Velimir Labinac - UNIRI

Sveučilište u Rijeci, Odjel za fiziku

Velimir Labinac

Elektrodinamika

Zbirka zadataka

Izdano: 3. listopada 2021.

https://www.myperfectresume.com/membership/RegisterGuestUser.aspx?wizard=true&productid=17&utm_source=hloom-com&utm_medium=referral&utm_campaign=word-template

Ova zbirka sadrži zadatke koji su tijekom godina dani na vježbama, domaćim zadaćama,

kolokvijima i pismenim ispitima iz raznih kolegija iz elektrodinamike pod raznim imenima i

na različitim studijskim programima Odjela za fiziku Sveučilišta u Rijeci. Zbirku ću

nadopunjavati novim zadacima, a u planu su i rješenja/upute za jedan dio zadataka.

Elektrodinamika je, sasvim sigurno, jedan od najtežih kolegija na preddiplomskom studiju

istraživačke i na diplomskom studiju nastavničke i inženjerske fizike. Studenti se susreću s

nizom novih matematičkih metoda za rješavanje zadataka, a detalji fizikalne teorije koje

student mora ponekad znati da bi riješio zadatak zahtjevaju veliku rutinu i razumijevanje. I za

najbolje studente, klasična elektrodinamika je pravi izazov!

U ovoj sam zbirci, zadatke razvrstao po temama i cjelinama prema kojima sam držao

nastavu na auditornim vježbama. Na taj način su u prvi plan stavljene osnovne tehnike

računanja koje studenti moraju usvojiti da bi riješili najjednostavnije zadatke iz pojedine teme.

No, studenti se ne bi smjeli zaustaviti na takvim zadacima jer su se na pismenim provjerama

znanja uglavnom javljali srednje teški ili teži zadaci. Veoma mali dio zadataka je iznimno

težak, a davao sam ih ili za domaću zadaću ili za ’’take-home’’ pismene ispite od nekoliko

dana.

Kao jedan od savjeta kojega bih ponudio studentima u svezi rješavanja zadataka jest da na

početku bavljenja elektrodinamikom, pokušaju kratko razmisliti o tehnici rješavanja (10 - 15

minuta) i tek onda proučiti rješenje. Kako vrijeme bude prolazilo, sve će više biti zadataka koji

se rješavaju već viđenim tehnikama uz, možda, nekoliko novih trikova. Vrijeme za razmišljanje

i rješavanje treba postupno povećati na 30 – 60 minuta i tek onda proučiti rješenje zadatka.

Mislim će tako učenje elektrdinamike i priprema za kolokvij ili pismeni ispit biti najefikasnija

i najbrža.

Želim Vam puno sreće u bavljenju elektrodinamikom!

Velimir Labinac


Sadržaj

1. Coulombov zakon. Princip superpozicije ........................................................................................ 1

2. Gaussov zakon ...................................................................................................................................... 4

3. Rad i energija u elektrostatici. Vodiči ........................................................................................... 10

4. Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika ............................................................................ 14

5. Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadžba u pravokutnim koordinatama .......... 21

6. Laplaceova jednadžba u sfernim koordinatama ....................................................................... 25

7. Laplaceova jednadžba u cilindričkim koordinatama ................................................................ 30

8. Multipolni razvoj električnog potencijala ..................................................................................... 35

9. Polarizacija i vezani naboj. Makroskopske jednadžbe elektrostatike .................................. 39

10. Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima ........................................................................ 42

11. Lorenzova sila. Biot-Savartov zakon ............................................................................................. 47

12. Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) ........................................................ 54

13. Magnetski vektorski potencijal (II dio). Multipolni razvoj vektorskog potencijala ............ 62

14. Magnetizacija i vezane struje. Makroskopske jednadžbe magnetostatike ......................... 66

15. Rubni problemi s magnetskim sredstvima ................................................................................. 73

16. Ohmov zakon. Faradayev zakon indukcije ................................................................................. 78

17. Energija magnetskog polja. Kvazistatička aproksimacija ......................................................... 82

18. Zakoni očuvanja u elektrodinamici ............................................................................................... 84

19. Ravni EM val. Polarizacija ............................................................................................................... 88

20. Elektromagnetski valovi u jednostavnim sredstvima ............................................................... 91

21. Disperzija. Apsorpcija ....................................................................................................................... 94

22. Retardirani potencijali. EM polje točkastog naboja u gibanju ............................................... 97

23. Zračenje električnog dipola. Zračenje magnetskog dipola i električnog kvadrupola ... 101

Literatura .......................................................................................................................................... 104

ELEKTRODINAMIKA - ZBIRKA ZADATAKA


1 Coulombov zakon. Princip superpozicije

Zadatak 1.1 Upotrijebite Coulombov zakon da odredite električno polje beskonačno duge žice zanemarivog

promjera, nabijene jednoliko, linijskom gustoćom naboja λ0 .

Zadatak 1.2 Beskonačna ravnina nabijena je jednolikom plošnom gustoćom σ0 . Izračunajte električno polje

ravnine pomoću Coulombovog zakona.

Zadatak 1.3 Izračunajte potencijal i električno polje kugle naboja jednolike gustoće ρ0 i radijusa R.

Upotrijebite Coulombov zakon i računajte unutar i izvan raspodjele.

Zadatak 1.4 Izračunajte potencijal kugle naboja radijusa R čija je volumna gustoća zadana formulom 5( ) / ; 0

( )0 ;

r R r q a r Rr

r R

− =

a i q su konstantne veličine.

Zadatak 1.5 Tanki disk radijusa a nabijen je jednoliko, gustoćom σ0 . Izračunajte potencijal i električno

polje po osi z. Da li potencijal ima prekid pri prijelazu s jedne na drugu stranu diska? Da li je električno polje

kontinuirano pri prijelazu s jedne na drugu stranu diska?

Zadatak 1.6 Sferna ljuska radijusa a i plošne gustoće naboja σ0 ima na svojoj površini malu rupu radijusa b.

Pri tome je b mnogo manji nego a. Koji je smjer i veličina električnog polja u centru sfere?

Uputa: koristite rezultat iz zadatka 1.5 i princip superpozicije. Zamislite najprije sferu bez rupe nabijenu

jednoliko, plošnom distribucijom naboja σ0 na koju, zatim, zalijepite ''zakrpu'' u obliku malog diska s nabojem

suprotnog predznaka.

Zadatak 1.7 Razmotrite razdiobu naboja konstantne gustoće ρ posvuda unutar kocke stranice b (izvan kocke

ρ = 0). Ako postavimo da je potencijal u beskonačnosti jednak nuli, odredite koliki je omjer Φ0/Φ1 gdje je Φ0

potencijal u centru kocke (točka A), a Φ1 potencijal na vrhu kocke (točka B) ako je ishodište koordinatnog

sustava u središtu kocke, a koordinatne osi su paralelne stranicama kocke.

Uputa: Promijenite varijable integracije na pogodan način. Integrale ne morate računati!

Zadatak 1.8 Tanka cijev radijusa a i duljine b nosi jednoliko distriburan naboj površinske gustoće σ. Kolika

je razlika potencijala između dvije točaka na osi cilindra, one u središtu cilindra (točka A) i one na rubu (točka

B)? Koristite se formulom za potencijal po gemetrijskoj osi jednoliko nabijene žice nabojem Q radijusa a koja je

smještena u ravnini z' = konst.

( )22

0

1

4

Q

a z z =

+ −

1

1 COULOMBOV ZAKON. PRINCIP SUPERPOZICIJE

Zadatak 1.9 Po polusferi radijusa R nalazi se jednoliko raspodjeljen površinski naboj σ. Nađite razliku

potencijala između središta (točka A) i tjemena (točka B) polusfere.

Zadatak 1.10 Dvije malene kuglice, nabijene jednakim nabojem, svaka mase m, vise na nitima duljine l. Niti

su na stropu učvršćene u istoj točki. Kuglice su udaljene za x << l, gdje se udaljenost x mijenja u vremenu.

Nađite brzinu promjene dq/dt naboja na kuglicama (ili brzinu oticanja naboja sa kuglica) ako se kuglice

približavaju brzinom

x

Av =

gdje je A konstantna veličina.

Zadatak 1.11 Tanki prsten polumjera R načinjen je od izolatora. Prsten položimo u x-y ravninu tako da se

centar prstena podudara s ishodištem koordinatnog sustava te ga nabijemo gustoćom

0 cos =

gdje je λ0 konstanta i ima dimenziju naboj po jediničnoj duljini, a ϕ je polarni kut. Nađite električno polje:

(a) u ishodištu

(b) po z osi koordinatnog sustava. Razmotrite ponašanje rješenja za R << z.

Zadatak 1.12 Po ravninama x = 0 i y = 0 nalazi se naboj plošnih gustoća +σ i −σ, respektivno.

(a) Nađite iznos i smjer električnog polja.

(b) Nacrtajte silnice električnog polja.

Zadatak 1.13 Dokažite Newtonov teorem za elektrostatiku: električno polje unutar homeoida (ljuske

omeđene s dva elipsoida čije se poluosi proporcionalne a/a' = b/b' = c/c' = k) jednolike gustoće naboja jednako je

nuli.

Uputa: neka je T točka u kojoj računamo električno polje u elipsoidu. Točka T je vrh stošca čiji plašt zatvara

prostorni kut ΔΩ1 i također, vrh za stožac čiji plašt zatvara prostorni kut ΔΩ2 pa je ΔΩ1 = ΔΩ2 . Za homeoid

vrijedi ΔR1 = ΔR2 . Naboj unutar stošca 1 je q1 = ρR12ΔR1ΔΩ gdje je ρ gustoća naboja.

E = ?

d

T

ΔΩ1

ΔΩ2

R1

R2

2

1 COULOMBOV ZAKON. PRINCIP SUPERPOZICIJE

Zadatak 1.14 Dva jednaka tanka štapa duljine L nabijemo jednoliko nabojem Q. Štapove postavimo na os x

na udaljenost d. Izračunajte odbojnu silu između štapova.

Zadatak 1.15 Beskonačna ravnina s jednolikom plošnom gustoćom σ0 ima kružnu rupu polumjera a.

Izračunajte električno polje po pravcu (os z) koji je okomit na ravninu i prolazi središtem kružne rupe. Ishodište

postavite tako da se podudara sa središtem rupe.

Uputa: smijete koristiti izraz za potencijal nabijenog diska po geometrijskoj osi (z-osi) čija je plošna gustoća σ1

2 21

0

( ) | |2

z a z z

= + −

Zadatak 1.16 Po tankom prstenu polumjera a koji je smješten u xy-ravninu tako da mu se središte podudara s

ishodištem, duljinska gustoća naboja mijenja se kao sin ϕ . Ukupni naboj na prstenu je nula. Pretpostavimo da

prsten stavimo u homogeno električno polje E = Eez . Izračunajte moment sile na prsten obzirom na ishodište

koordinatnog sustava. Za gustoću naboja uzmite

( ) ( )2

sin22

Qr a

a

= − −

r ,

gdje je Q naboj na žici za ϕ iz [0, π].

Uputa: moment sile na naboj Δq na prstenu je

q = = M r F r E

Zadatak 1.17 Nađite električno polje sljedeće raspodjele naboja:

( )( ) ( ) ,

0, drugo

bz x y a z a

− =

r

gdje je b konstanta.

Zadatak 1.18 Po kvadratu stranice a nalazi se jednoliko raspodjeljen površinski naboj σ. Nađite električni

potencijal po osi okomitoj na kvadrat koja prolazi središtem kvadrata. Postavite koordinatni sustav tako kvadrat

leži u xy-ravnini te se ishodište poklapa sa središtem kvadrata, a njegove stranice paralelne su koordinatnim

osima x i y.

Zadatak 1.19 Tanki, jednoliko nabijeni cilindar gustoće naboja ρ postavljen je tako da mu se geometrijska os

poklapa s osi z, a središte cilindra s ishodištem. Cilindar je duljine 2l i ima polumjer a.

(a) Pokažite da je električno polje po geometrijskoj osi jednako

( )0

2

2 22z

a l

z l

=

−E e

pri čemu je z > L i z >> a.

(b) Pokažite da je za z >> l navedeni izraz jednak polju točkastog naboja.

Uputa: upotrijebite izraz za električno polje po osi jednoliko nabijenog diska s vježbi (zadatak 1.5) i princip

superpozicije.

x

O L L + d 2L + d

3



2 Gaussov zakon

Zadatak 2.1 Upotrijebite Gaussov zakon da odredite električno polje beskonačno duge žice zanemarivog

promjera, nabijene jednoliko, linijskom gustoćom naboja λ0 .

Zadatak 2.2 Beskonačna ravnina nabijena je jednolikom plošnom gustoćom σ0 . Izračunajte potencijal i

električno polje ravnine pomoću Gaussova zakona.

Zadatak 2.3 Izračunajte potencijal kugle naboja jednolike gustoće ρ0 i radijusa R. Upotrijebite Gaussov

zakon i računajte unutar i izvan raspodjele.

Zadatak 2.4 Odredite ukupni naboj unutar kocke duljine brida L, ako je električno polje unutar i po kocki

zadano s

( )2 2 2

4

1x y zx yz xy z xyz

L = + +E e e e

gdje su α, β, γ konstante. U rezultatu kojeg ste dobili javit će se zbroj α + β + γ. Ako je taj zbroj jednak nuli,

znači da je ukupni naboj unutar kocke jednak nuli. Da li je, u tom slučaju moguće da unutar kocke imamo

jednaku količinu pozitivnog i negativnog naboja?

Zadatak 2.5 Gustoća naboja ograničena je s dvije beskonačne paralelne ravnine. Duž osi gustoća se mijenja

po zakonu:

( ) ; 0

( )0 ; ostalo

Ax d x x dx

− =

Upotrijebite Gaussov zakon da nađete električno polje unutar i izvan distribucije. Koordinatni sustav postavite

kao na slici. Uzmite da je A < 0.

Zadatak 2.6 Dvije kugle, svaka radijusa R s jednolikom gustoćom naboja +ρ i −ρ postavljene su tako da se

djelomično prekrivaju. Neka je vektor s usmjeren od negativno prema pozitivno nabijenoj kugli, a njegov iznos

udaljenost između centara distribucija. Pokažite da je električno polje u području prekrivanja kugli konstantno te

pronađite njegovu vrijednost.

Zadatak 2.7 Dvije beskonačne ravnine razmaknute za udaljenost 2a, nabijene su suprotnim nabojima

različitih veličina. Lijeva nosi površinski naboj −2σ, a desna površinski naboj σ. Izračunajte električno polje po

cijelom prostoru.

x

y

d O

+ρ −ρ

s

4

2 GAUSSOV ZAKON

Zadatak 2.8 Elekrtično polje unutar beskonačno dugog cilindra radijusa R iznosi E = Aρ2eρ , gdje je ρ

udaljenost od osi u cilindričnim koordinatama. Nađite volumnu gustoću naboja i električno polje izvan cilindra.

Nađite i nacrtajte električni potencijal unutar i izvan ove raspodjele.

Zadatak 2.9 Pretpostavimo da je novo i veoma točno mjerenje otkrilo da Coulombov zakon ima grešku. U

tom je mjerenju utvrđeno da je prava sila između dva točkasta naboja jednaka

/1 2

2

0

11

4

r

r

q q re

r

− = +

F e

gdje je λ nova prirodna konstanta (ima dimenziju duljine, očito, i veliku vrijednost – oko polovine radijusa

poznatog Svemira – pa je korekcija ''starog'' Coulombog zakona mala i prilikom ranijih mjerenja je nisu mogli

ustanoviti). Pretpostavite da princip superpozicije i nadalje vrijedi.

(a) Zadana je proizvoljna gustoća naboja ρ(r). Napišite izraz za električno polje zadane raspodjele upotrijebivši

novi elektrostatski zakon.

(b) Da li novi izraz za silu dopušta uvođenje električnog potencijala? Ako da, napišite novi izraz za potencijal

točkastog električnog naboja Φ.

(c) Dokažite da za točkasti naboj q u ishodištu vrijedi

2

0

1 1d d

S V

V q

+ = E S

gdje je V volumen proizvoljne kugle, a S ploha kugle sa centrom u ishodištu.

(d) Generalizirajte rezultat pod (c) za proizvoljnu plohu S i volumen V.

Uputa: opišite oko naboja sferu radijusa ϵ → 0. Integrali su tada dobro definirani u prostoru izvan sfere.

Zadatak 2.10 Po graničnoj plohi između područja 1 i 2 raspodjeljen je naboj plošne gustoće σ. U točki plohe

r0 plošna gustoća iznosi σ(r0) = 10−11 C/m2. U toj je točki električno polje iz područja 1 usmjereno prema plohi i

pod kutem 45° prema normali na plohu u toj točki, a iznos polja je 1 V/m. Nađite iznos električnog polja iz

područja 2 u točki r0 te nađite njegov smjer.

Zadatak 2.11 Ako je električno polje u nekom području zadano u sfernim koordinatama izrazom

sin cosrA B

r

+=

e eE

gdje su A i B konstante, kolika je gustoća naboja?

Zadatak 2.12 Sferno-simetrična raspodjela naboja unutar sfere radijusa R generira električno polje

konstantne vrijednosti E0 u svim točkama unutar sfere.

(a) Nađite gustoću električnog naboja ρ = ρ(r)

(b) Odredite i nacrtajte električni potencijal kao funkciju udaljenosti od centra sfere. Pretpostavite da je Φ(∞) =

0.

Zadatak 2.13 U vakuumskoj diodi, elektroni izlaze iz užarene katode na potencijalu nula, ubrzavaju se u

prostoru između elektroda do anode, koja je na potencijalu V0. Elektroni koji se gibaju između elektroda (taj se

naboj naziva prostorni naboj) nagomilaju se ubrzo nakon uključivanja diode smanjujući tako električno polje na

katodi na vrijednost nula. Od tog trenutka između elektroda teče struja stalne vrijednosti I.

Pretpostavite da su elektrode ravne ploče čija je površina A mnogo veća od kvadrata udaljenosti između ploča d2

pa se rubni efekti smiju zanemariti. Tada su potencijal Φ, gustoća naboja ρ, brzina v samo funkcije od x.

(a) Napišite Poissonovu jednadžbu za prostor između elektroda.

5

2 GAUSSOV ZAKON

(b) Pretpostavljajući da je brzina kojom su elektroni isijani iz katode jednaka nuli, izračunajte njihovu brzinu u

proizvoljnoj točki x unutar elektroda.

(c) U stacionarnom stanju, struja I ne zavisi o x. Koja je, tada, veza između ρ i v?

(d) Upotrijebite jednadžbe dobijene pod (a), (b) i (c) da napišete diferencijalnu jednadžbu za Φ.

(e) Riješite jednadžbu za Φ tako da pretpostavite rješenje u obliku Φ(x) = Cxα, gdje su C i α konstante koje treba

odrediti. Nacrtajte funkciju Φ = Φ(x) i usporedite je sa potencijalom kad između ploča nema prostornog naboja

(kao kod pločastog kondenzatora). Nađite ρ, v kao funkcije od x.

(f) Pokažite da vrijedi

3/ 2

0I KV=

te nađite konstantu K. Ova se jednadžba naziva Child-Langmuirov zakon. Ona vrijedi i za druge geometrije, na

primjer, za cilindričnu, gdje prostorni naboj ograničava struju. Primijetite da je veza između struje i napona

nelinearna − Ohmov zakon nije valjan.

Zadatak 2.14 Sferna ljuska omeđena sferama r = a i r = b sadrži naboj gustoće ρ = kr−2. Nađite električno

polje u tri područja (I) r < a, (II) a < r < b i (III) r > b. Nacrtajte graf električnog polja u funkciji od r.

Zadatak 2.15 Unutar sfere radijusa R gustoća naboja mijenja se po zakonu

( ) /r Rr eA −=

dok je izvan sfere ρ(r) jednak nuli.

(a) Odredite konstantu A iz uvjeta da je ukupni naboj unutar sfere jednak Q.

(b) Izračunajte električno polje unutar i izvan ove raspodjele naboja.

Zadatak 2.16 Sferna ljuska ima gustoću naboja

2

( )k

rr

=

u području a ≤ r ≤ b. Nađite električno polje u tri područja:

(i) r ≤ a ;

(ii) a ≤ r ≤ b ;

(iii) r ≥ b .

Nacrtajte graf za E = E(r).

Zadatak 2.17 Unutar kugle radijusa R nalazi se pozitivan naboj čija je gustoća

( )0 1 / ,

( )0 ,

r R r Rr

r R

− =

gdje je r udaljenost od centra kugle, a ρ0 konstanta. Nađite:

(a) Iznos električnog polja kao funkcije od r, unutar i izvan kugle.

(b) Maksimalan iznos električnog polja i pripadnu udaljenost od centra kugle.

Zadatak 2.18 Nađite gustoću naboja ako je potencijal zadan s

6

2 GAUSSOV ZAKON

0

1 1 1arctan arctan

2

x x

y y

+ − = +

Zadatak 2.19 Električni naboj raspodjeljen je unutar sferne ljuske unutrašnjeg polumjera R1 i vanjskog

polumjera R2 . Gustoća naboja je ρ(r) = a + br, gdje su a i b konstante, a r udaljenost od centra ljuske. Izvan

ljuske gustoća je nula.

(a) Nađite izraz za električno polje u cijelom prostoru.

(b) Nađite izraz za električni potencijal i gustoću energije za r < R1 . Uzmite da je potencijal nula u

beskonačnosti.

Zadatak 2.20 (a) Pokažite da je tok električnog polja kroz plohu S zbog točkastog naboja q jednak kqΩ, gdje

je Ω prostorni kut čiji je vrh na položaju naboja q, a k = (4ϵ0)−1. Prostorni kut je pozitivan ako je vanjska

normala usmjerena od naboja.

(b) Postavimo naboj q na os kružnog diska polumjera a na udaljenost d od centra diska. Na koju udaljenost od

centra diska na os diska moramo postaviti naboj Q da bi tokovi električnih polja zadanih naboja kroz disk bili

jednaki? Koliki je tada ukupni tok kroz disk? Naboj Q i naboj q različitog su predznaka.

Zadatak 2.21 Jedan od modela vodikovog atoma sastoji se od točkastog naboja (protona) +e okruženog

sferno-simetričnom raspodjelom negativnog naboja (elektrona) iznosa −e čija je gustoća

12 /( ) e

r ar b −= −

gdje je a1 = 5,28 10−11 m.

(a) Izračunajte vrijednost konstante b. Naboj protona je e = 1,6 10−19 C.

(b) Odredite potencijal zadane distribucije negativnog naboja.

(c) Koliki je ukupni potencijal vodikovog atoma?

Zadatak 2.22 Vektorsko polje A ima dva svojstva:

(1) zadovoljava jednadžbu 0 =A

u području P,

(2) na plohi D s vanjskom normalom n koja omeđuje P, zadovoljava jednakost A n = 0.

Pokažite da je

3( )

d 0| |

R

P

r =−

A r

R r

gdje je

R x y z

x y zR R R

= + +

e e e

Zadatak 2.23 Vektorsko polje A ima dva svojstva:

(1) zadovoljava jednadžbu 0 =A

u području P,

(2) na plohi D s vanjskom normalom n koja omeđuje P, zadovoljava jednakost A n = 0.

Pokažite da je

d 0P

V =A

S

Ω

q

n

7

2 GAUSSOV ZAKON

Zadatak 2.24 Upotrijebite osnovne zakone elektrostatike i pokažite da vrijedi

−=

prostor cijeli

12

prostor cijeli

21 dd VV EE

gdje je E1(r) električno polje povezano s gustoćom naboja ρ1(r), a E2(r) polje povezano s ρ2(r). Obje gustoće

naboja nalaze se u konačnom volumenu. Kolika su polja jako daleko od naboja?

Uputa: upotrijebite vektorski identitet

−−

+=−−

VV

VVSSS

VV

VV

d)(d)(

d)(d)()d()d(d)(

ABBA

ABBASBASABSBA

Zadatak 2.25 Primijenimo li Poissonov teorem na električno polje E dobijemo:

−

−−=

prostor cijeli

d||

)()(

4

1)( V

rr

EErE

(a) Upotrijebite osnovne zakone elektrostike i pokažite da vrijedi

0 cijeli prostor

1( ) d

4 | |V

= −

−E rr r

(b) Upotrijebite teorem o gradijentu (Pregled formula, str. 48) te pokažite da iz (a) slijedi poznati izraz za

električno polje prostorne raspodjele naboja

2

0 cijeli prostor

1 ( )( ) d

4 | || |V

−=

−−r r

E rr rr r

Zadatak 2.26 Nađite gustoću naboja koja odgovara potencijalu

( ) e rqr

r

− =

u području r ≠ 0.

Zadatak 2.27 U svakoj točki prostora gustoća naboja zadana je formulom ρ(r) = ρ0 sin(ax)sin(by)sin(cz).

Izračunajte potencijal i električno polje.

Uputa: pogledajte Poissonovu jednažbu i primijetite da su rubovi u beskonačnosti. Mora li potencijal biti jednak

nuli u beskonačnosti?

Zadatak 2.28 Izračunajte električno polje kugle naboja polumjera a čija se gustoća naboja za r < a mijenja

prema izrazu

( )( )0( ) e 1r ar −= −

dok je za r > a gustoća jednaka nuli. Za konstantu α vrijedi α > 0. Upotrijebite Gaussov zakon i računajte unutar

i izvan raspodjele.

Uputa: integral po volumenu za sferno-simetričnu funkciju f(r) i integral funkcije exp(αr)r2 jednaki su

2

0

( ) 4 ( )

a

V

f r dV f r r dr= ; ( )2 2 2

3

ee 2 2

rr r dr r r

= − +

Zadatak 2.29 Raspodjela naboja ρ(r) s ukupnim nabojem Q smještena je unutar konačnog volumena u

poluprostoru z < 0. Ako je ploha integracije z = 0, pomoću Gaussovog zakona dokažite da vrijedi

0 02

z

z

QdS

=

= E e

Zadatak 2.30 Promotrite veoma dugi cilindar polumjera a koji je jednoliko nabijen prostornom gustoćom

naboja α. Za ρ > a gustoća je nula. Odredite potencijal unutar i izvan cilindra.

Zadatak 2.31 Nađite elektrostatsko polje koje stvara sferno-simetrična raspodjela naboja gustoće

8

2 GAUSSOV ZAKON

( ) 0

krr e −=

gdje je ρ0 gustoća naboja u r = 0, a k je konstanta. Raspodjela se nalazi u cijelom prostoru.

9



3 Rad i energija u elektrostatici. Vodiči

Zadatak 3.1 (a) Tri naboja smještena su u kutove kvadrata stranice a kao što je prikazano na crtežu. Koliki

rad moramo izvršiti da naboj +q dovedemo iz beskonačnosti na četvrti vrh kvadrata?

(b) Koliki je rad potreban za postavljenje svih naboja u vrhove kvadrata?

Zadatak 3.2 Nađite energiju jednoliko nabijene sferne ljuske radijusa R s ukupnim nabojem q.

Zadatak 3.3 Jedan od načina kojim možete izračunati elektrostatsku energiju jednoliko nabijene kugle je

ovaj: napravite kuglu tako da joj dovodite iz beskonačnosti tanke, sferne slojeve s nabojem dq. Na taj način joj i

povećavate radijus. Koliki rad je potreban da se radijus kugle poveća za dr? Integrirajte taj izraz da nađete rad

potreban da se načini cijela kugla radijusa R i naboja q.

Zadatak 3.4 Nenabijeni sferni vodič sa centrom u ishodištu ima u unutršnjosti šupljinu nepravilnog oblika.

U šupljini nalazi se naboj q. Koliko je električno polje izvan vodiča?

Zadatak 3.5 U unutrašnjosti sfernog vodiča radijusa R nalaze se dvije sferne šupljine radijusa a i b. U centru

svake od šupljina smješteni su naboji qa i qb .

(a) Nađite plošne gustoće naboja σa , σb i σR .

(b) Koliko je polje izvan vodiča?

(c) Koliko je polje unutar šupljina?

(d) Kolika je sila na naboje qa i qb ?

(e) Koji odgovori će se promijenti ako u blizinu vodiča dovedemo naboj qc ?

Zadatak 3.6 Metalna sfera radijusa R nabijena je nabojem Q. Kolika je sila kojom se odbijaju njezine

polusfere?

Zadatak 3.7 (a) Sferni volumen radijusa a napunjen je nabojem jednolike gustoće ρ. Želimo doznati kolika

je elektrostatska potencijalna energija kugle, odnosno, koliki je rad izvršen pri formiranju kugle. Izračunajte taj

rad dodavajući kugli naboj u slojevima koji početno leže u beskonačnosti, koristeći pri tome činjenicu da je

električno polje sferno-simetrične raspodjele naboja izvan te raspodjele jednako polju točkastog naboja koji se

−q

+q −q a

q

qa qb

10

3 RAD I ENERGIJA U ELEKTROSTATICI. VODIČI

nalazi u centru raspodjele, a veličina točkastog naboja jednaka je ukupnom naboju u raspodjeli. Izrazite rezultat

preko ukupnog naboja Q u kugli.

(b) Na početku ovog stoljeća pojavila se ideja da je masa mirovanja elektrona čisto električnog porijekla,

potaknuta ekvivalencijom energije i mase iz specijalne teorije relativnosti. Zamislite da je elektron kugla naboja

jednolike gustoće ciji je radijus r0 . Izjednačite elektrostatsku potencijalnu kugle izračunatu pod (a) s energijom

mase mirovanja m0c2 da dobijete r0 . Nedostatak ovog modela je prilično očit: ne postoji sila koja drži naboj u

kugli na okupu!

Zadatak 3.8 Nađite energiju interakcije između elektronskog oblaka i jezgre (protona) u vodikovom atomu.

Pretpostavite da je elektronska gustoća naboja zadana formulom

(r) = 3

0

e

a0

2exp

r

a

−

gdje je e naboj elektrona, a konstanta a0 Bohr-ov radijus.

Zadatak 3.9 Izračunajte potencijalnu energiju po ionu za beskonačni jednodimenzionalni ionski kristal

odnosno za “red” jednako udaljenih naboja čija je apsolutna vrijednost e, ali imaju različiti predznak kako je

prikazano na slici.

Uputa: pomoći će vam razvoj u red funkcije ln (1 + x ).

Zadatak 3.10 Kugla radijusa R nabijena je s dvije jednake veličine naboja suprotnih predznaka Q i −Q s

raspodjelom

2

sin bra

r =

gdje su a i b konstante koje se određuju iz uvjeta Q + (−Q) = 0. Nađite energiju elektrostatskog polja tog sustava.

Koji se dio energije nalazi u prostoru izvan kugle?

Zadatak 3.11 Odredite elektrostatsku potencijalnu energiju tankog diska radijusa a, jednoliko nabijenog

površinskom gustoćom σ. Koristite formulu za potencijal takve distribucije naboja na rubu diska

Φ = 4σa

Uputa: razmotrite rad dobijen postepenim dodavanjem naboja u tankim prstenima širine dr od 0 do a. Konačan

rezultat napišite pomoću ukupnog naboja na disku Q = σa2π.

