QUINTAEDICINVIBRACIONES MECNICASS I N G I R E S U S . R A OVIBRACIONES MECNICASVIBRACIONES MECNICASQUINTA EDICINSingiresu S. RaoUniversity of MiamiTRADUCCINRodolfo Navarro SalasIngeniero Mecnico Universidad Nacional Autnoma de MxicoREVISIN TCNICADavid Seplveda GarcaEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica Unidad Profesional Azcapotzalco Instituto Politcnico NacionalRicardo Rodrguez FigueroaDepartamento de Ingeniera Mecatrnica Instituto Tecnolgico de CoacalcoGabriela del Valle Daz MuozDepartamento de Ciencias Bsicas Universidad Autnoma Metropolitana Unidad AzcapotzalcoRAO, SINGIRESU S. Vibraciones mecnicas Quinta edicin PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2012 ISBN: 978-607-32-0952-6 rea: Ingeniera Formato 20 25.5 cm Pginas: 776Authorized translation from the English language edition entitled Mechanical Vibrations, 5th Edition, by Singiresu S. Rao, published by Pearson Education, Inc.,publishing as Prentice Hall, Copyright 2011. All rights reserved. ISBN 9780132128193 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Mechanical Vibrations, 5 edicin, por Singiresu S. Rao, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright 2011. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Direccin general: Direccin de Educacin Superior: Editor: Laura Koestinger Mario Contreras Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: luis.cruz@pearson.com Bernardino Gutirrez Hernndez Juan Jos Garca GuzmnEditor de desarrollo: Supervisor de produccin: Gerencia editorial Educacin Superior Latinoamrica: Marisa de Anta QUINTA EDICIN, 2012D.R. 2012 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5o. piso Col. Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico Cmara Nacionalde la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Reservados todos los derechos.Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambinla autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0952-6 ISBN VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0953-3 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0954-0Impreso en Mxico. Printed in Mexico.www.pearsoneducacion.netA Lord Sri VenkateswaraCONTENIDOPrefacio xiii xviii xviii1.10Reconocimientos Lista de smbolosCAPTULO 1Fundamentos de vibracin1.1 1.221.3 1.41.51.6 1.71.8 1.9Comentarios preliminares 3 Breve historia del estudio de la vibracin 4 1.2.1 Orgenes del estudio de la vibracin 4 1.2.2 De Galileo a Rayleigh 6 1.2.3 Contribuciones recientes 9 Importancia del estudio de la vibracin 10 Conceptos bsicos de la vibracin 13 1.4.1 Vibracin 13 1.4.2 Partes elementales de sistemas vibratorios 13 1.4.3 Cantidad de grados de libertad 14 1.4.4 Sistemas discretos y continuos 15 Clasificacin de la vibracin 16 1.5.1 Vibracin libre y forzada 16 1.5.2 Vibracin no amortiguada y amortiguada 16 1.5.3 Vibracin lineal y no lineal 16 1.5.4 Vibracin determinstica y aleatoria 16 Procedimiento del anlisis de la vibracin 17 Elementos de resorte 21 1.7.1 Resortes no lineales 22 1.7.2 Linealizacin de un resorte no lineal23 1.7.3 Constante de resorte de elementos elsticos 25 1.7.4 Combinacin de resortes 28 1.7.5 Constante de resorte asociada con la fuerza de restauracin producidapor la gravedad 36 Elementos de masa o inercia 37 1.8.1 Combinacin de masas 38 Elementos de amortiguamiento 42 1.9.1 Construccin de amortiguadores viscosos 43 1.9.2 Linealizacin de un amortiguador no lineal 49 1.9.3 Combinacin de amortiguadores491.111.12 1.13Movimiento armnico 51 1.10.1 Representacin vectorial del movimiento armnico 52 1.10.2 Representacin por medio de nmeros complejos del movimiento armnico 53 1.10.3 lgebra compleja 55 1.10.4 Operaciones con funciones armnicas 55 1.10.5 Definiciones yterminologa 58 Anlisis armnico 61 1.11.1 Expansin de la serie de Fourier 61 1.11.2Serie de Fourier compleja 63 1.11.3 Espectro de frecuencia 64 1.11.4 Representaciones en el dominio del tiempo y la frecuencia 65 1.11.5 Funciones par e impar 65 1.11.6 Expansiones de medio rango 67 1.11.7 Clculo numrico de coeficientes 68 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 72 Literatura acerca de la vibracin 75 Resumendel captulo 76 Referencias 76 Preguntas de repaso 78 Problemas 81 Proyectos de diseo 111CAPTULO 2Vibracin libre de sistemas de un solo grado de libertad2.1 2.21142.3Introduccin 116 Vibracin libre de un sistema traslacional no amortiguado 118 2.2.1Ecuacin de movimiento basada en la segunda ley del movimiento de Newton 118 2.2.2 Ecuacin de movimiento utilizando otros mtodos 120 2.2.3 Ecuacin del movimiento deun sistema de resorte-masa en posicin vertical 121 2.2.4 Solucin 123 2.2.5 Movimiento armnico 124 Vibracin libre de un sistema torsional no amortiguado 135 2.3.1 Ecuacin de movimiento 136 2.3.2 Solucin 136Contenido2.4 2.5 2.6 Respuesta de sistemas de primer orden y constante de tiempo 139 Mtodode la energa de Rayleigh 141 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso 146 2.6.1Ecuacin de movimiento 146 2.6.2 Solucin 147 2.6.3 Decremento logartmico 152 2.6.4Energa disipada en amortiguamiento viscoso 154 2.6.5 Sistemas torsionales con amortiguamiento viscoso 156 Representacin grfica de races caractersticas y soluciones correspondientes 162 2.7.1 Races de la ecuacin caracterstica 162 2.7.2 Representacingrfica de races y soluciones correspondientes 163 Variaciones de parmetros y representaciones del lugar geomtrico de las races 164 2.8.1 Interpretaciones de vn, vd,z y t en el plano s 164 2.8.2 Lugar geomtrico de las races y variaciones de parmetro 167 Vibracin libre con amortiguamiento de Coulomb 173 2.9.1 Ecuacin de movimiento 174 2.9.2 Solucin 175 2.9.3 Sistemas torsionales con amortiguamiento de Coulomb177 Vibracin libre con amortiguamiento histertico 179 Estabilidad de sistemas 185Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 189 Resumen del captulo 195 Referencias 196Preguntas de repaso 196 Problemas 201 Proyectos de diseo 237 3.5 3.6vii3.7 3.8 3.9 3.10 3.112.72.83.12 3.13 3.142.92.10 2.11 2.123.15Respuesta de un sistema amortiguado sometido a F(t) = F0eiVt 257 Respuesta de unsistema amortiguado sometido al movimiento armnico de la base 259 3.6.1 Fuerza transmitida 261 3.6.2 Movimiento relativo 262 Respuesta de un sistema amortiguadosometido a desbalance rotatorio 265 Vibracin forzada con amortiguamiento de Coulomb 269 Vibracin forzada con amortiguamiento de histresis 273 Movimiento forzado con otros tipos de amortiguamiento 275 Autoexcitacin y anlisis de estabilidad 276 3.11.1 Anlisis de estabilidad dinmica 276 3.11.2 Inestabilidad dinmica provocada porel flujo de un fluido 279 Mtodo de la funcin de transferencia 285 Soluciones obtenidas utilizando transformadas de Laplace 288 Funciones de transferencia de frecuencia 291 3.14.1 Relacin entre la funcin de transferencia general T(s) y la funcinde transferencia de frecuencia T(iv) 293 3.14.2 Representacin de las caractersticas de respuesta de frecuencia 294 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 297 Resumen del captulo 302 Referencias 302 Preguntas de repaso 303 Problemas 307 Proyectos de diseo 328CAPTULO 4Vibracin en condiciones forzadas 3304.1 4.2 Introduccin 331 Respuesta bajo una fuerza peridica general 332 4.2.1 Sistemas de primer orden 333 4.2.2 Sistemas de segundo orden 339 Respuesta bajo una fuerza peridica de forma irregular 345 Respuesta bajo una fuerza no peridica 347 Integral de convolucin 347 4.5.1 Respuesta a un impulso 348 4.5.2 Respuesta a una condicin forzada general 351 4.5.3 Respuesta a excitacin de la base 352 Espectro derespuesta 359CAPTULO 3Vibracin armnicamente excitada 2403.1 3.2 3.3 Introduccin 242 Ecuacin de movimiento 242 Respuesta de un sistema no amortiguado sometido a una fuerza armnica 243 3.3.1 Respuesta total 247 3.3.2 Fenmeno de batido 247 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a una fuerza armnica 250 3.4.1 Respuesta total 254 3.4.2 Factor de calidad y ancho de banda 2554.3 4.4 4.53.44.6viiiContenidoEspectro de respuesta para excitacin de la base 361 4.6.2 Espectros de respuestaa sismos 365 4.6.3 Diseo bajo un ambiente de choque 368 Transformada de Laplace 371 4.7.1 Respuestas transitoria y de estado estable 371 4.7.2 Respuesta de sistemas de primer orden 372 4.7.3 Respuesta de sistemas de segundo orden 374 4.7.4 Respuesta a una fuerza gradual 379 4.7.5 Anlisis de la respuesta escalonada 385 4.7.6 Descripcin de una respuesta transitoria 386 Mtodos numricos 392 4.8.1 Mtodos deRunge-Kutta 393 Respuesta a condiciones forzadas irregulares obtenida aplicandomtodos numricos 396 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 400 Resumen del captulo 403 Referencias 404 Preguntas de repaso 404 Problemas 407 Proyectos de diseo 428 4.6.1 Referencias 481 Preguntas de repaso Problemas 484 Proyectos de diseo482 5074.7CAPTULO 6Sistemas de varios grados de libertad 5086.1 6.2 6.3 6.4 Introduccin 510 Modelado de sistemas continuos como sistemas de varios grados de libertad 510 Uso de la segunda ley de Newton para derivar ecuaciones de movimiento 511 Coeficientes de influencia 516 6.4.1 Coeficientes de influencia de rigidez 517 6.4.2 Coeficientes de influencia de flexibilidad 521 6.4.3Coeficientes de influencia de inercia 525 Expresiones de energa potencial y cintica en forma matricial 527 Coordenadas generalizadas y fuerzas generalizadas 529Uso de las ecuaciones de Lagrange para derivar ecuaciones de movimiento 530 Ecuaciones de movimiento de sistemas no amortiguados en forma matricial 534 Problemade valor eigen 535 Solucin del problema de valor eigen 537 6.10.1 Solucin de la ecuacin caracterstica (polinomial) 537 6.10.2 Ortogonalidad de los modos normales 542 6.10.3 Valores eigen repetidos 545 Teorema de expansin 547 Sistemas no restringidos 547 Vibracin libre de sistemas no amortiguados 551 Vibracin forzada de sistemas no amortiguados mediante anlisis modal 554 Vibracin forzada de sistemas viscosamente amortiguados 561 Autoexcitacin y anlisis de estabilidad 566 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 568 Resumen del captulo 576 Referencias 576 Preguntas de repaso 577 Problemas 581 Proyectos de diseo 6014.8 4.96.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.104.10CAPTULO 5Sistemas de dos grados de libertad 4305.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 Introduccin 431 Ecuaciones demovimiento para vibracin forzada 435 Anlisis de vibracin libre de un sistema no amortiguado 436 Sistema torsional 444 Acoplamiento de coordenadas y coordenadas principales 449 Anlisis de vibracin forzada 455 Sistemas semidefinidos 458 Autoexcitacin y anlisis de estabilidad 461 Mtodo de la funcin de transferencia 462 Solucionesobtenidas aplicando la transformada de Laplace 464 Soluciones obtenidas utilizando funciones de transferencia de frecuencia 472 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 475 Resumen del captulo 4816.