Embed Size (px)
Citation preview
4
VIŠE
I. RAZLOMCI .........................................................................................................................................................................6
Razlomci – ponovimo ...................................................................................................................................................6Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik ........................................................................................................8Uspoređivanje razlomaka ........................................................................................................................................ 10Razlomci na brojevnom pravcu ..............................................................................................................................11Razlomci i decimalni brojevi .................................................................................................................................. 14Zbrajanje razlomaka .................................................................................................................................................. 16Oduzimanje razlomaka ............................................................................................................................................ 18Zbrajanje i oduzimanje razlomaka ....................................................................................................................... 20Množenje razlomaka ................................................................................................................................................. 22Dijeljenje razlomaka .................................................................................................................................................. 26Množenje i dijeljenje razlomaka ........................................................................................................................... 30Provjera 1 ........................................................................................................................................................................ 34Provjera 2 ........................................................................................................................................................................ 36Provjera 3 ........................................................................................................................................................................ 38
II. TROKUT .......................................................................................................................................................................... 40
Kutovi s usporednim kracima ................................................................................................................................ 40Simetrala kuta .............................................................................................................................................................. 42Unutarnji i vanjski kutovi trokuta ......................................................................................................................... 44Pretvaranje jedinica i računanje s kutovima ..................................................................................................... 46Crtanje i konstrukcija trokuta – 1. dio ................................................................................................................. 48Crtanje i konstrukcija trokuta – 2. dio ................................................................................................................. 50Karakteristične točke trokuta ................................................................................................................................. 52Opseg i površina trokuta ......................................................................................................................................... 54Provjera 1 ........................................................................................................................................................................ 56Provjera 2 ........................................................................................................................................................................ 58
III. RACIONALNI BROJEVI ........................................................................................................................................... 60
Prikazivanje racionalnih brojeva na pravcu ....................................................................................................... 60Apsolutna vrijednost .................................................................................................................................................. 62Zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva ................................................................................................................. 64Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva ...................................................................................................... 66Množenje i dijeljenje cijelih brojeva ..................................................................................................................... 68Množenje i dijeljenje racionalnih brojeva .......................................................................................................... 70Racionalni brojevi − brojevni izrazi ...................................................................................................................... 72Provjera 1 ....................................................................................................................................................................... 74Provjera 2 ....................................................................................................................................................................... 76Provjera 3 ....................................................................................................................................................................... 78
IV. LINEARNE JEDNADŽBE S JEDNOM NEPOZNANICOM ............................................................................ 80
Jednadžbe oblika ax + b = 0 .................................................................................................................................... 80Rješavanje linearnih jednadžbi .............................................................................................................................. 82
SADRŽAJ
5
VIŠE
Primjena linearnih jednadžbi − zagonetke s brojevima ............................................................................... 84Rješavanje jednadžbi sa zagradama .................................................................................................................... 86Rješavanje jednadžbi s razlomcima .......................................................................................................................87Zadaci riječima − jednadžbe .................................................................................................................................. 89Primjena linearnih jednadžbi ................................................................................................................................. 90Primjena jednadžbi u rješavanju zadataka o dobi ........................................................................................... 92Primjena linearnih jednadžbi − geometrija ...................................................................................................... 94Primjena linearnih jednadžbi − iz svakidašnjeg života ................................................................................. 96Provjera 1 ....................................................................................................................................................................... 98Provjera 2 .....................................................................................................................................................................100Provjera 3 .....................................................................................................................................................................102
V. NEJEDNADŽBE ..........................................................................................................................................................104
Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom ..........................................................................................104Zadaci riječima − nejednadžbe ...........................................................................................................................106Provjera ......................................................................................................................................................................... 107
VI. ČETVEROKUT ...........................................................................................................................................................108
Četverokut - trapez ...................................................................................................................................................108Paralelogram ...............................................................................................................................................................110Provjera .........................................................................................................................................................................112
VII. DELTOID I OPSEG I POVRŠINE ČETVEROKUTA ........................................................................................114
Deltoid ...........................................................................................................................................................................114Opseg i površina deltoida ......................................................................................................................................116Opseg i površina paralelograma ..........................................................................................................................118Opseg i površina trapeza ........................................................................................................................................120Provjera ........................................................................................................................................................................122
RJEŠENJA .........................................................................................................................................................................124
BILJEŠKE ...........................................................................................................................................................................135
6
VIŠE
I. RAZLOMCI
Razlomci − ponovimo
PRIMJER: Pokaži kako se razlomci 13
, 58
i 25
mogu prikazati kao dijelovi kruga.
13
58
25
Prvo se krug razdijeli na tri jednaka dijela i osjenča se jedan. Tako se dobije jedna trećina.Razdijeli li se krug na osam jednakih dijelova, dobiju se osmine. Označi se pet tih dijelova.Krug se podijeli na pet dijelova i označe se dva te se dobiju dvije petine.
Krug predstavlja cjelinu. Razdijeli se na onoliko jednakih dijelova koliko iznosi nazivnik te se osjenča onoliko dijelova koliko iznosi brojnik razlomka.
