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INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE COIMBRA COIMBRA BUSINESS SCHOOL 

Tópicos de Cálculo Financeiro

Capítulo 1 – Operações de Capitalização e de Actualização

Licenciatura em Solicitadoria e Administração

Ano lectivo de 2015/16

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• Capital (C0), taxa de juro (i ) e tempo (n) sãoconceitos essenciais no âmbito do CálculoFinanceiro.

• Ao longo do nosso estudo, vamos dedicarparticular atenção às operações financeiras eà dimensão financeira do juro.

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QUESTÕES PRÉVIAS

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• Não devemos confundir juro ( J) e taxa de juro(i ).

• Enquanto o primeiro é uma grandeza absoluta,a segunda é uma grandeza relativa, que resultado confronto entre o próprio juro e o montante

de capital considerado, isto é

i  =

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JURO E TAXA DE JURO

0C

 J 

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• Como se processa a produção de juros?

•

Depende do regime de capitalizaçãoadoptado:

Regime de  juro simples (“puro”  e “dito 

simples”) Regime de juro compostoRegime de capitalização contínua

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OPERAÇÕES DE CAPITALIZAÇÃO

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• No regime de  juro simples, o juro periódicosai do processo de capitalização.

• No regime de  juro composto, o juroperiódico permanece no processo de

capitalização, indo acrescer ao capital iniciale produzindo os denominados “juros  de juros” (anatocismo).

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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLESE COMPOSTO

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• Em juro simples:

 J k = C0  i

 J k = C0  n  i

Cn = C0 

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FÓRMULAS ESSENCIAIS (1)

i n1

n

1k 

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•

Em juro composto:

Cn = C0

FÓRMULAS ESSENCIAIS (2)

7

n1   i

n

1k 

n

0k   11C   i J 

  ii J    1k 

0k    1C

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• No regime de capitalização contínua, aprodução de juros ocorre k vezes ao longo decada um dos n períodos considerados.

• Retomando a expressão que nos permiteconhecer o capital acumulado e atendendo à

premissa definida no ponto anterior, teremosque

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REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA(1)

k n

0n

k 1CC

 

  

 

  i

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• Se 1) considerarmos um período de capitalizaçãosuficientemente pequeno de tal modo que k  + ∞ e 2)atendermos às bases dos logaritmos neperianos,

demonstra-se que

= ei

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REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA(2)

k 

k 

1    

  

 

  i

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 • Substituindo na expressão anterior vem

Cn = C0  eni

expressão que nos permite calcular o montante decapital acumulado num processo de capitalizaçãocontínua.

• À semelhança do que sucedia no regime decapitalização composta, o juro total produzido emcapitalização contínua obtém-se através da diferençaentre Cn e C0.

REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA(3)

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• É necessário que o período de duração daoperação esteja expresso na mesma unidadede tempo que a do período a que a taxa de

 juro se reporta.

• Quando tal não sucede, temos de determinar

um  período de tempo equivalente  ou umataxa equivalente (por ora, limitar-nos-emos aconsiderar um período de tempo equivalente).

Discordância entre o período daoperação e o período da taxa

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•

Em  juro simples, se a taxa for anual e o temposurgir expresso em meses, teremos (com n  adesignar o número de meses):

 J k = C0  

 J k = C0    i

Cn = C0 

12

NOVAS FÓRMULAS (1)

12i

n

1k 

12

n

 

  

   

12

n1

  i

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• Ainda em  juro simples, se a taxa for anual e otempo surgir expresso em dias, teremos (comn a designar o número de dias):

 J k = C0  

 J k = C0    i

Cn = C0 

13

NOVAS FÓRMULAS (2)

360

i

360

n

 

  

    360

n1

  i

n

1k 

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•

Em  juro composto, se a taxa for anual e otempo surgir expresso em dias (com n  aidentificar o número de dias), teremos:

Cn = C0 

• Ainda em juro composto, se a taxa for anual e otempo surgir expresso em meses (com n  aidentificar o número de meses), teremos:

Cn = C0 

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NOVAS FÓRMULAS (3)

360n

1   i

12n

1   i

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• Na eventualidade de a taxa periódica variardurante o prazo da operação (situação, aliás,

com forte aderência em termos práticos), ocapital acumulado, em regime de jurocomposto, obtém-se através da expressão:

Cn = C0 

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TAXAS PERIÓDICAS VARIÁVEIS (1)

n

1k 

k 1   i

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•

A expressão anterior permite determinar a taxamédia de aplicação, que é a taxa constante que,em termos médios, permite a obtenção domesmo montante acumulado, para o mesmoprazo de aplicação.