Zadatak 3.12 Greenov teorem reciprociteta glasi: ako je Φ potencijal volumne raspodjele ρ unutar volumena

V i plošne gustoće naboja σ na vodljivim plohama S koje omeđuju volumen V, a Φ' potencijal raspodjele ρ' i

plošne gustoće σ' na istom volumenu V i plohama S tada vrijedi jednakost

V S V S

dV dS dV dS + = +

Pomoću Greenovog teorema reciprociteta dokažite sljedeći teorem: ako ukupni naboji q1, q2,…, qn na n vodiča

daju po plohama vodiča potencijale V1, V2,…, Vn, a naboji q'1, q'2,…, q'n potencijale V1, V2,…, Vn tada vrijedi

1 1

n n

i i i i

i i

qV qV= =

=

Pretpostavite da u prostoru između vodiča nema naboja.

11


Zadatak 3.13 Skup od n vodiča stavljen je u dielektik koji je izotropan, no ne nužno i homogen. Ako su

naboji q1, q2,..., qn stavljeni na vodiče, odgovarajući potencijali iznose Φ1, Φ2,..., Φn. Slično, ako na iste vodiče

stavimo druge vrijednosti naboja npr. q'1, q'2,..., q'n potencijali su sada Φ'1, Φ'2,..., Φ'n. Pokažite da vrijedi

1 1

n n

i i i i

i i

q q= =

=

Zadatak 3.14 Izračunajte elektrostatsku potencijalnu energiju kugle naboja radijusa R čija je gustoća ρ = ρ0r2,

gdje je ρ0 konstanta.

Zadatak 3.15 Zatvorena vodljiva površina na potencijalu V1 zatvara vodič na potencijalu V0. Potencijal

između ploha vodiča u točki P iznosi VP. Vodiče zatim uzemljimo i postavimo naboj q u točku P. Nađite naboje

koji se induciraju po vodičima.

Uputa: Koristite Greenov teorem reciprociteta. Također upotrijebite Gaussov teorem za plohu koja okružuje

naboj q i ne dodiruje vodiče. Dobit ćete dvije jednadžbe za inducirane naboje q' i q''.

Zadatak 3.16 Promatrajmo sustav od n nabijenih vodiča. Neka i-ti vodič ima naboj qi i neka je na potencijalu

Vi . Tada vrijedi relacija

1

n

i ij j

i

V p q=

=

gdje koefijcijenti pij ovise o relativnim položajima vodiča, obliku i dimenzijama vodiča te sredstvu u kojem se

vodiči nalaze. Također vrijedi relacija pij = pji , odnosno, matrica za koeficijente pij je simetrična.

Primijenimo gornji izraz za rješavanje sljedećeg zadatka: vodič nabijamo tako da ga stavljamo u kontakt s

pločom kondenzatora. Nakon nakon sto dodirnemo ploču, vodič pomaknemo na veliku udaljenost od ploče, a

kondenzator ponovo nabijemo tako da vrijednost naboja na ploči bude Q.

Prilikom prvog kontakta, vodič dobije naboj q. Koliki naboj dobije vodič nakon velikog broja dodira (k → ∞) s

pločom kondenzatora pri čemu se opisani postupak ponavlja?

Uputa: pretpostavimo da je naboj na vodiču nakon k-tog kontakta jednak qk. Tada su potencijali na vodiču (V1) i

ploči (V2) jednaki, te vrijedi

1 2

11 12 21 22( ) ( )k k

V V

p q p Q q p q p Q q

=

+ − = + −

gdje je Δq = qk − qk−1 . Kako glasi gornja jednadžba nakon prvog kontakta?

Zadatak 3.17 Greenov teorem reciprociteta glasi: ako je Φ potencijal prostorne gutoće naboja ρ unutar

prostora V i plošne gustoće naboja σ na vodljivim plohama S koje omeđuju V, a Φ' potencijal gustoće ρ' i plošne

gustoće σ' u istom prostoru V i plohama S tada vrijedi jednakost

d d d dV S V S

V S V S + = +

Upotrijebite Greenovog teorem reciprociteta i pokažite da položaji točaka iz kojih jedinični točkasti naboj

inducira na uzemljenom vodiču naboj jednake veličine, ali suprotnog predznaka, čine ekvipotencijalnu plohu u

polju vodiča, no bez točkastog naboja.

Uputa: prostorna gustoća za jedinični naboj na položaju r1 glasi ρ(r) = δ(r − r1).

σ

Φ Φ'

σ'

ρ' ρ

V, S V, S

12


Zadatak 3.18 (a) Sila na raspodjelu naboja ρ u vanjskom polju E0 je

0( ) ( )d ( ) ( )d

V V

V V = = F r E r r E r

gdje je E ukupno polje i E = E0 + E1 pri čemu smo uzeli u obzir da je sila na raspodjelu u električnom polju

same raspodjele E1 , jednaka nuli.

Transformirajte ovu formulu pomoću diferencijalnog oblika Gaussovog zakona u

20

0 ( d ) d2

S S

= − F E E S E S

gdje je S ploha koja omeđuje područje (s nabojem) V. Vidimo da se u trasformiranoj formuli javlja samo

električno polje.

(b) Iz (a) te iz činjenice da je po površini vodiča E = En , gdje je n normala, pokažite da je sila na vodič u

električnom polju

20 d

2S

= F E S

Zadatak 3.19 Po plaštu stošca načinjenog od izolatora nalazi se jednoliko raspodijeljen naboj Q. Izračunajte

energiju potrebnu da se točkasti naboj q dovode iz beskonačnosti na vrh stošca. Duljina izvodnice stošca je L.

Zadatak 3.20 Dva identična sferna kondenzatora s unutrašnjom elektrodom polumjera a i vanjskom

elektrodom polumjera b izolirana su i postavljena na veliku udaljenost jedan od drugoga. Zatim je jednom od

kondenzatora na unutrašnju elektrodu dodan naboj q, a drugom q1 (također na unutrašnju elektrodu). Nakon toga

su vanjske elektrode kondenzatora spojene tankom žicom. Nađite kolika je približna promjena energije ovog

sustava kondenzatora nakon spajanja žicom.

Zadatak 3.21 (a) Pokažite da su potencijali i naboji kod sustava vodiča povezani jednadžbama:

1

, 1,2,...,N

i ij j

j

V p Q i N=

= =

gdje su Vi potencijali vodiča, Qi ukupni naboji, a koefijcijenti pij (koeficijenti potencijala) dani su formulom

0

1 1d d

4 | |i j

i j

ij i j

i j i jS S

p S SQ Q

=

− r r

Indeksi i, j označavaju da se radi o i-tom ili j-tom vodiču. Na primjer, σi = σ(ri), a integrira se po plohi i-tog

vodiča Si .

(b) Napišite jednadžbe za naboje i potencijale kod pločastog kondenzatora. Koliki je kapacitet kondenzatora

izražen pomoću koeficijenata potencijala?

Uputa: potencijal sustava vodiča glasi

1 0

1( ) d

4 | |j

Nj

j

j jS

S

=

=−

rr r

Integrirajte izraz po plohi i-tog vodiča.

13



4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika

Zadatak 4.1 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti R od beskonačne vodljive ravnine koja je na

potencijalu Φ = 0 (uzemljena). Nađite potencijal u prostoru z > 0 upotrebom metode slika i plošnu gustoću

naboja po ravnini.

Zadatak 4.2 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d od centra uzemljene vodljive sfere radijusa a.

Nađite potencjal u prostoru izvan sfere upotrebom metode slika. Nađite silu između sfere i naboja.

Zadatak 4.3 Točkasti naboj q nalazi se ispred centra vodljive izolirane sfere radijusa a. Sfera je nabijena

nabojem Q. Izračunajte potencijal izvan sfere.

Zadatak 4.4 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d (d > R) od centra vodljive kugle radijusa R koja se

nalazi na konstantnom potencijalu V. Odredite potencijal izvan kugle.

Zadatak 4.5 Beskonačna uzemljena vodljiva ravnina ima izbočinu oblika polukugle radijusa a. Centar

polukugle nalazi se na ravnini.Točkasti naboj q stavimo na os simetrije sistema na udaljenost b (b > a) od

ravnine. Upotrijebite metodu slika da pronađete potencijal Φ (u prostoru z > 0) i gustoću naboja na izbočini.

Zadatak 4.6 Beskonačno duga i tanka žica nabijena je jednoliko linijskom gustoćom τ. Žica je položena

pored beskonačnog vodljivog cilindra radijusa b na udaljenosti R > b od osi cilindra. Os cilindra i žica su

paralelni. Cilindar držimo na fiksnom potencijalu čija je vrijednost takva da potencijal iščezava u beskonačnosti.

Nađite:

(a) Veličinu i položaj slikovnog naboja (linijske gustoće naboja).

(b) Potencijal u svakoj točki izvan cilindra. Izrazite potencijal u polarnim koordinatama čije je ishodište u

središtu cilindra, a linijsku gustoću naboja smjestite na x-os.

q

z z = R

q

z = d z

a

q

z = b z

14

4 RUBNI PROBLEMI U ELEKTROSTATICI. METODA SLIKA

Zadatak 4.7 Dvije vodljive uzemljene poluravnine, spojene na rubovima, zatvaraju kut 45°. Na simetrali

kuta i na udaljenosti d od vrha kuta nalazi se naboj q. Odredite električni potencijal u prostoru između ravnina.

Uputa: koristite metodu slika.

Zadatak 4.8 Unutar šuplje, uzemljene, vodljive sfere radijusa b nalazi se nabijeni prsten čiji se centar

podudara sa centrom sfere. Naboj na prstenu iznosi Q, a njegov radijus a (a < b). Izračunajte potencijal unutar

sfere koristeći metodu slika.

Zadatak 4.9 Dvije vodljive uzemljene poluravnine, spojene na rubovima, zatvaraju kut 60°. Na simetrali

kuta i na udaljenosti d od vrha kuta nalazi se naboj q. Odredite električni potencijal u prostoru između ravnina.

Uputa:koristite metodu slika. Odredite koordinate točaka u koje treba postaviti naboje slike, te provjerite da li je

potencijal po ravninama zaista jednak 0.

Zadatak 4.10 Točkasti naboj q mase m nalazi se na udaljenosti d ispred beskonačne uzemljene vodljive

ravnine. Izračunajte vrijeme za koje će naboj stići do ravnine. U početnom trenutku naboj miruje.

Zadatak 4.11 Tanka, beskonačna žica sa jednoliko raspodjeljenim nabojem λ postavljena je na udaljenost d

od beskonačne, vodljive i uzemljene ravnine.

(a) Nađite potencijal u području iznad ravnine.

(b) Nađite plošnu gustoću naboja σ induciranu po ravnini.

Zadatak 4.12 Dva točkasta naboja +Q nalaze se na udaljenosti d od beskonačne, uzemljene i vodljive

ravnine, i na međusobnoj udaljenosti 2d. Točka P leži na ravnini, jednako udaljena od oba naboja.

(a) Nađite vrijednost potencijala u točki P.

(b) Nađite vektor električnog polja u točki P.

15


(c) Nađite gustoću induciranog naboja σ.

Zadatak 4.13 Kada oblak prolazi iznad točke T na površini Zemlje mjerimo električno polje E = 100 Vm−1.

Dno oblaka je na visini od d = 300 m iznad površine Zemlje, a vrh oblaka d = 300 m iznad dna oblaka.

Pretpostavite da je oblak električki neutralan gdje se pozitivan naboj q nalazi na dnu, a negativan −q na vrhu

oblaka. Procijenite veličinu naboja q i električnu silu na oblak (smjer i iznos). Pretpostavite da nema drugih

naboja u atmosferi i da se površina Zemlje ponaša kao vodič.

Zadatak 4.14 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d od vodljive ravnine koja je izolirana. Koordinatni

sustav postavite tako da je ravnina na položaju z = 0, a naboj na z = d. Nađite potencijal u poluprostoru z ≥ 0.

Kolikom silom djeluje ravnina na naboj?

Uputa: upotrijebite metodu slika i princip superpozicije. Dodajte na ravninu jednoliku, plošnu gustoću naboja σ

tako da ukupni naboj po ravnini bude nula. Uzmite da ravnina ima površinu S, ali je velika tako da vrijedi σ →

konačno za S → ∞ .

Zadatak 4.15 Nađite silu na naboj +q koji je prikazan na donjem crtežu. Naboj se nalazi na udaljenosti 3d od

vodljive, uzemljene ravnine smještene u x-y ravnini. Je li sila privlačna ili odbojna?

Zadatak 4.16 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d od uzemljene vodljive ravnine. Nađite potencijal u

ovom problemu tako da koristite princip superpozicije i rješenja Laplaceove (Poissonove) jednadžbe. Pokažite

da je rješenje ekvivalentno rješenju dobivenom pomoću metode slika. Koordinatni sustav postavite tako da se

vodljiva ravnina podudara s ravninom z = 0, a naboj leži na osi z u točki z' = d.

Uputa: potencijal ravnine z' = d po kojoj se naboj inducira je azimutalno simetričan i u području z > 0 vrijedi

0

0

( , ) ( ) ( ) e dkzz A k J k k

− =

gdje je J0 (kρ) Besselova funkcija, a koeficijente A(k) treba odrediti iz rubnih uvjeta. Za potencijal točkastog

naboja q na osi z u točki z' = d možemo pisati

q

−q

d

d

T

16


( )

02 2

0 0 0

1( , ) ( ) e d

4 4( )

k z zq qz J k k

z d

− − = =

+ −

gdje je z< (z>) manja (veća) od varijabli z i d.

Zadatak 4.17 Tanka, duga žica postavljena je u ravninu z = 0 paralelno s y-osi pored vodljive, uzemljene

sfere radijusa a sa centrom u ishodištu. Udaljenost žice i sfere je d. Žica je nabijena jednolikom gustoćom po

jedinici duljine λ = dq/dy. Nađite izraz za silu između žice i sfere.

Uputa: koristite riješeni problem točkastog naboja blizu sfere i princip superpozicije. Iz simetrije zaključite je li

neka od komponenti sile jednaka nuli. Integrale koji se javljaju nije potrebno računati.

Zadatak 4.18 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d od uzemljene vodljive sfere polumjera a. Nađite

potencijal izvan sfere tako da koristite princip superpozicije i rješenja Laplaceove (Poissonove) jednadžbe.

Pokažite da je rješenje ekvivalentno rješenju dobivenom pomoću metode slika. Koordinatni sustav postavite tako

da je središte vodljive sfere podudara s ishodištem, a naboj leži na osi z u točki z' = d.

Uputa: potencijal sfere po kojoj se naboj inducira je azimutalno simetričan i u području r > 0 vrijedi

( 1)

0

( , ) (cos )l

l l

l

r A r P

− +

=

=

Koeficijente Al treba odrediti iz rubnih uvjeta. Za potencijal točkastog naboja q smještenog na osi z u točki z' = d

možemo pisati

12 2

00 0

1( , ) (cos )

4 42 cos

l

lll

rq qz P

rr d rd

+=

= =+ −

gdje je r< (r>) manja (veća) od varijabli r i d.

Zadatak 4.19 Linijski naboj jednolike gustoće λ postavljen je unutar šuplje, uzemljene i vodljive sfere

polumjera a u radijalnom smjeru. Jedan kraj naboja je na polumjeru r1 , a drugi na polumjeru r2 od središta

sfere.

(a) Nađite naboj slike za ovu rapodjelu naboja.

(b) Koliki je potencijal unutar sfere? Rezultat možete ostaviti u obliku integrala.

Zadatak 4.20 (a) Promotrite problem točkastog naboja blizu uzemljene vodljive sfere polumjera a. Pokažite

da je rad, potreban da se naboj q pomakne iz udaljenosti r > a do beskonačnosti jednak

2

2 2

08 ( )

q aW

r a=

−

(b) Promotrite problem točkastog naboja blizu izolirane vodljive sfere polumjera a, nabijene nabojem Q.

Pokažite da je rad, potreban da se naboj q pomakne iz udaljenosti r > a do beskonačnosti jednak

a

d

y

x

z r1 r2

λ

a

17


2 2

2 2 2

0

1

4 2( ) 2

q a q a qQW

rr a r

= − −

−

Uputa: poslužite se rezultatima s vježbi.

Zadatak 4.21 Linijski naboj jednolike gustoće λ postavljen je na udaljenost d od uzemljene vodljive ravnine

kao na slici. Nađite potencijal u poluprostoru z > 0 pomoću metode slika. O kojoj koordinati potencijal ne ovisi?

Uputa: jedan način rješavanja je da koristite princip superpozicije i problem točkastog naboja blizu vodljive

uzemljene ravnine kojeg smo riješili na vježbama.

Zadatak 4.22 Točkasti naboj q nalazi se ispred uzemljene, vodljive i beskonačne ravnine s polusferom.

Polusfera ima polumjer a. Naboj je smješten u ravnini z = 0 u točki s koordinatama (x0 , y0). Nađite potencijal u

poluprostoru y > 0 i r > a.

Zadatak 4.23 Dva jednaka naboja +q postavljena su na udaljenost 2b. Nađite približno (za R << b), koliki je

minimalni polumjer R uzemljene sfere koju treba staviti točno između naboja tako da se poništi njihova odbojna

sila.


z

x

λ

d

x

y

q

a

z 2b

+q +q R = ?

18


Zadatak 4.24 Točkasti naboj q = 2 · 10−6 C smješten je d1 = 15 cm od površine vodljive i izolirane sfere

polumjera R = 50 cm. Nađite potencijalnu energiju sustava naboja i vodiča.

Uputa: koristite izraz

d

d

W F z

= −

gdje je d = d1 + R, a F sila između naboja q i naboja po sferi.

Zadatak 4.25 Točkasti naboj q postavljen je između dvije uzemljene koncentrične sfere polumjera a i c na

udaljenost b (a < b < c) od zajedničkog središta sferi. Pokažite da su naboji koji se induciraju na sferama jednaki

qac

ab

b

cq

qac

bc

b

aq

−

−

−=

−

−

−=

gdje je q' inducirani naboj na sferi polumjera a, a q'' inducirani naboj na sferi polumjera c.

Uputa: koristite već riješeni problem točkastog naboja blizu uzemljene vodljive sfere. No, u ovom slučaju

postavite beskonačno mnogo naboja slike za unutrašnju i vanjsku sferu te ih onda zbrojite. Dovoljno je da

zbrojite naboje slike za unutrašnju sferu jer je zbroj induciranog naboja na unutrašnjoj i vanjskoj sferi jednak qa

+ qc = −q.

Zadatak 4.26 Točkasti naboj q nalazi se ispred centra vodljive izolirane sfere radijusa a. Sfere nije nabijena.

Izračunajte potencijal izvan sfere.

Zadatak 4.27 Unutar vodiča proizvoljnog oblika nalazi se sferna šupljina. Točkasti naboj q postavimo u

šupljinu na udaljenost d od centra uzemljene vodljive sfere radijusa a, gdje je d < a.

(a) Nađite potencijal u šupljini upotrebom metode slika.

(b) Nađite električnu silu između vodiča i naboja.

Zadatak 4.28 Po beskonačnoj žici veoma malog polumjera nalazi se jednoliko raspodijeljen naboj duljinske

gustoće λ. Žicu postavimo iznad vodljive i uzemljene ravnine na udaljenost d od ravnine. Koordinatni sustav

postavimo tako da se vodljiva ravnina podudara s xy ravninom, a žica je paralelna s osi x i prolazi točkom y = 0,

z = d.

z

R

d1

q

a q z

19


(a) Nađite potencijal u poluprostoru z > 0.

(b) Nađite plošnu gustoću naboja koja se inducira po ravnini.

Zadatak 4.29 Naboj q postavljen je na udaljenost d od središta uzemljene vodljive sfere polumjera a tako da

je d << R. Odredite plošnu raspodjelu naboja po sferi i silu između naboja i sfere u navedenoj granici. Smijete

koristiti rezultate s vježbi.

20



5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadžba u pravokutnim koordinatama

Zadatak 5.1 Dvodimenzionalni problem zadan je rubnim uvjetima:

( ,0) ( , ) (0, ) 0

( , ) sin

x x b y

a y V yb

= = =

=

Izračunajte potencijal unutar pravokutnika prikazanog na slici.

Zadatak 5.2 Nađite električni potencijal unutar pravokutnika na slici. Rubni uvjeti glase:

0 0

0y y b x

x a

n n n

V

= = =

=

= = =

=

Zadatak 5.3 U dvodimenzionalnom problemu dani su sljedeći rubni uvjeti:

0

0

0x x a y

yV

= = →

=

= = =

=

Izračunajte električni potencijal unutar zadanog područja.

Zadatak 5.4 Šuplji kvadar ima vodljive stijenke definirane sa šest ravnina x = 0, y = 0, z = 0 i x = a, y = b, z

= c. Stijenka z = c je na konstantnom potencijalu V. Ostale stijenke su na potencijalu 0. Izračunajte potencijal

unutar kvadra.

Zadatak 5.5 Šuplja kocka ima vodljive stijenke definirane sa šest ravnina x = 0, y = 0, z = 0 i x = a, y = a, z

= a. Stijenke z = 0 i z = a su na konstantnom potencijalu V. Ostale stijenke su na potencijalu 0. Izračunajte

potencijal unutar kocke.

Zadatak 5.6 Ravnina z = 0 nabijena je plošnom gustoćom naboja koja se mijenja po zakonu

0 sin( )sin( )x y =

gdje su σ0, α, β konstante. Nađite potencijal za ovu raspodjelu naboja.

x

y

a

b

x a

Φ = 0 Φ = 0

Φ = V

Φ → 0

y

21

5 METODA SEPARACIJE VARIJABLI. LAPLACEOVA JEDNADŽBA U PRAVOKUTNIM KOORDINATAMA

Zadatak 5.7 Nađite električni potencijal Φ unutar kvadrata na slici. Dvije su stranice na potencijalu V, a

ostale dvije na potencijalu 0.

Zadatak 5.8 Potencijal po ravnini y = 0 iznosi

= V0 sin kx

(a) Nađite potencijal posvuda u prostoru.

(b) Točkasti naboj q postavljen je u točku y = y0 > 0. Koliki je sad potencijal po cijelom prostoru? Potencijal po

ravnini z = 0 nije se promijenio (V0 sin kx).

Zadatak 5.9 Ravnina s nabojem postavljena je tako da se podudara s xy ravninom. Potencijal se po ravnini

mijenja kao kxAyxV sin),( =

gdje su A i k konstante.

(a) Odredite potencijal V(x, y, z) po cijelom prostoru.

(b) Odredite površinsku gustoću naboja σ(x, y) po ravnini x-y.

(c) Zamijenite ravninu s nabojem sa ravninom po kojoj je ''razmazan'' električni dipol. Električni dipolni

moment po jednici površine zadan je formulama dx = Bcos(kx), dy = 0, dz = 0 pri čemu su B i k konstante.

Izračunajte potencijal po cijelom prostoru.

Zadatak 5.10 Beskonačna vodljiva ravnina (x-z ravnina na slici) podijeljena je u dva područja. U poluravnini

x > 0 potencijal je V0 , a u poluravnini x < 0 potencijal je −V0 . Nađite potencijal posvuda u prostoru.

Uputa: koeficijent u Fourierovom integralu ne trebate izračunati. Dovoljno ga je izraziti pomoću integrala.

Zadatak 5.11 Dvije beskonačne paralelne ploče postavljene su u ravnine y = 0 i y = a. Potencijal na pločama

je poznat i iznosi:

x

z

y

V0

−V0

22


( , ) 0

( , 0) sin( )

x y a

x y V x

= =

= =

gdje je α konstanta. Izračunajte potencijal između ploča.

Uputa: potražite rješenje u obliku Φ(x,y) = f(y)sin(αx).

Zadatak 5.12 Ravnina z = 0 nabijena je plošnom gustoćom naboja σ = f(x, y) koja je periodična funkcija

f(x + α, y + β) = f(x, y)

Nađite potencijal u cijelom prostoru za ovu raspodjelu naboja.

Uputa: razvijte f u Fourierov red (na primjer, po eikxeily) i računajte kao na vježbama.

Zadatak 5.13 Pretpostavimo da je na prvotno nenabijeni i vodljivi elipsoid

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c+ + =

dodan naboj Q. Dokažite da se naboj raspodijeli po elipsoidu tako da je gustoća naboja

1/24 4 4

2 2 2( )

x y z

a b c

−

+ +

r

i nađite konstantu proporcionalnosti.

Uputa: komponente gradijenta i laplaceov operator u generaliziranim ortogonalnim koordinatama (q1, q2, q3)

glase

2 2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

1( ) , 1, 2,3

1

i

i i

ih q

h h h h h h

h h h q h q q h q q h q

= =

= + +

Uputno je koristiti elipsoidne koordinate (q1 = ξ, q2 = η, q3 = ζ) jer očekujemo da ćemo na taj način moći

zadovoljiti rubne uvjete po elipsoidu (potencijal je po elipsoidu konstantan). U tom slučaju faktori skale h1, h2, h3

su

1 22 2 2 2 2 2

3 2 2 2

1 ( )( ) 1 ( )( ), ,

2 2( )( )( ) ( )( )( )

1 ( )( )

2 ( )( )( )

h ha b c a b c

ha b c

− − − −= =

+ + + + + +

− −=

+ + +

Za c ≤ b ≤ a vrijedi ξ ≥ −c2, −c2 ≥ η ≥ −b2, −b2 ≥ ζ ≥ −a2 . Pretpostavite da je Φ(ξ) i riješite laplaceovu

jednadžbu. Pomoću rješenja za potencijal i (E2 − E1) · n = −(1/h1)dΦ/dξ = σ/ϵ0 na površini elipsoida, nađite σ.

Na površini elipsoida je ξ = 0. U računu koristite jednakost

2 2 2

2 2 2

4 4 4

x y za b c

a b c

= + +

Zadatak 5.14 Dvodimenzionalni problem zadan je rubnim uvjetima:

x

y

y = a

O

Φ = 0 Φ = V sin(αx)

23


( ,0) ( , ) (0, ) 0

( , ) 1 (u voltima)

x x b y

a y

= = =

=

Izračunajte potencijal unutar pravokutnika prikazanog na slici.

x

y

a

b

24



6 Laplaceova jednadžba u sfernim koordinatama

Zadatak 6.1 Vodljiva sfera tankih stijenki radijusa a je na potencijalu V na gornjoj polusferi, a na

potencijalu −V na donjoj polusferi. Odredite potencijal u prostoru izvan sfere. Kakav je potencijal sfere na

velikim udaljenostima od centra sfere?

Zadatak 6.2 Sfera radijusa R ima jednoliko raspodjeljen naboj po svojoj površini s gustoćom σ = Q/(4πR2),

osim na sfernoj kapi na sjevernom polu koja je definirana na θ ≤ α, gdje nema naboja. Nađite potencijal unutar i

izvan sfere.

Zadatak 6.3 Vodljiva sfera radijusa a na potencijalu V0 nalazi se unutar tanke sferne ljuske radijusa b na

kojoj je plošni naboj gustoće σ(θ) = σ0cos θ, gdje je σ0 konstanta. Nađite potencijal posvuda u prostoru ako su

sfere koncentrične.

Zadatak 6.4 Razmotrite područje ℜ oblika polusfere koje je definirano s r ≤ R i θ ≤ π/2 u standardnim

sfernim koordinatama. Unutar područja nema naboja, a potencijal je po ravnom rubu jednak Φ(θ = π/2) = 0 dok

po polusferi glasi Φ(r = R, θ ) = V0P3(cos θ ) = V0(5cos3θ − 3cos θ )/2. Nađite potencijal unutar područja ℜ.

Zadatak 6.5 Pokažite da ako je Φ1(r, θ, ϕ) rješenje Laplaceove jednadžbe tada je i

2

2 1( , , ) , ,a a

rr r

=

rješenje Laplaceove jednadžbe. Ovakva konstrukcija rješenja naziva se inverzija na sferi radijusa a.

Φ = V

Φ = −V

z

z

α

z

R ℜ

25

6 LAPLACEOVA JEDNADŽBA U SFERNIM KOORDINATAMA

Zadatak 6.6 (a) Riješite Laplaceovu jednadžbu u sfernim koordinatama metodom separacije varijabli. Kao

početno rješenje uzmite

( )

( , , ) ( ) ( )U r

r P Qr

=

(b) Diferencijalne jednadžbe koje trebate dobiti nakon separiranja varijabli su sljedeće:

22

2

2

2 2

2

2

d1. 0

d

d ( 1)2. 0

d

1 d d3. sin ( 1) 0

sin d d sin

Qm Q

U l lU

r r

P ml l P

+ =

+− =

+ + − =

gdje su m i l(l + 1) pozitivne konstante koje smo koristili prilikom separacije varijebli.

(c) Kod rješavanja jednadžbe 1. uzmite u obzir činjenicu da potencijal mora biti jednoznačna funkcija. Drugim

riječima, Q(ϕ + 2) = Q(ϕ), pa iz toga izvedite zaključak o konstanti m. Rješenje jednadžbe 2. potražite u obliku

U = rk. Jednadžba 3. je generalizirana Legendrova jednadžba.

(d) Pomoću nađenih rješenja i činjenice da je Laplaceova jednadžba linearna parcijalna diferencijalna jednadžba,

napišite opće rješenje.

Zadatak 6.7 Potencijal na sferi radijusa a čiji se centar podudara s ishodištem koordinatnog sustava zadan

je formulom

(r, ) = 3V0 cos2

Nađite potencijal Φ(r,θ) unutar i izvan sfere.

Zadatak 6.8 Vodljiva sfera tankih stijenki radijusa a je na potencijalu nula posvuda, osim na pojasu oko

ekvatora gdje iznosi Φ = V = konst. kako je prikazano na slici. Odredite potencijal unutar sfere. Širina pojasa je

θ0 = 2α.

Φ = V

ekvator

Zadatak 6.9 Po tankoj sfernoj ljusci radijusa R sa centrom u ishodištu nalazi se površinski naboj, i to na

gornjoj polovici ljuske nalazi se naboj gustoće σ, a na donjoj naboj gustoće −σ. Nađite potencijal izvan ljuske.

Kakav oblik ima potencijal kada smo jako daleko od centra sfere?

Zadatak 6.10 Nađite potencijal izvan nabijene metalne sfere radijusa R i naboja Q koja je stavljena u

početno homogeno električno polje E0 .

Zadatak 6.11 Uzemljena, vodljiva sfera radijusa R stavljena je u električno polje E = Eez . Izračunajte

potencijal izvan sfere.

Zadatak 6.12 Promotrite dvije veoma velike plohe koje imaju oblik plašta stošca. Neka se vrh obiju ploha

podudara s ishodištem koordinatnog sustava, a geometrijske osi sa z-osi koordinatnog sustava. U sfernom

26


sustavu to su plohe čije su jednadžbe θ = θ1 i θ = θ2 pri čemu je θ1 < θ2 . Pretpostavimo da je unutrašnja ploha na

potencijalu V1 , a vanjska na potencijalu V2 .

