venta su 1 - albatrosmatematicos.files.wordpress.com · ... ¿Cuál es el punto cardinal por donde se oculta el sol? . g) ¿Qué otro nombre recibe? . ... trenador de baloncesto,

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�Tiempo asignado: 10 horas

1Reconoces lugares geométricos

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• Identificalascaracterísticasdeunsistemadecoordenadasrec-tangulares.

• Interpretalainformaciónapar-tirdelanocióndeparejasor-denadas.

• Reconocelasrelacionesentrevariablesqueconformanlaspa-rejasordenadasparadetermi-narunlugargeométrico.

• Geometríaanalíticaintroductoria• Sistemadecoordenadasrectan-gulares

• Parejasordenadas: - Igualdaddeparejas• Lugaresgeométricos

• Expresaideasyconceptosmedianterepresen-taciones lingüísticas,matemáticasygráficas,asimismo, interpreta tablas, mapas, diagra-mas y textos con símbolos matemáticos ycientíficos.

• Sigue instruccionesyprocedimientosdema-nerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobje-tivo.

• Construyehipótesis,diseñayaplicamodelosparaprobarsuvalidez.

• Utilizalastecnologíasdelainformaciónyco-municaciónparaprocesareinterpretarinfor-mación.

• Eligelasfuentesdeinformaciónmásrelevantesparaunpropósito específico y discriminaentreellas de acuerdo con su relevancia y confiabili-dad.

• Definemetasydaseguimientoasusprocesosdeconstruccióndeconocimientos.

• Propone lamanerade solucionar unproblemaydesarrolla un proyecto en equipo, definiendo uncursodeacciónconpasosespecíficos.

• Aportapuntosde vista conapertura y consideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.

• Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuen-tadentrodedistintosequiposdetrabajo.

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B1 �B1 �Lastablasygráficasseusanenlosmediosdeinformación(periódicos,revis-tas,tv,internet,etc.)parapresentardatosdediversoscontextos,yparaen-tenderlasserequieredelanocióndeunsistemadeejescoordenados,parejaordenadaylugargeométrico.Porconsiguiente,enestebloqueconoceráslautilidaddelestudiodelageometríaanalíticacomopartefundamentalenmúl-tiplesinnovacionesdenuestraépoca,eidentificaráselSistema de ejes coorde-nados yloselementosnecesariospararepresentarensusdistintasformasunlugargeométrico.

Realizalossiguientesejercicios,puedesresolverlosenlosespaciosdetulibrooentucuaderno.

I. Encierralaopciónconelresultadocorrecto.

1. Unafracciónequivalentea57es:

a)75 b)

2549

c)4056 d)

257

2. ¿Cuáldelassiguientesfraccionesseencuentraentre−85y

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?

a) −74

b) −87

c)45 d)

97

3. Latemperaturaregistradaenunaciudadalas6a.m.fuede7 ºC.Siparaunahoramástardelatemperaturaseredujoalamitad,¿encuáldelassi-guientesrectasnuméricasseubicalatemperaturaregistradaalas7a.m.?

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

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B1 �Reconoceslugaresgeométricos

4. ¿Cuáles son las coordenadas de losvérticesdeltriángulodelasiguientefigura?

a) A(1, −3), B(2, 4), C(−4, 2) b) A(−3, 1), B(4, 2), C(2, −4) c) A(1, 3), B(−2, 4), C(4, 2) d) A(−2, 0), B(3.3, 0), C(0, −2)

II. Anotalarespuestacorrectaacadacuestión.

1. Cadapuntodeunarectanuméricapuedehacersecorresponderconunnú-meroreal.

a) ¿Cuáleselconjuntodenúmerosreales?

b) Escribe20númerosreales:

c) Trazaunarectanuméricaymarcaconunpuntolalocalizacióndelossi-guientesnúmerosreales:

−10, −74

, 9.25, 6, π, 5, 22, 9

23, −

π4

, 12305486351

, −4275570

, 162

, 303

, − 64, 2, 77

6. Eneltranscursodeltiempo,elserhumanohautilizadodistintosmétodosyelementosparapoderubicarse,yhasidodesumaimportanciadisponerdelospuntoscardinalescomoreferencia.

a) ¿Cuálessonlospuntoscardinales?

Escríbelostambiéneninglés:

b) ¿Cómosellamalafiguraqueindicaloscuatropuntoscardinalesysusin-termedios?

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B1 �B1 � c) Dibujadichafigura.

d) ¿Cuáleselpuntocardinalpordondesaleelsol? .

e) ¿Quéotronombrerecibe? .

f) ¿Cuáleselpuntocardinalpordondeseocultaelsol? .

g) ¿Quéotronombrerecibe? .

I. Realizalasiguientelectura.

Desarrollan una aplicación para estudiar los movimientos del baloncesto por gps

Todos los jugadores llevan un gps y, una vez finalizado el partido o el entrenamien-to, los datos del dispositivo se vuelcan en un programa informático que realiza re-presentaciones gráficas de los movimientos que han realizado, cómo han ocupado los espacios o la velocidad a la que se han movido. Parece el sueño de todo en-trenador de baloncesto, un deporte muy táctico en el que casi todo se estudia al detalle, y está más cerca de hacerse realidad. Un proyecto de investigación de la Universidad de Salamanca ha creado una aplicación informática que en un futu-ro cercano podría convertirse en un instrumento de trabajo para los profesiona-les del deporte.

La idea se ha materializado en el proyecto de fin de carrera de Laura Casares Gon-zález, alumna de Ingeniería Informática de la Universidad de Salamanca. “Había-

Actividad introductoria

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mos pensado estudiar los movimientos de las personas y queríamos orientarlo al deporte”, señala. La joven investigadora confiesa que en un primer momento pen-só en el fútbol, pero el deporte que más le gusta es el baloncesto, así que el proyec-to se decantó hacia el mundo de la canasta, que ofrece muchísimas variantes tácticas que pueden ser objeto de estudio. Así, de la idea de analizar los movimientos, pasó a aspectos más complejos: cambios de ritmo, trayectorias y “cualquier cosa llamati-va, como el tiempo que está un jugador en zona, la velocidad o la distancia que re-corre, todos los aspectos dinámicos y físicos”, señala.

El mismo sistema que guía al conductor de un coche hasta su destino gracias a la localización por satélite puede utilizarse para esta novedosa aplicación. El jugador se coloca un gps de muñeca, similar a un reloj aunque un poco más grande, realiza el ejercicio físico y, cuando finaliza, se descargan los datos en un ordenador, don-de está instalada la aplicación, que se encarga de representar de forma gráfica to-dos los datos. El gps ofrece información sobre las coordenadas, longitud y latitud, y el tiempo, datos a partir de los cuales se extrae toda la información que el progra-ma convierte en datos útiles.

La aplicación es capaz de leer el archivo y traduce las coordenadas básicas a metros y los metros a píxeles para realizar la representación gráfica sobre el dibujo de una cancha de baloncesto. A partir de ahí, para representar la velocidad y la distancia se usa la variable del tiempo, puesto que cada segundo queda registrada la posición del jugador. Esto permite que el entrenador pueda ver en la pantalla líneas de puntos que se corresponden con la trayectoria de un jugador y que aparezcan, por ejemplo, en distintos colores en función de la velocidad a la que se desplazó el jugador.

