Verso un modello cosmico coerente con 11

parametri: la proposta di Tegmark,

Zaldarriaga, Hamilton*

E-MAIL

*M. Tegmark, M. Zaldarriaga and A.J.S. Hamilton, Towards a refined cosmic concordance model: Joint 11-parameter constraints from the cosmic microwave background and large-scale structure, «Phisical Review D», 63, 043007 (January 30, 2001), pp. 1-14. [On-line]: versione pubblicata e preprint (ps, pdf, html). Per ulteriori informazioni visitate il sito di Max Tegmark, dove troverete i grafici animati ed i preprint a colori (ps o pdf).

Seminario, 8 gennaio 2003Corso di Astrofisica, Prof. F. MELCHIORRI

DIPARTIMENTO DI FISICA,

Università di Roma “La Sapienza”

RICCARDO COCCIOLI

Last update: 07 / 05 / 2003

I n

d i c

eI

n d

i c

eI. ObiettiviII. Premessa sugli spettri di potenza

1. Radiazione di fondo cosmica (CMB)2. Strutture su larga scala delle galassie (LSS)

III. Parametri cosmologici primariIV. Parametri cosmologici derivatiV. Dati utilizzati

1. Radiazione di fondo cosmica (CMB)2. Struttura su larga scala delle galassie (LSS)3. Nucleosintesi primordiale (BBN)4. Costante di Hubble5. Neutrini

VI. Funzione di verosimiglianzaVII. Metodo di analisi dei datiVIII. Dipendenza degli spettri dai parametri principaliIX. Valori ottimali e limiti di confidenza dei parametriX. Funzioni di verosimiglianza

1. Limiti sui parametri dai dati CMB + LSS2. Limiti sui parametri nel caso di “concordanza”

XI. Grafico nel caso di “concordanza”XII. Limiti su coppie di parametriXIII. Bibliografia

Perfezionare un metodo che permetta di facilitare il calcolo degli spettri di potenza teorici della radiazione di fondo cosmico (CMBCMB) e delle strutture su larga scala delle galassie (LSSLSS) per una griglia di valori degli 11 parametri cosmologici scelti in quest’analisi.

Confrontare gli spettri teorici così ottenuti con i dati sperimentali del CMBCMB e delle LSSLSS , facendo un’analisi di verosimiglianza secondo il metodo bayesiano, per ricavare i valori ottimali ed i limiti di confidenza degli 11 parametri cosmologici.

ObiettiviObiettiviII

INDICEINDICE

Premessa sugli spettri di potenzaPremessa sugli spettri di potenza

Radiazione di fondo cosmica (CMB)

,m

mm ,Ya,f

2

0 0

,,sin * fYdda mm

Per una rassegna consultare ,2,3

Qualsiasi funzione definita sulla superficie di una sfera, dipendente dalle coordinate angolari e , può essere espressa come somma di armoniche sferiche:

dove i coefficienti alm sono definiti da:

II. 1 AII. 1 A

INDICEINDICE

,m

mm ,YaTT,T

),(

m

mmim

md

d

m

mY e

cos

sinsin

!

!

4

12

!2

1,

2

e le armoniche sferiche sono definite da:

Le anisotropie della radiazione di fondo cosmico possono esprimersi in termini di armoniche sferiche:

I modelli cosmologici fanno previsioni sulla varianza dei coefficienti alm .

II. 1 BII. 1 B

INDICEINDICE

''''*

mmmm Caa

Assumendo l’invarianza rotazionale e la gaussianità per questi coefficienti, possiamo legare la loro media, fatta sull’insieme, ai multipoli “elle”:

Se poi facciamo modelli di universo che prevedano per le perturbazioni di densità primordiali una distribuzione gaussiana, gli alm avranno media nulla e varianza Cl ; e quindi questi modelli permettono di fare previsioni direttamente per i coefficienti Cl .

Ogni strumento coprirà con le sue misure una zona della volta celeste, a cui corrisponde un particolare angolo solido sotteso.

II. 1 CII. 1 C

INDICEINDICE

WTWCP

1

12

4

1 2

2

112

Quindi queste misurazioni saranno sensibili ai vari termini di multipolo “elle” in modo diverso, in particolare potranno rivelare solo le anisotropie con scale angolari minori dell’angolo solido spazzato dallo strumento.

La potenza ricevuta da uno strumento è:

dove Wl è chiamata “window function” e rappresenta proprio la sensibilità dello strumento ai vari multipoli.

