Vectores

os cientficos e ingenieros utilizan las matemticas como una herra-mienta bsica para describir el comportamiento de los sistemas fsi-cos. Las cantidades fsicas que tienen propiedades de magnitud y dedireccin son representadas por vectores. Algunos ejemplos de canti-

dades vectoriales son la fuerza, la velocidad y la aceleracin. El primer intersde este captulo es en el lgebra de vectores y sobre algunas propiedades genera-les de los vectores. Se discutir la suma y resta de vectores junto con algunasaplicaciones comunes a situaciones fsicas. La discusin del producto de vecto-res se realizar hasta que estas operaciones sean necesarias.l

A 1o largo de todo l texto se usarn los vectores, por lo que es importante queel estuante deber familiarizarse tanto con las propiedades algebraicas como conlas graficas.

I El producto punto o escalar se ver en la seccin 7.3, y el producto cruz o vectorial se presentar enla seccin 11.2.

Lr.;s oelAos se puedat u.ffirpara deterrninar La direccind,el oector oelocdad d.el entoa cualquier instante, (@ PatLa Croix, The IMAGE Bank).

25

'/ I -iTSTCHES

Figura 2.1 Designacin de puntosen un sistema de coordenadas carte-siano. Cada punto se designa con lascoordenadas (*, .

A,/l

seno:! / i, ',,,,

"crsg:I -/ Ir r' i.. ,'' ;a

tan o:! /r if./i iA,E :/' \" _*__-*"

""" *. iT

b)Figura 2.2 a) Las coordenadas po-lares planas de un punto se repre-sentan por la distancia r y el ngulod. b) Tringulo rectngulo que seutiliza para relacionar (x, g) con (r,o).

f",1 5;,r.n.,q'.U**S DE COORDENADAS Yi14F $;lc' l{'} nE REFERENCLA

Muchos aspectos de la fsica tratan, de una forma u otra, con posiciones en el espa-cio. Por ejemplo, la descripcin matemtica del movimiento de un objeto requiereun mtodo para describir la posicin del objeto. Entonces, es conveniente quizsque primero se discuta cmo se describe la posicin de un punto en el espacio, locual se efecta por medio de coordenadas. Un punto en una lnea se describe conuna coordenada. Un punto en un plano se localiza con dos coordenadas, y se re-querirn tres coordenadas para localizar un punto en el espacio.

Un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacioconsta de:

l. Un punto de referencia fijo O, llamado el origen.2. Un conjunto de ejes especficos o receiones con una escala apropiada y una

identificacin de los ejes.3. Instrucciones que indiquen cmo identificar un punto en el espacio respecto al

origenyalosejes.Un adecuado sistema de coordenadas que se usar con frecuencia u elsistema

de coordmadas cartesiano, alganas veces llamado sistema de coordenados rectan-gular. En la figura 2.1 se muestra dicho sistema de coordenadas en dos dimen-siones. Un punto arbitrario en este sistema se identifica con las coordenadas (r, .La r positiva se toma a la derecha del origen, y Ia g positiva es hacia arriba del ori-gen. La r negativa es hacia la izquierda del origen, y la A negativa es hacia abajodel origen. Por ejemplo, el punto P, que tiene coordenadas (5, 3), se puede en-contrar caminando primero 5 metros a la derecha del origen, y 3 metros arriba delorigen. En forma similar, para el punto Q, cuyas coordenadas son (-3,4),corresponde caminar 3 metros a la izquierda del origen, y 4 metros hacia arribadel origen.

Algunas veces es ms conveniente representar un punto en el plano por sus co-ordenadas polares, (r, 0), como en la figura 2.2a. En este sistema de coordenadas, res la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas (r,a); y d es el ngulo entre r y un eje fijo, medido generalmente en sentido contrarioa las manecillas del reloj, desde el eje r positivo. Del tringulo de la derecha de lafigura 2.2b, se encuentra que sen 0 : A/r y cos 0 : xlr. (En el apndice B.4 se daun resumen de funciones trigonomtricas.) Por lo tanto, a partir de las coordenadaspolares, se pueden obtener las coordenadas cartesianas a travs de las ecuaciones

Adems, se obtiene que

v

x:rcos9v:rsen0

tan 0: Alx

,:'[VTa'

(2.1)(2.2)

(2.3)

(2.4)Ntese que estas expresiones relacionan a las coordenadas (*, d con las co-

ordenadas (r, 0) aplicndose nicamente cuando est definido como en la fi-gura 2.2a, donde 0 es un ngulo medido en contra de las manecillns del reloidesde el eje r positivo. Si el eje de referenciapara el ngulo polar 0 se elige enforma distinta al eje r positivo, o el sentido de crecimiento de 0 se elige en for-ma diferente, entonces se debern cambiar las expresiones correspondientes querelacionan a los dos conjuntos de coordenadas.

EtEMPt0 2.f Coondends PolaresLas coordenadas cartesianas de un punto estn dadas por(x, y) : (-3.5,

-2.5\ metros como se muesha en la figura2.3. Encuentre las coordenadas polares de este punto.

2.2 VECTORES Y ESCANES T

Solucin Note que deben usarse los signos d* t -t de y pre

hallar que g se encuentra en el tercer cuadrante dd siffide coordenadas. Esto es, 0 : 2L6o y no 36".

,:,[Ff:@: 4.Smetrs:0.7L4

0: ,,'*'I.6,'.La mayor{a de las calculadoras cientficas propor-

ciona las conversiones entre las coordenadas cartesianas ylas coordenadas polares.

le'nnifer apunta hacia la deecna.(Foto de Raymond A. Serway.)

Figura 2.4 La lnea Punteadamuestra cmo se mueve un pert-cula desde el punto Q haeio P- rovector desplazamiento es l fic$ndibujadadesdeOaP.

tan 0:!

*'1-"'.1*

-4-*ilt:*'t' "":-tl

..........i............i.-...