VJEŽBA 1: Izrazi razlomkom koliki je dio lika obojen.
a) b) c) d)
e) f ) g) h)
i) j) k) l)
VJEŽBA 2: Koliki je dio krugova obojen?
a) b) c) d)
VJEŽBA 3: Izrazi razlomkom koliki je dio lika obojen.
a) b) c) d)
7
VIŠE
VJEŽBA 4: Koliki je dio trake obojen tamno?
a) b)
c) d)
e)A B
f )A B
g)A B
h)A B
VJEŽBA 5: Oboji dio lika koji je zapisan razlomkom.
a)56
b)3
10
c)7
12
d)
49
e)
716
f )
1825
VJEŽBA 6: Nacrtaj pravokutnik, podijeli ga na jednake dijelove i oboji dio izražen razlomcima:
a) 14 b)
56 c)
1112 d)
25
8
VIŠE
I. RAZLOMCI
Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik
PRIMJER: Objasni kako se razlomci 14
i 23
prošire na najmanji zajednički nazivnik, a zatim ih prikaži grafički.
14
= 312
23
= 812
Prvo se odredi najmanji zajednički višekratnik nazivnika: V(4, 3) = 12
Zatim se oba razlomka prošire na zajednički nazivnik 12. Prvi je razlomak proširen s 3, a drugi s 4.
14
14
312
= =33⋅⋅
23
23
812
= =44⋅⋅
VJEŽBA 1: Umetni odgovarajući tekst.
a) Tri četvrtine su osmina. Jedna polovina su osmine.
b) Dvije petine su desetine. Jedna polovina je desetina.
c) Pet šestina je dvanaestina. Tri četvrtine su dvanaestina.
VJEŽBA 2: Proširi razlomke:
a) 12
13
i na šestine b) 23
34
i na dvanaestine c) 25
32
i na desetine
VJEŽBA 3: Svedi razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
a) 14
25
i b) 37
13
i c) 34
38
i d) 910
1130
i
VJEŽBA 4: Svedi razlomke na najmanji zajednički nazivnik.
a) 12
34
56
, , b) 16
45
715
, , c) 13
34
58
, , d) 710
45
34
, ,
9
VIŠE
VJEŽBA 5: Jedan je učenik 124
svih učenika u razredu. Koliko je učenika polovica, četvrtina, šestina
i dvanaestina razreda?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 6: Svedi razlomke na najmanji zajednički nazivnik.
a) 16
34
85
, , b) 59
74
1112
, , c) 35
3320
925
, , d) 12
56
78
29
, , ,
VJEŽBA 7: Tri prijateljice imaju istu količinu novca. Franka je potrošila 34
, Katja 49
, a Andreja 712
svojeg novca. Koja je potrošila najviše, a koja najmanje?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 8: Izviđači trebaju 118
zaliha hrane dnevno. Nakon koliko će im dana ostati polovica hrane?
Odg.: ___________________________________________________
Zajednički nazivnik najmanji je zajednički višekratnik brojeva u nazivniku.
10
VIŠE
PRIMJER: Kako znaš koji je razlomak veći od jednog cijelog?
a) 23
1<
b) 33
1=
c) 53
1>
I. RAZLOMCI
Uspoređivanje razlomaka
Razlomak se uspoređuje s jednim cijelim tako da se brojnik i nazivnik međusobno usporede.
Vrijedi naime:a) ako je brojnik manji od nazivnika, razlomak označava dio manji od jednog cijelog, dakle manji je od 1;b) ako su brojnik i nazivnik jednaki, razlomak označava sve dijelove jednog cijelog i odgovara broju 1;c) ako je brojnik veći od nazivnika, razlomak označava više od jednog cijelog, dakle veći je od 1.
VJEŽBA 1: Poredaj razlomke po veličini od najmanjeg do najvećeg.
a) 78
56
14
, , b) 156
37
198
, 2 ,
c) 1112
23
56
, , d) 34
65
1, ,
VJEŽBA 2: Poredaj razlomke po veličini od najvećega do najmanjega.
a) 34
75
23
3120
910
, , , ,
b) 112
34
56
18
512
, , 1 , 1 , 1
c) 89
85
811
81
88
, , , ,
d) 73
32
65
94
, , 2, ,
VJEŽBA 3: Ispiši sve razlomke s dvoznamenkastim brojem u nazivniku koji odgovaraju razlomku 715
.
__________________________________________________________________________________
VJEŽBA 4: Koje su tvrdnje točne?a) Ako je nazivnik veći od brojnika, razlomak je manji od 1. ___________b) Ako je brojnik razlomka jednak nuli, tada je razlomak jednak nuli. ___________c) Od razlomaka jednakih brojnika veći je onaj koji ima manji nazivnik. ___________d) Razlomke različitih nazivnika ne možemo uspoređivati. ___________e) Kod razlomaka istih nazivnika najveći je onaj koji ima najveći brojnik. ___________
Razlomke je najlakše usporediti tako da se svedu na zajednički nazivnik.
11
VIŠE
Razlomci na brojevnom pravcuPRIMJER 1: Označi na brojevnom pravcu sliku razlomka
58 .
10 18
28
38
48
78
68
58
Na brojevnom pravcu za jediničnu dužinu odaberi duljinu 8 cm da je lakše podijeliš na osam jednakih dijelova i tako dobiješ osmine. Treba uzeti pet dijelova, kao što je označeno na slici.
VJEŽBA 1: Pravokutnici su podijeljeni na jednake dijelove. Izrazi obojeni dio lika razlomkom i prikaži njegovu sliku točkom na brojevnom pravcu.
a)
0 1
0 1
b)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
c)
0 1
0 1
d)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
VJEŽBA 2: Poveži veličinu označenog dijela pravokutnika sa slikom odgovarajućega razlomka.
a) b)
0 116
13
12
23
56
512
0 1
18
38
48
58
68
88 0 11
613
12
23
56
5120 11
613
12
23
56
512
10 jediničnadužina
PRIMJER 2: Označi na brojevnom pravcu sliku razlomka 134 .
