Vet Ores

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Vetores

Vetores no Espaço

Espaço vetorial

Subespaço vetorial

Combinação Linear

Dependência e Independência Linear

Base de um Espaço Vetorial

Transformações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia

Profª. Alessandra S. F. Misiak

Cascavel – 2009

Espaço Vetorial

Vetor no Plano

1 - O VETOR

Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:

comprimento (denominado módulo)

direção

sentido (de A para B)

1. A direção é a da reta que contém o segmento.

2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.

3. O módulo é o comprimento do segmento.

Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os

segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.

Ou ainda, um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo

sentido e mesmo módulo (intensidade).

Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:

Na prática, para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe.

Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo:

Para facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito u . Todas as representações de letras em negrito neste

Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia – FAG

arquivo, representarão vetores. O módulo do vetor u, será indicado simplesmente por u, ou seja, a mesma letra indicativa do vetor,

sem o negrito.

1.1 - O VETOR OPOSTO

Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , de sentido oposto.

1.2 - O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)

Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:

| u | = u = 1.

1.3 - O VETOR NULO

Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.

Notação: 0

2 - A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO

Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo com o eixo r.

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a

ux = u . cosθ. Observe que se θ = 90º, teremos cosθ = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.

3 - A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES

Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.

Grassmann (matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de

vetor u .

Assim, pode-se escrever:

B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A

Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos permitirá a simplificação na resolução de questões,

conforme veremos na seqüência.

Profª Alessandra Stadler Favaro Misiak 3


4 - UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO

Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:

Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:

P = O + u

u = P - O

Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte,

O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y).

Substituindo acima, vem:

u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).

Portanto,

u = (x, y)

Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u, conforme convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à

origem O, será dado por:

5 - UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS

Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:

i=(1,0) e j=(0,1)

Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo

dos x e o versor j no eixo dos y , conforme figura abaixo:

O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.



Verifica-se que um vetor u = (x, y), pode ser escrito univocamente como:

u = x.i + y.j

Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos considerar os versores i, j e k,

respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria:

u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k

Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .

O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:

6 - OPERAÇÕES COM VETORES

6.1 Adição

Dados dois vetores u e v, define-se o vetor soma u + v, conforme indicado nas figuras abaixo.

Regra do triângulo Regra do paralelogramo

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

6.2 Diferença de vetores

Considerando-se a existência do vetor oposto -v, podemos definir a diferença u - v, como sendo igual à soma u + ( -v ) .

Veja a figura abaixo:



Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v-w = (a-c,b-d)

6.3 Produto por escalar

Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:

k.v = (ka,kb)

6.4 Produto interno de vetores

Dados dois vetores u e v, define-se o produto interno desses vetores como segue:

u . v = u . v . cos onde u e v são os módulos dos vetores e o ângulo formado entre eles.

Da definição acima, infere-se imediatamente que:

a) se dois vetores são paralelos, ( = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos.

b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois neste caso,

= 0º e cos 0º = 1 u.u = u.u.1 = u2

c) se dois vetores são perpendiculares, ( = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo.

d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real.

e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar.

6.4.1 - CÁLCULO DO PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR

Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j

Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v .

u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j

Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos:

i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0

Daí, fazendo as substituições, vem:

u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd



Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou

homônimas.

Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido

por:

v.w = a.c + b.d

Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por:

v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56

O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:

v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0

Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber:

Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d)

Já sabemos que: u.v = u.v.cos = ac + bd

Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que:

Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas.

Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos.

Achado o co-seno, o ângulo estará determinado.

Para concluir, vamos resolver algumas questões envolvendo vetores.

1 - Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar:

a) o vetor soma u + v

b) o módulo do vetor u + v

c) o vetor diferença u - v

d) o vetor 3 u - 2 v

e) o produto interno u.v

f) o ângulo formado pelos vetores u e v

SOLUÇÃO:

a) Temos: u = (2, -5) e v = (1 ,1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 j

b) | u + v| = = = 5 ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 j

d) 3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j

e) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3

f) conforme visto acima, teremos que calcular os módulos de u e de v .



Vem:

u = e v =

Logo, como Então, o ângulo será igual aproximadamente a 113,19738º , obtido numa

calculadora científica. ( )



Vetores no espaçoVetores no espaço R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)

Soma de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)

Diferença de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)

Produto de vetor por escalar

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

k.v = (ka,kb,kc)

Módulo de um vetor e vetores unitários

O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:

Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.

Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.

i = (1,0,0);j = (0,1,0);k = (0,0,1)

Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k



Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

u = v / |v|

Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

w = k v

As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:

vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)

Produto escalar

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:

v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:

v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

Ângulo entre dois vetores (Produto Escalar)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v.w = |v| |w| cos(t)

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.

cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)

Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.

Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =



Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

u × v = = (-3,6,-3)

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.

Exercícios:

1. Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.2. Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v=(3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes

vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.3. Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) e v.w.4. Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo, quando é reto e quando é raso.5. Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos

matemáticos.6. Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta

situação.

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:

1. Quaisquer que sejam u,v,w V:

(u+v)+w = u+(v+w)

2. Existe 0 V (elemento nulo) tal que para todo v V:

0 + v = v

3. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que

v+(–v)=0

4. Quaisquer que sejam u,v V, segue que

u+v=v+u

5. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:

k.(v+w) = k.v + k.w

6. Para quaisquer k,m K e todo v V:

(k+m).v = k.v + m.v

7. Para quaisquer k,m K e qualquer v V:

(km).v = k(m.v)

8. Para qualquer v V tem-se que

1.v = v

9. Quaisquer que sejam u,v, V:

u+v V



10. Para qualquer k K e todo v V:

(k.v) V

Propriedades em um espaço vetorial

Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:

1. Para todo k K segue que k.0=0.

2. O vetor nulo 0 é único.

3. Para todo v V tem-se que 0.v=0.

4. Para cada v V o vetor oposto –v V é único.

5. Seja k K e v V. Se k.v=0 então k=0 ou v=0.

6. Se v+u=v+w para u,v,w V, então u=w.

7. Quaisquer que sejam v,w V, existe um único u V tal que v+u=w.

8. Para todo k K e para todo v V segue que:

(–k).v = –(k.v) = k.(–v)

9. Para todo k K e para todo v V segue que

(–k)(–v) = kv

10. Se k1,k2,…,kn K e v V, então:

(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv

11. Se k K e v1,v2,…,vn V, então:

k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn

Exemplos de espaços vetoriais

1. O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial complexo sobre o corpo R dos números reais com as operações de adição e multiplicação de C.