• Teremos que

C0  = C0

donde se retira que =

TAXAS PERIÓDICAS VARIÁVEIS (2)

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n

1   i  

n

1k k 

1   i

i     11n

1

n

1k 

k  

i

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•  A determinação do factor de capitalização composta(FCC), isto é, do valor pelo qual vamos multiplicar umdado capital inicial por forma a obtermos o capital

acumulado, em regime de juro composto, podeocorrer através de uma das seguintes formas:

Recurso a calculadoras

Consulta das tabelas financeiras

Através de interpolação linear

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DETERMINAÇÃO DO FACTOR DECAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

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• São quadros de dupla entrada, onde, paradeterminados valores de n e de i , se indica ovalor correspondente do factor decapitalização composta.

• Não contemplam, porém, todos os valorespossíveis de n e de i .

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TABELAS FINANCEIRAS

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• Destina-se a apurar o factor de capitalizaçãocomposta para valores de n  e de i   nãoprevistos nas tabelas.

• Em Cálculo Financeiro, a interpolação lineartraduz-se na aplicação de uma das seguintes

fórmulas:

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INTERPOLAÇÃO LINEAR (1)

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ou

em que os pares ( x0, y

0) e ( x

1, y

1) correspondem às

coordenadas dos pólos considerados.

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INTERPOLAÇÃO LINEAR (2)

0

01

01

0.int  x x x x

 y y y y  

0

01

01

0.int  y y y y

 x x x x  

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• A interpolação conduz, porém, não a valoresexactos, mas sim a valores aproximados do valorreal, uma vez que se pressupõe que a função

exponencial tem um comportamento linear entreos pólos.

•

Não obstante, a interpolação linear revela-se umatécnica bastante útil, que pode, inclusivamente,ser aplicada a outro tipo de problemas.

INTERPOLAÇÃO LINEAR (3)

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OPERAÇÕES DE ACTUALIZAÇÃO OUDESCONTO

• A actualização ou desconto consiste em determinaro valor presente de um capital com vencimento emum dado momento futuro, sendo que

Desconto = Cn  – C0

• À semelhança da capitalização, também aactualização pode ocorrer sob duas formas: – Em regime de juro simples

 – Em regime de juro composto

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DESCONTO EM REGIME DE JUROSIMPLES

• Por sua vez, o desconto em regime de jurosimples pode assumir uma das seguintesmodalidades:

 – Desconto por dentro (Dd) ou racional: o montante dos juros é calculado sobre o valor actual do capital, istoé, sobre C0.

 –

Desconto  por fora  (Df ) ou comercial: o montante dos juros é calculado sobre o valor que o capital assumeno seu vencimento, isto é, sobre Cn.

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FÓRMULAS ESSENCIAIS (1)

• No desconto por dentro:

Dd = C0 × n × i (1)

• Porém, como C0 = (2), podemos definir

Dd = (3)

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in+1Cn

i

i

n1

nCn

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• No desconto por fora:

Df  = Cn n  i (4)

• Por sua vez, como Df  = Cn  – C0 (5), podemosestabelecer que

C0 = Cn (1  – n × i ) (6)

FÓRMULAS ESSENCIAIS (2)

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• A expressão definida em (3) permite conhecero montante do desconto por dentro emfunção do valor nominal do capital.

• A expressão definida em (6) permite calcular ovalor actual do capital (ou valor líquido) em

função do valor nominal da dívida.

FÓRMULAS ESSENCIAIS (3)

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• O valor de C0  obtido através de (2), uma vezaplicado em regime de juro simples, durante nperíodos e à taxa de juro i , perfaz, exactamente, aquantia correspondente ao valor nominal dadívida, ou seja, a Cn.

• O valor de C0  obtido através de (6) só permitirá

perfazer, passados n períodos, uma quantia iguala Cn, se for colocado a uma taxa de juro maiorque i .

FÓRMULAS ESSENCIAIS (4)

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DESCONTO COMPOSTO (1)

•

Corresponde ao inverso da capitalização emregime de juro composto, logo:

Cn = C0 ( 1 + i  )n 

  C0 = Cn ( 1 + i  )-n (7)

• Por sua vez, como Dc = Cn  – C0, vem que

Dc = Cn [ 1 - ( 1 + i )-n] (8)

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• O valor obtido por intermédio de (7), uma vezaplicado em regime de juro composto, à taxade juro i , durante n períodos, permite perfazer

o montante correspondente ao valor nominaldo capital, ou seja, a Cn.

•O desconto composto pode, ainda, sercalculado à taxa de desconto d  que equivale àtaxa de juro i .

DESCONTO COMPOSTO (2)

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DESCONTO COMPOSTO (3) 

• Sendo d = , demonstra-se que i = .

• Por conseguinte, Dc = Cn [1  – (1  – d )t] .

• A expressão anterior equivale à que se

obteve em (8), conduzindo ambas ao mesmovalor de Dc.

d 

d 

1

 

i

i

1