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VIBROACOUSTIQUE DES
STRUCTURES PLANES
1 – INTRODUCTION
2 - PLAQUE MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE
3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE
PLAQUE INFINIE
4 - PLAQUE FINIE COUPLEE (plaque rectangulaire)
5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE
6 - EXEMPLES
Bibliographie
M. Bruneau, Manuel d'acoustique fondamentale, Hermès, 1998.
F.J. Fahy, Sound and Structural Vibration, Academic Press, 1985. (Nouvelle édition en Novembre 2006)
M.C. Junger, D. Feit, Sound, Structures, and their Interaction (2nd ed.), MIT press, 1986. (réédition : Acoustical
Society of America, 1993).
A.D. Pierce, Acoustics : an introduction to its physical principles and applications, McGraw-Hill, 1981.
E.G. Williams, Fourier Acoustics, Sound Radiation and Nearfield Acoustical Holography, Academic Press,
1999.
Acoustique générale (P. Filippi, Ed.), Les Editions de Physique, 1994.
J.L. Guyader, C. Lesueur, Transparence et rayonnement acoustiques des plaques minces (Ch. 8)
Rayonnement acoustique des structures (C. Lesueur, Ed.), Eyrolles, 1988.
C. Lesueur, J.L. Guyader, Rayonnement acoustique des plaques et des coques cylindriques (Ch. 4)
J.L. Guyader, C. Lesueur, Comportement vibroacoustique des plaques minces (Ch. 5)
PLAQUE, MILIEU FLUIDE ET COUPLAGE
Ondes de flexion dans la plaque
vibrations de flexion des plaques minces isotropes
( ) ( ) ( )yxNyxwhyxwD ,,, 24 =−∇ ρω
( )23 112 υ−= EhDrigidité de flexion
( ) ( ) ( )D
yxNyxwkyxw f
,,, 44 =−∇
D
hk f
ρω 24 =nb d’onde de flexion dans le vide
ω
fk
Ondes de flexion élémentaires dans la plaque
solution générale
Ondes propagatives
Relation de dispersion
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,, 222244 =−∇+∇=−∇ yxwkkyxwk fff
( ) ( ) ( )yxwyxwyxw ,,, −+ +=
( ) ( ) 0,22 =+∇ +yxwk f
( ) ( )ykxkj yxeWyxw+−++ =⇒ ,
Ondes évanescentes
( ) ( ) 0,22 =−∇ −yxwk f
( ) ( )ykxk yxeWyxw+−−− =⇒ ,
222yxf kk
D
hk +==
ρω
Représentation des ondes de flexion élémentaires dans la plaque
Ondes propagatives
Relation de dispersion22yxf kkk +=
=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
fy
fx
kk
kk
( ) ( )( )yjk
y
yjk
yxjk
xxjk
xyyxx eBeAeBeAyxw ++=
−−+ ,
( ) ( ) ( )ϕϕ sincos,
yxjkykxkj fyx eWeWyxw+−++−++ ==
ϕ
yk
xk
Nombre d’onde effectif
Equation de propagation homogène dans le vide
mais le nombre d’onde effectif pourra être obtenu par
( ) ( ) 0,, 44 =−∇ yxwkyxw f
( )( )yxw
yxwk f
,
,4
4 ∇=⇒
( ) ( ) ( )ϕγϕγϕγϕγ sincossincos,
yxyxjeWeWyxw
+−−+−+ +=
Avec un fluide lourd, le nombre d’onde va changer
( )( )yxw
yxw
,
,44 ∇
=γ
Ondes acoustiques dans l’espace semi-infini
Equation de Helmholtz
relation de dispersion
onde plane élémentaire
( ) ( ) 0,,,, 22 =+∇ zyxpkzyxp
ck
ω=
( ) ( )zkykxkj zyxePzyxp++−
=,,
222
2
2zyx kkk
ck ++=
=
ω
Solution équivalente en variables séparées
( ) ( )( )( )zjkz
zjkz
yjk
y
yjk
yxjk
xxjk
xzzyyxx eBeAeBeAeBeAzyxp +++= −−−
,,
Condition de Sommerfeld
Ondes acoustiques élémentaires : repère cartésien
Un champ quelconque peut se représenter à partird’ondes planes élémentaires
