VEKTORIAIVEKTORIAIPLOKŠTUMOJPLOKŠTUMOJ

EE

VEKTORIUMI VADINAMA VEKTORIUMI VADINAMA KRYPTINKRYPTINĖ ATKARPA T.Y. Ė ATKARPA T.Y. ATKARPA KURIOS ATKARPA KURIOS NURODYTA PRADŽIA IR NURODYTA PRADŽIA IR PABAIGA.PABAIGA.

Taškas Taškas AA yra vektoriaus pradžia, yra vektoriaus pradžia, Taškas Taškas BB yra vektoriaus pabaiga. yra vektoriaus pabaiga. →→ Vektorius Vektorius žymimas žymimas AB;AB; → → B B Spindulio Spindulio ABAB kryptis vadinama kryptis vadinama a a →→ vektoriaus vektoriaus ABAB kryptimi kryptimi A A Atkarpos Atkarpos ABAB ilgis yra vektoriaus ilgis yra vektoriaus →→ ABAB ilgis. ilgis.

VEKTORIŲ RŪŠYS

NULINIAI VEKTORIAI

VIENETINIAIVEKTORIAI

KOLINEARIEJIVEKTORIAI

PRADŽIA PRADŽIA SUTAMPASUTAMPA

SU PABAIGA,SU PABAIGA,ŽYMIMAS 0ŽYMIMAS 0

ARBA 0.ILGISARBA 0.ILGISLYGUS NULIUI.LYGUS NULIUI.

ILGIS LYGUSILGIS LYGUSVIENETUI.VIENETUI.

KOLINEARIEJI VEKTORIAI

VIENAKRYPČIAI

ŽYMIMA a b

PRIEŠPRIEŠIAI

ŽYMIMA c ↓↑ d

DU NENULINIAI VEKTORIAI, KURIEYRA VIENOJE TIESĖJE ARBALYGIAGRAČIOSE TIESĖSE.

Vadinami LYGIAIS, jei jų ilgiai vienodi Vadinami PRIEŠINGAIS, jei jų ilgiai vienodi

VEKTORIŲ SUDĖTISVEKTORIŲ SUDĖTIS

DVIEJŲ VEKTORIŲ SUDĖTIES TRIKAMPIODVIEJŲ VEKTORIŲ SUDĖTIES TRIKAMPIO

→ → → →

TAISYKLĖTAISYKLĖ – vektorių – vektorių aa ir ir bb suma vadinamas toks suma vadinamas toks

→ →→ →

vektorius vektorius cc kurio pradžia sutampa su vektoriaus kurio pradžia sutampa su vektoriaus aa

→ →

pradžia, o pabaiga – su vektoriaus pradžia, o pabaiga – su vektoriaus bb pabaiga. pabaiga.

PavyzdysPavyzdys

11. 2. . 2. → → →→ → →

→ → → → c = a + bc = a + b

a ba b

→ → → →

a b a b

LYGIAGRETAINIO TAISYKLĖLYGIAGRETAINIO TAISYKLĖ – dviejų nekolinearių – dviejų nekolinearių

→ → → →

vektorių vektorių aa ir ir bb suma yra vektorius, vaizduojamas suma yra vektorius, vaizduojamas

lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės yralygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės yra

→ → → →

vektoriai vektoriai aa ir ir bb, įstrižaine, einančia iš minėtų vektorių, įstrižaine, einančia iš minėtų vektorių

bendros pradžios.bendros pradžios.

PavyzdysPavyzdys

1. 2.1. 2. → →

a a →→

→ → a a →→

bb cc → →

bb

VEKTORIŲ SUDĖTIES DĖSNIAIVEKTORIŲ SUDĖTIES DĖSNIAI

→ → → →→ → → →

a a + b = b + a + b = b + a ((sudėties perstatomumo dėsnis)sudėties perstatomumo dėsnis)

→ → → → → →→ → → → → →

(a (a + b) + c = a + (b + c) + b) + c = a + (b + c) (su(sudėties jungiamumo dėties jungiamumo dėsnis)dėsnis)