Prikaži razlomak 134 na brojevnom pravcu koji ima za jediničnu dužinu duljinu 4 cm. Od
134 mogu se sastaviti 3 cjeline
jer je svaka cjelina jednaka 44 . (Triput
44 predstavlja
124 ). Do
134 ostala je još
14 , što se piše ovako
134
143=
4 4
8 4
0 1 2 3 43 1 4
12 4
13 4
16 4
12
VIŠE
I. RAZLOMCI
VJEŽBA 3: Slike kojih razlomaka predstavljaju točke na brojevnom pravcu?
a) 0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
A
B
C
D
E
F
b)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
A
B
C
D
E
F
c)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
A
B
C
D
E
F
d)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
A
B
C
D
E
F
e)
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
A
B
C
D
E
F
f )
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
A
B
C
D
E
F
VJEŽBA 4: Prikaži na brojevnom pravcu točkama slike razlomaka: 13
12
23
34
56
06
66
, , , , , , .
0 1
VJEŽBA 5: Slike kojih razlomaka predstavljaju točke na brojevnom pravcu?
a)A B
C
E
D
F
1 2
1 2 3
0
0
0 1
G H
0 1
b)
A B
C
E
D
F
1 2
1 2 3
0
0
0 1
G H
0 1
c)
A B
C
E
D
F
1 2
1 2 3
0
0
0 1
G H
0 1
d)
A B
C
E
D
F
1 2
1 2 3
0
0
0 1
G H
0 1
VJEŽBA 6: Prikaži na brojevnom pravcu točkama slike razlomaka:
a)43
73
93
76
126
, , , , 0 1 2 3
0 1
b)54
32
1312
1812
76
, , , ,
0 1 2 3
0 1
VJEŽBA 7: Prikaži na brojevnom pravcu točke koje prikazuju zadane razlomke.
a)0 1 2
14
b)0 1 2
1310
c)0 1 2
38
d) 0 1 2
126
13
VIŠE
VJEŽBA 8: Koje razlomke predstavljaju točke na brojevnim pravcima?
0
A B
1
0
C D E
1
0
F G H
1
0
I J K
1
A( ) B( )
C( ) D( ) E( )
F( ) G( ) H( )
I( ) J( ) K( )
VJEŽBA 9: Označi volumen zapisan na mjernom valjku.
a) 1 l 1 l 1 l 1 lb)1 l 1 l 1 l 1 lc)1 l 1 l 1 l 1 ld)1 l 1 l 1 l 1 l
710
litre45
litre12
litre23
litre
VJEŽBA 10: Očitaj koliko je tekućine u posudi. Izrazi u litrama.
a) 1 l 1 l 1 l 1 lb)1 l 1 l 1 l 1 lc)1 l 1 l 1 l 1 ld)1 l 1 l 1 l 1 l
Nazivnik pokazuje na koliko je jednakih dijelova cjelina razdijeljena, a brojnik pokazuje broj tih jednakih dijelova.
14
VIŠE
I. RAZLOMCI
Razlomci i decimalni brojevi
PRIMJER: Koji su razlomci dekadski razlomci i kako se pišu?
710
0 7= . Čita se nula cijelih i sedam desetinki.
271000
0 027= . Čita se nula cijelih i dvadeset sedam tisućinki.
6 6 099100
= . Čita se šest cijelih i devet stotinki.
34
75100
0 75= = .Kad nazivnik nije dekadska jedinica, razlomak se proširi na dekadski razlomak.
34
3 4 0 75= =: . Razlomak se može zapisati i kao količnik.
Razlomci kojima je nazivnik jedan od brojeva 1, 10, 100, 1000, …, jesu dekadski razlomci. Pišu se decimalnim brojem tako da se broj desetinki zapiše na prvo mjesto iza decimalne točke, broj stotinki na drugo mjesto itd.
Kada rezultat dijeljenja ima ostatak, dobije se vrijednost razlomka izraženog decimalnim brojem, i to točno na jedno, dva, tri ili više decimalnih mjesta.
VJEŽBA 1: Napiši razlomke decimalnim brojem.
a) 27
=7
36= 140
26= 6
22=
b) 213100
= 1581000
= 15001000
= 60091000
=
c) 65
100= 6
510
= 10610
= 5110000
=
VJEŽBA 2: Proširi razlomke u dekadske razlomke i napiši ih decimalnim brojevima.
a) 12
= 25
= 35
= 315
=
b) 34
= 320
= 225
= 150
=
c) 18
= 416
= 1016
= 2156
=
VJEŽBA 3: Napiši decimalne brojeve kao razlomke i po mogućnosti ih skrati.
a) 0.1 = 0.09 = 0.003 = 0.41 =
b) 0.5 = 0.08 = 0.012 = 0.055 =
c) 5.3 = 4.6 = 1.375 = 2.008 =
15
VIŠE
VJEŽBA 4: Spoji razlomake s odgovarajućim decimalnim brojevima.