Mejora y complementa los videos

Hasta ahora, el trabajo táctico de un preparador de baloncesto se ha basado en los videos, pero este sistema podría ser complementario y aportar mucha más informa-ción. “Cada segundo de juego tienes la visión de dónde estaban los jugadores, pue-des estudiar las distancias y las posiciones que han ocupado y esto ayuda a ver los errores cometidos, si se ha jugado muy cerrado o muy abierto, o por dónde se han movido los jugadores. Con el video al lado, sería práctico”, apunta Laura Casares.

El profesor de Informática Roberto Therón ha sido el director de este proyecto y destaca la vertiente de investigación del mismo. “Buscamos una herramienta útil para los entrenadores de baloncesto, pero la idea está dentro de una línea de inves-tigación que se llama análisis de tiempo−movimiento y que habitualmente se de-sarrolla con grabaciones en video”, comenta. Sin embargo, extraer información precisa del video “es complejo y tampoco se logra cubrir lo que un entrenador ne-cesitaría”, señala.

De ahí las ventajas del gps, al permitir conocer la posición de cada jugador durante todo el partido o entrenamiento. Así, el entrenador “sabría qué área está cubierta en cada momento y podría ver la representación gráfica de forma dinámica, pudiendo ir atrás y adelante para ver dónde están los problemas”, señala Therón.

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B1 �B1 �Problemas que superar

Sin embargo, para que el sistema se llegue a poner en práctica de forma real, debe-rá superar dos problemas: la escasa precisión del sistema gps y la falta de cobertu-ra en espacios cerrados, como un pabellón de baloncesto. “En la actualidad, el sis-tema gps no permite una precisión mayor de un metro, de forma que un jugador podría aparecer desplazado esa distancia a un lado o al otro respecto a su posición real”, reconoce el profesor. Sin embargo, esto se va a ver solventado en breve, por-que el sistema está mejorando y se espera que en muy pocos años ofrezca las posi-ciones al detalle para todo tipo de aplicaciones.

Más complejo parece resolver el segundo problema, el uso de estos dispositivos en espacios cerrados. Sin embargo, “lo que nosotros proponemos es una línea de in-vestigación, hacemos esta propuesta en espacios abiertos y, a partir de ahí, se pue-de avanzar mucho”, apunta Roberto Therón. Además, hay que tener en cuenta que este mismo sistema podría aplicarse a otros muchos deportes.1

Agrupadosenequipos,respondanlassiguientespreguntas.

1. ¿Quéesungps?

2. Segúnlalectura,¿quédatosofrecealentrenadordelequipodebaloncestoparaanalizareldesempeñodesusjugadores?

3. ¿Quéserequiereparaconocerlaubicacióndeunjugador?

4. ¿Quélimitantesenfrentaestatecnología?

5. Investigadosusosespecíficosdelgpsycompartecontugrupotuinfor-mación.

1 http://www.agenciasinc.es/esl/Noticias/Desarrollan−una−aplicacion−para−estudiar−los−movimientos−del−baloncesto−por−gps

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Geometría analítica, ¿para qué?

Muchosavancestecnológicosdenuestraépoca,comolascomputadoras,lossatélitesy losaparatosdeposicionamientoglobal (gps)sehandesarrolladograciasalestudiodelageometríaanalítica.Tambiénesdegranutilidadenelcampodelaastronomía,cartografía,arquitecturayenotrasgeometríascomoladescriptivaylaespacial.

Larespuestaanuestrainterroganteesmuyamplia,pueselestudiodelageo-metríaanalítica,ademásdeayudarnosennuestrodesarrollo intelectualad-quiriendounaestructuradepensamientológico,nosayudaacomprenderlasdistintasformasycaracterísticasdelentornofísicoquenosrodea.

Definición y origen de la geometría analítica

Lageometría analíticatienesuorigenenelsigloxvii,con lapropuestadeunnuevométodopara resol-ver problemas geométricos, siendo René Descar-tes(1596−1650)yPierredeFermat(1601−1655)losdosgrandesiniciadoresdeestaramadelasmate-máticas.Posteriormente,lasaportacionesdegran-des personalidades como Newton (1704) y Euler(1748), representanunavanceen la formalizacióndelageometríaanalítica.

LaobradeRenéDescartesDiscurso del Métodode-nominadaGéometrie,establecióunaconexiónen-treelálgebraylageometríaconayudadelsistemade coordenadas, el cual también se conoce como“sistemacartesiano”.

PierredeFermatensuobraIntroducción a la teoría de los lugares planos y espacialesdesarrollóunsiste-madecoordenadasrectangularesylaaplicacióndelosmétodosalgebraicosalageometría.

En1704,IsaacNewtonpublicólaobraEnumeración de las curvas de tercer orden, en la cualmostrabanuevasposibilidadesdelmétododecoordenadas,definiendolossignosdelasfuncionesenloscuatrocuadrantes.

Figura 1.1RenéDescartes.

Figura 1.2PierredeFermat.

Figura 1.3IsaacNewton.

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B1 �B1 �Leonhard Euler, en 1748, en el segundo tomo delaobraIntroducción al análisisformalizalageome-tríaanalítica,endondeestudiótemascomoelsis-temadelageometríaanalíticaenelplano,introdu-ciendolascoordenadasrectangularesenelespacioy lastransformacionesde lossistemasdecoorde-nadas,clasificacióndelascurvassegúnelgradodesusecuacionesy suspropiedades, seccionescóni-cas,entreotros.

Lageometríaanalíticaestudialaresolucióndeproblemasgeomé-tricos utilizandométodos algebraicos; permite, además, repre-sentar unaecuaciónmedianteunagráfica y unagráfica con suecuación.

Para el estudio de la geometría analítica, necesitarás apoyarte de los con-tenidos abordados en tus cursos anteriores de geometría plana o euclidia-na y álgebra.Además, para efectuar el tránsito entre las representaciones(ecuación−gráfica, gráfica−ecuación) usarás un sistema de ejes coordenados rectangular,mismoqueanalizarásacontinuación.

Sistemas de ejes coordenados

Unsistema de ejes coordenados seformaconunejecoordenadox,unejecoor-denadoy,y/ounejecoordenadoz.

Losejescoordenadossonunsistemadereferenciaquepermitedistinguirlospuntosqueformanunejeounplanoconcaracterís-ticasúnicasparacadaunodeellos.

Unsistemadeejescoordenadosseclasificaen:

• Sistemacoordenadounidimensional(ejecoordenadoorectanuméri-ca).Ésteconstadeuneje,yaseaelejecoordenadoxoelejecoorde-nadoy.

• Sistemacoordenadobidimensional(sistemadeejescoordenadosrec-tangulares,sistemacartesianooplano).Constadedosejes, elejecoor-denadoxyelejecoordenadoy.

• Sistemacoordenadotridimensional(sistemadeejescoordenadosenelespaciooentresdimensiones),formadoporelejecoordenadox,elejecoordenadoy,yelejecoordenadoz.

