Výfuk Seriál VIII.II Max Planck

Výfučtení: Max Planck

Obr. 1: Max Planckv roce 1933.

Max Planck byl jednou z osobností zodpovědných za velkou revolucive fyzice na začátku 20. století. Narodil se 23. dubna 1858, v mládístudoval na gymnáziu v Mnichově, kde se naučil základy matemati-ky, astronomie a mechaniky. Kromě toho se i zajímal o hudbu – hrálna klavír, zpíval a složil pár vlastních skladeb. V průběhu jeho studiana univerzitě se seznámil např. s významným fyzikem Kirchhoffem,který byl jeho velkým vzorem. Pár let poté se sám stal profesoremna Berlínské univerzitě.

Po velkou část jeho života se zabýval zářením absolutně černé-ho tělesa, úlohou, která stála za zrodem kvantové mechaniky. Zasouvisející objev kvant energie dostal v roce 1918 Nobelovu cenu.Mezitím se věnoval dalšímu rozvíjení kvantové mechaniky po bokuEinsteina, se kterým se spřátelil.

V průběhu druhé světové války se musel odstěhovat na venkov.V roce 1944 jeho syn spolupracoval na pokusu o atentát na Hitlera,za což byl zabit rukou gestapa. Smrt jeho syna Plancka natolik zničila, že skoro ztratil chuť dálžít. Umírá 4. října 1947.

Elektromagnetické zářeníJednu z prvních vědečtějších představ o světle měl Isaac Newton, o kterém jste si mohli přečístv minulém Výfučtení.1 On si vysvětloval světlo pomocí tzv. korpuskulární hypotézy, podle kterémělo být tokem nějakých částic. Věda se však od tohoto přístupu poměrně rychle odklonilapoté, co Hooke, Huygens a Fresnel vysvětlili chování světla pomocí vln. Navíc tuto domněnkuv roce 1801 potvrdil Youngův dvouštěrbinový experiment2 a James Clerk Maxwell popsal světlojako elektromagnetické vlnění, tedy prostorem se velmi rychle šířící vlnky střídavě silnějšího aslabšího elektrického a magnetického pole.

Toto vlnění je periodické, délka jedné vlny se nazývá vlnová délka a značí se λ, měřenáv metrech. Šíří se rychlostí světla c

.= 3 · 108 m·s−1 a čas mezi průchodem dvou vln jednímbodem se nazývá perioda T , měřená v sekundách. Intuitivně tedy pro vlnovou délku platí

λ = c · T = c

f,

kde f je frekvence vlnění, měřená v Hz, pro kterou samozřejmě platí f = 1/T .1http://vyfuk.mff.cuni.cz/ulohy/vyfucteni2Známý a doma jednoduše realizovatelný pokus. Připravíte-li do temné neprůsvitné krabice s průzorem

na jedné stěně dvě rovnoběžné, velmi tenké a blízké štěrbiny, a necháte-li skrz ně svítit dovnitř ostrým avzdáleným zdrojem světla, na protější stěně nebudou dva světlé pruhy vedle sebe, ale také spousta dalšíchnavíc, jako by vašich štěrbin bylo mnohem více než dvě.

1

Výfuk Seriál VIII.II Max Planck

Z praktických důvodů došlo k rozdělení vlnění do různých typů, kterým říkáme obory elek-tromagnetického záření (obory elektromagnetického spektra). My nejlépe známe viditelné svět-lo, které je elektromagnetickým zářením o vlnových délkách 400 až 750 nanometrů (750 až400 THz, tj. 750 · 1014 Hz až 400 · 1014 Hz), kde 400 nanometrů odpovídá fialovému konci vi-ditelného spektra (duhy) a 750 nanometrů odpovídá červenému konci. Za červenou následujeinfračervené záření, které už pouhým okem nevidíme, ale například hadi jej vidět dokážou.Když se dostáváme na vlnové délky v řádech milimetrů a centimetrů, hovoříme o mikrovlnách.Ty například využíváme v mikrovlnných troubách na ohřev potravin nebo se jimi přenáší WiFia mobilní signál. Ještě delším vlnám říkáme vlny rádiové. Na opačné straně spektra, kde mámevlny ještě kratší než ty odpovídající fialovému světlu, nacházíme ultrafialové záření, které sicena jednu stranu způsobuje rakovinu kůže a chrání nás před ním ozonová vrstva, ale na druhoustranu také v těle pohání tvorbu vitamínu D pro naše zdraví. Extrémnější verzí ultrafialovéhozáření je záření s ještě kratší vlnovou délkou, které nazýváme rentgenové záření a jehož využitíznáte – je možné s ním skrz naskrz prosvítit lidské tělo nebo jiné předměty. A pokud bychom šliještě dále, narazili bychom na záření gamma, které pozorujeme třeba při radioaktivním rozpaduněkterých látek, nebo na obloze ve formě záhadných gamma záblesků.