( ) ( )zkykxkj zyxePzyxp++−
∑=,,
Exemple pour l’onde monopolaire
( )∫∫∫ −→
•−−
3222π
K
K
rK d
k
e
R
e jjkR
( )zyx kkk ,,=KVecteur d’onde
Vecteur spatial ( )zyx ,,=r
Ondes acoustiques élémentaires
onde plane élémentaire
Exemple pour
front d'onde plan
( ) ( ) zjkzeyxpzyxp−= ,,, 0≥z
0=yk
θsinkk x =
22xz kkk −=
Équation de dispersion 2222yxz kkkk −−=
θ
λλ
sin=x
θ
λλ
cos=z
k
c
f
c π
ωπλ
22 ===
θcoskk z =
λθ
θ k
Ondes élémentaires : spectre de nombre d’onde
orientation quelconque normale rasante
0,sinθk
k kk
0,0 0,k
yk yk yk
xk xk xk
Couplage vibroacoustique
ContinuitContinuitéé des vitesses sur la paroides vitesses sur la paroi (composantes normales)
( )0,,),( yxuyxv n=
( ) ( )yxwjyxv ,, ω=z
p
ck
j
z
pju z
∂
∂=
∂
∂=
00 ρωρ
( ) ( )yxwz
zyxp
z
,,,
02
0
ρω=∂
∂
=
z2n̂
1n̂
zn uu =Par exemple pour
Couplage vibroacoustique
Couplage dynamiqueCouplage dynamique
( ) ( )( ) ( )
D
yxpyxpyxwkyxw f
,,,, 2144 −
=−∇
( ) ( )( )yxwD
yxpyxpk f
,
,, 2144 −+=γ
( ) ( )( )
−+=
yxwh
yxpyxpk f
,
,,1
2
2144
ωργ
( )( )
44
,
,γ=
∇
yxw
yxw
42fkhD ρω=
relation de dispersion
Couplage vibroacoustique
relation de dispersion
Impédance de rayonnement
z2n̂
1n̂
normale reparticulai vitesse
pariétale pression=rZ
wj
p
u
p
u
pZ
wj
p
u
p
u
pZ
zn
r
zn
r
ω
ω
−=
−==
===
11
1
11
22
2
22
zn uu =
zn uu −=
+−=
ωργ
h
ZZjk
rrf
2144 1
Couplage vibroacoustique
Problème découplé Problème couplé
continuité desvitesses
équation dynamiquede la structure
force
mécanique
continuité desvitesses
équation dynamiquede la structure
force
mécanique
21 , pp 21 , pp
v vréponse vibratoire
champ acoustique rayonné
21 pppa −=
Couplage vibroacoustique
intensité acoustique rayonnée
{ } { } { } 222
Re2
Re2
Re2
1ˆ wZZ
uupI rr
nnn
ω====⋅ ∗
nI
{ } dSwZdSW
S
r
S
∫∫ =⋅=2
2
Re2
ˆω
nI
{ }
∫
∫
∫==
S
Sr
SdSw
dSwcZ
dSwc
W2
2
0
2
02
21
Re ρ
ρωσ
puissance acoustique
facteur de rayonnement
CAS D'UNE PLAQUE INFINIE
� Rayonnement acoustique
�Transparence acoustique
milieu 2milieu 2
Plaque mince
milieu 1milieu 1
z
( )yxw ,
( )zyxp ,,2( )zyxp ,,1
111 ,, kcρ 222 ,, kcρ
( ) ( )+− == 0,,0,,21
yxuvyxu zz
Rayonnement d’une plaque infinie
Milieu 1 : ondes acoustiques
Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires
Plaque : déplacement du aux ondes de flexion
Milieu 2 : ondes acoustiques
( ) ( ) 0,,,, 1
2
11
2 =+∇ zyxpkzyxp
( )( )yxw
z
zyxp
z
,,,
1
2
0
1 ρω=∂
∂
=
Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires
( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,, 21
24 yxpyxpyxwhyxwD −=−∇ ρω
( )( )yxw
z
zyxp
z
,,,
2
2
0
2 ρω=∂
∂
=
( ) ( ) 0,,,, 2
2
22
2 =+∇ zyxpkzyxp
Rayonnement d’une plaque infinie
Pression
Continuité = fonctions en x,y sont identiques pour p1, p2 et w
( ) ( )( )( )zz
yjk
y
yjk
y
xjk
x
xjk
xz
z
BAeBeAeBeAjkz
zyxpyyxx −++−=
∂
∂ −−
=0
,,
( ) ( )( )( )zjkz
zjkz
yjk
y
yjk
yxjk
xxjk
xzzyyxx eBeAeBeAeBeAzyxp +++= −−−
,,
Gradient de pression à la surface
yyyyxxxxkkkkkk ====== γγ 2121 et
( ) ( )yxwz
zyxp
z
,,,
02
0
ρω=∂
∂
=
( ) ( )( )yjBy
yjAy
xjBx
xjAx
yyxx eWeWeWeWyxwγγγγ ++=
−−,
Continuité des composantes normalesdes vitesses sur la paroi