Lossistemascoordenadosqueabordaremosenestebloqueson:el sistemacoordenadounidimensional yelsistemacoordenadobidimensional.Parare-

Figura 1.4LeonhardEuler.

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ferirnosaellosemplearemoslosnombresdeeje coordenadoysistema de ejes coordenados rectangular.

Eje coordenado

Cuandoviajasencarreterahabrásobservadoletrerosqueindicanqueseestárealizandoalgúntrabajosobrelamisma,loscualestepermitentomarprecauciones,porejemplo: “Construccióndelacarreterabrechahuastecadelkm17+600alkm24+500”,“Pavi-mentaciónconcarpetadeconcretoasfálticodelkm14+500al24+500”enlosmunicipiosdeTamalínyTantimaenelestadodeVeracruz”,obien,señalamientoscomo:“Topea50m”,“Xalapaa240km”yotrosenlosqueseespecificaunpuntodereferenciaubicadoenunalínea.

Estosseñalamientostienensentidodebidoalautilizacióndeuneje coordena-do,endondeseescogeunorigenO,unsegmentocomounidaddelongitudyunsentido.Demaneraconvencional,escomúnelegir,enelejehorizontal,elsentidopositivoorientadohacia laderechayelsentidonegativohacia la iz-quierda.Esteeje coordenadoseindicacomoeje x’Ox.

Veamos:

CadacoordenadaopuntoPquepertenecealejesecorrespondeconunnú-merorealxespecíficoydichopuntoPeslarepresentacióndelnúmerorealx;lanotaciónutilizadapararepresentarunpuntoesmedianteunaletrama-yúscula,obien,conlaexpresiónP(x1)queselee:“elpuntoPdecoordenadax1”o“elpuntox1”.

Ejemplos

Lossiguientesejemplosmuestranlastresformasquesepuedenemplearparaubicarunpuntoenunejecoordenado.

Enelsiguienteejecoordenadox’Oxseseñalanlascoordenadas:

x1 = −4, x2 = −65

, x3 = 3, x4 = 73

y x5 = 3 2

Figura 1.5

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B1 �B1 �Ahoraseseñalanlascoordenadasconmayúsculas,donde:0 eslacoordenada

deO,−7eslacoordenadadeA,− 52eslacoordenadade B, eslacoordenada

deCy 20 eslacoordenadadeD.

Porúltimo,seobservala localizacióndelospuntos:P1

132

−

, P2(−3), P3

12

,

P4 2π

y P5(5).

Elusodeestastresformaspararepresentarunpuntoenunejecoordenadoesindistinto,asíquetúdecidiráscuálelegir.

I. Ubicalascoordenadasenelejex’Ox.

1.Trazaenunahojablancaunejecoordenadoconlassiguientescaracterísticas:

a) Ejecoordenadohorizontalx’Ox. b) Elsegmentoconsideradocomounidaddelongitudparagraduareleje

sea1cm,ubicandounorigenymarcando10unidadesencadasentido. c) Marcaconpuntos(dediferentecolor)10coordenadas.

2. Trazasobrelamismahojablancaotroejecoordenadoconlasmismasca-racterísticasqueelanteriorylocalizalascoordenadas:

A −

132

, B −( )π , C −

45

, D(1.2), E(3.5), F163

, G 50( )

II. Intercambiaconuncompañerolosejescoordenadoselaborados,conlafi-nalidaddequeésterealicelosiguiente:

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a) Enelprimerejecoordenado,identificalospuntosmarcadosyrepresén-talosconsurespectivacoordenada,usandoparaelloalgunadelastresformasderepresentación.

b) Enelsegundoejecoordenado,verificaquelascoordenadasindicadassehallanlocalizadocorrectamente.

c) Regresalahojaatucompañeroycomentenlosaciertosyerrores.Acla-renlasdudasconlaayudadelprofesor.

Sistema de ejes coordenados rectangular

Comoobservamosen laactividad introductoria,existendiversosmétodosdeubicación,en loscualesel sistemadeejescoordenadosrectangulartieneunpapelmuyim-portante.Elusodeunsistemadeejescoordenadosrec-tangularhasidomuyútilendiversasáreasparaeldesa-rrollo científico, yaquepermitehacer la representacióngeométrica(gráfica)deunadeterminadasituación,ylo-grarapartirdetalgráficaelmodeloalgebraico(ecuación)deseado(verfiguras).Porestemotivocentraremosnues-traatenciónenelestudiodeunsistemadeejescoordena-dosrectangular.

Figura 1.6Enalgu-nasexcavacionesarqueo-lógicas,paradeterminarlaubicacióndelaspiezasencontradas.

Figura 1.7Enlalocaliza-cióndepuntosgeográficosquenosayudanaubicarnosenelespacio.

Figura 1.8Enfísica,pararepresentarunsistemadefuerzas.

Figura 1.9Enlarepresen-tacióndedatosestadísticos.

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B1 �B1 �I. Construyeunsistemadeejescoordenadosrectangular.

1. Trazaenunahojablancaunsistemadeejescoordenadosrectangularconlassiguientescaracterísticas.

a) Elsegmentoconsideradocomounidaddelongitudparagraduarlosejessea1cm,marcando10unidadesencadasentido.

b) Remarcalosejes,lagraduaciónynumeraciónrespectivacontintane-gra.

c) Marcaunacuadrícula(trazandolíneasparalelasalosejes)contintane-gramástenuealadelosejes.

d) Marcaconpuntos(dediferentecolor),10interseccionesdeestacua-drícula.

II. Intercambiaconuncompañeroelplanoelaborado,conlafinalidaddequeésterealicelosiguiente:

a)Identificalospuntosmarcadosyrepreséntalosconsurespectivaparejaordenadadelmismocolorconelquesemarcóelpunto.

III.Regresalahojaatucompañeroparaquerevisequelasparejasordenadasindicadasseanlascorrectas.Hazlasobservacionespertinentesconlaayu-dadetuprofesor.

Elsistema de ejes coordenados rectangular (sistemacoordenadobidimensio-nal,sistemacartesianooplano)seconstruyesobreunplanoconlosdosejescoordenadosx’Ox yy’Oyperpendiculares,demodoquesusorígenescoinci-dan,comosemuestraenlafigura:

Al sistema construido por dosejescoordenadosunidimensio-nales intersectados perpendi-cularmenteensusorígenes,sedenomina sistema coordena-dobidimensionalosistemadeejescoordenadosrectangular.

Las características de un sistemadeejescoordenadosrectangularson:

Constadelassiguientespartes:

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• Elpuntodeinterseccióndelosejes,origen de coordenadas.• Elejehorizontal,ejedelasabscisasoejex.• Elejevertical,ejedelasordenadasoejey.• Cuatroregionesllamadascuadrantes.

LoscuadrantessedesignanmediantelosnúmerosromanosI,II,III, IV,enumeradosensentido inversoa lasmanecillasdelrelojapartirdelcuadrantesuperiorderecho.Comoseobservalasi-guientefigura.

En un sistema de ejes coordenados rectangular, se estableceunacorrespondenciaentreparejasordenadasdenúmerosrealesylospuntosdelplano,detalmaneraqueacadapuntodelpla-no lecorrespondeunaúnicaparejaordenadadenúmeros rea-les.Paracomprenderestacaracterística,veamoselsignificadodeparejaordenada.

