.

III. A quantidade Q de uma dadasubstância química num organismo

vivo, onde é a quantidadeinicial da substância no organismo, éuma função do tempo de meia vida tdessa substância naquele organismo:

c.

IV. A área A de um círculo é umafunção de seu raio r: d.

V. A altura H que uma pedra amarradaa um cabo de comprimento fixo Lpossui ao ser girada, com velocidade

constante num plano vertical eperpendicular ao solo, em relação aocentro de giro, é uma função do ângulo

, em radianos, formado pelo cabo e

uma reta horizontal contida no plano :

e.

O conjunto de pares ordenados que relaciona cada função à sua respectiva representação gráfica é: a) {(I, a), (II, d), (III, e), (IV, b), (V, c)}. b) {(I, c), (II, d), (III, a), (IV, b), (V, e)}. c) {(I, d), (II, e), (III, a), (IV, b), (V, c)}. d) {(I, e), (II, d), (III, a), (IV, b), (V, c)}. 4. A tabela mostra a distância s em centímetros que uma bola percorre descendo por um plano inclinado em t segundos.

A distância s é função de t dada pela expressão s(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c são constantes. A distância s em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a a) 248. b) 228. c) 208. d) 200. 5. Cássia aplicou o capital de R$ 15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02)5 = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é: a) R$ 18.750,00. b) R$ 18.150,00. c) R$ 17.250,00. d) R$ 17.150,00. 6. A figura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB.

A altura do arco em centímetros, em um ponto da base que dista 5 cm de M, é a) 15. b) 14. c) 13. d) 12. 7. O nível sonoro N, medido em decibéis (dB), e a intensidade I de um som, medida em watt por metro quadrado (W/m2), estão relacionados pela expressão:

N = 120 + 10 . log10 (I).

Suponha que foram medidos em certo local os níveis sonoros, N1 e N2, de dois ruídos com intensidades I1 e I2, respectivamente. Sendo N1 - N2 = 20 dB, a razão I1/I2é: a) 10-2. b) 10-1. c) 10. d) 102. e) 103. 8. O gráfico, publicado na "Folha de S. Paulo" de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhões de reais) do governo federal com os juros da dívida pública.

Obs.: 2001 - estimativa até dezembro.

Pela análise do gráfico, pode-se afirmar que: a) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhões. b) o menor gasto foi em 1996. c) em 1997, houve redução de 20% nos gastos, em relação a 1996. d) a média dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$79,8 bilhões. 9. O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.

Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a "m" como taxa de absorção (geralmente medida em ì moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é: a) m1 = m2. b) m2 = 2m1. c) m1 . m2 = 1. d) m1 = 2m2.

10. O Rio Nilo, acima da represa em Jebel Aulia, foi infestado por uma vegetação conhecida como “jacinto aquático”. Em 1958 a planta cobriu somente 12 km2, mas o aumento anual foi de 50%. Quanto tempo, aproximadamente levou para que toda área represada, medindo 200km2, fosse coberta?

Log 2 = 0,301

Log 3 = 0,477

a) 7 anos

b) 5 anos

c) 6 anos

d) 12 anos

11. (Uerj 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir.

- A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.- O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação:

T(x) = T0 (0,5)0,1x

Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial.

Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Em um laboratório, duas torneiras enchem dois recipientes, de mesmo volume V, com diferentes soluções aquosas. Observe os dados da tabela:

Recipiente Solução Tempo de enchimento (s)R1 ácido clorídrico 40R2 hidróxido de sódio 60

O gráfico abaixo mostra a variação do volume do conteúdo em cada recipiente em função do tempo.

12. (Uerj 2013) Considere que as duas torneiras foram abertas no mesmo instante a fim de encher um outro recipiente de volume V. O gráfico que ilustra a variação do volume do conteúdo desse recipiente está apresentado em:

a)

b)

c)

d)

Gabarito:


Ano: 1995 2010 2012Temperatura(oC): 13,35 13,80 x

Temperatura anual média =

Em 2012, a temperatura será x = 13,80 + 2.0,03 = 13,86oC.


Como 4 – 3.(2-t) será sempre menor que 4 para qualquer t > 0, P(t) nunca será inferior a 25% de Po.


Temos que: I. É uma função recíproca;II. É uma função linear crescente;III. É uma função exponencial decrescente;IV. É uma função quadrática; V. É uma função trigonométrica.

