Početna tačka priče o verovatnoći je prostor uzorka, odnosno skup svih mogućih ishoda. Ako ih označimo sa Ω za

ovaj set verovatnoća je funkcija sa realnim vrednostima P definisana na podskupu Ω:

P: 2Ω → [0, 1]

Svaki element podskupa Ω za koje je P definisano zove se događaj.

Intuitivna verovatnoća

Razmotrimo problem verovatnoće za čije rešenje nije potrebno teoretsko predznanje.

1. Sekretarica šalje četiri pisma na četiri različite adrese. Ako slučajno ubacuje pisma u različite koverte koja

je verovatnoća da će tačno tri pisma otići na prave adrese?

2. Olovka petougaonog poprečnog preseka ima odštampan logo proizvođača na jednoj od pet strana. Ako

otkotrljamo olovku stolom koja je verovatnoća da se olovka zaustavi tako da logo bude usmeren naviše?

Prostor uzorka je skup svih mogućih rezultata slučajnog eksperimenta. Slučajna promenljiva je funkcija definisana

na vom prostoru. Prostor može biti konačan ili beskonačan. Beskonačni prostor može biti diskretan ili kontinualan.

Konačni prostori uzorka

Bacanje novčića. Pri bacanju novčića on može pasti na pimo ili glavu. Prema tome postoje dva moguća ishoda

bacanja novčića. Pri jednom bacanju proctor uzorka možemo obeležiti kao:

Pismo, Glava, ili P, G, ili 0, 1, ...

Bacanje kockice. Standardna kockica ima šest strana koja mogu pokazati sledeće brojeve 1, 2, 3, 4, 5, 6

Postoji šest mogućih ishoda pa je proctor sastavljen od 6 elemenata.

1, 2, 3, 4, 5, 6.

Izvlačenje karti: Ako izvlačimo kartu iz standardnog špila od 52 karte prostor ima 52 moguća ishoda:

2♠, 2♣, 2♦, 2♥, 3♠, 3♣, 3♦, 3♥, ..., A♠, A♣, A♦, A♥.

Međutim ako nas interesuje samo boja karte, štih ili vrednost onda su sledeći prostori u pitanju

crna, crvena,

♠, ♣, ♦, ♥ or

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A.

Beskonačni prostori uzorka

Prvo pismo: Ako bacamo novčić sve dok se ne pojavi pismo, sekvence G su konačne I završavaju se sa P. Mogući

ishodi su:

P, GP,GGP,GGGP , ..., GGG...P.

Kontinualni prostori uzorka

Vreme dolaska: Ako kroz metro prolaze vozovi u pdjednakim idealnim intervalima. Ako osoba uđe na stanicu koji

je prostor uzorka vremena između prolaska dva voza.

[0, T] = t: 0 ≤ y ≤ T.

Verovatnoća

... it is not rational for us to believe that the

probable is true.

Lord J. M. Keynes

A Treatise on Probability

Cosimo Classics (June 1, 2007)

Kako definisati verovatnoću kod bacanja novčića, P, G.

Ako imamo prostor uzorka P, G on može imati četiri podskupa The two element sample space H, T has four

subsets:

Φ = , P, G, P, G.= Ω

Da bi bila verovatnoća funkcija P mora biti definisana u okviru ova četiri skupa, nenegativna I nesme preći vrednost

1. Kao I imati definisana dva osnovna seta

P(Φ) = 0 and P(Ω) = 1.

Vrednosti P(P) and P(G) koje ćemo od sada obeležavati kao P(P) and P(G) moraju biti između ove dve

vrednosti.

P(P) = P(G).

Svaki izbor u verovatnoći ima posledice, jednom kada odredimo da su verovatnoće dobijanja jednog ili drugog

rezultata jednako verovatne neizbežbno dobijamo da je P(P) = P(G)=1/2

Razmotrimo sada eksperiment bacanja kockice. Prostor ima 6 mogućih događaja.

1, 2, 3, 4, 5, 6

I ako su oni jednako verovatni dobijamo:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6.

Pošto su svi ovi događaji međusobno isključivi lako možemo izračunati verovatnoću pojave više različitih događaja.

P(1, 2) = P(1) + P(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3

P(4, 5, 6) = P(4) + P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½

Ako bacamo dva novčića imamo četiri moguća ishoda PP, PG, GP, PP.

Ako bacamo dve kockice istovremeno sledeće tabela mogućih vrednosti je data

Verovatnoća pojavljivanja određenih vrednosti je:

P(S = 2) = 1/36,

P(S = 3) = 2/36 = 1/18,

P(S = 4) = 3/36 = 1/12,

P(S = 5) = 4/36 = 1/9,

P(S = 6) = 5/36,

P(S = 7) = 6/36 = 1/6,

P(S = 8) = 5/36,

P(S = 9) = 4/36 = 1/9,

P(S = 10) = 3/36 = 1/12,

P(S = 11) = 2/36 = 1/18,

P(S = 12) = 1/36,

Uslovna verovatnoća

Verovatnoća dobijanja broja 7 u prethodno mprimeru je 1/6 (= 6/36) jer naš prostor sadrži 36 jednakoverovatnih

događaja. Od kojih je šest verovatnije jer se mogu dobiti kao zbir više kombinacija kockica. Obeležimo ovaj događaj

kao: P(A) = 1/6.