Parejas ordenadas

Endiversasocasiones formamosparejas, en lasqueel ordenenque cita-mossuselementosesmuyimportante;porejemplo:enlacentraldeauto-buseselboletodesalidaXalapa−VeracruzesdistintoaldeVeracruz−Xalapa;elnúmero17≠71,etc.Estainformaciónrelacionadoselementosquepo-demosrepresentaren lasparejasordenadas(Xalapa,Veracruz), (Veracruz,Xalapa),(1,7),(7,1),endondeelordendadoacadaelementoresultasig-nificativoenlainformaciónasírepresentada.Debeadvertirsequeunarela-ciónesunaregladecorrespondenciaentredosconjuntoslacualformapa-rejasordenadas.

Observaenlatablasiguiente la importanciadeconservarelordenentre loselementosdeunaparejadeuncasogeneralylasparejasdecasosparticula-res,yaquealcambiarelorden,secambialainformación.Deahí,elnombredeparejaordenada.

Pareja ordenada(situación general)

Parejas ordenadas(situaciones particulares)

(País,capital)(México,DistritoFederal),(Francia,París),(Japón,Tokio),(China,Pekín),(Inglaterra,Londres),(España,Madrid).

(Díafestivo,celebración) (05−feb,ConstituciónMexicana), (01−mayo, Día del trabajo), (16−sep, Inde-pendenciadeMéxico),(20−nov,RevoluciónMexicana).

(Magnitud,unidaddemedida) (tiempo,segundo),(longitud,metro),(masa,kilogramo),(velocidad,m/s),(ace-leración,m/s2),(fuerza,Newton),(energía,joule).

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B1 �B1 �Deigualforma,elordenentreloselementosdelasparejasordenadasdenú-merosreales,determinalaubicaciónenelsistemadeejescoordenadosrec-tangular,demaneraquelaparejaordenada(3, 5)ylaparejaordenada(5,3)seubicanenpuntosdistintos.

Éstassonalgunasparejasordenadasdenúmerosreales:

(2, 5), (5, 2), (−3, 4), (−7, −1), 23

75,

, 312

,−

, − −

95

135

, , 25 32,( ), (5, 9).

Unapareja ordenadaesunarepresentaciónnuméricaqueconstadedoselementos,nonecesariamentedistintos,escritosenunor-denespecífico.

Lanotación(a,b)representaalaparejaordenadacuyoprimer ele-mentoesaycuyosegundo elementoesb.

Porejemplo,enlaparejaordenadadenúmeros(8, 17),elprimerelementoeselnúmero8,mientrasquesusegundoelementoes17.

Parejasordenadasentuentornofísico

Consideralaparejaordenada(x,y)endonde x =númerodecarameloscom-pradosyy =cantidadtotalenpesospagadaporloscaramelos.

1. ¿Cómointerpretaslapareja(15, 52.5)?2. Encuentralarelaciónmatemáticaquecumplenloselementosx,yenlapa-

reja(x,y).3. Conlafórmulahallada,calculaelelementofaltanteencadaunadelaspare-

jasordenadas:A = (2, ), B = (3, ), C = (5, ), D = (7, ), E = (8, ) y F = ( , 70).4. Planteaunasituacióndetuentornofísicoenlaquepuedasespecificarpa-

rejasordenadasnuméricasylarelaciónquecumplensuselementos.5. Enplenaria,yconelapoyodetuprofesor,verificatusrespuestas.

Entredosparejasordenadas,cuandosecumplequesusprimeroselementossonigualesysussegundoselementostambiénsoniguales,setienelaigual-dadentreellas.

Simbólicamente:

a b c d a c, ,( ) = ( )⇔ = y b = d

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Siloanteriornosecumple,entonceslasparejassondesiguales.

Ejemplos

Parejasordenadasiguales.

1. ( , ) ( , )− = −1 25 1 5 ,porque−1 = −1y 25 5=

2. (2, −1) = (2, −1),porque2 = 2y−1 = −1

3. 164

515

413

, ,

=

,porque16

44= y 5

1513

=

4.14

52

0 25 2 5, . , .

=( ),porque 1

40 25= . y

52

2 5= .

Parejasordenadasdesiguales.

1. (7, 8) ≠ (7, 6),porqueauncuandolosprimeroselementossoniguales,lossegundosno;8≠ 6

2. (3.5, 4) ≠ (3, 4),porquelosprimeroselementosnosoniguales;3.5 ≠ 33. (−1, −2) ≠ (−2, −1),porque−1 ≠ −2 y −2 ≠ −1

Lasparejasordenadasquecontienenvariablesensuselementossonigualescondicionandolasvariablesavaloresespecíficos.Así,

1. (2, −3) = (2, y)secumplesiy = −32. (x + 3, y − 5) = (10, 8)secumplesix + 3 = 10yy − 5 = 8,esdecir,x = 7y

y = 133. (a,b)=(b,a)secumplesiysólosia=b

Ahora,continuemosconelestudiodelascaracterísticasdeunsistemadeejescoordenadosrectangular.

Comosemencionó,enunsistema de ejes coordenados rectangularseestableceunacorrespondenciaentrelasparejasordenadasdenúmerosrealesylospun-tosdelsistemadeejescoordenadosrectangular,talqueacadapuntodelsis-temadeejescoordenadosrectangular,lecorrespondeunaúnicaparejaorde-nadadenúmerosreales.Estopuedeobservarsedelasiguientemanera:

1. ConsidéreseunpuntoPdeunplano(sobreelquesehaconstruidounsiste-madeejescoordenadosrectangular).

2. PorPsetrazandoslíneasrespectivamenteperpendicularesacadaunodelosejescoordenadoshastaintersectarseconlosmismos;siUeslaintersec-cióneneleje x(sobrex’Ox)decoordenadax1yVlaintersecciónenelejey (sobrey’Oy)decoordenaday1,entonceslosnúmerosx1 yy1sonlascoorde-

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B1 �B1 �nadasrectangularesocoordenadasdelpuntoPrepresentadasporlapare-jaordenadadenúmerosreales(x1,y1),comosemuestraenlagráfica.

3. Recíprocamente, a cada pareja ordena-dadenúmerosreales(x1,y1)seleasociaelpuntodeinterseccióndedosrectas,laprimera perpendicular al sistema coor-denadounidimensionalx’OxenelpuntoU(x1)ylasegundaperpendicularalsiste-macoordenadounidimensionaly’OyenelpuntoV(y1).

4. La notación utilizada para representarunpuntoenel sistemadeejescoorde-nadosrectangularesconuna letrama-yúscula,mediante laexpresiónP(x1,y1),obien, P = (x1,y1).