710
134
950
17
2045
725
12
0.25 0.28 0.8 0.7 0.18 1.75 0.5 1.35
VJEŽBA 5: Napiši razlomke kao decimalne brojeve.
a) 32
3 2= =:9
10= 17
5=
b) 320
= 750
= 225
=
c) 254
= 740
= 316
=
VJEŽBA 6: Napiši razlomke kao decimalne brojeve i zaokruži rezultate na tisućinke.
a) 916
9 16= =: b) 311
3 11= =: c) 1722
17 22= =:
d) 629
= e) 7013
= f ) 415
=
VJEŽBA 7: Usporedi brojeve međusobno po veličini.
a) 0 535
. i b) 1 423
. i 1 c) 76
1 2i . d) 0 515
. i
Svaki se decimalni broj može napisati u obliku razlomka.Svaki se razlomak može napisati u obliku decimalnog broja.
16
VIŠE
I. RAZLOMCI
Zbrajanje razlomaka
PRIMJER: Kako zbrojiti razlomke 14
i 516
?
14
516
916
14
516
416
516
916
+ = + =
Ti razlomci imaju različite nazivnike. Stoga ih prvo treba svesti na zajednički nazivnik.
Zatim se zbroje kao razlomci jednakih nazivnika. Jednako se postupa i kod oduzimanja razlomaka različitih nazivnika.
213
456
626
56
676
716
+ = + = =
VJEŽBA 1: Zbroji razlomke različitih nazivnika i po mogućnosti skrati zbroj.
a) 12
14
+ = 14
23
+ = 14
16
+ =
b) 13
25
+ = 23
56
+ = 19
512
+ =
c) 56
29
+ = 74
23
+ = 54
151
1930
+ =
d) 412
314
+ = 212
458
+ = 278
216
+ =
VJEŽBA 2: Zbroji i po mogućnosti skrati zbroj.
a) 12
38
16
+ + = 58
14
712
+ + = 310
215
16
+ + =
b) 13
14
110
+ + = 938
414
21116
+ + = 512
113
234
+ + =
VJEŽBA 3: Zbroji razlomak i decimalni broj te zbroj zapiši razlomkom.
a) 57
0 3+ =. 1 214
. + = 2 135
. + =
Razlomci različitih nazivnika zbrajaju se tako da se prvo svedu na zajednički nazivnik. Dobiju se razlomci istih nazivnika. Zbroje se tako da se zbroje brojnici, a nazivnik ostane nepromijenjen.
17
VIŠE
b) 910
6 12+ =.16
0 5+ =. 123
4 12+ =.
VJEŽBA 4: Zbroji.
a) 13
38
23
+ + = b) 12
38
716
+ + =
c) 35
114
25
234
+ + + = d) 113
234
37
12+ + =
VJEŽBA 5: Susjed Kolić vlasnik je 12 13
ha njive, 22 25
ha šuma i 6 415
ha travnjaka. Koliko hektara zauzima njegov posjed?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 6: Koji je broj za 4 512
veći od zbroja brojeva 2 56
i 134
?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 7: U razredu je 14
odličnih učenika, 14
vrlo dobrih, 13
dobrih i 16
dovoljnih. Koliki dio učenika u razredu nije pozitivno ocijenjen?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 8: Biciklist Josip u prvoj je etapi prešao 40 35
km, u drugoj 34 34
km, a u trećoj 47 2150
km dug
put. Koliko još treba prijeći da završi 150 km dug biciklistički maraton?
Odg.: ___________________________________________________
Zbrajati se mogu samo razlomci jednakih nazivnika. Ako razlomci nemaju jednake nazivnike, treba ih proširiti na zajednički nazivnik, što znači da se razlomci proširuju na jednako velike dijelove.
18
VIŠE
I. RAZLOMCI
Oduzimanje razlomaka
PRIMJER: Kako od 35
oduzeti razlomak 13
?
35
− 13
= 915
− 515
= 415
Evo oduzimanja prikazanog i grafički.35
13
915
515
415
− = − =
Razlomci imaju različite nazivnike, stoga se oduzimaju tako da se oba razlomka prvo svedu na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik 3 i 5 je 15.Dobiju se razlomci jednakih nazivnika te se oduzmu njihovi brojnici, a nazivnik ostaje nepromijenjen.
a) 214
118
228
118
118
− = − =
b) 613
434
64
124
912
51612
49
121
712
− = − = − =
6 51212
=
VJEŽBA 1: Oduzmi razlomke i po mogućnosti ih skrati.
a) 12
14
− = 13
16
− = 910
15
− =
b) 58
516
− = 12
13
− = 23
14
− =
c) 34
58
− = 712
715
− = 59
16
− =
d) 912
35
− = 67
1321
− = 310
120
− =
VJEŽBA 2: Oduzmi i po mogućnosti skrati razliku.
a) 47
110
− = 78
16
− = 516
120
− =
b) 59
16
− = 34
58
− = 45
112
− =
c) 910
0 75− =. 34
0 6− =. 0 813
. − =
VJEŽBA 3: Spoji razliku razlomaka s njezinom vrijednošću.
134
− 145
− 125
− 3 145
− 4 225
− 354
−
15
115
14
35
134
135
34
19
VIŠE
VJEŽBA 4: Izračunaj koliki dio kruga nije obojen.
a) 13
512
b) 15
310
110
c) 38
316
VJEŽBA 5: Oduzmi razlomke i po mogućnosti ih skrati.
a) 512
14
− = 613
414
− = 829
416
− =
b) 445
113
− = 625
59
10− = 8
13
212
− =
c) 749
52
15− = 7
57
43
14− = 5
45
34
− =
d) 15 31
12. − = 7 5 4
314
. − = 1027
8 1− =.