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17ContenidoCAPTULO 7 8.6.2 Fuerzas desbalanceadas debido a inercia de las partes mviles 667 8.6.3 Balanceo de motores reciprocantes 669 Control de vibracin 671 Control de frecuencias naturales 671 Introduccin al amortiguamiento 672 Aislamiento de la vibracin 673 8.10.1 Sistema de aislamiento de vibracin con cimiento rgido 676 8.10.2 Sistema de aislamiento de vibracin con movimiento de la base 685 8.10.3 Sistema de aislamiento de vibracin con cimiento flexible 692 8.10.4 Sistema de aislamiento devibracin con cimiento parcialmente flexible 693 8.10.5 Aislamiento contra choques 694 8.10.6 Control de vibracin activo 698 Absorbedores de vibracin 702 8.11.1 Absorbedor de vibracin dinmico no amortiguado 703 8.11.2 Absorbedor de vibracin dinmico amortiguado 708 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 712 Resumen del captulo 718 Referencias 718 Preguntas de repaso 720 Problemas 722 Proyecto de diseo 735 Respuestas a problemas seleccionados 736 ndice 744ixDeterminacin de frecuencias y modos naturales 6027.1 7.2 7.3 Introduccin 603 Frmula de Dunkerley 604 Mtodo de Rayleigh 606 7.3.1 Propiedades del cociente de Rayleigh 607 7.3.2 Clculo de la frecuencia natural fundamental 609 7.3.3 Frecuencia fundamental de vigas y flechas 610 Mtodo de Holzer 613 7.4.1 Sistemas torsionales 613 7.4.2 Sistemas de resorte-masa 616 Mtodo de iteracin matricial 617 7.5.1 Convergencia a la frecuencia natural ms alta 619 7.5.2 Clculo de frecuencias naturales intermedias 619 Mtodo de Jacobi 624 Problema de valor eigen estndar 626 7.7.1 Descomposicin de Choleski 627 7.7.2 Otros mtodos de solucin 629 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 629 Resumen del captulo 632 Referencias 632 Preguntas de repaso 633 Problemas 636 Proyectos de diseo 6438.7 8.8 8.9 8.107.47.58.117.6 7.78.127.8CAPTULO 8Control de la vibracin8.1 8.2 8.3 8.4644Los captulos 9 al 12 y apndices se encuentran (en espaol) en el sitio web de este libro.CAPTULO 98.58.6Introduccin 646 Nomgrafo de vibracin y criterios de vibracin 646 Reduccin de la vibracin en la fuente 650 Balanceo de mquinas rotatorias 651 8.4.1 Balanceo en un plano651 8.4.2 Balanceo en dos planos 654 Remolineo de flechas rotatorias 659 8.5.1Ecuaciones de movimiento 659 8.5.2 Velocidades crticas 661 8.5.3 Respuesta del sistema 661 8.5.4 Anlisis de estabilidad 663 Balanceo de motores reciprocantes 6658.6.1 Fuerzas desbalanceadas debido a fluctuaciones en la presin de gas 665Sistemas continuos9.1 9.29-19-39.3Introduccin 9-3 Vibracin transversal de una cuerda o cable 9.2.1 Ecuacin de movimiento 9-3 9.2.2 Condiciones iniciales y lmite 9-5 9.2.3 Vibracin libre de una cuerdauniforme 9.2.4 Vibracin libre de una cuerda con dos extremos fijos 9-6 9.2.5 Solucin de la onda viajera 9-10 Vibracin longitudinal de una barra o varilla 9.3.1 Ecuacin de movimiento y solucin 9-11 9.3.2 Ortogonalidad de funciones normales9-69-119-13x9.4 9.5ContenidoVibracin torsional de una flecha o varilla 9-18 Vibracin lateral de vigas 9-21 9.5.1 Ecuacin de movimiento 9-21 9.5.2 Condiciones iniciales 9-23 9.5.3 Vibracin libre 9-23 9.5.4 Condiciones lmite 9-24 9.5.5 Ortogonalidad de funciones normales 9-26 9.5.6 Vibracin forzada 9-29 9.5.7 Efecto de una fuerza axial 9-31 9.5.8 Efectosde inercia rotatoria y deformacin por cortante 9-34 9.5.9 Otros efectos 9-38 Vibracin de membranas 9-38 9.6.1 Ecuacin de movimiento 9-38 9.6.2 Condiciones iniciales y lmite 9-40 Mtodo de Rayleigh 9-41 Mtodo de Rayleigh-Ritz 9-43 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 9-46 Resumen del captulo 9-48 Referencias 9-49 Preguntas derepaso 9-50 Problemas 9-53 Proyecto de diseo 9-65 Uso de las mediciones operacionales de deflexin 10-28 10.7.2 Uso de una prueba modal 10-28 Anlisis modal experimental 10-29 10.8.1 La idea bsica 10-29 10.8.2 Equipo necesario 10-29 10.8.3 Procesamiento de seales digitales 10-31 10.8.4 Anlisis de seales aleatorias 10-33 10.8.5Determinacin de datos modales a partir de picos observados 10-35 10.8.6 Determinacin de los datos modales con la grfica de Nyquist 10-38 10.8.7 Medicin de modos 1039 Monitoreo y diagnstico de la condicin de una mquina 10-42 10.9.1 Criterios de severidad de vibracin 10-42 10.9.2 Tcnicas de mantenimiento de mquinas 10-42 10.9.3 Tcnicas de monitoreo de la condicin de mquinas 10-44 10.9.4 Tcnicas de monitoreo de vibracin 10-45 10.9.5 Sistemas de instrumentacin 10-50 10.9.6 Seleccin del parmetro de monitoreo 10-50 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 10-51 Resumen del captulo10-54 Referencias 10-54 Preguntas de repaso 10-55 Problemas 10-58 Proyectos de diseo 10-64 10.7.110.89.610.99.7 9.8 9.910.10 CAPTULO 10Medicin de vibracin y aplicaciones10.1 10.210-110.310.4 10.510.610.7Introduccin 10-2 Transductores 10-4 10.2.1 Transductores de resistencia variable10-4 10.2.2 Transductores piezoelctricos 10-7 10.2.3 Transductores electrodinmicos10-8 10.2.4 Transductor de transformador diferencial variable lineal 10-9 Detectores de vibracin 10-10 10.3.1 Vibrmetro 10-11 10.3.2 Acelermetro 10-13 10.3.3 Velmetro 10-15 10.3.4 Distorsin de fase 10-17 Instrumentos de medicin de frecuencia 1019 Excitadores de vibracin 10-21 10.5.1 Excitadores mecnicos 10-21 10.5.2 Agitadorelectrodinmico 10-22 Anlisis de seales 10-24 10.6.1 Analizadores de espectros 10-24 10.6.2 Filtro pasabanda 10-25 10.6.3 Analizadores de ancho de banda de porcentaje constante y de ancho de banda constante 10-27 Prueba dinmica de mquinas y estructuras 10-28CAPTULO 11Mtodos de integracin numrica en el anlisis de vibracin 11-111.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 Introduccin 11-2 Mtodo de diferencia finita 11-3 Mtodo de diferencia central para sistemas de un solo grado de libertad 11-4 Mtodo deRunge-Kutta para sistemas de un solo grado de libertad 11-7 Mtodo de diferencia central para sistemas de varios grados de libertad 11-8 Mtodo de diferencia finitapara sistemas continuos 11-12 11.6.1 Vibracin longitudinal de barras 11-12 11.6.2 Vibracin transversal de vigas 11-16 Mtodo de Runge-Kutta para sistemas de variosgrados de libertad 11-20 Mtodo de Houbolt 11-2211.7 11.8Contenido11.9 11.10 11.11 Mtodo de Wilson 11-25 Mtodo de Newmark 11-28 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB Resumen del captulo 11-37 Referencias 11-37 Preguntas de repaso11-38 Problemas 11-40 APNDICE A 11-31xiRelaciones matemticas y propiedades de materialesAPNDICE BA1Deflexin de vigas y placasAPNDICE CA4CAPTULO 12Mtodo de los elementos finitos12.1 12.2 12.312-112.4 12.5 12.6 12.712.8Introduccin 12-2 Ecuaciones de movimiento de un elemento 12-3 Matriz de masa, matriz de rigidez y vector de fuerza 12-5 12.3.1 Elemento de una barra 12-5 12.3.2Elemento de torsin 12-7 12.3.3 Elemento de una viga 12-8 Transformacin de matricesy vectores de un elemento 12-11 Ecuaciones de movimiento del sistema completo de elementos finitos 12-13 Incorporacin de condiciones lmite 12-15 Matrices de masaconsistente y de masa concentrada 12-24 12.7.1 Matriz de masa concentrada paraun elemento de una barra 12-24 12.7.2 Matriz de masa concentrada para un elemento de una viga 12-24 12.7.3 Matrices de masa concentrada en comparacin con matrices de masa consistente 12-25 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 12-27 Resumen del captulo 12-30 Referencias 12-30 Preguntas de repaso 12-31 Problemas 12-33MatricesAPNDICE DA6Transformada de LaplaceAPNDICE EA13UnidadesAPNDICE FA21Introduccin a MATLABA24Material en ingls en sitio webCAPTULO 13Nonlinear VibrationCAPTULO 1413-1Random Vibration14-1PREFACIOCambios en esta edicinEste libro presenta el tema de ingeniera de vibraciones a nivel de licenciatura.Las reacciones favorables de profesores y estudiantes a la cuarta edicin me motivaron a preparar esta quinta edicin. Conserv el estilo de las ediciones anterioresen la presentacin de la teora, los aspectos de clculo y la aplicacin de la vibracin de la manera ms sencilla posible, con especial nfasis en las tcnicas de anlisis por computadora. Se ofrecen amplias explicaciones de los fundamentos en las que se recalca la importancia y la interpretacin fsica que acrecientan las experiencias adquiridas en cursos previos de mecnica y se utilizan numerosos ejemplos y problemaspara ilustrar principios y conceptos. En esta edicin se modificaron algunos temas y se volvieron a escribir otros, se agregaron muchos ms y se introdujeron nuevas caractersticas. La mayora de esas adiciones y modificaciones fueron a sugerenciade los usuarios y revisores del texto. Entre los cambios importantes destacan los siguientes: 1. Al principio de cada captulo se presenta un esquema y los objetivos de aprendizaje. 2. Al final de cada captulo se ofrece un resumen de repaso.3. La presentacin de algunos temas se ha modificado para ofrecer una mayor cobertura y mejor claridad. Estos temas incluyen los componentes bsicos de la vibracin:elementos de resorte, elementos de amortiguacin y elementos de masa o inercia, ascomo aislamiento y control activo de la vibracin. 4. Muchos temas nuevos se presentan con detalles y ejemplos ilustrativos, entre ellos la respuesta de sistemasde primer orden y la constante de tiempo; representacin grfica de las races y soluciones caractersticas; variaciones de parmetros y la representacin del lugar geomtrico de las races; la estabilidad de los sistemas; el mtodo de funcin de transferenciapara problemas de vibracin forzada; el mtodo de la transformada de Laplace para solucionar problemas de vibracin libre y forzada; el mtodo de la funcin de transferencia de frecuencia; el diagrama de Bode para sistemas de un solo grado de libertad; la respuesta gradual y la descripcin de la respuesta transitoria, y los impactos elsticos y no elsticos. 5. Se agregaron 128 ejemplos, 160 problemas, 70 preguntas de repaso y 107 ilustraciones. 6. Se eliminaron los ejemplos y problemas basados en los programas C++ y Fortran, que en la edicin anterior se presentaban alfinal de cada captulo.Caractersticas sobresalientes del libro Cada tema de este libro es independiente; todos los conceptos se explican perfectamente y las derivaciones se presentan con todos sus detalles. A lo largo del texto se recalcan los aspectos de clculo asistidos por computadora. En la ltima seccin de cada captulo encontrar ejemplos basados en MATLAB, as como varios programas MATLAB de uso general con ejemplos ilustrativos. Algunos temas se presentan de una forma un tanto no convencional; en particular en los captulos 8, 10 y 11. La mayora de los libros de texto abordan los puntos de los aisladores, los absorbedores y el balanceo en captulos diferentes. Sin embargo, dado que uno de los objetivos principales del estudio de las vibraciones es controlar la respuesta a stas, todos los temas relacionados con el control de la vibracin se presentan en el captulo 8. Los instrumentos de medicin de vibracin, junto con los excitadores de vibracin, el procedimiento de anlisis modal experimental y el monitoreo de la condicin demquinas, estn juntos en el captulo 10 (en el sitio web). Asimismo, todos los mtodosde integracin numrica aplicables a sistemas de uno y varios grados de libertad, aligual que los sistemas continuos, se encuentran en el captulo 11 (en el sitio web).xivPrefacioOtras caractersticas sobresalientes son las siguientes: Ms de 240 ejemplos ilustivos para complementar la mayora de los temas. Ms de 980 preguntas de repaso paraque los estudiantes revisen y prueben su comprensin del texto. Estas preguntas son de diferentes tipos: de opcin mltiple, con respuestas breves, de verdadero o falso; de correspondencia