(a) Ovaj problem posjeduje azimutalnu simetriju (potencijal ne ovisi o kutu ϕ). No, također, potencijal ne ovisi

ni o koordinati r. Zašto?

(b) Krenite od Laplaceove jednadžbe i nađite potencijal između ploha.

Zadatak 6.13 Nađite rješenje za električni potencijal unutar sfere polumjera a ako je zadan potencijal na

sferi

2

0( , ) (3cos 3cos 1)a V = + +

gdje je V0 konstanta. U blizini sfere nema naboja niti polja.

Zadatak 6.14 Na vodljivoj sferi polumjera a nalazi se plošna raspodjela naboja

0( ) cos2 =

Nađite potencijal izvan sfere.

Uputa: cos 2θ = (4/3)P2(cos θ) − (1/3).

Zadatak 6.15 Postavimo naboj q u središte sfere polumjera R. Središte sfere podudara se s ishodištem

koordinatnog sustava. Po sferi je potencijal zadan i iznosi Φ(R, θ) = V0 cos θ .

(a) Koju jednadžbu rješavamo unutar, a koju izvan sfere?

(b) Izračunajte potencijal unutar i izvan sfere.

Zadatak 6.16 Vodljiva sfera polumjera a je na potencijalu V0 . Po sferi polumjera b (b > a) potencijal je

poznat i iznosi F(θ). Nađite potencijal unutar ljuske a < r < b.

Zadatak 6.17 U području između veoma udaljenih elektroda potencijal glasi

2

0 ( , , ) sin 2 cosr r =

U ishodište koordinatnog sustava zadanog područja (ne blizu rubova područja) postavimo vodljivu, uzemljenu

sferu polumjera a. Izračunajte potencijal izvan sfere.

Uputa: upotrijebite princip superpozicije te potencijal tražite u obliku Φ0 + ΦS gdje je

( 1)

,

( , , ) ( , )l

S lm lm

l m

r c r Y − + =

Zadatak 6.18 Unutar sfere polumjera R nalazi se jednolika gustoća naboja ρ. Na rubu sfere potencijal je

0( , ) (2 5cos )r R V = = +

Nađite potencijal unutar sfere.

Uputa: jednadžba koju trebate rješavati je Poissonova jednadžba. Ukupno rješenje je za Poissonovu jednadžbu

je oblika Φ = Φp + Φh gdje je Φp partikularno rješenje Poissonove jednadžbe, a Φh opće rješenje Laplaceove

jednadžbe. Ako Φh zadovoljava navedeni rubni uvjet na r = R, tada Φp mora zadovoljiti uvjet Φp(r = R, θ) = 0.

Zadatak 6.19 Područje omeđeno s dvije koncentrične sfere polumjera a i b (a < b) ispunjeno je jednolikom

gustoćom naboja ρ0 . Po unutrašnjoj sferi (r = a) potencijal je jednak

0( , ) cosr a V = =

dok je po vanjskoj (r = b) potencijal

0( , ) 2r b V = =

Nađite rješenje za potencijal u području a < r < b.

z

θ1

θ2

27


Uputa: jednadžba koju trebate rješavati je Poissonova jednadžba. Ukupno rješenje je za Poissonovu jednadžbu

je oblika Φ = Φp + Φh gdje je Φp partikularno rješenje Poissonove jednadžbe, a Φh opće rješenje Laplaceove

jednadžbe. Ako Φh zadovoljava navedene rubne uvjete na r = a i r = b, tada Φp mora zadovoljiti uvjet Φp(r = a,

θ) = 0 i Φp(r = b, θ) = 0.

Zadatak 6.20 Ravnina xy jednoliko je nabijena plošnom gustoćom naboja σ, osim po kružnom vijencu

vanjskog polumjera R + ΔR i unutrašnjeg R − ΔR sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava gdje nema

naboja. Izračunajte potencijal u svim točkama prostora. Uzmite da je R >> ΔR.

Uputa: najprije potražite potencijal nabijenog kružnog vijenca po osi z ako je R >> ΔR. Dobiveni izraz trebate

razviti u red za i nakon zamjene z → r usporediti s rješenjem za Laplaceovu jednadžbu u sfernim koordinatama,

odnosno, iskoristiti jedinstvenost rješenja Laplaceove jednadžbe. Ukupni potencijal dobije se superpozicijom

jednoliko nabijene ravnine i kružnog vijenca nabijenog suprotnim nabojem nego ravnina. Kod računanja

koristite razvoj u red

2 1/2 2

0

( 1) (2 1)!!(1 )

(2 1) (2 )!!

kk

k

kx x

k k

−

=

− ++ =

+

Zadatak 6.21 Vodljiva sfera tankih stijenki radijusa a je na potencijalu = V na gornjoj polusferi, a na

potencijalu = 0 na donjoj polusferi. Odredite potencijal u prostoru izvan sfere. Kakav je potencijal sfere na

velikim udaljenostima od centra sfere?

Uputa: iskoristite integral

1

2 1

0

1 (2 1)!!( )

2 2 ( 1)!

l

l

lP x dx

l+

− = −

+

koji vrijedi za l ≥ 1 i gdje je (2l − 1)!! = (2l − 1) ( 2l − 3)...3 1

Zadatak 6.22 Beskonačni vodljivi stožac čiji je vršni kut 2α držimo na potencijalu Φ = V0 . Os stošca

okomita je na beskonačnu vodljivu ravninu na potencijalu Φ = 0. Odredite:

(a) potencijal u prostoru α < θ < π/2,

(b) električno polje u prostoru α < θ < π/2,

(c) plošnu gustoću naboja na stošcu i ravnini.

Zadatak 6.23 Na beskonačnu, uzemljenu i vodljivu ravninu postavimo vodljivi konus s kutom θ1 tako da je

vrh konusa na ploči, a os konusa je okomita na ravninu. Visina konusa veoma je velika. Konus je izoliran od

ravnine i na potencijalu V.

(a) Odredite potencijal i električno polje u području između ravnine i konusa.

(b) Odredite plošnu gustoću naboja po ravnini.

= V

= 0

z

Φ = V0

Φ = 0 2α

28


Uputa: najprije pokažite da je potencijal ovisan samo o koordinati θ pa zatim riješite Laplaceovu jednadžbu.

Zadatak 6.24 Tanka sferna ljuska polumjera a je na potencijalu V = V0 cos 2θ, gdje je V0 konstanta. Odredite:

(a) potencijal unutar i izvan sfere

(b) gustoću naboja na ljusci.

Zadatak 6.25 Razmotrite sferu polumjera R koja je na potencijalu Φ(R, θ) = V0 cos θ, gdje je V0 konstantno, a

θ kut mjerimo u odnosu na z-os koja prolazi središtem sfere.

(a) Napišite opće rješenje (s koeficijentima koje treba odrediti) za potencijal unutar (r < R) i izvan sfere (r > R).

(b) Napišite rubne uvjete i odredite potencijal u oba područja.

(c) Odredite električno polje na površini sfere. Može li ova sferna ploha biti vodič?

(d) Odredite plošnu gustoću naboja po sferi.

(e) Koliki je dipolni moment sfere?

Zadatak 6.26 (a) Po šupljoj sferi polumjera a potencijal je V0(θ). Izračunajte potencijal unutar sfere,

odnosno, nađite koeficijente u razvoju potencijala po Legendrovim polinomima. Očekuje se da koeficijenti budu

izraženi pomoću integrala po θ.

(b) Izračunajte koeficijente reda ako je V0(θ) = k sin2(θ/2) = (k/2)(1 – cos θ).

θ1

29



7 Laplaceova jednadžba u cilindričkim koordinatama

Zadatak 7.1 Naboj gustoće

sin5a =

nalazi se na površini bekonačnog cilindra radijusa R. Nađite potencijal unutar i izvan cilindra.

Zadatak 7.2 Beskonačni vodič profila prikaznog na slici ima polukružne plohe radijusa a i b koje su na

potencijalu V1 i V2 , dok su ravne stijenke na potencijalu nula. Izračunajte potencijal unutar vodiča.

Zadatak 7.3 Vodljivi cilindar tankih stijenki ima visinu L i polumjer a. Na bazi z = L nalazi se rupa

polumjera b. Izračunajte potencijal u točki T (ρ = 0, z = L/2, ϕ), točno u sredini cilindra ako je na bazi z = L

potencijal Φ = V = konst., a po bazi z = 0 i po plaštu ρ = a potencijal Φ = 0.

Zadatak 7.4 Izračunajte potencijal unutar vodljivog cilindra (slika 7.4) kojemu su baze na potencijalu nula

dok je jedna polovica plašta na potencijalu V (iscrtani dio cilindra), a druga na potencijalu −V (neiscrtani dio

cilindra).

Zadatak 7.5 Polubeskonačan kružni cilindar radijusa R ima jednu bazu na z = 0 ravnini (slika 7.5). Po plaštu

ρ = R je potencijal jednak nuli. Nađite potencijal unutar cilindra kao razvoj u red po Besselovim funkcijama ako

je po bazi z = 0 potencijal jednak V0 .

R

x

y

z

Φ = V1

x

y

Φ = V2

Φ = 0

a

b

Φ = V

Φ = 0

Φ = 0

T

z

30

7 LAPLACEOVA JEDNADŽBA U CILINDRIČKIM KOORDINATAMA

Slika 7.4

Slika 7.5

Zadatak 7.6 Polubeskonačan kružni cilindar radijusa R ima jednu bazu na z = 0 ravnini (slika 7.5). Po plaštu

ρ = R je potencijal jednak nuli. Nađite potencijal unutar cilindra kao razvoj u red po Besselovim funkcijama ako

je po bazi z = 0 potencijal jednak V0 .

(a) Riješite Laplaceovu jednadžbu u cilindričkim koordinatama metodom separacije varijabli. Kao početno

rješenje uzmite

( , , ) ( ) ( ) ( )r R Q Z z =

(b) Promatramo cilindar duljine L i polumjera a kojemu je plašt i donja baza na potencijalu nula, a gornja baza

na potencijalu V(ρ, ϕ). Diferencijalne jednadžbe koje trebate dobiti nakon separiranja varijabli su sljedeće:

22

2

22

2

2 22

2 2

d1. 0

d

d2. 0

d

d 1 d3. 0

dd

Qm Q

Zk Z

z

R R mk R

+ =

− =

+ + − =

gdje su m i k pozitivne konstante koje smo koristili prilikom separacije varijabli.

(c) Kod rješavanja jednadžbe 1. uzmite u obzir činjenicu da potencijal mora biti jednoznačna funkcija. Drugim

riječima, Q(ϕ + 2π) = Q(ϕ), pa iz toga izvedite zaključak kakva mora biti konstanta m. Da dobijete rješenje

jednadžbe 2. upotrijebite rubni uvjet za donju bazu. Jednadžba 3. je Besselova diferencijalna jednadžba.

Primijetite da je Nm(x) singularna u ishodištu i iskoristite rubni uvjet po plaštu.

(d) Pomoću nađenih rješenja i činjenice da je Laplaceova jednadžba linearna parcijalna diferencijalna jednadžba,

napišite opće rješenje. To rješenje zadovoljava rubne uvjete po plaštu i donjoj bazi. Pomoću rubnog uvjeta na

gornjoj bazi nađite koeficijente reda.

(e) Ponovite račun za isti cilindar kojemu su baze na potencijalu nula, a plašt na potencijalu V(ϕ, z).

Diferencijalne jednadžbe koje trebate dobiti su:

22

2

22

2

2 22

2 2

d1. 0

d

d2. 0

d

d 1 d3. 0

dd

Qm Q

Zk Z

z

R R mk R

+ =

+ =

+ − + =

Zadatak 7.7 Izračunajte potencijal unutar vodljivog cilindra, ako mu je plašt na potencijalu V1, a baze na

potencijalu V2. Visina cilindra je L, a radijus a.

z

V −V R

z

31


Zadatak 7.8 Odredite potencijal u unutrašnjosti vodljivog cilindra tankih stijenki kojemu je plašt na

potencijalu V1, a donja baza z = 0 na potencijalu V2 . Visina cilindra iznosi L, a radijus iznosi a.

Zadatak 7.9 Vodljivi cilindar radijusa a i visine H smješten je u koordinatni sustav tako da mu se

geometrijska os poklapa sa z-osi koordinatnog sustava, a donja baza sa ravninom z = 0. Baze cilindra su na

potencijalu Φ = 0 dok je gornja polovica cilindra na potencijalu Φ = V, a donja na potencijalu Φ = −V (V je

konstanta). Izračunajte potencijal unutar cilindra.

Zadatak 7.10 Veoma dugi, vodljivi cilindar radijusa b stavljen je u električno polje E = Eex . Cilindar se

nalazi na potencijalu V0 . Os cilindra podudara se z-osi koordinatnog sustava. Izračunajte potencijal izvan

cilindra.

Zadatak 7.11 Dvije beskonačno duge, koaksijalne cilindrične površine imaju zajedničku z-os koordinatnog

sustava. Po unutrašnjoj površini radijusa a protiče plošna struja K1 = K1eϕ , a po vanjskoj radijusa b struja K2 =

K2eϕ . Iznosi struja K1 i K2 su konstantni. Nađite magnetsko polje posvuda u prostoru.

Zadatak 7.12 Beskonačno dugi cilindar (baze cilindra nalaze se u ±∞) polumjera a u svojoj unutrašnjosti ima

postavljene diskove na položajima ..., −2L, −L, 0, L, 2L,... Diskovi su polumjera a te nabijeni nabojem Q koji je

jednoliko raspodjeljen po disku. Plašt cilindra je na potencijalu nula.

32


(a) Nađite potencijal u području 0 < z < L.

(b) Ako je L >> a, nađite jednostavnu aproksimaciju za potencijal na osi i na polovini udaljenosti između

cilindara.

Uputa: pod (a), potražite rješenje u obliku Φ(ρ, z) = f(ρ) ch[k(z − L/2)]. Kako će glasiti rješenje u području −L <

z < 0?

Zadatak 7.13 U dvodimenzionalnom problemu (potencijal ne ovisi o koordinati z) ravnina y = 0 je na

potencijalu V0 , a ravnina x = 0 je na potencijalu 0.

(a) Riješite Laplaceovu jednadžbu u polarnim koordinatama u prvom kvadrantu za navedene rubne uvjete.

Pretpostavite da potencijal ne ovisi o koordinati r.

(b) Postavimo točkasti dipol momenta p = pxex u točku (x0, y0) gdje je x0 > 0 i y0 > 0. Kolika je sila na dipol?

Pretpostavite da električno polje dipola ne utječe na električno polje u prvom kvadrantu (na mijenja se

raspodjela potencijala po rubnim ravninama).

Zadatak 7.14 Beskonačno dugi cilindar (baze cilindra nalaze se u ±∞) polumjera a u svojoj unutrašnjosti

nema naboja. Po plaštu cilindra potencijal je oblika

| |/

0( , , ) e sinza z V − =

gdje je α konstanta.

(a) Rješenje Laplaceove jednadžbe u unutrašnjosti cilindra tražite u obliku

| |/( , , ) ( / ) e sinzz Af − =

gdje je A konstanta. Koju jednadžbu dobijete za funkciju f(ρ/α)? Koje je njeno rješenje?

(b) Konstantu A odredite iz zadanog rubnog uvjeta po plaštu cilindra.

Zadatak 7.15 Veoma dugi, šuplji vodič tankih stijenki ima presjek u obliku četvrtine kruga. Prostor unutar

vodiča određen je cilindričkim koordinatama 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ π/2 i −∞ ≤ z ≤ ∞. Ploha ρ = R je na potencijalu

V0 . Ostale dvije plohe su na potencijalu nula. Nađite potencijal u unutrašnjosti vodiča.

Uputa: dio potencijala koji ovisi o koordinati ϕ je oblika A cos(νϕ) + B sin(νϕ). Koliki je ako je potencijal nula

za ϕ = 0 i ϕ = π/2?

z = −L z = 0 z = L z = 2L

z

Q Q Q Q

x

y Φ = V0

Φ = 0

p

33


Zadatak 7.16 Beskonačni vodljivi cilindar polumjera R podijeljen je u četiri sektora duljine Rπ/2 kao na

slici.

Sektori su na potencijalima V0 , −V0 , V0 , −V0 , respektivno. Koliki je potencijal izvan cilindra?

Zadatak 7.17 Veoma duga metalna cijev kružnog poprečnog presjeka polumjera R podijeljena je uzdužno na

četiri jednaka dijela od kojih su tri uzemljena, a jedan je na potencijalu V0 . Nađite potencijal u unutrašnjosti

cijevi.

Uputa: postavite pogodno koordinatni sustav tako da vrijedi Φ(−ϕ) = Φ(ϕ).

x

y

V0

Φ = 0

Φ = 0

x

y

V0 −V0

−V0 V0

34



8 Multipolni razvoj potencijala

Zadatak 8.1 Nađite potencijal na velikim udaljenostima od raspodjele naboja prikazane na slici.

Zadatak 8.2 Raspodjela naboja zadana je s

3

11 2, 1( ) e ( , ) ( , )rr Y Y −

−=r

Izračunajte sve neiščezavajuće multipolne momente ove distribucije.

Zadatak 8.3 Naboj Q jednoliko je raspodijeljen duž osi z od z = −a do z = a. Pokažite da je električni

potencijal te raspodjele za r > a dan izrazom

2 4

2 4

0

1 1 1( ) 1 (cos ) (cos ) ...

4 3 5

Q a aP P

r r r

= + + +

r

Zadatak 8.4 Dva koncentrična prstena radijusa a i b (a < b) leže u xy-ravnini tako da im se centri

podudaraju s ishodištem. Prsten radijusa a nabijen je ukupnim nabojem q koji je jednoliko raspodijeljen duž

prstena. Prsten radijusa b nabijen je nabojem −q koji je također jednoliko raspodijeljen duž prstena. Nađite

elektrostatski potencijal na velikim udaljenostima od prstena (r >> a, b) tako da izračunate neiščezavajuće

multipolne momente najnižeg reda.

Zadatak 8.5 Dipol p nalazi se na udaljenosti R od točkastog naboja q i usmjeren je tako da čini kut θ s

vektorom R.

(a) Kolika je sila na p?

(b) Kolika je sila na q?

Zadatak 8.6 Promotrite položaje dva jednaka električna dipola momenta p koji leže u istoj ravnini na

udaljenosti d.

(a) Nađite potencijalnu energiju za svaki od položaja.

(b) Nađite položaj koji ima najmanju potencijalnu energiju.

(c) Kolika je sila između dipola u položaju najmanje energije?

Zadatak 8.7 Lokalizirana raspodjela naboja ima gustoću

z

x

y

a

a

+q

+q

−2q

a

b

z

35

8 MULTIPOLNI RAZVOJ POTENCIJALA

( ) 2 21sin

64

rr e

−=r

(a) Koristite multipolni razvoj potencijala za ovu raspodjelu i odredite sve neiščezavajuće multipolne momente.

(b) Napišite potencijal za velike udaljenosti pomoću konačno mnogo članova s Legendreovim polinomima.

(c) Odredite potencijal u svim točkama prostora, te pokažite da blizu ishodišta potencijal ima vrijednost

( )2

2

1cos

4 120

rP −

Zadatak 8.8 Unutar sfere radijusa a sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava nalazi se naboj gustoće

0( , ) ( 2 )sina

r a rr

= −

gdje je ρ0 konstanta, r i θ su sferne koordinate. Nađite potencijal aproksimativno za točke na osi z koje su daleko

od ishodišta.

Zadatak 8.9 Cilindar radijusa R i visine 2d ima centar u ishodištu koordinatnog sustava i os koja se

podudara sa z-osi. Gornja polovica cilindra (z > 0) napunjena je jednolikom gustoćom naboja +ρ, a donja

gustoćom −ρ (z < 0). Nađite vodeći član u multipolnom razvoju za potencijal Φ(r, θ) na velikim udaljenostima

od cilindra.

Zadatak 8.10 Dva tanka kružna prstena, radijusa a nabijena su jednoliko nabojem q. Centri prstena nalaze se

na osi z. Jedan prsten leži u ravnini z = b, a drugi u ravnini z = −b.

(a) Nađite elektrostatski potencijal na z-osi.

(b) Nađite elektrostatski potencijal u cijelom prostoru.

(c) Izračunajte multipolne momente ove distribucije.

Zadatak 8.11 Pretpostavimo da je elektrostatski potencijal zadan izrazima

1

( ) ( , ) ,

( ) ( , ) ,

l

lm lm

lm

l

lm lm

lm

rc Y r a

a

ac Y r a

r

+

=

=

r

r

Nađite elektrostatsku potencijalnu energiju za gornji potencijal.

Uputa: Pomoću Poissonove jednadžbe provjerite kolika je gustoća naboja ρ(r) posvuda osim za r = a. Provjerite

da li postoji plošna gustoća naboja u r = a. U daljem računu, koristite činjenicu da je potencijal realna funkcije,

odnosno jednakost Φ* = Φ.

36


Zadatak 8.12 (a) Pokažite da je električni dipolni moment sustava naboja, neovisan o izboru ishodišta

koordinatnog sustava, ako je ukupni naboj sustava jednak nuli.

(b) Ako je ukupni naboj sustava različit od nule, pokažite da postoji takvo ishodište da je dipolni moment jednak

nuli.

Zadatak 8.13 Tanka žica konačne duljine postavljena je duž z-osi koordinatnog sustava. Na žici se nalazi

naboj Q čija je gustoća simetrična λ(z) = λ(−z). Prosječna vrijednost kvadrata duljine žice poznata je i iznosi

2 2

0 po žici

1z ( )dl z z

Q=

(a) Nađite dipolni i kvadrupolni moment za ovu raspodjelu naboja.

(b) Napišite potencijal Φ(r, θ) za veliki r koji uključuje kvadrupolni član.

Zadatak 8.14 Nađite prvi neiščezavajući član u razvoju potencijala po multipolima za distribuciju naboja

prikazanu na slici.

Zadatak 8.15 Nađite električni dipolni moment sfere polumjera a koja sadrži naboj gustoće

2

0( , ) cos sin =

po cijeloj svojoj unutrašnjosti.

Zadatak 8.16 Promatrajte točkasti naboj q u polju dipola p i obratno, dipol p u polju naboja q. Pokažite da su

sile između naboja i dipola izračunate na dva načina po iznosu jednake.

Zadatak 8.17 Prostorna gustoća naboja je u sfernim koordinatama opisana funkcijom:

0

1

0

( ) (cos ) ,

( ) (cos ) ,

n

n

n

n

rP r R

R

RP r R

r

+

=

=

r

r

gdje su Pn(cos θ) Legendreovi polinomi, a ρ0 i R konstante. Nađite potencijal za ovu raspodjelu naboja.

Zadatak 8.18 Po tankom prstenu polumjera a koji je smješten u xy-ravninu tako da mu se središte podudara s

ishodištem, duljinska gustoća naboja mijenja se kao sin ϕ . Ukupni naboj na prstenu je nula. Potencijal ćemo

računati pomoću multipolnog razvoja u području r > a. Za gustoću naboja uzmite

( ) ( )2

sin22

Qr a

a

= − −

r

gdje je Q naboj na žici za ϕ iz [0, π].

(a) Izračunajte sve neiščezavajuće multipolne momente qlm .

(b) Kako se potencijal ponaša za r >> a? Napišite prvi neiščezavajući član u izrazu za potencijal.

Uputa: zapišite sin ϕ u obliku [exp (iϕ) − exp (−iϕ)]/2i. Koji indeksi m će preostati u sumi?

Zadatak 8.19 Nađite potencijal na velikim udaljenostima od raspodjele naboja prikazane na slici.

z

x

y

q

q

−q

−q

z = −3a

z = −a

z = 3a

z = a

37


Uputa: gustoća naboja za danu distribuciju iznosi

2 2

( ) ( ) 2 ( )

2( ) ( ) ( ) ( )

2 sin 2 sin

q q

q qr a r a

r r

= − − +

= − − − −

r r a r a

Zadatak 8.20 Sfera polumjera R čije je središte u ishodištu sadrži naboj gustoće

( ) ( )2

, 2 sinR

r k R rr

= −

gdje je k konstanta. Nađite potencijal po z-osi daleko od raspodjele (R << r).

z

x

y

a

a

−2q

+q

38



9 Polarizacija i vezani naboj. Makroskopske jednadžbe elektrostatike

Zadatak 9.1 Točkasti naboj q postavljen je u centar sfere radijusa R, napunjene dielektrikom

susceptibilnosti χ . Nađite električno polje, polarizaciju i vezani naboj po volumenu. Koliki je vezani naboj po

površini sfere? Gdje je smješten negativan naboj koji kompenzira pozitivnog na površini sfere?

Zadatak 9.2 Dvije koncentrične vodljive sfere unutarnjeg i vanjskog radijusa a i b, respektivno, nose naboj

+Q, −Q. Prostor između sfera je do pola ispunjen dielektrikom konstante dielektričnosti ϵ kako je prikazano na

slici.

(a) Nađite električno polje posvuda unutar sfere.

(b) Odredite plošnu gustoću slobodnog naboja na plohi r = a.

(c) Odredite plošnu gustoću polariziranog naboja induciranu u dielektriku po plohi r = a.

Zadatak 9.3 Odredite potencijal točkastog naboja u homogenom, anizotropnom dielektriku čiji je

dielektrični tenzor ϵij definiran relacijom Di = ϵij Ej .

Uputa: ϵij je simetrični tenzor pa možemo pronaći ortogonalan koordinatni sustav u kojemu je dijagonalan.

Zadatak 9.4 Stavimo jedan mol vode u električno polje. Voda je polarno sredstvo: svaka molekula vode

posjeduje jaki dipolni moment i bez prisutnosti vanjskog polja. Ako je relativna dielektrična konstanta vode ϵr =

81 i makroskopsko električno polje unutar vode E = 1000 Vm−1 izračunajte:

(a) polarizaciju P i prosječni dipolni moment molekule vode

(b) unutarnje polje Ein koje djeluje na svaku molekulu

(c) Ako polje Ein djeluje na dipol p dipol će početi titrati oko smjera polja. Izračunajte kružnu frekvenciju tog

njihanja pod pretpostavkom da se zanemaruje termalno gibanje molekule vode i da su pomaci dipola od smjera

polja mali (kut ϕ << 1). Za vrijednost dipolnog momenta uzmite p = 6,1310−30 Cm, a molekulu vode smatrajte

homogenim štapom molarne mase 18 i duljine 10−10 m. Trebate najprije dobiti jednadžbu harmoničkog oscilatora

iz koje ćete očitati vrijednost za ω2 .

Zadatak 9.5 Feroelektrična kocka duljine stranice s kojoj se centar podudara s ishodištem, ima polarizaciju

P = kr, gdje je k konstantna veličina. Nađite sav vezani naboj i provjerite da je njegova suma jednaka nuli.

Zadatak 9.6 Između ravnina z = −d i z = d nalazi se feroelektrik polarizacije P = Azez . Slobodnog naboja

nema.

(a) Locirajte i izračunajte sav vezani naboj, volumni ρb i plošni σb.

(b) Nađite električno polje E(z), unutar (za | z | < d) i izvan feroelektrika (| z | > d).

Zadatak 9.7 (a) Koliki je rad potreban za pomicanje jediničnog pozitivnog naboja od točke A do B u polju

dipola p?

(b) Koji je smjer sile na središnji dipol u polju ostala dva dipola? Izračunajte iznos te sile.

+Q

−Q

39

9 POLARIZACIJA I VEZANI NABOJ. MAKROSKOPSKE JEDNADŽBE ELEKTROSTATIKE

Zadatak 9.8 Konstantna volumna gustoća naboja ρ0 ima oblik beskonačnog cilindra radijusa a koji je

obložen dielektrikom konstante ϵ oblika cilindrične ljuske (a < r < b). Odredite:

(a) električno polje E posvuda u prostoru;

(b) površinsku gustoću polariziranog naboja po plohi r = b.

Zadatak 9.9 Pokažite da je na granici dielektrik-vodič plošna gustoća vezanog naboja u dielektriku jednaka

( )0

−

= −

gdje je ϵ dielektrična konstanta, a σ plošna gustoća naboja na vodiču prije stavljanja u dielektrik.

Zadatak 9.10 Promatrajte točkasti naboj q u polju dipola p i obratno, dipol p u polju naboja q. Pokažite da su

sile između naboja i dipola izračunate na dva načina po iznosu jednake.

Zadatak 9.11 Feroelektrična sfera polumjera a sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, sadrži materijal

čija se polarizacija mijenja kao P = kr, gdje je k konstanta.

(a) Nađite plošnu i prostornu gustoću vezanih naboja.

(b) Koliki je ukupni vezani naboj ove sfere?

(c) Koliko je električno polje izvan sfere?

Zadatak 9.12 (a) Izračunajte moment sile kojim točkasti naboj q djeluje na električni dipol momenta p.

Pretpostavite da je naboj na položaju (r, θ), a dipol u ishodištu koordinatnog sustava i da je usmjeren u

pozitivnom z smjeru.

(b) Izračunajte moment sile kojim dipol momenta p djeluje na naboj q. Pretpostavite da su naboj i dipol

smješteni kao u (a). Što očekujete?

Zadatak 9.13 Polucilindar polumjera R i duljine L ima jednoliku polarizaciju P u smjeru okomitom na ravnu

površinu plašta. Nađite dipolni moment te plošnu i prostornu gustoću vezanog naboja zadane polarizacije.

Zadatak 9.14 Cilindar radijusa R i beskonačne duljine načinjen je od feroelektrika. Vektor električne

polarizacije P posvuda u cilindru proporcionalan je udaljenosti od osi ρ, P = αρeρ , gdje je α pozitivna konstanta.

Cilindar se vrti oko svoje osi kutnom brzinom ω (brzina je nerelativistička, c >> Rω).

(a) Nađite električno polje E unutar i izvan cilindra.

(b) Nađite magnetsko polje B unutar i izvan cilindra.

P

x

y

R

R

P

L

40

9 POLARIZACIJA I VEZANI NABOJ. MAKROSKOPSKE JEDNADŽBE ELEKTROSTATIKE

(c) Kolika je ukupna energija elektromagnetskog polja po jediničnoj duljini kad cilindar miruje?

(d) Kolika je ukupna energija elektromagnetskog polja po jediničnoj duljini kad se cilindar vrti?

(e) Pojasnite razliku u energijama pod (c) i (d).

Zadatak 9.15 Električni dipol momenta p nalazi se na udaljenosti z0 od vodljive i uzemljene ravnine. Kut

između dipolnog momenta i normale na vodič iznosi θ0 . Nađite silu kojem ravnina djeluje na dipol.

Uputa: koristite metodu slika te izraze (8.19) i (8.20) za potencijal i polje električnog dipola. Najlakše je

koristiti Kartezijeve ili, možda, cilindričke koordinate.