Obr. 2: Elektromagnetické spektrum se všemi zmíněnými obory. Proužek v pravé dolní částiznázorňuje barevné viditelné spektrum (opravdu barevné v PDF verzi Výfučtení na našem

webu).

Absolutně černé tělesoKaždé těleso, které má nějakou teplotu, vyzařuje elektromagnetické záření. Nevyzařuje všakjen jednu jeho frekvenci, ale celé spektrum naráz s tím, že každá z frekvencí (vln. délek) jezastoupena méně nebo více podle teploty. Pokud budeme tedy pro elektromagnetické spektrumuvažovat také nějaké rozložení toho, jak silně je která frekvence vyzařována, mluvíme o vyza-řovacím spektru. Obecně platí, že čím vyšší teplota, tím silnější jsou krátké vlnové délky (tímmodřejší záření).

Takzvané absolutně černé těleso ideálně pohlcuje veškeré záření na všech vlnových délkácha při dané teplotě vyzařuje nejvyšší možné množství energie (jeho záření není na žádné frek-venci vynecháno např. pohlcováním v nějakém ději nebo zastíněním). Nic ve skutečnosti není

2

Výfuk Seriál VIII.II Max Planck

absolutně černým tělesem, ale většinu věcí, které září proto, že jsou teplé (například vláknažárovek, hvězdy, rozžhavené plotýnky a podobně), můžeme za absolutně černá tělesa považo-vat. Jde totiž o to, že pokud zanedbáme jakoukoliv odrazivost nebo třeba barvu těles, zajistímetak, že jediné z nich pocházející záření bude díky jejich teplotě, čímž se o nich můžeme bavitv kontextu tohoto Výfučtení. Navíc množství tepelné energie vyzařované jakýmkoli tělesem ječasto mnohem větší než záření, díky kterému ho vidíme jako ne-černé. Absolutně černé tělesoje tedy vhodné zjednodušení, bavíme-li se o záření.

Chladné vesmírné plyny (mají nejvýše 100 K/zhruba −170 ◦C) pozorujeme převážně v rádio-vém a mikrovlnném oboru. Například my lidé a předměty o pokojové teplotě vyzařujeme zářeníinfračervené. Žhnoucí plamen svíčky, roztavený kov nebo fotosféra Slunce vyzařuje záření vidi-telné. Dále hvězdy typu bílých trpaslíků září převážně v ultrafialovém oboru, stejně jako silnéelektrické výboje (např. při sváření, proto si musejí svářeči dávat masky). Převážně rentgenovézáření pak vydává hmota o teplotách řádově milionů stupňů, což může být například hvězdnýmateriál padající do černých děr, nebo jádra explodujících hvězd – (super)nov.

Vyzařovací spektrumO sto let později po Youngově experimentu přišel Max Planck s kvantovou teorií. Vše začalotak, že Německý ústav pro průmyslovou normalizaci poprosil Maxe Plancka, aby pracoval nazefektivnění žárovek – na jakou teplotu by mělo být rozžhaveno wolframové vlákno, aby conejvíce vyzářené energie spadalo do viditelné části spektra (jinak bychom je rovnou mohlizneužívat jako topení, a ne svítidla). Do té doby nejlepší model popisující záření teplých tělesbyl takzvaný Rayleigh-Jeansův zákon, který poměrně dobře vystihuje záření chladných těles,ale selhává pro vyšší teploty. Rayleigh-Jeansův zákon vypadá takto:

Bf (T ) = a · f2 · T ,

kde a je konstanta úměrnosti, f je frekvence záření a T je teplota zářiče v kelvinech.3 Výslednáveličina Bf (T ) je tedy závislá na teplotě T a udává nám, jak hodně je záření o frekvenci f za-stoupené ve vyzařovacím spektru. Správným přepočtem můžeme dostat např. výkon ve wattechpro nějaký úsek vyzařovacího spektra. V takovémto tvaru je i dnes běžně používán napříkladradioastronomy, kteří zkoumají chladná plynová mračna nebo radiové signály z povrchu planetnaší Sluneční soustavy – je jednoduchý na použití. Všimněte si ale, že pro danou teplotu tentovztah nedává rozumnou maximální hodnotu frekvence. S rostoucí frekvencí pro všechny teplotyroste i intenzita záření, což je značný problém. To by znamenalo, že maximum vyzařování všechteplých těles by bylo při nějaké nesmírně krátké vlnové délce a v ní by každé těleso vyzařovalonejvíce bez ohledu na svojí teplotu, a to tak silně, že by okamžitě přišlo o veškeré své teplo.Nedostatečnost tohoto teoretického modelu se historicky nazvala ultrafialovou katastrofou, sekterou si dlouho nikdo nevěděl rady.

Z pozorování je ale jasné, že všechny teplé věci okamžitě nezmrznou a nevyzáří všechnuenergii ve formě UV nebo rentgenu, ale v závislosti na teplotě mění maximum svého vyzařování.Tuto skutečnost se Planckovi podařilo vysvětlit právě pomocí kvantové teorie: že vyzářenáenergie přichází v diskrétních balíčcích (kvantech), které v případě elektromagnetického záření

3Připomínáme, že teplota v kelvinech se měří úplně stejně jako ve stupních Celsia jen s rozdílem, že stupnicezačíná o 273,15 K níže a nemůžeme pod 0 K. To znamená, že co má např. 263,15 K, tak má −10 ◦C v Celsiověstupnici. Kelvinovy jednotky se ve fyzice hojně využívají.

3

Výfuk Seriál VIII.II Max Planck

nazýváme fotony. U fotonů můžeme stále mluvit o jejich vlnové délce nebo frekvenci, ale můžememluvit i o energii a hybnosti daného fotonu. Energii můžeme popsat jako

E = hf ,

kde f je frekvence a h.= 6,626 · 10−34 J·s je Planckova konstanta. Hybnost fotonu můžeme

popsat jakop = E

c,

kde E je jeho energie. Proč však pro hybnost fotonu nepoužijeme klasický vztah p = mv?Hmotnost totiž nemůžeme používat pro všechno kolem nás. Zjednodušeně řečeno: fotony jsoujedny z elementárních částic přírody, které mají nulovou hmotnost samy o sobě, ale přestoexistují jako přenašeče hybnosti – např. když si ohříváme oběd v mikrovlnné troubě, elektronyv obvodech trouby svým kmitáním vysílají do okolí fotony. Ty jsou pak přijaty molekulaminašeho oběda, a to je tepelně rozkmitá. Po fotonech zde tedy dochází k předávání hybnostiv podobě vibrací, ale ne hmotnosti. Rozměrovou správnost vztahu výše si také můžete rozmyslettak, že pokud za energii dosadíte Einsteinův vztah E = mc2, krátí se s c ve jmenovatelia dostanete součet hmotnosti a rychlosti světla – tedy alespoň rozměrově má jít o hybnost.

Spektrum absolutně černého tělesa popisuje Planckova křivka, která je dána Planckovýmvyzařovacím zákonem (symbol B má podobný význam jako minule):

Bf (T ) = Af3

eh·f

kBT − 1,

kde A je opět jiná konstanta úměrnosti, která upravuje tvar křivky, e je Eulerovo číslo 4 a kBje Boltzmannova konstanta. Výsledkem tohoto vztahu je hodnota tzv. spektrální záře, kteráse dá zase snadno přepočítat na výkon v nějaké situaci. Hlavně byste ale měli znát výslednouPlanckovu křivku, kterou můžete vidět na obrázku 3, a která v historii fyziky poprvé přesněpopsala záření teplých těles.

Pokud by nás zajímal celkový výkon vyzářený absolutně černým tělesem o teplotě T a plo-še S, můžeme jej určit pomocí Stefanova-Boltzmannova zákona:

P = SσT 4 ,

kde σ.= 5,67 · 10−8 W·m−2·K−4 se nazývá Stefanova-Boltzmannova konstanta. Tento zákon

byl znám již mnohem dříve. Prvně byl určen experimentálně Jožefem Stefanem v roce 1879,je to jeden z mála případů, kdy ve fyzice narazíte na čtvrtou mocninu. O pět let později bylyStefanovy výsledky teoreticky odůvodněny Ludwigem Boltzmannem.