de descripciones, y de completar espacios en blanco. Cada captulo ofrece un extenso conjunto de problemas (ms de 1150 en todo el libro) que resaltan varias aplicaciones del material explicado en el texto. (Las respuestas se proporcionan en el de soluciones para el profesor). Al final de algunos captulos se presentan problemas del tipo proyecto de diseo (ms de 30 a lo largo del texto), muchos sin solucin nica. Ms de 25 programas MATLAB para ayudar a los estudiantes en la implementacin numrica de los mtodos estudiados en el texto. Informacin biogrfica (al inicio de cada captulo y en los apndices) de alrededor de 20 cientficose ingenieros que contribuyeron al desarrollo de la teora de vibraciones.Los programas MATLAB y las respuestas a los problemas y a las preguntas de repaso que se presentan en el texto se encuentran disponibles para los profesores enel sitio web de este libro en www.pearsoneducacion.net/rao. El Manual de soluciones de todos los problemas y sugerencias para disear proyectos est disponible paralos profesores que adopten este libro como texto en sus cursos. Consulte a su representante de Pearson.Unidades y notacinEn los ejemplos y problemas de este libro hemos utilizado tanto unidades del Sistema Internacional (SI) como del Sistema Ingls. Despus de los Reconocimientos aparece una lista de smbolos junto con las unidades asociadas en estos sistemas. En el Apndice E se analiza brevemente la aplicacin de las unidades SI en el campo de las vibraciones. Hemos utilizado flechas sobre los smbolos para indicar los vectores de columna y parntesis rectangulares (corchetes) para indicar las matrices.Organizacin del materialEste libro est organizado en 8 captulos. Adicionalmente en el sitio web encontrar material en espaol sobre temas avanzados de vibraciones mecnicas (captulos 9 a 12) yapndices (tambin en espaol), as como un par de captulos en ingls (13 y 14). Se asumeque el lector tiene conocimientos bsicos sobre esttica, dinmica, resistencia de materiales y ecuaciones diferenciales. Aun cuando es deseable un cierto conocimiento de la teora de matrices y la transformada de Laplace, en los apndices C y D (enel sitio web) se hace un repaso general de estos temas. El captulo 1 inicia con una breve semblanza de la historia e importancia de las vibraciones, y aborda elmodelado de sistemas prcticos para el anlisis de la vibracin junto con los diversospasos implicados. Se describen las partes elementales de un sistema sometido avibracin, como son rigidez, amortiguamiento y masa (inercia). Se presentan los conceptos bsicos y la terminologa que se utiliza en el anlisis de vibraciones. El captulo 2 aborda la vibracin libre de sistemas de un solo grado de libertad sometidosa traslacin y torsin viscosamente amortiguados y no amortiguados. Se analiza, adems, la representacin grfica de las races caractersticas y las soluciones correspondientes, las variaciones de parmetro y las representaciones del lugar geomtrico de las races. Aun cuando el mtodo del lugar geomtrico de las races se utiliza en sistemasde control, su uso en la vibracin se ilustra en este captulo. Tambin se considerala respuesta bajo amortiguacin histertica y de Coulomb. En el captulo 3 se estudianlas respuestas amortiguada y no amortiguada de sistemas de un solo grado de libertad a excitaciones armnicas. Se delinean los conceptos de fuerza y transmisibilidades de desplazamiento y su aplicacin en sistemas prcticos. Tambin se presenta elmtodo de funcin de transferencia, la solucin mediante la transformada de Laplace de problemas de vibracin forzada, la respuesta de frecuencia y el diagrama de Bode. El captulo 4 se ocupa de la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad bajo una funcin forzada general. Los roles de la expansin de la serie de Fourierde una funcin peridica, la integral de convolucin, la transformada de Laplace y los mtodos numricos se describen con ejemplos ilustrativos. Tambin se analiza la especificacin de la respuesta de unPrefacioxvsistema subamortiguado en funcin de tiempo pico, tiempo de elevacin y tiempo de asentamiento. En el captulo 5 se considera la vibracin libre y forzada de sistemas de dos grados de libertad. Se analiza la vibracin autoexcitada y la estabilidad del sistema. El mtodo de la funcin de transferencia y la solucin por medio de la transformada de Laplace tambin se presentan con ejemplos ilustrativos. En el captulo 6veremos la vibracin de sistemas de varios grados de libertad y los mtodos de anlisis matriciales que se utilizan para presentar la teora. En este mismo captulo se describe el procedimiento de anlisis modal para la solucin de problemas de vibracinforzada. Los diversos mtodos para determinar frecuencias naturales y formas de modo de sistemas discretos se delinean en el captulo 7. Los mtodos de Dunkerley, Rayleigh, Holzer, Jacobi e iteraciones matriciales se explican aportando ejemplos numricos. El captulo 8 aborda los diversos aspectos de control de vibracin, entre ellos los problemas de eliminacin, aislamiento y absorcin. El nomgrafo de vibracin y los criterios de vibracin, los cuales indican los niveles aceptables de vibracin, tambin se presentan aqu. El balanceo de mquinas rotatorias y reciprocantes y la formacin de remolinos de flechas se consideran. Tambin se describen las tcnicas de control activas para controlar la respuesta de sistemas vibratorios. Material en espaol en el sitio web Mientras que las ecuaciones de movimiento de sistemas discretos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales ordinarias, las de los sistemas continuos y distribuidos aparecen en la forma de ecuaciones diferenciales parciales. El anlisis de la vibracin de sistemas continuos, como cuerdas, barras, flechas, vigas y membranas, se presenta en el captulo 9. El mtodo de separacin de variables se presenta para la solucin de ecuaciones diferenciales parciales asociadas con sistemas continuos. Los mtodos de Rayleigh y Rayleigh-Ritz para encontrar las frecuencias naturales aproximadas tambin se describen con ejemplos. Los mtodosexperimentales que se utilizan para medir la respuesta de la vibracin se consideran en el captulo 10, y se describen tcnicas de anlisis de seales y el equipo de medicin de vibracin. Tambin se presentan tcnicas de monitoreo y diagnstico de la condicinde mquinas. El captulo 11 presenta varias tcnicas de integracin numricas para determinar la respuesta dinmica de sistemas discretos y continuos. Se analizan e ilustran los mtodos de diferencia central, los de Runge-Kutta, Houbolt, Wilson y Newmark. El anlisis de elementos finitos, con aplicaciones que implican elementos unidimensionales, se aborda en el captulo 12. Se utilizan elementos de barra, varilla yviga para el anlisis esttico y dinmico de armaduras, varillas sometidas a torsin yvigas. En este captulo tambin se aborda el uso de matrices de masa concentrada y de masa consistente en el anlisis de vibracin. Los problemas de vibracin no lineal regidos por ecuaciones diferenciales no lineales presentan fenmenos que no aparecen en los problemas linealizados correspondientes. Los apndices A y B se enfocan en las relaciones matemticas y en la deflexin de vigas y placas. Los fundamentos dela teora de matrices, la transformada de Laplace y las unidades SI se tratan enlos apndices C, D y E. Por ltimo, el apndice F ofrece una introduccin a la programacin con MATLAB. Material en ingls en el sitio web En el captulo 13 se proporciona untratamiento introductorio de vibracin no lineal, con un anlisis de oscilaciones subarmnicas y superarmnicas, ciclos lmite, sistemas con coeficientes dependientes del tiempo y caos. La vibracin aleatoria de sistemas de vibracin lineal se consideraen el captulo 14. En este captulo tambin se aplican los conceptos de proceso aleatorio, proceso estacionario, densidad espectral de potencia, as como autocorrelaciny procesos de banda ancha y angosta, sin dejar de considerar la respuesta de vibracin aleatoria de sistemas de uno y varios grados de libertad.Temario tpicoEl libro proporciona opciones flexibles para diferentes tipos de cursos sobre vibracin. Los captulos 1 a 5, el captulo 8, y partes del 6, constituyen un curso bsicode vibracin mecnica. Puede darse diferente nfasis y orientacin al curso si se haceuna cobertura adicional de diferentes captulos como se indica a continuacin: El captulo 9 para sistemas continuos o distribuidos. Los captulos 7 y 11 para soluciones numricas. El captulo 12 para anlisis de elementos finitos.xviPrefacioQu esperar de este cursoEl material que se presenta en el texto ayuda a lograr algunos de los resultadosespecificados por la ABET (Accreditation Board for Engineering and Technology): Capacidad de aplicar el conocimiento de matemticas, ciencia e ingeniera: El temade vibracin, tal como se presenta en el libro, aplica conocimientos de matemticas(ecuaciones diferenciales, lgebra matricial, mtodos vectoriales y nmeros complejos)y ciencia (esttica y dinmica) para resolver problemas de vibracin de ingeniera. Capacidad de identificar, formular y resolver problemas de ingeniera: Numerosos problemas ilustrativos, problemas de prctica y proyectos de diseo ayudan al estudiantea identificar varios tipos de problemas de vibracin prcticos y a desarrollar, analizar y resolver modelos matemticos para hallar la respuesta e interpretar los resultados. Capacidad de utilizar las tcnicas, habilidades y herramientas modernasnecesarias para la prctica de ingeniera. La ltima seccin de cada captulo ilustra la aplicacin del moderno software, MATLAB, para la solucin de problemas de vibracin. Los fundamentos de programacin MATLAB se resumen en el apndice F. El uso de la moderna tcnica de anlisis, el mtodo del elemento finito, para la solucin de problemas devibracin se aborda en un captulo aparte (captulo 12). El mtodo de los elementos finitos es una tcnica de amplio uso en la industria del modelado, anlisis y solucin desistemas vibratorios complejos. Capacidad de disear y realizar experimentos, as como de analizar e interpretar datos: Los mtodos experimentales y el anlisis de datos relacionados con la vibracin se presentan en el captulo 10. Tambin se analiza elequipo que se utiliza en la realizacin de experimentos de vibracin, y se aborda elanlisis de seales e identificacin de los parmetros del sistema a partir de los datos. RECONOCIMIENTOSQuisiera expresar mi agradecimiento a los muchos estudiantes, investigadores y profesores cuyos comentarios me han ayudado a mejorar el libro. Me siento sumamente agradecido con las siguientes personas por sus comentarios, sugerencias e ideas: Ara Arabyan, University of Arizona; Daniel Granger, Polytechnic School of Montreal, Canad; K.M. Rao, V.R.S. Engineering College Vijayawada, India; K. S. Shivakumar Aradhya, Gas Turbine Research Establishment, Bangalore, India; Donald G.Grant, University of Maine; Tom Thornton, Analista de Esfuerzo: Alejandro J. Rivas, Arizona State University; Qing Guo, University of Washington; James M. Widmann. California Polytechnic State University; G. Q. Cai, Florida Atlantic University; Richard Alexander, Texas A & M University; C. W. Bert, University of Oklahoma; Raymond M. Brach, University of Notre Dame; Alfonso