'-t

n);"t"t

1

-4JI

Figura 2.3 (Ejemplo 2.1)

2.2 VECTORES Y ESCAIIMES

Las cantidades fsicas que se encontrarn en este texto caben dentro de algunade las siguientes categoas: o son escalares o son vectores. Un escalar es unacantidaJque se especifica completamente por un nmero con unidades apro-piadas. Esto es,

Un escalar tiene nieamente magnitud y no direccin. Y por otro lado, unreetor s una eantidad fsica especificada tanto en magnitud como en di-rwcin.

EI nmero de manzanas en una canasta es un ejemplo de una cantidad es-calar. Si se dice que hay 38 manzanas en la canasta, se especifica por completola informacin requerida; no se necsita la direcrin. Otros eiemplos de can-dadm escalares so; la temperatura, el volumen, la masa y los intervalos detiempo. Las reglas de la aritmtica ordinaria se usan para manipular las eanti-dades escalares.

La fuerza es un ejemplo de una cantidad vectorial. Para describir completamente la fuerza sobre un objeto, se deben especificar la reccin de la fuerzaaplicada y un nmero para indicar la magnitud de la fuerza. Cuando se descri-be el movimiento (la velocidad) de un objeto, se debe especificar cun rpido semueve y la direccin del movimiento.

Oiro ejemplo simple de una cantidad vectorial es el desplazamiento de unapartcula, definido como eL cambio de posicin de la partcula. Supngase queia partcula se mueve de algun punto O al punto P a lo largo de una lnea r@ta,como se muestra en la figura 2.4. Este desplazamiento se representa dibuiandouna flecha desde O a P, donde la punta de la flecha indica la directin deldesplazamiento, y la longitud de la flecha representa la magnitud del desplaza-miento. Si la partcula viaja a lo largo de alguna otra trayectoria de O a P_,como lo muestia la lnea punteada de la misma figura, su desplazamiento es decualquier modo OP. El vector desplazamiento a lo largo de cualquier trayecto-ria indirecta de O a P est definido en forma equivalente al desplazamientopara la trayectoria directa de O a P. fu, se conoce compldammte el daspla.rn-|r^to de una parttcala s srs coordmad.as inicial y final son conocidas. La tra-yectoria no necsita especificarse. En otras palabras, el derylnzamiento a inde-pmd,imte de Ia traEectorin, si los extremos de la trayectoria estn fijos.

-\()_.)

28 2 vEcroRES

Figura 2.5 Una partcula se muevea lo largo del eje desde ri hasta rf,lleva a cabo un desplazamiento :rf

-

fi.

Definicin de desplazamiento alo largo de una recta

Figura 2.6 Cuatro representa-ciones del mismo vecto.

AFigura 2.7 Cuando s suma unvector A al vector B, la suma vecto-rial resultante.R es el vector que vadel origen de A a la punta de B.

Es importante notar que la distancia recorrida por una partcula escompletamente diferente de su desplazamiento. Esta distancia recorrida (unacantidad escalar) es la longitud de la trayectoria, la cual en general puede sermucho ms grande que la magnitud del desplazamiento (Fig. 2.a). Tambin, lamagnitud del desplazamiento es la distancia ms corta entre los puntos extre'mos.

Si la partcula se mueve a lo largo del eje r desde su posicitx,iz la posicinrr, como se muestra en Ia figura 2.5, su desplazamiento est dado por r

- x.

Como se mencion en el captulo l, la letra griega delta mascula (A) se usapara denotar eI cambio en una cantidad. Por lo tanto, el cambio en la posicinde la partcula (el desplazamiento), se escribe

A,x: xf -

i (2.5)De esta definicin, se ve que Ar es positiva si rt es mayor que ri, y negativa si r esmenor que fi. Por ejemplo, si una partcula cambia su posicin desde ri :

-3unidades, arl : 5 unidades, su desplazamiento es igual a 8 unidades.

Adems del desplazamiento, existen muchas cantidades fsicas que son vec-tores. Entre stos se incluyen la velocidad, la aceleracin, la fuerza y el mpetu,los cuales se definirn en captulos posteriores. En este texto se usarn letrasnegritas, como A, para representar un vector arbitrario. Otro mtodo comnp"o denotar un vector es olocando una flecha sobre la letra: .f. f," magnituddel vector A se escribe A o, de otra forma, lA I . Como se discuti en el caphrlo 1,la magnitud de un veitor tiene unidades fsicas tales como m para el desplaza-miento o m/s para la velocidad. Los vectores se eombinan de acuerdo con cier-tas reglas, eu se discutirn en las secciones 2.3 y 2.4.

2.3 ALGUNAS PROPIEDADES DE VECTORESIgualdad de dos vectores Dos vectores A y B son iguales si tienen la mismamagnitud y apuntan en la misma direccin. Esto es, A : B slo si A : B y ac-tan en direcciones paralelas. Por ejemplo, todos los vectores que se muestranen la figura 2.6 son iguales aunque tengan diferentes puntos de salida. Esta pro-piedad permite trasladar un vector en forma paralela a s mismo en un diagra-ma, sin afectar el vector. De hecho, cualquier vector puede moverse paralela-mente a s rnismo sin afectar el vector.

Suma Cuando se suman dos o ms vectotes, todos deben tener las mismas uni-dades. Por ejemplo, no tiene sentido sumar un vector velocidad a un vector dedesplazamiento, puesto que son candades fsicas distintas. Las cantidades es-calares tambin obedecen la misma regla. Por ejemplo, carece de sentido sumarintervalos de tiempo y temperaturas.

Las condiciones para la suma de vectores se expresan en forma ms conve-niente por mtodos geomtricos. Para sumar el vector B al vector A, primero sedibuja el vector A, representando su magnitud a una escala adecuada, sobre unpapel grafico y entonces se dibuja eI vector B, & la misma escala, colocando supunto inicial sobre la punta de A, como se muestra en la figura 2.7. El oectorregultante.R : A + B es el vector dibujado desde el inicio de A a la punta de B.Este se conoce como metodo d,el trngulo. Un procedimiento grfico alternati-vo para la suma de dos vectores, conocido como la ley del paralelogramo, semuestra en la figura 2.8a. En esta corstruccin, los puntos iniciales de los dosvectores A y B estn juntos y el vector resultante R es la diagonal de un parale-logramo formado con A y B como sus lados.