2. O conjunto V=M(m,n) das matrizes reais mxn com soma e produto por escalar usuais.

3. O conjunto dos vetores do espaço

Subexemplo:1) u=(1,2,2) e v=(1,1,1), prove que é espaço vetorial.

2) prove que é espaço vetorial.

Exercícios:

1) Mostre com um sub exemplo que:

Subespaço Vetorial

Às vezes é necessário detectar dentro de um espaço vetorial V subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais menores. Tais conjuntos são chamados subespaços de V. Isto acontece por exemplo em V= , o plano, onde W é uma reta deste plano, que passa pela origem.

Para mostrar que V é um subespaço vetorial, podemos mostrar que esta estrutura possui as oito propriedades de espaço vetorial V ou usar uma das duas caracterizações seguintes:



Caracterização de subespaço vetorial

Teorema I: Seja V um espaço vetorial, um subconjunto W, não vazio. W é um subespaço vetorial de V se:

1. Se v,w S, então v+w W.

2. Se k K e v W, então k.v W

3. . O vetor nulo de V pertence ao conjunto W.

Observação:

1)Muitas vezes usamos a palavra subespaço no lugar de subespaço vetorial e espaço ao invés de espaço vetorial quando não existe possibilidade de dúvida.

2) Todo espaço vetorial admite pelo menos 2 subespaços ( que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.

Exemplos de subespaços vetoriais

1. O corpo Q dos números racionais é um subespaço do corpo R dos números reais.

2. O corpo R dos números reais é um subespaço do corpo C dos números complexos.

3. Toda reta que passa pela origem de R² é um subespaço de R².

4. Seja A uma matriz de números reais com m linhas e n colunas. O conjunto

H = {x=(x1,x2,…,xn)t Rn: A.x = 0}

é um subespaço (hiperplano) de Rn.

5. O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n é um subespaço de Mm×n(K), o espaço vetorial das matrizes com m linhas e n colunas com elementos de um corpo K, se n<m.

6. O conjunto Sn(R) das matrizes simétricas é um subespaço de Mn(R).

7. O conjunto An(R) das matrizes anti-simétricas é um subespaço de Mn(R).

8. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada nula (plano z=0) é um subespaço de R³.

9. O conjunto de todos os vetores de R³ com a terceira ordenada igual a 1 (plano z=1) não é um subespaço de R³.

10. O conjunto P={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=0} (plano contendo a origem) é um subespaço de R³.

11. O conjunto Q={(x,y,z) R³: 2x+3y–6z=12 (plano não contendo a origem) não é um subespaço de R³.

12. O conjunto C(R)={f:R R: f é contínua} é um subespaço de F(R,R).

13. O conjunto P3[R] de todas as funções polinomiais com coeficientes reais com grau menor ou igual a 3 é um subespaço de P[R].

14. O conjunto P0 de todas as funções polinomiais com coeficientes reais e o grau exatamente igual a 3 não é um subespaço de P[R].

15. O conjunto F'={f:(a,b) R, f é derivável} é um subespaço de F={f:(a,b) R}.

16. O conjunto C[A]={X Mn(R): AX=XA} das matrizes que comutam com A, é um subespaço de Mn(R).

Observação: Nem sempre é bom trabalhar com um espaço vetorial amplo e às vezes é útil trabalhar com as propriedades dos subespaços, mas se tais subespaços são simples também não resolvem nossos problemas, assim, são criados outros subespaços com operações de adição, interseção ou reunião de conjuntos.

Exercícios:

1) Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 da forma . W é um subespaço ?

2) Seja W o conjunto de todas as matrizes 2x2 com determinante 0. W é um subespaço de ?

3) Seja w o conjunto das matrizes simétricas nxn. Prove que W é um subespaço de .

4) W= . Prove que W é um subespaço de V= .



Combinações lineares

Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a obtenção de "novos vetores" a partir de um conjunto pré fixado de vetores desse espaço. Por exemplo, ao fixarmos em R3 o vetor u = (2, – 1, 3), podemos obter a partir de u qualquer vetor v do tipo v = a.u, onde a R. Assim, o vetor w = (– 4, 2, – 6) é obtido de u quando a = – 2. Na verdade, qualquer vetor da reta que contém u é "criado" por u, ou, equivalentemente, podemos dizer que u "gera" a reta que o contém., sabemos que todo vetor v = (a, b, c) em R3

pode ser escrito na forma

v = ai + bj + ck

onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1), ou seja, v é uma combinação linear dos vetores i, j, k. Esse conceito, como veremos a seguir, não se restringe ao R2 ou R3.

Definição.

Sejam v1, v2, ..., vn vetores quaisquer de um espaço vetorial V e a1, a2, ..., an números reais. Então todo vetor vÎ V da forma

v = a1v1 + a2v2 + ... + an vn

é um elemento de V ao que chamamos combinação linear de v1, v2, ..., vn.

Exemplo. Em R3, o vetor v = (– 7, 7, 7) é uma combinação linear dos vetores u1 = (– 1, 2, 4) e u2 = (5, – 3, 1), pois:

(– 7, 7, 7) = 2(– 1, 2, 4) – 1(5, – 3, 1).¨

Exemplo. Em M23,

de forma que o vetor

é uma combinação linear dos vetores do conjunto e também de

.¨

Esse exemplo mostra que um mesmo vetor pode ser escrito como combinação linear de diferentes conjuntos de vetores.