Zadatak 9.16 Unutrašnjost kružnog cilindra x2 + y2 = R2 sadrži sredstvo s polarizacijom

( )2

x yP ax b cy a x px= + + + +e e

gdje su a, b, c i p konstante. Nađite prostornu gustoću vezanog naboja ρb i plošnu gustoću vezanog naboja σb .

Zadatak 9.16 Polusfera s dielektrikom ima ravnu stranicu u xy-ravnini tako da joj se središte ravne stranice

pokapa s ishodištem. Polarizirana je u z-smjeru, P = P0ez , gdje je P0 konstanta.

(a) Nađite prostornu gustoću vezanog naboja.

(b) Nađite plošnu gustoću vezanog naboja po ravnoj stranici i po polusferi.

(c) Provjerite je li ukupni vezani naboj jednak nuli.

(d) Nađite dipolni moment vezanog naboja relativno na ishodište. Da li se rezultat podudara s dipolnim

momentom dobivenim, u ovom slučaju, po formuli p = PV, gdje je V volumen polusfere?

Uputa: dipolni moment pod (d) računajte po formuli

b b

V S

dV dS = + p r r

41



10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima

Zadatak 10.1 Točkasti naboj q nalazi se u dielektriku permitivnosti ϵ1 na udaljenosti d od ravnine dodira (z =

0 ravnina) koja odvaja to sredstvo od drugoga s permitivnošću ϵ2 . Upotrijebite metodu slika da izračunate

potencijal Φ. Nađite plošnu gustoću polariziranog naboja na ravnini z = 0.

Zadatak 10.2 Dielektrična sfera radijusa a permitivnosti ϵ stavljena je u električno polje koje je u početku

(bez sfere) homogeno. Polje je na velikim udaljenostima od sfere usmjereno duž osi z i ima vrijednost E0 .

Unutar i izvan sfere nema naboja. Odredite potencijal rješavajući Laplaceovu jednadžbu.

Zadatak 10.3 Dipol p postavljen je u centar sfere radijusa R s dielektrikom permitivnosti ϵ. Nađite potencijal

unutar i izvan dielektrične sfere.

Uputa: tražite potencijal unutar sfere kao superpoziciju potencijala dipola i polariziranog naboja.

Zadatak 10.4 Vodljiva sfera radijusa R1 stavljena je u homogeni dielektrik permitivnosti ϵ1 . Sfera sadrži

koncentričnu šupljinu radijusa R2 , koja je napunjena dielektrikom permitivnosti ϵ2 . Točkasti naboj q smješten je

na udaljenosti a od centra šupljine (a < R2). Nađite potencijal po cijelom prostoru koji je ispunjen dielektrikom

permitivnosti ϵ1 .

Zadatak 10.5 Beskonačna ploča napravljena od barij-titanata debljine a ima konstantnu polarizaciju P. Ploča

je stavljena na sredinu između dvije bekonačne vodljive ravnine, čiji je razmak d i koje se nalaze na nultom

potencijalu. Izračunajte električni potencijal u prostoru unutar vodljivih ravnina.

Zadatak 10.6 Beskonačno dug, kružni, feroelektrični cilindar radijusa a smješten je tako da mu se

geometrijska os podudara sa z-osi koordinatnog sustava. Polarizacija cilindra je jednolika i iznosi P = P0ey .

Izračunajte potencijal unutar i izvan cilindra na tri načina:

(a) direktnom integracijom

(b) rješavanjem Laplaceove jednadžbe

ϵ1

ϵ2

q

z-os

a

P

d

42

10 RUBNI PROBLEMI S DIELEKTRICIMA I FEROELEKTRICIMA

(c) superpozicijom polja polariziranih naboja

Zadatak 10.7 Poluprostor z > 0 sadrži dielektrik konstante ϵ1, dok se u poluprostoru z < 0 nalazi dielektrik

konstante ϵ2. Na udaljenosti a od z = 0 ravnine nalazi se naboj q1 u dielektriku ϵ1 (z > 0), dok se u dielektriku ϵ2

(z < 0) na istoj udaljenosti od z = 0 nalazi naboj q2. Odredite potencijal u cijelom prostoru.

Zadatak 10.8 Beskonačni dielektrični cilindar dielektrične konstante ϵ stavljen je u električno polje E0 koje je

okomito na njegovu os. Odredite inducirani dipolni moment po jedinici duljine za ovaj sistem.

Zadatak 10.9 Odredite potencijal u prostoru c < r < a između dvaju sfernih vodljivih ljuski na potencijalima

Φ = V0 i Φ = 0 ako se tu nalaze dielektrici konstanti ϵ1 i ϵ2.

Zadatak 10.10 Po žici u obliku polupravca nalazi se jednoliko raspodjeljen naboj linijske gustoće λ. Žica

jednim svojim krajem dodiruje ravninu z = 0, a drugim se proteže u beskonačnost u pravcu z > 0. Ako se u

poluprostoru z < 0 nalazi dielektrik konstante ϵ, odredite električni potencijal u cijelom prostoru.

Uputa: upotrijebite izraz za potencijal polubeskonačne, tanke žice nabijene jednoliko po jedinici duljine

linijskom gustoćom naboja koja se podudara sa pozitivnim dijelom osi z

2 2

0

ln4

C

z z

= + −

Zadatak 10.11 Dvije beskonačno duge, koncentrične, cilindrične vodljive ljuske imaju radijuse a i b (a < b).

Osi cilindara podudaraju se sa z-osi koordinatnog sustava. Unutrašnja i vanjska ljuska imaju naboj λ i −λ po

jedinici duljine. Drugim riječima, ako su σa i σb naboji po jedinici površine na cilindrima radijusa a i b tada je

2 2

0 0

d ( ) d ( )a ba b

= = −

gdje σa, σb i λ ne zavise o z. Pretpostavite da je područje između ljuski a < r < b napunjeno dielektrikom

konstante ϵ za 0 ≤ ϕ ≤ β, a vakumom za β ≤ ϕ ≤ 2π.

(a) Nađite električno polje između ljuski.

(b) Nađite naboj po jedinici površine po unutarnjoj i vanjskoj ljuski.

Zadatak 10.12 Linijski naboj gustoće λ postavljen je na udaljenost d od centra dielektričnog cilindra konstante

ϵ i radijusa a. Izračunajte potencijal unutar i izvan cilindra.

Zadatak 10.13 Točkasti naboj q smješten je u graničnoj ravnini za dva beskonačna sredstva s dielektričnim

konstantama ϵ1 i ϵ2 .

(a) Nađite potencijal , te polja E i D u svim točkama prostora.

(b) Nađite polarizaciju P u cijelom prostoru i vezani naboj na graničnoj ravnini.

Zadatak 10.14 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d od centra uzemljene, vodljive sfere radijusa a. Sfera

je obložena izolacijskim materijalom dielektrične konstante ϵ i debljine b − a. Upotrijebite razvoj u red po

Legendrovim polinomima da nađete potencijal unutar dielektričnog sloja.

43


Zadatak 10.15 Vodljiva sfera radijusa a ima vezani naboj Q koji je jednoliko raspodijeljen po površini. Sferu

okružuje homogeni i izotropni dielektrik konstante ϵ. Dielektrik sadrži slobodni naboj gustoće

( ) ( )k = − r r

gdje je k konstanta, a Φ(r) električni potencijal u točki r koji je mjeren relativno na beskonačnost.

(a) Napišite Poissonovu jednadžbu za ovaj problem i razmislite da li postoji ikakva simetrija.

(b) Izračunajte potencijal u svakoj točki ako je Φ(r → ∞) = 0.

Zadatak 10.16 Promotrimo dva koncentrična, sferna vodiča (sferni kondenzator) radijusa a i b (a > b).

Područje između vodiča ispunjeno je nehomogenim dielektrikom dielektrične konstante

0( )rc r

=−

c, α su konstante. Naboj q stavljen je na unutrašnju sferu, a vanjska je uzemljena.

(a) Odredite vektor električnog pomaka D između sfera.

(b) Odredite prostornu gustoću vezanog naboja (volumno polarizirani naboj) između sfera.

Uputa: koristite jednakost

2

2

14 ( )r

rr

− = = −

er

Zadatak 10.17 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti d od centra uzemljene vodljive sfere radijusa a (a <

d). Naboj i sfera smješteni su u dielektrik konstante ϵ. Nađite potencijal u prostoru izvan sfere. Kolika je gustoća

polariziranog naboja po sferi?


Zadatak 10.18 Dielektrična sfera radijusa a dielektrične konstante ϵ stavljena je u električno polje koje je u

početku (bez sfere) homogeno. Polje je na velikim udaljenostima od sfere usmjereno duž osi z i ima vrijednost

E0 . Unutar i izvan sfere nema naboja. Odredite potencijal rješavajući Laplaceovu jednadžbu.

Zadatak 10.19 Između ploča pločastog kondenzatora na slici nalazi se dielektrik čija dielektrična konstanta

ovisi o koordinati z

( )z a bz= +

gdje su a i b konstante.

Lijeva ploča je na potencijalu V0 , a desna na potencijalu 0. Razmak između ploča je d. Izračunajte:

(a) potencijal i električno polje;

(b) prostornu gustoću vezanog naboja kao funkciju koordinate z;

z O

Φ = V0 Φ = 0

d

44


(c) plošnu gustoću vezanog naboja na z = 0 i z = d.

Zadatak 10.20 Beskonačna cijev čiji je presjek prikazan na slici, napunjena je s dva dielektrika konstanti ϵ1 u

području 1 i ϵ2 u području 2. Električni potencijal je po stranicama x = 0, x = a i y = 0 jednak nula dok je po

stranici y = b jednak V0 . Nađite potencijal u unutrašnjosti cijevi.

Uputa: u području 1 pretpostavite rješenje u obliku

=

+=

1

1 )cosh()sinh()sin(),(

n

nnnnn ykbykaxkyx

a u području 2

=

=

1

2 )sinh()sin(),(

n

nnn ykxkcyx

gdje je kn = nπ/a, a koefijente an , bn i cn treba odrediti iz rubnih uvjeta po ravninama y = b i y = c.

Zadatak 10.21 Veoma duga metalna cijev ima pravokutni poprečni presjek. Stranice x = 0, x = a i y = 0 su na

potencijalu nula dok je stranica y = b na konstantnom potencijalu V. Izračunajte potencijal u unutrašnjosti vodiča

ako je dielektrična konstanta u području 0 < y < c jednaka ϵ1 , a u području c < y < b jednaka ϵ2.

Zadatak 10.22 Izračunajte potencijal i električno polje između dva sferna koncentrična vodiča polumjera R1 i

R2 (R1 < R2). Vodiči su na konstantnim potencijalima V1 i V2 . Prostor između vodiča ispunjen je dielektrikom

čija se konstanta mijenja po zakonu

2

0 1( ) cos = +

Uputa: primijetite da zbog raspodjele potencijala po rubu mora vrijediti Φ = Φ(r). Koristite Gaussov zakon da

izračunate električno polje pa nakon toga računajte potencijal.

Zadatak 10.23 Točkasti naboj q smješten je središtu kugle polumjera R koja je do polovine ispunjena

dielektrikom konstante ϵ1 , dok je druga polovina ispunjena dielektrikom konstante ϵ2 . Kugla s nabojem

smještena je u vakuum.

(a) Nađite potencijal , te polja E i D u svim točkama prostora, izvan i unutar sfere.

(b) Nađite polarizaciju P u cijelom prostoru i vezani naboj na sferi r = R.

x

y

a

b

c

1

2

0

0

x a

y

b

c

O

2

1

45


Zadatak 10.24 Cilindrički kondenzator sastoji se od dvije koncentrične cilindričke elektrode polumjera a i b

(b > a) i duljine L (L >> a, b). Naboji na unutrašnjoj i vanjskoj elektrodi su −q i q, respektivno.

(a) Odredite električno polje u kondenzatoru ako se između ploča nalazi zrak za kojeg je ϵr ≈ 1.

(b) Prostor između ploča ispunimo dielektrikom prostorno promijenjive permitivnosti ϵ(r). Kako se ϵ(r) mora

mijenjati s koordinatama da dobijemo konstantno polje između ploča?

(c) Za slučaj (b), izračunajte polarizaciju u dielektriku i plošnu gustoću vezanog naboja na ploči ρ = a.

Zadatak 10.25 Dvije paralelne ploče kondenzatora omeđuju dielektrik čija je relativna permitivnost prostorno

promijenjiva

( )r

xx e=

gdje je α konstanta.

(a) Nađite električno polje E(x) unutar ploča između kojih je razlika potencijala V kao na slici.

(b) Izračunajte vektor polarizacije u dielektriku i plošnu gustoću vezanog naboja na ploči x = d.

Zadatak 10.26 Nađite silu između dva identična naboja q koji su smješteni u različitim dielektricima

permitivnosti ϵ1 i ϵ2 . Pretpostavite da su naboji na jednakim udaljenostima d od ravnine koja razdvaja

dielektrike i nalaze se na pravcu koji je okomit na ravnine, na osi z, na primjer.

Zadatak 10.27 Prostor između ploča kondenzatora napunjen je dielektrikom čija se dielektrična konstanta

(relativna permitivnost) linearno mijenja od vrijednosti 1 na donjoj ploči (x = 0) do vrijednosti 2 na gornjoj ploči

(x = d) Kondenzator je priključen na bateriju napona V. Nađite sav vezani naboj i provjerite je li jednak nuli.

Zadatak 10.28 Dvije beskonačne dielektrične ploče, 1 i 2, svaka jedinične debljine s relativnim

permitivnostima K1 i K2 , nalaze se između elektroda pločastog kondenzatora te imaju zajedničku plohu ravninu

x = 1 kao što je prikazano na slici. Elektrode su na potencijalima 0 i V.

(a) Odredite potencijal kao funkciju od x u području 1 i 2.

(b) Nađite plošnu gustoću slobodnog i vezanog naboja po ravnini x = 0.

(c) Nađite plošnu gustoću vezanog naboja po ravnini x = 1.

z

q

R ϵ1

ϵ2

46


47



11 Lorenzova sila. Biot-Savartov zakon

Zadatak 11.1 Struja I teče žicom radijusa R.

(a) Kolika je površinska gustoća struje K ako struja teče po površini žice i jednoliko je raspodjeljena?

(b) Kolika je prostorna gustoća struje J ako struja teče po unutrašnjosti žice i J je obrnuto proporcionalna

udaljenosti od osi žice?

Zadatak 11.2 Pretpostavimo da je magnetsko polje u dijelu prostora zadano izrazom

B = kzex , k je konstanta

Nađite silu na kvadratni okvir s duljinom stranice s koji leži u yz ravnini, a središte mu je u ishodištu

koordinatnog sustava. Okvirom teče struja I.

Zadatak 11.3 Po plaštu šupljeg, vodljivog cilindra radijusa R i duljine L, teče plošna struja i = i0ez kako je

prikazano na slici. Cilindar je smješten u magnetskom polju B = (a/ρ)eρ + beϕ , gdje su a i b su konstantne

veličine. Odredite iznos i smjer momenta sile koji djeluje na cilindar.

Zadatak 11.4 (a) Izračunajte magnetsko polje za ravni, tanki vodič duljine 2L kojim protiče struja I.

(b) Iskoristite rezultat pod (a) i nađite magnetsko polje, beskonačno dugog, tankog vodiča kojim protiče struja I.

(c) Iskoristite rezultat pod (a) nađite magnetsko polje u centru pravilnog mnogokuta kojim protiče struja I.

Zadatak 11.5 Po ravnoj, beskonačno dugoj traci širine a teče struja I, ravnomjerno raspoređena po širini

trake. Nađite magnetsko polje B za ovu raspodjelu struja računajući na dva načina:

(a) Koristite Biot-Savartov zakon za magnetsko polje plošne struje.

(b) Koristite izraz za magnetsko polje beskonačno duge, tanke žice iz zadatka 11.4(b) i princip superpozicije.

Zadatak 11.6 Gustoća struje povezana sa spinskim magnetskim momentom elektrona u vodikovom atomu

dana je izrazom

( )c r= J a

gdje je a konstantan vektor, c je konstanta, a ρ(r) je gustoća naboja u atomu koja ovisi samo o udaljenosti od

ishodišta r i u beskonačnosti je jednaka nuli. Pokažite da je magnetsko polje u ishodištu jednako

8

(0)3

B a=

Zadatak 11.7 Tri beskonačno duge ravne paralelne žice smještene su prema slici. Jedna žica nosi struju 2I u

ravninu crteža, a svaka od preostalih žica nosi struju I u suprotnom smjeru. Koliko je magnetsko polje B u

točkama P1 i P2?

z

i

48

11 LORENZOVA SILA. BIOT-SAVARTOV ZAKON

Zadatak 11.8 Kroz aluminijski štap radijusa 2 cm teče struja od 8000 A. Uz pretpostavku da je gustoća struje

konstantna po presjeku vodiča nađite magnetsko polje B točkama udaljenim 1 cm, 2 cm, 3 cm od osi vodiča.

Zadatak 11.9 Na tankom staklenom štapu radijusa R i duljine L nalazi se jednoliko raspodjeljen naboj

površinske gustoće σ. Štap se vrti oko osi kutnom brzinom ω. Nađite magnetsko polje na udaljenosti r >> R od

centra štapa.

Zadatak 11.10 Zadano je magnetsko polje B = B0ez, gdje je B0 konstantna veličina. Kružna petlja radijusa R

koja nosi struju I, stavljena je u polje B0 tako da joj se centar podudara sa ishodištem, a cijela petlja leži u yz

ravnini. Izračunajte silu i moment sile na petlju.

Zadatak 11.11 Pretpostavite da se dva beskonačna, tanka i paralelna vodiča sa linijskim nabojem , udaljena

za d, gibaju konstantnom brzinom v, zajedno, u smjeru prikazanom na crtežu. Kolika mora biti numerička

vrijednost od v da magnetska privlačna sila bude jednaka električnoj odbojnoj?

Zadatak 11.12 Beskonačnom, ravnom, tankom žicom teče struja I1 u smjeru okomitom na ravninu stranice,

što odgovara −ez smjeru. Drugom žicom oblika prikazanog na crtežu u xy ravnini, protiče struja I2. Radijusi

kružnih dijelova su R i 2R. Nađite smjer i iznos ukupne sile koja djeluje na strujnu petlju sa strujom I2

magnetskom polju ravne žice kojom protiče struja I1.

Zadatak 11.13 Pokažite da magnetske sile ne vrše rad. U tu svrhu, promotrite naboj q koji se giba trenutnom

brzinom v u magnetskom polju B.

Zadatak 11.14 Kružni disk radijusa a ima po površini jednoliko raspodjeljen naboj gustoće σ . Disk rotira oko

osi okomite na disk koja prolazi središtem diska kružnom brzinom ω . Nađite magnetsko polje u centru diska.

Zadatak 11.15 Pretpostavimo da se gustoća struje nalazi u konačnom volumenu V. Pokažite da iz Biot-

Savartovog zakona slijedi

0 ' ( ')( ) d '

4 | ' |V

V

=

−J r

B rr r

49


Pretpostavite, također, da raspodjela struja kontinuirano pada na nulu na svojim rubovima.

Zadatak 11.16 Polukružnom žicom polumjera R protiče struja I. Žica je postavljena u koordinatni sustav kao

na slici. Nađite magnetsko polje u točki P.

Zadatak 11.17 Strujna petlja nepravilnog oblika leži u ravnini. Jedan dio petlje nalazi se u jednolikom

magnetskom polju B okomitom na ravninu petlje. Petljom protiče struja I. Pokažite da je magnetska sila na

petlju jednaka F = IBw, gdje je veličina w označena na slici. Generalizirajte rezultat za slučaj kad je područje s

magnetskim poljem nepravilna oblika. Koji je smjer sile?

Zadatak 11.18 (a) Tankom žicom koja tvori zatvorenu strujnu petlju C protiče struja I. Petlja je stavljena u

homogeno magnetsko polje B. Pokažite da je sila na petlju jednaka nuli.

(b) Pretpostavite sada da petlja C leži u ravnini koja je paralelna homogenom polju B. Pokažite da je moment

sile također paralelan ravnini u kojoj leži C.

Zadatak 11.19 Veoma duga zavojnica čiji je poprečni presjek kvadrat stranice a ima N zavoja po jediničnoj

duljini. Zavojnicom protiče struja I. Izračunajte magnetsko polje po osi kroz središte zavojnice direktnom

integracijom.

Uputa: koordinatni sustav postavite tako da se os zavojnice podudara sa z osi koordinatnog sustava, a x i y osi

budu paralelne stranicama kvadrata.

Zadatak 11.20 Čestica naboja q u početnom trenutku giba se brzinom v čiji je smjer paralelan žici po kojoj je

naboj duljinske gustoće λ i kojim protiče struja I. Kolika mora biti brzina čestice v da se ona giba po pravcu

paralelnom žici na udaljenosti r?

x

y

I

R

ϕ

P

B 0

B = 0 w

I

z

q v

I O

r

λ

50


Zadatak 11.21 Dokažite Bleakney-jev teorem: ako se ion mase M i naboja q te početne brzine nula

(nerelativistički) giba po nekoj putanji u električnom polju E i magnetskom polju B, tada se ion mase kM i

naboja q giba po istoj putanji u električnom polju E/k i magnetskom B, gdje je k realni broj.

Uputa: u jednadžbi gibanja M q q= + r E r B

načinite transformaciju r(t) → r(t'), gdje je t' = kt.

Zadatak 11.22 Kružnim lukom duljine Rα koji je dio kružnice polumjera R protiče struja I. Nađite magnetsko

polje u središtu kružnice.

Zadatak 11.23 Zavojnica polumjera a i kuta napravljena je od n zavoja. Struja koja protiče zavojnicom je I.

Pokažite da je z komponenta magnetskog polja u središtu zavojnice (x = y = 0; z = nπa tan α):

2 2 2 1/2(1 tan )2

z

nIH n

a −= +

Uputa: jednadžba zavojnice glasi:

cos

sin

( tan )

x a

y a

z a

=

=

=

Zadatak 11.24 Unutrašnjost sfere polumjera a potpuno je ispunjena nabojem jednolike raspodjele ρ. Naboj

unutar sfere podijeljen je u dvije zasebne polukugle koje se vrte kutnom brzinom ω u suprotnim smjerovima.

Pokažite da je radijalna komponenta magnetskog polja na ekvatoru jednaka Hr = Cρωa2 gdje je C konstanta.

Uputa: može se pokazati da polje H možemo računati i pomoću sljedeće relacije

1 2

12

1 1( ) d d

4 | | 4 | |S V

V

− = +

− − J J J

H r Sr r r r

gdje je S rubna ploha između dvije struje koje se naglo mijenjaju prilikom prolaska s jedne na drugu stranu

plohe (u ovom zadatku to je krug u ravnini z = 0), a dS12 = n12dS12 gdje je n12 normala koja gleda iz dijela

prostora 1 prema dijelu prostora 2.

Zadatak 11.25 Promotrite petlju u ravnini kojom protječe struja I. Jednadžba petlje u polarnim koordinatama

je ρ = ρ(ϕ). Koordinatni sustav postavite tako da magnetsko polje računate u ishodištu.

(a) Pokažite da je iznos magnetskog polja petlje jednak

0

4C

I dB

=

(b) Provjerite dobivenu formulu za slučaj kružne petlje.

(c) Jednadžba konike (elipsa, parabola, hiperbola) u polarnim koordinatama glasi:

( )1 cos

p

e

=

+

U gornjoj jednadžbi žarište konike podudara se s ishodištem koordinatnog sustava. Pokažite da je iznos polja

konike jednak

51


0

2

IB

p

=

Zadatak 11.26 Kroz dva veoma duga, koaksijalna solenoida protječe struja I u suprotnim smjerovima.

Unutrašnji solenoid polumjera a, ima n1 zavoja po jediničnoj duljini, a vanjski radijusa b, ima n2 zavoja po

jediničnoj duljini. Nađite polje B po cijelom prostoru, u sva tri odvojena područja. Smijete pretpostaviti da je

magnetsko polje izvan jednog solenoida jednako nuli.

Zadatak 11.27 (a) Počevši od izraza za Lorentovu silu

( )C

I d= F l B r

za magnetsku silu na struju I koja protječe zatvorenom petljom C, pokažite da je moment sile na petlju u

homogenom magnetskom polju B jednak m × B, gdje je m magnetski moment petlje.

Uputa: upotrijebite identitete

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

,

d d d

d d d d d

+ + =

= + =

r l B l B r B r l

r r B l r B r l B r l

pri čemu je B homogeno polje.

(b) Kako glasi izraz za moment sile ako se radi o prostornoj gustoći struje J?

Zadatak 11.28 Tanka, beskonačna žica po kojoj protječe struja I = I0ez smještena na udaljenost h od

beskonačne vrpce širine W po kojoj protječe plošna gustoća struja K = K0ez kao na slici.

(a) Odredite silu po jediničnoj duljini na žicu.

(b) Kolika je sila pod (a) za W → ∞?

Uputa: koristite rezultate iz zadatka 12.1 s vježbi, uz odgovarajuće preinake.

Zadatak 11.29 Analizirajte gibanje čestice naboja q i mase m u magnetskom polju beskonačne, tanke ravne

žice kojem protječe struja I.

(a) Je li kinetička energija naboja očuvana?

(b) Nađite silu na česticu u cilindričkim koordinatama ako je struja I u pozitivnom smjeru z-osi.

(c) Napišite jednadžbe gibanja naboja.

(d) Pretpostavimo da je derivacija dz/dt za česticu konstantna. Opišite gibanje čestice.

Zadatak 11.30 Struja I protječe po žici oblika elipse čiji je opseg l i površina A. Postavite elipsu u xy-ravninu

tako da se središte elipse podudara s ishodištem, a velika os elipse s osi x. Izračunajte magnetsko polje u

ishodištu.

Uputa: parametarske jednadžbe elipse glase x = a cos η i y = b sin η, gdje je η iz intervala [0, 2π], dok su a i b

velika i mala poluos elipse. Površina elipse je A = abπ, a opseg se može izraziti pomoću potpunog eliptičkog

integrala druge vrste

/ 2

2 2

0

4 1 sinl a dx x

= −

gdje je ϵ numerički ekscentricitet elipse.

x

y

W/2 −W/2

h

52


Zadatak 11.31 Pretpostavimo da je magnetsko polje u dijelu prostora zadano izrazom

xkz=B e , k je konstanta

Nađite silu na kružnu petlju polumjera a koja leži u yz ravnini, a središte joj je u ishodištu koordinatnog sustava.

Petljom protječe struja I.

Zadatak 11.32 Promotrite dvije strujne petlje C1 i C2 u prostoru po kojima protječu struje I1 i I2 kao na slici .

Pomoću izraza za Lorentzovu silu i Biot-Savartovog zakona (relacije (11.7) i (11.8) iz Pregleda formula)

pokažite da je sila kojom strujna petlja 1 djeluje na strujnu petlju 2 jednaka

1 2

0 2 1

12 1 2 1 23

2 14 | |

C C

I I d d

−= −

− r r

F l lr r

Na slici je simbol r = r – r' . Napišemo li silu između petlji u ovom obliku, jasno se vidi da je F12 = −F21 .

53



12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio)

Zadatak 12.1 Dva paralelna, tanka i beskonačno duga vodiča nalaze se na međusobnoj udaljenosti a. Po

njima teku struje I, ali u suprotnim smjerovima. Nađite magnetsko polje u proizvoljnoj točki prostora.

Zadatak 12.2 Po ravnini y = 0 teče struja K = Aez , gdje je A konstanta. Odredite magnetsko polje ove struje.

Zadatak 12.3 Kroz beskonačni cilindrični vodič polumjera R teče konstantna struja I koja nije ravnomjerno

raspoređena po presjeku vodiča već gustoća struje ima maksimum na osi vodiča, a zatim opada po paraboličnom

zakonu i jednaka je nuli za r = R. Nađite magnetsko polje B ovog vodiča i prikažite ga grafički.

Zadatak 12.4 Cilindrični vodič radijusa a ima rupu radijusa b. Os rupe paralelna je s osi cilindra, a njihova

međusobna udaljenost je d (d + b < a). Struja koja teče kroz puni dio cilindra ima jednoliku gustoću J.

Upotrijebite Amperov zakon i princip linearne superpozicije da nađete vrijednost i smjer magnetskog polja

unutar rupe.

Zadatak 12.5 Zadano je aksijalno simetrično magnetsko polje B s komponentama odgovarajućeg vektorskog

potencijala u cilindričnim koordinatama Aρ = Az = 0 i Aϕ = Aϕ(ρ, z). Pokažite da je tada jednadžba koja određuje

silnice magnetskog polja (tj. svaka silnica leži na jednoj od dolje zapisanih ploha)

ρAϕ(ρ, z) = konst.

Zadatak 12.6 Izračunajte vektorski potencijal diska radijusa b po kojem se nalazi plošna gustoća naboja σ i

koji se vrti kutnom brzinom ω. Koristite princip superpozicije te izraz za vektorski potencijal kružne petlje

radijusa r' koji je izračunat u Jacksonu (Jackson, str. 179, jedn. 5.46)

2 1

1

2 12 20

' ( 1) (2 1)!!( , ) (cos )

2 ( 1)!

nn

nn nn

rIr nA r P

c n r

+

++=

− −= −

+

gdje je r> (r<) veća (manja) od varijabli r i r', a (2n − 1)!! = (2n − 1)(2n − 3)…× 3 × 1.

Zadatak 12.7 Beskonačni valjak radijusa a rotira oko osi kutnom brzinom ω. Valjak je homogeno nabijen

konstantnom gustoćom naboja ρ. Pomoću diferencijalnih jednadžbi za vektorski potencijal nađite A i B svugdje

u prostoru.

Zadatak 12.8 Dva beskonačno duga vodiča od kojih je jedan u obliku punog cilindra radijusa R1, a drugi ima

oblik šupljeg cilindra s unutarnjim radijusom R2 i vanjskim R3 postavljeni su koncentrično (R1 R2 R3). Puni

cilindar ima relativnu permeabilnost μr , a šupljeg μ'r . Kroz oba vodiča prolazi struja I jednoliko raspodijeljena

po presjeku vodiča, ali suprotnog smjera. Nađite magnetsku indukciju B ovog složenog vodiča.

R2

R3

R1

μr

μ'r

54

12 AMPEREOV ZAKON. MAGNETSKI VEKTORSKI POTENCIJAL (I DIO)

Zadatak 12.9 Dva duga koaksijalna cilindra od aluminija nabijena su potencijalnom razlikom 15 000 V.

Unutrašnji cilindar ima vanjski radijus 6 cm, a vanjski cilindar ima unutrašnji radijus 8 cm. Ako vanjski cilindar

miruje, a unutarnji rotira kutnom brzinom 30 okreta/s izračunajte iznos magnetskog polja B. Što se dešava ako

oba cilindra rotiramo u istom smjeru gornjom kutnom brzinom?