5. Enlagráfica,lospuntosUyVmarcadossobrelosejes,sonrepresentados,respectivamente,porU(x1, 0)yV(0, y1).

6. EnunpuntoP(x1,y1): Laparejaordenada(x1,y1)esllamadacoordenadadeP. Elnúmerox1 sellamaabscisa deP. Elnúmero y1sellamaordenada deP.7. SegúnlaubicacióndelospuntosP(x1,y1)

enelorigendecoordenadas,enlosejesoenalgúncuadrante,laabscisax1ylaor-denaday1cumplencondicionesespecífi-cas,comopodrásobservarenlagráficaytablasiguientes:

P(x1, y1) → (0,0): x1 = 0 y y1 = 0

P(x1, y1) → (+,+): x1>0 y y1>0 P(x1, y1) → (0,+): x1 = 0 y y1>0

P(x1, y1) → (+,−): x1>0 y y1<0 P(x1, y1) → (0,−): x1 = 0 y y1<0

P(x1, y1) → (−,+): x1<0 y y1>0 P(x1, y1) → (+,0): x1>0 y y1 = 0

P(x1, y1) → (−,−): x1<0 y y1<0 P(x1, y1) → (−,0): x1<0 y y1 = 0

Ejemplo

Enelsistemadeejescoordenadosrectangularquesemuestra,sehanmarca-dolospuntosquesecorrespondenconlasparejasordenadasindicadasenlatabla.

Actividad

Formato

elec

trónic

o. Proh

ibida

su ve

nta

B1 �

45


A(1, 2) C(2, 1) E(2, −1) G(1, −2) I(−1, −2) K(−2, −1) M(−2, 1) O(−1, 2)B(3, 3) D(5, 0) F(3, −3) H(0, −5) J(−3, −3) L(−5, 0) N(−3, 3) P(0, 5)

Contestalassiguientespreguntasylosplanteamientos,segúnseindica.

1. Laparejaordenada(2, 5),¿esdistintaoigualalaparejaordenada(5, 2)?

¿Porqué?

2. Laparejaordenada 23 32, ( ),¿esdistintaoigualalaparejaordenada(5, 9)?

¿Porqué?

3. Defineunsistemadeejescoordenadosrectangular:

4. Defineunaparejaordenada:

Actividad

Formato

elec

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o. Proh

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46

B1 �B1 �5. Encuentralosvaloresdexyyparaquesecumplalaigualdadentrelaspa-

rejasordenadasqueseindican.

a) (x, 7) = (9, y) b) (5x, 1 − 2y) = (2x + 18, y + 10) c) (x, 13) = (5, y + 2)

d) (x, −1) = (−5, y) e) (4x + y, −2x − y) = (8, −6) f ) (x2, 9) = 5, y( )g) (−x, 5) = (−3, −y) h) (7x, 1 − 2y) = (2x + 15, y + 7) i) (x − 2y, 3x + 2y) = (5, 7)

6. Unnúmeroenteropuedeexpresarsecomounaparejadenúmerosnatura-les;porejemplo,(1, 5)expresael−4,elcualseobtienerestandoelsegun-doelementodelprimero(1 − 5 = − 4);estasituaciónfuegraficadaporRenéDescartesenelPlanoCartesiano,comosemuestraacontinuación:

Encuentradosparejasdenúmerosnaturalesparacadanúmeroenteroen-tre−6y6yubícalasenelplanocartesiano.

7. Completalatablaespecificandolascondicionesdelaabscisaylaordenadadeunpunto,segúnsuubicaciónenelsistemacoordenadorectangular.

UbicaciónCondiciones de las coordenadas del punto P(x, y)

Abscisa Ordenada

Cuadrante I

Cuadrante II

Cuadrante III

Cuadrante IV

Ejex

Ejey

Formato

elec

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o. Proh

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B1 �

47


UbicaciónCondiciones de las coordenadas del punto P(x, y)

Abscisa Ordenada

Origen

Partepositivadelejex

Partenegativadelejex

Partepositivadelejey

Partenegativadelejey

8. En el siguiente sistema de ejes coordenados rectangular, mar-

calospuntosquecorrespondenalasparejasordenadasA(−8, 3),

B(−6, 0), C(5, −6), D −

12

173

, , E 10 20,−( ), F(7, 0), G152

32

,

,

H − −

85

214

, , I(0, 4.5), J 052

,−

9. Completalatablaconlasparejasordenadascorrespondientesalospuntosmarcadosenelsistemadeejescoordenadosrectangular.

A(,) B(,) C(,) D(,) E(,) F(,) G(,) H(,)

I(,) J(,) K(,) L(,) M(,) N(,) O(,) P(,)

Lugares geométricos

Conanterioridadhabíamosestudiadoqueenunsistemadeejescoordenadosrectangularseubicaunpuntoopuntos.Ahoraagregaremosquealunirestospuntosseformanlíneas (rectas ocurvas, abiertas o cerradas)dandoorigenaunagráfica.Asícomocadapuntoseasociaconunaparejaordenada,aunagráficaseleasociatambiénunaecuaciónendosvariablesy,recíprocamente,unaecua-

Formato

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48

B1 �B1 �ciónendosvariablessecorrespondeconunagráfica.Lasgráficasyecuacionesserefierenalugaresgeométricos.Enestebloqueiniciaremosconelestudiodelugaresgeométricos,loscualesanalizaremosdetenidamentemásadelante.

Lossiguientesejemplosmuestranalgunoslugaresgeométricos(lagráficaylaformadelaecuaciónconlacualserelaciona)yuncontextooaplicaciónconelcualpuedeasociarse.

Lugar geométrico Aplicación

Figura (gráfica) Expresión algebraica(forma de ecuación)

Recta

y = mx + b

Carreteraenlínearecta

Circunferencia

x2 + y2 = r2

Discocompacto

Parábola

y = 4px2

Antenaparabólica

Elipse

xa

yb

2

2

2

2 1+ =

ÓrbitadelaTierra

Actividad

Formato

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B1 �

49


En astronomía, las órbitas de loscuerpos celestes son: circulares,parabólicasyelípticas.Parasues-tudio,seusaunsistemadeejesco-ordenados rectangular. Observalasfiguras.

Asociandonuestroentornoconunagráfica

Enequiposdetrabajo,realicenlosiguiente:

1. Prestenespecialatenciónalasgráficasmostradasenlosejemplosdelata-blaanterioryrecuerdenelnombreytrazodecadauna.

2. Elaborenensulibretaunlistadodeobjetososituacionesendondeseob-serve:lalínearecta,lacircunferencia,laparábolaylaelipse.Expongansusresultadosalgrupo.

3. Busquenyrecortenenperiódicosorevistas,gráficosyfigurasqueserela-cionenconrectas,circunferencias,parábolasyelipses,peguenlosrecortesenunacartulinahaciendouncollageyelijanalgunosparacolocarlosenal-gúnespaciovisibledentrodelaula(tenganprevistoelmaterialrequeridoanticipadamente).

Acadagráficaquehasobservadoenlosejemplosantescitadosyenlaac-tividad realizada, veremos que le corresponde una ecuación específica;asítambién,apartirdeunadeterminadaecuaciónpodremosconstruirsugráfica,puessonlosdosplanteamientosfundamentalesdelageometríaanalítica:

1. Dadaunaecuación,construirsugráficaolugargeométrico.2. Dadaunafigurageométricaolacondiciónquedebencumplirlospuntosde

lamisma,determinarsuecuación.

Paraabordarestosplanteamientosserequiereconocerelconceptodelugargeométrico.