Exemplo. Em Pn, qualquer polinômio pode ser escrito como combinação linear dos monômios 1, x, x2, ..., xn. Esclarecendo e particularizando: em P3, o polinômio p(x) = – 3 + 4x2 é uma combinação de 1, x, x2, x3, pois:

– 3 + 4x2 = – 3.1 + 0.x + 4.x2 + 0.x3

Observamos aqui que qualquer polinômio p(x) = a + bx + cx2 + dx3 em P3 é obtido através de uma combinação linear dos vetores do conjunto {1, x, x2, x3} pois:

a + bx + cx2 + dx3 = a.1 + b.x + c.x2 + d.x3

Já o polinômio q(x) = 2 + 3x + x2 + 2x3 + 4x4 não é uma combinação linear dos vetores 1, x, x2, x3. Dizemos, neste caso, que o polinômio q(x) não pertence ao subespaço gerado pelos vetores 1, x, x2 e x3. Isto nos leva à seguinte definição.

1.3.5 Definição.



Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial V é dito gerador de V se todo vetor em V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Ou seja, para todo v V, existem escalares a1, a2, ..., an, tais que

v = a1v1 + a2v2 + .. + anvn

Usa-se a notação V = [v1, v2, ..., vn], que se lê "V é gerado pelos vetores v1, v2, ..., vn."

Uma vez que todo subespaço de um espaço vetorial V é também um espaço vetorial, a definição acima se extende a todos os subespaços vetoriais de V.

Exemplo: O vetor v=(3,-2,1) R³ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de C={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} pois existem escalares k1=5, k2=-3 e k3=1 tal que

(3,-2,1) = 5(1,0,0) + (-3)(1,1,0) + 1(1,1,1)

Exercício: Determinar escalares p,q,r R tal que:

(1,2,3) = p(1,0,0) +q(1,1,0) +r(1,1,1)

Dependência e Independência Linear

Definição.

Sejam v1, v2, ..., vn, vetores de um espaço vetorial V. Diz-se que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (l.i.), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são l.i., se a equação

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0

implica que a1 = a2 = ... = an = 0. No caso em que a igualdade se verifique para algum ai ¹ 0 diz-se que {v1, v2, ..., vn} é linearmente dependente (l.d.), ou que os vetores v1, v2, ..., vn são l.d.

Observações.

Dois vetores u e v são l.d. se e somente se um é múltiplo escalar do outro.Por exemplo, os vetores (– 1, 1, 2) e (2, – 2, 4) são l.d. pois

(2, – 2, – 4) = – 2(– 1, 1, 2).

Três vetores em R3 são l.d. se e somente se são coplanares .

Ou seja,

(u, v, w) =

Exemplo. Os vetores u = (2, – 1, 3), v = (– 2, 1 ,– 3) e w = (1, 0, 1) são l.d. pois

Observemos que os elementos k11, k23 e k32 não podem ser zerados, de forma que as linhas 1, 2 e 3 não se anulam.

Exemplos:

1) Em P2, o conjunto é LD, pois

2) Em M22, considere:



A+B=C, portanto o conjunto é LD.

3) Em P2, determine se o conjunto é LI.

Exercícios

1. Escreva w como combinação linear de v1, v2 e v3:

a) v1 = (1, 1); v2 = (– 1, 1); v3 = (3, 0) e w = (1, – 4)

b) v1 = (1, 2); v2 = (– 2, 3); v3 = (5, 4) e w = (– 4, 1)

c) v1 = (2, 1, –5); v2 = (– 1, 3, 0); v3 = (2, – 6, 4) e w = (9, – 6, –13)

2. Escreva cada um dos vetores abaixo como combinação linear de

a) A = b) B =

3. Seja o subespaço W de M32 gerado por O vetor pertence a W ?

4. Mostre que os polinômios 1 – t3, (1 – t)2, 1 – t, e 1 geram o espaço dos polinômios de grau £ 3.

5. Determine se os seguintes conjuntos de vetores são li ou ld. Para os que forem l.d, escreva um vetor como combinação linear dos outros:

a) {(1, 2), (– 1, – 3)}; em R2

b) {(– 3, 2), (1, 10), (4, – 5)}; em R2

c) {(2, – 1, 4), (4, – 2, 8)}; em R3

d) {(4, 2, 1), (2, 6, – 5), (1, – 2, 3)}; em R3

e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)}; em R3

f) {(1, – 2, 1, 1), (3, 0, 2, – 2), (0, 4, – 1, – 1), (5, 0, 3, – 1)}; em R4

g) {1 – t, 1 + t, t2}; em P2

h) {t, t2 – t, t3 – t}; em P3

i) {2t, t3 – 3, 1 + t – 4t3, t2 + 18t – 9}; em P3

j) {3t + 1, 3t2 + 1, 2t2 + t + 1}; em P3

l) ; em M22.

m) ; em M22.

6. Para que valores de a os vetores (1, 2, 3), (2, – 1, 4) e (3, a , 4) são l.d. ?



CURSO DE ENGENHARIADISCIPLINA: Geometria Analítica e Álgebra Linear

PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro MisiakLISTA DE EXERCÍCIO –Vetores

1. Dados os vetores u = 2i - 3j, v = i - j e w = -2i + j, determinar: a) 2u - v b) v - u + 2w c) 0.5u - 2v -w

2. Dados os vetores u=(1,-1), v=(-3,4) e w=(8,-6) calcular: a) | u | b) | 2u - w| c) v/|v|

3. Dados os vetores u = (2,-3, -1) e v = ( 1, -1, 4) calcular: (Obs: O ponto representa Produto Escalar)a) 2u. (-v) b) (u+3v).(v-2u) c) (u+v).(u-v)