→ →→ →

a a + 0 = a+ 0 = a

VEKTORIVEKTORIŲ ATIMTISŲ ATIMTIS

→ → → → → → → → a – b = a + (- b)a – b = a + (- b) → → → →VEKTORIVEKTORIŲ ATIMTIES TAISYKLĖ Ų ATIMTIES TAISYKLĖ – vektorių a ir b skirtumu– vektorių a ir b skirtumu → → vadinamas toks vektorius, kurio pradžia yra vektoriaus bvadinamas toks vektorius, kurio pradžia yra vektoriaus b → → pabaiga, o pabaiga – vektoriaus a pabaiga.pabaiga, o pabaiga – vektoriaus a pabaiga. → → → → a a → →a a → →

1.1. →→ 2. 2. a - ba - b

b →b → bb

VEKTORIAUS DAUGYBA IŠ SKAIČIAUSVEKTORIAUS DAUGYBA IŠ SKAIČIAUS

→ →

Nenulinio vektoriaus a ir skaičiaus k ≠ 0Nenulinio vektoriaus a ir skaičiaus k ≠ 0 → → → →

sandauga vadinamas vektorius ka sandauga vadinamas vektorius ka = b, = b, kurio ilgiskurio ilgis → → → → → →

││k││a│; vektoriai a ir ka yra vienakrypčiai, kai k>0,k││a│; vektoriai a ir ka yra vienakrypčiai, kai k>0,

priešpriešiai, kai k<0priešpriešiai, kai k<0; ; šie vektoriai yrašie vektoriai yra kolinearūs kolinearūs → →→ → ½½a aa a

kk = ½ = ½ → →

k = - ½k = - ½ - -½½aa

PAGRINDINĖS VEKTORIAUS IR PAGRINDINĖS VEKTORIAUS IR SKAIČIAUS DAUGYBOS SAVYBĖSSKAIČIAUS DAUGYBOS SAVYBĖS

→→ →→

(kl)a (kl)a = k(la) = k(la) (jungiamumo (jungiamumo dėsnis)dėsnis)

→→ → → →→ → →

k(a + b) = ka + kbk(a + b) = ka + kb ( I skirstomumo dėsnis)( I skirstomumo dėsnis)

→ → →→ → →

(k + l)a = ka + la(k + l)a = ka + la ( II skirstomumo dėsnis)( II skirstomumo dėsnis) → → → →

(-1)a = -a(-1)a = -a

VEKTORIAUS REIŠKIMAS VEKTORIAUS REIŠKIMAS KOORDINATINIAIS VEKTORIAISKOORDINATINIAIS VEKTORIAIS

→ →→ → PPlokštumos vektoriuslokštumos vektorius OA = a OA = a yy iišreiškiamas koordinatiniais šreiškiamas koordinatiniais → → →→ → → → → AA vektoriais: vektoriais: a = x i +y ja = x i +y j yjyj → → a a x x ir ir yy – vektoriaus a koordinat – vektoriaus a koordinatės;ės; → → → → →→

j j i i { {1; 01; 0}} ir ir jj {{0; 10; 1}} - koordinatiniai - koordinatiniai → →→ →

vektoriai (|vektoriai (| i i | | = | j | == | j | = 1) 1) 0 → → x0 → → x i i xixi

VEKTORIVEKTORIŲ SUMOS, SKIRTUMO, VEKTORIAUS Ų SUMOS, SKIRTUMO, VEKTORIAUS IR SKAIČIAUS SANDAUGOS KOORDINATĖSIR SKAIČIAUS SANDAUGOS KOORDINATĖS

→ → → → → → → →

1.1. Vektoriaus Vektoriaus a + ba + b koordinat koordinatės, jeiės, jei aa {{xx11; y; y11}}, , bb {{xx22;y;y22}, },

yra yra {{xx11+ x+ x22; y; y11 + y + y2 2 }} . .

→ → → →→ → → →

2.2. VektoriausVektoriaus a – ba – b koordinat koordinatės, jeiės, jei aa {{xx11; y; y11}},, bb {{xx22;y;y22},},

yra yra {{xx11 – x– x22; y; y11 – y – y22}} . .