VJEŽBA 6: Oduzmi.
a) 78
12
14
− − = 274
14
− − = 137
23
13
− − =
b) 910
740
18
− − = 1112
12
13
− − = 116
78
12
− − =
VJEŽBA 7: Za izradu kuglica od oraha trebamo 35
kg šećera, 20 dag mljevenih oraha i 320
kg čokolade u prahu. Hoće li ukupna masa kuglica premašiti 1 kilogram?
Odg.: ___________________________________________________
Za oduzimanje razlomaka ne vrijedi mogućnost zamjene umanjenika i umanjitelja.
20
VIŠE
I. RAZLOMCI
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka
PRIMJER 1: Pokaži kako se rješava izraz iz zagrada.
16 135
249
16 12745
22045
- + = - + =
16 34745
16 42
4515
4545
42
4511
4345
= - = - = - =
Prednost ima izraz u zagradama.Zato se prvo odredi zajednički nazivnik brojeva 5 i 9, što je 45. Razlomci se svedu na zajednički nazivnik. Zbroji se razlomak u zagradi. Radi lakšeg oduzimanja 16 cijelih može se pretvoriti u 15 45
45.
PRIMJER 2: Riješimo zajedno zadatak riječima.
Stela je skupila 34 kg jagoda, 1
710 kg naranča i 1
45 kg kivija.
Koliko kilograma voća ima Stela u košarici?
34
17
101
45
0 1 134
710
45
( )+ + = + + + + + =
21520
1420
1620
24520
2 25
204
14
= + + + = + = + =
Stela stavlja voće u košaru, dakle treba navesti pojedine mase ako želimo doznati kolika je ukupna masa.
Kod računanja se uzima u obzir da je V(4, 10, 5) = 20.U košari je 4 1
4 kg voća.
VJEŽBA 1: Izračunaj vrijednost brojevnog izraza.
a) 1820
740
18
− − = 1112
12
13
− − = 23
29
14
+ − =
b) 34
12
18
− + = 12
13
14
+ − = 32
23
56
+ − =
c) 223
312
112
+ + = 412
113
116
+ − = 314
212
438
+ − =
VJEŽBA 2: Izračunaj vrijednost brojevnog izraza.
a) 525
− 1 4 +329=. 4
13
0 6 2 1+ . − . =
b) 234
156
3 9.− + = 325
335
147
+ + =
Ako je u nazivniku broj 3, 6, 7… ne možemo računati decimalnim brojevima, nego računamo razlomcima.
21
VIŠE
c) 57
303
415
516
314
+ − − = 427
156
427
156
+ − − =
VJEŽBA 3: Izračunaj vrijednost izraza i po mogućnosti skrati razlomak.
a) 527
256
312
1737
15521
− + + − = b) 25 19 1014
514
− − + =
VJEŽBA 4: Jure 14
dana provede u školi na nastavi, 13
dana prespava, 112
dana piše domaće zadaće
i uči, 124
dana jede. Koliki mu dio dana ostane za treniranje košarke, igranje na računalu i
gledanje televizije?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 5: Opseg trokuta iznosi 28 1720
m, duljina stranice b je 9 35
m, a duljina stranice c je 10 12
m. Kolika je duljina stranice a?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 6: Kroz planinu se buši 3 12
km dug tunel. Koliko još kilometara treba probiti ako je s jedne strane probijeno 12
5 km, a s druge 1 3
10 km?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 7: Koliko zbroju razlomaka 12
, 14
, 18
i 110
nedostaje do broja 1?
Odg.: ___________________________________________________
Pri rješavanju izraza zagrade imaju prednost.
22
VIŠE
PRIMJER 3: Pokaži umnožak razlomaka: a) 56
i 34
b) 2 710
i 89
.
Razlomak se množi razlomkom tako da se brojnik razlomka pomnoži brojnikom, a nazivnik nazivnikom.
a) 56
34
5 3 12 3 4 1
58
⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
=
b) 27
1089
2710
89
27 810 9
3 9 2 4 1 12 5 9 1
⋅ = ⋅ = ⋅⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
= =1
125
225
I. RAZLOMCI
Množenje razlomaka
PRIMJER 1: Kako pomnožiti prirodni broj 5 s razlomkom 25
?
525
25
25
25
25
25
105
2⋅ = + + + + = =
ili kraće: 525
5 25
105
2⋅ = ⋅ = =
To se radi tako da se brojnik razlomka pomnoži prirodnim brojem. U ovom primjeru to je 5 puta 2. Nazivnik se prepiše.
Krati se zajedničkim djeliteljem brojnika i nazivnika.
Brojnik razlomka pomnoži se prirodnim brojem.
PRIMJER 2: Kako pomnožiti razlomke 23
i 12
?
23
12
23
12
2 13 2
13
od = ⋅ = ⋅⋅
=
»od« znači množenje
23
12
Mješoviti broj treba pretvoriti u razlomak.
VJEŽBA 1: Pomnoži razlomak prirodnim brojem.
a) 15
5⋅ = 717
⋅ = 1618
⋅ = 23
3⋅ =
b) 956
⋅ = 1256
⋅ = 51115
⋅ = 301115
⋅ =
c) 312
8⋅ = 189
18⋅ = 223
5⋅ = 14
153⋅ =
VJEŽBA 2: Pomnoži i skrati razlomke.
a) 23
53
⋅ = 47
35
⋅ = 59
13
⋅ =
Pretvori cijele brojeve u razlomke.