4. Dados os vetores u = (1,2,-3), v = (2,0,-1) e w = (3,1,0), determinar o vetor x tal que x.u = -16, x.v = 0 e x.w = 3.

5. Determinar o ângulo entre os vetores a) u = (2,-1,-1) e v = (-1,-1,2) b) u = (1,-2,1) e v = (-1,1,0)

6. Determinar o valor de a, para que seja 45 o ângulo entre os vetores u = (2,1) e v = (1,a)

7. Dados u = (3,-1,-2), v = (2,4,-1) e w = (-1,0,1) determinar: a) | u x u | b) (u x v) x ( v x u ) c) u x (v x w) d) (u x v) . v OBS: x representa Produto Vetorial

Respostas:



1. a)(3,-5) b)(-5,4) c) (1, -0.5)

2. a)

b) c) (-3/5, 4/5)

3. a) -2 b) 21 c) -4

4. x = (2,-3,4)

5. a) 120 b) 150

6. 3 ou -(1/3)

7. a) 0 b) (0,0,0) c) (-6,-20,1) d) 0



BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL

A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes. Como o nome indica, é possível escrever todos os outros vetores desse espaço como combinação linear dos vetores da base, a base GERA o espaço vetorial. É um conceito bem simples.

Definição: Um conjunto {v1,..., vn} de vetores de V será uma base de V se:

i) {v1,..., vn} é LIii) {v1,..., vn} = V

Vejamos um exemplo:

No R3, temos a base canônica (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Vemos que esse conjunto de vetores claramente é LI. Agora, peguemos um vetor qualquer no R3, digamos, (2, 5, 9) e tentemos escrevê-lo como combinação linear dos vetores da base. Precisam existir a, b e c tais que:

a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (2,5,9) ==> (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) = (2,5,9) ==> (a, b, c) = (2,5,9)

Portanto, a = 2, b = 5, c = 9.

E, dessa forma, todos os vetores do R3 podem ser escritos como combinação dos vetores da base canônica. Ou seja, esses três vetores têm a propriedade de "criarem" todo o R3.

Exemplo 2:

{(0,1), (0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD.

Se (0,0)=a(0,1)+b(0,2), temos a = 2b e a e b não são necessariamente zero.

Exemplo 3:

· V = R2, i = (1, 0) e j = (0, 1).

= {i, j} é uma base de R2, conhecida como base canônica, pois

(i) é LI.

(ii) gera o R2

· V = R2, = {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de R2, pois:

(i) Os vetores de não são múltiplos, isto é, (1, 1) a (0, 1) para todo a R; assim é LI

(ii) Todo vetor v = (x, y) R2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores

(1, 1) e (0, 1). Vejamos como:

(x, y) = a (1, 1) + b (0, 1)

então .

Portanto v = x (1, 1) + (y – x) (0, 1).¨

Exemplo 4:



O conjunto a = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {i, j, k} é uma base de R3, conhecida como base canônica do R3, pois

(i) a é LI pois

e

(ii) a gera o R3 pois todo vetor v = (x, y, z) Î R3 pode ser escrito na forma v = xi + yj + zk.

Nesse caso, as coordenadas do vetor v são as próprias componentes e escrevemos

Se particularizarmos tomando v = (2, 3, – 1) temos

(2, 3, – 1) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) – 1(0, 0, 1)

escrevemos

[(2, 3, – 1)]a = .¨

Exemplo 5:

Consideremos o conjunto b = {(1, 2, 1), (– 1, 0, 1), (1, 2, 0)} e o vetor v = (2, 3, – 1) para encontrar [v]b . As coordenadas de v, em relação à base, serão dadas pelos números a, b e c que satisfazem a relação

(2, 3, – 1) = a (1, 2, 1) + b (– 1, 0, 1) + c (1, 2, 0).

Resolvendo o sistema aqui obtido temos (confira)

[(2, 3, –1)]b = .¨

Nota. Uma vez fixada uma base em um espaço, a ordem em que os vetores comparecem na base também fica fixada. Por este motivo consideramos uma base como um conjunto ordenado de vetores.

Exemplo 6:

O conjunto b2 = {(1, 2, 1), (– 1, 0, 1)} não é uma base de R3 pois sabemos que dois vetores LI. geram um plano, de forma que a condição (ii) da definição de base não fica satisfeita.

No entanto, b2 é uma base do subespaço

W = {(x, y, z) / x – y + z = 0} R3.

Para exibir uma base de W, partindo do conhecimento do subespaço W do exemplo anterior, retiramos dele um conjunto de geradores e selecionamos deste conjunto os vetores LI.



Assim: W = {(y – z, y, z) / y, z R}

e o seu vetor genérico, (y – z, y, z), pode ser escrito como a combinação linear:

( y – z, y, z) = y (1, 1, 0) + z (– 1, 0 , 1).

Com isso, temos que W = [(1, 1, 0), (– 1, 0, 1)] e sendo {(1, 1, 0), (– 1, 0, 1)} LI, concluímos que

b3 = {(1, 1, 0), (– 1, 0, 1)}

é uma base de W.¨

Observemos que b3 b2, o que não é um problema, visto que existem infinitas bases de W. (b2 é a base do exemplo anterior). Outras bases para W podem ser obtidas atribuindo-se valores quaisquer para y e z, desde que y 0 ou z 0.

A base de um espaço não é única. Você tem um conceito chamado "dimensão de um espaço de vetorial" que nada mais é o número de vetores da base, que te diz que, num espaço de dimensão N, qualquer conjunto LI. de N vetores pode ser uma base para este espaço. No caso de R3 (dimensão 3), você percebeu que a base canônica só tem 3 vetores mesmo. Se colocássemos mais um naquele conjunto, ele fatalmente seria combinação linear dos outros, portanto qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores. E qualquer conjunto LI. de 3 vetores será uma base para o R3, ou seja, pode gerar esse espaço.

Exemplo:

O conjunto b = {(1, 2, 1), (– 1, 0, 1), (1, 2, 0)} é também uma base de R3. Para verificar, observemos que b é um conjunto de R3 que contém 3 vetores, basta mostrar que b é LI

, de modo que b gera o R3.¨

Def: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Esse número é chamado dimensão de V, e denotado dim V.

Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V.Então se dim V=n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. Por exemplo, se você souber que a dim V=2, e encontrar um conjunto de 2 vetores LI, você pode afirmar que ele é uma base e portanto gera V.

Exemplo.

O espaço vetorial

P3 = {p(x) / p(x) = a .1 + b. x + c. x2 + d. x3},

é gerado pelos vetores 1, x, x2, x3.

Relacionando estes vetores com as quádruplas ordenadas (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1) vemos que os mesmos são LI. assim,

{1, x, x2, x3}

é uma base de P3 e dim P3 = 4.

Tomemos, agora, um conjunto

a = {2 + 3x, – 1 + 2x – x3, 3x2 + 2x3, 3 – 4x3}



de vetores de P3. Para verificar se a é também uma base de P3 basta verificar a dependência ou independência linear dos vetores de a, pois sendo dim P3 = 4, qualquer outro conjunto de P3 formado por 4 vetores LI. é também uma base de P3.

Teorema: Se U e W são subspaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então e

. Além disso,

Exemplo:

Uma base natural do espaço M22 é

.

Para mostrarmos que

é também uma base de M22,

Tendo na base b, 4 vetores, temos dim M22 = 4 e, pelo Teorema acima, qualquer outra base de M22 deve conter 4 vetores. Obviamente os 4 vetores devem ser LI (condição (i) da definição de base) e gerar M22 (condição (ii)).

A condição (ii) ficará automaticamente satisfeita ao provarmos que a condição (i) é verdadeira. Isto pode ser verificado escrevendo b1 na forma

b1 = {(1, – 1, 1, 1), (2, 1, 0, 1), (– 1, 2, 1, 0), (1, 2, 2, 1)}

e aplicando sobre b1 a Propriedade que, afirma o seguinte:

" Qualquer conjunto de 4 vetores LI. em R4 gera o R4."

Assim, para mostrar que b1 é uma base de R4 (ou M22), basta provarmos que b1 é LI.

Teorema: Dada uma base β={v1,v2,...,vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de V1,v2,...,vn.

Def:Sejam β={v1,v2,...,vn} base de V e v V onde v=a1v1+...anvn. Chamamos estes números a1,...,an de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por:

Exemplo:V=R2 β={(1,0), (0,1)}(4,3)=4(1,0) + 3(0,1)Portanto:

Se β’={(1,1), (0,1)}, então (4,3)=x(1,1) + y(0,1), resultando x=4 e y=-1.

Então (4,3)=4(1,1)-1(0,1), donde

É importante notar que a ordem dos elementos de uma base também influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação a esta base.

Ex:β1={(1,0), (0,1)} e β2={(0,1), (1,0)}



mas

ExemplosConsidere:

V=

W=

Determine V+WV=[(1,0,1),(0,1,1)]W=[(1,1,0),(0,0,1)]V+W=[(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)]Como dado (x,y,z) podemos escrever:

Com:A=xb=yc=0d=z-x-yPortanto V+W=

Como dim =

=

=

=[(1,1,1/2)]

Temos que = 1

CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Exercícios

1 Quais dos conjuntos de vetores abaixo são base para R2?

a) {(1, 3), (– 1, 1)} b) {(0, 0), (1, 2), (– 1, 3)}

c) {(1, 2), (2, – 3), (3, 2)} d) {(1, 3), (– 2, 6)}

2 Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base para P2?

a) {– t2 + t + 2, 2t2 + 2t + 3, 4t2 – 1} b) {t2 + 2t – 1, 2t2 + 3t – 2}

c) {t2 + 1, 3t2 + 2t, 3t2 + 2t + 1, 6t2 + 6t + 3} d) {3t2 + 2t + 1, t2 + t + 1, t2 + 1}

3. Quais dos seguintes conjuntos de vetores são base para M22?

a) b) , com abcd 0.

c) d)

4. Estenda cada conjunto abaixo, de modo a obter uma base para o espaço indicado.



V = R2; 1 = {(1, – 1)}

V = R3; 2 = {(1, 2, 1), (2, 0, – 1)}

V = R4; 3 = {(1, – 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, – 2)}

5. Encontre todos os valores de a para os quais {(a2, 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} é uma base para R3.

6. Encontre uma base para o subespaço S de R4 formado por todos vetores da forma (a + b, a – b + 2c, b, c) onde a, b, c R. Qual a dimensão de S ?

7. Em cada caso abaixo, calcule o vetor de coordenadas do vetor v em ralação a base S.

a) b) v = (2, – 1, – 2); S = {(1, – 1, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 2)}

c) v = t + 4; S = { t + 1, t – 2 }d)

8 Em cada caso abaixo, calcule o vetor v, dado o vetor coordenadas [v]S e a base S.

a) b)

c)

d)

9 Sejam bases para R3. Sejam .

a) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base T.

b) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação à base S diretamente.

GABARITO

1. São bases os conjuntos indicados em (a) e (d).

2. (d) 3. (b)

4. a) Escolha qualquer outro vetor u R2 que não seja múltiplo de (1, – 1).



b) . Escolha qualquer vetor w R3 que satisfaça esta condição.

c) Use o mesmo argumento do item anterior.

5. a 0 e a 1.

6. (a + b, a – b + 2c, b, c) = a(1, 1, 0, 0) + b(1, – 1, 1, 0) + c(0, 2, 0, 1)

= {(1, 1, 0, 0), (1, – 1, 1, 0), (0, 2, 0, 1)} e dim S = 3.

V = {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} e dim V = 2.

Para U V: (0, w2, 0, 0) = w2(0, 1, 0, 0)

UV = {(0, 1, 0, 0)} e dim U V = 1.

7 a)

b) (2, – 1, – 2) = a(1, – 1, 0) + b(0, 1, 0) + c(1, 0, 2)

c) t + 4 = a(t + 1) + b(t – 2) a = 2; b = – 1 .

d) (1, 3, – 2, 2) = a(1, – 1, 0, 0) + b(0, 1, 1, 0) + c(1, 0, 0, – 1) + d(1, 0, – 1, 0)

a = – 1; b = 2; c = – 2; d = 4. Daí, .