Solitamente si normalizza il tutto rispetto ai dati forniti dal satellite COBECOBE 223

II. 1 DII. 1 D

INDICEINDICE

CT

2

1

Per poter confrontare teoria ed esperimenti bisogna conoscere la “window function” degli strumenti, necessaria per poter convertire in variazioni di temperatura sia le misure di potenza sperimentali che le previsioni teoriche sui coefficienti Cl .

In letteratura i dati del CMBCMB sono normalmente espressi in funzione dei multipoli “elle” mediante la seguente funzione:

II. 1 EII. 1 E

INDICEINDICE

Premessa sugli spettri di potenzaPremessa sugli spettri di potenza

2 Per una rassegna consultare 4,5

Strutture su larga scala delle galassie (LSS)2

Le misure astrofisiche ci permettono di ricostruire la distribuzione delle galassie nello spazio tridimensionale.

Considerando la funzione di correlazione a due punti di questa distribuzione, e calcolandone la trasformata di Fourier, si ottiene lo spettro di potenza P(k) delle galassie.

Lo spettro è espresso in funzione del numero d’onda k 2. Un picco nello spettro di potenza ad un certo k* indica che le galassie creano strutture con distanze tipiche dell’ordine di 2k*.

II. 2II. 2

INDICEINDICE

Parametri cosmologici primariParametri cosmologici primari

1. profondità ottica di reionizzazione

kPkPb g /

BB h 2

DMDM h 2

DM

f

2. AASSampiezza primordiale delle fluttuazioni scalari

3. AATTampiezza primordiale delle fluttuazioni tensoriali

4. nnSSinclinazione delle fluttuazioni scalari

5. nnTTinclinazione delle fluttuazioni tensoriali

6. bb“bias” delle galassie

7. KKcontributo di curvatura alla densità totale ()

8. contributo dell’energia del vuoto ad

9. BBdensità fisica dei barioni

10. DMDMdensità fisica della materia oscura

11. frazione calda della materia oscura

IIIIII

INDICEINDICE

Parametri cosmologici derivatiParametri cosmologici derivati

1. HHcostante di Hubble

Mpcs

kmhH 100

K

BDMh1

2. parametro di distorsione spaziale del redshift

bbb

f MMM

M6.0

6.0

21

70

1,

3. zzIONIONredshift della reionizzazione3/1

3/2

9.8 MB

ION

hz

4. tt00età dell’universo [Gy]

5. mmsomma delle masse dei neutrini [eV]

IVIV

INDICEINDICE

Dati utilizzatiDati utilizzati Radiazione di fondo cosmica (CMB)

Tutti i dati disponibili al momento dell’analisi (prima del 2000).

V. 1V. 1

INDICEINDICE

Dati utilizzatiDati utilizzati Strutture su larga scala delle galassie (LSS)

I dati del Point Source Catalogue Redshift Survey del satellite IRAS 6.

V. 2V. 2

INDICEINDICE

Dati utilizzatiDati utilizzati

0024.0019.0 B

Nucleosintesi primordiale (BBN)

I risultati delle ultime misurazioni (del 1999) della densità di materia barionica dal rapporto deuterio - idrogeno (D/H) nelle nubi molecolari ad alto redshift .

V. 3V. 3

INDICEINDICE

Dati utilizzatiDati utilizzati Costante di Hubble

08.072.0 h Neutrini

310f

I risultati finali (2000) delle misurazioni della costante di Hubble da parte del telescopio spaziale Hubble a 8.

Si assume che il contributo cosmologico dei neutrini sia trascurabile, accettando la duplice ipotesi che la degenerazione tra le masse dei vari neutrini sia piccola, e che le misure sui neutrini atmosferici da parte di Super Kamiokande comportino 43 .

Si è così scelto di non considerare i risultati di misure di tipo astrofisico che danno una più alta stima della densità dei neutrini 2 .

V. 4V. 4

INDICEINDICE

Funzione di verosimiglianzaFunzione di verosimiglianza

n

ii xfxL1

;

Data una funzione di distribuzione x , della variabile casuale X dipendente dal vettore dei parametri , se considero un insieme di n valori assunti dalla variabile casuale, definisco come funzione di verosimiglianza:

che rappresenta una quantità proporzionale alla probabilità che gli n valori della variabile casuale si presentino all’osservazione.

La stima delle componenti di col metodo di massima verosimiglianza, dato un insieme di n punti, è il valore per il quale la funzione L x è massima.