23
VIŠE
b) 711
43
⋅ = 23
12
⋅ = 23
910
⋅ =
c) 23
56
⋅ = 916
23
⋅ = 45
57
⋅ =
d) 1516
827
⋅ = 811
2227
⋅ = 3548
5675
⋅ =
VJEŽBA 3: Pomnoži i skrati razlomke.
a) 112
113
⋅ = 12
255
59
⋅ = 38
1023
⋅ =
b) 359
558
⋅ = 245
1047
⋅ = 52
154
711
⋅ =
c) 123
325
⋅ = 434
315
⋅ = 816
227
⋅ =
24
VIŠE
I. RAZLOMCI
VJEŽBA 4: Pomnoži razlomak i decimalni broj pa zapiši umnožak skraćenim razlomkom.
a) 2 534
. ⋅ = 112
0 3⋅ =. 325
1 2⋅ =.
b) 457
3 2⋅ =.23
4 6⋅ =. 119
2 8⋅ =.
VJEŽBA 5: Spoji umnožak razlomka s njegovom vrijednošću.
23
45
⋅ 56
23
⋅ 123
34
⋅ 6 112
⋅ 58
4⋅
59
212
815
114
956
VJEŽBA 6: Pomnoži razlomke.
a) 45
12
14
⋅ ⋅ = 37
916
1427
⋅ ⋅ = 322
1419
1121
⋅ ⋅ =
b) 56
216
35⋅ ⋅ = 1
14
94
15⋅ ⋅ = 2
23
35
38
⋅ ⋅ =
c) 123
412
35
159
⋅ ⋅ ⋅ = 556
134
117
115
⋅ ⋅ ⋅ = 379
1617
38
910
⋅ ⋅ ⋅ =
25
VIŠE
VJEŽBA 7: Automobil vozi brzinom od 75 km na sat. Koliko kilometara prijeđe u 113
sata ako vozi istom brzinom?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 8: Čovjek popije prosječno 112
litre vode dnevno. Koliko je popije godišnje?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 9: Od 12 travnatog terena
35 namijenjene su nogometnom igralištu. Koliki dio cijeloga terena
zauzima nogometno igralište?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 10: Koliko je masa 1 kg zraka u sobi koja je 4 45
m duga, 6 14
m široka i 2 12
m visoka, ako 1 m3 zraka ima masu 1 3
10 kg?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 11: Zlatna ploča ima debljinu 14
dm, duljinu 3 dm i širinu 2 25
dm. Kolika je masa zlatne ploče
ako 1 dm3 zlata ima masu 19 12
kg?
Odg.: ___________________________________________________
Razlomke množimo tako da brojnik pomnožimo brojnikom, nazivnik nazivnikom. Faktore također skratimo.
26
VIŠE
I. RAZLOMCI
Dijeljenje razlomaka
U ovom primjeru 13
se podijeli na dva jednaka dijela, što znači da nazivnik treba dva puta povećati.
13
21
3 216
: =⋅
=
PRIMJER 1: Kako podijeliti razlomak 13
prirodnim brojem 2?
13
16
: 2 =
PRIMJER 2: Kako podijeliti razlomak 34
razlomkom 23
?
34
23
34
32
3 34 2
98
118
: = ⋅ = ⋅⋅
= = Razlomak se dijeli razlomkom tako da se pomnoži recipročnim razlomkom djelitelja.
VJEŽBA 1: Podijeli razlomak prirodnim brojem i zapiši količnik razlomkom.
a) 15
3: = 25
2: = 78
7: = 110
10: =
b) 67
15: = 89
2: = 916
3: = 56
5: =
c) 47
12: = 247
9: = 156
22: = 335
6: =
VJEŽBA 2: Spoji razlomak s njegovim recipročnim razlomkom.
12
23
115
1011
212
34
112
25
113
11
102
56
51
VJEŽBA 3: Podijeli prirodni broj razlomkom.
a) 312
: = 847
: = 717
: = 1025
: =
Razlomak se dijeli prirodnim brojem tako da se nazivnik pomnoži prirodnim brojem. Razlomci 2
3 i 3
2 međusobno su recipročni brojevi.
27
VIŠE
b) 113
: = 338
: = 1025
: = 1835
: =
c) 945
: = 1256
: = 143
10: = 15
25
: =
VJEŽBA 4: Izračunaj količnike razlomaka. Količnike pretvori u mješoviti broj.
a) 78
14
: = 23
57
: = 37
18
: = 38
45
: =
b) 1718
59
: = 316
920
: = 712
1415
: = 58
56
: =
c) 34
13
: = 18
34
: = 512
14
: = 920
914
: =
VJEŽBA 5: Koliko boca po 15 litre trebamo da pretočimo 12 litara soka?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 6: Podijeli i napiši rezultat kao mješoviti broj.
a) 334
338
: = 445
335
: = 525
63
10: =
15
ide u 12 šezdeset puta.
28
VIŠE
b) 216
823
: = 178
416
: = 712
212
: =
c) 556
21
12: = 6
25
227
: = 556
438
: =
VJEŽBA 7: Podijeli i zapiši rezultat kao mješoviti broj.
a) 1615
2 4: . = 318
1 5: . = 159
2 1: . =
b) 710
1 7: . = 23
0 3: . = 456
3 5: . =
c) 118
0 3: . = 1 32 225
. : = 1 2 359
. : =
VJEŽBA 8: Izračunaj.
a) 34
45
12
⋅ =: 834
312
13
: ⋅ =
I. RAZLOMCI
29
VIŠE
b) 23
1056
2150
⋅ ⋅ =:34
14
67
: : =
c) 712
116
3 112
: :⋅ = 635
215
416
: ⋅ =
VJEŽBA 9: U vodu smo u mjernome valjku uronili 16 čavlića i utvrdili da je razina porasla za 24 ml. Koliko mililitara volumena ima jedan čavlić?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 10: Koliko kamenih ploča veličine 45 m2 trebamo za popločavanje dvorišta površine 30 2
5 m2?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 11: Kojim brojem treba podijeliti razlomak 47
da dobijemo količnik 4?