Diaz-Jimenez, Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Colombia; George Doyle, University of Dayton;Hamid Hamidzadeh, South Dakota State University; H. N. Hashemi, Northeastern University; Zhikun Hou, Worchester Polytechnic Institute; J. Richard Houghton, Tennessee Technological University; Faryar Jabbari, University of California, Irvine; Robert Jeffers, University of Connecticut; Richard Keltie, North Carolina State University; J. S. Lamancusa, Pennsylvania State University; Harry Law, ClemsonUniversity; Robert Leonard, Virginia Polytechnic Institute and State University; James Li, Columbia University; Sameer Madanshetty, Boston University; Masoud Mojtahed, Purdue University, Calumet; Faissal A. Moslehy, University of Central Florida; M. G. Prasad, Stevens Institute of Technology; Mohan D. Rao, Michigan Tech; Amir G. Rezaei, California State Polytechnic University; F. P. J. Rimrott, University of Toronto; Subhash Sinha, Auburn University; Daniel Stutts, University of Missouri-Rolla; Massoud Tavakoli, Georgia Institute of Technology; TheodoreTerry, Lehigh University; David F. Thompson, University of Cincinnati; Chung Tsui, University of Maryland, College Park; Alexander Vakakis, University of Illinois, Urbana, Champaign; Chuck Van Karsen, Michigan Technological University; Aleksandra Vinogradov, Montana State University; K. W. Wang, Pennsylvania State University; Gloria J. Wiens, University of Florida, y William Webster, GMI Engineering and Management Institute. Quiero dar las gracias a la Universidad de Purduepor permitirme utilizar el Boilermaker Special en el problema 2.104. Mis sinceras gracias al Dr. Qing Liu por ayudarme a escribir algunos de los programas MATLAB. Por ltimo, deseo darle las gracias a mi esposa, Kamala, sin cuya paciencia, motivacin y apoyo esta edicin nunca se hubiera podido terminar.SINGIRESU S. RAO srao@miami.eduLISTA DE SMBOLOSSmbolo a, a0, a1, a2, aij [a] A A, A0, A1, b, b1, b2, B, ! B1, B2, B c, c ' c, c0, c1, c2, c cc ci cij [c] C, C1, C2, C1 , C2 d D [ D] e e ! ! ex, ey E E[x] f ff , f ' F, Fd F0Significado constantes, longitudes coeficiente de flexibilidad matriz de flexibilidad rea constantes constantes, longitudes constantes peso de balanceo coeficiente de amortiguacin viscosa constantes velocidad de onda constante de amortiguacinviscosa crtica constante de amortiguacin del amortiguador i-simo coeficiente de amortiguacin matriz de amortiguacin constantes dimetro, dimensin dimetro matriz dinmica base de logaritmos naturales excentricidad vectores unitarios paralelos a las direcciones x y y Mdulo de Young valor esperado de x frecuencia lineal fuerza por unidad de longitud impulso unitario fuerza amplitud de fuerza F(t)Sistema ingls pulg/lb pulg/lb pulg2Sistema Internacional m/N m/N m2Ib lb-s/pulg pulg/s lb-s/pulg lb-s/pulg lb-s/pulg lb-s/pulg pulg pulg s2 pulg lb/pulg2 Hz lb/pulg lb-s Ib IbN N # s/m m/s N # s/m N # s/m N # s/m N # s/m m m s2 m Pa Hz N/m N#s N NLista de smbolosSmboloFt, FT F!t F F ',F g g ( t) G h H1iv2 i I [I] Im () j J J, J0, J1, J2, k, k ' kikt kij [k] l, li m, m ' mi mij [m] M M Mt, Mt1, Mt2, Mt0 n n N N p p(x) P(x) Pqj ! q #! q Qj r ! rxixSignificado fuerza transmitida fuerza que act a en la masa i-sima vector de fuerzaimpulso aceleracin debida a la gravedad funcin de respuesta al impulso mdulo de cortante constante de amortiguacin de histresis funcin de respuesta de frecuencia 1-1momento de inercia de rea matriz identidad parte imaginaria de () entero momentopolar de inercia momento de inercia de masa constante de resorte constante de resorte del resorte i-simo constante de resorte torsional coeficiente de rigidez matriz de rigidez longitud masa masa i-sima coeficiente de masa matriz de masa masamomento de flexin par de torsin amplitud de Mt(t) un entero n mero de grados de libertad fuerza normal total de escalones de tiempo presin funcin de densidad de probabilidad de x funcin de distribucin de probabilidad de x fuerza, tensin coordenadageneralizada j-sima vector de desplazamientos generalizados vector de velocidadesgeneralizadas fuerza generalizada j-sima relacin de frecuenciav/vn vector radioSistema ingls Ib Ib Ib lb-s pulg/s2 lb/pulg2 lb/pulgSistema InternacionalN N N N#s m/s2 N/m2 N/mpulg4m4pulg4 lb-pulg/s2 lb/pulg lb/pulg lb-pulg/rad lb/pulg lb/pulg pulg lb-s2/pulg lbs2/pulg lb-s2/pulg lb-s2/pulg lb-s2/pulg lb-pulg lb-pulg lb-pulgm4 kg # m2 N/m N/m N-m/rad N/m N/m m kg kg kg kg kg N#m N#m N#mIb lb/pulg2N N/m2IbNpulgmxxSmboloLista de smbolosSignificado parte real de ( ) funcin de autocorrelacin resistencia elctrica funcin de disipacin de Rayleigh cociente de Rayleigh raz de ecuacin, variable de Laplace aceleracin, desplazamiento, espectro de velocidad espectro de x tiempo estacin de tiempo i-simo par de torsin energa cintica energa cintica de la masa i-sima desplazamieno, transmisibilidad de fuerza un elemento de matriz [U] desplazamiento axial energa potencial peso desbalanceado matriz triangular superior velocidad lineal fuerza cortante energa potencial energa potencial del resorte i-simo deflexiones transversales valor de w cuando t0 # valor de w cuando t0 modo ensimo de vibracin pesode una masa energa total deflexin transversal valor de W cuando t ti una funcin dex coordenadas cartesianas, desplazamientos valor de x cuando t0 # valor de x cuando t 0 desplazamiento de la masa j-sima valor de x cuando ttj # valor de x cuando t tj parte homognea de x(t) parte particular de x(t) vector de desplazamientos valor de cuando tti ! valor de x # ! cuando tti valor de x cuando t ti Sistema ingls Sistema InternacionalRe1 2 R1t2 R R R s Sa, Sd, Sv Sx1v2 t ti T T Ti Td, Tf uij U, Ui U! U [U] v, v0V V Vi w, w1, w2, vi w0 # w0 wn W W W Wi W(x) x, y, z x0, x102 # # x0, x102 xj xj # xj xh xp ! x ! x # !i x $!i xiohm lb-pulg/s 1/s2ohm N # m/s 1/s2s s lb-pulg pulg-lb pulg-lbs s N-m J Jpulg pulg-lb Ib pulg/s Ib pulg-lb pulg-lb pulg pulg pulg/s Ib pulg-lb pulg pulgpulg pulg pulg/s pulg pulg pulg/s pulg pulg pulg pulg pulg/s pulg/s2m J N m/s N J J m m m/s N J m m m m m/s m m m/s m m m m m/s m/s2Lista de smbolosSmbolo ! x1i21t2 X Xj ! X1i2 1j2 Xi [X !] Xr y Y z Z Z1iv2 a b b g d d1, d2, destdij F x t W e e z u ui u #0 u0 i l [l] m m mx r h sx s t Significado modo i-simo aitud de x(t) amplitud de xj(t) vector modal i-simo componente i-simo de modo j-simomatriz modal aproximacin r-sima a un modo desplazamiento de base amplitud de y(t)desplazamiento relativo, x y amplitud de z(t) impedancia mecnica ngulo, constantengulo, constante constante de amortiguamiento de histresis peso especfico decremento logartmico deflexiones deflexin esttica delta Kronecker determinante incrementode F incremento de x incremento del tiempo t energa disipada en un ciclo una pequea cantidad deformacin relacin de amortiguamiento constante, desplazamiento angulardesplazamiento angular i-simo valor de u cuando t0 valor de u cuando t0 amplitud de u (t) amplitud de ui(t) valor eigen 1/v2 matriz de transformacin viscosidadde un fluido coeficiente de friccin valor esperado de x densidad de masa factorde prdida desviacin estndar de x esfuerzo periodo de oscilacin, tiempo, constante detiempo Sistema ingls pulg pulg pulg pulg pulg pulg pulg pulg pulg lb/pulg Sistema Internacional m m m m m m m m m N/mxxilb/pulg3 pulg pulgN/m3 m mIb pulg s pulg-lbN m s Jrad rad rad/s rad rad s2 lb-s/pulg2rad rad rad/ /s rad rad s2 kg /m # slb-s2/pulg4kg /m3lb/pulg2 sN/m2 sxxiiSmboloLista de smbolosSignificado esfuerzo cortante ngulo, ngulo de fase ngulo de fase en el modo i-simo frecuencia de oscilacin frecuencia natural i-sima frecuencia natural frecuencia devibracin amortiguada Sistema ingls lb/pulg2 rad rad rad/s rad/s rad/s rad/s Sistemas Internacionalt f fi v vi vn vdN/m2 r ad r ad rad/s rad/s rad/s rad/sSubndicesSmbolo Significado valor crtico valor equivalente valor i-simo plano izquierdo valor mximo correspondiente a la frecuencia natural plano derecho valor especfico o dereferencia torsionalcri eq i L mx n R 0 tOperacionesSmbolo Significado12 # $ 12 : 1 2 [] [ ]-1 []Td1 2 dt d21 2 dt2vector columna ( ) matriz inversa de [ ] transpuesta de [ ] incremento de ( ) transformada de Laplace de ( ) transformada inversa de Laplace ( )1 2-11212VIBRACIONES MECNICASCAPTULO 1Fundamentos de vibracinEste astrnomo italiano, filsofo y profesor de matemticas en las universidades de Pisa y Padua, fue, en 1609, el primer hombre que apunt un telescopio hacia el cielo. En 1590, escribi el primer tratado de dinmica moderna. Sus obras respecto a lasoscilaciones de un pndulo simple y la vibracin de las cuerdas son de importancia fundamental en la teora de las vibraciones. [Cortesa de Dirk J. Struik, A Concise History of Mathematics (2a. ed. rev.), Dover Publications, Inc., Nueva York, 1948].Galileo Galilei (1564-1642)Esquema del captulo1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Objetivos de aprendizaje 3 Comentarios preliminares 3 Breve historia del estudio de la vibracin 4 Importancia del estudio dela vibracin 10 Conceptos bsicos de la vibracin 13 Clasificacin de la vibracin 16 Procedimiento del anlisis de la vibracin 17 Elementos de resorte 21 Elementos de masao inercia 37 Elementos de amortiguamiento 42 1.10 1.11 1.12 1.13 Movimiento armnico 51 Anlisis armnico 61 Ejemplos resueltos utilizando MATLAB 72 Literatura acercade la vibracin 75 Resumen del captulo 76 Referencias 76 Preguntas de repaso 78 Problemas 81 Proyectos de diseo 11121.1Comentarios preliminares3Este captulo presenta el tema de las vibraciones en una forma relativamente sencilla. Empieza con una breve historia del tema y luego presenta un examen de la importancia de la vibracin. Los conceptos bsicos de grados de libertad y de sistemascontinuos y discretos se ofrecen junto con una descripcin de las partes elementales de los sistemas vibratorios. Se indican las diversas clasificaciones de vibracin, a saber: vibracin libre y forzada; vibracin no amortiguada y amortiguada; vibracin lineal y no lineal, y vibracin determinstica y aleatoria. Se delinean y presentan asimismo las definiciones y los conceptos esenciales de vibracin. Se describe el concepto de movimiento armnico y su representacin por medio de vectores y n meros complejos. Se aportan las definiciones y terminologa bsicas como ciclo, amplitud, periodo, frecuencia, ngulo de fase y frecuencia natural, relacionadas con el movimiento armnico. Al final se describe el anlisis armnico, que tiene que ver con la representacin de cualquier funcin peridica en trminos de funciones armnicas, utilizando la serie de Fourier. Asimismo, se analizan en detalle los conceptos de espectro de frecuencia, representaciones en el dominio del tiempo y frecuencia de funciones peridicas, as como las expansiones de mediano intervalo y el clculo numricode coeficientes de Fourier.Objetivos de aprendizajeAl terminar este captulo, usted deber ser capaz de realizar lo siguiente: Describir brevemente la historia de la vibracin. Indicar la importancia del estudio de la vibracin. Proporcionar varias clasificaciones de la vibracin. Enunciar los pasos implicados en el anlisis de la vibracin. Calcular los valores de constantes de resorte, masas y constantes de amortiguamiento. Definir el movimiento