Al conjunto de puntos en el sistema de ejes coordenados rec-tangularquecumplenunacondiciónespecíficaselellamalugargeométrico.Dichacondiciónseindicamedianteunaecuaciónendosvariables xyy.

Actividad

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50

B1 �B1 �LacondiciónquedebecumplirunlugargeométricoseindicapormediodeunarelacióndadaenlenguajeverbalosimbólicamenteusandolanotaciónR = {(x, y)}|E(x, y) = 0}

Léase:LarelaciónReselconjuntodetodaslasparejasordenadas(x,y),talesquesatisfacenlaecuaciónE(x, y) = 0

Donde:

• Resunarelación,lacualseestableceentreloselementosdelejexylosdelejey,medianteunaregladecorrespondenciadadaporlaecuaciónE(x, y) = 0}

• (x,y)eslaparejaordenadacuyoselementosxyypertenecenaunconjun-to(enestecurso,dichoconjuntoseráeldelosnúmerosreales).

• E(x, y) = 0eslaecuaciónqueespecificalacondiciónquedebecumplirellu-gargeométrico.

Unaparejaordenada(a,b)pertenecealarelaciónsiseverificaqueE(x, y) = E(a, b) = 0;esdecir,sialsustituirxporayyporblaigualdadpermanece.

Elconjuntodeparejasordenadas(a,b)quepertenecenaunarelación,locali-zadasenelplanocartesiano,formanlagráficadelarelación.

Enlossiguientesejemplos,sedescribelacondiciónquedebecumplirellugargeométrico,tantoenlenguajeverbalcomosimbólicamente;seindicanalgu-nasparejasordenadasquecumplenconlacondicióndadayseubicanenunsistemadeejescoordenadosrectangulares,haciendoposiblequesetracelagráficadellugargeométrico.

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B1 �

51


Ejemplos

1. El lugar geométrico de los puntosP(x,y) delplanocartesiano,talesque:

x = 3 R = {(x,y)|x − 3 = 0} Parejasordenadas: (3, −4), (3, −1), (3, 2), (3, 7/2)


y = −2 R = {(x,y)|y + 2 = 0} Parejasordenadas: (−4, −2), (−1, −2), (2, −2), (7/2, −2)


y = x + 1 R = {(x, y)|y = x + 1} ParejasOrdenadas: (−3, −2), (−1, 0), (1, 2), (5/2, 7/2)


y = x2 − 1 R = {(x, y)|y = x2 − 1} Parejasordenadas: (−2, 3), (−1, 0), 0, −1), (3/2, 5/4)

Formato

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52

B1 �B1 �5. El lugar geométrico de los puntosP(x,y) del

planocartesiano,talesque: y = x3 R {(x,y)|y = x3}

Parejasordenadas: (−3/2, −27/8), (−1, −1), (0, 0), (1/2, 1/8), (1, 1)

6. El lugar geométrico de los puntos P(x,y) delplanocartesiano,talesque:

y

x=

1 R x y y

x= =( )

,1

Parejasordenadas: (−3, −1/3), (−1, −1), (−1/2, −2), (1/2, 2), (1, 1),

(2, 1/2)

Análisis de gráficas

Encadaunodeloslugaresgeométricosarribaseñalados,lasparejasordena-dasformanunsubconjuntodelconjuntodetodaslasparejasordenadasindi-cadasporlarelaciónR;estoseobservaenlagráficacomo:

• LospuntosmarcadossonelsubconjuntodeR,ylalíneaocurvaquepasaporelloseselconjuntoR.

• Además,observaquecadaparejaordenadasatisfacelaecuaciónquedefi-nealarelación,porlocual,enlosucesivoreferiremossóloalaecuaciónysugráficadeunlugargeométrico,sobrentendiendolanotacióndeR.

Latabulacióndevaloresesunaherramientamuyútilparaprecisarlagráficadeunarelaciónconociendolaecuaciónqueladefine.

Ennuestroentornosepresentandistintassituacionesenlasqueseestableceunarelaciónentredosvariables;porejemplo:ladistanciarecorridaenciertotiempo,elprecioapagarsegúnelnúmerodeartículoscomprados,gastodecombustiblepordistanciarecorrida,densidaddelaireadeterminadaaltura,distanciaalcanzadaporunapiedraderivadadelavelocidadinicialconlaquefuelanzada,dosisdeunmedicamentoadministradaaunpacientedeacuer-doconsupeso.

Formato

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B1 �

53


Elregistrodeestosdatossepresentaordenadoenunatabla,siendoéstaver-ticaluhorizontal,endondesehaceposibleidentificarlarelacióndadaentrelasvariablesparaencontrarelmodelomatemáticooecuaciónalgebraicaqueladefine,asícomoformarlasparejasordenadascorrespondientesyconstruirsugráfica.

Elprocesodeespecificar losvaloresdedosvariablesdadasporunarelaciónmedianteunatablasellamatabulacióndevalores.

Acontinuaciónpodrásobservarlautilidaddelatabulacióndevaloresenlare-solucióndeproblemas.

Ejemplos

1. Anaesestudiantedeltercersemestredebachilleratoylosfinesdesema-naayudaasutíoFidelensunegocio,elcualconsisteenlaventadetortas.Elpreciodecada tortaesde$15.00,quedándole$8.00deganancia.Poraniversarioquiereofrecerunaofertaasusclientes,paralocualpideaAnaqueanalicelaofertaqueproponehacerparaobtenerunamínimaganan-cia,perosinpérdidas;éldicequedescontaráporcadatorta“$0.50porelnúmerodetortasquecompreuncliente”,porloqueAnahacedeiniciolasiguientetabla:

Tortas Precio c/u Precio total Inversión Ganancia

1 $ 14.50 $ 14.50 $ 7.00 $ 7.50

2 $ 14.00 $ 28.00 $ 14.00 $ 14.00

3 $ 13.50 $ 40.50 $ 21.00 $ 19.50

4 $ 13.00 $ 52.00 $ 28.00 $ 24.00

5 $ 12.50 $ 62.50 $ 35.00 $ 27.50

6 $ 12.00 $ 72.00 $ 42.00 $ 30.00

7 $ 11.50 $ 80.50 $ 49.00 $ 31.50

8 $ 11.00 $ 88.00 $ 56.00 $ 32.00

9 $ 10.50 $ 94.50 $ 63.00 $ 31.50

10 $ 10.00 $ 100.00 $ 70.00 $ 30.00

11 $ 9.50 $ 104.50 $ 77.00 $ 27.50

12 $ 9.00 $ 108.00 $ 84.00 $ 24.00

13 $ 8.50 $ 110.50 $ 91.00 $ 19.50

14 $ 8.00 $ 112.00 $ 98.00 $ 14.00

15 $ 7.50 $ 112.50 $ 105.00 $ 7.50

16 $ 7.00 $ 112.00 $ 112.00 $ 0.00

Conestatabla,Anasugiereasutíoquevendacomomáximo15tortasporclien-teyademásadviertequelamayorgananciaseobtieneenlaventade8tortas.

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B1 �B1 �Anaconsideraúnicamentelaprimeraylaúltimacolumnadelatablaanteriorparaobtenerunatabulaciónquerelacionedosvariables(tortasvendidastygananciaenpesosg).