Zadatak 12.10 Zavojnica je namotana na torus pravokutnog presjeka. Ukupno imamo N namota žice. Sa toliko

namota pretpostavit ćemo da struja po horizontalnim stranama torusa teče radijalno, a da po vertikalnim teče

vertikalno, kao da postoji površinska struja. Najprije se uvjerite (računom!) da su linije magnetskog polja

kružnice oko glavne osi torusa. Zatim dokažite da je polje nula u svim točkama izvan torusa. Na kraju nađite

magnetsko polje unutar torusa kao funkciju radijusa. slici.

Zadatak 12.11 Vodljiva beskonačna ploča, koja se proteže od z = −a do z = +a vodi struju konstantne volumne

gustoće j = ji. Nađite magnetsko polje unutar i izvan ploče.

Zadatak 12.12 Dva ravna i vrlo duga nemagnetska vodiča C+ i C− , izolirana međusobno, nose struju I u

pozitivnom i negativnom smjeru osi z, respektivno. Poprečni presjeci vodiča omeđeni su kružnicama promjera D

u xy-ravnini, pri čemu je D/2 udaljenost između centara kružnica. Površina u kojoj se poprečni presjeci sijeku

iznosi

23

12 8D

+

Struja je jednoliko raspodjeljena po oba poprečna presjeka vodiča. Nađite magnetsko polje B(x, y) u prostoru

između vodiča.

Zadatak 12.13 U cilindričnom vodiču radijusa R teče struja čija je gustoća j = Ae−α(ρ − R)ez (ρ < R), gdje su A i α

konstante. Os cilindra poklapa se sa z osi koordinatnog sustava. Odredite magnetsko polje posvuda u prostoru.

55


Zadatak 12.14 Cilindrično simetrično magnetsko polje B (zavisi samo o koordinati ρ), koje je usmjereno

okomito na papir, različito je od nule u području P prikazanom na slici. Ako je ukupni tok magnetskog polja

kroz tu plohu jednak nuli, odnosno ako je

d 0 =B S

pokažite da će nabijena čestica koja kreće iz centra nacrtanog područja P izaći iz njega sa magnetskim poljem B

radijalno (pod uvjetom da uopće može napustiti područje − ako je brzina čestica veoma velika može se desiti da

ostane kružiti unutar područja P). Slično, čestica ispaljena prema centru izvana, proći će kroz centar, no putanja

joj može biti veoma čudna.

Uputa: Izračunajte ukupni angularni moment koji dobije čestica putujući kroz područje P s magnetskim poljem.

Pri tom upotrijebite izraz za magnetsku silu i prisjetite se da je brzina u polarnom koordinatnom sustavu dana

jednadžbom

rr r = +v e e

Zadatak 12.15 Pokažite da se rubni uvjeti u magnetostatici za magnetsko polje B mogu zamijeniti sa

sljedećim rubnim uvjetima za vektorski potencijal A

1 2

2 1

0

1.

2.n n

=

− = −

A A

A AK

gdje je n normala koja je usmjerena iz područja 1 prema 2, a ∂A/∂n = (n )A.

Uputa: za rubni uvjet 1. koristite Coulombov izbor A = 0 i

dS

= B S

gdje je ϕ magnetski tok. Da pokažete uvjet 2. koristite identitet

(X Y) = X ( Y) + Y ( X) + (X )Y + (Y )X

gdje je X = n, Y = A2 − A1.

Zadatak 12.16 Nađite vektorski potencijal beskonačne zavojnice koja ima N namota po jedinici duljine,

radijus R, a kroz žice od zavojnice protiče struja I.

Uputa: primijetite da za vektorski potencijal A vrijedi

d ( ) d dC S S

= = = A l A S B S

gdje je ϕ tok magnetskog polja B.

Zadatak 12.17 Pokažite da je magnetsko polje beskonačne zavojnice paralelno sa osi zavojnice, bez obzira

kakav je poprečni presjek zavojnice, pri čemu poprečni presjek mora zadržati isti oblik i veličinu na cijeloj

duljini zavojnice. Koliko je magnetsko polje B, unutar i izvan zavojnice?

Zadatak 12.18 Unutar beskonačno dugog cilindra radijusa R protiče struja gustoće j = Arez , gdje je A

konstanta, a r udaljenost od z-osi koordinatnog sustava koja se podudara sa geometrijskom osi cilindra. Izvan

cilindra gustoća struje je nula. Odredite magnetsko polje B unutar i izvan cilindra.

Zadatak 12.19 Po tankom, kružnom vodiču radijusa R protiče struja I. Odredite koliko je magnetsko polje B u

centru ovog kružnog vodiča.

56


Zadatak 12.20 Električna struja protječe beskonačno dugim vodičom radijausa R. Gustoća struje je a/ρ za ρ

R, gdje je R polumjer vodiča i ρ udaljenost od osi vodiča. Nađite vektorski potencijal i magnetsko polje unutar i

izvan vodiča.

Zadatak 12.21 Ploča debljine L, beskonačna u x i y smjeru, postavljena je kao na slici. Pločom protiče gustoća

struje J = J0zn ey . Izračunajte magnetsko polje B unutar i izvan ploče.

Zadatak 12.22 Nađite magnetski moment zavojnice s n zavoja kojom protiče struja I. Duljina zavojnice je L,

a polumjer a. Zavojnicu možete promatrati kao cilindar čijom površinom protiče plošna struja K = (n/L)I.

Zadatak 12.23 Pokažite da je vektorski potencijal za homogeno magnetsko polje B = B0k u sustavu sfernih

koordinata jednak

0 sin2

B r=A e

Zadatak 12.24 Sferni kondenzator sastoji se od dvije elektrode u obliku koncentričnih ljuski polumjera a i b (b

> a). Naboj na unutarnjoj ljuski (polumjera a) je +q, a na vanjskoj (polumjera b) −q. Cijeli se kondenzator vrti

kutnom brzinom ω oko promjera. Pokažite da je polje H u centru sfere

1 1

6

q

a b

= −

H ω

Uzmite da je naboj na sferama jednoliko raspodijeljen.

Uputa: Kad se unutrašnja sfera vrti, plošna struja iznosi

sin4

q

a

=K e

Zadatak 12.25 (a) Tri ravnine sijeku se po osi z kao na slici. Po svakoj ravnini protiče plošna struja gustoće K

u smjeru okomitom na z os (strelice na slici označavaju smjerove struja). Nađite magnetsko polje B u cijelom

prostoru.

(b) Tri ravnine sijeku se po osi z tako da je kut između svake jednak i iznosi 120°. Po svakoj od ravnina protiče

plošna struja gustoće K = Kez . Nađite magnetsko polje u cijelom prostoru.

Uputa: izračunajte polje jedne ravnine i upotrijebite princip superpozicije.

y

z

L

J

x

y

r1

r2

r3

57


Zadatak 12.26 Nađite plošnu gustoću struje na beskonačnom kružnom cilindru koja stvara homogeno

magnetsko polje u unutrašnjosti cilindra, okomito na os cilindra.

Zadatak 12.27 Nađite magnetski vektorski potencijal ravnog odsječka žice duljine 2a kojim protiče struja I.

Zadatak 12.28 Na području P zadane su vrijednosti gustoće struje J, dok su po plohi S koja omeđuje P zadane

ili magnetskog vektorskog potencijala A ili vrijednosti magnetskog polja B. Ako su A1 , A2 odnosno B1 , B2 dva

moguća rješenja za vektorski potencijal ili polje, a njihova razlika A' = A1 − A2 odnosno B' = B1 − B2 , pokažite:

(a) Na plohi S je, ili A = 0, ili B = 0 ovisno o rubnoj zadaći.

(b) Koristite teorem o divergenciji i pokažite da za dva vektorska polja U i V vrijedi identitet

( ) ( ) ( ) d ( ) dP S

− = U V U V U V a

gdje je dτ element volumena, a da element plohe.

(c) Pomoću (b) pokažite da je B' = 0 (odnosno, B1 = B2) na P ako su zadane vrijednosti potencijala ili polja po S.

Isto vrijedi i za vektorski potencijal A' (do na gradijent skalarne funkcije) Time je pokazana jedinstvenost

rješenja jednadžbi za magnetostatsko polje.

Zadatak 12.29 Dvije velike paralelne vodljive ravnine širine w razmaknute su za d << w . Po njima protiče

struja I u suprotnim smjerovima (slično naboju i pločastom kondenzatoru u elektrostatici). Ako zanemarimo

devijaciju polja zbog rubova ravnina pokažite da je magnetsko polje između ravnina

I

Hw

=

Zadatak 12.30 Kod FE mikroskopa, elektroni emitirani s katode oblika igle, gibaju se prema anodi oblika

polufere. Vrh igle je polusfera polumjera a, dok anoda ima polumjer b. Središta polusfera se podudaraju. Struja

koja protiče anodom i katodom je I, a gustoća struje elektrona s katode je konstantna. Elektroni se u prostoru

između elektroda gibaju radijalno. Nađite polje H između elektroda.

Zadatak 12.31 Pokažite da bilo koje dvije raspodjele struja J1 i J2 koje su smještene u konačnom području

konačnog volumena (lokalizirane struje) zadovoljavaju relaciju reciprociteta

1 2 1 2

cijeli prostor cijeli prostor

d dV V = B J J B

gdje su B1 i B2 magnetska polja za zadane struje.

Uputa: koristite sljedeći identitet za vektorska polja A i B

( )d ( d ) ( d ) ( )d ( )d

( )d ( )d

V V

V V

− − = +

− −

A B S B A S A B S A B B A

A B B A

Zadatak 12.32 Sfera polumjera R s plošnim nabojem σ vrti se kutnom brzinom ω oko osi kroz središte sfere.

Izračunajte privlačnu magnetsku silu između sjeverne i južne polusfere.

Uputa: koristite izraz za silu

dS= F K B

gdje je K = σv plošna gustoća struje, a B prosječno magnetsko polje na sferi

1 2

1( )

2r R== +B B B

Polje B1 je polje unutar, a polje B2 izvan sfere koje trebate izračunati iz vektorskog potencijala:

I I

58


0

1

4

0

2 2

sin ,3

sin,

3

Rr r R

Rr R

r

=

=

A e

A e

Zadatak 12.33 Električna struja jakosti I protiče kroz dva ravna, beskonačno duga, tanka vodiča u suprotnim

smjerovima. Vodiči su na udaljenosti d. Odredite vektorski potencijal ovog sustava vodiča.

Uputa: upotrijebite izraz za magnetsko polje za vodič koji prolazi ishodištem pa izračunajte vektorski potencijal

pomoću B = × A ili pomoću

d dS C

= B S A l

Zadatak 12.34 Beskonačni cilindar polumjera a postavljen je u koordinatni sustav tako da mu se glavna os

poklapa s z osi koordinatnog sustava. Gustoća struje J = cρ 2 + eρ protiče kroz unutrašnjost cilindra, gdje su c i e

konstante. Odredite magnetsko polje B po cijelom prostoru.

Zadatak 12.35 Vodljivom beskonačnom pločom širine 2a, od z = −a do z = +a, protječe struja konstantne

volumne gustoće J = Jex . Nađite magnetsko polje unutar i izvan ploče.

Zadatak 12.36 Kroz beskonačni cilindrični vodič polumjera R teče konstantna struja I koja nije ravnomjerno

raspoređena po presjeku vodiča već gustoća struje ima maksimum na osi vodiča, a zatim opada linearno prema

površini i jednaka je nuli za r = R. Nađite magnetsko polje B ovog vodiča i prikažite ga grafički.

Zadatak 12.37 Pretpostavimo da za magnetostatsko polje (force-free field) vrijedi jednakost

0 =J B .

(a) Pokažite da je rot B paralelno s B. Označite rot B = αB, gdje je α konstanta.

(b) Iskoristite rezultat pod (a) i pokažite da vrijedi

x

y

d/2 d/2

I −I

z

y

J

a

−a

59


2 2 = −B B .

(c) Pokažite da identična jednadžba vrijedi i za gustoću struje J.

Zadatak 12.38 Po ravnini y = 0 protječe plošna struja K = Kez , gdje je K konstanta, a po ravnini y = a

protječe plošna struja K = Kex . Odredite vektorski potencijal posvuda u prostoru.

Zadatak 12.39 Raspodjela naboja gustoće ρ(r) giba se jednoliko brzinom v.

(a) Pokažite da je magnetsko polje koje stvara ovaj sustav jednako

( ) ( ) ( )2/ c= B r v E r

gdje je E(r) električno polje koje stvara raspodjela naboja u mirovanju.

(b) Upotrijebite rezultat pod (a) da izračunate polja beskonačne žice i ravnine po kojima protječu jednolike

struje I i K, respektivno.

Zadatak 12.40 Struja I protječe po osi z (kao po tankoj žici) od z = −∞ do točke z = −R u kojoj počinje

protjecati po sferi polumjera R kao plošna struja. U točki z = R do z = ∞ opet protječe po osi z.

(a) Nađite plošnu gustoću struje po sferi. Pretpostavite da je struja jednoliko raspodijeljena po kružnicama

dobivenim kao sjecište horizontalne ravnine i sfere.

(b) Iskoristite simetriju struje i Amperéov zakon u integralnom obliku i nađite magnetsko polje u cijelom

prostoru, unutar i izvan sfere.

(c) Provjerite da li rješenje koje ste dobili zadovoljava rubne uvjete na sferi.

Zadatak 12.41 Unutar savršenog vodiča, provodnost σ je beskonačna pa je E = 0. Dodatni naboj stavljen u

savršeni vodič nalazi se pri njegovoj površini, slično kao što se u elektrostatici dodatni naboj nalazi pri površini

nesavršenog vodiča (vodič s velikom, ali konačnom vodljivošću).

(a) Pokažite da je magnetsko polje unutar savršenog vodiča konstantno u vremenu.

(b) Pokažite da je tok magnetskog polja kroz strujnu petlju načinjenu od savršenog vodiča konstantan.

Supravodič je savršeni vodič s dodatnim svojstvom da B = 0 unutar supravodiča.

(c) Pokažite da se struja u supravodiču nalazi pri površini.

(d) Supravodljivost nestaje ako je temperatura supravodiča iznad kritične Tc . Materijal tada postaje savršeni

vodič. Pretpostavimo da supravodljivu kuglu stavimo u vanjsko magnetsko polje B0ez iznad kritične temperature

y

z

y = a y = 0

K K

60


Tc . Nakon toga je hladimo u istom vanjskom magnetskom polju ispod kritične temperature Tc . Nađite plošnu

gustoću struje K kao funkciju kuta θ.

Zadatak 12.42 Odredite magnetsko polje između i izvan dvije paralelne ravnine po kojima protječu struje iste

površinske gustoće K, ali suprotnog smjera. Udaljenost ravnina je d. Koordinatni sustav možete postaviti tako da

se ravnine podudaraju s ravninama y = 0 i y = a, dok struje protječu u +z i –z smjeru.

Zadatak 12.43 Po kružnoj petlji polumjera R protječe struja I. Petlja je stavljena u xy ravninu tako da se

središte petlje poklapa s ishodištem. Izračunajte magnetski vektorski potencijal za petlju po osi x.

61



13 Magnetski vektorski potencijal (II dio). Multipolni razvoj vektorskog potencijala

Zadatak 13.1 Po ravnini y = 0 teče struja K = Kez , gdje je K konstanta, a po ravnini y = a teče struja

K = Ksin(αz)ez . Odredite vektorski potencijal posvuda u prostoru.

Zadatak 13.2 Nađite vektorski potencijal beskonačne zavojnice koja ima N namota po jedinici duljine,

radijus R, a kroz žice od zavojnice protiče struja I.

Zadatak 13.3 Po sfernoj ljusci radijusa R, jednoliko je raspodjeljen naboj gustoće σ. Sferna ljuska vrti se

kutnom brzinom ω. Nađite vektorski potencijal A posvuda u prostoru.

Zadatak 13.4 U cilindričnom vodiču radijusa R teče struja gustoće J = J0ez gdje je J0 konstantna veličina. Os

cilindra poklapa se s osi z. Odredite vektorski potencijal po svuda u prostoru upotrebom jednadžbe

2

0 = −A J

Zadatak 13.5 Zadana je lokalizirana cilindrično simetrična raspodjela struja sa šupljinom

( , )J r =J e

gdje je eϕ = −sinϕ ex + cosϕ ey . Točka O na slici je ishodište.

Pokažite da je u šupljini raspodjele vektorski potencijal jednak

10

0

( , ) (cos )4

l

l l

l

A r m r P

=

= −

dok je izvan raspodjele

1 10

0

( , ) (cos )4

l

l l

l

A r r P

− −

=

= −

Ovdje su unutrašnji ml i vanjski μl multipolni momenti zadani kao

1 1 3

1 3

1(cos ) ( , )

( 1)

1(cos ) ( , )

( 1)

l

l l

V

l

l l

V

m r P J r d rl l

r P J r d rl l

− −= −+

= −+

Uputa: zbog azimutalne simetrije, vektorski potencijal smijete računati u ϕ = 0. Iskoristite razvoj za

1/|r − r'| po sfernim harmonicima.

Zadatak 13.6 Pokažite da je vektorski potencijal tankog kružnog vodiča kroz koji protiče struja I jednak

2

0 0

22 2 2 20

cos d (2 ) ( ) 2 ( )( )

4 2 sin cos 2 sin

Ia Ia k K k E k

ka r ar a r ar

− − = =

+ − + +A x

gdje je k = k(r,θ)

2

2 2

4 sin

2 sin

ark

a r ar

=

+ +

dok su funkcije K(k) i E(k) potpuni eliptički integrali.

Zadatak 13.7 Po beskonačno dugom cilindaru radijusa R teče plošna struja, K = Kez po gornjoj polovici (0 <

ϕ < π) te K = −Kez po donjoj polovici (π < ϕ < 2π). Nađite vektorski potencijal posvuda u prostoru kao razvoj u

red.

J 0

O

62

13 MAGNETSKI VEKTORSKI POTENCIJAL (II DIO). MULTIPOLNI RAZVOJ VEKTORSKOG POTENCIJALA

Zadatak 13.8 Magnetsko polje B u području u kojem nema struja je cilindrično-simetrično s komponentama

Bz(ρ, z) i Bρ(ρ, z). Polje B ima poznate vrijednosti po osi z koje glase Bz(0, z). Komponeta polja Bρ(ρ, z)

polagano se mijenja po osi z.

(a) Pokažite da su komponente polja blizu osi z jednake

22

2

(0, )( , ) (0, ) ...

4

z

z z

B zB z B z

z

= − +

33

3

(0, ) (0, )( , ) ...

2 16

z zB z B zB z

z z

= − + +

(b) Kolike su veličine članova koji nisu napisani u gornja dva reda? Drugim riječima, koji su kriteriji za

definiranje ''blizine osi z''?

Uputa: napišite komponente polja kao razvoje u red po ρ, gdje koeficijenti tih redova ovise o z. Koeficijente

odredite tako da redove uvrstite u jednadžbe magnetostatike te rješavate iterativno.

Zadatak 13.9 Unutar beskonačne ploče koja je ograničena ravninama x = −a i x = a, teče struja s volumnom

gustoćom j = j0 sin(l1x)sin(l2y)ez . Rješenje za vektorski potencijal A = Azez glasi

(1) 0 0

1 2 1 2 22 2

1 2

( , ) sin( )sin( ) sinh( )sin( ) ,z

jA x y l x l y C l x l y x a

l l

= +

+

2(2)

2 2( , ) e sin( ) ,l x

zA x y C l y x a−

=

2(3)

2 2( , ) e sin( ) ,l x

zA x y C l y x a= − −

Područja 1, 2, 3 nacrtana su na slici.

(a) Provjerite da rješenje za vektorski potencijal zadovoljava odgovarajuće jednadžbe.

(b) Izračunajte konstante C1 i C2 . Zbog pravilne simetrije potencijala, rubne uvjete možete računati samo na x =

a.

Zadatak 13.10 Sfera radijusa a nosi jednoliku površinsku gustoću naboja σ. Sfera rotira oko promjera

konstantnom kutnom brzinom ω. Nađite magnetsko polje B unutar i izvan sfere.

Zadatak 13.11 Po plaštu bekonačnog, kružnog cilindra protiče plošna gustoća struje

( ) cos2

z

I

R =K e

pri čemu se os cilindra podudara s osi z koordinatnog sustava.

(a) Pokažite da je unutar cilindra magnetsko polje homogeno i okomito na os cilindra te iznosi

0

4y

I

R

= −B e

(b) Pokažite da je polje izvan dipolnog oblika.

(c) Kolika je magnetostatska energija po jediničnoj duljini? Koliki je omjer magnetostatskih energija unutar i

izvan cilindra?

Uputa: za (b), polje dvodimenzionalnog magnetskog dipola m smještenog u ishodištu je oblika

0

2

2( )

4

−=

m e e mB

Zadatak 13.12 Supravodljiva kugla polumjera a stavljena je u prvotno homogeno magnetsko polje B0 = B0ez .

Unutar supravodljivog materijala magnetsko polje je nula.

63


(a) Izračunajte magnetsko polje izvan kugle ako se središte kugle podudara s ishodištem koordinatnog sustava.

Vektorski potencijal za homogeno magnetsko polje iznosi

1

2= A B r

(b) Izračunajte plošnu gustoću struje K po površini kugle. (Ona stvara magnetsko polje koje poništi polje B0

unutar kugle.)

Uputa: rješavajte problem pomoću vektorskog potencijala.

Zadatak 13.13 Magnet za zakretanje snopa čestica u akceleratoru sastoji se od N namota supravodiča kroz

kojeg protiče gustoća struje približno opisana formulom

( , ) cos ( )2

z

NIJ R

R

= −

Namoti imaju oblik kružnog cilindra, a postavljeni su unutar šupljeg željeznog cilindra unutrašnjeg radijusa R'

(R' > R) tako da im se osi podudaraju međusobno i s osi z. Polumjeri R i R' su mnogo manji od duljine cijelog

magneta pa možemo računati kao da se radi o dvodimenzionalnom problemu. Za relativnu permitivnost željeza

uzmite da je beskonačna.

Pokažite da magnetsko polje unutar namota okomito na os cilindra i u smjeru ϕ = π/2, te da je iznos polja

2

0

0 21

4

NI RB

R R

= +

Uputa: raspodjela struja upućuje da vektorski potencijal ima oblik Az = f(ρ) cos ϕ. Na granici r = R' zbog velike

vrijednosti relativne permeabilnosti uzimamo da je tangencijalna komponenta polja B jednaka nuli.

Zadatak 13.14 Dvije beskonačno duge, koaksijalne cilindrične površine imaju zajedničku z-os koordinatnog

sustava. Po unutrašnjoj površini radijusa a protiče plošna struja K1 = K1eϕ , a po vanjskoj radijusa b struja K2 =

K2eϕ . Iznosi struja K1 i K2 su konstantni. Nađite magnetsko polje posvuda u prostoru.

Zadatak 13.15 Beskonačni valjak polumjera a rotira oko osi kutnom brzinom ω. Valjak je homogeno nabijen

konstantnom gustoćom naboja ρ. Pomoću diferencijalnih jednadžbi za vektorski potencijal nađite A i magnetsko

polje B po cijelom prostoru.

Uputa: rješenje Eulerove diferencijalne jednadžbe oblika

2

0a b

y y yx x

+ + =

potražite u obliku y = xλ.

Zadatak 13.16 Po tankoj sfernoj ljusci polumjera a protječe plošna gustoća struje

0 sin cosK =K e

gdje su θ, ϕ standardne sferne koordinate. Unutrašnjost ljuske napunjena je magnetskim materijalom

permeabilnosti μ. Nađite vektorski potencijal i magnetsko polje unutar i izvan sferne ljuske.

Uputa: smijete pretpostaviti da je rješenje jednadžbe

2 0 =A

u sfernom sustavu koordinata za danu struju K, oblika

x

y

R'

R

Namoti

Željezo

64


( )

( ) ( )

1

0

1 1

0

cos

cos

l

l l

l

l

l l

l

A a r P

A b r P

=

− +

=

=

=

jer su zbog smjera struje Ar i Aθ jednaki nuli. Upotrijebite rubne uvjete da odredite koeficijente al i bl .

Zadatak 13.17 Pokažite da je vektorski potencijal za homogeno magnetsko polje B = B0k u sustavu sfernih

koordinata jednak

0 sin2

B r=A e

65



14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadžbe magnetostatike

Zadatak 14.1 Magnetski dipol momenta m = −m0ez postavljen je u ishodište u jednoliko magnetsko polje B

= B0ez . Pokažite da postoji sferna ploha S s centrom u ishodištu kroz koju ne prolaze magnetske silnice. Drugim

riječima, tok magnetskog polja kroz sferu S iznosi nula. Nađite polumjer sfere S.

Zadatak 14.2 Tankim kružnim vodičem radijusa a teče struja I. Vodič se nalazi u ravnini xy i centar vodiča

poklapa se s ishodištem koordinatnog sustava. Na osi z nalazi se dipol momenta m = mez koji je udaljen od

ishodišta za d. Nađite z-komponentu sile na dipol m.

Zadatak 14.3 Kocka stranice a smještena je kao na crtežu. Kocka je napunjena magnetskim materijalom

magnetizacije M = −(M/a)yex + (M/a)xey gdje je veličina M konstantna. Nađite gustoće struja JM i KM .

Zadatak 14.4 Unutar beskonačno dugog cilindara radijusa a kojemu se os poklapa sa z-osi koordinatnog

sustava, nalazi se magnetizacija koja se mijenja po zakonu

2

0Ma

=

M e

gdje M0 konstanta.

(a) Nađite efektivnu prostornu gustoću struje JM = × M te efektivnu plošnu gustoću struje

( )M a== K M n

(b) Provjerite da li je ukupna struja vezanih naboja jednaka nuli.

(c) Nađite polja B i H posvuda, unutar i izvan cilindra.

Zadatak 14.5 Nađite vektorski potencijal i magnetsko polje jednoliko magnetizirane sfere.

m

d

a

z

z

a

66

14 VEZANE STRUJE I MAGNETIZACIJA. MAKROSKOPSKE JEDNADŽBE MAGNETOSTATIKE

Zadatak 14.6 Pretpostavimo da je polje u unutrašnjosti magnetskog materijala B0, tako da je H0 = B0/μ0 −

M.

(a) Ako je u magnetskom materijalu kugla načinjena malena šupljina u obliku kugle, nađite magnetsko polje B u

šupljini kao funkciju od B0 i M. Također, nađite magnetsko polje H pomoću H0 i M.

(b) Ponovite isto za šupljinu u obliku tankog, cilindričnog štapa.

(c) Ponovite isto za šupljinu u obliku cilindra čiji je radijus mnogo veći od njegove visine.

Zadatak 14.7 (a) U kugli radijusa R ravnomjerno je raspodjeljen naboj Q tako da volumna gustoća naboja

iznosi ρ = 3Q/(4R3). Kugla se okreće oko osi koja prolazi kroz njen centar kutnom brzinom ω. Nađite

magnetski dipolni moment sfere μ.

(b) Pretpostavite da je elektron kuglica jednoliko raspodjeljenog ukupnog naboja e. Izračunajte kolikom se

kutnom brzinom vrti elektron da vrijedi formula μ = e/m0 × ħ/2, gdje je e naboj elektrona, m0 masa elektrona, ħ

= 1,054 × 10−34 Js reducirana Planckova konstanta.

Zadatak 14.8 (a) Želimo naći energiju potrebnu za dovođenje dva magnetska dipola iz beskonačne

udaljenosti u konfiguraciju prikazanu na slici (i). Vjerojatno najjednostaniji način da to izračunamo je sljedeći:

dovodimo dipole iz beskonačnosti držeći ih u položajima koji su prikazani na slici (ii). Rad koji pri tome

ulažemo jednak je nuli jer sila između dipola nula. Izračunajte sada rad potreban za dovođenje dipola m1 u

njegov konačni položaj držeći pri tome m2 fiksnim. Nakon toga, izračunajte rad potreban za dovođenje m2 u

njegov konačni položaj. Tako ćete pokazati da je ukupni izvršeni rad, kojeg možemo zvati potencijalnom

energijom sustava jednak (sin θ1 sin θ2 − cosθ1 cosθ2) m1m2/r3.

(b) Dva nasuprotna vrha pravilnog oktaedra brid duljine b smještena su na z-osi. Na svakom od vrhova oktaedra

nalazi se magnetski dipol m = mez. Upotrijebite rezultat iz (a) da izračunate potencijalnu energiju sustava dipola.

Zadatak 14.9 Po sferi radijusa R ravnomjerno je raspodjeljen naboj Q tako da površinska gustoća naboja

iznosi σ = Q/(4πR2). Sfera se okreće oko osi koja prolazi kroz njen centar kutnom brzinom ω. Nađite magnetski

dipolni moment sfere.

Uputa: razdjelite sferu u uske vrpce naboja koji rotira; nađite struju za svaku od vrpca i njezin magnetski dipolni

moment pa integrirajte po svim vrpcama.

Zadatak 14.10 Magnetski materijal ima oblik uspravnog kružnog cilindra duljine L i radijusa a. Cilindar ima

permanentnu magnetizaciju M0, jednoliku po volumenu cilindra i u smjeru osi. Nađite magnetsko polje B i polje

H u svim točkama po osi, unutar i izvan cilindra.

Zadatak 14.11 Unutar beskonačnog cilindra radijusa R nalazi se magnetski materijal permanentne

magnetizacije M = kr i smjera paralelnog osi cilindra, gdje je k konstantna veličina, a r udaljenost od osi cilindra

(struja slobodnog naboja nema). Upotrijebite Amperov zakon (integralni oblik) da nađete polje H, a onda polje

B.

Uputa: uzmite u obzir činjenicu da je polje H u beskonačnosti jednako nuli.

67


Zadatak 14.12 Kružni cilindar radijusa a i duljine l ima ukupni naboj Q jednoliko raspodjeljen po

unutrašnjosti volumena. Valjak rotira oko svoje osi konstantnom kutnom brzinom ω. Pretpostavite da jednolika

raspodjela naboja nije promijenjena zbog rotacije. Nađite magnetski dipolni moment ovog sistema.

Zadatak 14.13 Velika ploča magnetskog materijala debljine d i magnetizacije M = M(1 + αz)ez, gdje su M i α

konstante, položena je okomito na os z. Nađite efektivne gustoće struja Jm = × M, te Km = M × n. Skicirajte

kako izgleda vektor magnetizacije M unutar materijala. Ponovite račun i skicu za za magnetizaciju oblika M =

M(1 + αx)ez .

Zadatak 14.14 Veoma dug kružni cilindar radijusa R sadrži magnetizaciju M = kρ2eϕ , gdje je k konstanta, ρ

udaljenost od osi cilindra, a eϕ jedinični vektor koji odgovara cilindričnoj koordinati ϕ. Nađite magnetsko polje

B u području unutar i izvan cilindra.