Podemos utilizar as matrizes na forma 2x2:

.

8

a) (x, y) = 1(2, 1) + 2(– 1, 1)

(x, y) = (0, 3)

b)

c) v = 4t – 3 d)

9.



a)

b) [v]S: (1, 3, 8) = a(1, 0, 1) + b(– 1, 0, 0) + c(0, 1, 2) [w]S: (– 1, 8, – 2) = a(1, 0, 1) + b(– 1, 0, 0) + c(0, 1, 2)

.


Transformações Lineares

Estudaremos, nessa parte do conteúdo, um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares. Essas funções ocorrem com freqüência em Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações.

Como introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos.

1 Exemplo. Reflexão em torno do eixo dos xx.

Seja em R2 a função T definida por

T(x, y) = (x, – y).

Geometricamente, T toma cada vetor do R2 e o reflete em torno do eixo dos xx.

Essa função, como veremos, é uma transformação linear.

1.2 Exemplo. Consideremos a expressão matricial de um sistema de equações lineares

Ax = b,

onde A é uma matriz mxn, x Rn e b Rm. Na condição de equação buscamos conhecer x quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A, a equação Ax = b, pode ser vista assim: "Diga-me um vetor x em Rn e eu te direi um vetor b em Rm", isto é, a matriz A representa a função com domínio Rn e contra domínio Rm, onde a imagem de cada x Rn é b = Ax Rm. Essa função tem as seguintes propriedades:

A(x + y) = Ax + Ay, e

A( x) = Ax com R

que caracterizam as transformações lineares.

1.3 Definição.

Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W é uma função (ou aplicação) que a cada v V faz corresponder um único T(v) W e que satisfaz as seguintes duas condições:

u, v V e R,

i) T (u + v) = T (u) + T (v); ii) T ( v) = T (v).

Observações.

Nós escrevemos T: V W para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em vetores do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W;

T(v) é lido "T de v", de modo análogo à notação funcional f (x), que é lida "f de x";

Uma transformação linear T:V V, que tem como domínio e contra domínio o mesmo espaço vetorial V é também chamada de operador linear;

As duas condições (i) e (ii) da definição 1.3, acima, podem ser aglutinadas numa só: T( u + v) = T(u) + T(v).

Geometria Analítica e Álgebra Linear Engenharia – FAG1.4 Exemplo. Uma transformação linear do R2 em R3.

Indicamos dois modos usados para definir uma função.

T: R2 R3; T(x, y) = (x, x – y, y) ou T: R2 R3

(x, y) (x, x – y, y)

a) T(2, – 1) = (2, 3, – 1); assim o vetor (2, 3, – 1) R3 é a imagem, por T, do vetor (2, – 1) R2.

Do mesmo modo:

T(0, 2) = (0, – 2, 2) T(a, a) = (a, 0, a), a R.

b) O vetor do R2 cuja imagem pela aplicação T seja (2, – 2, 4).

(x, x – y, y) = (2, – 2, 4) x = 2 e y = 4 Portanto T(2, 4) = (2, – 2, 4).

c) Prova de que T é linear

Sejam u = (x1, y1) R2, v = (x2, y2) R2 e R.

i) T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)= (x1 + x2, (x1 + x2) – (y1 + y2), y1 + y2)= (x1 + x2, x1 + x2 – y1 – y2, y1 + y2)= (x1, x1 – y1, y1) + (x2, x2 – y2, y2)= T(x1, y1) + T(x2, y2)= T(u) + T(v)

ii) T( v) = T( (x2, y2))= T( x2, y2)= ( x2, x2 – y2, y2)= (x2, x2 – y2, y2)= T(x2, y2)= T(v)

Por (i) e (ii), T é uma transformação linear.

1.5 Exemplo. f : R2 R2

(x, y) (x + 2y, 2x – 3y)

a) A imagem de u = (2, 1) pela f é (4, 1);

b) A imagem de v = (– 1, 3) pela f é (5, – 11);

c) A imagem de u + v pela f é (9, – 10);

d) Comparando c) com a) e b) podemos ver que f (u + v) = f (u) + f (v).

e) A imagem de 2u pela f é (8, 2)

f) Comparando e) com a) temos que f (2u) = 2f (u);

g) Geometricamente:

h) f é linear. Prova:

Sejam u = (x1, y1) R2, v = (x2, y2) R2 e R:


Geometria Analítica e Álgebra Linear Engenharia – FAG

i) f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2)= (x1 + x2 + 2(y1 + y2), 2(x1 + x2) – 3(y1 + y2) )= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 2x1 + 2x2 – 3y1 – 3y2)= (x1 + 2y1, 2x1 – 3y1) + (x2 + 2y2, + 2x2 – 3y2)= f (x1, y1) + f (x2, y2)

= f (u) + f (v) (ii) f ( v) = f ( (x2, y2))= f ( x2, y2)= ( x2 + 2 y2, 2 x2 – 3 y2)= (x2 + 2y2, 2x2 – 3y2)= f (x2, y2)= f (v)

Por (i) e (ii), f é linear.

1.6 Exemplo. A transformação nula é linear.

Sejam V e W dois espaços vetoriais e seja T: V W definida por T(v) = 0, v V.

Prova. Sejam u, v V e R.

(i) T(u + v)= 0= 0 + 0= T(u) + T(v)

(ii) T( v)= 0= .0= T(v)

Por (i) e (ii), a transformação nula é uma transformação linear.

1.7 Exemplo. Escrevendo a transformação linear nula do R3 em R5, temos:

T:R3 R5; T(x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0) ou

T:R3 R5

(x, y, z) (0, 0, 0, 0, 0) ou simplesmente

T(x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0).

1.8 Exemplo. A transformação identidade:

I :V V definida por I (v) = v.

a) Verifiquemos que I é linear:

Sejam u, v V e R.