Odg.: ___________________________________________________
Razlomak dijelimo razlomkom tako da ga pomnožimo recipročnim razlomkom djelitelja.ab
cd
ab
dc
: = ⋅
ab
nab n
b: = ⋅ ≠ ≠10, n 0
30
VIŠE
I. RAZLOMCI
Množenje i dijeljenje razlomaka
PRIMJER 1: Prikaži kako se rješava izraz s više računskih operacija.
a) 34
25
1 73 2 14 5 2
1 7 0 3 1 7 2⋅ + = ⋅ ⋅⋅ ⋅
+ = + =. . . .
b) 5 2 523
55 2 12 3 1
553
5 123
313
− − − −. ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅
= = =
c) 1 525
5 1 5 0 4 5 1 9 5 9 5. . . . .+
⋅ = +( )⋅ = ⋅ =
d) 56
123
135
0 456
146
1 6+
−
= +
: . : . −−( ) = = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
= =0 4 196
1 215 10 5 56 12 3 4
2512
21
12. : .
PRIMJER 2: Napiši razliku količnika brojeva 56
i 16
i umnožak brojeva 76
i 0,75?
Napiši brojevni izraz i pazi da oduzimanje obaviš zadnje.
56
16
76
0 755 6 16 1 1
7 3 16 4 2
578
41
: .− = ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅
− ⋅ ⋅⋅ ⋅
= − =88
Prednost ima množenje, stoga zbrajanje i oduzimanje obavi na kraju.
Kad su u izrazu zagrade, prvo se izračunaju vrijednosti u zagradama.
VJEŽBA 1: Izračunaj vrijednost izraza pazeći na redoslijed računskih operacija.
a) 28
151
916
+ ⋅ = 15
35
214
+ =: 2 212
3 114
⋅ + ⋅ =
b) 156
0 3− ⋅ =. 234
1 815
+ ⋅ =. 178
45
34
1 5 0 514
⋅ + − ⋅ =: . .
c) 25
712
211
1115
⋅ + ⋅ = 3 314
212
0 3− + =: . 212
217
0 7 2 5 114
+ ⋅ − =. . :
31
VIŠE
VJEŽBA 2: Izračunaj vrijednost izraza sa zagradama.
a) 2034
0 8.. + = 412
334
37
− : = 15
16
130
− : =
b) 312
117
+ . − = 112
223
1718
23
+ : − = 214
113
112
. : + =
VJEŽBA 3: Spoji zadane izraze s njihovom vrijednošću.
312
313
⋅ + ⋅ 413
19
− :14
3 218
⋅ − ⋅ 813
16
. + 14
112
3− ⋅ 112
34
2+ ⋅ 1 0 2: .
2 5 412
212
3 1 0
VJEŽBA 4: Izračunaj vrijednost izraza sa zagradama.
a) 538
18 5 75
2416
23
+ . - : = 44
353
12
214
517
. - : =
b) 1 5 223
518
10 313
. + : : : = 516
416
419
256
+ : + =
32
VIŠE
I. RAZLOMCI
c) 456
134
513
214
8- : + . = 209
162
12
18
3 6 112
14
- : : : + . =
VJEŽBA 5: Zapiši izraz koji odgovara tekstu i izračunaj njegovu vrijednost.
a) Umnožak broja 1.6 i zbroja brojeva 114
i 7 12
.
b) Količnik zbroja brojeva 5 730
i 3 415
i broja 4 14
.
c) Zbroj količnika i razlike brojeva 1.2 i 45
.
d) Razliku zbroja brojeva 34
i 13
i umnoška istih dvaju brojeva.
VJEŽBA 6: Pri plivanju na 100 metara plivač je postigao vrijeme od 54 25
sekunde. Prvih 50 m preplivao je u 27 1
10 sekunde. U koliko je vremena preplivao drugu polovicu pruge?
Odg.: ___________________________________________________
33
VIŠE
VJEŽBA 7: Pješak je prvi dan prehodao 18 35
km dug put, drugi dan 2.4 km više nego prvi dan, a treći dan polovicu duljine puta prvoga dana. Koliko je ukupno prehodao u tri dana?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 8: Lokomotiva ima masu 98.5 t, a svaki vagon ima masu 25 45
t. Kolika je masa vlaka s 5 vagona?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 9: Otac želi trakom oblijepiti sva četiri vanjska ruba vrata visine 145
m i širine 0.75 m. Hoće li mu za brtvljenje tih vrata dostajati 5 m duga traka?
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 10: Izračunaj vrijednost izraza (a – b) · (a + b) ako je a = 112
i b = 13
.
Odg.: ___________________________________________________
VJEŽBA 11: Što je veće i za koliko: umnožak brojeva 0.25 i 14
ili njihova razlika?
Odg.: ___________________________________________________
Izraz nazivamo prema operaciji koju obavljamo zadnju.