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

g 7.50 14 19.5 24 27.5 30 31.5 32 31.5 30 27.5 24 19.5 14 7.5 0.0Paraentregarasutíounanálisismásdetallado presenta los datos en unagráfica.

El análisis de estos datos permite aAnaencontrarlaecuaciónquedefinetalrelación:

g = (0.5t)(16 − t) g = 8t − 0.5t2

2. Elgerentedeunaempresaqueproduceyvendecd’smultimediaeducati-voshadeterminadoquelautilidaddesuproductosemodelamediantelaecuacióny = 4x − x2,dondey estáexpresadaenmilesdepesosyx estáex-presadaenmilesdecd’s.Estasituaciónserepresentagráficamentecomosigue:

Primero:Sehaceunatabulaciónconlosvaloreselegidosparax yloscorres-pondientesparay enlaecuacióny = 4x − x2,representandoéstoscomopa-rejasordenadas.

x y P (x,y)

−1 4(−1) − (−1)2 = −5 (−1,−5)

0 4(0) − (0)2 = 0 (0,0)

1 4(1) − (1 )2 = 3 (1,3)

2 4(2) − (2)2 = 4 (2,4)

3 4(3) − (3)2 = 3 (3,3)

4 4(4) − (4)2 = 0 (4,0)

5 4(5) − (5)2 = −5 (5,−5)

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B1 �

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Segundo:Semarcanlosparesordena-doscomopuntosenelplano.

Tercero:Seunenlospuntosconuntra-zocontinuo,obteniendoasísugráfica.

Atravésdelanálisisdelagráficaseobtienenconclusionesimportantes,talescomo:

• Sólosedebenconsiderarvalorespositivosparax.• Lamayorutilidadseobtienealproducir2,000cd’s.• Apartirdeunaproducciónmayora4,000cd’s,empiezanlaspérdidas.

Pararepresentargráficamenteunaecuaciónendosvariables, x yy,usandolatabulacióndevalores,puedesatenderelsiguienteprocedimiento:

1. Darvaloresposiblesaunavariableysustituirlosenlaecuación,obtenien-doasíparejasordenadas(x, y).Usarunatablaverticaluhorizontalparapre-sentarlosdatos.

2. Ubicar estas parejas ordenadas en el sistema de ejes coordenados rec-tangularmediantepuntos,atendiendoqueseansuficientesparatrazarlagráficadelaecuaciónytambiénquelagraduacióndelosejessealamásapropiada.

Ejemplos

Mostrargráficamentelaecuación:

y = x2 − x − 3

1. Sedanalgunosvaloresax:

x −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Estosvaloressesustituyenenlaecuacióny = x2 − x − 3,obteniendolosvaloresparay.Losdatossepresentanenlatablahorizontalsiguiente:

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B1 �B1 �x −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y 9 5.75 3 0.75 −1 −2.25 −3 −3.25 −3 −3.25 −1 0.75 3 5.75 9

Así,setienenlasparejasordenadas:

(−3, 9), (−2.5, 5.75), (−2, 3), (−1.5, 0.75), (−1, −1), (−0.5, −2.25), (0, −3), (0.5, −3.25), (1, −3), (1.5, −3.25), (2, −1), (2.5, 0.75), (3, 3), (3.5, 5.75), (4, 9)

2. Semarcanlospuntosenelsistemadeejescoordenadosrectangularysetrazalagráfica.

Hemosvistoquealtrazarlagráficadeunaecuaciónseuneciertonúmerodepuntos,medianteunalínearectaocurva(abiertaocerrada).Paraqueeltrazodeestaslíneasseaaúnmáspreciso,esnecesarioobtenermayorinformaciónsobrelasgráficas,como:Lasinterseccionesconlosejesysimetríasrespectoalorigenydelosejes,lograndoconestomayorfacilidadparatrazarunagráfica,obien,apartirdeunagráficainterpretarlainformaciónpresentada.

Interpretaunasituaciónapartirdelagráficaquelarepresenta.

1. Explicacontuspropiaspalabrasquéentiendespor:

a) Interseccióndegráficas: .

b) Simetríadeunagráfica: .

2. Observa la gráfica (en ella se re-presenta la cantidad de líquidoquecontieneundepósitoenciertotiempo)ycontestacorrectamentelossiguientesplanteamientos:

a) ¿Cuántas intersecciones tienelagráficaconelejex? .¿Cuántasconelejey? .

b) Representa las interseccionescomoparejasordenadas(x,y):

.

Actividad

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c) ¿Cómointerpretaslasituaciónrealenlainterseccióndelagráficaconelejey? ¿Yconelejex? .

3. Utilizaunahojadepapel(cuadrículagrande)yrealizaenellalosiguiente:

• Recorta lo necesario para que te quede un cuadradodeladoigualalanchodelahoja.

• Doblaporlamitadconrespectoaunoyotropardelados(marcandoestosdoblescomolosejes),comosemuestraenlafiguradeallado.

• Marca lospuntosA(2, 2), B(3, 5), C(10, −12), D(−7, 7), E(5, −11) sobreesteplanoresultante, tomandocomounidaddelongitudelladodecadacuadrito.

• Ahora,doblanuevamentelahoja,utilizandoalgunodelosdoblecesyamarcadoscomoejesdesimetría,detalmane-raquepuedasmarcarconlapuntadetulápizunpuntosi-métricorespectoa:ejexyejeycadapuntoA, B, C, D y E.

• Marca lospuntossimétricosrespectoalorigen,paraellohazgirarcadapuntoA,B,C,DyE180°.

• Conlospuntosmarcados,completalatabla:

Punto Su simétrico al eje x

Su simétrico al eje y

Su simétrico al origen

A (2, 2)

B (3, 5)

C (10, −12)

D (−7, 7)

E (5, −11)

Enplenaria,comparatusrespuestascontuscompañeros,supervisadoportuprofesor.

Intersecciones con los ejes

Lasinterseccionesconelejex sonlospuntosdondelagráficadelaecuaciónintersectaelejex,y lasintersec-cionesconelejey sonlospuntosdondelagráficadelaecuación intersectaelejey, comosedescribea conti-nuación.

Paraobtenerlasinterseccionesconelejex,sesuponey = 0 enlaecuaciónyresolvemoslaecuaciónquere-sulteentérminodex.Sielvalora esunasolucióndelaecuaciónplanteada,entonces,elpunto(a, 0) esun

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B1 �B1 �puntodeintersecciónconelejex.Aestospuntosdeintersecciónselesdaelnombredeabscisas al origen.

Análogamente,paraobtener las interseccionesconelejey,sesuponex = 0 enlaecuaciónyresolvemoslaqueresulteentérminodey.Sielvalorb esunasolucióndelaecuaciónplanteada,entonces,elpunto(0, b) esunpuntodein-tersecciónconelejey.Aestospuntosdeintersecciónselesdaelnombredeordenadas al origen.

Ejemplos

Encadaunodelossiguientesincisos,dadalaecuación,seencuentranlasin-terseccionesconlosejesysemuestralagráficacorrespondiente.