armnico y diferentes posibles representaciones de movimiento armnico. Sumar y restar movimientos armnicos. Realizar la expansin de la serie de Fourier de funciones peridicas dadas. Determinar los coeficientes de Fourier numricamente, aplicando el programa MATLAB.1.1Comentarios preliminaresEl tema de la vibracin se presenta aqu en una forma relativamente sencilla. El captulo empieza con una breve historia de la vibracin y contin a con un examen de su importancia. Se perfilan los diversos pasos que intervienen en el anlisis de la vibracin de un sistema de ingeniera y se presentan las definiciones y conceptos esenciales de la vibracin. Aqu aprendemos que todos los sistemas mecnicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos sistemas, como en un automvil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden identificar como componentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensin y el amortiguador en la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no aparecen como componentes distintos,pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de un avin,la masa est distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el alaexperimenta una notable deformacin durante el vuelo, de modo que puede modelarsecomo un resorte. Adems, la deflexin del ala introduce un efecto de amortiguamientoproducido por el movimiento relativo entre componentes como juntas, conexionesy soportes, al igual que la friccin interna producida por defectos microestructurales del material. En el captulo se describe el modelado de elementos de resorte,4Captulo 1Fundamentos de vibracin masa y amortiguamiento, sus caractersticas y la combinacinde varios resortes, masas o elementos de amortiguamiento que aparecen en un sistema. De all se deriva una presentacin del concepto de anlisis armnico, el cual puedeutilizarse para el anlisis de movimientos peridicos generales. En este captulo nose pretende agotar los temas; los captulos siguientes desarrollarn con ms detalle muchas de las ideas.1.21.2.1Orgenes del estudio de la vibracinBreve historia del estudio de la vibracinEl inters en la vibracin surge cuando se crean los primeros instrumentos musicales, probablemente silbatos o tambores. Desde entonces, tanto m sicos como filsofos han buscado las reglas y las leyes de la produccin del sonido, las han utilizado para mejorar los instrumentos musicales, y las han pasado de generacin en generacin.Ya en el ao 4000 a.C. [1.1], la m sica haba alcanzado un alto nivel de desarrollo yera muy apreciada por chinos, hind es, japoneses y, quiz, los egipcios. Estos pueblos antiguos observaron ciertas reglas definidas que de alguna manera estaban relacionadas con el arte de la m sica, aunque su conocimiento no lleg a nivel de ciencia. Es probable que los instrumentos musicales de cuerda se hayan originado enel arco del cazador, arma favorecida por los ejrcitos del antiguo Egipto. Uno delos instrumentos de cuerda ms primitivos, la nanga, se parece a un arpa de tres ocuatro cuerdas, y cada cuerda produce slo una nota; en el Museo Britnico se encuentra un ejemplar que data de 1500 aos a.C. Ah mismo se exhibe un arpa de 11 cuerdas, decorada en oro y con caja de resonancia en forma de cabeza de toro, la cualse encontr en Ur en una tumba real que data de aproximadamente 2600 aos a.C. En los muros de tumbas egipcias con una antigedad de 3000 aos a.C. se hallaron pinturasde instrumentos de cuerda semejantes a arpas. Nuestro sistema musical actual tiene sus bases en la civilizacin griega antigua. Se considera que el filsofo y matemtico griego Pitgoras (582-507 a.C.) fue la primera persona que investig el sonidomusical con una base cientfica (figura 1.1). Entre otras cosas, Pitgoras realiz experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio. En el ejemplo que se muestra en la figura 1.2, los puentes de madera 1 y 3 estn fijos. El puente 2 es movible en tanto que la tensin en la cuerda se mantiene constante mediante el peso colgante. Pitgoras observ que si se someten a la misma tensin dos cuerdas similares de diferentes longitudes, la ms corta emite una nota msalta; adems, si la cuerda ms corta es de la mitad de la longitud de la ms larga, la ms corta emitir una nota una octava arriba de la otra. Pitgoras no dej ning n documento de suFigura 1.1 Pitgoras. (Reimpreso con permiso de I.E. Navia, Pitgoras: An AnnotatedBibliography, Garland Publishing, Inc., Nueva York, 1990).1.2Cuerda 1 2 3Breve historia del estudio de la vibracin5PesoFigura 1.2 Monocordio.trabajo (figura 1.3), pero ha sido descrito por otros. Aunque en el tiempo de Pitgoras se desarroll el concepto de tono, la relacin entre el tono y la frecuencia no se entendi sino hasta el tiempo de Galileo, en el siglo xvi. Hacia 350 a.C, Aristteles escribi tratados sobre m sica y sonido e hizo observaciones como La voz es msdulce que el sonido de los instrumentos, y El sonido de la flauta es ms dulce que el de la lira. En 320 a.C., Aristgenes, alumno de Aristteles y m sico, escribi una obraen tres vol menes titulada Elementos de armona. Estos libros son quiz los ms antiguos de que se disponga sobre la m sica y escritos por los investigadores mismos. Alrededor de 300 a.C., en un libro llamado Introduccin a la armona, Euclides escribi brevemente sobre la m sica pero sin hacer referencia alguna a la naturaleza fsica del sonido. Los griegos no lograron ms avances en el conocimiento cientfico del sonido. Parece que los romanos recibieron todo su conocimiento musical por parte delos griegos, excepto Vitruvio, famoso arquitecto romano que escribi alrededor delao 20 a.C. sobre las propiedades ac sticas de los teatros. Su tratado De Architectura Libri Decem (Diez libros sobre arquitectura), estuvo perdido durante muchosaos, y se habra de redescubrir slo hasta el siglo xv. Al parecer, durante casi 16 siglos no hubo despus del trabajo de Vitruvio ning n desarrollo en las teoras del sonido y la vibracin.Figura 1.3 Pitgoras como m sico. (Reimpreso con permiso de D.E. Smith, History of Mathematics, Vol. I, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1958).6Captulo 1Fundamentos de vibracin En la antigedad, China experimentaba muchos sismos. ZhangHeng, que se desempe como historiador y astrnomo en el siglo ii, percibi la necesidad de desarrollar un instrumento para medir los sismos con precisin. En el ao 132 invent el primer sismgrafo del mundo [1.3, 1.4], el cual estaba hecho de fino bronce fundido, con un dimetro de ocho chi (un chi equivale a 0.237 metros) y tena la forma de una jarra de vino (figura 1.4). Dentro de la jarra haba un mecanismo queconsista en un pndulo rodeado por un grupo de ocho palancas que apuntaban en ochodirecciones. En la parte externa del sismgrafo haba ocho figuras de dragn, cada unacon una bola de bronce en las fauces. Debajo de cada dragn haba una rana con la boca abierta hacia arriba. Un sismo fuerte en cualquier direccin inclinara el pnduloen esa direccin y activara la palanca en la cabeza del dragn. Esto abra la boca deld ragn y la bola de bronce se soltaba y caa en la boca de la rana con un sonido metlico. As, el sismgrafo permita al personal de vigilancia saber tanto el tiempo como la direccin de la ocurrencia del sismo.Figura 1.4 El primer sismgrafo del mundo inventado en China en el ao 132 de nuestra era. (Reimpreso con permiso de R. Taton (ed.), History of Science, Basic Books, Inc., Nueva York, 1957).1.2.2De Galileo a RayleighSe considera que Galileo Galilei (1564-1642) es el fundador de la ciencia experimental moderna. De hecho, a menudo al siglo xvii se le considera como el siglo del genio puesto que los cimientos de la filosofa y la ciencia modernas se sentarondurante ese periodo. Lo que motiv a Galileo a estudiar el comportamiento de un pndulo simple fue la observacin de los movimientos de vaivn de una lmpara en una iglesia de Pisa. Un da, mientras se aburra durante un sermn, Galileo miraba hacia el techo de la iglesia. Una lmpara oscilante capt su atencin. Comenz a medir el periodo delos movimientos de pndulo de la lmpara con su pulso, y para su sorpresa se dio cuenta de que el tiempo era independiente de la amplitud de las oscilaciones. Estolo llev a realizar ms experimentos con el pndulo simple. En su obra Discorsi e dimostrazione matematiche in torno a due nuove scienze (Dilogos sobre dos nuevas ciencias), publicada en 1638, Galileo analiz los cuerpos vibratorios. Describi la dependencia de la frecuencia de la vibracin en la longitud de un pndulo simple, juntocon el fenmeno de vibraciones simpticas (resonancia). Los escritos de Galileo tambin indican que entenda con claridad la relacin entre la frecuencia, la longitud, la tensin y la densidad de una cuerda vibratoria tensa [1.5]. Sin embargo, el primer informe correcto publicado de la vibracin de cuerdas lo proporcion el matemticoy telogo francs Mario Mersenne (15881648) en su libro Harmonie universelle (Armonauniversal), publicado en 1636. Mersenne tambin midi, por primera vez, la frecuencia de vibracin de una cuerda larga y a partir de ello pronostic la frecuencia de una cuerda ms corta de la misma densidad y tensin. Muchos consideran a Mersenne comoel padre la ac stica. A menudo se le acredita el descubrimiento de las leyes de las cuerdas vibratorias porque public los resultados en 1636, dos aos antes que Galileo. Sin embargo, el1.2Breve historia del estudio de la vibracin7crdito le pertenece a Galileo, puesto que escribi las leyes muchos aos atrs y su publicacin fue prohibida por rdenes del Inquisidor de Roma hasta 1638. Inspirada en el trabajo de Galileo, en 1657 se fund la Academia del Cimento en Florencia; a stale siguieron las formaciones de la Royal Society of London en 1662, y la Paris Academie des Sciences en 1666. Ms tarde, Robert Hooke (1635-1703) tambin realiz experimentos para determinar una relacin entre el tono y la frecuencia de vibracin deuna cuerda. Sin embargo, Joseph Sauveur (1653-1716) investig a fondo estos experimentos y acu la palabra ac stica para la ciencia del sonido [1.6]. Sauveur en Franciay John Wallis (1616-1703) en Inglaterra observaron, de manera independiente, elfenmeno de las formas de modo, y encontraron que una cuerda tensa que vibra puedeno tener movimiento en ciertos puntos, y un movimiento violento en puntos intermedios. Sauveur llam nodos a los primeros puntos y bucles a los segundos. Se encontr que tales vibraciones tenan frecuencias ms altas que la asociada con la vibracinsimple de la cuerda sin nodos. De hecho, se encontr que las altas frecuencias son m ltiplos integrales de la frecuencia de vibracin simple, y Sauveur llam armnicos alas altas frecuencias y frecuencia fundamental a la frecuencia de una vibracin simple. Sauveur tambin encontr que una cuerda puede vibrar sin varios de sus armnicos presentes al mismo tiempo. Adems, observ el fenmeno del pulso cuando dos tubos dergano de tonos levemente diferentes se hacen sonar juntos. En 1700, Sauveur calcul, mediante un mtodo un tanto dudoso, la frecuencia de una cuerda tensada a partir de la comba medida de su punto medio. Sir Isaac Newton (1642-1727) public en 1686 su obra monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemticos de filosofa natural), que describe la ley