F lgwr 2. E a) En esta construccin, la resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A ye b Estaconsbuccinmuetraque:A * B: B + A.

Cuando se suman dos vectores, la suma es independiente del orden de laeu.noa. Esto se puede ver en la construc,cin geomtrica que se aprecia en Ia figr-ra 2.8b y se cCInoce como la ley conmutativa de la suma:

A+B:B*A

2.3 AI-GUNAS PROPTEDADES DE TECTOI,ES SS

(2.6) L*y c*rrmutativa

(2.7) Lev asrcitiva

Figura 2.9 Construcciones geom'tricas para comprobar la ley aso-ciativa de la suma de vectores.

\

Si se suman tres o ms vectores, su suma es independiente de la manera enla que se agrupen los vectores induales. Una prueba geomtrica de esto paratres vetores est dada en la figura 2.9. sta es la llamada ley asociativa de lasu[la:

A+(B+C) :(A+B) +CLas construcciones geomtricas se pueden usar tambin para sumar ms de

tres vectores. Esto se muestra en la figura 2.10 para el caso de cuatro vectores.ElvectorsumaresultanteR: A + B + C + Des eloectorquecompletaelplgono. En otras palabras, R s el oector dibuiad.o desde eI punto inicial delprmer t)ector lwsta ln punta del ltimo oec'tor. Nuevamente, el orden de lasuma no es importante.

fu se concluye qtre un oector e,s una cantidnd que time magnitud y drec-cin, g tambien que obedece las Iq^ de suma de oectores como se describe enlas figuras 2.7 a 2.10.

H negativo de un vector El negativo del vector A se define eomo aquel vectorque sumado a A da cero en la suma de vectores. Esto s, A + (-A) : 0.

Figura 2.10 Construccin geomtrica para sumar cuatro vectores. El vector resultante,R completael polgono.

30 I \Ecrornr

FigE 2.ll Esta construccinmue*a cmo restar el vector g dellector - El vector

-8. es de igualmagnitudyopuestoaB.

Los vectores A y -A enen la misma magnifud pero apuntan en direceionesopuestas.

Diferencia de vectores La operacin de diferencia entre vectores hace uso dela definicin del negativo de un vector. se define la operacin A -

Bcomo elvector -B sumado al vector A:

A-B:A*(-B) (2.8)En la figura 2'll se muestra la construccin geomtrica para la diferencia devectores.

Multiplicacin de.un vector por un escalar si un vector A se multiplica poruna cantidad escalar positiva m, elproducto mA esun vector que tiene la mis-ma direccin que A y magnitud mA. Si nr es una cantidad

"r""11", negativa, el

vector zn tiene reccin opuesta aA. por ejemplo, el vector 54 es;;;;r;;ms grande queA y apunta en la misma dircion queA. por otro lado, el vec-tor

-*A es la tercera parte de la longitud deA y apunta en iJireccin opuesta aA (por el signo negativo).

EJEMPLO 2.2 Un vlrt dc vcrcioneUn autom6vlvrajaZ0.0 km hacia el norte y despus 35.0km en direccin 600 al oeste der norte, como se muestra enl-a figura 2.12. Encuenrre la magnitud y la aito"l" aurdesplazamiento resultante del aulomvii.

Soluci_n El problema se puede resolver geomtricamenteusando papel milimtrico y un trasportadr, como se veenla figura 2.12. El despiazamienio resultante R es lasuma de los dos desplazamientos individuales A y B.

Se puede obtener una solucin algebraica para lamagnitud de R

"sando la ley de los cosenos de t^rigono-ge!a como se aplica para el tringulo obtuso (Apidice8.4). Comol = l80o

- 60o = l20b yR2 _ A2; 82 _

2.A8, cos 0, se encuentra que

Figyra 2.12 (Ejemplo 2.2) Mxodogrfico- para hallar el desplazamien_toresultanteR=A+8,

+82-ZABcos0:

: 48.2 km

La direccin de R medida desde la direccin nortepuede obtener de la ley de los senos de trigono*"tri",

*np_sen0BR

renp: # *,, r:;# sen l2o. :0.62e

p:

r(km)

Por lo tanto, el desplazamiento resultante del automvil esde 48.2 km en la direccin 3g.go al oeste del norte.

y(km)

600

32 2 \:EcroREs

Figura 2.15 Componentes de unvector B en un sistema de coordena-das inclinado.

b)Figura 2.16 a) Lc vectores unita-rios i,j y fr estan dirigidos a lo largode los ejes r, y y z, respctivamente.b) Un vector A que est en el planory tiene componentes vectoriales Aiy Aj, donde A,y A, son las compo-nentes rectangulares de A.

tang:*:ffi

en la ecuacin 2.9. La magnitud y la direccin de B se obtienen de las expre-siones equivalentes a las ecuaciones 2.L0 y z.LI. Por 1o tanto, se pueden exprsarlas componentes de un vector en cu&lquier sistema de coordenadas, de acuerdocon cada situacin Partieular.

Las componentes de un vector, tales como las de un desplazamiento, sondiferentes cundo se ven de distintos sistemas de coordenadas. Inclusive, Iascomponentes de un vector pueden cambiar con respecto a un sistema de coorde-nadas fijo si el vector cambia en magnitud, en orientacin, o en ambas.

Las cantidades vectoriales con frecuencia se expresan en trminos de vecto-res unitarios. Un vector unitario o unidad es un oector sin mensiones U de lon-gitud unitaria, el cual se emplea para especificar una direccin dada. Los vec-tores unitarios no tienen otro significado fsico, sino que simplemente se usanpor conveniencia para describir una direccin en el espacio. Se utilizarn losr*bolor i, j y kpara representar los vectores unitarios que apuntan en las direc-ciones x, U y z, respectivamente. As entonces, los vectores unitarios i, i y k tor'man un coniunto de vectores mutuamente perpendiculares, como se muestra enla figura 2.L6a, donde la magnitud del vector unitario es igual a la unidad; esdecir, ldl : ljl : llcl : l.