Portanto, o conjunto de pares ordenados que relaciona cada função à sua respectiva representação gráfica é {(I, e), (II, d), (III, a), (IV, b), (V, c)}.









Logo, D = 34.


AULA 4: GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL; E TRIGONOMETRIA .

1. Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras.

Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm3 e admitindo a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é a) 636. b) 634. c) 630. d) 632. 2. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que , onde é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que

, a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 600. 3. Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como seu túmulo.As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são:

1.ª) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;2.ª) Sua altura é de 140 metros.

Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 × 104 m3, o número médio de operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,22 × 1,4 ≅ 6,78 e 2,26 ÷ 1,88 ≅ 1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente, a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. 4. A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la por

uma reta r paralela ao lado e, que intercepta o lado em D e o lado em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor

percentual da razão de por .

Dado: ≈ 3,32

a) 88,6. b) 81,2. c) 74,8. d) 66,4. 5. O papelão utilizado na fabricação de caixas reforçadas é composto de três folhas de papel, coladas uma nas outras, sendo que as duas folhas das faces são “lisas” e a folha que se intercala entre elas é “sanfonada”, conforme mostrado na figura.

O fabricante desse papelão compra o papel em bobinas, de comprimento variável. Supondo que a folha “sanfonada” descreva uma curva composta por uma sequência de semicircunferências, com concavidades alternadas e de raio externo (RExt) de 1,5 mm, determine qual deve ser a quantidade de papel da bobina que gerará a folha “sanfonada”,

com precisão de centímetros, para que, no processo de fabricação do papelão, esta se esgote no mesmo instante das outras duas bobinas de 102 m de comprimento de papel, que produzirão as faces “lisas”.

Dado: ð ≈ 3,14. a) 160 m e 07 cm. b) 160 m e 14 cm. c) 160 m e 21 cm. d) 160 m e 28 cm. 6. Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de raio R = 10 cm cortada por um plano

situado a uma distância de 5 cm do centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não em escala).

O volume do cilindro, em cm3, é a) 100 ð b) 200 ðc) 250 ð d) 500 ð 7. A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.

Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED, em cm2, é a) 84. b) 96. c) 120. d) 150. 8. A figura representa um trapézio retângulo em que a medida de AB é k centímetros, o lado AD mede 2k e o ângulo DÂE mede 30°.

Nestas condições, a área do trapézio, em função de k, é dada por:

a) k2 (2 + ).

b) k2 .

c) 3k2 .

d) 3k2 .

9. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5.

b) 12,5 . c) 25,0.

d) 25,0 . 10. Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.

Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é:

a)

b)

c)

d)

11. (Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura:

Considere as seguintes medidas: O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a:

a)

b)

c)

d) 12. (Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo.

1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente:

2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:

3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP.

A área construída da bandeirinha APBCD, em cm2, é igual a:

a)

b)

c)

d) 13. (Uerj 2013) Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas contidas nas retas de maior declive de cada rampa.

Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente, e conclui-se que

é igual a:

a)

b)

c)

d)

4. (Uerj 2013) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas.

Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema:

Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida:

a)

b)

c)

d)

Gabarito:


V = Volume do porta-joias Vc = Volume do cuboVe = Volume da esfera.

V = Vc - Ve

V = 1000 – 256V = 744 cm3

Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias.


Considere a figura.

Sabendo que e que pela Lei dos Cossenos, vem

Portanto, como temos que a velocidade média pedida é dada por


m3

1,88.104 ------------------------ 60 dias2,26.106--------------------------x

X = =1,2.60.102 = 7200 dias = 20 anos.



Número de semicircunferências = 102 m, dividido por 0,003 m (diâmetro) = 34.000 ou 17.000 circunferências.

Total de papelão = 17.000 . 0,003 . 3,14 = 160,14 m = 160 m e 14 cm.





No triângulo ABC , aplicando o teorema dos senos, temos:

No triângulo BDC, temos:


O período da função é .Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função :

. A função não poderia ser , pois, se x for zero, o y deveria ser 0,6.


Considere a figura.

Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN.

Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, segue que AMBN é losango. Logo, e

Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos


Portanto, a área da bandeirinha será:


Como

Então:

Além disso,

Então:

Por outro lado,

Então:

Portanto,


No triângulo retângulo assinalado, temos:

Logo, a área pedida será:

AULA 5: PROGRESSÕES ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA; SISTEMAS LINEARES; E MATRIZES .

1. Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de a) 42.947,50. b) 49.142,00. c) 57.330,00. d) 85.995,00. 2. Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00.A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor total pago, em reais, pelos três produtos foi de a) 3.767,00. b) 3.777,00. c) 3.787,00. d) 3.797,00. 3. Uma pessoa necessita de 5 mg de vitamina E por semana, a serem obtidos com a ingestão de dois complementos

alimentares e . Cada pacote desses complementos fornece, respectivamente, 1 mg e 0,25 mg de vitamina E. Essa pessoa dispõe de exatamente semanais para gastar com os complementos, sendo que cada pacote de

custa e de .O número mínimo de pacotes do complemento alimentar que essa pessoa deve ingerir semanalmente, para garantir os 5 mg de vitamina E ao custo fixado para o mesmo período, é de: a) 3.

b) c) .

d) . 4. Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes.

Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é:

Dado: 1,01361 ≈ 36

a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. 5. Um fazendeiro plantou 3.960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas x árvores, no mês seguinte (x + r) árvores, r > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando no mês seguinte r árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2.160 árvores para serem plantadas, o número de árvores plantadas no primeiro mês foi: a) 50. b) 75. c) 100. d) 150. 6. Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir (figura 1) fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro.A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:

7. Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte sequência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.

Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de: a) 241. b) 238. c) 237.

d) 233. 8. Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento a ij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1, 2, 3.

Analisando a matriz, podemos afirmar que a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11. b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30. c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40. d) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45. 9. Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala ficou o triplo do número de garotas. Se, em vez de Paulo, tivesse entrado na sala Alice, o número de garotas ficaria a metade do número de rapazes. O número de jovens que estavam inicialmente na sala (antes de Paulo chegar) era a) 11. b) 9. c) 8. d) 6. 10. Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, constituindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é a) 400. b) 410. c) 420. d) 800.

11. Um robô se desloca partindo de A, avançando e girando sob um ângulo αn (medido em graus) que varia de tal forma que ,a diferença da medida do segundo para o primeiro ângulo é igual a diferença da medida do terceiro para o segundo ângulo; e assim, sucessivamente.

Considerando que o polígono convexo formado pelo deslocamento do robô determina um número ímpar de vértices ; e que o termo central (em relação a sequência numérica formada) vale 140° o número n de vértices formados no deslocamento do robô é:

(a) 3(b) 9(c) 11(d) 13

11.Grafos Químicos ou Fórmulas Estruturais.

Os vértices são átomos e os lados são ligações químicas. Formamos uma matriz da seguinte maneira: os átomos são numerados em uma ordem arbitrária. Se existe uma ligação entre dois átomos, assinalamos o número 1, caso contrário o número 0. Os números são reunidos em uma matriz quadrada, como mostra a figura abaixo:

Note que na figura 1 o átomo 1 está ligado ao átomo 2, mas não está ligado ao átomo 4.

A matriz que correspondente a figura abaixo é:

(a)

(0 1 0 0 01 0 1 0 00 1 0 1 00 0 1 0 10 0 0 1 0

)

(b)

(0 1 0 1 01 1 0 1 01 0 0 0 10 0 0 0 00 1 1 1 1

)

(c)

(0 1 0 0 01 0 1 0 10 1 0 1 10 0 1 0 10 0 0 1 0

)(d) (

11000101011010100010)

Gabarito:


(1,2,4,8,.. 2048)

Considerando a P.G., temos:

2048 = 1.2 n-1

2n -1 = 211

n = 12 (12 meses = 1 ano)

Soma dos montantes S = (por ano)No 21o aniversário, termos: 21 . 4095 = 85.995,00.


Sendo, x o preço da TV, y o preço do freezer e z o preço da churrasqueira, podemos escrever o sistema:

Somando as equações, temos: 2.(x + y + z) = 7574. Logo, x + y + z = 3.787.


Sejam e respectivamente, as quantidades de pacotes dos complementos e que serão ingeridos.

Adicionando-se as duas equações, vem que Portanto, deverão ser ingeridos 3 pacotes do complemento


30 anos = 360 meses

1.01x + 1,012x + 1,013x + 1,014x + . . . +1,01360x = 1 000 000 (Soma dos termos de uma P.G)









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