Se znalostí tohoto vztahu byla poprvé rozumně odhadnuta teplota Slunce. Pokus byl pro-veden tak, že byl umístěn kruhový kus kovového plechu do takové vzdálenosti, aby měl stejnýúhlový průměr jako Slunce. Ze známé teploty kovového plechu, která byla zhruba 1 900 až2 000 stupňů Celsia udělali odhad, že zhruba třetina Slunečního světla je pohlcena atmosférou.Odhadli tak, že záření ze Slunce je asi 40krát intenzivnější, než záření z kovového plechu. Z tohoodhadli, že teplota Sluneční fotosféry je 5 700 K, což se od správné hodnoty 5 778 K o mnohoneliší.

4má přibližnou hodnotu 2,7183 a o jeho významu a využití se můžete dočíst ve Výfučtení o radioaktivitěz 2. ročníku: http://bit.ly/2PEdfrU.

4

Výfuk Seriál VIII.II Max Planck

�� ��������� �����Ā������

�

�

�

�

�

��

��

��

� ��� � ��� � ���

�

�

�

�

�

��

��

��

� ��� � ��� � ����

�������������Ā����������������� ������� ��

��������������̀��

������

������

������

��������������Ā�������

��������

Obr. 3: Planckovy křivky pro různé teploty. Všimněte si různých maxim vyzařování pro různéteploty. Také si povšimněte, jakou předpověď dává klasická teorie: ta nemá maximum a tudíž

by všechna energie byla vyzářena na krátkých vlnových délkách.

Nejvíce energie absolutně černé těleso o dané teplotě vyzáří na té vlnové délce, kde máPlanckova křivka pro danou teplotu maximum. Tuto vlnovou délku popisuje Wienův posunovacízákon, který byl také objeven dříve než Planckův zákon (v roce 1893, tedy o čtrnáct let pozdějinež Stefanův-Boltzmannův zákon).

λmax = b

T,

kde b.= 2,897 8 · 10−3 m·K a nazýváme jej Wienovou konstantou. Pochopitelně to platí i obrá-

ceně: pokud pozorujeme, že nějaké horké těleso září nejvíce na vlnové délce λ, můžeme určitteplotu tělesa jako

T = b

λmax.

Vidíte-li něco, co je rozžhavené do bíla nebo bělomodra, z Wienova posunovacího zákona simůžete odvodit, že se jedná o teplejší těleso, než třeba takové, které žhne červeně nebo jenomsálá infračervené záření.

ZávěrMax Planck byl spolu s Einsteinem jedním z nejvýznamnějších fyziků dvacátého století. V mno-ha zemích (hlavně ale v Německu) najdete institut Maxe Plancka. Je po něm pojmenovaná řadarovnic a Planckova konstanta. Existuje také celá soustava jednotek nesoucí jeho jméno. (Jednáse o soustavu jednotek, ve které není potřeba lidské dohody! Veškeré jednotky, třeba délky,

5

Výfuk Seriál VIII.II Max Planck

čas, hmotnosti atd. jsou vyjádřeny pouze pomocí základních fyzikálních konstant, jako je třebarychlost světla, gravitační a Planckova konstanta.) Byl po něm také pojmenován kosmický dale-kohled, který byl vypuštěn roku 2013, zkoumající anizotropii kosmického mikrovlnného pozadí5(díky kterému známe přesný věk a složení vesmíru). Na jeho počest byl také pojmenován kráterna Měsíci.

Marco Souza de Joodejoode@vyfuk.mff.cuni.cz

Jiří Kohl

Korespondenční seminář Výfuk je organizován studenty a přáteli MFF UK. Je zastřešenOddělením propagace a mediální komunikace MFF UK a podporován Katedrou didaktiky

fyziky MFF UK, jejími zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků.Toto dílo je šířeno pod licencí Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.

Pro zobrazení kopie této licence navštivte http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/.

5nerovnoměrnost v míře k nám přicházejícího mikrovlnného záření z různých směrů hlubokého vesmíru

6