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Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen. Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf [email protected]. member/2 append/3 delete/3 reverse/2 reverse/3 permute/2 sort/2 qs/2 partition/4. Listenelemente finden Listen konkatenieren Listenelemente löschen/einfügen - PowerPoint PPT Presentation
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Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
Prolog Grundkurs WS 99/00
Christof Rumpf
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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Listenverarbeitung bisher
member/2 append/3 delete/3 reverse/2 reverse/3 permute/2 sort/2 qs/2 partition/4
Listenelemente finden
Listen konkatenieren
Listenelemente löschen/einfügen
Liste umkehren (naiv)
Liste umkehren (mit Akkumulator)
Liste permutieren (n!)
Liste permutationssortieren (n!)
Liste mit Quicksort sortieren (n log n)
Liste in Teillisten partitionieren
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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deleteall/3
% deleteall(Term,Liste1,Liste2) deleteall(_,[],[]). deleteall(X,[X|T1],L):- deleteall(X,T1,L). deleteall(X,[H|T1],[H|T2]):- X \= H, deleteall(X,T1,T2).
Termination
Lösche X aus Kopf
Lösche X aus Rest T1
Behalte Kopf H,
falls H X
Lösche X aus Rest T1
deleteall/3 löscht alle Vorkommen eines Terms aus einer Liste, während delete/3 genau ein Vorkommen eines Terms löscht und scheitert, wenn der Term nicht vorkommt.
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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makeset/3
% makeset(Liste1,Liste2) makeset([],[]).
makeset([H|T1],[H|T2]):- deleteall(H,T1,L), makeset(L,T2).
Termination. Behalte Kopf H. Löschen aller H aus T1 liefert L. Entferne alle Duplikate aus L.
makeset/2 entfernt mit Hilfe von deleteall/3 alle Duplikate aus Liste1 und liefert Liste2 als Ergebnis.
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Verschachtelte Listen
Als Listenelemente können beliebige Terme auftreten, also auch Listen.
[1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6]
Die Verarbeitung von Listen von Listen erfordert häufig doppelte Rekursion, sodaß bei einer Zerlegung nicht nur der Rest, sondern auch der Kopf rekursiv weiterverarbeitet wird.
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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Verflachen von Listen
Das Prädikat flatten/2 wandelt eine verschachtelte Liste in flache Liste um.
?- flatten([1,2,3,[a,b,[x,y],c],4,5,[],6],L). L = [1,2,3,a,b,x,y,c,4,5,6] yes
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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flatten/2
%flatten(VerschachtelteListe, FlacheListe) flatten([],[]).
flatten([H|T],FL):- flatten(H,FH), flatten(T,FT), append(FH,FT,FL).
flatten(X,[X]):- X \= [], X \= [_|_].
Leere Liste ist schon flach.
Zerlege verschachtelte Liste.
Verflache Kopf.Verflache Rest.Konkateniere verflachten Kopf und Rest zu Ergebnis.
Term in flache Liste packen,falls Term keine Liste ist.
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Effizienz von flatten/2
flatten/2 hat nach dem zweiten rekursiven Aufruf einen Aufruf von append/3. Dies drückt die Performance ähnlich nach unten, wie wir es schon beim naiven reverse/2 gesehen haben.
Verbesserung: flatten/3 mit Akkumulator!
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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flatten/3
flatten(VL,FL):- flatten(VL,[],FL). flatten([],[],[]). flatten([],[H|Acc],FL):- flatten(H,Acc,FL). flatten([H|T],Acc,FL):- is_list(H), flatten(H,[T|Acc],FL). flatten([H|T1],Acc,[H|T2]):- not is_list(H), flatten(T1,Acc,T2).
flatten/2 ruft flatten/3 auf.
Initialisierung des Akkumulators.
Termination.
Falls verschachtelte Liste leer,
verflache Kopf des Akkumulators.
Falls Kopf von VL nichtleere Liste,
nimm Rest von VL in Akkumulator
und verflache H.
Falls Kopf von VL keine Liste ist,
übernimm den Kopf in flache Liste
und verflache Rest von VL.
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is_list/1
Das Prädikat is_list/1 ist beweisbar, wenn das Argument eine leere oder nichtleere Liste ist.
is_list([]). is_list([_|_]). Aus Effizienzgründen verzichten wir auf
Korrektheit für is_list/1 , indem wir auf den rekursiven is_list/1 -Beweis für Restlisten nichtleerer Listen verzichten.