Considere un vector A que est en el plano ry, como en la figura 2.16b. Elproducto de la componente A, y el vector unitario i es el vector Aj paralelo ali" * con magnitud ". Del mismo modo, Arj es un vector de magnitud A, para-tlo eie V, Por lo tanto, en trminos de los vectores unitarios, el vector A seescribe como

A: A,i + Avj (2.12)

Los v.ectores A y Ai son las componentes vectoriales de A. No debe confundirseesto con A,y Ar,,las cuales siempre se refieren a las componentes deA.

Ahora, suponga que se desea sumar los vectores B y A, en donde B tienecomponentes B, y B, EI procedimiento para obtener la suma es simplementesumarlascomponentes xyA porseparado. ElvectorresultanteR : A + Bestdado por

ft: (,A" + B")i + (Av+ Bv)j (2.13)Por consiguiente, las componentes rectangulares del vector resultante estn da-das por

Rr: Ar+ B,\: Av+ Bs

2.4 COMPONENTES DE UN VECTOR Y VECTORES T-;}iTT.T,R.trC8

r:::,tnca. como se muestra en la figura 2.L7, Unavez flfo, se debe tener:" ii,: en obsen'ar los signos de las componentes al aplicar el mtodo alge-r:"i-rr',- : etr mtodo geomtrico.

I-a ertersin de estos dos mtodos a vectores tridimensionales es directa. Si{ i B Cenen componentes r, U y z, se expresan en la forma

R: A * B: (,{" + B)i + (l4v + Bv)j + (A,+ B,)kPor lo tanto, el vector resultante tambin tiene una componente z, dada porR, = A, + 8,. Se puede aplicar el mismo procedimiento para sumar tres o msvectores.

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS

Cuando dos o ms vectores se suman, se recomienda seguir el siguiente procedi-miento paso a paso:

l. Seleccione un sistema de coordenadas.2. Dibuie un esquema de los vectores que se van a sumar (o restar), con una eti-

queta en cada vector.3. Encuentre las componentes r y A, de todos los vectores.4. Encuentre las componentes resultantes (la suma algebraica de las componentes)

en ambas direcciones r y A,5. Use el teorema de Pitgoras para encontrar la magnitud del vector resultante.6. Use una funcin trigonomtrica adecuada para encontrar el ngulo que forma

con el eje x, el vector resultante

EJEMFLO 2.3 Suma de dos vectores Obtenga la suma de los dos vectores A y B que se en-cuentran en el plano U, y qstn dados por

A: A*i + Avj + A"kB: B,i + Bvi + B,k

I-a suma de A y B est dada por

A:2i*2j y B:2i-4iSolucin Note que A, : 2, A, : 2, B, : 2 y B, :

-4.Por lo tanto, el vector resultante R est dado por

o R:A*B: (2+2)+(2-4Y:4i-Zi

Br:4,&t:-zLa magnitud de fi est dada por

n:.,ff'Jry:JW*:J: 4.47En la mayora del texto, a continuacin de cada

ejemplo se dar un ejercicio. El propsito de etos ejerci-cios es examinar si el lector comprendi el ejemplo, pre-

(2.r7)(2.18)

(2.1e) Figura 2.17 Construccin geomtrica que muestra la relacin entrelas componentes de la resultante

^Rde dos vectores y las componentes delos propios vectores.

guntndole sobre el clculo o alguna respuesta relacionadacon el ejemplo. Las respuetas a estos ejercicios se darn alfinal del ejercicio, cuando sea apropiado. Este es el primerejercicio, relacionado con el ejemplo 2.3.Ejercicio 1 Encuentre el ngulo g que el vector resultantehace con el eje r positivo.Respuesta 333o.

EJEMPLO 2.4 El desplazamiento resultanteUna parteula experimenta tres desplazamientos consecu-tivos dados por d1 : (i + gj

-

k) cm, d2 = (% -j - 3&)

crnr y d"s = (-i + j) cm. Halle el desplazamiento resul-tante de la partcula.

Solun

R:dr+dz+ds: (r + 2- t)i+ (3

- l + 1r+ (-l

- 3 + 0)k

: (Zi + 3j -

4Ic) cm

34 2 vECToRES

Esto es. el desplazamiento resultante tiene las componen-

f a, = 2 cm, Rr. : 3 cmy R" -

-4 cm. Y su magnitud

R:,EETE::5.39 cm

LJn excursionista inicia un recorrido caminando primero25 km hacia el sureste, partiendo desde su campamento.El segundo da camina 40 km en una direccin de 60o alnoreste, y al llegar a ese lugar descubre la torre de un guar-dia forestal. a) Determine las componentes rectangularesdel desplazamiento del excursionista en el primero y se-gundo das.

Si se Jenotan los vectores del desplazamientodel primero y segundo das con A y B, respectivamente, yse uliza el campamento como el origen de coordenadas, seobtienen los vectores de la figura 2.18. El desplazamientoA tiene una magnitud de 25.0 km y est dirigido 45" haciael sureste. Sus componentes rectangulares son

A,: Acos(- 45"): (25 km)(0 .707): ', t?,? km ,

b) Determine las componentes rectangulares del desplaza-miento total del excursionista para todo su recorrido.

Salucin El desplazamiento resultante para el recorrido,^R = A + B, tienecomponentes

R,: A,* B,:17.7 km + 20.0 km : 3?,? km' i: ,'

'

Rr: Au* Bu: -17.7 km * 34.6 km: 16.9 km

En trminos de los vectores unitarios, el desplazamientototal se puede escribir como 3 : (37.7d + 16.9j) km.Ejercicio 2 Determnense la magnitud y la direccin deldesplazamiento total.