→ →→ →3.3. k kaa koordinat koordinatės, jeiės, jei aa {{x; yx; y}, k – turimas }, k – turimas skaičius,skaičius,yra yra {{kx; ky} kx; ky} ..

→→

Vektoriaus a {x; y} ilgį galima apskaičiuoti Vektoriaus a {x; y} ilgį galima apskaičiuoti taikant formulę: taikant formulę: 22 yxa

→ → → →

DviejDviejų nenulinių plokštumos vektorių ų nenulinių plokštumos vektorių aa ir ir bb skaliarinė sandauga:skaliarinė sandauga:αα - kampas tarp vektorių. - kampas tarp vektorių.

→ → → →

Jei Jei aa {x {x11;y;y11} ir } ir bb {x {x22;y;y22}, tai jų skaliarinė sandauga }, tai jų skaliarinė sandauga

išreiškiama formule:išreiškiama formule:

cosbaba

2121 yyxxba

VEKTORIŲ SKALIARINĖS VEKTORIŲ SKALIARINĖS SANDAUGOS SAVYBĖSSANDAUGOS SAVYBĖS

→ → → → → → → →11.. a a22 = a · a = |a| = a · a = |a|22 (vektoriaus skaliarinis (vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus to vektoriaus ilgio kvadratui)kvadratas lygus to vektoriaus ilgio kvadratui) → → → →→ → → →2.2. a · b = b · a a · b = b · a → → → → → → → →3.3. (ka) · b = k (a · b) (ka) · b = k (a · b) → → → → → → → → → → → → → →4.4. (a + c) · b = a · b + c · b (a + c) · b = a · b + c · b

DVIEJDVIEJŲ VEKTORIŲ STATMENUMO Ų VEKTORIŲ STATMENUMO SĄLYGA – jei ,tai a SĄLYGA – jei ,tai a ·· b b = = xx11 · x · x22 + y + y11

· y· y22 = 0 = 0

KAMPAS TARP VEKTORIKAMPAS TARP VEKTORIŲ – Ų – tai kampas tai kampas tarp jtarp jų krypčių.ų krypčių.

ba

22

22

21

21

2121cosyxyx

yyxx

ba

ba

DVIEJDVIEJŲ NENULINIŲ VEKTORIŲ Ų NENULINIŲ VEKTORIŲ KOLINEARUMO POŽYMISKOLINEARUMO POŽYMIS

→ → → →Du vektoriai a ir b yra kolinearDu vektoriai a ir b yra kolinearūs, jei egzistuoja toksūs, jei egzistuoja toks

realusis skaičius k ≠ 0, su kuriuo būtų teisinga lygybėrealusis skaičius k ≠ 0, su kuriuo būtų teisinga lygybė→ →→ → b b = ka .= ka . → → → →Jei du plokJei du plokštumos vektoriai a {xštumos vektoriai a {x11;y;y11} ir b {x} ir b {x22;y;y22} yra } yra

kolinearūs,tai jų atitinkamos koordinatės yrakolinearūs,tai jų atitinkamos koordinatės yra

proporcingos t.y.proporcingos t.y. Rkky

y

x

x ,

1

2

1

2

ATKARPOS VIDURIO TAŠKO ATKARPOS VIDURIO TAŠKO KOORDINATĖSKOORDINATĖS

yy C C – – atkarposatkarpos AB vidu-AB vidu-

BB (x(x22;y;y22)) rio taškas.rio taškas.

Taško C koordinatės Taško C koordinatės

CC (x;y)(x;y) randamos remiantis randamos remiantis

formulėmis: formulėmis: AA (x(x11;y;y11))

00 x x 221 xx

x

2

21 yyy

ATSTUMAS TARP DVIEJŲ TAŠKŲATSTUMAS TARP DVIEJŲ TAŠKŲ

BB

yy22 – y – y11

A A xx2 2 - x- x11 C C

2122

12 yyxxAB

SSĖKMĖS ĖKMĖS MOKANTISMOKANTIS!!

Parengė Parengė

33aakl. gimnazistėkl. gimnazistė