34
VIŠE
Provjera 1
I RAZLOMCI
1. Zapiši razlomkom koliki je dio lika obojen.
2. Koje razlomke prikazuju strelice na brojevnom pravcu?
0 A B C D E1 2
__________________________________________________________________________________
3. Izrazi razlomkom obojeni dio cjeline.
4. Ispuni tabelu.
a) proširi s 457
=911
= 1715
=
b) proširi na nazivnik 2035
= 12
=9
10=
c) svedi na najmanji zajednički nazivnik
23
= 34
= 56
=
d) svedi na najmanji zajednički nazivnik
14
= 57
= 1514
=
5. Ispuni tabelu.
a) skrati s 3219
= 36
= 915
=
b) skrati2530
= 1812
= 90100
=
c) skrati6349
= 1560
= 5588
=
d) skrati75
125= 28
420= 42
300=
5bodova
5bodova
5bodova
6bodova
6bodova
35
VIŠE
Provjera 1
6. Spoji neskraćene razlomke sa skraćenim razlomcima.
1620
2639
2035
4977
1842
47
45
711
37
23
7. Poredaj razlomke 34
, 65
, 1, 23
, 72
od najvećeg do najmanjeg.
__________________________________________________________________________________
8. Umetni znak <, > ili = tako da tvrdnja bude točna.
53
1.7 94
2.25 15
0.3 124
3.4
910
0.9 0.8 34
0.8 89
711
7.11
9. Od 28 učenika 17
je učlanjena u planinarsko društvo, a 12
učenika igra odbojku. Koliko je učenika u svakom od ta dva društva?
Odg.: _____________________________________________________________________________
10. Maratonac je pretrčao 23
puta, što iznosi 28 km. Koliki još put mora pretrčati do cilja?
Odg.: _____________________________________________________________________________
5bodova
3boda
4boda
3boda
3boda
36
VIŠE
Provjera 2
I. RAZLOMCI
1. Izračunaj i skrati rezultat.
a) 318
27
16+ = 3
58
734
+ = 512
113
+ =
b) 78
16
− = 1315
710
− = 516
214
− =
2. Izračunaj vrijednost izraza i po mogućnosti skrati rezultat.
a) 23
1223
43
14
313
− : . − = b) 435
35
13
15
− − − + =
c) 535
35
12
710
− + − = d) 15 313
316
312
118
− + + + =
3. Izračunaj.
a) 435
267
1 4.− − = b) 312
0 4 1 6 113
. .+ − + =
12bodova
8bodova
4boda
37
VIŠE
Provjera 2
4. Sanja je vagala svojega psa. Uzela ga je u naručje i stala na vagu koja je pokazala 63 710
kg. Sanja ima
48 2
5 kg. Koliko kilograma ima njezin pas?
Odg.: _____________________________________________________________________________
5. U knjižnici je 25
beletrističkih knjiga i 14
povijesnih knjiga, a ostale su prirodoslovne. Koliko je prirodoslovnih knjiga ako u knjižnici ima 15 000 knjiga?
Odg.: _____________________________________________________________________________
6. U Ateni je sastav stanovništva bio ovakav: 13
su bili robovi, 17
stranci koji su privremeno živjeli u gradu i nisu imali nikakvih prava, dok su ostali bili slobodni državljani. Koliki su dio stanovništva Atene tvorili slobodni državljani?
Odg.: _____________________________________________________________________________
7. Pošiljka se sastoji od tri kutije. Prva ima masu 16 12
kg, druga ima za 3 14
kg veću masu od prve, a treća ima za 2 3
4 kg manju masu od prve. Kolika je ukupna masa pošiljke?
Odg.: _____________________________________________________________________________
8. Povećaj zbroj brojeva 7 310
i 3 320
za razliku ista dva broja.
Odg.: _____________________________________________________________________________
9. Izračunaj zbroj recipročnih vrijednosti brojeva 3 13
, 5 i 27
.
Odg.: _____________________________________________________________________________
3boda
3boda
3boda
4boda
4boda
4boda
38
VIŠE
Provjera 3
I. RAZLOMCI
12bodova
1. Izračunaj i skrati rezultat.
a) 214
134
+ = 1 4 235
. + = 21
200 8+ =.
b) 137
0 2− =. 378
− = 213
149
16
− − =
c) 335
5⋅ = 1 223
5. ⋅ ⋅ = 0 2 5 313
. :⋅ + =
d) 25
0 4: . = 115
0 6: . = 238
0 95: . =
2. Izračunaj vrijednost izraza i po mogućnosti skrati rezultat.
a) 612
32740
178
− − = 16
23
24+ . =
b) 217
112
637
− : = − =2 334
212
:
c) 1623
4 2 5 113
. :− . = 30 2 3 435
0 469
10. : .. − . =
24bodova
39
VIŠE
Provjera 3
d) 212
145
5 114=:. − 2 0 5 3
23
56
2 134
. :. − + . =
3. Napiši što je veće.
a) 434
ili 434
⋅
b) 414
− ili 414
:
c) 5.2 ili 512
4. Sara ima 10 12
godina, a njezin brat ima 43
njezine dobi. Koliko brat ima godina i koliko je stariji od sestre?
Odg.: ____________________________________________________________________________
5. Koliko je puta zbroj razlomaka 18
i 19
veći od njihove razlike?
Odg.: ____________________________________________________________________________
6. Koliko koraka načini Vlatko unutar 60 610
m, ako je njegov korak dug 35
m?
Odg.: ____________________________________________________________________________
3boda
2boda
2boda
2boda