Zadatak 14.15 Struja I protiče kroz dugu ravnu žicu radijusa a. Ako je žica napravljena od linearnog

materijala (bakra ili aluminija, na primjer) čija je susceptibilnost χm i struja je jednoliko raspodjeljena po

presjeku žice, koliko je magnetsko polje na udaljenosti ρ od osi žice? Nađite sve vezane struje. Kolika je ukupna

vezana struja koja protiče žicom?

Zadatak 14.16 Veliku ploču debljine d (d << S1/2, S je površina ploče) postavimo tako da je os z okomita na

ravnine koje omeđuju ploču, a ishodište koordinatnog sustava je u sredini ploče. Unutrašnjost ploče sadrži

jednoliku magnetizaciju M = Mez .

(a) Nađite efektivne gustoće magnetskog naboja, plošnu i volumnu.

(b) Nađite polje H unutar i izvan ploče.

Zadatak 14.17 Na slici pokazan je način (uravnoteživanjem) kako mjeriti silu kojom elektromagnet privlači

lopticu od paramagnetskog materijala volumena V = 41 mm3. Magnetsko polje po osi elektromagneta, gdje

pomičemo kuglicu, mijenja se po zakonu

2

0eazB B −=

gdje je B0 = 1,5 T, veličina a = 100 m−2. Udaljenost z mjeri se od najviše točke magneta. Nađite:

(a) Na kojoj će visini privlačna sila na kuglicu biti najveća?

(b) Kolika je magnetska susceptibilnost paramagneta od kojeg je načinjena kuglica ako maksimalna privlačna

sila iznosi Fmax = 160 μN?

68


Uputa: promatrajte kuglicu kao magnetski dipol. Veza između vanjskog polja B i magnetizacije M za

paramagnetičnu kuglicu glasi

0

0 0

3

2M B

−=

+

Zadatak 14.18 Točkasti dipol magnetskog momenta m = mxex + myey + mzez stavljen je u polje magnetske leće

s komponentama

2 2( ), 2 , 0x y zB x y B xy B = − = − =

gdje se os leće podudara sa z-osi, a α je pozitivna konstanta.

(a) Nađite komponente sile na magnetski dipol.

(b) Čestice magnetskog momenta m ulijeću u navedeno magnetsko polje B. Koji smjer mora imati dipol da

dobijemo fokusirani snop? Drugim riječima, pogledajte račun pod (a) i komponente magnetskog dipola te

odgovorite kada će sila gurati čestice prema z-osi.

Zadatak 14.19 Mala strujna petlja smještena je na udaljenost r od ravnog, beskonačno dugog vodiča kojim

protiče struja I. Magnetski moment petlje je m0 . Nađite iznos i smjer sile koja djeluje na petlju ako je vektor

m0:

(a) paralelan ravnom vodiču;

(b) orijentiran u smjeru vektora položaja r;

(c) u smjeru magnetskog polja vodiča (na mjestu gdje se petlja nalazi).

Zadatak 14.20 Poluprostor z > 0 ispunjen je materijalom permanentne magnetizacije (na slici) gdje je

( )0 0 0cos sinz yM +=M e e

(a) Nađite efektivnu struju (struju vezanih naboja) koja daje ovu magnetizaciju.

(b) Nađite magnetsko polje B u cijelom prostoru.

(c) Nađite magnetsko polje H u cijelom prostoru.

(d) Provjerite rubne uvjete po ravnini z = 0.

Zadatak 14.21 Beskonačno duga cilindrična ljuska unutarnjeg polumjera a i vanjskog polumjera b ispunjena

je sredstvom magnetizacije M = M0eϕ , gdje je M0 konstanta.

(a) Nađite prostornu gustoću struje vezanog naboja Jb .

(b) Nađite plošnu gustoću struje vezanog naboja Kb na unutarnjem i vanjskom rubu.

(c) Upotrijebite struje izračunate pod (a) i (b) da nađete magnetsko polje B po cijelom prostoru.

z

Elektromagnet

Paramagnetska

kuglica

M θ0

n

y

z

69


(d) Pomoću (c) ili pomoću Ampereovog zakona pokažite da je H = 0.

Zadatak 14.22 Permanentni magnet ima oblik cilindra polumjera R i duljine L ima magnetizaciju

0( ) zR M= −M e

gdje je M0 konstanta, a ρ udaljenost od osi z koja se poklapa s osi cilindra.

(a) Kolika je efektivna plošna gustoća magnetskog naboja? Kolika je efektivna prostorna gustoća magnetskog

naboja?

(b) Koliko je magnetsko polje po osi z?

Zadatak 14.23 Sferna ljuska ima unutrašnji polumjer a i vanjski b. Ljuska je napravljena od materijala s

jednolikom magnetizacijom M = M0ez . Nađite magnetsko polje B u cijelom prostoru.

Zadatak 14.24 Cilindar polumjera a i duljine L ispunjen je gustoćom naboja ρ koja je konstantna po njegovoj

unutrašnjosti. Cilindar (i gustoća naboja) vrti se konstantnom kutnom brzinom ω oko svoje osi.

(a) Nađite gustoću struje koje nastaje vrtnjom.

(b) Nađite magnetski dipolni moment ovog cilindra.

Zadatak 14.25 Vektor prostorne gustoće orbitalne struje J koja protiče u pobuđenom stanju vodikova atoma u

sfernim koordinatama ima komponente

3 2

8 7

1 20; exp sin cos

33r

e rJ J J r

ama

= = = −

gdje je r iznos vektora položaja, a e, ħ, m, a konstante. Izračunajte magnetski moment ove raspodjele struja.

Zadatak 14.26 Magnetska igla u kompasu je tanki štapić mase 0,5 g i duljine 2 cm. Magnetski moment igle

iznosi 9 · 10−3 A·m2. Igla se može slobodno vrtiti oko osi okomite na iglu koja prolazi središtem igle. Kolika je

frekvencija malih titraja magnetske igle oko smjera sjever-jug kad je stavljena u magnetsko polje Zemlje čija

vodoravna komponenta iznosi B = 0,2 · 10−4 T?

Zadatak 14.27 Nađite magnetski moment ravninske zavojnice s unutarnjim polumjerom a i vanjskim

polumjerom b, a sastoji se od N namotaja tanke žice kojom protječe struja I.

Zadatak 14.28 Željezni štap duljine L i poprečnog presjeka u obliku kvadrata stranice a ima jednoliku

magnetizaciju M duž štapa. Štap savijemo u kružni prsten kao na slici koji ima uzak procjep širine w. Nađite

magnetsko polje u središtu procjepa pretpostavljajući da je w << a << L.

Uputa: da dobijete polje u procjepu, upotrijebite princip superpozicije te zbrojite polja potpunog prstena

(toroida) i kvadratne strujne petlje kojom protječe struja u suprotnom smjeru od one na prstenu.

Zadatak 14.29 Jednolika gustoća struje J = J0ez protječe prostorom omeđenim ravninama x = −a i x = a.

Magnetski dipol momenta m = m0ex postavimo u ishodište koordinatnog sustava.

(a) Izračunajte magnetsko polje ove struje.

(b) Izračunajte silu na dipol pomoću formule

( )= F m B .

(c) Pokažite da se sila na električni dipol momenta p u električnom polju E u elektrostatici može računati

pomoću bilo koje od dviju formula:

70


( ) ( )= = F p E p E .

Vrijedi li navedena tvrdnja i za magnetostatiku?

Zadatak 14.30 Zamislite dva električki nabijena magnetska dipola, jednakih naboja q i jednakij magnetskih

momenata m koji se mogu gibati samo po osi z. Električna sila ih odbija, a magnetska privlači pri čemu su oba

dipola usmjerena u pozitivnom smjeru osi z.

(a) Nađite ravnotežnu udaljenost dipola.

(b) Kolika je ravnotežna udaljenost ako se radi o elektronima? Magnetski moment elektrona je Bohrov

magneton, μB = 9,22 ∙ 10−24 A∙m2.

(c) Da li su položaji dva elektrona na ravnotežnoj udaljenosti stabilni ili labilni?

Zadatak 14.31 Beskonačan cilindar ima jednoliku magnetizaciju M paralelnu svojoj geometrijskoj osi. Nađite

magnetsko polje koje stvara magnetizacija, unutar i izvan cilindra.

Zadatak 14.32 Magnetski materijal u obliku diska ima polumjer R i debljinu T << R. Disk je jednoliko

magnetiziran, a magnetizacija M = M0 ex je u ravnini diska, xy-ravnini, kao što je prikazano na slici.

(a) Odredite efektivne gustoće magnetskog naboja, plošnu σM i volumnu ρM .

(b) Odredite gustoće struja vezanog naboja, plošnu Kb i volumnu Jb .

(c) Odredite polje B i polje H u središtu diska.

Zadatak 14.33 Magnetski dipol momenta m = −m0ez postavljen je u ishodište u jednoliko magnetsko polje B

= B0xyez . Izračunajte silu i moment sile na dipol.

Zadatak 14.34 Izračunajte vektorski potencijal izvan magnetizirane sfere polumjera a s magnetizacijom M =

M0xex .

Uputa: pogledajte zadatak 14.5 s vježbi. Koristite sljedeće jednakosti:

( )

( )

2

22 2, 2

21 2, 1

cos sin sin sin cos

2 2sin 2 sin

15

1 8cos sin cos

2 15

r x y z

Y Yi

Y Y

−

−

= + +

= −

= − +

e e e e

x

z

x = a x = −a

J

m

71


Zadatak 14.35 Dva vrlo duga cilindrična magneta postavljena su jedan blizu drugog kako prikazuje slika. Oba

magneta imaju istu duljinu L, jednak promjer d0 i jednaku magnetizaciju M koja je jednolika duž cilindara.

Magneti su razdvojeni na udaljenost lg za koju je lg << d0 << L. Pokažite da su polja H i B u procjepu između

magneta približno jednaka B ≈ μ0M i H ≈ M.

Uputa: izračunajte magnetski skalarni potencijal ΦM i polje H za jedan cilindar po njegovoj geometrijskoj osi,

recimo, z-osi te primijenite navedene aproksimacije. Zbog uvjeta u zadataku, u procjepu se polje izvan

geometrijske osi neće mnogo razlikovati od vrijednosti po osi.

72



15 Rubni problemi s magnetskim sredstvima

Zadatak 15.1 Kroz beskonačno dugu, protječe žicu teče struja I. Tri poluravnine čiji rub prolazi žicom jedna

s drugom tvore kutove α1, α2, α3 (α1 + α2 + α3 = 2π), a prostor među njima ispunjen je magnetskim medijem

permeabilnosti μ1, μ2, μ3. Odredite magnetsko polje posvuda u prostoru.

Zadatak 15.2 Nađite magnetski skalarni potencijal:

(a) Beskonačno duge, tanke žice kojom protječe struja I. Vidite li negdje problem?

(b) Jednoliko magnetizirane kugle polumjera a.

Zadatak 15.3 Beskonačno dug cilindar radijusa a i magnetske permeabilnosti μ stavljen je u homogeno

vanjsko magnetsko polje B = B0ex . Polje je okomito na os cilindra. Izračunajte magnetsko polje posvuda u

prostoru.

Zadatak 15.4 Zadana je lokalizirana raspodjela permanentne magnetizacije koja kontinuirano pada na nulu

na rubnim plohama. Pokažite da je integral

po cijelomprostoru

d 0V = B H

ako je magnetostatsko polje B, H isključivo posljedica gornje raspodjele.

Zadatak 15.5 Reducirajte problem nalaženja magnetskog polja zbog dane struje u nehomogenom i

neferomagnetskom sredstvu na odgovarajući problem u elektrostatici. Da to napravite, magnetsko polje zapišite

u obliku H = H0 + H' gdje je H0 ''primarno'' polje koje se stvara od istih struja u praznom prostoru, dok je polje

H' posljedica prisutnosti magnetskog materijala. Uvedite skalarni potencijal ψ za H' da dobijete jednadžbu za ψ i

odgovarajuće rubne uvjete.

Zadatak 15.6 Beskonačno duga, tanka žica kojom protiče struja I nalazi se unutar beskonačno duge,

cilindrične šupljine unutar homogenog magnetskog medija. Žica je paralelna cilindričnoj šupljini i smještena je

na udaljenosti b od geometrijske osi šupljine. Polumjer šupljine je a i magnetska permeabilnost medija koji

okružuje šupljinu μ. Odredite silu po jedinici duljine koja djeluje na žicu.

μ

1 μ

2

μ3

α1 α

2

α3

μ x

B

73

15 RUBNI PROBLEMI S MAGNETSKIM SREDSTVIMA

Zadatak 15.7 Beskonačni, tanki i ravni vodič kojim protiče struja I paralelan je ravnini koja razdvaja dva

sredstva permeabilnosti μ1 i μ2. Udaljenost žice od ravnine iznosi a. Odredite magnetsko polje posvuda u

prostoru ako se vodič nalazi u sredstvu μ1.

Uputa: primijenite metodu slika.

Zadatak 15.8 Beskonačno dug kružni feromagnetski cilindar radijusa a smješten je tako da mu se

geometrijska os podudara sa z-osi koordinatnog sustava. Magnetizacija cilindra je jednolika i iznosi M = M0ey.

Izračunajte magnetski potencijal unutar i izvan cilindra.

Zadatak 15.9 Tijelo proizvoljnog oblika je jednoliko magnetizirano. Pokažite da se skalarni magnetski

potencijal može napisati u obliku

0 = − M

gdje je M magnetizacija, a ϕ je elektrostatski potencijal jedinične raspodjele naboja (ρ = 1) koja ima jednak

oblik i dimenzije kao i zadana distribucija magnetizacije. Pretpostavite da je magnetizacija konačna i da

kontinuirano pada na nulu na rubovima tijela pa je efektivna plošna gustoća magnetskog naboja jednaka nuli.

Zadatak 15.10 Po tankoj sfernoj ljusci radijusa a protiče plošna struja

0 sin cosK =K e

gdje su θ, ϕ standardne sferne koordinate. Područje r < a napunjeno je magnetskim materijalom permeabilnosti

μ. Nađite magnetsku indukciju B izvan i unutar sferne ljuske.

Zadatak 15.11 Ravna žica po kojoj teče struja I paralelna je osi beskonačnog, kružnog cilindra i nalazi se na

udaljenosti b od centra cilindra. Radijus cilindra iznosi a gdje je a < b. Magnetska permeabilnost cilindra je μ.

Nađite silu po jedinici duljine za žicu.

Zadatak 15.12 Magnetski dipol momenta m smješten je u središte sfere radijusa R s magnetskim sredstvom

permeabilnosti tako da je usmjeren u pozitivnom dijelu z-osi. Ishodište koordinatnog sustava podudara se sa

središtem sfere. Pokažite da je magnetsko polje unutar sfere (0 r R)

0

3 3

0

2( )13( )

4 (2 )r r

r R

−= − +

+

mB m e e m

Koliko je polje izvan sfere?

Zadatak 15.13 Beskonačno duga, ravna žica radijusa a i permeabilnosti 1 stavljena je u jednoliko, vanjsko

magnetsko polje H0 u sredstvo permeabilnosti 2 . Polje je okomito na žicu kojom protiče konstantna struja I.

Nađite ukupno magnetsko polje unutar i izvan žice.

a

I

b

74


Zadatak 15.14 Neki supravodiči imaju svojstvo da je posvuda u njihovoj unutrašnjosti magnetsko polje B = 0.

Neka takav supravodič zauzima poluprostor z 0. Beskonačno dugu, tanku žicu kojem protiče struja I u smjeru

ex postavimo paralelno ravnini z = 0 na položaj z = a i y = 0. Nađite:

(a) Magnetsko polje u području z 0. Upotrijebite metodu slika.

(b) Nađite gustoću plošne struje po ravnini z = 0.

Zadatak 15.15 Sfera radijusa R magnetizirana je magnetizacijom M = M1(r)er + M0 , gdje je M1(r) zadana

funkcija od r, a M0 je konstantan vektor. Pokažite da je:

(a) vanjsko magnetsko polje koje stvara sfera nezavisno od M1 ,

(b) magnetski skalarni potencijal unutar sfere

0

0 0 1

0

( ) ( )d3

r

M r M r r

= + M r

uz uvjet ΦM(0) = 0.

Zadatak 15.16 Cilindričan štap od mekog željeza duljine L i promjera d savijen je tako da se os štapa

podudara s kružnicom polumjera R. Baze cilindra nisu posve spojene nego su na razmaku s. Po cijelom štapu

(uključujući procjep između baza) gusto je namotana tanka žica u zavojnicu s N zavoja kojom protiče struja I.

Izračunajte magnetsko polje B u području između baza upotrijebivši Amperov zakon za sredstva.

Uzmite da je s << d i d << R. Relativna permeabilnost mekog željeza je μr .

Uputa: magnetsko polje unutar zavojnice homogeno, a izvan je nula.

Zadatak 15.17 Unutar supravodljivog materijala ne vrijedi Ohmov zakon, već vrijede Londonove jednadžbe:

S

S

t

= −

=

H J

JE

gdje je JS struja supravodljivih elektrona, a λ konstanta. Promotrite beskonačnu ploču širine 2d (−d < z < d)

izvan koje je konstantno magnetsko polje paralelno površini ploče, Hx = Hz = 0, Hy = H1 za z < d i Hy = H2 za z >

d. Polja E i D posvuda su jednaka nuli. Pretpostavite da nema plošne struje i plošnog naboja po rubnim plohama

z = d, z = −d.

(a) Pomoću Londonovih i magnetostatskih jednadžbi nađite polje H unutar supravodiča.

(b) Nađite supravodljivu struju JS .

R

s s

d/2

(b) procjep (a) štap sa zavojnicom

75


Zadatak 15.18 Dva puna cilindra permeabilnosti μ postavljena su unutar zavojnice na razmak d << l.

Zavojnica je gusto namotana s n zavoja i ima duljinu l (mnogo veću od promjera), a njome protiče struja I.

Zanemarite devijacije polja zbog rubova i izračunajte polje H unutar zavojnice.

Zadatak 15.19 Kuglica polumjera a i permeabilnosti μ stavljena je na udaljenost x >> a od malog magneta

momenta m. Magnet je položen tako da vektor m gleda prema kuglici. Nađite silu kojom magnet djeluje na

kuglicu.

Uputa: promatrajte kuglicu kao magnetski dipol. Polje u dipola m u kojem se nalazi kuglica je približno

homogeno. Veza između homogenog vanjskog polja B i magnetizacije M za paramagnetičnu kuglicu glasi

0

0 0

3

2M B

−=

+

Zadatak 15.20 Pretpostavimo da je magnetsko polje zadane lokalizirane raspodjele struja aksijalno-simetrično

(azimutalno-simtrično ako za os simetrije izabaremo z-os). Izrazite magnetsko polje H izvan raspodjele pomoću

zadanog magnetskog polja H(z) na osi simetrije.

Uputa: rješenje za magnetski potencijal Φ(ρ, ϕ) i Besselova funkcija Jn(x) su oblika

| |

0

0

( , ) ( ) ( )e dk zA k J k k

− = ;

2

0

( 1)( )

( )! ! 2

k nk

n

k

xJ x

k n k

+

=

− =

+

Zadatak 15.21 Supravodljiva sfera polumjera a postavljena je u magnetsko polje B = B0ez .

(a) Nađite magnetsko polje izvan sfere ako je poznato da je unutar supravodljivog materijala magnetsko polje

jednako nuli.

(b) Izračunajte plošnu struju K po sferi.

Uputa: koristite metodu magnetskog skalarnog potencijala.

z z = d z = −d

y

H2 H1

d

l

I

m

x

76


Zadatak 15.22 Beskonačno dugom, ravnom žicom protječa struja I . Žica je paralelna osi beskonačno dugog

cilindra polumjera a koja se podudara s osi z i nalazi se na udaljenosti b > a od osi z. Permeabilnost cilindra je μ1

, a permeabilnost sredstva u kojem se nalazi žica je μ2 . Nađite silu po jediničnoj duljini koja djeluje na žicu.

Uputa: vektorski potencijal tanke žice na položaju (x0, 0) glasi

0

2 2

0 0

ln4 2 cos

z

I C

x x

=

− + A e

gdje konstantu C dobivamo tako da odaberemo vrijednost potencijala za fiksnu točku u problemu kojeg

rješavamo. Koristite metodu slika i postavite slikovne struje I' i I'' na x' = 0 i x'' = a2/b te I''' na x''' = b. Ukupna

sila na žicu je sila između slikovnih struja u unutrašnjosti cilindra i žice.

Zadatak 15.23 Razmotrite magnetski skalarni potencijal

0

0

( )B xz

zb

= +

r

gdje su B0 i b konstante.

(a) Nađite magnetsko polje H za potencijal Φ i provjerite je li

0

0

=

=

H

H

(b) Atom čija je jezgra nepomična u ishodištu koordinatnog sustava, ima elektron koji se giba po kružnoj putanji

polumjera a u xy ravnini. Nađite silu na atom u magnetskom polju izračunatu pod (a).

Uputa: primijetite da je magnetski moment atoma zbog kružnog gibanja elektrona jednak

2

za I=m e

gdje je struja I = e/T i T perioda kružnog gibanja. Periodu nađite izjednačavanjem centripetalne sile i električne

sile.

Zadatak 15.24 Promotrite dvije duge i tanke žice, paralelne z-osi i na razmaku d. Svakom od žica protječe

struja I, ali u suprotnom smjeru. Opišite magnetsko polje H pomoću magnetskog skalarnog potencijala H =

−ΦM .

gdje su B0 i b konstante.

(a) Postavite koordinatni sustav tako da se žice nalaze na položajima x = ±d/2 i y = 0. Pokažite da je skalarni

potencijal u granici malih razmaka jednak potencijalu za dvodimenzionalni dipol

2

2

sin

2M

Id dO

= − +

gdje O(d2/ρ2) označava ostatak koji je drugog i viših redova po d/ρ.

(b) Žice koje su veoma blizu postavimo u veoma dugi, šuplji i kružni cilindar od čelika, unutrašnjeg polumjera a

i vanjskog polumjera b. Permeabilnost cilindra je μ = μrμ0 . Odredite magnetski skalarni potencijal u tri područja,

0 < ρ < a, a < ρ < b i ρ > b. Pokažite da je polje izvan čeličnog cilindra dipolnog tipa, no smanjeno u odnosu na

polje pod (a) za faktor

( ) ( )

2

2 22 2

4

1 1

r

r r

bF

b a

=

+ − −

Uputa: koristite princip superpozcije i zbrojite polje dipola i inducirano polje zbog prisutnosti cilindra.

77



16 Ohmov zakon. Faradayev zakon indukcije

Zadatak 16.1 (a) Dvije metalne elektrode nepravilnih oblika smještene su u sredstvu vodljivosti σ. Pokažite

da je otpor među njima povezan s kapacitetom C kao

0RC

=

(b) Pretpostavimo da elektrode spojimo na bateriju na potencijal V0 . Ako, zatim, elektrode odspojimo s baterije,

naboj će postepeno otjecati s elektroda. Pokažite da je

/

0( ) e tV t V −=

te nađite vremensku konstantu τ kao funkciju od σ.

Zadatak 16.2 Sustav elektroda uronjen je u vodič. Elektrode su na konstantnim potencijalima V1 , V2 ,..., Vn ,

a struje koje izlaze iz elektroda su I1 , I2 ,..., In . Pokažite da je ukupna Joulova toplina po jedinici vremena dana

sa

1

n

i i

i

P V I=

=

Zadatak 16.3 Metalni disk polumjera a vrti se kutnom brzinom ω oko okomite osi. Disk je smješten u

magnetsko polje B koje ima smjer okomite osi. Strujni krug je zatvoren tako da su os i rub diska povezani žicom

na koju je spojen otpornik R. Nađite struju kroz otpornik.

Zadatak 16.4 Naboj λ pričvršćen je za rub kotača polumjera b. Kotač se može vrtjeti oko okomite osi. U

središnjem dijelu kotača koji je polumjera a (a < b) postoji magnetsko polje B0 . Polje, zatim, isključimo. Nađite

kutnu brzinu vrtnje diska.

Zadatak 16.5 Struja u veoma dugom solenoidu na slici raste linearno s vremenom pa je tok magnetskog polja

Φ(t) = αt. U strujnom krugu spojena su jos dva (idealna!) voltmetra i otpornika čiji je otpor R1 i R2 .

Koje napone pokazuju voltmetri ako se njima mjeri vrijednost integrala

d

b

a

E l ?

Zadatak 16.6 Pretpostavimo da je struja J(r) konstantna u vremenu, ali naboj ρ(r, t) nije: takvi uvjeti postoje,

na primjer, prilikom punjenja kondenzatora.

(a) Pokažite da je gustoća naboja u svakoj točki linearna funkcija vremena

( , ) ( ,0) ( ,0)t t = +r r r

(b) Uz ovakvu struju i naboj ne možemo govoriti o elektrostatici ili magnetostatici. Ipak, vrijede i Coulombov

zakon i Biot-Savartov zakon. Provjerite tu tvrdnju uvrštavajući ove zakone u Maxwellove jednadžbe.

Zadatak 16.7 U trenutku t = 0 slobodni naboj gustoće ρ0 ubačen je u unutrašnjost vodiča. Nađite vrijeme za

koje se gustoća naboja smanji na 1/e početne vrijednosti. Pretpostavite da su električna vodljivost σ i dielektrična

kontanta ϵ po cijelom vodiču konstantne.

Uputa: koristite jednadžbu kontinuiteta, ohmov zakon J = σE, te jednu od Maxwellovih jednadžbi.

V1 V2 Solenoid R1 R2

I

b

a

b

a

78

16 OHMOV ZAKON. FARADAYEV ZAKON INDUKCIJE

Zadatak 16.8 Stacionarna gustoća struje prolazi sredstvom dielektrične konstante ϵ(r) i vodljivosti σ(r).

Sredstvo je izotropno, ali ne i homogeno. Pokažite koristeći ohmov zakon J(r) = σ(r)E(r) da je makroskopska

gustoća naboja unutar sredstva dana s

1

( )

= − −

Zadatak 16.9 Dva homogena i izotropna medija dielektričnih konstanti ϵ1 i ϵ2 te vodljivosti σ1 i σ2 razdvaja

ploha S. Stacionarna struja prelazi iz jednog u drugo sredstvo kroz plohu S. Ako su kutovi koje zatvara linija toka

(strujnica) s normalom na plohu S kod prelaska struje iz jednog u drugo sredstvo α1 i α2, pokažite da za svaku

strujnicu u točki u kojoj siječe plohu vrijedi

1 2 2 2cot cot =

te

2 1

2 1

−

=

j n

gdje je ω površinska gustoća naboja, a j struja sa jedne ili sa druge strane (svejedno!) plohe S.

Uputa: upotrijebite rubne uvjete te Ohmov zakon j = σE. Također, primjetite da zbog stacionarnosti struje vrijedi

· j = 0 pa je zbog toga veza između normalnih komponenti struje u sredstvima 1 i 2 oblika j1 · n = j2 · n.

Zadatak 16.10 Pokažite da magnetsko polje B u homogenom, izotropnom, nemagnetskom mediju

provodnosti σe u kojemu postoji stacionarna struja, zadovoljava vektorsku Laplaceovu jednadžbu

2 0 =B

Uputa: koristite Ohmov zakon u obliku

e=J E

Zadatak 16.11 Sfera polumjera a na potencijalu V stavljena je u sredstvo električne provodnosti σ. Izračunajte

struju I koja teče od sfere u beskonačnost. Za sredstvo vrijedi Ohmov zakon J = σE.

Zadatak 16.12 Savršeni vodič oblika sferne ljuske polumjera a vrti se kutnom brzinom ω oko osi simetrije

koja se podudara sa z osi koordinatnog sustava u homogenom magnetskom polju B = B0ez . Izračunajte

elektromotornu silu između sjevernog pola i točke na ekvatoru.

Zadatak 16.13 Elektron u atomu (naboja q) giba se oko jezgre (naboja Q) po kružnici polumjera r.

Centripetalna akceleracija posljedica je privlačne Coulmbske sile između naboja suprotnih predznaka.

Uključimo, zatim, veoma polagano, malo magnetsko polje ΔB čiji je smjer okomit na ravninu s putanjom

elektrona. Pokažite da je porast kinetičke energije ΔT zbog induciranog električnog polja upravo takav da održi

elektron na kružnici jednakog polumjera r.

Uputa: nakon uključivanja polja je

2

1

1 2

1 1

mv qQqv B k

r r= +

gdje je r1 = r + Δr i v1 = v + Δv. Iz gornje jednadžbe izračunajte promjenu kinetičke energije do promjena prvog

reda po Δr, Δv i ΔB. Usporedite dobiveno s promjenom kinetičke energije zbog induciranog polja i zaključite

koliki je Δr.

Zadatak 16.14 (a) Promatramo protjecanje stacionarne struje naboja (isključivo zbog električnog polja) kroz

sredstvo promijenjive provodnosti (vodljivosti) σc(r) pri čemu vrijedi elektrostatika i magnetostatika. Pomoću

jednadžbe kontinuiteta i ohmovog zakona pokažite da vrijedi jednadžba

2 0c c + =

(b) Vodljiva kocka duljine stranice a ima provodnost koja se mijenja unutar kocke po formuli σc(y) = α(a + y),

gdje je α konstanta. Pretpostavite da struja protječe kroz kocku duž y osi između ploha S i S' na slici.

79


(b1) Iskoristite rezultat pod (a) i pokažite da vrijedi jednadžba

( )2

20

d d

dydya y

+ =+

(b2) Riješite jednadžbu pod (b1) za električno polje E = −dΦ/dy i pokažite da je razlika potencijala

između S i S' jednaka A ln 2, gdje je A (neodređena) konstanta.

(b3) Pomoću rješenja za električno polje iz (b2) nađite ukupnu struju između S i S' te pokažite da je

omski otpor jednak ln 2/αa2.

Zadatak 16.15 Razmotrite pojednostavljeni model (ili model ''sferne krave'') za bateriju spojenu na vanjski

strujni krug. Sfera polumjera a i vodljivosti σ uronjena je u homogeno sredstvo vodljivosti σ'. Unutar sfere

postoji jednolika sila na naboj koja je kemijskog porijekla, a usmjerena je u z-smjeru. Iznos električnog polja koji

odgovara ovoj sili je E0 . U stacionarnom stanju, električno polje postoji unutar i izvan ove sfere, a na sferi

također postoji i plošni naboj.

(a) Nađite električno polje (uz postojeće polje E0) i gustoću struje posvuda u prostoru.

(b) Odredite plošnu gustoću naboja po sferi i pokažite da je električni dipolni moment sfere jednak

3

04

2 '

a Ep

=

+

Uputa: rješavajte standardni rubni problem za sferne rubne plohe u elektrostatici, no dodajte još i uvjet na

gustoću struje

( )1 2 0− =J J n

na rubnoj plohi r = a koji slijedi iz jednadžbe kontinuiteta.

Zadatak 16.16 Vodljivi disk polumjera a, debljine δ i vodljivosti σc postavljen je u azimutalno-simetrično

magnetsko polje

0 ( ) , 0

0 ,

zB t R

R a

=

eB

tako da leži u xy-ravnini te se središte diska podudara s ishodištem.