Rayonnement d’une plaque infinie
Conséquences :
� le nombre d’onde de flexion impose
� la relation de dispersion conduit à
� les relations de continuité détermine l’amplitude
γ 22yx kk +=γ
22 γ−= kk z
( ) ( )
( ) ( )yxwyxpjk
yxwyxpjk
z
z
,0,,
,0,,
2
2
22
1
2
11
ρω
ρω
=−
=
( ) ( )
( ) ( ) zkj
zkj
eyxwk
jzyxp
eyxwk
jzyxp
222
221
,,,
,,,
22
2
2
2
2
22
1
2
1
1
γ
γ
γ
ωρ
γ
ωρ
−−
−
−=
−−=
( ) ( )
( ) ( ) zkj
zkj
eyxpzyxp
eyxpzyxp
222
221
,,,
,,,
22
11
γ
γ
−−
−
=
=
Condition de Sommerfeld
Solution de l'équation de dispersion
Relation de dispersion
+−=
ωργ
h
ZZjk
rrf
2144 1
[ ] 02 44
4
0 =−− f
fz
kk
hj
kγ
ρρ
zr kZ 111ωρ=
Impédance de rayonnement pour la plaque infinie
etzr kZ 222
ωρ=
deux fluides sont identiques (pour simplifier) 021 ρρρ == kkk == 21
22222 γ−=−−= kkkkk yxzavec
Relation de dispersion
Solution de l'équation de dispersion
Changement de variable
donc
d’où les pressions
Relation de dispersion
zjkk −=−= 22γκ222 k+= κγ
( ) ( ) ( ) ( ) zzeyxw
kczyxpeyxw
kczyxp
κκ
κ
ωρ
κ
ωρ,,,et,,, 0
2
0
1 =−= −
( ) 02
4222
4
0=−++ f
fkk
h
kκκκ
ρ
ρ
[ ] 02
2
4
044325 =+−++h
kkkk
f
fρ
ρκκκéquation du 5ème degré
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers
on néglige ce terme
équation du second degré en
Solutions
[ ] 02
2
4
044325 =+−++h
kkkk
f
fρ
ρκκκ
[ ] 02 44224 =−++ fkkk κκ
2κ
( ) 22
2
222
2
2222
1
222
1
ff
fff
kkjkk
kkjkkkk
+±=⇒+−=
−=−±=⇒−=
κκ
κκ m
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers
premier type de solution
nombre d’onde dans la plaque
Pression
22222fzf kkjjkkk −−=−=⇒−= κκ
( ) ( ) ( ) ( ) zkkj
f
zkkj
f
ffeyxw
kk
kcjzyxpeyxw
kk
kcjzyxp
2222
,,,et,,,22
0
222
0
1
−−−
−
−=
−=
ωρωρ
fkk ±=+= 22κγ
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers
pulsation critiquefkk =
( )2
222 112
hEc
D
hcc
υρρω
−==
ω∝fk
ck
ω=
ω
ωω cf kk =22
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers
( ) ( )zkkzjk fz
22expexp −±=± ( ) ( ) ( )θcosexpexpexp 22 jkzkkjzjk fz ±=−±=±
=
=
ϕθϕ
ϕθϕ
sinsinsin
cossincos
kk
kk
f
f
>
>
ϕϕ
ϕϕ
sinsin
coscos
kk
kk
f
f
cfkk ωω >>cfkk ωω <<
yk yk
xk xk
k k
ϕϕ
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers
deuxième type de solution
( ) 22222fzf kkjjkkk +−=−=⇒+−= κκ
nombre d’onde dans la plaque
fjkk ±=+= 22κγ
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides légers
Facteur de rayonnement
−=
=22
ReReγ
σk
k
k
k
z
fk±=γ
fjk±=γ
cω
cωω
ω
σ
σ
0
0
1
1
+=
=22
ReReγ
σk
k
k
k
z
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides lourds
5 racines de l’équation de dispersion
0ακ −=−= zjkzz
ee 0ακ −=
ondes acoustiques en
22 βακ jjk z −−=−= zjzzeee 22 βακ −−=
Approximations : relation de dispersion avec
−+=
−−=
−=
22
04
22
0444 21
21
21
khk
khjk
h
Zjk ff
rf
γρ
ρ
γρ
ρ
ωργ
zr kZ ωρ0=
4
1
0
4
1
22
0
1
21
1
1
21
1
−+
±
±=
−+
±
±≈
cf
f
ff
fhk
kjkkhk
kj ωωρ
ρ
ρ
ργ
2
fk
valable en dessous de la fréquence critique : quand k>γ
Solution de l'équation de dispersionpour les fluides lourds
Approximation pour
4
1
0
4
1
22
0
1
21
1
1
21
1
−+
±
±=
−+
±
±≈
cf
f
ff
f
hkk
j
kkhkk
j
ωωρ
ρ
ρ
ργ
valeurs exactesapproximation
cωω <