de la gravitacin universal, as como las tres leyes del movimiento y otros descubrimientos. La segunda ley del movimiento de Newton es un lugar com n en libros sobre vibraciones para derivar lasecuaciones de movimiento de un cuerpo que vibra. Brook Taylor (1685-1731), matemtico ingls, hall en 1713 la solucin terica (dinmica) del problema de la cuerda vibratoria, y a su vez present el famoso teorema de Taylor sobre una serie infinita. Lafrecuencia natural de la vibracin obtenida con la ecuacin de movimiento derivada por Taylor concuerda con los valores experimentales observados por Galileo y Mersenne. El procedimiento adoptado por Taylor fue perfeccionado con la introduccin de derivadas parciales en las ecuaciones de movimiento por Daniel Bernoulli (17001782), Jean DAlembert (1717-1783) y Leonard Euler (1707-1783). La posibilidad deque una cuerda vibre con varios de sus armnicos presentes al mismo tiempo (si eldesplazamiento de cualquier punto en cualquier instante es igual a la suma algebraica de los desplazamientos de cada armnico) se comprob con las ecuaciones dinmicas de Daniel Bernoulli en sus memorias, publicadas por la Academia Berlinesa en 1755 [1.7]. Esta caracterstica se conoce como el principio de la coexistencia de pequeas oscilaciones lo cual, en terminologa actual, es el principio de superposicin. Se comprob que este principio es ms valioso en el desarrollo de la teora de vibraciones y condujo a la posibilidad de expresar cualquier funcin arbitraria (es decir, cualquier forma inicial de la cuerda) utilizando una serie infinita de senosy cosenos. Debido a esta implicacin, DAlembert y Euler dudaron de la validez de este principio. Sin embargo, J. B. J. Fourier (1768-1830) en su obra Analytical Theory of Heat en 1822 comprob la validez de este tipo de expansin. Joseph Lagrange(1736-1813) present la solucin analtica de la cuerda vibratoria en sus memorias publicadas por la Academia de Turn en 1759. En su estudio, Lagrange supuso que la cuerda se compona de una infinidad de partculas de masa idntica equidistantes, y estableci la existencia de varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de partculas de masa. Cuando se permiti que la cantidad de partculas fuera infinitase encontr que las frecuencias resultantes eran las mismas que las frecuencias armnicas de la cuerda tensa. El mtodo de establecer la ecuacin diferencial del movimiento de una cuerda (llamada ecuacin de onda), presentado en la mayora de los libros actuales sobre teora de la vibracin, lo desarroll por primera vez DAlembert en susmemorias publicadas por la Academia de Berln en 1750. La vibracin de vigas delgadas apoyadas8Captulo 1Fundamentos de vibracin y sujetas de diferentes maneras fue un estudio hecho porprimera vez por Euler en 1744 y Daniel Bernoulli en 1751. Su mtodo se conoce comoteora de vigas delgadas o de Euler-Bernoulli. Charles Coulomb realiz estudios tanto tericos como experimentales en 1784 sobre las oscilaciones torsionales de un cilindro de metal suspendido de un cable (figura 1.5). Al suponer que el par de torsin resistente del alambre torcido es proporcional al ngulo de torsin, dedujo laecuacin de movimiento para la vibracin torsional del cilindro suspendido. Integrando la ecuacin de movimiento, encontr que el periodo de oscilacin es independiente del ngulo de torsin. Hay un interesante relato en cuanto al desarrollo de la teora de vibracin de placas [1.8]. En 1802, el cientfico alemn E. F. F. Chladni (1756-1824) desarroll el mtodo de colocar arena sobre una placa vibratoria para hallar sus formas de modo y observ la belleza y complejidad de los patrones modales de las placas vibratorias. En 1809 la Academia Francesa invit a Chladni a que hiciera unademostracin de estos experimentos. Napolen Bonaparte, quien asisti a la reunin, se impresion muchsimo y don 3 000 francos a la academia para que se otorgaran a la primera persona que elaborara una teora matemtica satisfactoria de la vibracin de placas. Cerca de la fecha lmite de la competencia, en octubre de 1811, slo un candidato, Sophie Germain, haba entrado al concurso. Pero Lagrange, que era uno de los jueces, descubri un error en la derivacin de su ecuacin diferencial de movimiento. Laacademia abri de nuevo la competencia, con una nueva fecha lmite para octubre de 1813. Sophie Germain entr de nuevo al concurso y present la forma correcta de la ecuacin diferencial. Sin embargo, la academia no le otorg el premio porque el juez deseaba una justificacin fsica de las suposiciones hechas en su derivacin. La competencia se abri una vez ms. En 1815, en su tercer intento, Sophie Germain obtuvo porfin el premio aun cuando los jueces no se sintieran del todo satisfechos con suteora. De hecho, ms tarde se encontr que la ecuacin diferencial era correcta pero las condiciones lmite eran errneas. En 1850, G. R. Kirchhoff (1824-1887) dio las condiciones lmite correctas para la vibracin de las placas. Mientras tanto, el problema de vibracin de una membrana flexible rectangular, lo cual es importante paraentender el sonido emitido por tambores, fue resuelto por primera vez por SimeonPoisson (1781-1840). La vibracin de una membrana circular fue estudiada en 1862por R. F. A. Clebsch (1833-1872). Despus de esto, se realizaron estudios de vibracin en varios sistemasRB D S EC B M m A m Mp p C pAa b cP C 90 (b) 180 A(a) 0 KFigura 1.5 Dispositivo de Coulomb para pruebas de vibracin torsional. (Reimpresocon permiso de S.P. Timoshenko, History of Strength of Materials, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1953).1.2Breve historia del estudio de la vibracin9mecnicos y estructurales prcticos. En 1877 Lord Baron Rayleigh public su libro sobre la teora del sonido [1.9], obra considerada un clsico en materia de sonido y vibracin incluso en la actualidad. Notable entre las muchas contribuciones de Rayleigh es el mtodo de encontrar la frecuencia de vibracin fundamental de un sistema conservador al aplicar el principio de conservacin de la energa, ahora conocido comomtodo de Rayleigh. Este mtodo result ser una tcnica til para la solucin de problemasde vibracin difciles. Una extensin del mtodo, la cual puede utilizarse para descubrir mltiples frecuencias naturales, se conoce como mtodo de Rayleigh-Ritz.1.2.3Contribuciones recientesEn 1902, Frahm investig la importancia del estudio de la vibracin torsional en eldiseo de flechas de hlice de buques de vapor. El absorbedor de vibracin dinmica, elcual implica la adicin de un sistema de resorte y masa secundario para eliminar las vibraciones de un sistema principal, tambin fue propuesto por Frahm en 1909. Entre los contribuyentes modernos a la teora de vibraciones, los nombres de Stodola, De Laval, Timoshenko y Mindlin son notables. Aurel Stodola (1859-1943) contribuy al estudio de vibracin de vigas, placas y membranas. Desarroll un mtodo para analizar vigas vibratorias que tambin es aplicable a aspas de turbina. Dndose cuentade que todos los propulsores principales producen problemas de vibracin, C. G. P.De Laval (18451913) present una solucin prctica al problema de la vibracin de un disco rotatorio desbalanceado. Despus de observar las fallas de las flechas de acero en turbinas de alta velocidad utiliz una caa de pescar de bamb como flecha para montar el rotor. Observ que este sistema no slo eliminaba la vibracin del rotor desbalanceado sino que tambin sobreviva a velocidades hasta de 100 000 rpm [1.10]. Stephen Timoshenko (1878-1972), al considerar los efectos de la deformacin producidapor inercia y cortante rotatorios, present una teora mejorada de vibracin de vigas, la cual se conoce como teora de Timoshenko, o de vigas gruesas. R. D. Mindlin present una teora parecida para analizar la vibracin de placas gruesas, incluidos los efectos de deformacin por inercia y cortante rotatorios. Se sabe desde hace mucho tiempo que los problemas bsicos de mecnica, entre ellos los de las vibraciones,son no lineales. Aun cuando los tratamientos lineales adoptados son bastante satisfactorios en la mayora de los casos, no son adecuados en todos. En sistemas nolineales pueden ocurrir fenmenos que son tericamente imposibles en sistemas lineales. La teora matemtica de vibraciones no lineales comenz a desarrollarse en los trabajos de Poincar y Lyapunov a fines del siglo xix. Poincar desarroll el mtodo de perturbacin en 1892 en relacin con la solucin aproximada de problemas de mecnica celestial no lineales. En 1892, Lyapunov sent los cimientos de la teora de estabilidadmoderna, la cual es aplicable a todos los tipos de sistemas dinmicos. Despus de 1920, los estudios emprendidos por Duffing y van der Pol presentaron las primerassoluciones definidas a la teora de vibraciones no lineales y sealaron su importancia en el campo de la ingeniera. En los ltimos 40 aos, autores como Minorsky y Stoker se han esforzado por reunir en monografas los resultados ms importantes en relacin con las vibraciones no lineales. La mayora de las aplicaciones prcticas de la vibracin no lineal implicaban el uso de algn tipo de mtodo de teora de la perturbacin.Nayfeh investig los mtodos modernos de la teora de la perturbacin [1.11]. En diversos fenmenos como sismos, vientos, transporte de mercancas sobre vehculos de ruedas yel ruido producido por cohetes y motores de reaccin, se presentan caractersticasaleatorias. Se hizo necesario idear conceptos y mtodos de anlisis de vibracin de estos efectos aleatorios. Aunque en 1905 Einstein consider el movimiento browniano,un tipo particular de vibracin aleatoria, ninguna aplicacin se investig sino hasta1930. La introduccin de la funcin de correlacin por Taylor en 1920, y la densidadespectral por Wiener y Khinchin a principios de la dcada de 1930, permitieron elavance de esta teora. Artculos de Lin y Rice, publicados entre 1943 y 1945, allanaron el10Captulo 1Fundamentos de vibracinFigura 1.6 Idealizacin del elemento finito de la carrocera de un autobs. (Reimpresacon permiso de 1974 Society of Automotive Engineers, Inc.).camino para la aplicacin de vibraciones aleatorias a problemas prcticos de ingeniera. Las monografas de Crandall y Mark, as como de Robson, sistematizaron el conocimiento existente de la teora de vibraciones aleatorias [1.12, 1.13]. Hasta hace aproximadamente 40 aos, los estudios de vibracin, incluso los que tienen que ver consistemas de ingeniera complejos, se realizaron utilizando modelos brutos, con slounos cuantos grados de libertad. Sin embargo, el advenimiento de computadoras de alta velocidad en la dcada de 1950 hicieron posible tratar sistemas moderadamente complejos y generar soluciones aproximadas en forma semidefinida, con mtodos de solucin clsicos y la evaluacin numrica de ciertos trminos que pueden expresarse enforma cerrada. El desarrollo simultneo del mtodo del elemento finito permiti a losingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el anlisis de vibracin numricamente detallado de sistemas mecnicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles de grados de libertad [1.14]. Aun cuando el mtodo del elemento finito no fue nombrado as hasta hace poco, el concepto se ha utilizado desde hace siglos.Por ejemplo, los matemticos antiguos encontraron la circunferencia