(a) Odredite vektorski potencijal za ovo magnetsko polje u cijelom području, 0 ≤ ρ ≤ a.

(b) Odredite inducirano električno polje u cijelom području.

(c) Odredite gustoću struje u disku.

(d) Pokažite da je ukupna disipacija snage u disku

2

4 0 1 4ln8

c dB aP R

dt R

= +

Zadatak 16.17 Kvadratna petlja od žice stranice a postavljena je u ravninu sa žicom kroz koju protječe struja I

tako da je jedna od stranica paralelna žici i udaljena od žice za s.

(a) Koliki je tok magnetskog polja kroz petlju?

(b) Pretpostavimo da okvir počnemo vući okomito na žicu brzinom v. Kolika se elektromotorna sila stvori u

okviru? U kojem smjeru protječe struja kroz petlju, u smjeru kazaljke na satu ili u obrnutom smjeru?

(c) Da li se elektromotorna sila inducira ako petlju vučemo brzinom v paralelno žici?

Zadatak 16.18 Vodič oblika kvadratne petlje, duljine stranice a, postavljen je u prvi kvadrant xy ravnine tako

da je jedan vrh petlje u ishodištu, a stranice leže na koordinatnim osima. U području s petljom postoji magnetsko

polje B(y, t) = ky2t2ez , gdje je k konstanta. Nađite elektromotornu silu koja se inducira u vodiču.

Zadatak 16.19 Između dva veoma duga cilindra polumjera a i b (b > a) nalazi se vodič kojemu je provodnost

funkcija udaljenosti od osi

80


1

( ) lnka b

−

=

+

gdje je k konstanta. Ako je napon između cilindara V, koliki su otpor i struja po jediničnoj duljini? Struja

protječe radijalno, okomito na os cilindara.

Zadatak 16.20 Kružna petlja polumjera a, omskog otpora R i induktivnosti L vrti se u jednoliko kutnom

frekvencijom ω oko promjera koji je paralelan osi z. Petlja se nalazi u magnetskom polju H = H0ey .

(a) Odredite struju u petlji.

(b) Nađite moment sile na petlju.

(c) Izračunajte prosječnu snagu (prosjek po vremenu) koja je nužna za vrtnju petlje.

Zadatak 16.21 Polukružna žica giba se konstantnom brzinom v = v0ex u konstantnom magnetskom polju B =

B0ez . Kolika se elektromotorna sila inducira na krajevima žice?

Zadatak 16.22 Između dva veoma duga cilindra polumjera a i b nalazi se vodič kojemu je provodnost funkcija

udaljenosti od osi

( )k

=

gdje je k konstanta. Ako je napon između cilindara V, koliki su otpor i struja po jediničnoj duljini? Struja

protječe radijalno, okomito na os cilindara.

Zadatak 16.23 Metalna sfera polumjera a je do polovine uronjena u sredstvo nejednolike provodnosti σc kao

na slici. Za r > b, u području 1, provodnost je jednaka σc1 , a u području 2 za koje je a < r < b, jednaka je σc2 .

Pretpostavite da gustoća struje ima radijalan smjer, a ukupna struja sa sfere iznosi I. Pokažite da je omski otpor

sredstva jednak

1 2

1 1 1 1

2 2c c

Rb a b

= + −

ako je sfera na potencijalu V u odnosu na točku r → ∞.

81



17 Energija magnetskog polja. Kvazistatička aproksimacija

Zadatak 17.1 Veoma duge vodljive cijevi, tankih stijenki i kružnih poprečnih presjeka čiji su polumjeri R1 i

R2 (R1 < R2), postavljene su tako da im se geometrijske osi podudaraju. Duž cijevi polumjera R1 protječe struja I,

a duž cijevi polumjera R2 protječe struja −I.

(a) Izračunajte magnetsko polje u cijelom prostoru.

(b) Izračunajte samoinduktivnost po jediničnoj duljini za ovaj sustav vodiča.

Zadatak 17.2 Po tankom vodiču koji ima oblik pravokutnika stranica a i b, protječe struja I2 . Pravokutni

vodič smješten je u magnetsko polje tanke, beskonačne žice. Žicom protječe struja I1.

(a) Izračunajte koeficijent međuinduktivnosti za ovaj sustav.

(b) Kolikom silom djeluje žica na pravokutnu petlju?

(c) Struja I1 uključena je t = 0 i mijenja se u vremenu po formuli

( ) ( )1 0 1 tI t I e −= − ,

gdje je α konstanta, α > 0. Izračunajte inducirani napon u pravokutnoj petlji. Pretpostavite da je

samoinduktivnost ovog kruga zanemariva.

Zadatak 17.3 Tanke žice spojene su na elektrode kondenzatora koje imaju oblik diska polumjera a.

Udaljenost elektroda je mala u odnosu na polumjer ploča. Kondenzator se puni tako da žicama prolazi

konstantna struja I. Pretpostavimo da je naboj na pločama u svakom trenutku jednoliko raspodijeljen i jednak

nuli u trenutku t = 0.

(a) Nađite struju pomaka kroz krug polumjera ρ koji je koncentričan pločama i nalazi se između njih (slika (A)).

Koliko je magnetsko polje između ploča kondenzatora?

(b) Nađite struju pomaka kroz cilindričnu površinu sa slike (B). Ploha je zatvorena slijeva i otvorena sdesna.

Nađite struju (naboja). Koliko je magnetsko polje između ploča kondenzatora?

Zadatak 17.4 Dugi solenoid polumjera a ima n zavoja po jediničnoj duljini, a solenoidom protječe

vremenski-ovisna struja I(t) u smjeru e . Nađite električno polje (iznos i smjer) na udaljenosti ρ od osi, unutar i

izvan solenoida.

Uputa: koristite kvazi-magnetostatičku aproksimaciju (ili kraće, kvazistatičku aproksimaciju) u kojoj

zanemarujemo konačnu brzinu širenja elektromagnetskog (EM) vala, odnosno, uzimamo da se EM valovi

prošire trenutno do neke udaljenosti koja je mnogo manja od cτ. Kvazistatičku aproksimaciju računski uzimamo

u obzir tako da (u ovom slučaju) zanemarimo struju pomaka u Maxwellovim jednadžbama pa magnetsko polje

(A) (B)

Otvorena strana Zatvorena strana Krug

I I I I

82

17 ENERGIJA MAGNETSKOG POLJA. KVAZISTATIČKA APROKSIMACIJA

računamo pomoću jednadžbi magnetostatike. Jedan važan primjer gdje se kvazistatička aproksimacija koristi su

Kirchhoffova pravila u krugovima s vremenski promjenjivim strujama i naponima.

Zadatak 17.5 Beskonačnom žicom protječe konstantna struja I u ez smjeru. Žicu pomičemo u y smjeru

konstantnom brzinom v. Nađite električno polje u kvazistatičkoj aproksimaciji, u trenutku kada se žica podudara

sa z osi.

Zadatak 17.6 Naboj q jednoliko je raspodijeljen po površini šuplje sfere polumjera R. Sfera se početno vrti

konstantnom kutnom brzinom ω0 oko osi koja prolazi središtem sfere. U trenutku t = 0 počinje usporavati u

skladu s formulom

( ) 0

tt e −= ,

gdje je konstanta γ > 0.

(a) Koliko je inducirano električno polje u kvazistatičkoj aproksimaciji (Ḋ ≈ 0) u prostoru r > R?

(b) Pod kojim uvjetima smijemo zanemariti inducirano polje u odnosu na elektrostatsko polje, polje za t > 0?

(c) Kolika je energija zračenja sa sfere po jediničnom vremenu?

(d) Kolika je ukupna utrošena energija tijekom procesa usporavanja sfere?

Zadatak 17.7 Promotrite nemagnetično sredstvo električne provodnosti σ u magnetskom polju B(r, t).

Primijenite kvazistatičku aproksimaciju u kojoj je struja pomaka mnogo manja od vodljive struje.

(a) Počevši od diferencijalnog oblika Faradayevog zakona, pokažite da pretpostavka da se naboji ne

nagomilavaju u nekom malom volumenu, odnosno da vrijedi:

0 =J ,

navodi na zaključak da inducirana vrtložna gustoća struje u sredstvu zadovoljava diferencijalnu jednadžbu

2

0t

=

JJ .

(b) Pokažite da polja E i B zadovoljavaju istu jednadžbu kao u (a).

(c) Na kolokviju br. 2 izračunali ste da u kvazistatičkoj aproksimaciji za magnetska polja za koja vrijedi 0 =J B

možemo izvesti jednadžbu za struju

2 2 = −J J .

Identična jednadžba vrijedi i za magnetsko polje. Pomoću ove i jednadžbe iz (a) izračunajte kako električno i

magnetsko polje te vrtložne struje ovise o vremenu u ovom posebnom slučaju.

Zadatak 17.8 Prostor između dviju koncentričnih vodljivih sfera polumjera a i b (a < b) ispunjen je

dielektrikom relativne permitivnosti ϵr = 8,5. Između sfera primijenimo napon V = 150 sin(500t) volti. Nađite

vodljivu struju te struju pomaka i usporedite ih.

83



18 Zakoni očuvanja u elektrodinamici

Zadatak 18.1 Izračunajte snagu koja se prenosi sustavom od dva vodiča pomoću Poytingovog vektora u

sljedećim slučajevima:

(a) koaksijalni vodič, kod kojeg struja I protiče plaštom vanjskog vodiča polumjera b u jednom smjeru i kroz

unutrašnjost drugog vodiča polumjera a < b u drugom smjeru;

(b) dvije metalne vrpce širine w, a na razmaku h << w, kojima struja protječe u suprotnim smjerovima.

U oba slučaja razlika potencijala između vodiča iznosi V.

Zadatak 18.2 (a) Promotrite dva jednaka naboja q na međusobnoj udaljenosti 2a. Postavite ravninu okomitu

na spojnicu između naboja na jednaku udaljenost od oba naboja. Izračunajte silu između naboja tako da

integrirate Maxwellov tenzor naprezanja po ravnini.

(b) Izračunajte silu pod (a) ako naboji imaju različit predznak.

Zadatak 18.3 Promotrite pločasti kondenzator čija donja ploča ima gustoću naboja −σ i nalazi se na z = −d/2,

a gornja s gustoćom + σ nalazi se na z = d/2.

(a) Izračunajte Maxwellov tenzor naprezanja u području između ploča kondenzatora.

(b) Izračunajte silu na gornju ploču.

(c) Koliki je impuls po jediničnoj površini i jediničnom vremenu koji se prenosi ravninom xy ili ravninom koja je

paralelna s xy ravninom?

(d) Na pločama kondenzatora, impuls se absorbira pa se ploče privlače. Kolika je sila privlačenja? Usporedite s

(b).

Zadatak 18.4 Zamislite veoma dugi solenoid polumjera R s n zavoja po jediničnoj duljini kojim protječe

struja I i koji je učvršćen. Unutar i izvan solenoida postavljene su cilindrične ljuske polumjera a i b gdje je a < R

< b tako da im se osi podudaraju s osi solenoida. Ljuske su duljine l (a, b << l), po unutarnjoj je naboj +Q, a po

vanjskoj naboj −Q. Ako struju u solenoidu postepeno smanjujemo, cilindri se počinju vrtjeti. Pokažite da vrijedi

zakon očuvanja angularnog momenta za elektromagnetsko polje i cilindre.

Zadatak 18.5 Unutar sfere polumjera R nalazi se sredstvo s jednolikom polarizacijom P i jednolikom

magnetizacijom M. Vektori P i M nisu nužno u istom smjeru. Nađite elektromagnetski impuls ove

konfiguracije.

Zadatak 18.6 Kondenzator s paralelnim pločama sastoji se iz dva pravokutna, vodljiva ''lista'' duljine a i

širine b koji se nalaze na razmaku d, mnogo manjem od a i b. Harmoničku struju na ploče dovodimo i odvodimo

jednoliko duž stranice b.

(a) Izračunajte električno i magnetsko polje u kondenzatoru točno do članova drugog reda po potencijama

frekvencije. Pri tom zanemarite rubne efekte.

(b) Pokažite da je razvoj u red reaktancije (ulazna impedancija Z = R – iX)

( ) 3

2

4m e

Vi

X w w d rI

= −

po potencijama frekvencije do odgovarajućeg reda jednako izrazu koji se dobije razmatranjem titrajnog kruga u

kojem je kondenzator kapaciteta C = ϵ0ab/d i zavojnica induktivnosti L = μ0ad/3b. U izrazu za reaktanciju wm i

we su gustoće magnetske i električne energije.

Zadatak 18.7 Neka je Φ elektrostatski potencijal, a J gustoća struje. Pokažite da za statička električna i

magnetska polja vrijedi

S' = ΦJ

gdje je S' vektor koji je fizikalno ekvivalentan Poyntingovom vektoru.

Zadatak 18.8 Pokažite da za naboje i struje koji se nalaze u konačnom volumenu V vrijedi

d

dd

V

Vt

=p

J

gdje je p ukupni dipolni moment.

Uputa: izračunajte sljedeći integral

84

18 ZAKONI OČUVANJA U ELEKTRODINAMICI

( )dV

x V J

te koristite zakon očuvanja naboja (jednadžbu kontinuiteta).

Zadatak 18.9 Pretpostavimo da magnetski monopoli ipak postoje. Kako morate mijenjati Maxwellove

jednadžbe i Lorentzovu silu da uključite magnetski naboj?

Zadatak 18.10 Balon nabijen jednoliko nabojem q širi se brzinom v tako da mu je polumjer r u trenutku t

jednak r = vt. Prostornu gustoću naboja balona možemo izraziti pomoću delta-funkcije

2

( , ) ( )4

qr t r vt

r

= −

Zanimaju nas električno i magnetsko polje ove distribucije. U računu koji slijedi zanemarujemo retardacijske

efekte (efekti zbog širenja EM-vala konačnom brzinom c).

(a) Upotrijebite integralni oblik Gaussova zakona i pokažite da je električno polje

2

0

( , ) ( )4

r

qr t r vt

r

= −E e

gdje je θ(r − vt) Heavisideova step-funkcija definirana kao

1 ;

( )0 ;

r vtr vt

r vt

− =

i za nju vrijedi δ(ξ) = dθ(ξ)/dξ.

(b) Gustoća struje je J(r, t) = ρ(r, t)ver . Upotrijebite Maxwellovu jednadžbu

0 0 0

t

= +

EB J

i pokažite da je × B = 0.

(c) Pomoću

t

= −

BE

pokažite da je ∂/∂t = 0. Budući je B = 0 i pod (b) × B = 0, zaključujemo da je magnetsko polje ove

distribucije nula.

Zadatak 18.11 Cilindar radijusa R i beskonačne duljine načinjen je od feroelektrika. Vektor električne

polarizacije P posvuda u cilindru proporcionalan je udaljenosti od osi ρ, P = αρeρ , gdje je α pozitivna konstanta.

Cilindar se vrti oko svoje osi kutnom brzinom ω (brzina je nerelativistička, c >> Rω).

(a) Nađite električno polje E unutar i izvan cilindra.

(b) Nađite magnetsko polje B unutar i izvan cilindra.

(c) Kolika je ukupna energija elektromagnetskog polja po jediničnoj duljini kad cilindar miruje?

(d) Kolika je ukupna energija elektromagnetskog polja po jediničnoj duljini kad se cilindar vrti?

(e) Pojasnite razliku u energijama pod (c) i (d).

Zadatak 18.12 Točkasti naboj q nalazi se na udaljenosti a > R od osi beskonačnog solenoida kroz koji

protječe struja I, ima polumjer R, te n namota po jediničnoj duljini.

(a) Nađite impuls EM polja ovog sustava.

(b) Nađite angularni moment EM polja ovog sustava obzirom na ishodište.

Uputa: pod (a), postavite naboj q na x os, a os solenoida na z os koordinatnog sustava. Najprije izvršite

integraciju po z, a prilikom integracije po x i y prijeđite na polarne koordinate. Pretpostavite da se po solenoidu

ne inducira naboj zbog naboja q. Koristite integrale

2 2

2 2 2 20 0

cos 2 21 ,

cos cos

d A d

A B B A BA B A B

= − =

+ +− −

Zadatak 18.13 Točkasti naboj q smješten je u središtu toroidalne zavojnice pravokutnog poprečnog presjeka,

unutrašnjeg polumjera a, vanjskog polumjera a + w te visine h. Žica ove zavojnice je tijesno namotana u N

namotaja. Struja u zavojnici je I.

(a) Nađite elektromagnetski impuls p ove konfiguracije pretpostavljajući da su w, h << a pa možemo zanemariti

varijacije polja po poprečnom presjeku zavojnice.

85


(b) Struju I, zatim, naglo isključimo tako da se naboj gotovo ne pomakne iz svog početnog položaja u vremenu

kad magnetsko polje padne na nulu. Pokažite da je impus kojeg je primio naboj jednak početnom impulsu

elektromagnetskog polja.

Zadatak 18.14 Nabijeni kondenzator s ravnim pločama između kojih je električno polje E = Eez stavimo u

magnetsko polje B = Bex kao na slici. Površina ploča kondenzatora je A, a razmak između ploča je d.

(a) Nađite impuls EM polja za prostor između ploča kondenzatora.

(b) Između ploča priključimo žicu u z-smjeru koja služi kao otpornik kroz koji se kondenzator polagano prazni.

Na struju kroz žicu djeluje magnetska sila. Koliki je ukupni impuls sile na sustav tijekom pražnjenja

kondenzatora?

Zadatak 18.15 Dokažite teorem o toku (fluksu) gustoće impulsa EM polja: izvor magnetskog polja B0 je

stacionarna struja koju stvara nakupina naboja omeđena prostoru u volumenu V. Ovi su naboji pod utjecajem

vanjskog električnog polja E0 kojeg stvara raspodjela statičkih naboja koja nije nužno omeđena u prostoru

volumena V. Pokažite da je tok gustoće impulsa EM polja g = ϵ0(E0 × B0) kroz plohu koja omeđuje V jednak

nuli.

Uputa: upotrijebite teorem o divergenciji za integral koji opisuje tok gustoće impulsa EM polja.

Zadatak 18.16 Dvije koncentrične sferne ljuske nabijene su jednoliko nabojem +Q na polumjeru a te −Q na

polumjeru b (b > a). Ljuske postavimo u jednoliko magnetsko polje B = B0ez .

(a) Nađite angularni moment EM polja obzirom na ishodište.

(b) Magnetsko polje postepeno isključimo. Nađite moment sile na svaku od sfera i konačni angularni moment

sustava.

Zadatak 18.17 Dokažite teorem o toku (fluksu) gustoće impulsa EM polja: izvor magnetskog polja B0 je

stacionarna struja koju stvara nakupina naboja omeđena prostoru u volumenu V. Ovi su naboji pod utjecajem

vanjskog električnog polja E0 kojeg stvara raspodjela statičkih naboja koja nije nužno omeđena u prostoru

volumena V. Pokažite da je tok gustoće impulsa EM polja g = ϵ0(E0 × B0) kroz plohu koja omeđuje V jednak

nuli.

Uputa: upotrijebite teorem o divergenciji za integral koji opisuje tok gustoće impulsa EM polja.

Zadatak 18.18 Razmotrite točkasti magnetski dipol momenta m koji miruje u stacionarnom električnom polju

E(r). Postavite koordinatni sustav tako da je dipol u ishodištu. Rezultati pod (a), (b), (c) i (d) su pomoćni i

pomažu vam za konačnu relaciju dobivenu pod (g).

(a) Upotrebom teorema o divergenciji i relacije · J = 0 pokažite da za lokaliziranu, stacionarnu struju J vrijedi

( ) 3 3 3 0fg d r f gd r g fd r = + = J J J

gdje su f i g bilo koje diferencijabilne funkcije.

(b) Upotrijebite rezultat pod (a) i za f = 1 te g = xi pokažite da je

3 0iJ d r =

(c) Upotrijebite rezultat pod (a) i za f = xi te g = xj pokažite da je

( ) 3 0i j j ix J x J d r+ =

(d) Iskoristite rezultat pod (c) te pokažite da je

( ) ( )3 3 31 1

2 2iji j i j kj i k

k

x J d r x J x J d r d r= − = r J

(e) Pomoću teorema o divergenciji i relacije E = −Φ pokažite da je impuls EM polja zadanog sustava jednak

86


3

00em d r = Jp

(f) Upotrijebite razvoj u red za električni potencijal oko ishodišta

( ) ( ) ( )=

= + r 0

r 0 r r

te rezultat pod (b) da pokažete da vrijedi

0

3

0 ( )em d r= − 0 r Jp E

(g) Na koncu, pomoću (d) izvedite relaciju

0 0 ( )em = −p m E 0

87



19 Ravni EM val. Polarizacija

Zadatak 19.1 Magnetska komponenta ravnog EM vala u linearnom, izotropnom i nenabijenom dielektriku

relativne permitivnosti ϵr i relativne permeabilnosti μr zadana je izrazom

( ) ( ) ( ) ( )0 0, ,i t i

x yt e i e − = = + k rB r B r B r e e

gdje su α i γ realni brojevi. Pretpostavimo da je B(r, t) rješenje Maxwellovih jednadžbi.

(a) Da li B(r, t) zadovoljava homogenu valnu jednadžbu?

(b) Koja je veza između k i ω?

(c) Odredite smjer vektora k.

(d) Izračunajte električnu komponentu EM polja.

(e) Izrazite vremenski prosjek gustoće energije w pomoću α i γ.

(f) Izrazite vremenski prosjek Poyntingov vektor S pomoću α i γ. Kako su povezani w i S?

Zadatak 19.2 Provjerite direktnim uvrštavanjem da najopćenitiji oblik ravnog vala

( )( , )

1( , ) ( , )k

t ckt

t tc

⊥= −

=

E r E k r

B r e E r

zadovoljava četiri Maxwellove jednadžbe. Pri tome je = kc, ek = k/k, a simbol E⊥ označava da vektor

električnog polja titra u ravnini okomitoj na valni vektor k.

Zadatak 19.3 Pronađite i opišite EM polje koje je nastalo superpozicijom dvaju monokromatskih ravnih

valova, jednakih amplituda koji se gibaju u suprotnim smjerovima.

(a) Neka se lijevo cirkularno polarizirani val giba u smjeru +z, a desno cirkularno polarizirani val neka se giba u

smjeru −z smjeru.

(b) Neka se lijevo cirkularno polarizirani val giba u smjeru +z, a val iste polarizacije neka se giba u smjeru −z

smjeru.

Zadatak 19.4 Cirkularno polarizirani ravni val koji se giba u z smjeru ima konačnu širinu u x i y smjeru.

Pretpostavite da se amplituda modulacije sporo mijenja te pokažite da su električno i magnetsko polje približno

jednaki

( ) ( )( ) ( )0 0

0, , , ,i kz t

x y z

E Eix y z t E x y i i e

k x y

i

− = +

=

E e e e

B E

Zadatak 19.5 Izvedite formule za Stoksove parametre.

Zadatak 19.6 Zadane su vrijednosti Stokesovih parametara:

(a) s0 = 3, s1 = −1, s2 = 2, s3 = −2;

(b) s0 = 25, s1 = 0, s2 = 24, s3 = 7.

Izračunajte amplitudu električnog polja, te odredite polarizaciju vala. U slučaju eliptičke polarizacije odredite

duljine osi elipse po kojoj titra vrh vektora električnog polja. Pokažite da je kut zakreta elipse γ u odnosu na

početni koordinatni sustav jednak

( )1 2

2 12 2

1 2

2tan 2 cos

a a

a a = −

−

te ga izračunajte za slučajeve (a) i (b).

Zadatak 19.7 (a) Nađite sve matrične elemente Maxwellovog tenzora naprezanja Tij za monokromatski ravni

val koji se širi u z smjeru i koji je polariziran u x smjeru.

(b) Tenzor –Tij predstavlja gustoću toka impulsa. Kako je gustoća toka impulsa EM polja povezana s gustoćom

energije EM polja u ovom slučaju?

88



Zadatak 19.8 Neka je ℰ(t) = Re E(0, t) = a1 cos(ωt – δ1)e1 + a2 cos(ωt – δ2)e2 , električno polje opisano

ravnim valom u ishodištu (slika). Osim za slučaj linearne polarizacije, vrh vektora ℰ(t) giba se po elipsi. Pokažite

da je brzina kojem vektor ℰ(t) prebriše površinu unutar elipse jednaka

( )1 2 2 1

1sin

2

dAa a

dt = −

Gornja jednakost pokazuje da ℰ(t) prebriše jednake površine u jednakom vremenu na elipsi. Ova je tvrdnja slična

drugom Keplerovom zakonu s tom razlikom da je početak vektora ℰ(t) u središtu elipse dok je ishodište vektora

položaja u drugom Keplerovom zakonu u jednom od žarišta elipse.

Zadatak 19.9 Zadano je električno polje E(r, t)

( ) ( ) ( ), cos sinx yt kz t kz t = − + − − +E r e e

(a) Izračunajte magnetsko polje B(r, t)

(b) Istražite polarizaciju EM polja. Ako se radi o eliptičkoj polarizaciji, kolike su poluosi elipse?

Zadatak 19.10 Kružno polarizirani monokromatski val iz vakuuma upada pod kutom na ravninu koja razdvaja

vakuum i dielektrik. Odredite polarizaciju reflektiranog i propuštenog vala.

Zadatak 19.11 Elektromagnetski val se širi kroz linearni, homogeni i nenabijeni izolator.

(a) Magnetsko polje u ravnom valu je oblika

( ) ( )0, (4 3 )

i t

x yt B e −

= −k r

B r e e

gdje je B0 realan, a k = kez . Izračunajte električno polje i opišite njegovu polarizaciju.

(b) Električno polje u ravnom valu je oblika

( ) ( ) ( ), cos sinx yt kz t kz t = − + − − +E r e e

gdje su α i β realni. Izračunajte magnetsko polje i opišite njegovu polarizaciju.

Zadatak 19.12 Superpozicija dva ravna EM vala glasi:

( ) ( )

0 0

i kz t i kz t

x xE e E e − − += +E e e

gdje su amplitude polja E0 i E'0 realne i k = ω/c.

(a) Izračunajte gustoću energije EM vala u.

(b) Izračunajte Poyntingov vektor S i prosjek po vremenu S.

(c) Pokažite da, općenito, niti jedna veličina izračunata pod (a) i (b) nije jednaka sumi odgovarajućih veličina za

pojedninačne valove.

Zadatak 19.13 Transverzalni ravni EM val u vakuumu upada okomito na ravnu površinu koja savršeno upija

EM valove.

(a) Koristite zakon očuvanja impulsa i pokažite da je tlak zračenja koji djeluje na površinu jednak energiji EM

polja po jediničnom volumenu u valu.

(b) U blizini Zemlje tok elektromagnetske energije sa Sunca približno iznosi 1,4 kWm−2. Ako interplanetarna

letjelica (svemirsko jedro) ima jedro čija je masa po jediničnoj površini 1 gm−2, a masa ostatka letjelice je

zanemariva, koliko je maksimalno ubrzanje uslijed tlaka sunčevog zračenja? Koliko je to ubrzanje u odnosu na

ubrzanje koje bi jedro dobilo zbog Sunčeva vjetra? Sunčev vjetar je zračenje čestica, elektrona, protona i iona,

čija je prosječna brzina približno 450 kms−1, a prosječna gustoća približno 10 protona cm−3.

Zadatak 19.14 Električno polje za najjednostavniji sferni val ima oblik:

sin 1

( , , ) cos( ) sin( )r A kr t kr tr kr

= − − −

E e

89



gdje je A konstanta i ω = kc.

(a) Pokažite da E zadovoljava četiri Maxwellove jednadžbe u vakumu te nađite magnetsko polje B.

(b) Izračunajte Poyntingov vektor te nađite njegov vremenski prosjek Sτ . Koliki je intenzitet EM vala?

(c) Integrirajte Sτ · da (da je element površine) po sferi i izračunajte snagu zračenja.

90



20 Elektromagnetski valovi u jednostavnim sredstvima

Zadatak 20.1 Promatramo širenje vala po žici u 1D. Upadni val opisan je funkcijom gI (z − v1t) i širi se u

pozitivnom smjeru osi z po žici 1. Na spoju sa žicom 2, dolazi do refleksije i transmisije, a funkcije koje opisuju

reflektirani i transmitirani val su hR(z + v1t) i gT(z − v2t). Rubni uvjeti na spoju žica (z = 0) glase:

1 2

1 2

u u

u u

z z

=

=

gdje su u1 i u2 rješenja valne jednadžbe u području 1 (žica 1) i području 2 (žica 2), respektivno. Upotrijebite

navedene rubne uvjete da izrazite funkcije hR i gT pomoću gI uz pretpostavku da su sve funkcije diferencijabilne.

Zadatak 20.2 Izvedite Fresnelove formule za transmitirane amplitude u slučaju nemagnetičnog sredstva:

( )

( ) ( )

2cos sin

sin

2cos sin

sin cos

i t

i t

i t

i t i t

t

t

⊥ =+

=+ −

Zadatak 20.3 Ravni EM val upada okomito na granicu između dva optička sredstva. Nađite uvjet za indekse

loma kojim dobivamo jednake transmitirane i reflektirane intenzitete. Možemo li ovu činjenicu iskoristiti za

dijeljenje upadnog snopa u jednakom omjeru, 50:50 posto?

Zadatak 20.4 Ravni val koji se širi sredstvom 1 indeksa loma n1, okomito upada na graničnu ravninu s

dielektričnim slojem 2 širine d i indeksa loma n2. Nakon prolaska kroz sredstvo 2 i graničnu ravninu između

sredstva 2 i 3, val se nastavlja gibati kroz sredstvo 3 indeksa loma n3. Sva tri sredstva su nepermeabilna.

(a) Izračunajte koeficijente refleksije i transmisije. Prikažite koeficijente grafički kao funkciju kružne frekvencije

za tri slučaja: n1 = 1, n2 = 2 i n3 = 3; n1 = 3, n2 = 2 i n3 = 1; n1 = 2, n2 = 4 i n3 = 1.

(b) Sredstvo 1 je dio nekog optičkog sustava (npr. sustava leća), a sredstvo 3 je zrak (n3 = 1). Potrebno je

premazati graničnu plohu tankim dielektričnim slojem 2 indeksa loma n2 tako da se EM val frekvencije 0 ne

reflektira. Kolika je najmanja debljina sloja 2?

Zadatak 20.5 Optička svojstva posebne vrste materijala nazvane toploški izolatori (TI) opisana su relacijama

0

0

−

= +

= E B

BH

D

E

u kojima se javlja konstanta α0 = (ϵ0/μ0)1/2α, gdje je konstanta fine strukture

n1 n2 n3

Bi

Ei

d

k

91

20 ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U JEDNOSTAVNIM SREDSTVIMA

0

21

4

e

c

=

(a) Krenite od Maxwellovih jednadžbi za sredstvo u kojima nema slobodnih naboja ili struja. Pokažite da je

monokromatski ravni val rješenje jednadžbi za TI te nađite brzinu valova.