29.11.99 GK Prolog - Verschachtelte Listen, Differenzlisten, Graphen
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(2) CALL: flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0098) ? > (5) CALL: flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0AB8) ? > (8) CALL: flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0C14) ? > (11) CALL: flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], _0D70) ? > (13) CALL: flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _0D70) ? > (16) CALL: flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _11E4) ? > (19) CALL: flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], _1340) ? > (21) CALL: flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], _1340) ? > (24) CALL: flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], _17B4) ? > (27) CALL: flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], _1910) ? > (30) CALL: flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], _1A6C) ? > (34) CALL: flatten( [], [[4,[],5,6]], _1D00) ? > (35) CALL: flatten( [4,[],5,6], [], _1D00) ? > (38) CALL: flatten( [[],5,6], [], _1F94) ? > (40) CALL: flatten( [], [[5,6]], _1F94) ? > (41) CALL: flatten( [5,6], [], _1F94) ? > (44) CALL: flatten( [6], [], _2540) ? > (47) CALL: flatten( [], [], _269C) ? > (47) EXIT(N): flatten( [], [], []) (44) EXIT(N): flatten( [6], [], [6]) (41) EXIT(N): flatten( [5,6], [], [5,6]) (40) EXIT(N): flatten( [], [[5,6]], [5,6]) (38) EXIT(N): flatten( [[],5,6], [], [5,6]) (35) EXIT(N): flatten( [4,[],5,6], [], [4,5,6]) (34) EXIT(N): flatten( [], [[4,[],5,6]], [4,5,6]) (31) EXIT(N): flatten( [c], [[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) (30) EXIT(N): flatten( [], [[c],[4,[],5,6]], [c,4,5,6]) (27) EXIT(N): flatten( [z], [[c],[4,[],5,6]], [z,c,4,5,6]) (24) EXIT(N): flatten( [y,z], [[c],[4,[],5,6]], [y,z,c,4,5,6]) (21) EXIT(N): flatten( [x,y,z], [[c],[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) (19) EXIT(N): flatten( [[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [x,y,z,c,4,5,6]) (16) EXIT(N): flatten( [b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [b,x,y,z,c,4,5,6]) (13) EXIT(N): flatten( [a,b,[x,y,z],c], [[4,[],5,6]], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (11) EXIT(N): flatten( [[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (8) EXIT(N): flatten( [3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (5) EXIT(N): flatten( [2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [], [2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6]) (2) EXIT(N): flatten([1,2,3,[a,b,[x,y,z],c],4,[],5,6], [],[1,2,3,a,b,x,y,z,c,4,5,6])
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Graphen
Viele Probleme lassen sich graphentheoretisch modellieren. Ein Graph ist ein mathematisches Objekt mit klar definierten Eigenschaften und Methoden.
Bäume sind Graphen mit speziellen Eigenschaften. Wir nähern uns jetzt Bäumen an, indem wir von gerichteten Graphen über DAGs zu geordneten Bäumen kommen.
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Gerichteter Graph
Ein gerichteter Graph G ist ein Tupel <N, E>, wobei N(odes) eine Menge von Knoten und E(dges) eine Menge E N × N von Kanten ist.
G1 = <{a,b,c,d,e}, {<a,b>,<a,c>,
<b,d>,<d,c>, <d,e>,<d,a>}>
a
b c
d
e
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Prolog-Repräsentation: Graph
als Fakten:
node(a). ... node(e). edge(a,b). ... edge(d,a).
als Struktur:
([a,b,c,d,e], [(a,b),(a,c), (b,d),(d,c), (d,e),(d,a)])
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Transitive Hülle
Die transitive Hülle eines Graphen G= <N, E> ist die Menge H(G) N × N, sodaß gilt:
1. E H(G) 2. <x, y> H(G) <y, z> H(G)
<x, z> H(G)
Die transitive Hülle liefert uns alle Verbindungen, die zwischen Knoten bestehen.
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Berechnung in Prolog
Transitive Hülle für Faktenrepräsentation: closure(X,Y):- edge(X,Y). closure(X,Y):- edge(X,Z), closure(Z,Y)
Transitive Hülle für Listenrepräsentation: closure(X,Y,E):- member((X,Y),E). closure(X,Y,E):- member((X,Z),E),
closure(Z,Y,E). % E = [(N1,N2),...,(Ni,Nk)]
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DAG
Ein gerichteter azyklischer Graph (DirectedAcyclicGraph) G = <N, E> ist ein Graph, für den gilt:
<x, y> H(G): x y
Kein Knoten ist in H(G) mit sich selbst verbunden.