VIVI

INDICEINDICE

Metodo di analisi dei datiMetodo di analisi dei dati 3

TT

SS CACAC kPbAkP Sg

2

SBDMKS nffC ,,,,,,

SBDMK nffkP ,,,,,

TBDMKT nfC ,,,,,

3 Per maggiori dettagli sul metodo consultare

1. Calcolo degli spettri di potenza teorici del CMBCMB ( Cl ) e delle LSSLSS ( P(k) ) per una griglia di modelli nello spazio dei parametri, usando le seguenti espressioni:

In questo modo si sono poi calcolati tre diversi spettri separatamente, che singolarmente dipendono da soli 6 o 7 parametri ciascuno, velocizzando molto tutto il processo di calcolo.

VII AVII A

INDICEINDICE

2. Calcolo della funzione di verosimiglianza per quantificare l’aderenza di ciascun modello teorico ai dati sperimentali;

LSSCMBLSSCMBTOT eeLLL 2/2/ 22

Metodo di analisi dei datiMetodo di analisi dei dati

3. Interpolazione della funzione di verosimiglianza nello spazio dei parametri per creare una funzione continua.

4. Massimizzazione di quest’ultima per ottenere i valori ottimali dei vari parametri, sia singolarmente che a coppie.

5. Calcolo dei limiti di confidenza al 5 per i valori ottimali dei vari parametri.

VII BVII B

INDICEINDICE

L’uso del metodo bayesiano comporta una scelta a priori delle funzioni di distribuzione da attribuire ai vari parametri, in modo che i valori più “attendibili” del parametro contino di più nell’analisi statistica rispetto ai valori più “strani”. Questo permette di restringere gli errori sulla determinazione dei parametri se le assunzioni a priori sono esatte, altrimenti può introdurre degli errori sistematici.Nonostante i “rischi” dovuti al tipo di analisi, i risultati sono in buon accordo con i più recenti dati del satellite WMAPWMAP, ottenibili qui .

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da VIII AVIII A

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da AASS

VIII BVIII B

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da AATT

VIII CVIII C

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da nnSS

VIII DVIII D

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da bbVIII EVIII E

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da KK

VIII FVIII F

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da VIII GVIII G

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da BB

VIII HVIII H

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da DMDM

VIII IVIII I

INDICEINDICE

Dipendenza degli spettri daDipendenza degli spettri da VIII LVIII L

INDICEINDICE

Valori ottimali e limiti diValori ottimali e limiti diconfidenza dei parametriconfidenza dei parametri

IXIX

INDICEINDICE

SOLO CMB CMB LSS CMB LSS BBN h ƒDATI UTILIZZATI :

Funzioni di verosimiglianzaFunzioni di verosimiglianza

Limiti sui singoli parametri nel caso CMBCMB + LSSLSS

X. 1X. 1

INDICEINDICE

Funzioni di verosimiglianzaFunzioni di verosimiglianza

Limiti sui singoli parametri nel caso di “concordanzaconcordanza”

X. 2X. 2

INDICEINDICE

X. 1-2X. 1-2

INDICEINDICE

Grafico del caso di “concordanza”Grafico del caso di “concordanza”

CMBCMB: 8888 punti

LSSLSS: 22 punti

TOTTOT: punti

ParametriParametri:

8

226

22//8

XIXI

INDICEINDICE

Limiti nel pianoLimiti nel piano nnSS BBXII AXII A

INDICEINDICE

Limiti nel pianoLimiti nel piano DMDMBBXII BXII B

INDICEINDICE

Limiti nel pianoLimiti nel piano DMDMXII CXII C

INDICEINDICE

Limiti nel pianoLimiti nel piano MM XII DXII D

INDICEINDICE

BibliografiaBibliografia

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22 Hu, W., Dodelson, S.: Annu. Rev. Astron. and Astrophys. 22Þ

33 Refriger, A.: http:// xxx.lanl.gov /abs/astro-ph/9904235 Þ

44 Einasto, J.: 2 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0011332 Þ

55 Vogeley, M.: 8 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9805160 Þ

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Burles, S. et al.: Phys Rev. Lett. 82,46Þ

88 Freedman, W. et al.: 2 http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/0012376 Þ

Scholberg, K. et al.: http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ex/9905016 Þ

Croft, R. A. C., Hu, W., Davé, R.: Phys Rev. Lett. 83,2Þ

Tegmark, M., Zaldarriaga, M.: Astrophys. J. 5442,3Þ

XIIIXIII

INDICEINDICE