(b) Ravni val s linearnom polarizacijom upada okomito na ravnu površinu TI. Pokažite da transmitirani val

ostaje linearno polariziran no električno polje zarotirano za kut θF . Ova se rotacija naziva Faradayevom

rotacijom ravnine polarizacije.

(c) Pokažite da reflektirani val ostaje linearno polariziran no električno polje je zarotirano za kut θK . Ova se

rotacija naziva Kerrovom rotacijom ravnine polarizacije.

Zadatak 20.6 Ravni val se širi u homogenom i nemagnetičnom, ali anizotropnom dielektriku koji ima tenzor

permitivnosti ϵij . Odaberimo li koordinatni sustav tako da se podudara sa smjerovima svojstvenih vektora

(glavnim osima), komponente električnog pomaka D povezane su s makroskopskim električnim poljem

jednadžbama:

( )1,2,3i i iD E i= = ,

gdje su ϵi svojstvene vrijednosti matrice ϵij .

(a) Pokažite da ravni val frekvencije ω i valnog vektora k mora zadovoljavati jednadžbu:

( ) 2

0 0 + =k k E D .

(b) Pokažite da za dani valni vektor k = kek postoje dva različita moda širenja s različitim faznim brzinama v =

ω/k koje zadovoljavaju Fresnelovu jednadžbu:

23

2 21

0i

i i

h

v v=

=−

gdje su

0

1i

i

v

=

glavne brzine, a hi komponenta vektora ek duž i-te glavne osi.

(c) Pokažite da vrijedi

0a b =D D

gdje su Da i Db vektori električnog pomaka koji odgovaraju dvama modovima širenja vala.

Zadatak 20.7 (a) Upotrijebite Fresnelove jednakosti te izračunajte koeficijent refleksije i transmisije pri

okomitom upadu svjetlosti na graničnu plohu zrak-staklo. Za vrijednosti indeksa loma zraka uzimite ni = 1, a za

indeks loma stakla nt = 1,5.

(b) Mikrovalnu antenu koja zrači na frekvenciji = 10 GHz moramo zaštititi od vanjskih utjecaja plastičnom

opnom dielektrične konstante (ili relativne permitivnosti) 2,5. Kolika je minimalna debljina zaštitne opne koji

osigurava savršenu propusnost? Pretpostavite da val okomito upada na opnu i da je opna s obje strane omeđena

zrakom.

Uputa: pod (b), upotrijebite formulu za koeficijent transmisije T

Zadatak 20.8 Elektromagnetski val iz sredstva 1 upada na ravninu koja razdvaja optičko sredstvo 1 od

sredstva 2. Pri tome je sredstvo 2 optički rjeđe u odnosu na sredstvo 1, odnosno, n2 < n1 . Na granici se upadni

val razdvaja na reflektirani i transmitirani kao na slici. Za račune uzmite da je n1 = 2 i n2 = 1.

(a) Odredite kritični kut pri kojem počinje totalna refleksija.

92

20 ELEKTROMAGNETSKI VALOVI U JEDNOSTAVNIM SREDSTVIMA

(b) Neka je kut upada ϑ1 = θ1 fiksiran relacijom

1 1sin cos =

Odredite kut θ1 . Za kut loma ϑ2 = θ2 odredite sin θ2 i cos θ2 .

(c) Primijenite Fresnelove formule i izračunajte r⊥ i r‖ . Uzmite da je μ1 ≈ μ2 ≈ μ0 .

(d) Pomoću (c) pokažite da relativni fazni pomak δ između reflektiranih komponenti polja nije π/2.

(e) Izračunajte koeficijent refleksije R.

93



21 Disperzija. Apsorpcija

Zadatak 21.1 (a) Pokažite da dubina prodiranja u lošem vodiču (σ << ωϵ) ne ovisi o frekvenciji. Nađite

dubinu prodiranja za čistu vodu.

(b) Pokažite da je dubina prodiranja u dobrom vodiču (σ >> ωϵ) jednaka λc/2π, gdje je λc valna duljina EM vala u

vodiču. Nađite dubinu prodiranja u nanometrima za tipični metal σ ~ 107 Ω−1·m−1 u optičkom području ω ~ 1015

s−1·i pri tom pretpostavite ϵ ≈ ϵ0 i μ ≈ μ0 . Zašto su metali neprozirni?

(c) Pokažite da u dobrim vodičima magnetsko polje zaostaje u fazi za električnim za 45°. Nađite omjer njihovih

amplituda. Za numerički primjer, uzmite podatke iz dijela (b) ovog zadatka.

Zadatak 21.2 Linearno polarizirani EM val frekvencije ω u vakuumu okomito upada na ravnu površinu

nepermeabilnog sredstva električne vodljivosti σ i dielektrične konstante ϵr .

(a) Izračunajte amplitudu i fazu reflektiranog vala pomoću upadnog vala.

(b) Diskutirajte granične slučajeve veoma dobrog i veoma lošeg vodiča te pokažite da je za dobar vodič

koeficijent refleksije približno

1 2Rc

−

gdje je δ dubina prodiranja.

(c) Izračunajte koeficijent refleksije za granicu vakuum-srebro (μ1 = μ2 = μ0 , ϵ1 = ϵ0 , σ = 6 · 107 Ω−1·m−1 ) na

optičkim frekvencijama 4 · 1015 s−1.

Zadatak 21.3 U pojednostavljenom modelu ionosfera je sredstvo opisano dielektričnom konstantom (21.19) i

(21.20) iz Pregleda formula. Promotrimo Zemlju s takvim sredstvom koje naglo počinje na visini h i proteže se u

beskonačnost. Za valove čija je polarizacija okomita na ravninu upada (valovi koje emitira horizontalna antena) i

one kojima je polarizacija paralelna ravnini upada (valovi koje emitira okomita antena):

(a) Pomoću Fresnelovih jednadžbi za refleksiju i transmisiju pokažite da za ω > ωp postoji interval upadnih

kutova za koje refleksija nije totalna, no za veće kutove postoji totalna refleksija prema površini Zemlje.

(b) Radioamater s uređajem koji radi na valnoj duljini 21 m, u ranovečernjim satima može primati radiovalove

od radiostanica udaljenih više od 1000 km, no ne može od onih bližih. Pretpostavite da se radiovalovi reflektiraju

od F-sloja na visini od 300 km te izračunajte gustoću elektrona. Usporedite dobivenu vrijednost s maksimalnom

gustoćom ~ 2 · 1012 m−3 po danu i minimalnom ~ (2 − 4) · 1011 m−3 po noći.

Zadatak 21.4 Homogeni, izotropni i nepermeabilni dielektrik ima indeks loma n(ω) koji je, općenito,

kompleksan te se može opisivati apsorpcija.

(a) Pokažite da je opće rješenje za ravne valove u jednoj dimenziji oblika

( / ) ( ) ( / ) ( )1

( , ) ( ) ( )2

i t i c n x i c n xu x t d e A e B e

− −

−

= +

gdje je u(x, t) komponenta za E ili B.

(b) Ako je u(x, t) realan pokažite da vrijedi n(−ω) = [n(ω)]*.

(c) Neka su u(0, t) i ∂u(0, t)/∂x rubni uvjeti za funkciju u i njezinu derivaciju u x = 0. Pokažite da su tada

koeficijenti A(ω) i B(ω)

1 1 (0, )( ) (0, )

2 ( )2

1 1 (0, )( ) (0, )

2 ( )2

i t

i t

ic u tA dt e u t

n x

ic u tB dt e u t

n x

−

−

= −

= +

Zadatak 21.5 Pretpostavite da je konstanta gušenja γj = 0 i izračunajte grupnu brzinu valova vg za valove

oblika (19.14) pomoću aproksimativne formule (19.15) iz Pregleda formula. Pokažite da je vg < c čak i kada je v

> c.

Zadatak 21.6 Promatrat ćemo disperziju u dielektriku čija je polarizacija zadana izrazom:

= P E

(a) Nađite jednadžbu širenja za električno polje E(r, t) u ovom sredstvu.

(b) Nađite relaciju disperzije i polarizaciju za ravne valove koji se šire ovim sredstvom.

94



Zadatak 21.7 (a) Izračunajte vremenski prosjek gustoće energije elektromagnetskog ravnog vala u

vodljivom sredstvu. Pokažite da je doprinos magnetskog polja uvijek dominantan.

(b) Pokažite da je intenzitet vala jednak

2 2

02

tE e

−

Uputa: realno električno i magnetsko polje koji odgovaraju onima u formulama (19.7) iz Pregleda formula su:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

, cos

, cos

z

E x

z

E y

z t E e z t

z t B e z t

−

−

= − +

= − + +

E e

B e ,

gdje za realne amplitude polja vrijedi

2 2

0

0

1B

E

= +

.

Također, prisjetite se da je iznos kompleksnog valnog vektora povezan s njegovim realnim dijelom relacijom

cos =

Zadatak 21.8 Ravni val širi se kroz vakuum u smjeru pozitivne z-osi upada na savršeni vodič koji ispunjava

poluprostor z ≥ 0. Zbog refleksije u području z ≤ 0 rješenja za električno polje ima oblik:

0( , ) cos( ) cos( ) xz t E kz t kz t = − − +E e

(a) Nađite odgovarajuće magnetsko polje u području z ≤ 0.

(b) Prepostavimo li B = 0 unutar vodiča, nađite struju K po površini z = 0 iz rubnih uvjeta.

(c) Nađite magnetsku silu po jediničnoj površini i usporedite vremenski prosjek dobivene sile s tlakom zračenja

ϵE02.

Zadatak 21.9 Linearno polarizirani EM val E = E0exp(ik · r − iωt) upada okomito na ravnu ploču načinjenu

od izvrsnog vodiča (σ >> ωϵ0) debljine D. Pretpostavite da u prostoru oko vodiča i u vodiču vrijedi μ/μ0 = ϵ/ϵ0 =

1. U domaćoj zadaći ste pokazali da su amplitude reflektiranog i propuštenog vala koje su točne od prvog reda

po (ϵ0ω/σ)1/2, jednake:

( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

1

1 1

2

1 1

r

i

t

i

eE

E e e

E e

E e e

−

− −

−

− −

− −

− + +

− + +

gdje je

02(1 ) (1 )

(1 )

i ic

Di

= − = −

= −

i δ =(2/ωμ0σ)1/2 dubina prodiranja.

(a) Provjerite da u granicama D → 0 i D → ∞ dobijete valjane rezultate.

(b) Pokažite da, osim za ploče veoma male debljine, koeficijent transmisije glasi

( )

2 2 /

2 / 4 /

8 Re

1 2 cos(2 / )

D

D D

eT

e D e

−

− −=

− +

(c) Definirajte aproksimaciju ''vrlo male debljine'' koju ste koristili pod (b).

Zadatak 21.10 Elektromagnetski val frekvencije 106 Hz širi se u smjeru z-osi u aluminiju koji ispunjava

poluprostor z ≥ 0. Vodljivost aluminija iznosi 38,2 · 106 Ω−1·m−1, a njegova relativna permeabilnost je 1. Na

rubnoj ravnini vakuum-aluminij s unutrašnje strane z = 0+, električno polje ima amplitudu E0ex .

(a) Napišite izraz za električno polje u vodiču (aluminiju).

(b) Nađite dubinu prodiranja, brzinu vala i valnu duljinu u vodiču.

(c) Odredite magnetsko polje u vodiču.

(d) Nađite faznu razliku između električnog i magnetskog polja u svakoj točki unutar vodiča.

95



Napomena: Za (b) i (d) trebate dobiti numeričke rezultate.

Zadatak 21.11 (a) Koja frekvencija elektromagnetskog vala se mora upotrijebiti za komunikaciju s

podmornicom na dubini 100 m? Električna provodnost morske vode je 4,3 S·m−1.

(b) Na kojoj frekvenciji je dubina prodiranja u srebru jednaka 1 mm? Električna provodnost srebra je 3 · 107

S·m−1.

(c) Linearno polarizirani EM val E = E0exp(ik · r − iωt) upada okomito na ravnu ploču načinjenu od izvrsnog

vodiča (σ >> ωϵ0) debljine D. Pretpostavite da u prostoru oko vodiča i u vodiču vrijedi μ/μ0 = ϵ/ϵ0 = 1 te

diskutirajte refleksiju i transmisiju upadnog vala. Pokažite da su amplitude reflektiranog i propuštenog vala koje

su točne od prvog reda po (ϵ0ω/σ)1/2, jednake:

( )( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

2

2 2

1

1 1

2

1 1

r

i

t

i

eE

E e e

E e

E e e

−

− −

−

− −

− −

− + +

− + +

gdje je

02(1 ) (1 )

(1 )

i ic

Di

= − = −

= −

i δ =(2/ωμ0σ)1/2 dubina prodiranja.

Uputa: prisjetite se zadatka 20.4 i 21.2 s vježbi i ne zaboravite da je valni vektor u vodiču kompleksan!

96



22 Retardirani potencijali. EM polje točkastog naboja u gibanju

Zadatak 22.1 (a) Pretpostavimo da beskonačnom ravnom žicom protječe struja:

( )0, za 0,

, za 0.

tI t

kt t

=

gdje je k konstanta. Nađite generirano električno i magnetsko polje.

(b) Uzmite da je za t > 0 struja I(t) = q0δ(t) gdje je δ(t) Diracova delta funkcija te ponovo izračunajte električno i

magnetsko polje.

Uputa: pod (a) i (b), žica nije električki nabijena pa je skalarni potencijal nula.

Zadatak 22.2 Izvedite izraze za Liénard-Wiechertove potencijale pomoću retardiranih potencijala.

Zadatak 22.3 Promatrajmo nabijenu česticu koja se giba po putanji r' = w(tr). Pomoću izraza

( ) ( )r rt R c t t− = = −r w

gdje je tr retardirano vrijeme, izračunajte koliko je tr .

Zadatak 22.4 Čestica naboja q giba se po kružnici polumjera a konstantnom kutnom brzinom ω.

Pretpostavite da kružnica leži u xy ravnini sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava te da je naboj u t = 0 u

točki (a, 0) na pozitivnoj x osi. Nađite Liénard-Wiechertove potencijale za točke na z osi.

Zadatak 22.5 Pretpostavimo da su brzina v i akceleracija a kolinearne u trenutku tr kao što je slučaj kod

gibanja nabijene čestice po pravcu. Nađite kutnu razdiobu zračenja i snagu zračenja ako općenita relativistička

formula ima oblik:

( )

( )

22

2 2

2 5

0 0

1

16

R

rad

R

dP qE R

d Rc c

= =

e u aR u

e u

Integracija ove formule po prostornom kutu daje Liénardovu generalizaciju Larmorove formule. Primijetimo da

je polje Erad koje se pojavljuje u formuli polje zračenja.

Zadatak 22.6 (a) Nađite reakcijsku silu zračenja na česticu naboja q koja se giba proizvoljnom brzinom v po

pravcu.

(b) Pokažite da je taj rezultat konzistentan sa snagom zračenja kojeg emitira naboj q.

Zadatak 22.7 (a) Jednoliko nabijen štap duljine L i duljinske gustoće naboja λ klizi po x osi koordinatnog

sustava konstantnom brzinom v. U trenutku t = 0 ''stražnji'' kraj štapa S poklapa se s ishodištem, a ''prednji'' P s

točkom x = L. Stražnji kraj štapa je, onda, funkcija vremena xS = vt , a prednji xP = vt + L. Nađite retardirani

skalarni potencijal u ishodištu kao funkciju vremena za t > 0.

Uputa: najprije nađite retardirano vrijeme t1 za stražnji kraj i retardirano vrijeme t2 za prednji kraj, a zatim

odgovarajuće koordinate x1 i x2 . Ne vrijedi pretpostavka v << c!

(b) Da li je rezultat pod (a) u suglasju s Liénard-Wiechertovim potencijalima u granici L << vt uz λL = q?

Zadatak 22.8 Pretpostavimo da beskonačnom ravnom, nenabijenom žicom protječe struja:

( )0, za 0,

,(1 ), za 0.at

tI z t

kz e t−

=

−

gdje su k i a konstante. Nađite generirano električno polje.

Uputa: integral koji sadrži eksponencijalnu funkciju ne morate izračunati, jednostavno ga označite, na primjer, s

f(ρ, z, t).

x

v

O S P

97



Zadatak 22.9 (a) Pretpostavimo da su brzina v i akceleracija a ortogonalne u trenutku tr kao što je slučaj kod

jednolikog kruženja nabijene čestice. Nađite kutnu razdiobu zračenja ako općenita relativistička formula ima

oblik:

( )

( )

22

2 5

016

R

R

dP q

d

=

e u a

e u

gdje su u i a izračunate u trenutku tr .

(b) Kolika je ukupna snaga zračenja?

Uputa: postavite koordinatni sustav kao na slici. Oprez: vektor r na slici je ustvari vektor R, a vektor n je vektor

eR . Pogledajte i zadatak 21.5 kojeg smo riješili na vježbama.

Zadatak 22.10 Žicom koja je savijena u petlju na slici protječe struja

( ) ,I t kt t= − .

(a) Izračunajte vektorski potencijal A u ishodištu.

(b) Nađite električno polje u ishodištu.

(c) Zašto (nenabijena) žica generira električno polje? Zašto ne možete izračunati magnetsko polje pomoću izraza

za vektorski potencijal pod (a)?

Zadatak 22.11 (a) Odredite vektorski potencijal za sustav dvije beskonačno duge, paralelne tanke žice 1 i 2 na

udaljenostima ρ1 i ρ2 od točke promatranja P koja se nalazi u ravnini sa žicama. Udaljenost između žica je d.

Struja I0 u u žici 1 uključena je u t = 0, a struja I0 u žici 2 u t = t0 .

(b) Pomoću (a) napišite jednadžbu za trenutak t u kojem će vektorski potencijali žica u točki P biti jednaki. Ima

li ograničenja za t? Riješite ovu jednadžbu.

Zadatak 22.12 Nabijena čestica giba se tako da su brzina v i akceleracija a ortogonalne u trenutku tr kao na

slici.

(a) Nađite kutnu razdiobu snage zračenja ako općenita relativistička formula ima oblik:

98



( )

( )

22

2 2

2 5

0 0

1

16

R

rad

R

dP qE R

d Rc c

= =

e u aR u

e u

gdje su brzina u = ceR − v i akceleracija a izračunate u trenutku tr . Oprez: na slici je n ≡ eR .

(b) Kolika je kutna razdioba granici v/c << 1? Nađite snagu zračenja u ovoj granici.

Zadatak 22.13 Čestica mase m i naboja q pričvršćena je na oprugu konstante k koja visi sa stropa (slika).

Ravnotežni položaj čestice je na udaljenosti h iznad poda. Česticu pomaknemo prema dolje za d ispod

ravnotežnog položaja i u trenutku t = 0 pustimo da titra.

(a) Ako vrijedi d << λ << h, izračunajte intenzitet zračenja koje upada na pod kao funkciju od udaljenosti R od

točke koja leži točno ispod naboja. Računajte intenzitet kao prosječnu snagu po jediničnoj površini na podu.

(b) Za koji R zračenje ima najveći intenzitet? Zanemarite prigušenje oscilatora zbog zračenja.

(c) Pretpostavite da je pod beskonačna ravnina i izračunajte prosječnu energiju po jediničnom vremenu koja

upada na pod. Da li ste dobili očekivani rezultat?

(d) Sustav gubi energiju zbog zračenja pa će amplituda postepeno opadati. Nakon kojeg vremena τ će amplituda

pasti na vrijednost d/e? Pretpostavite da je dio od ukupne energije koji se izgubi u jednom ciklusu veoma mali.

Zadatak 22.14 Upotrijebite Liénard-Wiechertove potencijale te izračunajte vremenski prosjek raspodjele

snage po prostornom kutu za nerelativističku čestricu naboja e koja se giba

(a) po z osi po zakonu

( ) ( )0cosz t a t=

(b) po kružnici polumjera R u xy ravnini konstantnom kružnom frekvencijom ω.

Uputa: potencijale i polje ne morate računati, koristite već izvedene formule iz Pregleda formula.

Zadatak 22.15 Pretpostavimo da beskonačnom ravnom žicom protječe struja:

( )0

0, za 0,

, za 0.

tI t

I t

=

gdje je I0 konstanta.

(a) Nađite generirano električno i magnetsko polje.

(b) Kako glase polja u zoni zračenja, daleko od žice? Vrijedi li u ovom slučaju dugovalna aproksimacija?

(b) Koliki je Poyntingov vektor u zoni zračenja i kutna raspodjela snage zračenja?

Zadatak 22.16 Pretpostavimo da beskonačnom ravnom žicom protječe struja:

( ) 2

0, za 0,

, za 0.

tI t

kt t

=

gdje je k konstanta. Nađite generirano električno i magnetsko polje.

Zadatak 22.17 Struja I protječe kroz žicu čiji je oblik zadan parametarskim jednadžbama:

( )( )

( )( )

( )( )

4 3

2 3/2 22 2 2

1 2 2, ,

1 1 1x y z

+= = =

+ + +

gdje parametar λ ima vrijednost −∞ < λ < ∞.

(a) Pokažite da se žica nalazi na sferi polumjera 1.

(b) Pokažite da je retardirani vektorski potencijal u ishodištu jednak retardiranom vektorskom potencijalu na

beskonačnoj udaljenosti od žice. Kolika je ta vrijednost potencijala?

99



Zadatak 22.18 Čestica naboja q i akceleracije aez početno se giba brzinom v(tr) = v0ez . Brzina čestica je u

svakom trenutku puno manja od brzine svjetlosti.

(a) Napišite izraz za električno polje u zoni zračenja u ovoj aproksimaciji. Smijete koristiti Pregled formula.

(b) Odredite kutnu razdiobu polja zračenja (Poyntingov vektor) te kutnu razdiobu snage zračenja.

(c) Odredite ukupnu snagu zračenja.

Zadatak 22.19 Izvedite Jefimenkove jednadžbe iz retardiranih potencijala.

Zadatak 22.20 Čestica naboja q trenutne brzine v jednoliko usporava deceleracijom a duž osi z.

(a) Pokažite da je maksimum zračenja opažen pri kutu θ0 za kojeg je

2

0

1cos 1 15 1

3

= + −

(b) Upotrijebite rezultat pod (a) i pokažite da za ultrarelativističke čestice β ≈ 1 vrijedi

( )0

11

2 −

(c) Koliki je cos θ0 u granici β → 0?

Uputa: pod (a), prisjetite se rezultata s vježbi

( )

2 2 2

0

2 5

sin

16 1 cos

q adP

d c

=

−

Zadatak 22.21 Čestica naboja q početne brzine v0 jednoliko usporava deceleracijom a duž osi z. Odredite

ukupnu energiju zračenja

0

( )W P t dt

=

Koliki je rezultat u granici v0/c = β0 → 0?

Uputa: prisjetite se rezultata s vježbi za ukupnu snagu zračenja u ovom slučaju

2 2 6

0

6

q aP

c

=

Brzina u laboratorijskom sustavu glasi v = v0 – at.

Zadatak 22.22 Na vježbama smo izveli izraz za ukupnu snagu zračenja za česticu kojoj su brzina i

akceleracija paralelni

2 2 6

0

6

q aP

c

=

(a) Napišite ovaj izraz pomoću brzine promjene impulsa elektrona dp/dt, gdje je impuls p = m0cβγ.

(b) Energija elektrona po jediničnoj duljini puta u linearnom akceleratoru povećava se kao dW/dx = 1 MeV·m−1.

Izračunajte snagu zračenja takvog elektrona.

(b) Je li snaga zračenja značajan dio uložene snage?

Uputa: pod (b), prisjetite se da je dp/dt = dW/dx, gdje je W energija čestice u laboratorijskom sustavu.

100



23 Zračenje električnog dipola. Zračenje magnetskog dipola i električnog kvadrupola

Zadatak 23.1 Pokažite da električni monopol (ukupni naboj) raspodjele nema utjecaj na zračenje. Da li

možemo isto zaključiti i za proizvoljnu sferno-simetričnu raspodjelu naboja koja titra u radijalnom smjeru?

Zadatak 23.2 Nađite potencijale i polja vremenski promjenjivog, točkastog električnog dipola p(t) čija je

gustoća naboja

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), t t t = − = − r p r p r

Koji članovi u EM polju generiraju zračenje?

Zadatak 23.3 Električni dipol koji se vrti možemo razmatrati kao superpoziciju dva dipola s harmoničkom

ovisnošću o vremenu: jedan dipol titra harmonički duž osi x, a drugi duž osi y s pomakom u fazi π/2.

0 cos( ) sin( )x yp t t = + p e e

(a) Upotrijebite princip superpozicije i formule za električno i magnetsko polje dipola koji harmonički titra u

vremenu te nađite polja rotirajućeg dipola.

(b) Nađite Poyntingov vektor i intenzitet zračenja.

(c) Skicirajte intenzitet kao funkciju polarnog kuta θ.

(d) Izračunajte ukupnu snagu zračenja.

Zadatak 23.4 Pretpostavimo da po električki neutralnoj yz ravnini protječe vremenski ovisna, no jednolika

plošna struja K(t)ez .

(a) Nađite električno i magnetsko polje na visini x iznad ravnine, ako

(i) uključimo konstantnu struju u trenutku t = 0:

0

0, 0( )

, 0

tK t

K t

=

(ii) uključimo struju koja linearno raste u vremenu u trenutku t = 0:

0, 0

( ), 0

tK t

t t

=

(b) Pokažite da se retardirani vektorski potencijal može napisati u obliku

0

0

( , )2

z

c xx t K t u du

c

= − −

A e

pa pomoću ove formule izračunajte E i B.

(c) Pokažite da je ukupna snaga zračenja po jediničnoj površini plohe jednaka

20 ( )

2

cK t

Objasnite što podrazumijevate pod pojmom zračenje budući da izvori nisu lokalizirani.

Zadatak 23.5 Izračunajte električno i magnetsko polje oscilirajućeg magnetskog dipola bez aproksimacije r

>> c/ω. Imaju li polja poznati oblik? Nađite Poyntingov vektor i pokažite da je intenzitet zračenja točno onakav

kakav bi bio i upotrebom aproksimacije r >> c/ω.

Zadatak 23.6 Kao model električnog kvadrupolnog zračenja, promotrite dva suprotno orijentirana električna

dipola na udaljenosti d kao na slici. Upotrijebite izraze za zračenje električnog dipola pri čemu treba uzeti u obzir

da dipoli nisu smješteni u ishodištu. Uzmite u obzir članove prvog reda po d i nađite:

(a) Skalarni i vektorski potencijal.

(b) Električno i magnetsko polje.

(c) Poyntingov vektor i snagu zračenja te skicirajte intenzitet kao funkciju od θ.

101

23 ZRAČENJE ELEKTRIČNOG DIPOLA. ZRAČENJE MAGNETSKOG DIPOLA I ELEKTRIČNOG KVADRUPOLA

Zadatak 23.7 Tanki prsten polumjera b načinjen od izolatora, postavljen je u xy ravninu tako da se središte

prstena podudara s ishodištem. Na prstenu se nalazi naboj duljinske gustoće λ = λ0 sin ϕ, gdje je λ0 konstanta, a ϕ

je polarni kut. Prsten zavrtimo kutnom brzinom ω oko z osi. Izračunajte snagu koju zrači ovaj sustav.

Zadatak 23.8 Savršeni (točkasti) dipol smješten je u ishodištu koordinatnog sustava čiji dipolni moment ima

smjer ez te ovisi o vremenu:

2

0

1( )

2zt p t=p e

(a) Nađite točne izraze za električno i magnetsko polje za r > 0. Postoji i dio razmjeran delta funkciji koji

opisuje polja u ishodištu no možete ga zanemariti.

(b) Izračunajte snagu P(r, t) koja prođe kroz sferu polumjera r.

(c) Izračuanjte ukupnu snagu zračenja.

Uputa: pod (a), za proračun električnog potencijala uzmite efektivnu gustoću naboja

( , ) ( ) ( )t t = − r p r

prilikom integracije po prostoru. Za proračun vektorskog potencijala za struju uzmite

2 0( )( ) , ( ) ,

2z z

pdq tI t q t kt kd

dt= = =e e

prilikom integracije po z i aproksimirajte R = |r – r'| → r. Oba potencijala izrazite u sfernim koordinatama.

Zadatak 23.9 Promotrimo izolirani sustav N nabijenih čestica u gibanju kod kojih je omjer naboja i mase

qi/mi jednak za sve čestice. Pokažite da je kvadrupolno zračenje ovog sustava u dugovalnoj granici λ >> d

dominantno tako da pokažete da su električno i magnetsko dipolno zračenje sustava jednaki nuli, odnosno, da je

0

0

=

=

p

m

gdje su električni dipolni moment i magnetski diplni moment sustava jednaki

1

1

1

2

N

i i

i

N

i i i

i

q

q

=

=

=

=

p r

m r v

Zadatak 23.10 Električni dipol momenta p = p0exp(−iωt) nalazi se blizu savršeno vodljive ravnine na

udaljenosti b << λ = 2πc/ω. Pretpostavimo da je kut između p i ez jednak α.

(a) Nađite sliku dipola tako da razmotrite transformacijska svojstva veličina u definiciji dipolnog momenta

3 ( , , )d r x y z= p r

(b) Koristite metodu slika i nađite prosječnu snagu zračenja ovog sustava. Kolika je snaga za α = π/2 tj. kad je

dipol paralelan ravnini?

Zadatak 23.11 Struja I(t) protječe po kružnoj petlji prikaznoj na slici. Pokažite da je ukupna snaga zračenja

ovog sustava

2

0

36

mP

c

=

gdje je m(t) magnetski moment petlje.

102

23 ZRAČENJE ELEKTRIČNOG DIPOLA. ZRAČENJE MAGNETSKOG DIPOLA I ELEKTRIČNOG KVADRUPOLA

103

LITERATURA

Batygin V. V., Toptygin I. N., Problems in electrodynamics, Academic Press, London, 1978.

Griffiths D. J., Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Prentice-Hall, New Jersey, 2012.

Heald M. A., Marion J. B., Classical Electromagnetic Radiation, 3rd ed., Dover, Mineola,

2012.

Jackson J. D., Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley, New York, 1998.

Jefimenko O. D., Electricity and Magentism, 2nd ed., Electret Scientific Company,

Waynesburg, 1989.

Labinac V., Riješeni zadaci iz elektrostatike i magnetostatike, Filozofski fakultet u Rijeci,

Rijeka, 2003.

Lim Yung-kuo, Problems and Solutions on Electromagnetism, World Scientific, Singapore,

1993.

Milić B. S., Zbirka zadataka iz teorijske fizike, 2.dio, BIGZ, Beograd, 1971.

Nayfeh M. H., Brussel M. K., Electricity and Magnetism, Dover, Mineola, 2015.

Zangwill A., Modern Electrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 2013.

104

Documents

Velimir Labinac - UNIRI