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Bäume
Ein DAG G = <N, E> ist ein Baum, wenn gilt:
x,y,z N: <x, z> E <y, z> E x = y
Jeder Knoten in einem Baum hat maximal einen Vorgänger.
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Geordnete Bäume
Ein geordneter Baum G = <N, E, O> ist ein Baum mit einer totalen Ordnungsrelation O N × N, sodaß gilt:
x,y,z N: <x, y> E <x, z> E y z <y, z> O <z, y> O
Die unmittelbaren Nachfolger eines Knotens stehen in einer linearen Ordnung.
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Beispiel Syntaxbaum
S
NP VP
Det N V NP
Jeder Mann liebt Det N
eine Frau
Zwei Relationen:
unmittelbare Dominanz zwischen Mutter- und Tochterknoten
lineare Präzedenz zwischen Tocherknoten
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Lineare Repräsentation in Prolog
als Struktur: s(np(det(jeder),n(mann)), vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau))))
als Liste: [s, [np, [det, [jeder]], [n, [mann]]],
[vp, [v, [liebt]], [np, [det, [eine]], [n, [frau]]]]]
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Univ
Strukturen und Listen können ineinander überführt werden. Prolog stellt dazu das eingebaute Prädikat =.. (Univ) zur Verfügung.
?- det(ein) =.. L. ?- np(det(ein),n(mann)) =.. L.
L = [det,ein], yes L = [np,det(ein),n(mann)] ?- S =.. [det,ein]. S = det(ein), yes Allgemein:
p(A1,...An) =.. [p,A1,...An]
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Listen vs. Strukturen
Strukturen sind zwar für das menschliche Auge leichter zu überblicken, dafür sind Listenreprä-sentationen allerdings flexibler zu verarbeiten.– Strukturen: Zugriff auf Argumente nur bei
bekanntem Funktor und bekannter Stelligkeit möglich.
– Listen: Zerlegung in Kopf und Rest für jede nichtleere Liste in gleicher Weise.
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Pretty Printing ?- pp(s(np(det(jeder),n(mann)),
vp(v(liebt),np(det(eine),n(frau))))) s
np det jeder n mann vp v liebt np det eine n frau
Ein Pretty-Printer für Bäume ist ein Programm, das die lineare Repräsentation eines Baumes als eingerückten Baum auf den Bildschirm ausgeben kann.
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Handwerkszeug zum Drucken
Wir benötigen ein paar eingebaute Prädikate, um einen Pretty-Printer implementieren zu können:
write(Term) Schreibt Term auf den Bildschirm.
nl Bewirkt einen Zeilenvorschub. tab(Integer) Schreibt 0-n Leerzeichen. Number is Expr Führt Berechnungen durch.
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pprint/1
pprint(Term):- pprint(Term,0). Initialisierung des Tab-Zählers.
pprint(Term,N):- Baum drucken. tab(N), write(F), nl, Ausgabe des Mutterknotens. N1 is N+3, Tabulator erhöhen. pprintl(Args,N1). Unterbäume drucken.
pprintl([H|T],N):- Unterbäume drucken. pprint(H,N), Drucke eine Schwester. pprintl(T,N). Drucke die anderen Schwestern. pprintl([],_). Termination.
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Differenzlisten
Eine Differenzliste ist ein Paar von Listen (L1,L2), wobei L2 ein Suffix von L1 repräsentiert. Die Elemente einer Differenzliste sind die nach Abzug von Suffix L2 verbleibenden Elemente in L1.
Differenzliste gewöhnliche Liste ([E1,...,En|T],T)[E1,...,En] (L,[]) L (L,L) []
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[1,2,3] als Differenzliste
Für jede gewöhnliche Liste gibt es unendlich viele Darstellungen als Differenzliste, weil es beliebige Suffixe geben kann.
[1,2,3] ([1,2,3],[]) ([1,2,3,4,5],[4,5]) ([1,2,3,a,b|T],[a,b|T])
([1,2,3|T],T)
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Konkatenation von Diff-Listen
Differenzlisten haben einen entscheidenden Vorteil gegenüber gewöhnlichen Listen: Man kann sie in konstanter Zeit konkatenieren. Genauer: in einem Schritt.
?- D1 = ([1,2,3|T1],T1), D2 =([4,5,6|T2],T2), append_dl(D1,D2,D3). D3 = ([1,2,3,4,5,6|T2],T2), yes
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append_dl/3
append_dl((A,B),(B,C),(A,C)).