de un crculo aproximndolo como un polgono, donde cada lado de ste, en notacin actual, puede llamarse elemento finito. El mtodo del elemento finito tal como se le conoce en la actualidad fue presentado por Turner, Clough, Martin y Topp en conexin con el anlisisde estructuras de avin [1.15]. La figura 1.6 muestra la idealizacin del elemento finito de la carrocera de un autobs [1.16].1.3Importancia del estudio de la vibracinLa mayora de las actividades humanas implican vibracin en una u otra forma. Por ejemplo, omos porque nuestros tmpanos vibran y vemos porque las ondas luminosas vibran. La respiracin est asociada con la vibracin de los pulmones y el caminar implicael movimiento oscilatorio (peridico) de piernas y manos. El habla humana requiere el movimiento oscilatorio de la laringe (y la lengua) [1.17]. Los eruditos antiguos en el campo de la vibracin concentraron sus esfuerzos en la comprensin de los fenmenos naturales y el desarrollo de las teoras matemticas para describir la vibracin de sistemas fsicos. En aos recientes, muchas aplicaciones de la vibracin en elcampo de la ingeniera han motivado a los investigadores, entre ellas el diseo demquinas, cimientos, estructuras, motores, turbinas y sistemas de control.1.3Importancia del estudio de la vibracin11La mayora de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al desequilibrio inherente en los motores. El desequilibrio puede deberse al diseo defectuoso o a una fabricacin deficiente. El desequilibrio en motores diesel,por ejemplo, puede provocar ondas terrestres suficientemente poderosas como para provocar molestias en reas urbanas. Las ruedas de algunas locomotoras pueden alzarse ms de un centmetro de la va a altas velocidades debido al desequilibrio. En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecnicas espectaculares. Los ingenierosan no han sido capaces de evitar las fallas a consecuencia de las vibraciones deaspas y discos en turbinas. Naturalmente, las estructuras diseadas para soportarmquinas centrfugas pesadas como motores y turbinas, o mquinas reciprocantes como motores de vapor y de gasolina, tambin se ven sometidas a vibracin. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o mquina sometido a vibracin puede fallar debido a fatiga del material producida por la variacin cclica del esfuerzo inducido. Adems, la vibracin provoca un desgaste ms rpido de las partes de la mquina comocojinetes y engranes e incluso produce ruido excesivo. En mquinas, la vibracin puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, lavibracin puede provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie. Siempre que la frecuencia natural de la vibracin de una mquina o deuna estructura coincide con la frecuencia de la excitacin externa se presenta unfenmeno conocido como resonancia, el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas. La literatura abunda en relatos de fallas de sistemas provocadas por resonancia y vibracin excesiva de los componentes y sistemas (vea la figura 1.7). Debidoa los devastadores efectos que las vibraciones pueden tener en mquinas y estructuras, las pruebas de vibracin [1.18] se volvieron un procedimiento estndar en el diseo y desarrollo de la mayora de los sistemas de ingeniera (vea la figura 1.8). Enmuchos sistemas de ingeniera, un ser humano acta como una parte integral del sistema. La transmisin de vibraciones a los seres humanos provoca molestias y prdida deeficiencia.Figura 1.7 El puente Tacoma Narrows durante la vibracin inducida por el viento. El puente se inaugur el 1 de julio de 1940 y colaps el 7 de noviembre del mismo ao.(Fotografa de Farquharson, de la Historical Photography Collection, University ofWashington Libraries).12Captulo 1Fundamentos de vibracinFigura 1.8 Prueba de vibracin del transbordador espacial Enterprise. (Cortesa de la NASA).La vibracin y el ruido generados por motores molestan a las personas, y en ocasiones producen daos a las propiedades. La vibracin de los tableros de instrumentos puede provocar su mal funcionamiento o dificultad para leer los medidores [1.19].Por lo tanto, uno de los propsitos importantes del estudio de la vibracin es reducirla mediante el diseo apropiado de mquinas y sus montajes. En este sentido, el ingeniero mecnico trata de disear el motor o mquina de modo que se reduzca el desequilibrio, mientras que el ingeniero estructural trata de disear la estructura de soporte de modo que el efecto del desequilibrio no sea daino [1.20]. A pesar de los efectos perjudiciales, la vibracin puede utilizarse con provecho en varias aplicaciones industriales y comerciales. De hecho, las aplicaciones de equipo vibratorio se han incrementado considerablemente en aos recientes [1.21]. Por ejemplo,la vibracin se pone a trabajar en transportadoras vibratorias, tolvas, tamices, compactadoras, lavadoras, cepillos de dientes elctricos, taladros de dentista, relojes y unidades de masaje elctricas. La vibracin tambin se utiliza en el hincado depilotes, pruebas vibratorias de materiales, proceso de acabado vibratorio y circuitos electrnicos para filtrar las frecuencias indeseables (vea la figura 1.9).Se ha visto que la vibracin mejora la eficiencia de ciertos procesos de maquinado, fundicin, forja y soldadura. Se emplea para simular sismos en la investigacin geolgica y tambin para estudiar el diseo de reactores nucleares.Figura 1.9 Proceso de acabado vibratorio. (Reimpreso por cortesa de ManufacturingEngineers, 1964 The Tool and Manufacturing Engineer).1.4Conceptos bsicos de la vibracin131.41.4.1VibracinConceptos bsicos de la vibracinCualquier movimiento que se repite despus de un intervalo de tiempo se llama vibracin u oscilacin. El vaivn de un pndulo y el movimiento de una cuerda pulsada son ejemplos comunes de vibracin. La teora de la vibracin tiene que ver con el estudio delos movimientos oscilatorios de los cuerpos y las fuerzas asociadas con ellos.Por lo comn un sistema vibratorio incluye un medio para almacenar energa potencial(resorte o elasticidad), un medio para conservar energa cintica (masa o inercia)y un medio por el cual la energa se pierde gradualmente (amortiguador). La vibracin de un sistema implica la transformacin de su energa potencial en energa cintica yde sta en energa potencial, de manera alterna. Si el sistema se amortigua, una parte de su energa se disipa en cada ciclo de vibracin y se le debe reemplazar por una fuente externa para que se mantenga un estado de vibracin estable. Como un ejemplo, consideremos la vibracin del pndulo simple que se muestra en la figura 1.10.Soltemos la lenteja de masa m despus de desplazarla un ngulo u. En la posicin 1 lavelocidad de la lenteja y por consiguiente su energa cintica es cero. Pero tiene una energa potencial de magnitud mgl(1 2 cos u) con respecto a la posicin de referencia 2. Como la fuerza de la gravedad mg induce un par de torsin mgl sen u con respecto al punto O, la lenteja comienza a oscilar hacia la izquierda de la posicin1. Esto imparte a la lenteja una cierta aceleracin angular en el sentido de lasmanecillas del reloj y en el momento en que llega a la posicin 2 toda su energa potencial se convierte en energa cintica. De ah que la lenteja no se detenga en la posicin 2 sino que continuar oscilando a la posicin 3. Sin embargo, al pasar por la posicin media 2, un par de torsin en sentido contrario al de las manecillas del reloj debido a la gravedad que acta en la lenteja la desacelera. La velocidad de lalenteja se reduce a cero en la posicin extrema izquierda. En este momento, toda la energa cintica de la lenteja se convierte en energa potencial. De nueva cuenta, debido al par de torsin producido por la gravedad, la lenteja adquiere velocidad en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por consiguiente, la lentejacomienza a oscilar de regreso con una velocidad progresivamente creciente y denuevo pasa por la posicin media. Este proceso contina repitindose, el pndulo tendr movimiento oscilatorio. Sin embargo, en la prctica, la magnitud de la oscilacin (u)se reduce gradualmente y por fin el pndulo se detiene debido a la resistencia (amortiguamiento) ofrecida por el medio circundante (aire). Esto quiere decir que una parte de la energa se disipa en cada ciclo de vibracin debido a la accin de amortiguamiento del aire.1.4.2Partes elementales de sistemas vibratoriosOlyPosicin de referencia3 2 xm1 l (1 cos )mgFigura 1.10 Un pndulo simple.14Captulo 1Fundamentos de vibracin El mnimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. El pndulo simple que semuestra en la figura 1.10, as como cada uno de los sistemas de la figura 1.11, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento delpndulo simple (figura 1.10) se puede formular o en funcin del ngulo u o en funcin de las coordenadas cartesianas x y y. Si se utilizan las coordenadas x y y para describir el movimiento, debe reconocerse que estas coordenadas no son independientes. Estn relacionadas entre s mediante la relacin x2 1 y2 5 l 2, donde l es la longitud constante del pndulo. Por lo tanto cualquier coordenada puede describir elmovimiento del pndulo. En este caso vemos que la seleccin de u como coordenada independiente ser ms conveniente que la seleccin de x o de y. Para la corredera que se muestra en la figura 1.11(a) puede usarse tanto la coordenada angular u como la coordenada x para describir el movimiento. En la figura 1.11(b) se puede usarla coordenada lineal x para especificar el movimiento. Para el sistema torsional(barra larga con un pesado disco en el extremo) que se muestra en la figura 1.11(c), se puede utilizar la coordenada u para describir el movimiento. Algunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en la figuras 1.12 y 1.13, respectivamente. La figura 1.12(a) muestra un sistema de dos masas ydos resortes descrito por las dos coordenadas lineales x1 y x2. La figura 1.12(b) indica un sistema de dos rotores cuyo movimiento puede especificarse en funcinde u1 y u2. El movimiento del sistema que se muestra en la figura 1.12(c) puededescribirse por completo con X o u, o con x, y y X. En el segundo caso, x y y estn restringidas como x2 1 y2 5 l 2 donde l es una constante. Para los sistemas que se muestran en las figuras 1.13(a) y 1.13(c), se pueden utilizar las coordenadas xi(i 5 1, 2, 3) y ui (i 5 1, 2, 3), respectivamente, para describir el movimiento. En el caso del sistema que se muestra en la figura 1.13(b), ui (i 5 1, 2,3) especifica las posiciones de las masas1.4.3Cantidad de grados de libertadx u x (a) Mecanismo de manivela corrediza y resorte (b) Sistema de resorte y masa (c) Sistema torsional k m uFigura 1.11 Sistemas de un grado de libertad.X u1 x1 k1 m1 (a) k2 m2 J2 (b) (c) x x2 J1 u2 m yl uFigura 1.12 Sistema de dos grados de libertad.1.4x1 k1 m1 k2 m2 (a) u1 x2 k3Conceptos bsicos de la vibracinx3 k4 m315u2 u1 l1 m1 x1 u 2 l2 y2 m2 u3 x3 (b) l3 m3 y3 y1 J1 J2 (c)u3J3x2Figura 1.13 Sistema de tres grados de libertad.mi (i 5 1, 2, 3). Un mtodo alterno de describir este sistema es en funcin de xi yyi (i 5 1, 2, 3); 2 2 pero en este caso se tienen que considerar las restricciones x2 i + y i = li (i 5 1, 2, 3). Las coordenadas necesarias para describir el movimiento de un sistema constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. stas se suelen indicar como q1, q2,... y pueden representarse como coordenadas cartesianas y/o no cartesianas.1.4.4Sistemas discretos y continuosPor medio de una cantidad finita de grados de libertad se puede describir un buen nmero de sistemas prcticos, como los sistemas simples que se muestran en las figuras 1.10 a 1.13. Algunos sistemas, sobre todo los que implican miembros elsticoscontinuos, tienen una infinitud de grados de libertad. Como un ejemplo simple,consideremos la viga en voladizo de la figura 1.14. Como la viga tiene una infinitud de puntos de masa, necesitamos una infinitud de coordenadas para especificar su configuracin de deflexin. La infinitud de coordenadas define la curva de deflexin. As entonces, la viga en voladizo tiene una infinitud de grados de libertad.La mayora de los sistemas de estructuras y mquinas tienen miembros deformables (elsticos) y por consiguiente tienen una infinitud de grados de libertad. Los sistemas con una cantidad finita de grados de libertad se conocen como sistemas discretos o de parmetro concentrado, y los que cuentan con una infinitud de grados de libertad se conocen como sistemas continuos o distribuidos. La mayor parte del tiempo, los sistemas continuos se representan de forma aproximada como sistemas discretos y las soluciones se obtienen de una manera simple. Aun cuando el tratamiento dex1 x2 x3 etc.Figura 1.14 Una viga en voladizo (sistema de una infinitud de grados de libertad).16Captulo 1Fundamentos de vibracin un sistema como continuo da resultados exactos, el mtodo analtico disponible para ocuparse de los sistemas continuos se limita a una escasaseleccin de problemas como vigas uniformes, variables esbeltas y placas delgadas. De ah que la mayora de los sistemas prcticos se estudian tratndolos como masas concentradas finitas, resortes y amortiguadores. Por lo comn se obtienen resultadosms precisos aumentando la cantidad de masas, resortes y amortiguadores, es decir,aumentando la cantidad de grados de libertad.1.5Clasificacin de la vibracinLa vibracin se puede clasificar de varias maneras. Algunas de las clasificacionesimportantes son las siguientes.1.5.1Vibracin libre y forzadaVibracin libre. Si se deja que un sistema vibre por s mismo despus de una perturbacin inicial, la vibracin resultante se conoce como vibracion libre. Ninguna fuerzaexterna acta en el sistema. La oscilacin de un pndulo simple es un ejemplo de vibracin libre. Vibracin forzada. Si un sistema se somete a una fuerza externa (a menudo, una fuerza repetitiva), la vibracin resultante se conoce como vibracin forzada.La oscilacin que aparece en mquinas como motores diesel es un ejemplo de vibracinforzada. Si la frecuencia de la fuerza externa coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre una condicin conocida como resonancia, y el sistema sufre oscilaciones peligrosamente grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avin se han asociado a la ocurrencia de resonancia. Si no se pierde o disipa energa por friccin u otra resistencia durante laoscilacin, la vibracin se conoce como vibracin no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energa se llama vibracin amortiguada. En muchos sistemas fsicos, la cantidadde amortiguamiento es tan pequea que puede ser ignorada en la mayora de las aplicaciones de ingeniera. Sin embargo, la consideracin del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios prximos a la resonancia.Si todos los componentes bsicos de un sistema vibratorio, el resorte, la masa yel amortiguador, se comportan linealmente, la vibracin resultante se conoce comovibracin lineal. Pero si cualquiera de los componentes bsicos se comporta de manera no lineal, la vibracin se conoce como vibracin no lineal. Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento de sistemas vibratorios lineales o no lineales son asimismo lineales o no lineales, respectivamente. Si la vibracin es linealel principio de superposicin es vlido y las tcnicas matemticas de anlisis estn bien desarrolladas. Para vibracin no lineal, el principio de superposicin no es vlido y las tcnicas de anlisis son menos conocidas. Como los sistemas vibratorios tienden acomportarse no linealmente con amplitud de oscilacin creciente, es deseable un conocimiento de la vibracin no lineal cuando se trate con sistemas vibratorios. Siel valor o magnitud de la excitacin (fuerza o movimiento) que acta en un sistema vibratorio se conoce en cualquier tiempo dado, la excitacin se llama determinstica.La vibracin resultante se conoce como vibracin determinstica. En algunos casos laexcitacin es no determinstica o aleatoria; el valor de la excitacin en un momento dado no se puede pronosticar. En estos casos, una recopilacin de registros de la excitacin puede presentar cierta regularidad estadstica. Es posible estimar promedios como los valores1.5.2Vibracin no amortiguada y amortiguada1.5.3Vibracin lineal y no lineal1.5.4Vibracin determinstica y aleatoria1.6FuerzaProcedimiento del anlisis de la vibracinFuerza170Tiempo0 Tiempo (b) Excitacin aleatoria(a) Excitacin determinstica (peridica)Figura 1.15 Excitaciones determinstica y aleatoria.medios o medios al cuadrado de la excitacin. Ejemplos de excitaciones aleatoriasson la velocidad del viento, la aspereza del camino y el movimiento de tierra durante sismos. Si la excitacin es aleatoria, la vibracin resultante se llama vibracin aleatoria. En este caso la respuesta vibratoria del sistema tambin es aleatoria; se puede describir slo en funcin de cantidades estadsticas. La figura 1.15 muestra ejemplos de excitaciones determinsticas y aleatorias.1.6Procedimiento del anlisis de la vibracinUn sistema vibratorio es dinmico si variables como las excitaciones (entradas) yrespuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratoriosuele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones externas. La mayora de los sistemas vibratorios prcticos son muy complejos, y es imposible considerar todos los detalles para un anlisis matemtico. En el anlisis slo se consideran los detalles ms importantes para predecir el comportamiento del sistemaen condiciones de entrada especficas. A menudo se puede determinar el comportamiento total del sistema por medio de un modelo simple del sistema fsico complejo. Por lo que el anlisis de un sistema vibratorio suele implicar el modelado matemtico, la derivacin de las ecuaciones rectoras, la solucin de las ecuaciones y la interpretacin de los resultados. Paso 1: Modelado matemtico. El propsito del modelado matemtico es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar las ecuaciones matemticas (o analticas) que rigen el comportamiento delsistema. El modelo matemtico puede ser lineal o no lineal, segn el comportamientode los componentes del sistema. Los modelos lineales permiten soluciones rpidas yson sencillos de manejar, sin embargo, los modelos no lineales a veces revelanciertas caractersticas del sistema que no pueden ser pronosticadas siguiendo modelos lineales. Por lo tanto se requiere un gran criterio de ingeniera para producir un modelo matemtico adecuado de un sistema vibratorio. A veces el modelo matemtico se mejora gradualmente para obtener resultados ms precisos. En este mtodo primero se utiliza un modelo muy rstico o elemental para tener una idea del comportamiento total del sistema. Luego se refina el modelo con la inclusin de ms componentes o detalles, de modo que se pueda observar ms de cerca el comportamiento del sistema. Para ilustrar el procedimiento de refinamiento utilizado en el modelado matemtico, consideremos el martillo de forja de la figura 1.16(a). Se compone de unmarco, un peso que cae, conocido como mazo, un yunque y un bloque de cimentacin.El yunque es un bloque de acero macizo sobre el cual se forja el material a laforma deseada por medio de los repetidos golpes del mazo. Por lo comn el yunque se monta sobre una almohadilla elstica para reducir la transmisin de la vibracin albloque de cimentacin y marco [1.22]. Para una primera aproximacin, el marco, el yunque, la almohadilla elstica, el bloque de cimentacin y el suelo, se modelan comoun sistema de un solo grado de libertad como se muestra en la figura 1.16(b). Para una aproximacin refinada, los pesos del18Captulo 1Fundamentos de vibracin marco, yunque y bloque de cimentacin se representan por separado con un modelo de dos grados de libertad, como se muestra en la figura 1.16(c). El modelo se puede refinar an ms considerando los impactos excntricos del mazo, los cuales hacen que cada una de las masas que se presentan en la figura 1.16(c) asuman movimientos tanto verticales como de bamboleo (rotaciones) en el plano del papel.MazoMarcoYunque Almohadilla elstica Bloque de cimentacin Suelo(a) MazoYunque y bloque de cimentacin x1 Amortiguamiento del suelo Rigidez del suelo(b) MazoYunque x1 Amortiguamiento de la almohadilla elstica Bloque de cimentacin x2 Amortiguamiento del suelo Rigidez del suelo Rigidez de la almohadilla elstica(c)Figura 1.16 Modelado de un martillo de forja.1.6Procedimiento del anlisis de la vibracin19Paso 2: Derivacin de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matemtico est disponible, utilizamos el principio de dinmica y obtenemos las ecuaciones que describen la vibracin del sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar deuna forma adecuada trazando los diagramas de cuerpo libre de todas las masas queintervienen. El diagrama de cuerpo libre de una masa se obtiene aislndola e indicando todas las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas reactivas y las fuerzas de inercia. Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen serun conjunto de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones diferenciales parciales para un sistema continuo. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales segn el comportamiento de los componentes del sistema. Por lo comn se utilizan varios mtodos para derivar las ecuaciones rectoras. Entre ellos estn la segunda ley del movimiento de Newton, el principio de DAlembert yel principio de conservacin de la energa. Paso 3: Solucin de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben resolverse para hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes tcnicas para determinar la solucin: mtodos estndar de solucin deecuaciones diferenciales, mtodos de transformada de Laplace, mtodos matriciales1y mtodos numricos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden resolverse en forma cerrada. Adems, la solucin de ecuaciones diferenciales parcialeses mucho ms complicada que la de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se pueden utilizar mtodos numricos que implican computadoras para resolver las ecuaciones. Sin embargo, es difcil sacar conclusiones generales sobre el comportamiento del sistema con resultados obtenidos con computadora. Paso 4: Interpretacin de los resultados. La solucin de las ecuaciones rectoras proporciona los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas masas del sistema. Estos resultados deben interpretarse con una clara visin del objetivo del anlisis y de las posibles implicaciones de diseo de los resultados.Ejemplo 1