Respuesta 41.3 km, 24.10 al noreste del campamento.

UEMPLO 2.6 VolemosUn aeroplano sale de un aeropuerto y toma la ruta quemuestra en [a figura2.l9. Primero vuela a la ciudad A lo-calzada a L75 km en una direccin 30" al noreste. Des-pus, vuela 150 km 2Ao al oeste del norte, a la ciudad B.Finalmente, vuela 190 km hacia el oeste a la ciudad C.Encuentre la localizacin de la ciudad C relativa a la ubi-cacin del punto de partida

A, : A sen(- 45 ") : -

(25 km)(0.707) : ,"'u.l$iff*#

Figura 2.18 (Ejemplo 2.5) El desplazamientototal del excursionista es el vector,R : A * B.

El valor negativo de A" indica que, en este desplazamien-to, la coordenad a y ha disminuido. En la figura 2.18, tam-bin son eridentes los signos de A, y Ar. El segundo despla-zamiento, B, tiene una magnitud de 40.0 km y est dirigi-do 60o hacia el noreste. Sus componentes rectangulares

B,: Bcos 60" : (40 km)(0.50): g0,0 hm.' a: : :: :'::: t.:::::l- :

: : :, ] ''.

t.:::i.i:t::,Br: Bsen 60' : (40 kmX0.866) : r'.34:61F#,

Figura 2.19 (Ejemplo 2.6) Elaeroplano parte del origen, vuelahacia A y despus a B, y finaliza suajeen C.

Solucin Como en el ejemplo anterior, es convenienteelegir el sistema de coordenadas que se muestra en la figu-ra 2.19, donde el eje r apunta hacia el este y el eje y apuntahacia el norte. Los tres desplazamientos consecutivos sedenotan por los vgctores a, b, y c. El primer desplazamien-to a tiene una magnitud de 175 km y sus componentes rec-tangulares estn dadas por

a,: a cos(30') : (175 km)(0.866): 152 kmau: asen(30') : (L75 km)(0.500):87.5 kmEl segundo desplazamiento b, cuyamagnitud es de

150 km, tiene componentes rectangulares

b,: b cos(l10') : (150 km)(-0.342): -51.3 km

br: h s(l10") : (150 km)(0.940) : 141 kmfinl'rs.e, d tercer desplazamiento c, cuya magnitud esde fg) km, tiene componentes rectangulares

c. : ccos(180o) : (190 km)(- l) : -

190 km

cr: csen(180o) : 6

Por lo tanto, las componentes del vector de posicin R des-de d punto de partida a la ciudad C son

R, : a, + b, + c, : l52km -

51.3 km -

190 km

: -89.7 km

RESUMEN 35

R,: a, + by + cr=87.5km + l4lkm + 0:228km

En trminos de ios vectores unitarios, R : ( -89.7i + 228i)l

km. Es decir, la ciudad C se puede alcanzar viaiandoprirero 89.7 km, desde el punto de salida en direccinoeste, y despus, riajando 2213 hn en direccin norte.

,!:.,;'a:,:.r 3 Encuentre la magnitud v la direccin del vec-tor posicin final R.

245 km, 21.4" al mte del norte.

tdiiffi!ffi

Figura 2.21 Las componentes deun vector, ry g sonA, yA'

bien laith aLeartalels.hirn'",nn U mtodo del tringulo (Fig. 2.20a)';:'s["'vector 6, f '4':i i *. ri$n,de A

"

1.ap"""ia de f .-En el mtodo de1pa, ,,"1"1*v "tii ,'c0flloItuUt'',:''.'''..l*l.:',.;...'L*qni"u1g*;'f,Al'''qt 5 a * ieual 1su n1v9.i"0r' it:jj, :-e"* 0, Dr-mis;"J *""it **p"*te v"a 4", e, i* ptvocin a lo'largo dei,efe E, donde'A; ;:4 sen,0. El vectr qu resulta de dos.o ms:vpt,o,' Ito r" p-uud* *cp"ttq ponieldo'cada uno de tros vctores en tfiminos de"stri "componerites*. ,..se Surnn:todai las componentes en r y en A, y,entofigQs "

"sad,1t*u'0eitgoix,i* ttnuenti ta magnitud del vector ieiultn-;

te. El hgrli q"C.Uce,el.*ector resultante con respecto al eie r, se puede dqterrninar *+'*l'fnc-i' trigongmtrica adeeuada. : , '- ' "'' "

Si"unvector A,ltisiii una cornponent r,igual u Ax2 y qna .cornponenle Vigual,a ;,,f *tonie'p.oede -expiesai en ierrnings de $ fctores unitliios.,

[iiiu,Fi

"omo +,'l"* *f,,En':s$ta notcin; I m un vector unitario Que apunta qn:;l

ta iib*cin.ooritia de C, v,i, es'u',vectol'nitaiio qu apunta n'l dire:i'r",di#, =+":1 i$,+'#,,1:1

C=A*B

Figura 2.2f) a) Suma vectorial usando el mtodo del tringulo. b) Suma vectorial uti-lizando la ley del paralelogramo.

.,!ut::ri.rj n:,eCIl$g

36 2 VECToRES

PREGI.JNTAS

l. un libro se desplaza una vez alrededor del permetro detura mesa cuyls dimensiones son I m x 2 m' Si se llevael bro hasta su posicin inicial, cul es su desplaza-miento? Cul es [a distancia recorrida?

2. Si se surnan B y A, en qu condicin el vector resul-tante tiene una magnitud igual a A + B? En qu con-ciones el veetor resultante es igual a cero?

3. Es posible que la magnitud del desplazamiento de unai"t",tl" ,"u ,rr"yo, que ta distancia recorrida? Expli-que.

. i"t magnitudes de dos vectores A y B s9n A : 5 unida-des y B

-: 2 unidades. Encuentre el valor ms grande yel valor ms pequeo posible para el vector resultante,R:A+8.