(i) I (u + v)= u + v= I (u) + I (v)

(ii) I ( v)= v= I (v)

Por (i) e (ii), I é uma transformação linear.

b) Escrevendo as funções identidades I 1 em R2 e I 2 em R3.

I 1 (x, y) = (x, y) e I 2 (x, y, z) = (x, y, z).

1.9 Exemplo. Uma transformação reflexão;

T: R2 R2 definida por T(x, y) = (– x, y).

a) Interpretando T geometricamente.



b) T é linear pois:

Para u = (x1, y1) R2, v = (x2, y2) R2 e R, temos

(i) T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)= (– x1 – x2, y1 + y2)= (– x1, y1) + (– x2, y2)= T(u) + T(v)

(ii) T( v) = T( x2, y2)= (– x2, y2)= (– x2, y2)= T(v).

1.10 Exemplo. Uma transformação de Rn Rm dada pela multiplicação por uma matriz mxn.

Seja A uma matriz mxn e T: Rn Rm definida por T(v) = Av. Aqui Av é o produto da matriz Amxn pelo vetor coluna vnx1. T é linear.

Prova. Sejam u, v Rn e R.

(i) T(u + v) = A(u + v)= Au + Av (propriedade do produto de matrizes)= T(u) + T(v)

(ii) T( v)= A( v)= (Av) (propriedade do produto de matrizes)= T(v)

Por (i) e (ii), a transformação T é uma transformação linear.

Assim:

* Toda matriz Amxn pode ser usada para definir uma transformação linear TA : Rn Rm onde a imagem TA (v) é o produto da matriz Amxn pelo vetor coluna vnx1.

1.11 Exemplo. Escrevendo as transformações lineares TA, TB, TC e TD determinadas respectivamente pelas matrizes:

Temos:

TA : R2 R3; TA (x, y) = (2x – y, 3x + y, 2x), que é a transformação obtida pelo produto da matriz A3x2 pelo vetor v2x1= ; TB : R2 R2; TB (x, y) = (2x + 3y, 4x – y); TC : R4 R; TC (x, y, z, t) = (x + 2y – 3z); TD : R R3; TD (x) = (x, 0, – 5x).

1.12 Exemplo. Considere os operadores lineares P1, P2 e P3 em R3 definidos por

P1(x, y, z) = (x, y, 0), P2(x, y, z) = (x, 0, z) e P3(x, y, z) = (0, y, z). Temos:

P1(2, 4, 6) = (2, 4, 0) (fig (a)) P2(2, 4, 6) = (2, 0, 6) (fig (b)) P3(2, 4, 6) = (0, 4, 6)



Observemos que P1, P2 e P3 projetam os vetores de R3 nos planos xOy, xOz e yOz, respectivamente.

1.13 Exemplo. T:Mmxn Mnxm; T(A) = At, é a transformação linear transposição.

Prova. Seja A, B Mmxn e R:

(i) T(A + B)= (A + B)t

= At + Bt (propriedade da transposição)

= T(A) + T(B)

(ii) T( A)= ( A)t

= (At) (propriedade da transposição)= T(A)

Por (i) e (ii), T é linear.

1.14 Exemplo. Uma transformação não linear f de R em R .

f : R R; f (x) = 2x + 3.

Prova. Seja u = x1 R, v = x2 R e R.

i) f (u + v)= f (x1 + x2)= 2(x1 + x2) +3= 2x1 + 2x2 + 3 (1)

ii) f (u) + f (v)= f (x1) + f (x2)= 2x1 + 3 + 2x2 + 3= 2x1 + 2x2 + 6 (2)

Como (1) (2), temos que f (u + v) f (u) + f (v), o que é suficiente para provarmos que T não é linear.

Podemos usar um contra-exemplo como prova de que f não é linear.

f (2 + 5) = f (7)= 17 e f (2) + f (5)= 7 + 13= 20

Como f (2 + 5) f (2) + f (5), f não é linear.

Observação. As únicas transformações lineares de R em R são as funções da forma f (x) = mx onde m é um número real qualquer. Ou seja, dentre todas as funções cujos gráficos são retas, as lineares são, somente, aquelas que passam pela origem. Em cálculo, uma função linear é definida na forma f (x) = mx + b. Assim, nós podemos dizer que uma função linear é uma transformação linear de R em R somente se b = 0.

1.15 Exemplo. T: R3 R3; T(x, y, z) = (x2, y, 2z). T não é uma transformação linear.

Prova. Tomando os vetores u = (1, 2, – 1) e v = (3, – 1, 4) em R3 temos


Geometria Analítica e Álgebra Linear Engenharia – FAGT(u + v) = T(4, 1, 3)= (16, 1, 6) e T(u) + T(v) = (1, 2, – 2) + (9, – 1, 8)= (10, 1, 6)

Como T(u + v) T(u) + T(v), T não é linear.

1.16 Propriedades das transformações lineares.

Propriedade 1. Se T:V W é uma transformação linear então T(0) = 0, ou seja, a imagem do vetor 0 V é o vetor 0 W.

De fato, tomando = 0 na condição (ii) da definição de transformação linear temos

T(0) = T(0.v) = 0T(v) = 0.

Observação. Essa propriedade fornece um argumento rápido para verificar que uma transformação não é linear. No caso do exemplo 1.14 veja que f (0) = 3 0, e assim, f não é linear. Mas cuidado, o fato de se ter numa transformação a imagem nula para o vetor nulo não implica que ela seja linear. Ver exemplo 1.15.

Propriedade 2. Se T:V W é uma transformação linear temos:

T(1v1 + 2v2) = T(1v1) + T(2v2) = 1T(v1) + 2T(v2), 1, 2 R e v1, v2 V.

Este fato pode ser generalizado. Assim,

T(1v1 + 2v2+ ... + nvn) = 1T(v1) + 2T(v2) + ... + n(vn),

ou seja, a imagem de uma combinação linear de vetores de V é a combinação linear, de mesmos escalares, das imagens T(v1), T(v2), ..., T(vn).