Ako razmotrimo događaj B koji ima makar jednu dvojku. 11 od 36 mogućih događaja rade u korist događaja B, P(B)

= 11/36. Ne znamo da li se B dogodilo, ali šta ako se dogodi i kako to utiče na verovatnoću A.

Ako se dogodio događaj B onda imamo set od 11 mogućih događaja. Od ovih 11 samo dva su događaja koja

ispunjavaju uslove događaja A. Ako je ovih 11 događaja jednako verovatno verovatnoća da se desilo A pod uslovom

da se desilo B je 2/11.Ovo se obeležava kao P(A|B) – verovatnoća A predpostavljajući B: P(A|B) = 2/11

Primer: Grupa od šestoro dece izvlači najkraću šibicu od šest. Jedno dete tajno lomi jednu šibicu I pruža gornje

krajeve ostaloj deci. Svako dete izvlači šibicu sve dok se ne izvuče najkraća. Izračunati verovatnoću za svako dete

da će ono izvući najkraću šibicu.

Verovatnoća za prvo dete je P(1)=1/6. Verovatnoća da ne izvuče šibicu je 5/6. Ako prvo dete nije izvuklo najkraću

šibicu verovatnoća za drugo dete je 1/5, ali je ova verovatnoća uslovna jer zavisi od uspeha ili neuspeha prvog

deteta. P(B|A) = 1/5.

P(B)= P(B|A)× ×P(A)=1/6

Verovatnoća da nije odabrano nijedno od prvo dvoje dece je 5/6·4/5 = 4/6, i.e., P(A∩B) = 4/6. Pa je verovatnoća da

treće dete izvuče šibicu.

P(C)= = 1/4 × 4/6=1/6

Slučajne promenljive i raspodele funkcija

Slučajne diskretne promenljive

Primer1. Prevoznik nadgleda količinu goriva koje svaki kamion koristi. Količina koja nas interesuje za određeni

kamion je količina litara X na puru od 200 Km. Potrošnju beležimo celobrojnim vrednostima Ω=1,2,3,…50. Za

bilo koji ishod x slučajna promenljiva X(x) je identična x. U ovom slučaju nam ne treba dodatno izračunavanje.

Primer 2. Prodavac želi da predvidi buduću prodaju određene robe u naredna dva meseca. U prvom mesecu

verovatnoće prodaje 1,2,3,4 komada robe su respektivno 0.3;0.35;0.15;0,20. Drugog meseca verovatnoće prodaje

0,1,2,3 komada su 0.25; 0.30; 0.40; 0.05; I prodaja u prvom mesecu ne utiče na prodaju u drugom mesecu. Prodavca

interesuje ukupna prodaja u dva meseca, opišite je slučajnom promenljivom I odrediti funkciju verovatnoće.

Solution. Da bi rešili ovaj problem koristićemo parove, recimo da je prvi mesec prodato 1, aa drugi 0 komada

verovatnoća od P(1,0)=0,3*0,25= 0,075, ukupni broj prodatih kOmada je 1+0=1.

(1; 0) 1 0,075 (3; 0) 3 0,0375

(1; 1) 2 0,09 (3; 1) 4 0,045

(1; 2) 3 0,12 (3; 2) 5 0,060

(1; 3) 4 0,015 (3; 3) 6 0,0075

(2; 0) 2 0,0875 (4; 0) 4 0,050

(2; 1) 3 0,105 (4; 1) 5 0,06

(2; 2) 4 0,14 (4; 2) 6 0,080

(2; 3) 5 0,0175 (4; 3) 7 0,01

Kao što vidimo postoji sedam mogućih izlaza pa je funkcija raspodele

X 1 2 3 4 5 6 7

p(x) 0,075 0,1775 0,2625 0,25 0,1375 0,0875 0,01

Primer 3. Pretpostavimo da je broj poziv na broj 92 između 03:00 I 04:00 u nekom gradu diskretna slučajna

promenljiva X sa funkcijom verovatnoće

3 3( ) , 0,1,2,...

!

x

P X x e xx

Verovatnoća se u ovakvim slučajevima računa zamenom mogućih vrednosti x u izraz tj:

3

33

3( 1)

1!

3( 3)

3!

P X e

P X e

Primer 4: Šta ako je međuitm data opšta verovatnoća u obliku

3 3( ) , 0,1,2,...

!

x

P X x e xx

U ovom slučaju funkcija nije jednstavna funkcija niti se može svesti na nju, ali nam zato pruža I veće mogućnosti

izračunavanja. Npr.

5

3

3

3(2 5) 0.797

!

x

x

P X ex

Da li nam ovakva definicija omogućava da odredimo verovatnoću nekog događaja većeg od neke vrednosti. To je

moguće odrediti oduzimanjem od 1 verovatnoće događaja do te vrednosti.

3

0

3( ) 1 ( ) 1

!

x

n

nP X x P X x e

n

Takođe možemo računati i uslovne verovatnoće 7

3

32

3

0

3

( 7, 3) (3 7) !( 7 3) 0.979( 3) ( 3) 3

1!

n

nn

n

eP X X P X nP X IX

P X P Xe

n

Verovatnoća kontinualnih slučajnih promenljivih

Primer 5: Pretpostavimo da je X kontinualna slučajna promenljiva data gustinom funkcije (3 )( ) ,3 6xf x ce x ,

I da je f(x) jednaka 0 u svim ostalim slučajevima. odrediti:

a) vrednost c

b) ( 5)P X

c) (3 )P X

d) (4 5.5)P X