5. Un vector A se encuentra en el plano rA) para culesorientaciones de A sus dos componentes rectangularessern negativas? Para qu orientaciones sus compo-nentes tendrn signos oPuestos?

6. Un vector puede tener una componente igual a-cero yantenerunamagnituddiferentedecero?Explique.

7. Si una de las componentes de un vector no es cero' sumagnitud Puede ser cero? ExPlique'g. Si l componente de un vector A a lo largo de la direc-cin de un vector B es cero, qu se puede concluir res-pecto a los dos vectores?

g. Si : B, qu se puede concluir con respecto a lascomponentesde AYB?

10. La magnitud de un vector puede tner un valor negati-vo? ExPlique.

ll. Si A +-B I 0, qn se puede decir acerca de las compo-nentes de los dos vectores?

Cules de las siguientes cantidades son vectores y cu-l"r to, fierza, temperatra, el volumen de agua en unalata, la popularidad de un programa de TV, la alturade un *ifi"io, la velocidad de un carro deportivo, laedad del universo?En qu circunstancias un vector diferente de cero queest en el plano xg, tiene componentes iguales en mag-nitud?Es posible sumar una cantidad vectorial adad escalar? ExPlique.Dos vectores tienen magnitudes distintas'puede ser cero? ExPlique.

fO. a Cul es el desplazamiento resultante de una cami-nata de 80 m ,"goid" de una de 125 m, cuando ambosdesplazamientos estn en la direccin hacia el este? b)Cuat es el desplazamiento resultante en el caso que laJaminata de f25 m est en la direcein opuesta al cami-no de 80 m?

17. Durante un viaie a lo largo de una carreteta, el marca-dor en millas tiene una lectura de 260' Se contina elviajehastaqueelmarcadorsealalS0millas,yenton-ces se regresa por su trayectoria hasta alcatzar la marcade 175 ittur. cul s la magnitud de su desplaza-miento resultante desde la marca de 260 millas?

18. Un submarino se sumerge a un ngulo de 30o con res-pecto a Ia horizontal y sigue una trayectoria recta hastaalcanzar una distancia total de 50 m. Qu tan leiosest el submarino de la suPerficie?

19. Una montaa rusa recorre 135 ft a un ngulo de40o porencima de la horizontal. cunto recorre horizontal yverticalmente?

12.

13.

L4,

15.

una canti-

Su suma

PROBLEMAS

Seccin 2.1. Sistemas de coordenadas y marcos dereferencia

l. Dos puntos en el plano ry tienen de coordenadas carte-sianas (2.0,

-4.0) V (-3.0, 3.0), donde las unidadesson m. Determine: a) La distancia entre estos dos pun-tos y b) sus coordenadas Polares.

2. Un punto en el plano xg tiene las coordenadas carte-sianas (-3.0, 5.0) m. Cules son las coordenadas po-laes de este Punto?

3. Las coordenadas polares de un punto son r : 5'50 m y0 : ?-4Oo. Cules son las coordenadas cartesianas deeste punto?

4. Dos punto,s en el plano tienen de coordenadas polares(2.50 m, 30o) v (3.80 m, 120o). Determine: a) las coor-denadas cartesianas de estos puntos, y b) las distanciasentre ellm.

5. Una esquina de un cuarto se elige como el origen de unsistema de cpordenadas rectangular. si una mosca estparada sobre una pared adyacente a un punto que tiene-coordenadas (2.0, 1.0), donde las unidades estn enmetros, cul es la distancia de la mosca desde la es-quina del cuarto?

6. Exprese la posicin de la mosca del problema 5 en coor-denadas polares.

7. Un punto est localizado en un sistema de coordenadaspolares mediante las coordenadas r = 2.5 my e = 35o'Determine las coordenadas x y A de este punto, supo-niendo que los dos sistemas de coordenadas tienen elmismo origen.

seccin 2.2 Vectores y escalares y seccirin 2.3 Algunaspropiedades de vectores

8. Un comprador empuja un carro en un almacn y semueve 40 m hacia el fondo de un pasillo, entonces haceun giro de 90" y se mueve l5 m. Nuevamente hace otrogiro de g0o, y se mueve 20 m. Cun lejos est elomprador de su posicin original, en magnitud y di-reccin? La direccin del movimiento de cualquiera delos giros de 90o no est dada. Como resultado, podrahaber ms de una resPuesta?

9. Un hombre empuja un trapeador a travs de un piso ha-ciendo que lleve a cabo dos desplazamientos' El prime-ro tiene una magnitud de 150 cm y forma un ngulo del20o con la direccin positiva de r. Bl desplazamiento

resultante tiene una magnitud de 140 cm y cuya direc-cin foma un ngulo de 35o con el eie r positivo. En-cuente la magnitud y direcein del segundo desplaza-miento.Un peatn se mueve 6 km hacia el este y 13 km hacia elnorte. Determine la magnitud y direc'cin del vectordesplazamiento resultante usando el mtodo grfico.Un vector A tiene 3 unidades de longitud y apunta en ladirectin positiva del eie r. Un vector B tiene 4 unida-des de lon$tud y apunta en la direccin negativa del eiey. Use el metodo grfico para encontrar la magnitud yreccin de los vectores a) A + B, b) A

-

B.El vector mide 6 unidades de longitud y forma un n-gulo de 45o respecto al eje r. El vector B mide 3 unida-des de longitud y est dirigido a lo largo del eje r positi-vo (0

- 0). Hdle el vector resultante A + B utilizando

a) el mtodo grfico y b) la ley de los eosenos.Una persona eamina a lo largo de una trayectoria circu-lar de radio 5 m, rodeando la mitad del crculo. a) En-cuentre la magnitud del vector desplazamiento. b)Cunto camin la persona? c) Cul es la magnitud deldesplazamiento si completa el crculo?