1. 2x − y + 6 = 0

Intersecciones

Con x Con y

Si y = 0 entonces2x + 6 = 0x = −6/2 =x = −3

Si x = 0 entonces−y = 6 = 0−y = −6y = 6

Intersecciónconelejex: (−3, 0) Intersecciónconelejey: (0, 6)

2. y = 2x2 − 5x − 3

Intersecciones

Con x Con y

Si y = 0 entonces2x2 − 5x − 3 = 0(2x + 1) (x − 3) = 0x1 = −1/2, x2 = 3

Si x = 0 entonces

y = −3

Interseccionesconelejex: (−1/2, 0), (3, 0)

Interseccionesconelejey: (0, −3)

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3. 2x2 + 2y2 = 8

Intersecciones

Con x Con y

Si y = 0 entonces2x2 = 8x2 = 4, x = ± 4x1 = −2, x2 = 2

Si x = 0 entonces2y2 = 8y2 = 4, y = ± 4y1 = −2, y2 = 2

Interseccionesconelejex: (−2, 0), (2, 0) Interseccionesconelejey: (0, −2), (0, 2)

4. 4x2 + 9y2 − 36 = 0

Intersecciones

Con x Con y

Si y = 0 entonces4x2 = 36x2 = 9, x = ± 9x1 = −3, x2 = 3

Si x = 0 entonces9y2 = 36y2 = 4, y = ± 4y1 = −2, y2 = 2

Interseccionesconelejex: (−3, 0), (3, 0) Interseccionesconelejey: (0, −2), (0, 2)

Simetrías respecto al origen y los ejes

Otracaracterísticaimportantequesedebeconsideraralhacerunagráficaessusimetría.Aunqueexistenvariostipos,sóloestudiaremoslassimetríasres-pectoaalgunodelosejesyalorigen.

Conocerlassimetríasquetieneunagráficaahorrapasosensutrazo,puesunavezrealizadalamitaddelagráficasepuedeobtenerporsimetríaelresto.Paradeterminarlaesimportanteobservarlassiguientescondiciones:

Unagráficaessimétricarespectoal:

• ejexsisedalacondicióndequeP(x,y)yP’(x,−y)estánenlagráfica.• ejeysisedalacondicióndequeP(x,y)yP’(−x,y)estánenlagráfica.• origensisedalacondicióndequeP(x,y)yP’(−x,−y)estánenlagráfica.

Apartirdeunaecuación,lagráficaessimétricarespectoal:

• ejex,sialsustituiry por−y enlaecuaciónseobtieneunaecuaciónequi-valente.

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B1 �B1 �• ejey,sialsustituirx por−x enlaecuaciónseobtieneunaecuaciónequi-

valente.• origen,sialsustituirx por−x yy por−yenlaecuaciónseobtieneunaecua-

ciónequivalente.

Encadaunodelossiguientesincisos,dadalaecuación,severificalasimetría,lasinterseccionesconlosejesysemuestralagráficacorrespondiente.

1. y2 − x + 1 = 0 Sisustituimosypor−y,tenemos:

(−y)2 − x + 1 = 0 y2 − x + 1 = 0(ecuaciónequivalente) entonces,sugráficaessimétricarespecto

alejex.

2. 2x2 − y = 0 Sisustituimosxpor−x,tenemos: 2(−x)2 − y = 0 2x2 − y = 0(ecuaciónequivalente) entonces,sugráficaessimétricarespecto

alejey.

3. yx

=1

Sisustituimosxpor−xyy por−y,tenemos:

− =−

yx

1

yx

=1(ecuaciónequivalente)

entonces,sugráficaessimétricarespectoalorigen.

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B1 �

61


1. Enunsistemadeejescoordenadosrectangular,marcacadaunodelossi-guientespuntos:

A(8, 3), B(−3, 9), C(5, −5), D(−3, −7), E (0, 10), F(−2, 0), P(x, y).

Ahora,representalospuntossimétricosacadauno,respecto:

a) Alejex b) Alejey c) Alorigen d) Delarectaparalelaalejexsituada2unidadesarribadeéste. e) Delarectaparalelaalejeysituada1unidadalaizquierdadeéste.

2. Paracadaunadelassiguientesecuaciones:

• Encuentrasimetrías. • Calculalasinterseccionesconlosejes. • Realizaunatabulaciónapropiada. • Trazasugráfica.

a) x − y − 4 = 0 b) x2 − 2y + 4 = 0 c) x2 + 2y2 − 4 = 0

d) x + 4y2 − 8 = 0 e) 2x2 + 2y2 − 50 = 0 f) 4x2 − 4y2 − 16 = 0

g) yx

x=

+2 1 h) y

x=

+3

12 i) y

x=

+1

2

1. Definelossiguientesconceptos.

a) Ecuación:

b) Ecuaciónlineal:

c) Ecuacióncuadrática:

Actividad

Autoevaluación

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62

B1 �B1 � d) Sistemadeecuacioneslinealescondosvariables:

2. Identificaparejasordenadasdellugargeométricodecadagráficayrelació-nalasconsuecuación,escribiendoenelparéntesislaletradelinciso,segúncorresponda.

a) b) c)

d) e) f)

x2 + y2 = 25 ( )y = x − 1 ( )y = x2 − x − 2 ( )y = x + 2 ( )y = 2x2 ( )y = x2 + 6x + 9 ( )

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elec

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B1 �

63


3. Indicalasparejasordenadasdelasinterseccionesconlosejesdecadaunadelasgráficasdelejercicioanterior.2

a) b) c)

d) e) f)

4. Observalasiguientegráficaycontestaloquesepide:

a) ¿Cuáles son las coordenadasdel punto R simétrico a P respecto alorigen?

b) ¿Cuálessonlascoordenadasdelpunto S simétricoa P respectoalejedelasabscisas?

c) ¿Cuálessonlascoordenadasdelpunto T simétricoa P respectoalejedelasordenadas?

2 sep.Examen Enlace Media Superior 2010.México.Reactivo74.

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64

B1 �B1 �5. Lasiguientegráficarelacionaelprecioapagarenpesosporelnúmerode

horasenunestacionamientopúblico.

¿Cuáleselpago,enpesos,quesedebeefectuarporhaberdejadoelcarroenelestacionamiento3horas15minutos?

a) 20 b) 40 c) 46 d) 50

6.Observalasiguientegráfica.3

¿Cuáleselenunciadoquedescribelarelaciónentrelapuntuaciónobtenidaylacalificaciónotorgada?

3 Reactivo86delexamenENLACE2008.

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B1 �

65


La calificación otorgada al alumno…

a) partedeunoencuantoobtieneunodepuntuación,yporcadapuntoadicionalqueobtenga,lacalificaciónotorgadaseráigualalasumadelasdoscalificacionesotorgadasanteriores.

b) partirádeunoyseráigualalapuntuaciónobtenidamenosuno,hastalograrcincoyluegoseinviertelarelación.

c) esmejoradaconformelapuntuaciónobtenidaapartirdequeéstaal-canzaelvalorde5.

d) esigualalapuntuaciónobtenida,luegolapuntuaciónesdisminuidaenunaunidad,posteriormentesemantieneigualyfinalmentelapuntua-ciónesaumentadaen2.

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