Um fato muito importante, que decorre dessa propriedade: Uma transformação linear fica completamente determinada se conhecemos as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial domínio.

Assim, se T:V W é uma transformação linear, então nós só precisamos saber como T atua nos vetores de uma base de V para determinarmos a imagem de qualquer outro vetor de V. Para ver esse fato tomemos, = {v1, v2, ..., vn}, uma base de V e qualquer outro vetor v de V. Como é uma base de V, existem únicos escalares 1, 2, ..., n tais que:

v = 1v1+ 2v2 + ... + nvn.

Assim,

T(v) = T(1v1+ 2v2 + ... + nvn)

e, sendo T linear, temos

T(v) = 1T(v1)+ 2T(v2) + ... + nT(vn).

1.17 Exemplo. Seja a transformação linear T:R3 R2 e sejam

T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, – 3).

Vamos usar a propriedade 2 para:

a) Calcular T(3, – 4, 5).

O vetor (3, – 4, 5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), assim:

(3, – 4, 5) = 3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1).


Geometria Analítica e Álgebra Linear Engenharia – FAGEntão,

T(3, – 4, 5) = T[(3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)]= 3 T(1, 0, 0) + (– 4) T(0, 1, 0) + 5 T(0, 0, 1)= 3(2, 3) + (– 4)(– 1, 4) + 5(5, – 3)= (6, 9) + (4, – 16) + (25, – 15)= (35, – 22)

b) Calcular a imagem de um vetor do R3.

Procederemos da mesma maneira, considerando o vetor (x, y, z), que expressa um vetor qualquer do R3.

Como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1), T(x, y, z) = T( x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) )= x T(1, 0, 0) + y T(0, 1, 0) + z T(0, 0, 1)= x (2, 3) + y (– 1, 4) + z (5, – 3)= (2x, 3x) + (– y, 4y) + (5z, – 3z)= (2x – y + 5z, 3x + 4y – 3z)

ou seja, a transformação linear T, tal que T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, – 3) é:

T:R3 R2; T(x, y, z) = (2x – y + 5x, 3x + 4y – 3z).

Retome a parte (a) desse exemplo e confirme o resultado lá obtido.

1.18 Exemplo. Escreva a lei que define a transformação linear f : R2 R3 sabendo que

f (1, 1) = (3, 2, 1) e f (0, – 2) = (0, 1, 0).

Seja (x, y) o vetor genérico do R2. Como {(1, 1), (0, – 2)} não é a base canônica do R2 devemos, primeiro, conhecer as coordenadas de um vetor qualquer do R2, em relação a essa base. Então, escrevendo o vetor genérico do R2 como combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, – 2) temos:

(x, y) = a(1, 1) + b(0, – 2) a = x e

Assim:

(x, y) = x(1, 1) + (0, – 2)

e, agora, podemos conhecer f (x, y).

f (x, y) =

= x f (1, 1) + f (0, – 2)

= x(3, 2, 1) + (0, 1, 0)

= (3x, 2x, x) +

= .



CURSO DE ENGENHARIA DISCIPLINA: Álgebra Linear e Geometria Analítica PROFESSORA: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Exercícios

1. Seja T(x, y) = (2x – y, y, x + y) uma transformação linear de R2 em R3. Encontre:

a) T(1, – 2) b) T(– 1, 0) c) O vetor v tal que T(v) = (11, – 7, – 5).

2. Determine se as seguintes transformações são ou não lineares:

a) L:R3 R2; L(x, y, z) = (y, z); b) f :R3 R2; f (x, y, z) = (0, 0);c) L:R3 R2; L(x1, x2, x3) = (x3, x1 + x2); d) L:R3 R2; L(x, y, z) = (x2 + y, y – z);e) L:R2 R3; L(x, y) = (x, y, 1); f) f :R2 R3; f (x1, x2) = (x1, x2, x1 + 2x2);

g) L:Rnxn Rnxn; L(A) = A + I; Sendo I a matriz identidade de ordem n. h) T:M22 M22; T ;

i) L:M22 R; L ; j) T:M22 R; T ;

k) T:M22 R; T ; l) T:R4 R2; T(x, y, z, w) = (x + z, y + w);m) T:Rn R; T(x1, x2, ..., xn) = x1 + x2 + ... + xn; n) L:P1 P2; L[p(t)]=tp(t) + p(t);o) L:P2 P1; L(at2 + bt + c) = at + b + 1;

3. Sejam uma função f :R3 R2 e o conjunto B = {(1, 0, 1), (1, – 2, 1), (0, – 2, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0)}.

a) B é base do R3, domínio da f ? Encontre, a partir de B, uma base do R3.

b) Sabendo que f (1, 0, 1) = (1, 4), f (0, – 2, 0) = (– 4, 2), f (1, – 2, 1) = (– 3, 6), f (0, 1, 1) = (2, 1) e f (0, 0, 0) = (0, 0), encontre a lei que define f.

Observação: Lembre que a lei pode ser obtida se conhecermos a imagem dos vetores de uma base do domínio.

GABARITO

1.

a) T(1, – 2) = (2, – (– 2), – 2, 1 + (– 2))

T(1, – 2) = (4, – 2, – 1)

b) T(– 1, 0) = (– 2, 0, – 1)

c) (2x – y, y, x + y) = (11, – 7, – 5)

v = (2, – 7).

2. São lineares: (a), (b), (c), (f), (i), (l), (m) e (n).

3. a) B não é base do R3, pois é L.d.

= {(1, 0, 1), (1, – 2, 1), (0, 1, 1)} é uma base do R3.

b) Escrevemos o vetor genérico do R3 como combinação linear dos vetores da base temos:

(x, y, z) = a(1, 0, 1) + b(1, – 2, 1) + c(0, 1, 1)



Assim:

.

Portanto,

e, como f é linear,

que é a lei que define f.




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