14. Una partcula realiza tres desplazamientos consecuti-vos, de tal manera que su desplazamiento total e cr;to.El primer desplazamiento es de 8 m hacia el oeste. Elsegundo es de 13 m hacia el norte. Encuentre la magni-tud y la direccin del tercer desplazamiento usando elmtodo grfico. ZL

15. Cada uno de los vectores desplazamiento A y B que seobservan en la figura 2.22, tienen una magnitud de 3m. Hrlle grficamente: a) A + B, b) A

- B, c) B

- A,

dl A -

2,8.

Figura 2.22 (Problemas f5 y 37).

Un perro que anda en busca de un hueso camina 3.5 mhaeia el sur, despus 8.2 m a un ngulo de 30" al nores-te, y finalmente 15 m al oeste. Encuentre el vector des-plazamiento resultante del perro utilizando la tecnieagrfica.Una montaa rusa se mueve horizontalmente 200 ft,entonces sube 135 ft a un ngulo de 30o respecto a lahorizontal. Y despus r@orre 135 ft a un ngulo de 40ohacia abajo. Cul es su desplazamiento desde su puntode partida hasta el final de este recorrido? Use la tecni-ca grfica.Un taxista viaja hacia el sur durante 10 km, y entoncesse mueve 6 km en una direccin de 30" al noreste. En-cuentre la magnitud y direc'cin del desplazamiento re-sultante del carro.

PROBLEMAS 37

Encuentre las componentes horizontal y vertical deldesplazamiento de 100 m de un superhroe quien vueladesde lo alto de un gran eficio, siguiendo la trayecto-ria que se ve en la figura 2.23.

Figura 2.23 (Probtema l9).

Un hombre perdido en un laberinto realiza tres despla-zamientos consecutivos de forma tal que al ffnal del ca-mino l est justamente donde parti. El primer despla-zamiento es de 8 m haca el oeste, y el segundo es de 13m hacia el norte. Encuentre la magnitud y la direccindel tercer desplazamiento utilizando el mtodo grfico.Una trotadora corre 100 m hacia el oeste, entoncescambia de direccin para la segunda etapa de la carre'ra. Al final de la carrera, ella se encuentra a 175 m delpunto de salida a un ngulo de l5o hacia el noroeste,Cul fue la magnitud y la direccin del segundodesplazamiento? Use la tcnica grfica.Al explorar una cueva, una espeleloga parte de laentrada y recorre las siguientes distancias. Ella va 75 mhacia el norte, 250 m hacia el este y L25 m a un ngulode 30o hacia el norte del este, y finalmente 150 m.haciael sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde laentrada de la cueva.

Seccin 2.4 Componentes de un vector v vectores unitarios

23. Un vector tiene una componente r de -?'6 unidades, y

una componente y de40 unidades. Encuentre [a magni-tod y direccin de este vector.

24. Un veetor de desplazamiento A forma un ngulo 0 conel eje r positivo, como se muestra en la figura 2.13.Halle las componentes rectangulares de A para los si-guientesvalores deA y il a) A : 8 rl, 0 = 60o; b) A =6 ft, 0 : 120o; c) A = 12 cm, 0 = 225".

25. El vector A se encuentra en el plano ry. Elabore unatabla de los signos de las componentes r y y de A cuandoel vector est en el primero, segundo, tercero y cuartocuadrantes.

26. Un vector desplazamiento que se eneuentra en el planoxy tiene una magnitud de 50 m y est dirigido forman-do un ngulo de 1200 con el eje r positivo. Cules sonlas componentes rectangulares de este vector?

27 Encuentre la magnitud y direccin de la resultante detres desplazamientos cuyas componentes respectivasson: (3, 2)

^, (-5, 3) m y (6, 1) m.

19.

10.

u.

L2.

13.

20.

22.

16.

18.

tffiG:-

38 2 VECTORES

Un vector A ene componentes r y y de -8'7 cm y 15

cm, respectivamente; el vector B ene componentes r yg &L3.2cm y

-6.6 cm, respectivamente. SiA - B +3C : 0, cules son las componentes de C?Dc vectores estn dados por A = 3d

-

4i y B = -i

-4j. Calcule: a)A + B, b) A - B, c) lA + Bl, d) lA -B, e) ladireccindeA + B Y A - B'Tres vectores estn dados porA : i + Qi,B = 2i

-

i, yC : 3 + 5. Encuentre: a) la suma de los tres vectores yb) la magnitud y direccin del vector resultante'OUt"rrg"las extrxesiones en coordenadas polares de losvector de posicin a) 12.8 m, l50o; b) 3.3 cm, 60o; c)22 in,215".

32. Los vectores A y B tienen componentes A' : -5'0 cm'Ar: L l cm, A':

-35cmYB' : 8'8 cm'8,: -6'3", B, = 9,Zcm. Determnense las componentes

de los

vectores a)A + B,b) B -

A, c) 38 + %' d) Exprese elvectorB_Aennotacindelosvectoresunitarios.

33. Una partcula experimenta los siguientes desplazamien-tos consecutivos: 3.5 m hacia el sur, 8.2 m hacia el nor-este y 15.0 m hacia el oeste. cul es el desplazamientoresultante?

34. Un mariscal de campo toma et baln desde la "lnea degolpeo" y eorre hacia atrs l0 yardas, entonces paralela l" frr"" de salida recorre 15 yardas. En este punto,lanzaun pase de 50 yardas hacia adelante, perpendicu-lar a la lnea de golpeo. Cul es la magnitud deldesplazamiento resultante del baln?

35. Un aeroplano vuela de la ciudad A ala ciudad B, enuna direccin hacia el este de 800 millas. En la siguienteparte del viaie, el aeroplano vuela 600 millas de la ciu-ad B a la ciudad C en una direcrcin de 40o al noreste.cul es el desplazamiento resultante del aeroplanoentre la eiudad A Y La ciudad C?

36. Una partcula realiza tres desplazamientos consecuti-,ror. t primero es hacia el este y tiene una mag'itud de2 m. Ei segundo es hacia el norte y tiene una magnitudde42 m. Si el desplazamiento resultante tiene una mag-nitud de 38 m y est dirigido a un ngulo de 30o al nor-este, cul es la magnitud y la direccin del tercerdesplazamiento?

37. Encuentre las componentes r y y de los vectores A y Bque se muestran en la figuraL.22. Derive una expresinf,ara el vector resultante A + B en trminos de los vec-tores unitarios.Una partcula experimenta dos desplazamientos' El pri-mero tiene una magnitud de 150 cm y forma un ngulode l20o con el eje r positivo. El desplazamiento resul'ttntetiene una magnitud de 140 cm y est dirigido a un

"oStlo de &5o

"o., iop""to al eje r. Halle la magnitud y

dieccin del segundo desplazamiento.El vector A tiene componentes r, A y z de 8, 12 y

-4unidades, respectivamente. a) Escriba una expresinvectorial para A, en trminos de los vectores unitarios.b) Obtngase, en tminos de los vectores unitarios, unaexpresin para un vector B que mida la cuarta parte dela longitud de A y que apunte en la misma direccinde A.

" Olt"ttga una erpresin, en trminos de los vec-

tores unitarios, para un vector C que sea tres veces mslargo que A y apunte en la direccin opuesta a la de A'

40. Seli"t"t dosvectores : -2i +j - 3e yB = 5i + 3j

4L.

28.

29.

30.

31.

42.

- 2k, a) Halle un terccr vector C tal que 3A + ?;B - C

= 0. b) Culm son las magnitudes de A, B y C?Un vector tiene una magnitud de 35 unidades y formaun ngulo de 37o con el eje positivo . Describa: a) unvector B que est en la direccin opuesta a [a de A ycuyo tamao mida la quinta parte del de, y b) un vec-tor C que al sumarse aA produzca un vector cuya longi-tud mida el doble de la de A y que apunte en la direc-cin de E negativaUn vector A tiene una componente r positiva de 4 uni-dades y una componente y negativa de 2 unidades.Qu segundo vector B al sumarse a A producir unvector resultante cuya magnitud sea el triple de la deAy est dirigido en la direccin g positiva?

41. n vector A tiene una componente r negativa de 3 uni-dades de longitud, y una componente y positiva de 2unidadm de longitud. a) Determine una expresin paraA en trminos de los vectores unitarios. b) Determine lamagnitud y direccin de A. c) Qu vector B sumado aA da un vector resultante sin componente en r y unacomponente y negativa de 4 unidades de longitud?

44. Una partcula se mueve en el plano ry desde el punto (3,0) m hasta el punto (2,2) m. a) Determine una expre-sin vectorial para el desplazamiento resultante. b)Cul es la magnitud y la direccin de este vectordesplazamiento?

45. Encuentre la magnitud y reccin de un vector despla-zamiento que tiene componentes r y y de

-S m.y 3 m,respectivamente.

46. Tres vectores estn dados por A - ,8 = y C =(- 3d + 4i).a) Halle la magnitud y direccin del vectorresultante. b) Qu vector sumado a estos tres hara queel vector resultante fuera cero?

47. Tres vectores estn orientados como se muestra en la fi-garaL.gA,donde lA I = 20, lB I = 40, y lcl = 30 uni-dades. Encuentre: a) las componentes r y y del vectorresultante y b) la magnitud y direccin del vector resul-tante.

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

48. Un vector est dado por.R = 2i + i + 3k. Encuentre:a) las magnitudes tas componentes r, A Y z, b) lamagnitud de R y c) los ngulos entre R y los eies r, U y z'

38.

39.

\

Figura 2.24 (Problema 47),

49. Una persona va por un camino siguiendo la trayectoriaque se aprecia en la figuraL.Z. El recorrido total cons-ta de cuatro trayectorias rectas. Qu desplazamientoresultante de la persona se mide desde el punto de salidahasta el ftnal del camino?

Figura 2.25 (Problema 49).

Dos personas tiran hacia adelante a una mula obstina-da. La accin se ve desde un helicptero como se mues-tra en la figura 2.26. Encuentre: a) la fuerza que seaequivalente a las dos fuerzas que se observan en el dibu-jo y b) La fuerza que una tercera per3ona podra ejercersobre la mula para que la fuerza neta sea igual a cero.

Ftgrra 2.28 (Problema 50).

Una partcula se mueve en el plano ry, desde un puntoque tiene coordenadas cartesianas (-3,

-5) m hastaun punto con coordenadas (-1, 8) m. a) Escriba las ex-

PROBLEMAS SUPLEMEIiTAJ$ S

presiones vectoriales de los vectores de pmctctc m 1r-minos de los vectores unitarios para estos dos p,untcr. bCules el vector desplazamiento? (vase el problem"a itpara la definicin.)Un paraleleppedo rectangular tiene dimensiones c. b ic, como est en la figura 2.27. a) Obtenga una erpre"'sin vectorial para el vector diagonal R1 de la base. bEncuentre una expresin vectorial para el vector diago-nal R2 del cuerpo. Cul es la magnitud de este vector?

Figara2.27 (Problema 52).

Un punto P se describe por las coordenadas (x, y) conrespecto al sistema de coordenadas cartesianas normalque se ve en la figura 2.28. Muestre que (x' , A '), las co-ordenadas de es'te punto en el sistema de coordenadasgirado x'A', estn relacionadas a (r, y al ngulo derotaoin cr por las expresiones

x':r cosc*Ysenav

A':-x sena*ycosa

Figura 2.28 (Problema 53).

a) Pruebe que un punto que est en el planoxA y cuyascoordenadas son (*, A), se puede describir por el vectorde posicin r = xi + gj.b)Muestre que Ia magnitud deeste vector es r: 'lWV c) Compruebe que el vec-tor desplazamiento de una partcula que se mueve des-de (r1, yr) hasta ("r, Ar), est dado pot d : (xz

-

xr) +@, - Ar)j. d) Grafique los vectores de posicin rry 12y el vector de desplazamiento d y verifique, por el m-tdo grfico, que d. = tz

-

ry

J'.

DJ.50.

54.

jr^t"